SANAL RASGELELĐK. Sanal sözcüğü ile ilgili olarak Güncel Türkçe Sözlük, ve Wikipedia Ansiklopedisi,

Transkript

1 SANAL RASGELELĐK Rasgeleli sözcüğü Đstatisti Bilim Dalında bir temel avram olup, fizisel, biyoloji, sosyal, eonomi, olgular (nesneler, olaylar, fenomenler) ile ilgili meansal, anlı veya zaman içindei gelişigüzelliği dile getirmetedir. Sanal rasgeleli nedir? Đngilizcedei pseudo-randomness avramının Türçedei arşılığı olan sözde rasgeleli yerine sanal rasgeleli de denebilir. Hele, işin içinde bilgisayar da varsa imse yadırgamaz. Sanal sözcüğü zamanımızım gözde sözcülerinden birisi omala birlite, anlam çerçevesi henüz tam olara belli olmayan bir sözcütür. Sanal dünya, sanal alem, sanal ütüphane, sanal lig, sanal ahve, sanal şiret, sanal maret, sanal bilgisayar, sanal tv, sanal dersane, sanal urs, sanal hastane, sanal fotograf, sanal olonosopi, sanalia,... ve daha neler neler (internete baıverin). Sanal sözcüğü ile ilgili olara Güncel Türçe Sözlü, sanal sf.. Gerçete yeri olmayıp zihinde tasarlanan, mevhum, farazi, tahminî. 2. mat. Negatif bir sayı üzerinde alınan ve iinci uvvetten bir ö taşıyan cebirsel anlatım. ve Wiipedia Ansilopedisi, Sanal gerçeli (Virtual reality), bilgisayarlar tarafından simüle edilen ortamlara denir. Çoğu sanal gerçeli ortamı bir bilgisayar eranı yoluyla edinilen görsel tecrübelerden ibarettir. Bunun yanında bazı ortamlar duyma, hareet gibi başa duyulardan da yararlanır. diyor. Wiipedia Ansilopedisinde yer alan açılamaya uygun düşen bazı örneler aşağıdadır.

2 Lab Medya, Yıl:2, Sayı:8, Kasım-Aralı, 20 TÜBĐTAK, 43. Ortaöğretim Öğrencileri Arası Araştırma Projeleri Anara Bölge Yarışması, Anara Üniversitesi, 202, Anara. (Tanıtım itapçığı, sayfa 7) TÜBĐTAK, 43. Ortaöğretim Öğrencileri Arası Araştırma Projeleri Anara Bölge Yarışması, Anara Üniversitesi, 202, Anara. (Tanıtım itapçığı, sayfa 7)

3 Bilgisayarlarda oynanan sanal oyunların çoğu sabit urgulu değildir, rasgele urguludur. Üsteli, sanal oyunda, sanal rasgeleli. Bu iincisi Đstatistiğin onusuna girer. Doğadaine benzeyen bir rasgeleli bilgisayarlarda nasıl gerçeleştirilmetedir? Bir zar bilgisayarda nasır atılır? Aşağıdai atılışlar nasıl yapılmıştır? RANDOM.ORG - True Random Number Service R-yazılımı library(teachingdemos) plot.dice(dice(0,)) Rasgeleli avramının gerçe (fizisel) dünya ile ilgili bir avram olduğunu yeniden hatırlatalım. Fizisel rasgeleliği basit bir örnele açılamaya çalışalım. Ondalı sayı sistemindei 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 raamlarını göz önüne alalım. Birisi, bir alem alıp bir raam yazdıtan sonra: Rasgele bir raam yazdım demiş olsun. Başa birisi de, üzerlerinde 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 raamları yazılı 0 tane tenis topu bulunduran bir torbadan bir top çeip, gelen raamı yazdıtan sonra: Rasgele bir raam yazdım demiş olsun. Yazılan ii raam arasında rasgeleli açısından bir far olabilir mi? Raam yazma işi 00 ez aynı şeilde terarlansa ne olur? Kalemi alıp afadan yazılan 00 tane raam ile torbadan top çeere yazılan 00 tane raam arasında rasgeleli açısından benzerliler yada farlılılar olabilir mi? Benzerliği yada farı ortaya çıarma için rasgeleli avramının tanımının verilmiş olması gereir. Bu avramın tanımı verilmediğine göre ne yapılabilir? Te

4 söyleyebileceğimiz, her çeilişte 0 tane toptan her birinin torbadan çıma isteğinin (fizisel iste) aynı olabileceğidir. En büyü belirsizli (masimum entropi) denen buna benzer özelliler doğanın esasında bulunmata ve endilerini fizi (termodinami) anunlarında ifade etmetedir. Kısaca, her top eşit olasılı (düzgün dağılan olasılılar) ile torbadan çımatadır. Top çemedei rasgeleli, çıma olasılılarını eşit ılan bir rasgelelitir. Raamlar afadan atıldığında, rasgeleli açısından neler olmatadır? Bilemeyiz. Te söyleyebildiğimiz, öznel (sübjetif) bir şeylere dayalı olara raamların yazıldığıdır. Öznel li canımızı sımatadır. Kafadan yazılan 00 tane raam rasgeleli açısından içimize sığmamatadır. Bu iş, fizisel olara torbadan top çemeye benzememetedir. Torbadan top çeme işleminde endiliğinden fizisel bir rasgeleli, toplarda ayrımcılı yapmayan, topları aynı gören, tarafsız olan bir rasgeleli endini göstermetedir. Torbadan bir topun (raamın) rasgele çıtığını, çıan top torbaya geri atılıp yeniden bir top çeildiğinde bunun da rasgele çıtığını, üsteli aynı şeilde rasgele çıtığını söyleyebiliriz. Torbadan top çeere 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 raamlarından istediğimiz sayıda Rasgele Raam üretebiliriz. Rasgele Raam üretme işini milli piyango idaresinin çeiliş maineleri, 0 yüzlü dengeli bir zar atışı, 0 eşit parçaya bölünmüş bir çemberin merezine bağlı serbestçe dönebilen bir yelovan gibi ço farlı aletler ile fizisel olara yapabiliriz. Rasgele Raamlar Tablosu (RRT) tarihte il olara 927 yılında Trippett tarafından hazırlanmıştır. Trippett 4600 raam içeren 26 sayfalı Random Sampling Numbers isimli bir itap yayınlamıştır.

5 Alıntı: (Rao, C.R., (989), sayfa 29) Trippett, Britanya nüfus sayımı sonuçlarından bölgeler alıp, il ii ve son ii raamı attıtan sonra geriye alan sayıları arıştırara ara araya dizditen sonra raamları dörtlü sütunlar haline getirmiştir. Bu itap, teni itaplar arasında en ço satan itap olmuştur. Fisher ve Yates, 20 raamlı logaritma tablolarının 5-9 uncu raamlarını alara 5000 raamlı bir RRT yapmışlardır (Rao,989). Daha sonrai yıllarda rasgele raamların üretilmesi, yayınlanıp satılması ticari bir mal haline gelmiştir. Olasılı ve Đstatisti itaplarının elerinde, bir ço tablo gibi RRT tabloları yer almatadır, daha doğrusu almata idi. Bilgisayarların yaygınlaşması ile bu tablolar, matematitei trigonometri ve logaritma tabloları gibi zamanla ortadan altı. Hesap mainaları, bilgisayarlar, cep telefonları ile rasgele sayılar üretilebilir.

6 [0,] aralığındai reel sayıların ondalı açılımları göz önüne alınırsa ve 0,,2,...,9 raamlarından rasgele raam üretilmesi problemi çözülürse, [0,] aralığındai sayılardan birinin rasgele üretilmesi sorunu da çözülebilece gibi görünmetedir. Anca, [0,] aralığındai reel sayılar ile bunların ondalı açılımları arasındai bire-bir eşlemeye diat edilirse, örneğin π 0, , 3 0,50 3 = =, 2 =, 0= 0, 0, = 0, 9, 3 =, olma üzere 0,,2,...,9 raamlarının rasgele üretilmesi ile bir sayı elde etme için sonsuz tane raam üretme gereecetir. Bunun prati olara gerçeleştirilmesi mümün değildir. Anca, ondalı açılımın sonlu bir ısmı ile yetinirse, prati açıdan ihtiyacımızı arşılayaca şeilde [0,] aralığından rasgele sayı çeme için bir yönteme sahip oluruz. Ölçme (gözlem) yoluyla gelen sayıların da ondalı açılımları hassasiyet derecesi ile sınırlıdır. Yuarıdai Trippett tablosunun son ii sütununu ullanara seiz ondalılı 5 tane sayı üretelim Sadece bir tanesi 0.5 ten üçü çıtı. Ne dersiniz? Devam edelim mi? Rasgeleli bu, 0.5 ten üçü sayı gelmedi. Henüz tabloya göz atmadıysanız, ne dersiniz, 0.5 ten üçü sayı gelir mi? Devam edelim mi?

7 5 taneden 0 tanesi 0.5 ten üçü geldi. Tümünde 25 taneden tanesi 0.5 ten üçü. Şimdi bu sayıların il ondalı basamağındai raamlara baalım raamı dışında, rasgeleli ile ilgili şüphe uyandıraca bir şey göze çarpmamatadır. Rasgele üretilen 25 raamdan 5 tanesi, yani %20 si 9 gelmiş. Belentimiz %0. Ne diyeceğiz? Düzgün bir paranın atılması deneyinde, yazı gözlendiğinde 0, tura gözlendiğinde raamları yazılsın. Parayı atara 0, raamlarından oluşan belli uzunlulu rasgele diziler elde edilebilir. Böyle bir dizinin elemanları 2-li sayma sisteminde, tam ısmı sıfır olan bir sayının virgülden sonrai basamalarını oluştursun. Bu sayı 0-lu sayma sistemine çevrilsin. Böylece para atışı ile de [0,] aralığında sayı üretilebilir. Elimizde 0, raamlarından oluşan Rasgele Raamlar Tablosu bulunursa [0,] aralığından rasgele sayı üretebiliriz. C.R.Rao, Hindistanda ortalama olara her saniye bir çocoğun doğduğunu belirtere, cinsiyetlerinin gözlenmesiyle maliyeti ucuz ve rasgeleliğine güvenilir tabloların olşturulabileceğini şaa yoluyla söylemetedir (Rao,989). Alıntı: (Rao, C.R., (989), sayfa 30)

8 Rao nun tablosunda ız çocuğunu, ere çocuğunu 0 ile odlarsa il ii satır, olur. Satır boyunca beş raam ullanara 2-li sayma sisteminde, = = = = = = = = = = olma üzere, sayılarına, [0,] aralığından rasgele üretilmiş sayılar olara baabiliriz. Bu sayılara, [0,] aralığındai düzgün dağılımdan gözlenen sayılar, hattâ [0,] aralığından alınan 0 birimli bir örne olara baabiliriz. Süreli bir dağılımda aynı ii değerin gözlenmesi olasılığı sıfırdır. Buradai değeri ii defa gözlenmiştir. Bu, sadece beş raam ullanılmasından aynalanmatadır. Esasında, = = (0.000) 2 olup, (0.000) 2 sayısınının bir ez bile gözlenmesi olasılığı sıfırdır. Đşin bu ısmını, şimdili bir tarafa bıraalım. Sonlu sayıda raam ullanıp, ço fazla hassas olunamıyacağını belirtip geçelim.

9 Her hangi bir fizisel rasgeleli ullanmadan (0,) aralığından rasgele sayılar, daha doğrusu sözde rasgele sayılar üretme için değişi yöntemler düşünülmüş ve üreteçler oluşturulmuştur. Bu yöntemlerin çoğu, belli bir sayıdan ( u ) başlayıp belli bir dönüşüm uralına göre ardışı olara, u = g( u ) = 2 = = u g( u ) g( g( u )) g ( u ) u = g( u n ) = g ( u ) n n dizisini üretmetir. Kesin bir urala göre elde edilen böyle sayılara Sözde Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) denir. Rasgele sayı ihtiyacını arşılama açısından baıldığında, sözde rasgele sayıların fizisel yollardan elde edilen rasgele sayılardan aşağı tarafı olmadığı söylenebilir. Ayrıca olaylı, hız ve masraf açısından baıldığında, sözde rasgele sayılar fizisel yollardan elde edilen rasgele sayılardan önde gelir. Sayı üreteçleri arasında en yaygın olanları Lineer Kongrüans Üreteçler dir. Kongrüans hesap orta oulda gördüğümüz modüler hesap veya saat aritmetiği dediğimiz ve bir doğal sayıya, belli bir bölene (modüle) göre alanını arşılı getiren bir işlemdir. Lineer ongrüans üreteçler: m ( m > 0) bir doğal sayı olma üzere, X {,2,..., m } başlangıç değerini seçip, X i+ = ax i + c ( mod m) algoritmasına göre X X,,... sayılarını ve bu sayılar yardımıyla,, 2 X 3 u= X / m, u = X / m, u = X / m,... (0,) sayılarını üretmetedir. Esi yıllarda, IBM bilgisayarlarında a = 6807 veya a = , c=0, m = 2 3 değerleri alınmıştır. UNIVAC 08 serisinde m = ve a = 5 alınmıştır. Bu üretecin devir uzunluğu, yani ongrüans hesabında ortaya çıan bir alanın terarlanması için 33 atılan adım sayısı 2 dır.

10 Lineer ongrüans üreteçlerin genel biçimi, X = (mod m), i = +, + 2, + 3,... a X i j i j j= olup, -adım gecimeli böyle bir üretecin devir uzunluğu a a,..., a, 2 ve m sayılarına bağlıdır. Üretecin m devirli olması için gere ve yeter şart a 0 ve üretecin f ( x) arateristi polinomunun, 2 = x a x a2 x... a x a 2 r Fm [ x] = { f ( x) : f ( x) = c0 + cx + c2 x cr x, r {0,,2,...}} Galois cismi üzerinde ilel polinom olmasıdır. Devir uzunluğunun m olması X X,,... dizisindei ardışı sayıların oluşturduğu, 2 X 3 ayrı ve farlı sıralı p-lilerin sayısının m olmasıdır. Bunların arasında (0,0,...,0) sıralı p-lisi bulunmamatadır. Bu üreteçlerde başlangıç olara X, X,..., X ) sıralı -lısında en az bir X j, j =,2,..., ( 2 sıfırdan farlı olmalıdır. Lineer Kongrüans Üreteçler veya başa üreteçler ile üretilen sayıların (0,) aralığındai U(0,) düzgün dağılımdan alınan örne gibi olmaları istenir. Üretilen, u= X / m, u = X / m, u = X / m,..., u = X / m (0,) sayılarının, her biri U(0,) dağılımlı ve bağımsız U U U U rasgele değişenlerinin (örneleminin) gözlenen,,,..., n 2 3 değerleri gibi olmaları istenir. U(0,) düzgün dağılımdan üretilen sayılar ullanılara değişi yöntemler ile diğer olasılı dağılımlarından sayılar üretilebilmetedir, başa bir ifade ile sözde örne veya sanal örne alınabilmetedir. U U(0,) olma üzere, X= int(6 U ) + rasgele değilşeninin olasılı fonsiyonu, f ( x) =, x=,2,3,4,5,6 6 oup, bu dağılım,2,3,4,5,6 sayıları üzerinde bir düzgün dağılımdır. Bu dağılım, düzgün bir zarın atılması ve gelen nota sayısının gözlenmesi deneyini anlatan (modelleyen) dağılımdır. U(0,) dağılımından U sözde rasgele sayısını üretip X= int(6 U ) + n n

11 işlemi sonucu bir zar atışı yapmış oluruz, zar atışı yaptığımızı sanabiliriz. 3 ( ) X i+ = 6807 Xi mod 2 üreteci ile düzgün bir zarın on ez atılması deneyi sanal olara Matlab yazılımında aşağıdai gibi yapılmış oldu. >> fix(6*rand(,0))+ ans = Zar atışında olduğu gibi, sözde rasgele sayılar ullanara sanal deneyler, başa bir ifade ile deneylerin benzetimini (simülasyonunu) yapabiliriz. Monte Karlo Deneyleri (Monte Carlo Experiments) belli bir amaca yöneli bilgisayarlarda yapılan sanal deneylerdir diyebiliriz. Kesin matematisel formüllere dayalı olara sayı üreteçleri ile üretilen sayılar esasında rasgele olmayıp, görünüşte rasgeledir. Sayılarda belli bir özelliğin (örüntünün) ortaya çıması rasgeleliğin bozulmasının bir göstergesi olabilir. Örneğin belli bir sayının belli aralılarda terar etmesi böyle bir özellitir. Rasgeleliği bozan bir özelliğin tanımlanmasından sonra, var olup olmadığını ortaya çıaran bir test geliştirilebilir. Bu şeilde ço sayıda test geliştirilmiştir. Bunlara genel olara, rasgeleli testleri denmetedir. Uzun yıllar bilgisayarlarda ullanımda olan bazı rasgele sayı üreteçleri, sonrai yıllarda yapılan istatisti testlerinde başarılı olamamıştır. Rasgele sayı üretiminin endi başına bir araştırma sahası olduğunu belirtelim. Rasgeleli Testelerinde buluşma dileğiyle Kaynalar: Bratley, P. B., Fox, L. and Schrage, L.E. (983), A Quide to Simulation, Springer-Verlag. Gentle, J.E. (2003) Random Number Generation and Monte Carlo Methods, Springer. Lab Medya, Laboratuvar ve Sağlı Gazetesi, Yıl:2, Sayı:8, Kasım-Aralı, 20 Öztür, F. ve Özbe,L., (2004), Matematisel Modelleme ve Simülasyon, Gazi Kitabevi. Rao, C.R., (989), Statistics and Truth: Putting Chance to Wor, International Cooperative Publishing House, Maryland. TÜBĐTAK, 43. Ortaöğretim Öğrencileri Arası Araştırma Projeleri Anara Bölge Yarışması, Anara Üniversitesi, 202, Anara.