LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun"

Transkript

1 . BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve frklı şelere(değerlere) klşmışsnız geçmiş olsun. Limit mimit ok. Ylnız burd nee, ne zmn, nsıl klşcğınız önemli işte. Bunun dh bisel trifi ise şu, A R ve f:a { } R e bir fonksion olmk üzere, değişkeni sısın klştığınd f() fonksionu d L sısın klşıors, L sısın;, klşırken f() fonksionunun iti denir. Ve f() = L şeklinde gösterilir. Fonksionun Grfiğinden Yrrlnrk Limit Bulm ve Sğdn- soldn Limit Sğdn Limit değişkeni sğdn (ni dn büük ve zln değerlerle) klşırken f() in iti vrs bu it değerine f() in = noktsındki sğdn iti denir ve f() =... şeklinde gösterilir. Örneğin Şekildeki f() fonksionun d f() = b dir. Soldn Limit değişkeni soldn (ni dn küçük ve rtn değerlerle) klşırken f() in iti vrs bu it değerine f() in = noktsındki soldn iti denir ve f() =... şeklinde gösterilir. Örneğin Şekildeki f() fonksionun d f() = c dir. Bir fonksionun herhngi bir noktd itinin olmsı için bu noktd sğdn ve soldn it değeri birbirine eşit olmsı gerekir. Yni, fonksionun herhngi bir noktd sğdn ve soldn iti eşit değilse bu noktd iti oktur. Bu kdr bsit. b c f() f()

2 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM L f() Pekii Fonksionun = noktsınd tnımlı olduğu değer ile iti 5 frklı ols ne olur? Tbii ki hiçbir şe olmz. Bu noktdki iti ine olur. Am f() = 5 bu ne olck. Size ne ki! Siz ite bkın. Limite. f() Şekildeki f fonksionund f() f() L dir. = = olduğundn f() = L Ve size değişik bir fonksion grfiği Ve en önemli hususlrdn biri de Bir fonksionun herhngi bir noktd itinin vr olmsı tnımlı olup olmmsıl ilgili değildir. Yni, iti olduğu noktd tnımlı olmbilir ve tnımlı olduğu değer it değerinden dh frklı bir değer de olbilir. Bunu grfik üzerinde rıntısıl nltcğım. Durun hele. Acele etmein bklım. Örneğin - Bu grfiğe göre, f ( ) = f ( ) ( ) ( ) f = f = = f() Şekildeki f() fonksionu = noktsınd tnımlı değildir. Yni f() kçtır? die bir soru sormzsınız. Am bu noktd iti vrdır. Çünkü fonksionun = noktsındki iti, bu noktd ldığı değer(tnımlı olduğu değer) değil, in e sğdn ve soldn klşırken f() in klştığı değerdir. f() sğdn ve soldn e klştığın göre, = noktsındki iti tür. Yni, f() = tür. Yni = - de it oktur. Am = de it dur. Arıc şunu d frk etmiş olmnız lzım. ( ) ( ) f f Gördünüz mü? = = dir. Bur kdr nlttıklrımı özetleeim. 7 b c e f g = f()

3 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Şekilde verdiğim f() fonksionunun grfiğinde psisi, b, c,, e, f ve g oln noktlr için, = d, f() = f() = dir. (iti tnımlı olduğu değere eşit.) = b de, f() b = (fonksion bu noktd tnımlı değil. (Am it olmsı için tnımlı olmsı gerekmiordu ki zten.) = f de f() f = ve f() 7 f = olduğundn ni sğdn ve soldn iti frklı olduğundn = f de it oktur. Anı şekilde, = c, = e, = g noktlrınd fonksionun iti tnımlı olduğu değere eşit, Örnek Şekilde verilen = f() fonksionunun grfiğine göre, ) f ( ) f ( ) 6 b) f ( ) f ( ) = f() toplmı kçtır? toplmı kçtır? Cevp: ) b) = d ise sğdn ve soldn itler frklı olduğundn it ok. Anldınız mı şimdi sğdn, soldn it meselesini? İşte ol bu. Örnek Örnek = f() 5 f() b - Şekilde f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre, ( ) f ( ) f b f b ( ) f ( ) Şekilde grfiği verilen f fonksionunun psisi - 5, -, -,,, ve oln noktlrd vr oln itlerinin toplmı kçtır? Cevp: 5 ifdesinin değeri kçtır? Cevp: 8

