Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme"

Transkript

1 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli ike, Kaoik form Dual Yapılarda daha kullaışlıdır. Kaoik Form Stadart Formu Yapısı a.) Amaç foksiyou maksimizasyo amaçlı olmalıdır. b.) Kısıt deklemleri şeklide ifade edilmelidir. c.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır. a.) Amaç foksiyou maksimizasyo ya da miimizasyo amaçlı olabilir. b.) Tüm kısıt deklemleri (=) şeklide ifade edilmelidir. c.) Sağ taraf sabitleri egatif olmaya değerler almalıdır. d.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır ) Optimizasyou alamıı değiştirme Herhagi bir doğrusal programlama problemi Kaoik veya Stadart şekilde ifade edilebilir. Bu işlemler içi şu döüşümler kullaılabilir. Bu işlem amaç foksiyouda yer ala her katsayıı işaretii değiştirmekle sağlaabilir. MaxZ c x c x c x MiY c x c x c x Bu döüşüm soucu elde edile yei modeli çözümüde karar değişkelerii optimal değerleri yalız işaretleri değişmek üzere ayı kalır

2 ) Eşitsizliği Yöüü Değiştirme 3)Eşitsizliği Eşitlik Halie Getirme Herhagi bir şeklideki eşitsizlik yöüe değiştirilebilir. Burada bu işlem içi gerekli şey, eşitsizliği her iki tarafıı (-) ile çarpıp, yöü değiştirmektir. Öreği, j a x b j j j a x b j j eşitsizliğ i Herhagi bir şeklideki eşitsizlik içi egatif olmaya (S) Aylak Değişke sağ ve sol taraftaki farkı ifade eder. ajxj b j j ajxj s b Herhagi bir şeklideki eşitsizlik içi ise, egatif olmaya Artık değişke(v) kullaılır ki bu da eşitsizliği sağ ve sol tarafıdaki farkı gösterir. ajxj b j j ajxj v b 4) Eşitliği eşitsizliğe döüştürme Herhagi bir eşitlik iki eşitsizlik şeklide ifade edilebilir. Ayrıca Simplex ytemiyle çözümde yöüdeki eşitsizliklere Yapay Değişke(Artificial) de ekleir. AYLAK DEĞİŞKEN, modelde kullaılamaya ve boşa harcaa yada kaybedile kayakları gösterir. j ajxj b j ajxj b j ajxj b ARTIK DEĞİŞKEN ise geellikle fazla kayak veya kapasiteyi gösterir SINIRLANDIRILAMAYAN DEĞİŞKENLER İşaret olarak sıırladırılamaya herhagi bir değişke (değişkei egatif,pozitif veya sıfır değeri olabilir), egatif olmaya iki değişke arasıdaki fark olarak yazılabilir. Öreği, X değişkei sıırlı değilse ou yerie (x + - x - ) koulabilir. Burada x + 0 ve x - 0 dır. Optimal çözümlerde x + ve x - i e çok biri pozitif olacaktır. Sıırladırılmaya işaretteki değişke istediği değeri alabilir. Örek Mi Z = X +4 X X 3 Kısıtlar 5X X +4 X3 40.() X +X +5X3 5 () X +X3 = 30..(3) X sıırlı değil X, X3 0 Problemi a) Stadart ve b) Kaoik şekilde ifade ediiz.

