!!! END331&& YÖNEYLEM&ARAŞTIRMASI&I& DERS&NOTLARI&& ( ) Dr.&Y.&İlker&Topcu&&&Dr.&Özgür&Kabak&

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "!!! END331&& YÖNEYLEM&ARAŞTIRMASI&I& DERS&NOTLARI&& ( ) Dr.&Y.&İlker&Topcu&&&Dr.&Özgür&Kabak&"

Transkript

1 END33 YÖNEYLEMARAŞTIRMASII DERSNOTLARI (25-26) Dr.Y.İlkerTopcuDr.ÖzgürKabak Teşekkür: Prof.W.L.Winston'ın"OperationsResearch:ApplicationsandAlgorithms"kitabıileProf.J.E. Beasley'sYAdersnotlarınınbudersnotlarınınoluşturulmasınaolankatkılarıyüzündenheriki profesöredeteşekkürederiz... Rastlayabileceğiniztümhatalarınsorumluluğubizeaittir.Lütfenbizibuhatalardanhaberdarediniz İstanbulTeknikUniversitesiOR/MStakımı

2 İÇİNDEKİLER. YÖNEYLEMARAŞTIRMASINAGİRİŞ.... TERMİNOLOJİ....2 YÖNEYLEMARAŞTIRMASIYÖNTEMBİLİMİ....3 YÖNEYLEMARAŞTIRMASININTARİHÇESİ TEMELYÖNEYLEMARAŞTIRMASIKAVRAMLARI DOĞRUSALPROGRAMLAMAİLEMODELLEME DPÖRNEKLERİ GiapettoÖrneği ReklamÖrneği BeslenmeÖrneği PostaneÖrneği SailcoÖrneği MüşteriHizmetDüzeyiÖrneği PetrolKarışımıÖrneği MUTLAKDEĞERLİİFADELERİNDP YEEKLENMESİ Dönüşüm MakineYeriBelirlemeÖrneği PARÇALIDOĞRUSALFONKSİYONLAR ParçalıdoğrusalKonveksfonksiyonlarınDP yeeklenmesi DoğrusalOlmayanKonveksFonksiyonlarınDönüşümü PetrolTaşımaÖrneği DP NİNÇÖZÜMÜ DPÇÖZÜMLERİ:DÖRTDURUM GRAFİKÇÖZÜM SİMPLEKSALGORİTMASI BÜYÜKMYÖNTEMİ İKİAŞAMALISİMPLEKS İŞARETİSINIRLANDIRILMAMIŞDEĞİŞKENLER DUYARLILIKANALİZİVEDUALİTE DUYARLILIKANALİZİ İndirgenmişMaliyet GölgeFiyat...44 i

3 5..3 Kavramsallaştırma DuyarlılıkiçinLindoÇıktısınınKullanılması GrafikÇözümKullanarakDuyarlılık %Kuralı DUALİTE Primal Dual BirDP nindualinibulma DualTeoremi EkonomikYorum DUALİTEVEDUYARLILIK TÜMLERGEVŞEKLİKTEOREMİ DUALSİMPLEKSYÖNTEMİ Dualsimpleks inüçfarklıkullanımı Adımlar BirKısıtEkleme Normalenküçüklemesorunuçözme DP DEİLERİKONULAR DÜZELTİLMİŞSİMPLEKSYÖNTEMİ Simpleksyöntemininmatrisformundagösterimi DüzeltilmişSimpleksYöntemiAdımları DüzeltilmişSimpleksYöntemiTabloGösterimi SİMPLEKSKULLANARAKDUYARLILIK ULAŞTIRMASORUNLARI ULAŞTIRMASORUNLARININFORMÜLASYONU DengeliUlaştırmaSorunununFormülasyonu DengesizbirUlaştırmaSorunununDengelenmesi TEMELOLURLUÇÖZÜMÜNBULUNMASI KuzeybatıKöşeYöntemi EnküçükMaliyetYöntemi VogelYaklaşımı ULAŞTIRMASİMPLEKSİ ULAŞTIRMASORUNLARIİÇİNDUYARLILIKANALİZİ GEÇİCİKONAKLAMASORUNLARI ATAMASORUNLARI...89 ii

4 7.6. DPGösterimi MacarYöntemi AĞMODELLERİNEGİRİŞ ENKISAYOLPROBLEMİ EnkısayolproblemininDPgösterimi DijkstraAlgoritması ENBÜYÜKAKIŞPROBLEMİ EnbüyükakışproblemininDPgösterimi ENKÜÇÜKMALİYETLİAKIŞPROBLEMİ PROJEYÖNETİMİ KAVRAMLAR PROJEAĞI CPM/PERT CPM Projeninhızlandırılması PERT CPiçinOlasılıkAnalizi... iii

5 . YÖNEYLEMARAŞTIRMASINAGİRİŞ. TERMİNOLOJİ "YöneylemAraştırması"(YA),İngilizveAvrupalılartarafından"OperationalResearch" veamerikalılartarafından"operationsresearch"olarakisimlendirilirve"or"olarak kısaltılır. Bualandakullanılanbirdiğerterimde"YönetimBilimi"dir(ManagementScience)ve uluslararası literatürde MS olarak kısaltılır. İki terim birleştirilerek "OR/MS" veya "ORMS"dedenilir. YA genelde bir"sorun Çözme"(problem solving) ve"karar Verme Bilimi"(decision science)olarakdadeğerlendirilir. BazıkaynaklardaYAyerineEndüstriMühendisliği(IndustrialEngineeringsIE)kavramı dakullanılır. Sonyıllardabualaniçintekbirterimkullanılmayaçalışılmaktadır:OR. Biz de derste bu alan için Yöneylem Araştırmasının Türkçe kısaltması olan YA'yı kullanacağız. Yöneylem Araştırması (Yönetim Bilimi) genellikle kıt kaynakların tahsis edilmesi gerekendurumlardaeniyişekildebirsistemitasarlamayaveişletmeyeyönelikkarar vermesürecinebilimselbiryaklaşımdır. Belirli bir hedefi gerçekleştirmek için birlikte çalışan birbirine bağlı bileşenlerin oluşturduğudüzensistemdir..2 YÖNEYLEMARAŞTIRMASIYÖNTEMBİLİMİ Bir sorunun çözümü için YA kullanıldığı zaman aşağıdaki yedi adımlık süreç takip edilmelidir. Adım.SorununFormülasyonu YA analisti(sorunu olan karar vericiye YA teknikleri ile yardımcı olan kişi) ilk olarak sorunu tanımlar. Sorunun tanımlanmasıv amaçların ve sorunu oluşturan sistemin bileşenlerininbelirlenmesiileolur.

6 Adım2.Sisteminİncelenmesi Daha sonra analist sorunu etkileyen parametrelerin değerlerini belirlemek için veri toplar. Söz konusu değerler sorunu temsil edecek bir matematiksel modelin geliştirilmesi(adım3)vedeğerlendirilmesi(adım4)içinkullanılır. Adım3.SorununMatematikselModelininKurulması Analist tarafından sorunu ideal bir şekilde temsil edecek bir matematiksel model geliştirilir.buderstemodellemeiçinçeşitliyöntemleröğreneceğiz. Adım4.ModelinDoğrulanması Üçüncü adımda kurulan modelin gerçeği iyi yansıtıp yansıtmadığı sınanır. Şu anki durum için modelin ne kadar geçerli olduğu belirlenerek modelin gerçeğe ne kadar uyduğutestedilir. Adım5.UygunbirSeçeneğinSeçilmesi Eldeki model üzerinde bir çözüm yöntemi kullanılarak amaçları en iyi karşılayan bir seçenek(varsa)analisttarafındanseçilir. Bazen eldeki seçeneklerin kullanımı için sınırlandırmalar ve kısıtlamalar olabilir. Bu yüzdenamacıkarşılayanseçenekbulunamayabilir.bazıdurumlardaiseamaçlarıen iyişekildekarşılayanbirdenfazlasayıdaseçenekbulunabilir. Adım6.SonuçlarınKararVericiyeSunumu Buadımda,analistmodelivemodelçözümüsonucundaortayaçıkanönerilerikarar verici ya da vericilere sunar. Seçenek sayısı birden fazla ise karar verici(ler) gereksinimlerinegörebiriniseçerler. Sonuçlarınsunumundansonra,kararverici(ler)öneriyionaylamayabilir.Bununnedeni uğraşılansorunundoğrutanımlanmamasıyadamodelinkurulmasındakararvericinin yeterince sürece karışmaması olabilir. Bu durumda analist ilk üç adıma yeniden dönmelidir. Adım7.ÖnerininUygulanmasıveİzlenmesi Eğerkararvericisunulanöneridenmemnunkalırsa,analistinsongörevikararvericinin öneriyi uygulamasına yardımcı olmaktır: Seçeneğin kullanılarak sorunun çözümüne nezaret etmeli ve özellikle çevre koşulları değiştikçe amaçları karşılamaya yönelik dinamikgüncellemeleryaparakuygulamayıizlemelidir. 2

7 .3 YÖNEYLEMARAŞTIRMASININTARİHÇESİ YöneylemAraştırmasıgöreceliolarakyenibirbilimdalıdır.93'luyıllarınsonundaYA ilkolarakbirleşikkrallık'takullanıldı. 936yılınınbaşındaİngilizHavaBakanlığıvdoğukıyısında,Felixstoweyakınlarında, Suffolk'da Bawdsey Araştırma İstasyonu'nu kurdu. Söz konusu yer hava kuvvetleri savaşöncesiradarçalışmalarınınyapıldığımerkezdi.yine936yılındakraliyethava Kuvvetleri (RAF) içinde Britanya hava savunması için özel bir birlik oluşturuldu. Radarınkullanılmayabaşlamasıberaberindebazısorunlardagetirdi:Uçaklarınrotası vekontrolugibieldeedilenbilginindoğruveetkinbirşekildekullanılmasıgibi.936 yılının sonunda, Kent'deki Biggin Hill'de kurulan bir grup elde edilen radar bilgisi ile diğeruçakileilgiliyerbilgilerininbütünleştirilmesinihedefleyençalışmalaryaptı.söz konusuçalışmalarya'nınbaşlangıcıolarakkabuledilebilir. 937 yılında Bawdsey Araştırma İstasyonu deneysel çalışmaları pratiğe çevirdi ve Radar İstasyonu olarak çalışmaya başladı. Radardan elde edilen bilgiler bütünleştirilerekgenelhavasavunmavekontrolsistemioluşturuldu.temmuz938'de kıyı boyunca dört yeni radar istasyonu daha kuruldu. Bu durumda da farklı istasyonlardan elde edilen ve genelde birbirleri ile çelişen bilginin doğrulanması ve eşgüdümüsorunuortayaçıktı. Sorunun çözümü için ve yapılan işlerin etkinliğinin ölçülmesi amacıyla Bawdsey Araştırmaİstasyonu'ndaA.P.Rowebaşkanlığındabirbilimselgrupoluşturuldu.Söz konusu askeri operasyonların araştırılması (Research into Military Operations) işlemine "Operational Research" denildi. Genişleyen çalışma grubu, 939 yazında, StanmoreAraştırmaİstasyonu'numerkezolarakkullanmayabaşladı. Savaş sırasında Stanmore Araştırma Merkezi, Fransa'daki Alman güçlerine karşı istenen ek uçak kuvvetlerinin uygun olup olmadığını YA teknikleri kullanarak değerlendirdiveuygunolmadığınıgösterengrafiklerleozamankibaşbakanwinston Churchill'e bir sunum yaptı ve sonuçta bölgeye ek kuvvet gönderilmeyerek hava kuvvetlerinin gücünün azalması engellendi. 94 yılında Yöneylem Araştırması Bölümü(OperationalResearchSectionsORS)kurulduvesavaşbitiminekadarsöz konusugrupçalışmalaryaptı. 94 yılında kurulan Blackett önderliğindeki bu gruba yedi ayrı bilim dalından onbir bilim adamı katılmıştı: üç fizyolog, bir fizikçi, iki matematikçi, bir astrofizikçi, iki fizik matematikçisi, bir subay, bir mühendis. Savaştan sonra YA çalışmaları özellikle ABD'deaskeriyedışındakialanlardadahızlandı 3

8 Türkiye'de ise ilk YA çalışmaları, Haziran 956'da, Alb. Fuat Uluğ'un çabaları ile GenelKurmay'daoluşturulanyedeksubaylardanoluşanHarekatAraştırmasıgrubuile başladı. Seferberlik ve hava savunma konularında yurtdışından alınan destek ile araştırmalaryapıldı.ülkemizdeilkyadersideitümakinefakültesinde96s6ders yılındaprof.dr.ilhamikarayalçıntarafındanverildi.966yılındaharekataraştırması ismiyöneylemaraştırmasıolarakdeğiştirildi. 4

9 2. TEMELYÖNEYLEMARAŞTIRMASIKAVRAMLARI Yöneylem araştırması, gerçek hayat sistemlerinin matematiksel modellerle temsil edilmesi ve en iyi (optimum) çözümü bulmak için kurulan modellere sayısal yöntemler(algoritmalar)uygulanmasıdır. Bireniyileme(optimizasyon)modeliverilenkısıtlarısağlayankarardeğişkenlerinintüm değerleriarasındaamaçfonksiyonunueniyileyen(enbüyükleyenveyaenküçükleyen) değerleribulmayıhedefler Örnek TwoMinesŞirketiözelbircevherçıkardığıikiadetmadenocağınasahiptir.Ocaklarda üretilencevherüçsınıfaayrılır:yüksek,orta,düşükkaliteli.şirketbirfabrikayahaftalık olarak 2 ton yüksek, 8 ton orta ve 24 ton düşük kaliteli cevher sağlamak üzere anlaşmıştır. Söz konusu iki maden ocağı (X ve Y) ayrıntıları aşağıda verilen farklı işletimözelliklerinesahiptir. Maden Maliyet ( '/gün) Üretim(ton/gün) Yüksek Orta Düşük X Y 6 6 Anlaşmayıgerçekleştirmekiçinhaftasonuüretimyapılmayanmadenocaklarıhaftada kaçgünişletilmelidir? Tahmin Two Mines örneğini incelemek için çok basit bir şekilde yargımızı kullanarak madenlerin haftada kaç gün çalışacağına yönelik olarak fikir yürüterek tahmin yapabiliriz. haftadabirgünxmadenini,birgünymadeniniişletme Buçözümönerisiiyibirsonuçvermeyecekgibigözükmektedir.Sadece7tonyüksek kaliteli cevher üretilecek bu durumda da 2 tonluk müşteri gereksinimi karşılanamayacaktır. Böyle bir çözüme "olurlu (uygun) olmayan" (infeasible) çözüm denilir. haftada4günxmadenini,3günymadeniniişletme Bu durumda tüm müşteri gereksinimleri karşılanabilmektedir. Böyle bir çözüme de "olurlu"(feasible)çözümdenilir.fakatsözkonusuçözümönerisiçokpahalıdır. 5

10 Anlaşmayı en küçük maliyetle sağlayacak çözümü isteriz. Tahmin ederek yeni çözümler bulsak bile bulduğumuz çözümün en küçük maliyetli olup olmadığını bilemeyiz.yapısalbiryaklaşımileeniyiçözümübulabiliriz. Çözüm Yapmamız gereken Two Mines örneğini sözel olarak ifade edip, söz konusu ifadeyi matematikselbirtanımaçevirmektir. Butiptesorunlarıçözmeyeuğraşırkenöncelikleaşağıdakikavramlarıbelirlemeliyiz: değişkenler(variables) kısıtlar(constraints) amaç(objective) Bu belirleme sürecine "formülasyon" ya da daha resmi bir şekilde sorunun matematikselmodelininformülasyonudenilir. Değişkenler Bunlarverilmesigerekenkararlarıveyabilinmeyenleritemsileder.İncelenensorunda ikiadetkarardeğişkeni(decisionvariable)vardır: x=birhaftadaxmadenocağınınişletileceğigünsayısı y=birhaftadaymadenocağınınişletileceğigünsayısı Doğalolarakx vey olacaktır Kısıtlar Kısıt, soruna özgü durumların getirdiği sınırlamalardır. Kısıt belirlemenin en iyi yolu önce sınırlayıcı durumları sözel olarak ifade edip daha sonra değişkenleri kullanıp matematikselbiçimdeyazmaktır: Cevherüretimkısıdı üretilencevherilemüşterigereksiniminindengelenmesi Cevherçeşitleri Yüksek 6x+y 2 Orta 3x+y 8 Düşük 4x+6y 24 Kısıtlardaeşitlikyerineeşitsizlikkullanıldığınadikkatediniz.Budurumdagereksinim duyulandan daha fazla cevher üretebiliriz. Eşitsizlik kullanma "en iyileme" (optimization)sorunlarındakikısıtlardaesnekliksağlar. 6

11 HaftalıkgünkısıdısHaftadabelirlibirgündenfazlaçalışılamaz.Örneğinhaftada5gün çalışılırsa x 5 y 5 Haftalık gün sayısı gibi kısıtlar genellikle saklı (implicit) kısıtlar olarak isimlendirilir çünkübukısıtlardeğişkenlerintanımlanmasındasaklıdır Amaç Şirketin amacı toplam maliyeti (8x + 6y) en az seviyede tutarak müşteri gereksinimlerinikarşılamaktır. Ele alınan sorunda tüm olası olurlu çözümlerden amaç fonskiyonu değerini enküçükleyenkarardeğişkenideğerlerinibarındırançözümeniyiçözümdür. Sorunun amacının kar enbüyüklemesi olması durumunda en iyi çözüm amaç fonksiyonudeğerinienbüyükyapandeğerolacaktır. Genel olarak, tüm olası olurlu çözümlerden amaç fonksiyonu değerini en iyi hale getirenkarardeğişkenideğerlerinibarındırançözüme"eniyi"(optimum)çözümdenilir. Sonuçolaraktümkavramlarıbiraradayazaraktam)matematiksel)modeliaşağıdaki gibiyazabiliriz: enküçükle(minimize) 8x+6y öyleki(subjectto) 6x+y 2 3x+y 8 4x+6y 24 x 5 y 5 x,y Yukarıdaverilenmatematikselmodelaşağıdakibiçimdedir: tümdeğişkenlersüreklidir(continuous) tekbiramaçvardır(enbüyükleme(maximize)veyaenküçükleme(minimize)) 7

12 END amaçvekısıtfonksiyonlarıdoğrusaldır.fonksiyondakiherterimyasabitsayıdır yadabirsabitleçarpılmışdeğişkendir(örneğin24,,4x,6ydoğrusalterimlerdir fakatxy,x 2 doğrusaldeğildir). Yukarıdaki üç koşulu sağlayan herhangi bir formülasyon bir "Doğrusal Program"dır (DPvlinearprogramsLP). Bir sorunu DP ile incelediğimizde yukarıdaki koşullara uymak için bazı varsayımlar yaparız.elealdığımızörnektehaftalıkçalışmagünsayısınınkesirliolabileceği(tam sayıolmakzorundaolmaması)gibi.aslındabutipsorunlarıçözmekiçin"tamsayılı programlama"(integerprogrammingsip)teknikleridekullanılabilir. Matematikselmodel(formülasyon)kurulduktansonraalgoritmaadıverilensayısalbir çözüm tekniği kullanılarak amaç fonksiyonunun "en iyi" (optimum) değerini verecek (enbüyükleme sorunlarında en büyük, enküçüklemede en küçük) ve tüm kısıtları sağlayacakşekildekarardeğişkenideğerleribulunur. "YA,)gerçek)hayat)sistemlerinin)matematiksel)modellerle)temsil)edilmesi)ve)en) iyi) çözümü) bulmak) için) kurulan) modellere) sayısal) yöntemler) ) (algoritmalar)) uygulanmasıdır.") 8

13 3. DOĞRUSALPROGRAMLAMAİLEMODELLEME TwoMinesörneğiincelenirse,birmatematikselmodelinbir"DoğrusalProgram"(DPv linearprogramslp)olmasıiçinaşağıdakikoşullarısağlamasıgerektiğigörülür: Tümdeğişkenlersüreklidir(continuous) Tekbiramaçvardır(enbüyükleme(maximize)veyaenküçükleme(minimize)) Amaçvekısıtfonksiyonlarıdoğrusaldır.Fonksiyondakiherterimyasabitsayıdır yadabirsabitleçarpılmışdeğişkendir DP'lerönemlidirçünkü: çoksayıdasorundpolarakformüleedilebilir "Simpleksalgoritması"kullanılarakDP'lerçözülebilirveeniyiçözümbulunabilir DP'lerintemeluygulamaalanlarınaaşağıdaçeşitliörneklerverilmiştir: Üretimplanlama Rafineriyönetimi Karışım Dağıtım Finansalveekonomikplanlama İşgücüplanlaması Tarımsalplanlama Gıdaplanlama DP'leriçindörttemelvarsayımsözkonusudur: Oransallık o Herkarardeğişkenininamaçfonksiyonunakatkısıkarardeğişkeninindeğeriile orantılıdır(dörtaskerüretmeninamaçfonksiyonuna(kâra)katkısı(4 $3=$2) biraskerinamaçfonkisyonunakatkısının($3)tamolarakdörtkatıdır.) o Herkarardeğişkenininkısıtlarınsoltarafınakatkısıkarardeğişkeninindeğeriile orantılıdır.(üçaskerüretmekgereklicilalamazamanı(2saat 3=6saat)tam olarakbiraskerüretmekiçingereklicilalamazamanının(2saat)üçkatıdır.) Toplanabilirlik o Herhangi bir karar değişkeninin amaç fonksiyonuna katkısı diğer karar değişkenlerinindeğerlerindenbağımsızdır.(trenin(x 2 )değerineolursaolsun, asker(x )üretmekherzamanamaçfonksiyonuna3x dolarkatkıyapacaktır.) 9

14 o Herhangi bir karar değişkeninin kısıt sol tarafına katkısı diğer karar değişkenlerinin değerlerinden bağımsızdır. (x in değeri ne olursa olsun, x 2 üretimix 2 saatcilalamavex 2 saatmarangozlukgerektirir.) Sonuç : Amaç fonksiyonu değeri her bir karar değişkeninin katkısının toplamınaeşittir. Sonuç 2: Her bir kısıdın sol taraf değeri her bir karar değişkeninin katkısının toplamınaeşittir. Bölünebilirlik Karar değişkenleri tam sayı olmayan değerler alabilir. Eğer tam sayı değerler kullanmakşartsatpkullanılmalıdır.(.69trenüretmekkabuledilebilir.) Kesinlik Herparametrekesinolarakbilinmektedir. 3. DPÖRNEKLERİ 3.. GiapettoÖrneği (Winston3..,s.49) Giapettotahtadanoyuncakaskervetrenyapmaktadır.Satışfiyatları,biroyuncakasker için$27,biroyuncaktreniçin$2'dır.biraskeriçin$'lıkhammaddeve$4'lıkişçilik kullanılmaktadır.birtreniçinisesözkonusurakamlarsırasıyla$9ve$'dır.herbir askeriçin2saatcilalamavesaatmarangozlukgerekirken,herbirtreniçinsaat cilalamavesaatmarangozlukgerekmektedir.eldekihammaddemiktarısınırsızdır, fakat haftada en çok saat cilalama ve 8 saat marangozluk kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 4 oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarakkarınıenbüyüklemekiçinhangioyuncaktanhaftadakaçadetüretmesi gerektiğinibulunuz. Yanıt Karar) değişkenleri tam olarak verilmesi gereken (bu sorunda Giapetto tarafından) kararlarıtanımlamalıdır.giapettobirhaftadakaçoyuncakaskervetrenyapacağına kararvermelidir.bukararagöreaşağıdakikarardeğişkenleritanımlanabilir: x =birhaftadaüretilenaskersayısı x 2 =birhaftadaüretilentrensayısı Amaç) fonksiyonu karar değişkenlerinin bir fonksiyonudur. Gelir veya karını enbüyüklemekyadamaliyetinienküçüklemekisteyenkararvericininamacınıyansıtır. Giapettohaftalıkkarını(z)enbüyüklemekisteyecektir.

15 Busorundakar (haftalıkgelir) (hammaddesatınalmamaliyeti) (diğerdeğişkenmaliyetler) olarakformüleedilebilir.budurumdagiapetto nunamaçfonksiyonu: Enbüyüklez=3x +2x 2 Kısıtlar karar değişkenlerinin alabileceği değerler üzerindeki, sınırlamaları gösterir. HerhangibirsınırlamaolmazsaGiapettoçokfazlasayıdaoyuncaküreterekçokbüyük kareldeedebilir.fakatgerçekhayattaolduğugibiburadadakısıtlarvardır Haftalıkkullanılabilencilalamazamanı Haftalıkkullanılabilenmarangozlukzamanı Askerleriçinhaftalıktalep İşaret)sınırlamalarıdaeğerkarardeğişkenlerisaltnegatifolmayandeğerleralıyorsa kullanılmalıdır(giapettonegatifsayıdaaskerveyatrenüretemez). Yukarıdaki tüm bu özellikler aşağıdaki Doğrusal) Programlama (DPv Linear ProgrammingsLP)modeliniverir: Maksz=3x +2x 2 (Amaçfonksiyonu) s.t. 2x +x 2 (Cilalamakısıdı) x +x 2 8 (Marangozlukkısıdı) x 4 (Talepkısıdı) x,x 2 (İşaretsınırlamaları) Eğer(x,x 2 ) ninbirdeğeri(birçözüm)tümbukısıtlarıveişaretsınırlamalarınısağlarsa, sözkonusuçözümolurlu)bölgededir(feasibleregion). Grafikolarakyadahesaplayaraksorunçözüldüğündeolurlubölgedekiçözümlerden amaçfonksiyondeğerienyüksekolançözümün(x,x 2 )=(2,6)olduğunuvez=8 değeriniverdiğinibuluruz.buçözümen)iyi)çözümdür(optimalsolution). Rapor Haftada2askerve6trenüretilmesidurumundakar$8olacaktır.Karmiktarları, eldeki işçilik ve talebe göre elde edilebilecek en büyük kar budur. Daha fazla işçilik bulunursakarçoğalabilir.

16 3..2 ReklamÖrneği (Winston3.2,s.6) END Dorian şirketi, yüksek gelirli müşterileri için otomobil ve jeep üretmektedir. Televizyondaki tiyatro oyunlarına ve futbol maçlarına bir dakikalık spot reklamlar vererek satışlarını arttırmayı hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen reklamın maliyeti $5bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadın ve 2 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Futbol maçına verilen reklamın maliyeti ise $bin'dir ve hedef kitledeki 2 milyon kadın ve 2 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Dorian yüksekgelirli28milyonkadınve24milyonerkeğeenazmaliyetlenasılulaşır? Yanıt Karardeğişkenleriaşağıdakigibibelirlenebilir: x =tiyatrooyununaverilenreklamsayısı x 2 =futbolmaçınaverilenreklamsayısı Sorununmodeli: minz=5x +x 2 öyleki7x +2x x +2x 2 24 x,x 2 Grafik çözüm yapılırsa (x, x 2 ) = (3.6,.4) değerleri için amaç fonksiyonunun en iyi değeriz=32olarakbulunur. Grafiğebakılarakeniyitamsayılıçözüm(x, x 2 )=(4,2)olarakbulunabilir. Rapor Hedeflenenkitleyeulaşmakiçinenazmaliyetliçözüm4adetreklamıtiyatrooyununda ve 2 adet reklamı futbol maçında kullanmak gerekir. Bu durumda Dorian $4bin reklammasrafıyapacaktır BeslenmeÖrneği (Winston3.4.,s.7) BayanFidandört"temelgıdagrubu"ilebeslenmektedir:kek,çikolatalıdondurma,kola, ananaslıpasta.biradetkek$.5'a,birkaşıkdondurma$.2'a,birşişekola$.3'ave bir dilim pasta $.8'a satılmaktadır. Her gün en az 5 kalori, 6 oz. çikolata, oz. şekerve8oz.yağalmasıgerekenbayanfidanenazmaliyetlebugereksinimlerini nasılkarşılar?aşağıdakitabloyukullanarakbirdpmodelikurupsorunuçözünüz. 2