4 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek Örnek = f() - Yukrıd f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre, ( ) ( ) ( ) f f f 5 toplmı kçtır? Cevp: Şekilde verilen f() fonksionunun grfiğine göre, ) f ( ) b) f ( ) it değeri nedir? it değeri kçtır? Örnek 5 c) f ( ) it değeri kçtır? 6 d) f ( ) it değeri nedir? Cevp: ) b) c) d) f() Şekilde f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre, fonksionun = 5, = = ve = noktlrındki it değerlerinin toplmı kçtır? Cevp: 9 Polinom ve Mutlk Değer Fonksionlrının Limiti f() bir polinom fonksion ise, f() = f() dır. Yni fonksiond gördüğünüz erlere zın. O kdr. Hiçbir özelliği ok nlcğınız. Arıc, = d iti oln f() fonksionu için Bu değerlerin toplmıl f( 5) f( ) f() f() f() = f() toplmı eşit midir? Nedenini çıklbilir misiniz? Ve 5

5 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM n n f() f() = dır. Frk ettiseniz bu kısımd nlttığım it hesbının fonksiond değer bulmdn hiçbir frkı ok. Gerçekten. Tıptıp nısı. Örnek itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 7 ( ) 5 itinin değeri kçtır? Cevp: 7 Örnek m = olduğun göre, m kçtır? Cevp: 6 Örnek 8 ( ) = ve g( ) f g().f ( ) = 8 5 olduğun göre, k kçtır? = k olmk üzere, Cevp: Örnek itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 9 5 itinin değeri kçtır? Cevp: 5 Örnek ( ) 7 itinin değeri kçtır? Cevp: 9 6

6 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 5 itinin değeri kçtır? Cevp: Sıkıştırm Teoremi Acip bsit bir teorem. Teorem keesine gıcık olduğunuzu biliorum. Benim de pek sevdiğim sölenemez Am B X ne etsin. Admlr müfredt komuşlr. Siz de bilin bri. Önceleri oktu sıkıştırm mıkıştırm gibi şeler. Admlrın sıkıştırm işile lklrının kuvvetli olduğu belli. Ne dieim. Örnek 5 7 itinin değeri kçtır? Örnek 6 ( ) = n olduğun göre, n kçtır? Cevp: - Cevp: Eee Zhmet edip sıkıştırm teoreminin ne olduğunu öğrenirsiniz rtık. Olur belki sorrlr. Teorem şu; f ve g fonksionlrı = d itleri oln iki fonksion olmk üzere, f() = g() = L ve in kın tüm değerleri için g() h() f() ise h() = L olur. İşte bun Sıkıştırm Teoremi denir. Yesinler Ne teorem m. Bu dmlr m.k! Snki bşk işleri ok Minik bir örnekçik eter di mi. Al. Örnek 8 f() fonksionu için Örnek 7 ( ( )) log 5 itinin değeri kçtır? Cevp: f() eşitsizliğini sğldığın göre, f() kçtır? Cevp: 7

7 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Prçlı Fonksionun Limiti Prçlı fonksionun itinde şu dediklerime dikkt edin eter. Bu d çok kol. Prçlı fonksionun kritik noktlrınd (ni, fonksionun prçlr rıldığı değerlerinde) itini hesplrken sğdn ve soldn ite bkın. Gerisini biliorsunuz. Am iti hesplnn nokt kritik nokt değilse önce fonksionun hngi prçsını kullncğınız krr verin, sonr norml (normli nsıl oluors ) it lın Anldınız mı? Örnek n, > ise f( ) = 7, = ise, < ise fonksionunun = noktsınd itinin olmsı için n kç olmlıdır? Cevp: Örnek 9, > ise, f( ) =, = ise,, < ise, olduğun göre, f ( ) f ( ) toplmının değeri kçtır? Cevp: 7 Örnek 5, ise, f( ) = 5, = ise, olduğun göre, f ( ) f ( ) toplmı kç- tır? Cevp: Örnek ( ) = f, > ise,, ise olduğun göre, f() fonksionunun = noktsınd iti vr mıdır? Nedenini çıklbilir misin? Cevp: Sğdn ve soldn iti eşit olmdığındn dolı iti oktur. 8

8 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek p, > ise f( ) =, = ise, < ise fonksionunun = noktsınd iti olduğun göre, p nin lbileceği değerler toplmı kçtır? Cevp: - Örnek 5, < ise, f( ) = m, > ise, fonksionunun = noktsınd iti olmsı için m kç olmlıdır? Cevp: - 6 Örnek, < ise, f( ) =, ise,, > ise, olduğun göre, f ( ) f ( ) toplmı kç- tır? Cevp: Örnek 6, ise, f( ) = 5, = ise, olduğun göre, f ( ) f ( ) frkı kçtır? Cevp: 9

9 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Genişletilmiş Reel Sılr Kümesi R e ve un eklenmesile oluşn kümee genişletilmiş reel sılr kümesi denir. Peki, ferin. Am dh bitmedi. Şunlrı d hesplın bklım. ) = l ilgili olrk şunlrı bilmek lzım. =. = pozitif reel sı ise,. = = r > ise r = = = b) c) = ( ) = < r < ise r =,,., belirsizdir. Örnek 7.5 itinin değeri kçtır? Cevp: 5 Alın bklım. Grfiği ben çiziorum. Gerisi size klmış rtık = Örneğin siz de, Aşğıdki it değerlerini ukrıdki grfik rdımıl bulun bklım. = = = = = e = =. = gibi bsit örnekler verebilirsiniz. n = nçiftise, n tek ise, n n ( ) = = 5 n n... = n dir. n

10 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek Aşğıdki it değerlerini bulun bklım. ) ( 5 ) = Trigonometrik Fonksionlrın Limiti Diğerlerinden hiçbir frkı ok. Yine gördüğünüz ere verilen değeri zcksınız. O kdr. b) ( 7 ) = c) ( ) = d) ( 5 6 ) = e) ( 5 ) = Örneğin, sin = sin cos = cos dır. Çok d uztm gerek ok. Değil mi? Örnek 9 ( ) sin tn π itinin değeri kçtır? Cevp: 5 Örnek 8 (( ) ) 6 = olduğun göre, nın lbileceği tm sılrın toplmı kçtır? Cevp: 9 Örnek sin 5 itinin değeri kçtır? Cevp:

11 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek sin π cos itinin değeri kçtır? Örnek cos sin π sin 8 Cevp: itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek cos sin π cos itinin değeri kçtır? Cevp: - Örnek 5 cos sin π cos sin itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek sin π cos itinin değeri kçtır? Cevp: -

12 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Belirsizlikler Öncelikle şunu söleeim. Yok efendim bu belirsizlikler sçmmış Yok böle şe olur mumuş, gibi mntıksl bir sonuç çıkrm çlışmın. İlle de çıkrcğım diorsnız LYS e kdr bunlrı öğrenmeniz lzım geldiği sonucunu çıkrın. Sinirimi bozmın. Örnek 6 b b b itinin değeri nedir? Cevp: b ) belirsizliği Örneğin itinin değerini bullım. erine zınc ne oluor? çıkıor. Değil mi? Yni hem p, hem de pd nı nd sıfır klşıor. Sizce bu neden knklnıor? - Evet Bekliorum. -? belirsizliği oln durumlrd gerekli sdeleştirmeleri prk belirsizliği ortdn kldırcksınız. Bu- nun için birz cebirsel etenek ihticınız olur. O kdr. Gerisi teferrut. Örnek 7 m m = 8 m m olduğun göre, m kçtır? Cevp: Örnek itinin değeri kçtır? Cevp: - Örnek 8 cos sin itinin değeri kçtır? Cevp:

13 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 9 f() = olduğun göre, f() f() 9 iti kçtır? Cevp: 7 6 belirsizliğinin klsik bir tipi de şu. Gerçi türevi öğrendiğinizde bunu bilmeseniz bile ine çözebileceksiniz. Am şimdilik bununl idre edin bklım. sin b b = dir. Htt sin erine tn d sdece ve b erine sinb d tnb zsnız dhi frk etmez. - Hımmm -V be! Örnek Örnek sin6 h ( h) 9 h itinin değeri kçtır? Cevp: itinin değeri nedir? Cevp: Örnek sin 6 9 itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek ve b reel sılr olmk üzere, = b olduğun göre, b toplmı kçtır? Cevp: Örnek sin 5.cos itinin değeri kçtır? Cevp:

14 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 5 Örnek 8 sin( ) tn itinin değeri kçtır? Cevp: itinin değeri kçtır? Cevp: ) belirsizliği Örnek 6 sin 5 tn7 sin Bu belirsizlikle dh çok p ve pdnın polinom tipi olduğu rsonel fonksionlrd krşılşcksınız. itinin değeri kçtır? Cevp: n n... n n = m m b... b b m m dir. Eğer, Pın derecesi pdnın derecesinden büükse it değeri, Pın derecesi dh küçükse it değeri (sıfır), P ve pdnın dereceleri eşit ise it bş kt sılrın ornın eşit olur. Derece Sırsı Örnek 7 ( ) ( ) tn sin6 6 itinin değeri kçtır? Sonsuz en hızlı hngisi gider? Bu muhbbeti nlmk için mntığınızı devree sokun iken li ifdeleri sonsuz gitme hızlrın göre sırldım. Cevp: 9 6 >! > 5 > e > > > log > sin > sı sı ( sı) Bu ifdelerden herhngi ikisi d dh fzlsı bir rd ise sonsuz hızlı gideni tespit edip diğerlerini sllın. Sonsuz ilk kim giderse brğı sonsuz o diker. Gerisi old telef olur. Onun için t en bşt sllın gitsin. Anldınız mı? 5

15 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Aslınd sonsuzlrı krşılştırmk doğru değil. Lkin burd nltmk istediğim değişkenine bğlı ifdelerin bzılrı çok hızlı bir şekilde sonsuz koşr ve diğerlerini utr! Evet. Öle diebilirsiniz. Müsde ediorum Örnek (n ) n n n itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 5 itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 5 n ( n )! n! n! (n )! Örnek iti kç eşittir? Cevp: iti kç eşittir? Cevp: Örnek 55 Örnek 5 5 itinin değeri kçtır? Cevp: 5 itinin değeri kçtır? Cevp: 6

16 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 56 Örnek itinin değeri nedir? Cevp: ( ) ( b) = olduğun göre, b kçtır? Cevp: Örnek 57 n ( k ) s k n = = n n olduğun göre, s n n itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 6 n 6 n 5 iti bir reel sı eşit olduğun göre n nin lbileceği doğl sı değerlerinin toplmı kçtır? Cevp: Örnek 58 n reel sı olmk üzere, (m ) (m ) = n (m ) olduğun göre, m n toplmı kçtır? Örnek 6 7 itinin değeri kçtır? Cevp: 5 Cevp: 7

17 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 6 itinin değeri kçtır? Cevp: - Örnek 66 5 ( ) b = 5 olduğun göre,.b çrpımı kçtır? Cevp: - Örnek 6 sin itinin değeri nedir? Cevp: ) belirsizliği belirsizlikleri ilk önce ve biçimine getirilir, sonr d bilinen öntemlerle it değerleri bulunur. Çok uztm gerek ok. Bkın örneklere. Eğer belirsizlik şğıdki gibi ise pd eşitlein ve dönüştürerek devm edin. Örnek 67 Örnek 6 f() = 5 olduğun göre, itinin değeri kçtır? f( ) f() 5 Cevp: itinin değeri kçtır? Cevp: 8

18 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 68 itinin değeri kçtır? Cevp: Am bunun pırt. olu d vr. Yni formülcüğü Bksnız formüle. b c = b Ve formülü kullnılır kıllım. dır. Örnek 7 ( ) itinin değeri kçtır? Cevp: Am bzen belirsizliği ok etmek o kdr kol olmbilir. Örnek 69 itinin değeri kçtır? Cevp: Örnek 7 ( ) 8 itinin değeri nedir? Cevp: Örnek 7 ( ) m n 6 = olduğun göre, m kçtır? Cevp: - Bu tür durumlrd p ve pdı (Hni bunun pdsı w )eşlenik ifdelerle çrprk kökleri ok edersiniz. Sonrsı ine bildiğiniz gibi 9

19 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM ). belirsizliği Bu tür bir belirsizlikle krşılştığınızd bunlrı d ine ve belirsizliklerinden birine dönüştürün ve öle işlem pın. Tmm mı? 5) belirsizliği Burd belirsizliğinin sdece özel bir durumun değinip geçe. Önce şu mm kutusundkileri bilmeniz lzım ki burdki sorulrd problem şmsınız. Nsıl pcğınızı d siz düşünün Benden sölemesi Örnek 7 n.sin n n itinin değeri kçtır? Cevp: Mm Kutusu = e n m.n e b = b c Nsılmış? Bir şe nldınız mı? Nese Bunu klıp olrk bilmekte fd vr. Örnek 76 Örnek 7.tn 6 itinin değeri kçtır? ( ) itinin değeri nedir? Cevp: e Cevp: Örnek 75 π.tn π itinin değeri kçtır? Cevp: - Örnek 77 6 itinin değeri nedir? Cevp: e 5

20 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 78 Örnek 8 7 itinin değeri nedir? Cevp: e ( ) itinin değeri nedir? Cevp: 8 e Örnek 79 itinin değeri nedir? Cevp: e Süreklilik Sürekli eğri ( fonksion) ne demektir? Birz ilkel m çok mntıklı bir tnım. Koordint düzleminde kolunu kldırmdn çizebildiğin eğriler sürekli eğrilerdir. H Bu rd önce şunu söleeim. Limit kpısındn girmeden süreklilik kpısı tıkltılmz. Bir Noktd Süreklilik Örnek 8 5 itinin değeri nedir? Cevp: 6 e Bir f fonksionunun = noktsınd sürekli olmsı için bu noktdki it değeri ile tnımlı olduğu değer eşit olmlıdır. Yni, f ( ) f ( ) = olmlıdır. Aşğıdki f() fonksionun psisi, b, c, d ve e oln noktlrındki sürekliliğini incelein bklım. b c d e f() 5

21 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM = d, Süreklilik sorulrı dh çok şimdi vereceğim şekilde (prçlı fonksiond) sorulur. = b de, = c de, Örnek 8, > ise f( ) =, = ise b, < ise fonksionu = de sürekli olduğun göre, b toplmı kçtır? Cevp: - 6 = d de, = e de, Örnek 8 Örnek 8 f(), < ise f() = 5, ise fonksionu = noktsınd sürekli olduğun göre, kçtır? Cevp: Şekilde f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre, ( 6, 7) rlığındki kç noktd f() fonksionu süreksizdir? Cevp: Beş noktd 5

22 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 85 m, < ise f() = 5, = ise n, > ise fonksionu = noktsınd sürekli olduğun göre, m n toplmı kçtır? Cevp: 8 Örnek 87 sin6, < ise m f() =, = ise n.cos π, > ise fonksionu = noktsınd sürekli olduğun göre, m n toplmı kçtır? Cevp: 7 Örnek 86 m n, < ise f() = 5, = ise n, > ise fonksionu de sürekli olduğun göre, m.n çrpımı kçtır? Cevp: - 6 Örnek 88, < ise 9 f() = 5, ise, ise fonksionunun süreksiz olduğu noktlrın psisleri toplmı kçtır? Cevp: 5

23 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 89 f() ve g() fonksionlrı = noktsınd sürekli olduğun göre, şğıdki fonksionlrdn hngisi bu noktd sürekli olmbilir? A) f() g() B) f().g() C) ( fog )() D) f() g() E) f() g() Cevp: C Örnek 9 f() = 5 9 fonksionunu süreksiz pn değerlerinin toplmı kçtır? Cevp: Arlıkt Süreklilik f() b Bir f fonksionunun [,b] ınd sürekli olmsı için f nin (, b) ınd sürekli olmsı ve fonksionun = noktsındki sğdn iti f() ve = b deki soldn iti de f(b) e eşit olmsı gerekir. Örnek 9 f() = 5 (m ) fonksionunun süreksiz olduğu noktlrın toplmı olduğun göre, m kçtır? Cevp: - (Zten noktsınd soldn it ve b de de sğdn it die bir şe olmz burd. Onun için rmnız gerek ok. ) İşin özeti şu slınd; Tnım kümesinin her noktsınd sürekli oln fonksion sürekli fonksion denir. Örnek 9 Örnek 9 f() = fonksionu kç noktd süreksizdir? Cevp: f() = m fonksionu lnız bir noktd süreksiz olduğun göre, m kçtır? Cevp: 5 5

24 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek 9 Her reel sı değeri için, f() = 5 (m ) fonksionu sürekli olduğun göre, m nin lbileceği değerlerin rlığı nedir? Cevp: (-, 5) Örnek 97 f() = 5 fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık nedir? Cevp: [, 7] Örnek 95 f() = 5 log 5 ( ) fonksionu in hngi değeri için süreksizdir? Cevp: Örnek 98 ( ) f() = log 5 fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık nedir? Cevp: (,5) Sınırlı Fonksionlr Örnek 96 f() = Aiçin, m f() Molck biçimde m ve M reel sılrı vrs f fonksionu sınırlı fonksiondur. Aksi hlde fonksion sınırsız olur. fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık nedir? Cevp: [, 6] Şekildeki f() fonksionu sınırlı bir fonksiondur. Ve f() 5 olduğundn f() in en büük lt sınırı, en küçük üst sınırı ise 5 tir. 55

25 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM f() f() Bu fonksionlr ise sınırsızdır. Zten belli değil mi? Hem lttn hem de üstten sınırı mınırı ok. Örnek f:, R f() = fonksionunun en büük lt sınırı m, en küçük üst sınırı M olduğun göre, m M toplmı kçtır? Cevp: - 5 Tbii ki fonksionun grfiği verilirse sınırlı olup olmdığını sölemek kol. Am fonksionun grfiğini değil de denklemini verirseler fonksionun sınırlrını bulmk için sizde bolc vr oln! cebirsel etenekleri döktürmeniz lzım. Ne demek istediğimi nlmk isterseniz bkın. Örnek 99 f: [,] f() = fonksionunun en küçük üst sınırı ile en büük lt sınırının toplmı kçtır? Cevp: Arıc, Bir rlıkt en küçük ve en büük değeri oln bir fonksion bu iki değer (en büük ve en küçük değer)rsındki her değeri en z bir kez lır. Bunun ışığınd şunu düşünebilirsiniz Örnek f() = cos fonksionunun en büük lt sınırı K, en küçük üst sınırı M olduğun göre, K.M çrpımı kçtır? Cevp: b f() b f() [, b] ınd sürekli f fonksionu için f( ).f( b) < ise fonksionu (, b) ınd O eksenini en z bir erde keser. 56

26 LİMİT VE SÜREKLİLİK. BÖLÜM Örnek f: [,] R f() = olduğun göre, nın hngi rlıktki değerleri için (, ) rlığınd f() = denkleminin bir kökü vrdır? 5 Cevp:, 6 Örnek Aşğıdki denklemlerden hngisinin (, ) rlığınd en z bir kökü vrdır? A) C) = B) = = D) = E) = Cevp: B 57

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1 Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Analiz Notları Mustafa YAĞCI, Fonksiyonların Limiti

Analiz Notları Mustafa YAĞCI, Fonksiyonların Limiti www.mustfgci.com.tr, 4 Anliz Notlrı Mustf YAĞCI, gcimustf@hoo.com Fonksionlrın Limiti kuduğunuz u stırlrın zrının, ni endenizin, nı ın nı gününde m 4 ıl rl doğmuş iki kızı vrdır. Büüğünün dı Neslihn, küçüğünün

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4

1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4 98 ÖYS. işleminin sonucu kçtır. 6. Bir stıcı ir mlı üzde 0 krl strken, stış fitı üzerinden üzde 0 indirim prk 8 lir stıor. Bu mlın mlieti kç lirdır? A) 0 B) 00 C) 80 D) 70 E) 60 7.,, c irer pozitif tm

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

DERS 3. Fonksiyonlar - II

DERS 3. Fonksiyonlar - II DERS 3 Fonksionlr - II Bu derste fonksionlr için eni örnekler göreceğiz. Önce, grfik çiziminde kollık sğlck ir kvrmdn söz edeceğiz. 3.. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri. Bir fonksionun grfiğine kınc

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

x ise x kaçtır?{ C : }

x ise x kaçtır?{ C : } İZMİR FEN LİSESİ LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI LOGARİTMA FONKSİYONU. ( ) ( ) f m m m R C : fonksionunun m { ( 0,) } dim tnımlı olmsı için?.. f ( ) ( ) fonksionunun tnım kümsind kç tn tm sı vrdır?{ C : }.

