RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİZLİKLER SÜLEYMAN SAMİ KARATAŞ
|
|
- Metin Tarcan
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİZLİKLER SÜLEYMAN SAMİ KARATAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 6
2
3
4 ÖZET RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİLİKLER Süleyman Sami KARATAŞ Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 6 Yüksek Lisans Tezi, 46s. Danışman: Doç. Dr. Erhan SET Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş niteliğinde olup bu bölümde eşitsizlikler, konveks fonksiyonlar ve kesirli integrallerin tarihsel gelişimi hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde konveks fonksiyon, m- konveks fonksiyon, α,m- konveks fonksiyon, s- konveks fonksiyonlarla ilgili temel tanım ve teoremlere, literatürde iyi bilinen integral eşitsizliklerine ve reel sayıların bazı özel ortalamalarına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde mutlak değerlerinin türevleri konveks olan fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ve kesirli analiz yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümün ilk kısmında m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. İkinci kısmında α,m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. Yine bu bölümün üçüncü kısmında ise m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Konveks fonksiyon, m- konveks fonksiyon, α,m- konveks fonksiyon, Riemann-Liouville kesirli integralleri, s- konveks fonksiyon II
5 ABSTRACT NEW INEQUALITIES FOR DIFFERENT TYPES OF CONVEX FUNCTIONS VIA RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL INTEGRALS Süleyman Sami KARATAŞ Ordu University Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 6 MSc. Thesis, 46p. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erhan SET This thesis consist of four chapters. First chapter is the introduction chapter that includes informations about the historical development of convex function, ineualities and fractional integrals. In the second chapter, fundamental definitions and theorems related to convex function, m- convex function, α,m- convex function and s- convex function are mentioned. Moreover, integral ineualities which were in the literature and some special means of real numbers are given. In the third chapter, ineualities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute value are convex and Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional calculus are given. In the fourth chapter, firstly, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integrals for m- convex function are given. Secondly, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integrals for α,m-convex function are given. Also in the third part of the chapter, Hermite-Hadamard type ineualities for s- convex functions have been established. Keywords: Hermite-Hadamard ineuality, Convex function, m- convex function, α,m convex function, Riemann-Liouville fractional integrals, s- convex function III
6 TEŞEKKÜR Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli hocam Sayın Doç. Dr. Erhan SET' e en samimi duygularımla teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyeleri ve araştırma görevlilerine en içten dileklerle şükranlarımı sunarım. Ayrıca çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen babama, anneme, kardeşime müteşekkirim. IV
7 İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ.... ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR. İÇİNDEKİLER... ŞEKİLLER LİSTESİ... I II III IV V VI SİMGELER ve KISALTMALAR VII. GİRİŞ.... KURAMSAL TEMELLER Genel Kavramlar MATERYAL ve YÖNTEM Mutlak Değerlerinin Türevleri Konveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler ve Uygulamaları. 3.. Özel Ortalamalara Uygulamalar Midpoint ve Trapeziodal Formülleri ve Uygulamaları Riemann-Liouville Kesirli Analiz Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler ARAŞTIRMA BULGULARI Diferensiyellenebilen m- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Diferensiyellenebilen α,m- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Diferensiyellenebilen s- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ.. 46 V
8 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil No Sayfa Şekil.. Konveks Küme Şekil.. Konveks Fonksiyon... 4 VI
9 SİMGELER ve KISALTMALAR f : f Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi I : R de Bir Aralık I : I nın İçi J α a + : Sağ Riemann-Liouville Kesirli İntegrali J α b : Sol Riemann-Liouville Kesirli İntegrali K m b : m-konveks Fonksiyonların Sınıfı K m α b : α,m-konveks Fonksiyonların Sınıfı K s : m-konveks Fonksiyonların Sınıfı L [a,b] N : [a,b] Aralığında İntegrallenebilen Fonksiyonların Kümesi : Doğal Sayılar Kümesi R : Reel Sayılar Kümesi Z : Tam Sayılar Kümesi VII
10 . GİRİŞ Eşitsizlik teorisi 9. yüzyıldan beri matematiğin hemen hemen bütün alanlarında önemli bir rol oynamaktadır. Bu alanda yapılan ilk temel çalışma Hardy, Littlewood ve Polya tarafından yazılan Ineualities adlı kitaptır []. Bu kitapta yeni eşitisizlikler ve uygulamaları ile ilgili konulara yer verilmiştir. Eşitsizlik teorisinin; fizik, mühendislik gibi çeşitli bilim dallarında uygulamaları olduğu için özellikle son yıllarda birçok araştırmacı tarafından yoğun bir çalışma alanı haline gelmiştir. Bu alanda Beckenbach ve Bellman [4], Mitrinović [], Pachpatte [4], Pecaric ve arkadaşları [7], Dragomir ve Pearce [9] gibi araştırmacılar tarafından yıllar içerisinde yeni kitaplar yazılmış olup günümüzde de çeşitli araştırmacılar tarafından yeni kitaplar yazılmaktadır. Eşitsizlik teorisinin gelişmesinde önemli bir role sahip olan kavramlardan biri de konvekslik kavramıdır. Konvekslik kavramının temeli, Archimedes in ünlü Πpi değerinin hesaplanmasına kadar uzanır. Aslında konveksliği günlük yaşamımızda farklı şekillerde görmekteyiz. Örneğin ayakta duruş pozisyonumuzda ayaklarımızın teşkil ettiği konveks alanın içine ağırlık merkezimizin dik izdüşümü boyunca dengemizi sağlamaktayız. Endüstri, tıp, sanat gibi bilim dallarının nümerik uygulamalarında da konvekslik kavramı kullanılmaktadır. Konvekslik konusunun önemli parçası bir konveks kümenin epigrafisi olan konveks fonksiyon kavramıdır. 893 te Hadamard ın çalışmasında konveks fonksiyonların temelleri atılmıştır. Konveks fonksiyonların tanınması J.L.W.V., Jensen tarafından olmuştur. Hermite, Hölder ve Stolz da bu fonksiyonla ilgili araştırma yapan ilk kişilerdir. Konveks fonksiyonlar teorisi, matematiğin bütün dalları ile ilişkili olmakla birlikte eşitsizlik teorisinin gelişmesinde çok önemli bir yere sahiptir. Birçok önemli eşitsizlik, konveks fonksiyonlar yardımıyla elde edilmiş olup birçok uygulamaya ve üzerine yüzlerce çalışma yapılmış olan ünlü Hermite-Hadamard eşizliği bunlardan bir tanesidir. Bu eşitsizlik üzerine yapılan çalışmaların bir kısmı S.S., Drogamir ve C.E.M., Pearce tarafından Selected Topics on Hermite-Hadamard Ineualities and Applications adlı monografide bir araya getirilmiştir. Konveks fonksiyonlar yardımıyla oldukça hızlı gelişme gösteren ve geniş çaplı bir araştırmacı kitlesine sahip olan eşitsizlik teorisine son yıllarda bir ivme de kesirli türev ve kesirli integral kavramı katmıştır. Bu kavramlar, türev ve integraller yalnızca tam-
11 sayılar için mi vardır? sorusundan ortaya çıkmış. Bu kavramlar 7. yüzyıldan itibaren Leibniz, Euler, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin çalışmalarıyla gelişmeye başlamıştır. Bu alanda yazılan ilk geniş kapsamlı monografi S.G., Samko, A.A., Kilbas ve O.I., Marichev tarafından yazılan Fractional Integrals and Derivatives Theory and Applications adlı eserdir [8]. Bu tezin temel amacı, birinci mertebeden türevleri konveks olan fonksiyonlar için elde edilmiş Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklerin Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla genelleştirmelerini sistematik olarak okuyucuya sunmak daha sonra da m konveks, α, m konveks ve s konveks gibi konveks fonksiyonların farklı sınıfları için elde edilen ve Riemann-Liouville kesirli integralleri içeren yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikleri vermektir.
12 . KURAMSAL TEMELLER. Genel Kavramlar Bu çalışmada kullanılacak bazı önemli tanımlar aşağıda verilmiştir. Tanım.. Konveks KümeL bir lineer uzay A L ve x,y A keyfi olmak üzere B = {z L : z = α αy, α } A ise A kümesine konveks küme denir. Eğer z B ise z = α αy eşitliğindeki x ve y nin katsayıları için α+ α = bağıntısı her zaman doğrudur. Bu sebeple konveks küme tanımında α, α yerine α + β = şartını sağlayan ve negatif olmayan α,β reel sayılarını alabiliriz. Geometrik olarak B kümesi uç noktaları x ve y olan bir doğru parçasıdır. Bu durumda sezgisel olarak konveks küme, boş olmayan ve iki noktasını birleştiren doğru parçasını ihtiva eden kümedir [3]. Şekil.: Konveks Küme Tanım.. J- Konveks Fonksiyon: I, R de bir aralık ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I için y f fx+fy şartını sağlayan f fonksiyonuna I üzerinde Jensen anlamında konveks veya J konveks fonksiyon denir []. Tanım..3 Kesin J- Konveks Fonksiyon: I, R de bir aralık ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I ve x y için y f < fx+fy oluyorsa f fonksiyonuna I üzerinde kesin J konveks fonksiyon denir []. 3
13 Tanım..4 Konveks Fonksiyon: I R ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I ve t [,] için, ft ty tfx+ tfy.. şartını sağlayan, f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir [7]. Eğer t [,] kapalı aralığındaki uç noktaları dışarıda bırakırsak o zaman konveks fonksiyon şartındaki yerine < gelir yani ft ty < tfx+ tfy olur. Bu durumda bu fonksiyona kesin konveks fonksiyon denir. f konveks kesin konveks ise o zaman f ye konkav kesin konkav denir. Eğer f fonksiyonu hem konveks hem de konkav ise f afin dönüşümüdür. Bu afin dönüşüm uygun m ve n sabitleri için mx + n şeklindedir. Geometrik olarak tx + tx noktasında f nin eğri üzerinde aldığı değer x,fx ve x,fx noktalarını birleştiren doğru parçasının üzerinde aldığı değerlerden her zaman daha küçüktür, yani bu iki noktayı birleştiren kiriş doğru parçası her zaman eğrinin [x, y] aralığında kalan kısmının üzerinde veya üstündedir. Gerçekten, x, fx ve y, fy noktalarından geçen doğrunun denklemi; y fy y = fx fx a x s y b x dir. Burada s = ty + tx yazılırsa olur. Böylece.. eşitsizliği Şekil.: Konveks Fonksiyon Ls = fx+ fy fx s x y x Lty + tx = fx+ fy fx ty x y x = fx+tfy fx = tfy+ tfx fty + tx Lty + tx = tfy+ tfx 4
14 elde edilir. Literatürde konveks fonksiyonlar için birçok eşitsizlik elde edilmiştir. Fakat ünlü Hermite-Hadamard eşitsizliği bu eşitsizlikler içerisinde geometrik önemi ve uygulamalarıyla oldukça ön plana çıkmıştır ve aşağıdaki gibi ifade edilir. f : I R R bir konveks fonksiyon, a,b I ve a < b olsun. Bu takdirde f a+b b a fxdx fa+fb olur. f konkav fonksiyon ise bu eşitsizlik yön değiştirir. Yani.. f a+b b a fxdx fa+fb..3 olur. Hermite-Hadamard eşitsizliği 883 yılında keşfedildiğinden beri matematiksel analizdeki en faydalı eşitsizliklerden biri olarak kabul edilmektedir. Bu eşitsizlik üzerine yeni ispatların, kayda değer genişlemelerin, genelleştirmelerin ve çok sayıda uygulamaların sunulduğu birçok makale yazılmıştır bknz. [6], [7], [9], [], [3], [4], [6], [], [4], [6], [7]. Tanım..5 Starshaped Fonksiyon: f : [, b] R fonksiyonu her x [, b] ve t [,] için ftx tfx şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna starshaped fonksiyonu denir [9]. Tanım..6 Artan ve Azalan Fonksiyonlar f, I aralığında tanımlı bir fonksiyon ve x,x de I da iki nokta olsun. Bu durumda: x > x iken fx > fx ise f fonksiyonu I üzerinde artandır, x > x iken fx < fx ise f fonksiyonu I üzerinde azalandır, x > x iken fx fx ise f fonksiyonu I üzerinde azalmayandır, x > x iken fx fx ise f fonksiyonu I üzerinde artmayandır denir []. Tanım..7 f : [,b] R bir fonksiyon olsun. Her x,y [,b] ve m,t [,] için ftm ty tfx+m tfy şartını sağlayan f fonksiyonuna m konvekstir denir [9]. f fonksiyonu m konveks ise f fonksiyonu m konkavdır. Ayrıca f için [,b] aralığında tanımlı m konveks fonksiyonların sınıfı K m b ile gösterilir. Açıkçası Tanım..7 de m = için standart konveks fonksiyon kavramı ve m = için de starshaped fonksiyon kavramı elde edilir. 5
15 Lemma.. Eğer f fonksiyonu K m b sınıfında ise o zaman f starshaped fonksiyonudur [3]. İspat. Herhangi bir x [,b] ve t [,] için f K m b olduğundan ftx = ftm t tfx+m tf tfx elde edilir. Lemma.. Eğer f, m konveks ve < n < m ise bu takdirde f, n konvekstir [3]. İspat. Keyfi x,y [,b] ve t [,] ise bu takdirde ftn ty = f tm t n y m tfx+m tf n m y tfx+m t n m fy = tfx+n tfy elde edilir ve ispat tamamlanır. Lemma.. ve Lemma.. den m, olduğunda K b K m b K b yazırlır.k b sınıfında, f olmak üzere, sadece f : [,b] R tanımlı konveks fonksiyonlar vardır. Yani, K b, [,b] üzerinde tanımlı konveks fonksiyonlar sınıfının uygun bir alt sınıfıdır []. Tanım..8 f : [,b] R bir fonksiyon olsun.her x,y [,b], m,t [,] ve α,m [,] için ftm ty t α fx+m t α fy şartını sağlayan f fonksiyonuna α, m konveks fonksiyon denir [9]. f için [, b] aralığında tanımlı tüm α,m konveks fonsiyonların sınıfı K α mb ile gösterilir. Ayrıca, α,m,,,,,m,, için sırayla artan, stashaped, m konveks ve konveks fonksiyon sınıfları elde edilir. f olmak üzere K b sınıfında sadece f : [,b] R tanımlı konveks fonksiyonlar yer alır, yani K b, [,b] üzerinde tanımlı tüm konveks fonksiyonlar sınıfının uygun bir alt sınıfıdır. 6
16 Tanım..9 Birinci Anlamda s- Konveks Fonksiyon < s olsun. R + = [, olmak üzere f : R + R fonksiyonuna, her x,y R + ve α,β ile α s +β s = için, fαβy α s fx+β s fy şartını sağlıyorsa birinci anlamda s- konveks fonksiyon denir. Reel fonksiyonların bu sınıfı K s ile gösterilir [3]. Teorem.. < s < olsun. f K s azalmayandır ve lim u +fu f dır [3]. Örnek.. < s < ve a,b,c R olsun. u R + için { a,u = fu = bu s +c,u > olarak tanımlanan f fonksiyonu aşağıdaki durumları sağlar: şartını sağlıyorsa f fonksiyonu, aralığında b ve c a ise f Ks, b ve c < a ise f,, aralığı üzerinde azalmayandır, fakat [, aralığı üzerinde değildir [3]. Tanım.. İkinci Anlamda s- Konveks Fonksiyon Her x,y [,,t [,] ve s,] için ft ty t s fx+ t s fy..4 şartını sağlayan f : [, R fonksiyonuna ikinci anlamda s konveks fonksiyon denir ve ikinci anlamda s konveks fonksiyonlar sınıfı genellikle Ks ile gösterilir. Burada s = için [, aralığında s konvekslik kavramından bilinen kolaylıkla elde edildiği kolaylıkla görülebilir [5]. Şimdi ikinci anlamda s- konveks fonksiyonlarla ilgili aşağıdaki bazı sonuçları verelim. Önerme.. f K s ise f,[, üzerinde negatif olmayan bir fonksiyondur [3]. İspat. u R + için, u fu = f + u fu + fu = s fu s s alalım. Buradan s fu olur ve böylece fu elde edilir. 7
