Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Transkript

1 Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini vermektedir. Fonksiyonun Limiti Tablodaki değerlerin ve f nin Şekilde verilen grafiğinden (bir parabol), x değeri 2 ye yakın olduğunda (er iki yönden de), f(x) in değerini 4 e istediğimiz kadar yakın yapabilmişiz gibi görünmektedir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 1/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 2/ 182 Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Genelde aşağıdaki gösterimi kullanırız. Bunu x, 2 ye yaklaşırken, f(x) = x 2 x+2 fonksiyonunun iti 4 e eşittir diyerek ifade ederiz. Bu ifadenin gösterimi şeklindedir. x 2 (x2 x+2) = 4 Tanım 1: x değerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (er iki yönden de) ancak a dan farklı alarak, f(x) değerini L sayısına istediğimiz kadar yaklaştırabiliyorsak, x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) in iti L dir der ve yazarız. f(x) = L Kabaca bu, x değişkeni, a sayısına x a olacak şekilde (er iki yönden) yaklaşırken, f(x) değerinin giderek L sayısına daa yakın değerler alması anlamına gelir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 3/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 4/ 182

2 Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti iti için diğer bir gösterim şekli f(x) = L x a iken f(x) L dir ve x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) değerleri L ye yaklaşır şeklinde okunur. Limit tanımındaki x a ifadesine dikkat ediniz. Bu, x değişkeni a sayısına yaklaşırken f(x) in itini bulmak için, x = a değerini iç düşünmediğimiz anlamına gelir. Aslında f(x) fonksiyonu, x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir. Önemli olan, yalnızca f(x) fonksiyonunun a nın yakınında nasıl tanımlandığıdır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 5/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 6/ 182 Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Şekil 1: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 7/ 182 Şekil 2: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 8/ 182

3 Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Şekillerde üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. (3) de f(a) tanımlı değildir ve (2) de f(a) L dir. Ancak tüm durumlarda, a da ne olduğundan bağımsız olarak f(x) = L dir. Şekil 3: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 9/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 10/ 182 : x 0 sinx x itini bulunuz. Çözüm: Yine f(x) = sinx/x fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlı değildir. Bir esap makinesi kullanarak (ve x R için sinx in radyan ölçümü x olan açının sinüsü olduğunu anımsayarak), virgülden sonra sekizinci basamağa kadar doğru olan değerlerle yandaki tabloyu oluştururuz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 11/ 182 Şekil 4: Tablodan ve Şekil 4 daki grafikten sinx x 0 x = 1 olduğunu tamin ederiz. Bu tamin gerçekten de doğrudur ve bunu ileride geometrik bir akıl yürütmeyle kanıtlayacağız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 12/ 182

4 : x 0 sin π x itini bulunuz. Çözüm: Burada da f(x) = sin( π x ) fonksiyonu sıfır noktasında tanımlı değildir.bazı küçük x değerleri için fonksiyonun değerlerini esaplarsak f(1) = sinπ = 0 f( 1 2 ) = sin2π = 0 Bu bilgiler ışığında sin π x 0 x = 0 taminini yapmak çekici gelsede, bu kez tamin doğru değildir. Her n tamsayısı için f(1/n) = sinnπ = 0 olmasına rağmen, x in sıfıra yaklaşan sonsuz tane değeri için f(x) = 1 olduğu da doğrudur. f( 1 3 ) = sin3π = 0 f(1 4 ) = sin4π = 0 f(0.1) = sin10π = 0 f(0.01) = sin100π = 0 elde ederiz. Benzer biçimde f(0.001) = f(0.0001) = 0 olur. (1) [Aslında, π x = π 2 +2nπ olduğu zaman, sin(π/x) = 1 dir ve buradan x i çözerek x = 2/(4n+1) buluruz.] Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 13/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 14/ 182 f nin grafiği şekil 5 de verilmiştir. x sıfıra yaklaşırken f(x) değerleri belli bir sayıya yaklaşmadığından iti yoktur. x 0 sin π x Şekil 5: Grafikteki kesik çizgiler, x sıfıra yaklaşırken sin(π/x) değerlerinin 1 ile 1 arasında sonsuz kez gidip geldiğine işaret etmektedir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 15/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 16/ 182

5 : itini (varsa) bulunuz. x2 x 0 1 Çözüm: x değişkeni 0 a yakın olduğunda, x 2 de 0 a yakın olur, ve 1/x 2 çok büyük olur. Şekil 6: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 17/ 182 Aslında, Şekil 6 de gösterilen f(x) = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğinden, x değerleri 0 a yeteri kadar yakın alınarak, f(x) in değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği görülmektedir. Bu nedenle f(x) in değerleri erangi bir sayıya yaklaşmaz ve dolayısıyla iti yoktur. x2 x 0 1 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 18/ 182 : Heaviside fonksiyonu H, { 0, t < 0 H(t) = 1, t 0 olarak tanımlanır. [Bu fonksiyon adını elektrik müendisi Oliver Heaviside( ) den almıştır ve t = 0 anında şalteri indirilen devredeki elektrik akımını ifade etmek için kullanılabilir.] Grafiği Şekil 7 de verilmiştir. t değişkeni 0 a soldan sağdan yaklaştığında H(t), 0 a yaklaşır. t, 0 a sağdan yaklaştığında, H(t) bu kez 1 e yaklaşır. Bu nedenle t sıfıra yaklaşırken, H(t) nin yaklaştığı tek bir değer olmadığından x 0 H(t) yoktur. Şekil 7: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 19/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 20/ 182

6 Tek Yönlü Limitler Tek Yönlü Limitler Bir önceki örnekte H(t) değerinin, t, 0 a sağdan yaklaşırken 0 a, t nin 0 a soldan yaklaşması durumunda 1 e yaklaştığını gözledik. Bunu simgesel olarak = 0 ve t 0 H(t) t 0 +H(t) = 1 ile gösteririz. t 0 sembolü t nin yalnızca 0 dan küçük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Aynı şekilde t 0 +, t nin yalnızca 0 dan büyük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Tanım 2: x değişkeni a dan küçük olacak şekilde a ya yeterince yakın yakın alınarak, f(x) değerleri L sayısına istenildiği kadar yakın yapılabiliyorsa, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in soldan iti [veya x değişkeni a ya soldan yaklaşırken f(x) in iti] L dir deriz ve f(x) = L yazarız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 21/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 22/ 182 Tek Yönlü Limitler Tek Yönlü Limitler Tanım 2 nin Tanım 1 den tek farkının, x değişkeninin a dan küçük olması koşulu olduğuna dikkat ediniz. Benzer biçimde, x değişkeninin a dan büyük olması koşulunu getirirsek, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in sağdan iti L dir denir ve +f(x) = L yazarız. Dolayısıyla, x a + sembolü, yalnızca x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına gelir. Bu tanımlar Şekil 8 da örneklenmiştir. Şekil 8: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 23/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 24/ 182

