SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı"

Transkript

1 Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6

2 AÇIKLAMA Bu sununun hazırlanmasında, izleyen kitaplardaki örneklerden faydalanılmıştır: Wayne L. Winston, OPERATIONS RESEARCH Applications and Algorithms Chapter 4, The Simple Algorithm and Goal Programming, 4th edition, 4, Brooks/Cole-Thomson Learning. Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J. ve Sherali, H.D., Linear Programming and Network Flows, 3rd Edition, Wiley- Interscience, 5. Rastlayabileceğiniz hataların sorumluluğu tarafıma ait olup, beni haberdar etmenizden memnun olacağımı ifade ederim. Doç. Dr. Nil Aras, 6

3 Simpleks tablosu z X B X N STS z C B B - N C N C B B - b X B I B - N B - b Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

4 Simpleks tablosu ENİYİLİK KOŞULLARI Z X B X N STS Z C B B - N C N C B B - b X B I B - N B - b UYGUNLUK KOŞULLARI B - b OLMALIDIR Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

5 Simpleks tablosunda önemli koşul:. Uygunluk Koşulu B - b olmalıdır.. Eniyilik Koşulu Amaç ENB ise: (C B B - N C N ) Amaç ENK ise: (C B B - N C N ) Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

6 Başlangıç temel uygun çözüm bulma zorluğu Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

7 Başlangıç temel uygun çözüm bulma zorluğu Verilen doğrusal karar modelinin simpleks algoritması ile çözülebilmesi için, modele bir başlangıç temel uygun çözüm bulunması gerekmektedir. Modelin kısıtları eşitlik haline getirildiğinde A katsayılar matrisi içerisinde I m varsa, bu işlem birim matrise karşı gelen değişkenler temele alınarak kolaylıkla yapılabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

8 I ya karşı gelen değişkenler X B olarak ele alınır. B=I=B - olduğundan, simpleks tablosu doğrudan yazılabilir. Z + (C B B - N C N ) X N X B + B - NX N = B - b = C B B - b.z +.X B + (C B B - N C N ).X N = C B B - b.z + I.X B + B - N.X N = B - b Z X B X N STS Z C B N C N C B b X B I N b Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

9 Örneğin, Modelin tüm kısıtları tipinde ise ve sağ taraf sabitleri de negatif olmayan değerde ise, bir başlangıç temel uygun çözüm bulmak çok kolaydır. Her kısıta eklenen aylak değişkenlerle A içerisinde birim matris oluştuğundan, başlangıç temel uygun çözümde aylak değişkenler temel değişkenler olarak ele alınır ve değerleri de sağ taraf sabitlerine eşit olur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

10 A matrisinde I yoksa!!!! Herhangi m adet değişken X B olarak ele alınıp, B - hesaplanır ve simpleks tablosu düzenlenir. Ancak uygunluk veya eniyilik koşulunun sağlanması garanti edilemez ve sistematik bir yol değildir. YAPAY DEĞİŞKEN TEKNİKLERİ kullanılır. Modelin uygun olan kısıtlarına A da I oluşturacak şekilde yeterince yeni değişken eklenir. Büyük M İki evreli Tek yapay değişken Doç. Dr. Nil Aras, 6

11 Yapay değişken eklentisi Katsayılar matrisi içerisinde birim matris oluşturacak şekilde, uygun kısıtlara eksi değer almayan yapay değişkenler eklenir. X a : Yapay değişkenler vektörü olsun. AX b AX X a b X X, X a Doç. Dr. Nil Aras, 6

12 Yapay değişken eklentisi Böylece katsayılar matrisi A, içerisinde bir birim matris oluşacak şekilde genişletilmiş olur. Birim matrise karşı gelen değişkenler temel değişken takımı olarak ele alınıp başlangıç temel uygun çözüm bulunabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6

13 Yapay değişken eklentisi Yapay değişkenli algoritmaları kullanabilmek için öncelikle izleyen adım yerine getirilir : Tüm kısıtlar sağ taraf sabitleri (STS) negatif olmayacak şekilde, standart biçime dönüştürülür. Eğer veya = tipindeki i. kısıtta, A da birim sütun vektörü (i.elemanı, diğer elemanları olan vektör) oluşturan bir değişken yoksa, i. kısıta bir yapay değişken ( olan) eklenir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

