MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ"

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 77 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 597 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analitik Gomtri Yazar: Doç.Dr. Hüsin AZCAN Editör: Doç.Dr. Hüsin AZCAN

2 Bu kitabın basım, aım v satış hakları Anadolu Ünivrsitsin aittir. "Uzaktan öğrtim" tkniğin ugun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü a da bölümlri mkanik, lktronik, otokopi, mantik kaıt va başka şkillrd çoğaltılamaz, basılamaz v dağıtılamaz. Copright 999 b Anadolu Univrsit All rights rsrvd No part o this book ma b rproducd or stord in a rtrival sstm, or transmittd in an orm or b an mans mchanical, lctronic, photocop, magntic tap or othrwis, without prmission in writing rom th Univrsit. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN

3 Koordinat Dönüşümlri v Ain Dönüşümlr Yazar Doç.Dr.Hüsin AZCAN ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniti çalıştıktan sonra; Düzlmd Yansıma Kavramını, Yansıma-Dönm İlişkisini, Düzlmin Kolinasonlarını Düzlmin Ain Dönüşümlrini Öğrncksiniz. İçindkilr Giriş 9 Düzlmd Yansıma 9 Yansıma - Dönm İlişkisi Düzlmin Ain Dönüşümlri Ain Dönüşümlrin Blirlnmsi 6 Özt Dğrlndirm Soruları 3

4 Çalışma Önrilri Bu üniti daha ii kavraabilmk için; Düzlmin şmtrl dönüşümlrini gözdn gçiriniz. Linr Cbir drslrind öğrndiğiniz matrislr v linr dönüşümlr kavramlarını tkrar gözdn gçiriniz. Bir matrisin trsinin nasıl bulunduğunu gözdn gçiriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 9. Giriş Şimdi kadar düzlmd iki önmli şmtrl dönüşüm sınıı gördük, bunlar dönm v ötlmlrdir. Ötlmlr bir anlamda düzlmin başlangıç notkasının sçimi olmasına karşın dönm düzlmd hm başlangıç noktasının hm d ksnlrin sçimlridir. Şimdi bunlardan daha gnl bir şmtrl dönüşüm sınıını görlim. Adına ansıma dicğimiz bu şmtrl dönüşümlri incllim.. Düzlmd Yansıma Düzlmd bir v birim vktörü vrilsin. l düzlmd v vktörün dik doğruu göstrmk üzr düzlmd hr noktaı l doğrusuna gör simtriğin (ana görüntüsün) göndrn onksiona (v gör) ansıma dnir. Standart göstrim d sagı duarak v gör ansımaı σ v il göstrcğiz. l. (, ) v. σ v (, ) (', ') Şkil 6.: Düzlmd v Vktörün Gör Yansıma Bu tanımda v dik doğrunun simtri ksni olarak sçilmsi adırganabilir. Fakat bu sçim üksk boutlu uzalara doğal bir şkild taşınır. Şimdi ansıma dönüşümünün analitik iadsini ld dlim:. v σ v() θ ω σ v(v) -v AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER Vriln bir v birim vktörü v ki bir X (, ) noktası alalım. X vktörünün v vktörü üzrin dik izdüşüm vktörün ω drsk, apaçık olarak σ v () X - ω dır. O hald alnızca ω vktörünü hsaplamalıız. Diğr andan ω vktörü v vktörü önünd olduğundan ω ω v şklinddir. Yani alnızca ω vktörünün bou olan ω ı bulmalıız. Bu is cos θ dır. Diğr andan cos θ. v. olduğundan (v. v ) ω. v.. v σ v (, ) (, ) - (, ). ( v, v ) (v, v ) olur. O hald ld dilir. Köşlri, v σ v () olan üçgnd i σ v () birlştirn doğrunun orta dikmsi l doğrusu il çakıştığından σ v () olur. Açık olarak σ v (v) -v dir. O hald. v σ v (). σ v (v) dir. Diğr andan başka bir Y vktörü için Y. v σ v (Y). σ v (v) olduğundan - Y σ v () - σ v (Y) olur. Basitç Y σ v() α v σ v(y) α X v Y vktörlrini boları korunduğu v X. V σ v (). σ v (v) v Y. v σ v (Y). σ v (v) olduğundan X v Y vktörlri arasındaki açı σ v () v σ v (Y) vktörlri arasında açıa şittir. O hald XOY üçgni il σ v () O σ v (Y) üçgnlrinin diğr iki knarının uzunlukları da şittir. Özt olarak ansıma dönüşümü vktörlrin uzunluklarını v aralarındaki açıları korur. 3. Yansıma - Dönm İlişkisi Yansıma il dönm dönüşümlri tml olarak oldukça arklı dönüşümlrdir. Bir öncki bölümd gördüğümüz gibi birimdn arklı bir R θ dönmsi için { R R θ () } dönm dönüşümünün sabit noktaları kümsi alnızca başlangıç noktasından ibarttir. (Böl bir noktaa bir sabit nokta dnir.) Yani bir R θ dönmsinin sabit nokta kümsi a tk nokta (, ) a da bütün düzlmdir (θ is R θ dönüşümü birim dönüşüm olur v bütün düzni sabit bırakır). Fakat ansıma için durum arklıdır. Eğr. v is σ v () ani v dik doğrunun hr noktası σ v ansımasının sabit noktasıdır. O hald bir ansımanın sabit nokta kümsi bir doğrudur; o hald hiç bir ansıma bir dönm olarak ld dilmz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 3.. İki Yansımanın Bilşksi v v v iki birim vktör olmak üzr şimdi σ v o σ v iki ansımanın bilşksini hsaplaalım. Önclikl szgisl olarak şunu hmn sölbiliriz. σ v in sabit nokta kümsi l doğrusu v σ v nin sabit nokta kümsi l doğrusu olacağından σ v o σ v nin sabit nokta kümsi l l kümsi olacaktır. Eğr l v l parall dğil is l l tk başlangıç noktasından oluşur. O hald ansımaların bilşksi bir ansıma olamaz ama tk sabit noktası olmasından dolaı bir dönm olabilir. Bu is grçktn oluşan durumdur. Eğr v v v vktörlri arasındaki açı α is σ v o σ v R α dır. Şimdi bunu kabaca Şkil 6. üzrind v v v simtrilr için görlim. " v γ γ α β β ' v Şkil 6.: İki Yansımanın Bilşksi Şkil 6.' gör dönm açısı β γ α α α olur. Bu şkli kullanarak dtalı ispatını siz vrm çalışınız. 4. Düzlmin Ain Dönüşümlri Buraa kadar düzlmin şmtrl dönüşümlrini incldik. Kabaca bir anlamda uzaklık gomtrisi aptık. Fakat gomtri alnızca uzaklık açısından bakmak trli dğildir. Gomtrinin noktalar kümsi, doğrular kümsi v üzrind bulunma bağıntısı il vrildiği anımsanırsa, üzrind bulunmaı koruan dönüşümlrin gomtri için n dnli kaçınılmaz olduğu anlaşılabilir. Şimdi bu bağlamda üzrind bulunmaı koruan dönüşümlrl ilgilnlim; ani üzrind bulunma gomtrisi apalım. Apaçık olarak hr şmtrl dönüşüm üzrind bulunma bağıntısını korur, o hald üzrind bulunmaı koruan dönüşümlr düzlmin daha gniş bir dönüşümlri kümsidir. Başlangıç olarak T : R R dönüşümü il başlaalım. Bu dönüşüm düzlmin noktaları üzrind tanımlı olduğundan, doğrular kümsi üzrind nasıl davrandığını hmn sölmk kola dğildir. Eğr böl bir dönüşüm doğruları doğrulara rsmdior is bu dönüşüm üzrind bulunma bağıntısını korumak zorundadır. Doğruların doğrulara rsmdil- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER msini düzlmin noktaları cinsindn karaktriz tm çalışırsak bu bizi kolinason kavramına götürür. Tanım [Kolinason]: T : R R bir bir v örtn bir dönüşüm olsun. Eğr anı doğru üzrind olan hr { P, Q, R } R üçlüsü için { T(P), T(Q), T(R) } R görüntü üçlüsü d anı doğru üzrind oluor v trsin anı doğru üzrind olan hr { T(P), T(Q), T(R) } R üçlüsü için { P, Q, R } R üçlüsü d anı doğru üzrind is T : R R dönüşümün bir kolinason dnir. Bu tanım szgisl olarak çok ş iad tmsin karşın hsaplamalarda dirkt kullanılışı zordur. Tam bu noktada ain dönüşüm kavramına grksinim duulur. Şimdi ain dönüşümlri tanımlaalım. Tanım [Ain Dönüşüm]: A v (, ) R olmak üzr T : R R, T a b c d a b c d tipind trs çvrilbilir bir matris şklind tanımlanan dönüşün düzlmin bir ain dönüşümüdür dnir. Burada dikkat drsniz (, ) R vktörü için göstrimini kullandık. Bu göstrimi matris çarpımı il uumlu olarak çalıştığı için trcih ttik. T dönümüşü- mü açık olarak azacak olursak; T a b c d a b c d a b c d olur. Bu dönüşüm alışıldık göstriml T (, ) (a b, c d ) şklind düşünülmlidir. Şimdi P (, ) noktasının T ain dönüşümü altında görünsünün T (P) olduğunu kabul drsk, λ R olmak üzr T λp T λ λ A λ T λp λ a b c d a b c d λ A λ λ ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ dir. dir. Çünkü:

9 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 3 Diğr andan Q (, ) şklind bir noktası için T P Q A (P Q) A(P) A(Q) dir. T(P) T(Q) - Şimdi bu hazırlıklaradan sonra P v Q noktalarının blirldiği doğrunun T altındaki görüntüsünü bulalım. Bu doğru üzrindki ki bir X noktası X λ P ( - λ) Q şklinddir. Q P X λp ( - λ) Q T(X) T λp - λ Q T λp T - λ Q - λ A P - λ T Q - λ A P - λ A Q diğr andan λ - λ azılırsa T () λ T (P) ( - λ) T (Q) olur. Yani ain dönüşümlr düzlmin doğrularını in doğrulara taşır. Şimdi bir örnkl konuu açalım. Örnk P (, ) v Q (, -) noktalarını T (P) (, -) v T (Q) (, ) noktalarına götürn bir ain dönüşüm bulunuz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 4 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER Çözüm Böl bir dönüşümün P v Q noktaları taraından blirlnn doğru üzrind nasıl davranacağını ukarıdan bilioruz. Buna gör (, ) λp ( - λ ) Q λ (, ) ( - λ) (, -) (λ, ) ( - λ, λ - ) (, λ - ) is T(, ) T ( λ P ( - λ) Q) λ T(P) ( - λ) T (Q) λ (, -) ( - λ) (, -) (λ,, -λ) ( - λ, - λ) ( λ, - λ) (, ) (, λ -) olduğundan v λ azarsak T(, ) ( ), - ( )) ( ), - - ) - - olur. T(, ) bir ain dönüşümdür v istni- dt olduğundan - ln koşulları sağlar. Gomtrik olarak (, λ - ) (, ) (, ) (, -) (, -) ( λ,- λ) Şimdi düzlmi ain dönüşlrinin bir-bir v örtn olduklarını da görlim. α R için T olacak şkild bir noktasının β α β R olduğunu göstrirsk T dönüşümünün örtn olduğunu göstrmiş oluruz. Bu özllik is A matrisinin trs çvrilbilir oluşu il garantilnir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 5 T A A α - a β - b a b α β is A- α - a β - b çözümün ulaşılır. Diğr andan bu çözüm tk türlü blirgin olduğundan T bir birdir. O hald düzlmin hr ain dönüşümü düzlmin bir kolinasonudur. Bunun trsi d doğrudur akat bunu bu kitapta kanıtlamaacağız, akat kanıtsız olarak kullanacağız. Bu sonucu tkrar vurgulaacak olursak: { Düzlmin kolinasonları} { Düzlmin ain dönüşümlri} dibiliriz. Diğr önmli bir sonucumuz is istniln özlliklri sağlaan bir ain dönüşümü inşa tmk için çok önmli olan: T: R R ain dönüşümü PQ doğrusuna ait X λ P ( - λ) Q noktasının görüntüsü T() λ T(P) ( - λ) T(Q) dur. Şimdi parall v ksişn doğruların ain dönüşümlr altında görüntülrinin özlliklrini blirllim. T: R R bir ain dönüşüm v P, Q, R, S düzlmd hrhangi üç tansi anı doğru üzrind bulunmaan noktalar olsunlar. T dönüşümü P T(P), Q T(Q), R T(R) v S T(S) olduğunu kabul drsk PQ doğrusunun görüntüsü T(P) T(Q) doğrusu v RS doğrusunun görüntüsü T(R) T(S) doğrusu olur. P R Q S T(P) T(S) T(Q) P(R) Eğr PQ v RS doğruları bir X noktasında ksişiorlarsa bu X noktası PQ doğrusu üzrind olduğundan ugun λ R için X λp ( - λ)q v anı X noktası RS doğrusu üzrind olduğundan ugun bir µ R için X µr ( - µ)s dir. Yani X λp ( - λ)q X µr ( - µ)s AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 6 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER dir. O hald T(X) λt(p) ( - λ) T(Q) T(X) µt(r) ( - µ) T(S) olmalıdır. Yani ksişn iki doğrunun görüntü doğruları ksişir v görüntü doğruların ksişm noktası orjinal doğruların ksişm noktasının görüntüsüdür. Yukarıda vriln tartışmaı bnzr bir biçimd kullanarak görüntü olarak ortaa çıkan iki doğru ksişiorsa bu iki doğrunun trs görüntülri d ksişirlr. Öztlck olursak düzlmin iki doğrusunun ksişmsi için grkli v trli koşul bu iki doğrunun ain bir dönüşüm altında ki görüntülrinin d ksişmlridir. Diğr andan bunun doğrudan bir sonucu olarak: T : R R ain dönüşümü altında ksişmn (parall) doğruların görüntülri d ksişmzlr (paralldirlr). 5. Ain Dönüşümlrin Blirlnmsi Düzlmd vriln iki noktaı vriln iki noktaa götürn bir ain dönüşümün varlığını v nasıl inşa dildiğini gördük. N varki bu özlliklri sağlaan bir ain dönüşüm sonsuz arklı şkild sçilbilir. (Bunu görm çalışınız). şimdi bir ain dönüşümün anı doğru üzrind bulunmaan üç noktanın görüntüsü il tk türlü blirgin olduğunu göstrlim. Yani bir ain dönüşümün n olduğunu bilmk için sadc anı doğru üzrind olmaan üç noktanın görüntülrini bilmk trlidir. İlk olarak düzlmd O (, ), E (, ) v E (, ) noktalarını T() (a, a ), T(E ) (b, b ) v T(E ) (c, c ) rsmdn bir ain dönüşümün var v tk olduğunu görlim. Böl bir dönüşüm şu şkild inşa dilbilir. E (,) X (, ) µo ( - µ)y T(O) (a, a ) T(E ) (b, b ) O (, ) Y λe ( - λ)e E (, ) O T(E ) (c, c ) Şkild ki gibi düzlmd OX doğrusu E E doğrusuna parall olmaacak şkild alınan bir X noktasının görüntüsü: T(X) µt(o) ( - µ) T(Y) µt(o) ( - µ) [λt (E ) ( - λ) T (E )] µt(o) λ( - µ) T(E ) ( - λ) ( - µ) T (E ) T(O), T(E ) v T(E ) noktalarının n olduklarını bildiğimiz için alnızca µ, λ( - µ) v ( - λ) ( - µ) ü v cinsindn azmalıız. Orjinal noktasına bakarsak: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 7 (, ) µ(, ) ( - µ) [λ (, ) ( - λ) (, )] λ( - µ) ( - ) ( - µ) ( - λ) (, ) (λ( - µ), ) ( - µ) ( - λ) (λ( - µ), ( - λ) ( - µ) dn λ( - µ) v ( - λ) ( - µ) olur. λ ( - µ) λ - µ ( - λ) ( - µ) - - µ µ dir. Çünkü µ is olur. ( - µ) ( - µ - ) µ - - ld dilir. O hald T(X) ( - - ) T() T(E ) T(E ) T() (T(E ) - T()) (T(E ) - T()) (a, a ) (b - a, b - a ) (c - a, c - a ) (a (b - a ) (c - a ) (a (b - a ) (c - a ) ani matris göstrimil T b - a c - a b - a c - a a a olur. Burada ld diln A b - a c - a matrisinin dtrminantı sıırdan b - a c - a arklıdır. Çünkü bu dtrminant T(), T(E ) v T(E ) noktalarını köş kabul dn üçgnin alanının iki katına şittir. Sanırım bunu da siz göstrbilirsiniz. Şimdi bunun trsini d apabiliriz. Yani düzlmd P (a, a ), Q (b, b ) v R (c, c ) noktalarını T(P) (, ), T(Q) (, ) v T(R) (, ) noktalarına götürn dönüşüm ukarıda ld ttiğimiz ain dönüşümün onksion olarak trs onksionudur. Başka bir dişl u b - a c - a v b - a c - a a a matris dnklmind vktörünü bulmalıız. Bu is AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 8 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER u v - a a b - a c - a b - a c - a b - a c - a b - a c - a - u v - b - a c - a b - a c - a - a a şklind ld dilir. Burada kolaca görülcği gibi b - a c - a b - a c - a - b - a c - a - b - a c - a c - a a - c b - a b - a dir. Bu ara tartışmalardan sonra asıl hdimiz rahatlıkla ulaşabiliriz. Anı doğru üzrind bulunmaan P, Q, R noktalarının anı doğru üzrind bulunmaan S, T, U noktalarına götürn ain dönüşümü iki aşamada buluruz. P T T U Q E R T O E S Önc T il P, Q, R noktalarını O, E, E noktalarına götürür, sonra T ardımıla, E, E noktalarını S, T, U noktalarına götürürüz. Yani istnn dönüşüm T T o T olur. Şimdi bir örnkl pkiştirlim. Örnk (, ), (, ), (-, ) noktalarını sırasıla (, ), (, -), (, -) noktalarına rsmdn ain dönüşümü bulunuz. Çözüm Önc (, ), (, ), (-, ) noktalarını (, ), (, ), (, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 9 (-, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) noktalarına taşıan ain dönüşümü bulalım. Kanıtta kullandığımız noktalar cinsindn (, ) (a, a ), (, ) (b, b ) v (-, ) (c, c ) dır. O hald A b - a c - a b - a c - a - v Yani A - - dir. T olur. Bnzr şkild (, ), (, ), (, ) noktalarını (, ), (, -), (, -) noktalarına rsmdn T ain dönüşümü d (, ) (a, a ), (, -) (b, b ) v (, -) (c, c ) atamaları kullanılarak A - -3 v dolaısıla T - -3 olur AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER Sonuç olarak istnn dönüşüm: T T o T ld dilir. Emin olmak için problmd vriln noktaların görüntülrini bulduğunuz dönüşümd kontrol dlim: T T T Görüldüğü gibi istniln koşullar sağlanmış olur. Ain dönüşümlr biraz karmaşık görünmsin karşın gomtrinin dönüşümlri üzrind tam bir hakimit kurmamızı sağlar. Şimdi ş mtrl dönüşümlrl ain dönüşümlr aralarındaki ilişkilri ntlştirlim. Eğr bir T ain dönüşüm ş-mtrl is önclikl d (, ), (, ) d T(, ), T(, ) d (, ), (, ) d T(, ), T(, ) (6.) d (, ), (, ) d T(, ), T(, ) sağlanmalıdır. T nin açık azılışının ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER T a b c d olduğunu kabul drsk T, T a c v T b d olur Buradan d T - T a c d T - T b d d T - T (a - b) (c - d) olur. Eğr T ş mtrl is (6.) şitliğini kullanılarak a c, b d v ab cd sonuçlarını ld driz. a c olduğundan ugun bir θ açısı için a cosθ, c sinθ v b d olduğundan ugun bir ρ açısı için b sinρ, d cosϕ azılabilirlr. Bu durumda ab cd cosθ sinϕ sinθ cosϕ sin(θ ϕ) olur. Yani θ ϕ π olur. θ ϕ kπ θ kπ - ϕ. Burada açıların sinüs v kosinüslrini alacağımızdan k nın v dğrlri önmlidir, k nın diğr dğrlri bu duruma indirgnbilir. θ -ϕ is T cos(-ϕ) sin(- ϕ) sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ -sinϕ cosϕ olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER θ π - ϕ is T cos(π - ϕ) sin(π - ϕ) sinϕ cosϕ -cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ olur. Bu durumlardan birinci dönm v ötlm ikincisi is ansıma v ötlmdir. Bölc düzlm gomtrinin n gnl dönüşümlri sınıını kabaca inclmiş olduk. Ain dönüşümlr üzrin hâlâ çok ş sölnbilir. Ain dönüşümlri inşa drkn kullandığımız özlliklri bnzr biçimlrd kullanarak daha önc incldiğimiz dönm, ötlm, ansıma gibi dönüşümlri inşa dbilirsiniz. Son olarak bir ain dönüşümü hrhangi iki tansi parall olmaan üç doğrunun görüntülri il d blirlnbilcğini görlim. Yani düzlmd i, j {,, 3} v i j için l i l j Ø özlliğini sağlaan l, l, l 3 doğrularını in i, j {,, 3} v i j için d i d j Ø doğrularına rsmdn ain bir dönüşüm aşağıdaki şkild inşa dilbilir. l d 3 d A 3 B 3 d A A 3 l 3 l B 3 B Doğruları v bunların ksişm noktalarını şkildki gibi işartllim. Ain dönüşümlrin özlliğindn dolaı A 3, A, A 3 noktaları da B 3, B, B 3 noktalarına rsmdilmk zorunda olduğundan, problm daha önc çözüm kavuşturduğumuz orma indirgnmiş oldu. Özt Bu bölümd bir gomtrid n az şmtrl dönüşümlr kadar önmli olan kolinasonları incldik. Özl olarak düzlmd kolinasonlar kümsinin ain dönüşümlr kümsi olarak adlandırdığımız daha kola hsaplanabilir bir küm şit olduğunu gördük. Bunlara ilavtn düzlmin bir kolinasonunun doğrudaş olmaan üç noktanın doğrudaş olmaan görüntüsül tk türlü blirgin olarak inşa dilbilcğini gördük. Bunun anında kısaca düzlmin bir anlamda şmtrl dönüşümlr kümsinin ürtçlri olan ansımalara göz attık. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 3 Dğrlndirm Soruları. Aşağıdaki iadlrdn hangilri doğrudur? a) Ötlm iki ansımanın bilşksi olarak azılabilir. b) Dönm iki ansımanın bilşksi olarak azılabilir. c) Yansıma dönmlrin bilşksi olarak azılabilir. A. { c } B. { b, c } C. { a, b, c } D. { a, b } E. { a }. v g düzlmd sırasıla v 3 doğrularına gör simtri olur. Bu durumda og dönüşümü hangi T (a,b) ötlmsidir. A. T (,) B. T (,) C. T (3,) D. T (,) E. T (,) 3. T (, ) (, ), T (3, 5) (8, -), T (, -) (-, 4) özlliklrini sağlaan ain dönüşümü bulunuz. A. T (, ) (, - ) B. T (, ) (, - ) C. T (, ) (, ) D. T (, ) (-, ) E. T (, ) (, - ) 4. T (, ) ( -, ) ain dönüşümünün sabit nokta kümsini bulunuz. A. { (, ) R } B. { (, ) R } C. { (, ) R, } D. { (, ) R, } E. { (, ) R - } 5. T (, ) (, ) dönüşümünün sabit nokta kümsini bulunuz. A. { (, ) R } B. { (, ) R, } C. { (, ) R - } D. { (, ) R, } E. { (, ) R - } AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 4 KOORDİ NAT DÖNÜŞ ÜMLERİ VE AFİ N DÖNÜŞ ÜMLER 6. Aşağıdaki iadlrdn hangilri doğrudur? a) Bir ain dönüşümün sabit noktası olmaabilir. b) Bir ain dönüşümün sabit noktası tk nokta olmaabilir. c) Bir ain dönüşümün sabit noktası bir doğru olmaabilir. A. { a, b } B. { a b c } C. { a, c } D. { b, c } E. { b } 7. Aşağıdaki iadlrdn hangilri doğrudur? a) Ain dönüşümlrin bilşksi ain dönüşümdür. b) Ain dönüşümlr trs çvrilbilir. c) Ain dönüşümlrin toplamları ain dönüşümdür. A. {a} B. {b} C. {c} D. {a, b} E. {a, b, c} 8. Aşağıdaki dönüşümlrdn hangisi ain dğildir? A. T (, ) (, ) B. T (, ) (, ) C. T (, ) (, ) D. T (, ) (, ) E. T (, ) (, - ) 9. T (, ) (, - ) dönüşümü altında doğrusunun görüntüsünü bulunuz? A. 3 B. C. 3 D., 3 E.. Aşağıdaki ain dönüşümlrdn hangisi uzaklığı korur? A. T (, ) (, - ) B. T (, ) ( -, - - ) C. T (, ) ( 3, - ) D. T (, ) ( 3, ) E. T (, ) ( -, ) Dğrlndirm Sorularının Yanıtları. D. B 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. B 9. B. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matmatk Dnm Sınavı. Bir saıı,6 il çarpmak, bu saıı kaça bölmktir? 6. a, b, c saıları sırasıla,, saıları il trs orantılı a b oranı kaçtır? a c 7. v pozitif tamsaılardır.! ifadsi bir asal saıa şittir.

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER Homojn Hal Gtirilbiln Diransil Dnklmlr a b cd a' b' c' d 0 Şklindki diransil dnklm homojn olmamasına rağmn basit bir dğişkn dönüşümü il homojn hal dönüştürülbilir. a

Detaylı

DRC ile tam bölünebilmesi için bir tane 2 yi ayırıyoruz. 3 ile ) x 2 2x < (

DRC ile tam bölünebilmesi için bir tane 2 yi ayırıyoruz. 3 ile ) x 2 2x < ( nm - / YT / MT MTMTİK NMSİ. il tam bölünbilmsi için bir tan i aırıoruz. il bölünmmsi için bütün lri atıoruz... 7 saısının pozitif tam böln saısı ( + ). ( + ). ( + ) bulunur. vap. 0 + + 0 + ) < ( 0 + +

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 007 SORULARI Doğuş Ünivrsitsi Matmatik Kulübü tarafından düznlnn matmatik olimpiyatları, fn lislri takım yarışması sorularından bazıları

Detaylı

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN Konikler Yazar Doç.Dr. Hüsein AZCAN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra; lise ıllarından da tanıdığınız çember, elips, parabol ve hiperbol gibi konik kesitleri olarak adlandırılan geometrik nesneleri

Detaylı

BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ

BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ - Nair Stos dnlmlri - Nair Stos dnlmlrinin tam çözümlri - Daimi, ii-botl, laminr sınır tabaa dnlmlri - Daimi, ii-botl, laminr sınır

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problmlri 9.. Grafik çizimind izlnck adımlar. y f() in grafiğini çizmk için Adım. f() i analiz diniz. (f nin tanım kümsi, f() in tanımlı olduğu tüm rl sayıların oluşturduğu

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I ALICI DURUM HATASI ontrol sistmlrinin tasarımında üç tml kritr göz önünd bulundurulur: Gçici Durum Cvabı

Detaylı

{ } { } Ters Dönüşüm Yöntemi

{ } { } Ters Dönüşüm Yöntemi KESĐKLĐ DAĞILIMLARDAN RASGELE SAYI ÜRETME Trs Dönüşüm Yöntmi F dağılım fonksiyonuna sahip bir X rasgl dğişknin dağılımından sayı ürtmk için n çok kullanılan yöntmlrdn biri, F dağılım fonksiyonunun gnllştirilmiş

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞREMENLİK ALAN İLGİSİ ESİ İLKÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖA İLKÖĞREİM MAEMAİK u tstlrin hr hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, tstlrin tamamının va bir kısmının İhtiaç

Detaylı

MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ TÜRKİYE GENELİ ÇÖZÜMLER 9 MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ. A 6. D. C 7. B. C 8. C. B 9. C 5. C. D 6. D. C 7. B. A 8. D. E 9. C. B. A 5. A. B 6. A.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri Bundan öncki drst bir fonksiyonun grafiğini çizmk için izlnbilck yol v yapılabilck işlmlr l alındı. Bu drst, grafik çizim stratjisini yani grafik çizimind

Detaylı

y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel

y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel Difransil Dnklmlr I / 94 A Aşağıdaki difransil dnklmlrin çözümlrini bulunuz d d -( + ) 7 + n( ) +, () + n ( + ) 4 + - + 5 6 - ( - ) + 8 9 - - + + - ( -) d- ( + ) d + Not: Çözüm mtodu olarak: Tam difdnk

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

TG 13 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 13 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u tstlrin hr hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, tstlrin tamamının va bir kısmının

Detaylı

Cevap: B. x + y = 5 ve y + z = x = 3z y. x + y = 5 z + y = 3 x t = 2 bulunur. 7x 9y = y 3x 10x = 8y. 3/ 3y = x + z 15k = 4k + z + Cevap: B

Cevap: B. x + y = 5 ve y + z = x = 3z y. x + y = 5 z + y = 3 x t = 2 bulunur. 7x 9y = y 3x 10x = 8y. 3/ 3y = x + z 15k = 4k + z + Cevap: B 6 LYS/MAT MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ DENEME. ( ab) ( ab) 6( ab) 6. 6 y z ( ab) ( ab) 6( ab) 6 6 6y y z 6y ( ab) 6 6( y) ( y z) ab.. olur. y v y z. 7 z y / y z k k z y z y t bulunur. 7 9y y 8y k, y k zk A) y 8,

Detaylı

Mühendisler İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Mühendisler İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER Mühndislr İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Tahsin Engin Prof. Dr. Yunus A. Çngl Sakara Ünivrsitsi Makina Mühndisliği Bölümü Elül 8 SAKARYA - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr İÇİNDEKİLER BÖLÜM BİRİNCİ

Detaylı

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru,

Detaylı

BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR

BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR sabit-oğnlkl, sabit-özllikli, harici, türbülanslı sınır tabaka akımları ZB 386 Sınır Tabaka Drs notları - M. TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR Türbülans analizindki grksinimlr

Detaylı

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli

Detaylı

e sayısı. x için e. x x e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. (0,0)

e sayısı. x için e. x x e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. (0,0) DERS 4 Üstl v Logaritik Fonksionlar 4.. Üstl Fonksionlar(Eponntial Functions). > 0, olak üzr f ( ) = dnkli il tanılanan fonksiona taanında üstl fonksion (ponntial function with as ) dnir. Üstl fonksionun

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

Bilgi Tabanı (Uzman) Karar Verme Kontrol Kural Tabanı. Bulanık. veya. Süreç. Şekil 1 Bulanık Denetleyici Blok Şeması

Bilgi Tabanı (Uzman) Karar Verme Kontrol Kural Tabanı. Bulanık. veya. Süreç. Şekil 1 Bulanık Denetleyici Blok Şeması Bulanık Dntlyicilr Bilgi Tabanı (Uzman) Anlık (Kskin) Girişlr Bulandırma Birimi Bulanık µ( ) Karar Vrm Kontrol Kural Tabanı Bulanık µ( u ) Durulama Birimi Anlık(Kskin) Çıkış Ölçklm (Normali zasyon) Sistm

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

x ise x kaçtır?{ C : }

x ise x kaçtır?{ C : } İZMİR FEN LİSESİ LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI LOGARİTMA FONKSİYONU. ( ) ( ) f m m m R C : fonksionunun m { ( 0,) } dim tnımlı olmsı için?.. f ( ) ( ) fonksionunun tnım kümsind kç tn tm sı vrdır?{ C : }.

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisans Yrlşirm Sınavı (Lys ) 8 Haziran Mamaik Soruları v Çözümlri. (,5) işlminin sonucu kaçır?, A) 5 B) C) 5 D) E) Çözüm (,5), 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ).( ) 5 ( ) 5 5 6 . < < olduğuna gör, aşağıdakilrdn hangisi

Detaylı

BÖLÜM 7. Sürekli hal hatalarının değerlendirilmesinde kullanılan test dalga şekilleri: Dalga Şekli Giriş Fiziksel karşılığı. Sabit Konum.

BÖLÜM 7. Sürekli hal hatalarının değerlendirilmesinde kullanılan test dalga şekilleri: Dalga Şekli Giriş Fiziksel karşılığı. Sabit Konum. 9 BÖLÜM 7 SÜRELİ HAL HATALARI ontrol itmlrinin analizind v dizaynında üç özlliğ odaklanılır, bunlar ; ) İtniln bir gçici hal cvabı ürtmk. ( T, %OS, ζ, ω n, ) ) ararlı olmaı. ıaca kutupların diky knin olunda

Detaylı

Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1

Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1 006-007 Eğitim-Öğrtim Yılı Güz Dönmi Difransil Dnklmlr Drsi Çalışma Soruları 1 1) d/dt +sint difransil dnklmini çözünüz. ) (4+t)d/dt + 6+t difransil dnklmini çözünüz. ) d/dt-7 difransil dnklmini (0)15

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.

Detaylı

BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA

BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Dpartmnt o Mchanical Enginring MAK 0 MÜHENDİSLİKTE SAYISAL YÖNTEMLER BÖLÜM - HATA VE HATA KAYNAKLARI SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emr DEMİRCİ 7.0.0 7.0.0 MAK

Detaylı

Kayıplı Dielektrik Cisimlerin Mikrodalga ile Isıtılması ve Uç Etkileri

Kayıplı Dielektrik Cisimlerin Mikrodalga ile Isıtılması ve Uç Etkileri Kayıplı Dilktrik Cisimlrin Mikrodalga il Isıtılması v Uç Etkilri Orhan Orhan* Sdf Knt** E. Fuad Knt*** *Univrsity of Padrborn, Hinz ixdorf Institut, Fürstnall, 3302 Padrborn, Almanya orhan@hni.upb.d **Istanbul

Detaylı

( ) ( ) Be. β - -bozunumu : +β - + ν + Q - Atomik kütleler cinsinden : (1) β + - bozunumu : nötral atom negatif iyon leptonlar

( ) ( ) Be. β - -bozunumu : +β - + ν + Q - Atomik kütleler cinsinden : (1) β + - bozunumu : nötral atom negatif iyon leptonlar 6.. BETA BOZUUU Çkirdğin pozitif vya ngatif lktron yayması vya atomdan bir lktron yakalaması yolu il atom numarası ± 1 kadar dğişir. β - -bozunumu : ( B 4 4 ( B 4 nötral atom Atomik kütllr insindn : (

Detaylı

FARKLI SICAKLIKLARDAKİ GÖZENEKLİ İKİ LEVHA ARASINDA AKAN AKIŞKANIN İKİNCİ KANUN ANALİZİ

FARKLI SICAKLIKLARDAKİ GÖZENEKLİ İKİ LEVHA ARASINDA AKAN AKIŞKANIN İKİNCİ KANUN ANALİZİ FARKLI ICAKLIKLARDAKİ GÖZEEKLİ İKİ LEVHA ARAIDA AKA AKIŞKAI İKİCİ KAU AALİZİ Fthi KAMIŞLI Fırat Ünivrsit Mühndislik Fakültsi Kimya Mühndisliği Bölümü, 39 ELAZIĞ, fkamisli@firat.du.tr Özt Farklı sıcaklıklara

Detaylı

Hücre bölünmesi sırasında önce... sonra... bölünmesi gerçekleşir.

Hücre bölünmesi sırasında önce... sonra... bölünmesi gerçekleşir. 2.Mitoz Hücr Bölünmsi Hücr bölünmsi tüm canlılarda görüln bir olaydır. Hücr bölünmsi büyüm, glişm, yaraların iyilşmsi, ürm hücrlrinin oluşması v tk hücrli canlıların çoğalması olaylarında tkilidir. Bir

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 7. Seviye Düzlemi

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 7. Seviye Düzlemi İTÜ Makina Fakültsi Ağırlığın Potansiyl Enrjisi W=, δh kadar yukarıya doğru yr dğiştirsin, Virtül iş, δu = Wδh= δh NOT: Eğr cisi aşağıya doğru δh yr dğişii yapıyorsa v +h aşağıya doğru is δu = Wδh= δh

Detaylı

IKTI 102 25 Mayıs, 2010 Gazi Üniversitesi-İktisat Bölümü

IKTI 102 25 Mayıs, 2010 Gazi Üniversitesi-İktisat Bölümü DERS NOTU 10 (Rviz Edildi, kısaltıldı!) ENFLASYON İŞSİZLİK PHILLIPS EĞRİSİ TOPLAM ARZ (AS) EĞRİSİ TEORİLERİ Bugünki drsin içriği: 1. TOPLAM ARZ, TOPLAM TALEP VE DENGE... 1 1.1 TOPLAM ARZ EĞRİSİNDE (AS)

Detaylı

- BANT TAŞIYICILAR -

- BANT TAŞIYICILAR - - BANT TAŞIYICILAR - - YAPISAL ÖZELLİKLER Bir bant taşıyıcının nl örünümü aşağıdaki şkild vrilmiştir. Bant taşıyıcıya ismini vrn bant (4) hm taşınacak malzmyi için alan bir kap örvi örn, hm d harkt için

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

NEDEN MATEMATİK VADİSİ?

NEDEN MATEMATİK VADİSİ? Yaýn ditörü lpaslan RN M.V. Gen. Yaýn Yönetmeni Kitabýn dý 9. sýnýf Geometri Yaýn ve Ýnceleme Kurulu lpaslan RN Sagýn ÝNÇR Seri dý ve Numarasý Soru ankasý Serisi: 01 Kapak Promeda izgi Kevser ÜNLÜ aský

Detaylı

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR

Detaylı

DESTEK DOKÜMANI. Mali tablo tanımları menüsüne Muhasebe/Mali tablo tanımları altından ulaşılmaktadır.

DESTEK DOKÜMANI. Mali tablo tanımları menüsüne Muhasebe/Mali tablo tanımları altından ulaşılmaktadır. Mali Tablolar Mali tablo tanımları mnüsün Muhasb/Mali tablo tanımları altından ulaşılmatadır. Mali tablolarla ilgili yapılabilc işlmlr ii gruba ayrılır. Mali Tablo Tanımları Bu bölümd firmanın ullanacağı

Detaylı

metal (bakır) metaloid (silikon) metal olmayan (cam) iletken yar ı iletken yalıtkan

metal (bakır) metaloid (silikon) metal olmayan (cam) iletken yar ı iletken yalıtkan 1 YARI İLETKENLER Enstrümantal Analiz ir yarı iltkn, iltknliği bir iltkn il bir yalıtkan arasında olan kristal bir malzmdir. Çok çşitli yarıiltkn malzm vardır, silikon v grmanyum, mtalimsi bilşiklr (silikon

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne

Detaylı

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON 0 Haziran www.guvn-kua.h VİNÇTE ÇEİ ONSTRÜSİON ÖZET _09 M. Güvn UT Smbollr v anaklar için "_00_ClikonsruksionaGiris.do" a bakınız. oordina ksnlri "GENE GİRİŞ" d blirildiği gibi DIN 8800 T gör alınmışır.

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.   Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çöümleri DĞHN MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLEİ - İki Boutlu Kuvvet

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları Diferansiel Denklemler I (M Çalışma Soruları 800 ( A Aşağıdaki diferansiel denklemlerin çözümlerini bulunuz ( ( = d n d 0 d ( sin cos d = 0 3 ( cos sin d sin d = 0 4 5 6 7 ( 5 d ( 5 d = 0 ( ( = d d 0 =

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

Atomlardan Kuarklara. Test 1

Atomlardan Kuarklara. Test 1 4 Atomlardan Kuarklara Tst. Nötronlar, tkilşim parçacıkları dğil, madd parçacıklarıdır. Bu ndnl yanlış olan E sçnğidir. 5. Elktriksl olarak yüklü lptonlar zayıf çkirdk kuvvtlri aracılığıyla tkilşim girrlr.

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

ÇOKGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR

ÇOKGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR ÇONLR IN NL TIRLTMLR nr sısı (n) 3 d d zl oln kplı gomtrik şkillr çokgn dnir n NRLI İR ONV ÇON; 1) İç çılr toplmı (n )180 ) ış çılr toplmı 360 3) öşgn sısı n ( n 3) onvks çokgn (ışük) onkv çokgn (İçük)

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

İletkende seri olarak tel direnci ve magnetik alandan doğan reaktans ile şönt olarak elektrik alandan doğan toprak kapasitesi mevcuttur.

İletkende seri olarak tel direnci ve magnetik alandan doğan reaktans ile şönt olarak elektrik alandan doğan toprak kapasitesi mevcuttur. 9 ÖÜM 4 İETİM HT 4.. İltim hatlarının yapısı üksk grilim iltim hatlarında malzm olarak çlik özlü alüminyum iltknlr kullanılır. ( luminium onductor tl inforcd) Kanada standardı olarak tüm dünyada kuş isimlri

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Kirişli döşemeler (plaklar)

Kirişli döşemeler (plaklar) Kirişli döşmlr (plaklar) Dört tarafından kirişlr oturan döşmlr Knarlarının bazıları boşta olan döşmlr Boşluklu döşmlr Düznsiz gomtrili döşmlr Üç tarafı kirişli bir tarafı boşta döşm Bir tarafı kirişli

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Biyomedikal Mühendisliği Bölümü TBM 203 Diferansiyel Denklemler* Güz Yarıyılı

Biyomedikal Mühendisliği Bölümü TBM 203 Diferansiyel Denklemler* Güz Yarıyılı Biomdikal Mühndiliği Bölümü TBM 0 Diranil Dnklmlr* 07-08 Güz Yarıılı Pro. Dr. Yn Emr ERDEMLİ n@kocali.d.tr *B dr notları Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ ın katkılarıla hazırlanmıştır. Diranil Dnklmlr Kanaklar

Detaylı

İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİCİLERİ MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING

İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİCİLERİ MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİİLERİ MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING NİLGÜN ÖGÜL Hacttp Ünivrsitsi Lisansüstü Eğitim-Öğrtim v Sınav öntmliğinin İSTATİSTİ Anabilim Dalı İçin Öngördüğü

Detaylı

VOLEYBOLCULARIN FARKLI MAÇ PERFORMANSLARI İÇİN TEKRARLANAN ÖLÇÜMLER YÖNTEMİNİN KULLANILMASI

VOLEYBOLCULARIN FARKLI MAÇ PERFORMANSLARI İÇİN TEKRARLANAN ÖLÇÜMLER YÖNTEMİNİN KULLANILMASI 96 OLEBOLCULAIN FAKLI MAÇ PEFOMANSLAI İÇİN TEKALANAN ÖLÇÜMLE ÖNTEMİNİN KULLANILMASI ÖET Gürol IHLIOĞLU Süha KAACA Farklı yr, zaman v matryallr üzrind tkrarlanan dnylr il bir vya birdn fazla faktörün tkisi

Detaylı

Asenkron Makinanın Alan Yönlendirme Kontrolünde FPGA Kullanımı ALAN İ., AKIN Ö.

Asenkron Makinanın Alan Yönlendirme Kontrolünde FPGA Kullanımı ALAN İ., AKIN Ö. Asnkron Makinanın Alan Yönlndirm Kontrolünd FPGA Kullanımı ALAN İ., AKIN Ö. ABSTRACT In this study, th fasibility of usag of fild programmabl gat arrays (FPGA) in th fild orintd control (FOC) of induction

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

Üstel Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI

Üstel Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI ..3 SÜREKLİ ŞNS DEĞİŞKENLERİNİN OLSILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLRI Üstl Dağılım Sürkli Üniform Dağılım Normal Dağılım Üstl Dağılım Mydana gln iki olay arasındaki gçn sür vya ir aşka ifadyl ilgilniln olayın

Detaylı

Sınav süresi 80 dakika. 1. (a) 20 puan 2 dy. Solution: 2 dy. y = 2t denklemi lineer diferansiyel denklemdir. Denklemin integrasyon çarpanını bulalım.

Sınav süresi 80 dakika. 1. (a) 20 puan 2 dy. Solution: 2 dy. y = 2t denklemi lineer diferansiyel denklemdir. Denklemin integrasyon çarpanını bulalım. May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag of 7 Your Nam / İsim Soyisim Your Signaur / İmza Sudn ID # / Öğrnci Numarası Profssor s Nam / Öğrim Üysi Kopya çkn vya kopya çkm girişimind bulunan

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

ÇAPRAZ AKIŞLI ISI DEĞİŞTİRİCİ

ÇAPRAZ AKIŞLI ISI DEĞİŞTİRİCİ ÇAPRAZ AKIŞLI ISI DEĞİŞTİRİCİ MAK-LAB012 1. DENEY DÜZENEĞİNİN TANITILMASI Düznk sas olarak dikdörtgn ksitli bir kanaldan ibarttir. 1 hp gücündki lktrik motorunun çalıştırdığı bir vantilatör il kanal içind

Detaylı

EMAT ÇALIŞMA SORULARI

EMAT ÇALIŞMA SORULARI EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Elektrik Devrelerinin Temelleri. Neslihan Serap Şengör Devreler ve Sistemler A.B.D. oda no:1107 tel no:

Elektrik Devrelerinin Temelleri. Neslihan Serap Şengör Devreler ve Sistemler A.B.D. oda no:1107 tel no: Elktrik Drlrinin Tmllri Nslihan Srap Şngör Drlr Sistmlr A.B.D. oda no:1107 tl no:0212 285 3610 sngorn@itu.du.tr Drs Hakkında 1 Yarıyıl içi sınaı 29 Kasım 2011 % 26 3 Kısa sına 11 Ekim 15 Kasım 13 Aralık

Detaylı

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

İletkende seri olarak tel direnci ve magnetik alandan doğan reaktans ile şönt olarak elektrik alandan doğan toprak kapasitesi mevcuttur.

İletkende seri olarak tel direnci ve magnetik alandan doğan reaktans ile şönt olarak elektrik alandan doğan toprak kapasitesi mevcuttur. 9 ÖÜM 4 İETİM HT 4.. İltim hatlarının yapısı üksk grilim iltim hatlarında malzm olarak çlik özlü alüminyum iltknlr kullanılır. ( luminium onductor tl inforcd) Kanada standardı olarak tüm dünyada kuş isimlri

Detaylı

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre Küre Üzerinde Hesap Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre ve Küre ile İlgili Tanımlar Küre: «Merkez» adı verilen bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların bir araya getirilmesiyle, ya

Detaylı

ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = =

ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = = ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. m(ë) 0 0 7 ise.m(ë ) 80 60 8 0.m(ë) m(ë) 8 0 8 7 99 7 66 60. m(ë) m() 8 60 08 dir. 08 R 80 08. R 80 radandır. 99 8 6. 60 06 9 8 60 0 79 8 6 79 8 6 7. irim çemberin üzerindeki

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4 İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER... 1 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse... 1 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

10. Sınıf. Soru Kitabı. Optik. Ünite. 2. Konu Işığın Yansıması ve Düzlem Aynalar. Test Çözümleri. Lazer Işınının Elde Edilmesi

10. Sınıf. Soru Kitabı. Optik. Ünite. 2. Konu Işığın Yansıması ve Düzlem Aynalar. Test Çözümleri. Lazer Işınının Elde Edilmesi 10. Sınıf Soru itabı 4. Ünite ptik 2. onu şığın ansıması ve Düzlem ynalar Test Çözümleri azer şınının Elde Edilmesi 2 4. Ünite ptik Test 1 in Çözümleri 3. 1. 1 60 i 1 30 30 60 30 30 i 2 2 ışını 1 ve 2

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İKİ BOYUTLU ÖRGÜDE FERROMANYETİZMANIN İNCELENMESİ Elmas AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ Fizik Anabilim Dalı Haziran-0 KONYA Hr Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

BİLEŞENLER. Demiryolu Araçları için yüksek hızlı DC devre kesiciler Tip UR6, UR10 ve UR15

BİLEŞENLER. Demiryolu Araçları için yüksek hızlı DC devre kesiciler Tip UR6, UR10 ve UR15 İLŞNLR miryolu raçları için yüksk hızlı dvr ksicilr Tip R, R v R Gnl bilgi R, R v R; doğal soğutmalı, açmasız, tk kutuplu, çift yönlü, lktromanytik üflmli, lktrik kontrol dvrlrin v doğrudan aşırı akım

Detaylı

IŞINIM VE DOĞAL TAŞINIM DENEYİ

IŞINIM VE DOĞAL TAŞINIM DENEYİ IŞINIM VE DOĞAL TAŞINIM DENEYİ MAK-LAB005 1. DENEY DÜZENEĞİNİN TANITILMASI Dny düznği, şkild görüldüğü gibi çlik bir basınç kabının içind yatay olarak asılı duran silindirik bir lman ihtiva dr. Elman bakırdan

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

ÖABT YAYINLARI. BASKI Birleşik Matbaacılık 5619 Sok. No: 1 Çamdibi/İZMİR Tel: İletişim Adresi

ÖABT YAYINLARI. BASKI Birleşik Matbaacılık 5619 Sok. No: 1 Çamdibi/İZMİR Tel: İletişim Adresi ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazarlar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ Alan Eğitimi Gülsev GÜRSOY ISBN 978-605-08-57- Safa Düzeni AYMİR Yaınevi

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 5

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 5 FIRT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EMÜ419 OTOMTİK KONTROL LORTURI DENEY 5 PID KONTROLÖR KRKTERİSTİKLERİNİN İNELENMESİ VE NLOG OLRK POZİSYON KONTROL SİSTEMLERİNDE

Detaylı