YARI-KOTANJANT DEMET Furkan YILDIRIM Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Geometri Bilim Dalı Prof. Dr. Arif SALİMOV 2015 Her hakkı saklıdır

Transkript

1 YAR-KOTANJANT DEMET Fur YLDRM Dotor Tez Mtemt Ablm Dlı Geometr Blm Dlı Prof. Dr. Arf SALİMOV 25 Her hı slıdır

2 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YAR-KOTANJANT DEMET Fur YLDRM MATEMATİK ANABİLİM DAL Geometr Blm Dlı ERZURUM 25 Her hı slıdır

3

4 ÖZET Dotor Tez YAR-KOTANJANT DEMET Fur YLDRM Attür Üverstes Fe Blmler Esttüsü Mtemt Ablm Dlı Geometr Blm Dlı Dışm: Prof. Dr. Arf SALİMOV Bu tezde l olr, br B mfoldu üzerde M fbre demet ullılr, dejeere smplet ypıy shp ol, t*b yrı-otjt (pull-bc) demet tımı ypıldı. Dh sor M üzerde zdüşümü ol geometr objeler yrı-otjt demete ol lft problemler celed. Ayrıc, lftler lımış objeler le dejeere smplet ypı rsıd lş celed. So olr, TM tjt demet zdüşümü (submerso) le tımlı T*M otjt demet t*m pull-bc (yrı-otjt) demet tımlıp, t*m pull-bc (yrı-otjt) demetde vetör ve (,) tpl tesör llrı ol forlrı tm ve yty lftler le lgl bzı problemler ele lımıştır. 25, 5 syf Ahtr Kelmeler: Vetör llrı, tm lft, yty lft, temel -form, pull-bc demet, yrı-otjt demet.

5 ABSTRACT Ph.D. Thess SEM-COTANGENT BUNDLE Fur YLDRM Attür Uversty Grdute School of Nturl d Appled Sceces Deprtmet of Mthemtcs Dscple of Geometry Supervsor: Prof. Dr. Arf SALMOV ths thess; frstly, usg the fber budle M over mfold B, the defto of semcotget (pull-bc) budle t*b whch hs degeerte symplectc structure ws gve. Secodly, lftg problems of projectble geometrc objects o M to the semcotget budle were lyzed. Reltos betwee lfted objects d degeerte symplectc structure were lso preseted. The, pull-bc (sem-cotget) budle t*m of cotget budle T*M by usg projecto (submerso) of the tget budle TM ws vestgted. Flly, complete d horzotl lfts of vector d ffor (tesor of type (,)) felds for pull-bc (sem-cotget) budle t*m were exmed. 25, 5 pges Keywords: Vector feld, complete lft, horzotl lft, bsc -form, pull-bc budle, sem-cotget budle.

6 TEŞEKKÜR Dotor tez olr suduğum bu çlışm Attür Üverstes Fe Fültes Mtemt Bölümü de ypılmıştır. Çlışmlrımd her türlü desteğ sğly, hocm Syı Prof. Dr. Arf SALİMOV e çte teşeürlerm surım. Çlışmlrımd ve tez hzırlışıd yı lgler gösterp, b yol göstere ve blglere her zm htyç duycğım değerl hoclrım; Syı Prof. Dr. Abdullh MAĞDEN, Syı Doç. Dr. Kürşt AKBULUT, Syı Doç. Dr. Necm CENGİZ, Syı Doç. Dr. Murt İŞCAN, Syı Doç. Dr. Ömer TARAKÇ, Syı Doç. Dr. Aydı GEZER e ve rdşlrım Syı Su AY le Syı Selhtt GENÇ e, çlışmlrım essıd vermş oldulrı deste ve teşvte dolyı leme yrıc burs mı sğly TÜBİTAK-BİDEP e sosuz teşeürlerm surım. Fur YLDRM Oc, 25

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Dferesyelleeblr Mfoldlr Tesör Allrı Dferesyelleeblr Mfold Üzerde Af (Lev-Cvt) Koesyo Af oesyolu uzylr Eğrl ve burulm tesörler Koesyolrı döüşümü Burulmsı sıfır ol uzylr MATERYAL ve YÖNTEM Tjt Demet Fosyou dey lft Vetör lıı dey lft formu dey lft Vetör lıı tm lft Afor lıı tm lft opertörü Yty lft Kotjt Demet Fosyou dey lft Kovetör lıı dey lft Vetör lıı tm lft Afor lıı tm lft opertörü Vetör lıı yty lft v

8 Afor lıı yty lft Yrı-Tjt Demet Fosyou dey lft Vetör lıı dey lft Kovetör lıı dey lft Fosyou tm lft Vetör lıı tm lft ARAŞTRMA BULGULAR ve TARTŞMA Yrı-Kotjt Demet Yrı-otjt demette temel -form formu dey lft opertörü Vetör llrıı tm lft Afor llrıı tm lft Vetör llrıı yty lft (,) tpl tesör llrıı yty lft Tjt Demet İzdüşümü le Tımlı Kotjt Demet Pull-Bc Demet Vetör llrıı tm lft (,2) tpl tesör llrıı dey lft (,) tpl tesör llrıı tm lft opertörü Vetör llrıı yty lftler (,) tpl tesör llrıı yty lft SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 5 v

9 SİMGELER DİZİNİ T m h S j Af Deformsyo (Gerlme) Tesörü Burulm Tesörü Burulmsız Af Koesyo t * ( Bm ) Bm Üzerde Yrı-otjt Demet h j h R j F Crstoffel Sembolü Dejeere Smplet Ypı Dey Lft Eğrl Tesörü Gm Opertörü İzdüşümlü Afor Allrı İzdüşümlü Vetör Allrı T * ( M ) M T M g M Üzerde Kotjt Demet Üzerde Tjt Demet Pseudo-Rem Metrğ C Pür Çrpım p * ( ) t B m Temel -formu W Tb İzdüşüm Tm Lft Weyl Uzyı L Vetör Alı Göre Kovryt Türev Vetör Alı Göre Le Türev Yty Lft v

10 . GİRİŞ Dferesyel geometr geometr problemler, dferesyel ve tegrl hesplm teler ullr çözümlemeye çlış mtemtğ br lt dspldr. V. yüzyıld orty çı ve gücellğ oruy Dferesyel geometr ess ousu, eğrler ve Öld uzyıd yüzeyler celemes olmuştur. Dferesyel Geometr de öeml br yere shp ol tesör vrmı gücel lmd l olr slıd br fzç ol Woldemr Vogt trfıd 898 de ullıldı. Tesör hesplmlrı 89 lı yıllrd ısc R olr lı Gregoro R-Curbstro trfıd mutl dferesyel hesplmlr bşlığı ltıd celed ve bu çlışmlr 892 yılıd eds trfıd suuldu. Dh sor R d Tullo Lev-Cvt (9) mutl dferesyel hesplm metodlrı ve uygulmlrı dı ltıd çlışmlrıı yyımldılr. Uzyd her br oty sırsıyl br sler vey vetörü ty ede sler lı vey vetör lı geelleşmş hl ol tesör lı, mfold üzerde tımlı olup mfoldu her br otsı br tesör rşılı getre br döüşümdür. Mtemtsel ypılrd se tesör lı fdes yere ısc tesör ullılır. Dferesyel Geometr de öeml br ou ol Rem mfoldd tjt demetler Dferesyel Geometr s celemes l olr Ss (958) trfıd ypılmıştır. Dh sor Dombrows (962), tjt demette geometrler gelşmese tıd bulumuştur. Yo d Ledger (965), smetr uzylrd tjt demet tımlmışlr ve buul lgl çlışmlrd bulumuşturlr. 966 yılıd tjt demette lftler çlışılmy bşlmıştır. İl çlışm Kobysh d Yo (966) y t tjt demette tesör llrıı ve oesyolrı tm ve dey lftler olmuştur. Am lft vrmı geşleme lmıd Yo d Kobysh de dh öce ypıl Ss (958) çlışmlrıd devm dı ltıd görülmetedr.

11 2 Kdtu (966), leer olmy oesyo shp br mfoldd tjt demet tımlmıştır. Yo d shhr (967) tjt demette oesyolrı ve tesör llrıı yty lftleryle lgl çlışmlrd bulumuşlrdır. Mormoto (97) tjt demette tesör llrıı ve oesyolrı lftler hıd çlışmlrd bulumuştur. Yo d Petterso (967) çlışmsıd lft ousu, otjt demet ç de celemştr. Yo d shhr (973) çlışmsıd se, hem tjt hem de otjt demetlerde dey, tm, yty ve dgol lftlerle lgl elde edlmş öeml souçlr yer verlmştr. Yrı-tjt demet se Duc (979) trfıd tımlmış olup yrı-tjt demete t bzı özelller Vshevs (22) trfıd celemştr. Yrı-tjt demette Le ve ovryt türevler tm lftler se Slmov d Kdıoğlu (2) trfıd çlışılmıştır. Suul bu tezde se öcelle yrı-otjt demet tımı ypılmış dh sor se yrı-otjt demette fosyou ve -formu dey lftler, vetör ve for llrıı tm ve yty lftler yrıtılı olr celemştr. Bu mçl, çlışmmızı lşılblmes ç ve ouu sıırlmsı bımıd c bölümde oumuzl lgl bzı vrmlrı tımlrı ve özelller urmsl temeller dı ltıd verlmştr. Üçücü bölümde se tjt demet, otjt demet ve yrı-tjt demet tımlrı le bu demetlerde tesör llrıı çeştl lftlere lş blgler yer lmtdır. Dördücü bölümde yrı-otjt demet tımı ypılmış ve yrı-otjt demet, otjt demet br pull-bc demet olduğu gösterlmştr. Dh sor yrıotjt demette çeştl tesör llrıı tm, dey ve yty lftler tımlmış ve bulr lş çeştl lft problemler celemştr. So olr tjt demet zdüşümü le tımlı otjt demet pull-bc demet tımlmış olup yrıc bu demette yer

12 3 l tesör llrıı tm, dey ve yty lftler le bulr lş çeştl lft problemler celemştr. Tezde souçlrı büyü br ısmı (Yıldırım 23; Slmov d Yıldırım 24; Yıldırım d Slmov 24, 24b) çlışmlrıd yer lmtdır.

13 4 2. KURAMSAL TEMELLER 2.. Dferesyelleeblr Mfoldlr Tım 2..: Husdorff uzy olm üzere herhg br U çı ümesde V ümese tıml :U V homeomorfzme de boyutlu oordt sstem vey hrt, U y se hrtsıı oordt omşuluğu vey oordt bölges der ve gösterlr. Eğer x U se U, şelde 2 x x, x,..., x olur. Burd x,..., x reel syılrı hrtsıd x otsıı oordtlrı der. Tım 2..2: Eğer Husdorff uzyıı -boyutlu hrtlrıı U bölgeler bu uzyı örterse, y A U, ( A-dsler ümes ) se e -boyutlu topoloj mfold vey sdece -boyutlu mfold der. Tım 2..3: Husdorff uzy ve se Aşğıd şrtlrı sğly U, : A, U şrtıı sğly tm syı olsu. lol oordtlr lese üzerde C sııfıd -boyutlu tls dı verlr:

14 5. Lol hrtlrı bölges örter, y, -boyutlu topoloj mfolddur. U 2. Keyf, A ç U U se : U U U U döüşümü sııfıddır. Bu şrt bze, ve U, hrtlrıı C U C uzlşmsı şrtı d der. u u U U u j oordtlrıdır.,, j,..., döüşümüe se oordtlrı döüşümü u der. Burd, U, hrtsıd j otsıı oordtlrı, se U, hrtsıd x otsıı u x U U se bu durumd döüşümü tımlmz. Ac, bu durumd döüşümüü C sııfıd olduğu bul edlecetr. 2. şrt, döüşümler C sııfıd dfeomorfzmler olmsı detr. Bu se, oordt döüşümüü Job mtrs determtıı sıfırd frlı olmsı demetr. Tım 2..4:, ve U,, C sııfıd herhg tls olsu. Bu tlslrı eyf, ve U, hrtlrı uzlşmış se y, U, ve U, der. U tlslrıı brleşm U C C sııfıd tls se verle tlslr de tlslr Tım 2..5: Husdorff uzyı üzerde C tlslrıı del sııfı C -ypı der. C -ypısıı tüm C tlslrıı brleşm oluşturduğu C tlsı msml C tls dı verlr.

15 6 üzerde tlslrıı her br del sııfı, eds br elemı le fde edlr. Y, C -ypısı, ou eyf C tlsı yrdımıyl oluşturulblr. Burd d üzerde her br C -ypısıı bu ypıd ol br C tls le verlebleceğ soucu çır. C C -ypıy topoloj ypı, C ypıy se düzgü (smooth) ypı der. Bud sor ylız C -ypılr bılctır. Tım 2..6: M, syılblr bz shp Husdorff uzy olsu. Eğer, M üzerde - boyutlu C tlslrıı C ypısı verlmşse M uzyı -boyutlu C sııfıd dferesyelleeblr mfold vey düzgü mfold der ve M le gösterlr Tesör Allrı * Tım 2.2.: B, boyutlu reel vetör uzyı, se ou dul uzyı olsu. B,,..., x j B j q ve B,,..., p ovetör değşeler 2 p t ( x, x,...,,,,..., ) 2 x q reel değerl fosyouu göz öüe llım. Eğer bu fosyo her br değşee göre leerl şrtıı sğlrs, fosyo multleer fosyo der. Mesel brc vetör değşee göre leerl şrtı, olm üzere 2 p 2 p 2 p t( x y, x,..., x,,,..., ) t ( x, x,..., x,,,..., ) t( y, x,..., x,,,..., ) 2 q 2 q 2 q bçmde gösterleblr. Bu multleer fosyo rşılı gele

16 7 t : B B... B B... B q p opertörüe B uzyıd p derecede otrvryt, q derecede ovryt tesör dı p verlr ve bu şelde tüm tesörler uzyı ( B ) le gösterlr. p, q olm üzere s = p+q syısı se tesörü vletlğ, (p,q) sembolüe se tesörü tp der. (p,) tpl tesöre otrvryt tesörler, (,q) tpl tesörlere se ovryt tesörler der. q S 2 B, ( ) 2 B uzyıı bütü smetr tesörler lt uzyı olm üzere herhg br g S 2 B tesörüü llım. g x, y, y B (2.) şrtıd x olurs, bu ttrde g tesörüe regüler tesör der. (2.) eştlğ oordtlrl g j x y j bçmde yzılır. Bu eştl her j y ç sğldığıd gx, j,..., j buluur. Bu delem sstem x çözümüe shp olmsı ç Detg j olmsı gerer. Burd g, g tesörüe rşılı gele mtrstr. j

17 8 g S 2 B tesörü regüler tesör se g tesörüe uzyıd ess tesör dı verlr. Ess tesöre rşılı gele mtrs ters g ~ j le gösterelm. Bu tdrde B g j g~ j g j (2.2) yzılır. ve uzylrı rsıd B B g x, ( g y ) (2.3) döüşümü, (2.2) eştlğe göre x g, ( y g ) (2.4) olur. g S 2 B tesörüe rşılı gele vryt bleer formu g, j x y g x y j şelde yzlım. Burd (2.3) ve (2.4) eştller dte lırs g, j x y g x y j j x g~ j olur. Y, g ess tesörü verldğde bz ovetör değşeler j g ~ j vryt bleer formuu buluruz. Bu göre de g ~ j, (2,) tpl tesörü oordtlrıdır. Bu tesöre g tesörüü ters tesörü der. Ayrıc g~ g~ ~ j, g j x g y x, j j j, g~ y g x y g x j y j g y x j ~g,

18 9 olduğud g ~ j tesörü smetrtr. Böylece B uzyıd g tesörü verldğde B de B br zomorfzm buluur. Bu göre vetör ve ovetörler yılştırılır ve yı x sembolü le gösterlr. Y yzılır. Bu şlemlere ds drlmes x ve yüseltlmes x x şlemler der. Bu göre, S x, y x g x, x g x tesörü göz öüe lıırs x S g S, S g S, S g g S p p p pj pq p pj. j j. j.. j fdeler her br S j tesörüde dsler yüseltlmes şlem S g S, S g S, S g g S. j j. j.. j p p p pj pq p qj fdeler her br se verlmş j S tesörüde dsler drlmes şlemdr. Eğer gx, y, B uzyıd (,2) tpl tesör se, her x, y B vetörler sler çrpımı deldğde g tesörüü x ve y vetörler üzerde z lşılır ve x y vey x, y bçmde gösterlr. Y xy g x, y g x y x y j j j j (2.5) bçmde tımlır. Eğer Detg j olurs bu tdrde (2.5) sler çrpımı regüler çrpım der.

19 Tım 2.2.2: M C sııfıd br mfold ve T, her p M otsıd tjt, uzyı olsu. M mfolduu her p M otsı T uzyıd br vetörü rşılı getre vetör değerl fosyou vetör lı der (Slmov ve Mğde 28). p p p f M mfoldud br döüşüm se f de M, mfoldud f p f p le tıml br döüşümdür. omşulut br vetör lı U M oordt omşuluğuu llım. Bu olr yzılır. ler U d lol oordtlr bğlıdır. Y x,..., x,,..., olur. M, C sııfıd br mfold olm üzere her m M otsıd her br (p,q) p tpl tesör ç uygu br ( m ) tesör uzyı vrdır. q p Tım 2.2.3: M, sııfıd br mfold ve ( m C ), her m M otsıd p (p,q) tpl tesör uzyı olsu. M mfolduu her m M otsı ( m ) tesör uzyıd br t p q m der (Bshop d Goldberg 968). q tesörü rşılı getre T fosyou (p,q) tpl tesör lı q

20 Eğer p, q se vetör lı elde edlr. Y, (,) tpl tesör lı br vetör lıdır. Eğer p q se her m M otsı br sler değer rşılı gelr. Bu yüzde (,) tpl tesör lı reel değerl br fosyodur. Eğer U M bölgesde f fosyou C sııfıd se her xu ç df ( ) x x olur. Böylece f fosyouu dferesyel ol df opertörü (,) tpl br tesör lıdır. Herhg br m otsıd T m tesörü smetr tesör se T tesör lı smetr tesör lı der. Eğer herhg br m otsıd T tesör lı tsmetr tesör lı der. T m tesörü tsmetr tesör se T, ( p,q ) tpl tesör lı olsu.,..., p (,) tpl tesör llrı ve,..., q vetör llrı olm üzere T,,..., m T m,..., m, m m,..., p q m p,..., q fdes reel değerl fosyo tımlr. Özelle lıı bleşeler x oordtlrı göre T tesör... p q j... j,...,,,..., q j jp T T dx dx bçmde reel değerl fosyolrdır (Bshop d Goldberg 968). T tesör lıı bleşeler sııfıd fosyolr se T tesör lı sııfıddır der. C sııfıd ol (,) tpl tesör lı -form (Pfff form) der. C C

