HBM512 Bilimsel Hesaplama II Dönem Projesi

Transkript

1 HBM5 Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı (Modeling Metods in CAD/CAM Sstems: Béier nd Spline Crves nd Teir Appliction in Mnfctring Hırln: Hmdi Ndir Trl 76 Hesplmlı Bilim ve Müendislik

2 . Öet Bilgisrlrın ılı gelişimi irçok ilim ve müendislik lnınd kollıklr getirmee şlmıştır. B kollıklrın ilki, ılı işlem pilme eteneğidir. Bnn nınd rtn depolm kpsiteleri oğn veri giriş ve çıkışlı sistemlerin ilgisrlr üerinde incelenmesine olnk tnımıştır. B gelişmeler sonc, doğdki sistemlerin gerçeğe d kın ir içimde enetim(simltion modelleri krlilmekte, d sss ve gerçekle mtık esplr pılilmektedir. B gelişmelerden en çok etkilenen ln tiî ki İmlt Sektörü dür. Öellikle nlog ilgisrlrdn dijitl ilgisrlr geçişten sonr geometrik modelleme sistemleri ve sısl kontrollü tegâlrd üük ilerlemeler kdedilmiştir. Yoğn görselleştirme işlemleri GKS, PHIGS ve OpenGL gii stndrt kütüpneler sesinde donnım seviesinde çöülerek çok d verimli grfik tsrım ortmlrı/ılımlrı geliştirilmiştir. Bnn nınd, sısl kontrolün ilgisrlr rdımıl gerçekleştirilmesi, imlt ve otomson sistemlerinin gerçek mnlı, sss ve üksek doğrlkt işlem pmlrın ortm ırlmıştır. B çlışmd Bilgisr Destekli Tsrım (CAD-Compter Aided Design ve Bilgisr Destekli İmlt (CAM-Compter Aided Mnfctring ortmlrınd kllnıln tsrım öntemleri incelenecektir. Bilgisr Destekli Tsrım d en çok kllnıln geometrik modelleme öntemleri oln Béier ve Tiri Eğrileri ele lıncktır. Kllnıln öntemlerin mtemtiksel ifdeleri çıkrılrk öntemlerin iririne göre üstünlükleri-ıf noktlrı incelenecektir. Bilgisr Destekli İmlt sistemlerinde kllnıln interpolson öntemlerine genel ir kış pılcktır. Doğrsl ve Diresel interpolson kllnn tegâlrın işleme sssietleri ve pıln klşım tlrı incelenecektir. İnterpolsond pıln tlrın ltılmsı ve sssietin rtırılmsı için ı öntemler önerilecektir.. Giriş Bilgisr grfikleri ve geometrik modelleme, müendislik tsrımınd temel ir rol onr. Kesinleşmiş ir knıdır ki, ilgisrlr veri depolm ve sısl işlem pm kımındn günümüün vgeçilme rçlrıdır. Bilgisr destekli modelleme ise ir tsrım kkınd müendisin düşünme kilietine güç ktr. Çünkü tsrımın şlngıç sfsınd gerekli prçlrın erlerine konlmsı, eksiklerin nlşılmsı, mslklrın giderilmesi nnl mümkündür. Mimrlık ve müendislik lnlrınd ilgisr grfikleri, öellikle tsrım ve gerçekleştirme şmsınd mn kndırn ir fktör olrk ort çıkmıştır. Neredese tüm ürünler, ilgisr üerinde pıln modellemelerin neticesinde denli mükemmel gerçekleştirileilior. BDT (Bilgisr Destekli Tsrım - Compter Aided

3 Design öntemile olc çklrı, tşıt rçlrı, ilgisrlr ve er türlü sni ürünü d ılı ve kol tsrlnilior [6]. Bilgisr grfikleri, tsrlnn ir prçnın ütünüle tnımlnrk ir BDT (Bilgisr Destekli Tsrım sisteminde sklnmsını sğlr. B işlem, nesnelerin olştrlmsınd em görsel em de prç it nicel değerlerin sklnmsını içine lır []. Geometrik modelleme ir nesnenin mtemtiksel ve krmsl ilişkilerini tnımlr ve geometrinin verimli ir şekilde ilgisrd görselleştirilmesine odklnır. İşte noktd nesnelerin ilgisrd nsıl ifde edileceği meselesi krşımı çıkr. B kon kkınd çlışmlr 96 lı ıllrd şlmıştır []. Günümüe kdr irçok öntem geliştirilerek, BDT pketlerinde d verimli ve gerçekçi olrk geometrik şekillerin gösterilmesine çlışılmıştır. Günümüde Béier Eğrileri, Spline, B-Spline, T- Spline ve en sonnd NURBS gii modelleme, eğri drm/interpolson öntemleri BDT progrmlrının kllndığı vgeçilme mtemtik modeller olmştr. B öntemlerin kllnılmsının temel mcı serest şekil verilmiş üelerin (free form srfce rtç ifde edileilmesidir. Öellikle çk ve otomotiv sektöründe sıkç lnn serest şekil verilmiş üeler nedenile öncelikle iki sektörde çlışn müendisler proleme çöüm rmışlr. İlk def 959 de Citroën de çlışn Pl de Cstelj ve n tkip eden 967 de Coon ve 97 de Renlt d çlışn Pierre Béier serest şekil verilmiş üelerin mtemtiksel olrk ifde edilmesine çlışmışlrdır [7]. 97 te Reisenfield erel kontrolü d ii oln B-Spline eğrilerini ort sürmüştür []. En son olrk NURBS (Non-Uniform Rtionl B-Spline eğrileri/üeleri geliştirilerek günümü BDT sistemlerinin temel rüü line gelmiştir. Son ıllrd neredese ütün BDT ılımlrı NURBS eğrilerini stndrt modelleme irimi olrk kllnmktdır []. Günümü imlt sektörünün temel tşı oln BSK (Bilgisr Sısl Kontrol - Compter Nmericl Control tegâlrı, gelişen ilgisr teknolojisinin de rdımıl BDT ılımlrınd tsrlnn prçlrın imltını üksek sssiette ve ılı olrk pilmektedir. Sısl kontrollü tegâlrd prçlrın işlenmesi için önce ir CAD modelinin ilgisrd tsrlnmsı, d sonr modelin ir CAM progrmın ktrılıp gerekli rıklştırm işlemlerine ti ttlrk geometrinin işleme sssieti ölçüsünde küçük doğr prçcıklrı şeklinde Kesici Tkım Yol (Ctter Tool Pt olştrlr. Olştrln kesici ol CNC kodlrın çevrilir. D sonr kodlr CNC tegâın üklenerek prçnın işlenmesi gerçekleştirilir. Aşğıd şmlrı gösteren ir lok digrm verilmiştir.

4 CAD Geometrisi (Spline, Béier, NURBS Eğrileri Geometri Arıklştırm (Doğr Prçlrı CAM Kodlrı (G,M,S,T Prç İşleme CAD Yılımı CAM Yılımı CNC Tegâ Şekil. Prç İmltı Akış Digrmı Günümüde kllnıln konvnsionel sısl kontrollü tegâlr doğrsl(g ve diresel(g-g interpolson desteklemektedir. B nedenle, sss ir işleme tolernsı gerektiğinde CAD modelinden olştrln rıklştırılmış (doğrsl interpolsonl CAM modeli inlerce doğr prçsın sip olilior. Tiî ki nn neticesinde olştrln CNC kodlrı d inlerce stır lşilior. Şekil de ir geometrinin frklı tolernslrd doğrlr olrk rıklştırılmsını görüor. Şekil. Bir eğrinin elirli ir tolernst doğrsl interpolson ve d sss olrk interpolson Şekil. Bir eğrinin elirli ir tolernst diresel(circlr interpolson Brd tolernsın d sss olmsı drmnd konvnsionel klşımd krşımı çıkn prolemler şöle öetleneilir []:

5 Hsss tolernslr, d kıs doğr prçcıklrının olşmsını ve soncnd CNC tegâ ktrıln veri otnn üümesine neden olr. Yüksek Hılı İşleme (Hig Speed Mcining sırsınd verilerin ktrım ıı etersi klilir(doğrdn Sısl Kontrol sistemleri için Direct Nmericl Control. Doğr prçcıklrının irleşme noktlrınd ı süreksilikleri ve ilerleme çlkntılrı (Feedrte Flcttions olşr. İvme süreksilikleri ve sıçrmlr (jerks, Yüksek Hıd İşleme sırsınd titreşim prolemi rtilir ve işleme sssietini düşüreilir. B prolemler gö önüne lındığınd konvnsionel klşımın Hılı ve Hsss işleme çısındn çok ii irdelenmesi gerektiği nlşılmktdır. Bir şekilde, elirli ir sssietin ltın düşmeen, ılı işlemee gn ve veri ot küçültülmüş ir klşımın ort konlmsı gerekmektedir. Günümüde ı teg üreticileri prolemleri şmk için eni interpolson lgoritmlrını donnım seviesinde (rdwre level ort kom şlmışlrdır. Bnlrdn GE Fnc ve SIEMENS, NURBS interpolsonn destekleen tegâlrı ort sürmüşlerdir. Bölece çok ileri ir nokt vrılmıştır. Çünkü NURBS interpolsonn destekleen ir tegâ, eğer işlenecek prç NURBS ile geometrik modelleme pılmış ise doğrdn CAD verisini erngi ir rıklştırm işlemine ti ttmdn kıpsı olrk işleeilmektedir. Anck tegâlrın fitlrı genel ir kllnıcı/imltçı için temin edileilir otlrd değildir. B drmd elimide oln konvnsionel tegâlrd işi nsıl d ii pileceğimii rştırmk gereklidir. Brd geometrik modelleme öntemlerinden sedilecek ve konvnsionel tegâlrd sss ve ılı işleme için ort ir çöüm önerisi snlcktır. İleriki ölümler konlrı itiv etmektedir.. Geometrik Modelleme Yöntemleri: Eğriler/Yüeler Geometrik modellemede kllnıln eğriler Doğrlr ve Direler gii sit şekiller olilir. Anck, r, çk, gemi tsrımı gii glmlr çok d krmşık eğrileri itiç dlr. B mçl, Pierre Béier le (Aslınd Cstelj d nı dönemde eğrileri lmştr şln, serest şekil verilmiş üelerin mtemtiksel olrk ifde edilmesi isteği günümüde NURBS eğrilerine kdr nmıştır. Şimdi eğrilerin (free form crves snide en çok kllnılnlrını inceleelim... Béier Eğrileri Béier eğrileri, V,.., V şeklinde sırlı olrk verilen kontrol noktlrı ve ( n kontrol köşelerini kllnrk ir eğri klşımı pr. B noktlr onnrk istenilen şekle i ir nesne olştrlilir. Béier eğrileri, serest şekilli eğrilerin gösterimi oln 4

6 çokterimli fonksionlr dnır []. n. dereceden ir Béier eğrisi, n kontrol noktsı oln şğıdki gii ir prmetrik fonksiondr; Q( t n i V B i i, n( t Brd V i, n kontrol noktsını elirten vektör ve B, ise Bernstein çokterimlileri olrk ilinen Béier geçiş fonksionlrıdır. Brd Bernstein çokterimlileri; n i n i n n! Bi, n( t t t i ( ( t, i i,..., n i!( n i! olrk verilmektedir. B geçiş fonksionlrı şğıdki şrtlrı sğlmktdır, Bütün i değerleri için ( t n B ( t t i i, n B i, n t Brd verilen ikinci şrt Normlleştirme Öelliği olrk ilinir. B şrtlr olştrln eğrinin ir içüke ln içerisinde klmsını sğlr. Brd kontrol noktlrının olştrdğ poligonsl ölge Dışüke Krg/Kk (Conve Hll olrk isimlendirilir. i n Şekil 4. P kontrol noktlrı kllnılrk olştrln Béier Eğrileri Örnek olrk krıdki şekilde verilen Béier eğrisinin geçiş fonksionlrını olştrlım, Q ( t P B P B P B P B,, Geçiş fonksionlrı ise, B B B!!.!,, t ( t ( t!!.!, t ( t t( t, ( t t ( t! t!.!! B, t ( t t!.!, 5

