Hacimler ve Çift Katlı İntegraller
|
|
- Ilker Bayramoğlu
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce f(x,y) varsayalım. f nin grafiği, denklemi z f(x,y) olan bir yüzeydir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller S, R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cisim, başka bir deyişle, S {(x,y,z) R 3 z f(x,y), (x,y) R} olsun. S nin hacmini bulmayı amaçlıyoruz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32
2 Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Ardışık İntegraller ğer f(x,y) ise R dikdörtgeninin üstünde ve z f(x,y) yüzeyinin altında kalan katı cismin V hacmi V f(x,y)da R Bu bölümde çift katlı bir integralin iki tane tek katlı integralin hesaplamasıyla bulunabilen bir ardışık integral olarak nasıl ifade edilebileceğini göreceğiz. olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 Ardışık İntegraller Ardışık İntegraller f nin R [a,b] [c,d] dikdörtgeninde sürekli, iki değişkenli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. d c f(x,y)dy gösterimini, x sabit tutulurken, f(x,y) nin y c den y d ye kadar y ye göre integrali anlamında kullanırız. Şimdi d f(x,y)dy, x in değerine bağlı bir fonksiyondur, bu nedenle c x in bir fonksiyonunu tanımlar: d A(x) f(x,y)dy c Bu işleme, y ye göre kısmi integral adı verilir. (Kısmi türev almaya benzerliğine dikkat ediniz.) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32
3 Ardışık İntegraller Ardışık İntegraller A fonksiyonunun x a dan x b ye kadar x e göre integralini alırsak elde ederiz. b A(x)dx b d a a c f(x,y)dy dx () enklem () in sağ yanındaki integral ardışık integral olarak adlandırılır. Genellikle köşeli parantezler yazılmaz. Böylece b d a c f(x,y)dydx b a d c f(x,y)dy dx (2) ifadesi önce y ye göre c den d ye ve daha sonra x e göre a dan b ye integralin alınması anlamına gelir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Ardışık İntegraller : Ardışık integralleri hesaplayınız. Benzer şekilde, d b c a f(x,y)dxdy d c b a f(x,y)dx dy (3) ardışık integrali, önce x e göre(y yi sabit tutarak) a dan b ye integral alacağımız ve daha sonra da bulunan y nin fonksiyonunun y ye göre y c den y d ye kadar integralini alacağımız anlamına gelir. enklem (2) ve (3) ün her ikisinde de içeriden dışarıya doğru hesapladığımıza dikkat ediniz. Çözüm : 3 (a) 2 (a) x i sabit varsayarak 2 x 2 y dydx x 2 y dy x 2y2 2 ] y2 2 (b) y 3 x 2 y dxdy ( ( ) 2 x 2 2 ) x x2 elde ederiz. Böylece bir önceki tartışmadaki A fonksiyonu, bu örnekte A(x) 3 2 x2 olmaktadır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32
4 (b) Burada önce x e göre integral alırız: Şimdi x in bu fonksiyonunun dan 3 e integralini alırız. 3 2 x 2 y dydx 3 3 [ 2 ] x 2 y dy dx 3 2 x2 dx x3 2 ] x 2 y dxdy 2 2 [ 3 ] 2 x 2 y dx dy 9ydy 9 y2 2 ] [ ] x 3 x3 3 y dy x te önce x e göre ya da önce y ye göre integral alsakta aynı yanıtı bulduk. Genel olarak denklem 2 ve 3 deki ardışık integraller eşit olurlar; başka bir deyişle integral alma sırası önemsizdir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Fubini Teoremi Teorem : ğer f, R {(x,y) a x b,c y d} dikdörtgeninde sürekli ise olur. R f(x,y)da b d a c f(x,y) dydx d b c a f(x,y) dxdy (4) aha genel olarak f, R de sınırlı ve yalnızca sonlu sayıda düzgün eğri üzerinde süreksiz ise ve ardışık integraller varsa eşitlik yine doğrudur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 : R {(x,y) x 2, y 2} olmak üzere (x 3y 2 )da integralini hesaplayınız. R Çözüm : Fubini Teoremi R (x 3y 2 ) da (x 3y 2 ) dydx [xy y 3] y2 y dx ] 2 (x 7)dx x2 2 7x 2 verir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32
5 Çözüm 2: Yine Fubini Teoremi ni uygulayarak, ama bu kez önce x e göre integral alarak : R [,2] [,π] olmak üzere integralini hesaplayınız. R ysin(xy)da (x 3y 2 )da R elde ederiz [ x 2 (x 3y 2 ) dxdy 2 3xy2 ] x2 x dy (2 6y 2 )dy 2y 2y 3] 2 2 Çözüm : R Önce x e göre integral alırsak y sin(xy)da π 2 π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy) ] x2 x dy ( cos2y +cosy)dy ] π 2 sin2y +siny elde ederiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 Çözüm 2: İntegral sırasını terse çevirirsek R y sin(xy)da 2 π elde ederiz bu integrali hesaplamak için u y du dy y sin(xy)dydx dv sin(xy)dy v cos(xy) x alarak kısmi integral alma yöntemini kullanırız ve böylece π elde ederiz. ysin(xy)dy ycos(xy) ] yπ + π cos(xy)dy x y x πcosπx x πcosπx x + ] yπ [sin(xy) x 2 y + sinπx x 2 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32
6 Şimdi u /x ve dv πcosπx dx alırsak du dx/x 2,v sinπx olur ve kısmi integral alma yöntemi ile ilk terimin integralini alarak ( πcosπx ) dx sinπx sinπx x x x 2 dx ( elde ederiz. Bu nedenle πcosπx + sinπx ) x x 2 dx sinπx x ve 2 π y sin(xy)dydx [ sinπx ] 2 x : x 2 +2y 2 +z 6 eliptik paraboloidi, x 2 ve y 2 düzlemleri ve üç koordinat düzlemi ile sınırlanmış S katı cisminin hacmini bulunuz. Çözüm : Önce, S nin z 6 x 2 2y 2 yüzeyi altında ve R [,2] [,2] karesinin üstünde kalan katı cisim olduğunu gözlemleriz. sin2π 2 +sinπ olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 22/ 32 NOT Şimdi Fubini teoremini kullanarak çift katlı integrali hesaplayabilecek durumdayız: V (6 x 2 2y 2 )da R [ 6x ] x2 3 x3 2y 2 x dy x (6 x 2 2y 2 ) dxdy ( ) [ y2 dy 3 y 4 ] 2 3 y3 48 f(x,y) nin yalnızca x in bir fonksiyonu ile yalnızca y nin bir fonksiyonu olarak çarpanlara ayrılabilmesi özel durumunda, f nin çift katlı integrali daha basit bir şekilde yazılabilir. aha açık bir deyişle,f(x,y) g(x)h(y) ve R [a,b] [c,d] olmak üzere dir. R g(x)h(y)da b a d g(x)dx c h(y)dy elde ederiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 23/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 24/ 32
7 teki f(x,y) sinxcosy fonksiyonu R de pozitiftir, bu nedenle integral şekildeki R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cismin hacmini temsil eder. : R [,π/2] [,π/2] ise, π/2 sinx cosy da sinx dx R ( cosx ] π/2 ) π/2 ( siny cosy dy ] π/2 ) olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 25/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 26/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller : ln2ln5 e 2x y dxdy ln2ln5 ln5 ( e 2x 2 e 2x e y dxdy e 2x dx ] ln5 ln2 e y dy ) ( e y] ) ln2 ( 25 2 ) ( 2 2 +) olur. Tek katlı integraller için üzerinde integral aldığımız bölge her zaman bir aralıktır. Ancak çift katlı integraller için bir fonksiyonun, yalnızca dikdörtgenler değil, örneğin Şekil deki gibi daha genel bölgeler üzerinde integralini almak istiyoruz. Şekil : Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 27/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 28/ 32
8 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Bir düzlemsel bölgesi, iki sürekli fonksiyonun grafiği arasında, başka bir deyişle g ve g 2, [a,b] de sürekli olmak üzere {(x,y) a x b, g (x) y g 2 (x)} ise I. tip olarak adlandırılır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 29/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 32/ 32
9 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller f fonksiyonu {(x,y) a x b, g (x) y g 2 (x)} şeklinde I. tip bölgesinde sürekli ise f(x,y)da b g 2 (x) a g (x) f(x,y) dydx (5) h ve h 2 sürekli olmak üzere {(x,y) c y d, h (y) x h 2 (y)} (6) şeklindeki II. tip düzlemsel bölgeleri de göz önüne alırız. olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 33/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 34/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 35/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 36/ 32
10 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller, enklem 6 de verilen II. tip bir bölge olmak üzere olur. f(x,y)da d h 2 (y) c h (y) f(x,y) dxdy (7) :, y 2x 2 ve y +x 2 parabolleri tarafından sınırlanan bölge olmak üzere (x + 2y)dA integralini hesaplayınız. Çözüm : Paraboller 2x 2 +x 2, başka bir deyişle, x 2 iken kesişir, bu nedenle x ± olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 37/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 38/ 32 Şekil 3 de çizilen bölgesinin I. tip bölge olduğuna ancak II. tip bölge olmadığına dikkat eder ve yazabiliriz. {(x,y) x, 2x 2 y +x 2 } Şekil 3: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 39/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32
11 NOT Alt sınır y 2x 2 ve üst sınır y +x 2 olduğundan +x 2 (x + 2y)dA (x + 2y) dydx 2x 2 [xy + y 2] y+x 2 y2x 2 dx [ x( + x 2 ) + ( + x 2 ) 2 x(2x 2 ) (2x 2 ) 2] dx ( 3x 4 x 3 + 2x 2 + x + )dx teki gibi bir çift katlı integral hesaplanırken, bir şekil çizmek gereklidir. Çoğu zaman Şekil 3 deki gibi bir düşey ok çizmek yararlı olur. Bu durumda, içteki integralin sınırları şekilden aşağıdaki gibi bulunabilir: Ok, alt sınır y g (x) de başlar, bu integralin alt sınırını verir, ve ok üst sınır y g 2 (x) de biter, bu da integralin üst sınırını verir. II. tip bölgelerde ok, yatay olarak sol sınırdan sağ sınıra çizilir. 3 x5 5 x x 3 + x ] x 32 5 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 42/ 32 : z x 2 +y 2 paraboloidinin altında ve xy-düzlemindeki y 2x doğrusu ve y x 2 parabolü ile sınırlı bölgesinin üstünde kalan katı cismin hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 4 dan nin I. tip bölge ve olduğunu görürüz. {(x,y) x 2, x 2 y 2x} Bu nedenle, z x 2 +y 2 nin altında ve nin üstünde kalan hacim V (x 2 +y 2 )da 2 (x 2 y + y3 3 ] y2x yx 2 2 2x (x 2 +y 2 ) dydx x 2 ) dx 2 (x 2 (2x)+ (2x)3 3 x 2 x 2 (x2 ) 3 3 ) dx Şekil 4: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 43/ 32 2 ] 2 ( x6 3 x4 + )dx 4x3 x7 3 2 x x olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 44/ 32
12 Çözüm 2: Şekil 5 dan nin II. tip bir bölge olarak da yazılabileceğini görüyoruz: {(x,y) y 4, 2 y x y} Bu nedenle, V için başka bir ifade de V (x 2 +y 2 )da 4 ( x 3 3 +y2 x ] x y x 2 y 4 y (x 2 +y 2 ) dxdy 2 y ) 4 dy ( y 3/2 3 +y5/2 y3 24 y3 2 ) dy 2 5 y5/ y7/2 3 ] 4 96 y olur. Şekil 5: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 45/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 46/ 32 Şekil 6 hacmi hesaplanan katı cismi göstermektedir. Cisim, xy-düzleminin üstünde z x 2 +y 2 paraboloidinin altında ve y 2x düzlemi ile y x 2 parabolik silindiri arasındadır. :, y x ve y 2 2x+6 ile sınırlı bölge olmak üzere xyda integralini hesaplayınız. Çözüm : bölgesi Şekilde gösterilmiştir. Şekil 6: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 47/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 48/ 32
13 yine hem I. hem de II. tipdir, ancak nin I. tip olarak betimlenmesi daha karmaşıktır çünkü sınırın alt kenarı iki parçadan oluşmuştur. Bu nedenle yi II. tip bir bölge olarak ifade etmeyi yeğleriz: {(x,y) 2 y 4, 2 y2 3 x y +} Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 49/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Bu nedenle (7) xyda 4 2 y+ 2 y2 3 xy dxdy 4 2 [ ] x 2 xy+ 2 y dy x 2 y2 3 yi I. tip bir bölge olarak ifade etseydik y [(y +) 2 ( 2 ] y2 3) 2 dy xyda 2x+6 3 2x+6 5 xy dydx+ 2x+6 x xy dydx verir ) ( y5 4 +4y3 +2y 2 8y dy ] 4 [ y6 24 +y4 +2 y3 3 4y Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 elde ederdik. Ancak bu, diğer yönteme göre daha fazla iş gerektirirdi. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 52/ 32
14 Şekil 7 x, z koordinat düzlemleri, x 2y düşey düzlemi ve x+2y +z 2 düzlemi ile sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünü göstermektedir. : x+2y +z 2, x 2y, x ve z düzlemleri ile sınırlı düzgün dörtyüzlünün hacmini hesaplayınız. Çözüm : Böyle bir soruda, biri üç boyutlu katı cismin ve diğeri cismin üzerinde bulunduğu bölgesinin şekli olmak üzere iki şekil çizmek uygun olur. Şekil 7: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 53/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 54/ 32 x+2y +z 2 düzlemi (denklemi z olan) xy-düzlemini x+2y 2 doğrusu boyunca kestiği için, T nin, xy-düzleminde x 2y, x+2y 2 ve x doğruları ile sınırlı bölgesinin üstünde kaldığını görürüz. x+2y+z 2 düzlemi z 2 x 2y olarak yazılabilir, bu nedenle istenen hacim, z 2 x 2y fonksiyonunun grafiği altında ve {(x,y) x, x/2 y x/2} bölgesinin üstünde kalır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 55/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 56/ 32
15 Böylece V (2 x 2y)dA x/2 x/2 (2 x 2y)dydx : x sin(y 2 ) dydx integralini hesaplayınız. [ 2y xy y 2 ] y x/2 dx yx/2 [ ( 2 x x x ) ( x ) 2 x 2 ] x x2 dx 4 ] (x 2 2x+)dx x3 3 x2 +x 3 olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 57/ 32 Çözüm: ğer integrali verdiği gibi hesaplamaya çalışırsak, sin(y 2 )dy integralini hesaplama sorunu ile karşılaşırız. Ancak sin(y 2 )dy bilinen bir fonksiyon olmadığından, bunun, sonlu sayıda işlemle yapılması olanaksızdır. Bu nedenle integral alma sırasını değiştirmeliyiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 58/ 32 Bu bölgesi Şekil 8 de çizilmiştir. Bu, verilen ardışık integrali önce çift katlı bir integral olarak ifade ederek yapılır. (5) ü tersine kullanarak, olmak üzere {(x,y) x, x y } x sin(y 2 ) dydx sin(y 2 ) da elde ederiz. Şekil 8: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 59/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32
16 x sin(y 2 ) dydx y sin(y 2 ) da sin(y 2 ) dxdy [ ] xy xsin(y 2 ) dy x Şekil 9 dan nin Şekil 9: {(x,y) y, x y} şeklinde de betimlenebildiğini görürüz. Bu da, (7) i kullanarak çift katlı integrali, tek sırada bir ardışık integral olarak ifade edebilmemize olanak verir: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 ysin(y 2 ) dy ] 2 cos(y2 ) 2 ( cos) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 62/ 32 Çift Katlı integrallerin Özellikleri Çift Katlı integrallerin Özellikleri Aşağıda integrallerin tümünün var olduğunu varsayıyoruz. [ ] f(x,y)+g(x,y) da f(x,y)da+ g(x,y)da (8) cf(x,y)da c f(x, y)da (9) ğer deki her (x,y) için f(x,y) g(x,y) ise, f(x,y)da g(x, y)da olur. () Şekil : ğer ve 2 sınırları dışında üst üste gelmiyor ve 2 ise (bkz. Şekil ), o zaman f(x,y)da f(x,y)da+ f(x,y)da olur. () 2 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 63/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 64/ 32
17 Çift Katlı integrallerin Özellikleri Özellik, I. tip ya da II. tip bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilen bölgeler üzerindeki integrallerin hesaplanmasında kullanılabilir. Bu, Şekil de açıklanmaktadır. Çift Katlı integrallerin Özellikleri İntegralin aşağıdaki özelliği, bir bölgesi üzerinde f(x,y) sabit fonksiyonunun integralini alırsak, nin alanını elde edeceğimizi söyler: da A() (2) ğer deki her (x,y) için m f(x,y) M ise ma() f(x,y) da MA() olur. (3) Şekil : Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 65/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 66/ 32 Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Şekil 2 de gösterilen R bölgelerinden biri üzerinde integralini hesaplamak istediğimizi varsayalım. R f(x,y) da Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Her iki durumda da, R bölgesinin Kartezyen koordinatlar kullanılarak tanımlanması oldukça karmaşıktır, ancak R bölgesi kutupsal koordinatlar kullanılarak kolayca tanımlanabilir. Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 67/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 68/ 32
18 Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Şekil 2 deki bölgeler, Şekil 3 de gösterilen R {(r,θ) a r b, α θ β} kutupsal dikdörtgeninin özel halleridir. Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Çift Katlı İntegralde Kutupsal Koordinatlara Çevirme f fonksiyonu, β α 2π ve a olmak üzere, R {(r,θ) a r b, α θ β} olarak verilen R kutupsal dikdörtgeni üzerinde sürekli ise R β b f(x,y) da f(rcosθ,rsinθ) r dr dθ α a Şekil 3: dır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 69/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 : R, üst yarı düzlemin x 2 +y 2 ve x 2 +y 2 4 çemberiyle sınırlanan bölgesini göstermek üzere, (3x+4y 2 ) da integralini hesaplayınız. R R {(x,y) y, x 2 +y 2 4} Bu, Şekil 2(b) de gösterilen yarım halka şeklindeki bölgedir ve kutupsal koordinatlarda r 2, θ π olarak verilir. Çözüm : R bölgesini biçiminde gösterebiliriz. R {(x,y) y, x 2 +y 2 4} Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 72/ 32
19 olayısıyla formülden, R (3x+4y 2 ) da π 2 π 2 π ( 3rcosθ +4(rsinθ) 2 ) r dr dθ (3r 2 cosθ +4r 3 sin 2 θ) dr dθ ( r 3 cosθ +r 4 sin 2 θ ] r2 r ) dθ π (7cosθ +5sin 2 θ) dθ π ( cosθ +5 ( cos2θ) ) 2 7sinθ + 5 θ sin2θ ] π dθ 5π 2 olur. π (7cosθ +5sin 2 θ) dθ Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 73/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 74/ 32 olayısıyla cisim, paraboloidin altında ve x 2 +y 2 olarak verilen dairesinin üstünde yer alır [bkz. Şekil 4 ve 2(a)]. bölgesi, kutupsal koordinatlarda r, θ 2π olarak verilir. : z düzlemi ve z x 2 y 2 paraboloidi tarafından sınırlanan cismin hacmini bulunuz. Çözüm : Paraboloid denkleminde z alarak x 2 +y 2 buluruz. Bu, düzlem ile paraboloidin kesişiminin x 2 +y 2 çemberi olduğu anlamına gelir. Şekil 4: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 75/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 76/ 32
20 x 2 y 2 (rcosθ) 2 (rsinθ) 2 r 2 olduğundan, hacim V ( x 2 y 2 ) da 2π olarak bulunur. dθ 2π ( r 2 ) r dr dθ ( ) (r r 3 ) dr r 2 2π 2 r4 π 4 2 Kutupsal koordinatlar yerine Kartezyen koordinatlar kullanmış olsaydık, V ( x 2 y 2 ) da x 2 elde ederdik. Bu ifadenin hesaplanması x 2 dx x 2 x 2 dx ( x 2 y 2 ) dy dx x 2 ( x 2 ) 3/2 dx integrallerinin bulunmasını içerdiğinden kolay olmayacaktı. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 77/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 78/ 32 Yoğunluk ve Kütle : Şekil 5 her hangi bir (x,y) noktasındaki yoğunluğu ρ(x, y) xy olan üçgen biçimindeki bir tabakayı göstermektedir. bölgesi olarak verilen bu tabakanın toplam kütlesini bulunuz. eğişken yoğunlukta bir tabakanın xy-düzleminde bir bölgesi olduğunu varsayalım. ρ(x, y) bu tabakanın yoğunluğunu belirten sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda tabakanın toplam kütlesi m ρ(x,y) da formülü ile bulunur. Şekil 5: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 79/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32
21 Çözüm : Şekil 5 den m 2 ρ(x,y) da x xy dy dx ] y [x y2 x dx 2 y x 2 [2 ( x) 2 ] dx : Köşeleri (,), (,), (,2) olan üçgen biçiminde bir tabakanın yoğunluk fonksiyonu ρ(x,y) +3x+y dir. Bu tabakanın kütlesini bulunuz. Çözüm : Üçgen Şekil 6 de gösterilmiştir. (Üstteki sınır doğrusunun denkleminin y 2 2x olduğuna dikkat ediniz.) 2 (2x 2 x 3 )dx [ 2x x4 4 ] 5 24 olur. olayısıyla kütle 5 24 dir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 Şekil 6: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 82/ 32 Üç Katlı İntegraller f(x, y, z) fonksiyonunun m ρ(x,y) da 2 2x (+3x+y) dy dx B {(x,y,z) a x b,c y d,r z s} dikdörtgenler prizması üzerinde tanımlandığı basit durumu ele alalım. 4 ] y2 2x [y +3xy + y2 dx 2 y ( x 2 ) dx 4 ] [x x Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 83/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 84/ 32
22 Üç Katlı İntegraller için Fubini Teoremi B [a,b] [c,d] [r,s] dikdörtgenler prizması üzerinde sürekli olan bir f fonksiyonu için B f(x,y,z)dv s d b r c a f(x,y,z)dxdydz (4) : B {(x,y,z) x, y 2, z 3} dikdörtgenler prizması olmak üzere xyz 2 dv üç katlı integralini hesaplayınız. Çözüm : Altı integral sıralamasından herhangi birini seçebilirz. Önce x, sonra y, en sonunda da z ye göre integral almayı seçersek, B dir. B 3 2 xyz 2 dv xyz 2 dxdydz Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 85/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 86/ 32 B xyz 2 dv 3 2 xyz 2 dxdydz Şimdi f nin sürekli ve bölgenin basit tipte olduğu durumu ele alacağız. Şekil 7: 3 2 [ x 2 yz 2 2 ] x x dydz 3 2 yz 2 2 dydz 3 [ y 2 z 2 4 ] y2 y dz 3 3z 2 4 ] 3 z3 dz Bir cismin oluşturduğu bölgesine, x ve y nin iki sürekli fonksiyonu arasında kalıyorsa,.tipte bölge denir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 87/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 88/ 32
23 Bunu Şekil 7 de gösterildiği gibi bölgesi nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olmak üzere, {(x,y,z) (x,y),u (x,y) z u 2 (x,y)} (5) olarak ifade edebiliriz. cisminin üst sınırının denklemi z u 2 (x,y), alt sınırının ise denklemi z u (x,y) olan yüzeylerden oluştuğuna dikkat ediniz. enklem 5 de verilen. tipte bir bölgesi için u 2 (x,y) f(x,y,z)dv f(x,y,z)dz da (6) olduğu gösterilebilir. u (x,y) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 89/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 92/ 32
24 f(x,y,z)dv u 2 (x,y) u (x,y) f(x,y,z)dz da Yukarıdaki denklemin sağ yanında içteki integralin anlamı, x ve y nin sabit tutulduğu, dolayısıyla u (x,y) ve u 2 (x,y) nin sabit olarak algılandığı, f(x, y, z) nin integralinin z ye göre alındığıdır. Özel olarak bölgesinin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olan bölgesi I. tipte ise {(x,y,z) a x b,g (x) y g 2 (x),u (x,y) z u 2 (x,y)} olur ve enklem 6 f(x,y,z)dv b a g 2 (x) u 2 (x,y) g (x) u (x,y) f(x,y,z)dzdydx (7) biçimini alır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 93/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 94/ 32 iğer yandan düzlemsel bölgesi II. tipte ise {(x,y,z) c y d,h (y) x h 2 (y),u (x,y) z u 2 (x,y)} olur ve enklem 6 f(x,y,z)dv d c h 2 (y) u 2 (x,y) h (y) u (x,y) f(x,y,z)dzdxdy (8) : bölgesi x, y, z ve x+y +z olarak verilen dört düzlem tarafından sınırlanan düzgün dörtyüzlü olmak üzere, z dv integralini hesaplayınız. biçimini alır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 95/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 96/ 32
25 Çözüm : Üç katlı bir integrali oluştururken biri cismi (Şekil 8), diğeri nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü (Şekil 9) olan iki şekil çizmek yararlıdır. Şekil 8: Şekil 9: üzgün dörtyüzlünün alt sınırı z düzlemi, üst sınırı x+y +z (ya da z x y) düzlemi olduğundan, Formül 7 de u (x,y) ve u 2 (x,y) x y alırız. x+y+z ve z düzlemlerinin xy-düzlemindeki x+y (ya da y x) doğrusunda kesiştiklerine dikkat ediniz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 97/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 98/ 32 nin. tipte bir bölge olarak gösterimi, integrali zdv x x y zdzdydx olarak hesaplamamızı olanaklı kılar. olayısıyla nin izdüşümü üçgensel bir bölge olur ve {(x,y,z) x, y x, z x y} (9) elde edilir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 99/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32
26 zdv x x y zdzdydx zdv 2 x ( x y) 2 dydx 2 x [ z 2 x 2 ] z x y z dydx ( x y) 2 dydx 2 6 [ ( x y)3 3 ] y x y ( x) 3 dx 6 4 dx [ ( x)4 ] 24 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 {(x,y,z) (y,z),u (y,z) x u 2 (y,z)} şeklindeki bölgesine 2.tipte bölge denir. Bu kez, bölgesi nin yz-düzlemi üzerine izdüşümüdür (Şekil 2). Arka yüzey x u (y,z), ön yüzey x u 2 (y,z) olduğundan, u 2 (y,z) f(x,y,z)dv f(x,y,z)dx da (2) u (y,z) elde ederiz. Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32
27 Son olarak, {(x,y,z) (x,z),u (x,z) y u 2 (x,z)} şeklinde verilen bir bölgesine 3.tipte bölge denir. Burada bölgesi nin xz-düzlemi üzerine izdüşümü, y u (x,z) sol, y u 2 (x,z) sağ yüzeydir (Şekil 2). Bu tipteki bir bölge için f(x,y,z)dv elde edilir. u 2 (x,z) u (x,z) f(x,y,z)dy da (2) Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 : bölgesi y x 2 +z 2 paraboloidi ve y 4 düzlemi tarafından sınırlanan bölge olmak üzere, x 2 +z 2 dv integralini hesaplayınız. enklem 2 ve 2 in her ikisinde de nin I. ya da II. tipte düzlemsel bir bölge olmasına (ve enklem 7 ve 8 e) bağlı olarak iki farklı ifade olabilir. Çözüm : bölgesi Şekil 22 da gösterilmiştir. Şekil 22: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32
28 ğer yi. tipte bölge olarak düşünürsek, onun, Şekil 23 da gösterilen, xy-düzlemi üzerindeki izdüşümü olan parabolik bölgesini ele almamız gerekir. (y x 2 +z 2 nin z düzlemindeki izi y x 2 parabölüdür.) y x 2 +z 2 den z ± y x 2 elde edildiğinden nin alt sınırı z y x 2 yüzeyi, üst sınırı ise z y x 2 yüzeyidir. olayısıyla, nin. tipte bir bölge olarak ifadesi {(x,y,z) 2 x 2,x 2 y 4, y x 2 z y x 2 } olur ve Şekil 23: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Bu, doğru olmakla birlikte hesaplanması son derece zor bir ifadedir. Bunun yerine yi, 3. tipte bir bölge olarak düşünelim. Bu durumda xz-düzlemi üzerindeki 3 izdüşümü Şekil 24 de gösterilen x 2 +z 2 4 dairesi olur. x 2 +z 2 dv 2 4 y x 2 x 2 +z 2 dzdydx elde ederiz. 2 x 2 y x 2 Şekil 24: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32
29 nin sol sınırı y x 2 +z 2 paraboloidi, sağ sınırı y 4 düzlemi olduğundan enklem 2 de, u (x,z) x 2 +z 2 ve u 2 (x,z) 4 alarak x 2 +z 2 dv 3 4 x 2 +z 2 x 2 +z 2 dy da (4 x 2 z 2 ) x 2 +z 2 da 3 şeklinde yazılabilirse de, integrali xz-düzleminde x r cos θ, z r sin θ kutupsal koordinatlarına çevirmek daha kolaydır. Bu bize verir. x 2 +z 2 dv (4 x 2 z 2 ) x 2 +z 2 da 3 2π 2 2π (4 r 2 )rrdrdθ dθ 2 [ 4r 3 2π 3 r5 5 (4r 2 r 4 )dr ] 2 28π 5 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları nin yalnızca f fonksiyonunun tanım kümesi olduğunu ve f nin grafiğinin dört-boyutlu uzayda olduğunu anımsayınız. f(x, y, z) dv üç katlı integralini çeşitli fiziksel durumlarda, x, y, z ve f(x,y,z) nin fiziksel yorumuna bağlı olarak, çeşitli şekillerde yorumlamak olanaklıdır. deki her nokta için f(x,y,z) olan özel durumla başlayalım. Bu durumda üç katlı integral gerçekten de nin hacmini verir: V() dv (22) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32
30 Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Bunu, örneğin,. tipte bir bölge için Formül 6 da f(x,y,z) alarak görebilirsiniz: u 2 (x,y) dv dz da [u 2 (x,y) u (x,y)]da u (x,y) : x+2y +z 2, x 2y, x ve z düzlemleri tarafından sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünün hacmini bir üç katlı integral kullanarak bulunuz. Çözüm : Bu ifadenin z u (x,y) ve z u 2 (x,y) yüzeyleri arasında kalan bölgenin hacmini verdiğini biliyoruz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 T düzgün dörtyüzlüsü ve onun xy-düzlemine izdüşümü Şekil 25 de gösterilmiştir. T nin alt sınırı z düzlemi ve üst sınırı x+2y +z 2 ya da z 2 x 2y düzlemi olduğundan V(T) T x/2 x/2 dv x/2 x/2 2 x 2y (2 x 2y)dydx 3 dzdydx Şekil 25: bulunur. (Hacim hesabı için üç katlı integralleri kullanmanın mutlaka gerekli olmadığına, bunun yalnızca farklı bir hesaplama olanağı sağladığına dikkat ediniz.) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32
31 Kütle Çift katlı integral uygulamaları, üç katlı integrallere doğrudan genişletebilir. Örneğin, bir bölgesini kaplayan bir cismin yoğunluğu, herhangi bir (x, y, z) noktasında, birim hacimdeki kütle cinsinden ρ(x, y, z) ise, bu cismin kütlesi m ρ(x,y,z)dv (23) Silindirik ve Küresel Koordinatlarda İntegraller Üç Katlı Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 22/ 32 Silindirik Koordinatlar Silindirik Koordinatlar f nin sürekli ve bölgesi kutupsal koordinatlarda {(r,θ) α θ β,h (θ) r h 2 (θ)} olarak verilmek üzere, {(x,y,z) (x,y),u (x,y) z u 2 (x,y)} olduğunu varsayalım. enklem 6 dan f(x,y,z)dv β α h 2 (θ) u 2 (rcosθ,rsinθ) h (θ) u (rcosθ,rsinθ) f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ (24) formülünü elde ederiz. Formül 24 üç katlı integralin silindirik koordinatlardaki ifadesidir. Bu formülü kullanmak, bölgesi silindirik koordinatlarla kolayca betimlemeye uygun olduğu ve özellikle f(x,y,z) de x 2 +y 2 ifadesi geçtiği zaman yararlıdır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 23/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 24/ 32
32 : 2 4 x x 2 değerini bulunuz. 2 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 )dzdydx integralinin Çözüm : Bu ardışık integral {(x,y,z) 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2, x 2 +y 2 z 2} nin alt yüzeyi z x 2 +y 2 konisi, üst yüzeyi de z 2 düzlemidir. Bu bölgenin silindirik koordinatlardaki ifadesi çok daha basittir: {(r,θ,z) θ 2π, r 2,r z 2} bölgesi üzerinde bir üç katlı integraldir ve nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü x 2 +y 2 4 dairesidir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 25/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 26/ 32 Küresel Koordinatlar olayısıyla 2 4 x x 2 elde edilir. 2 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 )dzdydx 2π 2 2 2π 2π dθ (x 2 +y 2 )dv r 2 r 2 rdzdrdθ r 3 (2 r)dr [ 2 r4 5 r5 ] 2 6π 5, {(ρ,θ,φ) a ρ b,α θ β,c φ d} olarak verilen küresel bir yarık olmak üzere f(x,y,z)dv d β b c α a dir. f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ 2 sinφ dρdθdφ (25) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 27/ 32
33 Küresel Koordinatlar : B bölgesi Bu formülü {(ρ,θ,φ) α θ β,c φ d,g (θ,φ) ρ g 2 (θ,φ)} gibi daha genel küresel bölgeleri de kapsayacak şekilde genişletebiliriz. Bu durumda formül, ρ nun sınırlarının g (θ,φ) ve g 2 (θ,φ)olması dışında (25) ile aynıdır. Küresel koordinatlar genellikle üzerinde integral alınan cismin sınırlarını koni ya da küre gibi yüzeylerin oluşturduğu üç katlı integrallerde kullanılır. B {(x,y,z) x 2 +y 2 +z 2 } birim küresi olmak üzere e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv integralinin değerini bulunuz. B Çözüm : B nin sınırı bir küre olduğu için, küresel koordinatları kullanırız: Ayrıca B {(ρ,θ,φ) ρ, θ 2π, φ π}. x 2 +y 2 +z 2 ρ 2 olduğundan küresel koordinatları kullanmak uygun olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 29/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 NOT (25) den B π 2π e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv e (ρ2 ) 3/2 ρ 2 sinφdρdθdφ π 2π sin φdφ dθ ρ 2 e ρ3 dρ [ cosφ] π (2π) [ 3 eρ3 ] 4π 3 (e ) teki integrali küresel koordinatları kullanmadan hesaplamak sıkıntılı olurdu. Örneğin kartezyen koordinatlarda ardışık integral olurdu. x 2 x 2 x 2 y 2 (x e 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dzdydx x 2 y 2 bulunur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 32/ 32
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce
DetaylıHacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir.
Hacimler ve C ift Katlı Integraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıFİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ
FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ (del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: f GRADİYENT Bir A vektör alanı ile skaler çarpılırsa:
DetaylıBir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.
Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda
DetaylıKonik Kesitler ve Formülleri
Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıY = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıBu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.
Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıDers 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
Detaylıg(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1
Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
DetaylıSTATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
DetaylıAnaliz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1]
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıAd ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular
Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıÜç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x,y,z) sıralı üçlüsüne, f(x,y,z) ile gösterilen tek
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıB: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.
2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;
DetaylıDers 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1
Bölüm 7 ers 7 Çok katlı İntegraller 7. Alıştırmalar 7 Prof.r.Haydar Eş Prof.r.Timur Karaçay. Soru a) 6x yd y 6x yd y 6x y +C (x) 3x y +C (x) 6x yd y 3x y 3x ( ) 3x 93 94 BÖLÜM 7. ERS 7 b) 6x ydx 6y x dx
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
DetaylıANAL IZ III Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)
DetaylıTürev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız
Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıGravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar
Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme
DetaylıEMAT ÇALIŞMA SORULARI
EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıV =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.
Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıUZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıÜç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x, y, z) sıralı üçlüsüne, f(x, y, z) ile gösterilen
DetaylıBu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti
DetaylıGerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 13
4. İNTEGRALLER 4.1. Kompleks İntegrasyon Tanım 1. f : [a, b] R fonksiyonu f(t) u(t) + iv(t) biçiminde olsun. Eğer u ve v, [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilirse, olarak tanımlanır. b f(t)dt b u(t)dt
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
DetaylıFİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ
FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ GRADİYENT: f(,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir skaler alan olsun. Herhangi bir
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıSTATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
Detaylı1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)
ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Detaylıπ a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
Detaylı= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıA A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,
Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate
DetaylıKATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi
DetaylıCismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi
4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
Detaylı3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.
Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıGERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET
GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları
Detaylı2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
DetaylıMühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.
ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa
DetaylıMohr Dairesi Düzlem Gerilme
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak.
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri
Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
Detaylı