14 BEVCO Örneği (Winston, 7.sh): Asıl model Standart biçime dönüştürülmüş model Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

15 A da birim matris yok! A / / 4 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

16 Doç. Dr. Nil Aras, 6 6 A da birim matris oluşturmak için, ikinci ve üçüncü kısıtlara a ve a 3 yapay değişkenleri eklenir.,a,a,e,s, a a e 3 4 S / / A

17 Başlangıç temel uygun çözüm 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 Temel değişkenler: S, a, a 3 S =4, a =, a 3 = Temel dışı değişkenler:,,e = =e = Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

18 Yapay başlangıç çözümün grafikteki gösterimi Başlangıç temel uygun çözüm: S =4, a =, a 3 = = =e = Bu nokta, grafik üzerinde [,] noktasına karşı gelmekte olup, görüldüğü gibi orijinal problemin uygun çözüm alanı içinde değildir. Başlangıç temel uygun çözüm S X = 4 = e a a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

19 AX X a b Önemli!!! X, X Yapay değişkenlerin temelde yer aldığı başlangıç temel uygun çözüm, orijinal model için bir TUÇ değildir. İzleyen ardıştırmalarda bu yapay değişkenlerin sıfır değerini alması istenir. X a = olduğunda AX=b orijinal denklem sistemi için de bir TUÇ bulunmuş olacaktır. Yapay değişkenleri elemek için kullanılan yöntemlerden üçü: Büyük M yöntemi İki evreli yöntem Tek yapay değişken tekniği a Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

20 BÜYÜK M YÖNTEMİ

21 M katsayısı Yöntem adını, amaç fonksiyonunda yapay değişkenlere verilen birim katkılardan almıştır. Yapay değişkenler aslında modele sonradan giren yabancı değişkenler olduklarından, simpleks algoritmasının sonraki yinelemelerinde sıfır değerini alarak temel dışına çıkmalarını sağlamak üzere bu değişkenlere amaç fonksiyonunda bir ceza katsayısı verilir. M, verilen bu ceza katsayısı olup, yeterince büyük, pozitif değerli bir sayı olarak tanımlanır. Doç. Dr. Nil Aras, 6

22 Simpleks algoritması ile modelin çözümünü bulabilmek için, yapay değişkenlerden bir an önce kurtulmak için gerekli önlemler alınmalıdır. Bu amaçla yapay değişkenlere M çok büyük bir sayı olmak üzere, amaç fonksiyonunu ters yönde etkileyen birim katkılar verilir. Amaç ENB ise, c i = - M, a i Amaç ENK ise, c i = + M, a i Doç. Dr. Nil Aras, 6

23 Modelin amaç fonksiyonu izleyen şekilde değişir: ENB Z c j j j i Ma i ENK Z c j j j i Ma i Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

24 Orijinal model AX = b X ³ k.a. ENKZ=CX (ENBZ=CX) Yapay değişkenli model AX + X a = b X, X a ³ k.a. ENKZ=CX +M å i Xai (ENBZ=CX - Må Xai ) i Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

25 Bevco örneğinde amaç fonksiyonu izleyen şekilde değiştirilir: 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

26 Bu eklentilerle başlangıç tablo düzenlenerek, normal simpleks algoritmasının adımları uygulanır. Büyük M yöntemi uygulanırken, başlangıç tablonun sıfır satırına dikkat edilmelidir. Yapay değişkenler başlangıç TUÇ de yer alacağından sıfır satırından bunların elenmesi gerekir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

27 ENİYİ ÇÖZÜM Tüm yapay değişkenler sıfırdır Herhangi bir yapay değişken temelde ve sıfırdan büyük bir değer almıştır. Yapay değişken temel dışıdır. Yapay değişken temelde fakat sıfır değerini almıştır. Orijinal problemin ENİYİ ÇÖZÜMÜ bulunmuştur. Orijinal problemin uygun bir çözümü yoktur. UÇA= Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

28 Yapay değişkenli modelin çözümü Eniyi çözüm var Sınırsız çözüm var X a = Asılın eniyi çözümüne erişilmiştir. X a Asılın uygun çözümü yoktur. X a = Asılın sınırsız çözümü vardır. X a Asılın uygun çözümü yoktur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

