Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Transkript

1 Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Korol Siemleri Taarımı

2 Öğreim Görevlii : Der Yeri ve Zamaı : A-0 Perşembe 7-0pm Ofi : E-Blok gorgu@yildiz.edu.r Daışma Saaleri : Salı:4-5pm, Çarşamba 4-6pm Der Kiabı : Corol Syem Egieerig, Norma S. Nie, Fourh Ediio, Joh Willey ad So, ISBN Taviye Edile Kiaplar : Auomaic Corol Syem, Bejami Kuo, Eighh Ediio, Preice-Hall. Feedback ad Corol Syem, J.J. DiSefao, III, A.R. Subberud, I.J. William, Schaum Oulie Serie. Moder Corol Egieerig, K. Ogaa, Fourh Ediio, 00, Preice Hall Değerledirme :. Yıl içi Sıavı % 0. Yıl içi Sıavı % 0 Lab % 0 Fial % 40 Korol Siemleri Taarımı

3 Korol Siemleri Taarımı 3

4 Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı aalizi ile iem aımlamaı öemlidir. Korol Siemleri Taarımı 4

5 Trafer Fokiyou: Trafer Fokiyou Kuuplar&Sıfırlar Başlagıç koşulları ıfır kabul edilerek bir iemi cevap fokiyou çıkışı ile ürücü fokiyou giriş araıdaki Lapla raformayoları oraıa rafer fokiyou deir. Trafer fokiyou iemi diamik karakeriiklerii aımlar. Siem özelliğidir. Siemi fizikel yapıı hakkıda bilgi vermez, farklı fizikel iemleri rafer fokiyoları ayı olabilir. Kuuplar: Trafer fokiyouu paydaıı kökleridir. Komplek kuuplar üm iemi eerji depolama karakeriikleri ile alakalı doğal frekalarıı emil eder. Korol Siemleri Taarımı 5

6 Komplek kuuplar iemi doğal frekalarıdır, eör ve harekelediricileri düzlemideki yerleride bağımızdır. Komplek kuuplar iemi değişik iç eerji depolama elamaları araıda eerjii erbeçe dolaşığı doğal frekaları emil eder. Sıfırlar: Trafer fokiyouu payıı kökleridir. Seörler ve harekelediriciler ile aımlaa eerji depolama karakeriikleri ile alakalı rezoa frekalarıı emil eder. Komplek ıfırlar iemi eerjiii akığı gibi davraacağı frekaları emil eder. G Sıfırlar:-, -5 K Kuuplar:0, -3, -5, -8 ae Korol Siemleri Taarımı 6

7 Örek: Korol Siemleri Taarımı 7

8 Korol Siemleri Taarımı 8 5 C A B C e c B A C

10 . Giriş fokiyouu kubu zorlamış çözümü üreir. Orjideki kuup çıkışa birim baamak fokiyou oluşurdu. Trafer fokiyouu kubu doğal cevabı oluşurur. - 5 deki kuup e -5 yi ürei 3. Reel ekedeki kuup e -a şekilide üel bir cevap üreir, bu kuup e kadar olda ie üel geçici cevap 0 a o kadar hızlı düşer 4. Sıfır hem kararlı halde hemde geçici rejimde büyüklüğü oluşmaıa yardımcı olur. Korol Siemleri Taarımı 0

11 Korol Siemleri Taarımı

12 Korol Siemleri Taarımı Örek: K K K K C Siemii cevabı: e K e K e K K c Zorlamış Çözüm Doğal Çözüm

13 Birici Derece Siem Cevabı ve Özellikleri Eğer R/ birim baamak ie c e C a a a a ya göre iemi iceleyelim; a e a e a Korol Siemleri Taarımı 0.37 a c e 0.37 a