7 Tek Yönlü Limitler : Bir g fonksiyonunun grafiği Şekil 9 da verilmiştir. Bunu kullanarak (eğer varsa) aşağıdaki itlerin değerini bulunuz. Tanım 1 ile tek yönlü itlerin tanımlarını karşılaştırırsak, aşağıdakinin doğru olduğunu görürüz. olması için yeterli ve gerekli koşul f(x) = L = L ve = L dir. +f(x) f(x) a) x 2 g(x) b) x 2 +g(x) c) x 2 g(x) d) x 5 g(x) Şekil 9: e) x 5 +g(x) f) x 5 g(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 25/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 26/ 182 Çözüm: c) Sağ ve sol itler farklı olduğu için, x 2 g(x) olmadığı sonucuna varırız. Grafikten x değişkeni 2 ye soldan yaklaşırken, g(x) in 3 e yaklaştığını, buna karşılık x değişkeni 2 ye sağdan yaklaşırken g(x) in 1 e yaklaştığını görürüz. Dolayısıyla a) = 3 ve b) = 1 olur. x 2 g(x) +g(x) x 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 27/ 182 Grafikten ayrıca olduğu görülmektedir. d) = 2 ve e) x 5 g(x) x 5 +g(x) = 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 28/ 182

8 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Limit Kuralları: c sabit bir sayı ve f) Bu kez sağ ve sol itler aynıdır ve dolayısıyla, g(x) = 2 x 2 elde ederiz. Buna rağmen g(5) 2 dir. itleri varsa, f(x) ve g(x) 1. [f(x)+g(x)] = f(x)+ g(x) 2. [f(x) g(x)] = f(x) g(x) 3. [c.f(x)] = c. f(x) 4. [f(x).g(x)] = f(x). g(x) f(x) f(x) 5. Eğer; g(x) 0 ise g(x) = dir. g(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 29/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 182 : Limit kurallarını ve f ile g nin Şekil 10 de verilen grafiklerini kullanarak (varsa) aşağıdaki itleri bulunuz. Çözüm: a) x 2 [f(x)+5g(x)] b) x 1 [f(x)g(x)] Şekil 10: c) x 2 f(x) g(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 31/ 182 a) f ve g nin grafiklerinden olduğunu görüyoruz. f(x) = 1 ve g(x) = 1 x 2 x 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 32/ 182

9 Dolayısıyla [f(x)+5g(x)] = f(x)+ [5g(x)] Kural 1 ile x 2 x 2 x 2 = f(x)+5 g(x) Kural 3 ile x 2 x 2 = 1+5( 1) = 4 dür. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 33/ 182 b) f(x) = 2 olduğunu görüyoruz. Ancak g(x) iti yoktur x 1 x 1 çünkü sağ ve sol itler farklıdır: x 1 = 2 = 1 g(x) +g(x) x 1 Dolayısıyla Kural 4 ü kullanamayız. Sol it sağ ite eşit olmadığı için, verilen it yoktur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 34/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak 6. n pozitif tamsayı olduğunda [f(x)] n = [ f(x)] n dir. 7. c = c 8. x = a c) Grafik yardımı ile f(x) 1.4 ve g(x) = 0 x 2 x 2 buluruz. Ancak bölenin iti 0 olduğundan, Kural 5 i kullanamayız. Pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırken, payda 0 a yaklaştığından iti yoktur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 35/ n pozitif tamsayı olmak üzere x n = a n dir. 10. n pozitif tamsayı olmak üzere n x = n a dır. (n çift ise, a > 0 varsayarız.) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 36/ 182

10 : Her adımı açıklayarak, aşağıdaki iti bulunuz. Çözüm: x 5 (2x2 3x+4) x 5 (2x2 3x+4) = (2x 2 ) (3x)+ 4 (kural 1 ve 2) x 5 x 5 x 5 = 2 x 5 x 2 3 x 5 x+ x 5 4 (kural 3) = 2(5 2 ) 3(5)+4 (kural 7, 8 ve 9) = 39 Ancak aşağıdaki örneklerin sergilediği gibi, doğrudan yerine koyma yöntemi ile tüm it değerleri bulunamaz. : x 1 x 2 1 x 1 itini bulunuz. Çözüm: f(x) = (x 2 1)/(x 1) olsun. f(1) değeri tanımlı olmadığı için iti x = 1 koyarak bulamayız. Paydanın iti 0 olduğu için Bölüm kuralını da kullanamayız. Bunun yerine cebir bilgimizi kullanmalıyız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 37/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 38/ 182 x 2 1 x 1 = (x 1)(x+1) x 1 olarak çarpanlara ayıralım. Buradan x 1 in pay ve paydanın ortak çarpanı olduğunu görürüz. x değişkeni 1 e giderken it alındığında x 1 olduğundan x 1 0 dır. Dolayısı ile sadeleştirme yapabiliriz. Böylece iti olarak buluruz. x 2 1 x 1 x 1 = x 1 (x 1)(x+1) x 1 = x 1 (x+1) = 1+1 = 2 : (3+) 2 9 itini bulunuz. Çözüm: F() = (3+)2 9 olarak tanımlayalım. F(0) tanımlı olmadığından, F() itini = 0 değerini yerine koyarak esaplayamayız. Fakat F() yi cebirsel olarak sadeleştirirsek, F() = (2 +6+9) 9 = 2 +6 = 6+ buluruz. ( değişkeni 0 a yaklaşırken, yalnızca 0 değerlerini düşündüğümüzü atırlayınız.) Dolayısıyla olur. (3+) 2 9 = (6+) = 6 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 39/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 40/ 182

11 : t 0 t t 2 itini bulunuz. Çözüm: Paydanın iti 0 olduğundan Bölüm kuralını doğrudan kullanamayız. Buradaki cebirsel işlem, paydadaki kare kökten kurtulmaktır: t 0 t t 2 = t 0 t t t t = t 0 (t 2 +9) 9 t 2 ( t ) = t 0 t 2 t 2 ( t ) 1 = t 0 t = 1 (t 2 +9)+3 t 0 = = 1 6 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 41/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Bazı itleri almak için en iyi yöntem önce sağ ve sol itleri almaktır. Aşağıdaki teorem itin varlığı için yeterli ve gerek koşulun sağ ve sol itlerin varlığı ve eşitliği olduğunu ifade etmektedir. Teorem: f(x) = L için gerekli ve yeterli koşul = L = dir. +f(x) f(x) Tek yönlü (sağ ve sol) itleri alırken Limit Kurallarının bu tür itler için de geçerli olduğu gerçeğini kullanırız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 42/ 182 x < 0 için x = x dir ve dolayısıyla : x 0 x = 0 olduğunu gösteriniz. = x 0 x x 0 ( x) = 0 Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun { x, x 0 x = x, x < 0 olarak tanımlandığını atırlayınız. 0 < x için x = x olduğundan, dir. Teorem gereğince x = 0 x 0 elde ederiz. = x 0 + x x 0 +x = 0 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 43/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 44/ 182

12 x : x 0 x itinin olmadığını kanıtlayınız. Çözüm: x x 0 + x = x x 0 + x = x 0 +1 = 1 x x 0 x = x x 0 x = = 1 x 0 ( 1) Sağ ve sol itler farklı olduklarından, Teorem gereğince aranılan it yoktur. f(x) = x /x fonksiyonunun grafiği Şekil 4 de verilmiştir ve yanıtımızı desteklemektedir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 45/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 46/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Teorem : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için f(x) g(x) ise ve x değişkeni, a ya yaklaşırken f(x) ve g(x) in itleri varsa olur. f(x) g(x) Sıkıştırma Teoremi : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için ve f(x) g(x) (x) f(x) = (x) = L ise g(x) = L dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 47/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 48/ 182

13 Sıkıştırma Teoremi Kimi zaman Sandviç Teoremi olarak da anılan Sıkıştırma Teoreminin anlamı Şekil 11 da açıklanmıştır. : x 0 x 2 sin 1 x =? Çözüm : Önce, x 0 sin 1 x iti olmadığından, Şekil 11: x 0 x2 sin 1 x = x 0 x2 x 0 sin 1 x eşitliğini kullanamayacağımıza dikkat edin. Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f(x) ve (x) arasında sıkışmışsa, ve a sayısında f ve fonksiyonlarının itleri var ve L ye eşitse, zorunlu olarak g fonksiyonunun da a daki itinin L olduğunu söyler. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 49/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 50/ 182 Bununla birlikte, 1 sin 1 x 1 olduğundan, Şekil 12 de gösterildiği gibi x 2 x 2 sin 1 x x2 elde ederiz. x 0 x2 = 0 ve ( x 2 ) = 0 olduğunu biliyoruz. x 0 Sıkıştırma teoreminde f(x) = x 2, g(x) = x 2 sin 1 x ve (x) = x2 alarak buluruz. x 0 x2 sin 1 x = 0 Şekil 12: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 51/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 52/ 182

14 Süreklilik Süreklilik Bazı örneklerde x değişkeni a ya yaklaşırken f fonksiyonunun itinin fonksiyonun a noktasındaki değeri olarak esaplanabildiğini fark etmiştik. Bu özelliğe saip fonksiyonlara a noktasında süreklidir denir. Sürekliliğin matematiksel tanımının, bu keenin günlük anlamına oldukça yakın olduğunu ileride göreceğiz. (Sürekli bir olay, kesintiye ve ani değişikliğe uğramadan devam eder.) Tanım: f fonksiyonun a sayısındaki sürekliğiği eşitliğini sağlamasıdır. f(x) = f(a) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 53/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 54/ 182 Süreklilik Süreklilik a noktasında sürekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasında süreksizdir denir. Tanıma göre, açıkça belirtilmemiş olsa da, bir fonksiyonun a noktasındaki sürekliliği üç koşulun sağlanmasını gerektirmektedir: 1. f(a) tanımlıdır (a sayısı f nin tanım kümesindedir). 2. f(x) iti vardır. 3. f(x) = f(a) dır. Tanım, f nin a noktasına yaklaşırken, f(x) in f(a) değerine yaklaşması olarak ifade eder. Dolayısıyla sürekli fonksiyonların, değişken x deki küçük bir değişikliğin, f(x) de de küçük bir değişikliği gerekli kılma özelliği vardır. Aslında x deki değişikliği yeterince küçük tutarak, f(x) deki değişim istenildiği kadar küçük tutulabilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 55/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 56/ 182

15 Süreklilik Geometrik olarak, bir aralıktaki er noktada sürekli olan bir fonksiyonu, grafiği kesintisiz bir fonksiyon olarak düşünebilirsiniz. Bu, kalemle grafiği takip ettiğinizde, kalemi kaldırmadan grafiği izleyebilmeniz demektir. : Grafiği Şekil?? de verilen fonksiyonun sürekli olmadığı noktaları bularak, nedenlerini açıklayınız. Şekil 13: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 57/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 58/ 182 Çözüm : a = 1 noktasında fonksiyonun grafiğinde bir kesinti olduğundan, fonksiyon bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu matematiksel olarak, f(1) değeri tanımsız olduğundan fonksiyonun 1 noktasında süreksiz olduğu şeklinde açıklarız. Grafik a = 3 noktasında da kesintiye uğramaktadır. Ancak, buradaki süreksizliğin nedeni farklıdır. Burada f(3) tanımlıdır. Ancak, sağ ve sol itler farklı olduklarından x 3 f(x) iti yoktur ve bundan dolayı f, 3 noktasında sürekli değildir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 59/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 60/ 182

16 a = 5 noktası fonksiyon için nasıl bir noktadır? Bu noktada f(5) tanımlıdır ve f(x) iti vardır (sağ ve sol itler eşittir). x 5 Ancak f(x) f(5) x 5 olduğundan, f fonksiyonu 5 noktasında sürekli değildir. : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olmadığı noktaları bulunuz. 1 (a) f(x) = x2 x 2 (b) f(x) = x 2, x 0 x 2 1, x = 0 x 2 x 2, x 2 (c) f(x) = x 2 (d) f(x) = [ x ] 1, x = 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 61/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 62/ 182 Çözüm : (a) f(x) = x2 x 2 x 2 f(2) tanımlı olmadığından, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. (b) f(x) = 1 x 2, x 0 1, x = 0 Burada f(0) = 1 tanımlıdır. Ancak 1 f(x) = x 0 x 0 x 2 it yoktur. Bu nedenle, f fonksiyonu 0 noktasında sürekili değildir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 63/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 64/ 182

17 x 2 x 2, x 2 (c) f(x) = x 2 1, x = 2 Bu örnekte f(2) = 1 tanımlıdır ve x 2 x 2 (x 2)(x+1) f(x) = = = (x+1) = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (d) Tam değer fonksiyonu f(x) = [ x ] tam sayılarda süreksizdir çünkü n bir tam sayı ise, x n [ x ] iti yoktur. vardır. f(x) f(2) x 2 olduğundan, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 65/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 66/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 67/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 68/ 182

18 Süreksizlik Çeşitleri Sağdan/Soldan Süreklilik Şekillerde, örnekte çalışılan fonksiyonların grafiklerini vermektedir. lerin tümünde grafik bir kalem ile izlenirse, var olan bir delik veya kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafiğin çizilmesi olası değildir. (a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler denir. Çünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden tanımlayarak süreksizliği giderebiliriz. [g(x) = x + 1 fonksiyonu süreklidir.] (b) deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir. (d) deki süreksizlik türüne ise, fonksiyon bir değerden diğerine sıçradığından, sıçrama tipi süreksizlik adı verilir. f fonksiyonunun a da sağdan sürekli olması = f(a) +f(x) eşitliğini sağlaması; a da soldan sürekli olması ise = f(a) f(x) eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır. Bir aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyona o aralıkta süreklidir denir. (Fonksiyon, aralığın uç noktalarının yalnızca bir tarafında tanımlanmış ise bu noktalarda süreklilik, sağdan veya soldan süreklilik anlamındadır.) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 69/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 70/ 182 Süreklilik Süreklilik Teorem : c bir sabit, f ve g fonksiyonları a sayısında sürekli fonksiyonlarsa, aşağıdaki fonksiyonlar da a noktasında süreklidir: 1. f +g 2. f g 3. cf 4. fg 5. f, g(a) 0 ise g Teorem : (a) Her polinom gerçel sayıların tümünde, R = (, ) da süreklidir. (b) Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım kümesinde süreklidir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 71/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 72/ 182

19 Süreklilik Bu teoremin bir uygulaması olarak, bir kürenin acminin, yarıçapına göre sürekli bir biçimde değiştiğini söyleyebiliriz. Bunun nedeni V(r) = 4 3 πr3 ün yarıçap r nin bir polinomu olmasıdır. Benzer biçimde, dik olarak 50 ft/sn ızla avaya fırlatılan bir topun t saniye sonraki yüksekliğini veren = 50t 16t 2 fonksiyonu da, polinom olduğundan, süreklidir. Dolayısıyla topun yüksekliği zamana göre sürekli bir biçimde değişir. x 3 +2x 2 1 : x 2 5 3x itini bulunuz.. Çözüm : f(x) = x3 +2x 2 1 fonksiyonu rasyonel bir 5 3x fonksiyondur ve teorem gereğince, tanım kümesi olan {x R x 5 3 } kümesinde süreklidir. Bu nedenle x 3 +2x 2 1 x 2 5 3x = f(x) = f( 2) x 2 = ( 2)3 +2( 2) ( 2) = 1 11 dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 73/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 74/ 182 Süreklilik f 1 fonksiyonunun grafiği f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması olduğundan, f sürekli bir fonksiyonsa, f 1 fonksiyonu da süreklidir. (f fonksiyonunun grafiğinde kesinti yoksa, y = x doğrusuna göre yansımasında da kesinti yoktur.) Teorem : Aşağıdaki fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli fonksiyonlardır: Polinomlar Rasyonel fonksiyonlar Trigonometrik fonksiyonlar Ters trigonometrik fonksiyonlar Üstel fonksiyonlar Logaritmik fonksiyonlar Kök fonksiyonları Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 75/ 182 sinx : x π 2+cosx itini bulunuz. Çözüm : y = sin x fonksiyonu, teoremden dolayı süreklidir. Paydadaki y = 2+cosx fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun toplamı olduğundan, süreklidir. Bu fonksiyon iç bir zaman 0 değildir çünkü er x için cosx 1 olduğundan, er yerde 2+cosx > 0 dır. Böylece, f(x) = sinx 2+cosx fonksiyonu er yerde süreklidir. Dolayısıyla, sürekli fonksiyonun tanımından, olur. x π sinx 2+cosx = sinπ f(x) = f(π) = x π 2+cosπ = = 0 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 76/ 182

20 Süreklilik Teorem : f fonksiyonu b de sürekli ve g(x) = b ise, dir. Başka bir deyişle, dir. f(g(x)) = f(b) ( ) f(g(x)) = f g(x) ( ) 1 x : arcsin itini bulunuz. x 1 1 x Çözüm : arcsin sürekli bir fonksiyon olduğundan, teoremi uygulayabiliriz: ( ) ( 1 x arcsin 1 ) x = arcsin x 1 1 x x 1 1 x ( 1 ) x = arcsin x 1 (1 x)(1+ x) ( ) 1 = arcsin x 1 1+ x = arcsin 1 2 = π 6 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 77/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 78/ 182 Süreklilik : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu yerleri bulunuz: Teorem : g fonksiyonu a da, f fonsiyonu da g(a) sürekli ise, (f g)(x) = f(g(x)) olarak verilen f g bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir. (a) (x) = sin(x 2 ) (b) F(x) = ln(1+cosx) Çözüm : (a) g(x) = x 2 ve f(x) = sinx olmak üzere (x) = f(g(x)) dir. Bir polinom olduğu için, g fonksiyonu R de süreklidir. f fonksiyonu da er yerde süreklidir. Böylece, teoremden, = f g fonksiyonu R de süreklidir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 79/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 80/ 182

21 Dolayısıyla, cosx = 1 olduğu zaman tanımlı değildir, ve bu durum x = ±π,±3π,... olduğunda gerçekleşir. (b) Teoremden, f(x) = lnx ve (y = 1 ve y = cosx er yerde sürekli olduklarından) g(x) = 1 + cos x süreklidir. Böylece, F fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu değerlerin arasındaki aralıklarda süreklidir. Dolayısıyla, teoremden, F(x) = f(g(x)) fonksiyonu tanımlı olduğu er yerde süreklidir. ln(1+cosx) fonksiyonunun tanımlı olması için 1+cosx > 0 olmalıdır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 81/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 82/ 182 Süreklilik Süreklilik Ara Değer Teoremi : f fonksiyonu kapalı [a, b] aralığında sürekli, N sayısı f(a) ile f(b) arasında erangi bir sayı olsun. (a,b) aralığında, f(c) = N eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. Şekil 14: Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun f(a) ile f(b) arasındaki er değeri aldığını söyler. Bu özellik, Şekil 14 de gösterilmiştir. N değeri [(a) da olduğu gibi] bir kez veya [(b) de olduğu gibi] bir kaç kez alınabilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 83/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 84/ 182

22 Ara değer teoreminin bir uygulaması, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, denklemlerin köklerinin yerlerinin belirlenmesidir. : 4x 3 6x 2 +3x 2 = 0 denkleminin 1 ile 2 arasında bir kökü olduğunu gösteriniz. Çözüm : f(x) = 4x 3 6x 2 +3x 2 olsun. Verilen denklemin bir çözümünü, diğer bir deyişle, 1 ile 2 arasında f(c) = 0 olacak şekilde bir c sayısı arıyoruz. Dolayısıyla, teoremde a = 1, b = 2 ve N = 0 alalım. ve f(1) = = 1 < 0 f(2) = = 12 > 0 ve böylelikle f(1) < 0 < f(2) elde ederiz. Bu, N = 0 sayısının f(1) ile f(2) arasında olduğunu verir. f fonksiyonu bir polinom olduğundan er yerde süreklidir. Dolayısıyla, ara değer teoremi ile 1 ve 2 arasındaki bir c sayısı için f(c) = 0 olmalıdır. Bu da verilen denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü olması demektir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 85/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 86/ 182 Sonsuz Limitler Sonsuzluk İçeren Limitler y = 1/x 2 fonksiyonunun değerler tablosunu ve şekildeki grafiğini inceleyerek 1 x 0 x 2 itinin olmadığı, ve x i 0 a yeterince yakın alarak, 1/x 2 değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği sonucuna varmıştık. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 87/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 88/ 182

23 Sonsuz Limitler Sonsuz Limitler Dolayısıyla f(x) in değerleri sonlu bir sayıya yaklaşmaz ve x 0 (1/x2 ) iti yoktur. Bu tür davranışı betimlemek için gösterimini kullanırız. x 0 1 x 2 = Bu işaretini bir sayı olarak düşündüğümüz anlamına gelmediği gibi, itin var olduğu anlamına da gelmez. Bu yalnızca itin olmamasının nedeninin ifadesidir: x değişkeni 0 a yeterince yakın alınarak, 1/x 2 istenildiği kadar büyütülebilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 89/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 90/ 182 Sonsuz Limitler Sonsuz Limitler Genellikle, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in değerlerinin giderek büyüdüğünü (veya sınırsız olarak arttığını ) göstermek için, simgesel olarak f(x) = yazarız. f(x) = gösterimi, x değişkeni a ya yeterince yakın (sağından veya solundan) ama a dan farklı alınarak, f(x) değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabilineceği anlamına gelir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 91/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 92/ 182

24 Sonsuz Limitler Sonsuz Limitler f(x) = gösterimi x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in iti eksi sonsuz ya da x değişkeni a ya yaklaşırken, f(x) sınırsız olarak azalır olarak okunabilir. olarak verilebilir. ( 1x ) x 0 2 = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 93/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 94/ 182 Sonsuz Limitler Sonsuz Limitler Benzer tanımlar x a gösteriminin yalnız a dan küçük x değerlerini ve benzer biçimde x a + gösteriminin yalnız x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına geldiği anımsanarak tek yönlü itler için de verilebilir. f(x) = +f(x) = = = f(x) +f(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 95/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 96/ 182

25 Sonsuz Limitler Düşey Asimptot Tanım : Aşağıdakilerin en az birinin doğru olması durumunda, x = a doğrusuna, y = f(x) eğrisinin düşey asimptotu denir. f(x) = f(x) = f(x) = = f(x) +f(x) = = +f(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 97/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 98/ 182 2x : x 3 + x 3 ve x 3 2x x 3 itlerini bulunuz. Çözüm : x in değeri, 3 ten büyük ve 3 e yakın ise, payda x 3 küçük ve pozitif bir sayı ve pay 2x de 6 ya yakın olacağından, 2x/(x 3) oranı büyük bir pozitif sayı olacaktır. Buradan sezgisel olarak olduğunu görürüz. x 3 + 2x x 3 = Benzer biçimde, x in 3 ten küçük ve 3 e yakın değerleri için x 3 negatif ve küçük bir sayıdır, ama 2x yine pozitif bir sayıdır(6 ya yakın). Dolayısıyla 2x/(x 3) sayısal değeri büyük negatif bir sayı olur. Böylece elde ederiz. y = 2x/(x 3) eğrisinin grafiği şekilde verilmiştir. x = 3 düşey bir asimptotdur. x 3 2x x 3 = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 99/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 100/ 182

26 Düşey Asimptot Tanıdık y = tanx ve y = lnx fonksiyonlarının grafiklerinde de düşey asimptotlar vardır. Düşey Asimptot Şekilden = + x (π/2) tanx olduğu görülür. Aslında, n tamsayı olmak üzere x = (2n+1)π/2 doğrularının erbiri y = tan x eğrisinin düşey asimptotudur. Grafiğe bakarak = x 0 +lnx olduğunu görürüz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 101/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 102/ 182 Sonsuzdaki Limitler Sonsuzdaki Limitler f fonksiyonu (0, ) aralığında tanımlı olsun. f(x) = L x Tanımın geometrik açıklaması şekillerde verilmiştir. Bir f fonksiyonunun (yatay asimptot denilen) y = L doğrusuna yaklaşmasının bir çok yolu olduğuna dikkat ediniz. ifadesi, x in değeri yeterince büyük seçilerek, f(x) değerinin L ye istenildiği kadar yakın yapılabileceği anlamını taşır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 103/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 104/ 182

27 Sonsuzdaki Limitler : f(x) = x2 1 x 2 +1 Şekil 15 e dönersek, x in sayısal olarak büyük negatif değerleri için f(x) değerlerinin 1 e yaklaştığını görürüz. x i negatif sayılardan sınırsız olarak küçülterek, f(x) değerini 1 e istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Bu, Şekil 15: x 2 1 x x 2 +1 = 1 olarak ifade edilir. x 2 1 x x 2 +1 = 1 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 105/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 106/ 182 Sonsuzdaki Limitler Sonsuzdaki Limitler Genel olarak, Şekil 16 da görüldüğü gibi, f(x) = L x gösterimi, x negatif sayılardan yeteri kadar küçülterek, f(x) değerlerinin L saysına istenildiği kadar yakın yapılabileceğini ifade eder. Burada da bir sayı değildir, ancak sıklıkla x f(x) = L ifadesi, x eksi sonsuza giderken, f(x) in iti L dir olarak okunur. Tanım : Eğer f(x) = L veya f(x) = L ise, y = L doğrusuna x x y = f(x) eğrisinin yatay asimptotu denir. Şekil 16: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 107/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 108/ 182

28 Sonsuzdaki Limitler Örneğin, x 2 1 x x 2 +1 = 1 olduğundan y = 1 doğrusu, Şekil 15 deki eğrinin yatay asimptotudur. İki yatay asimptotu olan bir eğri örneği y = tan 1 x dir. x tan 1 x = π 2 x tan 1 x = π 2 olduğundan, y = π/2 ve y = π/2 doğrularının er ikisi de yatay asimptotlardır. (Bu, x = ±π/2 doğrularının tanjant eğrisi grafiğinin düşey asimptotu olanlarındandır.) (2) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 109/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 110/ : x x 1 ve x x itlerini bulunuz. Çözüm : x büyükken 1/x in küçük olduğunu gözlemleyiniz. Örneğin, = 0, = 0, = 0, dir. Gerçekten x i yeterince büyük seçerek 1/x i 0 a istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Tanım gereğince Benzer şekilde x in negatif büyük değerleri için 1/x negatif ve küçük olur. Böylece 1 x x = 0 buluruz. Buradan, y = 0 doğrusunun (x-ekseni) y = 1/x eğrisi için yatay asimptot olduğu sonucuna ulaşırız.(eğri şekilde verilen iperboldür.) elde ederiz. 1 x x = 0 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 111/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 112/ 182

29 Sonsuzdaki Limitler Daa önce verilen Limit Kuralları nın çoğu sonsuzdaki itlerde de geçerlidir. Verilen Limit Kuralları nın (Kural 9 ve 10 dışında) x a yerine x veya x konduğunda da geçerli olduğu kanıtlanabilir. Özel olarak, n pozitif bir tamsayı olmak üzere x 1 = 0, xn x 1 x n = 0 dır. 3x 2 x 2 : x 5x 2 +4x+1 itini bulunuz. Çözüm : Kesirli bir fonksiyonun sonsuzdaki itini bulmak için önce pay ve paydayı, paydadaki x in en büyük kuvvetine böleriz. (Yalnızca x in büyük değerleri ile ilgilendiğimizden, x 0 varsayabiliriz.) Bu örnekte paydadaki x in en büyük kuvveti x 2 olduğundan it kurallarından x 3x 2 x 2 5x 2 +4x+1 = x 3x 2 x 2 x 2 5x 2 +4x+1 x x = 2 x 2 x 5+ 4 x + 1 x 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 113/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 114/ 182 Şekilde verilen kesirli fonksiyonun y = 3/5 yatay asimptotuna yaklaşmasını göstererk bu esaplamaların sonucunu sergilemektedir. = = (3 1 x x 2 ) x 2 (5+ 4 x x + 1 ) x x x x 2 x 5+4 x 1 x x x 1 x 2 1 = = 3 5 x 2 buluruz. Benzer bir esaplama x iken alınan itin yine 3/5 olduğunu verir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 115/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 116/ 182

30 y = 0 (x-ekseni), y = e x doğal üstel fonksiyonunun grafiği için yatay bir asimptottur. x ex = 0. (3) : x 0 e1/x itini bulunuz. Çözüm : t = 1/x değişkeni için, x 0 iken t olduğunu biliyoruz. Böylece (3) den olur. x 0 e1/x = t et = 0 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 117/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 118/ 182 Sonsuzdaki Sonsuz Limitler : sinx itini bulunuz. x Çözüm : x artarken, sinx değerleri 1 ile 1 arasında sonsuz kez salınır. Bu nedenle sinx iti yoktur. x = x gösterimi, x büyürken f(x) değerlerinin de büyüdüğünü ifade eder. Aşağıdaki gösterimlerin de anlamları benzerdir: = = x x = x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 119/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 120/ 182

31 Sonsuzdaki Sonsuz Limitler Sonsuzdaki Sonsuz Limitler x iken y = e x, y = x 3 den çok daa ızlı büyümektedir. x ex = x x3 = x x3 = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 121/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 122/ 182 : x (x2 x) itini bulunuz. Çözüm : x (x2 x) = x x2 x = x yazılamayacağına dikkat ediniz. Limit Kuralları bir sayı olmadığından sonsuz itlerde kullanılmazlar. ( tanımlanamaz.) Ancak em x em de x 1 sınırsız olarak büyüdüğünden x (x2 x) = x(x 1) = x x 2 +x : x 3 x itini bulunuz. Çözüm : Pay ve paydayı(paydadaki polinomun en yüksek kuvveti olan) x ile bölerek, x iken x+1 ve 3/x 1 1 olduğundan, buluruz. x 2 +x x 3 x = x+1 x 3 = x 1 yazabiliriz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 123/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 124/ 182

32 Teğetler Bir C eğrisi, y = f(x) denklemi ile verilmiş olsun. C eğrisinin P(a, f(a)) noktasındaki teğetini bulmak istersek, P nin yakınındaki x a, koşulunu sağlayan bir Q(x,f(x)) noktasını alarak PQ kiriş doğrusunun eğimini esaplarız: Teğetler, Hızlar ve Diğer Değişim Hızları m PQ = f(x) f(a) x a Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 125/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 126/ 182 Teğetler Teğet Doğrusu x değeri a ya yaklaştıkça, Q noktası da eğri üzerinden P noktasına yaklaşacaktır. Eğer m PQ bir m sayısına yaklaşırsa, t teğetini P den geçen ve eğimi m olan doğru olarak tanımlarız. (BU, teğet doğrusunun, Q noktası ve P ye yaklaşırken P Q kiriş doğrularının it durumu olduğunu söylemek demektir.) Tanım : Eğer aşağıdaki it varsa, y = f(x) eğrisinin P(a,f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, P(a, f(a)) noktasından geçen ve eğimi f(x) f(a) m = x a olan doğrudur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 127/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 128/ 182

33 Teğet Doğrusu : y = x 2 parabolünün P(1,1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm : a = 1 ve f(x) = x 2 olduğundan, eğim f(x) f(1) x 2 1 m = = x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x+1) = x 1 x 1 = (x+1) = 1+1 = 2 x 1 Bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin eğimini, eğrinin o noktadaki eğimi olarak da adlandırırız. Bunun ardındaki fikir, eğrinin üzerindeki noktaya yeterince odaklanıldığında eğrinin adeta bir doğru gibi görünmesidir. dir. Doğru denkleminin nokta-eğim biçimini kullanarak, (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin y 1 = 2(x 1) ya da y = 2x 1 olduğunu buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 129/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 130/ 182 Teğet Doğrusu Teğet Doğrusu Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 131/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 132/ 182

34 Teğet Doğrusu Teğet Doğrusu Şekillerde bu işlemi, y = x 2 eğrisi için göstermektedir. Ne kadar çok odaklanılırsa, parabol o denli bir doğruya benzemektedir. Başka bir deyişle, eğri adeta teğet doğrusundan ayırt edilemez ale gelmektedir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 133/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 134/ 182 Teğet Doğrusu Teğet doğrusunun eğimi için, bazı durumlarda kullanımı daa kolay olan bir başka ifade vardır. Teğet Doğrusu (Şekilde, > 0 durumu gözterilmiştir ve Q, P nin sağındadır. < 0 durumunda Q, P nin solunda olmalıdır.) = x a olsun, o zaman x = a+ olur. Dolayısıyla, P Q kiriş doğrusunun eğimi olur. m PQ = f(a+) f(a) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 135/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 136/ 182

35 Teğet Doğrusu : y = 3/x iprbolünün (3,1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. x, a ya yaklaştıkça, nin de 0 a yaklaştığına dikkat ediniz (çünkü = x a dır). Dolayısıyla, tanımdaki teğet doğrusunun eğiminin ifadesi f(a+) f(a) m = (4) biçimine dönüşür. Çözüm : f(x) = 3/x olsun. O alde (3,1) noktasındaki teğetin eğimi f(3+) f(3) m = = = (3+) 3+ = (3+) = 1 3+ = 1 3 olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 137/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 138/ 182 Hiperbol ve teğeti şekilde gösterilmektedir. Dolayısıyla, (3, 1) noktasındaki teğetin bir denklemi y 1 = 1 3 (x 3) olur ve biçiminde sadeleşir. x+3y 6 = 0 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 139/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 140/ 182

36 Hızlar Hızlar s = f(t), areket denklemi uyarınca bir doğru boyunca areket eden bir cisim düşüne. Burada s, cismin başlangıç noktasından başlayarak (yönü de dikkate alan) yer değiştirmesini göstersin. Hareketi tanımlayan f fonksiyonuna cismin konum fonksiyonu denir. t = a ile t = a+ arasındaki zaman aralığında konumdaki değişim, f(a+) f(a) olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 141/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 142/ 182 Hızlar Bu zaman aralığındaki ortalama ız yer değiştirme ortalama ız = = f(a+) f(a) zaman ile ifade edilir ve şekildeki P Q kiriş doğrusunun eğimi ile aynıdır. Hızlar Şimdi ortalama ızları, daa da kısa [a, a + ] zaman aralıklarında esapladığımızı varsayalım. Başka bir deyişle, sıfıra yaklaşsın. t = a anındaki v(a) ızını (ya da anlık ızı) bu ortalama ızların iti olarak tanımlarız: v(a) = f(a+) f(a) Bu, t = a anındaki ızın, P deki teğet doğrusunun eğimine eşit olduğu anlamına gelir. (5) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 143/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 144/ 182

37 Türevler Türevler Daa önce y = f(x) denklemi ile ifade edilen bir eğrinin x = a noktasındaki teğetinin eğimini olarak tanımladık. m = f(a+) f(a) Aynı zamanda konum fonksiyonu s = f(t) ile verilen bir cismin t = a anındaki ızının olduğunu gördük. v(a) = f(a+) f(a) (6) Aslında erangi bir bi ya da müendislik dalında ne zaman bir değişim ızı esaplasak yukarıdaki gibi itler ortaya çıkar. Bu biçimdeki itlerle çok yaygın olarak karşılaşıldığından, bunlar için özel bir isim ve gösterim kullanılır. Tanım : Eğer varsa, aşağıdaki ite, f fonksiyonunun a sayısındaki türevi denir ve f (a) ile gösterilir: f (a) = f(a+) f(a) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 145/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 146/ 182 Türevler f (a) = f(a+) f(a) Eğer x = a+ yazarsak, = x a olur ve nin 0 a yaklaşması için gerekli ve yeter koşul x in a ya yaklaşmasıdır. Dolayısıyla, teğet doğrularını bulurken gördüğümüz gibi, türevin tanımını ifade etmenin eşdeğer bir yolu şudur: f (a) = f(x) f(a) x a (7) : f(x) = x 2 8x+9 fonksiyonunun a noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm : Tanımdan, f (a) = f(a+) f(a) = [(a+) 2 8(a+)+9] [a 2 8a+9] = a 2 +2a+ 2 8a 8+9 a 2 +8a 9 2a+ 2 8 = = (2a+ 8) = 2a 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 147/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 148/ 182

38 Fonksiyon Olarak Türev Fonksiyon Olarak Türev Önceki bölümde bir f fonksiyonunun sabit bir a sayısındaki türevi üzerinde durduk: f (a) = f(a+) f(a) Burada bakış açımızı değiştire ve a nın değişken olduğunu varsayalım. (8) Denklem 8 de, a nın yerine bir x değişkeni koyarsak, f (x) = f(x+) f(x) elde ederiz. Bu itin var olduğu er x sayısına bir f (x) sayısı karşıgelir. (9) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 149/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 150/ 182 Fonksiyon Olarak Türev : f(x) = x 3 x ise, f (x) için bir formül bulunuz. Dolayısıyla, f f nin türevi olarak adlandırılan ve denklem 9 ile tanımlanan yeni bir fonksiyon olarak ele alınabilir. x deki f (x) değerinin, geometrik olarak f nin grafiğinin (x,f(x)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi olarak yorumlanabileceğini biliyoruz. f fonksiyonu f nin türevi olarak adlandırılır çünkü f den denklem 9 deki it işlemi ile türetilmiştir. Çözüm: Türevi esaplamak için denklem 9 yi kullandığımız zaman, nin değişken olduğunu ve it esabı yapılırken x in sabit olarak değerlendirildiğini atırlamalıyız. f f(x+) f(x) [(x+) 3 (x+)] [x 3 x] (x) = = = x 3 +3x 2 +3x x x 3 +x = 3x 2 +3x = (3x 2 +3x+ 2 1) = 3x 2 1 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 151/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 152/ 182

39 : f(x) = x ise, f türevini bulunuz. f nün tanım kümesini bulunuz. Çözüm: f (x) = f(x+) f(x) = = x+ x x+ x x++ x x++ x f (x) = 1 2 x x > 0 ise, f (x) vardır, bu nedenle f nün tanım kümesi (0, ) olur. Bu küme, f nin tanım kümesi olan [0, ) kümesinden küçüktür. (x+) x = ( x++ x) = 1 = 1 x+ x 2 x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 153/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 154/ 182 Diğer Gösterimler Diğer Gösterimler Bağımsız değişkenin x, bağımlı değişkenin y olduğu geleneksel y = f(x) gösterimini kullanırsak, türev için kullanılan bazı yaygın gösterimler aşağıdaki gibidir. f (x) = y = dy dx = df dx = d f(x) = Df(x) dx D ve d/dx sembolleri türev alma işlemini ifade ettiğinden türev alma operatörleri olarak adlandırılır. Leibniz tarafından ortaya konulan dy/dx sembolü (şimdilik) bir oran olarak değerlendirilmemelidir; yalnızca f (x) ile eşanlamlıdır. Buna karşın, özellikle değişim gösterimi ile birlikte kullanıldığında çok yararlı ve anlamlı bir gösterimdir. Türevin tanımını Leibniz gösterimi ile, şeklinde yazabiliriz. dy dx = y x 0 x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 155/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 156/ 182

40 Diğer Gösterimler Türevlenebilirlik dy/dx türevinin bir a sayısındaki değerini, Leibniz gösterimi ile, dy dx ya da dy ] x=a dx x=a olarak ifade ederiz ve bu gösterim ile f (a) eşanlamlıdır. Tanım : Eğer f (a) varsa, f fonksiyonuna a da türevlenebilirdir denir. Eğer f bir (a,b) [ya da (a, ) ya da (,a) ya da (, )] açık aralığındaki er sayıda türevlenebilirse, f fonksiyonu (a, b) açık aralığında türevlenebilirdir denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 157/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 158/ 182 : f(x) = x fonksiyonu nerede türevlenebilirdir? Çözüm: Eğer x > 0 ise, x = x olur ve yi, x+ > 0 koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz ve bu nedenle x+ = x+ olur. Dolayısıyla x > 0 için f (x) = x+ x (x+) x = = = 1 = 1 elde ederiz ve bu nedenle x > 0 için f türevlenebilirdir. Aynı şekilde, eğer x < 0 ise, x = x olur ve yi, x+ < 0 koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz. ve bu nedenle x+ < 0 ve dolayısıyla x+ = (x+) olur. Dolayısıyla, x < 0 için f (x) = x+ x (x+) ( x) = = = 1 = 1 elde ederiz ve bu yüzden x < 0 için f türevlenebilirdir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 159/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 160/ 182

41 x = 0 için şunu incelemeliyiz; f (0) = f(0+) f(0) 0+ 0 = = (it var ise) Sağ ve sol itleri ayrı ayrı esaplayalım: ve 0+ 0 = + + = + = +1 = = = = = 1. ( 1) Bu itler farklı olduğundan, f (0) yoktur. Dolayısıyla f, 0 dışındaki er noktada türevlenebilirdir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 161/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 162/ 182 f nün formülünü f (x) = { 1, x > 0 ise 1, x < 0 ise olarak verebiliriz ve grafiği Şekil(b) deki gibidir. f (0) ın var olmaması gerçeği, geometrik olarak y = x in (0, 0) noktasında teğet doğrusunun olmaması olgusunda yansıtılmaktadır. (Bkz. Şekil(a).) Süreklilik ve Türevlenebilirlik Süreklilik ve türevlenebilirliğin er ikisi de, bir fonksiyon için saip olması istenilir özelliklerdir. Aşağıdaki teorem bu özelliklerin nasıl ilişkili olduklarını göstermektedir. Teorem : Eğer f, a sayısında türevlenebilirse f, a sayısında süreklidir. Not: Teoremin tersi yanlıştır; bir başka deyişle, sürekli fakat türevlenebilir olmayan fonksiyonlar vardır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 163/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 164/ 182

42 Süreklilik ve Türevlenebilirlik Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Örneğin, f(x) = x fonksiyonu, olduğundan 0 da süreklidir. f(x) = x = 0 = f(0) x 0 x 0 Fakat, bir önceki örnekte f nin 0 da türevlenebilir olmadığını gösterdik. Eğer f fonksiyonunun grafiğinde köşe veya kırılma varsa, f nin grafiğinin o noktada teğeti yoktur ve f, o noktada türevlenebilir değildir. (f (a) değerini esaplamaya çalıştığımızda, sağ ve sol itlerinin farklı olduğunu görürüz.) En son verdiğimiz teorem, bir fonksiyonun türevi olmamasının bir başka yolunu verir. Eğer f, a sayısında sürekli değilse, f nin a da türevlenebilir olmadığını söyler. Bu nedenle, f süreksiz olduğu noktada (örneğin, sıçrama biçimindeki süreksizlerde) türevlenebilir değildir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 165/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 166/ 182 Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Şekil ele aldığımız üç olasılığı da göstermektedir. Üçüncü bir olasılık ise, eğrinin x = a da düşey bir teğet doğrusuna saip olmasıdır. Bir başka ifadeyle, f a da sürekli ve f (x) = olmalıdır. Bu, x a ya yaklaştıkça, teğet doğrularının dikleşmesi demektir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 167/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 168/ 182

43 İkinci Türev : f(x) = x 3 x ise, f (x) i bulunuz. f türevlenebilir bir fonksiyonsa, f de bir fonksiyondur, dolayısıyla f nün kendisininde (f ) = f ile gösterilen bir türevi olabilir. Bu yeni f fonksiyonu, f nin ikinci türevi olarak adlandırılır, çünkü f nin türevinin türevidir. Leibniz gösterimini kullanarak, y = f(x) fonksiyonunun ikinci türevini aşağıdaki gibi yazarız. ( ) d dy = d2 y dx dx dx 2 Çözüm: Daa önce, f (x) = 3x 2 1 olduğunu bulmuştuk. Dolayısıyla, ikinci türev f (x) = f (x+) f (x) = [3(x+) 2 1] [3x 2 1] = 3x 2 +6x x 2 +1 = (6x+3) = 6x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 169/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 170/ 182 İkinci Türev - İvme Yüksek Mertebeden Türevler Genel olarak, ikinci türevin anlamınıdeğişim ızının değişim ızı olarak açıklayabiliriz. Bunun en bilinen örneği aşağıda tanımlayacağımız ivme dir. Doğru boyunca areket eden bir cismin konum fonksiyonu s = f(t) ise, bu fonksiyonun birinci türevinin, cismin ızını zamanın bir fonksiyonu olarak gösterdiğini biliyoruz: v(t) = f (t) = df dt Hızdaki zamana göre anlık değişim ızı olan a(t), nesnenin ivmesi olarak adlandırılır. Genelleştirirsek, f nin n inci türevi f (n) ile gösterilir ve f fonksiyonunun n kez türevinin alınmasıyla elde edilir. y = f(x) ise, yazarız. y (n) = f (n) = dn y dx n Öyleyse, ivme fonksiyonu ız fonksiyonunun türevidir ve bu nedenle konum fonksiyonunun ikinci türevidir: a(t) = v (t) = f (t) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 171/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 172/ 182

44 Doğrusal Yaklaştırımlar Bir eğrinin, teğet noktasının çevresinde, o noktadaki teğet doğrusuna çok yakın olduğunu görmüştük. Doğrusal Yaklaştırımlar Fikir şudur: Bazen bir fonksiyonun f(a) değerini esaplamak kolay olabilirken, f nin buna yakın değerlerini esaplamak zor (daası, olanaksız) olabilir. Bu nedenle, grafiği f nin (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu olan L doğrusal fonksiyonunun kolay esaplanan değeriyle yetiniriz. Aslında, türevlenebilir bir fonksiyonungrafiğindeki bir noktaya doğru odaklandıkça, grafiğin o noktadaki teğet doğrusuna daa çok benzediğine dikkat etmiştik. Bu gözlem, fonkiyonlar için yaklaşık değerler bulma yöntemlerinden birinin temelini oluşturur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 173/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 174/ 182 Doğrusal Yaklaştırımlar Doğrusal Yaklaştırımlar Genelde, (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunu, x sayısı a ya yakınken y = f(x) eğrisinin yaklaştırımı olarak kullanırız. Bu teğet doğrusunun denklemi dır y = f(a)+f (a)(x a) ve f(x) f(a)+f (a)(x a) yaklaştırımına f nin a daki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklatırımı denir. Grafiği teğet doğrusu olan L(x) = f(a)+f (a)(x a) doğrusal fonksiyonu, f nin a daki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 175/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 176/ 182

45 : f(x) = x fonksiyonunun a = 1 deki doğrusal yaklaştırımını bulunuz. Daa sonra bunu 0.99, 1.01 ve 1.05 sayılarının yaklaşık değerlerini bulmak için kullanırız. Bulduğunuz değerler sayıların gerçek değerlerinden fazla mı, yoksa az mıdır? Çözüm: Öncelikle, y = x fonksiyonunun x = 1 deki teğet doğrusunun eğimi olan f (1) değerini bulmalıyız. Daa önceki örneklerde f (x) = 1 2 x olarak bulmuştuk. Dolayısıyla, f (1) = 1 olur ve (1,1) noktasındaki teğet doğrusunun 2 denklemi ve doğrusal yaklaştırım olur. y 1 = 1 2 (x 1) ya da y = 1 2 x+ 1 2 x L(x) = 1 2 x+ 1 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 177/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 178/ 182 Özel olarak, Şekilde y = x fonksiyonu ve onun doğrusal yaklaştırımı L(x) = 1 2 x+ 1 2 fonksiyonunun grafikleri çizilmiştir L(0.99) = 1 2 (0.99)+ 1 2 = L(1.01) = 1 2 (1.01)+ 1 2 = L(1.05) = 1 2 (1.05)+ 1 2 = elde ederiz. ( 0.99 = , 1.01 = , 1.05 = ) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 179/ 182 Yaklaşık değerlerimizin gerçek değerlerden fazla olduğunu görmekteyiz, çünkü teğet doğrusu eğrinin üzerindedir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 180/ 182

46 Aşağıdaki tabloda doğrusal yaklaştırımdan elde edilen değerler, gerçek değerlerle yaklaştırılmaktadır. Tablo ve Şekilde, teğet doğrusu yaklaştırımının, x değişkeni 1 e yakınken iyi yaklaşık değerler verdiğine, fakat x değişkeni 1 den uzaklaştıkça elde edilen değerlerin gerçek değerlere yakınlıklarının azaldığına dikkat ediniz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 181/ 182 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 182/ 182