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01 LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 0. f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu 6. 7 f() = log ( ) fonksiyonunun tnım bulunuz? rlığı nedir?. + f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz? 6 log? 8 = 7.. f() = log

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar DERS 3 Doğrusl Fonksionlr Qudrtic Fonksionlr Polinomlr 3. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grfiğinin koordint eksenlerini kestiği noktlr o fonksionun koordint kesişimleri

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

A, A, A ) vektör bileşenleri

A, A, A ) vektör bileşenleri Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği

Detaylı

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü 6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS 1 Sı Kümeleri ve Koordintlr 1.1 Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuucunun küme kvrmın bncı olmıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul edioruz. Bununl berber kümelerle

Detaylı

( x y ) 2 = 3 2, x. y = 5 tir. x 2 + y 2 2xy = 9. x 2 + y 2 = 19 bulunur. Cevap D / 24 / 0 ( mod 8 ) Pikaçu.

( x y ) 2 = 3 2, x. y = 5 tir. x 2 + y 2 2xy = 9. x 2 + y 2 = 19 bulunur. Cevap D / 24 / 0 ( mod 8 ) Pikaçu. eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ. I. KK (, ) = : Z II. KK (, ) = : Z III. KK ( 8, ) = 7 7 : Z. - - = = ( ) ile. rlrınd sl ise ( ) =,. = tir. + = + = bulunur. evp evp. + / / ( mod 8 ) Pikçu. M n + n n + 8

Detaylı

LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ

LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ .. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür.

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür. OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

9. log1656 x, log2 y ve log3 z

9. log1656 x, log2 y ve log3 z ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Logritm Alm Kurllrı Dersin Konusu. log4 loge ln4 işleminin sonucu kçtır? D) ln E) ln 6. olduğun göre, 8 9 log 9 4 ifdesi nee eşittir? D) E). log

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:

Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim: 08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir. Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış

Detaylı

www.ortokulmtemtik.org BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçerisinde en z bir bilinmeyen bulunn eşitliklere denklem denir. Denklemde semboller y d hrfler ile gösterilen değişkenlere bilinmeyen denir. Denklemde

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

12. a = log 5 7, b = log 3 2 ve c = log 2 13 sayıları arasındaki. 13. log 3 75 sayısı aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?

12. a = log 5 7, b = log 3 2 ve c = log 2 13 sayıları arasındaki. 13. log 3 75 sayısı aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur? www.mtemtikclub.cm, 00 MC Cebir Ntlrı Gökhn DEMĐR, gdemir@h.cm.tr Lgritm. lg TEST I lg + lg 9 işleminin snucu C) 4. lg + = ise kçtır? 9 C) 4 9. lg 7! = ise lg 8! C) + 0. lg = ve lg = b ise lg 9 0 nin ve

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle

Detaylı

MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLER 1

MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLER 1 MTEMTİK TESTİ ÇÖZÜMLER. (0,06) 0,9 (0,0) 0,8 (6. 0 ) (. 0 ) 9. 0 8. 0 6. 0 6. 0 9. 0 8. 0. 0. 0 ( ). 0. ò + ò5 0 ñ + 0 ñ ñ6 + ñ6 0(/¼ + /») 5ñ6 ñ + ñ 0.( ) ñ6. 0 0,00 ñ6 5ñ6. 0.(ñ + ñ) evp 0 0. (ñ + ñ)

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3 Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin Bu ürünün ütün hklrı ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne ittir. Tmmının y d ir kısmının ürünü yyımlyn şirketin önceden izni olmksızın fotokopi y d elektronik, meknik herhngi ir kyıt sistemiyle

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik

Detaylı