T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI

Transkript

1 T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI ISL4 İSTATİSTİK II HAZIRLAYAN PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK RİZE Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 1 GENEL BİLGİ Ders Kodu ve Adı ISL4 İstatstk II Döem ve Kreds Bahar (3 0 3) Ders Amacı Ders Kapsamı Kayak Ktap Yardımcı Ktaplar İstatstğe grş telğ taşıya derste, örekleme ve örekleme yötemler, öreklem statstkler örekleme dağılımları, statstk tahm, hpotez testler, k kare testler, bast doğrusal regresyo ve korelasyo aalz, edeksler ve zama sers çözümlemes kouları ele alıması amaçlamaktadır. Örekleme teors, statstk tahm ve hpotez testler, korelasyo ve regresyo aalz, edeksler ve zama sers aalz. Yamak, Rahm ve Mustafa Köseoğlu (006); Uygulamalı İstatstk ve Ekoometr, Çelepler Matbaacılık, Trabzo. Orhublge, Neyra (000). Örekleme Yötemler ve Hpotez Testler, Avcıol BasımYayı, İstabul. Yüzer, Al Fuat, Ebya Ağaoğlu, Hüsey Tatlıdl, Ahmet Özme, Emel Şıklar (006). İstatstk, (Edtör: Al Fuat Yüzer), Aadolu Üverstes Yayıları, Eskşehr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları yayılaamaz ve depolaamaz. 1

2 Ders Kodu Ders Adı Ders Sorumlusu ISL4 İstatstk II Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK Hafta İşleecek Koular 1 Örekleme ve Örekleme Yötemler: Temel kavramlar, örekleme teors dayadığı temel seçm yötem, örekleme yapmayı gerekl kıla edeler, örekleme sürec aşamaları, örekleme amaçları ve örekleme yötemler. 3 Öreklem İstatstkler Örekleme Dağılımları: Öreklem ortalamalarıı beklee değer ve örekleme dağılımı, öreklem stadart sapmasıı veörek oraıı öreklemedağılımı, Merkez Lmt Teorem ve öreklem statstkler örekleme dağılımları; e y tahmcler özellkler (yasızlık, tutarlılık, etklk, yeterllk ve keslk) ve öreklemede karşılaşıla hatalar. 4 6 İstatstk Tahm: Temel kavramlar, statstk tahm türler (okta ve aralık tahm); aakütle ortalaması ve toplamıı okta ve aralık tahm; aakütle oraıı okta ve aralık tahm; aakütle varyas ve stadart sapmasıı okta ve aralıktahm Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 3 Hafta İşleecek Koular 7 9 Hpotez Testler: İstatstk hpotez ve statstk hpotez test; hpotez testler sııfladırılması;hpotez testler aşamaları; hpotez testlerde şlee hatalar; güve düzey; alfa ve beta hataları le test gücü; tek aakütle parametresyle lgl hpotez testler (aakütle ortalamasıa lşk büyük öreklem test (z test); aakütle ortalamasıa lşk küçük öreklem test (t test); aakütle oraıa ve varyasıa lşk hpotez test. 10 K Kare Test: K Kare bağımsızlık test, K Kare homojelk test, K Kare uyguluk test, kotejas katsayısı (c), F (Φ)veCramer V statstğ ve yorumu. 11 Bast Doğrusal Kovaryas ve Korelâsyo Aalz: Kovaryas ve Korelasyo katsayısı; belrllk katsayısı; korelâsyo katsayısııalamlılık test. 1 Doğrusal Regresyo Aalz: Serplme dyagramı, bastdoğrusal regresyo, veryası tahm;aralık tahm; regresyo katsayılarıı ve model geel alamlılık testler Edeksler ve Zama Sers Çözümlemes: Temel kavramlar, sabt esaslı ve değşke esaslı edeksler, bast ve bleşk edeksler, bast toplam bleşk edeks, bleşk edeksler tartısız artmetkortalaması, Laspeyres, Paasche ve Fsher Edeksler. Nomal Fyatları Reel Fyatlara Döüştürülmes İle Eflasyo, Nomal ve Reel Büyüme Oralarıı Hesaplaması. Dğer Edeksler: İşletme Faalyet Edeks, Hsse Seed Fyatı Edeksler ve Hedostk Fyat Edeks (Kalte Ayarlı Fyat Eştlğ). Zama sers taımı ve temel kavramlar, zama serler oluşturulması, zama sers etkleye temel ve yaıltıcı faktörler, zama sers çözümleme edeler, hareketl ortalamalar ve bleşelere ayırma yötem. E Posta: alsat.albayrak@erdoga.edu.tr Ağ Adres: Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 4 yayılaamaz ve depolaamaz.

3 HAFTA Örekleme ve Örekleme Yötemler Temel Kavramlar Seçm Yötemler ve Örekleme Teors Dayadığı Temel Seçm Yötem Örekleme Yapmayı Gerekl Kıla Nedeler Örekleme Sürec Aşamaları Örekleme Amaçları Örekleme Yötemler Olasılıklı Olmaya Örekleme Yötemler 1. Kolayda Örekleme (Coveece Samplg). Kota Öreklemes (Quota Samplg) 3. Yargısal Örekleme (Judgmetal Samplg) 4. Kartopu Öreklemes (Sowball Samplg) Olasılıklı Örekleme Yötemler 1. Bast Tesadüf Örekleme. Tabakalı Örekleme Yötem 3. Sstematk Öreklemes 4. Kademel Örekleme Yötem Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 5 Örekleme Teors Örekleme teors, br aakütle le bu aakütlede çekle örekler arasıdak lşklerle lgl çalışmalardır. Geellkle statstk araştırmalara lgl br aakütle taımlamasıyla başlamaktadır. Sorak aşamalarda, taımlaa aakütle lglele parametreler hakkıda blg üretlmeye çalışılır. Bu blgler üretlrke k tür ver üzerde çalışılmaktadır: Tamsayımla elde edle aakütle verler ve kısm sayımla elde edle öreklem verler. Aakütle: Belrl br taıma uya ve hakkıda blgler üretleceğ, çıkarsamaları yapılacağı brmlerde, daha açık br alatımla eselerde, olaylarda, kurumlarda ve breylerde oluşa topluluktur. Dğer br alatımla aakütle; br araştırmataımı çerçevesde yer ala ayı cs brmler oluşturduğu topluluktur. Tamsayım, Aakütle Verler ve Parametre. Kısm Sayım, Öreklem Verler ve İstatstk. Tamsayım; aakütledek tüm brmler (N) sayılması şlemdr. Aakütle verlerde hesaplaa sayısal değerlere parametre adı verlr. Dğer br fadeyle; aakütle sayısal karakterstklere parametre adı verlr. μ, σ, σ, π ve ρ brer parametredr. Parametreler temel özellğ kes (sabt) olmalarıdır. Öreklem: Br aakütle lglele özellkler yasıtması amacıyla, sözü edle aakütlede belrl yötemlerle (örekleme yötemler) seçlmş brmler oluşturduğu topluluğa öreklem adı verlmektedr. Bu brmler seçm sürece se örekleme adı verlmektedr. Dğer br alatımla, br öreklem yardımıyla lglele aakütleye lşk geelleme yapma sürece örekleme adı verlmektedr. Kısm sayım; aakütledek belrl sayıdak () brm sayılması şlemdr. Kısm sayım soucuda elde edle brmler kümese öreklem adı verlr ve örek verler üzerde hesaplaa sayısal değerlere statstk adı verlr. Dğer br alatımla öreklem sayısal karakterstklere statstk adı verlr. Örek ortalaması, s, s, r ve p brer statstktr. İstatstkler temel özellğsedeğşke olmalarıdır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 6 yayılaamaz ve depolaamaz. 3

4 Örekleme Yapmayı Gerekl Kıla Nedeler (1) Malyet () Zama (3) Doğru ver elde etme (4) Öreğe gre brmler fzksek zarara uğraması (yok edc testler) (5) Aakütle sosuz olması. Kavrama Soruları (1) Tamsayım yapmayı egelleye edeler açıklayıız? () Aakütle hacm küçük, parasal mkaları yeterl olduğu br araştırmada tamsayım mı yoksa öreklem m terch edersz, açıklayıız? (3) seçme buluduğu br ülkede yapılacak br kamuoyu yoklaması ç, örekleme m yoksa tamsayım mı yaparsıız? Örekleme Amaçları (1) Temel amaç: Aakütley temsl edeblecek e y öreklem seçmek (Uygu örekleme yötem seçmyle bu amaç gerçekleştrlr). () Aakütle parametreler tahm etmek (uygu ola statstk tahm tekkler kullaılarak bu amaca ulaşılır). (3) Aakütle parametreler hakkıdak ddaları araştırılması (Uygu statstk hpotez testler uygulaarak bu amaç geçekleştrlmektedr.) Kavrama Soruları (1) Büyük hacml aakütlelere tamsayım uygulaablr m? () Örekleme temel amacı edr? (4) Örekleme amaçları elerdr? (3) Tamsayım yapılamadığı durumlarda parametre değerler hesaplaablr m? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 7 Örekleme Sürec Aşamaları (1) Aakütle Taımlaması: Örekleme sürece öcelkle aakütle taımlamasıyla başlamaktadır. Aakütle ayrıtılı br bçmde taımlamasıyla, hag brmler örekte yer alacağı, hagler yer almayacağı belrler. Öreklemede, araştırma kousuyla lgl verler derledğ brmlere gözlem brm adı verlmektedr. Bu brmler ayı zamada öreğe seçle brmler de olablr. Bu durumda gözlem brmyle öreklem brm ayı şeydr. Ayrıca aakütley oluştura brmler yer ve zama açısıda da sıırladırılablmektedr (gözlem brm ve öreklem brm, yer ve zama, lglele değşke sayısı, öreklem hacm gb faktörlere göre aakütle taımlaablmektedr). () Çerçeve (Kapsamı) Belrlemes:Solu br aakütle tüm brmler yer aldığı lsteye, çerçeve adı verlmektedr. Nüfus kayıtları, seçme kütükler, tapu ve scl kayıtları, tcaret ve saay odaları üye lsteler, telefo rehber, öğrec kayıt lsteler vs. çerçeve olarak kullaılablecek araçlardır. Araştırmaya başlamada öce, amaca uygu br çerçeve var olup olmadığı, yoksa, sağlaıp sağlaamayacağı öcelkle araştırılmalıdır. Ayrıca araştırma çerçeves gücel olup olmadığı da araştırılması gerekr. Çerçeve olmada e tamsayım edeöreklemeyapılablr. (3) Örekleme Yötem Seçm: Aakütlede örekleme grecek brmler e şeklde seçleceğe mka taıya yötemlere, örekleme yötemler adı verlr. Bu yötemler olasılıklı ve olasılıklı olmaya örekleme yötemler olmak üzere k grup altıda celemektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 8 yayılaamaz ve depolaamaz. 4

5 Örekleme Sürec Aşamaları (Devam) (4) Öreklem Hacm Belrlemes: Öreklem hacm, öreğe grecek brmler sayısıı gösterr. Bu sayıı e olacağıa lşk kes br yaıt vermek mümkü değldr. Acak, aşağıda açıklaa faktörlere lşk yapılacak, tel değerledrmelere ve cel yötemlere başvurulur. (a) Ntel Değerledrmede Esas Alıa Faktörler Aakütle homojelğ: Aakütle homoje (türdeş) se öreklem hacm () küçük, homoje değlse öreklem hacm () dahabüyük tutulmalıdır. Aakütle büyüklüğü Araştırmada verle kararı öem:araştırmada verle karar öeml se daha ayrıtılı blgye gereksm duyulur. Araştırmaıyapısı:Ntelaraştırmalarda küçük, cel araştırmalarda se büyüktür. Bezer çalışmalarda kullaıla öreklem hacm: Özellkle araştırmalarda tesadüf olmaya örekleme yötemler kullaıldığı zama kullaıla br ölçüttür. Kayaklarla lgl sıırlayıcılar: Zama ve madd kısıtlar gb Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 9 (b) Ncel Yötemler (1) Karşılaablecek Malyet Esas Ala Yötem: =(B C s )/C d. Burada B, araştırma bütçes; C s, araştırmaı sabt malyet ve C d, örekleme brm başıa değşke malyet göstermektedr. Örek: Araştırma bütçes TL le sıırlı olduğu br araştırmada, sabt malyet 500 TL ve örekleme seçlecek her br örekleme brm ç malyet 30 TL dr. Bu bütçeyle oluşturulablecek örek hacm e fazla kaç olablr? Çözüm: = ( )/30=317 dr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 10 yayılaamaz ve depolaamaz. 5

6 () Kabul Edleblr Hata Düzey Esas Ala Yötem: Öreklem statstğ ormal dağılıma uyduğuvarsayımı altıda bu yötemle örek hacm aşağıdak eştlkle belrlemektedr: =(z σ )/h veya =[z π(1 π)]/h. Burada z, araştırmacı tarafıda belrlee alamlılık düzey (hata düzey) stadart ormal dağılımtablodeğer; σ, aakütle varyasıı; h,araştırmacı tarafıda belrl br alamlılık düzeyde kabul edleblr hata düzey (ortalama örekleme hatasıı) göstermektedr. Bu hata düzey, öreklem statstğ le lgl parametre arasıdak mutlak fark olarak belrleebleceğ gb, lglele parametre orasal br değer olarak da fade edleblr: h z. h z. p X Öreklem hacm yukarıdak eştlkle hesaplaablmes ç araştırmacıı α alamlılık düzey ve h değer belrlemes ve aakütle varyası σ hakkıda blgye sahp olması gerekr. Aakütle varyası σ geellkle blmez. Bu durumda, σ daha öce yapılmış bezer çalışmalarda elde edlebleceğ gb, br plot çalışmada veya e büyük değerl gözlem değer le e küçük değerl brm arasıdak fark blyorsa ve X rassal değşke ormal dağılıyorsa, α=%1 düzeyde; s=(x eb. X ek. )/6 tahmleycs kullaılarak da hesaplaablmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 11 Örek: Braraştırmacı, X l merkez lçesde kamet ede aleler ortalama aylık mutfak harcama tutarıı tahm etmek styor. Ayrıca bu tahmde e fazla 10 TL lk br hata düzey amaçlıyor. Bezer amaçla bu lçe merkezde yapıla araştırmalarda aleler aylık mutfak gderleryle lgl stadart sapmaı 30TLolduğu saptamıştır. Aleler ortalama mutfak harcama tutarıı %5 hatayla tahm edeblmek ç öreklem hacm e az kaç olmalıdır? Çözüm: α=%5, σ=30 TL, z %5 =1,96, h=10 TL dr. =(1,96) (30) /(10) =34 ale olarak elde edlr. (5) Öreğ Seçlmes: Buaşamada örekleme grecek brmler seçlerek verler toplaır. Bu uygu özellkte büro ve çalışma ortamıyla telkl elemaları tem gerektrr. Öcek aşamalarda alıa yalış kararlar ve dkkatszlkler bu aşamada büyük soruları yaşamasıa ede olmaktadır. Örekleme bu so aşamasıda, öreğe grecek brmler seçlerek, verle toplaır. Kavrama Soruları (1) Örekleme sürec aşamalarıı sayıız? () RÜ, İİBF de kayıtlı ola öğreclere lşk yapılacak br araştırmada, aakütle edr? (3) İİBFöğreclere lşk br çerçeve buluablr m, buluablrse gücel mdr, açıklayıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 1 yayılaamaz ve depolaamaz. 6

7 Örekleme Yötemler (1) Aakütley oluştura brmler br bölümüü gözlemes alamıa gele örekleme, özellkle zama ve malyet tasarrufu sağladığı ç araştırmacılar tarafıda yaygı olarak kullaılmaktadır. Acak öreklem aakütley y br şeklde temsl etmes /N oraıa (öreklem hacme) ve uygu br örekleme yötem seçme bağlıdır. () İstatstkte örekleme yötemler olasılıklı ve olasılıklı olmaya yötemler olarak k aa grup altıda toplamaktadır. (3) Rassal Çekm Şekller: (a) Kura yötem (her brm seçlme olasılığı 1/ ve her br öreklem seçlme olasılığı=1/c(n, ), (b) rassal sayılar tablosu, (c) rassal sayılar ürete blgsayar programlarıı (SPSS, STATA, SAS, NCSS, STATISTICA, MINITAB ve STATGRAPHICS vs.) kullaımı ve (d) sstematk seçmdr (burada her br öreğ seçlmes olasılığı=1/k dır) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 13 Olasılıklı Olmaya Örekleme Yötemler Kolayda (Coveece) Örekleme: Kolaycaulaşılablr brmler seçlmesyle öreğ oluşturulmasıdır. Öreğ; uygu görüle sokakta, uygu görüle br zamada gelp geçe breylerle görüşme yapılması veya br koferasa katıla belrl sayıdak katılımcıda araştırma kousu le lgl görüşler alıması, Iteret, TV ve radyo araştırmaları vs. E kısa zamada ve e az malyetle blg üretlmese htyaç duyulduğu durumlarda kullaılır. Ayrıca odak grupları, plot çalışmaları, veya aketlerötest amacıyla kullaılablr. Kolay öreklemede aakütley temsl edeblecek br öreğe ulaşmak tesadüflere bağlıdır. Yargısal (Judgmetal) Örekleme: Yargısal örekleme yötem de br tür kolayda örekleme yötemdr. Yargısal örekleme kolayda öreklemede farkı, araştırmacı aakütlede ked radesyle brmler seçerke br ölçütü kullamasıdır. Öreğe grecek brmler, araştırmacıı uzma görüşüe dayaarak aakütley temsl ettğe adığı brmlerdr. Kota (Quota) Öreklemes: Aakütle yapısıı %5, %10 vs. oraıda öreğe yasıtılarak, öreğe grecek brmler araştırmacıı radesyle belrledğ örekleme türüdür. Örek: (Örekleme Oraı = /N=%10) Büyüklük N Küçük Orta Büyük Toplam Kartopu (Sowball) Öreklemes: Özellkle br çerçeve mevcut olmaması veya oluşturmasıı mkasız olduğu durumlarda kullaılır. Bu yötemde, örekleme sürece taımlaa aakütlede yer ala br brey, geellkle tesadüf olarak seçlmesyle başlaır. Bu breyle ayı aakütle taımıda yer ala taıdığı br brey var olup olmadığı araştırılır. Varsa, bu brme ulaşılır. Böylece örekte yer alacak kc brm belrlemş olur. Bu sürece hacml örek oluşturulucaya kadar devam edlr. Örek; uyuşturucu kullaalar, çete üyeler vs. araştırmalarıda kullaılır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 14 yayılaamaz ve depolaamaz. 7

8 Olasılıklı Örekleme Yötemler Aakütlede örekleme brmler rassal olarak seçlmese mka taıya yötemlere olasılıklı örekleme yötemler adı verlr. (1) Bast Tesadüf Örekleme Aakütledek tüm brmlere eşt seçlme şası verlerek uygulaa br örekleme yötemdr. İadesz çekm le N brmlk solu br aakütlede, brmlk br örek aşağıdak gb çeklmektedr. Aakütle lstes elde olması ve aakütle türdeş brmlerde oluşması gerekr. Ayrıca aakütlede yer ala brmler geş br coğraf alaa yayılmamış olması gerekmektedr. Her brme eşt seçlme şası 1/N verlerek lk brm seçlr. İadesz çekm olduğu ç kc brm seçlme olasılığı 1/(N 1) olur. sayıda brm hep bu şeklde [1/(N+1)] seçlr. hacml tüm olası öreklemlerde herhag brs seçlmes olasılığı se 1/C (N; ) dr. Tesadüf örekleme gerçekte tesadüf olablmes ç aakütle brmler tümüü eldek lstede olması gerekmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 15 () Tabakalı Örekleme Bast tesadüf öreklemeye orala aakütle hakkıdak mevcut blgler kullaarak, aakütley daha y temsl edecek, tesadüf örekler oluşturmaya yaraya olasılıklı br örekleme yötemdr. Yötem uygulaablmes ç aakütledek brm sayısıı blmes ve aakütle celee özellkler açısıda gruplara ayrılablyor olması gerekmektedr. Yötem gruplardak brm sayılarıa göre eşt, oratılı veya oratısız olmak üzere üç farklı şeklde uygulaablmektedr. Oratısız seçmde değşkelğ büyükola grupta fazla, az ola grupta daha az brm gözlemes yolua gdlr. Aakütle heteroje olmalı, aakütle ve tabaka hacmler blmes gerekr. Örekleme hatası e düşük ola örekleme yötemdr. Örek: İşletme Büyüklüğü N (Eşt) (Oratılı) (Oratısız) Küçük Orta Büyük Çok Büyük Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları yayılaamaz ve depolaamaz. 8

9 Y tabakalara ayrılacak aakütley, N aakütle hacm, öreklem hacm, H Toplam tabaka sayısıı, N h. tabakadak ( h1,,..., H) toplam brm sayısıı, h h. tabakada çeklecek öreklem hacm, h. tabakaı varyasıı ve h Y h. tabakaı artmetk ortalamasıı göstermekterdr. h Tahm varyası Cochra'a (1963:91) aşağıdak gb hesaplamaktadır: H 1 h h sy 1 Nh N h1 h Nh Burada her br tabakaı varyasıı bldğ ve aşağıdak gb hesapladığı varsayılmaktadır: N h Y Y h h 1 Nh 1 Eşt Dağıtım Yötem Oratılı Dağıtım Yötem L1 : h 1 h ve h1,,, H. H Nh L : h h 1,,, H. N Neyma Dağıtım Yötem Nh h L3 : h H h1,,, H. N Oratısız Dağıtım Yötem L4 :,,, geetk algortma le belrlemektedr. 1 h1 h h h h Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 17 (3) Sstematk Örekleme Yötem Çok sık kullaıla br örekleme yötemdr. N/ oraıyla br k sayısı (büyütme faktörü) buluur. 1 k aralığıda tesadüf olarak br sayı seçlr. Daha sora bu sayı öreğe grecek lk aakütle brm oluşturur ve elde edle sayıya sürekl k lave edlerek kc, üçücü vs. sayıda brm belrler. Örek: N=00 ola br aakütlede =0 brmde oluşa br örek çeklecekse k=n/=00/0=10 olacaktır arasıda seçle sayıı3 olduğuu kabul edersek; 1. brm a 3. brm [a+k] 3+10=13 3. brm [a+k] 13+10= brm [a+( 1)k] =193 Bu yötem, bast tesadüf ve tabakalı örekleme yötemlere göre daha az malyetl br örekleme yötemdr. Ayrıca, lgl aakütleye lşk çerçeve yapısı hakkıda blg sahb olmaksızı da sstematk örekleme uygulaablr. Öreğ; br süper markette ayrıla k. müşteryle görüşme yapılarak veya br depoda dosya seçlerek yürütüle araştırmalar gb. Çerçeve doğal yapısıda tekrarlamalar varsa sstematk örekleme yötem uygulamamalıdır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 18 yayılaamaz ve depolaamaz. 9

10 (4) Kademel Örekleme Yötem Aakütledek brmler lstes olmadığı durumlarda ve coğraf olarak geş br alaa dağılmış brmler celemes gerektğde, araştırma malyet düşürülmes ç uygulaa tesadüf (olasılıklı) br örekleme yötemdr. N brmlk br aakütle eşt veya farklı sayıda brmde oluşa M adet alt kümeye (brcl brm) ayrılır. M adet tesadüf brmde tesadüf olarak seçle m sayıda brcl brmdek tüm brmler gözlerse, bu örekleme türüe tek kademel örekleme adı verlmektedr. M adet brcl brmler altıda yer ala K sayıdak brmler arasıda (kcl brmler) tesadüf seçmle k sayıda brm seçlrse bua k kademel örekleme adı verlmektedr. Kademe sayısı arttırılarak, 3 ve çok kademel örekleme yötemler uygulaablr. Öreğ, Türkye de malat saayde br araştırma yapılacaksa kademel örekleme yötem bemsemes gerekr. Çükü Türkye dek tüm malat saayde yer ala şletmeler lstes oluşturmak zor ve bu şletmeler geş br coğraf alaa yayılmışlardır. Sözgelm bu örekte aakütle; coğraf bölgeler (brc alt brmler, K=7), ller (kc alt brmler, L=81), lçeler (üçücü alt brmler, M=810) ve saay bölgeler (dördücü alt brmler, N=640) alt brmler ayrımıı alamlı olduğuu varsayalım. Bu örekte dört alt brm taımladığıda e çok dört kademel br örekleme yötem uygulaablr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 19 Örekler: Kademel Örekleme Yötem Örek 1: 100 mahalles ola br l merkezde partler seçm öcesdek oy dağılımları araştırılacak olsu. Araştırmacı her mahalledek seçmeler brer küme olarak taımlar, mahalleler arasıda tesadüf olarak mahalleler seçer ve seçle mahallelerde de ye tesadüf olarak belrl sayıda sokak seçerse ve seçle sokaklardak tüm seçmeler celemeye alırsa k kademel br örekleme yötem uygulamış olur (Yüzer vd., 009:184). Örek : Koller halde gele mallar ç mamul kabul öreklemes yapılacağıı düşüelm. 30 mamulde oluşa00 er kutuluk100 kol söz kousu olsu. Her mamuleeşt seçlme şası vereblmek ç tüm kutuları kollerde ve mamuller de kutularda çıkarılıp umaraladırılması gb rasyoel olmaya br yol seçmek yere bu araştırmada kademel örekleme yötem uygulaablr. 100 Kol + 00 Kutu + 30 Mamul ve her düzeydek /N oraı %5 Olsu = Tamsayım = Tek kademel örekleme = İk kademel örekleme 5 10 = 100 Üç kademel örekleme Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 0 yayılaamaz ve depolaamaz. 10

11 Olasılıklı Örekleme Yötemler Üstülükler Öreklem verlerde hesaplaa statstkler, aakütle parametreler hakkıdageelleme yapmakamacıyla kullaılablr. Örekleme hatasıı büyüklüğühakkıda blg üretleblr. Keyf (rad) seçmde söz kousu olablecek sstematk hata (yalılık) gderlmş olur. Örekleme dışı hataları öeml olması durumuda olasılıklı olmaya yötemler terch edleblr (daha çok kotrol). Olasılıklı olmaya örekleme yötemleryle elde edle öreğ aakütley temsl etmes tesadüflere ve araştırmacıı kouyla lgl sahp olduğu öcül blglere ve aakütle lglele özellkler türdeşlk düzeye bağlıdır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 1 Ver Toplama Araçları Verler hazır blg kayaklarıda elde edlememes durumuda araştırmacılar tarafıda toplaması gerekmektedr. Brmler tümüde (tamsayım) veya aakütlede seçlmş belrl sayıda brmde (öreklem) bu blgler brmler gözleyerek (gözlem), brmlere deeyler uygulayarak (deey) veya brmlere araştırma kousuyla lgl sorular sorularak (aket) elde edlmektedr. Kavrama Soruları (1) Örekleme yötemler sııfladırıız? () Olasılıklı örekleme yötemler leolasılıklı olmayaörekleme yötemler arasıdak temel farklılıklar elerdr, açıklayıız? (3) Sstematk örekleme yötemde öreğe grecek brmler asıl seçlr, açıklayıız? (4) Kademel örekleme yötemde örekleme gre brmler asıl seçlr, br örekle açıklayıız? (5) Ver toplama yötemler elerdr? (6) Ver toplama araçları elerdr? (7) Tesadüf çekm şekller elerdr, kısaca açıklayıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları yayılaamaz ve depolaamaz. 11

12 HAFTA Örek İstatstkler Örekleme Dağılımları Örek ortalamasıı örekleme dağılımı Örek varyasıı örekleme dağılımı Örek oraıı örekleme dağılımı Merkez Lmt Teorem ve örek statstkler örekleme dağılımları E y tahmcler özellkler 1. Yasızlık (Sapmasızlık). Tutarlılık 3. Etklk 4. Yeterllk 5. Keslk (Doğruluk, Güvelrlk) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 3 Örekleme Dağılımları Daha öce belrtldğ gb, statstk araştırmaları öeml amaçlarıda brs de ele alıa aakütle lglele özellkler hakkıdak blgler üretlmesdr. Buu tamsayımı mümkü olmaması durumuda br öreklem yardımıyla bu amacı asıl gerçekleştrlebleceğ ve uygu örekleme yötem asılseçleceğ kouları açıklamıştı. Aakütle verler kullaılarak hesaplaa sayısal değerlere parametre, öreklem verlerde yararlaarak hesaplaa sayısal değerlere se statstk adı verlmektedr. Parametreler e öeml özellğ sabt olmalarıdır. Bua karşılık statstkler temel özellğ değşke olmalarıdır. İstatstkler öreklem verler üzerde hesaplaa artmetk ortalama, varyas, stadart sapma ve ora gb değerler olup, örekleme gre brmlere bağlı olarak örekte öreğe değşe değerlerdr. Bldğgbherhagbraakütlede çekle farklı düzeek sayıları brmler çekş sıralarııöeml olduğu permütasyo (adel+adesz) ve brmler çekş sıralarıı öemlolmadığı kombasyo (adel+adesz) çekm yötemleryle oluşturulablmektedr. Bu çekmler şulardır: (1) brmler çekm sıralarıı öemlolduğu adel çekmler, () brmler çekm sıralarıı öemlolduğu adesz çekmler, (3) brmler çekm sıralarıı öemlolmadığı adel çekmler ve (4) brmler çekm sıralarııöemlolmadığı adesz çekmler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 4 yayılaamaz ve depolaamaz. 1

13 Fakat örekleme temel amacı aakütley temsl edeblecek e uygu öreklem seçmektr. Bu edele örekleme teorsde temel çekm şekl adeszkombasyodur. Çükü örekleme amacı doğrultusuda aakütlede çekle brmler tekrar tekrar çeklmelere mka sağlamak öeml değldr. Öeml ola aakütlede mümkü olduğu kadarfarklı brmler seçmektr. Dğer br alatımla aakütlede türdeş ola brmlere daha yüksek çeklme şası vermek seçlecek öreklem aakütley temsl gücüü arttırmaz. Bu edele örekleme kuramı açısıda aakütlede çekle brmler sıralarıı ve çekle brmler aakütleye ade edlmes öeml değldr. Bu edele örekleme kuramıda temel çekm şekl adeszkombasyodur. Örekleme Dağılımı: Br aakütlede çekleblecek adesz kombasyo sayısı kadar öreklemde hesaplaablecek sayısal değerler (statstkler) dağılımıa örekleme dağılımı adı verlmektedr. Bldğ gb statstkler temel özellğ değşke olmalarıdır. Bu değşkeler de br beklee değer (ortalaması)vevaryası vardır. E yaygı kullaıla örekleme dağılımları örek ortalamasıı, örek varyasıı veörekoraıı örekleme dağılımlarıdır. Araştırmalarda geellkle aakütle ortalaması, aakütleoraı le aakütle varyası ve stadart sapması parametreler le lgl blgler üretlmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 5 Örek Ortalamasıı Örekleme Dağılımı Brm Numarası Aakütle Verler (N=4) = Hacml Tüm Olası Örekler Örek Ortalaması 1 3 (3, 5) 4 5 (3, 7) (3, 9) (5,7) 6 (5, 9) 7 (7, 9) 8 Ortalama 6 6 Varyas 5 1,67 N 5 4 s N / N 0.05 x 1,67 sx N 1 41 N 1 s / N 0.05 x sx Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 6 yayılaamaz ve depolaamaz. 13

14 Örek Ortalamasıı Örekleme Dağılımı Örek Ortalaması (X) P(X) E(X)=X.P(X) X X.P(X) /6 1/6 /6 1/6 1/6 4/6 5/6 1/6 7/6 8/ /6 5/6 7/6 49/6 64/6 Toplam 6/6 36/6=6 6/6=37,67 V(X)= 37,67.(6 )=1,67, x, / X N N Kısaca, Merkez Lmt Teoreme (MLT) göre aakütle dağılımları asıl olursa olsu, öreklem hacmler yeter kadar büyükse (>=30) örek ortalamaları beklee değer aakütle ortalamasıa eşt br ortalama ve belrl br varyasla ormal dağılıma uymaktadır. Dğer br alatımla bu dağılımı ortalaması μ ve varyası σ / dr. Normal dağıla aakütlelerde çekle küçük hacml (<30) örek ortalamalarıı meydaa getrdğ örekleme dağılımı MLT göre, aakütle ortalamasıa eşt br ortalama ve belrl br varyasla studet t dağılımıa uymaktadır., x, / X t t Öreklem hacm küçük ve aakütleler ormal dağılmıyorsa parametrk olmaya yötemler kullaılmaktadır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 7 Studet t Dağılımı ve Özellkler Studet t dağılımı, ormaldağılıma uya aakütlelerde çekle küçük öreklemlere özgü br dağılımdır. X, ortalaması μ ve varyası σ ola br rastlatı değşke olduğua göre, tesadüf ve bağımsız olarak seçle br brm t =(X μ)/σ formülü le stadartlaştırılırsa, X değşke 1 serbestlk derecel t dağılımıı gösterr. Studet t dağılımı ormal dağılım gb, le + aralığıda değerler alable sürekl br dağılımdır. Studet t dağılımı ormal dağılım gb smetrk br dağılımdır. Studet t dağılımı ormal dağılımı akse, tek br eğr değl, her serbestlk dereces ç farklı br t dağılımı eğrs söz kousudur. Fakat serbestlk dereces büyüdükçe t dağılım eğrs,ormal dağılım eğrse yaklaşır. t dağılımı ormal dağılıma göre daha basık vebuedeledeğşkelğ daha fazla ola br dağılımdır. t dağılım tabloları, ormaldağılım tabloları gb ayrıtılı tablolar olmayıp özet tablolardır (k kare dağılımı gb) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 8 yayılaamaz ve depolaamaz. 14

15 Örek: =16 ve 0,05krtk t tablo değerler bulup yorumlayıız? sd ve =0,05 ç krtk t değer aşağıdak gbdr: t t 1, / 16,%,5,131'dr. Pt,131 0,05 Pt,131 0,05 Pt,131 0,975 P t,131 0,05 P,13 t,131 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 9 Örek Oraıı(p)Örekleme Dağılımı N brmde oluşa br aakütlede belrl özellğe sahp ola brmler sayısı R se, bu özellğe sahp olaları oraı =R/N; bu özellğe sahp olmayaları(n R)oraı 1 =(N R)/N dr. Br aakütlede çekleblecek hacml tüm olası örekler her br ç p=r/ oraı hesaplaırsa, elde edle örek oraları bazıları aakütle oraıa eşt, bazıları aakütle oraıda küçük ve bazıları se aakütle oraıda büyük olarak elde edleblecektr. Görüldüğü gb aakütle parametres ç hesaplaa örek oraı statstğ de br rastlatı değşkedr. Bu değşke de br beklee değer ve br varyası vardır. İşte statstkte adesz kombasyo sayısı kadar örek oralarıı oluşturduğu bu dağılıma örek oraı rastlatı değşke örekleme dağılımı adı verlmektedr. Aşağıda 3 brmde oluşa kuramsal br aakütlede çekleblecek adesz kombasyo sayısı kadar tüm olası örek oralarıı oluşturduğu örek oraı rastlatı değşke örekleme dağılımıı celeyelm. Sıra Numarası Aakütle Verler (N=3) Örek Brm Değerler (=) Örek Oraı (p) P(p) p.p(p) p P.P(p) 1 Kusurlu (0) (0, 1) 1/ 1/3 1/6 1/4 1/1 Sağlam (1) (0, 1) 1/ 1/3 1/6 1/4 1/1 3 Sağlam (1) (1, 1) / 1/3 /6 4/4 4/1 Ortalama =/3 4/6=/3 6/1 Varyas (/3).(1/3)=/9 1/18 p p N E p V p K, ( ) /3 ( ) 6/1 (/3) 1/18 1 /3. 1/3 3 1 p1 p N N 0,05 p sp N N N 1 1 p1 p 0,05 p sp N Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 30 yayılaamaz ve depolaamaz. 15

16 Örek Varyasıı(s )ÖreklemeDağılımı Aakütlede çekle adesz kombasyo sayısı kadar öreklemde hesaplaacak ola örek varyaslarıı meydaa getreceğ tesadüfdeğşke dağılımı MLT göre geelde sağaeğk br dağılım olak kare dağılımıdır. Bldğ gb aakütlede çekleblecek ola adesz kombasyo sayısı kadar tüm olası öreklemler ç hesaplaacak örek varyaslarıı bekleedeğer her zama aakütle varyasıda daha küçük br değer olarak elde edlmektedr. Bu edele, örek varyaslarıı dağılımı geelde brm değerler küçük değerlerde topladığıı göstere sağa eğk ola br k kare dağılımdır. Fakat öreklem hacm artarke örek varyaslarıı örekleme dağılımı ormaldağılıma yaklaşmaktadır. Ye bldğ gb varyas ve stadart sapma egatf değerler almaz. Bu edele, aakütlede çekleblecek tüm olası örek varyaslarıı oluşturacağı tesadüf değşke her zama 0 le + aralığıda değerler alır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 31 K Kare Dağılımıı Özellkler K kare dağılımı, ortalaması sıfır vevaryası 1olaormaldağıla bağımsız değşkeler kareler toplamıdır. K kare dağılımı da t dağılımı gb ormal dağılımlı aakütlelerde çekle öreklemlere özgü br dağılımdır. X, ortalaması μ ve varyası σ ola br rastlatı değşke olduğua göre, tesadüf ve bağımsız olarak seçle br brm z =(X μ)/σ formülü le stadart ormal dağılıma döüştürülür ve kares alıırsa, X değşke1serbestlkderecel k kare dağılımıı gösterr. X~N(μ, σ )dağılımıda tesadüf ve bağımsız olarakkdeğer seçp yukarıdak gb stadartlaştırılır ve kareler alııptoplaırsa (z 1 +z ) k serbestlk derecel k kare dağılımı gösterr. Görüldüğü gb, k kare dağılımı br kareler toplamı dağılımıdır. Geelleştrlerek bu durum aşağıdak gb fade edleblr. X X z z z z X X X z z z z Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 3 yayılaamaz ve depolaamaz. 16

17 K Kare Dağılımıı Özellkler (Devam) X X X 1 X X 1 s X X s X X s X s X X Bu fade öreklem varyasıı ked serbestlk derecesyle çarpımıı aakütle varyasıa oraıı, k kare dağılımıa uyduğuu göstermektedr. s Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 33 K Kare Dağılımı (Devam) Negatf değerler almaya ve geelde sağa eğk br dağılım olak kare dağılımı büyük öreklem hacmlerde (>=100) ormaldağılıma yaklaşmaktadır. Dağılımı ortalaması (beklee değer) serbestlk derecese (v)eşttr (μ=v). Dağılımıvaryasıse, serbestlk dereces k katıa eşttr (σ =v). K kare değerler 0 le + aralığıda yer alable sürekl br dağılımdır. Bu edele dağılım eğrs, sıfır oktasıda başlar ve artı sosuza uzaır. K kare dağılımı, t dağılımı gb (ormal dağılımı akse) tek br eğr değl, her serbestlk dereces ç farklı br k kare dağılımı vardır. Fakat serbestlk dereces büyüdükçe k kare dağılımeğrs,ormaldağılımeğrse yaklaşır. K kare hazır dağılım tabloları, ormaldağılım tabloları gb ayrıtılı tablolar olmayıp özet tablolardır(t dağılımı gb). K kare dağılımı, ormal(z) vet dağılımları gb smetrk dağılımlar olmadığıda, belrl br alamlılık ve serbestlk derecesdek krtk değerler tabloda ayrı ayrı buluması gerekmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 34 yayılaamaz ve depolaamaz. 17

18 Örek 1: 8 ve =%5 ke krtk tablo değerler buluuz? Çözüm: 16,01 1, / 81,%.5 7,%.5 1, 69 1,1 / 81, ,%97.5 P ve P ( 16,01) %.5 ( 1,69) %97.5'dr. P( 1, / 1,1 / 1, / 11,%5 0,%5 1,1 / 11,1 %5 0,%95 ) P(1,69 16,01) %95 Örek : 1 ve =%10 ke krtk tablo değerler buluuz? Çözüm: ,85 ( 31.41) %5 ( 10.85) %95'dr. P ve P P( ) P( ) , / 1,1 / Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları HAFTALAR İstatstk Tahm Temel Kavramlar İstatstk Tahm Türler Nokta ve AralıkTahm Aakütle Ortalaması ve ToplamııNoktaveAralıkTahm Aakütle OraııNoktaveAralıkTahm Aakütle VaryasııNoktaveAralıkTahm Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 36 yayılaamaz ve depolaamaz. 18

19 İSTATİSTİKTAHMİN: TEMEL KAVRAMLAR İstatstk Tahm: Taımlaaaakütledetesadüfseçlebröreklemdevebuöreklemuyduğu kuramsal dağılımdayararlaaraklgl aakütleparametredeğeryaklaşıkolarakaraştırılması sürec olarak taımlamaktadır. Tahmleyc: Aakütle parametres ç blg ürete statstğe lşk formülasyoa tahmleyc adı verlmektedr. Br tahmleyc yardımıyla hesaplaa değere de tahm adı verlmektedr. Tahmleme Sürec Aşamaları :(1)Taımlaa br aakütlede hacml br öreklem seçlr, ()bu öreklem verlerde yararlaarak br tahmleyc yardımıyla gerekl statstkler hesaplaır, (3) lgl öreklem statstğ uyduğu kuramsaldağılımda yararlaarak parametre değerler tahm edlr. Nokta Tahm: Br tahmleyc yardımıyla rassal br öreklemde hesaplaa statstk değer, lgl aakütle parametre değere eşt kabul ede sürece okta tahm adı verlmektedr. Nokta Tahm Özellkler:Yasızlık(Sapmasızlık), Tutarlılık, Etklk ve Yeterllk. Aralık Tahm: Aakütle parametres belrl (stee) br olasılık (doğruluk, güvelrlk) düzeyde, br aralık çde tahm edlmes sürece aralık tahm adı verlmektedr. Güve (Güverllk Doğruluk Keslk) Düzey: Aralık tahmde aakütle parametres kapsama olasılığıa güve düzey adı verlmektedr. Rassal Hata: Elealıa öreklem edeyle statstk le aakütle parametres değer arasıda br fark olma olasılığıdır. İstatstkle parametre arasıdak bu farka örekleme hatası adı verlmektedr. Tahm Hatası: Gözlee (fl) değer le tahm edle değer arasıdak fark olarak taımlamaktadır. Hem tamsayım hemdekısm sayım (örekleme) yapılması durumuda tahm hataları söz kousudur. Aralık Tahm Özellkler:Yasızlık, Tutarlılık, Etklk, Yeterllk ve Güverllk Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 37 Ortalaması µ ve varyası σ ola br aakütlede seçle 4 hacml br öreğ brm değerler sırası le X 1, X, X 3 ve X 4 olsu. µ ü aşağıdak k okta tahm edcs ele alalım: y X X X X y X X X X a) Bu k tahm edc sapmasız(yasız) olduğuu gösterz. b) Bu k tahm edc hags daha etkdr. Çözüm : 1 1 ( a) E( y1) E X1 X X3 X E X E X E X E X 1 4 ( sapmasız) E( y) E X1 X X 3 X 4 EX1 EX EX 3 EX ( sapmasız) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 38 yayılaamaz ve depolaamaz. 19

20 Çözüm( Devam): ( b) 1 V( y1) V X1 X X 3 X V X V X V X V X , V( y) V X1 X X 3 X V X1 V X V X 3 V X y daha küçük varyasa sahp olduğuda daha etk br tahmdr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 39 (1) Aakütle Ortalamasıı AralıkTahm Aakütle Varyasıı Blmes Durumuda: Küçük ve büyük öreklem hacmler ç z dağılımı. Aakütle Varyasıı Blmemes Durumuda: Küçük öreklem hacmlerde t dağılımı ve büyük öreklem hacmlerde z dağılımı. Aakütle Dağılımı Öreklem Hacm Aakütle Varyası Blyor Aakütle Varyası Blmyor Normal 30 z dağılımı z dağılımı Normal <30 z dağılımı t dağılımı Normal Değl 30 z dağılımı z dağılımı Normal Değl <30 Parametrk Olmaya Yötemler Kullaılır Parametrk Olmaya Yötemler Kullaılır s %5 x sx N N s N %5 x sx N N 1 N 1 30 PX z /. s X z /. s 1 X X 30 ND P x t. s x t. s 1 1, / x 1, / x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 40 yayılaamaz ve depolaamaz. 0

21 () Aakütle Oraıı AralıkTahm Herhag br öreklem aşağıdak koşullarda brs sağlaması durumuda örek oraıı öreklemedağılımı MLT göre ormal dağılıma uymaktadır. (1) p. ve q. 5 () 100 () p q ve 10 / p / 1 p1 p %5 p s p N 1 p1 p N N %5 p s p N N 1 N 1 P p z. s p z. s 1 p Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 41 (3) Aakütle Varyasıı AralıkTahm MLT göre örek varyaslarıı örekleme dağılımları K Kare dağılımıa uymaktadır. s s s P 1 1, / 1,1 / s 1 s 1 P 1 1, / 1,1 / Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 4 yayılaamaz ve depolaamaz. 1

22 Örek 1: Br malathaede üretle malları ortalama ağırlıkları araştırılmaktadır. Üretle çok sayıda malda 100 brml br örek alımış ve örek ortalaması 0 kg olarak bulumuştur. Aakütle dağılımıı ormalve varyası 16 kg olduğu bldğe göre, aakütle ortalamasıı %95 olasılıkla hag değerler arasıda kalacağıı tahm edz. Çözüm : 100 %5 z z 1.96 / % X 0 0,4 100 x PX z/ x X z/ x 1 P 0 1,96*0,4 0 1,96*0,4 10,05 P 19,16 0,784 % Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 43 Örek : Stadart sapması 40 ola ve 5000 brmde oluşa br aakütlede 400 brmlk br örek alımıştır. Örek ortalaması 80 olduğua göre %10 alamlılık düzeyde aakütle ortalamasııaralık tahm hesaplayıız. Çözüm : N 5000; 400; %10; 1 %90; z z 1, X 80 / N 400 / ,08 0,05 olduğuda, N x 1,9. N PX z/ x X z/x1 P 80 1,645*1,9 80 1,645*1,9 10,10 P 76,84 83,16 % Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 44 / %5 yayılaamaz ve depolaamaz.

23 Örek 3: Normal dağılımlı br aakütlede 16 brml br örek alımış ve örek ortalaması 30 ve stadart sapması 3,6 bulumuştur. %95 olasılıkla aakütle ortalamasııaralık tahm yapıız. Çözüm : 16; %5; 1 %95; s 3,6 X 30 sd t t,131 s x s 3, 6 0,9 16 1, / 15,%,5 PX t 1, /sx X t 1, /sx 1 P 30,131*0,9 30,131*0,9 10,05 P 8,08 31,9 % Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 45 Örek 4: Br frmada çalışaları ş yere zamaıda gelp gelmedkler araştırılmak stemektedr. Frmada çalışa kşde 300 kşlk br örek tesadüf olarak seçlmş ve çalışaları %70 so 1 ay çde görevlere hç geç kalmadıkları saptamıştır. %95 olasılıkla frmada çalışalarda ş yere zamaıda geleler oraıı aralık tahm yapıız. Çözüm : N 0.000; 300; p 0,70; q 0,30; z 1,96 / N 300 / ,015 %5 s s p pq 0,70*0,30 0, %,5 P p z/ sp p z /s p 1 P 0,70 1,96*0,06 0,70 1,96*0,06 10,05 P 0,649 0,751 % Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 46 p pq yayılaamaz ve depolaamaz. 3

24 Örek 5: Br fabrkada üretle kusurlu malzemeler oraı araştırılmak stemektedr. Bu amaçla üretle 3000 brm malzemede 350 taes tesadüf olarak seçlmştr. Bularda 55 taes hatalı olduğu saptamıştır. %1 alamlılık (hata)düzeydeüretle hatalı malzemeoraııaralıktahmbuluuz. Çözüm : N 3000; 350; p 55 / 350 0,16; q 0,84; z,57. / N 350 / ,17 %5 s s p pq N N 1 0,005 pq N 0,16*0, ,0184. N P p z/ sp p z /s p 1 P 0,16,57 *0,0184 0,16,57 *0, ,01 P 0,113 0,07 %99 p Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 47 Örek 6: Brürü15ayrı bölgede satılmaktadır. Bu bölgelerde elde edle br örekte satışlarıyıllık ortalaması ve stadart sapması 1400 olarak bulumuştur. %90 güve düzeyde aakütle varyas ve stadart sapmasııaralık tahm buluuz? Çözüm : 14; sd= ' tür. %10 se; 3,685 1, / 151,%10/ 14,%5 1,1 / 151,1 %10/ 14,%95 s s 1, / 1,1 / (1400) ,571 P 1 (1400) 15 1 P 10,10 3,685 6,571 P , ,5 %90 P 1.076,36.043,51 % Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 48 yayılaamaz ve depolaamaz. 4

25 Kavrama Soruları İstatstk tahm edr? Br statstk tahm sürecde hag aşamalar zler? Nokta ve aralık tahm arasıdak farkı açıklayıız? Nokta ve aralık tahm özellkler elerdr? Örek ortalamasııuyduğukuramsaldağılımlar ve bu dağılımları özellkler elerdr? Stadart hata (örekleme hatası) le stadart sapma arasıdak farkları ve bezerlkler tartışıız? Örekleme hatası ortada kaldırılablr m, edeler le açıklayıız? Pratkte aralık tahme m, yoksa okta tahme m güversz? Nede? Nokta tahm ede öemldr. MLT göre aakütle oraııaralık tahmde hag kuramsal dağılımda yararlaılır? MLT göre aakütle varyasıı veya stadart sapmasııaralık tahmde hag kuramsal dağılımda yararlaılır? Bu dağılımı özellkler elerdr? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları HAFTALAR Hpotez Testler Hpotez ve İstatstk Hpotez Test Hpotez Testler Sııfladırılması Hpotez Testler Aşamaları Hpotez Testlerde İşlee Hatalar: Güve Düzey, Alfa ve Beta Hataları İle Test Gücü Tek Aakütle Parametresyle İlgl Hpotez Testler 1. Aakütle Ortalamasıa İlşkBüyük Öreklem Test/z test. Aakütle Ortalamasıa İlşk Küçük Öreklem Test/ t test 3. Aakütle Oraıa İlşkHpotez Testler/z test 4. Aakütle Varyasve Stadart Sapmasıa İlşkHpotez Testler/K Kare Test Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 50 yayılaamaz ve depolaamaz. 5

26 HİPOTEZ TESTLERİ: TEMEL KAVRAMLAR Örekleme kuramı, aakütlede örekleme seçlecek e uygu brmler hag yötemle seçleceğ ve aakütle parametreler tahm edlmes yaıda, statstk hpotezler sıamasıa da mka vermektedr. Daha öce belrtldğ gb örekleme kuramıı üçücü amacı, aakütle parametreler hakkıdak ddaları öreklem verlerde hesaplaa öreklem statstkler ve bu statstkler uyduğu kuramsal dağılımlarda yararlaarak araştırmaktır. İşte bu amaç, uygu statstk hpotez test seçlmesyle geçekleştrlmektedr. Hpotez testlerde öreklem verlerde hesaplaa statstkle, bu statstğ blg ürettğ aakütle parametres öcede belrlemş, ble, stadart veya varsayımsal değer arasıdak farklılığı statstk olarak alamlı olup olmadığıa karar verlmektedr. Eğerfarklılık alamlı se sıfır hpotez reddedlmektedr. Aakütle parametresde alamlı br farklılığı veyaalamlı br lşk beklemedğ durumu fade ede sıfır hpoteze (H 0 ) karar vereblmek ç, öreklem blgler olasılığıa dayaarak geelleştrlmes gerekmektedr. Bu durum, lglele parametre hakkıda blg ürete statstğ örekleme dağılımıı blmes gerekl kılmaktadır. Hpotez; geel alamda herhag br durumla lgl ler sürüle öermelerdr. İstatstk hpotez se, aakütle veya aakütlelerle lgl varsayımlardır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 51 İstatstk hpotez; braraştırmada lglele br ya da daha fazla sayıda parametre değerler hakkıda ler sürüle ddaları doğruluğu, geçerllğ bu parametreler hakkıda blg ürete statstklerde ve bu statstkler uyduğukuramsaldağılımlarda (olasılık kurallarıda) yararlaarak araştırılable öermedr. Hpotezler, doğru ya da yalış olablrler. İstatstk hpotezler dğerhpotezlerde ayıra temel özellk, bu hpotezler br frekas dağılımıa at olmasıdır. İstatstk Hpotez Örekler: (1) Daha öcede ble br değer; () stadart br değer veya (3) varsayımsalbr değer olablmektedr. Sıfır Hpotez (H 0 ): Aakütle parametresde alamlı br farklılığı veya lşk beklemedğ durumu fade ede hpotezdr. H 0 smgesyle gösterlr ve her zama eşt bçmde fade (formüle) edlr (H 0 : θ=θ 0 ). Hpotez testlerde her zama kabul ya da reddedle hpotez sıfır hpotezdr. Hpotez testlerde sıfır hpotez sıayablmek ç br karşıt hpoteze htyaç duyulmaktadır. Karşıthpotezkavramı yere lteratürde, alteratf hpotez, çürütücü hpotez ve araştırma hpotez kavramları da kullaılmaktadır. KarşıtHpotez(H 1 ): Aakütle parametresde alamlı br farklılığı veya lşk bekledğ durumu fade ede hpotezdr. H 1 smgesyle gösterlr ve üç farklı şeklde fade edlmektedr: H 1 : θ θ 0, H 1 : θ>θ 0, H 1 : θ<θ 0. Böylece hpotez testler yöüü karşıt hpotez belrlemektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 5 yayılaamaz ve depolaamaz. 6

27 Hpotez Test Türler Parametrk Hpotez Testler Aralık ve ora ölçekl değşkeler, Öreklem hacm yeter kadar büyükse ve Aakütleler kuramsal (matematk) br dağılıma uyuyorsa kullaılablmektedr. Parametrk Olmaya veya Dağılımı Serbest Hpotez Testler Nomal (sııflayıcı)veordal(sıralayıcı) ölçekl değşkeler, Öreklem hacm yeter kadar büyük değlse, Aakütleler belrl br kuramsal dağılıma uymaması durumlarıda kullaılablmektedr. Kavrama Soruları İstatstk hpotez edr? İstatstk hpotez testler amacı (kousu) edr? İstatstkhpotezler ede doğru yada yalış olablr, açıklayıız? Bemsee ölçeğe göre hpotez testler asılsııfladırılmaktadır? Değşkeler ölçek tp metrk (aralık ve ora) ve metrk değlse (omal ve ordal) hag hpotez testler kullaılmaktadır? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 53 Tablo 1: Tek ve Çok Değşkel Parametrk Hpotez Testler Sııfladırması Grup Sayısı=g Değşke Sayısı=p p=1 p>=1 g<= t Test veya z Test Hostellg T Test g>= F Test (ANOVA=Varyas Aalz) Wlks Lamda Test Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 54 yayılaamaz ve depolaamaz. 7

28 Tablo : Parametrk ve Parametrk Olmaya Hpotez Testler Karşılaştırması K Örek İk Örek Tek Örek Ölçek Tp Bağımsız (Urelated/Idepedet) Örekler Bağımlı (Related/Depedet) Örekler Tek Örek t Test (<30) Metrk Tek Örek z Test ( 30) K Kare Test Kolmogorov Smrov (K S)Tek Örek Test Ordal Wlcoxo İşaretl Sıra Test Lllefors Normallk Test Akış Sayısı (Ru) Test Nomal Bom Test K Kare Uyguluk Test Metrk Bağımsız Örekler İç t Test K Kare Test Bağımsız Örekler İç t Test Ordal Ma Whtey U Test Wlcoxo İşaretl Sıra Test K S İk Örek z Test Sg Test (Uyguluk Test) Moses Aşırı Tepk Test Marjal Homojelk Test (McNemar Test Mültomal Wald Woldfowtz (W W) Akış Test Dağılım İç Geelleştrlmş Şekl) Medya Test Nomal K Kare Test (Bağımsızlık Test) McNemar Test Tek Yölü ANOVA (F Test: Üç veya Daha Çok Sayıda Eşleştrlmş İk Yölü ANOVA (Two Way Wth Subject Metrk Ortalama veya İk Varyas) ANOVA) K Kare Test (Tek Varyas) Kruskal Walls H Test Medya Test Fredma Test Ordal Jockheere Terpstra (J T)Test Kedall W Test K Kare Test Nomal K Kare Test Cochra Q Test (Sadece İk Souçlu) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 55 Kavrama Soruları (1) Hpotez testlerde test edlecek hpotez hagsdr? () Hpotez testler yöüü belrleye hpotez hagsdr? (3) Hpotez testlerde şlee hatalar (yorumlama hataları) elerdr? (4) Güve düzey, I.tp (alfa) hata, II.tp (beta) hata ve test gücü kavramlarıı açıklayıız? (5) Hpotez testlerde şlee hataları ayı ada azaltmaı yolu edr? (6) I. ve II. tp hatalar ayı ada şleeblr m? Hpotez Test Sürec Aşamaları (1) Sıfır ve karşıt hpotez fade edlmes, () Alamlılık düzey belrlemes, (3) Aakütlede öreklem çeklmes (verler toplaması), (4) Öreklem statstğ stadart tesadüf değşkee döüştürülmes, (5) İstatstk kararı verlmes (H 0 Kabul veya H 0 Red), (6) Probleme lşk kararı verlmes Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 56 yayılaamaz ve depolaamaz. 8

29 Hpotez Testlerde İşlee Hatalar: Yorumlama Hataları Gerçek Durum H 0 Doğru H 0 Yalış İstatstk Karar H 0 Kabul H 0 Red Doğru Karar Yalış Kara [Güve Düzey=1 α] [I.Tp Hata=α] Yalış Karar Doğru Karar [II.Tp Hata=β=1 α] [Test Gücü=1 β] Hpotez testlerde, sıfır hpotez yalışlıkla kabul ya da reddedlmes soucuda şlee hatalara yorumlama hataları adı verlmektedr. Görüldüğü gb herhag br hpotez sıamasıda k yorumlama hatasıda sadece brs şleeblr. Dğer br alatımla sıfır hpotezdoğru olması ve reddedlmes durumuda şleeblecek I.tp hata le sıfır hpotez yalış olması ve kabul edlmes durumuda şleeblecek II. tp hata söz kousu olmaktadır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 57 Parametrk Tek Aakütle Testler Tek aakütle ortalamasıa lşk hpotez testler Aakütle varyasıı blmes durumu Büyük öreklem test (z test) Küçük Öreklem test (z test) Aakütle varyasıı blmemes durumu Büyük Öreklem Test (z test) Aakütle Normal Dağılıma Uyuyor ve Öreklem Hacm Küçük se t test Kullaılır. Aakütle Normal Dağılıma Uymuyor ve Öreklem Hacm Küçük se Parametrk Olmaya Testler. Tek aakütle oraıa lşk hpotez testler (z test) Tek aakütle varyasıa lşk hpotez testler (K Kare test) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 58 yayılaamaz ve depolaamaz. 9

30 Kavrama Soruları (1) Parametrk hpotez testlerde öreklem statstğ uyduğu kuramsal dağılımı blmes gerekr m? () Aakütle verler üzerde çalışılması durumuda hpotez testler uygulaıp uygulaamayacağıı edeyle brlkte açıklayıız? (3) Hpotez testlerde ez ama z test yere t test kullaılmaktadır? (4) Aakütle oraıa lşk hpotez sıamalarıda, test statstğ örekleme dağılımı hagkoşullar altıda ormaldağılıma uymaktadır, belrtz? (5) Aakütle varyasıı veya stadart sapmasıı aralık tahmde ve hpotez sıamalarıda hagkuramsal dağılımda yararlaılmaktadır? (6) K kare, z ve t kuramsal dağılımlarıı özellkler brbryle karşılaştırarak tartışıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 59 Örek 1: Br makede paketlee ürüler ortalama stadart ağırlığı 8 kg ve stadart sapması kg dır. Make ayarıı kotrol etmek amacıyla 100 brml br örek alımış ve örek ortalaması 6 kg bulumuştur. Paketlee ürüler ortalamasıı 8kgdafazlaolduğu ddasıı %5 alamlılık (hata) düzeyde araştırıız? Çözüm : H 0 : 8 kg (İdda geçerl değldr) H1 : 8 kg (İdda geçerldr) 8 kg; = kg; =%5; 1- =%95; z = z%5=1, ; X=6< =8 olduğuda hpotezler yede fade edlmeldr. H 0 : 8 kg (İdda geçerldr) H1 : 8 kg (İdda geçerl değldr) X 0 X 0 68 zh 10 x / / 100 0, zh z (10>1,64) olduğuda H0 reddedlr. %5 alamlılık düzeyde make ürettğ malları ortalama ağırlığı 8 kg'da daha azdır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 60 yayılaamaz ve depolaamaz. 30

31 Örek : Normal dağılıma uya ve ortalaması 50 ola br aakütlede çekle 5 brmlk br öreğ ortalaması 0 ve stadart sapması 15 olarak bulumuştur. %95 güve düzeyde aakütle ortalaması le örek ortalaması arasıdak farkı alamlı olup olmadığıı araştırıız? Çözüm : H 0 : 50 H1 : 50 30, aakütle dağılımı ormal ve blmedğde t-dağılımı tablosuda t t,064 t -1, / 5-1,%,5 0 0 h sx s / 15/ 5 t t (10>,064) olduğuda H reddedlr. h X X , / Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 61 Örek 3:Brbölgedeyaşaya aleler %90 da azııxmarkamalıtükettkler blmektedr. Bu bölgede 5 alede oluşa br örek alımış ve bu örekte aleler %80 X marka malıı tükettkler saptamıştır. %1 alamlılık düzeyde bu bölgede yaşaya alelerde %90 ıda daha azıı X marka malı tükettkler söyleeblr m? Çözüm : %90; 1- %10; p %80; q 1- p %0; 5 H H 0 1 : 0,90 : 0,90 =%1; 1- =%99; z z =,33 %1 p p 0,80 0, zh 1,67 p 0(1 0) / 0,90(1 0,90) / 5 z z 1,67,33 olduğuda H kabul edlr. h İdda geçerszdr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 6 0 yayılaamaz ve depolaamaz. 31

32 Örek 4: Normal dağıla br aakütle varyasıı 30 olduğu ler sürülmektedr. Bu aakütlede 30 brml br örekte varyas 315 bulumuştur. %5 alamlılık (hata) düzeyde aakütle varyasıı 30 da büyük olduğu söyleeblr m? Çözüm : H H 0 : 30 1 : 30 sd ve 4, , 9,%5 s h 39, ,7 4,557 olduğuda H kabul edlr. h 9,%5 0 Aakütle varyası %5 hata le 30'a eşt veya daha küçük olduğu hpotez ( H 0 ) kabul edlr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları HAFTA K kare Test K kare Bağımsızlık Test K kare Homojelk Test K kare Uyguluk Test Kotejas Katsayısı (C) F (Φ) ve Cramer V Katsayısı ve Yorumu Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 64 yayılaamaz ve depolaamaz. 3

33 K Kare Testler Bldğ gb, parametrk hpotez testler aralık ve ora (metrk) ölçekl değşkelere uygulaablmekte ve aakütle dağılımları hakkıda belrl varsayımlara dayamaktadır. Ayrıca bu testler uygulaablmes ç öreklem hacmler yeter kadar büyük (öreğ, 30 veya 100 olması gb ) olması zoruludur. Bu koşullar parametrk hpotez testler kullaımıı sıırladırmaktadır. Parametrk hpotez testlere alteratf olarak gelştrle parametrk olmaya hpotez testler aakütle dağılımları hakkıda belrl br varsayımda bulumamaktadır. Ayrıca bu testler, küçük örek hacmlerde de uygulaablmektedr. Parametrk olmaya çok sayıda hpotez test bulumaktadır. Bu testlerde e öeml ve e yaygı kullaılaları k kare testlerdr. Üç farklı k kare test söz kousudur. Bu testler; k kare bağımsızlık, k kare homojelk ve k kare uyguluk testlerdr. İk ya da daha çok sııflı tel değşkeler arasıdak lşk, k kare bağımsızlık test le araştırılmaktadır. İk ya da daha çok sayıda öreklem ayı aakütlede gelp gelmedğ k kare homojelk test le araştırılır. Tamsayım veya örekleme le elde edle aakütle veya öreklem verler belrl br kuramsal dağılıma uyguluğu k kare uyguluk test le araştırılır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 65 K Kare Testler Uygulaırke Dkkat Edlecek Hususlar (1) K kare test uygulaacağı değerler mutlak sayılar olup, oralar olamaz. () Brm değerler brbrde bağımsızolmalıdır. (3) K kare testde beklee frekaslarıefazla%0 s5 teküçükolmasıa z verlr. Bu soruu üstesde gelme e bast yolu sııfları brleştrmektr. (4) Beklee frekasları hçbr sıfır olamaz. (5) Öreklem hacm 50 de az ve serbestlk dereces 1 ola uygulamalarda Yates sürekllk düzeltmes uygulaması gerekmektedr. (6) Yates Düzeltmes: Düzeltlmş K Kare statstğaşağıdakgb hesaplamaktadır G 0,5 j B G j j Bj r c r c h Düzeltlmş-h 1 j1 Bj 1 j Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 66 B j yayılaamaz ve depolaamaz. 33

34 (1) K Kare Bağımsızlık Test İk ya da daha çok sııflı tel (sözel) değşkeler arasıdak lşk, k kare bağımsızlık test le araştırılmaktadır. K kare bağımsızlık testdesıfır hpotez, k sözel değşke arasıda alamlı br lşk beklemedğ durumu gösterr. Karşıt hpotez se, lgl k tel değşke arasıda alamlı br lşk bekledğ durumu fade eder. K kare bağımsızlık testde k yölü sııfladırma (kotejas) tablolarıda yararlaılır. Koteja tablosuu serbestlk dereces satır (r) ve sütu (c) sayısıı br eksğ alııp çarpılmasıyla hesaplaır: sd=df=v=(r 1)(c 1). Kuramsal (beklee, teork) frekaslar, lgl hücre yer aldığı satır frekasları toplamıyla sütu frekasları toplamııçarpımııtoplam brm sayısıa oralaarak hesaplamaktadır. K Kare= (G B) /B formülüyle k kare değer hesaplamakta ve bu değer krtk k kare tablo değeryle karşılaştırılır. Hesaplaak kare değerkrtk değerdebüyükse, sıfır hpotezreddedlr. Sıfır hpotez reddedlmes durumuda k tel değşke arasıdak lşk dereces Kotejas katsayısı (c)veyaf (Ф)katsayısı le hesaplamaktadır. h r c F Katsayısı h r 3 veya c3 V Cramer V Katsayısı m ( r 1);( c1) h r 3 ve c3 c Kotejas Katsayısı Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 67 Örek 1 (K Kare Bağımsızlık Test): Csyet le başarı durumu arasıda %5 alamlılık düzeyde öeml br lşk olup olmadığı araştırılmak stemektedr. 400 kşlk br örekte elde edle souçlar aşağıdak tabloda özetlemştr. Başarı Durumu Csyet Başarılı=1 Başarısız= Toplam Erkek= Kadı= Toplam Csyet Total 1 Erkek Kadı Cout Expected Cout Cout Expected Cout Cout Expected Cout Başarı 1 Başarılı Başarısız Total ,5 67,5 100, ,5 0,5 300, ,0 70,0 400, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 68 yayılaamaz ve depolaamaz. 34

35 r c Gj Bj 80 3,5 0 67,5 50 0, ,5 1 j1 j h h h B 3,5 67,5 0,5 97,5 = 69,43 33,46 11,14 3, ,13 137,13 137,13 c 0, , ,13 h 137,13 V 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 69 () K Kare Türdeşlk Test Farklı öreklemler ayı aakütlede çeklp çeklmedğ k kare türdeşlk (homojelk ) test le araştırılır. K kare homojelk test aşamaları hpotezler fade edlmes dışıda k kare bağımsızlık test le ayıdır. Homojelk testde sıfır hpotez k öreklem ayı aakütlede çekldğ durumu gösterrke; karşı hpotez lgl öreklemler farklı aakütlede geldğ durumu fade etmektedr. Kavrama Soruları K kare test hag durumlarda uygulaır, açıklayıız? K kare test uygulaırke dkkat edlmes gereke hususları belrtz? K kare bağımsızlık testde hpotezler asıl fade edlr? K kare homojelk testde hpotezler asıl fade edlr? K kare bağımsızlık ve homojelk testde serbestlk dereces asılhesaplaır? Bağımsızlık ve homojelk testde beklee frekaslar asılhesaplaır? Bağımsızlık ve homojelk testde k kare değer (test statstğ) asılhesaplaır? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 70 yayılaamaz ve depolaamaz. 35

36 Örek (K Kare Homojel Test): Br bölgede pyasaya ye sürülecek br ürüü lköğretm, lse ve üverste mezuu kadılar tarafıda ayı düzeyde terch edlp edlmedğ araştırmak üzere bölgede 500 kşlk br öreklem elde edlmş ve elde edle souçlar aşağıdak tabloda özetlemştr. %5 alamlılık düzeyde ürüü terchde kadıları eğtm düzey etks olduğu söyleeblr m? Eğtm Eğlm Düzeyler Düzey Beğee=1 Beğemeye= Kararsız=3 Toplam İlköğretm= Lse= Üverste= Toplam H 0 : Üç öreklem ayı aakütlede gelmektedr (Terchte eğtm düzey etkl değldr). H 1 : Üç öreklem farklı aakütlelerde gelmektedr (Terchte eğtm düzey etkldr) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 7 yayılaamaz ve depolaamaz. 36

37 (3) K Kare Uyguluk (İy Uyum)Test brmlk br öreklem çekldğ braakütleyytemsledpetmedğ veyatamsayım le elde edle verler belrl br hpoteze uygu olup olmadığıı belrlemek, ayrıca bu verler belrl br kuramsal dağılıma uyup uymadığı k kare uyguluk (y uyum) test le araştırılır. Br hpoteze uyguluk testde; verle br olaya at gözlee frekaslarıı belrl olasılık kuralıa göre hesaplaa kuramsal frekaslarıda farklı olup olmadığı araştırılır. Br kuramsal dağılıma uyguluk testde se; herbrsııfa at gözlee frekasları, uyguluğu araştırılacak belrl br dağılıma göre hesaplaa kuramsal frekaslar arasıda alamlı br farklılığı olup olmadığı araştırılır. K kare y uyum test serbestlk dereces k m 1 formülüyle (v=k m 1) hesaplamaktadır. Formülde k, celdeğşke aldığı şık (sııf) sayısıı; m se lgl dağılımı parametresayısıı göstermektedr. Kavrama Soruları (1) K kare uyguluk test hag amaçlarla kullaılablmektedr? () K kare uyguluk testde serbestlkdereces (v)asıl belrler? (3) K kare uyguluk testde hpotezler asıl fade edlr? (4) K kare testlerde Yates düzelmes hag durumda uygulamaktadır? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 73 Örek 3 (Br Hpoteze Uyguluk Test): Pyasaya ye sürülecek br ürü le lgl rassal seçle 400 müşter görüşler 1=hç beğemed, =beğemed, 3=kararsız, 4=beğed ve 5=çok beğed şeklde alımıştır. Elde edle souçlar sırasıyla 80, 70, 90, 100 ve 60 şekldedr. Rassal seçle br müşterbucevaplardabr seçme olasılığııeşt olduğuu ler süre sıfır hpotez %5 alamlılık düzeyde test edz? H0 : Rassal seçle br müşter ceveplarda br seçmes olasılığı eşttr. H : Rassal seçle br müşter ceveplarda br seçmes olasılığı eşt değldr. 1 Sıfır hpoteze göre, rassal seçle br müşter 5 cevap şıkkıda br seçmes olasılığı 1/5 dr. Sıfır hpotez test etme yolu, gözlee frekaslar le sıfır hpotezdoğru ke hesaplaa beklee (kuramsal) frekasları karşılaştırmaktadır. Örekte 400 brm değer olduğua göre, sıfır hpotezdoğru ke her sııfı bekleefrekası B =.p eştlğde 100 olarak hesaplaır. İlgl hesaplamalar aşağıdak tabloda suulmuştur. Cevap Seçeekler Gözlee Frekaslar = G j H 0 Doğru İke Olasılıklar H 0 Doğru İke Beklee Frekaslar = B j (G j B j ) / B j 1=Hç Beğemed 80 1/ =Beğemed 70 1/5 80 1,5 3=Kararsız 90 1/5 80 1,5 4=Beğed 100 1/ =Çok Beğed 60 1/ TOPLAM 400 1, Hesaplaa K Kare = 1, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 74 yayılaamaz ve depolaamaz. 37

38 Örek3(TeorkBrDağılıma Uyguluk Test: Bom Dağılımı): Brşletmede üretle kusurlu mamul sayılarıı bomdağılımıa uyguluğu araştırılmak stemektedr. Bu amaçla e fazla 5 kusurlu ürüü (=5) gözledğ 100 gülük br üretmde elde edle souçlar aşağıdak frekas tablosuda özetlemştr. %5 alamlılık düzeyde elde edle souçlarıı bom dağılımıa uyduğu söyleeblr m? Kusurlu Mamul Sayısı (X ) Gü Sayısı (f ) f.x Toplam Çözüm: Hpotezler fade edlmes H 0 : X değşke bom dağılımıa uymaktadır. H 1 : X değşke bom dağılımıa uymamaktadır. p. /100, ve p., p, / 5 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 75 Kusurlu Mamul Sayısı (X ) Gü Sayısı (f ) Olasılıklar P(X ) 0,055 0,16 0,340 0,67 0,105 0,017 Beklee Frekaslar [P(X ). f ] 5,5 1,6 34,0 6,7 10,5 1,7 Toplam 100 1, x x Px p 1 p x 0,1,,..., x Px 0 0,44 0,56 0,055 Px 3 0,44 0,56 0, Px 1 0,44 0,56 0,16 Px 4 0,44 0,56 0, Px 0,44 0,56 0,340 Px 5 0,44 0,56 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 76 yayılaamaz ve depolaamaz. 38

39 h r c G j B B 1 j1 j j 105,5 11, , ,5 3 1,7 h 5,5 1,6 34 6, 7 10,5 1,7 3, 68 4, 7 1, 6 0,110, 0 0,99 10,13 h 7,815 km1, 61,%5 3,%5 h 9,93 3,%5 7,8olduğuda H reddedlr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları HAFTA Bast Doğrusal Kovaryas ve Korelâsyo Aalz Pearso Korelasyo Katsayısı (R) Belrllk Katsayısı (R ) Korelâsyo Katsayısıı Alamlılık Test Spearma Sıra Korelasyo Katsayısı Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 78 yayılaamaz ve depolaamaz. 39

40 Bast Doğrusal Korelasyo Aalz İk aralık veya ora (metrk) ölçekl rassal değşke arasıdak brlkte değşm mktarıı yöüve büyüklüğü kovaryas statstğyle araştırılır. Kovaryas değer şaret lşk yöüü ve büyüklüğü se gücüü göstermektedr. Fakat kovaryas statstğ, lşky değşkeler ölçü brmde arıdırarak stadart olarak fade etmedğde, bu statstğ br alt ve üst sıırı bulumamaktadır. İk tesadüf değşke arasıdak lşk dereces stadart olarak hesaplamada Pearso korelasyo katsayısıda yararlaılmaktadır. İk rassal değşke arasıdak brlkte değşm oraıı büyüklüğü ve yöü Pearso korelasyo statstğyle araştırılır ver le gösterlr. Aralık veya ora ölçekl br bağımlı değşke le k veya daha çok sayıdak metrk ölçekl değşkeler arasıdak doğrusal lşk dereces, yöüü ve gücüü göstere katsayıya se çoklu korelasyo katsayısı adı verlmekte ve R le gösterlmektedr. Metrk ölçekl çok sayıda br grup değşke le çok sayıda dğer br grup değşke arasıdak doğrusal lşk derecese se kaok korelasyo katsayısı adı verlmekte ve C harf le gösterlmektedr. Korelasyo katsayısı, k rassal değşke arasıda ede souç lşks kurulmasıda yeterl br ölçü değldr. Korelasyo katsayısı 1 le +1 aralığıda br değer alır. İlşk dereces mutlak olarak 1 e yaklaşması doğrusal lşk dereces gücüü gösterr. Korelasyo katsayısıı şaret se, lşk yöüü gösterr. r=±1 ekstrem durumua, matematk (tam doğrusal) lşk; r<±1 durumua se, statstk lşk ve r=0durumuasetam doğrusalbağımsızlıkadı verlmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 79 Öreklem verlerde hesaplaa Pearso korelasyo katsayısııalamlı olup olmadığı t test le araştırılır. Alamlılık testler tek veya çft yölü olarak fade edleblmektedr. Spearma Sıra Korelasyo Katsayısı (r S ): Parametrk olmaya br lşk ölçüsüdür. Pearso korelasyo katsayısı k rassal değşke metrk ölçekl, ormal dağılıma uyması ve öreklem hacm yeter kadar büyük olması durumuda kullaılması uygudur. Dğer br fadeyle k rassal değşke sııflayıcı (omal) veya sıralayıcı (ordal ) ölçekl olması durumuda kullaımı uygu değldr. Değşkeler omal ölçekl se f, Crmer v ve kotejas katsayısı (c) gbk kare esaslı ölçüler uyku ke, rassal değşkeler sıralayıcı ölçekl olması durumda se, Spearma sıra korelasyo katsayısı kullaılmaktadır. Sıra korelasyo katsayısıı alamlılıktestt test yere, Spearma ıgelştrdğ parametrk olmaya test le yapılmaktadır. Pearso korelasyo katsayısı, kısm regresyo katsayılarıda yararlaarak da hesaplaablmektedr. Burada dkkat edlmes gereke okta, regresyo katsayıları poztfse r poztf; her k regresyo katsayısı egatf se egatf; regresyo katsayılarıda br poztf, dğer egatf se değşkeler arasıdak lşk sıfır olmaktadır. Belrllk Katsayısı (r ): Bağımlı değşke toplam varyasıı yüzde kaçıı bağımsız değşkeler tarafıda açıkladığıı göstere br ölçüdür. Belrllk katsayısı 0 le 1 aralığıda değerler alır. Bu kavram daha çok regresyo aalzyle lgl olduğu ç lerde ayrıtılı olarak açıklamaktadır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 80 yayılaamaz ve depolaamaz. 40

41 Kovaryas, PearsoKorelasyo ve Spearma Sıra Korelasyo Formüller X X Y Y X X Y Y 1 1 X, Y X, Y X X X X X X X Y Y X X Y Y X 1 1 X, Y X, Y N XY 1sXsY d s X, Y 1 s X, Y N N N N N X Y r r 0 r 0 sr th k sr r r d S Y S X 1 r T T d T T X Y s s r 1 / k k 3 3 STX STY 3 3 Segel, 1956 TX 1 ve TY 1 STX t t ve STY t t j1 j Prof. Dr. Al S. ALBAYRAK, RTEÜ SBE İşletme Aablm Dalı ISL5001 Araştırma Yötemler I Ders Materyal 81 Kavrama Soruları (1) Pearso korelasyo katsayısı hag amaçla kullaılmaktadır? () Korelasyo katsayısıı hag aralıkta değerler almaktadır? (3) İk rassal değşke arasıda hesaplaa korelasyo katsayısı (r) 0,90 se, bu oraı yorumlayıız? (4) Belrllk katsayısı ey fade eder? Bu katsayıı 1 e yakı çıkması ey gösterr? (5) Belrllk katsayısı hag aralıkta değerler alır? (6) s r ey gösterr, açıklayıız? (7) Örek korelasyo katsayısıı örekleme dağılımı hag kuramsal dağılıma uymaktadır? (8) Spearma sıra korelasyo katsayısı e zama kullaılır? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 8 yayılaamaz ve depolaamaz. 41

42 Örek: Öğrecler statstk ders ara sıavıda aldıkları otlarla döem sou sıavıda aldıkları otlar arasıda br lşk olduğu düşüülmektedr. Aşağıdak 10 öğrec ç elde edle verlerde yararlaarak %5 alamlılık bu lşk yöüü ve büyülüğüü belrleyz? İstatstk Ders Öğrec No Ara Sıav Notu (X) Döem Sou Sıavı Notu (Y) Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 83 Öğrec No X Y x X X y Y Y x y x y Toplam Ortalama , H : 0 ve H : x y 1 x y 1 1 r, / 8,%, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları r 0, *5150 s t r 1 1 0,835 r 0,835 0,195 ve th 4,8 10 sr 0,195 t, yayılaamaz ve depolaamaz. 4

43 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 85 Örek (Eşt Değer Yok): 5 ae gülük sgara tüketm le bebekler doğum ağırlıklarıyla lgl verler aşağıda verlmektedr. Ae tükettğ sgara mktarı le bebek doğum ağırlığı arasıdak lşk yöüü ve dereces Spearma sıra korelasyo katsayısıyla belrleyz? Ae Y X Fatma Ayşe Nuray Gülşe Gülay Y: Ae ortalama gülük sgara tüketm (adet/gü) X: Bebeğ doğum ağırlığı (kg),4 3,5 3,, 3, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 86 yayılaamaz ve depolaamaz. 43

44 Çözüm : Spearma Sıra korelasyo Katsayısı k 3 STX t t j 1 k 3 STY t t j 1 s X, Y 0. 0 Bu statstklerde yararlaarak T ve T aşağıdak gb hesaplamaktadır. T T r r X Y 3 STX STY X Y 1 d s X, Y X T T d Normal Formül T T 1010 X Y Kısayol Formülü Y Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 87 Örek (Eşt Değer Var): Bebek sahb 9 ae gülük tükettkler ortalama sgara sayıları le bebekler doğum ağırlıkları aşağıda verlmştr. Ae tükettğ sgara mktarı le bebe doğum ağırlığı arasıdaklşkyöüü ve dereces Spearma sıra korelasyo katsayısı lehesaplayıız? BSN Y Tüketle Sgara Aded/Gü X Bebeğ Doğum Ağırlığı (Kg) S(Y ) S(X ) d d , , ,8 6,5 6 0,5 0,5 5 0,4 8,5 5 3,5 1, ,9 8,5 1, ,9 6,5 1,5 5 5, ,5 0,5 0, ,5 0,5 0,5 Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 88 yayılaamaz ve depolaamaz. 44

45 Çözüm : Spearma Sıra korelasyo Katsayısı k ST t t 1. X j 1 k ST t t Y j 1 Bu statstklerde yararlaarak T ve T aşağıdak gb hesaplamaktadır. T T r t X Y s X, Y h 3 STX ST Y X Y 1 T T d ,68976 T T 5957 s rx, Y 0,68976, 5 s 1 r 1 0,68976 X, Y 9 X Y X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 89 Y Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 90 yayılaamaz ve depolaamaz. 45

46 HAFTA Doğrusal Regresyo Aalz Serplme Dyagramı Bast Doğrusal Regresyo Varyası Tahm Aralık Tahm Model Geel Alamlılık Test Regresyo Katsayılarıı Kısm Alamlılık Testler E Küçük Kareler Tekğ Varsayımları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 91 Doğrusal Regresyo Aalz Bast doğrusal regresyo, brbağımlı ve bağımsız değşke arasıdak ortalama lşk matematk br foksyola fade edlmes olarak taımlamaktadır. Çoklu doğrusal regresyo, brbağımlı ve k veya daha çok sayıdak bağımsız değşke arasıdak ortalama lşk matematk br foksyola fades olarak taımlamaktadır. Aakütle regresyo model: Y 0 1X1 X px p Aakütle regresyo dekleme hata term lave etme üç temel ede bulumaktadır: (1) Modele lave edlmes gereke değşkeler modele lave edlmemş olması olasılığı, () değşkeler hatalı ölçülmüş olması olasılığı ve (3) kotrol veya tahm edlemeye değşkeler le ölçülemeye dışsal rassal değşkeler etks buluması olasılığıdır. Öreklem regresyo model: Y b0 b1x1 bx bpx p e Öreklem regresyo tahm deklem Yˆ b0 b1x1 bx b p X p olduğuda, Y =Ŷ +e şeklde fade edleblr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 9 yayılaamaz ve depolaamaz. 46

47 Doğrusal Regresyo Deklem Kestrm Regresyo katsayılarıı kestrmde E Küçük Kareler (EKK), Maksmum Olablrlk (ML) ve Mmum Varyas (MV) tekkler kullaılmaktadır. Bularda e yaygı kullaılaı E Küçük Kareler tekğdr. Bu tekkle regresyo tahm deklem katsayıları, hata kareler ortalaması eküçük (mmum) olacak şeklde tahm edlmektedr. Y ˆ b0 bx 1 e e Y Y Y b0 bx 1 Mmum H Y b0 b1 X b0y b1x Y b0b1x Mmum. 1 H Y b0 b1 X b0y b1 X Y b0b1 X Mmum H H b0 Y b1 X 0 b0 Y b1 X 0 b0 1 1 b Y b0 b1 X H H b1 X XY b0 X 0 b1 X XY b0 X 0 b b XY b0 X b1 X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 93 Y b b X e b e Y Yˆ Y b b X Mmum. 1 1 yx X X x 1 1 X X Y Y x y X X Y Y x y b r b b 1 1 xy yx xy Y Y y 1 1 b Y b X b Y b X b X b X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 94 p p yayılaamaz ve depolaamaz. 47

48 Tahm Stadart Hatasıı(σ)veyaVaryası(σ ) Kestrm Regresyo aalzde regresyo katsayılarıı tahme ek olarak, aralık tahmlerde ve hpotez sıamalarıda gerekl ola σ kestrme gereksm duyulur. σ, ε hata termler ortak varyasıdır. ε hata term kestrm e hata term olduğuda e ler varyası da σ br kestrm olacaktır. Hataları kareler toplamı (HKT)aşağıdak gb hesaplamaktadır. HKT e ˆ Y Y 1 1 Y ˆ Y e HKT 1 1 ˆ HKO k k k ˆ Y Y e 1 1 HKT ˆ k k k Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 95 Bast Doğrusal Regresyou Matrslerle Gösterm 1 Y Xb e b X X XY Y1 1 X1 e1 Y 1 X e b Y X e b 0 b 1 1 Y 1 X 1 e 1 1 EKK Çözümüü Yorumu. Tahmler ve Hataları Hesaplaması. Kavrama Soruları e hata termler ortak varyası edr? Bast ve çoklu regresyo model serbestlk dereces asıl hesaplaır? Hata kestrm erelerde kullaılmaktadır? ˆ HKT ee ˆ k k Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 96 yayılaamaz ve depolaamaz. 48

49 Bast Doğrusal Regresyo Aalzde Aralık Tahm ve Alamlılık Testler Bast Doğrusal Regresyo Aalzde Aralık Kestrm 1 P b t s b t s 1 s ˆ 0 k, / b0 0 0 k, / b0 b0 P b t s b t s 1 s 1 k, / b1 1 1 k, / b1 b1 j k, / bj j j k, / bj bj Regresyo Katsayılarıı Kısm Alamlılık Testler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları ˆ P b t s b t s 1 s j 1,,..., p ˆ X X 1 j X X X X j X H : 0 H : 0 H : 0 H : 0 H : 0 H : 0 b b t t t 0 1 j b 0 b 1 b j sb s 0 b s 1 bj j j b Belrllk (R ) ve Düzeltlmş Belrllk Katsayısı Belrllk katsayısı (R ), regresyo aalzde bağımlı değşke toplam varyasıı yüzde kaçıı açıklayıcı değşke(ler) tarafıda açıkladığıı gösterr. Düzeltlmş belrllk katsayısı (Düzeltlmş R ), regresyo aalzde model serbestlk dereces de dkkate alarak hesaplaa belrllk katsayısıdır. Regresyo aalzde kullaıla değşke sayısı veya parametre sayısı (k) arttıkça belrllk katsayısı aşırı ymser souç verr. Bu amaçla ormal belrllk katsayısıda yararlaarak aşağıdak gb düzeltlmş belrllk katsayısı hesaplamaktadır. ˆ ˆ ˆ Y Y Y Y Y Y Burada Y Y'dır. y yˆ e î Y ˆ ˆ ˆ Y y Y Yî e AKT ESS R 1 1 GKT TSS Y Y y Y Y Y Y R 11 R k k 1 veya R 1 R R k 1 R R ve R 0 se R egatf olablr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 98 yayılaamaz ve depolaamaz. 49

50 Regresyo Katsayılarıı Geel Alamlılık Test: F Test Tablo 1: Varyas Aalz (ANOVA) Tablosu (F Test) Değşm Kayağı AKT =ESS (Regresyo) Kareler Toplamı 1 Y ˆ Y sd Kareler Ortalaması F h p değer (Alamlılık) k 1 / k 1 Yˆ Y 1 1 Y ˆ Yî / k k 1 1 Y ˆ Y HKT=RSS (Hata) 1 Y ˆ Y k 1 Y ˆ Yî k F h R k 1 R k 1 GKT =TSS (Toplam) Y Y Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 99 EKK Tekğ Varsayımları Regresyo katsayılarıı tahmde geelde Eküçük Kareler (EKK) tekğ kullaılmaktadır. EKK tekğ varsayımlarıı sağlaamaması durumuda yapıla tahmler yalı olmakta ve böylece lgl alamlılık testler geçerllğ ytrmektedr. Bu varsayımlarla lgl ayrıtılı tartışmalar Gujarat (1995: ) ve Orhublge (000:15 56) kayaklarıda buluablr. EKK le lgl varsayımlar aşağıdakgbözetleeblr: Mmum varyas (MV) ve maksmum olablrlk (ML) dğer kullaıla tekklerdr (Bkz: Klebaum, Kupper ve Muller, 1995:49 53 ve ). Hatalarıbekleedeğer (ortalaması)sıfırdır: E(e)=0. Hatalar brbrde bağımsızdır. Ya, brm değerler arasıda sıra korelasyou yoktur (absece of seral correlato): Cov(e, e j )=0. Hatalarıvaryası sabttr (farklı varyaslılığı olmaması): Var(e )=σ Hatalar (e ) le bağımlı değşke (Y) arasıda korelasyo yoktur (absece of smultaeous equato bas): Cov(e, Y ) =0. Hatalar ve bağımsızdeğşkeler brbrde bağımsızdır: Cov(e, X )=0. Bağımsızdeğşkeler arasıda alamlı lşk yoktur (absece of multcolearty): Cov(X, X j )= Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 100 yayılaamaz ve depolaamaz. 50

51 Doğrusal regresyo aalzde bağımsız değşkeler sabt (fxed, determstc) olmasıa rağme, bağımlı değşke tesadüfdr (radom). Değşkeler hatasızölçülmüştür (absece of measuremet errors). Bağımlı ve bağımsız değşkeler arasıdak lşk doğrusaldır. Fakat bu doğrusallık koşulu kuşkusuz model parametrelerç gerekldr (değşkeler doğrusalolmayablr). Brm değerler sayısı (), değşke sayısıda (p) büyük olmalıdır: >p. Bağımsız değşkeler (X )varyası sıfırda büyük olmalıdır. Değşke tüm brm değerler (brmler) brbre eştse, olacağıda, regresyo doğrusuu eğm taımsız olmaktadır. Model doğru taımlamış olmalıdır. İlşkye uygu foksyou ve dahl edlmes gereke tüm değşkeler dkkate alıması gerekmektedr. Yukarıdak varsayımlarda brs sağlaamaması durumuda EKK tahmcler yalı (based), tutarsız (cosstet) veya etksz (effcet) olmaktadır. Söz kousu tahmcler aşağıdak lk üç koşulu sağlaması durumuda e y doğrusal tahmcler (BLUE = Best Lear Ubased Estmators) olarak kabul edlmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 101 Yasız (Sapmasız) Tahm: Tahm edle statstğ beklee değer blmeye aakütle parametrese eştse, bua yasız (ubased) tahm adı verlmektedr. Etkl Tahm: Dğer tekklerle elde edle souçlarla kıyasladığıda mmum varyasa sahp tahme etkl tahm adı verlr. Doğrusal Tahm: Tahm, örek termler doğrusal br foksyou se bu tahme doğrusal tahm adı verlr. Tutarlı Tahm: Tahm, örek büyüklüğü artarkegerçekdeğere yaklaşıyorsa tutarlıdır der. Yeterl Tahm: Tahm ser tüm brm değerlere dayaarak hesaplaıyorsa bu tür tahmlere yeterl tahmler adı verlmektedr. Güvelr Tahm: Yapıla tahmler belrl br olasılık düzeye göre doğruluk özellğe sahpse, bu tür tahmlere güvelr tahmler adı verlmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 10 yayılaamaz ve depolaamaz. 51

52 Kavrama Soruları (1) Br regresyo deklemde e zama belrllk katsayısı, düzeltlmş belrllk katsayısıa eşt olur? () Br regresyo deklemde GKT=10 ve AKT=8 se, model hata kareler toplamıı hesaplaablr m? Yaıtıız evet se hesaplayıız? (3) Br regresyo deklemde =10, k=, GKT=10 ve AKT=8 se, model belrllk ve düzeltlmş belrllk katsayısıı hesaplayıız? (4) Kısm regresyo katsayılarııasılyorumladığıı örekler vererek açıklayıız? (5) Belrllk katsayısı 1 e eşt olduğuda, belrllk katsayısı le düzeltlmş belrllk katsayısı brbre eşttr. Buu kaıtlayıız? (6) Regresyo katsayılarıı alamlılık testler asıl yapılır, hpotezler asıl fade edleceğ belrterek açıklayıız? (7) Regresyo model geel alamlılığı hag testle yapılır (hpotezler asıl fade edldğ gösterz)? (8) Regresyo aalzde kısm veya geel alamlılık testler alamlı buluması pratk olarak ey fade eder, açıklayıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 103 Örek: Aşağıdak 10 öğrec statstk ders ara ve döem sou sıavlarıda aldıkları otlar verlmştr. Bu verlerde yararlaarak steeler hesaplayıp yorumlayıız? No X Y X Y X x y x y Yˆ e ,5 37,50 43,75 43,75 56,5 75,00 81,5 68,75 43,75 18,75 189,06 156,5 14,06 14,06 14,06 5,00 1,56 451,56 564,06 16,56 351,56 156,5 39,06 39,06 39,06 65,00 976,56 351,56 39,06 976,56 Toplam ,5 3593,75 a) Bast doğrusal regresyo model parametreler tahm edz. b) Regresyo katsayılarıı stadart hatalarıı hesaplayıız. c) Belrllk, düzeltlmş belrllk ve korelasyo katsayılarıı hesaplayarak yorumlayıız. d) Regresyo katsayılarıı kısmı t-test le %5 alamlılık düzeyde test edz. e) Model geel alamlılığıı %5 alamlılık düzeyde test edz. f) SPSS statstk programıyla elde edle souçları brbryle karşılaştırıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 104 yˆ yayılaamaz ve depolaamaz. 5

53 ( a ) XY b0 X b1 X b0 550b b b Y b b X b 450b Yˆ -6,51,5X xy , x 1 b Y b X b 50 1,5* 45 6, ,5 ve b 1,5 buluur Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 105 (b c) HKT 1556,5 ˆ 13,947 N k 10 s s b0 b1 R R 1 X 1 45 ˆ 13,947 13, X X ˆ 13,947 0, X X yˆ 3593,75 0, y k 10 1 (1 R ) 1 (10,698) 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 106 yayılaamaz ve depolaamaz. 53

54 (d e) t b0 t b1 b s 0 b0 b s 1 b1 6,50 13,810 1,50 0,91 j /, k bj j j /, k bj 0 4,98 0,453 P b t s b t s 1 ( 0,1, ) P P 6,50,306*13,810 6,50,306*13,810 10,05 38,097 5,597 % P 1,50,306*0,91 1,50,306*0,91 10,05 P 0,579 1,91 %95 1 yˆ / k 1 1 e / k 1 1 ESS / k ,75 / ,75 F 18,474 RSE /(-k) 1556,5 /10 194, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 107 (f) SPSS İle Elde Edle Souçlar R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estmate 0,835 0,698 0,660 13,947 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sg. Regresso 3593, ,75 18,47 0,003 Resdual 1556, ,53 Total 5150,00 9 Coeffcets Ustadardzed Coeffcets B Std. Error t Sg. B ç %95 Güve Aralığı (Costat) 6,5 13,81 0,453 0,663 38,097 5,597 X 1,5 0,91 4,98 0,003 0,579 1, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 108 yayılaamaz ve depolaamaz. 54

55 HAFTALAR Edeksler ve Zama Sers Çözümlemes Temel Kavramlar Sabt Esaslı ve Değşke Esaslı Edeksler Bast ve Bleşk Edeksler Bast Toplam Bleşk Edeks Bleşk Edeksler Tartısız Artmetk Ortalaması Laspeyres, Paasche ve Fsher Edeksler Zama Sers Taımı ve Temel Kavramlar Zama Serler Oluşturulması Zama Sers Etkleye Temel ve Yaıltıcı Faktörler Zama Sers Çözümleme Nedeler Hareketl Ortalamalar Yötem Bleşelere Ayırma Yötem Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 109 ENDEKSLER Edeks: Br statstk olaya lşk brm değerler zama veya mekaa göre gösterdkler orasal (sp) değşmler ölçüsüdür. Edeks geel olarak aşağıdak formülle hesaplamaktadır: X E 100 X 0 Edeksler k grup altıda celeeblrler: Zama ve meka edeksler le bast ve bleşk edeksler. (A) Zama ve Meka Edeksler Meka edeksler le verle br meka sers brm değerler ser artmetk ortalamasıa göre orasal değşmler araştırılır. X ME 100 X Zama edeks; ser brm değerler zamaa göre gösterdğ orasal değşmler olarak taımlamaktadır. Zama sers edeksler; sabt esaslı edeksler, değşke esaslı edeksler olarak k farklı şeklde hesaplaablmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 110 yayılaamaz ve depolaamaz. 55

56 (1) Sabt Esaslı Edeksler Sabt esaslı edeksler, ser brm değerlerde brs temel devre değer alııp, dğer brm (devre) değerler, seçle temel devre brm br yüzdes olarak hesaplamaktadır. Sadece zama serler ç hesaplamaktadır. E s X X t () Değşke Esaslı Edeksler Değşke esaslı edeksler, ser brm değerler br öcek devre değere (t 1) oralaarak hesaplamaktadır. Sadece zama serler ç hesaplamaktadır. E d X t X t Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 111 (B) Bast ve Bleşk Edeksler Tek br madde ç hesaplaa edekse bast edeks, k veya daha çok sayıda madde ç hesaplaa edekslere bleşk edeks adı verlmektedr. Fyat sers ç hesaplaa edekse bast veya bleşk fyat edeks, mktar değşke ç hesaplaa edekse se bast veya bleşk mktar edeks adı verlmektedr. Bast fyat ve mktar edeksler aşağıdak gb hesaplamaktadır. (1) Bast Fyat ve Mktar Edeksler BE f p q 100 BE 100 P m 0 q Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 11 yayılaamaz ve depolaamaz. 56

57 () Bleşk Edeksler (a) Bast Toplam Bleşk Edeks: Bu edeks; mevcut devredek maddeler fyatları toplamı, temel devredek fyatlar toplamıa oralaıp 100 le çarpılarak hesaplamaktadır. BE b p P (b) Bleşk Edeksler Artmetk Ortalaması Bu edekste car devre fyatlar, temel devre fyatlarıa bölüüp tartısız artmetk ortalaması alıarak hesaplaır. BE t p P Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 113 (c) Bleşk Edeksler Tartılı Artmetk Ortalaması Bleşk br fyat edeks hesaplaırke, maddeler arasıda öem dereces yöüde farklılıklar varsa, bu farkı edeks hesaplamasıda dkkate alıması gerekr. Bu farkı dkkate alarak hesaplaa edekslere, bleşk edeksler tartılı ortalaması adı verlmektedr. Bu edeksler geel olarak aşağıdak gb hesaplamaktadır. BE t p t p0 t 100 Uygulamada kullaıla tartılar edeks türüe göre değşr. Geel olarak tartılar, lgl maddeler üretle veya tüketle mktarlarıyla, temel devre fyatlarıı çarpılmasıyla elde edlr. Fakat tartılar temel devre mktarları veya car döem mktarları alıarak k şeklde oluşturulablr. Dğer br alatımla aşağıdak eştlkte q yere q 0 ve q t değerlerde brs yazılablr Yere veya t p0 qt p0 q0 t p0 q Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 114 yayılaamaz ve depolaamaz. 57

58 Laspeyres Edeks (Temel Devre Mktarlarıa Göre Tartıı Hesaplaması) LE pq pq Paasche Edeks (Car Devre Mktarlarıa Göre Tartıı Hesaplaması) PE pq pq Fsher Edeks (Laspeyres ve Paasche Edeksler Geometrk Ortalaması) pq pq pq pq 0 FE LE PE Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 115 Laspeyres ve Paasche edeksler farklı tartıları kulladıkları ç doğal olarak farklı souçlar vermektedr. Her k edeks zayıf yöler bulumaktadır.bu edeksler,temelvecardevre mktarlarıı brbreeşt olması durumuda ayı soucu vermektedr. Matematk alamda bu k edeks değer gerçek fyat artışlarıı olduğuda düşük veya yüksek göstereblr. Fakat Laspeyres edeks hayat pahalılığıı (eflasyou) olduğuda daha yüksek, Paasche edeks se olduğuda daha düşük gösterme eğlmdedr. Çükü ktsat kuramı, malları fyatları arttığıda talepler azalacağıı söylemektedr. Bu edele Laspeyres edeks hesaplamasıda fyatlar artmada öce taleb (q 0 tartısıı) ayı kalacağı varsayılmaktadır. Dğer tarafta Paasche edeks hesaplamasıda fyatlar artmada öce taleb arttığı ve fyatlar düşük olduğubröcekyılda taleb değşmedğvarsayılmaktadır. Fsher edeks se, fyat değşmler daha gerçekç olarak hesaplayablmek ç LI ve PI değerler geometrk ortalamasıı (euygumerkezeğlm ölçüsü olduğuda) alıarak hesaplamaktadır. Bldğ gb, edeksler temel kabul edle br devreye göre hesaplamaktadır. Fakat bu temel devre gelşgüzel seçlmemeldr. Temel devre, ekoomk özellkler yöüde fazla hareketl olmaya ortalama (ormal) br devre olmalıdır. Aks halde hesaplaa edeksler gerçekler uygu br şeklde yasıtması bekleemez Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 116 yayılaamaz ve depolaamaz. 58

59 Nomal Fyatları Reel Fyatlara Döüştürülmes le Eflasyo, Nomal ve Reel Büyüme Oraları Bldğ gb omal gelr mevcut fyatlarla fade edlrke, reel (gerçek) gelr sabt temel yıl fyatları le fade edlmektedr. Nomal fyatlar ve fyat edeksler (TÜFE veya ÜFE) verldğde, omal gelr temel yıl fyatlarıa (reel gelre) döüştürmek mümküdür. Nomal fyatları sabt fyatlara döüştürmede fyat edeksler yere, gayr saf mll hasıla (GSMH) deflatörüü kullaılması daha uygudur. Fakat aşağıda farklı temel yıllara göre (1987=100 ve 004=100) hesaplaatüfe edeksler kullaılarak 010 reel GSMH hesaplaışı gösterlmektedr. RGSMH RGSMH Yılı Nomal GSMH * Yılı TÜFE (1987=100) 010 Yılı Nomal GSMH * Yılı TÜFE (004=100) Fyatlar düzeydek artış (eflasyo), omal ve reel büyüme oraları se aşağıdak gb hesaplaır: dp Pt Pt 1 Eflasyo Oraı P Pt 1 dy Yt Yt 1 Nomal GSMH Büyüme Oraı= Y Yt 1 dy yt yt 1 Yt Yt 1 Pt Pt 1 Reel GSMH Büyüme Oraı= y y Y P t1 t1 t Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 117 Dğer Edeksler (1) İşletme Faalyet Edeks (Busess Actvty Idex)=İFİ () Hsse Seed Fyatı Edeksler (Stock Prce Idexes)=HSFİ (3) Hedostk Fyat Edeks (Hedostc Prce=Qualty Adjusted Prce Equato)=HFE (1) İşletme Faalyet Edeks (İFE): Sözgelm br otomobl şletmes geel faalyet düzey yasıtablecek br edeks aşağıdak gb hesaplaablr. Edeks hesaplamasıda şletme satışları (mlyo TL), sthdam edeks (008=100), üretle araç sayısı (b adet) ve hracat edle otomobl sayısı (b adet) kullaılmaktadır. Bu kalemler ç kullaıla ağırlıklar sırasıyla %40, %30, %10 ve %0 olarak seçlmştr. Otomobl İhracat İFE 0, 40*100 Satışlar / 000 0,30*100 İsthdam /100 0,10*100 / 60 0,0*100 / Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 118 yayılaamaz ve depolaamaz. 59

60 SPSS İle İşletme Faalyet Edeks Hesaplaması TITLE "İşletme Faalyet Edeks=İFE". DATA LIST FREE/YılSatışlar İsthdam Üretm İhracat. COMPUTE Satışlar_ =0.4*100*(Satışlar/000). COMPUTE İsthdam_=0.3*100*(İsthdam/100). COMPUTE Üretm_=0.1*100*(Üretm/60). COMPUTE İhracat_=0.*100*(İhracat/750). COMPUTE Edeks_=Satışlar_ + İsthdam_ + Üretm_ + İhracat_. VARIABLE LABES Satışlar "Otomobl şletmes satışları (mlyo TL)" /İsthdam "İsthdam Edeks, 008=100" /Üretm "Üretm Mktarı, 1000 adet)" /İhracat "İhracat, Mlyo TL" /Edeks_ "İşletme Faalyet Edeks". BEGIN DATA END DATA. SUBTITLE "(1) Yazdırma Prosedürü". PRINT /YılSatışlar İsthdam Üretm İhracat Edeks_. SUBTITLE "() Lsteleme Prosedürü". LIST VARIABLES=YılSatışlar_ İsthdam_ Üretm_ İhracat_ Edeks_. SUBTITLE "(3)ZamaYoluGrafğ". TSPLOT Satışlar_ İsthdam_ Üretm_ İhracat_ Edeks_ /ID=Yıl. SUBTITLE "(4) Grafk Sürec". GRAPH /LINE (MULTIPLE)=VALUE (Satışlar_ İsthdam_ Üretm_ İhracat_ Edeks_) BY Yıl /TITLE="İsletme Faalyet Edeks" Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 119 SPSS Souçları Yıl Satışlar İsthdam Üretm İhracat Satışlar_ İsthdam_ Üretm_ İhracat_ Edeks_ ,00 10,00 0,00 100, ,00 5,00 14,93 8, ,50 1,50 5,33 15, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 10 yayılaamaz ve depolaamaz. 60

61 () Hsse Seed Fyatı Edeksler İMKB Edeks, Dow Joes Fyat Edeks, Stadard ad Poor s Fyat Edeks, New York Stock Exchage Fyat Edeks, Wlshre 5000 Hsse Seed Fyat Edeks gb çok sayıda hsse seed pyasa Edeksler vardır. Sözgelm S&P 500 Hsse Seed Fyatı Edeks; 400saay,40hzmetler,0ulaştırma ve 40 fasal hsse seede Laspeyres fyat edeks uygulaarak hesaplamaktadır. Bu edeks, döem ortalamasıı temel devre olarak kullamaktadır. Ayrıca edeks 10 le çarpılmaktadır. Aşağıda S&P Edeks yötem ç br örek verlmektedr. 15 Ocak 010 tarhde her br B hsse seed ç ; 14 Ocak 010 tarhde se her br C hsse seed ç 3 hsse seed pyasaya hraç edldğe dkkat edz Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 11 S&P Hsse Seed Fyatı Edeks Öreğ: TITLE "Hsse Seed Fyatı Edeks". DATA LIST FREE / Tarh (A10) P1 P P3 Q1 Q Q3. VARIABLE LABES P1 "A hsse seed fyatı" /P "B hsse seed fyatı" /P3 "C hsse seed fyatı" /Q1 "hraç edle A hsse seed sayısı" /Q "hraç edle B hsse seed sayısı" /Q3 "hraç edle C hsse seed sayısı". COMPUTE Temel=100* * *40. COMPUTE Edeks1 = 10*(P1*Q1 + P*Q + P3*Q3)/Temel. BEGIN DATA. 11Ocak Ocak Ocak Ocak Ocak Ocak END DATA. LIST Tarh P1PP3Q1QQ3Edeks Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 1 yayılaamaz ve depolaamaz. 61

62 Tarh P1 P P3 Q1 Q Q3 İdeks1 11Ocak ,00 10,00 130,00 50,00 60,00 40,00 10,00 1Ocak ,00 1,00 13,00 50,00 60,00 40,00 10,40 13Ocak ,00 14,00 14,00 50,00 60,00 40,00 10,3 14Ocak010 11,00 15,00 4,00 50,00 60,00 10,00 10,43 15Ocak ,00 6,00 45,00 50,00 10,00 10,00 10,68 16Ocak ,00 63,00 45,00 50,00 10,00 10,00 10,84 Number of cases read: 6 Number of cases lsted: Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 13 Örek : Dow Joes Hsse Seed Fyatı Ögörüsü Br fas öğrecs Dow Joes hsse seed fyat edeks br ARIMA model yardımıyla ögörmek ve lg döem aralığıdak ortalama getry tahm etmek stemektedr. Belrl br döem aralığıdak ortalama getr aşağıdak gb hesaplaablr. G t F F K F F t t1 t t1 t1 Formüllerde G t, t zama oktasıdak getry; F t, t zama oktasıdak fyatı ve K t, t zama oktasıdak karı göstermektedr. Fakat K t /F t 1 değer blemeyeceğde, aşağıdak formül kullaılablr:k t =F t K t /F t. G F F K t t1 t t Ft 1 SPSS te aşağıdak ver dosyasıı çalıştırarak ögörü değerler elde edelm Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 14 yayılaamaz ve depolaamaz. 6

63 Örek : Dow Joes Hsse Seed Fyatı Ögörüsü SPSS Setaksı TITLE "Dow Joes Hsse Seed Getr Ögörüsü". *Yıllık Verler: (Ortalama Gülük Kapaış Fyatları). DATA LIST FREE / Yıl DJ Gelr. VARIABLE LABES Gelr "Dağıtıla Gelr Oraı, %" /DJ "Dow Joes Hsse Seed Fyat Edeks". COMPUTE LagDJ =LAG(DJ). COMPUTE Kar=DJ*(Gelr/100). COMPUTE Getr =(DJ LagDJ+Kar) / LagDJ. VARIABLE LABES Getr "Döemsel Getr". BEGIN DATA ,55, ,76 3, ,81 3, ,05 3, ,88 3, ,60 3, ,1 3, ,00 3, ,7 3, ,19 3, ,76 3, ,71, ,88 3, ,37 4, ,49 4, ,9 3, ,63 4, ,3 5, ,40 5, ,41 5, ,9 5, ,36 5, ,34 4, ,48 4, ,3 4, ,76 3, ,99 3, ,8 3, ,91 3, ,94 3, ,33 3, ,9, ,06, ,77,8 END DATA. SUBTITLE "(1) Dow Joes ARIMA Model". ACF DJ. PACF DJ. TSET NEWVAR=CURRENT. DATE YEAR USE YEAR 1975 THRU YEAR 008. PREDICT YEAR 009 THRU YEAR 015. ARIMA DJ /MODEL = (1,1,1). LIST DATE_ DJ Ft#1, Err#1, LCL#1, UCL#1. SUBTITLE "() Dow Joes=DJ ARIMA Model". ACF Getr. PACF Getr. TSET NEWVAR=CURRENT. DATE YEAR USE YEAR 1975 THRU YEAR 008. PREDICT YEAR 009 THRU YEAR 015. ARIMA Getr /MODEL = (1,0,1). LIST DATE_ Getr Ft#1, Err#1, LCL#1, UCL#1. LIST VARIABLES = DJ Getr. DESCRIPTIVE VARIABLES = DJ Getr /STATISTICS=ALL Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 15 Kalte Ayarlı Fyat Eştlğ=Hedostk Fyat (Qualty Adjusted Prce Equato=Hedostc Prce) Br ürüü fyat değşm le brlkte ürü kaltes de değşyorsa, ürüü gerçek fyat edeks hesaplamak güçleşr. Gerçek fyat değşmler, ürüler kaltes sabt kalması koşuluyla, sadece fyatlardak gerçek değşm ölçmeldr. Fakat kalte asıl sabt tutulablr veya fyat değşmlerde kalte değşmler asılayırt edleblr? Eşleştrme model olarak adladırıla geleeksel yötemde, k zama aralığıda k ürü ayı veya bezer özellklere sahpse, ürü fyat edeks hesaplamasıa dahl edlmekte; aks halde ürüler özellkler farklıysa ve bu edele brbryle karşılaştırılamıyorsa, fyat edeks kapsamı dışıda tutulmaktadır. Fyat edekslerde Paasche edeks hesaplaırke, car döem fyatları le temel devre fyatları aşağıdak gb karşılaştırılmaktadır: PE pq pq 0 Zcrleme fyat edeksde se aşağıdak gb hesaplamaktadır: PE p pq q Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 16 yayılaamaz ve depolaamaz. 63

64 Dğer br alteratf yötem hedostk fyat edeksdr. Bu yöteme göre, br ürüü geel kaltes her br bleşe (özellğ, kaltes) toplamı olarak fade edleblr. Öreğ br otomobl kaltes şu özellkler br toplamı olarak fade edleblr: Motor gücü, sldr sayısı,kapı sayısı, güvelk özellkler (emyet kemer, hava yastığı vs.), emsyo kotrolü, hdrolkl dreksyo, gaz gösterges, klma, elektrkl camlar, hız kotrolü, ç ala hacm, bagaj büyüklüğü, ayarlaablr koltuklar, CD çalar, radyo, araç televzyou, garat süres, model, frması, hammaddeler (çelk veya plastk pael vs.), jatları boyutu gb Sözgelm çevresel bleşeler harç br blgsayarı kaltes se şu özellklere göre taımlaablr: RAM bellek kapastes, RAM bellek hızı, hard dsk bellek boyutu, hard dsk sayısı, harddskhızı, şlemc hızı, şlemc sayısı, şlemc tp, matematk şlemc, garat süres, klavye, aa kart model, ses ve görütü kartları vs Dğer tarafta br televzyou kaltes se; ekra boyutu, programlama özellkler, ekra çözüürlülük özellkler, uzakta kumada özellkler, ses kaltes vs. özellklere göre taımlaablr. Br ürüü gücel fyatı, tel özellkler (kaltey taımlaya özellkler) üzere regresyo aalz uyguladığıda elde edle eştlğe, hedostk fyat eştlğ (kalte ayarlı fyat deklem) adı verlmektedr. Kest verler (tek br yıl) ç yarı logartmk hedostk fyat eştlğçaşağıdak gb yazılablr: k k L F X X X Burada LF, ürüfyatıı logartmasıı, X, kalte değşkeler ve ε, hata term göstermektedr. Değşkeler artmetk, yarı veya tam logartmk olarak ölçüleblmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 17 Zama sers verlerde geellkle hedostk fyat eştlğ yıl faktörüü taımlaya kukla değşkelere modelde yer verlmektedr L F D D D X X X m m k k Burada D, yıl kukla(gölge)değşkeler göstermektedr. Öreğ; 010 yılı ç D 1 =1 ve dğer tüm yıllar ç D 1 =0; 011 yılı ç D =1 ve dğer tüm yıllar ç D =0 değerler almaktadır. Temel devre yılı se tüm kukla değşkeler üzerde sıfır değer almaktadır. 010 ve 011 yılları arasıdak eflasyo se aşağıdak gb hesaplaablr: L F L F temel devre yılı se, 011 yılı eflasyou aşağıdak gb hesaplaır: L F L F Gerçek fyat değşmler hesaplayablmek ç, yıllara göre ürü kalte özellkler (X ) sabt kaldığı varsayılmaktadır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 18 yayılaamaz ve depolaamaz. 64

65 Kavrama Soruları Edeks kavramıı açıklayıız? Meka edeksler asıl hesaplamaktadır? Zama sers edeksler açıklayıız? Laspeyres (LI), Paasche (PI) le Fsher (FI) edeksler brbryle karşılaştırıız? Temel devre seçlrke elere dkkat edlr? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 19 Örek 1: Dört ayrı bölge 006 yılı prç üretm mktarları aşağıda verlmştr (B To) Bölge Üretm Mktarı (B To) Meka Edeksler A B C D (0/30,5)*100=65,57 (35/30,5)*100=114,75 (40/30,5)*100=131,15 (7/30,5)*100=88,53 Toplam 1 Ortalama=1/4=30,5 Yorum: 006 yılı prç üretm A, B, C ve D bölgelerde ortalama prç üretme göre, A bölgesde %34,43 (65,57 100) ve D bölgesde %11,47 (88,53 100) oraıda dahaaz; B bölgesde %14,75 (114,75 100) ve C bölgesde %31,15 (131,15 100) oraıda daha yüksek gerçekleşmştr. Hesaplaa meka edeksler artmetk ortalaması her zama 100 e eşttr. Ya; (65,57+114,75+131,15+88,53)/4= Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 130 yayılaamaz ve depolaamaz. 65

66 Örek : B malıa lşk dört yıllık satış fyatları aşağıdak gbdr. Bu verlerde yararlaarak 004 yılıı temel yıl alarak sabt esaslı edeksler hesapladıkta sora, değşke esaslı edeksler hesaplayıız. Yıllar(t) B Malıı Fyatı (P t ) Sabt edeksler (I t =P t /P 0 )*100 Değşke edeksler(i t =P t /P t 1 )* (40/40)*100= (35/40)*100=87,5 (35/40)*100=87, (50/40)*100=15,0 (50/35)*100=14, (73/40)*100=18,5 (73/50)*100=146,0 Sabt Esaslı Edeksler Yorumu: Bmalıı fyatı 004 yıllıa göre, 005 yıllıda %1,5 oraıda br düşüş; 006 ve 007 yıllarıda se sırasıyla %5 ve %8,5 oralarıda br artış göstermştr. Değşke (Zcrleme) Esaslı Edeksler Yorumu: 005 yılıda B malıı fyatı br öcek yıla göre %1,5 oraıda br azalış, 006 ve 007 yıllarıda se br öcek yıllara göre sırasıyla %4,9 ve %46 oralarıda br artış göstermştr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 131 Örek 3: Aşağıda Rze ldek dört madde 006 ve 007 yılları Ocak ayı kg fyatları verlmştr. 007 yılıa at bast toplam bleşk edeks hesaplayıız. Fyatlar Maddeler 006 (p 0 ) 007 (p ) Tereyağı 10,00 1,00 Süt 1,5 1,50 Et 14,50 16,00 Zeyt 11,00 1,5 Toplam 36,75 41,75 BE 4 p 41, ,6 36,75 p b Ocak ayıda 006 Ocak ayıa göre verle 4 madde fyatı, ortalama olarak %13,6 oraıda artmıştır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 13 yayılaamaz ve depolaamaz. 66

67 Örek 4: Aşağıda Rze ldek dört madde 006 ve 007 yılları Ocak ayı kg fyatları verlmştr. 006 yılıa at tartısız ortalama bleşk edeks hesaplayıız. Maddeler Tereyağı Süt Et Zeyt Fyatlar 006 (p 0 ) 007 (p 1 ) p 1 /p 0 10,00 1,5 14,50 11,00 1,00 1,50 16,00 1,5 (1,00/10,00)=1,0 (1,50/1,5)=1,0 (16,00/14,50)=1,10 (1,00/10,00)=1,11 Toplam 36,75 41,75 4,61 BE t 4 p 1 1 p0 4, , Ocak ayıda 006 Ocak ayıa göre verle 4 madde fyatı, ortalama olarak %15,3 oraıda artmıştır Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 133 Örek 5: Aşağıda dört meyve belrl bl bölgedek 006 ve 007 yılı Ocak ayı kg fyatları ve tüketm mktarları to olarak verlmştr. 006 yılıı temel devre kabul ederek, 007 yılı ç Laspeyres, Paasche ve Fsher edeksler hesaplayıpyorumlayıız? Maddeler Madala Portakal Nar Greyfurt Fyat (TL)=p 0 Mktar (To)=q 0 Fyat (TL)=p 1 Mktar (To)=q 1 1,75 15, , ,5 15 3, , , ,75 10 Toplam 7, , Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 134 yayılaamaz ve depolaamaz. 67

68 Çözüm 5: Laspeyres Paasche Maddeler Fyat (p 0 ) Mktar (q 0 ) Fyat (P 1 ) Mktar (q 1 ) p 1 q 0 p 0 q 0 p 1 q 1 p 0 q 1 Madala Portakal Nar Greyfurt 1,75 1,50 3,00 1, ,00 1,5 3,50 1, ,00 150,00 367,50 01,5 18,75 180,00 315,00 17,50 60,00 156,5 357,00 10,00 7,50 187,50 306,00 180,00 Toplam 7, , ,75 886,5 983,5 901,00 LE PE FE pq 1 0 pq 0 0 pq 1 1 pq 0 1 pq 968, ,31 886,5 983, ,13 901,00 pq pq pq ,5 983, , 886,5 901,00 FE LE PE 109,31109,13 109, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 135 ZAMAN SERİSİ ANALİZİ Zama Sers: Saye, dakka, saat, gü, hafta, ay, mevsm, yıl gbeşt zama aralıklarıda toplaa verlere zama sers adı verlmektedr. Zama Hafta İş Güü Stok Düzey t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6... t 60 Zama Serler Oluşturulması Pzt Sal Çrş Prş Cum Pzt... Cum Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları Zama serler k şeklde oluşturulur: Eşt zama aralıklarıda aldığı değerler toplamı veya ortalaması alıarak oluşturulur. Belrlee eşt zama aralıklarıda tek br ölçüm yapılarak oluşturulur. Zama serler grafkle gösterm (zama yolu grafğ). yayılaamaz ve depolaamaz. 68

69 Zama Serler Etkleye Temel ve Yaıltıcı Faktörler Zama serler etkleye faktörler temel ve yaıltıcı faktörler olarak k grup altıda celeeblr. Ekoomk, sosyal, kültürel, tekolojk vb. faktörler, zama sers değşkeler üzerde etks, yö ve şddet farklı olması edeyle, zama sers brm değerlerde bazı değşmeler gözler. Bu değşmeler zama serler etkleye temel faktörler ya da bleşeler olarak blr. Bu faktörler şulardır: Tred, mevsmlk, kojoktür ve rassal (tesadüf) hareketlerdr. Bu faktörler dışıda zama serler etkleye dğer bazı yaıltıcı faktörler de söz kousudur. Bu faktörler şulardır: (1) Aylık zama sersde ayları güsayılarıı farklı olması, () bayram ve hafta sou tatller edeyle lgl ayı veya haftaı şgüü sayılarıı farklı olması, (3) para brmyle ölçülmüş zama sers brm değerler, eflasyo edeyle, fyat değşklkler etks altıda buluması. Fyatları zama çde değşmes, bu tür serlerde tred varmış gb br zlem yarata başka br yaıltıcı faktördür. Zama serler çözümlemede öce bu tür yaıltıcı faktörlerde arıdırılması gerekr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 137 (1) Zama Sers Etkleye Temel Faktörler: Tred (T) Tred; zama sers brm değerleruzudöemde(eaz7veya8yıl) artma veya azalma yöüde gösterdğeğlme tred adı verlmektedr. Br zama sersde doğrusal veya eğrsel uzu döem eğlm (tred) gözlemleebleceğ gb, tred eğlm de gözlemlemeyeblr. Ayrıca tred sabt, doğrusal olarak arta/azala, eğrsel olarak sabt oradaarta/azalaveyasöük breğlm göstereblr. Tred bleşe, zamaa bağlı değşke üzerdek geel eğlme ede ola uzu döeml etkler açıklar. Bu etkler coğraf dağılımdak, demografk özellklerdek, tekolojk gelşmelerdek, kş başıa gelrdek, tüketc zevk ve terchlerdek ve fyat hareketlerdek vs. etkler olarak sıralaablr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 138 yayılaamaz ve depolaamaz. 69

70 () Zama Sers Etkleye Temel Faktörler: Mevsmlk (M) Her yılı çde gözlee düzel hareketler mevsmlk hareketler olarak taımlamaktadır. Mevsmlkbleşe yıllıkzama sersdegörülmez. Mevsmlk hareketler geellkle saatle, mevsmle, klmle ya da geleeklerle (ulusal gü ve geceler, bayramlar ve tatller) lşkldr. Öreğ yaz aylarıda turzm gelrler, turst sayılarıı, dodurma satışlarıı artması vs. İstabul Boğazç köprüsüde her saat çde geçe toplam araç sayısıı sabah ve akşam saatlerde yüksek, öğle saatlerde az olması mevsmlk etklere örek olarak verleblr. Brbr zleye k mevsmlk değşme maksmum veya mmum oktaları arasıdak zama aralığıa dalga uzuluğu (L) adı verlmektedr. Dalga uzuluğu aylık serlerde 1 (L=1), mevsmlk br serde se 4 tür (L=4). Mevsmlk hareketler, dalga uzuluklarıı brbre eşt olması edeyle peryodk özellğe sahptrler. Herhag br mevsmlk değşme maksmum ve mmum oktaları arasıdak yükseklk farkıa dalga şddet adı verlmektedr. Mevsmlk hareketler dalga uzuluğuu ve dalga şddet doğru olarak belrlemes zama sers aalzde öemldr. Mevsmlk hareketler dalga şddetler tred belrledğ geel eğlmde bağımsızsa toplamsal, bağımlıysa çarpımsal zama sers model söz kousudur Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 139 (3) Zama Sers Etkleye Temel Faktörler: Kojoktür (K) Kojoktür; le 10 yıl yadadahafazlayıl zama aralığıda tred etrafıda gözlee artma veya azalma şeklde ortaya çıka hareketler olarak taımlamaktadır. Öreğ ülkemzde 1994 ve 001 yıllarıda yaşaa ekoomk krzler kojoktür hareketlere örek olarak verleblr. Söz kousu yıllarda ülkemzde çok sayıda şletme kapamış ve bu edele çok sayıda kş şde olmuş veya daha düşük ücretle çalışma zoruda kalmıştır. Dğer br alatımla ekoom daralma evrese grmştr. Daha sorak yıllarda se ekoomk göstergeler yleşerek (yatırımlar vs artarak) ekoom refah (geşleme) döeme grmştr. Kojoktür hareketler daralma döemlerde tred altıda, refah döemlerde se tred üstüde seyrederler. Kojoktür bleşe açıkladığı hareketler peryodk olmaya, fakat dögüsel hareketlerdr. Bu hareketler makro göstergeler ayı şddetteolmasadaayı yöde etklemektedrler. Refah döemlerdek kojoktür hareketler tred hızladırır. Daralma döemlerdek se, tred artış hızıı azaltablr veya tamame ortada kaldırablr Kojoktür hareketler sadece ekoomk koşullardak değşmlerde kayaklamaz. Baze klm koşullarıdak değşmeler, tarım ürüler üretm mktarlarıda kojoktür hareketlere yol açablr. Ye modadak değşmeler, belrl br ürüü satışları üzerde peryodk olmaya dögüsel hareketlere ede olablmektedr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 140 yayılaamaz ve depolaamaz. 70

71 (4) Zama Sers Etkleye Temel Faktörler: Rassal (R) Rassal bleşe, br zama sersdek tred, mevsmlk ve kojoktür hareketler dışıdak tüm hareketler olarak taımlamaktadır. Bu değşmeler düzesz hareketler olarak ta taımlaablr. Dğer br alatımla rassal bleşe, zama sers üzerdek beklemedk hareketler açıklaya bleşe olaraktaımlaablr. Öreğ; savaş, deprem, grev ve lokavt, syas karışıklıklar ve rakp frmaları rekabet poltkalarıdak değşklkler vs. etkler rassal hareketlere ede olurlar. Kavrama Soruları (1) Zama sers taımlayıız? () Zama sers etkleye temel faktörler açıklayıız? (3) Zama sers etkleye yaıltıcı faktörler açıklayıız? (4) Dalga uzuluğu vedalgaşddetkavramlarıı açıklayıız? (5) Zama serler brm değerler kaç şeklde oluşturulablr? (6) Trede ede ola etkler açıklayıız? (7) Kojoktür ve mevsmlk hareketlere ede ola etkler belrtz? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 141 Zama Sers Çözümlemes Zama sers aalz (çözümlemes); zama sers brm değerler üzerde rassal hareketler yaıda dğer zama sers bleşelerde hagler etkl olduğuu belrlemes şlemlere zama sers çözümlemes adı verlmektedr. Dğer br alatımla zama sers aalz, sery temel bleşelere ayrıştırılması sürecdr. Zama Serler Çözümleme Nedeler Zama sersdek sstematk hareketlerde yararlaarak matematk br modelle ser geçmş davraışıı açıklamaktır. Öreğ serdek güçlü br mevsmsellğ saptaması, verlerde güçlü dalgalamaı varlığıı gösterr. Zama sers geçmş verlerde yararlaarak lerye yöelk ögörüde bulumak ç zama serler çözümler. Zama serler aalz hem şletmeclk, hem de dğer blm dallarıda öem taşımaktadır. Zama sersde kırılmalar (terveto) varsa bu kırılmaları aalz etmek. Bu tür kırılmalar ser gelecek değerler üzerdek etkler araştırılır. Öreğ; makro ekoomk göstergeler otomobl satışlarıı aşağı yukarı yöledrmes vs Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 14 yayılaamaz ve depolaamaz. 71

72 Zama Serler Aalzde Model Gelştrme Stratejs (Box Jeks, 1976) Box ve Jeks (1967) aşağıdak model gelştrme stratejs her e kadar ARIMA modeller ç gelştrmş se de, bu stratej tüm zama sers modellerde kullaılablr. Model Gelştrme =Taımlama (Idetfcato) + Tahm (Estmato) + Uyguluk Kotrolü (Dagoss Checkg). Taımlama: Buaşamada tahm edlecek e az parametre le geçc br model taımlaır. Bu amaçla ser zama yolu grafğ ve ACF celeerek ser geel eğlm celer. Böylece serde aşağıya yukarıya doğru br tred, bastlk sağlamak ç serye uygulaablecek br döüşümü ve mevsmlk hareketler olup olmadığı araştırılır. Tahm: Model parametreler tahm edlerek alamlılıkları gözde geçrlr. Parametre tahmler statstk açıda alamlı değlse model yede taımlamaya çalışılır. Model uyguluğuu kotrolü: Geçc model verler asıl temslettğ kotrol edlr. Bu aşamada model hatalarıı grafğ celer. Bu grafkler araştırmacıya model güvele kullaıp kullaamayacağıı gösterr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 143 Hareketl Ortalamalar Yötem Hareketl ortalamalar, zama serler mevsmlk ve rassal bleşeler etksde arıdırarak, bu serler geel eğlm elde etmek amacıyla başvurula br yötemdr. Hareketl ortalamalar yötemde ortalamaya dahl edlecek brm sayısıı belrleye k sayısıı belrlemes öem taşımaktadır. Aylık verlerde k=l=1 ve mevsmlk verlerde k=l=4 tür. k 3 le hareketl ortalamaları hesaplaması, geellkle aylık zama serler rassal hareketlerde arıdırmak amacıyla kullaılmaktadır. Çükü rassal hararetler etkler 3 ayda fazla sürmemektedr. Hareketl ortalamalar yötemde tüm brmlere eşt ağırlıklar verlmektedr. Bu özellk bu yötem e zayıf tarafıdır. k sayısı çft olması durumuda se, merkezleştrlmş hareketl ortalamalar yötem uygulaması gerekr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 144 yayılaamaz ve depolaamaz. 7

73 Zama Serler BleşelereAyırmaYötem Bleşelere ayırma yötemde ser çözümlemes toplamsal ve çarpımsal olmak üzere k farklı yaklaşımla modelleeblr. Çarpımsal Model=Aakütle: Y T M K R. Öreklem: y t m k r. t t t t t t t t t t Toplamsal Model=Aakütle: Y T M K R. Öreklem: y t m k r. t t t t t t t t t t Zama serler bleşelere ayırma yötem aşamaları aylık br zama sers ç aşağıdak bbdr: (1) Mevsmlk blşe tahm edlmes. () Mevsmlk bleşede arıdırılmış ser değerler elde edlmes. Dğer br alatımla mevsmsel olarak düzeltlmş brm değerler tahm edlmes (3) Tred bleşe tahm edlmes (4) Kojoktürverassalbleşe tahm edlmes (5) Tahmveögörüdeğerler hesaplaması Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 145 Kavrama Soruları (1) Merkezleştrlmş hareketl ortalamalara hag tür serlerde gereksm duyulur. Açıklayıız? () Zama sers aalz kavramıı açıklayıız? (3) Zama serler bleşeler ayırma yötem aşamalarıı açıklayıız? (4) Yıllık br zama sers, çarpımsal br modelle bleşelere ayırma yötemyle tahm edlecektr. İlgl model yazıız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 146 yayılaamaz ve depolaamaz. 73

74 Örek 1: Aşağıda Türkye de aylar tbaryle 001:1 007:9 döemde elde edle turzm gelrler verlmektedr. Bu zama sers bleşelere ayırarak gelecek 1 aylık turzm gelrler tahm edz? Aylar Yıl Ocak Şubat Mart Nsa Mayıs Hazra Temmuz Ağustos Eylül Ekm Kasım Aralık ,5 3,3 447,9 641,3 944,7 1130,7 1387,0 1646,1 140,3 1060,8 481,0 57, ,3 31,1 494,6 59,4 997,3 115,5 1575,6 349, 1910,8 143,3 610,7 44, ,4 417,8 406,1 441,7 773,0 1044, 1810,7 879,5 341,6 1453,8 767,3 490, ,0 50,9 608,0 773,1 1164,9 1331,9 154,4 303,9 48,9 179,3 856,1 658, ,6 547,5 756,7 860,4 1400,4 1500,0 60,5 3453,3 76,4 1899,3 944,0 737, ,7 548,6 731,3 937,5 144,6 1510,9 355,7 316,6 518,6 1450,1 887,6 781, ,4 64,3 810,8 91,0 169,8 1536,6 58,4 3404,5 745,3 Ortalama 58,7 469, 607,9 738, 1113,5 1311,4 066,9 845,6 311,7 147,8 757,8 558, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 147 Çözüm 1: Forecast Summary Secto Forecast (Mea) x (Tred) x (Cycle) x (Seaso) Varable TG=Turzm Gelrler Number of Rows 81 Mea 143,0 Pseudo R Squared 0, Forecast Std. Error 100,5005 Tred Equato Tred = (0,65711) + (0,00811) * (Tme Seaso Number) Number of Seasos 1 Frst Year 001 Frst Seaso 1 Seasoal Compoet Ratos No. Rato No. Rato No. Rato No. Rato 1 0, , , , , , , , , , , , Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 148 yayılaamaz ve depolaamaz. 74

75 Forecast ad Data Plot Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 149 Decomposto Rato Plots Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, Recep Tayyp Erdoğa Üverstes, İİBF, İşletme Bölümü, ISL4 İstatstk II Ders Notları 150 yayılaamaz ve depolaamaz. 75