Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar"

Transkript

1 Matemati Dünyası Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar İler Birbil / / wwwbolbilimcom Princeton Üniversitesi Yayınları ndan 15 yılında bir itap çıtı [1] Kapsamlı bir uygulamalı matemati ansilopedisi Tahmin edeceğiniz üzere, tuğla gibi bir itap Ansilopedinin editörlerinden birisi olan Nicholas J Higham, geçenlerde bir yazı yayımladı [] Yazısında, ansilopedide geçen ve itabın sonundai dizine göre en ço referans gösterilen 1 algoritmayı sıralamış Ne yalan söyleyeyim ço eyiflendim Çünü o listedeilerin en azından yarısını derslerimde anlattığımı farettim Bir yazı onusu düşünüren, 1 onuyu ucağımda buldum Şansa ba! Lafı uzatmadan listenin başındai Newton ve Newton-benzeri yöntemler ile yazı dizisine başlayalım 1 Malzemeler Matematile ilgili bir onuyu anlatmanın yeme tarifi vermeye benzer bir yanı var Her ii durumda da sizi dinleyen işinin temel bir bilgisi olduğunu varsayabilirsiniz Kabartma tozu nedir, türev nasıl alınır, seriler yaınsar mı, soğan avrulur mu gibi notalarda biraz firi olmalı Anca tarif arışısa, malzemeleri önceden tanıtma ve daha iyi bilinen benzer yemelerden örneler verme isabetli olur Hele ona da ollarını sıvatıp, birlite yapmaya davet ederseniz bir daha olay olay unutmaz Bu sayıdai onuyu anlatma için ii malzeme yeterli gelece İlinde bir fonsiyonu yalaşı olara hesaplamanın yollarından birinden bahsedeceğim İincisinde ise ço boyutlu uzayda fonsiyonlara ve döngülü algoritmalara hızlı bir giriş yapmamız gereece Taylor Polinomları Diyelim i elimizde f ile gösterdiğimiz bir fonsiyon var Bu fonsiyonun a notasında istediğimiz adar türevini alabiliyor olalım Şimdi bu fonsiyonu, a notası çevresine uracağım birinci dereceden bir polinom ile yalaşı olara bulmaya çalışayım O zaman p 1 =c + c 1 (x a) şelinde yazmalıyız Bir ere polinom x = a değerinde f(a) değerini vermeli Bu durumda c = f(a) olma zorunda Dolayısıyla p 1 (a) =f(a) oldu Güzel Faat eğimi veren c 1 değeri ne olaca belli değil Tıpı sabit ısımda yaptığımız gibi, eğimlerin de tutmasını beleyebiliriz Bunun için asıl fonsiyonun türevi ile polinomun türevi a notasında birbirlerine eşit olmalılar Yani söz onusu birinci türev şartımız şu şeilde yazılaca: p 1(a) =f (a) Bu şartı sağlamanın te yolu eğimin c 1 = f (a) olara belirlenmesi Birinci dereceden Taylor polinomumuz artı hazır p 1 =f(a)+f (a)(x a) Birinci derece ço basit açtı İinci derece Taylor polinomuna geçelim Elimizde p =p 1 +c (x a) şelinde bir ifade olmalı Aynı numarayı bir daha deneyebiliriz Bu sefer iinci türevlere baalım Amacımız p (a) =f (a) eşitliğini sağlayaca c atsayısını bulma Hemen deneyelim p =p 1+c =c O zaman c = f (a)/ olma zorunda İinci dereceden polinomumuzu da artı şu şeilde yazabiliriz: p =f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) (1) Sadece biraç basit adım attı ama istediğimizi elde etti Bir göz atalım p (a) =f(a), p (a) =f (a), p (a) =f (a) Bu adımları aynı şeilde uygulayıp p,p, gibi farlı derecelerdei Taylor polinomlarını elde edebiliriz Biz genel formunu düşünelim: p n = nx c t (x a) t t= 5

