Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1

Transkript

1 Algoritmalara Giriş 6.06J/8.0J Ders 8 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Doğrusal Programlama ve fark kısıtları VLSI yerleşimi küçültülmesi Prof. Erik Demaine November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

2 Negatif-ağırlık çevrimleri Hatırlatma: Eğer grafik G = (V, E) negatif ağırlık çevrimi içeriyorsa, en kısa yollardan bazıları bulunmayabilir. Örnek: < 0 u u vv November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

3 Negatif-ağırlık çevrimleri Hatırlatma:Eğer grafik G = (V, E) negatif ağırlık çevrimi içeriyorsa, en kısa yollardan bazıları bulunmayabilir. Örnek: < 0 uu vv Bellman-Ford algoritması:bir s V kaynağından tüm v V' lere bütün kısa yol uzunluklarını bulur ya da bir negatif ağırlık çevrimi olduğunu saptar. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

4 Bellman-Ford algoritması d[s] 0 for each(her bir) v V {s}(için) do(yap) d[v] ilklendirme for(için) i to V '(e) do for each edge(her kenar için yap) (u, v) E do(yap) if(eğer) d[v] > d[u] + w(u, v) then(sonra) d[v] d[u] + w(u, v) Gevşetme adımı for each edge (u, v) E do if d[v] > d[u] + w(u, v) sonra bunu negatif ağırlık çevrimi var diyerek raporla Sonunda, d[v] = δ(s, v), negatif ağırlık çevrimi yoksa. Süre = O(VE). November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

5 Bellman-Ford örneği BB AA 3 CC D 3 EE November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

6 Bellman-Ford örneği BB 0 AA 3 EE CC D İlklendirme. 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.6

7 Bellman-Ford örneği BB AA 3 EE CC D 3 Köşe gevşetme düzeni 6 8 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.7

8 Bellman-Ford örneği BB AA 3 EE CC 6 D 8 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.8

11 Bellman-Ford örneği BB AA 3 EE CC 6 D 8 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

12 Bellman-Ford örneği CC BB AA 3 EE 6 D 8 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

13 Bellman-Ford örneği CC BB AA 3 EE 6 D 8 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

16 Bellman-Ford örneği CC BB AA 3 EE D. geçişin sonunda November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.6

17 Bellman-Ford örneği 0 AA 3 CC 7 BB 6 3 D 8 3 EE November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.7

21 Bellman-Ford örneği 0 AA 3 CC 7 BB 6 3 D 8 3 EE November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

25 Bellman-Ford örneği 0 AA 3 CC 7 BB 6 3 D 8 3 EE. geçişin sonu (ve 3 ve ). November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

26 Doğruluk Teorem.Eğer G = (V, E) hiç negatif ağırlık çevrimi içermiyorsa, sonrasında Bellman-Ford algoritması, bütün v V' ler için d[v] = δ(s, v)' yi çalıştırır. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.6

27 Doğruluk Teorem.Eğer G = (V, E) hiç negatif ağırlık çevrimi içermiyorsa, sonrasında Bellman-Ford algoritması bütün v V ler için Vd[v] = δ(s, v)' yi çalıştırır. Kanıt. v V herhangi bir köşe olsun ve s' den v' ye, üzerinde en az sayıda köşe olan en kısa yolun p olduğunu farzedin. p: s v 0 v v 3 v v v k p en kısa yol ise, δ(s, v i ) = δ(s, v i ) + w(v i, v i ). November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.7

28 p: s v 0 Doğruluk (Devamı) v v 3 v v v k İlk olarak, d[v 0 ] = 0 = δ(s, v 0 ) ve d[v 0 ]sonraki gevşetmeler tarafından değiştirilmemiş. (Ders ' teki d[v] δ(s, v) kuramı sebebiyle). E' den geçiş sonra, d[v ] = δ(s, v ). E' den geçiş sonra, d[v ] = δ(s, v ). M E' den k geçiş sonra, d[v k ] = δ(s, v k ). Eğer G negatif ağırlık çevrimi içermiyorsa, p basittir. En uzun basit yolun V kadar kenarı vardır. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.8

29 Negatif ağırlık çevrimlerini bulma Doğal Sonuç. V geçiş sonra d[v] değeri birleşmede başarısız olursa, G' de s' den erişilebilir bir negatif ağırlık çevrimi vardır. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.9

30 Doğrusal programlama A, m n bir matris olsun, b, m-vektörü ve c n-vektörü olsun. c T x öznesini Ax b ' ye maksimize eden n-vektör x' i bulun ya da böyle bir çözümün bulunmadığını belirleyin. n m. maksimize ediliyor. A x b ct x November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.30

31 Doğrusal programlama algoritmaları Genel problem için algoritmalar Tek yönlü (Simplex) yöntemler Pratik, ama en kötü koşma süresi, üstel zamanlı. Dahili-nokta yöntemi polinomsal zamanlı ve tek yönlü (simplex) yöntemle yarışır. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

32 Doğrusal programlama algoritmaları Genel problem için algoritmalar Tek yönlü (Simplex) yöntemler Pratik, ama en kötü koşma süresi, üstel zamanlı. Dahili-nokta yöntemi polinomsal zamanlı ve tek yönlü (simplex) yöntemle yarışır. Fizibilite problemi: Optimizasyon kriteri yok. Ax b için bir x bulun. Genellikle, alışılmış LP (doğrusal programlama) kadar zordur. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

33 Fark kısıtlarının sisteminin çözümlemesi Her satırı sadece bir tane, bir tane - içeren ve kalanı 0 olan A için doğrusal programlama. Örnek: x x 3 x x 3 x x 3 x j x i w ij November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.33

34 Fark kısıtları sisteminin çözümlemesi Her satırı sadece bir tane, bir tane - içeren ve kalanı 0 olan A için doğrusal programlama. Örnek: x x 3 x x 3 x x 3 x j x i w ij Çözüm: x = 3 x = 0 x 3 = November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

35 Fark kısıtları sisteminin çözümlemesi Her satırı sadece bir tane, bir tane - içeren ve kalanı 0 olan A için doğrusal programlama. Örnek: x x 3 x x 3 x x 3 x j x i w ij Çözüm: x = 3 x = 0 x 3 = Kısıt grafiği: x j x i w ij v ii w ij v jj ( A matrisinin boyutları: E V.) November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

36 Karşılanamaz kısıtlar Teorem. Eğer kısıt grafiği bir negatif ağırlık çevrimi içeriyorsa, farklar sistemi karşılanamaz. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.36

37 Karşılanamaz kısıtlar Teorem. Eğer kısıt grafiği bir negatif ağırlık çevrimi içeriyorsa, farklar sistemi karşılanamaz. Kanıt. Negatif ağırlık çevrimi şöyle olsun: v v L v k v. sonrasında x x w x 3 x w 3 M x k x k w k, k x x k w k November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.37

38 Kısıtların karşılanması Teorem.Eğer kısıt grafiği bir negatif ağırlık çevrimi içeriyorsa, farklar sistemi karşılanamaz. Kanıt. Negatif ağırlık çevrimi şöyle olsun: v v L v k v. sonrasında x x w x 3 x w 3 M x k x k w k, k x x k w k bu nedenle x i için kısıtları karşılayabilecek 0 çevrimin ağırlığı bir değer yoktur. < 0 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.38

39 Kısıtların karşılanması Teorem. Kısıt grafiğinde negatif ağırlık çevrimi bulunmadığını farzedin. O zaman kısıtlar karşılanabilir. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.39

40 Kısıtların karşılanması Teorem.Kısıt grafiğinde negatif ağırlık çevrimi bulunmadığını farzedin.o zaman kısıtlar karşılanabilir. Kanıt. V' ye yeni bir s köşesi ekleyin ve bu v i V 'deki her köşeye 0- kenar ağırlığı ile gelsin. v v v 7 v 9 v 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.0

41 Kısıtların karşılanması Teorem.Kısıt grafiğinde negatif ağırlık çevrimi bulunmadığını farzedin.o zaman kısıtlar karşılanabilir. Kanıt. V' ye yeni bir s köşesi ekleyin ve bu v i V 'deki her köşeye 0- kenar ağırlığı ile gelsin. s v 0 v Not:Negatif ağırlık 9 çevrimi yok, v yani en kısa yollar var. v 7 v 3 November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

42 Kanıt (Devamı) İddia: x i = δ(s, v i ) ataması kısıtları karşılar. Bir x j x i w ij kısıtı olduğunu ve s den v j ve v i ye en kısa yollar olduğunu düşünün. ss δ(s, v i ) v ii δ(s, v j ) w ij Üçgen eşitsizliği bize δ(s,v j ) δ(s, v i ) + w ij ' yi verir. x i = δ(s, v i ) ve x j = δ(s, v j ) olduğunda, kısıt x j x i w ij karşılanır. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8. v jj

43 Bellman-Ford ve Doğrusal programlama Doğal Sonuç. Bellman-Ford algoritması m fark kısıtının olduğu bir sistemi n değişkenli olarak O(mn) süresinde çözebilir. Tek kaynaklı en kısa yollar basit bir LP problemidir. Aslında, Bellman-Ford x + x + L + x n öğesini, x j x i w ij ve x i 0 kısıt koşullarında maksimize eder (egzersiz). Bellman-Ford aynı zamanda max i {x i } min i {x i }' yi minimize eder (egzersiz). November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.3

44 VLSI yerleşimi küçültme uygulaması Entegre devre özellikleri: minimum ayrılma λ Problem:VLSI yerleşiminde, tüm nitelikleri çok yakınlaştırmadan, nitelikler arasındaki mesafeyi tek boyutta sıkıştırın. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.

45 VLSI Yerleşimi küçültmesi d Kısıt: x x x x d + λ Bellman-Ford max i {x i } min i {x i }, x-boyutunda yerleşimi en aza indirir. November 6, 00 Copyright 00- by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L8.