17 Örnek.. < s < ve a,b,c R olsun. u R + için { a,u = fu = bu s +c,u > olarak tanımlanan f fonksiyonda: b ve c a için f K s b ve c < ise f,, durumları vardır. İkinci anlamda s- konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği aşağıdaki gibi elde edilmiştir [8]. Teorem.. f : R + R + ikinci anlamda s- konveks bir fonksiyon, s, ve a,b R + ile a < b olsun. f L [a,b] ise aşağıdaki eşitsizlik vardır: s f a+b b a ft fa+fb...5 s+ Teorem..3 Jensen Eşitsizliği: f fonksiyonu a,b aralığında konveks ve x i n a,b, i =,,...,n olsun. Bu durumda α i > ve α i = ise eşitsizliği geçerlidir [5]. n f α i x i i= i= n α i fx i Teorem..4 İntegraller için Jensen Eşitsizliği: f : [a, b] R konveks fonksiyon, h : [a,b], ve u : [a,b] R + = [, integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere, b a f htut b b ht htfut a b ht a a eşitsizliği geçerlidir [5]. Teorem..5 Hölder Eşitsizliği: a = a,...,a n ve b = b,...,b n reel veya kompleks sayıların iki n lisi olsun. Bu takdirde olmak üzere i= p + = 8
18 a p > ise, n n a k b k a k p p n b k, k= k= k= b p < veya < ise, eşitsizlikleri geçerlidir []. n n a k b k a k p p n k= k= k= b k Teorem..6 İntegraller için Hölder Eşitsizliği:p > ve + = olsun. f ve p g, [a,b] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f p ve g, [a,b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise b eşitsizliği geçerlidir []. a b fxgx dx a b fx p p dx gx dx a Sonuç.. Power Mean Eşitsizliği: olsun. f ve g, [a, b] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f ve g, [a,b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise b eşitsizliği geçerlidir. a b fxgxdx a b fx dx fx gx a..6 Teorem..7 Üçgen Eşitsizliği: Herhangi x, y reel sayıları için ve tümevarım metoduyla eşitsizlikleri geçerlidir []. y x + y, x y x y, x y y x +...+x n x x n Teorem..8 Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu: f, [a, b] aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde eşitsizliği geçerlidir []. b a fxdx b a fx dxa < b 9
19 Tanım.. Gamma Fonksiyonu:α > için ile tanımlanır [5]. Γα = e t x α dx Tanım.. Beta Fonksiyonu: x >,y > için Bx,y = t x t y biçiminde tanımlanan B fonksiyonuna Beta fonksiyonu denir. Burada Gamma ve Beta fonksiyonları arasındaki ilişki ise şeklindedir [5]. Bx,y = ΓxΓy Γy Tanım..3 Riemann-Liouville Kesirli İntegrali fx L[a,b], α > ve a olsun. Sağ ve sol Riemann-Liouville integralleri sırasıyla J α a + f x ve J α b f x aşağıdaki şekilde tanımlanır: ve Ja α +f x = Γα x a x t α f t, x > a Jb α b f x = t x α f t, x < b Γα x integrallerineα > içinα.mertebedenkesirliintegraldenir. BuradaJ a + f x = J b f x = f x dir. Riemann-Liouville kesirli integralleri ile ilgili daha fazla bilgiyi [] da bulabiliriz. Tanım..4 a,b,c reel ya da kompleks sabitler olmak üzere, z < ve c > b > için, F [a,b,c : z] = + ab c z! + aa+bb+ cc+ ifadesine hipergeometrik seri denir. Hipergeometrik seri, F [a,b,c : z] = Bb,c b şeklinde bir integral gösterimine sahiptir [7]. Tanım..5 İki Pozitif Sayı İçin Bazı Ortalamalar a,b pozitif iki reel sayı olmak üzere; z! +... = m= a m b m c m t b t c b zt a z m m!
20 . Aritmetik Ortalama:. Harmonik Ortalama: A = Aa,b := a+b, H = Ha,b := ab a+b, 3. Logaritmik Ortalama: { a,a = b L = La,b :=,a b lnb lna 4. p logaritmik ortalama: a L p = L p a,b := [ b p+ a p+ p+b+a ] p,a = b,a b ortalamaları vardır.
21 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3. Mutlak Değerlerin Türevleri Konveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler ve Uygulamaları Bu bölümde, araştırmanın temel kısmında kullanılacak olan bazı temel teoremler verilmiştir. Lemma 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, a,b I ve a < b olsun. f L[a,b] olmak üzere her x [a,b] için fx+ b xfb+x afa fudu 3.. a = x a t +t t f a x a t t +t f a b x t +t t f b b x t t +t f b eşitliği geçerlidir [8]. b İspat. +t Önce kısmi integrasyon, daha sonra u = +t x a = x a = x a fx t t f a [ tf +t t a x a x a x a t a değişken değişikliği yapılarak ] +t t f a fudu 3.. yazılır. Benzer şekilde ve x a b x b x t t +t f a = x a fa a fudu, 3..3 a t +t t f b = b x fx b fudu 3..4 x t t +t f b = b x fb b fudu 3..5 b eşitlikleri elde edilir eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa istenen eşitlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
22 Teorem 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise her x [a,b] için eşitsizliği geçerlidir [8]. b xfb+x afa fx+ b fudu 3..6 a [ [ ] x a f x + f a ]+ b x f x + f b 4 4 İspat. Lemma 3.. ve mutlak değerin özellikleri kullanılarak b xfb+x afa fx+ b fudu 3..7 a x a t +t t f a + x a t t +t f a + b x t +t t f b + b x t t +t f b yazılır. Buradan, 3..7 eşitsizliğinde f nin konveksliği kullanılarak, her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b fudu 3..8 a [ x a t +t f x + t ] f a [ + x a t t f x + +t ] f a [ + b x t +t f x + t ] f b [ + b x t t f x + +t ] f b yazılır. Dolayısıyla 3..8 deki eşitsizliğin sağ tarafındaki integraller hesaplandığında 3..6 deki eşitsizlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 3.. Teorem3.. dex = a+b seçildiğindeve f ninkonveksliğini kullanıldığında a+b f + fa+fb b fudu [ f a + f b ] a 8 eşitsizliği elde edilir [8]. Teorem 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise >, p + = 3
23 ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ p +{ x a p+ + b x eşitsizliği geçerlidir [8]. b a fudu 3..9 [ 3 f x + f a + f x +3 f a [ ] } 3 f x + f b + f x +3 f b ] İspat. Lemma 3.. ve Hölder integral eşitsizliğini kullanarak, her x [a, b] için b xfb+x afa fx+ p x a t p +t f p + x a t p t f p + b x t p +t f p + b x t p t f b a fudu 3.. t a +t a t b +t b yazılır. f, [a,b] aralığında konveks olduğundan +t t [ +t f a f x + t ] f a = 3 f x + f a 4 elde edilir. Benzer şekilde t f +t a f x +3 f a 4 +t f t b 3 f x + f b 4 ve t f +t b f x +3 f b 4 eşitsizlikleri yazılır. 3.. eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3..9 eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 4
24 Sonuç 3.. Teorem3.. dex = a+b seçtiğimizdeve f ninkonveksliğini kullandığımızda a+b f + fa+fb b fudu p + a p+ 4 [[ f a +3 a+b ] [ a+b ] f + f +3 f a [ + 3 a+b ] [ f + f b a+b ] ] + f +3 f b 3 p +[ ] [ f a + f b ] p+ 4 eşitsizliği elde edilir [8]. Burdaki ikinci eşitsizliği elde etmek için aşağıdaki önemli temel eşitsizlik kullanılır. n u k +v k s k= n u k s + k= n v s,u k,v k, k n, s < k= Teorem 3..3 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ { 4 6 eşitsizliği geçerlidir [8]. b a fudu x a [ ] 5 f x + f a + f x +5 f a [ ] } + b x 5 f x + f b + f x +5 f b 3.. İspat. Lemma 3.. ve power-mean eşitsizliği kullanılarak b xfb+x afa fx+ x a + x a + b x + b x t t t t t +t f t t f t +t f t t f 5 b a fudu 3.. t a +t a t b +t b
25 yazılır. f [a,b] aralığında konveks olduğundan t +t t f x a benzer şekilde ve t t t [ +t f x + t ] f a = 5 f x + f a 4 t +t f x a f x +5 f a, 4 +t t f x b 5 f x + f b, 4 t t f +t x b f x +5 f b 4 eşitsizlikleri yazılır. 3.. eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3.. eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Sonuç 3..3 Teorem3..3 dex = a+b seçilirse ve Sonuç 3.. deki gibi benzer argümanlar kullanılırsa 3 a+b f + fa+fb eşitsizliği elde edilir [8]. [ ] 6 fudu a [ f a + f b ] Teorem 3..4 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise >, p + = ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b fudu a { [ x a f 3a + f 3a+x ] 4 4 [ f + b x 3b + f 3b ] } 4 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. b 3..3 İspat. Lemma 3.. ve Hölder eşitsizliği kullanılarak, > ve p = için b xfb+x afa fx+ b fudu 3..4 a 6
26 x a + x a + b x + b x t t t t +t f t f +t f t f t a +t a t b +t b yazılır. f, [a,b] aralığında konkav olduğundan Jensen integral eşitsizliği kullanılırsa +t f t a = ifadesi elde edilir. Benzer şekilde = t f +t f +t t f t a t +t f t 3a f 4 +t a f 3a, 4 t b f 3b 4 ve t f +t b f 3b 4 t a eşitsizlikleri yazılır eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3..3 eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Sonuç 3..4 Teorem 3..4 de x = a+b seçilirse ve f nin lineer bir dönüşüm olduğu kabul edilirse eşitsizliği elde edilir [8]. a+b f + fa+fb 4 f a+b b a fudu Teorem 3..5 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b a fudu 7
27 [ f x a 5a + f 5a ] [ f + b x 5b + f 5b ] eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. f fonksiyonunun [a,b] aralığındaki konkavlığı ve power-mean eşitsizliği kullanırsa, her λ [,] ve x,y [a,b] için fλ λy λ fx + λ fy λ fx + λ fy ve böylece fλ λy λ fx + λ fy elde edilir. Dolayısıyla bu da f nin [a,b] aralığında konkav olduğunu gösterir. Tersine Lemma 3.. ve Jensen integral eşitsizliği kullanılarak her x [a, b] için b xfb+x afa fx+ b fudu a x a t +t t f a + x a t t f + b x t +t t f b + b x t t f x a t t +t t a f t + x a t t t +t a f t + b x t t +t t b f t + b x t t t +t b f t +t a +t b eşitsizliğinin sağ tarafandaki integraller alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa istenilen eşitsizlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 3..5 Teorem 3..5 de x = a+b seçilir ve f nin lineer bir dönüşümolduğu kabul edilirse a+b f eşitsizliği elde edilir [8]. + fa+fb b a fudu 8 f a+b 8
28 3. Özel Ortalamalara Uygulamalar Bu başlık altında bir önceki bölümde elde edilen konveks fonksiyonlar için yazılan eşitsizliklerin pozitif reel sayılar için özel ortalamalarına ilişkin sonuçlar verilecektir. Önerme 3.. a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z olmak üzere n için A n a,b+aa n,b n L n n a,b n A a n, b n 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3.. a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z, n olsun. Bu takdirde p, > ve p + = olmak üzere A n a,b+aa n,b n L n na,b 3 p n + ] [ A a n, b n p+ eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3..3 a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z, n olsun. Bu takdirde olmak üzere eşitsizliği geçerlidir [8]. A n a,b+aa n,b n L n na,b n 3 [ ] A a n, b n 8 İspat. Sonuç 3..3 de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3..4 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere A a,b+aa,b La,b A a, b 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. 9
29 İspat. Sonuç 3.. de, x [a,b] için fx = fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde x edilir. Önerme 3..5 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere p > için A a,b+aa,b La,b 3 p + ] [ A a, b p+ eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x [a,b] için fx = x edilir. fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde Önerme 3..6 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere için A a,b+aa,b La,b 3 [ ] A a, b 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3..3 de, x [a,b] için fx = x edilir. fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde 3.3 Midpoint ve Trapezoidal Formülleri ve Uygulamaları d, [a,b] aralığının bir bölüntüsü yani a = x < x <... < x n < x n = b ve aşağıdaki gibi sırasıyla midpoint ve trapezoidal formüllerini göz önüne alalım. yazılır. n xi +x i+ Tf,d = x i+ x i f, i= n T f,d = x i+ x i fx i+fx i+ i= Ef,d ve E f,d, b fxdx integralinin yaklaşık hata tahminleri olmak üzere a b a fxdx = Tf,d+Ef,d,
30 b a fxdx = T f,d+e f,d yazılır [8]. Şimdi midpoint ve trapezoidal formülleri için bazı hata tahminleri verilecektir. Önerme 3.3. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks bir fonksiyon ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i + f x i i= İspat. d, bölüntüsünün [x i,x i+ ]i =,,...,n alt aralığı üzerine Sonuç 3.. uygulanırsa xi +x i+ + fx i++fx i x i x i+ elde edilir. Ayrıca xi+ x i fxdx xi+ x i [ f x i + f x i+ ] = Ef,d+E f,d n xi +x i+ x i+ x i f + i= n xi +x i+ x i+ x i f i= n i= fx i +fx i+ + fx i+fx i+ n x i+ x i x i+ x i xi+ x i i= xi+ x i fxdx fxdx yazılır de3.3. kullanılırsa, 3.3. elde edilir. Böylece önermenin ispatı tamamlanır. Önerme 3.3. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise >, p + = ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d eşitsizliği geçerlidir [8]. p+ p p 3 +3[ ] n +7 x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= İspat. Sonuç 3.. kullanılarak Önerme 3.3. deki gibi ispatlanır.
31 Önerme f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 3 eşitsizliği geçerlidir [8]. +4[ ] n +7 x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= İspat. Sonuç 3..3 kullanılarak, elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç Önerme f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise > ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= İspat. Sonuç 3..4 kullanılarak, elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç Önerme f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= İspat. Sonuç 3..5 kullanılarak elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç
32 3.4 Riemann-Liouville Kesirli Analiz Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu çalışma boyunca, [a,b] aralığını [, aralığının bir alt aralığı, f : [a,b] R, a,b aralığında türevlenebilir ve f L [a,b] olduğunu kabul edilecektir. Ayrıca H α x := x aα +b x α fx [ α Γα+ J α x fa + x aα fa+b x α fb şeklinde tanımlanır. Bu tanımda özel olarak α = alınırsa Hx = fx+ b xfb+x afa elde edilir. Böylece x = a+b için olur. H a+b = fa+b fa+fb + +J α a +fa +J α b fb +Jα x +fb b a ft b ft a ] [8] de, M.A. Latif tarafından H nın değeri tahmin edilmiştir. Bu bölümde verilen sonuçlar M.A. Latif in elde etmiş olduğu sonuçların genelleştirmesidir. Lemma 3.4. Her x [a,b] için H α x = x aα+ b xα+ eşitliği geçerlidir [9]. t α +t t f a t α +t t f b t α t +t f a t α t +t f b 3.4. İspat. Kısmi integrasyon alınırsa ve u = +tx + t değişiklikleri yapılırsa t α +t t f a = fx x a α Γα+ x a α+ Jα x f t α t +t f a b t α +t t f t α +t t f b = fa x a + α Γα+ = fx b x + α Γα+ a, v = t x + +t a değişken a, a x a α+ Jα a +f b b x α+ Jα x +f b = fb b x α Γα+ b x α+ Jα b f 3,,
33 elde edilir. Bu eşitlikler taraf toplanıp gerekli düzenlemeler yapılırsa 3.4. eşitliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Yukarıda elde edilen sonuçlar kullanarak aşağıdaki teoremler ispatlanacaktır. Teorem 3.4. f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu taktirde H α x x aα+ eşitsizliği geçerlidir [9]. f x + f a α+ + b xα+ f x + f b α+ İspat. Lemma 3.4. de eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınıp f nin konveksliği kullanılırsa H α x x aα+ + x aα+ + b xα+ + b xα+ [ t α +t f x + t ] f a [ t α t f x + +t ] f a [ t α +t f x + t ] f b [ t α t f x + +t ] f b eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin sağ tarafında gerekli düzenlemeler yapıldığında istenen sonuç elde edilir. Teorem 3.4. f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu takdirde >, p + x [a,b] için = ve her H α x αp+ { x a α+ [3 f x + f a + f x +3 f a ] } + b xα+ [3 f x + f b + f x +3 f b ] dir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve Hölder eşitsizliğine göre, her x [a,b] için H α x x aα+ + b xα+ t α p p I +I t α p p I 3 +I
34 eşitsizliği geçerlidir. Burada f nun konveksliği kullanılarak I = +t t f a +t f x + t f a = 3 f x + f a 4 I = t +t f a f x +3 f a 4 I 3 = +t +t f b 3 f x + f b 4 I 4 = t +t f b f x +3 f b 4 elde edilir. I, I, I 3, I 4 eşitsizlikleri de yerlerine yazıldığında 3.4. eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu takdirde ve her x [a,b] için H α x [ ] [ ] α+ 4α+α x aα+ [α+3 f x + f a + f x +α+3 f a ] + b xα+ [α+3 f x + f b + f x +α+3 f b ] eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4., f nin konveksliği ve power-mean eşitsizliği kullanılarak H α x x aα+ + b xα+ t α t α J +J J 3 +J4 eşitsizliği geçerlidir. Burada t α J = +t t f a α+3 f x + f a, 4α+α+ t α J = t +t f a f x +α+3 f a, 4α+α+ t α J 3 = +t +t f b α+3 f x + f b 4α+α+ ve t α J 4 = t +t f b f x +α+3 f b 4α+α
35 dir. Burada J, J, J 3, J 4 eşitsizliklerini de yerlerine yazılırsa eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremimizin ispatı tamamlanır. Teorem f, [a,b] aralığında konkav olsun. Bu takdirde >, p + x [a,b] için H α x p αp+ x aα+ + b xα+ [ ] 3a f + 3a 4 f 4 [ ] 3b f + 3b 4 f 4 = ve her eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve Hölder eşitsizliğinden, >, p = H α x x aα+ + x aα+ + b xα+ + b xα+ t α ve her x [a,b] için tα p p K t α t α p p K p p K 3 p p K 4 eşitsizliği geçerlidir. Burada f nin [a,b] aralığında konkavlığı ve Jensen eşitsizliği kullanılarak K = K = K 3 = K 4 = +t t f a +t t f a = 3a f 4 t +t f a 3a f 4 +t t f b 3b f 4 t +t f b 3b f 4 dir. Burada K, K, K 3, K 4 eşitsizliklerini de yerlerine yazdılırsa eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 6
36 Teorem f, [a,b] konkav olsun. Bu takdirde her x [a,b] için [ ] x a α+ α+3a H α x f + α+3a α+ α+ f α+ [ ] + b xα+ α+3b f + α+3b α+ α+ f α+ eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve f nin konkavlığı kullanılarak her x [a,b] için H α x x aα+ +t t f a t α + x aα+ t +t f a t α + b xα+ +t t f b t α + b xα+ t +t f b t α x aα+ t α +t t f a t α t α + x aα+ t α t +t f a t α t α + b xα+ t α +t t f b t α t α + b xα+ t α t +t f b t α t α eşitsizliği elde edilir. Böylece istenilen sonuç elde edilmiş olur. Bu 3.4., 3.4.3, 3.4.4, teoremlerinde α = alınırsa M.A.Latif in [8] deki daha önce elde ettiği sonuçlara ulaşılır. 7
37 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4. Diferensiyellenebilen m Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu bölümde ilk olarak ana sonuçlarımızı ispatlamak için kullanılacak olan lemma verilecektir. Lemma 4.. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k > için Gk;n;a,x,bf = n+ [ ] x a k +b x k fx+ x ak fa+b x k fb { n+k+ Γk + n J k x f n+ n+ a n +J k x +f n+ n+ b +J k b f n+ n } n+ a olmak üzere Gk;n;a,x,bf { = x ak+ { b xk+ elde edilir []. +J k a +f n+ n t k n+t t f n+ n+ a t k t f n+ t k n+t t f n+ n+ b n+ a } n+t n+ a t k t n+t f n+ n+ b } İspat. Bu eşitliği ispatlamak için t k n+t t f n+ n+ a = = n+ n+γk + fx x a x a Γk n+t t k f x n+ x a fx n+k+ Γk + x a k+ Γk n n+ n+ a = n+k+ Γk + x a k+ J k a +f n n+ n+ a n+ a t n+ u n n+ x n+ a k fudu 8
38 ve benzer biçimde ve t k t n+t f n+ n+ a = n+ x a fa+ n+k+ Γk + J k x a k+ x f t k n+t t f n+ n+ b = n+ b x fx+ n+k+ Γk + b x k+ J k x +f t k t n+t f n+ n+ b = n+ b x fb n+k+ Γk + J k b x k+ b f n+ n n+ a n n+ n+ b n+ n n+ b integralleri hesaplanır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa istenilen eşitlik elde edilir. Şimdi yukarıdaki lemma yardımıyla konveks fonksiyonlar için elde edilen yeni sonuçlar verilecektir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a < b < olmak üzere f L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde m konveks fonksiyon ise bu takdirde m,] ve x [a,b] için Gk;n;a,x,bf x a k+ [ f a [ x +m f ]+ b xk+ f x +m k + m k + eşitsizliği geçerlidir. ] b f m İspat. Lemma 4.. de mutlak değer alınarak ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ [ = x ak+ t k n+t f n+ m t a n+m t k + t f n+ mn+t a ] n+m n+t ] n+ a ] n+t n+ b 9
39 [ + b xk+ t k n+t f n+ m t b n+m t k + t f n+ mn+t b ] n+m x a k+ [ f a [ ] x +m f ]+ b xk+ f x +m b k + m k + f m elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 4.. Teorem 4.. de m = n = alınırsa, [9] da Teorem eşitsizliği elde edilir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a < b < olmak üzere f L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde m konveks fonksiyon ise bu takdirde m,], x [a,b], p + = ve > için Gk;n;a,x,bf [ x a k+ kp+ p n+ [ n+ f x +m f a m [ b x k+ + kp+ p n+ n+ f x +m f b m + f x +mn+ f a m + f x +mn+ f b m ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliğini ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ [ x ak+ tk p p n+t t f n+ n+ a + t n+ ] f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 3
40 [ + b xk+ tk p p n+t t f n+ n+ b + t n+ ] f n+ n+ b [ x ak+ p n+t f x a +m t f kp+ n+ m + t f x a ] +mn+t f m [ + b xk+ p n+t f x +m t b kp+ n+ f m ] + t f x +mn+t b f m x ak+ kp+ p n+ [ n+ f x +m f a m [ b x k+ + kp+ p n+ f x +m f b m n+ elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. + f x +mn+ f a m + f x +mn+ f b m ] Sonuç 4.. Teorem 4.. te m = n = alınırsa, [9] da Teorem eşitsizliği elde edilir. Teorem 4..3 [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a < b < olmak üzere f L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde m konveks fonksiyon ise bu takdirde m,], x [a,b] ve > için Gk;n;a,x,bf x a k+ k + k +n+ + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ [ nk ++k + f x a +m f m ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m 3
41 + f x +mnk ++k + b f m ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliğini ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a t k + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k [ t k n+t t f n+ n+ b ] t k + t n+ f n+ n+ b x ak+ k + n+ { t [n+t f k x a +m t f m = + t [ t f k x a +mn+t f m ] } ] + b xk+ k + n+ { t [n+t f k x +m t b ] f m [ } + t k t f x +mn+t f b ] m [ nk ++k + f x +m x a k+ k + k +n+ + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ n+t ] n+ a ] n+t n+ b a f m ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m 3
42 elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. + f x +mnk ++k + b f m ] Sonuç 4..3 Eğer Teorem 4..3 te m = n = alınırsa, [9] da Teorem 3 eşitsizliği elde edilir. 4. Diferensiyellenebilen α, m Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu kısımda Lemma 4.. i kullanarak α, m konveks fonksiyonlar için Hermite- Hadamard tipinde integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a < b < olmaküzeref L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde α,m konveks fonksiyon ise bu takdirde α,m,] ve x [a,b] için A = nα k + F α,k +,k +; Γα+Γk + + n Γα+k olmak üzere eşitsizliği geçerlidir. B = n+α k + Gk;n;a,x,bf x a k+ [ A f a ] x +mb A f n+ α m [ ] + b xk+ A f x +mb A b n+ α f m 4.. İspat. Lemma 4.., mutlak değerin özellikleri ve f nin α,m-konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 33
43 t k + t f n+ + b xk+ t k + t f n+ ] n+ n+ a [ t k t k n+ n+ b n+t f n+ ] x ak+ k + n+ { t [n+t f k x a +m t f m = + t [ t f k x a +mn+t f m t n+ b ] } ] + b xk+ k + n+ { t [n+t f k x +m t b ] f m + t [ t f k x +mn+t b ] } f m [ x a k+ nk ++k + f x a +m f k + k +n+ m + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ f x +mnk ++k + f bm + ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m ] elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 4.. Eğer Teorem 4.. de α = alınırsa, Teorem 4.. eşitsizliği elde edilir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a < b < olmaküzeref L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde α,m konveks fonksiyon ise bu takdirde α,m [,], x [a,b] p + = ve > için C = n+α n α α+ D = n+ α 34
44 olmak üzere Gk;n;a,x,bf x ak+ pk + + D C f x +mc eşitsizliği geçerlidir. p n+ + b xk+ pk + + D C f x +mc p α [ C f x a +md C f m a f m ] [ α C f x +md C b n+ f m ] b f m İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliğini ve f nin α,m-konveksliğini kullanarak Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k p [ p n+t f t n+ n+ a ] t + f n+ n+ n+ a + b xk+ t k p [ p n+t f t n+ n+ b ] t + f n+ n+ n+ b p x ak+ pk + { [ n+t n+ [ t + n+ + b xk+ pk + { [ n+t n+ α f x +m α f x +m p α f x +m n+t n+ t n+ α f a ] m n+t ] n+ a ] n+t n+ b α f a ] } m α n+t f b ] n+ m 35
45 [ t + n+ = x ak+ α f x +m α p pk + n+ + D C f x +mc + b xk+ p pk + + D C f x +mc elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. a f m n+ f b m α } t f b ] n+ m [ C f x a +md C f m ] [ C f x +md C b f m ] α Sonuç 4.. Teorem 4.. te α = alınırsa, Teorem 4.. deki eşitsizlik elde edilir. Teorem 4..3 [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a < b < olmaküzeref L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde α,m konveks fonksiyon ise bu takdirde α,m,], x [a,b] ve > için A,4.. ve B,4.. olmak üzere Gk;n;a,x,bf { α x ak+ [ Γα+Γk + A f x k + n+ Γα+k + B Γα+Γk + f a [ ] Γα+Γk + +m A+ + f x Γα+k + m Γα+k+ B +m Γα+Γk+ } f a Γα+k + m ] { α + b xk+ [ A k + n+ B Γα+Γk + b ] +m A+ f Γα+k + m B +m Γα+Γk+ } b ] f Γα+k + m eşitsizliği geçerlidir. Γα+Γk + f x Γα+k + [ Γα+Γk + + f x Γα+k + İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliğini ve f nin α,m-konveksliğini kullanarak Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k 36 t f n+ n+t ] n+ a
46 [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t n+t f ] n+ n+ b x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a t k + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k [ t k n+t t f n+ n+ b ] t k + t n+ f n+ n+ b {[ x ak+ n+t t k α f k + x n+ +m [ t k + b xk+ +m [ t k + n+t n+ t n+ k + ] α f a m α f x +m {[ α n+t b f n+ m t α t f a } ] n+ m n+t t k α f x n+ ] α f x +m α t b ] } f n+ m n+ { α = x ak+ [ Γα+Γk + A f x k + n+ Γα+k + B Γα+Γk+ f a [ ] Γα+Γk+ +m A+ + f x Γα+k + m Γα+k + } f a m ] B Γα+Γk + +m Γα+k + { α + b xk+ [ A k + n+ B Γα+Γk+ b ] +m A+ f Γα+k + m } B Γα+Γk + b ] +m f Γα+k + m elde edilir. Böyelece ispat tamamlanır. Γα+Γk + f x Γα+k + [ Γα+Γk + + f x Γα+k + 37
47 Sonuç 4..3 Teorem 4..3 te α = alınırsa, Teorem 4..3 deki eşitsizlik elde edilir. 4.3 Diferensiyellenebilen s Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu bölümde, s konveks fonksiyonlar için Lemma 4.. dikkate alınarak aşağıdaki yeni sonuçlar elde edilmiştir. Teorem 4.3. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k olsun. Eğer f s konveks fonksiyon ise s için olmak üzere E = n s k + F [ s,k +,k+; n ] 4.3. F = Γk +Γs+ Γk +s+ Gk;n;a,x,bf E +F [ x a k+ [ f x + f a ]+b x k+ [ f x + f b ] ] n+ s eşitsizliği geçerlidir İspat. Lemma 4.., mutlak değerin özellikleri ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ { [ x ak+ t k s s n+t t f x + f a ] n+ n+ [ t k s } s t n+t + f x + f a ] n+ n+ n+t ] n+ a ] n+t n+ b = { [ + b xk+ t k s s n+t t f x + f b ] n+ n+ [ t k s } s t n+t + f x + f b ] n+ n+ E +F [ x a k+ [ f x + f a ]+b x k+ [ f x + f b ] ] n+ s 38
48 elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 4.3. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k olsun. f s konveks fonksiyon ise s, p + ve µ = n+s n s s+ = ve > için µ = s+ olmak üzere Gk;n;a,x,bf n+ s p kp+ { [ [ ]] x a k+ [µ f x +µ f a ] +[µ f x +µ f a ] [ ]] + [b x } k+ [µ f x +µ f b ] +[µ f x +µ f b ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliği ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t n+t f ] n+ n+ a [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t n+t f ] n+ n+ b x ak+ t k p [ p n+t t f n+ n+ a + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k p [ p n+t t f n+ n+ b ] + t n+ f n+ n+ b x ak+ n+ s [ p n+t s f x + t s f a kp+ 39
49 ] + t s f x +n+t s f a + b xk+ n+ s [ p n+t s f x + t s f b kp+ ] + t s f x +n+t s f b = n+ s { p kp+ x a k+ [[µ f x +µ f a ] +[µ f x +µ f a ] ] } + n+ s { p kp+ b x k+ [[µ f x +µ f b ] +[µ f x +µ f b ] ] } elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve f L[a,b], n N ve α olsun. f s konveks fonksiyon ise s ve > için E, 4.3. ve F, 4.3. olmak üzere Gα;n;a,x,bf k + n+ s { x a k+ [E f x +F f a +F f x +E f a ] eşitsizliği geçerlidir. +b x k+ [E f x +F f b +F f x +E f b ] } İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliği ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 4
50 t k + t f n+ + b xk+ + ] n+ n+ a [ t k t k f t n+ n+ x ak+ n+ s n+ b t k f n+t n+ ] t n+ b { p t k [n+t s f x + t s f a ] k + } + t k [ t s f x +n+t s f a ] + b xk+ n+ s { p t k [n+t s f x + t s f b ] k + } + t α [ t s f x +n+t s f b ] = n+ s { k + x a k+ [E f x +F f a +F f x +E f a +b x k+ [E f x +F f b +F f x +E f b ] ] } elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 4
51 5. TARTIŞMA VE SONUÇ Araştırmanın esasını oluşturan dördüncü bölümde, Lemma 4.. de Noor ve arkadaşlarının vermiş oldukları özdeşlikten yararlanarak m konveks, α, m konveks ve s konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler sunulmuştur. Bu sonuçlar dördüncü bölümde verilmiştir. E.Set ve S.S. Karatas, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integral for differentiable s-convex functions, AIP Conf. Proc. 76, 44 6 ve E.Set, S.S. Karatas ve M.A. Khan, Hermite - Hadamard Type Ineualities Obtained via Fractional Integral for Diferentiable m convex and α,m- convex Functions, International Journal of Analysis Volume 6, Article ID , 8 pages şeklinde yayınlanmıştır. Konuyla ilgilenen araştırmacılar Lemma 4.. den ve uasi-konvekslik, h-konvekslik gibi konveksliğin farklı sınıflarından faydalanarak Hermite- Hadamard tipli yeni eşitsizlikler elde edebilirler. 4
52 KAYNAKLAR [] Adams, R.A. and Essex, C.,. Calculus A Complete Course, Pearson Canada Inc., Toronto, Ontario, 934. [] Bakula, M.K., Özdemir, M.E. and Pečarić, J., M., 8. Hadamard type ineualities for m convex and α,m convex functions, Journal of Ineualities in Pure and Applied Mathematics, 94. [3] Bayraktar, M.,. Fonksiyonel Analiz, ISBN [4] Beckenbach, E.F. and Bellman, R., 96. Ineualities, Springer-Verlag, Berlin. [5] Breckner, W.W., 978. Stetigkeitsaussagenf ureine Klass ever all gemeinerter konvexer funktionen in topologisc henlinearen Raumen, Publ. Inst. Math., 3, 3-. [6] Dragomir, S.S., Agarwal, R.P., 998. Two ineualities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula, Appl. Math. Lett [7] Dragomir, S.S., Fitzpatrick, S., 999. Demonstratio Math., 3 4, [8] Dragomir, S.S. and Fitzpatrick, S., 999. The Hadamard s ineuality for s convex functions in the second sense, Demonstratio Math., [9] Dragomir, S.S., Pearce, C.E.M.,. Selected Topic on Hermite-Hadamard Ineualities and Applications, Melbourne and Adelaide, December. [] Gorenflo, R. and Mainardi, F., Fractional Calculus: Integral and Differential Euations of Fractional order, 997. Springer Verlag, Wien. [] Hadamard, J., 983. Étude sur les propriété s des fonctions entières et en particulier d une fonction considerée par Riemann, J. Math. Pures Appl [] Hardy, G., Littlewood, J.E. and Polya, G., 95. Ineualities, nd Ed., Cambridge University Press. [3] Hudzik, H., Maligranda, L., 994. Some remarks on s-convex functions, Aeuationes Math
53 [4] Iscan, I., 3. A new generalization of some integral ineualities and their applications, Int. J. Eng. Appl. Sci. EAAS [5] Kannappan, Pl., 9. Functional Euations and Ineualities with Applications, Springer, 87. [6] Kirmaci, U.S., Klari cić Bakula, M., Ö zdemir M.E., Pe carić J., 7. Hadamard-type ineualities for s-convex functions, Appl. Math. Comput [7] Kilbas A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. 6. Theory and applications of fractional differential euations, Elsevier B.V., Amsterdam, Netherlands. [8] Latif, M. A., 5. ineualities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute are convex with applications, Arab J. Math. Sci [9] Mihai M.V., Mitroi F.C., 4. Hermite-Hadamard type ineualities obtained via Riemann-Liouville fractional calculus, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. 83,, pp [] Mitrinović, D.S., 97 Analytic Ineualities, Springer Verlag, Berlin/New York. [] Mitrinović, D.S., Pe carić, J.E., and Fink, A.M., 993. Classical and New Ineualities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London. [] Noor M. A., Noor K. I., Mihai M. V., Awan M. U., 6. Fractional Hermite- Hadamard ineualities for differentiable s-godunova-levin Functions, Filomat in press. [3] Orlicz W. and Matuszewska W., 968. A note on modular spaces. IX, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys , MR 39:378 [4] Pachpatte, B.G., 3. On some ineualities for convex functions, RGMIA Res. Rep. Coll., 6, Supplement, Article. [5] Pachpatte, B. G., 5. Mathematical Ineualities, Volume 67, Elsevier B.V., 66. [6] Pearce, C.E.M., Pe carić, J.E.,. Ineualities for differentiable mappings with application to special means and uadrature formula, Appl. Math. Lett [7] Pe carić, J.E., Proschan, F., Tong Y.L., 99. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press Inc. 44
54 [8] Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I., 993. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Applications, Gordon and Breach, Longhorne, PA. [9] Toader, G., 984. Some generalizations of the convexity, Proc. Collo. Approx. Optim., Cluj-Napoca Romania, [3] Toader, G., 988. On a generalization of the convexity, Mathematica, 3 53,
55 ÖZGEÇMİŞ Adı-Soyadı : Süleyman Sami KARATAŞ Doğum Yeri : Gölköy / Ordu Doğum Tarihi : Medeni Hali : Bekar Bildiği Yabancı Dil : İngilizce İletişim Bilgileri : Ordu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, sskaratas5@gmail.com Lise : Çok Programlı Gölköy Lisesi, 3 Lisans : Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyet Fakültesi Matematik Bölümü
MERTEBEDEN TÜREVLENEBİLEN FONKSİYONLAR İÇİN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ Çetin YILDIZ Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
MERTEBEDEN TÜREVLENEBİLEN FONKSİYONLAR İÇİN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ Çetin YILDIZ Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof. Dr. M. Emin ÖZDEMİR 2014 Her hakkı
DetaylıT.C. KİLİS 7 ARALIK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LOGARİTMİK KONVEKS FONKSİYONLAR ÜZERİNE. İbrahim KARABAYIR
T.C. KİLİS 7 ARALIK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LOGARİTMİK KONVEKS FONKSİYONLAR ÜZERİNE İbrahim KARABAYIR 1.Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mevlüt TUNÇ 2.Danışman: Prof. Dr. Fahir Talay AKYILDIZ YÜKSEK
DetaylıT.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ
T.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ GEOMETRİK-ARİTMETİK KONVEKS VE GEOMETRİK-GEOMETRİK KONVEKS FONKSİYON SINIFLARI İÇİN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLER KÜBRA YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2007 Y. Lisans Uygulamalı Matematik Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı: Sercan TURHAN 2. Doğum Tarihi: 03. 09. 1985 3. Unvanı: Dr. Öğr. Üyesi 4. Öğrenim Durumu: Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2007 Y. Lisans Uygulamalı
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
DetaylıAHMET OCAK AKDEMİR YARDIMCI DOÇENT
AHMET OCAK AKDEMİR YARDIMCI DOÇENT ÖZGEÇMİŞ YÜKSEKÖĞRETİM KURULU 09.06.2015 Adres Ağrı İbrahim Çeçen Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü Telefon E-posta 4722156554-4124 Doğum Tarihi
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
DetaylıTez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)
HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:,Syı:,,3-4/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:,No:,,3-4 İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ İmdt İŞCAN *, Selim
DetaylıT.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OPERATÖR GEOMETRİK KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN HERMİTE- HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER.
T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OPERATÖR GEOMETRİK KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN HERMİTE- HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER Murat Caner KAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 18 ÖZET OPERATÖR GEOMETRİK KONVEKS
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
DetaylıKişisel Bilgiler. Akademik Durum
ÖZGEC. MİŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı : Emin ÖZC. AĞ Doğumyeri : Mersin Doğum Tarihi : 22 Eylül, 1961 Uyruğu : T.C. Medeni Hali : Evli Adress : Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Beytepe-Ankara
DetaylıProf.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıTopolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıDÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl
ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Akademik Ünvanı : Y. Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir, Cebirsel Sayı Teorisi, Cebirsel Geometri, Kodlama Teorisi, Kriptoloji, Cebirsel Topoloji.
DetaylıOcak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)
DetaylıTez adı: Orlicz uzaylarında polinom ve rasyonel fonksiyonlarla yaklaşımlar (2004) Tez Danışmanı:(İLKAY KARACA,DANİYAL İSRAFİLZADE)
ALİ GÜVEN PROFESÖR E-Posta Adresi guvennali@gmail.com Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres 2666121000-1211 2666121215 Balıkesir Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 10145 Balıkesir Öğrenim
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıLeyla Bugay Haziran, 2012
Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ
Ders List ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ 17.11.2016 Yüksek Lisans Dersleri Kod Ders Adı Ders Adı (EN) T U L K AKTS MTK501 Reel
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıHESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
DetaylıTÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile
DetaylıGENİŞLETİLMİŞ BETA FONKSİYONU İLE TANIMLANAN BAZI ÖZEL FONKSİYONLAR
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENİŞLETİLMİŞ BETA FONKSİYONU İLE TANIMLANAN BAZI ÖZEL FONKSİYONLAR Özlem AYAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR - 4 T.C. AHİ EVRAN
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi.
ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Ünvanı : Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi. 1. Öğrenim
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları
DetaylıProf. Dr. Mahmut Koçak.
i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni
DetaylıDüzce Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi
Düzce Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi, 2 (2014) 154 168 Düzce Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi Derleme Makalesi Ünivalent Fonksiyonlar Teorisinde Geometrik Fonksiyonların Sağladığı Bazı
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
DetaylıFATMA KANCA. Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü Yüksek Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2004
FATMA KANCA EĞİTİM Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü 2011 Yüksek Lisans Matematik Kocaeli 2004 Lisans Matematik Kocaeli 2001 AKADEMİK UNVANLAR Kurum/Kuruluş
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıYRD DOÇ. DR. NURGÜL OKUR. ÖZGEÇMİŞ ve ESER LİSTESİ. Derece Alan Üniversite Yıl. Lisans FEF, Matematik Karadeniz Teknik Üniversitesi 2002
YRD DOÇ. DR. NURGÜL OKUR ÖZGEÇMİŞ ve ESER LİSTESİ 1. Adı Soyadı: Yrd. Doç. Dr. Nurgül OKUR 2. Doğum Tarihi: 05.05.1978 3. Unvanı: Yrd. Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu: Derece Alan Üniversite Yıl Lisans FEF,
DetaylıDEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıParametric Soft Semigroups
Ordu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi / Ordu University Journal of Science and Technology Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., 2018; 8(1): 91-99 Ordu Univ. J. Sci. Tech., 2018; 8(1): 91-99 e-issn: 2146-6459
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıPOLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2012-YL-023 POLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ Maide ŞEN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Ali IŞIK AYDIN
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR Telefon : (0386) 280 4565 Mail : aakbulut@ahievran.edu.tr 2. Doğum
DetaylıİRTİBATLI LIE GRUPLARININ ESAS GRUPLARININ DEMETİ ÜZERİNE M. ÇİTİL
İRTİBATLI LIE GRUPLARININ ESAS GRUPLARININ DEMETİ ÜZERİNE M. ÇİTİL Özet Çalışmamızda ilk olarak, irtibatlı bir Lie grubu üzerinde esas grupların demeti bilinen tekniklerle oluşturulmuştur. Daha sonra elde
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: Ünvanı: Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu:
1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: 02.0.1969. Ünvanı: Doç. Dr.. Öğrenim Durumu: ÖZGEÇMİŞ Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Karadeniz Teknik Üniversitesi 1991 Y. Lisans Matematik
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÖNEM PROJESİ TAŞINMAZ DEĞERLEMEDE HEDONİK REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ. Duygu ÖZÇALIK
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÖNEM PROJESİ TAŞINMAZ DEĞERLEMEDE HEDONİK REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ Duygu ÖZÇALIK GAYRİMENKUL GELİŞTİRME VE YÖNETİMİ ANABİLİM DALI ANKARA 2018 Her hakkı saklıdır
DetaylıKPSS ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK. Tamamı Çözümlü SORU BANKASI. 50 soruda SORU
KPSS ÖABT 09 İLKÖĞRETİM MATEMATİK Tamamı Çözümlü SORU BANKASI 50 soruda SORU Komisyon ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ISBN 978-605--9-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylıİkinci Türevi Preinveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri
İkinci Türevi Preinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermite-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri İmdt İŞCAN*, Selim NUMAN*, Kerim BEKAR* *Giresun Üniversitesi, Fen Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Giresun, TÜRKİYE
DetaylıİNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik
DetaylıSoru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.
İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi
EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
DetaylıTAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ
ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
DetaylıÖğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;
Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu
DetaylıDUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARI. Esra GÜLDOĞAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARI Esra GÜLDOĞAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAYIS 2015 Esra GÜLDOĞAN tarafından hazırlanan
DetaylıEÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206
99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
DetaylıAYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Derece Üniversite Alanı Yılı Bütünleşik Doktora Ege Üniversitesi Matematik (Cebirsel 2009-2014. Lisans Ege Üniversitesi Matematik 2009
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : ÖZGÜR EGE 2. Doğum Tarihi : 15.06.1987 3. Doğum Yeri : İZMİR 4. Ünvanı : Araştırma Görevlisi Doktor 5. Adres : Celal Bayar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
DetaylıİKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA
BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)
DetaylıYÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR : SİNOP ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK BÖLÜMÜ/MATEMATİK BÖLÜMÜ 57000/SİNOP
KAMİL DEMİRCİ ÖZGEÇMİŞ YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR 24.11.2014 Adres : SİNOP ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK BÖLÜMÜ/MATEMATİK BÖLÜMÜ 57000/SİNOP Telefon : 0368271551-4001 E-posta : kamild@sinop.edu.tr
DetaylıÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ
ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: R. TUNÇ MISIRLIOĞLU Doğum Tarihi: 1971 Adres: İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Ataköy Kampüsü, 34156 Bakırköy-İstanbul
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıT.C. UZAYLARINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Koray ŞANTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 25 T.C. AHİ
DetaylıDOÇ. DR. BANU UZUN Işık Üniversitesi Matematik Bölümü
DOÇ. DR. BANU UZUN Işık Üniversitesi Matematik Bölümü buzun@isikun.edu.tr 1. Adı Soyadı : Banu UZUN 2. Doğum Tarihi : 22.09.1971 3. Ünvanı : Doçent 4. Öğrenim Durumu : ÖĞRENİM DÖNEMİ DERECE ÜNİVERSİTE
DetaylıDerece Bölüm/Program Üniversite Yıl
DR. ALI S. NAZLIPINAR Dumlupınar Üniversitesi, Fen Ed. Fakültesi Matematik Bölümü, Kütahya, TÜRKİYE ali.nazlipinar@dpu.edu.tr Tel: +90 274 2652031 /3065 (Dahili) Öğrenim Durumu Derece Bölüm/Program Üniversite
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSoru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6.
İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar Bölümü MB500, MC 56, MC 56 - NÜMERİK ANALİZ (I) 0 Ocak 0 CEVAPLAR Talimatlar Sınav süresi 5 dakikadır. İlk 0 dakika sınav salonunu
Detaylı