TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI

Transkript

1 TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI KOŞULLU VARYANS MODELLERİ: FİNANSAL ZAMAN SERİLERİ ÜZERİNE UYGULAMA Arzu KÖKCEN YÜKSEK LİSANS TEZİ ADANA-00

2 TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI KOŞULLU VARYANS MODELLERİ: FİNANSAL ZAMAN SERİLERİ ÜZERİNE UYGULAMA Arzu KÖKCEN Danışman: Prof. Dr. H.Alan ÇABUK YÜKSEK LİSANS TEZİ ADANA-00

3 Çukurova Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Müdürlüğüne, Bu çalışma, jürimiz arafından EKONOMETRİ Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan: Prof. Dr. H. Alan ÇABUK (Danışman) Üye: Yrd. Doç. Dr. Meme ÖZMEN Üye: Yrd. Doç. Dr. Hakkı ÇİFTÇİ ONAY Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğreim elemanlarına ai olduklarını onaylarım. / /00 Prof. Dr. Azmi YALÇIN Ensiü Müdürü No: Bu ezde kullanılan özgün ve başka kaynakan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fooğrafların kaynak göserilmeden kullanımı, 5846 Sayılı Fikir ve Sana Eseleri Kanunu ndaki ükümlere abidir.

4 Çukurova Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Müdürlüğüne, Bu çalışma, jürimiz arafından EKONOMETRİ Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan: Prof. Dr. H. Alan ÇABUK (Danışman) Üye: Üye: ONAY Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğreim elemanlarına ai olduklarını onaylarım. / /00 Doç. Dr. Azmi YALÇIN Ensiü Müdürü No: Bu ezde kullanılan özgün ve başka kaynakan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fooğrafların kaynak göserilmeden kullanımı, 5846 Sayılı Fikir ve Sana Eseleri Kanunu ndaki ükümlere abidir.

5 i ÖZET KOŞULLU VARYANS MODELLERİ: FİNANSAL ZAMAN SERİLERİ ÜZERİNE UYGULAMA Arzu KÖKCEN Yüksek Lisans Tezi, Ekonomeri Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. H. Alan ÇABUK Ocak 00, 7 Sayfa Finansal serilerde, aşıdıkları özellikler nedeniyle doğrusal zaman serisi yerine, doğrusal olmayan koşullu değişen varyans modellerinin kullanılması daa yaygın ale gelmişir. Bu çalışmanın amacı, ek değişkenli ARCH-GARCH modellerini ayrınılarıyla incelemekir. Çalışmamızda ilk olarak ARMA modellerinin eorik yapısı incelendi. Daa sonra çalışmanın asıl konusu olan koşullu değişen varyans modelleri anııldı. Ele alınan modeller Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH), Genelleşirilmiş ARCH (GARCH), Birleşik GARCH (IGARCH), Üsel GARCH (EGARCH), Oralama ARCH (ARCH-M), Oralama GARCH (GARCH-M), Oralamadaki Üsel GARCH (EGARCH-M), Eşik Değerli ARCH (TARCH), Eşik Değerli GARCH (TGARCH) ve Üslü ARCH (PARCH) modelleridir. Son bölümde ise, İMKB de esaplanan, İMKB00 endeks, Mali Endeks ve Hizme Endeksi verileri ile ARCH modellerinin uygulaması yapıldı. Anaar Kelimeler: ARMA, Koşullu Değişen Varynas, ARCH, GARCH, İMKB Endeksleri

6 ii ABSTRACT CONDITIONAL VARIANCE MODELS: AN APPLICATION ON FINANCIAL TIME SERIES Arzu KÖKCEN M.Sc. Tesis, Deparmen of Economerics Supervisor: Prof. Dr. H. Alan ÇABUK January 00, 7 Pages In financial series, insead of using linear ime series, using nonlinear condiional eeroscedasiciy model is becoming widespread because of eir caracerisic. Te aim of is sudy is o invesigae univariae ARCH-GARCH models. In is researc, firsly, eoreical srucure of ARMA models is inroduced. Aferwards, condiional eeroscedasiciy models a e main subjec of is sudy were inroduced. Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH), Generalized ARCH (GARCH), Inegraed GARCH (IGARCH), Exponenial GARCH (EGARCH), ARCH in Mean (ARCH-M), GARCH in Mean (GARCH-M), Exponenial GARCH in Mean (EGARCH-M), Tresold ARCH (TARCH) and Power ARCH (PARCH) were sudied. In e las par, an applicaion of ARCH models IMKB00 index, financial index and indusrial index a calculaed a IMKB daa were modeled and done. Keywords: ARMA, Condiional Heeroscedasiciy, ARCH, GARCH, IMKB Indexes

7 iii TEŞEKKÜR Yüksek lisans ez konumun belirlenmesi, yürüülmesi ve yazım aşamalarında yönlendirici kakılarıyla bana er zaman desek olan Danışman Hocam Sayın Prof. Dr. H. Alan ÇABUK a, Değerli yardım ve kakılarıyla beni yönlendiren, desekleyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Meme ÖZMEN e, Çalışma aşamasında ve öncesinde er zaman beni desekleyen, ilgi ve yardımlarını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Kenan LOPCU, Sayın Doç. Dr. Meme BALCILAR ve İşleme Bölümü nden Sayın Yrd. Doç. Dr. Meme TURAN a, Yüksek Lisans programına kabul edilmemi onaylayarak bu çalışmayı azırlamamı sağlayan değerli Ekonomeri bölümü ocalarıma, Tez jürisinde bulunan Sayın Yrd. Doç. Dr. Hakkı ÇİFTÇİ ye Manevi desekleriyle beni içbir zaman yalnız bırakmayan çok değerli arkadaşlarıma, Her zaman er koşulda sevgileri ve oşgörüleriyle deseklerini benden içbir zaman esirgemeyen Sevgili Aileme, Sonsuz minne ve şükranlarımı sunar, eşekkür ederim.

8 iv İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET....i ABSTRCAT.... ii TEŞEKKÜR...iii KISALTMALAR LİSTESİ....vii TABLOLAR LİSTESİ.... viii GRAFİKLER LİSTESİ....x ÇİZELGELER LİSTESİ..xi EKLER LİSTESİ. xii GİRİŞ.. I.BÖLÜM ARMA MODELLERİ Ooregresif Modeller: AR(p) AR() Süreci 4.. Harekeli Oralama Modelleri: MA(q) MA() Süreci Karma Ooregresif Harekeli Oralama Modelleri: ARMA(p,q) ARMA(,) Süreci 3.4. Enegre Ooregresif Harekeli Oralama Modelleri: ARIMA(p,d,q)...5 II. BÖLÜM KOŞULLU VARYANS MODELLERİ..7.. ARCH Modeli ARCH Modeli Özellikleri ve Varsayımları ARCH Modelinin Kısıları..3. ARCH Süreci İzleyen Bir Değişkenin Olabilirlik Fonksiyonu...4. ARCH Modeli Fonksiyon Tipleri ARCH Ekilerinin Belirlenmesine Yönelik Tes ARCH-LM Tesi GARCH Modeli...8

9 v... GARCH Modeli Özellikleri ve Varsayımları GARCH Modeli Kısıları GARCH Süreci İzleyen Bir Değişkenin Olabilirlik Fonksiyonu GARCH(,) Süreci GARCH Ekilerinin Belirlenmesine Yinelik Tes 37 III. BÖLÜM DİĞER KOŞULLU VARYANS MODELLERİ IGARCH Modeli EGARCH Modeli ARCH-M Modeli GARCH-M ve EGARCH-M Modeli TARCH Modeli TGARCH Modeli PARCH Modeli...49 IV. BÖLÜM İSTANBUL MENKUL KIYMETLER BORSASI ENDEKSLERİ İÇİN KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANS ETKİLERİ İMKB00 Ulusal Endeksi Model Belirleme İMKB00 Endeksi İçin Koşullu Değişen Varyans Modelleri İMKB00 Endeksi İçin Modelin Belirlenmesi ve Tamini Hizme Endeksi Model Belirleme Hizme Endeksi İçin Koşullu Değişen Varyans Modelleri Hizme Endeksi İçin Modelin Belirlenmesi ve Tamini Volailienin Tamini Mali Endeks Model Belirleme Mali Endeks İçin Koşullu Değişen Varyans Modelleri Mali Endeks İçin Modelin Belirlenmesi ve Tamini..9

10 vi V. BÖLÜM SONUÇ..96 KAYNAKÇA EKLER...03 ÖZGEÇMİŞ...7

11 vii KISALTMALAR LİSTESİ ACF: Ookorelasyon Fonksiyonu AIC: Akaike Bilgi Krieri ARCH: Ooregresif Koşullu Değişen Varyans ARCH-M: Oralama Eşiliğinde Ooregresif Koşullu Değişen Varyans ARMA: Ooregresif Harekeli Oralama ARIMA: Ooregresif ve Büünselleşmiş Harekeli Oralama BDDK: Bankacılık Deneleme ve Düzenleme Kurulu EGARCH: Üssel Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans EGARCH-M: Oralamadaki Üssel GARCH EKK: En Küçük Kareler GARCH: Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans GARCH-M: Oralamada GARCH Modeli IGARCH: Büünleşik Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans L: Gecikme İşleci MA: Harekeli Oralama PACF: Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu PARCH: Üslü ARCH SIC: Scwarz Bilgi Krieri TARCH: Eşik Değerli ARCH TGARCH: Eşik Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans)

12 viii TABLOLAR LİSTESİ Tablo : Logarimik İMKB00 Ulusal Endekse Ai Tanımlayıcı İsaisikler..50 Tablo : İMKB00 Serisinin Düzey Değerlerine Ai ADF Tes Sonuçları...53 Tablo 3: İMKB00 Serisinin Düzey Değerlerine Ai PP Tes Sonuçları..53 Tablo 4: İMKB00 Serisinin.Farkına Ai ADF Tes Sonuçları..53 Tablo 5: İMKB00 Serisinin.Farkına Ai PP Tes Sonuçları.54 Tablo 6: DİMKB00 Serisi Uygun Model Seçim Sonuçları.56 Tablo 7: DİMKB00 Serisi ARIMA(,,3) Modeline Ai Tamin Sonuçları..58 Tablo 8: DİMKB00 Serisine Ai ARCH-LM Tes İsaisikleri..58 Tablo 9: DİMKB00 Serisi İçin ARCH() Model Sonuçları 59 Tablo 0: DİMKB00 Serisi İçin GARCH(,) Model Sonuçları 60 Tablo : DİMKB00 Serisi İçin ARCH-M(,) Model Sonuçları..6 Tablo : DİMKB00 Serisi İçin GARCH-M(,) Model Sonuçları...6 Tablo 3: DİMKB00 Serisi İçin EGARCH(,) Model Sonuçları.63 Tablo 4: DİMKB00 Serisi İçin TARCH(,) Model Sonuçları 64 Tablo 5: Tamin Edilen Modellere Ai İsaisiki Sonuçlar 64 Tablo 6: Tamin Edilen Modellere Ai ARCH-LM Tes İsaisikleri 66 Tablo 7: Hizme Serisinin Düzey Değerlerine Ai ADF Tes Sonuçları.68 Tablo 8: Hizme Serisinin Düzey Değerlerine Ai PP Tes Sonuçları.68 Tablo 9: Hizme Serisinin.Farkına Ai ADF Tes Sonuçları...69 Tablo 0: Hizme Serisinin.Farkına Ai PP Tes Sonuçları 69 Tablo : DHizme Serisi Uygun Model Seçim Sonuçları...7 Tablo : DHizme Serisi ARI(,) Modeline Ai Tamin Sonuçları..7 Tablo 3: DHizme Serisine Ai ARCH-LM Tes İsaisikleri.7 Tablo 4: DHizme Serisi İçin ARCH() Model Sonuçları..73 Tablo 5: DHizme Serisi İçin GARCH(,) Model Sonuçları 74 Tablo 6: DHizme Serisi İçin ARCH-M(,) Model Sonuçları..75 Tablo 7: DHizme Serisi İçin GARCH-M(,) Model Sonuçları 75 Tablo 8: DHizme Serisi İçin EGARCH(,) Model Sonuçları..76 Tablo 9: DHizme Serisi İçin TARCH(,) Model Sonuçları.77 Tablo 30: Tamin Edilen Modellere Ai İsaisiki Sonuçlar 78 Tablo 3: DHizme serisi EGARCH(,) İçin ARCH-LM Tes İsaisiği Sonuçları 79

13 ix Tablo 3: Mali Endeks Serisinin Düzey Değerlerine Ai ADF Tes Sonuçları.8 Tablo 33: Mali Endeks Serisinin Düzey Değerlerine Ai PP Tes Sonuçları 83 Tablo 34: Mali Endeks Serisinin.Farkına Ai ADF Tes Sonuçları 83 Tablo 35: Mali Endeks Serisinin.Farkına Ai PP Tes Sonuçları..83 Tablo 36: DMali Serisi Uygun Model Seçim Sonuçları 85 Tablo 37: DMali Serisi ARIMA(3,,3) Modeline Ai Tamin Sonuçları.85 Tablo 38: DMali Serisine Ai ARCH-LM Tes İsaisikleri.86 Tablo 39: DMali Serisi İçin ARCH() Model Sonuçları...87 Tablo 40: DMali Serisi İçin GARCH(,) Model Sonuçları.88 Tablo 4: DMali Serisi İçin ARCH-M(,) Model Sonuçları.. 89 Tablo 4: DMali Serisi İçin GARCH-M(,) Model Sonuçları 90 Tablo 43: DMali Serisi İçin EGARCH(,) Model Sonuçları..9 Tablo 44: DMali Serisi İçin TARCH(,) Model Sonuçları.9 Tablo 45: Tamin Edilen Modellere Ai İsaisiki Sonuçlar 9 Tablo 46: Tamin Edilen Modellere Ai ARCH-LM ve χ Tes İsaisikleri..93

14 x GRAFİKLER LİSTESİ Grafik : İMKB00 Serisine Ai Zaman Yolu Grafiği.5 Grafik : İMKB00 Serisinin.Farkına Ai Zaman Yolu Grafiği 54 Grafik 3: Hizme Serisine Ai Zaman Yolu Grafiği..67 Grafik 4: Hizme Serisinin.Farkına Ai Zaman Yolu Grafiği 69 Grafik 5: DHizme Serisi EGARCH(,) Modeline Ai Koşullu Sandar Sapma Grafiği.80 Grafik 6: DHizme Serisi EGARCH(,) Modeline Ai Varyans Öngörü Grafiği..80 Grafik 7: Mali Serisine Ai Zaman Yolu Grafiği Grafik 8: Mali Serisinin.Farkına Ai Zaman Yolu Grafiği.. 84

15 xi ÇİZELGELER LİSTESİ Çizelge : İMKB00 Serisine Ai Korelogram..5 Çizelge : İMKB00 Serisinin.Farkına Ai Korelogram 55 Çizelge 3: DİMKB00 ARIMA(,,3) Modelinin Arıklarına Ai Korelogram..56 Çizelge 4: DİMKB00 ARIMA(3,,3) Modelinin Arıklarına Ai Korelogram..57 Çizelge 5: Hizme Serisine Ai Korelogram Çizelge 6: Hizme Serisinin.Farkına Ai Korelogram.70 Çizelge 7: DHizme ARI (,) Modelinin Arıklarına Ai Korelogram.7 Çizelge 8: Mali Endeks Serisine Ai Korelogram..8 Çizelge 9: Mali Serisinin.Farkına Ai Korelogram.84 Çizelge 0: DMali ARIMA (3,,3) Modelinin Arıklarına Ai Korelogram.86

16 xii EKLER LİSTESİ Ek-. İmkb Serisine Ai Uygulamalar Ek-. Hizme Endeksine Ai Uygulamalar Ek-3. Mali Endekse Ai Uygulamalar...9

