g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1"

Transkript

1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim. Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. g nin a da türevi varsa, bu türevi f nin (a, b) de x e göre kısmi türevi olarak adlandırır ve f x (a, b) ile gösteririz: g(x) = f(x, b) olmak üzere f x (a, b) = g (a) (1) Türev tanımından, olduğundan, Denklem 1 biçimini alır. g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = lim h 0 f(a + h, b) f(a, b) h (2) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 2/ 164 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Benzer şekilde, f nin (a, b) de y göre kısmi türevi, f y (a, b) ile gösterilir ve x i sabit tutup, G(y) = f(a, y) tek değişkenli fonksiyonunun b de türevi alınarak bulunur: f y (a, b) = lim h 0 f(a, b + h) f(a, b) h (3) Denklem 2 ve 3 de (a, b) noktası değiştirildiğinde, f x ve f y iki değişkenli fonksiyon olurlar. Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise kısmi türevleri f x ve f y aşağıda tanımlanan fonksiyonlardır: f x (x, y) = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h f y (x, y) = lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 3/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 4/ 164

2 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Kısmi türevler için gösterimler z = f(x, y) ise f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x, y) = f y = f y = z f(x, y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f yazarız. z = f(x, y) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulma kuralı 1. f x i bulmak için y değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin x e göre türevini alınız. 2. f y yi bulmak için x değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin y e göre türevini alınız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 5/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 6/ 164 : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 ise f x (2, 1) ve f y (2, 1) değerlerini bulunuz. Çözüm : y yi sabit tutup x e göre türev alarak elde ederiz ve f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f x (2, 1) = = 16 buluruz. x i sabit tutup y ye göre türev alarak f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y ( ) x : f(x, y) = sin ise, f f ve 1 + y x y yi hesaplayınız. Çözüm : Bir değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralını kullanarak ( ) ( ) ( ) f x x = cos x x 1 = cos 1 + y x 1 + y 1 + y 1 + y ( ) f x y = cos 1 + y elde ederiz. ( ) ( ) x x = cos y 1 + y 1 + y x (1 + y) 2 f y (2, 1) = = 8 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 7/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 8/ 164

3 : Eğer z, x ve y nin x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 denklemi ile kapalı olarak tanımlanmış bir fonksiyonu ise z/ x ve z/ y yi bulunuz. Çözüm : z/ x i bulmak için y ye bir sabit gibi davranmaya özen göstererek eşitliğin her iki yanının x e göre kapalı türevini alırız. 3x 2 + 3z 2 z z + 6yz + 6xy x x = 0 3x 2 + 3z 2 z z + 6yz + 6xy x x = 0 Bu denklemi z/ x için çözerek z x = x2 + 2yz z 2 + 2xy elde ederiz. Benzer şekilde y ye göre kapalı türev almak sonucunu verir. z y = + 2xz y2 z 2 + 2xy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 9/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 10/ 164 Türevlenebilirlik Kısmi Türevlerin Yorumu : Eğer f(x, y) = 4 x 2 2y 2 ise, f x (1, 1) ve f y (1, 1) i bulunuz ve bu sayıları eğim olarak yorumlayınız. Teorem : Eğer f x ve f y kısmi türevleri (a, b) yakınında var ve (a, b) de sürekli ise, f, (a, b) de türevlenebilirdir. Çözüm : f x (x, y) = 2x ve f y (x, y) = 4y f x (1, 1) = 2 ve f y (1, 1) = 4 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 11/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 12/ 164

4 Kısmi Türevlerin Yorumu Kısmi Türevlerin Yorumu Şekil 1 : tan α = f x (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 13/ 164 Şekil 2 : tan β = f y (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 14/ 164 İkiden Çok Değişkenli Fonksiyonlar Kısmi türevler üç ya da daha çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanabilir. Örneğin f, x, y ve z nin üç değişkenli bir fonksiyonu ise x e göre kısmi türevi y, z yi sabit tutup f(x, y, z) nin x e göre türevi alınarak bulunur. : f(x, y, z) = e xy ln z ise f x, f y ve f z yi bulunuz. Çözüm : y ve z yi sabit tutup x e göre türev alarak f x = ye xy ln z bulunur. Eğer w = f(x, y, z) ise f x = w/ x, y ve z sabit tutulduğunda w nin x e göre değişme hızı olarak yorumlanabilir. Ancak, f nin grafiği dört-boyutlu uzayda olduğundan onu geometrik olarak yorumlayamayız. Benzer şekilde bulunur. f y = xe xy ln z ve f z = exy z Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 15/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 16/ 164

5 : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. (a) u = x x x2 n (b) u = sin(x 1 + 2x nx n ) Çözüm : (a) Bir değişikenli fonksiyonlar için Zincir kuralını kullanarak u 1 = x 1 2 x x x 1 = x2 n u 1 = x 2 2 x x x 2 = x2 n x 1 x x x2 n x 2 x x x2 n Genelleştirirsek, elde ederiz. u x = i x i x x , i = 1, 2,..., n x2 n Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 17/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 18/ 164 Yüksek Basamaktan Türevler (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, buluruz. u x 1 = cos(x 1 + 2x nx n ) 1 u x 2 = cos(x 1 + 2x nx n ) 2 u x i = i cos(x 1 + 2x nx n ), i = 1, 2,..., n Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise f x ve f y de iki değişkenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (f x ) x, (f x ) y, (f y ) x, (f y ) y kısmi türevlerini düşünebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi türevleri olarak adlandırırız.eğer z = f(x, y) ise aşağıdaki gösterimleri kullanırız: (f x ) x = f xx = f 11 = x (f x ) y = f xy = f 12 = y (f y ) x = f yx = f 21 = x (f y ) y = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x x 2 = 2 z x 2 ( ) f = 2 f x y x = 2 z y x ( ) f = 2 f y x y = ( ) f = 2 f x y 2 = 2 z y 2 2 z x y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 19/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 20/ 164

6 Yüksek Basamaktan Türevler : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 fonksiyonunun ikinci türevlerini bulunuz. 2 f Dolayısıyla, f xy (diğer yazılışıyla ) önce x e sonra y ye görev y x türev almak anlamına gelir, diğer yandan f yx hesaplanırken bu sıra tersinedir. Çözüm : te de f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 bulmuştuk. Bu nedenle f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y f xx = x (3x2 + 2xy 3 ) = 6x + 2y 3 f xy = y (3x2 + 2xy 3 ) = 6xy 2 f yx = x (3x2 y 2 4y) = 6xy 2 f yy = y (3x2 y 2 4y) = 6x 2 y 4 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 21/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 22/ 164 Yüksek Basamaktan Türevler Clairaut Teoremi : f, (a, b) noktasını içeren bir D dairesinde tanımlansın. Eğer f xy ve f yx fonksiyonlarının her ikisi de D de sürekli ise, f xy = f yx olur. 3 üncü ya da daha yüksek basamaktan kısmi türevler benzer şekilde tanımlanabilir. Eğer bu fonksiyonlar sürekli ise Clairaut teoreminden f xyy = f yxy = f yyx olduğunu gösterilebilir. : Eğer f(x, y, z) = sin(3x + yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x f xx f xxy f xxyz = 3 cos(3x + yz) = 9 sin(3x + yz) = 9z cos(3x + yz) = 9 cos(3x + yz) + 9yz sin(3x + yz) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 23/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 24/ 164

7 Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Bir değişkenli kalkülüste en önemli fikirlerden biri, türevlenebilen bir fonksiyonun grafiğinde bir noktaya odaklanıldığında, grafiğin teğet doğrusundan ayırt edilemediği ve fonksiyona doğrusal bir fonksiyon ile yaklaşabiliyor olmamızdır. Burada benzer fikirleri üç boyutta geliştireceğiz. Türevlenebilen iki değişkenli bir fonksiyonun grafiği olan bir yüzeyde bir noktaya odaklandığımızda, yüzey gitgide bir düzleme (yüzeyin teğet düzlemi) benzeyecek ve fonksiyona iki değişkenli bir doğrusal fonksiyonla yaklaşabileceğiz. Ayrıca bir fonksiyonun diferansiyeli kavramını iki veya daha çok değişkenli fonksiyonlara genelleştireceğiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 25/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 26/ 164 Teğet Düzlem : z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzlemini bulunuz. f nin kısmi türevleri sürekli olsun. z = f(x, y) yüzeyine P (x 0, y 0, z 0 ) noktasında teğet düzleminin denklemi z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) dır. Çözüm : f(x, y) = 2x 2 + y 2 olsun. Bu durumda, f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 olur. Bu nedenle (1, 1, 3) teki teğet düzleminin denklemi z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) ya da olarak verilir. z = 4x + 2y 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 27/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 28/ 164

8 (1, 1, 3) e odaklandıkça z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin teğet düzlemiyle daha çok çakışıyor göründüğüne dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 29/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 30/ 164 Doğrusal Yaklaştırımlar Doğrusal Yaklaştırımlar te f(x, y) = 2x 2 + y 2 fonksiyonunun (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzleminin denkleminin z = 4x + 2y 3 olduğunu bulduk. Bu nedenle şekillerdeki görsel kanıtlar nedeniyle, iki değişkenli L(x, y) = 4x + 2y 3 doğrusal fonksiyonu, (x, y) noktası (1, 1) e yakınken f(x, y) fonksiyonuna iyi bir yaklaştırımdır. L fonksiyonu f nin (1, 1) deki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır ve f(x, y) 4x + 2y 3 yaklaştırımı f ye (1, 1) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. Örneğin, (1.1, 0.95) noktasında doğrusal yaklaştırım verir, bu da f(1.1, 0.95) 4(1, 1) + 2(0.95) 3 = 3.3 f(1.1, 0.95) = 2(1, 1) 2 + (0, 95) 2 = gerçek değerine oldukça yakındır. Ancak (2, 3) gibi (1, 1) den uzak bir nokta alırsak, artık iyi bir yaklaştırım elde etmeyiz. Gerçekten de f(2, 3) = 17 olmasına karşın L(2, 3) = 11 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 31/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 32/ 164

9 Doğrusal Yaklaştırımlar Genel olarak iki değişkenli bir f fonksiyonunun (a, b, f(a, b)) noktasındaki teğet düzlemi denkleminin z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olduğunu biliyoruz. Grafiği bu teğet düzlemi olan doğrusal fonksiyon L(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (4) f nin (a, b) deki doğrusallaştırması ve f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (5) yaklaştırımı, f ye (a, b) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. : f(x, y) = xe xy nin (1, 0) da doğrusallaştırmasını bulunuz. Sonra bunu kullanarak f(1.1, 0.1) i yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm :Kısmi türevler Doğrusallaştırma f x (x, y) = e xy + xye xy f y (x, y) = x 2 e xy f x (1, 0) = 1 f y (1, 0) = 1 L(x, y) = f(1, 0) + f x (1, 0)(x 1) + f y (1, 0)(y 0) = 1 + 1(x 1) + 1 y = x + y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 33/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 34/ 164 Diferansiyeller ve karşıgelen doğrusal yaklaştırım dir, bu nedenle xe xy x + y f(1.1, 0.1) = 1 olur. Bu sonucu, f(1.1, 0.1) in gerçek değeri olan 1.1e ile karşılaştırınız. İki değişkenli türevlenebilen bir z = f(x, y) fonksiyonu için dx ve dy diferansiyellerini bağımsız değişkenler olarak tanımlarız; dolayısıyla onlara herhangi bir değer verilebilir. Buradan, aynı zamanda toplam diferansiyel olarak da adlandırılan, dz diferansiyeli dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy = z z dx + dy (6) x y olarak tanımlanır. Bazen dz yerine df gösterimi de kullanılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 35/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 36/ 164

10 Diferansiyeller Diferansiyeller Eğer, Denklem (6) da dx = x = x a ve dy = y = y b alınırsa, z nin diferansiyeli dz = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olur. Böylece, diferansiyel gösterimi ile (5) teki doğrusal yaklaştırım olarak yazılabilir. f(x, y) f(a, b) + dz Şekil 7 dz diferansiyelinin ve z artışının geometrik anlamını göstermektedir: (x, y), (a, b) den (a + x, b + y) ye değiştiğinde, dz teğet düzleminin yüksekliğindendeki değişimi, z ise z = f(x, y) yüzeyinin yüksekliğindeki değişimi temsil etmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 37/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 38/ 164 : Çözüm (a) Tanım (6) dan bulunur. (a) z = f(x, y) = x 2 + 3xy y 2 ise dz diferansiyelini bulunuz. (b) x, 2 den 2.05 e ve y, 3 ten 2.96 ya değiştiğinde z ile dz yi karşılaştırınız. dz = z z dx + dy = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy x y (b) x = 2, dx = x = 0.05, y = 3 ve dy = y = 0.04 yazarak dz = [2(2) + 3(3)] [3(2) 2(3)]( 0.04) = 0.65 buluruz. z nin değişimi z = f(2.05, 2.96) f(2, 3) = [(2.05) 2 + 3(2.05)(2.96) (2.96) 2 ] [ (2)(3) 3 2 ] = dur. z dz olduğuna ancak dz nin daha kolay hesaplandığına dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 39/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 40/ 164

11 : Bir dik dairesel koninin taban yarıçapı ve yüksekliği, her iki ölçümde de 0.1 cm kadar olası hata ile sırasıyla 10 cm ve 25 cm olarak ölçülmüştür. Diferansiyel kullanarak koninin hesaplanan hacmindeki maksimum hatayı yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm : Taban yarıçapı r yüksekliği h olan koninin hacmi V = πr 2 h/3 tür. Dolayısıyla V nin diferansiyeli dv = V V dr + r h 2πrh πr2 dh = dr dh olur. Her iki hata en çok 0.1 olduğundan, r 0.1, h 0.1 dir. Hacimdeki maksimum hatayı bulmak için r ve h nin ölçümündeki maksimum hataları alırız. Böylece r = 10, h = 25 ile dr = 0.1 ve dh = 0.1 alırız. Bu da dv = 500π 3 100π (0.1) + (0.1) = 20π 3 verir. Böylece, hesaplanan hacimdeki maksimum hata yaklaşık 20πcm 3 63cm 3 dür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 41/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 42/ 164 Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Eğer w = f(x, y, z) ise w nin değişimi Doğrusal yaklaştırım, türevlenebilme ve diferansiyeller ikiden çok değişkenli fonksiyonlar için benzer şekilde tanımlanabilir. Türevlenebilir bir fonksiyon için doğrusal yaklaştırım dir. w = f(x + x, y + y, z + z) f(x, y, z) f(x, y, z) f(a, b, c)+f x (a, b, c)(x a)+f y (a, b, c)(y b)+f z (a, b, c)(z c) olur ve L(x, y, z) doğrusallaştırılması bu ifadenin sağ yanıdır. dw diferansiyeli, bağımsız değişkenler dx, dy ve dz diferansiyelleri cinsinden olarak tanımlanır. dw = w x w w dx + dy + y z dz Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 43/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 44/ 164

12 Zincir Kuralı Zincir Kuralı (1. Durum) Birden çok değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralı nın her biri bir bileşke fonksiyonunun türevini veren birkaç türü vardır. Bunlardan ilki, z = f(x, y) ve x ve y değişkenlerinin her ikisinin de bir t değişkeninin fonksiyonu olduğu durumu ele alır. Bu, dolaylı olarak z nin, t nin bir fonksiyonu, z = f(g(t), h(t)) olması demektir ve Zincir Kuralı z nin, t nin fonksiyonu oılarak türevinin bulunması için bir formül verir. f nin türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. f x ve f y sürekli iken bunun sağlandığını anımsayınız. Teorem 1: x = g(t) ve y = h(t) nin her ikisi de türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu olsun. O zaman z de t nin türevlenebilen bir fonksiyonudur ve olur. dz dt = f dx x dt + f dy y dt Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 45/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 46/ 164 : x = sin 2t ve y = cos t olmak üzere z = x 2 y + 3xy 4 ise t = 0 iken dz yi bulunuz. dt Çözüm Zincir Kuralı dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4 )(2 cos 2t) + (x xy 3 )( sin t) verir. x ve y için t cinsinden ifadeleri yerine yazmak gerekmez. t = 0 iken x = sin 0 = 0 ve y = cos 0 = 1 olduğunu kolayca görürüz. Bu nedenle olur. dz = (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)( sin 0) = 6 dt t=0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 47/ 164 Zincir Kuralı (1. Durum) deki türev, (x, y) noktaları, parametrik denklemleri x = sin 2t, y = cos t olan C eğrisi üzerinde hareket eden, z nin t ye göre değişim hızı olarak yorumlanabilir. Özel olarak t = 0 iken (x, y) noktası (0, 1) olur ve dz = 6, C eğrisi dt boyunca (0, 1) den geçtiğimiz andaki artış hızıdır. Örneğin, z = T (x, y) = x 2 y + 3xy 4 fonksiyonu (x, y) noktasındaki sıcaklık ise, bileşke fonksiyonu z = T (sin 2t, cos t), C üzerindeki noktalardaki sıcaklığı, dz = 6 türevi de, sıcaklığın C boyunca dt değişimini temsil eder. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 48/ 164

13 : Bir mol ideal gazın P (kilopascal olarak) basıncı, V (litre olarak) hacmi ve T (Kelvin olarak) sıcaklığı P V = 8.31T eşitliğini sağlar. Sıcaklık 300K ve 0.1 K sn hızla artıyor ve hacmi 100L ve hızla artıyor ise basıncın değişim hızını bulunuz. 0.2 L sn Çözüm Eğer t saniye olarak geçen zamanı temsil ederse, belirtilen anda T = 300, dt dt = 0.1, V = 100, dv dt = 0.2 olur. olduğundan, Zincir Kuralı dp dt P = 8.31 T V = P dt T dt + P dv V dt = 8.31 V dt dt 8.31T dv V 2 dt = (300) (0.1) (0.2) = sonucunu verir. Basınç yaklaşık 0.042kP a/sn hızla azalmaktadır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 49/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 50/ 164 Zincir Kuralı (2. Durum) Zincir Kuralı (2. Durum) Teorem 2: Kolay hatırlayabilmek için aşağıdaki gibi bir diyagram çizilebilir. z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu, x = g(s, t) ve y = h(s, t), s ve t nin türevlenebilen fonksiyonları olsun. Bu durumda olur. z s z t = z x x s + z y y s = z x x t + z y y t Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 51/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 52/ 164

14 Zincir Kuralı (2. Durum) : x = st 2 ve y = s 2 t olmak üzere z = e x sin y ise, z s yi bulunuz. ve z t Çözüm Zincir Kuralı nın 2. Durumu nu kullanarak z s z t = z x x s + z y y s = (ex sin y)(t 2 ) + (e x cos y)(2st) = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t) = z x x t + z y y t = (ex sin y)(2st) + (e x cos y)(s 2 ) = 2ste st2 sin(s 2 t) + s 2 e st2 cos(s 2 t) Zincir Kuralı nın 2. Durumu üç tür değişken içerir: s ve t bağımsız değişkenlerdir. x ve y ara değişkenler olarak adlandırılır ve z bağımlı değişkendir. Teorem 2 de her bir ara değişken için bir terim olduğuna ve her terimin bir değişkenli Zincir Kuralı na benzediğine dikkat ediniz. elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 53/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 54/ 164 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma F (x, y) = 0 şeklinde bir denklemin y yi x in türevlenebilen kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlandığını, başka bir deyişle, y = f(x) ve f nin tanım kümesindeki her x için, F (x, f(x)) = 0 olduğunu varsayalım. Eğer F türevlenebiliyorsa, Zincir Kuralı nın 1. Durumu nu kullanarak F (x, y) = 0 eşitliğinde her iki yanın x e göre türevini alabiliriz. Hem x hem de y, x in fonksiyonu olduğundan F dx x dx + F dy y dx = 0 Eğer F y elde ederiz. F dx x dx + F dy y dx = 0 dx dy 0 ise = 1 olduğundan dx dx i çözerek F dy dx = x F y = F x F y (7) elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 55/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 56/ 164

15 Kapalı Türev Alma : x 3 + y 3 = 6xy ise y nü bulunuz. Çözüm Verilen eşitlik F (x, y) = x 3 + y 3 6xy = 0 olarak yazılabilir, bu nedenle Denklem 20 Şimdi de F (x, y, f(x, y)) = 0 şeklindeki bir eşitliğin z yi z = f(x, y) olarak kapalı biçimde tanımlandığını varsayalım. Bu, f nin tanım kümesindeki her (x, y) için F (x, y, f(x, y)) = 0 olması anlamına gelir. Eğer F ve f türevlenebiliyorsa olduğunu verir. dy dx = F x F y = 3x2 6y 3y 2 6x = x2 2y y 2 2x z x = F x F z z y = F y F z. (8) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 57/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 58/ 164 : Eğer x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 ise z z ve x y yi bulunuz. Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Şekil 3 deki hava haritası, bir coğrafi bölgedeki T (x, y) sıcaklık fonksiyonunun kontur haritasını göstermektedir. Çözüm F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz 1 olsun. Denklem 21 den z x = F x F z = 3x2 + 6yz 3z 2 + 6xy = x2 + 2yz z 2 + 2xy z y = F y F z = 3y2 + 6xz 3z 2 + 6xy = y2 + 2xz z 2 + 2xy elde ederiz. Şekil 3 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 59/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 60/ 164

16 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Kesit eğrileri, yada sıcaklık eğrileri, sıcaklığın aynı olduğu yerleri birleştirir. A gibi bir yerdeki T x kısmi türevi, A dan doğuya gidersek sıcaklığın yola göre değişim hızıdır. Bu bölümde, iki ya da daha çok değişkenli bir fonksiyonun, herhangi bir yöndeki değişim hızını bulmamızı sağlayacak yönlü türev olarak adlandırılan bir türev tipini tanıtacağız. Ancak ya güneydoğuya doğru ya da başka bir yöne doğru giderken, sıcaklığın değişim hızını bilmek istiyorsak? Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 61/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 62/ 164 Yönlü Türevler Yönlü Türevler z = f(x, y) ise f x ve f y kısmi türevlerinin f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) h f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) h olarak tanımlandığını ve z nin, x ve y yönündeki, başka bir deyişle i ve j birim vektörlerinin yönündeki değişim hızlarını temsil ettiklerini anımsayalım. (9) Şimdi z nin herhangi bir u = a, b birim vektörü yönündeki değişim hızını bulmak istediğimizi düşünelim. Tanım: f nin (x 0, y 0 ) noktasında bir u = a, b birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer varsa) limitidir. D u f(x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb) f(x 0, y 0 ) h (10) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 63/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 64/ 164

17 Yönlü Türevler Tanımı denklem 9 ile karşılaştırarak, : Şekil 3 i kullanarak, sıcaklık fonksiyonunun, Reno da güneydoğu yönündeki yönlü türevinin değerini yaklaşık olarak bulunuz. (Şekilde Renonun yanındaki noktaların arasındaki uzaklığı 75mil alınız.) ve olduğunu görürüz. u = i = 1, 0 ise D i f = f x u = j = 0, 1 ise D j f = f y Diğer bir deyişle f nin x ve y ye göre kısmi türeveri, yönlü türevin özel durumlarıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 65/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 66/ 164 Çözüm: Güneydoğuya dönük birim vektör u = ( i j)/ 2 olur ancak biz bu ifadeye gereksinim duymayacağız. Renodan güneydoğuya doğru bir doğru çizerek işe başlarız. (Bkz. şekil 4.) D u T yönlü türevini, bu doğrunun, T = 60 ve T = 70 eşsıcaklık eğrilerini kestiği noktalar arasındaki ortalama değişim hızı ile yaklaşık olarak buluruz. A nın güneydoğusundaki noktadaki sıcaklık T = 70 F ve A nın kuzaybatısındaki noktadaki sıcaklık T = 60 F dir. Bu noktalar arasındaki uzaklık 75 mil olduğundan, güneydoğu yönündeki sıcaklığın değişim hızı olur. D u T = F/mi Şekil 4 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 67/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 68/ 164

18 Yönlü Türevler Gradyan Vektörü Teoremdeki denklem 11 den yönlü türevin, iki vektörün iç çarpımı olarak yazılabildiğine dikkat ediniz: Teorem: Eğer f, x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu ise f nin her u = a, b yönünde yönlü türevi vardır ve olur. D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b (11) D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b = = f x (x, y), f y (x, y) a, b f x (x, y), f y (x, y) u (12) Bu iç çarpımdaki ilk vektör yalnızca yönlü türevleri hesaplamada değil, pek çok diğer durumda da ortaya çıkar. Bu nedenle ona özel bir ad verir (f nin gradyanı) ve özel bir sembol (grad f ya da del f olarak okunan f) ile gösteririz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 69/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 70/ 164 Gradyan Vektörü Tanım: f, x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonu ise, f nin gradyanı f ile gösterilen f(x, y) = vektör değerli fonksiyondur. f x (x, y), f y (x, y) = f x i + f y j (13) : Eğer f(x, y) = sin x + e xy ise, f(x, y) = f x, f y = cos x + ye xy, xe xy ve f(0, 1) = 2, 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 71/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 72/ 164

19 Gradyan Vektörü : f(x, y) = x 2 y 3 4y fonksiyonunun (2, 1) noktasında v = 2 i + 5 j vektörü yönündeki yönlü türevi bulunuz. Gradyan vektörü için bu gösterim ile yönlü türev için 12 ifadesini Çözüm: Önce (2, 1) noktasındaki gradyanı hesaplarız: D u f(x, y) = f(x, y) u (14) f(x, y) = 2xy 3 i + (3x 2 y 2 4) j olarak yazabiliriz. f(2, 1) = 4 i + 8 j Bu eşitlik, u yönündeki yönlü türevin, gradyan vektörünün u üzerine izdüşümü olduğunu belirtir. v nin birim vektör olmadığına dikkat ediniz, ancak v = 29 olduğundan v yönündeki birim vektör u = v v = 2 29 i j olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 73/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 74/ 164 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Bu nedenle, denklem 14 dan D u f(2, 1) = f(2, 1) u = ( 4 i + 8 j) bulunur. = = ( 2 i + 5 ) j Üç değişkenli fonksiyonlar için yönlü türevleri benzer bir şekilde tanımlayabiliriz. D u f(x, y, z), yine fonksiyonun u birim vektörü yönündeki değişim hızı olarak yorumlanabilir. Tanım: f nin (x 0, y 0, z 0 ) noktasında bir u = a, b, c birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer bu limit varsa) D u f(x 0, y 0, z 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb, z 0 + hc) f(x 0, y 0, z 0 ) h (15) olarak tanımlanır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 75/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 76/ 164

20 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Üç Değişkenli Fonksiyonlar f(x, y, z) türevlenebilir ve u = a, b, c ise D u f(x, y, z) = f x (x, y, z) a + f y (x, y, z) b + f z (x, y, z) c (16) dir. Üç değişkenli bir f fonksiyonu için, f ya da grad f ile gösterilen gradyan vektörü f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) veya kısaca f = f x, f y, f z = f x i + f y j + f z k olur. Bunun, sonucunda, iki değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, yönlü türev için denklem 16 D u f(x, y, z) = f(x, y, z) u (17) olarak yazılabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 77/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 78/ 164 : f(x, y, z) = x sin(yz) ise, (a) f nin gradyanını ve (b) f nin (1, 3, 0) da v = i + 2 j k yönündeki yönlü türevini bulunuz. Çözüm: (a) f nin gradyanı olur f(x, y, z) = = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz) (b) (1, 3, 0) da f(1, 3, 0) = 0, 0, 3 buluruz. v = i + 2 j k yönündeki birim vektör dir. Bu nedenle denklem 17 D u f(1, 3, 0) sonucunu verir. u = 1 6 i j 1 6 k = f(1, 3, 0) u ( = 3 1 k 6 i + 2 j 1 ) k 6 6 ( = 3 1 ) 3 = 6 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 79/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 80/ 164

21 Yönlü Türevi Maksimum Yapmak Yönlü Türevi Maksimum Yapmak f iki yada üç değişkenli bir fonksiyon olsun ve verilen bir noktada f nin tüm yönlü türevlerini düşünelim. Bunlar, f nin tüm yönlerdeki değişim hızını verir. Şu soruları sorabiliriz: bu yönlerin hangisinde f en hızlı değişir ve maksimum değişim hızı nedir? Teorem: f iki ya da üç değişkenli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. D u f( x) yönlü türevinin maksimum değeri f( x) dir ve bu değere, u vektörü, gradyan vektörü f( x) ile aynı yönde iken erişir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 81/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 82/ 164 : Uzayda bir (x, y, z) noktasındaki derece Santigrad olarak ölçülen T sıcaklığının x, y, z metre cinsinden ölçülmek üzere T (x, y, z) = 80/(1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) olduğunu varsayalım. (1, 1, 2) noktasında hangi yönde sıcaklık en hızlı artar? Maksimum artış hızı nedir? Çözüm: T nin gradyanı T = T x i + T y j + T z k 160x 320y = (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 i (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 j T = 160 (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 ( x i 2y j 3z k) olur. (1, 1, 2) noktasında gradyan vektörü olur. T (1, 1, 2) = ( i 2 j + 6 k) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) 480z (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 k Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 83/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 84/ 164

22 Teoremden, sıcaklık, gradyan vektörü T (1, 1, 2) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) yönünde, ya da i 2 j + 6 k yönünde ya da ( i 2 j + 6 k)/ 41 birim vektörü yönünde en hızlı artar. Maksimum artış hızı gradyan vektörünün boyudur: T (1, 1, 2) = 5 8 i 2 j + 6 k = Bu nedenle, sıcaklığın maksimum artış hızı 5 41/8 4 C/m olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 85/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 86/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise iki değişkenli f fonksiyonunun (a, b) de bir yerel maksimumu vardır. [ Bu, (a, b) merkezli bir dairedeki her (x, y) için f(x, y) f(a, b) ] olması demektir. Tanımdaki eşitsizlikler, f nin tanım kümesindeki her (x, y) noktasında sağlanıyorsa, f nin, (a, b) de mutlak maksimumu (veya mutlak minimumu) vardır. f(a, b) sayısı yerel maksimum değeri olarak adlandırılır. (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise f(a, b) yerel minimum değeridir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 87/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 88/ 164

23 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Birden çok maksimum ve minimumu olan bir fonksiyonun grafiği Şekil 5 de görülmektedir. Yerel maksimumları dağ tepeleri ve yerel minimumları vadi tabanları olarak düşünebiliriz. Şekil 5 : Teorem : f nin, (a, b) noktasında yerel maksimum ya da yerel minimumu var ve orada f nin birinci basamaktan kısmi türevleri varsa f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 89/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 90/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Teoremin bir sonucunun gradyan vektörü gösterimiyle f(a, b) = 0 olarak ifade edilebileceğine dikkat ediniz. Teğet düzlemi denkleminde f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 yazarsak, z = z 0 elde ederiz. Bu nedenle, teoremin geometrik yorumu, yerel maksimum ya da yerel minimumda teğet düzleminin yatay olması gerektiğidir. Eğer, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 ya da bu kısmi türevlerden biri yoksa (a, b) noktası, f nin bir kritik noktası (ya da durağan noktası) dır deriz. Teorem fonksiyonun (a, b) de yerel maksimum ya da yerel minimumu varsa, (a, b) nin f nin bir kritik noktası olduğunu söyler. Ancak, bir değişkenli kalkülüste olduğu gibi, her kritik nokta bir yerel maksimum ya da yerel minimuma yol açmaz. Bir kritik noktada fonksiyonun yerel maksimumu veya yerel minimumu olabilir veya bunlardan hiçbiri olmayabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 91/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 92/ 164

24 Maksimum ve Minimum Değerler İkinci Türevler Testi İki değişkenli bir f fonksiyonunun ikinci basamaktan kısmi türevleri (a, b) merkezli [ bir dairede sürekli, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olsun başka bir deyişle (a, b), f nin ] bir kritik noktası olsun. Bu durumda olmak üzere, D = D(a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2 (a) D > 0 ve f xx (a, b) > 0 ise f(a, b) bir yerel minimumdur. (b) D > 0 ve f xx (a, b) < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimumdur. (c) D < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimum veya yerel minimum değildir. Maksimum ve Minimum Değerler Not 1 (c) durumunda (a, b) noktası, f nin bir eyer noktası olarak adlandırılır ve f nin grafiği (a, b) noktasında teğet düzleminin bir yanından diğer yanına geçer. Not 2 D = 0 ise test hiçbir bilgi vermez. f nin (a, b) de yerel maksimum veya yerel minimumu olabilir veya (a, b), f nin bir eyer noktası olabilir. Not 3 D nin formülünü anımsamak için onu bir determinant olarak yazmak yaralı olur: D(x, y) = f xx f xy = f xxf yy (f xy ) 2 f yx f yy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 93/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 94/ 164 : f(x, y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek f x = 2x 2 f y = 2y 6 2x 2 = 0 ve 2y 6 = 0 Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(1, 3) = 4 > 0 ve f xx = 2 olduğundan ikinci türev testinin (a) şıkkından (1, 3) noktasının yerel minimum olduğu ortaya çıkar. denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 1 ve y = 3. Kritik nokta (1, 3) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 95/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 96/ 164

25 : f(x, y) = y 2 x 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 2x f y = 2y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek 2x = 0 ve 2y = 0 denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 0 ve y = 0. Kritik nokta (0, 0) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 97/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 98/ 164 Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(0, 0) = 4 < 0 olduğundan ikinci türev testinin (c) şıkkından (0, 0) noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 99/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 100/ 164

26 : f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 4x 3 4y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek denklemlerini elde ederiz. f y = 4y 3 4x x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözmek için birinci denklemden bulunan y = x 3 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarız. Bu bize aşağıdaki denklemi verir. 0 = (x 3 ) 3 x = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 + 1) = x(x 2 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 101/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 102/ 164 x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = 0 Buradan üç gerçel kök bulunur: x = 0, 1, 1. Kritik noktalar (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) olur. Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 12x 2 f xy = 4 f yy = 12y 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(0, 0) = 16 < 0 olduğundan ikinci türevler testinin (c) şıkkından başlangıç noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar; başka bir deyişle f nin, (0,0) da yerel maksimum ya da yerel minimumu yoktur. D(1, 1) = 128 > 0 ve f xx (1, 1) = 12 > 0 olduğundan testin (a) şıkkından f(1, 1) = 1 in yerel minimum olduğunu görürüz. Benzer şekilde D( 1, 1) = 128 > 0 ve f xx = 12 > 0 olduğundan f( 1, 1) = 1 de yerel bir minimumdur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 103/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 104/ 164

27 : f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz ve sınıflandırınız. Ayrıca f nin grafiğindeki en yüksek noktayı da bulunuz. Çözüm : Birinci basamaktan kısmi türevler f x = 20xy 10x 4x 3 f y = 10x 2 8y 8y 3 olduğundan kritik noktaları bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmeliyiz. 2x(10y 5 2x 2 ) = 0 (18) 5x 2 4y 4y 3 = 0 (19) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 105/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 106/ 164 Denklem (18) den x = 0 veya 10y 5 2x 2 = 0 olması gerekir. Birinci durumda (x = 0) Denklem 19, 4y(1 + y 2 ) = 0 şekline gelir, buradan y = 0 bulunur ve (0, 0) bir kritik noktadır. İkinci durumda (10y 5 2x 2 = 0), x 2 = 5y 2.5 (20) ve bunu Denklem (19) de yerine yazarsak 25y y 4y 3 = 0 elde ederiz. Şimdi üçüncü dereceden 4y 3 21y = 0 (21) denklemini çözmek zorundayız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 107/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 108/ 164

28 Bir bilgisayar veya grafik çizen hesap makinesi kullanarak Şekil?? daki gibi, g(y) = 4y 3 21y fonksiyonunun grafiğini çizersek, Denklem (21) ün üç gerçel kökü olduğunu görürüz. Şekli büyüterek kökleri 4 basamağa kadar buluruz: y y y (Bunun yerine Newton yöntemini veya başka bir kök bulma yöntemini kullanabiliriz.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 109/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 110/ 164 Denklem (20) den bunlara karşı gelen x değerleri olarak verilir. x = ± 5y 2.5 y 2, 5452 için x in bu değere karşılık gelen gerçel bir değeri yoktur. y 0, 6468 için x ±0, 8567 olur. Böylece aşağıdaki tabloda incelenen toplam 5 kritik nokta vardır. Tüm sayılar iki ondalık basamağa yuvarlanmıştır. Kritik nokta fnin değeri f xx D Sonuç (0,0) yerel maksimum (±2.64, 1.90) yerel maksimum (±0.86, 0.65) eyer noktası y 1, 8984 için x ±2, 6442 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 111/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 112/ 164

29 Aşağıdaki şekillerde, f nin grafiğini iki açıdan gösterir ve yüzeyin aşağı doğru açıldığını görürüz. [Bu, f(x, y) nin ifadesinden görülerbilir: x ve y büyük iken baskın terimler x 4 2y 4 olur.] f nin yerel maksimum noktalarındaki değerlerini karşılaştırarak, f nin mutlak maksimum değerinin f(±2.64, 1.90) 8.50 olduğunu görürüz. Diğer bir deyişle, (±2.64, 1.90, 8.50), f nin grafiğindeki en yüksek noktalardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 113/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 114/ 164 : (1,0,-2) noktasından x + 2y + z = 4 düzlemine olan en kısa uzaklığı bulunuz. Çözüm : Herhengi bir (x, y, z) noktasından (1, 0, 2) noktasına uzaklık d = (x 1) 2 + y 2 + (z + 2) 2 olur, ancak (x, y, z), x + 2y + z = 4 düzlemi üzerinde olduğundan, z = 4 x 2y sağlanır, bu nedenle bulunur. d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 Daha yalın olan d 2 = f(x, y) = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 ifadesini minimum yaparak d yi minimum yapabiliriz. f x = 2(x 1) 2(6 x 2y) = 4x + 4y 14 = 0 f y = 2y 4(6 x 2y) = 4x + 10y 24 = 0 denklemlerini çözerek olduğunu buluruz. ( 11 6, 5 ) noktasının tek kritik nokta 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 115/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 116/ 164

30 f xx = 4, f xy = 4, ve f yy = 10 olduğundan, D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 24 > 0 ve f xx > 0 ( 11 dır ve ikinci türevler testinden f nin 6, 5 ) noktasında bir yerel 3 minimumu vardır. Sezgisel olarak bu yerel minimumun gerçekte bir mutlak minimum olduğunu görürüz çünkü verilen düzlemde (1, 0, 2) ye en yakın bir nokta olmalıdır. x = 11 6 ve y = 5 3 ise d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 = (5 ) = ( ) ( ) olur. (1, 0, 2) den x + 2y + z = 4 düzlemine en yakın uzaklık 5 6/6 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 117/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 118/ 164 : 12m 2 lik bir kartondan üstü açık bir dikdörtgen kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 6 daki gibi kutunun uzunluk, genişlik ve yüksekliği (metre olarak) x, y, ve z olsun. Kutunun hacmi dir. V = xyz Kutunun dört yan yüzünün ve tabanının alanının 2xz + 2yz + xy = 12 oluşunu kullanarak V yi yalnızca x ve y nin fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Yukarıdaki eşitlikten z yi çözersek, z = 12 xy 2(x + y) buluruz, bu nedenle V nin ifadesi 12 xy V = xy 2(x + y) = 12xy x2 y 2 2(x + y) olur. Şekil 6 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 119/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 120/ 164

31 Kısmi türevleri hesaplar ve V x = y2 (12 2xy x 2 ) V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 buluruz. V maksimum ise V/ x = V/ y = 0 olur, ancak x = 0 veya y = 0, V = 0 verir, bu nedenle denklemlerini çözmeliyiz. 12 2xy x 2 = xy y 2 = 0 Bunlar, x 2 = y 2 ve x = y olmasını gerektirir. (Bu problemde x ve y nin her ikisinin de pozitif olması gerektiğine dikkat ediniz.) x = y bu denklemlerden birinde yazılırsa 12 3x 2 = 0 elde ederiz, bu da x = 2, y = 2, ve z = 1 verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 121/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 122/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Bunun bir yerel maksimum verdiğini, ikici türev testini kullanarak gösterebiliriz, ya da problemin fiziksel doğası gereği bir maksimum hacim olması ve bunun bir kritik noktada olması gerektiğinden, x = 2, y = 2, z = 1 de ortaya çıktığını söyleyebiliriz. Dolayısıyla V = = 4 olur ve kutunun maksimum hacmi 4m 3 dür. Bir değişkenli bir f fonksiyonu için uç değer teoremi, eğer f bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise f nin bir mutlak maksimum ve bir mutlak minimum değerinin olduğunu söyler. Kapalı aralık yönteminden, bunları f yi yalnızca kritik noktalarda değil ayrıca a ve b uç noktalarında hesaplayarak bulduk. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 123/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 124/ 164

32 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler İki değişkenli fonksiyonlar için de benzer bir durum vardır. Nasıl bir kapalı aralık uç noktalarını içeriyorsa, R 2 de bir kapalı küme, sınır noktalarını içeren bir kümedir. [ (a, b) merkezli her daire hem D ye ait olan hem de D ye ait ] olmayan noktalar içeriyorsa, (a, b) D nin bir sınır noktasıdır. Örneğin, x 2 + y 2 = 1 çemberi içindeki ve üzerindeki tüm noktaları içeren D = {(x, y) x 2 + y 2 1} dairesi bir kapalı kümedir çünkü tüm sınır noktalarını (bunlar x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki noktalardır) içerir. Ancak bir tek sınır noktası bile dışarıda bırakıldıysa küme kapalı olmaz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 125/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 126/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler R 2 de bir sınırlı küme bir daire içinde kalan bir kümedir. Diğer bir deyişle kapsamı sonlu olan bir kümedir. Böylece, kapalı ve sınırlı küme terimleriyle, uç değer teoreminin aşağıdaki iki boyutlu benzerini ifade edebiliriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 127/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 128/ 164

33 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Kapalı, sınırlı bir D kümesinde sürekli bir f fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için 1. f nin D içindeki kritik noktalarında f nin değerini bulunuz. 2. f nin D nin sınırındaki uç değerlerini bulunuz ve 2. adımlarda bulunan en büyük değer mutlak maksimum, en küçük değer mutlak minimum değeridir. : f(x, y) = x 2 2xy + 2y fonksiyonunun D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2} dikdörtgenindeki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. Çözüm : f bir polinom olduğundan, kapalı ve sınırlı D dikdörtgeninde süreklidir, bu nedenle f nin hem mutlak maksimumu hem de mutlak minimumunun olduğunu söyler. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 129/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 130/ 164 Yukarıdaki birinci adıma göre, önce kritik noktaları buluruz. Bunlar f x = 2x 2y = 0 f y = 2x + 2 = 0 iken oluşur, bu nedenle tek kritik nokta (1, 1) dir. f nin oradaki değeri f(1, 1) = 1 olur. Şekil 7 : 2. adımda Şekil 7 de gösterilen L 1, L 2, L 3, ve L 4 doğru parçalarından oluşan D nin sınırında f nin değerlerini inceleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 131/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 132/ 164

34 L 1 üzerinde y = 0 olduğundan olur. f(x, 0) = x 2 0 x 3 Bu, x in artan bir fonksiyonu olduğundan minimum değeri f(0, 0) = 0 ve maksimum değeri f(3, 0) = 9 dur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 133/ 164 L 2 üzerinde x = 3 olduğundan olur. f(3, y) = 9 4y 0 y 2 Bu, y nin azalan bir fonksiyonu olduğundan maksimum değeri f(3, 0) = 9 ve minimum değeri f(3, 2) = 1 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 134/ 164 L 3 üzerinde y = 2 olduğundan olur. f(x, 2) = x 2 4x x 3 Tek değişkenli fonksiyonlardaki yöntemler ile ya da f(x, 2) = (x 2) 2 olduğu gözlemiyle bu fonksiyonun minimum değerinin f(2, 2) = 0 ve maksimum değerinin f(0, 2) = 4 olduğunu görürüz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 135/ 164 Son olarak L 4 üzerinde x = 0 olduğundan f(0, y) = 2y 0 y 2 olur ve maksimum değer f(0, 2) = 4 ve minimum değer f(0, 0) = 0 dır. Bu nedenle sınırda f nin maksimum değeri 4 ve minimum değeri 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 136/ 164

35 3. adımda, bu değerleri kritik noktadaki f(1, 1) = 1 değeri ile kıyaslarız ve f nin D deki maksimum değerinin f(3, 0) = 9 ve minimum değerinin f(0, 0) = f(2, 2) = 0 olduğu sonucuna varırız. Şekil 8, f nin grafiğini göstermektedir. Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları Yöntemi f(x, y, x) nin g(x, y, z) = k, k R kısıtlaması altında maksimum ve minimum değerlerini bulmak için (bu değerlerin var olduğunu varsayarak): (a) f(x, y, z) = λ g(x, y, z) ve g(x, y, z) = k denklemlerini sağlayan tüm x, y, z ve λ değerlerini bulunuz. (b) (a) adımında bulunan tüm noktalarda f nin değerini hesaplayınız. Bunların en büyüğü f nin maksimum, en küçüğü f nin minimum değeridir. λ sayısı Lagrange çarpanı olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 137/ 164 Şekil 8 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 138/ 164 Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları f = λ g vektör denklemini bileşenleri cinsinden yazarsak (a) daki eşitlikler f x = λg x f y = λg y f z = λg z g(x, y, z) = k biçimini alır. Bu, dört x, y, z ve λ bilinmeyenlerinin dört denklemlik bir sistemidir, ancak λ bilinmeyeninin açık değerini bulmak zorunda değiliz. İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yöntemi biraz önce açıklanan yöntemin benzeridir. f(x, y) nin g(x, y) = k kısıtlaması altında uç değerlerini bulmak için f(x, y) = λ g(x, y) ve g(x, y) = k denklemlerini sağlayan x, y ve λ değerlerini ararız. Bu da, üç bilinmeyenli üç denklemi çözmek demektir: f x = λg x f y = λg y g(x, y) = k Lagrange yönteminin ilk uygulaması olarak daha önce çözdüğümüz aşağıdaki problemi tekrar düşünelim. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 139/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 140/ 164

36 : 12 m 2 büyüklüğünde bir kartondan, kapağı olmayan dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : x, y ve z sırasıyla kutunun, metre olarak, boyu, eni ve yüksekliği olsun. O zaman nin V = xyz g(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12 kısıtlaması altında maksimumunu bulmak istiyoruz. Lagrange yöntemini kullanarak ve V = λ g g(x, y, z) = 12 olacak şekilde x, y, z ve λ değerlerini ararız. Bu bize V x = λg x V y = λg y V z = λg z 2xz + 2yz + xy = 12 denklemlerini verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 141/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 142/ 164 Bunlar da biçimini alır. yz = λ(2z + y) (22) xz = λ(2z + x) (23) xy = λ(2z + 2y) (24) 2xz + 2yz + xy = 12 (25) Denklem sistemlerini çözmenin genel kuralları yoktur. Bazen yaratıcılık gereklidir. Bu örnekte (22) yi x ile (23) ü y ile ve (24) ü z ile çarparsak sol tarafların aynı olacağını fark etmiş olabilirsiniz. Bunu yaparak elde ederiz. xyz = λ(2xz + xy) (26) xyz = λ(2yz + xy) (27) xyz = λ(2xz + 2yz) (28) λ = 0 olması (22), (23) ve (24) den yz = xz = xy = 0 olmasını gerektirdiğinden ve bu da (25) ile çelişeceğinden, λ 0 olması gerektiğini gözlemleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 143/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 144/ 164

37 (26) ve (27) den λ(2xz + xy) = λ(2yz + xy) 2xz + xy = 2yz + xy olur, bu da xz = yz sonucunu verir. Ancak z 0 olduğundan (z = 0 olması V = 0 verirdi) x = y olur. (27) ve (28) den 2yz + xy = 2xz + 2yz buluruz, bu da 2xz = xy verir ve böylece (x 0 olduğundan) y = 2z olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 145/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 146/ 164 x = y = 2z yi (25) de yerine koyarsak 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki uç değerlerini bulunuz. Çözüm : g(x, y) = x 2 + y 2 = 1 kısıtlaması altında f nin uç değerlerini bulmamız isteniyor. Lagrange çarpanları kullanarak, elde ederiz. x, y ve z nin tümü pozitif olduğundan önceki gibi z = 1, x = 2 ve y = 2 buluruz. ve denklemlerini çözeriz, f = λ g g(x, y) = 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 147/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 148/ 164

38 bunlar f x = λg x f y = λg y g(x, y) = 1 olarak yazılabilir. 2x = 2xλ (29) 4y = 2yλ (30) x 2 + y 2 = 1 (31) (29) dan x = 0 veya λ = 1 olur. x = 0 ise (31) den y = ±1 bulunur. λ = 1 ise (30) dan y = 0 olur ve (31) den x = ±1 verir. Bu nedenle f, (0, 1), (0, 1), (1, 0) ve ( 1, 0) noktalarında uç değerlere sahip olabilir. f yi bu noktalarda hesaplayarak buluruz. f(0, 1) = 2 f(0, 1) = 2 f(1, 0) = 1 f( 1, 0) = 1 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri ise f(±1, 0) = 1 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 149/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 150/ 164 : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 1 dairesi üzerinde uç değerlerini bulunuz. Çözüm : f nin kritik noktalardaki değerlerini sınırdaki değerleri ile karşılaştırırız. f x = 2x ve f y = 4y olduğundan (0, 0) tek kritik noktadır. f nin o noktadaki değerini, az önceki örnekte bulduğumuz sınırdaki uç değerler ile karşılaştırırız: f(0, 0) = 0 f(±1, 0) = 1 f(0, ±1) = 2 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 1 dairesindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri f(0, 0) = 0 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 151/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 152/ 164

39 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 küresi üzerindeki (3, 1, 1) noktasına en yakın ve en uzak noktaları bulunuz. Çözüm : Bir (x, y, z) noktasından (3, 1, 1) noktasına uzaklık d = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 dir, ancak bunun yerine uzaklığın karesi d 2 = f(x, y, z) = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 nin maksimum ve minimumlarını aramak işi kolaylaştırır. Kısıtlama (x, y, z) noktasının küre üzerinde olması ya da g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4 olmasıdır. Lagrange çarpanları yöntemine göre f = λ g ve g = 4 denklemlerini çözeriz. Bu da denklemlerini verir. 2(x 3) = 2xλ (32) 2(y 1) = 2yλ (33) 2(z + 1) = 2zλ (34) x 2 + y 2 + z 2 = 4 (35) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 153/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 154/ 164 Benzer şekilde (33) ve (34) Bu denklemleri çözmenin en kolay yolu (32), (33) ve (34) den x, y ve z yi λ cinsinden bulup bu değerleri (35) de yerine yazmaktır. (32) den x 3 = xλ ya da x(1 λ) = 3 ya da x = 3 1 λ elde ederiz. [ (32) den λ = 1 olanaksız olduğundan 1 λ 0 olduğuna dikkat ediniz.] verir. Bu nedenle (35) den y = 1 1 λ z = 1 1 λ 3 2 (1 λ) (1 λ) 2 + ( 1)2 (1 λ) 2 = 4 bulunur, bu da (1 λ) 2 = 11 4, 1 λ = ± 11/2 verir, buradan bulunur. λ = 1 ± 11 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 155/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 156/ 164

40 İki Kısıtlama λ nın bu değerlerine karşı gelen (x, y, z) noktaları ( 6 2,, 2 ) ve ( 6 11, 2 11, ) 2 11 dir. f nin bu noktaların ilkinde daha küçük değere sahip olduğu kolayca görülür, böylece en yakın nokta ve en uzak nokta dir. ( 6 2,, 2 ) ( 6, 2 ) 2, Şimdi de g(x, y, z) = k ve h(x, y, z) = c şeklinde iki kısıtlama (yan koşul) altında bir f(x, y, z) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için f(x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) (36) olacak şekilde (Lagrange çarpanları olarak adlandırılan) λ ve µ sayıları kullanılır. Bu durumda Lagrange yöntemi, x, y, z, λ ve µ bilinmeyenli beş denklemi çözerek uç değerleri aramaktır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 157/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 158/ 164 İki Kısıtlama Bu denklemler, Denklem(36) yı bileşenleri cinsinden yazarak ve kısıtlayıcı denklemleri kullanarak elde edilir: : f(x, y, z) = x + 2y + 3z fonksiyonunun x y + z = 1 düzlemi ile x 2 + y 2 = 1 silindirinin arakesit eğrisi üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. f x = λg x + µh x f y = λg y + µh y f z = λg x + µh x g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 159/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 160/ 164

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x,y,z) sıralı üçlüsüne, f(x,y,z) ile gösterilen tek

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir.

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir. Hacimler ve C ift Katlı Integraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ KASIM EKİM 2017-2018 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ 1 4 TÜREV 12.1.1.1. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limiti

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

Bölüm: Matlab e Giriş.

Bölüm: Matlab e Giriş. 1.Bölüm: Matlab e Giriş. Aşağıdaki problemleri MATLAB komut penceresinde komut yazarak çözünüz. Aşağıdaki formüllerde (.) ondalıklı sayı için, ( ) çarpma işlemi için kullanılmıştır. 1.. 8.5 3 3 1500 7

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

6 2. Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği kavramını açıklar. Süreklilik

6 2. Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği kavramını açıklar. Süreklilik AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 201-2017 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 12.SINIFLAR İLERİ DÜZEY ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI AY: TÜREV (70) LİMİT VE SÜREKLİLİK (14) 1. Bir fonksiyonun bir

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı