Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar"

Transkript

1 Matemati Dünyası Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar İler Birbil / / wwwbolbilimcom Princeton Üniversitesi Yayınları ndan 15 yılında bir itap çıtı [1] Kapsamlı bir uygulamalı matemati ansilopedisi Tahmin edeceğiniz üzere, tuğla gibi bir itap Ansilopedinin editörlerinden birisi olan Nicholas J Higham, geçenlerde bir yazı yayımladı [] Yazısında, ansilopedide geçen ve itabın sonundai dizine göre en ço referans gösterilen 1 algoritmayı sıralamış Ne yalan söyleyeyim ço eyiflendim Çünü o listedeilerin en azından yarısını derslerimde anlattığımı farettim Bir yazı onusu düşünüren, 1 onuyu ucağımda buldum Şansa ba! Lafı uzatmadan listenin başındai Newton ve Newton-benzeri yöntemler ile yazı dizisine başlayalım 1 Malzemeler Matematile ilgili bir onuyu anlatmanın yeme tarifi vermeye benzer bir yanı var Her ii durumda da sizi dinleyen işinin temel bir bilgisi olduğunu varsayabilirsiniz Kabartma tozu nedir, türev nasıl alınır, seriler yaınsar mı, soğan avrulur mu gibi notalarda biraz firi olmalı Anca tarif arışısa, malzemeleri önceden tanıtma ve daha iyi bilinen benzer yemelerden örneler verme isabetli olur Hele ona da ollarını sıvatıp, birlite yapmaya davet ederseniz bir daha olay olay unutmaz Bu sayıdai onuyu anlatma için ii malzeme yeterli gelece İlinde bir fonsiyonu yalaşı olara hesaplamanın yollarından birinden bahsedeceğim İincisinde ise ço boyutlu uzayda fonsiyonlara ve döngülü algoritmalara hızlı bir giriş yapmamız gereece Taylor Polinomları Diyelim i elimizde f ile gösterdiğimiz bir fonsiyon var Bu fonsiyonun a notasında istediğimiz adar türevini alabiliyor olalım Şimdi bu fonsiyonu, a notası çevresine uracağım birinci dereceden bir polinom ile yalaşı olara bulmaya çalışayım O zaman p 1 =c + c 1 (x a) şelinde yazmalıyız Bir ere polinom x = a değerinde f(a) değerini vermeli Bu durumda c = f(a) olma zorunda Dolayısıyla p 1 (a) =f(a) oldu Güzel Faat eğimi veren c 1 değeri ne olaca belli değil Tıpı sabit ısımda yaptığımız gibi, eğimlerin de tutmasını beleyebiliriz Bunun için asıl fonsiyonun türevi ile polinomun türevi a notasında birbirlerine eşit olmalılar Yani söz onusu birinci türev şartımız şu şeilde yazılaca: p 1(a) =f (a) Bu şartı sağlamanın te yolu eğimin c 1 = f (a) olara belirlenmesi Birinci dereceden Taylor polinomumuz artı hazır p 1 =f(a)+f (a)(x a) Birinci derece ço basit açtı İinci derece Taylor polinomuna geçelim Elimizde p =p 1 +c (x a) şelinde bir ifade olmalı Aynı numarayı bir daha deneyebiliriz Bu sefer iinci türevlere baalım Amacımız p (a) =f (a) eşitliğini sağlayaca c atsayısını bulma Hemen deneyelim p =p 1+c =c O zaman c = f (a)/ olma zorunda İinci dereceden polinomumuzu da artı şu şeilde yazabiliriz: p =f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) (1) Sadece biraç basit adım attı ama istediğimizi elde etti Bir göz atalım p (a) =f(a), p (a) =f (a), p (a) =f (a) Bu adımları aynı şeilde uygulayıp p,p, gibi farlı derecelerdei Taylor polinomlarını elde edebiliriz Biz genel formunu düşünelim: p n = nx c t (x a) t t= 5

2 Matemati Dünyası - 1 Fonsiyonların farlı derecelerden türevlerini öşeli parentez içinde yazdığımız sayılar ile ifade ederse, türevler ile ilgili istediğimiz eşitlileri her bir t =,,n için p [t] n (a) =t!c t = f [t] (a) şelinde yazabiliriz Burada f [] (a), f(a) gösterimini düşünüyoruz tabii Evet sonunda polinomların atsayılarını elde etti c t = f [t] (a) t! Karşınızda Taylor polinomları: p n = nx t= f [t] (a) (x a) t t! İyi ter dötü Baalım bu polinomlar nasıl çalışıyorlar Örne fonsiyonumuz f =ex olsun Bu fonsiyonun tüm türevleri endisine eşit Eğer a = notasında incelerse, her bir t =,,n için f [t] () = e =1 eşitliğini elde ediyoruz O zaman Taylor polinomları da olduça olaylaşıyor: p n = nx t= x t t! Aşağıdai şeilde il dört polinomu görebilirsiniz Hiç fena değil Diat ederseniz a = notasından ço uzalaşmazsa, polinomlarımız f fonsiyonuna olduça yaınlar Alımızda olsun f ve p p 1 p p f=e x p x Taylor Polinomları Bahsettiğimiz polinomları ullanara, Taylor serilerinden bahsetme mümün Faat benim bu yazıda serilere ihtiyacım olmayaca Onun için geçiyorum Ama bu adar eme verdiniz, herhangi bir analiz itabından oumanızı salı veririm Eğer oursanız şöyle bir eşitli görecesiniz: 1X f [t] (a) f = (x a) t t! t= Yazının alan ısmında en fazla iinci dereceden Taylor polinomları ile ilgileneceğiz O durum içinse şunu yazabiliyoruz: f =p 1 +O( x a )=p +O( x a ) Bu eşitlilerdei O simgesi ile gösterilen işleç, x notası a notasına yalaşıren, sondai terimin ii nota arasındai mesafenin aresi ya da üpü hızıyla sıfıra gittiğini söylüyor Diğer bir deyişle, eğer a notasına iyice yaınsa, elde ettiğimiz polinom f fonsiyonunu ço iyi estiriyor Tam da yuardai şeilde gördüğümüz gibi Ço Boyutlu Uzay ve Algoritmalar Önce ullanacağım biraç simgeyi tanıtayım Yazacalarım ço daha farlı ümelerde ifade edilebilir ama ben R n simgesi ile gösterilen n boyutlu gerçel sayılar uzayında çalışacağım Bu uzaydai her bir notayı n bileşenden oluşan bir sütun vetörü olara ullanacağım ve x R n vetörünün boyunu x ile göstereceğim Vetörlerle çalışan ve bir gerçel sayı döndüren fonsiyonlar f : R n! R şelinde gösterilir Bu fonsiyonların türeviiçinr f sembolü ullanılır ve birinci türevi elde etme için n boyutun her birine göre ısmi türev alınıra aşağıdai vetör elde edilir: @x n 5 İinci türevleri ise bir matris verecetir: r f 1 @x n n 5 Görüldüğü üzere rf : R n! R n ve r f : R n! R n n fonsiyonlarını elde ediyoruz Ş imdi bu türevleri ullanara Taylor polinomlarını yazabiliriz Mesela f fonsiyonunu a vetörü yaınlarında iinci dereceden Taylor polinomu ile yalaşı olara hesaplayalım: f f (a)(x a) z } { f(a)+ rf(a) (x a)+ 1 (x a) r f(a)(x a) {z } f (a) (x a)

3 Daha önce bahsettiğimiz iinci dereceden polinom (1) ile arşılaştırmanız için ilgili ifadeleri terimlerin üstüne ya da altına yazdım Ayrıca söylemeden geçmeyeyim; n m boyutlu bir A matrisinin m n boyutlu devriğini A ile gösteriyoruz Her vetör aslında bir matris olduğu için sütun vetörleri satır, satır vetörleri de sütun vetörleri oluyorlar Bir de vetör değişenlerle çalışan ve vetör döndüren F : R n! R m fonsiyonuna baalım Kendisini şu şeilde gösterece olursa F = f 1 f f m 5, birinci türevi m n boyutlarında bir matris olur: rf = rf 1 rf rf m 5 Bazı itaplarda bu matrise Jacobi denir Gere birazdan bahsedeceğimiz Newton metodları, gerese eniyileme (optimizasyon) metodlarının tamamına yaını bir döngülü algoritma olara yazılabilir Böyle bir algoritmada adımı hesaplanır ve elde edilen sonuca göre +1 adımına geçilir Diyelim i adımında x () vetörü ile gösterilen n boyutlu uzayın bir notasındayız Bir sonrai notaya gitme için p () diye bir yön vetörü bulunur ve o yönde boyu sayısı ile belirlenen bir adım atılır Yani x (+1) = x () + p () Bu durumda p () vetörünü ve adım boyunu bulma temel hedeflerdir Artı ullandığımız simgeleri biraz olaylaştırsa iyi olaca: f, f(x () ), rf, rf(x () ), r f, r f(x () ) Son olara = 1 alıp, iinci derece Taylor polinomununda x yerine x () + p yazaca olursa f fonsiyonuna şu şeilde yalaşabiliriz: f(x () + p) f + rf p + 1 p r f p () Öncei gözlemlerimi de düşününce, alıma şu fiir geliyor: Eğer bir sonrai adımımızda fazla uzalara gitmezse, yani p ço büyü değilse, f yerine iinci dereceden bir polinom ile çalışabilirim Bu firi ilerde ullanacağım Newton Metodu Matemati Dünyası Sonunda asıl onumuza gelebildi Newton metodunun amacı m tane eşitliten oluşan bir sisteme çözüm olaca n boyutlu bir x vetörü bulma Her i = 1,,m için f i : R n! R fonsiyonlarını tanımlarsa, Newton metodunu f 1 f f m 5 = ile verilen sistemi sağlayaca bir x R n bulma için ullanabiliriz Hani lisede ö bulma diye öğrendiğimiz şey Önceden tanıttığımız simgeleri ullanmanın tam zamanı Bu sistemi yazma için F : R n! R m fonsiyonu daha uygun Kısaca çözümünü aradığımız sistem şöyle: F = Bu eşitliğin sağ tarafında m boyutlu sıfır vetörü var Açıçası, böyle bir sistemin tüm ölerinin bulma ço zor olabilir Ç ünü sistemin satırları olduça armaşı, doğrusal olmayan fonsiyonlar içerebilirler Onun için ölerden bir tanesini bulma hedefimiz olsun Newton metodunun numarası, armaşı F fonsiyonu yerine ona yalaşı birinci dereceden Taylor polinomlarını ullanma ve bu işlemi adım adım yapara döngülü bir algoritma elde etme Algoritmanın iterasyonunda x () notasında olduğumuzu varsayalım O zaman 5 F (x () + p) F (x () )+rf (x () )p şelinde yazabiliriz Simgeleri öncei gibi basitleştirelim F, F (x () ), rf, rf (x () ) Şimdi asıl fonsiyon yerine, birinci dereceden polinomu sıfır vetörüne eşitleyelim: F + rf p = =) rf p = F Diat ederseniz F sabit bir vetör O zaman elimizde bilinmeyeni p olan doğrusal bir denlem sistemi var Lineer cebir ne güne duruyor? Çözelim sistemi, bulalım p vetörünü Eğer o çözüme p () derse, x (+1) = x () + p () ile bir sonrai notaya ulaşırız Oradan x (+),x (+), diye devam ederiz Zaten bunu da yaptı mı Newton metodunun algoritmasını yazmaya hazırız demetir