17 Kalori Çikolata (ounce) Şeker (ounce) Yağ (ounce) Kek(adet) Çikolatalıdondurma(kaşık) Kola(şişe) 5 4 Ananaslıpasta(dilim) Yanıt Karardeğişkenleri: x :günlükyenilecekkeksayısı x 2 :günlükyenilecekkaşıkdondurmasayısı x 3 :günlükiçilecekşişekolasayısı x 4 :günlükyenilecekdilimpastasayısı şeklindebelirlenebilir. Budurumdaamaçfonksiyonu(centcinsindentoplamgünlükmaliyet): minw=5x +2x 2 +3x 3 +8x 4 Kısıtlar: 4x +2x 2 +5x 3 +5x 4 5 (günlükkalori) Rapor 3x +2x 2 6 2x +2x 2 +4x 3 +4x 4 2x +4x 2 +x 3 +5x 4 8 (günlükçikolata) (günlükşeker) (günlükyağ) x i,i=,2,3,4 (işaretsınırlamaları) BayanFidangünde3kaşıkdondurmayiyipşişekolaiçerektümbesin gereksinimlerinikarşılayabilirvesadece9centharcar(w=9,x 2 =3,x 3 =) PostaneÖrneği (Winston3.5.,s.74) Bir postanede haftanın her günü farklı sayıda elemana gereksinim duymaktadır. Sendika kurallarına göre bir eleman 5 gün peş peşe çalışmakta diğer iki gün izin yapmaktadır.çalıştırılmasıgerekentoplamenazelemansayısınıaşağıdakiişyüküne görehesaplayınız. Yanıt Pzt Sal Çar Per Cum Cmt Paz Gereklieleman Karardeğişkenlerix i (i.günçalışmayabaşlayanelemansayısı)olsun 3

18 MatematikselolarakDPmodeliaşağıdakigibioluşturulabilir: Rapor minz= x +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 7 x +x 2 +x 5 +x 6 +x 7 3 x +x 2 +x 3 +x 6 +x 7 5 x +x 2 +x 3 +x 4 +x 7 9 x +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 4 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 6 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 x t, t (x t )=(4/3,/3,2,22/3,,/3,5),z=67/3şeklindedir. Karardeğişkenideğerleriyakıntamsayılarayuvarlanırsa(x t )=(2,4,2,8,,4,5), z=25çözümübulunur(yanlışolabilir). EldeedilenTamsayılıLindoçözümünegöreiseamaçfonksiyonuneniyideğeri z=23'dürve(x t )=(4,4,2,6,,4,3)şeklindedir SailcoÖrneği (Winston3..,s.99) Sailcoşirketigelecekdörtmevsimdekaçadetyelkenliüreteceğinekararverecektir. Talep sırasıyla 4, 6, 75 ve 25 yelkenlidir. Sailco tüm talepleri zamanında karşılamalıdır.başlangıçtasailco'nunenvanterindeyelkenlivardır.normalmesai ile bir mevsimde 4 yelkenli üretebilen şirket yelkenli başına $4 işçilik maliyetine maruz kalmaktadır. Fazla mesai ile yapılan her ek yelkenli için ise işçilik maliyeti $45'dır. Herhangi bir mevsimde yapılan yelkenli ya talebi karşılamak için kullanılıp satılır ya da envantere konulur. Bir yelkenlinin bir mevsim envanterde tutulması durumundaise$2envantertaşımamaliyetioluşmaktadır. Yanıt t=,2,3,4içinkarardeğişkenleri x t =t.mevsimdenormalmesaiileüretilenyelkenlisayısı y t =t.mevsimdefazlamesaiileüretilenyelkenlisayısı Envanterhesaplarınınyapılabilmesiiçinkullanılacakdeğişkenler: i t =t.mevsiminsonundaenvanterdekiyelkenlisayısı d t =t.dönemiçinyelkenlitalebi Veri d =4,d 2 =6,d 3 =75,d 4 =25,i =vx t 4, t 4

19 Mantıksalolarak i t =i ts +x t +y t sd t, t. Talepkarşılanmalı (İşaretsınırlamaları i t, t x t,y t, t) Bukısıtkümelerinikullanaraktoplammaliyetz yienküçüklemeliyiz: z=4(x +x 2 +x 3 +x 4 )+45(y +y 2 +y 3 +y 4 )+2(i +i 2 +i 3 +i 4 ) Rapor Lindoeniyiçözümü(x,x 2,x 3,x 4 )=(4,4,4,25),(y,y 2,y 3,y 4 )=(,,35,)ve toplammaliyet=$7845.olarakverir.üretimçizelgesi: M M2 M3 M4 Normalmesai(x t ) Fazlamesai(y t ) 35 Envanter(i t ) Talep(d t ) MüşteriHizmetDüzeyiÖrneği (Winston3.2,s.8) Bir bilgisayar şirketinde müşteri hizmetleri için deneyimli uzmana olan talep (adamsaat/ay)aşağıdakigibidir: t Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs d t Ocak ayı başında şirkette 5 deneyimli uzman vardır. Her uzman ayda 6 saat çalışabilir.yenibiruzmanıyetiştirmekiçindeneyimliuzmanlar5saatayırmaktadırve sözkonusuuzmanıneğitimibiraydatamamlanmaktadır.herdeneyimliuzmanaayda $2,heryeniuzmanaiseayda$ödenmektedir.Heraydeneyimliuzmanların %5'i işten ayrılmaktadır. Şirket hem hizmet talebini karşılamak istemekte hem de maliyetlerienazlamakistemektedir.sorunuçözmekiçindpmodelikurunuz. Yanıt Karardeğişkenleri: x t =tayındaeğitilecekuzmansayısı İşlemyapabilmekiçinkullanılandiğerdeğişkenlerise y t =t.ayınbaşındaşirkettekideneyimliuzmansayısı d t =t.ayınhizmettalebi Budurumda minz=2(y +...+y 5 )+(x +...+x 5 ) öyleki 5

20 6y t s5x t d t t=,...5için, y =5 x t,y t y t =.95y ts +x ts 3..7 PetrolKarışımıÖrneği (Winston3.8 denesinlenilmiştir) t=2,3,4,5için. Sunco oktan dereceleri ve sülfür oranları farklı üç tip ham petrolün (H, H2, H3) karıştırılmasıileüçtipbenzin(b,b2,b3)üretmektedir.benzinlerinoktandereceleri vesülfüroranlarıbellistandartlarısağlamalıdır: Biçinortalamaoktanderecesienaz,sülfüroranıenfazla%2olmalıdır, B2içinortalamaoktanderecesienaz8,sülfüroranıenfazla%4olmalıdır, B3içinortalamaoktanderecesienaz6,sülfüroranıenfazla%3olmalıdır. Firmanınherbenzintipiiçinenfazlasatabileceğitaleplersırasıyla3,2ve varildir.bununlabirliktefirmareklamyaparaktalebiniarttırabilmektedir.herhangibir benzinde dolarlık reklam, talebi varil arttırmaktadır. Hammaddelerin oktan dereceleri,sülfüroranlarıvealışfiyatlarıilebenzinlerinsatışfiyatlarıaşağıdaverilen tablolardakigibiisesunco nunkârınıenbüyükleyecekdp yikurunuz. Yanıt Hampetrol Oktan Sülfür (%) Alışfiyatı ($/varil) Benzin Satışfiyatı ($/varil) Karardeğişkenleri x ij :i.hammaddedenj.benzinekonulanmiktar(varil),i=,2,3vj=,2,3. r j :j.benziniçinyapılanreklam($),j=,2,3. Amaçfonksiyonu(karıenbüyüklemek) MaksZ=Kar=gelir maliyet MaksZ= 7 $ # $% + 6 $ # $( + 5 $ # $* 45 - # % # ( # *- - - Kısıtlar Oktanderecesi 2# %% + 6# (% + 8# *% 4 # %% + # (% + # *% benzinoktanderecesi 2# %( + 6# (( + 8# *( 8 # %( + # (( + # *( benzin2oktanderecesi 6

21 2# %* + 6# (* + 8# ** 64 # %* + # (* + # ** benzin3oktanderecesi Sülfüroranları (.# %% +.3# (% +.5# *% )/ # %% + # (% + # *%.24 # %% + 3# (% + 5# *% 24 # %% + # (% + # *% benzinsülfüroranı # %( + 3# (( + 5# *( 44 # %( + # (( + # *( benzin2sülfüroranı # %* + 3# (* + 5# ** 24 # %* + # (* + # ** benzin3sülfüroranı Talepler $ # $- : <.(T j :j.benzininreklamsıztalebi) İşaretsınırlamaları x ij,r j, i,j. 3.2 MUTLAKDEĞERLİİFADELERİNDP YEEKLENMESİ 3.2. Dönüşüm Birmodeldebirfonksiyonunmutlakdeğerikullanılıyorsa,budoğrusalolmayanbiryapı oluşturur. Bir f(x, x 2,, x n ) fonksiyonun mutlak değerini f(x, x 2,, x n ), DP ye ekleyebilmek için bir yapay değişken (λ) tanımlayarak modele aşağıdaki kısıtlar eklenir: λ 4f(x,x 2,,x n ) λ s4f(x,x 2,,x n ) Modeldeamaçfonksiyonuve/veyakısıtlarda f(x,x 2,,x n ) yerineλyazılır.buşekilde bir modellemenin çalışabilmesi için modelin λ yı küçükleme eğiminde olası gerekir. Aksitaktirdeyukarıdakiifadelerileλüsttensınırlandırmadığıiçinistenenmutlakdeğer hesabıyapılamaz. Benzer yaklaşım MinsMaks ve MakssMin ifadelerinin DP ye eklenmesinde de kullanılabilir.{min(maks[f (x),f 2 (x),, f k (x)])}ifadesinidp yeeklemekiçinbiryapay değişken(λ)tanımlanarakmodeleaşağıdakikısıtlareklenir: λ 4f (x),λ 4f 2 (x),.,λ 4f k (x) {Maks(Min[f (x),f 2 (x),, f k (x)])}ifadesinidp yeeklemekiçinbiryapaydeğişken(λ) tanımlanarakmodeleaşağıdakikısıtlareklenir: λ 4f (x),λ 4f 2 (x),.,λ 4f k (x) 7

22 3.2.2 MakineYeriBelirlemeÖrneği (Bazaraa,2Xs.3.) END Dörtmakinebulunanbirüretimalanınayenibirmakineninkoyulacağıyerbelirlenmek istenmektedir.mevcutmakinelerinkoordinatlarışöyledir. 3, 3, 2 2, 4.Yeni # % makinenin koordinatları: # olacaktır. Yeni makine ile diğer makineler arasındaki ( mesafeyi en küçükleyecek koordinatı bulmak için bir DP kurunuz. Makineler arası mesafeyimanhattanuzaklığıilebelirlenecektir.örnek: # % # ( ile 3 arasındakimesafe: # % 3 + # (. Yanıt Karardeğişkenleri x vex 2,yenimakineninkoordinatları λ ij :yenimakineilei.mevcutmakinearasındakij.koordinatagöremesafesi,i=,2,3,4v j=,2. ( $?% -?% Min > $- Kısıtlar(Uzaklıkhesaplama) > $- A $- # -, > $- A $- + # B, <. k ij :i.makineninj.koordinatı İşaretsınırlamaları ÖrneğinXi=vej=,2içinX λ 3 x λ 3+x λ 2 x 2 λ 2 +x 2 x,x 2 serbestvλ ij, i,j. 3.3 PARÇALIDOĞRUSALFONKSİYONLAR 3.3. ParçalıdoğrusalKonveksfonksiyonlarınDP yeeklenmesi Birparçalıdoğrusalfonksiyonbirdençokdoğruparçasındanoluşur.Örneğin aşağıdakişekildefonksiyondörtdoğruparçasınınbirleşimindenoluşmaktadır. 8

23 Şekildeifadeedilenfonksiyonaşağıdaverilmiştir. C # = # 2 + 2(# 2) 8 + 4(# 5) 6 + 8(# 7) # < 2 2 # < 5 5 # < 7 7 # < Fonksiyonuneğiminindeğiştiğinoktalarakesmenoktasıdenir.Şekilde,2,5,7ve kesme noktalarıdır. Eğer x değeri arttıkça parçalı fonksiyonların eğimi artıyorsa bu fonksiyon bir parçalı doğrusal konveks fonksiyondur. Bir matematiksel modelin enküçüklenecek amaç fonksiyonu parçalı doğrusal konveks fonksiyon ise bu amacı DP yeilaveetmekiçinaşağıdakiikiyöntemkullanılabilir: f(x)birparçalıdoğrusalkonveksfonksiyonvd,d 2,,d n kesmenoktalarıolsun. Yöntem. HI% Modelde f(x)yerine $?% F $ G $, HI% xyerine $?% G $ yazılır, kısıtlara G $ J $K% J $, B =,, M ilaveedilir. Burada G $, B =,..., M karardeğişkenleri, F $, B =,..., M isei nciparçalıfonksiyonuneğimidir. ÖrnekteverilenfonksiyoniçinDPformülasyonuaşağıdaverilmiştir. C # = G % + 2G ( + 4G * + # = G % + G ( + G * + G % 2 G ( 3 G * 2 3 9

24 Yöntem2. H Modelde f(x)yerine $?% N $ C(J $ ), H xyerine $?% N $ J $ yazılır, END H kısıtlara $?% N $ = ilaveedilir. Burada N $, B =,..., Mkarardeğişkenleri, C(J $ )isei ncikesmenoktasınınfonksiyondeğeridir. ÖrnekteverilenfonksiyoniçinDPformülasyonuaşağıdaverilmiştir. C # = N % + 2N ( + 8N * + + 4N O # = N % + 2N ( + 5N * + + N O N % + N ( + N * + + N O = DoğrusalOlmayanKonveksFonksiyonlarınDönüşümü Doğrusalolmayankonveksamaçfonksiyonlarıparçalıdoğrusalkonveksfonksiyona dönüştürülerek DP ile yaklaşık olarak modellenebilir. Bunun için öncelikle doğrusal olmayan fonksiyon ns parçaya bölünür ve parçalar arası doğrusal kabul edilerek parçalı fonksiyona dönüştürülür. Elde edilen parçalı fonksiyon yukarda verilen yöntemlerdenbiriiledpolarakmodellenir PetrolTaşımaÖrneği A noktasında bulunan. varil petrol ve 2 boru hatlarından B noktasına taşınacaktır.taşımasüresitaşınanpetrolmiktarınabağlıdır.birinciborudantaşınan petrolmiktarıx binvaril,ikinciborudantaşınanpetrolmiktarıx 2 binvarilikenbirinci borudan taşıma süresi # % ( saatv ikinci borudan taşıma süresi ise # ( %,O saat olarak hesaplanabilir.ikiborudanaynıandapetrolgönderilmesidurumundataşımasüresini enküçükleyecekdpmodelinikurunuz. A B 2 Yanıt Öncelikletaşımasüresifonksiyonlarıparçalıfonksiyonadönüştürülür,x vex 2,ile arasında değer alacakları için s aralığı 4 eşit parçaya bölünerek fonksiyonlar parçalanabilir.aşağıdakitablodax lerekarşılıkgelenfonksiyondeğerleriverilmiştir. 2