29 BEVCO Örneği (Winston, 7.sh): Asıl model Büyük M yöntemine göre düzenlenmiş model 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 EnkZ 3 Ma Ma 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

30 Büyük M yöntemine göre düzenlenmiş model Z CX AX b X k.a. Enb(Enk) Z Z 3 Ma Ma S e a 4 a 3, EnkZ,S,e,a,a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

31 Simpleks tablosunu oluşturma Z S e Ma a Ma a 3 3 4,,S,e,a,a 3 EnkZ Z S e a a 3 STS Z M -M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Dikkat! a ve a 3 temelde yer alacağından, sıfır satırından bunlar elenmelidir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

32 Z 3 Ma Ma 3 Sıfır satırının düzenlenmesi 4 3 S e a a 3 4,,S,e,a,a 3 EnkZ a ve a 3 temelde yer alacağından, sıfır satırından bunlar elenmelidir. Sıfır satırını, ikinci satırın M katı ile ve üçüncü satırın M katı ile toplarsak istediğimiz düzeni elde ederiz. + Satır : z Ma - Ma 3 = M.(satır ) : M +3M - Me + Ma = M M.(satır 3) : M + M + Ma 3 = M Yeni satır : z + (M-) + (4M-3) - Me = 3M Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

33 Başlangıç simpleks tablosu Z (M ) (4M 3) 4 3 S Me e a 3M 4 a 3 Z S e a a 3 STS Z (M-) (4M-3) -M 3M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 33

34 Başlangıç çözüm (,) noktası X = S e a a 3 = 4 Doç. Dr. Nil Aras, 6 34

35 Başlangıç TUÇ Z S e a a 3 STS Z (M-) (4M-3) -M 3M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Eniyilik sınaması: temele girer, a temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 35

36 Birinci ardıştırma sonundaki simpleks tablosu Z S e a a 3 STS Z (/3M-) (/3M-) (-4/3M+) /3M + S 5/ / -/ 7/3 /3 -/3 /3 /3 a 3 /3 /3 -/3 /3 NOT: Yapay değişkenler temelden ayrıldığında, bu değişkenlere ait sütunlar istenirse tablodan çıkarılabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 36

37 Birinci ardıştırma sonunda elde edilen çözüm (, /3) noktası X = S e a a 3 = /3 7/3 /3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 37

38 Birinci ardıştırma: temele girer, a 3 temelden çıkar. Z S e a 3 STS Z (/3M-) (/3M-) /3M + S 5/ / 7/3 /3 -/3 /3 a 3 /3 /3 /3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 38

39 İkinci ardıştırmadaki simpleks tablosu Z S e STS Z -/ 5 S -/8 /4 -/ 5 / 5 Doç. Dr. Nil Aras, 6 39

40 İkinci ardıştırma sonunda elde edilen çözüm (5, 5) noktası X = S e a a 3 = 5 5 /4 Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

41 Eniyi simpleks tablosu Z S e STS Z -/ 5 S -/8 /4 -/ 5 / 5 İkinci ardıştırma sonunda yapay değişkenli modelin eniyi çözümü bulunmuştur. Yapay değişkenlerin her ikisi de sıfır değeriyle çözümde yer aldığından, orijinal modelimizin de ENİYİ ÇÖZÜMÜNÜN bulunduğu söylenir. Eniyi çözüm: = =5, Enk z=5 Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

42 YAPAY DEĞİŞKENLİ MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ = ORJİNAL MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

43 Büyük M yöntemi ile çözümde UYGUN ÇÖZÜM OLMAMASI DURUMU BEVCO Örneği (Winston, 77.sh): Bevco modelinin ikinci kısıt STS değeri 36 olarak değiştirilsin. Model büyük M yöntemini kullanarak çözüldüğünde, birinci ardıştırma sonunda eniyi simpleks tablosuna ulaşılır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 43

44 Eniyi simpleks tablosu Z S e a STS Z -M -M 3-4M 3+6M S ¼ -/4 3/ a Birinci ardıştırma sonunda yapay değişkenli modelin eniyi çözümü bulunmuştur. a yapay değişkeninin 6 değeri ile eniyi çözümde yer alması, modelin yapay değişkenler olmadan uygun bir çözümünün elde edilemediğini gösterir. Orijinal modelin uygun bir çözümü yoktur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 44

45 YAPAY DEĞİŞKENLİ MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ ORJİNAL MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ YOK (UÇA=) Doç. Dr. Nil Aras, 6 45

46 İKİ EVRELİ SİMPLEKS ALGORİTMASI

47 Problemin çözümü iki evreye ayrılır. Modelin çözümü, önce yapay değişkenlerin yer aldığı amaç fonksiyonu, sonra da orijinal modelin amaç fonksiyonu ile araştırılır. Birinci evrede amaç, orijinal model için bir temel uygun çözüm bulunmasıdır. İkinci evrede amaç, birinci evrede bulunan temel uygun çözümden hareketle, bildiğimiz simpleks algoritması ile eniyi çözümün bulunmasıdır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 47

48 . EVRE Orijinal modelin amaç fonksiyonu, yapay değişkenlerin toplamının enküçüklenmesinin istendiği amaç fonksiyonu ile değiştirilir. Birinci evrede, yalnız yapay değişkenlerden oluşan amaç fonksiyonu ele alınmakta, yani j ler için c j ler sıfır olarak işleme girmektedir. AX + X a = b X, X a ³ k.a. Enk X =.Xa veya AX + X a = b X, X a ³ k.a. Enb X = -.Xa Doç. Dr. Nil Aras, 6 48

49 AX + X a = b. evre X, X a ³ k.a. Enk X =.Xa Birinci evrede ele alınan modelin genişletilmiş katsayılar matrisi içinde birim matris olduğuna göre, bu haliyle modelin en az bir temel uygun çözümü vardır. Yani, birinci evredeki modelin simpleks algoritması ile çözümünde UÇA nın boş olduğundan söz edilemez. Birinci evrenin sonunda sınırsızlık da söz konusu olamaz. Çünkü amaç fonksiyonu hiçbir zaman sonsuza gidemez.. evrenin sonunda, eniyilik koşulları sağlanan bir simpleks tablo vardır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 49

50 . Evre sonunda elde edilen eniyi çözümde Yapay değişken temel dışı X = Yapay değişken temelde fakat sıfır değerini almış X Orijinal problemin uygun bir çözümü yoktur. UÇA= Orijinal problemin uygun bir çözümü vardır. İkinci evreye geç. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

51 . evre sonu Eğer orijinal problem uygun bir çözüme sahipse,. evrenin eniyi çözümünde amaç fonksiyonu sıfır değerini alır ve İKİNCİ EVREYE GEÇİLİR. Eğer orijinal problemin uygun bir çözümü yoksa,. evre sonunda amaç fonksiyonu değeri sıfırdan farklı bir değer alır. Bu, temelde en az bir yapay değişkenin sıfırdan farklı bir değer aldığı anlamına gelir. Verilen modelin, yapay değişkenleri gözönüne almadan tek bir çözümü bile bulunamadığından, uygun çözüm alanı boş demektir ki, DURULUR. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

52 . EVRE Birinci evrenin son simpleks tablosu ele alınıp, verilen modelin amaç fonksiyonu Z - CX= olarak tablonun sıfır satırında yerini alır. Temel değişkenlere sıfır satırında karşı gelen değerler sıfırlanarak, modelin başlangıç simpleks tablosu düzenlenip, algoritmanın diğer adımlarına geçilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

53 . EVRE Karar modelinin çözümü sonucunda temel değişkenlere karşı gelen B - e ihtiyaç duyuluyorsa, ikinci evrede yapay değişkenlere de tabloda yer verilir. Bu durumda sıfır satırında yapay değişkenlere karşı gelen değerler büyük M yöntemine göre verilebileceği gibi, istenmesi halinde bu değerlerin yeri boşta bırakılabilir. Eğer B - e gerek yoksa, birinci evre sonundaki tablodan yapay değişkenlere karşı gelen sütunlar çıkartılarak işlemlere devam edilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 53

54 ÖZETLE. İki evreli simpleks algoritması, birinci evrede yapay değişkenleri sıfıra götürerek verilen modele bir başlangıç temel uygun çözüm araştırmakta; böyle bir çözüm yoksa uygun çözüm alanı boştur sonucuyla işlemleri durdurmakta, değilse ikinci adıma geçerek, doğrudan algoritmanın diğer adımlarının uygulanmasını sağlamaktadır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 54

55 ÖRNEK (Bazaraa, 53.sh.): + ³ - + ³ 3, ³ k.a. EnkZ = - Doç. Dr. Nil Aras, 6 55

56 Doç. Dr. Nil Aras, 6 56 Asıl model Standart biçime dönüştürülmüş model ( 3, 4 artık; 5 aylak değişken) EnkZ k.a., 3 - = ³ ³ + - ³ + EnkZ k.a.,,,, - = ³ = + = =

57 Doç. Dr. Nil Aras, 6 57 Birim matris oluşturabilmek için,. ve. kısıtlara yapay değişken eklenir ( 6, 7 ). EnkZ k.a.,,,, - = ³ = + = = EnkZ k.a.,,,,,, - = ³ = + = =

58 Örnekteki başlangıç temel uygun çözümün grafikteki gösterimi A da birim matris oluşturan değişkenler 6, 7 ve 5 olduğundan, başlangıç temel uygun çözümde bu değişkenler yer alacaktır. Başlangıç temel uygun çözümde, 6 =, 7 =, 5 =3 ve = = 3 = 4 = dır. Bu nokta, grafik üzerinde [,] noktasına karşı gelmekte olup, görüldüğü gibi orijinal problemin uygun çözüm alanı içinde değildir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 58

59 Doç. Dr. Nil Aras, 6 59.EVRE (Amaç fonksiyonu EnkW= veya EnBW=- 6-7 olarak değiştirilir) EnkW k.a.,,,,,, + = ³ = + = = EnkW k.a.,,,,,, W ³ = + = = =

60 w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

61 Sıfır satırında yapay değişken katsayılarını sıfır yapmak için, sıfır satırını. ve. satırla toplayıp sıfır satırı yerine yazalım. w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

62 . EVRE: Başlangıç simpleks tablosu w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

63 [, ] noktasından başladık. Doç. Dr. Nil Aras, 6 63

64 X TEMELE GİRECEK, X 7 TEMELDEN ÇIKACAK. w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 64

65 . EVRE: Birinci ardıştırma tablosu w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 65

66 Birinci ardıştırma sonucunda [, ] noktasına geldik. Doç. Dr. Nil Aras, 6 66

67 X TEMELE GİRECEK, X 6 TEMELDEN ÇIKACAK. w STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 67

68 . EVRE: İkinci ardıştırma tablosu w STS - - -/ / / -/ / -/ -/ / / 3/ / / -/ -/ 3/ Doç. Dr. Nil Aras, 6 68

69 İkinci ardıştırma sonucunda [/, 3/] noktasına geldik. Birinci evre sonunda, orijinal problemin uygun çözüm alanı içerisindeki bir uç noktaya ulaşıldı. Doç. Dr. Nil Aras, 6 69

70 . Evre sonucunda elde edilen eniyi çözüm w STS - - -/ / / -/ / -/ -/ / / 3/ / / -/ -/ 3/ İkinci ardıştırmada, eniyi çözüme erişildi. Eniyi çözümde W=, 6 = 7 =. Orijinal problemin en az bir uygun çözümü var. İkinci evreye geçilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

71 . EVRE. evre sonundaki son simpleks tablosunun sıfır satırı, orijinal modelin amaç fonksiyonu satırı ile değiştirilir. X 6 ve 7 temelde yer almadığından, bunlara ait sütunlar tablodan çıkarılabilir (B - gerekmiyorsa). Z STS -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

72 z= - veya z- + = Z STS - -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ X, X temelde olduğundan, sıfır satırında bunların katsayıları= olacak şekilde düzenleme yapılır. Sıfır satırı +. satır+(-)ikinci satır=yeni Sıfır satırı Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

73 . EVRE : başlangıç tablo Z STS / 3/ -5/ -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ X 4 TEMELE GİRECEK, X TEMELDEN ÇIKACAK. Doç. Dr. Nil Aras, 6 73

74 . EVRE : Birinci ardıştırma tablosu Z STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 74

75 Bulunduğumuz nokta: [,] Doç. Dr. Nil Aras, 6 75

76 X 3 TEMELE GİRECEK, X 5 TEMELDEN ÇIKACAK. Z STS Doç. Dr. Nil Aras, 6 76

77 . EVRE SONU (İkinci ardıştırma) Z STS Eniyi çözüme erişildi. X =, =3 Eniyi değer=-6 Doç. Dr. Nil Aras, 6 77

78 Eniyi çözüm: [,3] Doç. Dr. Nil Aras, 6 78

79 TEK YAPAY DEĞİŞKENLİ YÖNTEM

80 Model A=b haline getirildiğinde, A da I matris var fakat en az bir b i < ise başvurulan bir tekniktir. Modelin tüm kısıtlarına, a olan bir yapay değişken iken, - a eklenir. X B X N a STS C B B - b-c N - C B B - b I B - N b... b m Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

81 ENK{b i }=b r olsun (b r <) b r ye karşı gelen r temelden çıkartılır, yerine a temele alınır. İzleyen ardıştırma ile modele bir temel uygun çözüm bulunmuş olur. Bundan sonra, a bir yapay değişken olarak işlemlere tabi tutulur (Büyük M veya İki Evreli Simpleks Algoritması). Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

82 AX=b şeklindeki bir doğrusal denklem sisteminin çözümünü, evreli simpleks algoritması ile bulabiliriz.

83 evreli simpleks algoritmasının. evresi, AX=b denklem sisteminin çözümünü (ya da çözümlerini) bulmak için kullanılabilir.. evre sonunda W= çıkarsa, sistemin çözümü vardır. W ise, sistemin çözümü yoktur.

84 ÖRNEK (Bazaraa, 99, 7. sh.) Doç. Dr. Nil Aras, 6 84

85 Bir DP modelinde, UÇA açık küme ise uç yönler vardır. UÇA sınırsız (açık) küme olan bir DP modelindeki tüm uç yönleri evreli simpleks algoritması ile bulmak mümkündür.. evre uygulanıp, W= eşitliğini sağlayan tüm alt çözümler araştırılır. Her bir alt çözüm bir uç yöndür. Doç. Dr. Nil Aras, 6 85

86 Doç. Dr. Nil Aras, EnkZ, 3 4 Doğrusal karar modeli,d d d d d d d d Uçyönleri verecek kısıtlar kümesi

87 Doç. Dr. Nil Aras, ,d d d d d d d d,,,,d d d d d d d d y S S y S S S, S : aylak değişkenler Y: yapay değişken y ENK W,,,,d d d d d d d d y S S y S S evreli simpleks algoritmasına göre düzenlediğimiz model

88 d d d d d,d d d, S S, S ENK W y, S y y w d d S S y STS y nin katsayısı= olacak şekilde, sıfır satırını düzenleyelim. Sıfır satırı+3. satır=sıfır satırı Doç. Dr. Nil Aras, 6 88

89 Başlangıç tablo w d d S S y STS - - d veya d temele girebilir. d temele girsin. S temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 89

90 w d d S S y STS d temele girer. y temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

91 w d d S S y STS - /3 /3 /3 /3 /3 /3 -/3 /3 /3 Eniyi çözüme erişildi. d =/3, d =/3 S temel dışı olduğu halde, sıfır satırındaki katsayısı sıfır. Alternatif çözüm varlığı! Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

92 Alternatif çözüm w d d S S y STS - -/ / / 3/ / / / / / Alternatif eniyi çözüm. d =/, d =/ Doç. Dr. Nil Aras6 9

93 UÇ YÖNLER d A 3 3 d B Doç. Dr. Nil Aras, 6 93

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI!

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI! Fen ilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI ESASLARI Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA n n u sununun hazırlanmasında,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi Bahar Dönemi. Hazırlayan: Doç. Dr.

Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi Bahar Dönemi. Hazırlayan: Doç. Dr. Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Dersi 00-0 Bahar Dönemi Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA Bu sunu izleyen kaynaklardaki örnek ve bilgilerden faydalanarak

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik İkiye Bölme / Yarılama Yöntemi Genel olarak f x = 0 gerek şartını sağlamak oldukça doğrusal olmayan ve bu sebeple çözümü

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) ŞEBEKE MODELLERİ EN-413 4/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Z c 0 ise, problem için en iyilik koşulları (dual. X b 0 oluyorsa, aynı zamanda primal

Z c 0 ise, problem için en iyilik koşulları (dual. X b 0 oluyorsa, aynı zamanda primal KONU 12: DUAL SİMPLEKS YÖNTEM P: min Z cx AX b X (121) biçiminde tanımlı bir dpp de, B herhangi bir temel olsun Bu temel için, simpleks tabloda tüm temel dışı değişkenlere ilişkin tüm Z c ise, problem

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Altın Oran (Golden Section Search) Arama Metodu Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f

Detaylı

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri 3.2.4. Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri Duyarlılık analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir

Detaylı

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım.

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım. 3. Simpleks Yöntem Doğrusal programlama modelleri grafik yöntem dışında simpleks yöntem adı altında özel bir yöntemle çözülebilir. Bu yöntem Simple Matrix kelimlerinin kısaltmasıdır ve bir çeşit matris

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ 2010-2011 Güz-Bahar Yarıyılı YRD.DOÇ.DR.MEHMET TEKTAŞ ÖRNEK 6X 1 + 3X 2 96 X 1 + X 2 18 2X 1 + 6X 2 72 X 1, X

Detaylı

Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları

Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Yöneylem Araştırması I IE 222 Güz 3 2 0 4 5 Ön Koşul Ders(ler)i Math 275 Doğrusal

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması WNG301 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta) (saat/hafta) (saat/hafta) 6 2 2 0 Ön Koşullar

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 3519

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 3519 Dersi Veren Birim: Endüstri Mühendisliği Dersin Türkçe Adı: YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I Dersin Orjinal Adı: YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu:

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal programlama, karar verici konumundaki kişilerin

Detaylı

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search)

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Bir f(x) (tek değişkenli) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x) a x b

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997

Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997 Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2016-2017 Güz Dönemi Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997 2 Tesis Yer Seçimi Problemi (TYSP) TEK AMAÇLI

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XX, S.1, 2007 Eng&Arch.Fac. Eskişehir Osmangazi University, Vol..XX, No:1, 2007 Makalenin Geliş Tarihi : 17.02.2006 Makalenin Kabul Tarihi : 16.11.2006

Detaylı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/36 İçerik Optimalliği etkileyen değişimler 2/36 (Optimallik Sonrası Analiz): Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1

EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1 EKON 305 Yöneylem Araştırması I Doğrusal Programlama Doç. Dr. Murat ATAN 1 Doğrusal Programlama Karar Verme ve Modeller Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim (Kleindorfer ve diğ., 1993)

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

Internet Programming II

Internet Programming II Internet Programming II Elbistan Meslek Yüksek Okulu 2016 2017 Bahar Yarıyılı Öğr. Gör. Murat KEÇECĠOĞLU Kontrol deyimleri programlamanın olmazsa olmaz koşullarındandır. Şartlara (karşılaştırma) bağlı

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir.

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir. 7. Atama Modelleri: Atama modelleri belli işlerin veya görevlerin belli kişi veya kurumlara atanması ile alakalıdır. Doğrusal programlama modellerinin bir türüdür ve yapı itibariyle ulaştırma modellerine

Detaylı

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI İKİNCİ BÖLÜM (206-207) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları

Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Yöneylem Araştırması II IE 323 Güz 3 2 0 4 5.5 Ön Koşul Ders(ler)i IE 222

Detaylı

4- ALGORİTMA (ALGORITHM)

4- ALGORİTMA (ALGORITHM) (ALGORITHM) Algoritma: Bir Problemin çözümünün, günlük konuşma diliyle adım adım yazılmasıdır. Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki Türkistan'lı alimden kaynaklanır. Bu

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık

Detaylı

Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları

Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Kodu Saati Saati Saati Doğrusal Programlama IE 502 Güz 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama. Giriş ve Projenin Amacı:

Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama. Giriş ve Projenin Amacı: Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama Giriş ve Projenin Amacı: Bu projenin amacı; matrisler ile diskriminant analizi yaparak, bir düzlem üzerine el ile yazılan bir sayının

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır. İlk geliştirilen yöntem kesme düzlemleri (cutting planes) olarak

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı