STEWART PLATFORMU TASARIMI. YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Burak ULAġ

Transkript

1 ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ STEWART PLATFORMU TASARIMI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Burak ULAġ Anabilim Dalı : Makina Mühendisliği Programı : Sistem Dinamiği ve Kontrol HAZĠRAN 29

2

3 ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ STEWART PLATFORMU TASARIMI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Burak ULAġ (536162) Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 4 Mayıs 29 Tezin Savunulduğu Tarih : 8 Haziran 29 Tez DanıĢmanı : Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız BAYRAKTAROĞLU Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ata MUĞAN (ĠTÜ) Prof. Dr. Ġbrahim ÖZKOL (ĠTÜ) HAZĠRAN 29

4

5 ÖNSÖZ Öncelikle bu tez çalışması ile ilk defa adım attığım robotik konusunda yol gösteren danışmanım Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız Bayraktaroğlu na sabrı ve hoşgörüsü için teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca tez çalışmam konusunda bana fikir veren Yük.Müh. Murat Karadeniz e ve kullanmış olduğum eyleyicinin teminini sağlayan Bias Mühendislik A.Ş. ye teşekkürü bir borç bilirim. Mayıs 29 Burak ULAŞ iii

6 iv

7 ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÇĠZELGE LĠSTESĠ... vii ġekġl LĠSTESĠ... ix SEMBOL LĠSTESĠ... xi 1. GĠRĠġ Temel Kavramlar Seri Manipülatörler Paralel Manipülatörler Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri KĠNEMATĠK Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği Stewart Platform Mekanizmasının İleri Kinematiği Analitik Yöntem Tekrarlamalı Sayısal Yöntem Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı Tekillik Tekillik Endeksi Statik Analizde Temel Bağıntılar Statik Analizin Kullanım Alanları DĠNAMĠK Dinamik Modeller İleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi Tasarım Hedefleri ÇALIġMA UZAYI Parametre Uzayı Yaklaşımı SPM ye Uyarlanması Parametre Aralıklarının Tanımlanması Çalışma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi Hesaplama Sonuçları Eyleyicinin Belirlenmesi Ayrıklaştırma Yöntemi ile Çalışma Uzayının Doğrulanması BENZETĠMLER Mekanik Sistemin Modellenmesi Kontrol Sisteminin Modellenmesi Ters Kinematik Kontrolör İleri Kinematik Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması v

8 5.2.5 İleri Dinamik Çalışma Uzayı ve Dinamik Davranış Benzetimleri Koordinat Sistemi X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge) Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave) Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway) X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll) Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw) Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch) Yörünge Takibi Hareketi Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi Yük Sınırının Belirlenmesi Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi SONUÇLAR VE ÖNERĠLER...71 KAYNAKLAR...73 EK A EK A ÖZGEÇMĠġ...87 vi

9 ÇĠZELGE LĠSTESĠ Sayfa Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2E Modeline ilişkin performans çizelgesi.. 28 Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken konumlar Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri... 7 vii

10 viii

11 ġekġl LĠSTESĠ Sayfa ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör... 1 ġekil 1.2 : D. Stewart ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem... 3 ġekil 1.3 : Eric Gough nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin modern versiyonu... 3 ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması... 4 ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar... 5 ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler... 7 ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması... 8 ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler ġekil 3.2 : Moog Series 6DOF2E modeli ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin uygulanması... 3 ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı ġekil 5.1 : ADAMS da kurulan mekanik sistem modeli ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler... 4 ġekil 5.3 : Matlab/Simulink de kurulan kontrol sistemi modeli ġekil 5.4 : ADAMS da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi ġekil 5.5 : Surge hareketi ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.1 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.12 : Heave hareketi ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi... 5 ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi... 5 ġekil 5.19 : Sway hareketi ix

12 ġekil 5.2 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.26 : Roll hareketi ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.3 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.33 : Yaw hareketi ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi... 6 ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi... 6 ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.4 : Pitch hareketi ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar ġekil 5.5 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi ġekil 5.54 : 2 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri ġekil A.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici ġekil A.2 : ULN584B devresinin kurulum şeması x

13 SEMBOL LĠSTESĠ li : i. bacağın uzunluğu R : Global dönüşüm matrisi pt i : Hareketli platform referans noktasından i. bacağın üst bağlantı noktasına uzanan vektör pb i : Sabit platform merkezinden i. bacağın alt bağlantı noktasına uzanan vektör x : Uç elemanının uzaydaki konumunu ifade eden vektör x, y, z : Uç elemanının uzaydaki doğrusal koordinatları α, β, θ : Uç elemanının Euler açı teoremine göre uzaydaki açısal koordinatları (X-Y-Z dönme sırasına göre) l m : SPM nin algılayıcılar ile ölçülen bacak uzunluğu vektörü e : Sayısal yöntem ile ileri kinematik denklemin çözümünde bacak boyları için iterasyon hata vektörü ε : Sayısal yöntem ile ileri kinematik analizde iterasyonlar için hata Je toleransı : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü Euler açıları ile ifade edilen konum vektörünün değişimlerine bağlayan Euler açıları Jakobiyen matrisi J, Jk : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü genelleştirilmiş hız vektörüne bağlayan kinematik Jakobiyen matrisi, J ile de ifade edilmektedir. P P n W n i V Ω τ f γ g m I I 3 Rt Rb S : Plücker vektörü : Normalize edilmiş Plücker vektörü : Genelleştirilmiş koordinatlarda hız vektörü : i. bacağın birim vektörü : Genelleştirilmiş koordinatlarda doğrusal hız vektörü : Genelleştirilmiş koordinatlarda açısal hız vektörü : Eyleyici kuvvetleri vektörü : Genelleştirilmiş kuvvet/moment vektörü : Doğrusal ivme vektörü : Yerçekimi ivmesi vektörü : Hareketli platform kütlesi vektörü : Hareketli platformun ağırlık merkezine göre eylemsizlik matrisi : 3x3 lük birim matris : Üst platformdaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı : Alt tabladaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı : Eyleyici strok uzunluğu xi

14 xii

15 STEWART PLATFORMU TASARIMI ÖZET Sanayide ve çeşitli sektörlerde seri manipülatörlere göre daha az kullanım alanı bulan paralel manipülatörler yer aldıkları uygulamalarda kesin bir üstünlüğe sahiptirler. Bu üstünlük paralel mekanizmaların seri manipülatörlere göre daha yüksek rijitliğe, yük/ağırlık oranına ve konumlandırma hassasiyetine bağlı olarak ortaya çıkmaktadır. Yüksek rijitliği ve dolayısı ile yüksek doğal frekansı sebebi ile titreşim simülatörü olarak tercih edilmektedirler. Yük/ağırlık oranının seri manipülatörlere göre yüksek olmasından dolayı büyük kütlelerin yüksek ivmeler ile hareket ettirilmesine olanak sağlamaktadırlar. Bu yüzden taşıt veya uçak simülatörlerinde hareket platformu görevini üstlenirler. Kapalı birer kinematik zincir olmalarından dolayı birbirinden bağımsız olan uzuvların hataları uç elemanına doğru kümülatif olmayan bir şekilde aktarılır. Seri manipülatörlerde ise uzuvların hataları uç elemanına doğru toplanarak etki etmektedir. Bu özelliği paralel robotların hassas malzeme işleme veya montaj işlerinde yer almasını sağlamaktadır. Bu çalışmada paralel manipülatörlerin belirlenen tasarım kriterlerini karşılayacak şekilde tasarlanması amacıyla kullanılabilecek yöntemler araştırılmıştır. Bu yöntemlerin çalışma uzayı, geometrik boyutlar ve uç elemanının taşıyabileceği yüke bağlı eyleyici kuvvetlerinin belirlenmesi amacıyla kullanılabilmesi için takip edilebilecek bir prosedür geliştirilmiştir. Çoklu gövde dinamik benzetimlerine alternatif olacak bir matematiksel model oluşturularak, iki sistemin davranışları çıkışlar üzerinden karşılaştırılmıştır. Çıkışların birbiri ile uyumlu olduğu gözlenmiş ve son olarak sistemin yük ve ivme sınırları tespit edilmiştir. xiii

16 xiv

17 DESIGN OF THE STEWART PLATFORM SUMMARY Parallel manipulators which are less commonly used than serial counterparts in several industries, show definitely better performance in their application areas. This advantage rises from the rigidity, load/weight ratio and sensitivity of positioning of the parallel manipulators. They are utilized in vibration simulators due to their high natural frequency which is caused by the rigidity. Because of their higher load/weight ratio, they are also used in vibrating huge masses with increased accelerations. Thus they are suitable as a motion platform for vehicle and aeroplane simulator applications. Since the parallel manipulators consist of a closed loop kinematic chain, the independent errors of each link affect the end effector in a noncumulative way. However, these errors are accumulated in serial manipulators. This feature makes parallel robots ideal for low tolerance machining and assembly processes. In this thesis, the methods which can be applied to the design of parallel manipulators according to the design criteria are investigated. A design procedure is developed in order to use these proper design methods such that defininig the workspace, geometric dimensions, and actuator forces which depends on the load supported by the end effector. Multi body dynamics simulation outputs are compared to the outputs which are obtained from a mathematical model proposed in this thesis. Comparison results show satisfactory correlation. In addition, the acceleration and weight limits of the system are also determined. xv

18 xvi

19 1. GĠRĠġ 1.1 Temel Kavramlar Robotikte manipülasyon terimi nesnelerin bir amaç doğrultusunda yerinden alınması, taşınması, montajı, yerleştirilmesi ve çeşitli takımlar ile işlenmesini ifade etmektedir. Bu işlemleri gerçekleştirebilen mekanizmalar ise manipülatör olarak adlandırılır [1]. Bir manipülatörün her bir uzvuna, bir mafsal ile bağlı olan rijit gövde sayısı bağlantı derecesi ni ifade etmektedir. Bu durumda, herbir uzvu 2 veya daha az bağlantı derecesine sahip olan sistemler, basit kinematik zincir olarak adlandırılırlar. Eğer uzuvlardan en az biri, taban olmamak koşuluyla 3 veya daha yüksek bir bağlantı derecesine sahip ise bu sistem bir kapalı-çevrim kinematik zincir adını alır (C. Gosselin, 1988). 1.2 Seri Manipülatörler Manipülatörler iki ana sınıfa ayrılmaktadır ve bunlardan ilki olan seri manipülatörler birer basit kinematik zincirdir çünkü sadece taban ve uç uzuvlarında 1 olmak üzere, diğer uzuvlarında 2 bağlantı derecesine sahiptirler. Bu tip zincirler aynı zamanda açık-çevrim kinematik zincir olarak da anılmaktadır. Şekil 1.1 de endüstride kullanılan bir seri robot gösterilmektedir. ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör 1

20 1.3 Paralel Manipülatörler Manipülatörlerin ayrıldığı ikinci sınıf ise paralel manipülatörlerdir. Bu sistemler birer kapalı-çevrim kinematik zincirdir. Paralel manipülatörlerin genel tanımı daha geniştir ve uç elemanının kontrol edilen serbestlik derecesinden daha fazla sayıda eyleyici içeren mekanizmaları da kapsar. Ele alacağımız mekanizmalar aşağıda anlatılan karakteristik özelliklere sahiptir. 1) En az iki kinematik zincir uç elemanına bağlanır. Bu zincirlerden en az biri bir eyleyici içerir. 2) Eyleyici sayısı uç elemanının serbestlik derecesine eşittir. Bu tip mekanizmalar aşağıdaki özelliklere sahiptirler. 1. En az iki zincir mevcut olması, zincirdeki yüklerin dağıtılmasına olanak sağlar. 2. Eyleyici sayısı ihtiyacı minimumdur. 3. Mekanizmanın kapalı çevrim kontrolü için gerekli sensör adedi minimumdur. Bu tanımlara göre bir paralel robot n serbestlik derecesine ve bir sabit tabana sahip, en az iki bağımsız kinematik zincir ile birbirine bağlıdır. İçerdiği eyleyici adedi n dir. Zincir sayısı tam olarak end-effector ın serbestlik derecesine eşit olan paralel robotlar; tam paralel manipülatör (fully parallel manipulator) olarak adlandırılır [2]. Paralel manipülatörlerin en bilinen tipi Stewart Platformudur yılında D. Stewart tarafından bir uçuş simülatörü olarak (Şekil 1.2) önerilen sistem altı doğrusal eyleyiciden oluşmaktaydı [3]. 2

21 ġekil 1.2 : D. Stewart ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem Daha öncesinde Eric Gough, Stewart ın modeline benzer bir modeli bir lastik test makinesi olarak önermiştir. Onun sisteminde, tam paralel hareketlendirilmiş mekanizma oluşturacak şekilde altı adet eyleyici kullanılmıştı [4]. Lastik üreticisi Dunlop firması tarafından kullanılan bu test sistemi ve güncel versiyonu Şekil 1.3 de gösterilmiştir. ġekil 1.3 : Eric Gough nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin modern versiyonu Günümüzde Stewart Platformu olarak anılan paralel mekanizma, bir taban ve bir hareketli tabla ve bunları birbirine bağlayan 6 hareketli uzuvdan oluşmaktadır. En genel halinde bu uzuvların her biri tabana universal mafsal ile, hareketli tablaya ise küresel mafsallar ile bağlanmaktadır. Aynı zamanda eyleyici görevi gören uzuvlar ise 3

