Bloch-Gruneisen Fonksiyonu ile Bazı Katıların Elektriksel Özdirencinin Sıcaklığa Göre Değişiminin Analitik İncelenmesi

Transkript

1 SU Journal of Science (E-Journal), 213, 8 (1): Bloch-Gruneisen Fonksiyonu ile Bazı Katıların Elektriksel Özdirencinin Sıcaklığa Göre eğişiinin Analitik İncelenesi Mustafa Karakaya 1,*, İskender Askeroğlu 2 1 Süleyan eirel Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölüü, 3226, Çünür, Isparta 2 Gaziosanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölüü, 615, Tokat * Yazışılan yazar e-posta: karakayafizik@hotail.co Alınış: 5 Kası 212, Kabul: 19 Aralık 212 Özet: Bu çalışada, binoial açılı teorei kullanılarak Bloch-Gruneisen fonksiyonunun analitik ifadeleri ile bazı katıların özdirencinin sıcaklığa bağlılığı incelendi. Bu yöntede, etallerin elektriksel özdirencine elektron-fonon etkileşi katkısı dikkate alındı. Bu sebeple, özdirencin sıcaklığa göre değişesinin Bloch-Gruneisen fonksiyonları ile analizine yer verildi. Genelleştiriliş Bloch-Gruneisen fonksiyonu için elde edilen analitik bağıntılar doğrultusunda Matheatica progralaa dilinde progra oluşturuldu. Kalay etali ve Sn katkılı indiyu oksit bileşiği için farklı sıcaklıklarda özdirenç değerleri hesaplandı. Kullanılan etodun geçerliliği, bu katılara uygulaalarıyla birlikte test edildi. Anahtar kelieler: Bloch-Gruneisen teorisi, elektron-fonon etkileşesi, elektriksel özdirenç. The Analytical Investigation of Teperature ependence of Electrical Resistivity Using Bloch-Gruneisen Function for Soe Solids Abstract: In this study, the teperature dependence of resistivity of soe solids were investigated with the analytical expressions of Bloch-Gruneisen function using binoial expansion theore. The contributions of electron-phonon interaction to the electrical resistivity of etals have taken into account in this ethod. Therefore, the analysis of change in resistivity with teperature was perfored with the Bloch-Gruneisen functions. Progras in the syste Matheatica were constructed in accordance with the analytical equations obtained for the generalized Bloch-Gruneisen function. Resistivity values at the different teperatures were calculated for tin etal and Sn-doped indiu oxide copound. Reliability of the using ethod is tested by applications to these solids. Key words: Bloch-Gruneisen theory, electron-phonon interaction, electrical resistivity. 1. Giriş Elektron-fonon etkileşiinin katkısı dikkate alınarak birçok etalin elektriksel özdirencinin analitik hesaplanası Bloch-Gruneisen (BG) teorisiyle veriliştir [1]. Genelleştiriliş BG fonksiyonlarının çözüü için çeşitli araştıracılar tarafından kullanılan yönteler, nin tasayı değerlerinde etallerin özdirencinin sıcaklığa bağlılığını belirleeye ikân veriştir [2 6]. Genelleştiriliş BG fonksiyonunun hesaplanası için öneli yöntelerden biri = 5 değerinde seri açılıı kullanılarak veriliştir [7]. Son yıllarda yapılan çalışalarda, ta sayı ve kesirli sayı derecelerinde Bloch-Gruneisen fonksiyonu için bir takı seriler türetiliştir [8]. Kaalakar ve Raychaudhuri (212), etal nano yapıların sıcaklığa bağlı (3 3 K) elektriksel özdirenci üzerine yaptığı deneysel çalışasında, özdirence örgü katkısı için BG fonksiyonu ile verileri analiz etiştir [9]. Çalışaızda, özdirencin sıcaklığa bağlılığını veren genel ifadesi BG fonksiyonu ile ifade ediliştir. Genelleştiriliş BG 54

2 M. Karakaya, İ. Askeroğlu fonksiyonlarının hesaplanasında, taalanaış gaa fonksiyonunun uygun forülleri seçiliştir. Çalışada, nin kesirli ve tasayı değerleri için genelleştiriliş BG fonksiyonundan elde ediliş analitik bağıntının [1] kalay etali ve Sn-katkılı indiyu oksit bileşiği için uygulaaları yapılıştır. 2. Materyal ve Metot Bu çalışada, genelleştiriliş BG fonksiyonu için elde edilen analitik bağıntılar doğrultusunda Matheatica progralaa dilinde progra oluşturuluştur. Özdirencin BG fonksiyonu ile ifadesi aşağıdaki gibi veriliştir [1]; ρ( T ) = c Burada J BG fonksiyonu olup aşağıdaki gibi tanılanır; J = θ θ θ J T θ ( e )( e ) (1) x dx (2) 1 1 T x x θ Eşitlik (1) de c bir sabit, θ etalin ebye sıcaklığı, T utlak sıcaklıktır ve ise ta ve kesirli değerler alır. 1 x x x x 2 e 1 1 e = e 1 e (3) bağıntısını kullanarak, Eşitlik (2) aşağıdaki şekilde tekrar yazılabilir; J = θ T x 1 x e dx (4) x ( e ) 2 BG fonksiyonunun analitik ifadesini elde etek aacıyla kopleks ve reel bir n için binoial açılı teorei kullanılıştır [11]. ( x > y ) Burada F n = ve 1 n n = x y F n x y (5) ( ± ) = ( ± 1) ( ) n!! n!, n tasayı ise F ( n) = ( 1) Γ( n), n kesirli ise! Γ( n) (6) 55

3 SU Journal of Science (E-Journal), 213, 8 (1): < için F ( n ) binoial katsayısı sıfırdır. (6) eşitliğinde ( σ ) fonksiyonlarıdır [12]: σ 1 ( σ ) t Γ gaa Γ = t e dt (7) Çalışa [1] da (5) eşitliği (4) de yerine yazılarak genelleştiriliş BG fonksiyonları için aşağıdaki gibi basit yapıda forül elde ediliştir; J ( i θ T) N i γ + 1, ( + 1) F + 1 i = ( i + 1) = li 1 2 (8) θ N i Burada N, toplaın üst liitidir. γ ( α, x), Taalanaış Gaa Fonksiyonlarıdır; x t x t e dt α 1 (, ) γ α = (9) Literatürde genelleştiriliş BG fonksiyonun hesaplaası için etkili etotlardan biri =5 için eutsch (1987) tarafından veriliştir [7]; J5 = 12ζ 5 N N k = li exp ky y + 5 y k + 2 y k + 6 y k + 12 y k + 12 k (1) Burada y θ T = ve ( x) ζ ise aşağıdaki gibi tanılanan Rieann zeta fonksiyonudur [7]; ζ ( x) li N Sonuçta özdirenç için genel ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz; x = k (11) N k= 1 ρ( T) = ρ+ ( 1) ρθ J (12) Burada ρ artık direnç, ρ ise özdirencin sıcaklık katsayısıdır [1]. 56

4 M. Karakaya, İ. Askeroğlu 3. Bulgular Çalışaızda Eşitlik (12) kullanılarak, kalayın elektriksel özdirençlerinin sıcaklıkla 1 değişi grafiği, θ =125K, ρ = 1,99 µ Ω ck, ρ = 11, µω c değerlerinde [13] hesaplanıştır. =3 alınarak kalayın sıcaklığa bağlı elektriksel özdirenç ( ρ ( T )) değerleri Tablo 1 de veriliştir. Ayrıca kalay için sıcaklığa bağlı olarak elektriksel özdirenç değişesi Şekil 1 de görülektedir. Tablo 1. Kalay için BG forülüne göre ρ ( T ) hesaplaa sonuçları Sıcaklık (K) =3 için ρ ( T ) ( µω c) 4,2, , , , , , , , , , , , , , , , , , Elektriksel Özdirenç T (K) =3 Şekil 1. Kalayın elektriksel özdirenç ( ρ ( µω c) ) değerlerinin sıcaklıkla değişii Yine Sn-katkılı sayda indiyu oksit tabakalarının elektriksel özdirençlerinin sıcaklığa 1 göre değişi grafiği, paraetrelerin θ =984 K, ρ =,4669 µ Ω ck, ρ =

5 SU Journal of Science (E-Journal), 213, 8 (1): µωc değerlerinde [14], eşitlik (12) kullanılarak çiziliştir. Tablo 2 de ise =3, 4, 5 tasayı değerleri için ρ ( T ) özdirencinin hesaplana sonuçları veriliştir. Tablo 2. Sn-katkılı indiyu oksit için Eşitlik (12) nin kullanıı ile ρ ( T ) Sıcaklık (K) =3 için ρ T ( µω c) =4 için ρ T ( µω c) hesaplaa sonuçları =5 için ρ T ( µω c) 1 168,69 168, 168, 5 168, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Elektriksel Özdirenç =3 =4 = T (K) Şekil 2. Sn-katkılı indiyu oksit için sıcaklıkla değişen elektriksel özdirenç ( ρ ( µω c) ) 4. Tartışa ve Sonuç Çalışaızda, binoial açılı teoreini kullanarak genelleştiriliş Bloch-Gruneisen fonksiyonu için çalışa [1] da verilen analitik forüller kullanılarak kalay ve Snkatkılı indiyu oksit tabakasının özdirencinin sıcaklığa göre değişii inceleniştir. Matheatica progralaa dilinde progra oluşturuluş ve kalay, indiyu oksit kristallerinin özdirençlerinin farklı sıcaklıklar için hesaplaa sonuçları Tablo 1 ve 2 de veriliştir. = 3,4,5 tasayı değerlerinde Tablo 2 de Sn-katkılı indiyu oksit için, 3 K derecesine kadar, Tablo 1 de ise kalay için (12) forülünün hesaplaa sonuçlarına ρ T özdirencinin sıcaklığa göre değişii, uygulanan yer veriliştir. Şekil 1 ve 2 de yöntein doğruluğunu gösterektedir. Karaargin ve ark. (1972) tarafından yapılan çalışada, saf kalay nuuneleri için 1 K nin üstündeki her derecede elektriksel 58

6 M. Karakaya, İ. Askeroğlu özdirenç değeri baskın kalaktadır [13]. Tablo 1 ve Şekil 1 de görüldüğü gibi kalay için BG forülüne göre ρ ( T ) hesaplaalarıızda da benzer yoru yapılabilir. Sonuç olarak nin tasayı değerleri ile katıların özdirencinin hesaplanası için bu çalışada uygulanan algoritanın yararlı bir yönte olabileceği görülüştür. Kaynaklar [1] Gruneisen E., The Teperature ependence of the Electrical Resistance of Pure Metals, Annalen der Physik (Leipzig), 16: 53. [2] Pinski F.J., Allen P.B., Butler W.H., Calculated electrical and theral resistivities of Nb and Pd, Physical Review, B23(1): [3] Igasaki Y., Mitsuhashi H., 198. The effects of substrate bias on the structural and electrical properties of TiN fils prepared by reactive r.f. sputtering, Thin Solid Fils, 7(1): [4] Igasaki Y., Mitsuhashi H., Origin of negative teperature coefficient of resistivity in polycrystalline Ti N fils, Journal of Applied Physics, 54(2): [5] Igasaki Y., Mitsuhashi H., Polynoial expression of the bloch-grüneisen integral - application to an analysis of the resistivity-teperature variation of etals, Physica Status Solidi A, 99(2): K111-K115. [6] White G.K., Woods S.B., Electrical and Theral Resistivity of the Transition Eleents at Low Teperatures, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 251(995): [7] eutsch M., An accurate analytic representation for the Bloch-Gruneisen integral, Journal of Physics A, 2(13): L811. [8] Cvijovic., 211. The Bloch Gruneisen Function of arbitrary order and its series representations, Theoretical and Matheatical Physics, 166(1): [9] Kaalakar M.V, Raychaudhuri A.K, 212. Modification in electrical transport with a change in geoetry fro a nanowire to a nanotube of copper: effect of the extra surface, New Journal of Physics, 14(212), 4332: 13pp. [1] Maedov B.A., Askerov I.M., 27. A new algorith for accurate evaluation of the generalized Bloch Gruneisen function and its applications to MgB2 superconductor, Physics Letters A, 362: [11] Guseinov I.I., Maedov B.A., 22. Evaluation of overlap integrals with integer and noninteger n Slater-type orbitals using auxiliary functions, Journal of Molecular Modeling, 8: [12] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M., 27. Tables of Integrals, Series and Products, Acadeic Press, New York, p [13] Karaargin M.C., Reynolds C.A., Lipschultz F.P., Kleens P.G., Theral and Electrical Conductivity of Pure Tin fro 4.5 to 77 K, Physical Review B, 5(8): [14] Li Z.Q., Lin J.J., 24. Electrical resistivities and theropowers of transparent Sn-doped indiu oxide fils, Journal of Applied Physics, 96(1): İskender Askeroğlu e-posta: iskender.askeroglu@gop.edu.tr 59