2 Matemati Dünyası - 1 Fonsiyonların farlı derecelerden türevlerini öşeli parentez içinde yazdığımız sayılar ile ifade ederse, türevler ile ilgili istediğimiz eşitlileri her bir t =,,n için p [t] n (a) =t!c t = f [t] (a) şelinde yazabiliriz Burada f [] (a), f(a) gösterimini düşünüyoruz tabii Evet sonunda polinomların atsayılarını elde etti c t = f [t] (a) t! Karşınızda Taylor polinomları: p n = nx t= f [t] (a) (x a) t t! İyi ter dötü Baalım bu polinomlar nasıl çalışıyorlar Örne fonsiyonumuz f =ex olsun Bu fonsiyonun tüm türevleri endisine eşit Eğer a = notasında incelerse, her bir t =,,n için f [t] () = e =1 eşitliğini elde ediyoruz O zaman Taylor polinomları da olduça olaylaşıyor: p n = nx t= x t t! Aşağıdai şeilde il dört polinomu görebilirsiniz Hiç fena değil Diat ederseniz a = notasından ço uzalaşmazsa, polinomlarımız f fonsiyonuna olduça yaınlar Alımızda olsun f ve p p 1 p p f=e x p x Taylor Polinomları Bahsettiğimiz polinomları ullanara, Taylor serilerinden bahsetme mümün Faat benim bu yazıda serilere ihtiyacım olmayaca Onun için geçiyorum Ama bu adar eme verdiniz, herhangi bir analiz itabından oumanızı salı veririm Eğer oursanız şöyle bir eşitli görecesiniz: 1X f [t] (a) f = (x a) t t! t= Yazının alan ısmında en fazla iinci dereceden Taylor polinomları ile ilgileneceğiz O durum içinse şunu yazabiliyoruz: f =p 1 +O( x a )=p +O( x a ) Bu eşitlilerdei O simgesi ile gösterilen işleç, x notası a notasına yalaşıren, sondai terimin ii nota arasındai mesafenin aresi ya da üpü hızıyla sıfıra gittiğini söylüyor Diğer bir deyişle, eğer a notasına iyice yaınsa, elde ettiğimiz polinom f fonsiyonunu ço iyi estiriyor Tam da yuardai şeilde gördüğümüz gibi Ço Boyutlu Uzay ve Algoritmalar Önce ullanacağım biraç simgeyi tanıtayım Yazacalarım ço daha farlı ümelerde ifade edilebilir ama ben R n simgesi ile gösterilen n boyutlu gerçel sayılar uzayında çalışacağım Bu uzaydai her bir notayı n bileşenden oluşan bir sütun vetörü olara ullanacağım ve x R n vetörünün boyunu x ile göstereceğim Vetörlerle çalışan ve bir gerçel sayı döndüren fonsiyonlar f : R n! R şelinde gösterilir Bu fonsiyonların türeviiçinr f sembolü ullanılır ve birinci türevi elde etme için n boyutun her birine göre ısmi türev alınıra aşağıdai vetör elde edilir: @x n 5 İinci türevleri ise bir matris verecetir: r f 1 @x n n 5 Görüldüğü üzere rf : R n! R n ve r f : R n! R n n fonsiyonlarını elde ediyoruz Ş imdi bu türevleri ullanara Taylor polinomlarını yazabiliriz Mesela f fonsiyonunu a vetörü yaınlarında iinci dereceden Taylor polinomu ile yalaşı olara hesaplayalım: f f (a)(x a) z } { f(a)+ rf(a) (x a)+ 1 (x a) r f(a)(x a) {z } f (a) (x a)

3 Daha önce bahsettiğimiz iinci dereceden polinom (1) ile arşılaştırmanız için ilgili ifadeleri terimlerin üstüne ya da altına yazdım Ayrıca söylemeden geçmeyeyim; n m boyutlu bir A matrisinin m n boyutlu devriğini A ile gösteriyoruz Her vetör aslında bir matris olduğu için sütun vetörleri satır, satır vetörleri de sütun vetörleri oluyorlar Bir de vetör değişenlerle çalışan ve vetör döndüren F : R n! R m fonsiyonuna baalım Kendisini şu şeilde gösterece olursa F = f 1 f f m 5, birinci türevi m n boyutlarında bir matris olur: rf = rf 1 rf rf m 5 Bazı itaplarda bu matrise Jacobi denir Gere birazdan bahsedeceğimiz Newton metodları, gerese eniyileme (optimizasyon) metodlarının tamamına yaını bir döngülü algoritma olara yazılabilir Böyle bir algoritmada adımı hesaplanır ve elde edilen sonuca göre +1 adımına geçilir Diyelim i adımında x () vetörü ile gösterilen n boyutlu uzayın bir notasındayız Bir sonrai notaya gitme için p () diye bir yön vetörü bulunur ve o yönde boyu sayısı ile belirlenen bir adım atılır Yani x (+1) = x () + p () Bu durumda p () vetörünü ve adım boyunu bulma temel hedeflerdir Artı ullandığımız simgeleri biraz olaylaştırsa iyi olaca: f, f(x () ), rf, rf(x () ), r f, r f(x () ) Son olara = 1 alıp, iinci derece Taylor polinomununda x yerine x () + p yazaca olursa f fonsiyonuna şu şeilde yalaşabiliriz: f(x () + p) f + rf p + 1 p r f p () Öncei gözlemlerimi de düşününce, alıma şu fiir geliyor: Eğer bir sonrai adımımızda fazla uzalara gitmezse, yani p ço büyü değilse, f yerine iinci dereceden bir polinom ile çalışabilirim Bu firi ilerde ullanacağım Newton Metodu Matemati Dünyası Sonunda asıl onumuza gelebildi Newton metodunun amacı m tane eşitliten oluşan bir sisteme çözüm olaca n boyutlu bir x vetörü bulma Her i = 1,,m için f i : R n! R fonsiyonlarını tanımlarsa, Newton metodunu f 1 f f m 5 = ile verilen sistemi sağlayaca bir x R n bulma için ullanabiliriz Hani lisede ö bulma diye öğrendiğimiz şey Önceden tanıttığımız simgeleri ullanmanın tam zamanı Bu sistemi yazma için F : R n! R m fonsiyonu daha uygun Kısaca çözümünü aradığımız sistem şöyle: F = Bu eşitliğin sağ tarafında m boyutlu sıfır vetörü var Açıçası, böyle bir sistemin tüm ölerinin bulma ço zor olabilir Ç ünü sistemin satırları olduça armaşı, doğrusal olmayan fonsiyonlar içerebilirler Onun için ölerden bir tanesini bulma hedefimiz olsun Newton metodunun numarası, armaşı F fonsiyonu yerine ona yalaşı birinci dereceden Taylor polinomlarını ullanma ve bu işlemi adım adım yapara döngülü bir algoritma elde etme Algoritmanın iterasyonunda x () notasında olduğumuzu varsayalım O zaman 5 F (x () + p) F (x () )+rf (x () )p şelinde yazabiliriz Simgeleri öncei gibi basitleştirelim F, F (x () ), rf, rf (x () ) Şimdi asıl fonsiyon yerine, birinci dereceden polinomu sıfır vetörüne eşitleyelim: F + rf p = =) rf p = F Diat ederseniz F sabit bir vetör O zaman elimizde bilinmeyeni p olan doğrusal bir denlem sistemi var Lineer cebir ne güne duruyor? Çözelim sistemi, bulalım p vetörünü Eğer o çözüme p () derse, x (+1) = x () + p () ile bir sonrai notaya ulaşırız Oradan x (+),x (+), diye devam ederiz Zaten bunu da yaptı mı Newton metodunun algoritmasını yazmaya hazırız demetir

4 Matemati Dünyası - 1 NEWTON METODU 1 Başlangıç x () vetörünü seç İterasyonları başlat; = F olanaadarşuadımlarıterarla: (a) Aşağıdai lineer sistemi p için çöz: rf p = F Ç ö z ü m ü p () ya ata (b) Yeni notayı hesapla: (c) x (+1) = x () + p () İterasyonu bir arttır; +1 Hadi bir örne yapalım Önce çözeceğimiz sistemi yazalım: " # x 1x + x 1 x F = = x 1 x + x 1x + x 1 x Malum türeve ihtiyaç olaca O olay, apple x rf = 1 x + x x 1x + x 1 x +x 1 x + x x 1 x + x 1 + x 1 Aşağıdai grafite x () = (1, 1) notasından başlattığımız algoritmanın çözümünü görebilirsiniz Altı iterasyonda ölerden birini bulmuşuz (F ) Ç özümün bulunma hızı etileyici değil mi? Anca bu adar toz pembe bir tablo çizmem doğru olmaz Ç ünü bu adar hızlı bir çözümü garanti etme için biraç varsayım gereli Bunların arasında türev matrisinin çözüm notasındai yapısı, başlangıç notasının çözüme yaın olması gibi şartlar var [] O sulara dalma yerine gelin biz Newton metodu ile eniyilemenin ilgisini uralım Bir ısıtsız eniyileme modelini şu şeilde ifade edebiliriz: min{f x R n } () Burada f : R n! R en üçü değerini bulma istediğimiz amaç fonsiyonunu gösteriyor Bu fonsiyonun en az ii ere türevlenebildiğini varsayacağım Bu modelde bilinmeyen x vetörünün istediğimiz gibi seçebiliyoruz Onun için bu modele ısıtsız diyoruz Kısıtlı problemler ile ilgili de anlatma istediğim ço şey var Faat onları sonrai yazılara bıraayım Aslında ısıtsız eniyileme probleminin en üçü değerini (minimum) verece çözüm notasıyla ilgili esin bir firimiz var Tıpı lisede ya da üniversitenin il yıllarında öğrendiğiniz gibi, o notada amaç fonsiyonunun türevi sıfır olaca Varsayalım x vetörü, bu problemin çözümü olsun O zaman şu eşitliği yazabiliriz: rf(x )= () Elimizde n bilinmeyenli, n tane eşitli var Newton metodu için biçilmiş aftan Te yapmamız gereen daha önce F dediğimiz fonsiyon yerine rf ve rf yerine r f yazma O durumda Newton algoritmasında çözeceğimiz lineer denlem sistemi r f p = rf (5) haline geliyor Burada r f bir are matris Eğer bu matrisin tersi varsa, p () doğrudan hesaplanabilir: p () = (r f ) 1 rf Bu şeilde hesaplanan p () vetörüne eniyileme dünyasında Newton yönü denir Newton algoritması ile eniyileme arasındai ilişiyi açılaren doğrudan () ile gösterilen denlem sistemini ullandı Bir diğer yol ise () ile verilen modelin amaç fonsiyonuna iinci dereceden bir Taylor polinomu ile yalaşma Daha önce onuştuğumuz gibi x () notasının yaınlarında amaç fonsiyonuna () ile verildiği gibi yalaşabiliyoruz Yalaşı fonsiyon için yeni bir simge tanımlayalım: m (p), f + rf p + p r f p Şimdi ısıtsız enyileme problemimiz () yerine, p değişeni üzerinden ifade edilen aşağıdai yalaşı modeli çözmeyi düşünebiliriz: min{m (p) p R n } () Bu modelin amaç fonsiyonunun türevini alıp sıfıra eşitlediğimizde rm (p) = =) r f p = rf Bu yolla da (5) ile aynı lineer sistemi elde etti Özetle türevi sıfıra eşitleyece denlemi Newton metodu ile çözüyoruz diyebiliriz Faat bu denlem sistemini sağlayan pe ço vetör olabilir En fenası, amaç fonsiyonunun en büyü değerini (masimum) veren nota bile bu sistemi sağlar Bütün 8

5 çözüm vetörlerini bulursa, her birini amaç fonsiyonuna oyara en üçü değeri verenini seçebiliriz Anca denlem sistemlerinde bahsettiğimiz gibi pe ço problem için bütün çözümleri bulma son derece güç İyisi mi bu problemi çözme için biraz daha aıllı bir algoritma tasarlamaya oyulalım Hedefimiz x () adımından x (+1) adımına geçeren amaç fonsiyonunu düşürme olsun Bunun için hem bir yön p (), hem de bir adım boyu hesaplamamız gereece Simgelerimizi ullanırsa f(x (+1) )=f(x () + p () )=f +1 apple f eşitsizliğinin peşindeyiz Böyle bir ilerlemeyi doğrudan f üzerinde yapma ço iddialı olaca Onun yerine bir ez daha Taylor polinomlarını ullanalım Birinci dereceyi yazdım bile: f(x () + p) f + rf {z p <f } < Eğer rf p teriminin negatif olmasını garanti edersem, soldai yalaşı değer f değerinden daha düşü olaca Bu şeilde rf p<eşitsizliğini sağlayan p vetörüne iniş yönü deniyor Ayrıca Taylor polinomları onusundan biliyorum i, eğer yeterince üçülürse, x () ile x (+1) birbirlerine yalaşırlar O zaman da f fonsiyonuna ço yaınsarım ve asıl amaç fonsiyonunun değerinde de istediğim düşmeyi elde ederim Anlaşılan ii tane ödevim var: 1 p () vetörünün iniş yönü olmasını sağlama Amaç fonsiyonunu düşürece bir (adım boyu) belirleme İl ödev için Newton yönünü deneyelim O durumda p () = (r f ) 1 rf almalıyım, rf p() = rf (r f ) 1 rf? < Faat bu değerin her adımda negatif olması garanti değil Biraz can sııcı Eğer Newton yönü olmazsa p () = rf alabilirim O zaman da rf p() = rf rf = rf < () şelinde istediğimi elde ederim Diat ederseniz rf = durumunu göz ardı ediyorum Ç ü n ü o durumda rf = sistemini çözen bir nota (bu durumda x () ) buldu demetir; i o zaman da algoritmayı durdurabilirim Bu arada () ile hesaplanan p () vetörünün de bir ismi var: en di iniş yönü Diyebilirsiniz i O zaman Newton yönüne ne gere var? Hep en di iniş yönünü ullanalım Matemati Dünyası Hatırlarsanız denlem sistemlerinde Newton metodu ile çözüme ço hızlı ulaşıyordu Aynı gözlem ısıtsız eniyileme için de geçerli Newton yönünü ullanabilirse iterasyon sayımızı ciddi oranda azaltabiliriz Benzer bir performansı, en di iniş yönü ile maalesef yaalayamıyoruz Bu notayla ilgili bir örneği az sonra vereceğim ama iinci ödevimizi unutmayalım Neyse i bu daha olay Yapmamız gereen (, 1) değeri için, şu şartı sağlayan adım boyunu ( ) bulma: f(x () + p) apple f + rf p Bu eşitsizliğe Armijo şartı deniyor Türçesi: Birinci dereceden Taylor polinomu için aydettiğin azalmanın en azından bir ısmını, asıl amaç fonsiyonu f için de garanti et Adım boyunu belirleme için farlı algoritmalar var Bunların en olayı, adım boyunu Armijo şartı sağlanana adar üçültme Ortaya çıan algoritmanın ismi de geriye dönüşlü arama GERİYE DÖNÜŞLÜ ARAMA 1 Başlangıç adım boyunu seç; =1 Küçültme parametresini seç; (, 1) Armijo şartı sağlanana adar aşağıdai adımı terarla: En son değeri aydet; = Newton yönü ullanıldığında, genellile = 1 ve =, 9 olara alınır Evet, her ii ödevimizi de tamamladı O zaman örneğimize geçmeden önce eniyileme algoritmamızı yazabiliriz NEWTON METODUYLA ENİYİLEME 1 Başlangıç x () vetörünü seç İterasyonları başlat; = rf olanaadarşuadımlarıteraret: (a) p () = (r f ) 1 rf hesapla (b) Eğer rf p() isep () = rf (c) Geriye Dönüşlü Arama ile değerini bul (d) Yeni notayı hesapla: (e) x (+1) = x () + p () İterasyonu bir arttır; +1 Örneğimize geçelim Amaç fonsiyonumuz f = 1(x x 1) +(1 x 1 ) olara verilsin Bu fonsiyon eniyileme camiasında o adar ço ullanılıyor i endi ismi var: Rosenbroc fonsiyonu 9

6 Matemati Dünyası - 1 Bu grafitei düz çizgi az önce yazdığımız Newton yönünü ullanan eniyileme algoritmasını, esili çizgi ise sadece en di iniş yönünü ullanan bir algoritmayı gösteriyor ( adımda p () her zaman rf alınıyor) Newton yönünü ullanınca amaç fonsiyonu değerinin ne adar hızlı düştüğüne baar mısınız İşte tam da bu yüzden Newton yönünü ullanmaya ço gere var Newton-benzeri Metodlar Newton metodu haria sonuçlar veriyor Orası doğru Anca biraz masraflı Bir ere hesaplama yüü fazla Çünü her adımda iinci dereceden bir türev (r f ) hesaplama gereiyor O da yetmiyor; bir de bu matrisin tersini (r f 1 ) alma zorunda alıyoruz Hadi onu da almaya razı oldu diyelim Baalım tersi var mı? Tersi olsa bile bulduğumuz Newton yönünün, elimizdei fonsiyonu azaltan bir iniş yönü olması garanti değil Enseyi arartmayalım Derdimize deva olaca bir çözüm var: Newton-benzeri metodlar (quasi- Newton methods) Bu metodlar sayesinde iinci türevi almadan, Newton yönüne benzer bir yön bulabiliyoruz Üsteli herhangi bir adımda matrisin tersini olayca elde ediyoruz Bu metodların te zayıf tarafı, Newton yönünü tam hesaplamadıları için çözüm bulma hızları Newton metodları adar iyi değil Anca en di iniş yönüne göre ço daha başarılılar Newton-benzeri metodlarla hesaplayacağımız yönü p () = B 1 rf şelinde yazalım Burada n n boyutlu B matrisi, iinci türev matrisinin x () notasındai rolüne soyunuyor Ş imdi bir şeilde B +1 matrisini bulacağız Newton metodunu anlatıren () ile verilen yalaşı modeli yazmıştı O zaman B +1 matrisini ullanara ˆm (p) =f +1 + rf +1 p + p B +1 p şelinde yeni bir yalaşı amaç fonsiyonu yazalım Şimdi de bu fonsiyonu ullanara çözeceğimiz eniyileme modelini elde edelim: min{ ˆm (p) p R n } Baalım bu iterasyonda elimizde neler var: bir öncei onumumuz x (), atettiğimiz yol p (), x () notasındai geçmiş türev bilgisi rf ve yeni onumumuz x (+1) = x () + p () Ayrıca e bir hesap ile yeni onumumuzdai türev bilgisini rf +1 de hesaplayabiliriz Bir ere yalaşı amaç fonsiyonunun yeni onumdai türevi, asıl fonsiyonun türevi ile tutuyor Yani r ˆm () = rf +1 Pei ya bir öncei iterasyondai türev ile tutuyor mu? Tutması için r ˆm ( p () )=rf olması gereir Biraz açarsa r ˆm ( p () )=rf +1 B +1 p () = rf Ya da B +1 ( p () )=rf +1 rf Bu eşitliği ii yeni simge, s, x (+1) x (), y, rf +1 rf, tanımlayara sadeleştirebiliriz: B +1 s = y Elde ettiğimiz eşitliğe seant denlemi deniliyor Seant denlemini sağlayan sonsuz sayıda B +1 matrisi bulunabilir Anca hatırlarsanız bizim ayrıca endi şartlarımız da var: 1 B +1 matrisinin tersi (B 1 +1 ) tanımlı olmalı B 1 +1 olay hesaplanmalı p (+1) iniş yönü olmalı (p (+1) rf +1 < ) Neyse i bütün bu şartları sağlayan ve uygulamalarda son derece başarılı olan bir Newton-benzeri yöntem var Bu yönteme göre matris şu şeilde hesaplanıyor: B +1 = B B s s B s B s + y y y s Matrisin seant denlemini sağladığını yerine oyara olayca ontrol edebilirsiniz Önerilen matrisin tersi ise lineer cebirdei Sherman-Woodburry- Morrison özdeşliği ile olayca bulunabiliyor: B 1 s y +1 = I s y B 1 s y I s y + s s s y (8)

7 Burada I simgesi n n boyutlarındai birim matris olara ullanılıyor Diat ederseniz yeni matrisin tersini bulma için bir öncei matrisin tersini (B 1 ) ullandı Eğer algoritmaya başladığımızda B = I olara seçerse, iterasyonlar boyunca gere B matrislerini, gerese onların terslerini bulma bu formüllerle ço olay olaca Dahası var Şayet herhangi bir d R n, d = vetörü için d B 1 d> ve s y > olduğu biliniyorsa, d B 1 +1 d> eşitsizliği de sağlanıyor Yani B = I ş e l i n d e başlarsa ve s y > olursa, tüm iterasyonlarda bu eşitsizliler tutuyorlar Dolayısıyla rf ( B 1 +1 rf )= rf B 1 +1 rf < hesabı sayesinde p (+1) vetörünün iniş yönü olduğunu görüyoruz Üç şartımız da sağlandı Matrisin bu şeilde hesaplanması ile elde edilen Newton-benzeri yönteme BFGS metodu deniyor Kısaltmanın bir anlamı yo; sadece metodu bulan araştırmacıların soyadlarının il harflerinden oluşuyor (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno) [] Unutmadan ufa bir notayı daha aradan çıaralım Kullanılan formüllerin paydalarında s y değeri ullanılıyor Bölmenin sorun çıarmaması için bu değer sıfıra ço yalaşırsa, B +1 = I alınara devam ediliyor Diğer bir deyişle o iterasyonda en di iniş yönü seçiliyor Şimdi algoritmamızı derli toplu yazabiliriz Aşağıdai algoritmada " ile ço üçü bir sayıyı ( 1 8 ) ifade ediyoruz BFGS İLE ENİYİLEME 1 Başlangıç x () vetörünü seç İl matrisi seç; B = B 1 = I İterasyonları başlat; = rf olanaadarşuadımlarıteraret: (a) p () = (B 1 )rf hesapla (b) Geriye Dönüşlü Arama ile değerini bul (c) Yeni notayı hesapla: x (+1) = x () + p () (d) Eğer s y < " ise B 1 +1 = I olara ata Asi halde B 1 +1 matrisini (8) formülü ile hesapla (e) İterasyonu bir arttır; +1 Matemati Dünyası Son olara Rosenbroc fonsiyonunu bir de yeni metodumuzla çözelim Aşağıdai grafite notalı çizgi BFGS algoritması ile elde ettiğimiz sonucu gösteriyor Tamam, Newton algoritması (düz çizgi) adar iyi değil ama en di iniş yönünü (esili çizgi) ullanmaya göre ço daha parla bir performansı var Kolları Sıvayın En başta yazmıştım Yeni bir hesaplamalı tarif öğrendiyseniz, peişmesi için sizin de tarifi denemeniz gereir Bu yazıda yaptığım tüm hesaplamaları şu adrese oydum: Programlama için açı ayna odlu GNU Octave ullandım Bu programı ücretsiz olara bilgisayarınıza yüleyebilirsiniz [] Yo eğer yülemeden deneyeyim derseniz, herhangi bir tarayıcı ile ullanabileceğiniz şöyle bir sayfa var: Benden bu adar Önümüzdei yazıda onumuz matrisleri çarpanlarına ayırma olaca Olduça olay bir tarif Siz de o zamana adar GNU Octave ullanmaya alışırsanız haria olur Kaynaça: [1] Nicholas J Higham, Mar R Dennis, Paul Glendinning, Paul A Martin, Fadil Santosa ve Jared Tanner (editörler), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ, ABD, 15 [] [] Jorge Nocedal ve Stephen J Wright, Numerical Optimization, Springer(bası),NewYor,NY,ABD, [] https://wwwgnuorg/software/octave/ 1

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu

Detaylı

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının

Detaylı

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS)

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS) ÖZET/ABSTRACT DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 2 Sayı: 2 sh. 49-54 Mayıs 2000 OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS MTEMTĐK ĐM YILLR 00 003 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - HREKET PROLEMLERĐ Hız msaa verildiğinden süre de saa olmalıdır lınan yol : x Hız: Zaman : ir araç x yolunu hızıyla sürede alır Yol Hız

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri

Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Doğan Erbahar 2015, Gebze Bu itapçı son biraç yıldır Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü nde lisans laboratuarları

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler . TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.

Detaylı

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR.

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. 28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: ELEKTRĠK PĠYASASI DENGELEME VE UZLAġTIRMA YÖNETMELĠĞĠ

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01 MUTLAK DEĞER MAKİNESİ Önce makinemiz nasıl çalışıyor öğrenelim. Makinemiz üç kısımdan oluşuyor. Giriş, Karar ve Sonuç. Giriş kısmına attığımız top bir sayıyı ya da bir ifadeyi temsil ediyor. (2) sayısını

Detaylı

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI

İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI İNSANSIZ HAVA ARAÇLARI İÇİN RADAR KAPLAMA ALANLARINDAN KAÇINACAK EN KISA ROTANIN HESAPLANMASI Hamdi DEMİREL (a), Halil SAVURAN (b), Murat KARAKAYA (c) (a) Mühendisli Faültesi, Yazılım Mühendisliği Bölümü,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13

AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13 AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics http://www.cern.ch/acctr The Physics of Particle Accelerators An Introduction Klaus Wille Chapter : 3.12, 3.13 By Betül YASATEKİN 1.10.2012, Ankara 1 İçindekiler

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL Projenin Adı: Bir Polinomun

Detaylı

İstatistikçiler Dergisi

İstatistikçiler Dergisi www.istatisticiler.org İstatistiçiler Dergisi (008) 68-79 İstatistiçiler Dergisi BAĞIMLI RİSKLER İÇİ TOPLAM HASAR MİKTARII DAĞILIMI Mehmet PIRILDAK Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri

Detaylı

BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI

BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI Niğde Üniversitesi İİBF Dergisi, 2013, Cilt: 6, Sayı: 1, s. 96-115. 96 BÜTÜNLEŞİK ÜRETİM PLANLAMASININ HEDEF PROGRAMLAMAYLA OPTİMİZASYONU VE DENİZLİ İMALAT SANAYİİNDE UYGULANMASI ÖZ Arzu ORGAN* İrfan ERTUĞRUL**

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi)

Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi) Kıyametin Kopacağı Gün (Hanoi Bilmecesi) Timur Karaçay tkaracay@baskent.edu.tr Çok eskiden Hanoi deki bir tapınakta başrahip tapınağın bahçesine üç sütun diktirmiş. Yanyana duran sütünlardan soldakine,

Detaylı

ELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa

ELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa ELECO '2012 Eletri - Eletroni ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 ralı 2012, Bursa Lineer Olmayan Dinami Sistemlerin Yapay Sinir ğları ile Modellenmesinde MLP ve RBF Yapılarının Karşılaştırılması

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ALGORİTMAYA GİRİŞ. Program: Belirli bir işi gerçekleştirmek için gerekli komutlar dizisi olarak tanımlanabilir.

ALGORİTMAYA GİRİŞ. Program: Belirli bir işi gerçekleştirmek için gerekli komutlar dizisi olarak tanımlanabilir. 1 ALGORİTMAYA GİRİŞ Program: Belirli bir işi gerçekleştirmek için gerekli komutlar dizisi olarak tanımlanabilir. Programlama: Bir programı oluşturabilmek için gerekli komutların belirlenmesi ve uygun biçimde

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon Shigley s Mechanical Engineering Design Richard G. Budynas and J. Keith Nisbett Malzeme Bağıyla Konstrüsiyon Hazırlayan Prof. Dr. Mehmet Fırat Maine Mühendisliği Bölümü Saarya Üniversitesi Çözülemeyen

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, *

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, * Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25 (1-2) 168-182 (2009) http://fbe.erciyes.edu.tr/ ISSN 1012-2354 MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ

Detaylı

Ufuk Ekim Accepted: January 2011. ISSN : 1308-7231 yunal@selcuk.edu.tr 2010 www.newwsa.com Konya-Turkey

Ufuk Ekim Accepted: January 2011. ISSN : 1308-7231 yunal@selcuk.edu.tr 2010 www.newwsa.com Konya-Turkey ISSN:1306-3111 e-journal of New World Sciences Academy 011, Volume: 6, Number: 1, Article Number: 1A0156 ENGINEERING SCIENCES Yavuz Ünal Received: October 010 Ufu Eim Accepted: January 011 Murat Kölü Series

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI Genişletilmiş Lagrange Yöntemi Hazırlayan: Nicat GASIM Öğretim Üyesi Prof. Dr. İpek Deveci KARAKOÇ

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ PI ONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ ONTROLÖR İLE TASARIM ontrolör Taarım riterleri Taarım riterleri genellile itemine yapmaı geretiğini belirtme ve naıl yaptığını değerlendirme için ullanılır. Bu riterler her bir

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

Genetik Algoritma ile Mikrofon Dizilerinde Ses Kaynağının Yerinin Bulunması. Sound Source Localization in Microphone Arrays Using Genetic Algorithm

Genetik Algoritma ile Mikrofon Dizilerinde Ses Kaynağının Yerinin Bulunması. Sound Source Localization in Microphone Arrays Using Genetic Algorithm BİLİŞİM TEKOLOJİLERİ DERGİSİ, CİLT: 1, SAYI: 1, OCAK 2008 23 Geneti Algoritma ile Mirofon Dizilerinde Ses Kaynağının Yerinin Bulunması Erem Çontar, Hasan Şair Bilge Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, Gazi

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com ve ve n tane farlı elemanan oluşan bir ümenin altümelerine birer ombinasyon enir. n, r 0 r n olma üzere, n elemanlı A ümesinin r elemanlı altümelerinen her birine A ümesinin r li bir ombinasyonu enir ve

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapma veya Kullanım Koşulları haında bilgi alma için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Olimpiyat Soruları. sonuçları tekrar fonksiyonda yerine koyup çıkan tüm sonuçları toplayan program (iterasyon sayısı girilecek)

Olimpiyat Soruları. sonuçları tekrar fonksiyonda yerine koyup çıkan tüm sonuçları toplayan program (iterasyon sayısı girilecek) HAZIRLAYAN MUSA DEMIRELLI BISHKEK KYRGYZ TURKISH BOYS HIGH SCHOOL education.online.tr.tc compsources0.tripod.com Olimpiyat Soruları 1- Bir diziyi ters çeviren algoritma ve program 2- Bir diziyi sıralayan

Detaylı

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr.

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr. MAK3 MAKİNA EEMANARI I. Yarıyıl içi imtihanı /0/0 Müddet: 90 daia Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Himet Kocabas, Doç.Dr. Cemal Bayara. (0 puan) Sıı geçmelerde sürtünme orozyonu nasıl ve neden meydana gelir? Geçmeye

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Içindekiler. Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 12. Problemler (Bölünebilme) 24

Içindekiler. Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 12. Problemler (Bölünebilme) 24 Içindeiler Içindeiler Önsöz iii vii BIRINCI BÖLÜM 1 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Ço Kullanlan Yöntemler 12 Çözümlü Test 15 Çözümler

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

Matris Unutma Faktörü İle Uyarlanmış Kalman Filtresinin Başarım Değerlendirmesi

Matris Unutma Faktörü İle Uyarlanmış Kalman Filtresinin Başarım Değerlendirmesi Fırat Üniv. Fen Bilimleri Dergisi Fırat Unv. Journal of Science 25(), 7-76, 23 25(), 7-76, 23 Matris Unutma Fatörü İle Uyarlanmış Kalman Filtresinin Başarım Değerlendirmesi Özet Cener BİÇER * Esin KÖKSAL

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü 1 Anara-2015 Paetleme Listesi 1. Yaylar ve Maaralar Deney Düzeneği 1.1. Farlı Yay Sabitine Sahip Yaylar 1.2. Maaralar (Teli, İili

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

Makine Öğrenmesi 4. hafta

Makine Öğrenmesi 4. hafta ain Öğrnmsi 4. hafta Olasılı v Koşullu Olasılı ays Tormi Naïv ays Sınıflayıcı Olasılı Olasılı ifadsinin birço ullanım şli vardır. Rasgl bir A olayının hrhangi bir olaydan bağımsız olara grçlşm ihtimalini

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin.

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin. LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara

Detaylı

Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları

Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Yöntemler MFGE 301 Güz 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 275 Lineer

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı