g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

Transkript

1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim. Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. g nin a da türevi varsa, bu türevi f nin (a, b) de x e göre kısmi türevi olarak adlandırır ve f x (a, b) ile gösteririz: g(x) = f(x, b) olmak üzere f x (a, b) = g (a) (1) Türev tanımından, olduğundan, Denklem 1 biçimini alır. g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = lim h 0 f(a + h, b) f(a, b) h (2) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 2/ 164 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Benzer şekilde, f nin (a, b) de y göre kısmi türevi, f y (a, b) ile gösterilir ve x i sabit tutup, G(y) = f(a, y) tek değişkenli fonksiyonunun b de türevi alınarak bulunur: f y (a, b) = lim h 0 f(a, b + h) f(a, b) h (3) Denklem 2 ve 3 de (a, b) noktası değiştirildiğinde, f x ve f y iki değişkenli fonksiyon olurlar. Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise kısmi türevleri f x ve f y aşağıda tanımlanan fonksiyonlardır: f x (x, y) = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h f y (x, y) = lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 3/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 4/ 164

2 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Kısmi türevler için gösterimler z = f(x, y) ise f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x, y) = f y = f y = z f(x, y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f yazarız. z = f(x, y) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulma kuralı 1. f x i bulmak için y değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin x e göre türevini alınız. 2. f y yi bulmak için x değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin y e göre türevini alınız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 5/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 6/ 164 : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 ise f x (2, 1) ve f y (2, 1) değerlerini bulunuz. Çözüm : y yi sabit tutup x e göre türev alarak elde ederiz ve f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f x (2, 1) = = 16 buluruz. x i sabit tutup y ye göre türev alarak f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y ( ) x : f(x, y) = sin ise, f f ve 1 + y x y yi hesaplayınız. Çözüm : Bir değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralını kullanarak ( ) ( ) ( ) f x x = cos x x 1 = cos 1 + y x 1 + y 1 + y 1 + y ( ) f x y = cos 1 + y elde ederiz. ( ) ( ) x x = cos y 1 + y 1 + y x (1 + y) 2 f y (2, 1) = = 8 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 7/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 8/ 164

3 : Eğer z, x ve y nin x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 denklemi ile kapalı olarak tanımlanmış bir fonksiyonu ise z/ x ve z/ y yi bulunuz. Çözüm : z/ x i bulmak için y ye bir sabit gibi davranmaya özen göstererek eşitliğin her iki yanının x e göre kapalı türevini alırız. 3x 2 + 3z 2 z z + 6yz + 6xy x x = 0 3x 2 + 3z 2 z z + 6yz + 6xy x x = 0 Bu denklemi z/ x için çözerek z x = x2 + 2yz z 2 + 2xy elde ederiz. Benzer şekilde y ye göre kapalı türev almak sonucunu verir. z y = + 2xz y2 z 2 + 2xy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 9/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 10/ 164 Türevlenebilirlik Kısmi Türevlerin Yorumu : Eğer f(x, y) = 4 x 2 2y 2 ise, f x (1, 1) ve f y (1, 1) i bulunuz ve bu sayıları eğim olarak yorumlayınız. Teorem : Eğer f x ve f y kısmi türevleri (a, b) yakınında var ve (a, b) de sürekli ise, f, (a, b) de türevlenebilirdir. Çözüm : f x (x, y) = 2x ve f y (x, y) = 4y f x (1, 1) = 2 ve f y (1, 1) = 4 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 11/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 12/ 164

4 Kısmi Türevlerin Yorumu Kısmi Türevlerin Yorumu Şekil 1 : tan α = f x (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 13/ 164 Şekil 2 : tan β = f y (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 14/ 164 İkiden Çok Değişkenli Fonksiyonlar Kısmi türevler üç ya da daha çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanabilir. Örneğin f, x, y ve z nin üç değişkenli bir fonksiyonu ise x e göre kısmi türevi y, z yi sabit tutup f(x, y, z) nin x e göre türevi alınarak bulunur. : f(x, y, z) = e xy ln z ise f x, f y ve f z yi bulunuz. Çözüm : y ve z yi sabit tutup x e göre türev alarak f x = ye xy ln z bulunur. Eğer w = f(x, y, z) ise f x = w/ x, y ve z sabit tutulduğunda w nin x e göre değişme hızı olarak yorumlanabilir. Ancak, f nin grafiği dört-boyutlu uzayda olduğundan onu geometrik olarak yorumlayamayız. Benzer şekilde bulunur. f y = xe xy ln z ve f z = exy z Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 15/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 16/ 164

5 : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. (a) u = x x x2 n (b) u = sin(x 1 + 2x nx n ) Çözüm : (a) Bir değişikenli fonksiyonlar için Zincir kuralını kullanarak u 1 = x 1 2 x x x 1 = x2 n u 1 = x 2 2 x x x 2 = x2 n x 1 x x x2 n x 2 x x x2 n Genelleştirirsek, elde ederiz. u x = i x i x x , i = 1, 2,..., n x2 n Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 17/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 18/ 164 Yüksek Basamaktan Türevler (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, buluruz. u x 1 = cos(x 1 + 2x nx n ) 1 u x 2 = cos(x 1 + 2x nx n ) 2 u x i = i cos(x 1 + 2x nx n ), i = 1, 2,..., n Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise f x ve f y de iki değişkenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (f x ) x, (f x ) y, (f y ) x, (f y ) y kısmi türevlerini düşünebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi türevleri olarak adlandırırız.eğer z = f(x, y) ise aşağıdaki gösterimleri kullanırız: (f x ) x = f xx = f 11 = x (f x ) y = f xy = f 12 = y (f y ) x = f yx = f 21 = x (f y ) y = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x x 2 = 2 z x 2 ( ) f = 2 f x y x = 2 z y x ( ) f = 2 f y x y = ( ) f = 2 f x y 2 = 2 z y 2 2 z x y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 19/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 20/ 164

6 Yüksek Basamaktan Türevler : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 fonksiyonunun ikinci türevlerini bulunuz. 2 f Dolayısıyla, f xy (diğer yazılışıyla ) önce x e sonra y ye görev y x türev almak anlamına gelir, diğer yandan f yx hesaplanırken bu sıra tersinedir. Çözüm : te de f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 bulmuştuk. Bu nedenle f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y f xx = x (3x2 + 2xy 3 ) = 6x + 2y 3 f xy = y (3x2 + 2xy 3 ) = 6xy 2 f yx = x (3x2 y 2 4y) = 6xy 2 f yy = y (3x2 y 2 4y) = 6x 2 y 4 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 21/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 22/ 164 Yüksek Basamaktan Türevler Clairaut Teoremi : f, (a, b) noktasını içeren bir D dairesinde tanımlansın. Eğer f xy ve f yx fonksiyonlarının her ikisi de D de sürekli ise, f xy = f yx olur. 3 üncü ya da daha yüksek basamaktan kısmi türevler benzer şekilde tanımlanabilir. Eğer bu fonksiyonlar sürekli ise Clairaut teoreminden f xyy = f yxy = f yyx olduğunu gösterilebilir. : Eğer f(x, y, z) = sin(3x + yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x f xx f xxy f xxyz = 3 cos(3x + yz) = 9 sin(3x + yz) = 9z cos(3x + yz) = 9 cos(3x + yz) + 9yz sin(3x + yz) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 23/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 24/ 164

7 Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Bir değişkenli kalkülüste en önemli fikirlerden biri, türevlenebilen bir fonksiyonun grafiğinde bir noktaya odaklanıldığında, grafiğin teğet doğrusundan ayırt edilemediği ve fonksiyona doğrusal bir fonksiyon ile yaklaşabiliyor olmamızdır. Burada benzer fikirleri üç boyutta geliştireceğiz. Türevlenebilen iki değişkenli bir fonksiyonun grafiği olan bir yüzeyde bir noktaya odaklandığımızda, yüzey gitgide bir düzleme (yüzeyin teğet düzlemi) benzeyecek ve fonksiyona iki değişkenli bir doğrusal fonksiyonla yaklaşabileceğiz. Ayrıca bir fonksiyonun diferansiyeli kavramını iki veya daha çok değişkenli fonksiyonlara genelleştireceğiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 25/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 26/ 164 Teğet Düzlem : z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzlemini bulunuz. f nin kısmi türevleri sürekli olsun. z = f(x, y) yüzeyine P (x 0, y 0, z 0 ) noktasında teğet düzleminin denklemi z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) dır. Çözüm : f(x, y) = 2x 2 + y 2 olsun. Bu durumda, f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 olur. Bu nedenle (1, 1, 3) teki teğet düzleminin denklemi z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) ya da olarak verilir. z = 4x + 2y 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 27/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 28/ 164

8 (1, 1, 3) e odaklandıkça z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin teğet düzlemiyle daha çok çakışıyor göründüğüne dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 29/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 30/ 164 Doğrusal Yaklaştırımlar Doğrusal Yaklaştırımlar te f(x, y) = 2x 2 + y 2 fonksiyonunun (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzleminin denkleminin z = 4x + 2y 3 olduğunu bulduk. Bu nedenle şekillerdeki görsel kanıtlar nedeniyle, iki değişkenli L(x, y) = 4x + 2y 3 doğrusal fonksiyonu, (x, y) noktası (1, 1) e yakınken f(x, y) fonksiyonuna iyi bir yaklaştırımdır. L fonksiyonu f nin (1, 1) deki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır ve f(x, y) 4x + 2y 3 yaklaştırımı f ye (1, 1) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. Örneğin, (1.1, 0.95) noktasında doğrusal yaklaştırım verir, bu da f(1.1, 0.95) 4(1, 1) + 2(0.95) 3 = 3.3 f(1.1, 0.95) = 2(1, 1) 2 + (0, 95) 2 = gerçek değerine oldukça yakındır. Ancak (2, 3) gibi (1, 1) den uzak bir nokta alırsak, artık iyi bir yaklaştırım elde etmeyiz. Gerçekten de f(2, 3) = 17 olmasına karşın L(2, 3) = 11 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 31/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 32/ 164

9 Doğrusal Yaklaştırımlar Genel olarak iki değişkenli bir f fonksiyonunun (a, b, f(a, b)) noktasındaki teğet düzlemi denkleminin z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olduğunu biliyoruz. Grafiği bu teğet düzlemi olan doğrusal fonksiyon L(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (4) f nin (a, b) deki doğrusallaştırması ve f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (5) yaklaştırımı, f ye (a, b) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. : f(x, y) = xe xy nin (1, 0) da doğrusallaştırmasını bulunuz. Sonra bunu kullanarak f(1.1, 0.1) i yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm :Kısmi türevler Doğrusallaştırma f x (x, y) = e xy + xye xy f y (x, y) = x 2 e xy f x (1, 0) = 1 f y (1, 0) = 1 L(x, y) = f(1, 0) + f x (1, 0)(x 1) + f y (1, 0)(y 0) = 1 + 1(x 1) + 1 y = x + y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 33/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 34/ 164 Diferansiyeller ve karşıgelen doğrusal yaklaştırım dir, bu nedenle xe xy x + y f(1.1, 0.1) = 1 olur. Bu sonucu, f(1.1, 0.1) in gerçek değeri olan 1.1e ile karşılaştırınız. İki değişkenli türevlenebilen bir z = f(x, y) fonksiyonu için dx ve dy diferansiyellerini bağımsız değişkenler olarak tanımlarız; dolayısıyla onlara herhangi bir değer verilebilir. Buradan, aynı zamanda toplam diferansiyel olarak da adlandırılan, dz diferansiyeli dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy = z z dx + dy (6) x y olarak tanımlanır. Bazen dz yerine df gösterimi de kullanılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 35/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 36/ 164

10 Diferansiyeller Diferansiyeller Eğer, Denklem (6) da dx = x = x a ve dy = y = y b alınırsa, z nin diferansiyeli dz = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olur. Böylece, diferansiyel gösterimi ile (5) teki doğrusal yaklaştırım olarak yazılabilir. f(x, y) f(a, b) + dz Şekil 7 dz diferansiyelinin ve z artışının geometrik anlamını göstermektedir: (x, y), (a, b) den (a + x, b + y) ye değiştiğinde, dz teğet düzleminin yüksekliğindendeki değişimi, z ise z = f(x, y) yüzeyinin yüksekliğindeki değişimi temsil etmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 37/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 38/ 164 : Çözüm (a) Tanım (6) dan bulunur. (a) z = f(x, y) = x 2 + 3xy y 2 ise dz diferansiyelini bulunuz. (b) x, 2 den 2.05 e ve y, 3 ten 2.96 ya değiştiğinde z ile dz yi karşılaştırınız. dz = z z dx + dy = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy x y (b) x = 2, dx = x = 0.05, y = 3 ve dy = y = 0.04 yazarak dz = [2(2) + 3(3)] [3(2) 2(3)]( 0.04) = 0.65 buluruz. z nin değişimi z = f(2.05, 2.96) f(2, 3) = [(2.05) 2 + 3(2.05)(2.96) (2.96) 2 ] [ (2)(3) 3 2 ] = dur. z dz olduğuna ancak dz nin daha kolay hesaplandığına dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 39/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 40/ 164

11 : Bir dik dairesel koninin taban yarıçapı ve yüksekliği, her iki ölçümde de 0.1 cm kadar olası hata ile sırasıyla 10 cm ve 25 cm olarak ölçülmüştür. Diferansiyel kullanarak koninin hesaplanan hacmindeki maksimum hatayı yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm : Taban yarıçapı r yüksekliği h olan koninin hacmi V = πr 2 h/3 tür. Dolayısıyla V nin diferansiyeli dv = V V dr + r h 2πrh πr2 dh = dr dh olur. Her iki hata en çok 0.1 olduğundan, r 0.1, h 0.1 dir. Hacimdeki maksimum hatayı bulmak için r ve h nin ölçümündeki maksimum hataları alırız. Böylece r = 10, h = 25 ile dr = 0.1 ve dh = 0.1 alırız. Bu da dv = 500π 3 100π (0.1) + (0.1) = 20π 3 verir. Böylece, hesaplanan hacimdeki maksimum hata yaklaşık 20πcm 3 63cm 3 dür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 41/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 42/ 164 Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Eğer w = f(x, y, z) ise w nin değişimi Doğrusal yaklaştırım, türevlenebilme ve diferansiyeller ikiden çok değişkenli fonksiyonlar için benzer şekilde tanımlanabilir. Türevlenebilir bir fonksiyon için doğrusal yaklaştırım dir. w = f(x + x, y + y, z + z) f(x, y, z) f(x, y, z) f(a, b, c)+f x (a, b, c)(x a)+f y (a, b, c)(y b)+f z (a, b, c)(z c) olur ve L(x, y, z) doğrusallaştırılması bu ifadenin sağ yanıdır. dw diferansiyeli, bağımsız değişkenler dx, dy ve dz diferansiyelleri cinsinden olarak tanımlanır. dw = w x w w dx + dy + y z dz Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 43/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 44/ 164

12 Zincir Kuralı Zincir Kuralı (1. Durum) Birden çok değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralı nın her biri bir bileşke fonksiyonunun türevini veren birkaç türü vardır. Bunlardan ilki, z = f(x, y) ve x ve y değişkenlerinin her ikisinin de bir t değişkeninin fonksiyonu olduğu durumu ele alır. Bu, dolaylı olarak z nin, t nin bir fonksiyonu, z = f(g(t), h(t)) olması demektir ve Zincir Kuralı z nin, t nin fonksiyonu oılarak türevinin bulunması için bir formül verir. f nin türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. f x ve f y sürekli iken bunun sağlandığını anımsayınız. Teorem 1: x = g(t) ve y = h(t) nin her ikisi de türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu olsun. O zaman z de t nin türevlenebilen bir fonksiyonudur ve olur. dz dt = f dx x dt + f dy y dt Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 45/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 46/ 164 : x = sin 2t ve y = cos t olmak üzere z = x 2 y + 3xy 4 ise t = 0 iken dz yi bulunuz. dt Çözüm Zincir Kuralı dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4 )(2 cos 2t) + (x xy 3 )( sin t) verir. x ve y için t cinsinden ifadeleri yerine yazmak gerekmez. t = 0 iken x = sin 0 = 0 ve y = cos 0 = 1 olduğunu kolayca görürüz. Bu nedenle olur. dz = (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)( sin 0) = 6 dt t=0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 47/ 164 Zincir Kuralı (1. Durum) deki türev, (x, y) noktaları, parametrik denklemleri x = sin 2t, y = cos t olan C eğrisi üzerinde hareket eden, z nin t ye göre değişim hızı olarak yorumlanabilir. Özel olarak t = 0 iken (x, y) noktası (0, 1) olur ve dz = 6, C eğrisi dt boyunca (0, 1) den geçtiğimiz andaki artış hızıdır. Örneğin, z = T (x, y) = x 2 y + 3xy 4 fonksiyonu (x, y) noktasındaki sıcaklık ise, bileşke fonksiyonu z = T (sin 2t, cos t), C üzerindeki noktalardaki sıcaklığı, dz = 6 türevi de, sıcaklığın C boyunca dt değişimini temsil eder. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 48/ 164

13 : Bir mol ideal gazın P (kilopascal olarak) basıncı, V (litre olarak) hacmi ve T (Kelvin olarak) sıcaklığı P V = 8.31T eşitliğini sağlar. Sıcaklık 300K ve 0.1 K sn hızla artıyor ve hacmi 100L ve hızla artıyor ise basıncın değişim hızını bulunuz. 0.2 L sn Çözüm Eğer t saniye olarak geçen zamanı temsil ederse, belirtilen anda T = 300, dt dt = 0.1, V = 100, dv dt = 0.2 olur. olduğundan, Zincir Kuralı dp dt P = 8.31 T V = P dt T dt + P dv V dt = 8.31 V dt dt 8.31T dv V 2 dt = (300) (0.1) (0.2) = sonucunu verir. Basınç yaklaşık 0.042kP a/sn hızla azalmaktadır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 49/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 50/ 164 Zincir Kuralı (2. Durum) Zincir Kuralı (2. Durum) Teorem 2: Kolay hatırlayabilmek için aşağıdaki gibi bir diyagram çizilebilir. z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu, x = g(s, t) ve y = h(s, t), s ve t nin türevlenebilen fonksiyonları olsun. Bu durumda olur. z s z t = z x x s + z y y s = z x x t + z y y t Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 51/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 52/ 164

14 Zincir Kuralı (2. Durum) : x = st 2 ve y = s 2 t olmak üzere z = e x sin y ise, z s yi bulunuz. ve z t Çözüm Zincir Kuralı nın 2. Durumu nu kullanarak z s z t = z x x s + z y y s = (ex sin y)(t 2 ) + (e x cos y)(2st) = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t) = z x x t + z y y t = (ex sin y)(2st) + (e x cos y)(s 2 ) = 2ste st2 sin(s 2 t) + s 2 e st2 cos(s 2 t) Zincir Kuralı nın 2. Durumu üç tür değişken içerir: s ve t bağımsız değişkenlerdir. x ve y ara değişkenler olarak adlandırılır ve z bağımlı değişkendir. Teorem 2 de her bir ara değişken için bir terim olduğuna ve her terimin bir değişkenli Zincir Kuralı na benzediğine dikkat ediniz. elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 53/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 54/ 164 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma F (x, y) = 0 şeklinde bir denklemin y yi x in türevlenebilen kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlandığını, başka bir deyişle, y = f(x) ve f nin tanım kümesindeki her x için, F (x, f(x)) = 0 olduğunu varsayalım. Eğer F türevlenebiliyorsa, Zincir Kuralı nın 1. Durumu nu kullanarak F (x, y) = 0 eşitliğinde her iki yanın x e göre türevini alabiliriz. Hem x hem de y, x in fonksiyonu olduğundan F dx x dx + F dy y dx = 0 Eğer F y elde ederiz. F dx x dx + F dy y dx = 0 dx dy 0 ise = 1 olduğundan dx dx i çözerek F dy dx = x F y = F x F y (7) elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 55/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 56/ 164

15 Kapalı Türev Alma : x 3 + y 3 = 6xy ise y nü bulunuz. Çözüm Verilen eşitlik F (x, y) = x 3 + y 3 6xy = 0 olarak yazılabilir, bu nedenle Denklem 20 Şimdi de F (x, y, f(x, y)) = 0 şeklindeki bir eşitliğin z yi z = f(x, y) olarak kapalı biçimde tanımlandığını varsayalım. Bu, f nin tanım kümesindeki her (x, y) için F (x, y, f(x, y)) = 0 olması anlamına gelir. Eğer F ve f türevlenebiliyorsa olduğunu verir. dy dx = F x F y = 3x2 6y 3y 2 6x = x2 2y y 2 2x z x = F x F z z y = F y F z. (8) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 57/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 58/ 164 : Eğer x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 ise z z ve x y yi bulunuz. Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Şekil 3 deki hava haritası, bir coğrafi bölgedeki T (x, y) sıcaklık fonksiyonunun kontur haritasını göstermektedir. Çözüm F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz 1 olsun. Denklem 21 den z x = F x F z = 3x2 + 6yz 3z 2 + 6xy = x2 + 2yz z 2 + 2xy z y = F y F z = 3y2 + 6xz 3z 2 + 6xy = y2 + 2xz z 2 + 2xy elde ederiz. Şekil 3 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 59/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 60/ 164

16 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Kesit eğrileri, yada sıcaklık eğrileri, sıcaklığın aynı olduğu yerleri birleştirir. A gibi bir yerdeki T x kısmi türevi, A dan doğuya gidersek sıcaklığın yola göre değişim hızıdır. Bu bölümde, iki ya da daha çok değişkenli bir fonksiyonun, herhangi bir yöndeki değişim hızını bulmamızı sağlayacak yönlü türev olarak adlandırılan bir türev tipini tanıtacağız. Ancak ya güneydoğuya doğru ya da başka bir yöne doğru giderken, sıcaklığın değişim hızını bilmek istiyorsak? Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 61/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 62/ 164 Yönlü Türevler Yönlü Türevler z = f(x, y) ise f x ve f y kısmi türevlerinin f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) h f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) h olarak tanımlandığını ve z nin, x ve y yönündeki, başka bir deyişle i ve j birim vektörlerinin yönündeki değişim hızlarını temsil ettiklerini anımsayalım. (9) Şimdi z nin herhangi bir u = a, b birim vektörü yönündeki değişim hızını bulmak istediğimizi düşünelim. Tanım: f nin (x 0, y 0 ) noktasında bir u = a, b birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer varsa) limitidir. D u f(x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb) f(x 0, y 0 ) h (10) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 63/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 64/ 164

17 Yönlü Türevler Tanımı denklem 9 ile karşılaştırarak, : Şekil 3 i kullanarak, sıcaklık fonksiyonunun, Reno da güneydoğu yönündeki yönlü türevinin değerini yaklaşık olarak bulunuz. (Şekilde Renonun yanındaki noktaların arasındaki uzaklığı 75mil alınız.) ve olduğunu görürüz. u = i = 1, 0 ise D i f = f x u = j = 0, 1 ise D j f = f y Diğer bir deyişle f nin x ve y ye göre kısmi türeveri, yönlü türevin özel durumlarıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 65/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 66/ 164 Çözüm: Güneydoğuya dönük birim vektör u = ( i j)/ 2 olur ancak biz bu ifadeye gereksinim duymayacağız. Renodan güneydoğuya doğru bir doğru çizerek işe başlarız. (Bkz. şekil 4.) D u T yönlü türevini, bu doğrunun, T = 60 ve T = 70 eşsıcaklık eğrilerini kestiği noktalar arasındaki ortalama değişim hızı ile yaklaşık olarak buluruz. A nın güneydoğusundaki noktadaki sıcaklık T = 70 F ve A nın kuzaybatısındaki noktadaki sıcaklık T = 60 F dir. Bu noktalar arasındaki uzaklık 75 mil olduğundan, güneydoğu yönündeki sıcaklığın değişim hızı olur. D u T = F/mi Şekil 4 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 67/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 68/ 164

18 Yönlü Türevler Gradyan Vektörü Teoremdeki denklem 11 den yönlü türevin, iki vektörün iç çarpımı olarak yazılabildiğine dikkat ediniz: Teorem: Eğer f, x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu ise f nin her u = a, b yönünde yönlü türevi vardır ve olur. D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b (11) D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b = = f x (x, y), f y (x, y) a, b f x (x, y), f y (x, y) u (12) Bu iç çarpımdaki ilk vektör yalnızca yönlü türevleri hesaplamada değil, pek çok diğer durumda da ortaya çıkar. Bu nedenle ona özel bir ad verir (f nin gradyanı) ve özel bir sembol (grad f ya da del f olarak okunan f) ile gösteririz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 69/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 70/ 164 Gradyan Vektörü Tanım: f, x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonu ise, f nin gradyanı f ile gösterilen f(x, y) = vektör değerli fonksiyondur. f x (x, y), f y (x, y) = f x i + f y j (13) : Eğer f(x, y) = sin x + e xy ise, f(x, y) = f x, f y = cos x + ye xy, xe xy ve f(0, 1) = 2, 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 71/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 72/ 164

19 Gradyan Vektörü : f(x, y) = x 2 y 3 4y fonksiyonunun (2, 1) noktasında v = 2 i + 5 j vektörü yönündeki yönlü türevi bulunuz. Gradyan vektörü için bu gösterim ile yönlü türev için 12 ifadesini Çözüm: Önce (2, 1) noktasındaki gradyanı hesaplarız: D u f(x, y) = f(x, y) u (14) f(x, y) = 2xy 3 i + (3x 2 y 2 4) j olarak yazabiliriz. f(2, 1) = 4 i + 8 j Bu eşitlik, u yönündeki yönlü türevin, gradyan vektörünün u üzerine izdüşümü olduğunu belirtir. v nin birim vektör olmadığına dikkat ediniz, ancak v = 29 olduğundan v yönündeki birim vektör u = v v = 2 29 i j olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 73/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 74/ 164 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Bu nedenle, denklem 14 dan D u f(2, 1) = f(2, 1) u = ( 4 i + 8 j) bulunur. = = ( 2 i + 5 ) j Üç değişkenli fonksiyonlar için yönlü türevleri benzer bir şekilde tanımlayabiliriz. D u f(x, y, z), yine fonksiyonun u birim vektörü yönündeki değişim hızı olarak yorumlanabilir. Tanım: f nin (x 0, y 0, z 0 ) noktasında bir u = a, b, c birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer bu limit varsa) D u f(x 0, y 0, z 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb, z 0 + hc) f(x 0, y 0, z 0 ) h (15) olarak tanımlanır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 75/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 76/ 164

20 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Üç Değişkenli Fonksiyonlar f(x, y, z) türevlenebilir ve u = a, b, c ise D u f(x, y, z) = f x (x, y, z) a + f y (x, y, z) b + f z (x, y, z) c (16) dir. Üç değişkenli bir f fonksiyonu için, f ya da grad f ile gösterilen gradyan vektörü f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) veya kısaca f = f x, f y, f z = f x i + f y j + f z k olur. Bunun, sonucunda, iki değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, yönlü türev için denklem 16 D u f(x, y, z) = f(x, y, z) u (17) olarak yazılabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 77/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 78/ 164 : f(x, y, z) = x sin(yz) ise, (a) f nin gradyanını ve (b) f nin (1, 3, 0) da v = i + 2 j k yönündeki yönlü türevini bulunuz. Çözüm: (a) f nin gradyanı olur f(x, y, z) = = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz) (b) (1, 3, 0) da f(1, 3, 0) = 0, 0, 3 buluruz. v = i + 2 j k yönündeki birim vektör dir. Bu nedenle denklem 17 D u f(1, 3, 0) sonucunu verir. u = 1 6 i j 1 6 k = f(1, 3, 0) u ( = 3 1 k 6 i + 2 j 1 ) k 6 6 ( = 3 1 ) 3 = 6 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 79/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 80/ 164

21 Yönlü Türevi Maksimum Yapmak Yönlü Türevi Maksimum Yapmak f iki yada üç değişkenli bir fonksiyon olsun ve verilen bir noktada f nin tüm yönlü türevlerini düşünelim. Bunlar, f nin tüm yönlerdeki değişim hızını verir. Şu soruları sorabiliriz: bu yönlerin hangisinde f en hızlı değişir ve maksimum değişim hızı nedir? Teorem: f iki ya da üç değişkenli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. D u f( x) yönlü türevinin maksimum değeri f( x) dir ve bu değere, u vektörü, gradyan vektörü f( x) ile aynı yönde iken erişir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 81/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 82/ 164 : Uzayda bir (x, y, z) noktasındaki derece Santigrad olarak ölçülen T sıcaklığının x, y, z metre cinsinden ölçülmek üzere T (x, y, z) = 80/(1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) olduğunu varsayalım. (1, 1, 2) noktasında hangi yönde sıcaklık en hızlı artar? Maksimum artış hızı nedir? Çözüm: T nin gradyanı T = T x i + T y j + T z k 160x 320y = (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 i (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 j T = 160 (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 ( x i 2y j 3z k) olur. (1, 1, 2) noktasında gradyan vektörü olur. T (1, 1, 2) = ( i 2 j + 6 k) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) 480z (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 k Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 83/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 84/ 164

22 Teoremden, sıcaklık, gradyan vektörü T (1, 1, 2) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) yönünde, ya da i 2 j + 6 k yönünde ya da ( i 2 j + 6 k)/ 41 birim vektörü yönünde en hızlı artar. Maksimum artış hızı gradyan vektörünün boyudur: T (1, 1, 2) = 5 8 i 2 j + 6 k = Bu nedenle, sıcaklığın maksimum artış hızı 5 41/8 4 C/m olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 85/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 86/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise iki değişkenli f fonksiyonunun (a, b) de bir yerel maksimumu vardır. [ Bu, (a, b) merkezli bir dairedeki her (x, y) için f(x, y) f(a, b) ] olması demektir. Tanımdaki eşitsizlikler, f nin tanım kümesindeki her (x, y) noktasında sağlanıyorsa, f nin, (a, b) de mutlak maksimumu (veya mutlak minimumu) vardır. f(a, b) sayısı yerel maksimum değeri olarak adlandırılır. (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise f(a, b) yerel minimum değeridir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 87/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 88/ 164

23 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Birden çok maksimum ve minimumu olan bir fonksiyonun grafiği Şekil 5 de görülmektedir. Yerel maksimumları dağ tepeleri ve yerel minimumları vadi tabanları olarak düşünebiliriz. Şekil 5 : Teorem : f nin, (a, b) noktasında yerel maksimum ya da yerel minimumu var ve orada f nin birinci basamaktan kısmi türevleri varsa f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 89/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 90/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Teoremin bir sonucunun gradyan vektörü gösterimiyle f(a, b) = 0 olarak ifade edilebileceğine dikkat ediniz. Teğet düzlemi denkleminde f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 yazarsak, z = z 0 elde ederiz. Bu nedenle, teoremin geometrik yorumu, yerel maksimum ya da yerel minimumda teğet düzleminin yatay olması gerektiğidir. Eğer, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 ya da bu kısmi türevlerden biri yoksa (a, b) noktası, f nin bir kritik noktası (ya da durağan noktası) dır deriz. Teorem fonksiyonun (a, b) de yerel maksimum ya da yerel minimumu varsa, (a, b) nin f nin bir kritik noktası olduğunu söyler. Ancak, bir değişkenli kalkülüste olduğu gibi, her kritik nokta bir yerel maksimum ya da yerel minimuma yol açmaz. Bir kritik noktada fonksiyonun yerel maksimumu veya yerel minimumu olabilir veya bunlardan hiçbiri olmayabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 91/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 92/ 164

24 Maksimum ve Minimum Değerler İkinci Türevler Testi İki değişkenli bir f fonksiyonunun ikinci basamaktan kısmi türevleri (a, b) merkezli [ bir dairede sürekli, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olsun başka bir deyişle (a, b), f nin ] bir kritik noktası olsun. Bu durumda olmak üzere, D = D(a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2 (a) D > 0 ve f xx (a, b) > 0 ise f(a, b) bir yerel minimumdur. (b) D > 0 ve f xx (a, b) < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimumdur. (c) D < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimum veya yerel minimum değildir. Maksimum ve Minimum Değerler Not 1 (c) durumunda (a, b) noktası, f nin bir eyer noktası olarak adlandırılır ve f nin grafiği (a, b) noktasında teğet düzleminin bir yanından diğer yanına geçer. Not 2 D = 0 ise test hiçbir bilgi vermez. f nin (a, b) de yerel maksimum veya yerel minimumu olabilir veya (a, b), f nin bir eyer noktası olabilir. Not 3 D nin formülünü anımsamak için onu bir determinant olarak yazmak yaralı olur: D(x, y) = f xx f xy = f xxf yy (f xy ) 2 f yx f yy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 93/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 94/ 164 : f(x, y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek f x = 2x 2 f y = 2y 6 2x 2 = 0 ve 2y 6 = 0 Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(1, 3) = 4 > 0 ve f xx = 2 olduğundan ikinci türev testinin (a) şıkkından (1, 3) noktasının yerel minimum olduğu ortaya çıkar. denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 1 ve y = 3. Kritik nokta (1, 3) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 95/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 96/ 164

25 : f(x, y) = y 2 x 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 2x f y = 2y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek 2x = 0 ve 2y = 0 denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 0 ve y = 0. Kritik nokta (0, 0) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 97/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 98/ 164 Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(0, 0) = 4 < 0 olduğundan ikinci türev testinin (c) şıkkından (0, 0) noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 99/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 100/ 164

26 : f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 4x 3 4y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek denklemlerini elde ederiz. f y = 4y 3 4x x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözmek için birinci denklemden bulunan y = x 3 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarız. Bu bize aşağıdaki denklemi verir. 0 = (x 3 ) 3 x = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 + 1) = x(x 2 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 101/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 102/ 164 x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = 0 Buradan üç gerçel kök bulunur: x = 0, 1, 1. Kritik noktalar (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) olur. Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 12x 2 f xy = 4 f yy = 12y 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(0, 0) = 16 < 0 olduğundan ikinci türevler testinin (c) şıkkından başlangıç noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar; başka bir deyişle f nin, (0,0) da yerel maksimum ya da yerel minimumu yoktur. D(1, 1) = 128 > 0 ve f xx (1, 1) = 12 > 0 olduğundan testin (a) şıkkından f(1, 1) = 1 in yerel minimum olduğunu görürüz. Benzer şekilde D( 1, 1) = 128 > 0 ve f xx = 12 > 0 olduğundan f( 1, 1) = 1 de yerel bir minimumdur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 103/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 104/ 164

27 : f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz ve sınıflandırınız. Ayrıca f nin grafiğindeki en yüksek noktayı da bulunuz. Çözüm : Birinci basamaktan kısmi türevler f x = 20xy 10x 4x 3 f y = 10x 2 8y 8y 3 olduğundan kritik noktaları bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmeliyiz. 2x(10y 5 2x 2 ) = 0 (18) 5x 2 4y 4y 3 = 0 (19) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 105/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 106/ 164 Denklem (18) den x = 0 veya 10y 5 2x 2 = 0 olması gerekir. Birinci durumda (x = 0) Denklem 19, 4y(1 + y 2 ) = 0 şekline gelir, buradan y = 0 bulunur ve (0, 0) bir kritik noktadır. İkinci durumda (10y 5 2x 2 = 0), x 2 = 5y 2.5 (20) ve bunu Denklem (19) de yerine yazarsak 25y y 4y 3 = 0 elde ederiz. Şimdi üçüncü dereceden 4y 3 21y = 0 (21) denklemini çözmek zorundayız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 107/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 108/ 164

28 Bir bilgisayar veya grafik çizen hesap makinesi kullanarak Şekil?? daki gibi, g(y) = 4y 3 21y fonksiyonunun grafiğini çizersek, Denklem (21) ün üç gerçel kökü olduğunu görürüz. Şekli büyüterek kökleri 4 basamağa kadar buluruz: y y y (Bunun yerine Newton yöntemini veya başka bir kök bulma yöntemini kullanabiliriz.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 109/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 110/ 164 Denklem (20) den bunlara karşı gelen x değerleri olarak verilir. x = ± 5y 2.5 y 2, 5452 için x in bu değere karşılık gelen gerçel bir değeri yoktur. y 0, 6468 için x ±0, 8567 olur. Böylece aşağıdaki tabloda incelenen toplam 5 kritik nokta vardır. Tüm sayılar iki ondalık basamağa yuvarlanmıştır. Kritik nokta fnin değeri f xx D Sonuç (0,0) yerel maksimum (±2.64, 1.90) yerel maksimum (±0.86, 0.65) eyer noktası y 1, 8984 için x ±2, 6442 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 111/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 112/ 164

29 Aşağıdaki şekillerde, f nin grafiğini iki açıdan gösterir ve yüzeyin aşağı doğru açıldığını görürüz. [Bu, f(x, y) nin ifadesinden görülerbilir: x ve y büyük iken baskın terimler x 4 2y 4 olur.] f nin yerel maksimum noktalarındaki değerlerini karşılaştırarak, f nin mutlak maksimum değerinin f(±2.64, 1.90) 8.50 olduğunu görürüz. Diğer bir deyişle, (±2.64, 1.90, 8.50), f nin grafiğindeki en yüksek noktalardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 113/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 114/ 164 : (1,0,-2) noktasından x + 2y + z = 4 düzlemine olan en kısa uzaklığı bulunuz. Çözüm : Herhengi bir (x, y, z) noktasından (1, 0, 2) noktasına uzaklık d = (x 1) 2 + y 2 + (z + 2) 2 olur, ancak (x, y, z), x + 2y + z = 4 düzlemi üzerinde olduğundan, z = 4 x 2y sağlanır, bu nedenle bulunur. d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 Daha yalın olan d 2 = f(x, y) = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 ifadesini minimum yaparak d yi minimum yapabiliriz. f x = 2(x 1) 2(6 x 2y) = 4x + 4y 14 = 0 f y = 2y 4(6 x 2y) = 4x + 10y 24 = 0 denklemlerini çözerek olduğunu buluruz. ( 11 6, 5 ) noktasının tek kritik nokta 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 115/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 116/ 164

30 f xx = 4, f xy = 4, ve f yy = 10 olduğundan, D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 24 > 0 ve f xx > 0 ( 11 dır ve ikinci türevler testinden f nin 6, 5 ) noktasında bir yerel 3 minimumu vardır. Sezgisel olarak bu yerel minimumun gerçekte bir mutlak minimum olduğunu görürüz çünkü verilen düzlemde (1, 0, 2) ye en yakın bir nokta olmalıdır. x = 11 6 ve y = 5 3 ise d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 = (5 ) = ( ) ( ) olur. (1, 0, 2) den x + 2y + z = 4 düzlemine en yakın uzaklık 5 6/6 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 117/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 118/ 164 : 12m 2 lik bir kartondan üstü açık bir dikdörtgen kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 6 daki gibi kutunun uzunluk, genişlik ve yüksekliği (metre olarak) x, y, ve z olsun. Kutunun hacmi dir. V = xyz Kutunun dört yan yüzünün ve tabanının alanının 2xz + 2yz + xy = 12 oluşunu kullanarak V yi yalnızca x ve y nin fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Yukarıdaki eşitlikten z yi çözersek, z = 12 xy 2(x + y) buluruz, bu nedenle V nin ifadesi 12 xy V = xy 2(x + y) = 12xy x2 y 2 2(x + y) olur. Şekil 6 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 119/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 120/ 164

31 Kısmi türevleri hesaplar ve V x = y2 (12 2xy x 2 ) V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 buluruz. V maksimum ise V/ x = V/ y = 0 olur, ancak x = 0 veya y = 0, V = 0 verir, bu nedenle denklemlerini çözmeliyiz. 12 2xy x 2 = xy y 2 = 0 Bunlar, x 2 = y 2 ve x = y olmasını gerektirir. (Bu problemde x ve y nin her ikisinin de pozitif olması gerektiğine dikkat ediniz.) x = y bu denklemlerden birinde yazılırsa 12 3x 2 = 0 elde ederiz, bu da x = 2, y = 2, ve z = 1 verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 121/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 122/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Bunun bir yerel maksimum verdiğini, ikici türev testini kullanarak gösterebiliriz, ya da problemin fiziksel doğası gereği bir maksimum hacim olması ve bunun bir kritik noktada olması gerektiğinden, x = 2, y = 2, z = 1 de ortaya çıktığını söyleyebiliriz. Dolayısıyla V = = 4 olur ve kutunun maksimum hacmi 4m 3 dür. Bir değişkenli bir f fonksiyonu için uç değer teoremi, eğer f bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise f nin bir mutlak maksimum ve bir mutlak minimum değerinin olduğunu söyler. Kapalı aralık yönteminden, bunları f yi yalnızca kritik noktalarda değil ayrıca a ve b uç noktalarında hesaplayarak bulduk. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 123/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 124/ 164

32 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler İki değişkenli fonksiyonlar için de benzer bir durum vardır. Nasıl bir kapalı aralık uç noktalarını içeriyorsa, R 2 de bir kapalı küme, sınır noktalarını içeren bir kümedir. [ (a, b) merkezli her daire hem D ye ait olan hem de D ye ait ] olmayan noktalar içeriyorsa, (a, b) D nin bir sınır noktasıdır. Örneğin, x 2 + y 2 = 1 çemberi içindeki ve üzerindeki tüm noktaları içeren D = {(x, y) x 2 + y 2 1} dairesi bir kapalı kümedir çünkü tüm sınır noktalarını (bunlar x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki noktalardır) içerir. Ancak bir tek sınır noktası bile dışarıda bırakıldıysa küme kapalı olmaz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 125/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 126/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler R 2 de bir sınırlı küme bir daire içinde kalan bir kümedir. Diğer bir deyişle kapsamı sonlu olan bir kümedir. Böylece, kapalı ve sınırlı küme terimleriyle, uç değer teoreminin aşağıdaki iki boyutlu benzerini ifade edebiliriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 127/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 128/ 164

33 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Kapalı, sınırlı bir D kümesinde sürekli bir f fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için 1. f nin D içindeki kritik noktalarında f nin değerini bulunuz. 2. f nin D nin sınırındaki uç değerlerini bulunuz ve 2. adımlarda bulunan en büyük değer mutlak maksimum, en küçük değer mutlak minimum değeridir. : f(x, y) = x 2 2xy + 2y fonksiyonunun D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2} dikdörtgenindeki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. Çözüm : f bir polinom olduğundan, kapalı ve sınırlı D dikdörtgeninde süreklidir, bu nedenle f nin hem mutlak maksimumu hem de mutlak minimumunun olduğunu söyler. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 129/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 130/ 164 Yukarıdaki birinci adıma göre, önce kritik noktaları buluruz. Bunlar f x = 2x 2y = 0 f y = 2x + 2 = 0 iken oluşur, bu nedenle tek kritik nokta (1, 1) dir. f nin oradaki değeri f(1, 1) = 1 olur. Şekil 7 : 2. adımda Şekil 7 de gösterilen L 1, L 2, L 3, ve L 4 doğru parçalarından oluşan D nin sınırında f nin değerlerini inceleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 131/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 132/ 164

34 L 1 üzerinde y = 0 olduğundan olur. f(x, 0) = x 2 0 x 3 Bu, x in artan bir fonksiyonu olduğundan minimum değeri f(0, 0) = 0 ve maksimum değeri f(3, 0) = 9 dur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 133/ 164 L 2 üzerinde x = 3 olduğundan olur. f(3, y) = 9 4y 0 y 2 Bu, y nin azalan bir fonksiyonu olduğundan maksimum değeri f(3, 0) = 9 ve minimum değeri f(3, 2) = 1 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 134/ 164 L 3 üzerinde y = 2 olduğundan olur. f(x, 2) = x 2 4x x 3 Tek değişkenli fonksiyonlardaki yöntemler ile ya da f(x, 2) = (x 2) 2 olduğu gözlemiyle bu fonksiyonun minimum değerinin f(2, 2) = 0 ve maksimum değerinin f(0, 2) = 4 olduğunu görürüz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 135/ 164 Son olarak L 4 üzerinde x = 0 olduğundan f(0, y) = 2y 0 y 2 olur ve maksimum değer f(0, 2) = 4 ve minimum değer f(0, 0) = 0 dır. Bu nedenle sınırda f nin maksimum değeri 4 ve minimum değeri 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 136/ 164

35 3. adımda, bu değerleri kritik noktadaki f(1, 1) = 1 değeri ile kıyaslarız ve f nin D deki maksimum değerinin f(3, 0) = 9 ve minimum değerinin f(0, 0) = f(2, 2) = 0 olduğu sonucuna varırız. Şekil 8, f nin grafiğini göstermektedir. Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları Yöntemi f(x, y, x) nin g(x, y, z) = k, k R kısıtlaması altında maksimum ve minimum değerlerini bulmak için (bu değerlerin var olduğunu varsayarak): (a) f(x, y, z) = λ g(x, y, z) ve g(x, y, z) = k denklemlerini sağlayan tüm x, y, z ve λ değerlerini bulunuz. (b) (a) adımında bulunan tüm noktalarda f nin değerini hesaplayınız. Bunların en büyüğü f nin maksimum, en küçüğü f nin minimum değeridir. λ sayısı Lagrange çarpanı olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 137/ 164 Şekil 8 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 138/ 164 Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları f = λ g vektör denklemini bileşenleri cinsinden yazarsak (a) daki eşitlikler f x = λg x f y = λg y f z = λg z g(x, y, z) = k biçimini alır. Bu, dört x, y, z ve λ bilinmeyenlerinin dört denklemlik bir sistemidir, ancak λ bilinmeyeninin açık değerini bulmak zorunda değiliz. İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yöntemi biraz önce açıklanan yöntemin benzeridir. f(x, y) nin g(x, y) = k kısıtlaması altında uç değerlerini bulmak için f(x, y) = λ g(x, y) ve g(x, y) = k denklemlerini sağlayan x, y ve λ değerlerini ararız. Bu da, üç bilinmeyenli üç denklemi çözmek demektir: f x = λg x f y = λg y g(x, y) = k Lagrange yönteminin ilk uygulaması olarak daha önce çözdüğümüz aşağıdaki problemi tekrar düşünelim. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 139/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 140/ 164

36 : 12 m 2 büyüklüğünde bir kartondan, kapağı olmayan dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : x, y ve z sırasıyla kutunun, metre olarak, boyu, eni ve yüksekliği olsun. O zaman nin V = xyz g(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12 kısıtlaması altında maksimumunu bulmak istiyoruz. Lagrange yöntemini kullanarak ve V = λ g g(x, y, z) = 12 olacak şekilde x, y, z ve λ değerlerini ararız. Bu bize V x = λg x V y = λg y V z = λg z 2xz + 2yz + xy = 12 denklemlerini verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 141/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 142/ 164 Bunlar da biçimini alır. yz = λ(2z + y) (22) xz = λ(2z + x) (23) xy = λ(2z + 2y) (24) 2xz + 2yz + xy = 12 (25) Denklem sistemlerini çözmenin genel kuralları yoktur. Bazen yaratıcılık gereklidir. Bu örnekte (22) yi x ile (23) ü y ile ve (24) ü z ile çarparsak sol tarafların aynı olacağını fark etmiş olabilirsiniz. Bunu yaparak elde ederiz. xyz = λ(2xz + xy) (26) xyz = λ(2yz + xy) (27) xyz = λ(2xz + 2yz) (28) λ = 0 olması (22), (23) ve (24) den yz = xz = xy = 0 olmasını gerektirdiğinden ve bu da (25) ile çelişeceğinden, λ 0 olması gerektiğini gözlemleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 143/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 144/ 164

37 (26) ve (27) den λ(2xz + xy) = λ(2yz + xy) 2xz + xy = 2yz + xy olur, bu da xz = yz sonucunu verir. Ancak z 0 olduğundan (z = 0 olması V = 0 verirdi) x = y olur. (27) ve (28) den 2yz + xy = 2xz + 2yz buluruz, bu da 2xz = xy verir ve böylece (x 0 olduğundan) y = 2z olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 145/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 146/ 164 x = y = 2z yi (25) de yerine koyarsak 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki uç değerlerini bulunuz. Çözüm : g(x, y) = x 2 + y 2 = 1 kısıtlaması altında f nin uç değerlerini bulmamız isteniyor. Lagrange çarpanları kullanarak, elde ederiz. x, y ve z nin tümü pozitif olduğundan önceki gibi z = 1, x = 2 ve y = 2 buluruz. ve denklemlerini çözeriz, f = λ g g(x, y) = 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 147/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 148/ 164

38 bunlar f x = λg x f y = λg y g(x, y) = 1 olarak yazılabilir. 2x = 2xλ (29) 4y = 2yλ (30) x 2 + y 2 = 1 (31) (29) dan x = 0 veya λ = 1 olur. x = 0 ise (31) den y = ±1 bulunur. λ = 1 ise (30) dan y = 0 olur ve (31) den x = ±1 verir. Bu nedenle f, (0, 1), (0, 1), (1, 0) ve ( 1, 0) noktalarında uç değerlere sahip olabilir. f yi bu noktalarda hesaplayarak buluruz. f(0, 1) = 2 f(0, 1) = 2 f(1, 0) = 1 f( 1, 0) = 1 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri ise f(±1, 0) = 1 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 149/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 150/ 164 : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 1 dairesi üzerinde uç değerlerini bulunuz. Çözüm : f nin kritik noktalardaki değerlerini sınırdaki değerleri ile karşılaştırırız. f x = 2x ve f y = 4y olduğundan (0, 0) tek kritik noktadır. f nin o noktadaki değerini, az önceki örnekte bulduğumuz sınırdaki uç değerler ile karşılaştırırız: f(0, 0) = 0 f(±1, 0) = 1 f(0, ±1) = 2 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 1 dairesindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri f(0, 0) = 0 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 151/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 152/ 164

39 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 küresi üzerindeki (3, 1, 1) noktasına en yakın ve en uzak noktaları bulunuz. Çözüm : Bir (x, y, z) noktasından (3, 1, 1) noktasına uzaklık d = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 dir, ancak bunun yerine uzaklığın karesi d 2 = f(x, y, z) = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 nin maksimum ve minimumlarını aramak işi kolaylaştırır. Kısıtlama (x, y, z) noktasının küre üzerinde olması ya da g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4 olmasıdır. Lagrange çarpanları yöntemine göre f = λ g ve g = 4 denklemlerini çözeriz. Bu da denklemlerini verir. 2(x 3) = 2xλ (32) 2(y 1) = 2yλ (33) 2(z + 1) = 2zλ (34) x 2 + y 2 + z 2 = 4 (35) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 153/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 154/ 164 Benzer şekilde (33) ve (34) Bu denklemleri çözmenin en kolay yolu (32), (33) ve (34) den x, y ve z yi λ cinsinden bulup bu değerleri (35) de yerine yazmaktır. (32) den x 3 = xλ ya da x(1 λ) = 3 ya da x = 3 1 λ elde ederiz. [ (32) den λ = 1 olanaksız olduğundan 1 λ 0 olduğuna dikkat ediniz.] verir. Bu nedenle (35) den y = 1 1 λ z = 1 1 λ 3 2 (1 λ) (1 λ) 2 + ( 1)2 (1 λ) 2 = 4 bulunur, bu da (1 λ) 2 = 11 4, 1 λ = ± 11/2 verir, buradan bulunur. λ = 1 ± 11 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 155/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 156/ 164

40 İki Kısıtlama λ nın bu değerlerine karşı gelen (x, y, z) noktaları ( 6 2,, 2 ) ve ( 6 11, 2 11, ) 2 11 dir. f nin bu noktaların ilkinde daha küçük değere sahip olduğu kolayca görülür, böylece en yakın nokta ve en uzak nokta dir. ( 6 2,, 2 ) ( 6, 2 ) 2, Şimdi de g(x, y, z) = k ve h(x, y, z) = c şeklinde iki kısıtlama (yan koşul) altında bir f(x, y, z) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için f(x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) (36) olacak şekilde (Lagrange çarpanları olarak adlandırılan) λ ve µ sayıları kullanılır. Bu durumda Lagrange yöntemi, x, y, z, λ ve µ bilinmeyenli beş denklemi çözerek uç değerleri aramaktır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 157/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 158/ 164 İki Kısıtlama Bu denklemler, Denklem(36) yı bileşenleri cinsinden yazarak ve kısıtlayıcı denklemleri kullanarak elde edilir: : f(x, y, z) = x + 2y + 3z fonksiyonunun x y + z = 1 düzlemi ile x 2 + y 2 = 1 silindirinin arakesit eğrisi üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. f x = λg x + µh x f y = λg y + µh y f z = λg x + µh x g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 159/ 164 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 160/ 164