17 GİRİŞ Modern ekonomik eoride kullanılan zaman serilerinde varyansın sıklıkla durağan seyrememesi ve zamana bağlı olarak değişmesi, ek değişkenli varyansın modellemesinde farklı modelleme yönemlerinin gelişirilmesini sağlamışır. Yüksek frekanslı finansal verilerdeki zamana bağlı değişkenliği analiz emek için koşullu değişen varyans modellerinin kullanımı yaygın ale gelmişir. Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (Auoregressive Condiional Heeroscidasiciy - ARCH) modeli ilk kez Engle (98) arafından oraya konulmuşur. Engle nin makalesinden sonra çeşili ARCH sınıfı modeller gelişirilmişir. ARCH modeli er ne kadar basi ise de, genellikle bir varlık geirisinin volailie sürecini açıklamak için çok fazla paramereye iiyaç duyulur. Bollerslev(986), ARCH modelini genişleerek, em daa fazla geçmiş bilgiye dayanan em de daa esnek bir gecikme yapısına saip olan Genelleşirilmiş ARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscidasiciy, GARCH) modelini önermişir. Söz konusu model ARCH modeline bir alernaif değil, ARCH modelinin eksikliklerini gidermeyi amaçladığından genelleşirilmiş ARCH olarak adlandırılmakadır. Hisse senedi piyasasında koşullu varyans modellerinin analizini amaçlayan bu ez, dör ana bölümden oluşmakadır: Çalışmanın birinci bölümünde zaman serisi verilerine dayalı ekonomik öngörü için kullanılan ve ek değişkenli zaman serileri analizinin emeli olan enegre olmuş ooregresif arekeli oralama ( Auoregressive inegraed moving average ARIMA) modelleri anıılmışır. İkinci bölümde ezin asıl konusunu oluşuran ek değişkenli koşullu varyans modellerinden ARCH ve GARCH modelleri anımlanmışır. Bu modellerin özellikleri, varsayımları, kısıları, olabilirlik fonksiyonları ve modellerin ekisinin varlığının belirlenmesine yönelik kullanılan eslere değinilmişir. Çalışmanın üçüncü bölümünde ise, koşullu varyans modellerinin diğer önemli uzanılarına yer verilmişir. Bu bölümde modeller ve uygulama alanları belirilmişir. Son bölümde İMKB de işlem gören İMKB00 Ulusal endeksi, Hizme endeksi ve Mali endeks günlük verileri seçilerek endekslerin zaman serisi özellikleri incelenmişir. Değişkenlere ai uygun modellemelerin belirlenmesinden sonra volailieleri incelenerek, sonuç bölümünde elde edilen bulgular arışılacakır.

18 .BÖLÜM ARIMA MODELLERİ George Box ve Gwilym Jenkins 970 yılında, ARIMA (Ooregresif Harekeli Oralama) modellerini lieraüre kazandırarak bu modellerin kullanımını önermişlerdir. Uygun modelin belirlenmesi ve amini içinde model kurma sraejileri gelişirmişlerdir (Hyndman, 00). ARIMA modellerinde emel yaklaşım incelenen değişkenin bugünkü değerinin, geçmiş değerlerinin ağırlıklı oplamı ve rassal şokların bileşimine dayandığı şeklinde ifade edilmekedir. Serilerin özelliklerinin oraya çıkarılması için sisemaik ve rassal kısım olarak ayrışırılması gerekmeke olup ARIMA modelleri, em analiik amaçla em de zaman serilerinin sisemaik kısmını amin amacı ile kullanılmakadır. Öngörü için seçilecek algorimanın gözlenen zaman serisinin davranışının incelenmesi ile belirlenecek olması nedeni ile üm ARIMA modellerinde zaman serisinin özellikleri ayrınılı olarak incelenmekedir (Akgül, 003). ARIMA modelleri, zaman serilerinin sisemaik kısmının amin edilmesi için kullanılmaka ve zaman serilerinin arekeini açıklamakadır. ARIMA modellerinde Ooregresif ve Harekeli oralamaya saip zaman serileri incelenmeke ve bu yöneme göre zaman serilerinin durağanlığı korelogram ile espi edilmekedir. Zaman serilerinin durağan olmaması durumunda farkı alınarak durağanlaşırılmaka ve eğer durağanlık sağlanmış ise bu durumda model ARIMA ile amin edilip, öngörü işlemi yapılmakadır (p:// Sonlu sayıda paramere içeren ve aynı zamanda oralama, varyans ve kovaryansı zamana göre değişmeyen ek değişkenli zaman serisi modelleri; Ooregresif (AR), Harekeli Oralama(MA) ve Karma Ooregresif-Harekeli Oralama (ARMA) modelleri olmak üzere 3 başlıka incelenebilir.

19 3.. Ooregresif Modeller: AR(p) Lieraüre Yule (97) arafından kazandırılan ooregresif (AR) modelleri incelenen zaman serisinin erangi bir gözlem değerini, serinin geçmişeki gözlem değerleri ile aa payının doğrusal bir bileşimi olarak ifade emekedir. Zaman serisi modellemesinde ekonomik bir değişkenin geçmiş değerlerinde içerilen bilgi, söz konusu ekonomik değişkenin gelecek değerlerinin önraporlamasını yapmada oldukça yarar sağlar (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Bu yüzden, birçok ekonomik veri ooregresif zaman serisi olarak modellenmekedir. Genel olarak, p nci dereceden bir ooregresif zaman serisi (AR(p)), Y = δ + α Y - + α Y α p Y -p + e () denklemi ile ifade edilir; burada δ bir sabiir ve sokasik süreç olan Y in oralamasını göserir. Modele sabiin eklenmesi zaman serisinin sıfırdan farklı oralamasının olmasına izin verilmesi şeklinde ifade edilebilir. Denklemde yer alan α, α,, α p ler bilinmeyen ooregresif paramerelerdir. Haa erimi e oralaması sıfır ve sabi σ e varyanslı korelasyonsuz rassal değişkenler olarak varsayılmakadır (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Ayrıca böyle bir süreç, ( - α L α L - - α p L p ) y = δ + e () şeklinde de ifade edilmeke olup, burada L gecikme işlecini gösermekedir. Eğer ooregresif süreç durağan ise oralamayı μ ile göserirsek oralama, zamandan bağımsız olarak sabi kalır ve bunu, μ = E ( y ) şeklinde göserebiliriz. p inci dereceden ooregresif zaman serisi denkleminde er iki arafın beklenen değeri alınırsa, p μ=δ+μ i= α i (3) eşiliğini elde ederiz. (3) eşiliğini μ için çözdüğümüzde ise,

20 4 δ µ = (4) p = pi i şeklinde sonuçlanır (Davidson, Mackinnon, 004). Sürecin durağan olması için oralamanın sonlu olması gerekmekedir. Durağan olan bir seride zorunlu olarak (4) denkleminin paydası den küçük olmalıdır. Şaye bu şar sağlanmıyorsa seri çıkış nokasından iibaren giikçe aran bir rendle başlangıç nokasından uzaklaşır (Kular, 005) ve süreç durağan olamaz. Bu koşul durağanlığı sağlamak için yinede yeerli değildir. Çünkü AR(p) sürecinin durağan olabilmesi için başka gerekli koşulları vardır.... AR() Süreci Zaman serisi analizlerinde, zaman serisi değişkeni Y nin oralama, varyans ve kovaryansının esaplanması önemli ilk adımlardan birisidir. Zaman serisi modelleri bir başlangıç nokası olmak üzere sınırsız bir geçmişe başlayan ve sınırsız bir geleceke devam edecek olan Y nin oluşum süreci varsayımına dayanmakadır (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Basi ve en sık kullanılan sokasik süreçlerden birisi, birinci merebe ooregresif süreç ya da AR() süreci olarak adlandırılır. AR() sürecini, Y = δ + α Y - + e (5) şeklinde yazabiliriz. Birinci derece ooregresif zaman serisi modelinde, Y yalnızca bir önceki dönemdeki kendi değerine Y - ve bir rassal kalınıya bağlıdır. (5) denkleminde δ bir kesme parameresi; α, - ile + arasında değer aldığı varsayılan bilinmeyen paramere ve e ise oralaması sıfır ve sabi varyanslı korelasyonsuz bir aa erimidir. Burada e, y - ile ilişkili olmayan bir beyaz gürülü sürecidir (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Birinci ooregresif zaman serisi modelinde (5); α koşulu durağanlık şarı olarak adlandırılmaka olup, AR() sürecinin durağan olabilmesi için bu koşul

21 5 gereklidir. Zaman serilerinin durağan olabilmesi için birkaç anımlama bulunmakadır. Eğer, koşulsuz bekleni E(Y ) ve koşulsuz değişirlik Var(Y ), zamandan bağımsız olarak bulunuyor ve Cov(Y, Y -j ) de üm j ler zamandan bağımsız ise Y serisi durağandır. Bu anımlama bazen birlike değişirlik durağanlığı (covariance saionariy) ya da geniş anlamda durağanlık (wide sense saionariy) olarak adlandırılır (Davidson, Mackinnon, 004). Y = δ + α Y - + e denkleminde δ=0 ve α = ise, denklem Y = Y - + e şeklinde yeniden düzenlenebilir. α = ise, Y = α Y - + e sürecinin durağan bir çözümü bulunmamakadır (Brockwell, Davis, 99). Gecikme işlecini (L) kullanarak, (5) de verilen AR() sürecini yeniden yazarsak, ( αl) Y = δ + e (6) elde ederiz. Buda bize, Y = ( + αl + α L + )( δ + e ) (7) eşiliğini verir. δ sabi parameresi büün dönemlerde aynı değere saipir. Gecikme işleci uygulaması, sabi bir sayı üreir. Bu yüzden 7 eşiliğini, Y = ( + α + α + ) δ + ( e + αe - + α e - + ) (8) olarak yeniden yazabiliriz. Ooregresif paramerenin değeri α olarak sağlandığında ve Y in beklenen değeri alındığında, E ( Y ) = δ α = μ (E ( e ) = 0 olduğundan) (9) durağan AR () modelinin oralamasını elde emek mümkündür (Jonson, Dinardo, 997). Denklem (5) eki sabi erim δ = 0 olarak ele alınırsa, zaman serisi değişkeninin Y in oralaması μ = 0 olacakır. Bu durumda seri oralamadan sapmalar cinsinden anımlanmaka ve ( Y μ ) ye ulaşılmakadır. Serinin durağan olduğunu kabul eiğimizde varyans sabi ve δ = 0 olur. Buna göre (5) denklemini yeniden yazarsak,

22 6 Y = α Y - + e (0) süreci elde edilir. Buna göre, AR () modelinin varyansı, Var (Y ) = E ( Y μ ) () σ y = E ( Y 0 ) (δ = 0 olduğundan dolayı, μ = 0) σ y = E (α Y - + e ) = E (α Y - + e + α Y - e ) = α σ y + σ e () elde edilen ( ) eşiliğinin σ y için çözümü ile, σ y = σ α e (3) esaplanabilir. Elde edilen bu varyans, kovaryansın üreilmesinde bir alernaif olarak kullanılabilir. (9) denklemini kullanarak, (5) denklemini yeniden yazmak mümkündür. x = α x - + e (4) Burada x = Y μ olarak ifade edilmekedir. Denklem (4) in er iki arafı x - ile çarpılıp, beklenen değeri alınır ise, E ( x x - ) = α E ( x - ) + E (x - e ) (5) elde edilir. Bu denklemden, kovaryans kasayıları, γ k = E ( x x -k ) arafından göserilir. Son eşilik bize, α σ e γ =αγ 0 = α (6) kasayısını verir. (6) de yer alan γ 0, σ y nin diğer bir göserimidir. Benzer bir şekilde(4) denkleminin er iki arafı x - ile çarpılıp, beklenen değeri alınır ise,

23 7 γ = α γ (7) bulunur. Genel olarak, γ k = α γ k- = α k γ 0 k=,, (8) şeklinde ifade edebiliriz. Y ile Y -k arasındaki korelasyon Cor(Y,Y -k )= Var ( Y, Y k ) ( Y ) Var( Y ) Cov k (9) ile esaplanmakadır. Denklem (8) ve γ 0 = σ y eşiliğini (9) a aşırsak durağan bir seri için ookorelasyon kasayısı, ρ k = γ k γ 0 (0) olarak ifade edilir. Kovaryans ve ookorelasyon kasayıları sıfır gecikme erafında simerikirler. Dolayısıyla yalnızca poziif gecikmelere bakmak yeerlidir. AR() süreci için ookorelasyon kasayısı, ρ k = α ρ k- = α k () serinin ookorelasyon fonksiyonu (ACF) olarak bilinir ve bunun grafiksel biçimi ise korelogram olarak adlandırılır (Jonson, Dinardo, 997)... Harekeli Oralama Modelleri: MA(q) Y değerlerini üreen mekanizma yalnızca AR süreci değildir. T dönemi ve önceki dönemlerdeki aa erimleri de Y değerini üreiyor olabilir. İlk defa Slusky (937) arafından incelenen Harekeli Oralama (MA) modellerinde; q merebesindeki bir arekeli oralama sürecinde, er gözlenen Y, q değerine kadar gecikmesi uzanan bozucu erimlerin ağırlıklı oralaması olarak ifade edilir. MA(q) süreci anım gereği q durağan aa eriminin oralaması olduğu için MA süreçlerinin ümü durağandır. Genel MA (q) süreci için isaisiksel model

24 8 Y = μ + e + Ө e - + Ө e Ө q e -q () şeklinde yazılır. Yukarıdaki denklemde, Ө i (i =,,,q) bilinmeyen paramerelerdir ve bu paramereler negaif veya poziif olarak göserilebilir. e, oralaması sıfır ve sabi varyansa saip korelasyonsuz rassal kalınıları gösermekedir. Kesme parameresi AR(p) modelinden farklı olarak δ yerine, μ ile göserilmişir. Bu anımlama MA(q) sürecinin oralamasını yansıır (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Ayrıca böyle bir süreç Y = ( + Ө L + + Ө q L q ) e (3) şeklinde ifade edilmeke olup, L gecikme işlecidir (Davidson, Mackinnon, 004). Harekeli oralama sürecinin oralaması E (Y ) = γ 0 μ olduğundan, zamandan bağımsız, er e değeri bir wie noise süreci arafından üreildiğinden; E (e ) = 0, E ( e ) = σ ve E (e, e - ) = 0 olur. Harekeli oralamanın varyansı γ 0 ile göserildiğinde, Var ( Y ) = γ 0 = E ( Y μ ) () = E( e + Ө e Ө q e -q - Ө e e - - ) = σ e + Ө σ e + + Ө q σ e = σ e ( + Ө + Ө + + Ө q ) (4) olarak esaplanır. Denklemde kesişen erimler sıfırdır; çünkü bozucu erimlerin kovaryansı sıfırdır. Y nin varyansının sonlu olduğu kabul edilir, aksi akdirde erangi bir döneminde başlayan sokasik süreç giikçe başlangıç nokasından sapacakır. Eğer gerçekleşen Y serisi durağan ise, q i= θ (4) i olmalıdır (Kular,005).

25 9... MA () Süreci Ooregresif süreç, sabi zaman serisi için ek yol değildir. Sokasik sürecin diğer bir ürü arekeli oralamadır MA(q). En basi arekeli oralama süreci olan birinci dereceden arekeli oralama süreci MA() ile göserilir ve Y = μ + e + Ө e - (5) denklemi ile ifade edilir. Herangi bir sonlu Ө parameresi için MA() süreci durağan ve ergodikir. Sürecin oralaması, aa erimlerinin oralamasının sıfır olması sebebiyle ( E(e ) = 0 ), sabi erime eşiir ( E(Y ) = μ ) (Yılancı, 007). MA() sürecinin varyansı ise, Var ( Y ) = σ y = E ( Y μ ) = E ((e + Ө e - ) ) (6) = E ( e + Ө e e - + Ө e - ) = σ e + Ө σ e = σ e ( + Ө ) (7) olarak ifade edilir ve zamandan bağımsızdır. Y ile Y - arasındaki kovaryans ise; Cov ( Y, Y - ) = E ( Y μ ) ( Y - - μ) = E ( e + Ө e - ) ( e - + Ө e - ) (8) = E ( e e - + Ө e - + Ө e e - + Ө e - e - ) = 0 + Ө σ e γ = Ө σ e (9) dir (Hamilon, 994). j sayıda gecikmeyi dikkae alarak kovaryansı anımlayacak olursak Cov ( Y, Y -j ) = E ( Y μ ) ( Y -j - μ) (30) = E [(e e - + Ө e - ) ( e -j + Ө e -j ) ] γ = 0 (3)

26 0 Y ve Y -j arasındaki kovaryans, j > için sıfırdır. Bundan dolayı, üm Y vekörleri için kovaryans marisi, + α α α + α α σ e Δ (Ө ) σ e (3) α + α şeklindedir. Haa erimleri arasında bir dönemden sonra erangi bir korelasyon olmadığı (3) den açıkça görülmekedir. Ayrıca, ardışık aa erimleri arasındaki korelasyon yalnızca 0.5 ve arasında değişmekedir; küçük ve büyük olası değerler sırasıyla - ve + dir (Davidson, Mackinnon,004). MA() süreci için ookorelasyon fonksiyonu ise γ k φ + φ ρ j = = γ 0 k= γ ρ j = k = 0 k> (33) γ 0 şeklinde ifade edilir. Genelleme yapacak olursak, MA(q) için ookorelasyon fonksiyonu, E ( e e ) j σ e α j = σ eα j 0 + q j i= α j+ iα i q j j = q j q (34) olarak yazılır (Davidson, Mackinnon, 004). Eğer Ө < ise MA() süreci ersine çevrilebilir olarak; eğer Ө ise, ersinmez olarak adlandırılır. Tersine çevrilebilir MA() sürecinde aa erimi e sonsuz bir AR sürecine (AR( )) saipir ve

27 e = Y + Ө Y - + Ө Y - + Y = -Ө Y - - Ө Y e (35) formunda emsil edilir. Yukarıdaki (35), MA() süreci için PACF nin sürecin derecesinden sonra sıfıra doğru söndüğünün bir sonucudur (Zivo, 005). Sonuç olarak MA() süreci yalnızca bir dönemlik belleğe saipir. Genelde arekeli oralama sürecinin bu sınırlı belleği önemlidir. Özellikle bir arekeli oralama modeli geleceğe ilişkin sınırlı sayıda dönem sayılarına dayanarak önraporlama bilgisi sağlar (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005)..3. Karma Ooregresif Harekeli Oralama Modelleri: ARMA (p,q) Birçok durağan rassal süreç ek başına AR(p) ve ya MA(q) süreçleri arafından modellenemezler. Bu seriler lieraüre Wold (938) arafından kazandırılan ooregresif ve arekeli oralama modellerinin birleşimi karma ooregresif arekeli oralama ARMA ( p, q ) modeli (Mixed Auoregressive Moving Average Process) olarak ifade edilebilirler. Bir ARMA süreci er zaman ya bir MA( ) süreci ya da AR( ) süreci olarak emsil edilebilir. ARMA modellerinde bir zaman serisinin erangi bir dönemine ai değeri, daa önceki belli sayıda gözlem değerinin ve aa erimlerinin bir bileşimidir. Hem ooregresif em de arekeli oralama [ ARMA (p, q)] süreçlerini içeren karma modellerde paramere sayısının daa fazla olması kaçınılmazdır. Genelde, ekin bir amin için paramere sayısının (serbeslik derecesini dikkae almak koşuluyla) fazla olması erci edilmekedir (Kıran, 006). ARMA ( p, q ) isaisiksel modeli Y = δ + α Y α p Y -p + e + Ө e Ө q e -q (36) ve ya ( - α L - - α p L p ) Y = δ + ( + Ө L + + Ө q L q ) (37)

28 olarak ifade edilebilir (Verbeek, 004). (37) denkleminde yer alan δ kesme erimi olup, Y nin oralaması ile ilgilidir. α p ve Ө q ise, sırasıyla bilinmeyen ooregresif ve bilinmeyen arekeli oralama paramerelerini ifade emekedir. e ler de, sıfır oralama ve sabi varyanslı aa erimlerini gösermekedir. Eğer q = 0 ise, süreç AR (p) ile ifade edilen ooregresif süreçir. p = 0 ise, süreç MA(q) ile göserilen arekeli oralama sürecidir. Bununla birlike, eğer bir ve ya daa fazla özgül kök, birim den daa büyük ve ya birime (uniy) eşi ise, Y serisine büünselleşmiş süreç denir ve ooregresif büünselleşmiş arekeli oralama modelleri ( ARIMA) olarak adlandırılırlar (Enders, 003). Bu modellerin ARMA modellerinden farkı durağan olmayan serinin d inci merebeden ürevi alınarak durağan ale geirilmesidir. Yukarıda ARMA(p, q) modeli olarak ifade edilen (36) da ki Y serisinin durağan olduğu varsayılmakadır, serinin oralaması sabiir. Verilen (36) denkleminin beklenen değeri alınır ise E (Y ) = μ = δ + α μ + + α p μ Ө Ө q 0 μ = δ α... α p ARMA(p, q) sürecinin oralaması, denklem (3) eki AR(p) sürecinin oralamasıyla aynı şekilde elde edilir. Bu sonuç aynı zamanda durağanlık için gerekli koşulu da (α,, α p <) belirir. ARMA sürecinin durağan olması arekeli oralama paramerelerine (Ө,, Ө q ) bağlı olmayıp amamen ooregresif paramerelere (α,, αp) bağlıdır. Burada durağan bir ooregresif parça ve ersine bir arekeli oralama parçası sağlanmışır (Davidson, Mackinnon, 004). mümkündür: Çoğunlukla ARMA sürecini oralamadan sapmalar cinsinden de yazmak Y μ=α (Y - μ)+α (Y - μ)+ +α p (Y -p μ)+e +Ө e - +Ө e - + +Ө q (38) (38) denkleminin er iki arafı (Y -j μ) ile çarpılıp, beklenen değeri alınırsa kovaryans denklemi elde edilir (Hamilon, 994).

29 3 γ j = α γ j- + α γ j- + + α p γ j-p j = q +, q +, (39) ARMA (p, q) sürecinin ookorelasyon fonksiyonu ise, ρ j = α ρ j- + α ρ j- + + α p ρ j-p (40) olarak elde edilir. Bir ARMA(p, q) süreci için, genel ookorelasyon fonksiyonu (ACF) karışıkır. Genel olarak bir ARMA(p, q) sürecinde p > q için ACF, AR(p) süreci ACF si gibi; q > p için kısmi ookorelasyon fonksiyonu (PACF) ise, MA(q) süreci PACF si gibi davranır. Bu nedenle, ACF ve PACF sonunda üsel azalma göserir (Zivo, 005). ARMA modellerinde ooregresif ve arekeli oralama erimlerinin gecikme sayılarının belirlenmesi karşılaşılan sorunlardan biridir. ARMA (p, q) modelinde incelenen serinin ookorelasyon fonksiyonunun q gecikme sayısından başlayarak, kısmi ookorelasyon fonksiyonunun ise p gecikme sayısından başlayarak azalması gerekmekedir. ARMA modellerinde karşılaşılan diğer bir sorun ise, seriyi açıklayabilen ve sandar ekonomik sorunlardan bağışık birkaç değişik denklemin olabilmesidir. Bu durumda angi denklemin veya modelin seçileceğine ilişkin ekonomeri yazınında önerilen çözümlerden biri, söz konusu modellerin bilgi ölçülerinin karşılaşırılmasına dayanmakadır (Balaban, Candemir, Kuner, 996)..3.. ARMA(, ) Süreci ARMA(p, q) sürecinin en basi şekli ARMA(, ) karma ooregresif arekeli oralama sürecidir. Bu süreç ooregresif ve arekeli oralama paramerelerine saipir ve Y = δ + α Y - + e + Ө e - (4) şeklinde ifade edilir. Düzenleme yapılırsa model, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Y - α Y - = δ + e + Ө e - (4)

30 4 Yukarıdaki eşiliğin sol arafı modelin ooregresif (AR) bileşenini, sağ arafı ise arekeli oralama (MA) bileşenini verir. Sürecin oralaması, E (Y ) = α E(Y - ) + δ + E(e ) + Ө E(e - ) = δ α olarak bulunur (Kıran, 006). Eğer δ = 0 ise, ARMA(, ) sürecinin varyansı γ 0 = E[(Y μ) ] = E [(α Y - + e + Ө e - ) ] denklemini çözersek = α γ 0 + α Ө E(Y - e - ) + σ e + Ө σ e E(Y - e - ) = E( e -) = σ e ve eğer α < ise γ 0 = θ α θ + α σ e (43) olarak elde edilir. Kovaryanslar γ, γ, γ k sırasıyla aşağıdaki gibidir. γ = E [(Y - (α Y - + e + Ө e - )] = ( + α θ )( α + θ ) α σ e = α γ 0 + Ө σ e γ = E(Y - Y ) = E[Y - (α Y - + e + Ө e - )] = α γ

31 5 ve γ k = α γ k-, k (44) Ookorelasyon fonksiyonu ise ρ = γ γ 0 ( + α φ )( α θ ) = + θ + α θ γ ρ k = = αρk γ o k (45) olarak verilir. ARMA(,) süreci AR ve MA bileşenlerinin bir kombinasyonu olduğundan ookorelasyon fonksiyonu em AR em de MA sürecinin özelliklerini birlike göserir. MA sürecinde birinci gecikmeden sonra ookorelasyon fonksiyonunun kesilmesi beklenir. AR sürecinde ise birinci gecikmeden sonra azalan ookorelasyon davranışı beklenir (Sevükekin, Nargeleçekenler, 005)..4.Enegre Ooregresif Harekeli Oralama Modelleri: ARIMA(p,d,q) Zaman serilerinin birçoğu zaman boyunca değişen belirli bir sokasik sürecin özelliklerini aşıdığından durağan dışıdır. Finansal seriler genellikle rassal yürüyüş süreci özelliklerini yansıırlar. Her ne kadar birçok zaman serisi durağan dışı olsa da, zaman serilerini durağanlaşırmak için serinin bir ve ya daa fazla farkını alarak bir dönüşürme işlemi uygulanabilir(sevükekin, Nargeleçekenler, 005). Durağan olmayıp, fark alma işlemi sonucunda durağan ale geirilmiş olan serilerle kurulan modellere enegre ooregresif arekeli oralama modelleri adı verilir ve ARIMA(p,d,q) olarak ifade edilir. Bu üç paramere, d = Durağanlık için fark derecesi p = AR sürecinin merebesi q = MA sürecinin merebesi

32 6 olarak ifade edilir. Genellikle d, sıfır ya da bir; nadiren ise iki olur. (Jonson, Dinardo, 997). Durağan olmayan bir Y serisinin.farkı alındığında, ΔY = Y Y - = Y ' (46) ' olur. Eğer Y serisi durağan ise, enegre sürecin derecesi d = olur ve I() olarak ifade edilir. ARIMA(p, d, q) modellerinin en basi örneği, ARIMA(0,, 0) modelidir. ARMA(p, d, q) süreci ( α L α L - - α p L p ) Δ d Y = δ + e + Ө e Ө q e -q (47) şeklinde göserilebilir. Durağan bir seri üreebilmek için farkı alınan Y sürecinin (W = Δ d Y) oralaması, µ w = δ α α... α (48) p ile anımlanır. Eğer (Sevükekin, Nargeleçekenler, 000) δ 0 ise enegre seri Y deerminisik bir rend oluşurur

33 7. BÖLÜM KOŞULLU VARYANS MODELLERİ Uluslar arası piyasalarda son 0-5 yılda yaşanan çalkanılar, modern ekonomik eoride risk ve belirsizliğin aran önemi, zamana bağlı olarak değişen varyans ve kovaryansın modellenmesine olanak sağlayan ekonomerik zaman serilerinin gelişimini gerekli kılmışır. Finansal zaman serileri aşırı basıklık, volailie kümelenmesi ve kaldıraç ekisi özelliklerinden bir veya daa fazlasına saipse, regresyon modelinde varyansın sabi olması varsayımı geçerli olmamakadır. Finansal zaman serilerinin varyansları genellikle zamana bağlı bir şekilde değişkenlik gösermekedir (Özden, 008). Değişen varyansın koşulsuz olduğu durumda, arıkların koşulsuz varyansı zaman içinde değişmezken, koşullu olduğu durumda ise, arıkların varyansı geçmiş dönem gerçekleşmiş bilgi seine koşullu olarak zamanın bir fonksiyonu olmak üzere değişebilmekedir. Değişen varyansın formuna ai yapılan bu iki varsayımda da en önemli orak özellik, koşulsuz varyansın sonlu olması gerekiği yönündedir (Gökçe, 998). Klasik ekonomerik modellerdeki sabi varyans varsayımının pek çok ikisadi ve finansal zaman serisinde geçerli olmadığının görülmesi değişen varyansın modellenmesine izin veren ve Engel (98) arafından gelişirilen Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy ARCH) modelinin kullanımını yaygın ale geirmişir. Engel (98) arafından gelişirilen bu modelden sonra birçok model önerilmişir. Bunlardan ilki Bollerslev (986) arafından gelişirilen ve uygulamada geniş yer bulan Genelleşirilmiş ARCH(Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy GARCH) modelidir. Diğerleri ise, Oralama Eşiliğinde Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH-M), Büünleşik Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (IGARCH), Eşik Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (TGARCH), Üssel Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (EGARCH), Eşik Değerli Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (TARCH), Oralama Eşiliğinde Genelleşirilmiş

34 8 Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (GARCH-M), Oralamadaki Üsel GARCH (EGARCH-M) ve Üslü ARCH (PARCH) olarak adlandırılmakadır. Son yıllarda adı geçen modellemelerden bazıları kullanılarak, Türkiye verileri ile özellikle isse seneleri ve döviz kurları üzerine çalışmalar yapılmışır. (Gökçe, 998; Yolsal, 999; Kızılsu, Aksoy ve Kasap, 00; Telear ve Binay, 00; Mazıbaş, 004; Karaameoğlu, 006; Kıran, 006; Özden, 008).. ARCH Modeli Geleneksel ekonomerik modeller aa erimlerinin sabi varyanslılık varsayımını ileri sürerler. Engle nin 98 yılında İngilere enflasyon verilerini kullanarak yayımladığı makalesi ile birlike, zaman için değişen koşullu varyans modellerinin amini için önemli bir adım aılmışır. Engle, koşulsuz varyans sabi iken koşullu varyansın zamana bağımlı olduğu durumlarda, bu koşullu varyansı aa erimlerinin karelerinin bir fonksiyonu olarak belirlemişir (Engle, 98). Engle nin yapmış olduğu çalışmalar ARCH adını alarak lieraürde yer bulmuşur. ARCH modelleri, zaman serisi yönemlerindeki sabi varyans varsayımını bir kenara bırakarak, varyansın gecikmeli öngörü aalarının karelerinin bir fonksiyonu olarak değişmesine izin vermişir. Bu nedenle ARCH modelleri, amin sürecindeki değişen varyansı regresyonla birleşirmeye uygun bir anımlamadır. ARCH modelinde öngörü aalarının karakerisik davranışlarının, regresyon arıklarına dayandığı varsayılmışır. Burada aynı zamanda, regresyon arıkları da ookorelasyonlu olacakır (Gökçe, 00). ARCH modeli gecikme sayısının aldığı değerle adlandırılmakadır.... ARCH Modeli Özellikleri ve Varsayımları Eğer rassal değişken y koşullu yoğunluk fonksiyonu f (y y - ) arafından belirilirse, sandar varsayımlar alında geçmiş bilgiler esas alınarak bugünkü değer amini E(y y - ) koşullu değişken y - in değerine bağlıdır. Bu bir dönemlik aminin koşullu varyansı ise, V(y y - ) olarak verilir. Böyle bir ifade ile koşullu varyans amini geçmiş dönem bilgisine dayanacak ve esadüfi değişken olarak işlem görecekir. Oysa

35 9 geleneksel ekonomerik modellerde koşullu varyans y - üzerine kurulmamışır (Engle, 98). Engle (98) makalesinde, birinci dereceden ooregresif [AR()] süreci, ana denklem olarak kullanmışır. Y = γ y - + (0), sıfır oralama ve sabi varyanslı aa erimidir. y in koşulsuz oralaması sıfır iken, koşullu oralaması γy - dir. Zaman serileri modelleri ile yapılan kesirimlerdeki başarı, koşullu oralamanın kullanılmasından ileri gelmekedir (Akaş, Akkur, 006). y nin koşullu varyansı, E[ y ( y γ y ) ] = E [ ] = σ (49) olmakadır. y nin koşulsuz varyansı ise, V(y )= σ y = V (γ y - + ) (50) = γ V(y - ) + V( ) = γ σ y + σ e σ e σ y = γ (5) olarak bulunur (Karaameoğlu, 006). (5) nolu denklemde ( γ ) olduğunda, koşulsuz öngörü varyansı koşullu öngörüden daa yüksekir. Koşullu öngörü, geçmiş ve gerçekleşen seriyi esaba kaığında erci edilebilir. Engle nin makalesinde de, koşullu öngörünün, koşulsuz öngörüye göre daa iyi olduğu fikri anlaılmakadır. Çok değişirliliğin(heeroskedasiciy) sandar yaklaşımı, varyans öngören bir x dışsal değişkeni sunmakır. Sıfır oralama ile bilinen model,

36 0 y = x (5) şeklinde yazılabilir (Engle, 98). Eğer x = x - = x - = = sabi ve {y } ardışık ise model sabi varyanslı bir beyaz gürülü sürecine saip olacakır. Bununla birlike, {x } ardışık olarak birbirine amamen eşi değil ise, x ye koşullu olarak y nin varyansı ise, σ x dir (Gökçe, 998) ve bu nedenle öngörü aralığı bir dışsal değişkenin değişimine bağlıdır. Yeersiz gibi görünen bu sandar çözüm, koşullu oralamalar ve varyansların zaman içinde birlike değişebileceğini göz önünde bulundurmak yerine, değişen varyansın nedenlerinin bir özelliği olarak algılanır. Belki bu sorun nedeniyle, zaman serisi verilerinde çok değişirlilik düzelmeleri nadiren oraya çıkmakadır. Granger ve Andersen arafından, serilerin geçmişe gerçekleşen değerlerine bağlı koşullu varyansı sağlayan bir model anımlanmışır. Basi bir ifade ile, y = y (53) yazılırsa koşullu varyans σ y dir. Bununla birlike, koşulsuz varyans sıfır ve ye sonsuz olacakır ki bu oş olmayan bir formülasyona neden olacakır. Buna karşın küçük genellemelerle bu problemden kaçınılabilir. Daa uygun olan bir model, y = (54) V( ) = olmak üzere yazılabilir. Bu ooregresif koşullu değişen varyans (ARCH) olarak isimlendirilen bir modeldir. Normallik varsayımı eklenerek sei açısından daa direk bir şekilde ifade edilebilir. Koşullu yoğunluklar kullanılarak, ψ, zamandaki bilgi y ψ ~ N (0, ) = α 0 + α y (55)

37 yazılır. Birinci derece ooregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH()) olarak ifade edilen bu fonksiyon, daa genel bir model olan ARCH(q) = α 0 + α α q q = ( y -, y -,, y -q, α) (56) şeklinde genişleilebilir. Burada q, ARCH sürecinin sırasını; α ise bilinmeyen paramereler vekörünü emsil emekedir (Engle, 98). (55) ile ifade edilen denklemin önemi aa erimlerinin koşullu varyansını paramerik olarak modellemeye izin vermesidir. Böylelikle finansal verilerin amini için elde edilen yeni bilginin varyansı ya da volailieyi nasıl ekilediği modellenebilmekedir. Buna bağlı olarak volailienin zaman içinde nasıl değişiği de görülebilmekedir. Denklem (55) kullanılarak finansal varlık geirilerinde oraya çıkan beklenmedik gelişme değerleri belirlenebilir. Bu modelde koşullu varyans, beklenmeyen aa erimlerinin (şokların, aberlerin ya da sürprizlerin) karesine bağlı olan bir fonksiyon olarak anımlanmışır (Özden, 008 ).... ARCH Modelinin Kısıları ARCH modellerinde ooregresyon paramerelerine (α 0 ve α i lere) ilişkin bazı kısılamalar söz konusudur. Koşullu varyans ( ), nin gerçekleşen büün değerleri için poziif olmak zorundadır. Bu koşulun sağlanabilmesi için ARCH(q) denkleminde α 0 ve α i paramerelerinin negaif olamayacakları belirlenmekedir. Böylece, α 0 ve 0 0 α i i=,,,q kısıları yazılabilir.,,, q değerleri negaif olamayacağından büün değerleri için koşullu varyans denklemi negaif değerler almamalıdır. α 0 0 ise, deki küçük değişme koşullu varyansı negaif yapacakır. α yeerli oranda negaif olduğunda ise, koşullu varyans yine negaif olur (Kıran, 006). (56) daki ARCH(q) q süreci, fark denklemi kurallarına göre α λ α λ α q λ sürecin karakerisik denklemi şeklinde oluşurulabilir. Burada kovaryans durağanlığının sağlanabilmesi için,

38 denklemin karakerisik kökleri( λ, λ,..., λq ) mulak değer olarak birden büyük olmalıdır (Higgins, 99). Denklemin dinamik isikrarının sağlanabilmesi için gerekli koşul, α i lerin oplamının birden küçük olmasıdır. q i= α i (Akaş, Akkur, 006)...3 ARCH Süreci İzleyen Bir Değişkenin Olabilirlik Fonksiyonu ARCH modelinde kullanılan koşullu varyans ( ), ψ gerçekleşmiş bilgi seine bağlıdır. Bu bilgi sei, dışsal değişkenler ve gecikmeli içsel değişkenler ile bu değişkenin paramereleri olan β veköründen oluşmakadır. Normallik varsayımı alında, koşullu yoğunlukları kullanarak ARCH süreci y ψ ~ N(x β, ) = y x β = (,,..., q, α ) (57) olarak ifade edilir. Burada x β, y nin koşullu oralaması; ise koşullu varyansıdır., en küçük kareler arıklarını; q, ARCH sürecinin sırasını; α ise bilinmeyen paramereler vekörünü emsil emekedir. Varyans fonksiyonu, şimdiki ve gecikmeli değerleri de içerdiğinde daa da genelleşirilerek, = (,..., q, x, x,..., x q, α ) biçiminde yazılabilir. Daa basi olarak, = ( ψ, α ) olur. (57) deki ARCH modeli, yeniden = (,...,, ) ( x x ) q α x,... q (58) şeklinde yazılabilir (Engle, 98). (55) ve (56) da oluşurulan eşiliklerde, ARCH süreci arafından anımlanan y oluşurulmuşur. Bu sürecin özellikleri kolayca E x = E (E x ψ ) arafından belirlenebilir. y nin oralaması ve üm ookovaryansları sıfırdır. Koşulsuz varyansı = E = E şeklindedir ve çoğu fonksiyonu ile α değeri için varyans -den bağımsızdır. Bu koşullar alında zayıf durağandır. σ

39 3 (55) ve (56) ile anımlanan sürecin er gözlemi koşullu olarak normal dağılmakadır faka y vekörü orak olarak normal dağılmamakadır. Ancak orak yoğunluk, üm koşullu dağılımların çarpımı olduğundan log olabilirlik (55) ve (56) nın koşullu normal log olabilirliklerinin oplamıdır. Olabilirlik fonksiyonu, = = T l T l (59) y l log = şeklinde ifade edilebilir. T, örnek büyüklüğü; l, logarimik benzerliğin oralamasını; l,. gözlemin olabilirliğini ifade emekedir (Engle, 98). β x y = olmak üzere, bilinmeyen paramereler olan α ve β ları amin emek için olabilirlik fonksiyonu maksimum yapılmalıdır. β ların en küçük kareler amini uarlıdır, x ve ler korelasyonsuzdur. x ler sabi olduğunda en küçük karelerin sandar aaları doğru esaplanacakır. x ler gecikmeli değişkenler ise, sandar aalar uarlı olmayacakır (Kıran, 006). Maksimize edilecek olabilirlik fonksiyonu için,. sıra koşulu: α α α α + = = y y l = y α (60) Ve Hessianı + = α α α α α α y y l ' ' ' = + α α α α y y ' ' (6)

40 4 olarak ifade edilir (Engle, 98). ψ m veri iken, birinci erimin son çarpanının koşullu bekleneni ve ikinci erimin koşullu bekleneni sıfırdır. Böylece, Hessianın oralamasının beklenen değerinin negaifi olan bilgi marisi, ξ = E ' ' T α α (6) αα şeklinde olur ve ξˆ αα = (63) ' T α α uarlı amin edicidir. karesel ifadelerin q. dereceden lineer fonksiyonu olduğuna göre, (54) nolu denklem genelleşirilerek, = α α (64) 0 + αy p y p şeklinde ifade edilir. z =(, eşiliği y ) ve α ˆ ( α 0, α,..., α p ) y,..., p = olarak anımlanırsa (64) = z α (65) yeniden yazılabilir. Bu durumda gradyan, l = α y z (66) ve bilgi marisinin amini ' ( z ) ξ αα = z (67) T

41 5 şeklinde olur (Engle, 98). ARCH modelinin paramerelerinin amininde olabilirlik fonksiyonu kullanılır...4. ARCH Modeli Fonksiyon Tipleri ARCH (q) modeli, bazı uygulamalarda varyans modelinin diğer olası formülasyonları ile de kullanılabilmekedir. Bu olası formülasyonlardan ikisi, üsel ve mulak değer formlarıdır. ( + α y ) α (70) = exp 0 = 0 + α y α (7) α nın üm değerleri için varyansın poziif olması üsel formun bir avanajıdır. Faka α 0 olan üm değerler için veriler, varyansı sonsuz olan bir modelden oluşurulmaka; böylece aminin gerçekleşirilmesi ve sonuçların çıkarılması güçleşecekir. Mulak formda ise er iki paramerenin poziif olması isenir ve üreilen verilerin varyansının, büün poziif paramereler için sonlu olması olanaklı ale gelmişir (Engle, 98). Üsel ve mulak değer modellerine ilave olarak Geweke(986) ve Panula(986) arafından gelişirilen ve Bayesian bir model olan, logarimik varyans modeli de varyansaki volailieyi ölçmek için kullanılmakadır. ARCH modelinin paramereleri üzerinde, yine negaif olmama kısıı vardır. log ( ) = + α log( ) +... α ( ) α (7) 0 + q log q model α ların üm poziif değerleri için koşullu varyansın poziif olmasını sağlamakadır (Gökçe, 998). ARCH(q) modelinde, nin koşullu varyansı, in gerçekleşmiş değerine bağlıdır. Eğer nin gerçekleşmiş değeri büyük ise, dönemdeki koşullu varyansa büyük olacakır. Bu durumda gözlemler (dolayısıyla birbirlerinden bağımsız olamayacaklardır. Çünkü ler) ookorelasyonsuz olsa da ler ikinci ve daa yüksek momenleri ile ilişkilidir (Karaameoğlu, 006 ). ARCH() sürecinin ilk üç momeni;

42 6 σ m = 0 m = α m = 3 0 olarak göserilir (Bera, Lee, 993). ARCH() süreci için, y nin normal dağılıma( Ω )saip olduğu varsayımı alında, dördüncü momen olarak ifade edilen kurosis i (basıklık) incelediğimizde, E 4 4 ( y Ω ) = [ E( y Ω )] = 3( + α y ) = 3α + 6α α y 3α y α (68) şeklinde elde edilir. Eğer bu koşulsuz dördüncü momen m 4 arafından ifade edilirse, bu ilişkiyi elde emek için koşulsuz beklenen değeri alınır ve 6α α 0 m 4 = 3α α m4 α 4 ( + α ) 3α m = (69) 0 ( α )( 3α ) 4 olarak bulunur. Eğer α 0 ise, bu sonuçan, m 3σ = 3α ( α ) çıkarılabilir ve y 4 0 dördüncü momenine bağımlı olacakır (Davidson, Mackinnon, 004). Dördüncü momenin sonlu olabilmesi için, 3α koşulunun sağlanması gerekmekedir. α olduğunda ise, modelde sonsuz varyans oluşacakır. Varyansın (ikinci momen) sonlu olabilmesi için ise gerekli koşul, α parameresinin 0 α aralığı içinde yer almasıdır...5. ARCH Ekilerinin Belirlenmesine Yönelik Tes Zaman serilerinde ooregresif koşullu değişen varyans ekilerinin bulunup bulunmadığının belirlenmesine yönelik olarak gelişirilen özel es Engle (98) arafından gelişirilmişir. Ancak ARCH, modeli ieraif bir amin süreci olduğu için, modelin ARCH ekisi içerip içermediği aminden önce es edilerek karar verilebilir. ARCH LM esi olarak da bilinen bu es, modelin aa erimlerinde ARCH ekilerinin bulunup bulunmadığını araşıran bir Lagrange Çarpanı (LM) esidir.

43 7 Değişen varyansın özel bir şekli olan ARCH ekilerinin araşırılmasının nedeni, birçok finansal zaman serilerinde gözlemlenen ve imal edilmesi alinde aminlerin ekinliğinin azalmasına neden olan cari aa erimi ile yakın geçmişe ai aa erimlerinin daa önceki dönemlere ai aa erimlerinden daa çok birbiri ile ilişkili olması durumunun dikkae alınması gereğidir (Mazıbaş, 004) ARCH LM Tesi ARCH ekisini espi emede en çok kullanılan es LM esidir. LM esi üreilmesi kolay ve iyi sonuçlar verdiği için erci edilmekedir. Birinci sıra ARCH dağılımının esi, arık kareler arasındaki birinci sıra ookorelasyon sürecine dayanmakadır ve q gecikme içeren duruma kolayca genişleilebilmekedir. Kalınılar üzerindeki ARCH esinin amacı, modeldeki değişen varyans aalarının varlığını es emekir. Sandar aalar, modelde paramereler ile birlike aşağı sapmalı olacakır (Cromwell, Labys, Terraza, 994). LM esi üç adımdan oluşmakadır:. Adım: Seçilen y = β 0 + βy + β y β q y p + zaman serisi modeli en küçük kareler (EKK) yönemiyle amin edilir. Modele ai aalar esaplanarak, aaların kareleri olan ler elde edilir. Haaların kareleri için, p gecikmeli AR(p) modeli kurularak yardımcı regresyon denklemi oluşurulur: α α α... α + u (73) = p p. Adım: (73) nolu yardımcı regresyon denklemi paramerelerine anlamlılık esi uygulanır ve H = α = α =... = α p 0 H = En az biri α 0 i=,,, p a i sıfır ipoezinde ARCH ekisi olmayacak şekilde es ipoezleri oluşurulur. Yardımcı regresyondan bulunan çoklu deerminasyon kasayısı (R ) yardımı ile es isaisiği de, LM= (T-p)R (74)

44 8 olarak bulunur. Burada T, gözlem değeri; p ise gecikme uzunluğudur. 3. Adım: LM isaisiği, boş ipoez alında asimpoik olarak p serbeslik dereceli χ q dağılımına saipir. LM es isaisiği esaplanarak, p serbeslik dereceli χ q dağılımının ablo değeri ile karşılaşırılarak ipoez akkında karar verilir. Eğer, LM= (T-p)R χ q ise H 0 ipoezi reddedilecek ve böylece ookorelasyonlu olduğu anlaşılan en küçük kareler arıklarının kareleri, modelde ARCH ekisinin varlığını oraya çıkaracakır... GARCH Modeli Engle (98) arafından ileri sürülen ARCH sürecinde, koşulsuz varyans ile aa erimlerinin geçmiş değerlerinin bir fonksiyonu olan ve zaman göre değişen koşullu varyans arasındaki fark göserilmişir. ARCH sürecinde koşullu varyans için uzun gecikmeler isenmiş olup, koşullu varyansı negaif yapacak paramere aminlerinden kaçınılmış ve sabi gecikme yapısı erci edilmişir. ARCH modeli ne kadar basi olsa da, genellikle volailie sürecini açıklamak için çok fazla paramereye iiyaç duyar. Uygulamada çok fazla gecikme sayısının negaif paramerelere yol açığı görülmüşür. Bu nedenle Bollerslev (986), em daa fazla geçmiş bilgiye dayanan em de daa esnek bir gecikme yapısına saip olan ARCH modelini genişleerek, Genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modelini önermişir. GARCH modellerinde dönemdeki koşullu varyans yalnız aa erimlerinin geçmiş değerlerine bağlı değil, aynı zamanda geçmişeki koşullu varyanslara da bağlıdır. Haa erimlerinin varyansı, em kendi geçmiş değerlerinden em de koşullu varyans değerlerinden ekilenir. GARCH modelinde, koşullu varyans ARMA sürecine benzer bir şekilde modellenmişir ve bu şekliyle çoğu durumda daa az sayıda paramere içermekedir. Haa karelerinin gecikme uzunluğu q ve ooregresif kısmının gecikme uzunluğu da p ile ifade edildiğinde genel bir GARCH(p, q) modeli elde edilir (Bollerslev, 987).... GARCH Modeli Özellikleri ve Varsayımları Bollerslev arafından, ARCH modeline bir alernaif olarak değil de, ARCH modelinin eksiklerini gidermeyi amaçlayarak gelişirilen GARCH(p,q) modelinde