15 Zama Sabii: /a ya zama abii deir. Deklemler ve şekle göre e -a i başlagıç değerii %37 ie düşmeie kadar ola zama veya birim baamak cevabıı %63 üe ulaşıcaya kadar geçe üre olarak aımlaabilir. Zama abiii birimi /aiye dir. a paramereie de üel freka deir. 0 da e -a i ürevi a oldugu içi 0 da başlagıç eğimi a dır. Böylece. derece iemi geçici cevabı zama abii olarak değerledirilebilir. Korol Siemleri Taarımı 5

16 Yükelme Zamaı, T r : Yükelme zamaı cevabı %0 u da %90 ıa ulaşıcaya kadar geçe üre olarak aımlaır. c e a Deklemide c0.9 ve c0. zamalarıda fark alıcak olura l e a a l e a a T r a a a Korol Siemleri Taarımı olarak buluur. 6

17 Yerleşme Zamaı, T : Yerleşme zamaı cevabı %98 ie ulaşıcaya kadar geçe üre olarak aımlaır. c e a Deklemide c0.98 olarak alııra l at 0.98 e T 0.0 a 4 T a olarak buluur. Korol Siemleri Taarımı 7

18 İkici Derece Siem Cevabı ve Özellikleri Birici derece iemlerde paramerei değişimi adece iemi cevap hızıı ekiler ama ikici derece iemlerde paramere değişimi cevabı şeklii de değişirebilir. Örek: Siemii ele alalım: Bu iemi iki olu kubu var ve ıfırı yok. Paydadaki b ayıı adece girişi çarpa bir fakör. a ve b ye değişik ayılar aayarak ikici derece iemi iceleyelim. Korol Siemleri Taarımı 8

19 Aşırı Söümlü: İki kök reel eke üzerideyke oluşa cevabdır. R/ ve CRG ike 9 C 9 9 C Olarak eçelim Olarak yazılabilir. Burada haırlaacağı üzere giriş fokiyou abi zorlu çözümü Reel eke üzerideki iki kuup da doğal çözümü oluşurur ki buları frekaları kuupları yerlerie bağlıdır. c K K e K 3 e.46 Korol Siemleri Taarımı 9

21 Söümlü: Komplek eşleik kökler varke ola cevabdır. C 9 9 Olarak eçelim Eşleik kuuplar:, -±j.8 Korol Siemleri Taarımı

22 , -±j.8 Kubu reel kımı iüoidal i geliğii üel düşüm frekaıa dek gelirke, imajier kımı ie iüoidal i oilayo frekaıa karşılık gelir. Korol Siemleri Taarımı

23 Geel olarak; Bu ür cevaplara öümlü cevaplar adı verilir ve kararlı hale öümlü oilayo ile ulaşır. Siüoidal ı frekaıa öümlü oilayo frekaı deir, ω d Korol Siemleri Taarımı 3

24 Örek: Siemii birim baamak cevabıı yazıız. Eşleik kuuplar:, -5±j3.3 c 5 K e K Co 3.3 K 3 Si 3.3 c K 5 K 4e Co 3.3 φ φ a K K 3 K 4 K K 3 Korol Siemleri Taarımı 4

25 Oilayolu Cevap: C 9 İki kök imajier eke üzerideyke oluşa cevabdır. 9 Olarak eçelim Orjideki giriş abi zorlamış cevabı oluşururke imajier eke üzeride ±3j deki kuuplar iüodial doğal cevap oluşurur. Korol Siemleri Taarımı 5

27 C Kriik Söümlü Cevap: İki kalı kök reel ekeegaif bölgede üzerideyke oluşa cevabdır Olarak eçelim c K K e 3 K 3 e 3 Orjideki giriş abi zorlamış cevabı oluşururke reel eke üzeride -3 deki kuuplar üel ve üel ile zamaı çarpımı doğal cevabı oluşururlar. Korol Siemleri Taarımı 7

28 Aşırı Söümlü: Öze Kökler:-σ, -σ Söümlü: Kökler:-σ d ± jω d Oilayolu Cevap: Kökler: ±j ω Kriik Söümlü Cevap: σ σ c K e K e σ d c Ae Co ω φ c ACo ω φ d Kökler:-σ, -σ c K e K e σ σ Korol Siemleri Taarımı 8