3 a) Stadart form Stadart şekil içi, amaç foksiyou mi olduğu içi değişmez. Sadece () Nolu kısıta (s) aylak değişkei ekleir () Nolu kısıtta (v) artık değişkei çıkarılır. 5X X +4 X3 +S = 40..() X +X +5X3 V = 5 () X +X3 = 30.(3) X değişkei sıırladırılamadığıda X = x + -x -, burada x + 0 ve x - 0 dır. Bu işlemi ardıda modeli stadart şeklii aşağıdaki gibi yazabiliriz. Stadart form Mi Z = (x + -x - ) +4 X X 3 Kısıtlar 5 (x + -x - ) X +4X3+S = 40..() (x + -x - )+X +5X3-V = 5 () (x + -x - ) +X3 = 30..(3) x +, x -,X, X 3, S, V Kaoik Form Kaoik form içi amaç foksiyou Max halie getirilmelidir. Max Y = -X 4 X +X3 Kısıtlar olu kısıt ormal. olu kısıt içi her iki taraf (-) ile çarpılıp yö değiştirilmelidir. Yai -X -X -5X3-5, 3 olu kısıt iki eşitsizlik halide yazılabilir X+X3 30 veya -X-X3-30 X değişkei sıırladırılmadığıda X =x + -x - yazılır. Burada kaoik şekil, Max Z = - (x + -x - ) -4 X + X 3 Kısıtlar 5 (x + -x - ) X +4X3 40..() -(x + -x - )-X -5X3-5 () (x + -x - ) +X3 30..(3) -(x + -x - ) -X3-30..(4) x +, x -,X, X DP ve Simplex Algoritması Simplex ilk kez 947de G.B.Datzip tarafıda geliştirilmiştir. Daha sora öğreciler Chares, Cooper ve arkadaşları ekoomik ve edüstriyel uygulamalar içi bu algoritmayı kullamışlardır. Simplex yötem cebirsel tekrarlama (iterasyo) işlemie dayaır. Öce başlagıç simplex tablosu düzeleir. Sora tekrarlayıcı işlemler ile belli bir hesap yötemi içide gelişe çözümlere doğru ilerleyerek optimal çözüme ulaşıcaya kadar işlemler sürdürülür. Gelişe çözüm tablolarıda amaç foksiyouu ve karar değişkelerii değişe değerleri gözleebilir

4 Adımlar aşağıdaki gibidir.. Adım; Modelde yer ala kısıtlar eşitlik halie getirilir. Kısıtlayıcı ise a x a x a x b 3 3 Aylak değişke ekleyerek a x a x a x S b 3 3 Eğer kısıtlayıcı ise a x a x a x b 3 3 V artık değişkei çıkarılır ve A yapay değişkei ekleir. V Artık değişkei fazla kapasiteyi ve fazla üretim faktörlerii, fazla üretim arzıı veya fazla üretim talebii ifade eder. V Artık değişkeler Başlagıç Simplex tablosuu temel değişkeler sütuuda yer a almaz. Buu yerie ekoomik bir alamı olmaya Yapay Değişke yer alır. x a x a x V A b Eğer kısıtlayıcı deklem tam bir eşitlik halide ise A ekleir. Yai a x a x a x a x a a 3 3 Aylak, Artık ve Yapay değişkelere bir sabit katsayı değeri verilerek amaç foksiyouda yer almaları sağlaır. x x Aylak ve Artık değişkeleri katsayıları sıfır değerli olup,yapay değişkeleri katsayı değeri Maliyet Miimizasyou Problemide (+M), Kazaç Maksimizasyou Problemide ise (-M) olur. 3 3 b ise A b M yüksek değerli sayıyı, yai keyfi büyük ceza maliyetii ifade eder. Simplex Çözümüde M yerie bir sayı verilmek isteirse bu sayı c j, a ij ve b j değerleride büyük olmalıdır. Buu edei, hiçbir ekoomik alamı olmaya yapay değişkei uygu optimal çözümde yer almasıı ölemektir..adım; Başlagıç simplex tablosu düzeleir. Bütü buları tablo halideki durumu aşağıdaki gibidir. Kısıt Tipi Max. İstek veya kayak Talep veya Mi. İstekler Karışım Veya Tam istekler Kısıt İlişkisi = Gerekli Değişkeler Aylak değişke ekleir. Artık değişke çıkarılır Yapay Değişke Ekleir Yapay Değişke Ekleir Değişke Değerleri Kâr Maliyet Max. Mi. Başlagıç Değişkei olarak modelde yer alıp almadığı 0 0 Evet 0 0 Hayır -M +M Evet -M +M Evet 3 3 Örek: ( Öztürk A, 57) Bir maragoz işletmeside masa ve sadalye üretilmektedir. Bir masa yapımı içi 30 metre tahta ve 5 saat işgücüe gerek vardır. Bir sadalye yapımı içi 0 metre tahta ile 0 saat işgücüe gerek vardır. İşletmei elide 300 metre tahta ve 0 saat işgücü vardır. Bir masaı satışıda 6 br.tl. ve bir sadalyei satışıda da 8 br.tl. kâr elde edilmektedir. Maragoz kazacıı Max. Yapabilmesi içi kaç tae masa ve kaç tae sadalye üretmelidir

5 Karar değişkeleri X Çözüm: X Üretilecek masa miktarı 30X 5X X, X Üretilecek sadalye miktarı MaxZ 6X 0X 0X 0 8X 300 metre tahta 0 saat (işgücü) Bu modeli Simplex Algoritması ile çözmek içi öce Stadart hale getirmek lazımdır. Buu içi de; MaxZ 6X 30X 5X 0X 0X 8X S 0S 0S 0S S 0S Başlagıç Simplex Tablosu Katsayısı değişke 0 S 0 S X X S S Çözüm Adım; İterasyoa devam (Kârı E Çok Arttıracak ve Maliyeti E Çok Azaltacak Değişkei işleme girmesi). Buu içi satırıa bakılır. Amaç kârı maksimizasyou olduğuda, bu satırda yer ala e yüksek pozitif değerli elema seçilir ve bu elemaı buluduğu kolo ANAHTAR KOLON (SÜTUN) olur. Maliyet miimizasyolarıda ise egatif değerler içide mutlak değerce e yüksek ola seçilir ve buu buluduğu sütu ANAHTAR SÜTUN olur. Gire Problemimizde bu değer X değişkeii göstermektedir Adım; ANAHTAR SIRANIN (veya işlemde çıkacak) Değişkei Belirlemesi Çözüm Sütuudaki elemalar aahtar sütuuda yer ala elemalara bölüerek (b i /a ij ) bir oraa ulaşılır. Paydasıda 0 veya egatif sayılar bulua oralar dikkate alımaz. Bu oralar arasıda EN DÜŞÜK ola seçilir ve buu karşılığı ola sıra ANAHTAR SIRA olur. Daha sora temel değişke sütuudaki değişke de işlemde çıkarılır. Aahtar Sıra ile Aahtar Sütuu kesiştiği yerdeki elema ANAHTAR SAYI olur. Öreğe döersek; X X S S 0 S S Aahtar sayı (Pivot) 300/0=5 0/0= Aahtar sıra

6 adım: Bir tablo ilerleir İşlemde çıkacak temel değişkei buluması içi öce TEMEL SIRA ı buluması lazım. Temel sırayı bulmak içi yapılacak işlem aahtar sıraı tüm elemalarıı aahtar sayıya bölmektir. Aahtar sıra değişkei (S ) yerii aahtar sayıı buluduğu sütu değişkeie (X ye) bırakır ve temel sıraı değişkei de (X ) olur. Yei tablo Temel değişke X X S S 0 S 8 X ½ 0 / Yei Sırayı Bulmak İçi: Yei Sıra Elemaı=Eski Sıra Elemaı-(Temel sayı x Temel sıra elemaı) Temel sayı aahtar sayıı buluduğu sütuda ve (C j ) elemaları dışıda yer ala elemalardır. Örekte TEMEL SAYI (0) dir. Şimdi yei sırayı belirleyelim; x x s S b Eski sıra(s) Yei sıra(s) içi ilk elema x i katsayısıı buluması aşağıdaki gibi olur; 30 0 (/) = 0 x i katsayı değeri? 0 0() = 0 S i katsayı değeri? 0(0) = s i katsayı değeri? 0 0(/0) = - Çözüm değeri b? 300 0() = 80 dır Bua göre yei sıra s? Yei sıra(s); olur Bütü bu hesaplarda sora,. iterasyo olarak aşağıdaki tablo yazılabilir. Zj satırıı elemaları da daha öce ele aldığımız yötem ile aşağıdaki gibi belirleir; Kat. değişk X X S S Çözüm sütuu Z = 0*0 +8 (/) =4 Z = 0*0 +8() =8 Z3 = 0* +8(0) =0 Z4 = 0* +8(/0)=8/0 Çözüm sutuuda Zj ye karşılık gele değer ise, = 0*80 +8* = 88 0 S X ½ 0 /0 Zj Cj -Zj / / İlk çözüm

7 İterasyo souçlarıı ekoomik yorumu ) S sırasıda ve x i altıdaki 0 rakamı bize masa yapmak içi kullaılmaya 0 tahtada vazgeçmemizi, Ayı sütudaki ½ rakamı da yie masa yapımı içi yarım sadalyede vazgeçmemizi söylemektedir. S i altıdaki değişke katsayıları da bezer şeyi ifade eder. Yai, a) birim daha fazla işgücü kullamak içi (-) metrelik kullaılmaya tahtada vazgeçmeliyiz. Yai metre kullaılmaya tahtayı geri almalıyız. Böylece öcekie göre metre daha az tahta kullaırız. b) /0 rakamı da kullaılmaya işgücüü saat arttırmak içi /0 sadalyede vazgeçilmesii ifade eder Zj satırıdaki 4 rakamı, masayı üretmek içi ½ sadalyede vazgeçilmesi ile kaybedile karı ifade eder. Ayrıca; (8/0) rakamı da,kullaılmaya işgücüü saat arttırdığımızda yapılmaya /0 sadalyede vazgeçilmesi ile kaybedile karı ifade eder. Çözüm sütüuu altıdaki 88 değeri de sadalye üretilmesi durumuda elde edilecek karı göstermektedir Optimal çözüme ulaşma şartı? (Cj Zj) satırıdaki C -Z =,masa üretimii birim arttırılması ile kar da birim artış olacağıı gösterir. Bezer şekilde, C -Z =0 ı alamı,x de yai sadalyede birim daha fazla üretilmesii karı arttırmayacaktır. C 3 -Z 3 =0 ı alamı da kullaılmaya tahta var şeklidedir ve metre daha kullaılmasıı kara katkısı olmadığıı söyler. C 4 -Z 4 =-8/0 alamı, saat işgücüü kullaılmaması yai aylak bırakılması 8/0 TL zarara ede olur. Çükü /0 birimlik eksik sadalye(x) üretilebilir ki böylece Optimal çözüme ulaşılıp ulaşılmadığıı alamak içi Cj Zj satırıdaki değerlere bakılır. Max.Problemleride (Cj Zj) satırıdaki tüm değerler sıfır yada sıfırda küçük ise, optimal çözüme ulaşıldığı alaşılır, yai (Cj Zj) 0 olmalıdır. Mi.Problemleride ise (Cj Zj) 0 olmalıdır. Bu kotrol mekaizması bütü iterasyolarda kullaılmaktadır. /0*(8) = 8/0 TL daha az kar elde edilmiş olur İkici iterasyo Birici iterasyo soucuda elde edile tabloya baktığımızda (Cj Zj) satırıda pozitif değerli bir elema vardır ve bu sayı da dir. Bu souç optmal çözüme heüz ulaşılmadığıı gösterir. Optimal çözüme ulaşmak içi. iterasyoda izlee adımlar tekrarlaır. C j katsayısı değişke Çözüm Ora X X S S 0 S X ½ 0 / /0=4 /0,5= / /

8 C j katsayısı değişke Çözüm X X S S 6 X 0 /0 /0 8 X 0 -/40 3/0 6 8 /0 3/ /0-3/ Ayrıca kullaılmaya kayakları (tahta ve işgücü) ede olacağı zarar şöyle de açıklaabilir. Tahtaı m sii üretime geçişi ile ilgili; 30X +0X =. Kullaılmaya işgücü saati olmadığıda 5X +0X =0 yazılabilir Bu iki deklemi çözümüde 30X +0X = /5X +0X =0 30X +0X = 0X 0X =0 0X = X =/0 X =-/40 buluur. Bu souçlara göre; metre tahtaı kullaılmaması halide masada;/0 birimlik kayıba, sadalyede de (-/40) birimlik kayıba yai (/40) birimlik kazaca ede olacaktır. Böylece zarar; C 3 -Z 3 =(/40)(8)-(/0)(6)=-/0 br.tl Örek- İşgücü saat kullaılmadığıda ve tahtaı hepsi kullaıldığıda; yai kullaılmaya metre tahta olmadığıda. 5X +0X = 30X +0X =0 X =3/0, X =-/0 Ayı şekilde saat işgücüü kullaılmaması X de yai sadalyede 3/0 birimlik kayba, masada ise /0 birimlik kazaca ede olacaktır. Böylece zarar; C 4 -Z 4 =(/0)(6)-(3/0)(8)=-3/5 br.tl. Bir işletme X,Y,Z gibi ürülerii üretirke EMEK ve HAMMADDE gibi iki üretim faktörü kullaılmaktadır. İşletmei elide 40 kg. hammadde ile 0 saat emek işgücü vardır. Üretile ürüleri kâra katkıları birim başıa x içi br.tl. ve y içi 6 br.tl. ve z içi 5 br.tl.dir. İşletmei üretim tekoloji katsayısı matrisi X Y Z A 0 hammadde emek

9 Çözüm A ı alamı şudur; birim x üretilirke kg hammadde ile saat işgücü, birim y üretilirke; kg hammadde ile saat iş gücü birim z üretilirke; kg hammadde ile 0 saat iş gücü kullaılmaktadır. İşletmei kazacıı maximum etmek içi e uygu üretim bileşimi edir? Problemi Doğrusal Programlama modeli aşağıdaki gibidir; Max Z=x+6y+5z Kısıtlar x+y+z40 x+y0 x,y,z Simplex çözümü içi model Max Z=x+6y+5z+0S +0S x+y+z+s =40 x+y+0+s =0 x,y,z,s,s 0 Katsayısı Değişke 0 S 0 S C j X Y Z S S Temel sayı Çözüm 40 0 Temel sayı 40/=40 0/=0 Temel sıra 5 5 Katsayısı Değişke 0 S 6 y C j Çözüm X Y Z S S / 0 -/ / 0 0 / C j :=30 0:0= Yei sıra elemaı:eski sıra elemaı-(temel sayı X Temel sıra elemaı) Eski sıra (S ) 0 40 Temel sayı X Temel sıra(y) ½ 0 0 ½ 0 Yei sıra (S ) ½ 0 -/ Örek- Amaç Katsayısı Temel Değişke 0 S 6 y C j Çözüm X Y Z S S / 0 -/ / 0 0 / C j - 5, ,5-3, , Eski sıra: ½ 0 0 ½ 0 Temel sayı X Temel sra :0.(/ 0 -/ 30) Yei sıra: ½ 0 0 ½ 0 Optimal Çözüm: x=0, y=0, z=5 birim olmak üzere Max Z=0 br.tl Aşağıda verile Doğrusal Programlama Problemii çözüüz. Mi; Z=0y +6y +8y 3 Kısıtlar: y +y +y 3 5y +3y +y 3 y,y,y

10 Miimizasyo problemleride eşitsizlikleri sol tarafıda Artık değişke çıkarılır (V ) ve Yapay değişke ekleir (A ) Artık değişke fazla kapasiteyi ve fazla üretim faktörlerii, fazla üretim arzıı veya fazla üretim talebii ifade eder. Artık Değişkeler Başlagıç Simplex tablosuu temel değişkeler sütuuda yer almaz, ou yerie ekoomik alamı olmaya Yapay değişkeler yer elır. Yapay değişkeleri katsayı değeri; Maliyet Miimizasyou problemide =+M Kâr Maksimizasyou problemide =-M dir. M değeri; yüksek değerli bir sayıyı, yai keyfi büyük ceza maliyetii ifade eder Eğer Simplex çözümüde M yerie bir sayı verilmek isteirse bu sayıı değeri; hem sabit (miktar) sütuuu (b i ) daki elemalarda hem de a ij ve amaç foksiyoudaki (c j ) değerleride büyük olmalıdır. Yapay değişkee bu kadar büyük değer verilmesii amacı; hiçbir ekoomik alamı olmaya yapay değişkei uygu optimal çözümde yer almasıı ölemek içidir. Mi Z=0y +6y +8y 3 +0V +0V +MA +MA Kısıtlar: y +y +y 3 +A -V = 5y +3y +y 3 +A -V = y,y,y 3,V,V,A,A Katsayısı değişke M A M A Aahtar sayı C j Temel sayı M 0 M 0 y y y 3 A V A V Çözüm Ora M 4M 4M M -M M -M (0-6M) (6-4M) (8-4M) 0 M 0 M Miimum 0,0 3M Temel Sıra Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı) () X Temel sıra elemaı 0,6 0, , -0, 0, Yei Sıra A = 0 0,4,6 - -0, 0,,8 C j M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm Ora M A 0 Y 0 0,4,6 - -0, 0, 0,6 0, , -0, 0M 0,4M+6,6M+4 M -M -0,M 0,M-,8,8/,6=, 0, 0,/0,4=0,5,8M+ 0-0,4M 4-,6M 0 M,M- -0,M

11 Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı) 0 0,4,6 - -0, 0,,8 (,6) X Temel sıra elemaı: (,6)[,5, ,5-0,5 0,5] Yei sıra = C j M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm Ora M A 8 Y ,5, ,5-0,5-4M+0 -M+ 8 M -M 4-M M-4 4M-0 M M M-4 -M+4 /= 0,5 0,5/(-0,5)=- M+4 Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı),5, ,5-0,5 0,5 (-0,5).[ ] Yei sıra = 0,5 0,5 0,5-0,5 0 0 C j M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm M V 8 y ,5 0,5 0,5-0, olduğuda ihai tablo olur M-4 4 M 0 Ve y 3 =, V =, y =0, y =0, V =0 ve Mi Z=8 br.tl

