BİTİRME TEZİ. Emre S. Taşcı

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ / FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ HAREKETLİ SINIR KOŞULLARINDA, VAKUMDA PARÇACIK YARATIMI BİTİRME TEZİ Emre S. Taşcı Fizi Mühendisliği Bölümü Lisans Öğrencisi Tez Danışmanı: Doç. Dr. Neşe Özdemir Haziran

2 ÖNSÖZ Kuantum alan teorisinde önemli bir yere sahip olduğuna inandığımız, hareetli sınır oşullarında, vaumda parçacı yaratımı onulu bu tez, onunun temelinde yer alan avramlara yer verip, aralarındai bağıntıların çıarımına ışı tutmayı amaçlamatadır. Bu sebepten ötürü, II. bölümde, örne olara seçilen Robertson-Waler uzayından Minowsien uzayına geçiş yolları gösterilmiş, ardından limitlerde durgun olan bu uzayda çalışmalar sürdürülmüştür. (11 ayna için, önceden Fulling ve Davies (Fulling, S.A., Davies, P.C.W 1976 tarafından çözülmüş olan bir uygulamayı hesap ederen, onların çözümlerinde bir atsayı mertebesindei hatayı tespit ettiğimize inanıyoruz (bu tezdei (3.51 dönüştürülmüş yörünge denleminin 3. bölge denlemi ile ilgili aynatai 4. sayfadai son bağıntı arasında. Enerji-momentum yoğunluğunun hesaplanmasında alınan türevde sıfır vermesinden ötürü sonuca bir etisi olmasa da, olası bir arşılaştırma halinde diati çeebileceği düşünülere bu tespiti belirtmeyi uygun gördü. Çalışma, sonuç ısmında da belirtildiği üzere, aslen, daha detaylı bir onuya hazırlı niteliğindedir. Bu yüzden, yeni düşünceler ileri sürme yerine, öncei avramların yorumlanmasına ve bağıntıların elde edilme metotlarının gösterilmesine ağırlı verilmiştir. Üniversitede geçirdiğim süre boyunca, bana fiziği daha da ço sevdiren, bilim tutumu süreli olara örüleyen değerli hocalarım Doç. Dr. Neşe Özdemir e, Prof. Dr. Ayşe Erzan a, Prof. Dr. Mahmut Hortaçsu ya ve Prof. Dr. İ. Haı Erdoğan a tüm içtenliğimle şüranlarımı sunarım. Ayrıca, vermiş olduğum bir aradan sonra, üniversiteyi bitirme ararı almamda en büyü paya sahip olan Bengü Yazıcıoğlu başta olma üzere, birlite -bilimsel veya değil- her onuda zevle fiir alışverişinde bulunmuş olduğum sevgili aradaşlarım Bora Örçal a ve Emir Gümrüçüoğlu ya da yüreten teşeür ederim. Bugünlere onlarsız hiçbir surette gelemeyeceğimi bildiğim, bütün zorlulara birlite göğüs gerdiğimiz annem Dile Kurtar a ve ailemin diğer fertlerine, borcumu hiçbir zaman ödeyemeyece olacağımı bilsem de, minnet duygularım ve hürmetle, bu çalışmayı ithaf ederim. Emre S. Taşcı, Haziran ii

3 İÇİNDEKİLER I. GİRİŞ... 1 II. 11 UZAYDA GENEL ÇÖZÜMLER... III. 11 UZAYDA HAREKETLİ AYNA ÇÖZÜMLERİ IV. KÜRESEL AYNAYA GİRİŞ... 4 V. SONUÇ, ÖNERİ VE YORUMLAR... 6 A. EK: HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR... 7 B. KAYNAKÇA... 8 C. ÖZGEÇMİŞ... 9 iii

4 NOTASYONA DAİR AÇIKLAMA Bu çalışmada, anlaşılmayı olaylaştırma amacıyla, biraç adet farlı gösterim ullanılmıştır: yxt (, = f( xe it örneğinde olduğu gibi, utu içine alınan eşitliler, yapılan dönüşümü işaret etmetedir. ( 1 tan ( yx = sin ( x = 1 cos ( x = = cos ( x sin ( x cos ( 1 cos ( x x x örneğinde olduğu gibi, öşe içine alınan eşitliler, ara işlemleri göstermetedir, açılamalardan pe bir şey aybetmeden atlanabilir. p ( x t fonsiyonundai gibi, bir türev işaretine sahip olan fonsiyonlarda, türevler, fonsiyonun argümanına göre alınmalıdır. Denlemlerde, doğal birimler ullanılmıştır. Ayrıca, onformal zaman limitlerine arşılı gelen bölgelerinin adları olan in ve out terimlerini de çevirmemenin daha uygun olacağını düşündüm. iv

5 I. GİRİŞ Stephan Hawing in, aradelilerin ışıma yaptığını gösterdiği maalesi (Hawing, S. 1975, bir anda gözleri terar- büyü birleşi teoriye çevirmişti. Standard Model o zamana adar bünyesine üç temel etileşimi almış, faat ütleçeimin uantum formülasyonu halâ yapılamamıştı. Hawing in termodinami yasalarını ullanara bulmuş olduğu ışımaya dair sonuçlara aynı yıl içinde Davies, Fulling ve Unruh tarafından da, alan denlemleri ullanılara ulaşılınca (Davies, P.C.W., Fulling, S.A., Unruh, W.G. 1975, ütleçeimin uantum teorisinin nihayetinde tam olara anlaşılabileceği düşünülmüştü. O günden bu yana, bu onudai çalışmalar, gidere artan bir hızda devam etmetedir (burada, vaumda parçacı yaratımının aslında, uvvet etisi formunda, 1948 te (Casimir, H.B.G formüle edildiğini belirtme uygun düşer. Hareetli bir aynanın, uzaya negatif enerji aısı sağlayabileceğinden yola çıan Davies ve Ford (Davies, B. 197; Ford, L.H. 1978, bu aının bir cismin soğutulmasında ullanıldığı tadirde, termodinamiğin iinci yasasının ihlali üzerine bir tartışma başlattılar yılında, Anderson (Anderson, W.G. 1994, bu tartışmadan yola çıara Geroch düşünce deneyi adı verilen bir tasarıma açılama getirdi: bu deneyde, çeperleri ayna ile aplı bir utu, içine ışınım hapsedilditen sonra yavaşça bir ara deliğe gönderiliyordu. Unruh ve Wald ın bu onudai öncei çalışmaları (Unruh, W.G., Wald, R.M. 198 utunun bir çeşit aldırma uvvetinin etisiyle, ara deliğin üzerinde yüzeceğini öngörüyordu. Eğri uzay zamanda uantum alan teorisi, temelde üç bölüme ayrılabilir: uzay metriğinin değişmesinden doğan alanlar, bir yansıtıcının varlığındai değişimler ve bir yutucunun (ara deli varlığındai değişimler. Biz, bu tezin II. bölümünde değişen bir uzay metriğinin mevcudiyetinde alan fonsiyonlarının bulunmasını inceledi. Burada, onformal bir dönüşümle uzayı limitlerde durgun bir hale getirdi ve çözümlerimizi buna göre yaptı. Ayrıca Bogolubov atsayılarının hesaplanması da bu bölümde gösterilmetedir. III. bölümde, (11 boyutta ilerleyen bir notasal aynanın yol açtığı parçacı yaratımını ve enerji-momentum tansörü vasıtasıyla, aı hesabının yapılması anlatılmatadır. Nota-bölme metodunun prensipleri ve uygulamasına da yer verilmiştir. IV. bölüm, II. ve III. bölümlere nazaran, bir giriş bölümü niteliğindedir. Bu bölümde, Hadasz ve aradaşları tarafından incelenen, faat, ele aldığı sistemin basitliğinden ötürü, bir uygulama olma yanı ağır basan, üresel ayna problemi tanıtılmış, III. bölümle olan benzerlilere işaret edilditen sonra, çözüm onusunda yol gösterilmiştir. 1

6 II. 11 UZAYDA GENEL ÇÖZÜMLER Bir uzayda, Minowsien in ve out bölgelerinde (yani onformal zamanın, sırasıyla, - ve limitlerinde parçacı yaratımının nasıl olacağını, ii boyutlu, uzunlu elemanı ds in ds = d t a ( tdx (.1 bağlantısıyla genişleyen (veya daralan bir Robertson-Waler evreninde inceleyelim. Minowsien uzaya geçebilme için dt d = (. a bağıntısıyla, onformal zaman η yı tanımlayalım. Böylece (.1 denlemi: haline gelir. C ( ( t d ( d d ( ( d d (.3 t = t = a s = a x = a olara onformal ölçe fatörü tanımlanırsa, uzunlu elemanı ds in bağıntısı ço daha sade bir şeil alır: ( d s = C( d dx (.4 Uzunlu elemanının elde ettiğimiz bu şeli, artı tümüyle Minowsi uzayına onformal haldedir. Uzayımızı sonlu bir bölgede temsil edebilme için, yani bir başa deyişle Penrose diyagramını çizebilme için, C( ölçe fatörümüze bir dönüşüm uygulayalım. denirse, C( nın ya bağlılığı ve limitleri şu şeilde olacatır: C( = A Btanh (.5 C( A± B, ± (.6 grafiten ve (.6 limitlerinden de görüleceği üzere, bu dönüşüm altında artı uzayımız, düzgün biçimde genişleyen (daralan, asimptoti olara durgun hale giden Minowsien uzay-zamana dönüşür.

7 a C( AB Sistemimizin metriği, Minowsi metriğinden C( fatörü adar farlıdır. Açı olara yazarsa: A-B g 1 ( C C( =, g C( = 1 C( (.7 = (.8 det g g C ( d Alembertian tanımından: { g g } { g C( } 1 1 = = g C( 1 1 (1 1 boyutta: = C( C( x (.9 Böylelile Klein-Gordon denlemi: şelini alacatır. ( m { x C m } = ( = (.1 C( onformal ölçe fatörü, x in fonsiyonu olmadığından, alan fonsiyonu, onumsal öteleme simetrisine sahiptir ve alan fonsiyonu, çarpanlarına ayrılabilir; bu ayırmayı yaparen, x değişeninin ait olduğu fonsiyonu esponansiyel olara alara, diferansiyel denlemimizi sadece ya ait bir forma getirmeyi amaçlayara 3

8 şelinde çözümler arayalım. Bu durumda (.1 denlemi ix = e ( (.11 ix d ( ix ix d ( ( C m e e ( C( m e ( = d ( ( = (.1 d haline indirgenir. (.6 dönüşümü hatırlanaca olursa: C( = A Btanh ve bu dönüşüm (.1 de ullanılırsa: d ( d bulunur. İinci bir dönüşüm olara ( ( A B m tanh ( = (.13 i ( e = ( (.14 seçelim. d ( i id ( = i e ( e ve d d d d d d ( i id ( i id ( =i i e ( e ( i e ( e = i i i i e i e i e e = i i i e i e e hesaplandıtan sonra, (.14 le birlite (.13 te yerlerine onursa: Bu notada ( m = e i e e i i i ( ( i i e A B m e = tanh i m A Btanh = (.15 = x (.16 dönüşümü yapalım. (.16 denlemi d i d m ( A B tanh x = (.17 dx dx haline ve 4

9 tanh x = y (.18 dönüşümüyle sinh x y = tanh x= cosh x dy cosh x sinh x = = 1 tanh x= 1 y dx cosh x d d dy d = = (1 y dx dy dx dy d dy d d d d = (1 y (1 y y(1 y dx dx d y d = y dy dy d d i d m (1 y y(1 y (1 y ( A By = (.19 dy dy dy şeline gelir. Denlemimize son olara dönüşümünü uygulayalım: d dy d dy ( (1 1 = (1 y ( y u (1 y u 1 (1 y ( y u (1 y = u = y u (. 1 1 ( 1(1 y ( y (1 y u (1 y ( y u = (1 4 (1 (1 4 ( 1 (1 1 1 y u y y u y u y y u Bu dönüşümü denleme yerleştirmeden önce, şu ana adar gerçeleştirdiğimiz dönüşümleri hatırlamamızda fayda var: ix ix i ( ix i ( (1 = e = e e = e e y u (.1 5

10 Bu son dönüşümle birlite, diferansiyel denlemimiz şu hale gelecetir: (1 (1 4 (1 (1 4 ( 1 (1 1 1 y y u y y u y u y y u 1 y(1 y (1 y y u(1 y u i 1 (1 y (1 y y u(1 y u 1 (1 y m ( A By (1 y u = (1 y y 1 1 (1 y u 4 yu (1 y u(1 y 4 ( 1 y 1 1 (1 y u 1 i 1 y u yu(1 y u yu(1 y 1 u m ( A By = (1 y 4 ( 1 (1 y u 4yu u4 ( 1 u u (1 y ( 4 y 1 1 i 4i yu yu u u (1 (1 y y 1 u m ( A By = (1 y yuarıdai denlemde, bu şeilde işaretlenmiş olan terimler açılırsa, birbirlerini götüren terimlere ulaşılır (sadece işaretlenmiş olan terimler alınırsa: u u u 4 u u u = 1 y 1 y 1 y 1 y bu sadeleştirmeden sonra, denlemimizi terar yazalım: 4 u y u yu u u yu (1 y (1 4 4 i 4i yu 1 u u m ( A By (1 y = (1 y (. faat, ne yazı i mevcut denlemde, bir sorunla arşı arşıyayız; ile y arasındai bağıntı, (.16 ve (.18 denlemlerini birleştirere elde edilir: y = tanh yani, ± için y ± 1 değerine yaınsar ve bu da denlemimizin son halindei (1 y 1 li 6

11 terimleri limitlerde patlatır. Bu sorunun üstesinden gelme için, (1 y olara terar yazalım ve birbirlerini a eşitlediği varsayımını yapalım. Yani 1 li terimleri ayrı 4 u 4i yu 1 u m ( A By = (1 y (1 y (1 y 4i y 1 4 m ( A By = (.3 olsun. (.3 eşitliğinin, limitlerde y ye bağlı davranışını inceleyelim: ± y ± 1: y 1: 4i 1 4 m ( A B = y 1: 4i 1 4 m ( A B = (.4 denleminden (.5 denlemi çıartılırsa: (.4 (.5 8 = = (.6 i m im B B 4 elde edilmiş olur. Bu notadan sonra, terimi ile ilgilenmeye başlayabiliriz. (.4 ve (.5 denlemlerinde için ii eşitli bulunur: ( 1, = (.7 y m A B ( 1, = (.8 y m A B, bu ii limit çözümünün ortalaması olara alınırsa: bu notada 1 ( ( = m A B m AB 1 olara, iinci bir terim daha tanımlayalım. ( ( = m A B m AB (.9 (.3 Bu ifadeyi (.6 eşitliğinde yerine oyduğumuzda ( ( ( ( im B m A B m A B im B = = 1 4 m A B ( m AB 4 m B i = (.31 7

12 Artı gönül rahatlığıyla diferansiyel denlemimizin son hali olan (. denlemimize dönebiliriz. Denlemi, (.3 te gerçeleşmesini istediğimiz oşulu göz önünde bulundurara terar yazarsa (artı ullanınca: (1 y 1 li terimlerin birbirini a eşitlemiş olduğu abulünü (1 y u 4yu u4 uyu i u = (.3 (.31 eşitliği de burada yerine onulduğunda, denlemimiz i i i (1 y u 4y u u 4 uyu u = (.33 4 halini alır. Bu notadan itibaren, y nin limitleri için ii ayrı çözüm belirleme yoluna gireceğiz. Öncelile, y 1 limiti için 1 y z = (.34 1 dz = dy d dz d 1 d = = dy dy dz dz d d d 1 d 1 d 1 d = = = dy dy dy dz dz 4 dz (1 y = (1 y(1 y = (1 1 (1 z 1 z = 4(1 z z (.34 dönüşümü ve yuarıda hesapladığımız yan hesaplar da yerlerine onursa, (.33 denlemimizin alacağı şeil şu olur: 4(1 z z i 1 i 1 i 1 u 4(1 z u u 4 u (1 z u u = ( z(1 z u teriminden de tahmin edilebileceği üzere, amacımız, denlemimizi, arateristiği [ ] z(1 z u ( 1 z u u = (.36 ile verilen hipergeometri diferansiyel denlem haline getirme. Bu amaçla, önce (.35 dei terimleri mevcut sadeleştirmeleri yaptıtan sonra- uygun şeilde gruplandıralım: i i i i z(1 z u 1 1 zu u = (.37 8

13 (.37 denlemini, (.36 ile ıyaslarsa, atsayıları ve aralarındai bağıntıyı şöyle buluruz: i i = 1 (.38 i i ( 1 = 1 = 1 = = i i i ile arasındai ilişiyi veren (.39 bağıntıları birleştirilirse (.39 i i i 1 = i i 1 i = denlemi bulunur. Bu denlemden değeri çeildiğinde: bulunur. i i 1, = 1, (.4 ile, birbirlerine göre simetri olduğundan, (.4 dai değerlerden ilini ya, iincisini de ya atayalım (-doğal olara- aynı sonuca (.4 dai değerlerden birini (.39 denlemlerinin bir tanesine oyara da ulaşılabilinir. Bu notada üçüncü değişen la ilgilenelim: (.7 ve (.8 denlemlerindei nın limitlerdei değerleri, ya bağlılılarına baara, sırasıyla eşitlileri vasıtasıyla out ve in olara yeniden adlandırılırsa, (.9 ve (.3 out = = in elde edilir. Bu tadirde, artı, (.38 eşitliğindei yı i = 1 ( (.41 olara yazabiliriz. i = 1 out (.4 9

14 (.36 ile verilen bir hipergeometri diferansiyel denleminin çözümü 1 ( uz ( = F,, ; z (.43 olduğundan, (.37 diferansiyel denleminin çözümü de, sırasıyla (.4 ve (.4 ile verilmiş olan, ve değerlerinin yerine onmasıyla out i i i u ( z = F1 1,, 1 out ; z (.44 olara bulunur. u(z fonsiyonundai out indisi, çözümlerimizi, y 1 limitinde aradığımızı ve bu amaca uygun olara da (.34 dönüşümünü gerçeleştirdiğimizi göz önünde tutma için elenmiştir. in, yani, y 1 limitinde çözüm ararsa, bu sefer yapmamız gereen (.34 dönüşümü yerine 1 y z = (.45 dönüşümünü almatır. Bu dönüşüm altında (.33 diferansiyel denlemimiz şu hali alır: 4(1 z z i 1 i 1 i 1 4 u 4(1 z u u 4 4 u (1 z u u = (.46 ve i i i i z(1 z u 1 1 zu = (.47 bu denlemin out durumuna dair olan (.37 denleminden te farı, lı terimin işaretidir. Bu terim de, sadece atsayısını ilgilendirdiğinden, denlemin çözümünde ullanacağımız ve, out durumu için bulduğumuz, (.4 denlemiyle verilen ve nın aynısı olacatır. ise, out durumunda yaptığımızın benzeri olara şu şeilde yazılabilir: i = 1 ( ama zaten yuarıdai ( terimini biz (.41 bağıntıları ile tanımlamıştı! Bu durumda i = 1 in (.48 bulunur. Böylelile (.47 diferansiyel denleminin çözümünü ile sağlamış oluruz. in i i i u ( z = F1 1,, 1 in ; z (.49 1

15 Bu hesapları tamamladıtan sonra, vatiyle (.1 ile özetlemiş olduğumuz dönüşümleri buraya bir ez daha yazmata fayda var: ix ix i ix i = ( = ( = (1 e e e e e y u bu dönüşümlerden başa, ii dönüşüm daha yapmış ve ayrıca yı da elde etmişti: i = y = tanh 1 y ±, z = Şimdi bütün bu denlemleri birleştirelim. Önce (1 y ısmını halledelim: i y = tanh, = i i i ( ( (1 y = (1 tanh = cosh = cosh i exp ln i ( cosh = = exp ln ( cosh Çözümü yaparen saptadığımız üzere, alan fonsiyonu, mevcut dalga sayılarına ve onformal zamanın limitlerine bağlıdır. O halde, şu andan itibaren yi u out ve u diye ii ayrı fonsiyonda inceleyeceğiz. Bu sayfada özetlemeye çalışmış olduğumuz dönüşümler ve tanımlarla birlite (.44 ve (.49 çözümlerini de ullanırsa: in out u x out ix i i ( ( 1, = 4 exp ln ( cosh i i iout 1 tanh F1 1,, 1 ; ve (.5 in u x in ix i i ( ( 1, = 4 exp ln ( cosh olara bulunur. Denlemlerdei ( 1 i i iin 1 tanh F1 1,, 1 ; 4out, in (.51 terimleri, normalizasyon oşulları sebebiyle onmuşlardır. Çözümlerin, ilgili olduları limitlerdei davranışlarına baaca olursa 11

16 u u out in ( 4 out ( in e e ixiout ixiin oldularını görürüz. ( F1( abc,, ; = 1 olduğunu göz önünde bulundurura (.5 Pei (.5 ile (.51 ile verilen alan fonsiyonları arasında bir geçiş mümün müdür? Yahut, başa bir deyişle bir fonsiyonu diğer fonsiyon cinsinden bağıntısı ile verilen ve * (, (, (, u x = u x u x (.53 in out out Bogolubov atsayılarını ullanma abil midir? Bunu görme için, öncelile hipergeometri fonsiyonların bir dönüşüm özelliğini bilme gereir: ( ( F1 (,, ; z = F1 (,,1 ;1z ( ( ( ( (1 z F1 (,,1 ;1z ( ( in out Bizler, u (, x den yola çıara, u (, x a ulaşmaya çalışacağız. Bunun için de şimdili- (.51 eşitliğinin hipergeometri ısmını çözümleyelim. Önce, bulmuş olduğumuz atsayıları yazıp, ullanılaca olan bağıntıları hesaplayalım: i i = 1 = iin i in = 1 out = 1 = = in out out (.54 iin i i i in = 1 1 = ( = iin i i i in = 1 = 1 ( = 1 iin i i i i in = 1 1 = ( = i 1 = 1 out out (.55 Başlangıcımız in bölgesi olduğundan ötürü ullanacağımız dönüşümle birlite, (1 z terimi: 1 tanh z = 1 tanh 1 (1 z = 1 = ( 1tanh (.56 1

17 4 ( 1 e e sinh 1 e 1 tanh = 1 = 1 = 1 cosh 1 e 1e 4 out bölgesine geçiş yapma istediğimizden limitini almalıyız ve bu limitte, 4 e terimleri, e terimlerine oranla üçü alacalarından ihmal edilebilirler. Bu durumda: 1 (1 z = (1 tanh = e ve in değeri de (.55 ten baılıp yerine onduğunda ( e i out in (1 z = (.57 olara bulunur. Şu son eşitlileri, hipergeometri fonsiyonların dönüşüm formülünde yerine oymanın sırası geldi. Bu durumda: iin iout 1 i i iout 1 = 1,,1 ; ( 1tanh 1 iin iout 1 i i i i 1 out out e F1,1,1 ; 1tanh i i 1 ( in F1 F1 i i ( (.58 ii hipergeometri fonsiyonun atsayıları arasındai benzerli diatimizi çeiyor: birinci fonsiyonun atsayıları, iincisinde eşlenileri alınmış durumda bulunuyorlar ve ile atsayılarının yeri değişmiş durumda. Ayrıca, fonsiyon değişeni de (.5 ile tanımlamış olduğumuz out çözümlerinin değişeni olmuş, i bu zaten bizim bulmayı ümit ettiğimiz bir sonuçtu. Hipergeometri fonsiyonların atsayıları ile ilgili bir özelliğine (.4 tai öleri buldutan sonra değinmişti; bu da ile atsayılarının simetri olduğu, birbirlerinin yerine yazılabileceleri oluşuydu. Öyle ise, (.58 de tanımlanan fonsiyondai birinci hipergeometri terim, out bölgesindei fonsiyonun hipergeometri terimi ile aynıyen, iinci hipergeometri terim ise tam anlamıyla, il terimin omples eşleniğidir! Buradan da artı anlıyoruz i, in bölgesine dair olan çözüm out bölgesindei çözüm cinsinden yazılabilmiştir. (.58 i, (.53 tanımıyla ve (.5 ile (.51 çözümleriyle ıyaslarsa, Bogolubov atsayılarının şöyle olduğunu görürüz: 13

18 iin iout 1 1 out = in i i 1 (.59 iin iout 1 1 out = in i i 1 Bulduğumuz bu Bogolubov atsayılarını yorumlayara incelediğimiz alan haında birtaım öngörülerde bulunabiliriz: ile atsayıları birbirinden farlıdır, deme i, alan bir in out değişime uğramıştır (aslında bunu zaten, u (, x ve u (, x fonsiyonlarını farlı buluşumuzdan ötürü anlamıştı. Bu değişimi, alanın parçacı yarattığı yönünde yorumlayabiliriz, asi tadirde, atsayısı sıfıra gitmeliydi, oysa atsayıların mutla değerlerinin arelerini hesaplarsa, bunun böyle olmadığını görebiliriz: ayrıca sinh ( in = sinh( sinh( in sinh ( out out = sinh( sinh( ile atsayıları, normalizasyon oşullarını da gerçelerler: in out (.6 = 1. (.61 (Bogolubov atsayılarının esin olara hesaplanmasına dair ayrıntılı bilgi, Waler, W.R te bulunabilir. 14

19 III. 11 UZAYDA HAREKETLİ AYNA ÇÖZÜMLERİ Öncei bölümde, çalıştığımız uzayı incelemiş, bu uzayda, C( : onformal ölçe fatörü olma üzere, ( m { x C m } = ( = (3.1 denleminin çözümlerini araştırmıştı. Bu bölümde ise, hareetli bir aynanın varlığı durumunda ütlesiz, saler bir alanın dalga fonsiyonunu bulmaya çalışacağız. İi boyutlu uzay-zamanda çalıştığımızdan ötürü, aynamız, aslında bir notadan ibaret olacatır. Notamızı ayna ile özdeşleştirmemizin sebebi ise, üzerine gelen dalgaları yansıtması ve üzerinde alan fonsiyonunun olması, yani aynamızın bir sınır teşil etmesidir. Bu tanımları yaptıtan sonra, artı incelememize başlayabiliriz. Aynanın hareeti x= z( t (3. fonsiyonuyla verilmiş olsun. Bu durumda, aynanın hızı olan zt ( için il oşulumuzu elde ederiz: zt ( < 1 (3.3 (3.3 oşulu, aynanın, ışıtan hızlı hareet edemeyeceğini garantilemetedir. Ele aldığımız uzay, ütlesiz, saler dalga denlemi olan = (3.4 t x eşitliği aynanın sağında sağlasın (bu uzay, geçen bölümdei uzayın ütlesiz halidir. Sadece aynanın sağıyla ilgileniyor olmamız, aynamızın cilalı yani 1% yansıtıcı olduğunu gösterir ( leeli olara tabir ettiğimiz, yarı geçirgen aynalar üzerine bir çalışma Nicolaevici, N. de bulunabilir. Bu sebepten ötürü (3.4 diferansiyel denlemine, bu çalışmada, sadece x> z( t bölgesinde çözüm arayacağız. Aynanın başta belirttiğimiz, alanla olan ilişisini formüle ederse: ( tzt, ( = (3.5 olur. (3.4 denlemini daha faydalı bir hale getirme üzere arateristi doğrularımızı, ii yeni değişenin fonsiyonu olara tanımlayalım: bu sayede metriğimiz de şu hale gelir: t x= f ( w s t x= g( w s (3.6 15

20 ( ( dt d x = f ( w s g w s dw ds (3.7 (3.4 diferansiyel denlemi de bu oordinat dönüşümleri altında değişmez alır: = (3.8 w s f ile g fonsiyonlarına erişmeye çalışıren, onlara işimize yarayaca şeilde özelliler yüleyelim. Mesela s = olduğunda, eğrimiz aynanın sahip olduğu eğriye dönüşsün. Bu abulden sonra, (3.5 eşitliğinden açıtır i ( w, = (3.9 sonucu çıar. Artı aynaya dair oordinatları f ve g fonsiyonları cinsinden yazabiliriz: (3. ile verilen ayna hareeti bu tadirde [ ( ( ] [ ( ( ] x= g w f w t = g w f w ( [ gw ( f( w ] z( [ gw ( f( w ] = ( olara yazılabilir hale gelir. Aynanın başlangıçta durgun olduğunu düşünere t < ien z( t = (3.1 sınır oşulunu elde ederiz. Bu oşulla (3.11 i birlite sağlamanın yolu: w< için f( w = g( w = w w için g( w = w (3.13 Bu yeni oşullar altında (3.11 denlemini terar yazalım: [ w f( w ] z( [ w f( w ] = ( (3.8 denlemini çözme için çarpanlara ayırma metodunu uygularız: dönüşümü ile diferansiyel denlem ii terim de ( ws, = W( wss ( (3.15 1dW 1dS = (3.16 W dw S ds ye eşitlenece olursa, (3.9 sınır oşulunu da göz önünde bulundurara Ss ( = sins (3.17 bulunur. W(w içinse esponansiyel ifadeyi ullanmalıyız: i w W( w = e (3.18 Böylelile, normalizasyon oşulları ile birlite ya bağlı çözümleri elde ederiz: 1 i w ( ws, ( sin se = (

21 Çözümü, ( txdeğişenleri, cinsinden yazma için önce sinüslü terimi esponansiyel formda yazmamız gereir is is e e sin ( 4 1 is is s = = i e e i bunu w ya bağlı olara bulduğumuz esponansiyel terimle çarptığımızda ( 1 ( ( sin se = i 4 e e iw i s w i sw normalizasyon sabitini de elediğimizde, fonsiyonumuz, dönüşüme hazırdır: ( 1 i( s w i( sw ( ws, = i 4 e e (3. esponansiyel terimlerde, parantez içinde bulunan ifadelerle gerçe oordinatlar arasındai bağıntıyı biz, aslında başlangıçta oordinat taımı dönüşümlerini yaparen tanımlamıştı [(3.6 dönüşümleri]. Bu bilgiler ışığında, nihayet alan denlemimizi ( tx, oordinatları cinsinden yazabiliriz: ( ( 1 t x= f ws ( s w =f ( tx 1 t x= g w s ( w s = g ( t x ( (, tx = i4 e e ig ( t x if ( tx (3.1 (3.13 oşullarından g 1 ( t x = t x olduğunu bulabiliriz. Hem normal oordinatları bir isim altında toplama, hem de denlemi daha anlaşılır ılma amacıyla, şu tanımları yapalım: u tx v t x u z = u (3. 1 u = f = p Fonsiyonumuzu, bu bağıntılarla terar düzenleyelim: u ( ( u u 1 i v i (, tx i4 e = e (3.3 (3. ile verilen bağıntılardan iincisi, aynamızın, u normal doğrusu ile esiştiği notanın zaman bileşenini verir. Zira, zt ( aynanın yörüngesini belirlediği için, u = t x, ayna yörüngesiyle birlite, anca ayna zamanıyla denlemde yerine onabilir. (3. dei üçüncü bağıntı ise, olaylıla anlaşılabileceği üzere, ayna için başlangıçta abul ettiğimiz (3.5 sınır oşulunun gerçeleştiğini garantiye alır. (3.3 ile verilen alan fonsiyonunu ayna üzerinde incelerse: ( u, ( 4 [ u z( u ] i u ( u z u 1 i ( z i e = e (3.4 17

22 fonsiyondai esponansiyel terimleri içeren parantezin içeriğini sadeleştirirse [ u ( u ] i u ( u z( u [ u ( u ] [ u ( u ] i z i z i z e e = e e = (3.5 buluruz. Böylece, ayna üzerinde alan fonsiyonunun a eşit olduğunu göstermiş oldu. pu ( fonsiyonunu denleme somanın bir yararı daha vardır; açıtır i u doğrusu boyunca ilerleyen bir ışın, aynaya ( u, z notasında çarpaca olursa, bu notadan v= z( doğrusu boyunca gidece şeilde yansır. Bunun tersi de mümündür. u u (Eğer varsa Yaratılan parçacı sayısını, Bogolubov atsayılarını hesaplayara bulabiliriz. Faat, bu aşamada yalnızca aynanın hareetinden ötürü bir parçacı yaratımı olup olmadığını mera etmeteyiz. Bu soruyu da, hesaplaması, Bogolubov atsayılarına nazaran daha olay olan enerji-momentum tansörü T yü bulara çözebiliriz. Bizimi gibi düz uzayda tansör T 1 t x x t t x t x x t t x = (3.6 formundadır. yi uantum alan operatörü olara tanımlama için, yaratma ve yo etme operatörlerini devreye somalıyız. Bu tadirde, yi, (3.3 ile tanımlanmış olan özfonsiyonlarının bileşeni olara yazarız: in in * tx= (, d a a (3.7 lerin lara uantizasyonu ile birlite, (3.6 ile tanımlanan T ise belenen değeri cinsinden şu formülle yazılır: T * ( = d T, (3.8 Bu aşamaya geliren, belirtmediğimiz halde, T nün hesabında belirli bir işlem, bizi yo etme operatörünün başta yer almasından urtarmıştı, normal ordering tabir edilen bu tati sayesinde, yo etme operatörü her zaman yaratma operatöründen önce geliyor ve bu sayede, sonsuz toplamlarda bir sabitin patlaması nın önü alınmış oluyordu (Bu metod haında daha ayrıntılı bilgi için bz. Birrell, N.D., Davies, P.C.W. 198 ve Dereli, T.. Lain, (3.8 integraline baıldığında, bizi bu işlemin, patlamadan urtarmayacağı aşiardır. O halde ne yapılmalıdır? Bu sorunun üstesinden, nota-bölme (point-splitting olara bilinen bir metodla gelinmetedir. Bu metoda göre, (3.8 integralinde, 18 ve fonsiyonlarının aynı *

23 (, txnotasındai değerlerini integrale soma yerine, * fonsiyonlarının, ço üçü, pozitif sanal ısımlı bir sayı olma üzere, ( tx, notasındai değeri değil faat, ( t, x notasındai değeri integrale alınmalıdır (bu yöntemin, diğer metodlarla ıyası ve uygulamaları için bz. Bayın, S.Ş., Özcan, M Bu notadan hareetle T için ısmi türevler hesaplanırsa: ( 1 iv ip u v = (, tx = i4 ie i pue ( ; = = 1 t t t 1 iv ip = e p e t 4 benzer işlemlerden sonra diğer bileşenler de bulunur: 1 iv ip = e p e x 4 * 1 i( v ip( u = e p ( u e t 4 (3.9 (3.3 (3.31 * 1 i( v ip( u = e p ( u e (3.3 x 4 Böylelile, (3.6 tansörünün alan fonsiyonlarına etimesi sonucu oluşaca (3.8 eşitliği, aşağıdai toplu biçiminde yazılabilir: T T i i[ p( u p ] { e p u p u e } = T 1 = d ± ( ( = T 4 (3.33 Bu integralleri ayrı ayrı hesaplamaya geçmeden önce, T ile T 1 arasındai bağıntıyı, toplanmaları halinde pu ( ya bağlı olan terimleri sıfırlayacaları gerçeğinden faydalanara, bu durumda geriye alan basit integrali hesaplayara bulalım: 1 i T T d e = = =( T =( T (

24 Artı asıl integrale, geçebiliriz... (3.34 bağıntısıyla, T 'ı T 1 cinsinden hesaplayabileceğimizden dolayı, sadece T 1 i veren arışı integrali alma yeterli olacatır. Bu durumda: i i[ p( u p ] { } 1 T1 = d e p p ( u e 4 (3.35 a >, = iaolduğunu da göz önünde tuttuğumuzda (3.35 integralini T [ ( ( ] [ ( ( ] 1 i i pu pu i pu pu e p p ( u e ip p ( u e ie = lim 4 [ pu ( pu ( ] pu ( pu ( 1 olara buluruz. Limitte, e i [ ] 4 [ pu ( pu ( ] pu ( pu ( p p ( u i (3.36 = e a teriminin, diğer tüm bileşenlere basın geleceğine ve böylelile, integralden sadece (3.36 sonucunun alt satırının sağ urtulacağına diat ediniz. İntegralin sonucunu sadeleştirip yazarsa: T 1 1 p p ( u = 4 ( ( ( pu pu 1 (3.37 eşitliğinin, civarındai Taylor açılımının il biraç terimini yazarsa: 4 T ( ( ( p 1 p u 1 p = 4 6 p 1 ( p ( p (4 3 1 p p p ( p ( p u ( p ( p u 1 p 3 p 3 p 4 ( 1 p 3 p 1 3 p 4 ( (5 (4 1 p 1 p p p 4 p 4 ( p 4 1 ( ( 1( ( ( 5 ( ( p u p u p u p u ( p ( p 16 ( p (4 3 p 1 p 1 p p 1( p 3 p 1 p 1 ( p ( p O 3 ( (3.37 (3.38

25 ve nihayet, u a götürürse: T 1 1 p 3 p = 4 p p elde ederiz. u a götürdüğümüzden ötürü, (3.34 te artı- ırasayan terimi de atarsa, T 1 ( 4 1 p 3 p = T = p p olara bulunur. İfadeleri daha şı bir biçimde yazarsa: { } (3.39 ( T1 = ( 1 [ p ] [ p ] (3.41 { } 1 1 T = ( 1 [ p ] [ p ] (3.4 Şimdi, bu bulgularımızı, bir örne üzerinde ullanalım. Enerji-momentum tansörünün bilşenlerini (3.41 ve (3.4 olara, sadece p cinsinden yazmala, pe ço zahmetli işlemden urtuldu. Verilen bir örnete artı yapmamız gereen şey, zt ( ile verilen ayna yörünge denleminden pu ( fonsiyonunu saptayıp, denlemlerde yerine oyma. zt (, örneğin ( t < ( ( t/ a zt ( = ae t a < t<aln(1 u / a ( u / a t u ( u aln(1 u / a aln(1 u / a < t ( < u < a (3.43 İlgili dönüşümleri yapabilme için, önce (3. bağıntılarından gereece olanları bir ez daha yazalım: p = u z u = z u ( u ( u verilen yörüngeden il bölgedei denlem şu şele gelir: iinci bölge için: p = u = u pu ( = u u = u = u (3.44 p = ae a = ae a u / a u / a u u u u = ae a = ae a u u / a u / a u (3.45 1

26 u için bulduğumuz eşitliten ii sonuç çıartabiliriz: u / a ae a u = (3.46 ile a u = u / a e a u / a 1 u/ a = e ln 1 / = / a ( u a u ( u =aln 1 u/ a (3.47 (3.46 ve (3.47 de buldularımızı, (3.45 tei p eşitliğinde yerine oyarsa: ( pu ( =aln 1 u/ a u (3.48 olmuş olur. Üçüncü bölgeye geçerse: p = u ( u / a u u ( u aln(1 u / a = (1 u / a uu (1 u / aln(1 u / a (3.49 u = ( u / a u ( u aln(1 u / a = (1 u / a u (1 u / aln(1 u / a u u u u için olan denlemden u yu çeerse: uu a(1 u/ a ln(1 u / a u = (1 u / a bulduğumuz bu değeri (3.49 da, p denleminde yerine oyarsa: 1 u / a 1 u / a pu ( = uu a(1 u / a ln(1 u / a u a(1 u / a ln(1 u / a 1 u / a 1 u / a [ ] [ ] ve bir mitar sadeleştirme sonrasında buradan da: a u u pu ( = ualn( 1 u / a au 1 u/ a çıar. (3.44, (3.48 ve (3.5 dönüşümlerini özetlerse: u aln 1 u/ a u < u < u pu ( = a u u ualn 1 u / a u < u au 1 u/ a ( u < ( ( ( ( (3.5 (3.51

27 Bu örnete parçacı yaratılmış mıdır? Bunu anlama için (3.4 veya (3.4 ile verilen enerjimomentum belenen değerlerini hesaplayalım. Burada diat etmemiz gereen, iinci bölge hariç, diğer bölgelerde,. türevin sıfır olacağı, dolayısıyla, enerji-momentum değerine bu bölgelerden bir atı gelmeyeceğidir. Zaten, başlangıçta ve sonda stati bir uzay incelediğimizden, bu belentimiz doğal arşılanmalıdır... İinci bölgeye dair pu ( fonsiyonunun türevlerini hesap ederse: u a a 4a p = ; p = ; p = u a ua ua Bu değerler denlemde yerlerine onursa: ( ( 3 aa ( u T = T1 = (3.5 1 ( a u olara bulunur. Yayımlanan toplam enerjiyi hesap etme içinse ivmelenmenin olduğu bölgelere bamalıyız. (3.43 yörünge denleminden görüleceği üzere, üçüncü bölgede aynamız sabit ( u / a hızıyla ilerlemetedir; bu yüzden bu bölgede bir yaratım olmasını beleyemeyiz. O halde integralimizi < t <aln(1 u / a aralığında, başa bir deyişle de < u < u aralığında almamız gereir. Buradan, toplam enerji: u u aa ( u T du = du ( ( a u [ ] [ ] 1 a ln( au ln( a u u ln( au ln( a u 4a aln( au ln( a u = 48 a ( a u ( a u a u ( a u ln 4a au 1 a u = 48 a ( a u bulunmuş olur. Diat edilirse, ( u a olacatır. u T 1 a u a( au du = ln 48 a a u ( a u (3.54 < < olduğundan ötürü, yayılan toplam enerji pozitif 3

28 IV. KÜRESEL AYNAYA GİRİŞ Bu bölümde, temel olara bir öncei bölümdei çözüm metodlarının aynısını sırasıyla uygulamış olan Hadasz, Sadziowsi ve Wegrzyn in (Hadasz, L., Sadziowsi, M., Wegrzyn, P üresel ayna uygulamalarını ısaca tanıtacağız. Anderson ve Israel in de belirttiği üzere (Israel, W., Anderson, W.G Hadasz ve aradaşlarının aşağıda özetini sunacağımız ilgili çalışması, sadece l =, yani S-dalga durumunu ele almalarından ötürü, aslında (31 uzayda, değil, (11 uzay için yapılan bir çalışmadır. Bu bitirme tezini hazırlayan tarafından, onunun bu yaz ( geliştirilmesi ve genelleştirilmesi planlanmatadır. O yüzden, bu bölüm, sadece tanıtım olara ele alınmalıdır. Bir öncei bölümdei aynanın benzeri olara, incelediğimiz ürenin yüzeyini ile gösterirse, bu yüzey üzerinde alan dalga fonsiyonunun a eşit olduğunu varsayalım: = (4.1 Böylelile, artı, üremizin bir ayna olduğunu söyleyebiliriz. Kolaylı olsun diye, aynanın başlangıçta ve bitişte duruyor olduğunu düşünelim. Bu durumda, yarıçapın zamana göre değişimi: R t R= R( t t t1 (4. R1 t1 t fonsiyonu ile verilebilir. Küresel simetri mevcut olduğundan, d Alambert denlemini, çarpanlara ayırma metodu ile çözebiliriz: l= m=l = (4.3 l (, tr = C (, try (, e.. lm l lm Yuarıdai denlemde (4.3 te yerine yazılırsa (atsayıların ve üresel harmonilerin sadeleştirilmesinden sonra: (4.4 1 ll ( 1 r (, l t r = t r r r İşlemleri sadeleştirme için l =, yani bir başa deyişle (, tr = (, tr (4.5 alınırsa, denlemin genel çözümü it l (, tr = d ( e (, tr e.. (4.6 4

29 olara yazılabilir. Burada olma üzere, R r = rr = R( R R 1 ( R (, tr = e e ir i r ir olara tanımlanmıştır (bir öncei bölümdei (3. ve (3.3 bağıntıları. ( ise eyfi bir fonsiyondur. Öncei bölümde urulan bağıntılara devam edilirse: (4.7 (4.8 r R( t = t t (4.9 R olacatır. Eğer, III. bölümde açılanan biçimde, yaratma ve yo etme operatörleri vasıtasıyla, olası modlar ümesini uantum operatörü olara inşa etme isterse, (üresel uzayda çalıştığımızı belirtme amacıyla, yaratma ve yo etme operatörlerini bu bölümde sırasıyla, R b ve b olara adlandıracağız ˆ 1 d it iwt ( in (, tr = be be ( r t t 1 ien (4.1 fonsiyonu (4.1 ( sin( r ( r = = (,, t r ( t (4.11 r ˆ 1 d it iwt * in (, tr = be ( r be ( r (4.1 halini alır. Artı, enerji-momentum tansörünün bileşenlerini yazabiliriz: T T 1 1 = t r 1 = t r r t (4.13 (4.14 Bundan sonrai işlemler de, geçen bölümde yürütülen işlemlerin benzeridir. Verilen bir zamana bağlı yarıçap fonsiyonu, notasal ayna yörüngesinde olduğu gibi, (4.7 ve (4.9 bağıntıları ullanılara, dönüşüme tabi tutulup, gecimiş zaman R hesaplanıp, buradan (bir öncei bölümdei pu ( ya arşılı olara ( [ ] Ru ( = R, u= tr fonsiyonu bulunur, ve belenen değerler, bu fonsiyonun türevleri vasıtasıyla elde edilir. R 5

30 V. SONUÇ, ÖNERİ VE YORUMLAR Ağırlılı olara (11 uzay-zaman boyutlarında ele aldığımız uzayımızda, hareet eden aynaların denlemlerini inceledi. II. bölümde ele çözümlediğimiz uzayda, III. ve, ısmen de olsa, IV. bölümlerdei çalışmalarımız sonucunda, aynanın anca ivmeli bir hareet sözonusu olduğu durumlarda parçacı yaratımının gerçeleştiğini belirleyip, bunu saptamanın ii yolu olan Bogolubov atsayılarının hesaplanması ve enerji-momentum tansörünün yardımıyla, enerji ve momentum yoğunlularının hesaplanması metodlarını açılamaya çalıştı. Yaratılan parçacıları saptamata ullanılan detetörlerin cinslerine ve çalışma prensiplerine, ço geniş bir onu olduğu için ve tezin incelediği alanı saptıracağından ötürü, giremedi (detetörlere dair geniş bilgi Unruh, W.G., Wald R.M te bulunabilir. Bu teze, ısa bir süre içerisinde yazımına başlanması belenen bir çalışmada yararlanılaca olan avramların toplu bir hali olara baılabilir. Niteim, tezin yazarı, ısa vadede, üresel aynaların genelleştirilmiş formülasyonu, uzun vadede ise, ara deliler tarafından yayımlanan ışımaların entropiyle olan ilişisi üzerine çalışmalar yapmayı düşünmetedir. Bu amaçla, tez, yeni fiirlerin sunulduğu bir çalışmadan ziyade, varolan düşüncelerin incelenip, aralarında bağların urulduğu bir ayna olara ele alınmalıdır. 6

31 A. EK: HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR ( x(1 x y ( x c a b 1 x y ( x aby( x = (A.1 diferansiyel denleminin çözümünü gerçeleyen hipergeometri fonsiyonlar, aşağıdai biçimde gösterilir: ve şu şeilde tanımlanır ( c olma üzere: yx ( = F( abc,, ; x (A. 1 ab x a( a 1 b( b 1 x F( abc,, ; x = 1... c 1! c( c 1! 1 (A.3 Hipergeometri fonsiyonlar, x < 1 veya x= 1, c> a b ve x= 1, c> a b1 için yaınsatırlar. ( a = a( a 1( a...( a n 1 = n ( a n ( a 1! 1! (A.4 olma üzere, Pochammer Sembolü tanımlanırsa, F 1 ( abc,, ; x fonsiyonu, daha sade bir biçimde temsil edilebilir: 1 n= ( ( n ( c n a b n x F( abc,, ; x = (A.5 n! n " F " ile belirtilen bir hipergeometri fonsiyonda, i indisi paydai, j indisi ise paydadai i j Pochammer Sembol sayısını gösterir. Bunun dışında, indissiz gösterimde ise, paya ve paydaya gelece olan terimler, birbirlerinden notalı virgüller vasıtasıyla ayrılırlar. Fonsiyonda, pay ve paydadai sembollerin endi aralarında simetri vardır. Hipergeometri fonsiyonlar arasında, aşağıdai temel dönüşüm bağıntısı vardır: ( c ( cab ( ca ( cb ( c ( a bc ( 1 x ( a ( b F( abc,, ; x = F( ab,,1 a bc;1 x 1 1 F( ca, c b,1 cab;1 x 1 cab (A.6 7

32 B. KAYNAKÇA Anderson, W.G., Israel, W. Phys. Rev. D 6, 843, 1999 Bayın, Selçu Ş., Özcan, Mustafa J. Math. Phys. 38, 54, 1997 Birrell, N.D., Davies, P.C.W. Quantum Fields in Curved Space, 198 (Cambridge University Press Davies, B. J. Math. Phys. 13, 134, 197 Davies, P.C.W., Fulling, S.A. Proc. R. Soc. London A356, 37, 1977 Davies, P.C.W., Fulling, S.A., Unruh, W.G. Phys. Rev. D 13, 7, 1975 Dereli, Tein Bilim ve Teni, 54, Şubat Ford, L.H. Proc. R. Soc. London A364, 7, 1978 Fulling, S.A., Davies, P.C.W. Proc. R. Soc. London A348, 393, 1976 Hadasz, L., Sadziowsi, M., Wegrzyn, P. hep-th/9833, 1997 Hawing, S.W. Commun. Math. Phys. 43, 199, 1975 Hortaçsu, Mahmut Dotora Programı Ders Notları, 199 (Neşe Özdemir tarafından aydedilmiştir Jones, S. theory.ph.man.ac.u/~jones/webtext/node1.html, 1997 Mathews, J., Waler, R.L. Mathematical Methods of Physics, 1965 (W.A. Benjamin, Inc. Mazzitelli, F.D., Paz, J.P., Castagnino, M.A. Phys. Let. B 189, 13, 1987 Nicolaevici, N. gr-qc/99198, Özdemir, Neşe "Küresel Dalgalarda Vaum Dalgalanmaları" Başlılı Dotora Tezi, 1994 Razavy, M., Terning, J. Phys Rev. D 31, Unruh, W.G., Wald, R.M. Phys. Rev. D 5, 94, 1981 Waler, W.R. Phys. Rev. D 31, 767, 1985 Faydalanılan Programlar : Microsoft Office 97; Adobe Acrobat 4.; Waterloo MapleV; MathSoft Mathcad 7; Design Science MathType 4.b. 8

33 C. ÖZGEÇMİŞ Emre Sururi Taşcı, 1977 yılında İstanbul da doğmuş, orta ve lise öğrenimini Özel Boğaziçi Koleji nde tamamlayıp, 1994 yılında İstanbul Teni Üniversitesi, Fizi Mühendisliği bölümüne girmiştir. Fiziğin matematisel fizi dalıyla ilgilenmete olup, alan teorileri onusunda öğrenimini devam ettirmeyi düşünmetedir. adresindei edebiyat içerili sitesinden, endisi ile ilgili güncel bilgilere ulaşılabilir. Yapmış olduğu fizi çalışmaları arasında, Michelson-Morley deneyinin anti-relativisti, lasi fizi yoluyla inceleme ve eleştirisi, Sonsuz Uzunlutai Potansiyel Kuyularında Yansıma Katsayısının 1 Olmasına Rağmen Dalga Fonsiyonunun Varlığı ve Karacisim Işıması ve Isıl Radyasyon Teorisine Dair Deneyler / Planc, Wien ve Rayleigh-Jeans Dağılımlarının Tarihsel Önemi başlılı çalışmaları sayılabilir. Bitirme tezinin bu sürümüne yapılan güncellemeler: Emre S. Taşcı, tarihi itibarıyla bitirme tezinin savunmasını yapmış ve jüri tarafından AA notu verilere başarılı bulunmuştur. Bu tarihten bir hafta sonra ise,.83 not ortalamasıyla İstanbul Teni Üniversitesi nin Fizi Mühendisliği bölümünden mezun olmuştur. 9