4 Matemati Dünyası - 1 NEWTON METODU 1 Başlangıç x () vetörünü seç İterasyonları başlat; = F olanaadarşuadımlarıterarla: (a) Aşağıdai lineer sistemi p için çöz: rf p = F Ç ö z ü m ü p () ya ata (b) Yeni notayı hesapla: (c) x (+1) = x () + p () İterasyonu bir arttır; +1 Hadi bir örne yapalım Önce çözeceğimiz sistemi yazalım: " # x 1x + x 1 x F = = x 1 x + x 1x + x 1 x Malum türeve ihtiyaç olaca O olay, apple x rf = 1 x + x x 1x + x 1 x +x 1 x + x x 1 x + x 1 + x 1 Aşağıdai grafite x () = (1, 1) notasından başlattığımız algoritmanın çözümünü görebilirsiniz Altı iterasyonda ölerden birini bulmuşuz (F ) Ç özümün bulunma hızı etileyici değil mi? Anca bu adar toz pembe bir tablo çizmem doğru olmaz Ç ünü bu adar hızlı bir çözümü garanti etme için biraç varsayım gereli Bunların arasında türev matrisinin çözüm notasındai yapısı, başlangıç notasının çözüme yaın olması gibi şartlar var [] O sulara dalma yerine gelin biz Newton metodu ile eniyilemenin ilgisini uralım Bir ısıtsız eniyileme modelini şu şeilde ifade edebiliriz: min{f x R n } () Burada f : R n! R en üçü değerini bulma istediğimiz amaç fonsiyonunu gösteriyor Bu fonsiyonun en az ii ere türevlenebildiğini varsayacağım Bu modelde bilinmeyen x vetörünün istediğimiz gibi seçebiliyoruz Onun için bu modele ısıtsız diyoruz Kısıtlı problemler ile ilgili de anlatma istediğim ço şey var Faat onları sonrai yazılara bıraayım Aslında ısıtsız eniyileme probleminin en üçü değerini (minimum) verece çözüm notasıyla ilgili esin bir firimiz var Tıpı lisede ya da üniversitenin il yıllarında öğrendiğiniz gibi, o notada amaç fonsiyonunun türevi sıfır olaca Varsayalım x vetörü, bu problemin çözümü olsun O zaman şu eşitliği yazabiliriz: rf(x )= () Elimizde n bilinmeyenli, n tane eşitli var Newton metodu için biçilmiş aftan Te yapmamız gereen daha önce F dediğimiz fonsiyon yerine rf ve rf yerine r f yazma O durumda Newton algoritmasında çözeceğimiz lineer denlem sistemi r f p = rf (5) haline geliyor Burada r f bir are matris Eğer bu matrisin tersi varsa, p () doğrudan hesaplanabilir: p () = (r f ) 1 rf Bu şeilde hesaplanan p () vetörüne eniyileme dünyasında Newton yönü denir Newton algoritması ile eniyileme arasındai ilişiyi açılaren doğrudan () ile gösterilen denlem sistemini ullandı Bir diğer yol ise () ile verilen modelin amaç fonsiyonuna iinci dereceden bir Taylor polinomu ile yalaşma Daha önce onuştuğumuz gibi x () notasının yaınlarında amaç fonsiyonuna () ile verildiği gibi yalaşabiliyoruz Yalaşı fonsiyon için yeni bir simge tanımlayalım: m (p), f + rf p + p r f p Şimdi ısıtsız enyileme problemimiz () yerine, p değişeni üzerinden ifade edilen aşağıdai yalaşı modeli çözmeyi düşünebiliriz: min{m (p) p R n } () Bu modelin amaç fonsiyonunun türevini alıp sıfıra eşitlediğimizde rm (p) = =) r f p = rf Bu yolla da (5) ile aynı lineer sistemi elde etti Özetle türevi sıfıra eşitleyece denlemi Newton metodu ile çözüyoruz diyebiliriz Faat bu denlem sistemini sağlayan pe ço vetör olabilir En fenası, amaç fonsiyonunun en büyü değerini (masimum) veren nota bile bu sistemi sağlar Bütün 8

5 çözüm vetörlerini bulursa, her birini amaç fonsiyonuna oyara en üçü değeri verenini seçebiliriz Anca denlem sistemlerinde bahsettiğimiz gibi pe ço problem için bütün çözümleri bulma son derece güç İyisi mi bu problemi çözme için biraz daha aıllı bir algoritma tasarlamaya oyulalım Hedefimiz x () adımından x (+1) adımına geçeren amaç fonsiyonunu düşürme olsun Bunun için hem bir yön p (), hem de bir adım boyu hesaplamamız gereece Simgelerimizi ullanırsa f(x (+1) )=f(x () + p () )=f +1 apple f eşitsizliğinin peşindeyiz Böyle bir ilerlemeyi doğrudan f üzerinde yapma ço iddialı olaca Onun yerine bir ez daha Taylor polinomlarını ullanalım Birinci dereceyi yazdım bile: f(x () + p) f + rf {z p <f } < Eğer rf p teriminin negatif olmasını garanti edersem, soldai yalaşı değer f değerinden daha düşü olaca Bu şeilde rf p<eşitsizliğini sağlayan p vetörüne iniş yönü deniyor Ayrıca Taylor polinomları onusundan biliyorum i, eğer yeterince üçülürse, x () ile x (+1) birbirlerine yalaşırlar O zaman da f fonsiyonuna ço yaınsarım ve asıl amaç fonsiyonunun değerinde de istediğim düşmeyi elde ederim Anlaşılan ii tane ödevim var: 1 p () vetörünün iniş yönü olmasını sağlama Amaç fonsiyonunu düşürece bir (adım boyu) belirleme İl ödev için Newton yönünü deneyelim O durumda p () = (r f ) 1 rf almalıyım, rf p() = rf (r f ) 1 rf? < Faat bu değerin her adımda negatif olması garanti değil Biraz can sııcı Eğer Newton yönü olmazsa p () = rf alabilirim O zaman da rf p() = rf rf = rf < () şelinde istediğimi elde ederim Diat ederseniz rf = durumunu göz ardı ediyorum Ç ü n ü o durumda rf = sistemini çözen bir nota (bu durumda x () ) buldu demetir; i o zaman da algoritmayı durdurabilirim Bu arada () ile hesaplanan p () vetörünün de bir ismi var: en di iniş yönü Diyebilirsiniz i O zaman Newton yönüne ne gere var? Hep en di iniş yönünü ullanalım Matemati Dünyası Hatırlarsanız denlem sistemlerinde Newton metodu ile çözüme ço hızlı ulaşıyordu Aynı gözlem ısıtsız eniyileme için de geçerli Newton yönünü ullanabilirse iterasyon sayımızı ciddi oranda azaltabiliriz Benzer bir performansı, en di iniş yönü ile maalesef yaalayamıyoruz Bu notayla ilgili bir örneği az sonra vereceğim ama iinci ödevimizi unutmayalım Neyse i bu daha olay Yapmamız gereen (, 1) değeri için, şu şartı sağlayan adım boyunu ( ) bulma: f(x () + p) apple f + rf p Bu eşitsizliğe Armijo şartı deniyor Türçesi: Birinci dereceden Taylor polinomu için aydettiğin azalmanın en azından bir ısmını, asıl amaç fonsiyonu f için de garanti et Adım boyunu belirleme için farlı algoritmalar var Bunların en olayı, adım boyunu Armijo şartı sağlanana adar üçültme Ortaya çıan algoritmanın ismi de geriye dönüşlü arama GERİYE DÖNÜŞLÜ ARAMA 1 Başlangıç adım boyunu seç; =1 Küçültme parametresini seç; (, 1) Armijo şartı sağlanana adar aşağıdai adımı terarla: En son değeri aydet; = Newton yönü ullanıldığında, genellile = 1 ve =, 9 olara alınır Evet, her ii ödevimizi de tamamladı O zaman örneğimize geçmeden önce eniyileme algoritmamızı yazabiliriz NEWTON METODUYLA ENİYİLEME 1 Başlangıç x () vetörünü seç İterasyonları başlat; = rf olanaadarşuadımlarıteraret: (a) p () = (r f ) 1 rf hesapla (b) Eğer rf p() isep () = rf (c) Geriye Dönüşlü Arama ile değerini bul (d) Yeni notayı hesapla: (e) x (+1) = x () + p () İterasyonu bir arttır; +1 Örneğimize geçelim Amaç fonsiyonumuz f = 1(x x 1) +(1 x 1 ) olara verilsin Bu fonsiyon eniyileme camiasında o adar ço ullanılıyor i endi ismi var: Rosenbroc fonsiyonu 9

6 Matemati Dünyası - 1 Bu grafitei düz çizgi az önce yazdığımız Newton yönünü ullanan eniyileme algoritmasını, esili çizgi ise sadece en di iniş yönünü ullanan bir algoritmayı gösteriyor ( adımda p () her zaman rf alınıyor) Newton yönünü ullanınca amaç fonsiyonu değerinin ne adar hızlı düştüğüne baar mısınız İşte tam da bu yüzden Newton yönünü ullanmaya ço gere var Newton-benzeri Metodlar Newton metodu haria sonuçlar veriyor Orası doğru Anca biraz masraflı Bir ere hesaplama yüü fazla Çünü her adımda iinci dereceden bir türev (r f ) hesaplama gereiyor O da yetmiyor; bir de bu matrisin tersini (r f 1 ) alma zorunda alıyoruz Hadi onu da almaya razı oldu diyelim Baalım tersi var mı? Tersi olsa bile bulduğumuz Newton yönünün, elimizdei fonsiyonu azaltan bir iniş yönü olması garanti değil Enseyi arartmayalım Derdimize deva olaca bir çözüm var: Newton-benzeri metodlar (quasi- Newton methods) Bu metodlar sayesinde iinci türevi almadan, Newton yönüne benzer bir yön bulabiliyoruz Üsteli herhangi bir adımda matrisin tersini olayca elde ediyoruz Bu metodların te zayıf tarafı, Newton yönünü tam hesaplamadıları için çözüm bulma hızları Newton metodları adar iyi değil Anca en di iniş yönüne göre ço daha başarılılar Newton-benzeri metodlarla hesaplayacağımız yönü p () = B 1 rf şelinde yazalım Burada n n boyutlu B matrisi, iinci türev matrisinin x () notasındai rolüne soyunuyor Ş imdi bir şeilde B +1 matrisini bulacağız Newton metodunu anlatıren () ile verilen yalaşı modeli yazmıştı O zaman B +1 matrisini ullanara ˆm (p) =f +1 + rf +1 p + p B +1 p şelinde yeni bir yalaşı amaç fonsiyonu yazalım Şimdi de bu fonsiyonu ullanara çözeceğimiz eniyileme modelini elde edelim: min{ ˆm (p) p R n } Baalım bu iterasyonda elimizde neler var: bir öncei onumumuz x (), atettiğimiz yol p (), x () notasındai geçmiş türev bilgisi rf ve yeni onumumuz x (+1) = x () + p () Ayrıca e bir hesap ile yeni onumumuzdai türev bilgisini rf +1 de hesaplayabiliriz Bir ere yalaşı amaç fonsiyonunun yeni onumdai türevi, asıl fonsiyonun türevi ile tutuyor Yani r ˆm () = rf +1 Pei ya bir öncei iterasyondai türev ile tutuyor mu? Tutması için r ˆm ( p () )=rf olması gereir Biraz açarsa r ˆm ( p () )=rf +1 B +1 p () = rf Ya da B +1 ( p () )=rf +1 rf Bu eşitliği ii yeni simge, s, x (+1) x (), y, rf +1 rf, tanımlayara sadeleştirebiliriz: B +1 s = y Elde ettiğimiz eşitliğe seant denlemi deniliyor Seant denlemini sağlayan sonsuz sayıda B +1 matrisi bulunabilir Anca hatırlarsanız bizim ayrıca endi şartlarımız da var: 1 B +1 matrisinin tersi (B 1 +1 ) tanımlı olmalı B 1 +1 olay hesaplanmalı p (+1) iniş yönü olmalı (p (+1) rf +1 < ) Neyse i bütün bu şartları sağlayan ve uygulamalarda son derece başarılı olan bir Newton-benzeri yöntem var Bu yönteme göre matris şu şeilde hesaplanıyor: B +1 = B B s s B s B s + y y y s Matrisin seant denlemini sağladığını yerine oyara olayca ontrol edebilirsiniz Önerilen matrisin tersi ise lineer cebirdei Sherman-Woodburry- Morrison özdeşliği ile olayca bulunabiliyor: B 1 s y +1 = I s y B 1 s y I s y + s s s y (8)

7 Burada I simgesi n n boyutlarındai birim matris olara ullanılıyor Diat ederseniz yeni matrisin tersini bulma için bir öncei matrisin tersini (B 1 ) ullandı Eğer algoritmaya başladığımızda B = I olara seçerse, iterasyonlar boyunca gere B matrislerini, gerese onların terslerini bulma bu formüllerle ço olay olaca Dahası var Şayet herhangi bir d R n, d = vetörü için d B 1 d> ve s y > olduğu biliniyorsa, d B 1 +1 d> eşitsizliği de sağlanıyor Yani B = I ş e l i n d e başlarsa ve s y > olursa, tüm iterasyonlarda bu eşitsizliler tutuyorlar Dolayısıyla rf ( B 1 +1 rf )= rf B 1 +1 rf < hesabı sayesinde p (+1) vetörünün iniş yönü olduğunu görüyoruz Üç şartımız da sağlandı Matrisin bu şeilde hesaplanması ile elde edilen Newton-benzeri yönteme BFGS metodu deniyor Kısaltmanın bir anlamı yo; sadece metodu bulan araştırmacıların soyadlarının il harflerinden oluşuyor (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno) [] Unutmadan ufa bir notayı daha aradan çıaralım Kullanılan formüllerin paydalarında s y değeri ullanılıyor Bölmenin sorun çıarmaması için bu değer sıfıra ço yalaşırsa, B +1 = I alınara devam ediliyor Diğer bir deyişle o iterasyonda en di iniş yönü seçiliyor Şimdi algoritmamızı derli toplu yazabiliriz Aşağıdai algoritmada " ile ço üçü bir sayıyı ( 1 8 ) ifade ediyoruz BFGS İLE ENİYİLEME 1 Başlangıç x () vetörünü seç İl matrisi seç; B = B 1 = I İterasyonları başlat; = rf olanaadarşuadımlarıteraret: (a) p () = (B 1 )rf hesapla (b) Geriye Dönüşlü Arama ile değerini bul (c) Yeni notayı hesapla: x (+1) = x () + p () (d) Eğer s y < " ise B 1 +1 = I olara ata Asi halde B 1 +1 matrisini (8) formülü ile hesapla (e) İterasyonu bir arttır; +1 Matemati Dünyası Son olara Rosenbroc fonsiyonunu bir de yeni metodumuzla çözelim Aşağıdai grafite notalı çizgi BFGS algoritması ile elde ettiğimiz sonucu gösteriyor Tamam, Newton algoritması (düz çizgi) adar iyi değil ama en di iniş yönünü (esili çizgi) ullanmaya göre ço daha parla bir performansı var Kolları Sıvayın En başta yazmıştım Yeni bir hesaplamalı tarif öğrendiyseniz, peişmesi için sizin de tarifi denemeniz gereir Bu yazıda yaptığım tüm hesaplamaları şu adrese oydum: Programlama için açı ayna odlu GNU Octave ullandım Bu programı ücretsiz olara bilgisayarınıza yüleyebilirsiniz [] Yo eğer yülemeden deneyeyim derseniz, herhangi bir tarayıcı ile ullanabileceğiniz şöyle bir sayfa var: Benden bu adar Önümüzdei yazıda onumuz matrisleri çarpanlarına ayırma olaca Olduça olay bir tarif Siz de o zamana adar GNU Octave ullanmaya alışırsanız haria olur Kaynaça: [1] Nicholas J Higham, Mar R Dennis, Paul Glendinning, Paul A Martin, Fadil Santosa ve Jared Tanner (editörler), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ, ABD, 15 [] [] Jorge Nocedal ve Stephen J Wright, Numerical Optimization, Springer(bası),NewYor,NY,ABD, [] https://wwwgnuorg/software/octave/ 1

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu

Detaylı

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS)

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS) ÖZET/ABSTRACT DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 2 Sayı: 2 sh. 49-54 Mayıs 2000 OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste

Detaylı

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır.

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Deney : Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) & Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) Amaç Bu deneyin amacı Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Giriş Bir öncei deneyde ayrı-zamanlı

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ EK SERBESLİK DERECELİ İREŞİM SİSEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MARİS ÇÖZÜMÜ Mehmet ÇEVİK a, Nurcan BAYKUŞ b a Celal Bayar Üniversitesi Maine Mühendisliği Bölümü, Muradiye 454, Manisa. b Douz Eylül Üniversitesi,

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇAPRAZLAMANIN SÖZDE RASSAL POPULASYONLARA ETKİSİ

GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇAPRAZLAMANIN SÖZDE RASSAL POPULASYONLARA ETKİSİ GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇARAZLAMANIN SÖZDE RASSAL OULASYONLARA ETKİSİ ınar SANAÇ Ali KARCI Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Mühendisli Faültesi Fırat Üniversitesi 239 Elazığ ÖZET Geneti

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek:

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek: doğru orantı Kazanım :Doğru orantılı ii çolu arasındai ilişiyi tablo veya denlem olara ifade eder. Doğru orantılı ii çoluğa ait orantı sabitini belirler ve yorumlar. doğru orantı İi çolutan biri artaren

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS MTEMTĐK ĐM YILLR 00 003 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - HREKET PROLEMLERĐ Hız msaa verildiğinden süre de saa olmalıdır lınan yol : x Hız: Zaman : ir araç x yolunu hızıyla sürede alır Yol Hız

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

Matematiksel Optimizasyon ve Yapay Öğrenme

Matematiksel Optimizasyon ve Yapay Öğrenme Matematiksel Optimizasyon ve Yapay Öğrenme İlker Birbil Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi Endüstri Mühendisliği Programı Veri Bilimi İstanbul Buluşma 14 Şubat, 2017 Optimizasyon

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

Türk Milleti bir ölür, bin dirilir

Türk Milleti bir ölür, bin dirilir Ne x t Le v e l A a d e mi Kaymaaml ı Sı navı nahazı r l ı Tür çeaçı Uçl usor u Banası Tür i ye de Bi ri l Necat i beycd.50.yı li şhanı Apt.no: 19/ 5 Çanaya/ ANKARA 03124189999 Sevgili Kaymaam Adayları,

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri

Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Doğan Erbahar 2015, Gebze Bu itapçı son biraç yıldır Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü nde lisans laboratuarları

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Açık işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinamik Programlama Tekniği

Açık işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinamik Programlama Tekniği MADENCİLİK Haziran June 1991 Cilt Volume XXX Sayı No 2 Açı işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinami Programlama Teniği A Three Dimensional Dynamic Programming Technique for Open Pit Design Ercüment YALÇE\(*)

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01 MUTLAK DEĞER MAKİNESİ Önce makinemiz nasıl çalışıyor öğrenelim. Makinemiz üç kısımdan oluşuyor. Giriş, Karar ve Sonuç. Giriş kısmına attığımız top bir sayıyı ya da bir ifadeyi temsil ediyor. (2) sayısını

Detaylı

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler . TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.

Detaylı

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR.

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. 28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: ELEKTRĠK PĠYASASI DENGELEME VE UZLAġTIRMA YÖNETMELĠĞĠ

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13

AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13 AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics http://www.cern.ch/acctr The Physics of Particle Accelerators An Introduction Klaus Wille Chapter : 3.12, 3.13 By Betül YASATEKİN 1.10.2012, Ankara 1 İçindekiler

Detaylı

İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI

İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI Hamdi DEMİREL (a), Halil SAVURAN (b), Murat KARAKAYA (c) (a) Mühendisli Faültesi, Yazılım Mühendisliği Bölümü,

Detaylı

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL Projenin Adı: Bir Polinomun

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri)

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri) ÖRNEKLEM TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARDA ÖRNEKLEM TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr BAĞIMLI İKİDEN ÇOK GRUBUN KARŞILAŞTIRILMASINA

Detaylı

autürk k a z a n c ı n ı z, k a z a n c ı m ı z

autürk k a z a n c ı n ı z, k a z a n c ı m ı z autür R a a n c ı n ı, a a n c ı m ı Autür Türiye'nin il altınban ve altınmati ağı projesi Halımı en değerli varlığımı, profesyonelce çalışara dünyanın altın aynalarını eşfediyoru ve değerli hale getiriyoru.

Detaylı

İstatistikçiler Dergisi

İstatistikçiler Dergisi www.istatisticiler.org İstatistiçiler Dergisi (008) 68-79 İstatistiçiler Dergisi BAĞIMLI RİSKLER İÇİ TOPLAM HASAR MİKTARII DAĞILIMI Mehmet PIRILDAK Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi)

Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi) Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi) Timur Karaçay tkaracay@baskent.edu.tr Çok eskiden Hanoi deki bir tapınakta başrahip tapınağın bahçesine üç sütun diktirmiş. Yanyana duran sütünlardan soldakine,

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI

BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI Niğde Üniversitesi İİBF Dergisi, 2013, Cilt: 6, Sayı: 1, s. 96-115. 96 BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI ÖZ Arzu ORGAN* İrfan ERTUĞRUL**

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, *

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, * Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25 (1-2) 168-182 (2009) http://fbe.erciyes.edu.tr/ ISSN 1012-2354 MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon Shigley s Mechanical Engineering Design Richard G. Budynas and J. Keith Nisbett Malzeme Bağıyla Konstrüsiyon Hazırlayan Prof. Dr. Mehmet Fırat Maine Mühendisliği Bölümü Saarya Üniversitesi Çözülemeyen

Detaylı

Ufuk Ekim Accepted: January 2011. ISSN : 1308-7231 yunal@selcuk.edu.tr 2010 www.newwsa.com Konya-Turkey

Ufuk Ekim Accepted: January 2011. ISSN : 1308-7231 yunal@selcuk.edu.tr 2010 www.newwsa.com Konya-Turkey ISSN:1306-3111 e-journal of New World Sciences Academy 011, Volume: 6, Number: 1, Article Number: 1A0156 ENGINEERING SCIENCES Yavuz Ünal Received: October 010 Ufu Eim Accepted: January 011 Murat Kölü Series

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı