İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ORTOTROP PASTERNAK ZEMİNİNE OTURAN REISSNER PLAKLARININ KARIŞIK SONLU ELEMAN YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Murat ARTIM ( ) Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 20 Nisan 2004 Tezin Savunulduğu Tarih : 22 Mayıs 2004 Tez Danışmanı : Prof.Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG Diğer Jüri Üyeleri : Prof.Dr. Yalçın AKÖZ (İTÜ) Prof.Dr. Turgut KOCATÜRK (YTÜ) MAYIS 2004

2 1. ÖNSÖZ Tez çalışmam sırasında, değerli bilgi ve tecrübelerini benimle paylaşan tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG a teşekkür eder, saygılarımı sunarım. Ayrıca, çeşitli tavsiyelerinden yararlandığım Sayın Doç. Dr. A. Necmettin GÜNDÜZ e ve kıymetli yardımlarından dolayı Sayın Yard. Doç. Dr. Nihal ERATLI ya teşekkür ederim. Bu çalışma, zor zamanlarımda bana destek olan aileme ve beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan arkadaşlarıma ithaf edilmiştir... Nisan 2004 ii

3 TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ Plaklar Zemin Modelleri Çözüm Yöntemleri ve Yapılan Çalışmalar ALAN DENKLEMLERİ Reissner Plağı Denge Denklemleri Bünye Bağıntıları Pasternak Zemini FONKSİYONEL Yöntem Potansiyel Operatörün Eldesi Fonksiyonelin Eldesi Reissner Plağı Fonksiyoneli KARIŞIK SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU Yöntem Şekil Fonksiyonları Eleman Matrisinin Oluşturulması SAYISAL ÖRNEKLER Reissner Elemanının Doğrulanması Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Elastik Zemine Oturan Reissner Plağı 39 Örnek Örnek Örnek SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER ÖZGEÇMİŞ Murat ARTIM iv v vi vii ix iii

4 TABLO LİSTESİ Tablo No: Açıklama: Sayfa No: Tablo 5.1 : 1.Örnek en büyük çökme ve moment değerlerinin doğrulanması 31 Tablo 5.2 : 2.Örnek en büyük çökme değerlerinin doğrulanması 33 Tablo 5.3 : 3.Örnek en büyük çökme değerlerinin doğrulanması 35 Tablo 5.4 : 4.Örnek en büyük çökme değerlerinin doğrulanması 36 Tablo 5.5 : 5.Örnek delik kenarında oluşan çökme değerinin Doğrulanması. 37 Tablo 5.6 : 6.Örnek en büyük çökme ve moment değerlerinin Doğrulanması. 39 Tablo 5.7 : 7.Örnek en büyük çökme, moment ve kesme kuvveti değerlerinin doğrulanması iv

5 ŞEKİL LİSTESİ Şekil No: Açıklama: Sayfa No: Şekil 1.1 : Kirchhoff Plağının eğilmesi Şekil 1.2 : Reissner Plağının eğilmesi. 3 Şekil 1.3 : Winkler zemin modeli... 3 Şekil 1.4 : Zemin ve yapı arasındaki gerçek etkileşim... 4 Şekil 1.5 : Filonenko-Borodich zemin modeli... 4 Şekil 1.6 : Pasternak zemin modeli... 4 Şekil 1.7 : Vlasov-Leont ev zemin modeli... 5 Şekil 2.1 : Plak serbest cisim diyagramı. 8 Şekil 2.2 : Pasternak zemini ile plak arasındaki etkileşim.. 13 Şekil 3.1 : Potansiyellik koşulunun sembolik gösterimi Şekil 3.2 : Gâteaux türevinin geometrik anlamı Şekil 4.1 : İzoparametrik dörtgen eleman Şekil 5.1 : 1.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri 31 Şekil 5.2 : Eleman ağı.. 32 Şekil 5.3 : 1. Örnek çökme yüzeyi.. 32 Şekil 5.4 : 2.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri 33 Şekil 5.5 : 2.Örnek simetrik eleman ağı.. 34 Şekil 5.6 : 2.Örnek çökme yüzeyi 34 Şekil 5.7 : 3.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri. 35 Şekil 5.8 : 3.Örnek çökme yüzeyi 35 Şekil 5.9 : 4.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri. 36 Şekil 5.10 : 4.Örnek çökme yüzeyi 36 Şekil 5.11 : 5.Örnek malzeme ve geometrik özlellikleri 37 Şekil 5.12 : 32, 72 ve 128 elemanlı ağlar için yakınsaklık testi. 38 Şekil 5.13 : 32, 72 ve 128 elemanlı ağlar 38 Şekil 5.14 : 5.Örnek çökme yüzeyleri 38 Şekil 5.15 : 6.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri Şekil 5.16 : 6.Örnek çökme yüzeyi 40 Şekil 5.17 : 7.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri Şekil 5.18 : 7.Örnek çökme yüzeyleri 41 Şekil 5.19 : 8.Örnek malzeme ve geometrik özellikleri Şekil 5.20 : Plak yarıçapı boyunca oluşan çökme değerleri Şekil 5.21 : Plak yarıçapı boyunca oluşan eğilme momenti Değerleri. 43 Şekil 5.22 : 8.Örnek simetrik eleman ağı Şekil 5.23 : 8.Örnek çökme yüzeyi 43 Şekil A.1 : K eğilme momenti ile σ 11 normal gerilmesi arasındaki ilişki 51 Şekil A.2 : F kesme kuvveti ile σ 13 kayma gerilmesi arasındaki ilişki 52 Şekil A.3 : σ 11 normal gerilmesi ile P normal kuvveti arasındaki ilişki. 56 v

6 SEMBOL LİSTESİ i, j, k : Latin indisleri 1, 2, 3 değerlerini alır. α, β : Grek indisleri 1, 2 değerlerini alır. x i : Koordinat eksenleri dx i : Türev operatörü ε : Birim şekil değiştirme bileşenleri ij σ ij : Gerilme bileşenleri u i : Plak orta düzlemindeki yer değiştirmeler u i : Yer değiştirme bileşenleri P, NQ, : Normal kuvvetler ve düzlem içi kayma kuvveti F, H : Kesme kuvvetleri K, M, T : Eğilme momentleri ve burulma momenti f i : Dış kuvvetler m α : Dış momentler p : Zemin tepki kuvveti h : Plak kalınlığı υ : Poisson oranı E : Elastisite modülü δ : Kronecker deltası ij γ : Birim kayma açısı ij Ω α : Dönme açıları G : Kayma modülü V α : Zemin kesme kuvvetleri k : Zemin yataklanma katsayısı L : Türev operatörü y : Serbest değişken f : Kuvvet vektörü P : Potansiyel operatör I ( y ) : Fonksiyonel B : Sınır koşullarını temsil eden operatör Γ : Sınır koşulları φ i : Şekil fonksiyonları rs, : Serendipity koordinat takımı J : Jakobiyen x : Dörtgen eleman koordinatları ij [ k ] : Eleman matrisi vi

7 ORTOTROP PASTERNAK ZEMİNİNE OTURAN REISSNER PLAKLARININ KARIŞIK SONLU ELEMAN YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ ÖZET Bu çalışmanın amacı, mühendislik uygulamalarında sıkça görülen plak-zemin etkileşimi problemini incelemektir. Zemin homojen bir ortam değildir. O nedenle hedeflenen problemler, ortotrop Pasternak zeminine oturan Reissner plaklarını karışık sonlu elemanlar metodu ile çözmektir. En basit mekanik zemin modeli Winkler (1867) tarafından önerilmiştir. Bu modele göre, taşıyıcı elemanın altındaki elastik zemin bir çeşit yay gibi düşünülmektedir ve zemin basıncıyla çökme arasında doğrusal bir ilişki vardır. Fakat tek parametreli Winkler zemin modeli sürekli ortamı yeterli derecede tanımlayamamaktadır. Bu sorunu aşmak için iki parametreli zemin modelleri geliştirilmiştir. Bu modeller sırasıyla Filonenko-Borodich (1940), Pasternak (1954) ve Vlasov-Leont ev (1966) zemin modelleridir. Bu çalışmada kullanılacak olan Pasternak zemin modeli, Winkler zemin modeline göre daha geneldir. Yay elemanların tepe noktaları, sadece enine kesme kuvvetleri etkisi altındaki sıkıştırılamaz bir kesme tabakasına tutturularak, aralarında bir kesme etkileşimi olması sağlanmıştır. Kirchhoff plak teorisi, ince plaklar için uygun çözümler vermesine rağmen; plak kalınlığı arttıkça sonuçlar gerçekten uzaklaşır. Bunun için Love, nispeten kalın plaklar için bir kuram önermiştir (Love, 1944). Daha sonra bu kuram (Reissner, 1945) ve (Mindlin, 1951) tarafından geliştirilmiştir. Bu çalışmada kullanılacak olan Reissner plak kuramı, nispeten kalın plaklar için uygun olup, kalınlık doğrultusundaki kayma gerilmeleri ile düzleme dik normal gerilme etkilerini vii

8 gözetmektedir. Kayma gerilmelerinin kullanılması, üç sınır şartını ikiye indirme mecburiyetini ortadan kaldırmıştır. Geliştirilen eleman plak ve zemin davranışını kapsayan tek bir yapıdadır. Boyutlandırmada kullanılan kuvvet ve moment büyüklükleri, deplasman türü elemanlarda bir geri yerleştirme sonucu yer değiştirmelerden türetilirken, sonuçların hassasiyetinde kayıplar oluşabilmektedir. Bu çalışmada kullanılan karışık sonlu eleman yönteminde yer değiştirmelerin yanı sıra kuvvetler ve momentler de elemanın bilinmeyenleri arasında olmakta ve doğrudan hesaplanabilmektedir. Böylece karışık sonlu eleman modellemesi ile kuvvet ve moment türü büyüklüklerin daha hassas bulunması mümkün olabilmektedir. Çözümler için Fortran programlama dili kullanılarak bir program hazırlanmıştır. Geliştirilen programın sonuçlarının doğrulanması amacıyla literatürdeki çeşitli problemler çözülmüş ve yapılan karşılaştırmalar sonucunda sonuçların mühendislik sınırları içinde yeterli yakınsaklıkta olduğu gözlenmiştir. viii

9 STATIC ANALYSIS OF REISSNER PLATES RESTING ON ORTHOTROPIC PASTERNAK FOUNDATION VIA MIXED FINITE ELEMENT METHOD SUMMARY The main purpose of this study is to deal with the plate-foundation problem, which is often faced in the engineering applications. Foundation is not a homogeneous continuum. Hence, our objective is to solve orthotropic Pasternak foundation interacting with Reissner plates. The very first and the simplest mechanical foundation model was suggested by Winkler (1867). According to this model, the elastic foundation under the statically loaded element is considered to be formed by springs and there is a linear relation between foundation pressure and the lateral deflection. But the Winkler model based on a single parameter is insufficient to represent the continuous elastic foundation. To overcome this problem, double parameter based models like Filonenko-Borodich (1940), Pasternak (1954) and Vlasov-Leont ev (1966) were developed. The Pasternak foundation model that will be used in this research is an extension of Winkler model. By sticking the end points of the spring elements to an incompressible shear layer which is only under the effect of shear forces, a shear interaction between the spring elements is supplied. Although classical plate theory has been used to solve the plate problems for many times, it s been insufficient to determine the behaviour of plates. As the thickness of the plate increases the results diverge from the real solution. In order to get more stable solutions for the thick plates, with following order, Love (1944) and Reissner- Mindlin (1951) plate theories were developed. The Reissner-Mindlin plate theory that will be used in this research is more efficient for the thick plates. In this theory, ix

10 by consideration of both the shear stresses along thickness and the normal stresses perpendicular to the cross-section, the boundary conditions are decreased from three to two. The mixed plate finite element which is used in this study will contain the foundation influence of the soil. In displacement type finite elements, stress resultants are calculated by a back substitution process which effects the sensitivity of the results. In the mixed finite element method, the stress resultants are also the element unknowns and they are calculated directly without any loss in the accuracy. A program is developed for the solutions by using the Fortran programming language. In order to test the accuracy of the results gained from the program, some problems that exist in the literature have been solved. The results are satisfactory and stay in the engineering limits. x