7 Normleştirme öelliğini kontrol edelim, n i Bi, n( t ( t t( t t ( t t Geçiş fonksionlrını genel denklemde erine korsk, ( t P t( t P t ( t Q ( t P P t Brd dikkt edersek, Q( P ve t Q( P t oldğ için Béier eğrileri şlngıç ve itiş noktsındn geçmektedir... Küik Tiri (Cic Spline En genel lde Küik Tiri Çokterimlisi dört det sit sı içermektedir ( P ( c d denklemindeki,, c, d gii. B ie çokterimlinin em tnım rlığı içerisinde em de tnım rlığının ç noktlrınd türevleneilirlik kilietini de d P sğlr (ikinci türevi tnımlı. d Şimdi, [, ] rlığınd < <... < n noktlrınd tnımlı ir f ( fonksionn it küik tirii olştrmk için gerekli oln koşllrı lım [5];. S ( ir küik çokterimli olmk üere j,,..., n için, ] lt rlığınd tnımlı oln çokterimli S j ( olrk gösterilir.. Her ir j,,..., n için S f ( dir. ( j j c. Her ir j,,..., n için S S ( dir. j ( j j j j ( j j j d. Her ir j,,..., n için S S ( dir. e. Her ir j,,..., n için S S ( dir. j ( j j j f. Ve şğıdki sınır koşllrdn irini tşım şrtı ile - S ( S ( (Doğl Tiri n - S f ( ve S f ( (Kenetlenmiş Tiri ( ( n n [ j j Koşllrını sğln eğriler Prçlı Küik Tiri klşımını ifde etmektedir. Brd sistemin çöüm rlığındki prçlı fonksionlrı şğıd verilen doğrsl denklem sisteminin çöülmesi ile elde edilir. j f ( j j ve j j j denklemleri erine konlrk şğıdki denklem tkımı çöülür. Brd tek ilinmeen c j değerleridir. A.. (... n ( n... n. n 6

8 ( ( B. ve ( n n ( n n n n c c. cn c n şeklindeki A. B lineer denklem tkımıdır. Brdn c j sılrı çöülerek önce c j ve sonr d c j ktsılrının esı pılilir. Bn göre, c, d ktsılrının esp dımlrını gösteren ir lok digrm çielim; j j c j d j j j j Bilinenler Hesplnck Değerler Şekil 5. Ktsılrın Hesp Adımlrını Gösteren Blok Digrm Örnek olrk şğıd verilen veriler için küik tiri klşımını gllım ve tiri fonksionlrını olştrlım S ( Tiri denklemleri: S (.-.656*-.99* S ( *-.74*(-.5.98*(-.5 S (.-.76*.789*( *(-.75 S (.5-.66*-.67*(-.5.47*(-.5 4 S ( *-.4*( *(-.5 5 S ( *-.8468*( *( S ( *-.7*( *( S ( *-.6455*( *(-. 8 S ( *-7.849*( *(

9 Şekil 6. Verilen Noktlr ve noktlrdn geçen Küik Tiri 4. CNC Tegâlrd Doğrsl İnterpolson Brd CAD ılımlrınd sık kllnıln modelleme tekniklerini nlttıktn sonr, modellerin nsıl iml edileceği konsn değinilecektir. En genel lde. merteeden eğrilerin doğrsl interpolson kllnrk nsıl d sss ve ılı işleme pılilir sorsn cevp rnck. 4.. Doğrsl İnterpolson Algoritmsı Bir küik eğri en genel lde. merteeden ir çokterimlidir, P ( c d Brd [, ] rlığınd değişen prmetrik sklr değerdir. otl sl eğriler için eğri üerindeki ir noktnın koordintlrı P [,, ] ve,, ], [,, ], c c, c, c ], d d, d, d ] de eğrinin şeklinin (kontrol noktlrı ve [ [ [ türünün (Béier, B-Spline, vs. değiştirilmesi ile elde edilen sitlerdir. Bir eğri üerindeki noktlrın tininde en ılı/verimli klşım, çokterimli ifdesini Horner Gösterimi ile İleri Frk Alm (Forwrd Differencing öntemi kllnılrk elde edilir [9]. n. dereceden ir çokterimli n tne çrpım, n tne toplm işlemi olrk ılilir. n. dereceden ir çokterimli Horner Gösterimi ile ş şekilde ılilir, n n n P (... (n. dereceden çokterimli 8

10 P n ( (...(( n n n... (Horner Gösterimi Şimdi İleri Frk Alm öntemini gllım. Bir çokterimlinin, δ, δ,..., nδ gii eşit rlıklı noktlrd esı istenmiş olsn. Bnn için örnek olrk. dereceden çokterimli llım, P ( B çokterimlinin iririni tkip eden iki nokt rsınd rsk, ( P ( P ( ( ( δ ( δ δ Bölece eşit rlıklı dğılmış noktlrd P ( çokterimlisi şğıdki lgoritm ile esp edileilir, δ P ( Döngü: i den n e kdr Döngü Son P ( i P ( i Yine örnek olrk. dereceden çokterimli llım, P ( B çokterimlinin iririni tkip eden iki nokt rsınd rsk, ( P ( δ P ( ( ( δ ( δ ( ( δ δ δ B drmd lgoritmmı, P ( Döngü: i den n e kdr Döngü Son i δ δ δ P ( i P ( i Brd (. dereceden ir çokterimlidir. B drmd eni ir tnım pılırs, ( δ δ ( ( B denklem de kllnılrk lgoritmmı geliştirilirse, 9

11 P ( δ δ δ Döngü: i den n e kdr P ( i P ( i Döngü Son Son olrk. dereceden ir çokterimli için lgoritmmı, P ( B denklem de kllnılrk lgoritmmı geliştirilirse, P ( δ δ δ δ 6 δ 6δ Döngü: i den n e kdr P ( i P ( i Döngü Son Ykrıd tnımldığımı prmetresi, dn N e kdr değiştirilerek N det eğri prçsını ifde edecek şekilde genelleştirileilir. B genelleştirilmiş form şğıd verilmiştir. [, ] rlığınd değişen prmetresi için sit ir rtım tnımlnırs, i. i,..., N < (:esp dımını elirtmektedir. İleri Frk Alm öntemini kllnılrk P ( çokterimlisinin ifde ettiği eğri üerindeki noktlrın koordintlrını şöle esplnilir, P ( c d P d (

12 c 6 6 Döngü: i den n e kdr P ( i P( i Döngü Son Ylnı rd dikkt edilecek ir ss lnmktdır. Kllnıln lgoritm, ilgisr ritmetiğinden dolı er esp dımınd iriken(cmltive t seep olmktdır.,, terimlerinin esınd er iri için ε gii ir t vrsımı pılırs, tek ir eksen (,, için mksimm t şöle ifde edileilir [], N 6N N R mks ε 6 Sonç olrk, öle lgoritm esp edilen koordintlrın eğrimiin üerinde olmm itimlini doğrr. B prolem er ne kdr kn nokt işlemci (floting point coprocessor ve çokl sss ritmetik (mltiple precision ritmetic kllnılrk çöüleilse de ir eğri prçsınd irken t diğer eğri prçsın ktrılmmlıdır. B çıdn, lgoritm iriken tlrı ir sonrki eğri prçsın tşınmck şekilde kesici tkım eğri prçlrının son noktlrındn geçeceği üere geliştirilirse, P d ( c 6 6 Döngü: i den n- e kdr P ( i P( i Döngü Son P( n c d

13 Eklenen son dım kesici tkımın, ir sonrki eğrinin de şlngıç noktsı oln, son noktdn geçmesi grnti edilmiş olr. Bölece ir eğri prçsınd iriken t ir sonrki eğrie tşınm. Biriktirilen er t kendi eğri prçsı üerinde er lır. 4.. Adım Seçimi Prç işleme tolernslrındn dolı öle ir sistem için esp dımı rsgele olm. CNC kodlrının olştrlmsınd irçok öntem kllnılmktdır. Brd gerçek mnlı (rel-time kod olştrm prolemi ele lınmıştır. B prolemin çöümü çok ılı olrk kodlr olştrlp, tegâ iletilmesini içerir. İki interpolson noktsındki tı ifdesini klşık olrk şğıdki gii ort nokt tsı ile göstereiliri, δ P P( P(, (eğrinin şlngıç ve itiş nokt prmetreleri B ifde eğrinin prmetrik gösteriminde erine konlrk ılırs, δ 8 ( ( ( ( ( ( ( ve rk denklem genelleştirilirse, δ 8 ( ( ( ( ( ( (, :sit esp dımı Şekil 7. Prmetrik Eğri, Kesici Tkım Yol ve İnterpolson Htsı Şimdi tnın ğlı değişimini incelemek mcı ile elde edilen denklemin. ve. türevlerini esp edelim,

14 4 ( ( ( ( ( ( ( ( (( c d d δ ( ( ( ( ( (( ( ( (( 8 d d δ İkinci türev ifdesinden de nlşılcğı üere ( δ fonksion krı doğr önelmiş ir içüke eğri olştrmktdır. B nedenle ], [ için eğrinin şlngıç ve itiş noktsınd δ ir minimm değer lmktdır. İşte minimm değere tekül eden ( değeri iim esp dımımıı elirleecektir. Anck. türevin lndğ denklem 6. dereceden ir denklem olmsı itirile d sit ir formn kllnılmsı önerilmektedir. δ ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( 8 (genelde < oldğ için Brd i denklemden çekersek, ( ( ( ( ( ( δ Eğrinin şlngıç noktsınd, ( ( ( δ Eğrinin itiş noktsınd, (9 (9 (9 ( ( ( ( ( ( > δ δ > oldğ için formül sitleştirileilir, (9 (9 (9 δ Sonç olrk esp dımı için iki tne denklem elde ettik. Htı minimie etmek için esp dımlrındn minimm olnı seçmemi gereklidir. En son lde esp dımı ş li lır, }, min{

15 4.. Örnek Çlışm ve Sonçlr Örnek ir çlışm Küik Tiri eğrisi için verilen örneğin ilk dört prçsı kllnılrk pılmıştır. Önce verilen denklemler prmetrik form dönüştürülmüş d sonr frklı işleme tolernslrı için doğrsl interpolson glnmıştır, S ( Tiri denklemleri: S (.-.656*-.99* S ( *-.74*(-.5.98*(-.5 S (.-.76*.789*( *(-.75 S (.5-.66*-.67*(-.5.47*(-.5 4 ((, ( Prmetrik Denklemleri ( (.5*.-.656*(.5*-.99*(.5*^; *(.5*.5-.74*((.5*.5-.5*.5.5^.98*((.5*.5-.5^.-.76*(.5*t *((.5*t.75-.5*.75.75^-.694*((.5*t ^.5-.66*(.5*.5-.67*((.5*.5-.5*.5.5^.47*((.5*.5-.5^ * verilen eğrilerde nlk irimi mm dir. Frklı işleme tolernsı değerleri için olştrln nokt sılrı ve esp dımlrı, Eğri Tolerns Hesp Adımı ( Nokt Sısı (n S ( S ( S ( S 4( µm µm.6 94 µm µm.7 58 Eğri Tolerns Hesp Adımı ( Nokt Sısı (n S ( S ( S ( S 4( µm.497 µm.6 µm.6 46 µm Eğri Tolerns Hesp Adımı ( Nokt Sısı (n S ( S ( S ( S 4( µm.57 6 µm.6 9 µm.68 5 µm.7 6 4

16 µm işleme tolernsınd olştrln interpolson noktlrı şğıdki grfikte verilmiştir. Eğri prçlrı nlşılilsin die er prçdki interpolson noktlrı frklı gösterime siptir. Şekil 8. Tiri Eğrileri ve Doğrsl İnterpolson Noktlrı Ht dğılımı, Şekil 9. Tiri Eğrileri ve Doğrsl İnterpolson Noktlrı 5

17 5. Sonçlr B çlışmd konvnsionel CNC tegâlrın en üük prolemi oln ılı ve sss işleme konsn değinildi. B prolemin doğrsl interpolson ile nsıl çöüleileceği üerine öneriler getirildi. Adptif esp dımı seçimi elirlenen tolerns değerleri için glndı. B öntemin şrısı d önce kllnıln tek ir esp dımlı öntemlere göre çok üksektir. İnterpolson nokt sılrının lmsı, işlenecek şekle ğlı olrk nı tolerns değerine sip tek esp dımlı öntemlerden çok d ii işleme performnsı sğlmktdır. Aşğıdki tlod tek dımlı ve dptif dımlı öntemler için olştrln interpolson nokt sılrı verilmiştir. Adptif öntemin verimliliği emen göe çrpmktdır. Tek Adımlı Adptif Adımlı Tek Adımlı Adptif Adımlı µm µ m µ m µ m Tolerns Toplm Nokt Sısı (n Sonçlr. dereceden eğrilerin prtik glmlrd ttmin edici ir düede oldğn göstermektedir. Bndn sonr, d üksek merteeden eğrilerin gösterimi, sss ve ılı işlenmesi edef olrk krşımı çıkmktdır. Ek Bilgiler B çlışm 5-7 ıllrı rsınd Stndrt Pomp ve Mkin Sn. Tic. A.Ş. de imlt optimison konsnd pıln çlışmlrın ir kısmını olştrmktdır. Ar-Ge deprtmnı tsrlnn prçlrın ılı prototip üretimi ve denenmesi için kendi CAD ve CAM ılımlrını geliştirme şmsınddır. Geliştirilen öntemin şrısı prtik olrk test edilmektedir. İleriki dönemlerde nnl ilgili olrk ilgi edinmeni mümkündür. 6

18 Knklr. Annd V.B., Compter Grpics nd Geometric Modeling for Engineers, Jon Wile&Sons Inc., 99.. Br B., Xio X., Krisnn K., A rel-time seme of cic prmetric crve interpoltions for CNC sstems, Compters in Indstr (45,.. Brtels R.H., Bett J.C., Brsk B.A., An Introdction to Splines for Use in Compter Grpics nd Geometric Modeling, Morgn Kfmnn, Los Altos, Ber H., Einfürng in die mtemtisce Bescreing von Krven nd Flcen, Alen, Brden R.L., Fires J.D., Nmericl Anlsis, 7 t Ed. Brooks/Cole,. 6. Çetin A., Bilgisr Grfikleri, Seçkin Yıncılık, Ankr,. 7. Frin G., Crves nd Srfces for Compter Aided Geometric Design, rd Ed., Acdemic Press, Boston, Hoscek J., Lsser D., Grndlgen der Geometriscen Dtenverreitng, BG Tener, Stttgrt, Sedererg T.W., Compter Aided Geometric Design, Corse Notes, Brigm Yong Universit, 7.. Y H.T., Lin M.T., Tsi M.S, Rel-time NURBS interpoltion sing FPGA for ig speed motion control, Compter Aided Design (8, 6. 7

19 Ek. Örnek Uglm için Mtl Kod cler,clc; sms t; eros(,; eros(,; ceros(,; deros(,; delt.e-6; (-.5948; c(.5; c( ; d(.; *sqrt(*delt/sqrt((*(*(^(*(*(^(*(*(^; *sqrt(*delt/sqrt((9*(*(^(9*(*(^(9*(*(^; min(, nint6(/ ::; P(:,d; dp^*^**c; dp6*^**^*; dp6*^*; for i:n- P(:,iP(:,idP; dpdpdp; dpdpdp; end P(:,ncd;.5*t;.-.656*(.5*t-.99*(.5*t^; figre plot(p(,:,p(,:,'*-r'; old on eplot(,,[,] old off; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cler P; delt.e-6; eros(,; eros(,; ceros(,; deros(,; (.74765; (-.475; c(.5; c(-.547; d(.5; d(.85; *sqrt(*delt/sqrt((*(*(^(*(*(^(*(*(^; *sqrt(*delt/sqrt((9*(*(^(9*(*(^(9*(*(^; min(, nint6(/ ::; P(:,d; dp^*^**c; dp6*^**^*; dp6*^*; for i:n- P(:,iP(:,idP; dpdpdp; dpdpdp; 8

20 end P(:,ncd;.5*t.5; *(.5*t.5-.74*((.5*t.5-.5^.98*((.5*t.5-.5^; old on plot(p(,:,p(,:,'o-r'; old off; old on eplot(,,[,] old off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cler P; delt.e-6; eros(,; eros(,; ceros(,; deros(,; (-.675; (.95; c(.5; c(-.8855; d(.75; d( ; *sqrt(*delt/sqrt((*(*(^(*(*(^(*(*(^; *sqrt(*delt/sqrt((9*(*(^(9*(*(^(9*(*(^; min(, nint6(/ ::; P(:,d; dp^*^**c; dp6*^**^*; dp6*^*; for i:n- P(:,iP(:,idP; dpdpdp; dpdpdp; end P(:,ncd;.5*t.75;.-.76*(.5*t *((.5*t ^-.694*((.5*t ^; old on plot(p(,:,p(,:,'-r'; old off; old on eplot(,,[,] old off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cler P; delt.e-6; eros(,; eros(,; ceros(,; deros(,; (.54687e-4; ( e-; c(.5; c( e-; d(.5; d( ; 9

21 *sqrt(*delt/sqrt((*(*(^(*(*(^(*(*(^; *sqrt(*delt/sqrt((9*(*(^(9*(*(^(9*(*(^; min(, nint6(/ ::; P(:,d; dp^*^**c; dp6*^**^*; dp6*^*; for i:n- P(:,iP(:,idP; dpdpdp; dpdpdp; end P(:,ncd; (.5*t.5;.5-.66*(.5*t.5-.67*((.5*t.5-.5^.47*((.5*t.5-.5^; %figre old on plot(p(,:,p(,:,'.-r'; old off; old on eplot(,,[,] old off legend('dogrsl Int.','Gercek Sekil' title('kik Tiri Egrisini Prc Prc Dogrsl Interpolson' grid on is([.5.4], set(gc,'xtick',[:.5:.5] is norml