22 kendi içerisinde birer prizmatik mafsala sahip olup, bu mafsalın tahriki ile doğrusal hareketleri gerçekleştirmektedirler. Uzuvların bağlantı şekilleri değişebilmektedir. Örneğin tüm bacakların (uzuvların) tabanda ve tablada birbirinden farklı noktalara bağlandığı sistemler 6-6 lık Stewart Platformu olarak anılır (Şekil 1.4). Eğer bacaklar tabanda ayrı noktalara, üst tablada ise ikişerli olarak 3 ayrı noktaya bağlanıyorsa bu sistem 6-3 lük Stewart Platformudur. Eğer bacaklar alt tabanda da ikişerli olarak 3 ayrı noktadan bağlı ise 3-3 lük Stewart Platformu ortaya çıkar. ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması Görüldüğü gibi ifade edilen Stewart Platformu mekanizması Şekil 1.2 de D. Stewart ın önerdiği sistemden çok Şekil 1.3 de E. Gough tarafından tasarlanan sisteme benzemektedir. Buna karşın bu tip mekanizmalar, günümüzde sıkça Stewart Platformu veya Stewart-Gough Platformu olarak anılmaktadır. Paralel manipülatörlerde prizmatik (doğrusal) eyleyiciler dışında pek çok farklı eyleyici tipi kullanılabilmektedir. Şekil 1.5 deki ABB firmasının dönel eyleyicilere sahip FlexPicker robotu ve Rotobot isimli tabana bağlı eyleyicilerin taban çevresi üzerinde ötelenmesi ile hareket eden sistemler bunlara örnek gösterilebilir. 4

23 ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar 1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri Paralel ve seri manipülatörlerin kullanım alanları sundukları fiziksel özelliklerine bağlı olarak ayrılmaktadır. Paralel manipülatörler, taşıdıkları yükü birden fazla eyleyiciye dağıttıkları için daha yüksek yararlı-yük/ağırlık oranı ve rijitliğe sahiptirler. Aynı zamanda seri manipülatörlere göre daha küçük çalışma hacmine sahip olduklarından, robot boyutlarının sınırlı olması gereken durumlarda, büyük yüklerin, dar bir hacimde hareket ettirileceği işlerde tercih edilirler. Bunlara en iyi örnek taşıt simülatörleri veya sarsıcı sistemleridir. Paralel robotlar, seri robotlardan farklı olan kinematik zincir yapısından dolayı, kümülatif olmayan eklem hatalarına sahiptir [5]. Bu durum çalışma hassasiyetinin artmasını sağlamaktadır. Eyleyicileri tahrik eden motorların tabana yakın konumlandırılması, sistemin hareket eden parçalarının ataletini düşük tutmakta ve performansı arttırmaktadır. Bu sebeple yüksek hızda, düşük toleranslı işlemlerde seri robotlara göre üstündürler. Seri robotlarda hesaplanması kolay olan sistemin ileri kinematiği, paralel robotlarda analitik olarak basit değildir. İteratif yöntemler kullanılarak gerçek-zamanlı çözülebilen ileri kinematik denklemlerinin çözümünde genetik algoritmaların da kullanılması yönünde çalışmalar mevcuttur. Buna karşılık sistemin konumlandırılmasında öncelikli olarak kullanılan ters kinematik denklemlerin çözümü son derece kolay olup, gerçek-zamanlı kontrol için analitik çözüm kullanılabilmektedir. 5

24 2. KĠNEMATĠK 2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği Bu çalışmada bir Stewart Platform Mekanizması (SPM) üzerinde çalışılacağı için bu sistemlerin ters ve ileri kinematiği üzerinde durulacaktır. Genel amaçlı manipülatör olarak tasarlanan SPM lerde yapılan başlıca hesap, üst platform merkezinin istenen doğrusal ve açısal konuma gelmesi için bacakların ulaşması gereken uzunluklardır. Bu veriler, platformun ters kinematik denklemleri çözülerek elde edilir. Uç elemanının doğrusal konumu x, y, ve z koordinatları ile açısal konumu ise Euler açılarına veya global koordinatlardaki açılara dayanan α, β ve θ olmak üzere ve bacak boyları birinciden altıncıya kadar bir dizi ile ifade edilirse; SPM nin uç elemanının bir yüzeye dokunması gerektiği durumlarda, yüzeye çarpma anında temas noktasının koordinatlarının hesaplanması veya platformun başlı başına bir joystick vazifesi gördüğü durumlarda; bacak boyu ölçümlerinden uç noktanın konumunu verecek bir algoritma gerekmektedir [2]. Bu algoritma ise platformun ileri kinematiği nin çözümüdür Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği Ters kinematik problemin çözümünde verilen uç elemanı koordinatları kullanılarak bu konumu sağlayacak bacak boylarının hesaplanması gerekmektedir. Giriş koordinatları mekanizmanın 6 serbestlik derecesi sebebiyle 6 parametre içerir. İlk üçü doğrusal ve son üçü ise açısal konumlar olmalıdır. 6

25 ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler Şekil 2.1 da gösterilen mekanizma konumu için, uzaydaki konumu bilinen uç elemanı üzerindeki C noktasını sağlayacak, her bir bacağın alması gereken uzunluk, (BP vektörünün büyüklüğü), aşağıdaki denklemden (2.1) hesaplanabilir. Düz kinematikten farklı olarak Stewart Platformu nda her bir uç elemanı koordinatına karşılık tek bir bacak boyu vektörü elde edilebilir. Bu durum analitik çözümü güvenilir ve hızlı yapmaktadır. (i=1, 2, 3,..., 6) (2.1) Denklem 1.1 de verilen p vektörü, uzaydaki yeri sabit olan herhangi bir noktadaki global koordinat eksen takımına göre hareketli platformdaki referans noktasının konum vektörüdür. Bu vektörün, zamana göre değerinin değişiminin bilindiği kabul edilecektir. i. bacağa ait pt vektörü ise global koordinat eksenleri yerine başlangıçta global eksenler ile yönelmeleri aynı olan ve daima C noktasında yer alan bir yerel koordinat eksen takımına göre, C noktasından bacağın hareketli plakaya bağlandığı Pi noktasına uzanan vektördür. Global koordinatlarda orijin O noktasından i. bacağın tabana bağlandığı Bi noktasına uzanan pbi vektörü ise mekanizma tasarımında belirlenen ve değişmeyen bir parametredir. Bu durumda herhangi bir bacağa ait uzunluk değerinin hesaplanması için gerekli tek işlem pti vektörünün hareketli 7

26 platform koordinat sisteminden, global koordinat sistemine dönüştürülmesidir. Denklem 2.1 de bu işlemi R matrisi (global dönüşüm matrisi) gerçekleştirmektedir. Global dönüşüm matrisi, hareketli platformun açısal konumuna bağlı olarak hesaplanır. Hareketli platformun uzaydaki yönelmesi Euler açıları kullanılarak ifade edilebilir. Euler açıları hareketli platformun yönelmesini, sırası ile C noktasındaki koordinat eksen takımına ait Z, X ve tekrar Z eksenleri etrafında yapılan dönmeler ile ifade etmektedir. Eksenler ve bunların sırası istenildiği gibi değiştirilebilir. ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması Şekil 2.2 de gösterildiği gibi Euler açı teoreminde üç boyutlu bir XYZ koordinat sisteminde {x,b,c} koordinatlarında yer alan bir noktanın, X ekseni etrafında yaptığı belirli bir açıdaki dönme sonucu, başlangıç koordinat sistemine göre alacağı yeni konum {x,q,r}; 3x3 lük bir dönüşüm matrisi ve döndürülmüş koordinat sistemine göre noktanın koordinatlarının {x,b,c} çarpımına eşittir. Herbir eksendeki dönme için o eksendeki açının fonksiyonu olan ayrı bir 3x3 lük dönüşüm matrisi yazılabilir. Örneğin Şekil 2.2 de verilen eksen takımında X ekseni etrafında α açısı kadar yapılan bir dönme sonucu noktanın alacağı yeni konum, (2.2) matrisi ile elde edilir. (2.2) 8

27 En az iki farklı toplam üç eksende yapılan dönme işlemlerine ait dönüşüm matrisleri çarpılarak üç boyutlu uzayda mümkün olan tüm yönelmelerin elde edilebileceği bir global dönüşüm matrisi oluşturulur. Global dönüşüm matrisi oluşturulurken diğer dönüşüm matrislerinin çarpım sırası önemlidir ve dönüşüm tipini belirler. Örnek olarak XYZ eksenlerinde sırasıyla yapılacak dönme işleminin global dönüşüm matrisini ele alalım. Bunlara ait Rx, Ry ve Rz dönüşüm matrislerinin önçarpımı ile (Rz*Ry*Rx) global dönüşüm matrisi elde edilirse, bu matris mutlak dönüşüm yapar yani tüm dönmeler uzayda yeri ve doğrultusu sabit bir koordinat sisteminin eksenlerine göre yapılır. Bu durumda referans alınan koordinat sisteminin doğrultusu yapılan dönmelerden etkilenmez. Eğer dönüşüm matrisleri sırası ile art arda çarpılırsa (Rx*Ry*Rz) bu durumda, global dönüşüm matrisi bağıl dönüşüm yapar ve buna göre herbir eksen etrafındaki dönme sonrası koordinat sistemi de yeni bir yönelmeye ulaşır. Bir sonraki döndürme işlemi bu yeni yönelmeye sahip koordinat sisteminin ilgili ekseni etrafında gerçekleştirilir [1] Stewart Platform Mekanizmasının Ġleri Kinematiği Stewart Platformları ve genel olarak tüm paralel manipülatörlerin ileri kinematiğinin hesaplanmasında iki tip çözüm metodu mevcuttur: analitik çözüm ve sayısal (tekrarlamalı) çözüm [6] Analitik Yöntem Genel olarak analitik yöntemler fazla tercih edilmez çünkü analitik çözüm, Polinom metodu adı verilen uzun ve karmaşık bir algoritma ile gerçekleştirilmekte ve gerçek-zamanlı kontrol için çok ağır kalmaktadır. Bunun yanısıra analitik çözüm, ters kinematik analizdeki gibi tek sonuç vermemektedir. Herhangi bir tasarımda, aynı bacak boyları ile sağlanabilecek 8 olası hareketli platform konumu mevcuttur. Dolayısıyla ileri kinematiğin bir yörüngenin takibi için çözülmesi durumunda, elde edilen olası konumların doğru konuma ulaşmak için elenmesi gerekmektedir. Bu ise işlemi daha da karmaşık hale getirmektedir. 9

28 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem Tekrarlamalı yöntem, temelde ters kinematik denklemlerinin çözümünden yola çıkmaktadır. Denklem 2.3 de verilen x vektörü, hareketli platformun hesaplanmak istenen doğrusal ve açısal pozisyonlarını temsil etsin. (2.3) Bu durumda Denklem 2.4 de x in fonksiyonu olarak verilen l vektörü, ters kinematik çözüme ait ve herbiri ayrı bir bacağın uzunluğunu veren 6 denklemi temsil etmektedir. lm vektörü ise 6 bileşenli ve algılayıcılar vasıtasıyla fiziksel sistemden ölçülen bacak uzunluklarını içeren bir vektördür. Böylece l denklemleri, doğru konum vektörüne (x) göre çözüldüğünde Denklem 2.4 sıfıra eşitlenecektir. Bu sebeple, bu eşitliğin sol tarafı, ileri kinematiğin çözümü için bir hedef fonksiyonu olarak belirlenebilir. (2.4) Hedef fonksiyonunu iterasyondaki mevcut bacak boyu hatasını temsil eden bir e vektörü ile gösterirsek, e(x) vektörünün x e göre alınan gradyen matrisinin tersi, Euler açıları Jakobiyen matrisi, Je dir ve bacak boyu hatalarını platform konumu değişimlerine bağlar. Bu durumda ölçülen bacak boyu vektörü lm ve herhangi bir tutarlı başlangıç konumu x için denklem 2.5, sürekli olarak doğru x konumuna yakınsayacaktır. (2.5) İterasyonlar, bağıl hata denetlenerek durdurulabilir. e vektörünün bileşenlerinin ölçülen boya (lm) göre oranlarının bulunması ve bu oranların en yüksek olanının belirlenen bir hata değerinin altında kalması durumunda (Denklem 2.6) son bulunan iterasyon sonucu doğru olarak kabul edilir ve bir sonraki zaman adımına geçilir. (2.6) Kontrol amacı ile sayısal yöntemlerin kullanılması oldukça yaygındır çünkü çok basit ve hızlı bir algoritma ile birkaç iterasyonda doğru sonuca 1

29 yakınsayabilmektedirler. Tek koşul, algoritmaya verilen hareketli platforma ait başlangıç konumunun gerçek konuma yeteri kadar yakın olmasıdır. Aksi halde çözümler, başlangıç konumundan daha yakın olan başka bir olası platform konumuna yakınsayabilmektedir. Platform sisteminin her zaman kullanıcı tarafından bilinen bir konumdan başlatılması ve her iteasyonda ulaşılan doğru pozisyonun bir sonrakinde başlangıç değeri olarak kullanılması durumunda, algoritmanın sorunsuz çalıştığı görülmüştür. Literatürde bu yöntemin tek dezavantajı olarak Jakobiyen matrisinin her iterasyon adımında tekrar hesaplanması ve bunun sonucunda çözümün yavaşlaması gösterilmiştir. Buna çözüm olarak kullanılan Jakobiyen matrisinin bir veya birkaç iterasyon adımında daha kullanılması tavsiye edilmiş ve bu yönteme değiştirilmiş Newton-Raphson yöntemi adı verilmiştir [6]. Paralel manipülatörlerin kinematik hesaplarında kullanılan Jakobiyen matrisleri, sistemdeki eyleyici konumlarındaki küçük değişimleri uç elemanının konum parametrelerinin değişimine bağlamaktadır. İleri kinematik denklemlerinin sayısal çözümünde önemli rol oynamalarının yanısıra paralel robotların konum kontrolünde dikkat edilmesi gereken tekil konfigürasyonların analizinde de bu yöntem kullanılmaktadır. Statik ve dinamik analizlerde eyleyici kuvvetlerini, platformun eksenlerde uygulayabildiği kuvvet ve momentlere bağlayan denklemler de bu matrisleri içermektedir. Bu sebeple bu bölümde Jakobiyen matrislerinin hesaplanması ve bunların tekil konfigürasyonlar ile ilişkisine değinilecektir. 2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması i. bacak vektörü nün (li) genel formülü; pt, hareketli platform eksen takımına göre hareketli platformun merkezinin bacakların bu platformdaki bağlantı noktalarına olan uzaklığı; pb, referans koordinat eksen takımına göre bacakların taban bağlantı noktalarının koordinatları ve p, hareketli platform merkezinin referans koordinat takımına göre konum vektörü olmak üzere aşağıdaki şekilde verilebilir; 11

30 (2.7) Global Dönüşüm Matrisi nin (R) hesaplaması Euler XYZ koordinat eksenleri için aşağıdaki gibidir. Denklem 2.7 de verilen ifade aşağıdaki şekilde açılabilir; (2.8) (2.9) Uç eleman konum koordinatlarının değişimi ile bacak uzunluklarının değişimleri arasındaki bağıntı Euler Jakobiyen (Je) matrisinin tersi ile belirlenir (Merlet, 1993); (2.1) Ters kinematik Jakobiyen matrisi, bacak vektörlerinin (li), uç eleman konum vektörü (x=[x, y, z, α, β, θ] ) bileşenlerine göre kısmi türevlerinin alınması ile hesaplanır; (2.11) Oluşturulan matrisin tersi ise bacak uzunluğu değişimlerini, konum değişimlerine ilişkilendiren bağıntıyı yani Euler Jakobiyen matrisini (Je) ortaya çıkarmaktadır. (2.12) Denklem 2.13 de bu matrisin elemanlarının hesaplanması için kullanılan denklemler verilmiştir; 12

31 13

32 (2.13) Denklem 2.13 deki bazı çarpanlar aşağıdaki gibi değiştirilebilir; (2.14) Denklem 2.14 de lij, i nci bacağa ait vektörün j nci bileşenini temsil etmektedir. Buradan Denklem 2.13 ye ait ilk üç eşitlik aşağıdaki gibi değiştirilebilir: (2.15) Kalan üç eşitlikte ise bir takım düzenlemelere gidilir ise skaler nokta çarpım operatörünü (.) kullanarak daha basit gösterimler elde edilebilir. 14

33 (2.16) Tüm matris elemanlarının ifadelerinde birim bacak vektörleri bulunmaktadır. Her bir bacağın alt bağlantı noktalasından üst bağlantı noktasına yaptığı yönelmeyi belirten bu birim vektörler (2.17) ile temsil edilirse ters kinematik Euler Jakobiyen matrisinin her biri bir bacağa ait olan satırlarını aşağıdaki bileşenler oluşturur: (2.18) Euler ters Jakobiyeni bacak uzunlukları değişimini genelleştirilmiş koordinatların değişimi ile ilişkilendirir. Denklem 2.18 deki ifade bacak boylarının değişimini, hareketli platformun yönelmesinde kullanılan koordinat sisteminin parametre değişimlerine bağlı olarak vermektedir. Buna karşın uç elemanının yönelme değişimi referans koordinat eksen takımının herbir ekseni etrafında yaptığı 3 açısal hız değişkeni cinsinden ifade edilebilir. Bunun için Denklem 2.7 teki ifadenin zamana göre türevi alınırsa; (2.19) p vektörünün referans koordinat merkezinden hareketli platform merkezine uzanan vektör olduğu göz önünde bulundurularak, bu vektörün zamana göre türevinin uç elemanının öteleme hız vektörü (V=[νx, νy, νz] ) olduğu kabul edilebilir. Buna göre ifadede bir takım düzeltmeler yapılırsa; (2.2) 15

34 Açısal hız vektörü Ω=[ωx, ωy, ωz] olarak tanımlanırsa hareketli platform merkezinden i. üst bağlantı noktasına uzanan vektörün zamanla değişimi; (2.21) Tüm bu eşitlikler Denklem 2.2 de yerine konur ve Denklem 2.17 den yararlanılarak vektörel formda gösterilirse (2.22) şeklini alır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde skaler çarpımın özelliklerinden yararlanılarak açısal hız vektörü nokta çarpanı ile ifade edilir. (2.23) Denklemdeki doğrusal V ve açısal Ω hız vektörleri birlikte W=[V, Ω] vektörünü oluştururlar. Bu vektör uç elemanının referans koordinatlardaki hızlarını ifade eder ve bu sebeple uç elemanının genelleştirilmiş koordinatlardaki hız vektörü olarak adlandırılır. (2.24) Görüldüğü gibi son bulunan eşitlik uç elemanı doğrusal ve açısal hızlarını bacak boyu değişimlerinin bir fonksiyonu olarak vermektedir. Dolayısıyla eşitliğin sağ tarafındaki diğer çarpan bir başka Jakobiyen ifadesidir. Literatürde bu matris kinematik Jakobiyen (J) in tersi olarak adlandırılır ve bu jakobiyen daha çok tekillik analizlerinde kullanılmaktadır. (2.25) 2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı Uzaydaki bir doğruyu tanımlamakta kullanılan Plücker vektörleri 6 bileşenden oluşurlar. Doğrunun genel analitik tanım denklemine göre fazladan 2 parametre daha içeren bu P vektörü Şekil 2.3 de gösterilen O merkezli koordinat sisteminde M1 ve 16

35 M2 noktalarından geçen bir doğru için Denklem 2.26 da gösterildiği şekilde hesaplanabilir. ġekil 2.3 : Plücker vektörü ile ifade edilen bir doğru (2.26) Herhangi sıfırdan farklı bir skaler değer ile çarpılmış p vektörü, her zaman bir doğruyu temsil edecektir. 6 boyutlu bir Plücker vektörü sadece q sıfırdan farklı bir vektör olmak üzere p.q= koşulu sağlandığında bir doğru tanımlar [7]. Plücker vektörleri M1M2 uzunluğuna göre normalize edilirse denklem 2.27 e dönüşür. (2.27) Bir paralel robot için M1 ve M2 noktaları bacaklardan birinin üst ve alt platforma bağlantı noktalarını temsil etsin. Bu durumda, normalize edilmiş Plücker vektörünün pn kısmı, birim bacak boyu vektörü ni ye eşit olacaktır. Burada Plücker vektörlerinin bir diğer önemli özelliği de ele alınmalıdır. u ve v, sıfırdan farklı iki keyfi vektör olarak tanımlansın. Bu durumda [p1, u p1] olarak tanımlanan bir Plücker vektörü ile [p1, v p1] olarak tanımlanan bir başka Plücker vektörü aynı doğruyu temsil ederler. Plücker vektörlerinin açıklanan özelliklerinden yola çıkarak denklem 2.24 ile ifade edilen ters kinematik Jakobiyen matrisinin satırlarının bacakların bağlantı noktaları 17

36 arasında uzanan doğruları temsil eden Plücker vektörlerinden meydana geldiği görülecektir. Bu durum tekillik analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır. SPM için ortaya konulan bu tanımlama paralel manipülatörler için genel bir teorem olarak ifade edilebilir. Buna göre; uzuvları uç elemanına bir küresel mafsal ile bağlı olan bir paralel manipülatöre ait ters Jakobiyen matrisi uzuvlarını uç elemanına bağlayan doğruya ait Plücker vektörlerinden oluşmaktadır [2]. 2.4 Tekillik Kinematik tekillik; uç elemanı konumunu ve mafsal parametreleri arasındaki ilişkiyi ifade eden denklemlerden bir veya daha fazlasının lineer bağımlı hâle gelmesi ile ortaya çıkan durumdur. Bu durum tekil konfigürasyon adı verilen konumlarda görülmektedir. Matematiksel olarak tekil konfigürasyonlarda ters jakobiyen matrisinin rankı düşmekte ve tekil bir matrise dönüşmektedir. Mekanizmanın rijitliğini kaybetmesine yol açan bu konumlar, sistemin kontrol edilemez duruma gelmesine ve eyleyici kuvvetlerinin yetersiz kalmasına sebep olmaktadır. Bu kuvvetler kapalı zincir mekanizmadaki bileşenlere zarar verebilecek seviyelere ulaşabilmektedir. Buradan tekillik analizinin tasarım aşamasında neden büyük önem taşıdığı anlaşılabilir. Θa aktif mafsal değişkenlerini (açısal veya doğrusal konum), X uç elemanının konumunu ve W ise uç elemanının açısal ve doğrusal hızlarını ifade eden vektörler olsun. Θa nın zamanla değişimi ile W arasındaki bağıntı A ve B gibi iki katsayı matrisi ile birlikte ifade edilirse; (2.28) Eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten tekillik durumu için üç farklı sınıflandırma yapılabilir. 1-Tipi tekillik (seri tekillik); A nın tekil olması durumunda platformun hareket etmediği durumlar için (W=) sıfırdan farklı bir mafsal hız vektörü (dθ a ) elde edilir. Bu tip tekil konfigürasyonlara yaklaştıkça mekanizma nispeten büyük mafsal hızları için küçük uç elemanı hızları yaratmaktadır. Böyle bir durum; hareket kontrolünü kötü etkilemesine rağmen bir avantaj da getirir. Sistem bu konumlara yaklaştıkça 18

37 hareket hassassiyetini arttırır. Dolayısı ile özel bir tasarım yapılarak bu tip durumların sağladığı yüksek hassasiyetten yararlanılabilir. 2-Tipi tekillik (paralel tekillik); B nin tersinin alınamadığı durumlardır. Mafsal hızlarının sıfır olması halinde bile platformun hareket serbestisine sahip olmasına yol açan konfigürasyonlardır. Bu tip konumların getirdiği iki risk vardır. Birincisi sistem artık kontrol edilemez duruma gelir. İkincisi ise ortaya çıkan büyük kuvvetler arızalara sebep olabilir. 3-Tipi tekillik; hem A hem de B nin tekil olduğu durumdur. Aktif mafsalların kilitlendiği durumlarda bile uç eleman hareket edebilir veya uç eleman sabit olsa bile mafsalların hareket etmesi mümkün olabilir. Paralel tekillik; mekanizmaya hasar verme kapasitesine sahip ve çalışma uzayında, bu duruma ait tekil konfigürasyonların büyük yer kaplaması sebebiyle diğer tip tekilliklerden daha fazla önem taşımaktadır [2] Tekillik Endeksi Manipülatörlerde güvenilir bir sistem ortaya çıkarmak amacıyla tekil konfigürasyonların da göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Tekil konfigürasyonlardan kaçınmak için iki tasarım yöntemi mevcuttur. Birincisi tekil konumların manipülatörün çalışma uzayı dışında tutulması ikincisi ise tekil konumlara olan yakınlığın hareket esnasında denetlenmesi ve sistemin yörüngesinin böyle bir konumun yakınından geçmesi durumunda kontrol sisteminin bu yörüngeyi değiştirmesi veya sistemi tamamen durdurmasıdır. Uç eleman yörüngesinin değiştirilmesinin her uygulamada mümkün olmaması ve özellikle gerçek zamanlı kontrol edilen sistemlerde yeni bir yörünge tanımlaması konusunda kullanışlı yöntemler geliştirilememesi sebebiyle günümüzde en çok tercih edilen tasarım yöntemi bu konfigürasyonların çalışma uzayından çıkarılmasıdır. Mekanizmanın tekil bir konfigürasyona olan yakınlığı sistem Jakobiyen matrisin özdeğerleri incelenerek hesaplanabilir. Özdeğerlerinin herhangi birinin sıfıra yakınsaması durumunda sistemin tekil bir konfigürasyona yaklaştığı anlaşılır. Literatürde tekillik endeksi olarak adlandırılan bir değer bu tip kritik konumları belirlemede kullanılmaktadır. Tekillik endeksi Jakobiyen matrisinin determinantıdır ve böylece özdeğerlerin sıfıra yaklaşması durumunda sıfıra doğru yakınsar. 19

38 Jakobiyen determinantının yanı sıra kinetik enerji ve farklı tip normlar kullanarak tekillik için daha güvenilir ve anlamlı bir endeks türetilmesi konusunda çalışmalar yapılmaktadır [8]. Yapılan benzetimlerde elde edilen ölçümler ve gözlemler sonucunda tekil konfigürasyonların tipine göre daha geniş bir bölgede etkili oldukları belirlenmiştir. Örneğin bir SPM nin bilinen tekil konfigürasyonlarından birinin uç elemanının düşey ekseni etrafında ±9 açılarla yaptığı dönmelerde ortaya çıktığı bilinmektedir ancak sistem tekilliğe 9 derecelik dönüş tamamlanmadan girmekte ve yaklaşık 6 derecelik bir dönüş sonrasında sistemin geri dönmek için ihtiyaç duyduğu eyleyici kuvveti aşırı seviyede yükselmektedir. Bu konumdan itibaren platform serbestlik derecesi kazanarak harekete devam etmekte ve sonucunda tekil konfigürasyona ulaşıldığında benzetim sayısal çözüme ulaşılamaması sebebi ile durdurulmaktadır. 2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar Eyleyici kuvvetleri (τ) ve genelleştirilmiş kuvvet vektörü (f) (Jakobiyen ile elde edilen uç elemanına uygulanan kuvvet ve moment vektörü) arasındaki temel bağıntı, seri ve paralel manipülatörler için aynı olup Jakobiyen matrisinin (J) transpozesine bağlı olarak denklem 2.29 da gösterilmiştir. (2.29) Genelleştirilmiş kuvvet vektörünü ifade eden eşitlik denklem 2.3 da gösterildiği gibi kinematik Jakobiyenin tersinin transpozesini içermektedir. (2.3) Jakobiyen matrisinin hesaplanmasında kullanılan platformun konum vektörüne (x) ait bileşenler kuvvet ve momentlerin belirli bir çalışma noktası etrafında geçerli olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla farklı bir konum için yapılan statik analizde Jakobiyen matrisi tekrar hesaplanmak zorundadır. 2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları Statik analiz bir paralel manipülatörde belirli bir uç eleman konumu için eyleyici kuvvet ölçülmesi ile genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanmasında veya 2

39 genelleştirilmiş kuvvetlerden dengeleyici eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasında kullanılabilirler. Paralel manipülatör tasarımında, statik analiz ile uç elemana etki eden genelleştirilmiş kuvvetlerin yaklaşık sınır değerleri bilindiğinde kullanılacak eyleyicilerin sahip olması gereken en yüksek kuvvet değerleri belirlenebilir. Aynı şekilde eyleyicilerin sınırları biliniyorsa uç elemana uygulanabilecek yüklemeler hesaplanabilir [2]. Literatürde, bir manipülatörün herhangi bir konumu için değişim aralığı belirlenmiş genelleştirilmiş kuvvetlerden en yüksek eyleyici kuvvetlerini hesaplamayı amaçlayan çalışmalar mevcuttur. Aynı şekilde sınırlandırılmış eyleyici kuvvetlerinden genelleştirilmiş kuvvet sınırlarını belirleme çalışmaları da yapılmaktadır. Ayrıca çalışma uzayı içerisinde bu iki vektörün en yüksek değerlerini arayan algoritmalar da geliştirilmektedir. Statik dengedeki eyleyici kuvvetleri ve uç eleman kuvvet/momentleri arasındaki bağıntılar sayesinde yapılan araştırmalar paralel manipülatörlerin kuvvet sensörü olarak kullanılabileceğini de ortaya koymaktadır. Böylece bacaklarına birer adet kuvvet algılayıcısı yerleştirilmiş 6-UPS manipülatör uç elemanına etkiyen kuvvetlerin algılanması amacıyla kullanılabilmektedir. 21

40 3. DĠNAMĠK Bu bölümde 6-6 UPS Stewart Platform Mekanizmaları için ileri ve ters dinamik denklemleri türetilerek uç organa ait genelleştirilmiş ivme, hız ve koordinatlar ile eyleyici kuvvetleri arasındaki ilişki kurulmuştur. 3.1 Dinamik Modeller Paralel robotların kontrolünde aşağıda sınıflandırılan uygulamalar için sistem dinamiği önemli bir rol oynamaktadır [2]: 1) Hızlı ve/veya ağır yük taşıyan robotlar: uçuş simülatörleri veya birtakım manipülatörler nispeten daha geniş bir çalışma uzayına ihtiyaç duyarlar ve bu uzayda uç organın hareketlerinde dinamik etkiler önemli rol oynar. 2) Yüksek bant genişliğine sahip robotlar: daha çok titreşim simülatörü olarak kullanılan bu tip robotlar dar bir çalışma uzayında yüksek frekansta hareket ederler. 3) Yapısal olarak hassas robotlar: düşük hızdaki dinamik etkilerin sistem davranışını değiştirebildiği robotlardır. Kablo uzuvlara sahip veya esnek uzuvlu robotlar bu sınıftadırlar. Özellikle yüksek hızlı parça işleme durumlarında dinamik hatalar statik hatalardan daha ciddi etkilere sahiptir. İki farklı tip dinamik model mevcuttur: Ters dinamik: uç organa ait verilen yörünge, hız ve ivme bilgileri için gerekli eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasıdır. İleri dinamik: eyleyici kuvvetlerinin bilindiği durumlar için uç organdaki anlık konum, hız ve ivme değerlerinin elde edilmesidir. 3.2 Ġleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi Herhangi bir bacağın (i. bacak) üst tablaya bir küresel mafsal ile bağlandığı nokta Bi olsun. Bu noktadan tablaya etkiyen kuvvet fi iki bileşene ayrılabilir. Birincisi birim 22

41 bacak vektörü ni doğrultusunda etkiyen ilgili eyleyici kuvvet büyüklüğü τi, diğeri ise ni ye dik olan ve eylemsizlikten kaynaklanan f Ni kuvvetidir. (Şekil 3.1) Bu durumda fi kuvveti denklem 4.1 ile ifade edilir; (3.1) F N, tüm bağlantı noktalarından etkiyen f Ni kuvvetlerinin toplamı ve M N bu kuvvetlerin C noktası etrafında meydana getirdiği toplam moment ise F ve M, uç organ üzerindeki C noktasına etkiyen toplam kuvvet ve moment olmak üzere denge denklemleri 3.2 ve 3.3 de verildiği gibi olacaktır. (3.2) (3.3) ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler σ ve σ N, 6 bileşenden oluşan iki vektör olsun; (3.4) (3.5) Denklem 3.2 ve 3.3 tek bir eşitlik ile 3.6 daki gibi ifade edilebilir. (3.6) 23

42 G noktası hareketli platformun ağırlık merkezini temsil etsin. Simülatör veya bir başka amaç için kullanılan fiziksel hareket platformunun ağırlık merkezi, genellikle üst tablanın merkezi olarak kabul edilen uç organ referans noktası C ile çakışık olmayacaktır ve dolayısı ile büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir GC uzaklık vektörü mevcut olacaktır. Ağırlık merkezine göre elde edilen fiziksel parametreler, bu vektörden de yararlanarak referans C noktasındaki konum, hız ve ivme değerlerinin hesaplanmasında kullanılacaktır. G noktasına etkiyen moment; (3.7) Newton-Euler denklemleri kullanılarak kuvvet ve moment denklemleri elde edilir. (3.8) (3.9) Burada g, yerçekimi ivmesi; γ G, G noktasındaki doğrusal ivme vektörü; m, hareketli platform kütlesi; I, hareketli platformun ağırlık merkezi etrafındaki 3x3 lük eylemsizlik matrisi ve Ω, uç organın açısal hız vektörüdür. C noktasındaki doğrusal ivme γc; G noktasındaki doğrusal ivmeye bağlı olarak γ G hesaplanabilir. (3.1) Denklem, 3.8 de yerine konulursa 3.11 eşitliği elde edilir. Burada üzeri çizili GC vektörü bu vektörün skew-simetrik matris halini temsil etmektedir. Bu matris sadece bir başka vektör ile çarpım yapılacağı zaman oluşturulmaktadır. (3.11) Bu eşitlikten faydalanarak ve denklem 3.7, 3.9 ve 3.1 kullanılarak; (3.12) Hareketli platformun açısal hızı olan ω; (3.13) 24

43 3.11 ve 3.12 de verilen eşitlikler matris şeklinde ifade edilirse; (3.14) Burada dw/dt vektörü, uç organın genelleştirilmiş koordinatlardaki hızının zamana göre türevini ifade etmektedir. Buradaki 6x6 lık T 1 matrisi ve 6 bileşenli T 2 vektörü aşağıda tanımlanmıştır. I 3 ifadesi 3x3 lük birim matrisi göstermektedir. (3.15) (3.16) Burada 3.6 ve 3.14 eşitlikleri kullanılarak; (3.17) Elde edilir. Eğer γ i, Bi noktasındaki doğrusal ivmeyi temsil ederse; (3.18) Bu denklem matris şekline dönüştürülür ise; (3.19) Elde edilir ve burada U 1i matrisi 3x6 lıktır, U 2i ise 3 bileşenli bir vektördür. (3.2) (3.21) γ i vektörünün ni vektörüne dik bir düzleme alınan izdüşüm vektörü γ Ni olsun. Bu vektör; (3.22) Olarak tanımlanır. Matris şekline dönüştürüldüğünde bu denklemler; (3.23) 25

44 Hareket platformunun bacakları doğrultusunda z-ekseninin yerleştirildiği ve orijini, sabit tablaya bağlantı noktaları Ai de olan koordinat eksen takımları ele alınırsa, her bir bacağın kendi koordinat eksen takımında x ve y-eksenleri etrafında yaptığı atalet momentleri birbirine eşit ve Ji değerinde kabul edilebilir. Z-ekseni etrafındaki eylemsizlik gözardı edilebilecek kadar küçük kabul edilirse f Ni vektörü; (3.24) σ N vektörünün bileşenleri olan F N ve M N değerleri; (3.25) (3.26) 3.23 ve 3.24 eşitlikleri kullanılarak; (3.27) (3.28) Son iki eşitlik σ N i bulmak üzere birleştirilirse; (3.29) Burada V 1 6x6 lık bir matris, V 2 ise 6 bileşenli bir vektördür; (3.3) (3.31) Denklem 3.17 ve 3.29 kullanılarak; (3.32) Dolayısıyla 6-UPS tipi paralel mekanizma için ileri dinamik denklemi 3.33 ile gösterilmiştir. 26

45 (3.33) Temel matris işlemleri ile kontrol amaçlı kullanılan ters dinamik denklemi de 3.34 ile verilmektedir. (3.34) 3.3 Tasarım Hedefleri Bir simülatör sistemini hareketlendirme görevini üstlenecek Stewart Platform mekanizmasının tasarım çalışmaları için referans alınması gereken performans kriterlerine ihtiyaç duyulacaktır. Bu performans kriterleri sistemin simülatör amaçlı kullanılması sebebiyle, konumlandırma hassasiyeti gibi kriterlerden çok doğrudan tek eksen üzerinde veya kombine konumlandırma (yer değiştirme), hız ve ivme sınırları ile ilgilidir. Ayrıca robotun kaplayacağı hacim ve boyut sınırlamaları da önceden hesaba katılmalıdır. Bu amaçla tasarım hedeflerine örnek teşkil etmesi amacıyla Moog Inc. firmasına ait Series 6DOF2E model paralel konumlandırıcı mekanizmanın (Şekil 3.2) sahip olduğu özellikler ele alınacaktır. ġekil 3.2: Moog Series 6DOF2E modeli Bu özelliklerden dinamik performans ile ilgili olanları Çizelge 3.1 de verilmiştir. Bunların yanısıra sistemin yere sabit taban kısmının yerde kaplayacağı en geniş alanın 1.84(m) 1.84(m) olacağı belirtilmiş ve üst hareketli platformun bacak bağlantı 27

46 noktalarından geçen bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunun 1.5 m olduğu bilinmektedir. Platformun başlangıç pozisyonundaki yüksekliği.71 m dir. Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2E Modeline ilişkin performans çizelgesi Serbestlik Birleşik Yer Tek Eksende Derecesi Değiştirme Yer Değiştirme Hız İvme Tx - Surge ± 27 mm ± 25 mm ± 5 mm/s ±.6 g Ty - Heave ± 18 mm ± 18 mm ± 3 mm/s ±.5 g Tz - Sway ± 26 mm ± 25 mm ± 5 mm/s ±.6 g Rx - Roll ± 22 ± 21 ± 3 /s ± 5 /s² Ry - Yaw ± 23 ± 22 ± 4 /s ± 4 /s² Rz - Pitch + 25 / - 23 ± 22 ± 3 /s ± 5 /s² Seçilen hareket platformu 1 kg yük taşıyacak şekilde tasarlanmıştır. Dolayısı ile tüm performans ölçümleri bu yük altında gerçekleştirilecektir. Üretici firma kataloglarında 35 mm ile 1575 mm arasında değişen strok boylarına sahip doğrusal eyleyiciler sunabildiğini belirtmektedir. Bu bilgi de tasarım kriterleri arasında kullanılacaktır. 28

47 4. ÇALIġMA UZAYI 4.1 Parametre Uzayı YaklaĢımı Günümüzde paralel robotların geometrisine bağlı olarak çalışma uzayını ortaya çıkarmak üzere kullanılabilecek üç tür yöntem mevcuttur. Bunlar; ayrıklaştırma metodu, geometrik yaklaşımlar ve sayısal yöntemlerdir. Bu yöntemler yerine göre oldukça kullanışlı olmalarına karşın tasarımı belirleme amacıyla değil ancak tasarımı doğrulama amacıyla kullanılabilmektedir [2], [9]. Bu bölümde önerilecek yöntem ise bunlardan farklı olarak istenen sayıda ve çalışma uzayının sınırına yakın seçilmiş noktalarda konumlandırma gerçekleştirebilecek geometrik tasarım parametreleri için kullanılabilir aralıkları sunmaktadır. Temeli Parametre-Uzayı Yaklaşımı na dayanan bu algoritma içerisinde Aralık Analizi yöntemi (Interval Analysis) de kullanılarak hesap süresi olabildiğince kısaltılmaktadır. Parametre-uzayı yaklaşımında incelenebilecek farklı parametre sayısında bir sınır olmayıp, parametrelerin çoğalması hesap süresini doğrusal olmayan bir şekilde arttırmaktadır. Aralık analizi yöntemi ise her farklı geometri için deneme-yanılma işlemini sadece noktaları her köşesi için sağlayabilen prizmaları parametre uzayı içerisinde aramak amacıyla kullanılmaktadır. Algoritmanın çalışması şu şekildedir: Öncelikle uzay içerisinde belirlenmiş olan minimum ve maksimum sınır noktalarının köşelerini oluşturduğu bir prizmanın uygunluğu her köşesi için bir sağlama yapılarak kontrol edilir. Eğer her köşe için noktaların tümü sağlanıyorsa prizma kabul edilir ve işlem sona erdirilir. Bu belirlenen parametre sınırları içerisinde seçilen her parametre kümesinin bu çalışma uzayını sağlayabileceği anlamına gelir. Eğer bir nokta bile sağlanamıyorsa, bu sağlamayı engelleyen parametre köşe sıralarına bakılarak bulunur ve bu prizma o parametrenin maksimum ve minimum değerine ait kenarından ikiye bölünür (Bisection) (Şekil 4.1). Büyük prizma kabul edilmez ve algoritma aynı şekilde küçültülen prizmalar üzerinden devam ettirilir. Bölme işlemi prizmanın en büyük kenar uzunluğunun belirli bir sınırın altına inmesi ile sona erdirilir ve artık o prizma daha fazla incelenmez. Bu en küçük kenar uzunluğu sınırı, ilgili parametrenin 29

48 inceleme aralığının belirli bir sayıya bölünmesi ile incelenir. Ardından bir sonraki prizma ile incelemeye devam edilir. Kabul edilmeyen tüm prizmaların kenar uzunluklarının sınırın altında kalması veya tüm prizmaların kabul edilmesi ile algoritma sona erer. ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin uygulanması 4.2 SPM ye Uyarlanması Parametre-Uzayı yaklaşımının kullanışlı bir biçimde SPM ye adapte edilmesi için öncelikle mekanizmanın sahip olduğu geometrik parametre sayısının olabildiğince azaltılması gerekmektedir. Literatürde sıkça kullanılan geometrik gösterimler genellikle toplam 6 tasarım parametresi içerir. Bunlar; tabana ait dairesel platform yarıçapı (Rb), hareketli dairesel platform yarıçapı (Rt), tabandaki ve üst platformdaki ardışık iki mafsalın taban merkezine göre yaptığı açılar (2*α ve 2*β), strok uzunluğu belirli olan bacakların sahip olduğu minimum veya maksimum toplam uzunluk (Lm) ve üst ve taban platformların yatay düzleme paralel iken birbirlerine göre olan montaj açılarıdır (γ). Bu değişkenler Şekil 4.2 de gösterilmektedir. 3

49 ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler İki platformun bağıl montaj açılarının (γ) tasarımda sıfır kabul edilmesinden dolayı bu parametre hesaba dahil edilmeyecektir. Kalan 5 parametre arasında en fazla önem taşıyanlar platform yarıçapları ve bacak uzunluklarının sınırlarıdır. Bacak uzunlukları, en fazla eyleyicinin strok boyu kadar değişebileceğinden, maksimum ve minimum uzunluklar aslında aynı parametreye diğer bir deyişle eyleyicinin en kısa durumundaki (Retracted) boyuna bağlıdırlar. 5 parametrenin tamamının tasarımda önemli bir rol üstlenmesine karşın, parametre uzayında yapılan taramanın ardından elde edilen kullanılabilir parametre aralıklarına ilişkin verilerin grafiksel olarak tasarımcıya aktarılması mümkün olamamaktadır. Bu sonuçların ancak 3 eksenli bir grafik ile tasarımcıya aktarılabileceği düşünülerek 5 parametrenin en az önem arzeden 2 tanesi yani α ve β açıları sabit kabul edilecek ve kalan üç parametre olan Rt, Rb ve Lm aralıkları belirlenecektir. 4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması Sabit tutulacak olan α ve β açılarının değerleri 5 olarak öngörülmüştür. Hareketli platform yarıçapının, tasarım parametrelerinde verilen eşkenar üçgen kenar uzunluğu (a = 1.5 m) kullanılarak (Şekil) 8 mm değerinin altında bir değer alması 31

50 öngörülmüştür. Aynı şekilde tabandaki sabit platform yarıçapı için de, sistemin yer yüzeyinde kapladığı dörtgen alana (1.84m 1.84m) sığabilecek en büyük dairenin yarıçap değeri (Rb 9 mm) referans alınmıştır. Bu verilere göre incelenecek yarıçap aralıkları yapılan denemeler ışığında üst tabla için [5 mm, 8 mm] ve alt tabla için [8 mm, 11 mm] olarak belirlenmiştir. ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi Üretici tarafından sunulabilen minimum ve maksimum doğrusal eyleyici strok uzunlukları 35 mm ve 1575 mm olarak belirtilmiştir. Strok uzunlukları, Şekil 4.4 de gösterildiği gibi eyleyici boylarının en uzun ve en kısa boylarının belirlenmesinde kullanılacaktır. Burada eyleyici boylarının belirlenmesinde hareketli platform konumları için bacakların alacağı yaklaşık boylar için bir hesaplama yapılmıştır. ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması 32

51 Bu hesaba göre parametre uzayı yaklaşımından daha önce alınan sonuçlardan faydalanarak Rt=6 mm ve Rb=9 mm parametreleri için seçilecek eyleyicinin kapalı boyu 83 mm den düşük, tam açık boyu ise 117 mm den yüksek olmalıdır. Buna göre strok boyu en az 34 mm olmalıdır. 4.4 ÇalıĢma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası Bu koşullar ile incelenecek mekanizmaya ait hareketli tabla merkezinin konumunun referans alınan tasarım hedeflerinde belirtildiği gibi taban merkezinden 71 mm yükseklikte bir noktada olması planlanmıştır. Dolayısı ile uzaydan seçilecek noktaların bu başlangıç konumuna bağlı olarak konumlandırılması gerekmektedir. Şekil 4.5 de mekanizmanın sahip olması istenen öteleme çalışma uzayı elipsoidinden seçilen 6 nokta kırmızı renk ile işaretlenmiştir. Algoritmadan beklenen hareketli üst tabla merkezi olan C noktasının bu 6 noktaya da ulaşmasını sağlayabilecek geometrik parametreleri elde etmesidir. Bu elipsoidin üzerindeki noktalar tasarım hedeflerinde belirtilen öteleme koordinatlarından ibarettir ve bu konumlarda platformun yönelmesi değişmemektedir. 33

52 Tasarım sırasında sistemin ulaşması gereken uzaysal koordinatlar tek eksendeki yer değiştirmeler olarak Çizelge 4.1 de verilmiştir. Bu koordinatlar toplam 12 adet olmak üzere mekanizmanın sağlaması gereken konumlar kümesini oluşturmaktadır. Algoritmanın amaç pozisyonları Çizelge 4.1 deki gibi girilmiştir. Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken konumlar X Y Z Nokta X Açısı Y Açısı Z Açısı Konum Konum Konum No. [ ] [ ] [ ] [mm] [mm] [mm] Hesaplama Sonuçları Yapılan hesaplama sonucunda Şekil 4.6 da gösterilen parametre kümeleri elde edilmiştir. Bu kümeleri temsil eden ayrık dörtgenler; köşeleri ve iç hacimlerinin temsil ettiği parametre değerleri seçildiğinde sistemin belirlenen çalışma uzayı pozisyonlarını sağlayacağını göstermektedir. Kullanılan yöntem ile sistemin üst hareketli platformu için yarıçap Rt = 6 mm ve sabit alt tabla için yarıçap Rb = 9 mm seçilirse, bu sistemde kullanılması gereken minimum ve maksimum eyleyici strok uzunlukları Çizelge 4.2 de gösterilmiştir. 34

53 Eyleyici Strok Uzunlugu [mm] Aynı çizelgede yarıçaplar aralık olarak verildiğinden, bu strok uzunluklarını sağlayan eyleyicilerle sistemin sahip olabileceği yarıçap boyut aralıkları da ortaya çıkarılmıştır. Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler Ust Yaricap [mm] Alt Yaricap [mm] ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları Üst Hareketli Tabla Çapı (Rt): Alt Sabit Tabla Çapı (Rb): 5 mm Rt < 8 mm 8 mm Rb < 95 mm 5 mm Rt < 8 mm 875 mm Rb < mm Eyleyici Strok Sınırları (S): mm Ls < mm 381. mm Ls < mm Değerlerin elde edildiği en küçük prizma kenarlarının boyutları, uzayda her parametrenin bölüneceği en küçük parça uzunluğuna bağlıdır ve hesaplamada bu değer parametrenin en büyük ve en küçük değerini arasındaki farkın 5 de biri olarak girilmiştir. Toplam 334 adet prizma hesaplanmıştır. 4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi Kullanılan yöntem ile 6 mm lik üst tabla yarıçapı ve 9 mm lik alt tabla yarıçapı değerleri için 38 mm ile 414 mm arasında değişen strok uzunluğuna sahip bir eyleyicinin seçilebileceği ortaya çıkarılmıştır. Bu eyleyicinin sabit boyu önceden 35

54 yapılan denemelerde hesaplanan tam kapalı eyleyici boyunun 83 mm den düşük olması ve tam açık boyunun 117 mm den yüksek olması koşulunu sağlamak üzere burada yapılan parametre uzayı analizi sonuçlarına dayanarak sabit boy [342 mm, 449 mm] aralığında değer alabilir. ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler Üretici kataloğundan seçilen ve belirlenen kriterleri karşılayan ürün, Moog firmasına ait CA22369 model doğrusal eyleyici sistemidir ve bu sistem 645 mm tam kapalı boy ve 46.4 mm strok boyuna sahiptir. Burada tam kapalı boy 83 mm minimum boyu karşılamadığından bu sistemin uzunluğuna en fazla 185 mm lik bir eklenti yapılmalıdır. Eyleyicinin strok boyu belirlenen uygun aralığın içerisindedir ve sahip olduğu maksimum tahrik kuvveti N dur. 4.7 AyrıklaĢtırma Yöntemi ile ÇalıĢma Uzayının Doğrulanması Boyutları belirlenmiş bir SPM nin çalışma uzayı sınırlarının doğrulanması için ayrıklaştırma yöntemi kullanılabilir. Ayrıklaştırma yöntemi mekanizmanın yönelmesiz öteleme veya ötelemesiz yönelme konumları için uzayın küçük koordinat artımları ile ve belirlenen koordinat sınırları arasında taranması esasına dayanır. Bu tarama sırasında gelinen konumlar için bacak uzunluk sınırları kontrol edilerek gerçeklenebilecek konumlar toplanır gerçeklenemeyen konumlar elenir. Elde edilen geçerli konumlar nokta bulutu olarak bir üç boyutlu grafik ile görselleştirilir. Çalışma uzayı sınırlarının bu nokta bulutunun içerisinde kalması durumunda tasarım doğrulanmış olur. Kullanılan yöntemde koordinat tarama aralıkları 15 mm olarak 36

55 belirlenmiş ve yönelmesiz öteleme konumları için çalışma uzayı hesaplanmıştır. Hesaplanmış çalışma uzayı Şekil 4.8 ile gösterilmektedir. Nokta bulutunda bulunan en uç noktalara ait koordinatlar Çizelge 4.3 ile verilmiştir. Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları Xmin Xmaks Ymin Ymaks Zmin Zmaks -34 mm 34 mm 52 mm 16 mm -35 mm 35 mm ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı 37

56 5. BENZETĠMLER Tasarlanan sistemin dinamik performansını incelemek üzere sanal ortamda mekanizmanın bir modeli oluşturulmuş ve model üzerinde gerçekleştirilen benzetimler ile tasarım hedeflerinin doğrulaması yapılmıştır. Modelin ayrıntıları; yapılan benzetimlerin geçerliliği ve kapsamı açısından önemlidir. Bu sebeple bu kısımda sistemin modellemesi üzerinde durulacaktır. Tüm sistem, mekanik yapı ve kontrolör kısmı olmak üzere iki bölüme ayrılmıştır. Mekanik sistemin modellemesi ADAMS /View programında gerçekleştirilmiştir. Mekanik sisteme tahrik eden eyleyicilerin sisteme uyguladığı kuvvetler Matlab/Simulink programında kurulan kontrol sistemi ile her benzetim adımı için ve mekanik sistemden elde edilen verilere bağlı olarak hesaplanmaktadır. Hesaplanan değerler kuvvet olarak ADAMS programına aktarılmakta ve mekanik sistemin davranışı hesaplanarak bir sonraki benzetim adımına geçilmektedir. 5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi Sistemin mekanik kısmının modellenmesi ADAMS programında yapılmıştır (Şekil 5.1). Mekanizmadaki bağlantı noktalarının konumları ve eyleyici bileşenlerinin boyutları ile sistemin başlangıç konumunda tasarım hesaplarına bağlı kalınmıştır. Sistemin 1 kg yüklü olduğu durum için modellenmiş ve bu yük 1 m kenar uzunluğuna sahip bir küp ile temsil edilmiştir. Bağlantı noktalarının konumları tabanda sabit tabla bağlantılarının geçeceği çemberin yarıçapı Rb ve bu bağlantı noktalarının ikişerli olarak çember merkezi ile yaptıkları açının yarısı olan α değerlerine göre belirlenmiştir. Üst platformda ise benzer şekilde üst bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı Rt ve bunlar arasındaki ikişerli açının yarısı olan β parametreleri kullanılmıştır. Sistemin başlangıç konumu, tasarım hedeflerinde önceden saptanmıştır ve üst hareketli tabladaki bağlantı noktalarının uzaydaki düşey konumunu belirlemek üzere kullanılmaktadır. 38

57 ġekil 5.1 : ADAMS da kurulan mekanik sistem modeli Eyleyicilerin boyutları ise tasarımda belirlenen çalışma uzayını sağlayacak şekilde ve üreticinin katalog değerlerine sadık kalınarak belirlenmiştir. Eyleyicilerin boyutlandırılmasında çalışma uzayının gerektirdiği en düşük ve en yüksek bacak boyları ele alınarak, kapalı haldeki eyleyici boyu ve sahip olması gereken en düşük strok boyu göz önünde bulundurulmuştur. Eyleyicinin strok boyu, çalışma uzayının hacim genişliğinde etkin bir parametre iken kapalı durumdaki eyleyici boyu, bu çalışma uzayını ötelemeye yarayan bir parametredir. Hazırlanan mekanik sistem modeline eyleyicilerin strok sınırlarını da dahil etmek üzere iki yönlü darbe fonksiyonları içeren kuvvetler her bacak için ayrı olarak tanımlanmıştır. Bu kuvvetler, eyleyici içerisinde hareket eden milin, alt strok sınırına veya üst strok sınırına eriştiği durumlarda hareketi durdurucu etki yaratmaktadır. Böylece bacak boyları hiçbir şekilde sınırların dışına çıkmamaktadır ve sınır mesafelerde sistemin hareketini engellemektedir. Mekanik sistemde mevcut üst küresel ve alt üniversal mafsalların sürtünme etkileri de modele dahil edilmiştir. Sürtünmenin modellenmesinde ADAMS programının dökümanlarında yağlanmış metal yüzeylerin sürtünmesi için önerilen statik sürtünme katsayısı için.23 ve dinamik sürtünme katsayısı için.16 değerleri kullanılmıştır. 39

58 5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi Sistemdeki uç elemanın izleyeceği yörüngenin tanımlanması, bu yörüngeyi sağlayacak bacak boylarının hesaplanması, bu boyları sağlayacak kontrol kuvvetlerinin hesaplanması ve mekanik sistemden ölçülen bacak boylarını kullanarak uç elemanın uzaydaki konumunun hesaplanması işlemleri Matlab programında gerçekleştirilmektedir (Şekil 5.2). Bunların yanısıra sistem hakkında çeşitli bilgiler veren bir algoritma ayrı bir blok altında çalışmaktadır. ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler Ters Kinematik Kullanıcı tarafından benzetim öncesinde tanımlanan sistem yörüngesi, Bölüm 2 de açıklanan ters kinematik denklemlerinin çözülmesi ile sistemdeki eyleyicilerin her adımda alması gereken boylarının hesaplanmasında kullanılmaktadır. Bu algoritma bacak üst bağlantı noktalarının hareketli tabla koordinat sistemine göre konumlarına ve alt bacak bağlantı noktalarının sabit eksen takımına göre konumlarına ihtiyaç duymaktadır Kontrolör Hesaplanan bacak boyları, mekanik sistem modelinden elde edilen bacak boyu ölçümleri ile karşılaştırılarak bir PID kontrolöre giriş olarak verilmektedir. Oransal 4

59 ve türevsel terimler eyleyici kuvvetlerini belirlerken, integral terimi sürekli rejim hatasını sıfırlamayı amaçlar. Katsayılar ilk olarak Ziegler-Nichols yöntemi kullanılarak tespit edilmiştir. Ardından gerçekleştirilen benzetimler sonucunda daha uygun olan Kp=1, Kd=1 ve Ki=25 değerleri kullanılmıştır. Kontrolörden çıkış olarak alınan kontrol sinyali seçilen eyleyicinin azami kuvvet uygulama kapasitesine göre sınırlandırılmaktadır. ġekil 5.3 : Matlab/Simulink de kurulan kontrol sistemi modeli Ġleri Kinematik Bölüm 2 de anlatılan tekrarlamalı yöntem kullanılarak her benzetim adımında uç elemanının uzaydaki yeni konumu, ölçülen bacak boyları ve mekanizmanın tasarım geometrisi kullanılarak birkaç iterasyonda hesaplanabilmektedir. Algoritma her zaman sistemin başlangıç konumundan itibaren yakınsamaya başladığından, iteratif yöntemlerin en ciddi sorunu olan yanlış bir konuma yakınsama durumu ile 41

60 karşılaşılmamaktadır. Yapılan benzetimlerde ileri kinematik çözüm yöntemi oldukça güvenilir sonuçlar vermiştir. Yapılan her iterasyon için hata toleransı 1.e-5 olarak belirlenmiş ve her benzetim adımında sonuca ulaşmak için en fazla 2 iterasyona ihtiyaç duyulmaktadır Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması Ters Jakobiyenin hesaplanması için sadece uç elemanın uzaydaki konumu ve sistemin geometrik tasarım parametrelerinin bilinmesi gerekmektedir. Oluşturulan matrisin tersi alınarak Jakobiyen matrisi elde edilir. Jakobiyen matrisinin özdeğerlerinden en az birinin sıfır olması durumunda mekanizma tekil bir konfigürasyona girmiş olur. Bu durumlardan sakınmak için bu matrisin determinantının sıfıra olan uzaklığına bakılarak böyle bir konfigürasyona olan yakınlık kontrol edilmelidir Ġleri Dinamik Sistemin ileri dinamiği Bölüm 4 de anlatılan yöntem ile çözülmüştür. Bu yöntemde sistemden elde edilen bacak boyları değişim vektörü, ileri kinematik çözüm ile hesaplanan uç eleman konumu ve eyleyicilerden sisteme uygulanan kuvvet değerleri kullanılarak, uç elemanın genelleştirilmiş koordinatlarda sahip olacağı anlık ivme değerlerine ulaşılmaktadır. Her benzetim sonucunda ADAMS modelinden elde edilen ivme değerleri, ileri dinamik denklemlerinin çözümü ile elde edilen ivme değerleri ile karşılaştırılarak, matematiksel model doğrulanmıştır. İki model arasındaki en önemli fark ADAMS modelinin mafsal sürtünmelerini içermesine karşılık, matematiksel modelde bunun mevcut olmamasıdır. Çıkışlar arasındaki farklılığın en önemli nedeni sürtünme etkisinin yer almamasıdır. 5.3 ÇalıĢma Uzayı ve Dinamik DavranıĢ Benzetimleri Hazırlanan dinamik sistem üzerinde Bölüm 5 de belirtilmiş olan tasarım hedeflerinin doğrulaması gerçekleştirilmiştir. Bu doğrulamalarda uç elemana ilgili eksende yapması planlanan en yüksek genlikli sinüzoidal salınım fonksiyonu yörünge olarak tanımlanmış ve bu salınımın frekansı ise aynı eksende yapması planlanan en yüksek ivmeyi sağlayacak şekilde belirlenmiştir. Sinüzoidal titreşim fonksiyonunun ikinci türevinin maksimum değerinin, amaçlanan maksimum ivme değerine eşit olacak 42

61 şekilde seçilmesi ile frekans değeri doğrudan belirlenmiş olur. Frekansı veren ifade aşağıda gösterilen denklem 5.1 ile hesaplanabilir. Burada ω, sinyal frekansı; γmax, ilgili eksendeki maksimum ivme değeri; A ise salınım genliğidir. (5.1) Koordinat Sistemi Benzetimlerde sisteme yaptırılan hareketler Şekil 5.4 ile gösterilen koordinat sisteminin eksenlerine göre gerçekleştirilmektedir. Doğrusal hareketler X ekseninde Surge, Y ekseninde Heave ve Z ekseninde Sway olarak adlandırılmaktadır. Açısal hareketler ise X, Y ve Z eksenlerinde sırasıyla Roll, Yaw ve Pitch olarak anılmaktadır. ġekil 5.4 : ADAMS da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge) Hareket platformuna X ekseni doğrultusunda yönelmesiz 25 mm genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.5). Bu salınımın frekansı,.6 g maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. 43

62 Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] ġekil 5.5 : Surge hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.6 ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum.7 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Acisi Y Acisi X Konumu.6 Z Acisi 6 Y Konumu Z Konumu ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları 44

63 Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] 1.5 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar.5 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y Dogrusal Z Acisal Z ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.7 ve Şekil 5.8 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal X-ekseni hareketi üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.8 de üst üste çizdirilmiştir. Dogrusal X Ivmesi 1.5 x 1-7 Acisal X Ivmesi 4 ADAMS Modeli Matematiksel Model 1 ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi 1 x 1-7 Acisal Y Ivmesi 1 ADAMS Modeli Matematiksel Model 5 ADAMS Modeli Matematiksel Model x 1-7 Dogrusal Z Ivmesi Acisal Z Ivmesi.5 ADAMS Modeli Matematiksel Model 2 ADAMS Modeli Matematiksel Model ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 45

64 Kuvvet [Newton] Uzunluk [mm] 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.9 da gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.1 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.1 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.11 ile gösterilmektedir. 46

65 Determinant(iJk) 1.46 Tekillik Endeksi ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave) Hareket platformuna Y ekseni doğrultusunda yönelmesiz 18 mm genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.12). Bu salınımın frekansı,.5 g maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 5.22 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. ġekil 5.12 : Heave hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.13 ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 47

66 Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] 1 Dogrusal Koordinatlarda Konum X Konumu Y Konumu Z Konumu 4 x 1-4 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum 2 X Acisi Y Acisi Z Acisi ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları 1.8 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar Dogrusal X Dogrusal Y Dogrusal Z 1 x 1-3 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Acisal X Acisal Y Acisal Z ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.14 ve Şekil 5.15 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Y-ekseni hareketi üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.15 de üst üste çizdirilmiştir. 48

67 Uzunluk [mm] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] 3 Dogrusal X Ivmesi 15 x 1-8 Acisal X Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli 2 Matematiksel Model 1 Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi 1 x 1-7 Acisal Y Ivmesi 1 5 ADAMS Modeli Matematiksel Model 5 ADAMS Modeli Matematiksel Model x 1-8 Dogrusal Z Ivmesi 4 Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli Matematiksel Model 3 ADAMS Modeli Matematiksel Model ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 115 Bacak Uzunluklari ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.16 da gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.17 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. 49

68 Determinant(iJk) Kuvvet [Newton] Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.18 ile gösterilmektedir Tekillik Endeksi ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi 5

69 Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway) Hareket platformuna Z ekseni doğrultusunda yönelmesiz 25 mm genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.19). Bu salınımın frekansı,.6 g maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. ġekil 5.19 : Sway hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.2 ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum.3 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Konumu X Acisi Y Konumu Y Acisi Z Konumu.2 Z Acisi ġekil 5.2 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları 51

70 Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] 1.5 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar.2 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y Dogrusal Z.1 Acisal Z ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.21 ve Şekil 5.22 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Z-ekseni hareketi üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.22 de üst üste çizdirilmiştir. 15 Dogrusal X Ivmesi 5 Acisal X Ivmesi 1 ADAMS Modeli Matematiksel Model ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi 5 Acisal Y Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli 5 Matematiksel Model Matematiksel Model Dogrusal Z Ivmesi ADAMS Modeli 1 Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli 2 Matematiksel Model 5 Matematiksel Model ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 52

71 Kuvvet [Newton] Uzunluk [mm] 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.23 de gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.24 ile eyleyicilerin kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.25 ile gösterilmektedir. 53

72 Determinant(iJk) 1.46 Tekillik Endeksi ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll) Hareket platformuna X ekseni etrafında ötelemesiz 21 genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.26). Bu salınımın frekansı, 5 /s² maksimum açısal ivmeyi sağlayan 4.88 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. ġekil 5.26 : Roll hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.27 ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 54

73 Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum 25 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Konumu X Acisi Y Konumu Y Acisi 7 Z Konumu 2 Z Acisi ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları.1 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar 2 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y.5 Dogrusal Z 1.5 Acisal Z ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.28 ve Şekil 5.29 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal X-ekseni hareketi etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.29 da üst üste çizdirilmiştir. 55

74 Uzunluk [mm] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] 2 1 Dogrusal X Ivmesi ADAMS Modeli Matematiksel Model Acisal X Ivmesi ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi 8 Acisal Y Ivmesi 5 ADAMS Modeli Matematiksel Model 6 ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Z Ivmesi 2 Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli Matematiksel Model 1 Matematiksel Model ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.3 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.3 da gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.31 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. 56

75 Determinant(iJk) Kuvvet [Newton] Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.32 ile gösterilmektedir Tekillik Endeksi ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw) Hareket platformuna Y ekseni etrafında ötelemesiz 22 genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.33). Bu salınımın frekansı, 4 /s² maksimum açısal ivmeyi sağlayan 4.26 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. 57

76 Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] ġekil 5.33 : Yaw hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.34 ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum 25 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Konumu X Acisi Y Konumu Y Acisi 7 Z Konumu 2 Z Acisi ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları 58

77 Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye].1 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar 2 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y Dogrusal Z 1.5 Acisal Z ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.35 ve Şekil 5.36 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Y-ekseni hareketi etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.36 da üst üste çizdirilmiştir..1 Dogrusal X Ivmesi.4 Acisal X Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli.5 Matematiksel Model.2 Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi ADAMS Modeli 15 Acisal Y Ivmesi ADAMS Modeli 1 Matematiksel Model 1 Matematiksel Model Dogrusal Z Ivmesi.1 Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli.2 Matematiksel Model.5 Matematiksel Model ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 59

78 Kuvvet [Newton] Uzunluk [mm] 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.37 de gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.38 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.39 ile gösterilmektedir. 6

79 Determinant(iJk) 1.46 Tekillik Endeksi ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch) Hareket platformuna Z ekseni etrafında ötelemesiz 22 genlikli bir sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.4). Bu salınımın frekansı, 5 /s² maksimum açısal ivmeyi sağlayan 4.77 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır. ġekil 5.4 : Pitch hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.41 ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 61

80 Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum 25 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Konumu X Acisi Y Konumu Y Acisi 7 Z Konumu 2 Z Acisi ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları.5 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar 2 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y.4 Dogrusal Z 1.5 Acisal Z ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.42 ve Şekil 5.43 ile gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Z-ekseni hareketi etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.43 de üst üste çizdirilmiştir. 62

81 Uzunluk [mm] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] 15 Dogrusal X Ivmesi 4 x 1-7 Acisal X Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli 1 Matematiksel Model 2 Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi 1 x 1-7 Acisal Y Ivmesi ADAMS Modeli ADAMS Modeli 1 Matematiksel Model 5 Matematiksel Model x 1-7 Dogrusal Z Ivmesi Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli Matematiksel Model 6 4 ADAMS Modeli Matematiksel Model ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.44 de gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.45 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. 63

82 Determinant(iJk) Kuvvet [Newton] 1 Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.46 ile gösterilmektedir. 1.5 Tekillik Endeksi ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi 64

83 5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi Tek eksen üzerinde yapılan hareket benzetimleri ile sistemin verilen dinamik özellikleri sağlamadaki başarısı incelenmiştir. Bunlara ek olarak platform merkezinin tüm eksenlerde farklı genlik ve frekanslardaki salınımların Çizelge 5.1 e göre kombinasyonundan oluşan hareket yörüngesini takip etmesi istenmiş ve bu benzetimin sonuçları da incelenmiştir. Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar Hareket Ekseni Salınım Genliği Salınım Frekansı [Hz] Surge - X 2 mm.2 Heave - Y 5 mm.4 Sway - Z 5 mm.4 Roll - X 5.4 Yaw - Y 5.2 Pitch - Z 5.4 ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.48 ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip etmektedir. 65

84 Dogrusal Hiz [mm/saniye] Acisal Hiz [radyan/saniye] Dogrusal Konum [mm] Acisal Konum [derece] 8 Dogrusal Koordinatlarda Konum 6 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum X Konumu X Acisi Y Konumu Y Acisi Z Konumu Z Acisi ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları.3 Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar.3 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar Dogrusal X Acisal X Dogrusal Y Acisal Y Dogrusal Z Acisal Z ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.49 ve Şekil 5.5 ile gösterilmektedir. Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.5 de üst üste çizdirilmiştir. 66

85 Uzunluk [mm] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal Ivme [mm/saniye 2 ] Acisal Ivme [radyan/saniye 2 ] Dogrusal X Ivmesi 3 Acisal X Ivmesi 1 ADAMS Modeli Matematiksel Model 2 ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Y Ivmesi Acisal Y Ivmesi 1.5 ADAMS Modeli Matematiksel Model.5 ADAMS Modeli Matematiksel Model Dogrusal Z Ivmesi Acisal Z Ivmesi ADAMS Modeli 2 ADAMS Modeli 2 Matematiksel Model 1 Matematiksel Model ġekil 5.5 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler 12 Bacak Uzunluklari ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.51 de gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.52 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır. 67

86 Determinant(iJk) Kuvvet [Newton] x 1 4 Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda Şekil 5.53 ile gösterilmektedir Tekillik Endeksi ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi 68

87 Kuvvet [Newton] 5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi Yük Sınırının Belirlenmesi Üretici kataloğundan seçilen eyleyici tipinin uygulayabildiği en yüksek kuvvet değeri N olmaktadır. Sistemin eyleyicilerinin ihtiyaç duyacağı kuvvetlerin bu sınırlara yaklaştığı, yük değeri hesaplanmış ve bu değerin 2 kg olduğu belirlenmiştir. Sistem kullanılan eyleyiciler ile önerilen kütle değerinin 2 katı yükü taşıyabilmekte ve aynı performans kriterlerini sağlayabilmektedir. Bu şekilde yüklenmiş platform mekanizması en fazla eyleyici kuvvetine yüksek moment değerlerinin ortaya çıktığı Roll hareketini gerçekleştirirken ihtiyaç duymaktadır. Kuvvet ihtiyacının değişimi Şekil 5.54 ile gösterilmektedir. Kesikli üst ve alt çizgiler seçilen eyleyici modelinin uygulayabileceği en yüksek kuvvet değerini göstermektedir. x 1 4 Eyleyici Kuvvetleri ġekil 5.54 : 2 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi Sistemin yaptığı 6 farklı sinüzoidal hareketin frekansı o hareket esnasında ulaşılan en yüksek ivme değerlerini belirlemektedir. Bu durumda frekansın artması uç elemanın ulaşacağı ivme değerlerini yüksektecek ve eyleyici kuvveti ihtiyacını arttıracaktır. Dolayısı ile hareket frekanslarının genlikleri sabit olmak üzere ulaşabilecekleri sınır değerler eyleyici kuvvetlerine bakılarak belirlenmiştir. Bu sınır frekansları hareketlere göre Çizelge 5.1 ile verilmektedir. 69

88 Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri Yapılan Hareket En Yüksek Frekans [radyan/sn] Surge 9.5 Heave 17 Sway 9.5 Roll 8.5 Yaw 24 Pitch 8.5 7

89 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Yapılan çalışmada paralel manipülatörler ve özellikle Stewart Platform Mekanizmalarına ait genel bilgiler verilmiş, sistemin ileri ve ters kinematik denklemlerinin çözümü, tekillik analizleri ele alınarak statik analiz ve ileri ve ters dinamik modelin oluşturulması ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Belirli tasarım kriterlerini sağlamak üzere bir SPM nin boyutlandırılması amaçlanmıştır. Tasarım kriterlerinin tutarlı ve genel kullanım alanlarındaki ihtiyaçları karşılayacak seviyede olması amacıyla bu kriterler gerçek bir hareket platformunun özelliklerinden örnek alınmıştır. Kriterler sistem boyutları, çalışma uzayı sınırları ve uç elemanın uygulayabileceği en yüksek ivmeyi içermektedir. Çalışma uzayı sınırları parametre uzayı yaklaşımı yöntemi ile birlikte kullanılarak üst tabla, alt tabla ve eyleyici boyutları ile ilgili seçim aralıkları belirlenmiştir. Bu aralıklardan faydalanarak üretici kataloğundan gereksinimleri karşılayan bir eyleyici seçilmiş ve eyleyici boyutlarının sağladığı çalışma uzayı ayrıklaştırma yöntemi ile ortaya çıkarılmıştır. Hedefleri karşılayan eyleyici boyutlarının kullanıldığı model ile dinamik benzetimler gerçekleştirilerek eyleyici kuvvetlerinin yeterliliği incelenmiştir. Aynı zamanda sistemin Newton-Euler denklemleri ile kurulan matematik modelinden elde edilen genelleştirilmiş ivme çıkışları dinamik benzetim modelinin çıkışları ile karşılaştırılarak matematik modelin doğrulaması gerçekleştirilmiştir. Matematik modelin hareket platformunun yere paralel eksenler etrafında yaptığı açısal hareketlerde ivme çıkışları için ADAMS modelinden farklılık gösterdiği tespit edilmiştir. Bu farklılığın yer çekiminin platform üzerinde yarattığı moment etkisi altındaki hareketlerde ortaya çıktığı sonucuna varılmıştır. 71

90 Tüm tasarım hedeflerini karşıladığı görülen sistemin eyleyicilerin sınır kuvvetlerinde taşıyabileceği yük ve gerçekleştirebileceği salınımların frekansları ortaya çıkarılmıştır. Ultramotion firmasına ait Digit model bir adım motorlu doğrusal eyleyicinin bilgisayar kontrolü üzerine çalışılmıştır. Bu çalışma Ek-A.2 bölümünde anlatılmıştır. 72

91 KAYNAKLAR [1] McKerrow, P. J., 1991: Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing Company. [2] Merlet, J. P., 26: Parallel Robots (Second Edition), Springer, Dordrecht, Netherlands. [3] Stewart, D., 1965: A platform with 6 Degrees of Freedom, Proc. Institute of Mechanical Engineers, 18 (Part 1,15) [4] Gough, V. E., : Contribution to discussion of papers on research in automobile stability, control and tyre performance, Proc. Auto Div. Inst. Mech. Eng. [5] Anlı, E., Alp, H., Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 25: Paralel Mekanizmaların Kinematiği, Dinamiği ve Çalışma Uzayı, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt 2, Sayı 1. [6] Merlet, J. P., 1993, Direct Kinematics of Parallel Manipulators, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 9, No. 6. [7] Pottmann, H., Peternell, M. and Ravani, B., 1999: An Introduction to Line Geometry with Applications, Elsevier Science Ltd. [8] Voglewede, P. A. and Uphoff, I., E., 24: Measuring Closeness to Singularities for Parallel Manipulators, IEEE. [9] Merlet, J. P., 1998: Determination of the Presence of Singularities in 6D Workspace of a Gough Parallel Manipulator, Advances in Robot Kinematics: Analysis and Control, J. Lenarcic, M. L. Husty, Kluwer Academic Publishers, Netherlands,

92 [1] Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 22: 6-3 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematik, Dinamik Analizi ve Kontrolü, Doktora Tezi, İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul. [11] Alp, H., Özkol, Ġ., 28: 6 Serbestlik Dereceli 6-3, Özel Yapı 6-3 ve 6-4 Paralel Mekanizmaların Genişletilmiş Çalışma Uzayı Analizi, Doktora Tezi, İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul. [12] Pernkopf, F. and Husty, M. L., 26: Workspace Analysis of Stewart-Gough Type Parallel Manipulators, Proc. ImechE Vol. 22 Part C: J. Mechanical Engineering Science. [13] Gosselin, C. and Angeles, J., 199: Singularity Analysis of Closed-Loop Kinematic Chains, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 6, No. 3, June 199. [14] Kim, D. and Chung, W., 1999: Analytic Singularity Equation and Analysis of Six-DOF Parallel Manipulators Using Local Structurization Method, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 15, No. 4, August [15] Liu, K., Fitzgerald, J. M. and Lewis, F. L., 1993: Kinematic Analysis of a Stewart Platform Manipulator, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 4, No. 2, April [16] Ünsal, A., Ömürlü, V. E, 27: Farklı Yapıdaki Stewart Platform Mekanizmalarının Düz ve Ters Kinematik Analizi, Yüksek Lisans Tezi, YTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul. [17] Ulucay, Ö., AkĢit, M., 26: Design and Control of Stewart Platform, Yüksek Lisans Tezi, Sabancı Üniversitesi, İstanbul. [18] De Sapio, V., 1998: Some Approaches for Modeling and Analysis of a Parallel Mechanism with Stewart Platform Architecture, Sandia Report, Sandia National Laboratories, USA. [19] Özdağlar, M., Öztürk T., 21: Dynamic Modeling and Control of a Stewart Platform Type Motion Simulator, Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ. 74

93 EK A.1 Matlab programında yazılan kodlar: 1) Parametre Uzayı Yaklaşımı için kullanılan kod (psa_test.m): % Parameter Space Approach for Optimization of SPM Geometry clc; % Design Parameters are { Rb, Rt, legln } % { TRANSFORMATIONS } % in2mm=25.4; deg2rad=pi/18; % { CONSTANT PARAMETERS } % topheight=71; baseheight=; actlength=( )*in2mm; % { PARAMETER INTERVALS } % Rb_min=8; Rb_max=11; Rt_min=5; Rt_max=8; % alpha_min=2*deg2rad; alpha_max=3*deg2rad; % beta_min=2*deg2rad; beta_max=3*deg2rad; strk_min=12*in2mm; strk_max=18*in2mm; legln_min=actlength+strk_min; legln_max=actlength+strk_max; Lmin=legln_min; Lmax=legln_max; %strk_max; % { SEARCH INTERVALS } % NoPn=5; IntV=[(Rb_max-Rb_min)/NoPn;... (Rt_max-Rt_min)/NoPn;... (strk_max-strk_min)/nopn]; % { DEFINED WORKSPACE } % P=[25,,,,,; ,,,,,;...,18,,,,;...,-18,,,,;...,,25,,,;...,,-25,,,;...,,,21,,;...,,,-21,,;...,,,,22,;...,,,,-22,;... 75

94 ,,,,,22;...,,,,,-22]; % { PARAMETER-SPACE ALGORITHM } % %************************************************% alpha=5*deg2rad; beta=5*deg2rad; %************************************************% clear AR; i=1; m=1; ari=1; nb=[,1,2,3,7,6,4,5]; mb=[3,2,3,1,3,2,3]; qtlp=false; D=[Rb_min,Rb_max;Rt_min,Rt_max;strk_min,strk_max]; SR=D; while i<=m qtlp=false; G=SR(:,2*i-1:2*i); for j=1:8; bb=dec2bin(nb(j),3); Rb=G(1,1+str2num(bb(1))); Rt=G(2,1+str2num(bb(2))); strk=g(3,1+str2num(bb(3))); legln=actlength+strk; pb=[-rb*sin(pi/6+alpha),-rb*sin(pi/6- alpha),rb*cos(alpha),rb*cos(alpha),-rb*sin(pi/6-alpha),- Rb*sin(pi/6+alpha);... baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight;... -Rb*cos(pi/6+alpha),-Rb*cos(pi/6-alpha),- Rb*sin(alpha),Rb*sin(alpha),Rb*cos(pi/6-alpha),Rb*cos(pi/6+alpha)]; pt=[-rt*cos(beta),rt*sin(pi/6- beta),rt*sin(pi/6+beta),rt*sin(pi/6+beta),rt*sin(pi/6-beta),- Rt*cos(beta);...,,,,,;... -Rt*sin(beta),-Rt*cos(pi/6-beta),- Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6-beta),Rt*sin(beta)]; for k=1:size(p,1) X=P(k,:); p=[x(1);x(2)+topheight;x(3)]; ca=cos(x(4)*deg2rad); sa=sin(x(4)*deg2rad); cb=cos(x(5)*deg2rad); sb=sin(x(5)*deg2rad); cc=cos(x(6)*deg2rad); sc=sin(x(6)*deg2rad); % Rotations on X-Y-Z R1=[1 ; ca -sa; sa ca]; 76

95 R2=[cb sb; 1 ;-sb cb]; R3=[cc -sc ;sc cc ; 1]; R=R1*R2*R3; for z=1:6 L(z,1)=norm(R*pt(:,z)+p-pb(:,z)); end if ( min(l)>(legln+strk) max(l)<legln ) L_P(j,k)=-1; if (j~=1) % BISECT BOX if min(g(:,2)-g(:,1)-2*intv)>=; bsd1=g; bsd2=g; bsd1(mb(j-1),1:2)=[g(mb(j-1),1),(g(mb(j- 1),1)+G(mb(j-1),2))/2]; bsd2(mb(j-1),1:2)=[(g(mb(j-1),1)+g(mb(j- 1),2))/2,G(mb(j-1),2)]; SR=[SR bsd1 bsd2]; m=m+2; end i=i+1; qtlp=true; break; end elseif ( min(l)>=legln max(l)<=(legln+strk) ) L_P(j,k)=1; end end end end if qtlp==true break; end if qtlp==true continue; else AR(:,2*ari-1:2*ari)=G; ari=ari+1; i=i+1; end lblx='alt Yaricap [mm]'; lbly='ust Yaricap [mm]'; lblz='eyleyici Strok Uzunlugu [mm]'; run psa_plot; axis([rb_min Rb_max Rt_min Rt_max strk_min strk_max]); % { END OF CODE } % 77

96 2) Parametre Uzayı Analizinin sonuçlarını grafiksel olarak almak için kullanılan kod (psa_plot.m): % Results Plotter for Defined Workspace Algorithm n=size(ar,2)/2; do=[ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ]; for i=1:n end for j=1:12 end grid on; line([ar(1,2*i+do(j,1)-2),ar(1,2*i+do(j,4)-2)],... [AR(2,2*i+do(j,2)-2),AR(2,2*i+do(j,5)-2)],... [AR(3,2*i+do(j,3)-2),AR(3,2*i+do(j,6)-2)]); title('tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler') xlabel(lblx); ylabel(lbly); zlabel(lblz); 78

97 3) Parametre Uzayı Analizi sonuçlarında belirli bir aralığın sonuçlarını sayısal olarak veren kod (psa_find.m): clc; testprm=[9;6;]; checklist=[;;1]; for i=1:n if ((testprm(1)>=ar(1,2*i-1) && testprm(1)<=ar(1,2*i)) checklist(1)) if ((testprm(2)>=ar(2,2*i-1) && testprm(2)<=ar(2,2*i)) checklist(2)) if ((testprm(3)>=ar(3,2*i-1) && testprm(3)<=ar(3,2*i)) checklist(3)) [AR(1,2*i-1),AR(1,2*i);AR(2,2*i- 1),AR(2,2*i);AR(3,2*i-1),AR(3,2*i)] end; end; end; end; 79

98 clc; 4) Ayrıklaştırma metodu ile çalışma uzayını hesaplayan kod (workspace.m): %Discretization Method % Parameters % pt=[-75.6,-4.42,-4.42,-75.6,115.47,115.47;... % Top attachment points wrt top plate CS % ,-18.92,-18.93,-18.93,-18.93,-18.93;... % -9,-11,11,9,-2,2]; % pb=[ ,64.95,64.95, ,18.25,18.25;... % Base attachment points wrt base plate CS %,,,,,;... % -25,-162.5,162.5,25,-137.5,137.5]; pt=spm.pointstop; pb=spm.pointsbase; ih=spm.initialheight; % r=[;;]*(pi/18); % Rotation angles about x,y,z % % ca=cos(r(1)); sa=sin(r(1)); % cb=cos(r(2)); sb=sin(r(2)); % cc=cos(r(3)); sc=sin(r(3)); % R=[cb*cc -cb*sc sb;... % sa*sb*cc+ca*sc -sa*sb*sc+ca*cc -sa*cb;... % -ca*sb*cc+sa*sc ca*sb*sc+sa*cc ca*cb]; R=1; Lmax=1244.6; Lmin=838.2; % Workspace Definition int=15; % Scan interval for workspace grid k=1; for x=-4:int:4 for y=-4:int:4 for z=-4:int:4 p=[x;y+ih;z]; for i=1:6 L(i,1)=norm(R*pt(:,i)+p-pb(:,i)); end % Check for Max. and Min. leg lengths end end end if (max(l)<=lmax && min(l)>=lmin) P(:,k)=p; k=k+1; end % Visualization

99 subplot(2,2,1) plot(p(1,:),p(2,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,2) plot(p(3,:),p(2,:),'*') xlabel('z-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,3) plot(p(1,:),p(3,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') subplot(2,2,4) MinMaxXYZ=[-max(abs(P(1,:))) max(abs(p(1,:))) min(abs(p(2,:))) max(abs(p(2,:))) -max(abs(p(3,:))) max(abs(p(3,:)))] plot3(p(1,:),p(3,:),p(2,:),'b.') grid on axis([minmaxxyz(1,1:2) MinMaxXYZ(1,5:6) MinMaxXYZ(1,3:4)]) title('workspace Grid') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') zlabel('y-axis') 81

100 5) İleri dinamik model için Embedded Matlab Editor içerisine yazılan kod: function [ijk,w,dw] = FwdDyn(Xest,LegVels,Forces) LegVels=1e-3*LegVels; Xest(1:3)=1e-3*Xest(1:3); J=1.378; I=[1.7e2,,;,1.67e2,;,,1.7e2]; m=13; g=[;-9.81;]; Eang=pi/18*Xest(4:6); sa=sin(eang(1)); sb=sin(eang(2)); sc=sin(eang(3)); ca=cos(eang(1)); cb=cos(eang(2)); cc=cos(eang(3)); pt=1e-3*[ , , , , , ;...,,,,,; , , , , , ]; pb=1e-3*[ , , , , , ;... 3.,3.,3.,3.,3.,3.; , , ,78.442, , ]; R=[cb*cc -cb*sc sb;... sa*sb*cc+ca*sc -sc*sa*sb+ca*cc -sa*cb;... -ca*sb*cc+sa*sc sc*sb*ca+sa*cc ca*cb]; LegLengths=zeros(3,6); scalll=zeros(1,6); normll=zeros(3,6); ijk=zeros(6,6); for i=1:6 LegLengths(:,i)=R*pt(:,i)+Xest(1:3)-pb(:,i); scalll(:,i)=norm(leglengths(:,i)); normll(:,i)=leglengths(:,i)/scalll(i); ijk(i,:)=[normll(:,i)' cross(r*pt(:,i),normll(:,i))']; end; Jk=inv(iJk); GC=R*[;-.5;]; GCM=v2m(GC); W=Jk*LegVels; w=cross(cross(w(4:6),gc),w(4:6)); T1=[m*eye(3) m*gcm;-m*gcm I-m*GCM^2]; T2=[m*w-m*g;... cross(w(4:6),(i*w(4:6)))+m*gcm*(w-g)]; sum11=zeros(3,6); sum12=zeros(3,6); sum21=zeros(3,1); sum22=zeros(3,1); for i=1:6 sum11=sum11 + J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) - v2m(r*pt(:,i))]; sum12=sum12 + J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) - v2m(r*pt(:,i))]; sum21=sum21 + J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[cross(W(4:6),cross(W(4:6),R* pt(:,i)))]; sum22=sum22 + J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*cross(W(4:6),cross(W(4:6),R*pt(:,i))); end; V1=[sum11;sum12]; V2=[sum21;sum22]; dw = inv(t1-v1)*transpose(ijk)*forces-inv(t1-v1)*(t2-v2); 82

101 6) Plücker vektörlerini hesaplamak için yazılmış fonksiyon (plucker.m): function [P,Pn]=plucker(M1,M2) %PLUCKER Plücker line vector. % % [P,Pn]=PLUCKER(M1,M2) Forms the Plücker % line vector P by the formula; % % P = [ M1M2, OM1 x M1M2 ] % % and normalized vector Pn by the formula; % % P % Pn = % M1M2 % % from point M1 to point M2. Resulting vectors % are always column vectors. if nargin<2 error('need two input arguments.') end P=M2-M1; if (size(p,1)==1) P=P'; end P(4)=M1(2)*(M2(3)-M1(3))-M1(3)*(M2(2)-M1(2)); P(5)=-M1(1)*(M2(3)-M1(3))+M1(3)*(M2(1)-M1(1)); P(6)=M1(1)*(M2(2)-M1(2))-M1(2)*(M2(1)-M1(1)); Pn=P/norm(M2-M1); 83

102 7) Vektörleri skew-simetrik matrise dönüştüren fonksiyon (v2m.m): %#eml function M = v2m(a) M=[ -A(3) A(2);A(3) -A(1);-A(2) A(1) ]; 84

103 EK A.2 EYLEYİCİ KONTROLÜ Stewart Platform mekanizmasının bir bacağının kontrol işlemini temsil etmek üzere, Ultramotion firmasından temin edilen NEMA Adım motoruna sahip bir doğrusal eyleyici (Şekil A.1) mikrokontrolör ve uygun sürücü devresi ile kontrol edilecektir. ġekil A..1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici Kullanılacak sürücü devresi UCN584B olup altı çıkışa sahip NEMA adım motorunu unipolar yöntem ile kontrol etmek için uygundur. Bu devrenin kurulumu Şekil A.2 de verilmektedir. Eyleyicinin kontrolü bir bilgisayar seri portu üzerinden yapılacak ve bilgisayar ile iletişim kuracak olan Microchip firmasına ait PIC16F877A mikrokontrolör eyleyicinin istenen boya ulaşmasını denetleyecektir. Bu eyleyici tez çalışmasında incelenen sistem için uygun görülen eyleyicinin muadili olmayıp bu ürünün kontrolü örnek amaçlı yapılacaktır. 85