30 Doğal Freka, ω : İkici derece bir iemi doğal frekaı iemi öümüz oilayo frekaıdır. Söüm oraı, ζ: Üel düşüm frekaıı doğal frekaa oraıdır. ζ Üel düşüm frekaı/doğal frekarad/ ζ/πdoğal periyo/üel zama abii G b a Öreğii ele alalım, b Söümüz iemi kuupları imajier eke üzeride olacakır ve iem cevabı öümüz iüoidaldir. Siemi öümüz olmaı içi a0 olmalıdır. Korol Siemleri Taarımı 30

31 Böylece aım gereği iemi oilayo frekaı iemi doğal frekaıdır. Siem kuupları imajier ekede ± b de olduğu içi ω b ve bω dir. Siemimiz öümlü olduğuda a 0 ve komplek eşleik kökleri gerçek kıımları a/ dir. Bu değer daha öce belirildiği gibi üel düşüm frekaıı aımlar, a ζ ω dolayııyla a ζω dir. Geel olarak ikici derece iem: G ω ζω ω Korol Siemleri Taarımı 3

32 Örek: Geel olarak: G G ζω ve 36 ω ω 4. 6 ζ 6 ω ζω İkici derece iemi kökleri: ω 0.35 ie, ζω ± ω ζ Korol Siemleri Taarımı 3

33 , ζω ± ω ζ ζ 0 Korol Siemleri Taarımı 33

34 , ζω ± ω ζ 0 < ζ < Korol Siemleri Taarımı 34

35 , ζω ± ω ζ ζ Korol Siemleri Taarımı 35

36 , ζω ± ω ζ ζ > Korol Siemleri Taarımı 36

37 Örek: a Siemii e ür cevabı olacağıı buluuz. ζω ve b ω ζ.55 ζ > ζ a b 8 Olduğu içi aşırı öümlüdür Örek: Siemii e ür cevabı olacağıı buluuz. ζ ζ 8 6 ζ Olduğu içi kriik öümlüdür Korol Siemleri Taarımı 37

38 Söümlü İkici Derece Siemler Bir çok fizikel problem içi öümlü ikici derece iem iyi bir modeldir. İkici derece iemi birim baamak cevabıı iceleyelim: ω C ζω ω K K K 3 ζω ω ζ < Korol Siemleri Taarımı 38

39 Korol Siemleri Taarımı 39 ζ ω ζω ζ ω ζ ζ ζω C Si Co e c ζ ω ζ ζ ζ ω ζω [ ] φ ζ ω ζ ζω Co e c a ζ ζ φ ζ ω ζω ζ ω ζ ζ ζ ω ζω ζω C

40 Söüm kaayıı küçüldükçe çıkış daha oilayolu olur. Değişe öüm oraları ile İkici derece iem cevabı Korol Siemleri Taarımı 40

42 . Tepe Sürei, T p : Siem cevabıı epe veya makimum okaya ulaşığıda geçe üre.. Aşım, %OS: Siem cevabıı epe veya makimum okaı ile kararlı haldeki değeri araıdaki farkı kararlı haldeki değere oraıdır. % olarak ifade edilir. 3. Yükelme Zamaı, T r : Siem cevabıı %0 u da %90 ıa ulaşıcaya kadar geçe üre olarak aımlaır. 4.Yerleşme Zamaı, T : Siem cevabıı %98 ie ulaşıcaya kadar geçe üre olarak aımlaır. Korol Siemleri Taarımı 4

43 Bu ip bilgiler aarımcıı cevabı hızıı veya doğaıı iem performaıı azalıp azalmadığıa karar vermei açııda öemlidir. Öreği bir CD okuyucuuu kafaıı bilgiyi okumak içi kararlı hale gelmei üm bilgiayar performaıı ekiler.. Tepe Sürei, T p, i İcelemei T p, c i ürevi alııp 0 da ora ilk ıfırı bularak heaplaır. Başlagıç şarları ıfır kabul edilip, df L f f 0 d L. c C Türev eoremi kullaılacak olura ω ζω ω Korol Siemleri Taarımı 43

44 Korol Siemleri Taarımı 44 Paydayı düzeleyecek olurak,. ζ ω ζω ω c L ζ ω ζω ζ ω ζ ω. Si e c ζ ω ζ ω ζω Türevi 0 a eşilediğimizde: π ζ ω ζ ω π ve i her bir değeri yerel makimum veya miumumu göerir. 0, 0 aıa karşılık gelir ve eğim ıfırdır. i değeri olmaı birici epe zamaıa karşılık gelir. Böylece: ζ ω π T p

45 . Aşım, %OS, i İcelemei c c max,t p aıda c i değeridir. % OS c max c c fial fial 00 ζω ζ e Co ω ζ Si ω ζ ζ ζπ ζ ζ cmax c Tp e Co π Si π ζ ζπ ζ c e Birim baamak içi c fial max % OS e ζπ ζ 00 ve l% OS /00 ζ π l % OS /00 Korol Siemleri Taarımı 45

46 Söüm Oraı -Aşım Grafiği Korol Siemleri Taarımı 46

47 3. Yerleşme Sürei,T, i İcelemei Yerleşme üreii bulabilmek içi c i kararlı hal c fial değerii %98 ie ulaşığı zamaı heaplamamız gerekir. Taımda haırlaacağı üzere yerleşme ürei azala iüoidalı geliğii 0.0 ye ulaşma üreidir. Dolayııyla: 0.0 c e ζω ζ ζ e [ ] Co ω ζ φ ζω burada T Korol Siemleri Taarımı l0.0 ζω ζ ye bağlı olarak T i pay ı 3.9 ile 4.74 araıda değişir. Bir yaklaşım yaparak, T 4 ζω yazabiliriz. ζ 47

48 4. Yükelme Sürei,T r, i İcelemei Yükelme zamaı ve öüm araıdaki ilişki aşağıdaki şekil ile buluabilir. Korol Siemleri Taarımı 48

49 Örek: G Siemi içi, T p, %OS vet yi buluuz a ω ζω b 00 0 a ζ b π π T p % OS T ω e 4 ζω ζ ζπ ζ e Korol Siemleri Taarımı 0.75π Şekilde T r

51 Söümlü İkici Derece Siemleri Kuup Çizimi Co θ ζ, σ ± d jω d T p π ω d T 4 σ d Korol Siemleri Taarımı Üel öüm frekaı Söümlü oilayou frekaı 5

52 Tepe ürei,t p, kubu imajier kımı ile er oraılıdır. düzlemide yaay çizgiler abi epe ürelerii göerir. Yerleşme ürei,t, kubu reel kımı ile er oraılıdır. düzlemide dikey çizgiler abi yerleşme ürelerii göerir. ζ Coθ Olduğu içi eğimli çizgiler abi öüm oraı çizgileridir. Ayrıca %OS adece öüm oraıı fokiyou olduğu içi bu çizgilere abi %OS çizgileri de diyebiliriz Korol Siemleri Taarımı 5

57 Örek: Kuup şekli verile Siem içi,ζ, ω, T p, %OS vet yi buluuz ζ Coθ Coarca 7 / ω rad / T p T % OS π ω Korol Siemleri Taarımı d 4 σ d e π π e ζπ ζ %

58 Örek: G / D J J Siemii birim baamak Tork girişie K cevabıda %0 lik bir aşım ve yerleşme zamaı olmaı içi J ve D e J olmalıdır. K D ω ve ζω ; T J J D 4 ζω 4 ve ζ J ω J K Korol Siemleri Taarımı 4 ζω ζω ζ OS %0 ie ζ0.456şekilde ie K5 olduğuda, J0.6kg-m ve D.04 N-m/rad J K 58

59 İlave Kuup Olmaı Durumuda İkici Derece Söümlü Siemi Davraışı Şimdiye kadar yapığımız aalizler ve deklemler ıfırı olmaya eşleik komplek kuuplu ikici derece iemler içidi. İkide fazla kubu veya ıfırları ola iemler içi bu deklemleri kullaamayız.!!! Acak, bazı şarlar alıda, ikide fazla kubu ve ıfırları ola iemler bakı iki eşleik komplek kubu ola iem gibi ele alıabilir. Bu bölümde kubu ilave edilmei halii iceleyeceğiz. Var ayalım ki 3 derece bir iemi eşleik kökleri: ζω ± ω ζ ve üçücü kök :, α r reel eke üzeride olu. Korol Siemleri Taarımı 59

60 Korol Siemleri Taarımı 60 Birim baamak cevabı kımi keirlere ayırma yöemi ile belirleebilir: r d d D C B A C α ω ζω ω ζω Zama aım aralığıda: [ ] d d r De CSi BCo e Au c α ζω ω ω

61 α r Korol Siemleri Taarımı 6

62 Üçücü kubu ekiii ihmal edilebilir olmaı içi domia kuuplarda e kadar uzak olmaı gerekir? Bu amame ieile haaiyee bağlıdır ama geel olarak üel düşüm 5 zama abii ouda ihmal edilebilir kabul edilir. Böylece eğer üçücü kök bakı kökleri yaklaşık 5 ka oluda ie iemi ikici derece kabul edebiliriz. Bu üel düşümü geliği e kadar? Tepe üreie ekii ihmal edilebilir mi? bc A B C a b c C a b D c Bakı olmaya üçücü kök c olu ve kararlı hal çözümü birim cevaba ulaşı. Korol Siemleri Taarımı 6

63 Paydaki kaayıları ıraı ile heapladığımızda, A ; B c ca b c ca C ca c c b a bc ca ; D c b b ca c A; B-; C-a; D0 Görüldüğü gibi bakı kök ouza doğru hareke eiğide bu kubu geliği ve cevabı 0 olmakadır. Korol Siemleri Taarımı 63

64 Korol Siemleri Taarımı 64 Örek: ; ; T T T Siemlerii birim baamak cevaplarıı bulup karşılaşırıız Co e c Co e e c Co e e c

66 İlave Sıfır Olmaı Durumuda İkici Derece Söümlü Siemi Davraışı İki kuuplu ieme bir reel ıfır ekleyelim: Siem kuupları -±j.88 olu ve ıraıyla -3, -5, ve -0 da ıfırlar ekleyelim. Korol Siemleri Taarımı 66

67 Korol Siemleri Taarımı 67 Görüleceği üzere ıfır bakı kuuplara e kadar yakı ie geçici rejimdeki ekii daha fazla olur. Sıfır bakı kuuplarda uzaklaşıkça iem cevabı ikici derece iem cevabıa bezemekedir. c b a T c B b A / / c b c a c b c b a b Kımi keirler açılımı ile iceleyelim: Eğer a, b ve c ye göre çok büyük ie / / c b c b c b a T Sıfır baiçe kazaç kaayıı gibi davraır. c b a

68 Eğer ikici derce ieme ağ yarı düzlemde bir ıfır ekleire So değer poiif olmaıa karşı başlagıça bir üre egaif çıkış üreir. Bu ür iemlere o-miumum faz iemler deir. Bir mooikle veya uçak o-miumum faz ie iz direkiyou ağa çevirdiğiizde mooikle veya uçak ola doğru hareke emei alamıa gelir. Korol Siemleri Taarımı 68

69 Sıfır-Kuup Elimie Edilmei T K z p a 3 b Eğer ıfır ile p 3 kubu birbirii göürüre, veya birbirlerie çok yakıa üçücü derece iem yie ikici derece iem gibi davraır. Korol Siemleri Taarımı 69