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Z c 0 ise, problem için en iyilik koşulları (dual. X b 0 oluyorsa, aynı zamanda primal

Z c 0 ise, problem için en iyilik koşulları (dual. X b 0 oluyorsa, aynı zamanda primal KONU 12: DUAL SİMPLEKS YÖNTEM P: min Z cx AX b X (121) biçiminde tanımlı bir dpp de, B herhangi bir temel olsun Bu temel için, simpleks tabloda tüm temel dışı değişkenlere ilişkin tüm Z c ise, problem

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM4 Tesis Plalaması 6-7 Güz Döemi 3 Sisteme ekleecek tesis sayısı birde fazladır. Yei tesisler birbirleri ile etkileşim halide olabilirler

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

Atatürk Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 23, Sayı: 4, 2009 43 ÜRETİM PLANLAMA VE İŞ YÜKLEME METOTLARI

Atatürk Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 23, Sayı: 4, 2009 43 ÜRETİM PLANLAMA VE İŞ YÜKLEME METOTLARI Atatürk Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 23, Sayı: 4, 2009 43 ÜRETİM PLANLAMA VE İŞ YÜKLEME METOTLARI Osma DEMİRDÖĞEN (*) Dilşad GÜZEL (**) Özet: Üretim plalama süreci, üretim öcesideki

Detaylı

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım.

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım. 3. Simpleks Yöntem Doğrusal programlama modelleri grafik yöntem dışında simpleks yöntem adı altında özel bir yöntemle çözülebilir. Bu yöntem Simple Matrix kelimlerinin kısaltmasıdır ve bir çeşit matris

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri:

4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri: 4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri: 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler.

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Hipotez Testleri. Parametrik Testler

Hipotez Testleri. Parametrik Testler Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde

Detaylı

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:134-4141 Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi 28 (3) 41-48 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Makale Düşük Sıcak Kayaklı Isı Pompaları Eerji Maliyet Aalizi Özet Murat KAYA Hitit

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

çözümler bulabilen,kapasite kullanma miktarı sınırlı,kolay ve basit bir model grubunun

çözümler bulabilen,kapasite kullanma miktarı sınırlı,kolay ve basit bir model grubunun DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA PRIMAL VE DUAL İLİŞKİSİNİN İRDELENMESİ VE BİR ÖRNEK UYGULAMASI The primal ad dual problem s focuses i Liear Programmig Sait PATIR* ÖZET Doğrusal programlama,işletme sorularıda kullaıla

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE UYGULANMASI

TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE UYGULANMASI Uludağ Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1, 2005, s. 101-114 TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE

Detaylı

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK AKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY ÖYÜ DENEY I VİDALARDA OTOBLOKAJ DENEY II SÜRTÜNME KATSAYISININ BELİRLENMESİ DERSİN

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI!

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI! Fen ilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI ESASLARI Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA n n u sununun hazırlanmasında,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04 İşaat projelerii içi fiasal ve ekoomik aaliz yötemleri İşaat projeleri içi temel maliyet kavramları Yaşam boyu maliyet: Projei kafamızda şekillemeye başladığı ada itibare başlayıp kullaım ömrüü tamamlayaa

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA THE OPERATING CHARACTERISTIC CURVE AND A CASE STUDY

İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA THE OPERATING CHARACTERISTIC CURVE AND A CASE STUDY Süleyma Demirel Üiversitesi Vizyoer Dergisi Suleyma Demirel Uiversity The Joural of Visioary İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA ÖZET Yrd. Doç. Dr. Halil ÖZDAMAR 1 İstatistiksel kalite kotrol

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

HARMONİK DİSTORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKTASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ

HARMONİK DİSTORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKTASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ HARMONİK DİSORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ Celal KOCAEPE Oktay ARIKAN Ömer Çağlar ONAR Mehmet UZUNOĞLU Yıldız ekik Üiversitesi Elektrik-Elektroik Fakültesi Elektrik

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

REAKTÖRLER V Q. t o ...(1.1)

REAKTÖRLER V Q. t o ...(1.1) REAKTÖRLER İçide kimyasal veya biyljik reaksiyları gerçekleşirildiği aklara veya havuzlara reakör adı verilir Başlıa dör çeşi reakör vardır: Tam Karışımlı Kesikli Reakörler: Reakör dldurulup işlem yapılır

Detaylı