21 2 (p,q) tpl T tesör lıı C sııfıd olmsı ç gere ve yeter şrt her br,..., p T,...,,,..., -formlrı ve her br C sııfıd,..., vetör llrı ç p q fosyouu C sııfıd olmsıdır. q Tım 2.2.4: ( j ), (,2) tpl br tesör olsu. ( j ) tesörüde ve j dslere göre tsmetrl vrs ( j ) tesörüe 2-form vey dış form der. Br -form dış dferesyel uygulırs souçt +-form elde edlr. Y, -form se d ( ) M olup +-form oluşur. Böyle + formlr tm form der. 2 d d( d) olmsı tm formlrı e öeml özellğdr. Y tm formlr dış dferesyel uygulırs souç sıfır olur Dferesyelleeblr Mfold Üzerde Af (Lev-Cvt) Koesyo M dferesyelleeblr mfolduu : u u t eğrs boyuc oesyo tımlmsı eğr otlrı uygul vetörler rsıd bğltı oluşturm urlıdır. Eğer eğrs herhg br otsıd v vetörü t prmetrese bğlı olr değştçe verle oesyo göre bşlgıçt le uygu lırs, bu durumd bu vetör verle oesyo göre eğrs boyuc prlel ydırılmış olur. Eğer oesyo dferesyelleeblrse, o zm prlel ydırmyı fde ede fosyolrı d dferesyelleeblr fosyolr olur. Eğer vetörler prlel ydırılmsı hlde leer bğımlılı oruurs verle oesyo f vey leer oesyo dı verlr. v v t Af oesyou eğrs çeştl otlrı uygul vetörler rsıd uyguluğu fde ede şrtı, y vetörü eğr boyuc verlmş f oesyo göre

22 3 prlel ydırılmsı şrtıı bullım. lol bzıı llım ve frz edelm eğrs bşlgıç otsıd,,... leer bğımlılığı, bz vetörler verle eğr boyuc prlel ydırılm urlıı fde etmş olsu. Keyf vetörüü verle f oesyo göre gere ve yeter şrt t eğrs boyuc prlel ydırılmsı ç tsyılrıı sbt olmsıdır. Bu edede stfde edlere v dv d (2.6) fdes yzılblr. v eştlğde v (2.7) eştlğ yzılır. Burd bz vetörü olduğud bu rşılı gele obz vetörü le gösterlr. Dolyısıyl s s olur. (2.7) fdes (2.6) eştlğde ullılırs dv v (2.8) eştlğ elde edlr. (2.8) delemde, s s d (2.9) bçmdedr. (2.8) şrtı ydırılmsı şrtıdır. (2.9) bçmde tıml (bğltı objeler) der. v vetörüü verle f oesyo göre prlel objelere oesyo formlrı

23 4 Teorem 2.3.:. Koesyo formlrı bğımsızdırlr.,,..., bzıı seçlşde 2. Koesyo formlrı, eğrsel oordtlrı döüştürülmes durumud tesör döüşüm urlı göre döüşmezler. İspt:. ve frlı bz rşılı gele oesyo formlrı olsu. Prlel ydırıl v vetörü ç dv v, (2.) dv v (2.) şrtlrıı yzblrz. (2.) ve (2.) şrtlrıd ve eyflğ şrtıd buluur. v vetörüü bşlgıç değer 2. mfoldud u eğrsel oordtlrı değşmes hlde bz vetörler ve M ovetörler döüşüm urlı A ' ' ', A (2.2) ' u ' ' u şelde yzılblr. Burd ', bçmdedr. (2.2) de c eştlğ dferesyel lırs A ' u A u ' ' ' ' d da A d (2.3) elde edlr. (2.9) delemde (2.2) brc eştlğ ve (2.3) eştlğ göz öüe lıırs

24 5 j j d A j' j j' ' ' ' ' da A d ve gerel şlemlerde sor A j j' j A A ' ' j' j' j da j' (2.4) buluur. (2.4) eştlğ, j oesyo formlrıı, tesörü oordtlrı olmdığıı gösterr. Şmd se ovetörü eğrs boyuc verle f oesyo göre prlel ydırılmsı şrtıı celeyelm. Tım 2.3.: ovetörüü eğrs boyuc prlel ydırıl eyf v vetörü üzerde z bu eğr boyuc sbt lırs, ovetörüe eğrs boyuc verle f oesyou göre prlel ydırılmıştır der. Bu tım göre d v dv v d (2.5) eştlğ yzılblr. v vetörüü prlel ydırılmsı şrtıd dv v (2.6) yzılır. (2.6) eştlğ (2.5) fdesde ullılırs d v

25 6 eştlğ buluur. v vetörüü eyflğde dolyı ovetörü eğrs boyuc verle f oesyo göre prlel ydırılm şrtı d (2.7) bçmde olur. Vetörü ve ovetörü (-form) eğrs boyuc prlel ydırılmsı şrtıı ullr, eğr çeştl otlrı uygulmış eyf tpl tesörü de prlel ydırılmsıı vereblrz. eğrs boyuc p, q tpl eyf tesörü z Z t... p j... jq v j q jq... v p... p şelde verlmş olsu. Z fosyouu vetör ve ovetör değşeler boyuc prlel ydırılmsı şrtlrı dhlde dferesyel eğrs dz dt p... p j jq... p j jq j j v... v... t q p j j d v... v... q... q q... p p... p j... j q j j q v... q... t v... p d p (2.8)... p s... p s... p s 2... p p... s j... j q j sj j q jq j... s s sj2... j q s j... jq dt t t t t v j q jq... v p... p olr yzılır. Bu eştlte... p... p s... p s... p s 2... p p... s j... j q j jq j sj jq jq j... s s j... jq s j... jq t dt t t t t (2.9) olr lıırs dz p... p j jq t j j v... v q q p (2.2) elde edlr. eğrs boyuc verle f oesyo göre prlel ydırıl vetör ve ovetör değşeler multleer fosyouu dferesyel de değşeler

26 7 multleer fosyou olur. O hlde dz multleer fosyou belrl br tesör rşılı gelecetr. Bu tesörü tp p t... j... jq tesörüü tp le yı olur. Koordtlrı se p p (2.9) eştlğ le verlmştr. tesörüe tesörüü mutl dferesyel der. t... j... jq t... j... jq Tesörü mutl dferesyel tımıd çırtıl souçlr şöyle fde edleblr:. Vetörü ve ovetörü prlel ydırılmsı şrtlrı v, şelde olur. Dolyısıyl eyf tpl br tesörü prlel ydırılmsı şrtı t... p j... jq olr verlr. b. Brm tesörü mutl dferesyel sıfır eşttr, y j olur. (2.9) eştlğde dolyı tesörler mutl dferesyeller ç şğıd özelller yzblrz: 2 t2. t t t, ve t yı tpl tesörlerdr, 2. t d t t, -slerdr, 3. A B A B A B, A ve B eyf tpl tesörlerdr, - tesör çrpımıı gösterr. t 2

27 8 4. Tesörler smetrleştrme, ltereleştrme ve otrsyo şlemler mutl dferesyelleme şlem le şlem öcel sırsı değşeblr Af oesyolu uzylr Tım 2.3..: dferesyelleeblr mfolduu her br eğrs boyuc f oesyou verlmş olsu. Leerl şrtıı sğly mfoldu - boyutlu f oesyolu uzy der. dferesyelleeblr Bu tımd leerl şrtı şu şelde fde edlr: mfolduu eyf M otsı ve bu otı omşuluğud eyf vetör llrı verlmş olsu. Keyf v vetör lıı M otsıd geçe eyf br eğr ç hesplmış mutl dferesyel, bu eğr boyuc elemeter yer değşme vetörüü leer fosyoudur, y du v v du (2.2) olr yzılır. Burd, v ye ve oty bğlı fosyo, du se her br vetöre v teğet vetörü oordtlrıdır. Dğer trft dv v du olduğud v dv v v du v (2.22) olur. (2.2) ve (2.22) eştllerde v s v v du s s (2.23) fdes buluur. v, ve ler se u ler fosyolrıdır. formlrı s v v s v vetör llrıı seçlşe bğlı olmdığıd formlrı du ı leer fosyou olur, y

28 9 s (2.24) s du olr yzılır. Burd tsyılrı f uzyı br otsıı fosyolrıdır. s Bulr f oesyou tsyılrı der. Ktsyılrı verlmes oesyouu ty eder. de f Şmd f oesyo tsyılrıı döüşüm urlıı verelm. (2.24) eştlğ s ullılr ' j ' ' ' ' j' du ' j A ' ' ' du eştlğ yzılblr. Ayrıc A j' j da j' A j' j A du j' (2.25) j' olduğud ve dğer trft A eştlğ her trfıı ısm dferesyel lıdığıd j Aj' j j ' Aj Aj ' j j ' j ' Aj Aj ' Aj Aj ' j ' j ' Aj Aj ' Aj Aj ' olur. Bu so eştl (2.25) delemde ullılırs A j' j da j' A j' j' A du j (2.26) elde edlr. (2.26), (2.24) ve (2.4) eştller ullılr oesyo tsyılrıı döüşüm urlı j' ' ' ' A A A A A (2.27) j ' j ' j' ' j

29 2 olr verlr. Burd A A ' ' j j bçmdedr. (2.24) delem ullr f oesyolu uzyd verle eyf vetör lı ç mutl dferesyel v s ( ) du (2.28) v s v bçmde olur. (2.28) delem sol trfı br tesör ve vetör olduğud prtez çde fde br tesörü oordtlrı olur. Bu tesöre, verle tesörüü ovryt türev der ve du v v v s (2.29) s v olr gösterlr. Bu türev soucu (,) tpde br tesördür. Bezer şelde j ovetör lıı ovryt türev j s (2.3) j js olur ve souç (,2) tpl br tesördür. t... j... jq p (2.24) eştlğde, (p,q) tpl tesörüü mutl dferesyel t... p j... jq (... p t j... jq p... s... s j... jq q p s p t t du (2.3) j... ) j... s... jq bçmde olur. (2.3) delem sol trfı br tesör ve du vetör olduğud prtez çde fde br tesörü oordtlrıdır. Bu tesöre, verle p t... j... jq tesörüü ovryt türev der ve

30 2... p t j... jq... p t j... jq p... s... s j... jq q p s p t (2.32) j t... j... s... jq bçmde gösterlr. Tesörü ovryt türev tımıd, (p,q) tpl tesörü ovryt türev (p,q+) tpl br tesör olduğu görülür. Y ovryt türev, uygul tesörü ovrytlı mertebes br rtırır. Kovryt türev tımıd yrrlılr şğıd özeller yzblrz:.... p... p... p... p ( t t ) q 2 q t... t j j j j j jq 2 j... jq j... jq j... jq j... jq 2. p p ( ) p t t t, F( M ) p j... jq l... l p s... sq... p t j... jq l... l p s... sq... p j... jq ( t g ) g t g l... l p s... sq 4. Tesörler smetrleştrme, ltereleştrme ve otrsyo şlemler mutl dferesyelleme şlem le şlem öcel sırsı değşeblr. Af (leer) oesyou vryt tımı şğıd gb verlr: Tım : M mfoldu üzerde ( ) M vetör llrıı modülü olm üzere : ( ) M ( ) Y,Y M ( ) M döüşümü. Z f Z g Z ; f gy Y f g M, ( ), Y Z M,, ( ). Z f gy Zf f Z Zg Y Y g Z şrtlrıı sğlıyors y f oesyo der. Burd ( ) : M ( ) M

31 22 döüşümüe de vetör lı boyuc ovryt dferesyelleme der (Bshop d Goldberg 968) Eğrl ve burulm tesörler A f oesyolu uzyıd f f u,..., u dferesyelleeblr fosyou verlmş olsu. Bu fosyou tm dferesyel, y df fdu fdes, oordtlrı döüşümü hlde vryt lır ve df fosyou vetörüü leer fosyou olur. Bu leer fosyo rşılı gele ovetörü oordtlrı du V f (2.33) le gösterlr. Bu ovetöre f fosyouu grdet, f fosyou se bu ovetör lı potsyel fosyou der. Keyf grdet olmsı ç gere ve yeter şrt V ovetörüü herhg br sler lı V j (2.34) olmsıdır (Yo 968). V grdet ovetörüü ovryt türev j V j V (2.35) V j bçmdedr. (2.35) delemde j ve dslere göre ltereleştrme şlem ypılır ve (2.34) eştlğ ullılırs V S V j j (2.36)

32 23 elde edlr. Burd Sj (2.37) j olr verlmştr. (2.36) delem sol trfıd ovryt türev (,2) tpl tesör olduğud S j emyetler şğı dslere göre tsmetr ol (,2) tpl tesörü bleşeler fde eder. Bu tesöre A uzyıı burulm (torso) tesörü der. A mfoldud lımış eyf, Y vetör llrı ç burulm tesörüü vryt formd yzılışı se S, Y Y Y Y, (2.38) bçmdedr (Kobysh d Nomzu 963). Burd Le prtez olup,y, ve Y vetör llrıı, Y f Yf Yf şeldedr. m Keyf v vetörüü v v ovryt türev (,) tpl tesör belrtr. Bu tesörü ovryt türev se s s sm v r s v r s v v m rm s m rs m v ( v ) m m ( v ) r s s v rm s 2 v v m m s s rv rm sv rm rs r s v m rs m v s v m rs m v bçmde buluur. Bu eştlte r, s dslere göre ltereleştrme şlem uygulırs 2 v R v 2S v (2.39) r s rs rs

33 24 delem elde edlr. (2.39) delemde m m R (2.4) rs r s 2( r s r s m rm m r s ) s sm r olr lımıştır. (2.39) delem sol trfıd term ve sğ trfıd c term tesör ve v eyf vetör olduğud R fdes (,3) tpl tesördür. Bu tesöre rs A uzyıı Eğrl tesörü vey Rem- Chrstoffel tesörü der. (2.39) formülüe bezer olr şğıd formüller yzılblr: m 2 R 2 r s rs m rs m S m, (2.4) 2 R R 2S r s j j rsm m m rs j m rs j, (2.42) r s... p j... jq rsm m2... p j... jq 2 t R t... R p rsm t... m j... jq (2.43) R m rsj t... p mj2... jq m... p rsj t q j... m... R 2S rs... p t j... jq. (2.4) e ovetörüü (2.42) formülüe se j foruu R özdeşlğ der. Keyf, Y, Z A vetör llrı ç eğrl tesörüü vryt formd yzılışı se R, Y Z Z Z Z Y Y, Y (2.44) bçmdedr (Kobysh d Nomzu 963) Koesyolrı döüşümü Keyf f oesyolu uzylrı dfeomorfzme blım. Bu durumd, bu uzylrı rşılılı otlrıı oordtlrı yı olc şelde uygu eğrsel

34 25 oordt sstem verleblr. Bu tür rşılı getrme, yı br dfferesyelleeblr mfoldud eyf f oesyou verlmesyle de oluşturulblr. Bu durum, oesyolrı brde dğere geçmeye, oesyolrı döüştürülmes vey prlel ydırm urlıı döüştürülmes olr bılblr. Ayı mfold üzerde çeştl oesyolr dhl etme mümüdür. mfoldu üzerde ve M j j oesyo tsyılrı shp ve oesyolrı verlmş olsu. Keyf vetör lıı bu oesyolr göre ovryt türevler v v v m v m, v v m v m bçmde olur. Bu eştlğ trf trf çırırs v v T m v m (2.45) eştlğ elde edlr. Burd Tm m m (2.46) bçmdedr. (2.45) eştlğ le verle T m, (,2) tpl tesör meyd getrr. Bu tesöre f deformsyo (gerlme) tesörü der. Teorem :, (,2) tpl tesör ve se f oesyouu tsyılrı T m m olm üzere (2.46) eştlğ le verle tsyılrı olur. m tsyılrı d dğer br f oesyou İspt: (2.46) eştlğde j j T j yzılır. j ç oesyo tsyılrıı döüştürülmes hlde

35 26 j T j A ' A ' A j' j ' ' ' T A A ' j' ' j' ' j (2.47) olur. Burd T j tesör olduğud T j A ' A ' A T j' ' j ' j' (2.48) eştlğ yzblrz. (2.48) eştlğ (2.47) eştlğde ullılırs j A ' A ' A j' j ' ' j' A ' A ' j j olduğu buluur. Bu se, tsyılrıı, oesyolrı döüştürülmes urlı göre döüştüğüü fde eder. Dolyısıyl br f oesyodur. Bu teorem bzı souçlrıı fde edelm: j 2 j Souç. ve f oesyo tsyılrı olm üzere her sler ç j 2 j j (2.49) değer de br f oesyou tsyılrıdır. İspt: (2.49) eştlğ 2 j j ( j j) (2.5) bçmde yzılblr. (2.5) eştlğ sğ trfıd c term tesör olduğud Teorem e göre f oesyo olur. Y frlı oesyo j ullılr ye br oesyo oluşturulmuş olur.

36 27 Özel hlde lırs j 2 j j 2 (2.5) buluur. oesyou ve oesyolrı göre ort oesyo der. j j 2 j Souç 2. f oesyou verlmş olsu. Bu ttrde, ~ tsyılrı d j f oesyo ty eder. j j İspt: Burulm tesörüü fdes Sj j j j 2 olduğud ~ j j 2S j, ~ (2.52) j j yzılır. Teorem de dolyı ~ tsyılrı br f oesyo belrtr. ~ ve j j j oesyolrı rşılılı oesyo der Burulmsı sıfır ol uzylr Burulmsız f oesyolu uzylrı burulm tesörü sıfır eşt olduğud bu uzylrı oesyo tsyılrı lt dslere göre smetrtr, y j j j

37 28 olur. Burulmsız f oesyolu uzyı herhg eğrsel oordt ssteme göre oordtlrı u,..., u ol O ( ) otsıı llım ve oesyo tsyılrıı u verlmş olduğu oordt ssteme göre bu otd değerler j tsyılrı le verldğ bul edelm. ' Kroecer sembolü olm üzere u ' ' {( u u ) 2 pq ( u p u p )( u q q u )} (2.53) bçmde ye oordtlrı tımlylım. Bu fde u de u e br döüşümdür. ' (2.53) döüşümü dfereyelleeblrdr ve u oordtlrıı u oordtlrı göre ısm türevler A ' ' ' p ( u p u p ' ' ), A (2.54) j j ' bçmde yzılır. (2.54) eştlğ O otsıd ve cvrıd det şrtıı sğlr. Y, (2.53) döüşümü dferesyelleeblr mfoldu tımıd mümü ol döüşümler sııfıddır. (2.54) türev fosyolrı O otsıd yzılırs A A ' ', A (2.55) ' ' j j olur. Şmd se oesyo tsyılrıı ye oordt ssteme göre O otsıd değerler hesplylım. Buu ç (2.55) ve (2.27) eştller ullılr j j' j ' ' ' j' ' ' ' l l j vey

38 29 ' j' ' buluur. Böylece burulmsız f uzyı her br otsıd öyle br oordt sstem verleblr, oesyo tsyılrı bu ssteme göre bu otd bütü değerler sıfır olur. (2.53) le verle oordtlr orml oordt sstem der. Burulmsız f oesyolu uzylrd. 2. R rs, R rs, 3. (Bch-Pdov eştlğ), (Bch 2. özdeşlğ) R t rs eştller geçerldr. Bu eştller her üçüü de vryt (tesör) rter tşıdığıı dte lırs, bulrı sptıı orml oordt sstemde celeme yeterl ve dh olydır. Burulmsız f oesyolu uzyd smetr ve regüler j Bu tesörü ters ~ olm üzere, tesörüü ovryt türev j j tesörü verlmş olsu. j j (2.56) şelde olsu. (2.56) eştlğde dsler yer dresel olr değştrlere j j j m m j m j mj m m m j m m j m jm m j j, j., eştller yzılır.

39 3 Soucu eştlte brc eştl çırtılırs 2 m j m j j j j j j (2.57) eştlğ buluur. (2.57) eştlğ her trfı ~ r tesörü le çrpılırs r j r r ~ j 2 j j j (2.58) olur. Burd r r ~ j 2 j j j (2.59) şeldedr. (2.59) fdese j tesörüü Rem oesyo tsyılrı, Lev- Cvt oesyou vey Chrstoffel sembolü der. Burulmsız f oesyolu uzyı oesyo tsyılrı regüler ve smetr ve ovryt türevler yrdımıyl fde edlr. j tesörüü Chrstoffel sembolü Tım : Burulmsız f oesyolu vetörü olm üzere hcm v, v,..., v 2 A uzyıd e 2... e es e, - e e leer bğımsız vetörler üzere urul prlelyüzü s 2 v v V e... v (2.6) olsu. v, v,..., v 2 vetörler prlel tşımsı soucud V hcm oruurs, burulmsız A uzyı eş f (de f) uzy der.

40 3 (2.6) delemde e... vey e (2.6)... olur. Eş f uzyı oesyou (2.6) delemyle belrler. (2.6) şrtı e e... e s s... s s (2.62) bçmde yzılblr. -vetörü tsmetrlğe göre (2.62) sstem bütü delemler s s e2... es e2... s (2.63) deleme de olur. e e 2... olr yzılırs bu durumd (2.63) eştlğde s s l e (2.64) yzılır. Eş f uzy bu şrt le de rterze edleblr. (2.64) eştlğde eş f oesyou tsyılrı le belrlee s s toplmı grdyetdr. Bu grdyet potsyel fosyou se l e olur. R j R j j j l l j l lj (2.65) tesörüe R tesörü der. Eş f oesyou Rj R j (2.66) şrtı le de rterze edleblr.

41 32 Burulmsız f oesyolu uzylrd eğrl tesörüü şrtlrıı sğldığıı göz öüe lırs R ve rs R rs R rs R rs R sr (2.67) eştlğ yzblrz. (2.66) ve (2.67) eştller eş f oesyouu R rs şrtı le de rterze edlebleceğ gösterr. Tım : Burulmsız f oesyolu uzyı her br otsıd tjt uzyıd verle smetr, (,2) tpl g tesörü, tjt uzyı prlel ydırılmsı durumud oruuyors böyle uzy metr uzy der. Burd smetr, (,2) tpl g j tesörüe metr tesör der. Tım : Metr uzyı g metr tesörü regüler se y det se uzy g j Weyl uzyı der ve W le gösterlr. Tım : Eğer Weyl uzyı eş-f uzy olurs, bu uzy Rem uzyı der ve V le gösterlr. Rem uzyı burulmsız oesyo shp ol uzydır ve bu uzyı Rem oesyou g j (2.68) şrtı le reterze edlr. V Rem uzyıı oesyo tsyılrı

42 33 j r g g g g j 2 rj j r r j (2.69) bçmde verlr. Y, V uzyıı oesyo tsyılrı g tesörüü Chrstoffel sembolleryle çışır. (2.69) tsyılrıyl verle oesyo Rem oesyou vey Lev-Cvt oesyou der. Dğer trft Rem mfoldu üzerde g şrtıı sğly m burulmsı ol oesyolr d vrdır. Bu tür oesyolr se metr oesyo der. Rem uzyıd R s jl g s R jl olm üzere R j l R j l R s j l R j l Rjl R lj eştller geçerldr.

43 34 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.. Tjt Demet M, C sııfıd - boyutlu dferesyelleeblr br mfold ve M mfolduu P otsıd tjt uzy T M olm üzere P T M T M (3.) P PM le tıml TM ümese tjt demet der (Yo d shhr 973). TM herhg br P T M tb demet ypısıı doğur T M tımlr. P P T M der. P otsı ç P : M, P M mfoldu üzerde TM P doğl demet zdüşümüü ümese M bz uzyıı P otsıd fbres : f M T M dferesyelleeblr döüşümü le tıml f este blım: f d. M M mfolduu eyf P otsıd f P görütüsüü, T M sıfır vetörüe götüre f este sıfır est der. f M sıfır est M bz uzyı le yıdır ve bu edele M mfolduu eds T M de dferesyelleeblr mbeddg olmuş (çe dldırılmış) ltmfolddur (Yo d shhr 973). P h ( x ), U oordt omşuluğud lol oordtlr olm üzere M bz uzyı oordt omşulu sstemyle örtülmüş olsu. uzyı olsu. ; h U x R se, R üzerde -boyutlu vetör

44 35 P otsı, P T M U P P sırlı çft le gösterldğde ve R vetörüü bleşeler T M tjt uzyıd h y h x h,...,2 ümes U oordtlrı P h h h x doğl bzı göre P rtezye oordtlrı olduğu ç U T M çı R dret çrpımı dfeomorfzm olctır. U omşuluğud P P h x lıırs, U edlr ve h,..., le gösterlrse ve x h, x h P U olduğu dte T M çı ümesde x h, x h lol oordtlr sstem elde h, h h x x ye, der (Yo d shhr 973). x d drgemş (elde edlmş) U d oordtlr M mfolduu P P ' ', h ' U x olm üzere, U otsıı htv ede dğer br oordt omşuluğu oordt omşuluğud P otsıı htv eder. U ' oordt omşuluğu göre P otsıı drgemş oordtlrı h' h' (, ) x y le gösterlr. Burd döüşüm urlı x h' h' h x x x h' x x h' h y h, (3.2) şeldedr (Yo d shhr 973). Burd, h ' h 2 x x ; x, x,..., x değşeler C h h sııfıd ol dferesyelleeblr fosyolrıdır. x y, x h' h' y le gösterlrse (3.2) döüşümü H ' H' H x x x, H,...,,,...,2 (3.3)

45 36 olr yzılır. (3.2) döüşümüü Job mtrs H ' h' x Ah H h' h' x Ah y Ah (3.4) le tımlıdır. Burd A h' h h' x, h x A h' h 2 x h x x h' eştller geçerldr. (3.2) döüşümüü ters se x x x h h x x y h' x h h h ' h', (3.5) vey x H x H x H ' (3.6) olr yzılır. (3.5) döüşümüü Job mtrs H h x Ah ' H ' h ' h x Ah' ' y Ah' (3.7) le verlr. (3.4) ve (3.7) mtrsler TM tjt demet dm yöledrleblr olduğuu gösterr (Yo d shhr 973). M mfoldu üzerde C -sııfıd, r s M ve bulrı dret toplmı se r s tpl tüm tesör llrıı ümes

46 37 r M M s r, s le gösterlr. Bezer olr TM tjt demetde uygu ümeler sırsıyl r stm ve TM le gösterlr Fosyou dey lft f, M de br fosyo olsu. f : M R ve T M : M T M tjt demette v f fosyou blım: olm üzere v f f fosyou f fosyouu dey lft der. Burd v olsu. f : T M R v v,,, P U P x, y f P f x y f P f P f x olup v f P değer fbre boyuc sbttr ve değere eşttr (Yo d shhr 973). otsıd f P P P M Vetör lıı dey lft M mfoldu üzerde herhg br vetör lı verlmş olsu. TM tjt demetde M v v (3.8) le tıml v vetör lı vetör lıı dey lft der (Yo d shhr 973).

47 38 Burd ovetörü shp olup se U M U omşuluğud dx şelde oordtlr d y drgemş oordtlrı shptr. (3.8) eştlğde vetör lıı drgemş oordtlr göre bleşeler v dey lft, TM tjt demette v h (3.9) şeldedr (Yo d shhr 973) formu dey lft M mfoldu üzerde M -formu verls. v dey lft ol TM T M tjt demetde ı -formu drgemş oordtlr göre h, (3.) v bleşelere shptr (Yo d shhr 973). (3.) eştlğde her br U çı ümesde dx v h h dx (3.) olr yzılır (Yo d shhr 973).

48 Vetör lıı tm lft M mfoldu üzerde vetör lı verlmş olsu. M c demetde vetör lıı tm lft ol T M oordtlr göre T M tjt vetör lı drgemş c h s y s h (3.2) bleşelere shptr (Yo d shhr 973). (3.2) eştlğde her br U çı ümesde c h (3.3) h olr buluur (Yo d shhr 973) Afor lıı tm lft M mfoldu üzerde for lı verlmş olsu. F M c demetde F for lıı tm lft ol F T M oordtlr göre T M tjt for lı drgemş c F F h s h h y sf F bleşelere shptr (Yo d shhr 973).

49 opertörü F, M üzerde tımlı br for lı olm üzere F T M vetör lı drgemş oordtlr göre T M tjt demetde F s yf h s (3.4) bleşelere shptr (Yo d shhr 973). T 2 T M olm üzere, TM tjt demetde T T M drgemş oordtlr göre for lı T s yt h s h (3.5) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) Yty lft M, dferesyelleeblr mfoldu üzerde f oesyou verlmş olsu. Keyf M ç H C ( ) (3.6) H le tıml T M burd vetör lı, vetör lıı yty lft der ve

50 4 ( ) ( ) şeldedr (Yo d shhr 973). H yty lft, TM tjt demet üzerde drgemş oordtlr göre H h h (3.7) bleşelere shptr. Burd h s h y s (3.8) şeldedr. F M ( ) T M tjt demet üzerde H F yty lft H C F F F (3.9) le tımlıdır (Yo d shhr 973). Burd F s F y s F h dx h (3.2) şelde tımlıdır. F drgemş oordtlr göre H F yty lft, TM tjt demet üzerde

51 42 H F F h h s s h h sf Fs F (3.2) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) Kotjt Demet M, C -sııfıd - boyutlu dferesyelleeblr br mfold ve M mfolduu * P otsıd otjt uzyı T M olm üzere P T M T M (3.22) * * P PM * le tıml T M ümese otjt demet der (Yo d shhr 973). * * T M herhg br P T M * tb demet ypısıı doğur * tımlr. P P T M P otsı ç P : T M M, P * M mfoldu üzerde T M P doğl demet zdüşümüü ümese M bz uzyıı P otsıd fbres der (Yo d shhr 973). * : f M T M dferesyelleeblr döüşümü le tıml f este blım: f d. M * M mfolduu eyf P otsıd f P görütüsüü, T M sıfır vetörüe götüre f este sıfır est der. f M sıfır est M bz uzyı le yıdır ve bu edele * M mfolduu eds T M de dferesyelleeblr mbeddg olmuş (çe dldırılmış) ltmfolddur (Yo d shhr 973). P

52 43 h ( x ), U oordt omşuluğud lol oordtlr olm üzere M bz uzyı oordt omşulu sstemyle örtülmüş olsu. * uzyı olsu. PT M P U otsı, p P * R ovetörüü bleşeler P h P p x h,...,2 ; h U x R se, R üzerde -boyutlu vetör P p sırlı çft le gösterldğde ve T M otjt uzyıd h dx doğl obzı göre rtezye oordtlrı olduğu ç U T * M çı ümes d shhr 973). U R dret çrpımı dfeomorfzm olctır (Yo U omşuluğud P P oordtlrı h x h,..., le gösterlrse ve x h, p P U olduğu dte lıırs, U h x, p lol oordtlr sstem elde edlr ve h h x, p ye, T M çı ümesde (elde edlmş) U d oordtlr der (Yo d shhr 973). x d drgemş M mfolduu P P ' ', h ' U x olm üzere, U otsıı htv ede dğer br oordt omşuluğu oordt omşuluğud P otsıı htv eder. U ' oordt omşuluğu göre P otsıı drgemş oordtlrı x h, p le gösterlr (Yo d shhr 973). Burd döüşüm urlı p h' h' x x x ' x x ' p, (3.23) şeldedr. Burd, h' x x ; 2 x, x,..., x değşeler C -sııfıd ol h dferesyelleeblr fosyolrıdır. x p h, h' x p h ' le gösterlrse (3.23) döüşümü

53 44 H ' H' H x x x, H,...,,,...,2 (3.24) olr yzılır. (3.23) döüşümüü Job mtrs H ' h' x A H ' h x A A ' h' ph Ah ' (3.25) le tımlıdır. Burd A ' x x x, x x ' 2 h h, A h ' ' ' h' A h' x x h' eştller geçerldr. (3.23) döüşümüü ters se p h h x x x ' h x x h' h p, h' (3.26) vey x H x H x H ' (3.27) olr yzılır. (3.26) döüşümüü Job mtrs A H x h' H ' h' h' x A ' Ah ph' A (3.28) * le verlr. (3.25) ve (3.28) mtrsler yöledrleblr olduğuu gösterr (Yo d shhr 973). T M otjt demet dm

54 45 M mfoldu üzerde C -sııfıd, r s M ve bulrı dret toplmı se r s tpl tüm tesör llrıı ümes r M M s r, s * le gösterlr. Bezer olr r * * T M ve s T M otjt demetde uygu ümeler sırsıyl T M le gösterlr. p * pdx -formu, T M otjt demetde temel -form der. U omşuluğud dp dış dferesyel dp dp dx şelde 2-formu belrtr. Bu edele C dp CBdx dx 2 B yzılırs (3.29) ( CB ) j j elde edlr. (3.29) mtrs regüler olduğud mtrs vrdır. BA mtrs B A A CB C olc şelde BA ters ( BA ) h h (3.3) şeldedr (Yo d shhr 973).

55 Fosyou dey lft M mfoldu üzerde f : M R zdüşüm döüşümü olm üzere * fosyou verlmş olsu. : T M M v f f (3.3) * * fosyou f fosyouu T M otjt demete dey lft der. P T M olm üzere P v f P f P elde edlr (Yo d shhr 973) Kovetör lıı dey lft ( ) M üzerde A B BA lol bleşelere shp ve oordtlrl fdes dx şelde -form olm üzere -formuu dey lft ol v vetör * lı T M otjt demetde drgemş oordtlr göre v (3.32) bleşelere shptr (Yo d shhr 973).

56 Vetör lıı tm lft * M mfoldu üzerde vetör lı verlmş olsu. M c * demetde vetör lıı tm lft ol oordtlr göre T M T M otjt vetör lı drgemş c h p h (3.33) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) Afor lıı tm lft * M mfoldu üzerde for lı verlmş olsu. F M c * demetde F for lıı tm lft ol oordtlr göre F T M T M otjt for lı drgemş c F h F s s ps( Fh hf ) Fh (3.34) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) opertörü

57 48, * M üzerde tımlı br vetör lı olm üzere T M otjt demet üzerde fosyou p s s (3.35) le tımlır. F, * M üzerde tımlı br for lı olm üzere * F T M vetör lı drgemş oordtlr göre T M otjt demetde F pf s s (3.36) bleşelere shptr (Yo d shhr 973). T * * M olm üzere, T M otjt demetde T T M 2 lı drgemş oordtlr göre for T s pt s j (3.37) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) Vetör lıı yty lft M dferesyelleeblr mfoldu üzerde smetr f oesyou verlmş olsu. Keyf M ç

58 49 H C ( ) (3.38) H * le tıml T M vetör lı, vetör lıı yty lft der ve burd s ovryt türev s ( ) s s j s j şeldedr (Yo d shhr 973). H * yty lft, göre T M otjt demet üzerde drgemş oordtlr H j j (3.39) bleşelere shptr. Burd p (3.4) s j s j şeldedr Afor lıı yty lft ( ) * T M otjt demet üzerde H F yty lft F M H C F F [ F] (3.4) le tımlıdır. Burd [ F], eyf Y M, ( ) vetör llrı ç

59 5 [ F](, Y ) ( FY ) ( F ) (3.42) Y le tımlı (,2) tpl br tesör lıdır. F H * F yty lft, demet üzerde drgemş oordtlr göre T M otjt H h F F s s sfh hsf F h (3.43) bleşelere shptr (Yo d shhr 973) Yrı-Tjt Demet M le B m sırsıyl C sııfıd ve m -boyutlu dferesyelleeblr mfoldlr ve M B submersou trfıd tıml dferesyelleeblr br demet olsu. : m Bu demette b,,...,..., m;,,... m,..., ;, j,...,2,..., olm üzere, ( x, x ) ( x ) lol oordt ssteme blım, burd x lr B m lol oordtlrı, x lr se, : M Bm demet fbre oordtlrıdır (Vshevs et l. 985). ' ' (, ) x x demette br dğer yerel oordtlr olm üzere ' b x x x, x, ' x x x (3.44) döüşümü yzılır. (3.44) de belrtle döüşümü Job mtrs A A x j x A b Aj ' bçmdedr.

60 5 Tx ( B m), m B ), T ( B ) uzyıd { } x m ( x ( x x x, x M ) x otsıd tjt uzyı olsu. doğl çtısı göre bleşeler dx olm üzere, M mfoldu üzerde lol oordtlrı ( ) ( x x, x, x ), ( x = y, = m,,..., m) ol t( B ) yrı-tjt demet elde edlr (Duc 979; Vshevs et l. 985). m t( B m ) yrı-tjt demet, B m üzerde doğl demet ypısı ve : ( x, x, x ) ( x ) şelde tımlı : t( B ) B zdüşümüe shptr. Eğer, 2 : ( x, x, x ) ( x, x ) m m le, 2 : t( Bm ) M döüşümü tımlc olurs; t( B m ), M üzerde de br demet ypısı shp olur. Burd zdüşümü döüşümler rsıd 2 eştlğ yzılblr (Slmov d Kdıoğlu 2). M lol oordtlrıı (3.44) e göre, t( B ) üzerde belrttğ oordt döüşümü m b x x x, x, ' ' x x x, ' ' x x x x (3.45) şeldedr. (3.45) döüşümüü Job mtrs A A ' ' b ' ' J ' ' A y A A A A (3.46) bçmdedr. Burd

61 52 A ' 2 ' x x x şeldedr. (3.46) d belrtle mtrs ç Det A, ' ( b ) ' Det( A ) olduğud DetA dır. Yrı-tjt demet boyutu dm t( ) m olur (Duc 979; Vshevs et l. 985). Özel olr m olmsı durumud t( B ) yrı-tjt demet, T ( M ) tjt demete döüşür (Slmov d Kdıoğlu 2). B m m m F B, B m üzerde C üzere, B m de le gösterlr. sııfıd reel değerl fosyolrı belrttğ hl olm p pq, tpl tüm tesör llrıı FB üzerde modülü B m q m Fosyou dey lft f, B üzerde tımlı br fosyo olm üzere, t( B ) yrı-tjt demet üzerde, m m : t( B ) B ve v f f döüşümler vsıtsıyl tıml f fosyouu m dey lft m v f f 2 f 2 f (3.47) şeldedr (Ay 23). Burd f ( x, x, x ) f ( x )

62 53 elde edlr. Böylece f değer : t( B ) B de her br fbre boyuc sbttr (Ay 23). m m Vetör lıı dey lft M, ( x ) olm üzere ( x, x ) ( x ) şelde br zdüşümü ol vetör lıı t( B m ) yrı-tjt demete dey lft drgemş oordtlr göre (Vshevs 22) bleşelere shptr. Burd ve (3.46) eştlğde ( ') A( ) elde edlr (Ay 23) Kovetör lıı dey lft, B m üzerde lol bleşelere shp ve oordtlrl fdes dx şelde ol -form olm üzere -formuu t( B m ) yrı-tjt demete dey lft drgemş oordtlr göre,, (3.48) bleşelere shptr. Burd ve (3.46) eştlğde ( ) A( ') elde edlr (Ay 23).

63 Fosyou tm lft Eğer f f ( x, x ), B m üzerde br fosyo se f fosyouu t( B m ) yrı-tjt demete tm lft f df x f y f le tımlır (Slmov d Kdıoğlu 2) Vetör lıı tm lft M, ( x ) olm üzere ( x, x ) ( x ) şelde br zdüşümü ol vetör lıı t( B m ) yrı-tjt demete tm lft drgemş oordtlr göre (Vshevs 22) y (3.49) bleşelere shptr. Burd ve (3.46) eştlğde ( ') A( ) elde edlr (Vshevs et l. 985).

64 55 4. ARAŞTRMA BULGULAR ve TARTŞMA 4.. Yrı-Kotjt Demet M le B m sırsıyl C sııfıd ve m -boyutlu dferesyelleeblr mfoldlr ve M B : m Bu demette submersou trfıd tıml dferesyelleeblr br demet olsu. b,,...,..., m;,,... m,..., ;, j,...,2,..., olm üzere, ( x, x ) ( x ) lol oordt ssteme blım, burd lr B lol x m oordtlrı, x lr se, : M Bm demet fbre oordtlrıdır. ' ' ( x, x ) demette br dğer yerel oordtlr olm üzere ' b x x x, x, ' x x x (4.) döüşümü yzılır. (4.) de belrtle döüşümü Job mtrs A A x j x A b Aj ' bçmdedr. B * Tx ( Bm ), m ( x ( x), x x, x M ) x otsıd otjt uzyı olsu. p lr ( p p dx ), p T * ( B ) { dx } doğl oçtısı göre bleşeler olm x m üzere, M mfoldu üzerde lol oordtlrı ( ) ( x x, x, x ), ( x = p, =

65 56 m,,..., m) ol t * ( B m ) yrı-otjt demet elde edlr (Yıldırım d Slmov 24b). t * ( Bm ) yrı-otjt demet, Bm üzerde doğl demet ypısı ve : ( x, x, x ) ( x ) şelde tımlı : t * ( Bm) B m zdüşümüe shptr. Eğer, : ( x x, x ) ( x, x ) 2, * le, 2 : t ( Bm ) M döüşümü tımlc olurs; t * ( B m ), M üzerde de br demet ypısı shp olur. Burd zdüşümü döüşümler rsıd 2 eştlğ yzılblr (Yıldırım d Slmov 24b). :E B fbre demet ve f : B' B dferesyelleeblr br döüşüm olsu. İdrgemş demet vey Whtey çrpımı olrt ble pull-bc demet * f E b B E f ( ', e) ' ( b' ) ( e) B ' E totl uzyı le tımlır (Steerod 95; Lwso d Mchelsoh 989; Husemoller * 994). Bu demet ': f E B' zdüşümü l değşe üzere zdüşümü şeldedr, y ' b', e b'. Pull-bc demet yüse mertebede durumlr geellemeler Potryg demetler olr blr (Potryg 962). * ( t ( B ) m, 2) yrı-otjt demet yurıd yer l tımıd görülür yrı-otjt demet, B m üzerde tımlı otjt demet d Slmov 24b). döüşümü yrdımıyl br pull-bc demetdr (Yıldırım M lol oordtlrıı (4.) e göre, döüşümü * ( ) t B m üzerde belrttğ oordt

66 57 b x x x, x, ' ' x x x, ' x x x ' x (4.2) şeldedr. (4.2) döüşümüü Job mtrs A ' ' b ' ' J ' p A A ' ' A ' A A A A (4.3) bçmdedr. Burd A x x x 2 ' ' ' ' şeldedr. (4.3) de belrtle mtrs ç ' ' Det( Ab ), Det( A ), Det( A ') * olduğud DetA dır. Yrı-otjt demet boyutu dm t ( ) m olup özel olr m olmsı durumud t * ( B m ) yrı-otjt demet T * ( M ) otjt demete döüşür (Yıldırım d Slmov 24b). B m Yrı-tjt demet ve bzı özelller (Duc 979; Slmov d Kdıoğlu 2; Vshevs 22) çlışmlrıd celemş olup bu tezde se yrı-otjt demet ve yrı-otjt demette bzı lft problemler ele lıctır.

67 58 F B m, B üzerde C sııfıd reel değerl fosyolrı belrttğ hl m B pq olm üzere, m de, tpl tüm tesör llrıı F B m üzerde modülü p q B m le gösterlr Yrı-otjt demette temel -form * ( U) t ( B m ), U Bm oordt omşuluğud bleşeler (, p,) şelde ol, p -formu * ( ) t B m temel -formu der. (4.3) de döüşüm mtrs ullılr, p Ap ' olduğu gösterleblr. Burd p (,, ), p p' (,, ) p ' şeldedr. p temel -formuu dp dış dferesyel dp dp dx şelde 2- A B formu belrtr. A (,, ), B ( b,, ) olm üzere, dp ABdx dx eştlğ 2 ullılırs ı ( AB ) dp (4.4) bleşelere shp olduğu görülür. Burd elde edlr: d 2 d p olduğud, şğıd teorem Teorem 4...: * ( ) t B m yrı-otjt demet dejeere smplet ypısı shptr (Yıldırım d Slmov 24b).

68 formu dey lft Bm üzerde tımlı br f fosyouu t * ( B m ) demetde dey lft v f f 2 f 2 f (4.5) şelde tımlır. Burd f ( x, x, x ) f ( x ) elde edlr (Yıldırım d Slmov 24b)., t * ( B ) üzerde br dey vetör lı olm üzere, ( x, x, x ) m drgemş oordtlr göre bleşeler se, bu durumd f f f f elde edlr. Burd, ( x, x, x ) oordtlrı göre t * ( B ) üzerde br dey vetör lıı oordtlrıı m A ( )

69 6 şelde olduğu görülür., B üzerde lol bleşelere shp ve oordtlrl fdes m şelde ol -form olm üzere, -formuu t * ( B m ) yrı-otjt demete dey lft drgemş oordtlr göre dx (4.6) bleşelere shptr. Burd ve (4.3) eştlğde ( ') A( ) elde edlr. Keyf f B m ç ( f ) olduğud br dey vetör lı belrtr. Eğer p lıırs p ye, üzerde tımlı br Louvlle ovetör lı der (Yıldırım d Slmov 24b). * ( ) t B m (4.6) d eştl ullılr, şğıd teorem elde edlr: Teorem 4..2.: Keyf, Bm ve f B m ç () () ( ), ( f) f eştller geçerldr (Yıldırım d Slmov 24b). Her U çı omşuluğud dx doğl oçtısı ç ( U ) çı omşuluğud (4.6) eştlğ ullılr, ( x, x, x ) oordtlrı göre

70 6 ( dx ) p elde edlr. * Tım 4..2.: t ( B ) m yrı-otjt demet üzerde, vetör lı C sııfıd H fosyou ve dejeere smplet dp ypısı ç dh şrtıı sğlıyor se (y, dhl çrpımı exct (tm form) se), bu durumd vetör lı Hmlto vetör lı der. Eğer L se, vetör lı smplet vetör lı der. dp ypısı ç smplet vetör llrı lol olr Hmlto vetör lıdır. Buu olyc L d d formülüde görme mümüdür (Yıldırım d Slmov 24b). (Crt ı shrl formülü) ( ) B m L d d ovetör lıı dey lft br vetör lı belrtp ç (Crt ı shrl formülü) ullıldığıd 2 L dp d dp d dp d dp d p d dp elde edlr. Burd L dp şrtı dhlde vetör lı lol olr Hmlto vetör lı olduğu elde edlr ve L A A A A A K L K A L K şrtı sğlır. (4.6) ve dp dejeere smplet ypısıı bleşeler so eştlte ullılr eştlğ elde edlr. İspt: Yurıd yer l L A A A A A K L K A L K eştlğde

71 62 K L K L K L L K L K L L K L K K L L K elde edlr. ı dsler K c,, ve dsler L d,, olm üzere K L K () Burd K c ve L d ç c d d c, () K c ve L ç c c c, () K c ve L ç c c, (v) K ve L d ç d d

72 63 d, (v) K ve L ç, (v) K ve L ç, (v) K ve L d ç d d d, (v) K ve L ç

73 64, (x) K ve L ç. Burd şğıd teorem elde edlr: Teorem : dp dejeere smplet ypısıyl brlte, ( ) B m ovetör lıı yrı-otjt demete dey lft Hmltodır opertörü, B üzerde tımlı br vetör lı olm üzere t * ( B ) üzerde m m fosyou p (4.7) le tımlır. Keyf F B m ç (4.3) mtrs ullılr ( F) ' A( F) olduğu gösterleblr. Burd F ( x, x, x ) oordt sstemde

74 65 A ( F) ( F ) p F (4.8) şelde bleşelere shptr. Keyf f T ( ) B m ç ( F) ( f) olduğu çıtır ve F, t * ( B m ) üzerde tımlı br dey vetör lı belrtr. Keyf T2 B m ç A ( T) ( T B ) pt (4.9) le verlr. (4.3) mtrs yrdımıyl T A A T A' A' B A B ' A B ' B olduğu olylıl gösterleblr. B Burd ( A) ( A B ') mtrsyle ı ters gösterlmştr. Ayrıc, B ve T2 B m A olm üzere m ( T )( ) eştlğ elde edlr (Yıldırım d Slmov 24b).

75 66 R bleşeleryle tımlı eyf R B m 3 ( ) ç (4.3) mtrs yrdımıyl K' K ' J R ' J ' AK A ' AJ' R K J olduğu olylıl gösterleblr. * ( ) t B m üzerde drgemş K oordtlr göre, R tesörü R J le fde edlme üzere R bleşe R p R (4.) olup dğer tüm bleşeler sıfır eşttr. Burd (,, ), J ( b,, ), K ( c,, ) şeldedr Vetör llrıı tm lft M, ( x ) olm üzere ( x, x ) ( x ) şelde br zdüşümü ol vetör lıı * ( ) t B m yrı-otjt demete tm lft drgemş oordtlr göre (Vshevs 22) p ( ) (4.) bleşelere shptr. Burd ve (4.3) eştlğde (Yıldırım d Slmov 24b). Tım de; shrl formülü) tm lft ç ullıldığıd ( )' A( ) L d d elde edlr (Crt ı 2 L dp d dp d dp d dp d p d dp elde edlr. Burd L dp şrtı dhlde vetör lı lol olr Hmlto vetör lı olduğu elde edlr ve

76 67 A A A A K L K AL L K A şrtı sğlır. (4.) ve dp dejeere smplet ypısıı bleşeler so eştlte ullılr eştlğ elde edlr. A A İspt: Yurıd yer l A K L K AL L K A eştlğde A K K K L K L K L K L L L L K p p K K L K L L K L K L elde edlr. ı dsler K c,, ve dsler L d,, olm üzere K L () Burd K c ve L d ç p p, c d c d c d d c d c d c () K c ve L ç p p c c c c c c c p c p, () K c ve L ç

77 68 c p p c c c c c c, (v) K ve L d ç d d d d p d d p d p, (v) K ve L ç p p p p p p 2 2 p, (v) K ve L ç p p p

78 69, (v) K ve L d ç d p d d d d p d d d, (v) K ve L ç p p p, (x) K ve L ç p p

79 7. Burd şğıd teorem elde edlr: Teorem 4..4.: dp dejeere smplet ypısıyl brlte, zdüşümü ol vetör lıı yrı-otjt demete Slmov 24b). tm lft Hmltodır (Yıldırım d Keyf, Y M ve f B m ç (4.6) ve (4.) ullılr () ( f ) ( f ), () ( Y ) Y, () ( f ) f ( ) ( ) ( df ) eştller elde edlr. Teorem : üzerde ve zdüşümler le Z M zdüşümü ol vetör llrı olsu. Keyf f B m, Bm ve F B m ç () f, () ( Z) ( ( Z) ), () ( F)( f), (v) ( F) Z ( FZ), (v) ( Z) [, Z], B Z m, (v) f ( f ) eştller elde edlr (Yıldırım d Slmov 24b). İspt: () Keyf ( B ) m olm üzere, (4.5) ve (4.6) d f f

80 7 f f f elde edlr. () M üzerde Z zdüşümü ol vetör lı ve eyf ( B ) m ç (4.6) ve (4.7) de ( Z) ( Z) Z ( p Z ) ( p Z ) ( p Z ) ( ( Z)) elde edlr. () Her F B m ( ) ç (4.5) ve (4.8) de ( F)( f ) ( F) ( f ) ( ) ( ) ( ) ( F f F f ) ( F) ( f ) elde edlr. (v) M üzerde Z zdüşümü ol vetör lı ve eyf F ( B ) m ç (4.7) ve (4.8) ullılr ( F ) Z ( F ) ( Z )

81 72 ( ) F ( p Z ) ( F ) ( p Z ) ( F ) ( p Z ) p F Z p ( FZ) ( FZ) p F ( p Z ) elde edlr. (v) M üzerde ve Z zdüşümü ol vetör llrı ç (4.7) ve (4.) ullılr ( Z) ( Z) ( p Z ) ( p Z ) ( p Z ) ( p Z ) p ( ) Z p ( Z Z ) p [, ] Z [, Z] elde edlr. (v), M üzerde verlmş zdüşümü ol vetör lı olm üzere, eyf f B m ç (4.5) ve (4.) ullılr f f f f f

82 73 ( f ) f elde edlr. Teorem : ( ) B m ve Y ( B ) m zdüşümler olm üzere Y M, zdüşümü ol vetör llrı olsu. Keyf, ( B m ) ve F, G ( B m ) ç Le prtez ullılr () () () (v) (v) (v) [, ], [, F] ( F), [ F, G] [ F, G], [, ] ( L ), [, F] ( L F), [, Y ] [, Y ] eştller elde edlr. Burd yer l F -formu eyf Z ( B ) m ç ( F)( Z) ( FZ) le tımlmıştır, e göre Le türev L le gösterlmştr (Yıldırım d Slmov 24b). İspt: () Keyf, ( ) ç t * ( B ) üzerde ( b x, x, x ) oordtlrı göre B m b [, ] [, ] ı bleşeler [, ] olm üzere (4.6) ullılr [, ] m [ J v J, ] J v J J J J J J

83 74 J J yzılır. Burd (4.6) ullılr, J b ç [ b, ] b b, J ç [, ], so olr J ç [, ] elde edlp, [, ] eştlğ gösterlmş olur. () Keyf ( ) B m ve F ( B ) m ç ( b x, x, x ) oordtlrı göre t * ( B m ) b [, F] üzerde tımlı [, F] ı bleşeler [, F] olm üzere (4.6) ve (4.8) de [, F] J v J [, F] ( F) ( F) ( ) v J ( F) ( F) ( F) J J J

84 75 ( F ) ( F) ( F) J J J J ( F) ( F) J J J ( F) pf elde edlr. Burd (4.6) ve (4.8) ullılr, J b ç [, ] b b ( ) b F F pf, J ç [, F] ( F) pf, so olr J ç [, F] ( F) pf F pf p F p F ( F ) elde edlr. ( b x, x, x ) oordtlrı göre t * ( B ) üzerde ( F) dey lft m ( F) ( F)