İTÜ LİSANSÜSTÜ DERS KATALOG FORMU (GRADUATE COURSE CATALOGUE FORM)

Transkript

1 Dersin Adı Differansiyel Geometri I İTÜ LİSANSÜSTÜ DERS KATALOG FORMU (GRADUATE COURSE CATALOGUE FORM) Course Name Differential Geometry I Kodu (Code) MAT 511E Enstitü/ABD/Program (Institute/ Department/Program) Dersin Türü (Course Type) Yarıyılı (Semester) Bahar/Güz Fall/Spring Kredisi (Local Credits) AKTS Kredisi (ECTS Credits) Ders Türü (Course Type) Yüksek Lisans/M.Sc. Matematik Mühendisliği (Mathematics Engineering) Zorunlu (Compulsory) Dersin Dili (Course Language) Türkçe/İngilizce (Turkish/English) Dersin İçeriği (Course Description) Topolojik uzaylar, türevlenebilir manifoldlar, teğet uzay, vektör alanları, Lie parantezi, diffeomorfizma, ters fonksiyon teoremi, alt manifoldlar, hiperyüzeyler, Euclid uzayının standart konneksiyonu, Weingarten ve Gauss tasvirleri, tensörler ve diferansiyel formlar, Lie türevi, Riemann konneksiyonu, Riemann manifoldları. Topological spaces, differentiable manifolds, tangent space, vector fields, Lie bracket, diffeomorphism, the inverse function theorem, submanifolds, hypersurfaces, standart connection of Euclidean spaces, Weingarten and Gauss maps, tensors and differential forms, Lie derivative, Riemannian connection, Riemannian manifolds. Dersin Amacı (Course Objectives) 1. Topolojinin temel tanım ve teoemlerini hatırlamak; 2. Türevlenebilir manifold kavramını, tanjant ve kotanjant uzaylarını ve türevlenebilir tasvirleri tanıtmak; 3. Euclid uzayının hiperyüzeylerinin geometrik yapılaraını tanıtmak ve onların geometrik özelliklerini incelemek; 4. Riemann manifoldlarını geliştirmek için tensörleri ve diferansiyel formları tanıtmak. 1. To recall the basic definitions and theorems of topology; 2. To introduce the notions of differentaiable manifold, tangent and cotangent spaces, and smooth maps; 3. To introduce differential geometric structures on hypersurfaces of Euclidean space to study their geometric properties; 4. To introduce tensors and differential forms to develop Riemannian manifolds. Dersin Öğrenme Çıktıları (Course Learning Outcomes) Bu dersi başarıyla tamamlayan Yüksek lisans öğrencileri aşağıdaki konularda bilgi, beceri ve yetkinlik kazanırlar; I. Topolojinin bazı temel tanım ve teoremleri; II. Türevlenebilir manifoldların temel tanım ve teoremleri; III. IV. Manifoldlar üzerinde teğet vektor alanları, tasvirler ve ters fonksiyon teoremi; Euclid uzayının hiperyüzeyleri, Gauss ve Weingarten tasvirleri, Gauss ve Codazzi denklemleri ve kullanımları; V. Manifoldlar üzerinde tensörler, diferansiyel formlar ve özellikleri; VI. Riemann manifoldları, Riemann konneksiyonu ve Riemann eğrilik tensörü. M.Sc. students who successfully pass this course gain knowledge, skills and competency in the following subjects; I. Some basic definitions and theorems of topology; II. Basic definitions and theorems of differentiable manifolds; III. IV. Tangent vector fields, smooth maps on manifolds and the inverse function theorem; Hypersuraces of Euclidean spaces, Gauss and Weingarten maps, Gauss and Codazzi equations and their applications; V. Tensors, differential forms on manifolds and their properties; VI. Riemannian manifolds, Riemannian connection and Riemannian curvature tensor.

2 Kaynaklar (References) Ödevler ve Projeler (Homework & Projects) Laboratuar Uygulamaları 1. Boothby, W.M. (1975). An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press Inc.. 2. Hicks, N. J. (1971). Notes on Differential Geometry, Van Nostrand Reinhold Company. 3. do Carmo, M.P. (1990). Riemannian Geometry, Birkehauser, 4. Kobayashi, S. ve Nomizu, K. (1963). Foundation of Differential Geometry I, Interscience Publishers. 5. Chen, BY,( 1973). Geometry of Submanifolds, M. Decker. Öğrencilerin dersi daha iyi öğrenmelerine yardım etmesi amacıyla dönem boyunca 5 tane haftalık ödev verilecek ve bunlar bir hafta sonra toplanacaktır. To help students learning and comprehending the course material better, 5 homeworks will be given, and all homeworks are to be handed in a week after they are assigned. (Laboratory Work) Bilgisayar Kullanımı (Computer Use) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Kısa Sınavlar Quizzes Başarı Değerlendirme Sistemi (Assessment Criteria) Faaliyetler (Activities) Yıl İçi Sınavları (Midterm Exams) Kısa Sınavlar (Quizzes) Ödevler (Homework) Projeler (Projects) Dönem Ödevi/Projesi (Term Paper/Project) Laboratuar Uygulaması (Laboratory Work) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Final Sınavı (Final Exam) *Yukarıda Belirtilen Sayılar Minimum Olup Yerine Getirilmesi Zorunludur Adedi* (Quantity) Değerlendirmedeki Katkısı, % (Effects on Grading, %)

3 DERS PLANI Hafta Konular Dersin Çıktıları 1 Topolojik uzaylar, çarpım topolojisi, metrik topoloji I 2 Bölüm topolojisi, irtibatlılık, kompaktlık I 3 Türevlenebilir manifoldlar ve örnekleri II 4 Teğet uzaylar, vektör alanları, Lie parantezi III 5 Ters fonksiyon teoremi, Euclid uzaylarının hiperyüzeyleri IIIIV 6 Euclid uzayının standart konneksiyonu IV 7 Gauss ve Weingarten tasvirleri IV 8 Gauss ve Codazzi denklemleri IV 9 Tensörler V 10 Tensörler, diferansiyel formlar V 11 Differensiyel formlar, Lie türevi V 12 Riemann manifoldları VI 13 Riemann konneksiyonu VI 14 Riemann eğrilik tensörü VI COURSE PLAN Weeks Topics Course Outcomes 1 Topological Spaces, product topology, metric topology I 2 Quotient topology, connectedness, compactness I 3 Differentiable manifolds and examples II 4 Tangent spaces, vector fields, Lie bracket III 5 The inverse function theorem, hypersurfaces of Euclidean spaces IIIIV 6 Standard connection of Euclidean spaces IV 7 Weingarten and Gauss maps IV 8 Gauss ve Codazzi equations IV 9 Tensors V 10 Tensors, differential forms V 11 Differential forms, Lie derivative V 12 Riemannian manifolds VI 13 Riemannian connection VI 14 Riemannian curvature tensor VI

4 Dersin Matematik Mühendisliği Yüksek Lisans Programıyla İlişkisi İTÜ Matematik Mühendisliği ABD Yüksek Lisans Programları Çıktıları i. Lisans düzeyi yeterliliklerine dayalı olarak, ilgili program alanında bilgilerini uzmanlık düzeyinde geliştirebilme ve derinleştirebilme (yeterli bilgi birikimi) (bilgi). Katkı Seviyesi ii. Alanının ilişkili olduğu disiplinler arası etkileşimi kavrayabilme (bilgi). iii. Alanında edindiği uzmanlık düzeyindeki kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanabilme (beceri). iv. Alanında edindiği bilgileri farklı disiplin alanlarından gelen bilgilerle bütünleştirerek yorumlayabilme ve yeni bilgiler oluşturabilme (beceri). v. Alanını ile ilgili karşılaşılan sorunları araştırma yöntemlerini kullanarak çözümleyebilme (beceri). vi. Alanını ile ilgili uzmanlık gerektiren bir çalışmayı bağımsız olarak yürütebilme (Bağımsız vii. viii. ix. Alanı ile ilgili uygulamalarda karşılaşılan ve öngörülemeyen karmaşık sorunların çözümü için yeni stratejik yaklaşımlar geliştirebilme ve sorumluluk alarak çözüm üretebilme (Bağımsız Alanı ile ilgili sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme (Bağımsız Alanında edindiği uzmanlık düzeyindeki bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirebilme ve öğrenmesini yönlendirebilme (Öğrenme Yetkinliği). x. Alanındaki güncel gelişmeleri ve kendi çalışmalarını, nicel ve nitel veriler ile destekleyerek, alanındaki ve alan dışındaki gruplara, yazılı, sözlü ve görsel olarak sistemli biçimde aktarabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. xvii. xviii. xix. xx. Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısı ile inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmek üzere harekete geçebilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü B2 genel düzeyinde kullanarak sözlü ve yazılı iletişim kurabilmek (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Alanının gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı ile birlikte bilişim ve iletişim teknolojilerini ileri düzeyde kullanabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, uygulanması ve duyurulması aşamalarında toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik değerleri gözeterek denetleyebilme ve bu değerleri öğretebilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanı ile ilgili konularda strateji, politika ve uygulama planları geliştirebilme ve elde edilen sonuçları, kalite süreçleri çerçevesinde değerlendirebilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanında özümsedikleri bilgiyi, problem çözme ve/veya uygulama becerilerini, disiplinlerarası çalışmalarda kullanabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Tezli programlarda, kendi çalışmalarını, alanındaki uluslararası platformlarda, yazılı, sözlü ve/veya görsel olarak aktarabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Mesleğinin yeni ve gelişmekte olan uygulamalarının farkında olup gerektiğinde bunları inceler ve öğrenir (Bilgi) Mühendislik problemlerini çözmek için yöntemler geliştirir.(beceri) Mühendislik alanındaki matematik problemlerine ait bilgiye derinlemesine ulaşır ve çözümler üretir.(öğrenme yetkinliği) 1: Az, 2. Kısmi, 3. Tam

5 Relationship between the Course and Mathematics Engineering M. S. Curriculum Level of Program Outcomes Contribution i. Developing and intensifying knowledge in the related program s area, based upon the competency in the undergraduate level (sufficient knowledge) (knowledge). ii. Grasping the interdisciplinary interaction related to one s area (knowledge). iii. The ability to use the expertlevel theoretical and practical knowledge acquired in the area (skill). iv. Interpreting and forming new types of knowledge by combining the knowledge from the area and the knowledge from various other disciplines (skill). v. Solving the problems faced in the area by making use of the research methods (skill). vi. The ability to carry out a specialistic study related to one s area independently. (Competence to work independently and take responsibility). vii. Developing new strategic approaches to solve the unforeseen and complex problems arising in the practical processes of one s area and coming up with solutions while taking responsibility (Competence to work independently and take responsibility). viii. Fulfilling the leader role in the environments where solutions are sought for the problems related to the area (Competence to work independently and take responsibility). ix. Assessing the specialistic knowledge and skill gained through the study with a critical view and directing one s own learning process (Learning Competence). x. Systematically transferring the current developments in the area and one s own work to other groups in and out of the area; in written, oral and visual forms (Communication and Social Competency). xi. Ability to see and develop social relationships and the norms directing these relationships with a critical look and the ability to take action to change these when necessary. (Communication and Social Competency). xii. Proficiency in a foreign language at least European Language Portfolio B2 Level and establishing written and oral communication with that language (Communication and Social Competency). xiii. Using the computer software together with the information and communication technologies efficiently and according to the needs of the area (Communication and Social Competency). xiv. Paying regard to social, scientific, cultural and ethical values during the collecting, interpreting, practicing and announcing processes of the area related data and the ability to teach these values to others (Area Specific Competency). xv. Developing strategy, policy and application plans concerning the subjects related to the area and the ability to evaluate the end results of these plans within the frame of quality processes (Area Specific Competency). xvi. Using the knowledge and the skills for problem solving and/or application (which are processed within the area) in interdisciplinary studies (Area Specific Competency). xvii. In the programs with thesis, the ability to present one s own work within the international environments orally, visually and in written forms (Area Specific Competency). xviii Being informed of recent developments in one s own field, and being capable of understanding and researching such developments. xix. Proficiency in developing models for solving engineering related questions. xx. Researching information about mathematical problems in engineering and providing solutions to such problems. 1: Little, 2. Partial, 3. Full Düzenleyen (Prepared by) Prof.Dr. Uğur Dursun Doç.Dr. Elif Canfes Tarih (Date) 30/3/2011 İmza (Signature)