25 x f(x )=4P R Q f(x 2 )=4P Q,S R,,, 2,5 6,25 3,953 5, 25,,8 7,5 56,25 2,54,, 3,623 BudurumdasorununDPformülasyonu: Karardeğişkenleri END x i :i.borudantaşınanpetrolmiktarı(*varil), f i :i.borudataşımasüresi(saat), λ:enuzuntaşımasüresi(saat) z ij :parçalıfonksiyonlariçinyardımcıdeğişkenler,i=,2,j=,,5. Amaçfonksiyonu Kısıtlar Minλ Enuzuntaşımasüresiborulardantaşımasürelerindendahaazolmamalı λ f λ f 2 Birinciboruiçinparçalıfonksiyonunifadeedilmesi(Yöntem2) x =z +2,5z 2 +5z 3 +7,5z 4 +z 5 f =z +6,25z 2 +25z 3 +56,25z 4 +z 5 z +z 2 +z 3 +z 4 +z 5 = İkinciboruiçinparçalıfonksiyonunifadeedilmesi x 2 =z 2 +2,5z 22 +5z 23 +7,5z 24 +z 25 f 2 =z 2 +3,953z 22 +,8z 23 +2,54z 24 +3,623z 25 z 2 +z 22 +z 23 +z 24 +z 25 = Toplamtaşınacakmiktar.varilolmalı x +x 2 = İşaretsınırlamaları Rapor tümdeğişkenler. Verilen DP çözüldüğünde λ = f = f 2 = 5,78v x = 3,77v x 2 = 6,229v olarak bulunmuştur. Çözümde elde edilen x ve x 2 değerlerine göre f ve f 2 nin gerçek değerleri(doğrusalolmayan# % ( ve# ( %,O fonksiyonlarınagöre)4,22ve5,546 dir. 2

26 Aynıproblemindoğrusalolmayanprogramlamaileçözümüf =f 2 =5,2vx =3,887v x 2 =6,3olarakeldeedilir.Görüldüğügibidoğrusalolmayanfonksiyonlarınparçalı fonksiyona dönüştürülmesi ile elde edilen DP sonucu ile doğrusal olmayan programlama çözümü birbirine çok yakındır. DP nin çözümü doğrusal olmayan programlamaya göre daha kolay olduğu için bu şeklide bir modelleme daha etkin olabilir. Probleme DP ile daha kesin bir çözüm bulabilmek için doğrusal olmayan fonksiyonlarbaştadahafazlaparçayabölünebilir. 22

27 4. DP NİNÇÖZÜMÜ 4. DPÇÖZÜMLERİ:DÖRTDURUM BirDPçözüldüğüzamanaşağıdakidörtdurumdanbiriilekarşılaşılır:. DP ninbirtekeniyiçözümüvardır. 2. DP nin alternatif(çok sayıda) en iyi çözümleri vardır. Birden fazla(aslında sonsuzsayıda)eniyiçözümbulunur. 3. DPolurludeğildir(infeasible).Hiçolurluçözümüyoktur(Olurlubölgedenokta yoktur). 4. DPsınırlıdeğildir(unbounded).Olurlubölgedekinoktalarsonsuzbüyüklükte amaçfonksiyondeğerivermektedir. 4.2 GRAFİKÇÖZÜM SadeceikideğişkenliherhangibirDP ninçözümügrafikselolarakbulunabilir Örnek.Giapetto (Winston3.,s.49) Giapetto DP nin sadece iki karar değişkeni olduğundan grafik üzerinde çözüme gidilebilir Yanıt Thefeasibleregionisthesetofallpointssatisfyingtheconstraints. maksz=3x +2x 2 öyleki2x +x 2 (Cilalamakısıdı) x +x 2 8 (Marangozlukkısıdı) x 4 (Talepkısıdı) x,x 2 (İşaretsınırlamaları) Aşağıdakikısıtlarısağlayannoktalarkümesiolurlubölgedir.DP yisağlayannoktalar kümesi DGFEH beşgeni ile sınırlandırılmıştır. Bu beşgen (boyalı bölge) üzerindeki veyaiçindekiherhangibirnoktaolurlubölgededir. 23

28 (Minimization) min8x+6y st6x+y>=2 3x+y>=8 4x+6y>=24 x<=5 y<=5 'z'='6 x,y>= END DPiçinolurlubölgeyibelirlediktensonraeniyiçözümiçinaraştırmayapılabilir.Eniyi çözüm,olurlubölgedeenfazlazdeğeriniverennoktadır(enbüyüklemesorunu). Eniyiçözümübulmakiçin,zdeğerleriaynıolanbirdoğruçizilir.Enbüyüklemesorunu içinbuçizgieşkar(isoprofit)doğrusuvenküçüklemesorunuiçinseeşmaliyet(isocost) doğrusuolarakisimlendirilir(şekildez=6,z=vez=8içineşkardoğruları görülmektedir). Birtekeniyiçözümvarsa,eşkardoğrusuolurlubölgeyiterkederkenbirköşe(vertex scorner)ilekesişir. BuDPiçineniyiçözümz=8içinGnoktası(x,x 2 )=(2,6)şeklindedir. Karardeğişkenlerinineniyiçözümdeğerlerikullanıldığındabirkısıdınsoltarafdeğeri ilesağtarafdeğerieşitseokısıtaktif(sıkıvbinding,tight)birkısıttır. Karardeğişkenlerinineniyiçözümdeğerlerikullanıldığındabirkısıdınsoltarafdeğeri ilesağtarafdeğerieşitdeğilseokısıt)aktif)olmayan(nonbinding)birkısıttır. GiapettoDP decilalamaişçiliğivemarangozlukkısıtlarıaktiftir.öteyandantalepkısıdı aktifolmayanbirkısıttırçünküeniyiçözümdex <4(x =2). X2 H B D finishing'constraint G 'z'=' F E 'Feasible'Region demand'constraint carpentry'constraint 'z'=' A C X 24

29 Örnek2.Reklam (Winston3.2,s.6) Reklam DP nin sadece iki karar değişkeni olduğundan grafik üzerinde çözüme gidilebilir Yanıt Aşağıdakikısıtlarısağlayannoktalarkümesiolurlubölgedir. minz=5x +x 2 öyleki7x +2x 2 28 (yüksekgelirlikadın) 2x +2x 2 24 (yüksekgelirlierkek) x,x 2 X2 4 B High=income women constraint 2 Feasible Region 8 6 z(=(6 4 z(=(32 High=income men(constraint 2 E D A C X Dorian toplam reklam maliyetini enküçüklemek istediği için sorunun en iyi çözümü olurlubölgedeenazzdeğeriniverennoktadır. EnazzdeğerlieşmaliyetdoğrusuEnoktasındangeçmektedirvbuyüzdeneniyiçözüm x =3.6,x 2 =.4vez=32şeklindedir. Hemyüksekgelirlikadınhemdeyüksekgelirlierkekkısıtlarısağlandığıiçinherikisi deaktifkısıtlardır. 25

30 Örnek3.İkiMaden min 8x+6y öyleki6x+y>=2 3x+y>=8 4x+6y>=24 x<=5 y<=5 x,y>= Yanıt En iyi çözüm için maliyet dir..7 gün X madeni ve 2.86 gün Y madeni çalıştırılmalıdır. Örnek4.DeğiştirilmişGiapetto maksz=4x +2x 2 Öylekiv2x +x 2 (Cilalamakısıt) x +x 2 8 (Marangozlukkısıtı) x 4 (Talepkısıtı) x,x 2 (İşaretsınırlamaları) 26

31 Yanıt B 8 D G F E A C H G(2,6)veF(4,2)noktalarıarasındakidoğruüzerindekinoktalaralternatifen iyiçözümleriverir. c için c[26]+(sc)[42]=[4s2c,2+4c] eniyiçözümdür. Tümeniyiçözümleriçineniyiamaçfonksiyondeğeri2 dür. Örnek5.DeğiştirilmişGiapetto(v.2) x 2 9(Trentalebi)kısıdınıekleyelim. Yanıt Olurlubölgeyoktur:OlurluolmayanDP Örnek6.DeğiştirilmişGiapetto(v.3) Sadecex 2 9kısıdıolsun. Yanıt Eşkardoğrusuolurlubölgeyiterkedemez:SınırlıolmayanDP x 27

32 4.3 SİMPLEKSALGORİTMASI TümDPsorunlarının(ikidenfazlasayıdakarardeğişkeniolanlarında)eniyiçözümü olurlubölgeninbirköşesindedir.simpleksalgoritmasıbugerçeğikullanarakçözüme gider. Başlangıçtaolurlubölgeninbirköşesiileişlemebaşlanırveeğersözkonusuköşeen iyiçözümüvermezseyenibiradım(iterasyon)işletilerekamaçfonksiyonunuiyileştiren (veya aynı bırakan) başka bir komşu köşeye geçilir. Bu adımlar en iyi DP çözümü bulununcayakadarsürer. DP'leriçözmekiçinkullanılansimpleksalgoritmasıDantzigtarafından94'lıyılların sonundageliştirilmiştir.dahasonraalgoritmageliştirilipyeniversiyonlarıgeliştirilmiştir. Bunlardanbiriolan"revisedsimpleksalgoritması"DPçözümüiçinkullanılanbilgisayar paketlerindekullanılmaktadır. Adımlar. DP yistandartbiçimeçeviriniz 2. Birtemelolurluçözüm(basicfeasiblesolutionsbfs)bulunuz 3. Mevcut bfs nin en iyi çözüm olup olmadığını araştırınız. En iyi ise sorun çözülmüştür,durunuz. 4. Mevcutbfseniyiçözümdeğilse,amaçfonksiyondeğeriniençokiyileştirmek içinhangitemeldışıdeğişkenintemeldeğişkenolacağını(çözümegireceğini) ve hangi temel değişkenin çözümden çıkıp temel dışı değişken olacağını saptayarakyenibirbfsbulunuz. 5. Adım3 edönünüz. İlgilikavramlar: Standartbiçim:tümkısıtlareşitliktirvetümdeğişkenlernegatifolmayandeğerler alır bfs:tümdeğişkenlerinnegatifolmayandeğerleraldığıbirolurluçözüm Temeldışıdeğişken:bfs dedeğerleri aeşitolandeğişkenler Temel değişken: bfs deki diğer değişkenler, standart biçimdeki eşitliklerin çözülmesiile danbüyükdeğerleralırlar 28

33 Örnek.DakotaMobilya (Winston4.3,s.34) END Dakotamobilyaşirketisıra,masavesandalyeyapmaktadır.Herürüniçin,aşağıdaki tablodagörüldüğügibi,sınırlımiktardakullanılabilentahta,marangozlukvecilalama işçiliğigerekmektedir.aynıtablodaürünlerinsatışfiyatlarıdaverilmiştir.haftadaen fazla 5 masa satılabilmektedir. Haftalık karı enbüyükleyecek bir üretim planı oluşturunuz. DPModeli: Kaynak Sıra Masa Sandalye Kullanılabilen. Tahta(m 2 ) Cilalama Marangozluk Talep(maks) s 5 s Fiyat($) x, x 2, x 3 bir haftada üretilen sıra, masa ve sandalye sayısı olsun. z ise Dakota'nın haftalıkkarmiktarınıgöstersin.aşağıdakidp'yiformüleedebiliriz maksz=6x +3x 2 +2x 3 öyleki8x +6x 2 +x x +2x 2 +.5x 3 2 2x +.5x 2 +.5x 3 8 x,x 2,x 3 x 2 5 Simpleksalgoritmasıileçözüm Önceliklegevşek(slack)değişkenlerkullanarakDPmodelinistandartbiçimegetiriniz vemodelikanonikbirşekildeyazınız. R z s6x s3x 2 s2x 3 = R 8x +6x 2 +x 3 +s =48 R 2 4x +2x 2 +.5x 3 +s 2 =2 R 3 2x +.5x 2 +.5x 3 +s 3 =8 R 4 x 2 +s 4 =5 x,x 2,x 3,s,s 2,s 3,s 4 Birbaşlangıçtemelolurluçözümübulunuz Sorun için (x, x 2, x 3 ) = çözümü olurlu olduğundan, aşağıda verilen nokta bir başlangıçtemelolurluçözümdür(basicfeasiblesolution bfs): x =x 2 =x 3 =,s =48,s 2 =2,s 3 =8,s 4 =5. 29

34 Bubfs deüçkarardeğişkenitemel)dışı)değişken)(nonsbasicvariables)vedörtgevşek değişken ise temel) değişkendir) (basic variables) ve değerleri kanonik modeldeki eşitliklerdenbulunur. Mevcutbfs nineniyiçözümolupolmadığınıkontrolediniz Temel dışı herhangi bir değişkenin değerinin çoğaltılması (temele girmesi) ile z nin değerininiyileşmesininmümkünolupolmadığıaraştırılır. Eğertümtemeldışıdeğişkenlerinamaçfonksiyonsatırındaki(.)satırO)row)) )R ) katsayılarıyada danbüyükse(nonnegative),mevcutbfseniyi(optimal)çözümdür (z nindeğeridahaçokiyileştirilemez). Fakatörnektetümtemeldışıdeğişkenlerin.satırdakikatsayılarınegatiftir:Çözümen iyideğildir. Yenibfs ninbulunması Enbüyüklenmekistenenzençokx sıfırdanfarklıyapıldığızamançoğalır:x giren) değişkendir R incelendiğindex inenfazla6olabileceğigörülür.aksitakdirdes <olacaktır. Benzer şekilde R2 ve R3 sırasıyla 5 ve 4 sınırlarını verir. Son satırda x olmadığından herhangi bir sınırlama söz konusu değildir. Bu durumda tüm sınırlamaların (aslında sağ taraf değerlerinin giren değişken katsayılarına "oran"larının oran)testi)enküçüğüolan4,x 'inalabileceğienbüyükdeğerdir. x = 4 olduğunda s 3 = olup çözümden çıkar ve çıkan) değişken) olarak isimlendirilir. R 3 de pivot) denklem) olur. x temel değişken olduğu için birim matrise girecek şekildesistemyenidendüzenlenir. Yenipivotdenklem(R 3 /2): R 3 :x +.75x x 3 +.5s 3 =4 R 3 kullanılarakx tümdiğersatırlardayokedilir. R =R +6R 3,R =R s8r 3,R 2 =R 2 s4r 3,R 4 =R 4 R z +5x 2 s5x 3 +3s 3 =24 z=24 R sx 3 +s s4s 3 =6 s =6 R 2 sx 2 +.5x 3 +s 2 s2s 3 =4 s 2 =4 R 3 x +.75x x 3 +.5s 3 =4 x =4 R 4 x 2 +s 4 =5 s 4 =5 Yenibfsx 2 =x 3 =s 3 =,x =4,s =6,s 2 =4,s 4 =5şeklindedirvez=24olur 3

35 Mevcut bfs in optimalliğini kontrol ediniz ve en iyi çözümü bulunana kadar adımları tekrarediniz x 3 girer. Orantestisonucux 3 =8bulunurvs 2 çıkar:ikincisatırpivotdenklemolur. Pivotdenklemde(R 2 )girendeğişkeninkatsayısıyapılır: R 2 s2x 2 +x 3 +2s 2 s4s 3 =8(R 2 2). R 2 satırişlemleriilediğersatırlardagirendeğişkenyokedilir: R =R +5R 2,R =R +R 2,R 3 =R 3 s.5r 2,R 4 =R 4 Yenibfs:x 2 =s 2 =s 3 =,x =2,x 3 =8,s =24,s 4 =5vz=28. Sıfırıncısatırdakitümtemeldışıdeğişkenlerinkatsayısıpozitiftir(5x 2,s 2,s 3 ). MEVCUTÇÖZÜMENİYİÇÖZÜMDÜR(OPTIMALSONUÇ) Rapor:Dakotamobilyaşirketihaftalıkkarınıenbüyüklemekiçin2sırave8sandalye üretmelidir.budurumda28$kareder. Simpleksalgoritmasıtablolarlagösterilirse (Siz)de)tüm)ödev)ve)sınavlarda)her)işlem)için)tablo)kullanın) maksz=6x +3x 2 +2x 3 öyleki8x +6x 2 +x3 48 4x +2x 2 +.5x 3 2 2x +.5x 2 +.5x 3 8 x 2 5 x,x 2,x 3 Başlangıçtablosu: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 ST TD Oran /6 /3 /2 z2= s 2= s 2 2= s 3 2= s 4 2=25 / 3

36 İlktablo: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 ST TD Oran z2= s 2= s 2 2= x 2= s 4 2=25 İkinciveeniyitablo: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 ST TD Oran 5 28 z2= s 2= x 3 2= x 2=22 5 s 4 2=25 Örnek2.DeğiştirilmişDakotaMobilya Dakotaörneğini$35/masaolarakdeğiştirelim Yeniz=6x +35x 2 +2x 3 Yenisoruniçinikinciveeniyi(optimal)tablo: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 ST TD Oran 28 z=28 s2 2 s8 24 s =24 s s2 2 s4 8 x 3 =8 s.25 s x =2 2/.25 5 s 4 =5 5/ Birdiğereniyitablo: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 ST TD 28 z= s s = s.6.2 x 3 =.2.8 s x 2 =.6 s.8.4 s s 4 =3.4 Buyüzdeneniyiçözümaşağıdakigibidir: z=28ve c için x 2 2c x 2 =c +( c).6 =.6.6c x c 32

37 Örnek3.SınırlıOlmayanDP ler END z x x 2 x 3 x 4 s s 2 ST TD Oran 2 s9 2 4 z= s6 6 s 2 x 4 =2 Yok s 5 x =5 Yok OrantestiyapılamadığıiçinçözülmekistenenDPsınırlıolmayanDP dir. 4.4 BÜYÜKMYÖNTEMİ Eğer bir DP'de > veya = kısıtlar varsa, Simpleks yöntemi kullanılarak bir başlangıç temelolurluçözümü(bfs)oluşturulamaz. BudurumdaBüyükM(BigM)yöntemiveyaİkiAşamalı(TwoPhase)Simpleksyöntemi kullanılmalıdır. Büyük M yöntemi Simpleks Algoritmasının bir türüdür: Soruna yapay (artificial) değişkenlerdeeklenerekbirbfsbulunur.dp'ninamaçfonksiyonudasonuçtayapay değişkenlerinkatsayılarıolacakşekildeyenidendüzenlenir. Adımlar. Öncelikletümkısıtlarsağtaraf(STvRightHandSidesRHS)değerlerinegatif olmayacakşekildedüzenlenir(stdeğerinegatifolankısıtlarsileçarpılır.bu çarpımsonucueşitsizliğinyönünündeğişeceğiniunutmayınız).düzenlemelerden sonraherkısıt<,>veya=kısıtolaraksınıflandırılır 2. Tüm kısıtlar standart biçime çevrilir. Eğer kısıt < kısıtsa, sol tarafa simpleks yöntemindeolduğugibigevşekdeğişkens i eklenir.eğerkısıt>kısıtsa,soltaraftan birfazlalık(excess)değişkene i çıkarılır. 3. Tüm>veya=kısıtlarınsoltarafınabiryapaydeğişkena i eklenir.aynızamanda yapaydeğişkenleriçinişaretsınırlaması(a i >)daeklenir. 4. Mçokbüyükbirsayıolsun.EğerDPenküçüklemesorunuise,amaçfonksiyonuna (her yapay değişken için) Ma i eklenir. Eğer DP enbüyükleme sorunu ise, amaç fonksiyonuna(heryapaydeğişkeniçin)sma i eklenir. 5. Heryapaydeğişkenbaşlangıçtemelçözümündeolacağıiçinamaçfonksiyonundan (.satır)elenmelidir(katsayılarısıfırolacakşekildedüzenlemeyapılmalıdır).daha sonra simpleks algoritmasının adımları kullanılarak (M'nin büyük bir sayı olduğu unutulmadan)çözümegidilir. 33

38 Yukarıdaki5adımladüzenlenenyeniDP'nineniyiçözümündetümyapaydeğişkenler 'aeşitçıkarsa,esassorununeniyiçözümübulunmuştur. EğeryeniDP'nineniyiçözümündeenazbiryapaydeğişkenpozitifbirdeğeralırsa, esassorunçözümsüzdür(infeasible) Örnek.OranjMeyveSuyu (Winston4..,s.64) Bevcoşirketi,portakalgazozuileportakalsuyunukarıştırarakOranjismiyleportakallı meyvesularıüretmektedir.portakalgazozununbironsunda.5oz.şekervemgc vitaminivardır.portakalsuyununbironsundaise.25oz.şekerve3mgcvitamini vardır.bevcobiroz.portakalgazozuüretmekiçin2,biroz.portakalsuyuüretmek için ise 3 harcamaktadır. Şirketin pazarlama bölümü Oranj'ı oz.luk şişelerde satmakistemektedir.bevco'nunherbirşişedeenaz2mgcvitaminibulunmasınıve ençok4oz.şekerolmasışartınıenazmaliyetlekarşılamasınısağlayınız. DPModeli: x vex 2 birşişeoranj'dabulunmasıgerekenportakalgazozuveportakalsuyumiktarı olsun.dpmodeliaşağıdakigibikurulur. minz=2x +3x 2.5x +.25x 2 <4 (şekerkısıdı) x +3x 2 >2 (Cvit.kısıdı) x +x 2 = (oz lukşişekısıdı) x,x 2 > BüyükMyöntemiileçözüm: Adım.TümkısıtlarıSTdeğerlerinegatifolmayacakşekildedüzenleyiniz TümkısıtlarınSTdeğeripozitiftir Adım2.Tümkısıtlarıstandartbiçimeçeviriniz z 2x 3x 2 =.5x +.25x 2 +s =4 x +3x 2 se 2 =2 x +x 2 = tümdeğişkenler> 34

39 Adım3.>veya=kısıtlaraa i yapaydeğişkeniniekleyiniz z 2x 3x 2 = R.5x +.25x 2 +s =4 R x +3x 2 se 2 +a 2 =2 R 2 x +x 2 +a 3 = R 3 tümdeğişkenler> Adım4.AmaçfonksiyonunaMa i ekleyiniz(min.sorunuiçin) minz=2x +3x 2 +Ma 2 +Ma 3 Sıfırıncısatır(R)aşağıdakigibiolacaktır: z 2x 3x 2 Ma 2 Ma 3 = Adım5.YapaydeğişkenleriR 'daneleyecekşekildeyenir oluşturunuz YeniR =R +MR 2 +MR 3 z+(2m 2)x +(4M 3)x 2 Me 2 =3M YeniR Başlangıçtablosu: z x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran 2Ms2 4Ms3 sm 3M z=3m s =4 6 3 s 2 a 2 =2 2/3 a 3 = Enk.)sorununda,).)satır)katsayısı)"en)pozitif")olan)değişken)giren)değişkendir) İlktablo: z x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran (2Ms3)/3 (Ms3)/3 (3s4M)/ M z 5/2 /2 s/2 7/3 s 28/5 /3 s/3 /3 2/3 x 2 2 2/3 /3 s/3 /3 a 3 5 Eniyitablo: Rapor: z x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD s/2 (s2m)/2 (3s2M)/2 25 z=25 s/8 /8 s5/8 /4 s =/4 s/2 /2 s/2 5 x 2 =5 /2 s/2 3/2 5 x =5 BirşişeOranj'da,5oz.portakalgazozuve5oz.portakalsuyuolmalıdır. Budurumdatoplammaliyet25 olacaktır. 35

40 Örnek2.DeğiştirilmişOranjMeyveSuyu Bevcosorunundadiğerkoşullaraynıkalmakkaydıyla36mg.Cvitaminigerektiğigöz önünealınırsailgilidpmodeliaşağıdakigibioluşturulur. x vex 2 birşişeoranj'dabulunmasıgerekenportakalgazozuveportakalsuyumiktarı olmaküzerev minz=2x +3x 2.5x +.25x 2 <4 (şekerkısıdı) x +3x 2 >36 (Cvit.kısıdı) x +x 2 = (oz lukşişekısıdı) x,x 2 > BüyükMyöntemiileçözüm: Başlangıçtablosu: z x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran 2Ms2 4Ms3 sm 46M z=46m s =4 6 3 s 36 a 2 =36 36/3 a 3 = Eniyitablo: z x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD s2m sm 3s4M 3+6M z=3+6m /4 s/4 3/2 s =3/2 s2 s s3 6 a 2 =6 x 2 = Biryapaydeğişken(a 2 )temeldeğişkenolduğuiçinorijinaldpolurludeğildir. Rapor: BelirtilenşartlardaOranjüretimiyapmakmümkündeğildir. 4.5 İKİAŞAMALISİMPLEKS Temelolurluçözümün(bfs)hazırolmadığıdurumlardaikiaşamalısimpleksyöntemi büyükmyönteminealternatifolarakkullanılabilir.ilgilikısıtlarabüyükmyöntemine benzerşekildeyapaydeğişkenlereklenir.dahasonraaşamaidpçözülerekorijinal DP yebirbfsbulunur.aşamaidp deamaçfonksiyonuyapaydeğişkenlerin toplamınınenküçüklenmesidir.aşamaisonucunda,orijinaldp ninamaçfonksiyonu eklenerekdp nineniyiçözümübelirlenir. Adımlar. Öncelikletümkısıtlarsağtaraf(STvRightHandSidesRHS)değerlerinegatif olmayacakşekildedüzenlenir(stdeğerinegatifolankısıtlarsileçarpılır.bu 36

41 çarpımsonucueşitsizliğinyönünündeğişeceğiniunutmayınız).düzenlemelerden sonraherkısıt<,>veya=kısıtolaraksınıflandırılır 2. Tüm kısıtlar standart biçime çevrilir. Eğer kısıt < kısıtsa, sol tarafa simpleks yöntemindeolduğugibigevşekdeğişkens i eklenir.eğerkısıt>kısıtsa,soltaraftan birfazlalık(excess)değişkene i çıkarılır. 3. Tüm>veya=kısıtlarınsoltarafınabiryapaydeğişkena i eklenir.aynızamanda yapaydeğişkenleriçinişaretsınırlaması(a i >)daeklenir. 4. AşamaI deorijinalamaçfonksiyonu,tümyapaydeğişkenlerintoplamını(w=σa i ) enküçükleyecekbiramaçfonksiyonuiledeğiştirilerekorijinaldpçözülür.böylece AşamaIDP ninçözümüyapaydeğişkenleriolmayazorlayacaktır. 5. Her yapay değişken başlangıç temel çözümünde olacağı için simplekse başlamadanöncebudeğişkenler.satırdanelenmelidir.dahasonrasimpleksile değiştirilmişsorunçözülür. AşamaIDPçözümündeüçfarklıdurumilekarşılaşılabilir: I. Durum.w>iseorijinalDP ninçözümüolurludeğildir.(aşamaii ye geçilmez) II. Durum2.w=vehiçbiryapaydeğişkentemeldeğişkendeğilisev i. Aşama I DP nin en iyi tablosunda yer alan amaç fonksiyonu satırı ve yapaydeğişkenlerileilgilisütunlaratılır. ii. Orijinal amaç fonksiyonu ile Aşama I DP den gelen tablo birleştirilerek AşamaIIDPoluşturulur.EğerAşamaIDP nineniyitablosundakibazı temeldeğişkenlerinorijinalamaçfonksiyonukatsayılarısıfırdanfarklıise bu değişkenlerin amaç fonksiyonunun elenmesi için satır işlemleri yapılmalısınadikkatedilmelidir. iii. Aşama II DP simpleks algoritmasının adımları kullanılarak çözülür. AşamaIIDP ninçözümüorijinalprobleminçözümüdür. III. Durum3.w=veenazbiryapaydeğişkentemeldeğişkenisev i. Aşama I DP nin en iyi tablosunda yer alan amaç fonksiyonu satırı ile temeldışıyapaydeğişkenlervesıfırıncısatırdakikatsayısınegatifolan değişkenlereaitsütunlaratılır. ii. Orijinal amaç fonksiyonu ile Aşama I DP den gelen tablo birleştirilerek AşamaIIDPoluşturulur.EğerAşamaIDP nineniyitablosundakibazı temeldeğişkenlerinorijinalamaçfonksiyonukatsayılarısıfırdanfarklıise 37

42 iii. END bu değişkenlerin amaç fonksiyonunun elenmesi için satır işlemleri yapılmasınadikkatedilmelidir. Aşama II DP simpleks algoritmasının adımları kullanılarak çözülür. AşamaIIDP ninçözümüorijinalprobleminçözümüdür. Örnek.OranjMeyveSuyu x vex 2 birşişeoranj'dabulunmasıgerekenportakalgazozuveportakalsuyumiktarı olmaküzerev minz=2x +3x 2.5x +.25x 2 <4 (şekerkısıdı) x +3x 2 >2 (Cvit.kısıdı) x +x 2 = (oz lukşişekısıdı) x,x 2 > İkiaşamalısimpleksyöntemiileçözüm: Adım.TümkısıtlarıSTdeğerlerinegatifolmayacakşekildedüzenleyiniz TümkısıtlarınSTdeğeripozitiftir Adım2.Tümkısıtlarıstandartbiçimeçeviriniz z 2x 3x 2 =.5x +.25x 2 +s =4 x +3x 2 se 2 =2 x +x 2 = tümdeğişkenler> Adım3.>veya=kısıtlaraa i yapaydeğişkeniniekleyiniz z 2x 3x 2 = R.5x +.25x 2 +s =4 R x +3x 2 se 2 +a 2 =2 R 2 x +x 2 +a 3 = R 3 tümdeğişkenler> Adım4.Tümyapaydeğişkenlerintoplamıenküçüklenecekamaçolarakbelirlenir. Minw=a 2 +a 3 Sıfırıncısatır(R)aşağıdakigibiolacaktır: w a 2 a 3 = Adım5.YapaydeğişkenleriR 'daneleyecekşekildeyenir oluşturunuz YeniR =R +R 2 +R 3 w+(+)x +(3+)x 2 e 2 =3 YeniR 38

43 AşamaIDPsBaşlangıçtablosu: w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran 2 4 s 3 w=3 /2 /4 4 s =4 6 3 s 2 a 2 =2 2/3 a 3 = AşamaIDPsİlktablo: w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran 2/3 /3 s4/3 /3 w=/3 5/2 /2 s/2 7/3 s =7/3 28/5 /3 s/3 /3 2/3 x 2 =2/3 2 2/3 /3 s/3 /3 a 3 =/3 5 AşamaIDPsEniyitablo: w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD s s w= s/8 /8 s5/8 /4 s =/4 s/2 /2 s/2 5 x 2 =5 /2 s/2 3/2 5 x =5 AşamaIDPçözümündeüçfarklıdurumilekarşılaşılabilir: AşamaIDPeniyitablosundaw=vea 2 ilea 3 temeldışıdeğişkenolduğuiçin Durum2ilekarşılaşılmıştır. i. Birinciaşamatablosundakiyapaydeğişkenlerileilgilisütunlarıveamaçfonksiyonu satırıatılır, w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD s s w= s/8 /8 s5/8 /4 s =/4 s/2 /2 s/2 5 x 2 =5 /2 s/2 3/2 5 x =5 minz=2x +3x 2 z x x 2 s e 2 ST TD s2 s3 z= s/8 /4 s =/4 s/2 5 x 2 =5 /2 5 x =5 yenir=r+2r3+3r2 AşamaIIDPsBaşlangıçtablosu: z x x 2 s e 2 ST TD s/2 25 z=25 s/8 /4 s =/4 s/2 5 x 2 =5 /2 5 x =5 39

44 ii. END Aşama II DP simpleks algoritmasının adımları kullanılarak çözülür. Aşama II DP ninçözümüorijinalprobleminçözümüdür. Başlangıçtablosundailksatırdapozitifkatsayıolmadığıiçinbutabloeniyiçözümdür. Buçözümegörex =x 2 =5vz=25 tir. Rapor: BirşişeOranj'da,5oz.portakalgazozuve5oz.portakalsuyuolmalıdır. Budurumdatoplammaliyet25 olacaktır. Örnek2.DeğiştirilmişOranjMeyveSuyu x vex 2 birşişeoranj'dabulunmasıgerekenportakalgazozuveportakalsuyumiktarı olmaküzerev minz=2x +3x 2.5x +.25x 2 <4 (şekerkısıdı) x +3x 2 >36 (Cvit.kısıdı) x +x 2 = (oz lukşişekısıdı) x,x 2 > İkiaşamalısimpleksyöntemiileçözüm: Adım.TümkısıtlarıSTdeğerlerinegatifolmayacakşekildedüzenleyiniz TümkısıtlarınSTdeğeripozitiftir Adım2.Tümkısıtlarıstandartbiçimeçeviriniz z 2x 3x 2 =.5x +.25x 2 +s =4 x +3x 2 se 2 =36 x +x 2 = tümdeğişkenler> Adım3.>veya=kısıtlaraa i yapaydeğişkeniniekleyiniz z 2x 3x 2 = R.5x +.25x 2 +s =4 R x +3x 2 se 2 +a 2 =36 R 2 x +x 2 +a 3 = R 3 tümdeğişkenler> Adım4.Tümyapaydeğişkenlerintoplamıenküçüklenecekamaçolarakbelirlenir. Minw=a 2 +a 3 Sıfırıncısatır(R)aşağıdakigibiolacaktır: w a 2 a 3 = Adım5.YapaydeğişkenleriR 'daneleyecekşekildeyenir oluşturunuz YeniR =R +R 2 +R 3 w+(+)x +(3+)x 2 e 2 =46 YeniR 4

45 AşamaIDPsBaşlangıçtablosu: w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD Oran 2 4 s 46 w=46 /2 /4 4 s =4 6 3 s 36 a 2 =36 2 a 3 = AşamaIDP Eniyitablo w x x 2 s e 2 a 2 a 3 ST TD s2 s s4 6 w=6 /4 s/4 3/2 s =3/2 s2 s s3 6 a 2 =6 x 2 = AşamaIDPçözümündeüçfarklıdurumilekarşılaşılabilir: AşamaIDPeniyitablosundaw>olduğuiçinDurumilekarşılaşılmıştır.Buna göreorijinaldpolurludeğildir. Rapor: BelirtilenşartlardaOranjüretimiyapmakmümkündeğildir. Örnek3.(Winston,4.3) AşağıdakiDPModeliniikiaşamalısimpleksileçözünüz. maksz=4x +x 2 +7x 5 +4x 6 Öylekivx sx 2 +2x 5 = s2x +x 2 s2x 5 = x +x 3 +x 5 sx 6 =3 2x 2 +x 3 +x 4 +2x 5 +x 6 =4 İkiaşamalısimpleksyöntemiileçözüm: Adım.TümkısıtlarıSTdeğerlerinegatifolmayacakşekildedüzenleyiniz TümkısıtlarınSTdeğeripozitiftir Adım2.Tümkısıtlarıstandartbiçimeçeviriniz Tümkısıtlareşittirkısıtıolduğuiçinproblemstandartbiçimdedir. Adım3.>veya=kısıtlaraa i yapaydeğişkeniniekleyiniz zs4x sx 2 s7x 5 s4x 6 = x sx 2 +2x 5 +a = s2x +x 2 s2x 5 +a 2 = x +x 3 +x 5 sx 6 +a 3 =3 2x 2 +x 3 +x 4 +2x 5 +x 6 =4 (Not:sonkısıttax4temeldeğişkenolabileceğiiçinyapaydeğişkeneklenmemiştir.) Adım4.Tümyapaydeğişkenlerintoplamıenküçüklenecekamaçolarakbelirlenir. minw=a +a 2 +a 3 4

46 Sıfırıncısatır(R)aşağıdakigibiolacaktır: w a a 2 a 3 = Adım5.YapaydeğişkenleriR 'daneleyecekşekildeyenir oluşturunuz YeniR =R +R+R 2 +R 3 w+x 3 +x 5 x 6 =3 YeniR AşamaIDPsBaşlangıçtablosu: w x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a a 2 a 3 ST TD Oran s 3 w=3 s 2 a = s s2 s2 a 2 = s s 3 a 3 = x 4 =4 4 AşamaIDP Eniyitablo: w x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a a 2 a 3 ST TD s s w= s 2 a = s2 s2 a 2 = s 3 x 3 =3 s 2 2 s x 4 = AşamaIDPçözümündeüçfarklıdurumilekarşılaşılabilir: w=amaa vea 2 temeldeğişkenolduğuiçindurum3ilekarşılaşılmıştır. i. ii. Aşama I DP nin en iyi tablosunda yer alan temel dışı yapay değişkenler ve ilk satırdakikatsayısınegatifolandeğişkenlerileilgilisütunlarveamaçfonksiyonu satırıatılır. w x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a a 2 a 3 ST TD s s w= s 2 a = s2 s2 a 2 = s 3 x 3 =3 s 2 2 s x 4 = Orijinalamaçfonksiyonu(z)ileAşamaIDP dengelentablobirleştirilerekaşama IIDPoluşturulur. zs4x sx 2 s7x 5 s4x 6 = Orijinalamaçfonksiyonundakatsayısısıfırdanfarklıolandeğişkenlerintümütemeldışı değişkendirvbuyüzdensatırişlemiyapmadanaşamaiidpoluşturulur. 42

47 AşamaIIDP BaşlangıçTablosu Z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a a 2 ST TD Oran s s7 s4 z= s 2 a = s s2 a 2 = s s 3 x 3 =3 s 2 2 x 4 = /2 iii. Aşama II DP simpleks algoritmasının adımları kullanılarak çözülür. Aşama II DP ninçözümüorijinalprobleminçözümüdür. AşamaIIDP Eniyitablo z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a a 2 ST TD z=7 s 2 a = s2 a 2 = /2 3/2 7/2 x 3 =7/2 /2 /2 /2 x 6 =/2 Rapor: z=7,x 3 =3,5vx 6 =,5vx =x 2 =x 5 =x 4 = 4.6 İŞARETİSINIRLANDIRILMAMIŞDEĞİŞKENLER İşaretisınırlandırılmamışdeğişkenlerolabilir(serbestvunrestrictedinsignsurs). Bu)konu)sınıfta)işlenecektir.) 43

48 5. DUYARLILIKANALİZİVEDUALİTE END DUYARLILIKANALİZİ 5.. İndirgenmişMaliyet Herhangi bir temel dışı değişkenin indirgenmiş maliyeti (reduced cost), değişkenin temel değişken olması (DP'nin en iyi çözümüne girmesi) için amaç fonksiyon katsayısındayapılacakiyileştirmemiktarıdır. Eğerbirx k temeldışıdeğişkenininamaçfonksiyonkatsayısıindirgenmişmaliyetkadar iyileştirilirse, DP'nin bir tek en iyi çözümü olmaz: alternatif çözümler vardır. x k, söz konusu çözümlerden en az birinde temel değişkenv en az birinde ise temel dışı değişkenkonumundadır. Eğerx k temeldışıdeğişkenininamaçfonksiyonkatsayısıindirgenmişmaliyettendaha fazlaiyileştirilirse,yenidp'nintekbireniyiçözümüneulaşılırvebuçözümdex k temel değişkenolur(x k >). Temeldeğişkeninindirgenmişmaliyetisıfırdır(tanımabakınız) 5..2 GölgeFiyat DPmodelinini.kısıdınıngölgefiyatı(shadowprice),sözkonusukısıdınsağtaraf(STv Right Hand Side s RHS) değerinin birim çoğaltılması durumunda, en iyi amaç fonksiyondeğerininnekadariyileştiğini(enbüyüklemesorunundanekadararttığını, enküçüklemesorunundanekadarazaldığını)gösterir. Bu tanım sadece değişimden önceki çözümün değişimden sonra da aynı kalması durumundageçerlidir Bir>kısıdıngölgefiyatıherzamanyada'danküçük(nonpositive)vbir<kısıdın gölgefiyatıiseherzamanyada'danbüyük(nonnnegative)olacaktır Kavramsallaştırma maksz=6x +x 2 +x 3 x +x 3 x 2 Tümdeğişkenler BuçokkolaybirDPmodelidirvesimplekskullanılmadanelledeçözülebilir: x 2 =(Budeğişkenilkkısıttayoktur,budurumdasorunenbüyüklemeolduğundan ikincikısıdınsoltarafdeğeri'eeşitolur) 44

49 x =,x 3 =(Buikideğişkenisesaltilkkısıttakullanılmışlardırvex 3 'ünamaç fonksiyondeğerix 'inkindenbüyükolduğuiçinx 3 'üneniyideğeribirincikısıtst değerineeşitolur) Budurumdaeniyiçözümaşağıdakigibidir: z=,[x,x 2,x 3 ]=[,,] Aynızamandaduyarlıkanalizideellehesaplanabilir: İndirgenmişMaliyet x 2 vex 3 temeldeğişken(eniyiçözümde)olduklarından,indirgenmişmaliyetleri'dır. x 'itemeldeğişkenyapabilmekiçinamaçfonksiyonkatsayısınıenazx 3 'ünamaç fonksiyonkatsayısıkadaryapmakdiğerbirdeyişle4(s6)birimçoğaltmakgerekir. Yeniamaçfonksiyonu(maksz=x +x 2 +x 3 )olacakve[x,x 2,x 3 ]içinenaziki eniyiçözümbulunacaktır:[,,]ve[,,]. Budurumdax 'inindirgenmişmaliyeti4'tür. Eğerx 'inamaçfonksiyonkatsayısınıindirgenmişmaliyetdeğerindendahafazla çoğaltırsakeniyiçözümbirtaneolacaktır:[,,]. GölgeFiyat EğerbirincikısıdınSTdeğeribirimarttırılırsa,x 3 'ünyenieniyiçözümdeğeri yerineolacaktır.budurumdadaz'ninyenideğeriolacaktır. Tanımdanfaydalanıpterstengidersek:s=,birincikısıdıngölgefiyat değeridir. Benzerşekildeikincikısıdıngölgefiyatıolarakhesaplanır(lütfenhesaplayınız) DuyarlılıkiçinLindoÇıktısınınKullanılması DİKKAT:)Simpleks'de)sıfırıncı)satır)olan)amaç)fonksiyonu)Lindo'da)birinci)satır) (Row)))olarak)kabul)edilir)) Bu)yüzden)ilk)kısıt,)Lindo'da)her)zaman)ikinci)satırdır) MAX 6 X + X2 + X3 SUBJECT TO 2) X + X3 <= 3) X2 <= END LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ). VARIABLE VALUE REDUCED COST X. 4. X2.. X3.. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 45

50 2).. 3).. RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X2. INFINITY. X3. INFINITY 4. RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2. INFINITY. 3. INFINITY. Lindoçıktısıx,x 2 vex 3 değişkenlerininindirgenmişmaliyetlerini(reducedcosts)4, veolarakvermektedir. Enbüyüklemesorunlarındatemeldışıbirdeğişkeninindirgenmişmaliyetiaynı zamandalindoçıktısındakiamaçfonksiyonkatsayılarıaralığındaki(obj.coefficient ranges)odeğişkeniçinizinverilençoğalış(allowableincrease)değeriilede bulunabilir.buradax içinsözkonusudeğer4'tür. Enküçüklemesorunlarındaisetemeldışıdeğişkeninindirgenmişmaliyetiizinverilen azalış(allowabledecrease)değerineeşittir. AynıLindoçıktısından,gölgefiyatlar(shadowprices)dakısıtların"dualprice" değerleriokunarakbulunabilir: Örneğimizdebirincikısıdın(satır2)gölgefiyatı'dur. İkincikısıdın(satır3)gölgefiyatıise'dir. EğerbirkısıdınSTdeğerindekibirdeğişimeniyiçözümündeğişmeyeceğiizinverilen STaralıklarında(allowableRHSrange)iseaşağıdakidenklemlerkullanılarakyeni amaçfonksiyondeğerihesaplanabilir: enbüyüklemesorunuiçin yeniamaçfn.değeri=eskiamaçfn.değeri+(yenist eskist) gölgefiyat enküçüklemesorunuiçin yeniamaçfn.değeri=eskiamaçfn.değeri (yenist eskist) gölgefiyat Lindoörneğinde,izinverilenSTaralığıçoğalışı(allowableincreaseinRHSranges) sonsuz(infinity)olduğuiçinherikikısıdındastdeğeriniistediğimizkadar çoğaltabiliriz.fakatizinverilenstaralığıazalışına(allowabledecrease)görebirinci kısıdıenfazla,ikincikısıdıisebirimazaltabiliriz. 46

51 Örnek BirincikısıdınyeniSTdeğerinin6olduğunudüşünelim. Öncelikleizinverilenaralıklarkontroledilir.Çoğalışsonsuzolduğundanbirinci denklemikullanabiliriz(makssorunu): z yeni =+(6s)= GrafikÇözümKullanarakDuyarlılık Sınıfta)işlenecektir.) 5..6 %Kuralı Sınıfta)işlenecektir.) 5.2 DUALİTE 5.2. Primal Dual HerhangibirDPileilişkisiolanbirdiğerDPdual(eşters)olarakisimlendirilir.Dual bilgisiekonomikveduyarlılıkanaliziileilgiliilginçaçıklamalarsağlar.dualialınandp primalolarakisimlendirilir.primalmodelenbüyüklemesorunuisedualenküçükleme sorunuolur.bukuralıntamtersidedoğrudur BirDP nindualinibulma Normal)enbüyüklemesorununundualinormal)enküçüklemesorunudur. Normalenbüyüklemesorunutümdeğişkenlerinveya danbüyükolduğuve tümkısıtların olduğubirsorundur. Normalenküçüklemesorunutümdeğişkenlerinveya danbüyükolduğuve tümkısıtların olduğubirsorundur. Benzerşekilde,normalenküçüklemesorununundualidenormalenbüyükleme sorunudur. 47

52 NormalEnbüyüklemeSorunununDualiniBulma PRİMAL maksz= c x +c 2 x 2 + +c n x n öyleki a x +a 2 x 2 + +a n x n b a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 a m x +a m2 x 2 + +a mn x n b m x j (j=,2,,n) DUAL minw= b y +b 2 y 2 + +b m y m öyleki a y +a 2 y 2 + +a m y m c a 2 y +a 22 y 2 + +a m2 y m c 2 a n y +a 2n y 2 + +a mn y m c n y i (i=,2,,m) NormalEnküçüklemeSorunununDualiniBulma PRİMAL minw= b y +b 2 y 2 + +b m y m öyleki a y +a 2 y 2 + +a m y m c a 2 y +a 22 y 2 + +a m2 y m c 2 a n y +a 2n y 2 + +a mn y m c n y i (i=,2,,m) DUAL maksz= c x +c 2 x 2 + +c n x n öyleki a x +a 2 x 2 + +a n x n b a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 a m x +a m2 x 2 + +a mn x n b m x j (j=,2,,n) NormalOlmayanEnbüyüklemeSorunununDualiniBulma Eğeri.primalkısıt kısıtsa,ilgilidualdeğişkeny i şeklindeolmalıdır. Eğeri.primalkısıteşitlikse,ilgilidualdeğişkeny i "işareti sınırlandırılmamış"(serbestvunrestrictedinsignsurs)değişkendir. Eğeri.primaldeğişkenursise,i.dualkısıteşitliktir. NormalOlmayanEnküçüklemeSorunununDualiniBulma Eğeri.primalkısıt kısıtsa,ilgilidualdeğişkenx i şeklindeolmalıdır Eğeri.primalkısıteşitlikse,ilgilidualdeğişkenx i "işareti sınırlandırılmamış"(urs)değişkendir. Eğeri.primaldeğişkenursise,i.dualkısıteşitliktir 48

53 5.2.3 DualTeoremi Primalvedualineniyiamaçfonksiyondeğerlerieşittir(eğersorunlariçineniyiçözüm varsa). Zayıfdualiteyegörevdualiçinherhangibirolurluçözümünwsdeğerienazprimaliçin herhangibirolurluçözümünzsdeğerikadarolabilirz w. Dualiçinherhangibirolurluçözümprimalamaçfonksiyondeğeriiçinsınır olarakkullanılabilir. Primalsınırlıdeğilse(unbounded)dualolurludeğildir(infeasible) Dualsınırlıdeğilseprimalolurludeğildir. Primalenbüyüklemesorunuiseeniyitablonunsıfırıncısatırındaneniyi dualçözümnasılokunur? y i dualdeğişkeninineniyideğeri = eniyir das i ninkatsayısı (kısıti ise) = eniyir dae i ninkatsayısı (kısıti ise) = eniyir daa i ninkatsayısı M (kısıti=ise) Primalenküçüklemesorunuiseeniyitablonunsıfırıncısatırındaneniyi dualçözümnasılokunur? xidualdeğişkeninineniyideğeri = eniyir das i ninkatsayısı (kısıti ise) = eniyir dae i ninkatsayısı (kısıti ise) = eniyir daa i ninkatsayısı +M (kısıti=ise) EkonomikYorum Primalnormalenbüyüklemesorunuolduğunda,dualdeğişkenlerkararvericiye sağlanabilecekkaynaklarındeğeriileilgiliolur.buyüzdendualdeğişkenlerdençoğu kezkaynak)gölge)fiyatları)olaraksözedilir. Örnek PRİMAL x, x 2, x 3 üretilensıra,masavesandalyesayısınıgöstersin.haftalıkkar$zikendp modeli: maksz=6x +3x 2 +2x 3 8x +6x 2 +x 3 48 (Tahtakısıtı) 4x +2x 2 +.5x 3 2 (Cilalamakısıtı) 2x +.5x 2 +.5x 3 8 (Marangozlukkısıtı) x,x 2,x 3 49

54 DUAL END FarzedelimkibirgirişimciDakota'nıntümkaynaklarını(hammadde)satınalmakistiyor. Dual sorunda y, y 2, y 3 sırasıyla bir m 2 tahta, bir saat cilalama işçiliği ve bir saat marangozlukiçinödenmesigerekenücretigösterir. $wdekaynaksatınalmatoplammaliyetinigösterir. Kaynak ücretleri Dakota'yı satışa teşvik edecek kadar yüksekv girişimciyi vazgeçirmeyecekkadarazolmalıdır.budurumdadatoplamsatınalmamaliyetitoplam karkadarolur. minw=48y +2y 2 +8y 3 8y +4y 2 +2y 3 6 (Sırakısıtı) 6y +2y 2 +.5y 3 3 (Masakısıtı) y +.5y 2 +.5y 3 2 (Sandalyekısıtı) y,y 2,y DUALİTEVEDUYARLILIK Sınıfta)işlenecektir.) 5.4 TÜMLERGEVŞEKLİKTEOREMİ Primal ve Dual çözümleri birbiriyle ilişkilendiren bir teoremdir. Bu teorem ile en iyi çözümde primal modeldeki kısıtlar ile dual modeldeki değişkenlerin ve primal modeldekideğişkenleriledualmodeldekikısıtlarınilişkileriortayakonmaktadır. Karardeğişkenlerix,x 2,,x n olanmtane kısıtıvebukısıtlarlailgilis,s 2,,s m gevşek değişkenlerini içeren bir normal en büyükleme probleminin (PRIMAL) duali karardeğişkenleriy,y 2,,y m vntane kısıtıvebukısıtlarlailgilie,e 2,,e n fazlalık değişkenleriniiçerenbirnormalenküçüklemeproblemi(dual)olacaktır. Buproblemleriçinx=[x,x 2, x n ]birprimalolurluçözümvy=[y,y 2, y m ]isebir dualolurluçözümolsun.xveyeniyiçözümolabilmeleriiçinyalnızveyalnızaşağıdaki koşullarsağlanmalıdır: s i y i =(i=,2,,m) e j x j =(j=,2,,n) 5

55 Diğerbirdeyişle,eniyiçözümde,birmodeldekideğişken(y i veyax j )pozitifisediğer modeldebudeğişkenleilişkilikısıtaktiftir(s i veyae j =).Birmodeldekikısıtaktifdeğil ise(s i veyae j >)diğermodeldebukısıtlailişkilideğişken(y i veyax j )değerinialır. Tümler gevşeklik teoreminden faydalanarak dual modelinin çözümünden primal modelin çözümüne veya primal modelin çözümünden dual modelin çözümüne ulaşılabilir.buözellikaşağıdakiörnekilegösterilmiştir. Örnek: AşağıdakiverilenDPmodelinigözönünealınız. minz=3x +2x 2 +4x 3 Öylekiv2x +x 2 +3x 3 =6 3x +3x 2 +5x 3 2 x +x 2 s3x 3 5 x,x 2,x 3 budpmodelinineniyiçözümüz=9,x =,x 2 =5,x 3 =5olarakverilsin.Buna göre dual modelin çözümünü, primal model için gölge fiyatları ve indirgenmiş maliyetleribulunuz. Primalmodelinstandartbiçimi: minz=3x +2x 2 +4x 3 Öylekiv2x +x 2 +3x 3 =6 3x +3x 2 +5x 3 e 2 =2 x +x 2 s3x 3 +s 3 =5 tümdeğişkenler Dualmodelinstandartbiçimi: Maksw=6y +2y 2 +5y 3 Öylekiv2y +3y 2 +y 3 +d =3 y +3y 2 +y 3 +d 2 =2 3y +5y 2 s3y 3 +d 3 =4 y urs,y 2,y 3,d,d 2,d 3. Dualmodeldekiy,y 2,y 3 primalmodelingölgefiyatlarınıvd,d 2,d 3 iseprimalmodelin indirgenmişmaliyetleriniverecektir. Tümlergevşeklikteoreminegöreeniyiçözümdeaşağıdakikoşullarsağlanmalıdır: x *d =v x 2 *d 2 =v x 3 *d 3 = y 2 *e 2 =vy 3 *s 3 = z=9,x =,x 2 =5,x 3 =5olduğunagöree 2 =ves 3 =8 dir. 5

56 Koşullarınsağlanmasıiçind 2 =,d 3 =vy 3 =olmalıdır.bunlardualmodeldeyerine konduğundaüçbilinmeyenliüçdenklemeldeedilir: 2y +3y 2 +d =3 y +3y 2 =2 3y +5y 2 =4 Buradany =/2vy 2 =/2vd =/2olarakhesaplanır. Rapor:DualDPmodelininçözümü:w=vy =/2vy 2 =/2vy 3 =vd =/2vd 2 =vd 3 =.Bunagöreprimalmodeliçinvbirinciveikincikısıtlarıngölgefiyatlarıs/2vüçüncü kısıtıngölgefiyatı dır.ikinciveüçüncükarardeğişkenlerininindirgenmişmaliyetleri dır.birincikarardeğişkeninindirgenmişmaliyeti/2'yeeşittir. 5.5 DUALSİMPLEKSYÖNTEMİ 5.5. Dualsimpleks inüçfarklıkullanımı DP yebirkısıteklenmesidurumundayenieniyiçözümübulma, DP deki kısıtlardan birinin ST değerinin değiştirilmesi durumunda yeni en iyi çözümübulma, Normalenküçüklemesorunuçözme Adımlar. EnnegatifSTseçilir, 2. Bupivotsatırıntemeldeğişkeniçözümdençıkar, 3. Pivot satırdaki negatif katsayılı değişkenler için oranlar hesaplanır (sıfırıncı satırdakikatsayı/pivotsatırdakikatsayı), 4. Mutlakdeğerceenküçükoranlıdeğişkençözümegirer. Pivot satırdaki her değişken negatif olmayan katsayılara sahipse, DP nin olurlu çözümüyoktur. Örnek: z x x 2 s s 2 s 3 ST TD,25,75 4,25 z 2,25 /,25 2,25 x 2 /,25,25 3,75 x /,75 /,25 #,75 s 3 s 3 negatifstdeğerinesahipolduğuiçinçözümdençıkar. 52

57 Pivotsatırdakinegatifkatsayılıdeğişkenleriçinhesaplananmutlakdeğerceenküçük oranıolandeğişkens olduğuiçin(,25/s,75 ve,75/s,25 )s çözümegirer. Satırişlemleriyapılır. z x x 2 s s 2 s 3 ST TD,333,667 4 z / 3 x 2,667 /,667 5 x Eniyiçözüm:z=4,x =5,x 2 = BirKısıtEkleme Ekörnek Dakota sorununda pazarlama faaliyetleri açısından en az masa üretmek zorunlu olsun. Yanıt x 2 eklenir. Mevcuteniyiçözüm(z=28,x =2,x 2 =,x 3 =8)yenikısıtısağlamadığıiçinartık olurludeğildir. Yenieniyiçözümübulmakiçineniyitabloyayenibirsatıreklenir: x 2 e 5 = e 5 itdolarakkullanabilmekiçinbudenklemisileçarpılır: x 2 +e 5 = Yenitablo:,333 /,333 s z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 e 5 RHS BV 5 28 z= s = x 3 = x =2 5 s 4 =5 # 3 e 5 '='# e 5 çözümdençıkarvex 2 çözümegirer. Eniyiçözüm: z=275,s =26,x 3 =,x =3/4,s 4 =4,x 2 = 53

58 Ekörnek2 x +x 2 2kısıtınınıneklendiğinivarsayılsın. Yanıt Mevcuteniyiçözüm(z=28,x =2,x 2 =,x 3 =8)yenikısıtısağlamadığıiçinartık olurludeğildir. Yenieniyiçözümübulmakiçineniyitabloyayenibirsatıreklenir: x +x 2 e 5 =2 e 5 itdolarakkullanabilmekiçinbudenklemisileçarpılır: x x 2 +e 5 = 2 Yenitablo: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 e 5 ST TD 5 28 z /2 2 /8 24 s /2 2 /4 8 x 3,25 /,5,5 2 5 s 4 / / /2 e 5 x itdolarakkullanabilmekiçinsatırişlemiyapılır: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 e 5 ST TD 5 28 z /2 2 /8 24 s /2 2 /4 8 x 3,25 /,5,5 2 x,25 #,5,5 5 # s 4 e 5 İterasyonlar: z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 e 5 ST TD z / /2 4 /6 s # 2 4 #32 x 3 / 2 x 5 s 4 /,5 /3 /2 2 s 2 54

59 z x x 2 x 3 s s 2 s 3 s 4 e 5 ST TD 6 6 /24 z / /4 6 s / /2 /4 32 x /2 x s 4 /,5 /4 /4 36 s 2 Pivotsatırdakiherdeğişkennegatifolmayankatsayılarasahip: DP ninolurluçözümüyoktur Normalenküçüklemesorunuçözme Ekörnek3 AşağıdakiDP yiçözünüz: Yanıt minz=x +2x 2 öylekix 2x 2 +x 3 4 2x +x 2 x 3 6 x,x 2,x 3 z x x 2 x 3 e e 2 ST TD * *2 z * 2 * *4 e z #2 x * x 2 x 3 e e 2 #6 ST e 2 TD *,5 *,5 *,5 3 z 2,5 #,5 *,5 # e,5 *,5 *,5 3 x z x x 2 *2,333 x 3 e *,333 e 2 *,333 ST 3,333 TD z *,667 *,667,333,667 x 3 *,333 *,333 *,333 3,333 x Eniyiçözüm:z=/3,x =/3,x 2 =,x 3 =2/3 55

60 6. DP DEİLERİKONULAR 6. DÜZELTİLMİŞSİMPLEKSYÖNTEMİ Klasik simpleks yöntemi bilgisayarlar için en etkin yöntem değildir. Çünkü mevcut adımdaveyasonrakiadımlardagerekliolmayanverilerhesaplanırvedepolanır. Düzeltilmiş simpleks, Simpleks yöntemi adımlarının daha az hesaplama ile uygulanmasınısağlayansistematikbirprosedürdür.özelliklebilgisayarprogramlarının dahaazverisaklamasınısağlar. Simpleksyöntemdeherbiriterasyondagerekliolanbilgilerşunlardır: TemelolmayandeğişkenlerinSatır(R) dakikatsayıları, Çözümegirecekdeğişkenindiğerdenklemlerdekikatsayıları, Sağtarafdeğerleri. Simpleks yönteminde tüm tablodaki değerler hesaplanırken düzeltilmiş simpleks yönteminde sadece yukarıda verilen bilgiler hesaplanarak etkin bir algoritma oluşturulur. 6.. Simpleksyöntemininmatrisformundagösterimi Değişkensayısı=n,kısıtsayısı=molmaküzere, MaksZ=cx ÖylekivAx=b,x. Buradaxkarardeğişkenlerivektörü,camaçfonksiyonukatsayılarıvektörü,Ateknoloji katsayılarımatrisi,bsağtarafdeğerleridir. ÖrneğinaşağıdaverilenDakotaMobilyaDP siiçinv maksz=6x +3x 2 +2x 3 öyleki8x +6x 2 +x x +2x 2 +.5x 3 2 2x +.5x 2 +.5x 3 8 x 2 5 x,x 2,x 3 x= # % # ( # *,T = 6, 3, 24,U = ,V = olur. Notasyontablosu c nsatırvektörü,amaçfonksiyonukatsayıları x n sütunvektörü,karardeğişkenleri A m nmatrisivteknolojikatsayıları 56

61 b sağtarafdeğerlerivektörü BV temeldeğişkenlerkümesi(bv ninilkelemenıilkkısıttakitemeldeğişken, BV ninikincielemenıikincikısıttakitemeldeğişken,., BV j j incikısıttakitemeldeğişken NBV temelolmayandeğişkenlerinkümesi a j orijinalproblemdekısıtlarınx j sütunu B m mmatrisivj incisütunuorijinalkısıtlardabv j içinolansütunlardanoluşur N) m (nhm)matrisivsütunlarıorijinalkısıtlardatemelolmayandeğişkenler içinolansütunlardanoluşur c j ) amaçfonksiyonundax j ninkatsayıları c B msatırvektörüvj incielemanıbv j ninamaçfonksiyonukatsayısı c N (nsm)satırvektörüvj incielemanınbv ninj incielemanınakarşılıkgelen amaçfonksiyonukatsayısı x B m sütunvektörü,temeldeğişkenler x N nhm sütunvektörü,temeldışıdeğişkenler Simpleksyöntemdeherhangibirtemelolurluçözümiçerdiğitemeldeğişkenlerileifade edilebilir.bununiçinbvtemeldeğişkenlerkümesinintanımlanmasıgerekir. HerhangibirBViçinA,xvectemelvetemeldışıdeğişkenlerekarşıgelensütunlara göreikikısmaayrılırsav A=[B,N] x=[x B,x N ] c=[c B,c N ] eldeedilir.bunlaragöreilgilenilendpaşağıdakigibidüzenlenebilir: MaksZ = T X Y X + T Z Y Z Öylekiv[Y X + \Y ZX = V ) ) x BV,x NBV buradakisembollerintanımlarınotasyontablosundaverilmiştir. BumodeldeBmatrisidoğrusalbağımsızvektörlerdenoluştuğuiçintersialınabilirdir. Temeldeğişkenlerinilgilitemelolurluçözümdekideğerlerinibulabilmekiçinkısıtların herikitarafıb s ileçarpılır: [ IQ [Y X + [ I% \Y Z = [ I% V Y X + [ I% \Y Z = [ I% V Burada[ I% \temeldışıdeğişkenlerinsimplekstablosundakikatsayılarını,[ I% Vise sağtarafdeğerleriniverir. 57

62 SimplekstablosundakisıfırıncısatırıbulabilmekiçinZ = T X Y X + T Z Y Z denklemindey X yerine[ I% V [ I% \Y Z yazılırsav Z = T X [ I% V [ I% \Y Z + T Z Y Z 4 Z + T X ] I%^ T Z Y Z = T X ] I% V44 Burada T X ] I%^ T Z temeldışıdeğişkenlerinsıfırıncısatırdakikatsayıları,t X ] I% V ise sıfırıncı satırın sağ taraf değeridir. Bir temel dışı değişkenin sıfırıncı satırdaki katsayısı indirgenmiş maliyet olarak adlandırılır ve N - F - = T X_ [ I%`- F - şeklinde ifadeedilebilir. VerilenformüleregöreherhangibirtemelolurluçözümdekiBViçinsimplekstablosu aşağıdakigibioturuşturulabilir. z Y a Y b ST z T a [ I% \ T b T a [ I% V Satır(R ) Y a I [ I% \ [ I% V Satır m(r sr m ) Bu tablo üzerinden en iyilik koşulu (maks problemi için) T a [ I% \ T b dır. Eğer herhangibirjtemeldışıdeğişkeniiçinn - F - = T X_ [ I%`- F - < isemevcuttabloen iyi değildir. Hangi temel dışı değişkenin temelv hangi temel değişkenin temel dışı olacağınakararverilereksonrakiiterasyonageçilir. Yukarıda verilen tabloda çözüme girmeyecek olan temel dışı değişkenler için hesaplanan[ I% \değerlerisimpleksyöntemdekullanılmaz.kullanılmayacakverilerin hesaplanmasıvedepolanmasıbüyükproblemlerdeetkinliğidüşürmektedir.buyüzden aşağıdaadımlarıverilendüzeltilmişsimpleksyöntemigeliştirilmiştir DüzeltilmişSimpleksYöntemiAdımları (Maksproblemiiçin) Adım:B h inokunacağısütunlarınbelirlenmesi.başlangıçta,b h =I. Adım:Mevcuttabloiçinc = T X [ I% 4hesaplanır,(wsimpleksçarpanıveyadual/gölge fiyatolarakadlandırılır) Adım2:TümtemelolmayandeğişkenleriçinR dakikatsayıları(n - F - = c X_ B I% a - F - = wa - F - )hesaplanır. Tümkatsayılarnegatifolmayandeğerleralmışise,mevcutçözümeniyidir. 58

63 Mevcutçözümeniyideğiliseennegatifkatsayılıdeğişkençözümegirecek değişkenolarakbelirlenir.budeğişkenex k denir. Adım3:x k nınhangisatırdantemeldeğişkenolarakgireceğinibelirlemekiçin, x k ninmevcuttablodakisütunuhesaplanır(h - = [ I%`-) Mevcuttablonunsağtarafdeğerihesaplanır(V = [ I% V) Orantestiilehangideğişkenintemeldışıolacağıbelirlenir. YeniBVkümesibulunmuşolur. Adım 4: Mevcut tablodaki x k nın temele girmesi için gerekli ERO lar belirlenir. Bu ERO larmevcutb h euygulanırsayenib h eldeedilir.adım edönülür. Düzeltilmişsimplekstekullanılanformüller Formül Açıklama h i = [ IQ`i BVtablosundakix j sütünu c = T [ [ IQ Simpleksçarpanları gölgefiyat N - F - = T [ [ IQ`i j i x j ninr dakikatsayıları indirgenmişmaliyet = c`i j i V = [ IQ V BVtablosundakikısıtsağtarafdeğerleri temel değişkendeğerleri k = T [ [ IQ V = T [ V = cv BVtablosundaR dakisağtarafdeğerisamaç fonksiyonudeğeri Örnek.AşağıdakiDP yidüzeltilmişsimpleksileçözünüz. MaksZ=x +2x 2 x 3 +x 4 +4x 5 2x 6 Öylekivx +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 6 2x x 2 2x 3 +x 4 4 x 3 +x 4 +2x 5 +x 6 4 Tümdeğişkenler Öncelikleproblemstandartbiçimedönüştürülür: MaksZ=x +2x 2 x 3 +x 4 +4x 5 2x 6 Öylekivx +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +s =6 2x x 2 2x 3 +x 4 +s 2 =4 x 3 +x 4 +2x 5 +x 6 +s 3 =4 Tümdeğişkenler Başlangıçtagevşekdeğişkenlertemeldeğişkendir.BV={s,s 2,s 3 } Adım:B=[a 7,a 8,a 9 ]=I, B s =B=I =.İterasyon Adım: BV={s,s 2,s 3 },B s =I, T X = [,,] 59

64 c = T X [ I% vc =,, n = [,,] END Adım2:(N - F - = c X_ B I% a - F - = wa - F - )hesaplanır. N % F % =,, N * F * =,, N O F O =,, 2 = v N ( F ( =,, 2 ( ) = v =,, 4 = 4v N o F o =,, 2 2 = 2 = ( 2) = 2 İndirgenmişmaliyetinegatifolandeğişkenlervar,buyüzdençözümeniyideğildir.En negatifindirgenmişmaliyetdeğerinesahipolanx 5 çözümegirer. Adım3:çıkandeğişkeninbelirlenmesiv x 5 inmevcuttablodakisütunu:h O = [ I%`O=I Mevcuttablonunsağtarafdeğeri:V = [ I% V = n Orantesti: / 2 = YeniBV={s,s 2,x 5 } q *4 çözümden4çıkar Adım4:YeniBViçinB s hesaplanır.h O i uygulanır. 2 Buişlemler} I% = 2.İterasyon içinr3 =R3/2vR =R R3 vr2 =R2. = = euygulanırsayeni} I% = v halinegetirmekiçingerekliero larb ye /2 /2 olarakbulunur. Adım:BV={s,s 2,x 5 },} I% = /2 /2, T X = [,,4] c = T X [ I% vc =,,4 /2 /2 = [,,2] 6

65 Adım2:(N - F - = c X_ B I% a - F - = wa - F - )hesaplanır. N % F % =,,2 N * F * =,,2 N o F o =,,2 2 = v N ( F ( =,,2 2 ( ) = 3v =,,2 ( 2) = 4v N ~ F ~ =,,2 2 = 2 = = 2v İndirgenmişmaliyetinegatifolandeğişkenlervar,buyüzdençözümeniyideğildir.En negatifindirgenmişmaliyetdeğerinesahipolanx 2 çözümegirer. Adım3:Çıkandeğişkeninbelirlenmesiv x 2 ninmevcuttablodakisütunu:h ( = [ I%`(= Mevcuttablonunsağtarafdeğeri:V = [ I% V = Orantesti: / YeniBV={x 2,s 2,x 5 } q %4 çözümden4çıkar = Adım4:YeniBViçinB s hesaplanır.h ( yi uygulanır. Bu işlemler } I% = bulunur. 3.İterasyon /2 /2 /2 /2 içinr =RvR2 =R2+R vr3 =R3. /2 /2 Adım:BV={x 2,s 2,x 5 },} I% = c = T X [ I% vc = 2,,4 /2 /2 / = = halinegetirmekiçingerekliero larb ye e uygulanırsa yeni } I% = /2 /2 /2 = [2,,], T X = [2,,4], v /2 /2 /2 olarak 6

66 Adım2:(N - F - = c X_ B I% a - F - = wa - F - )hesaplanır. N % F % = 2,, 2 = v N * F * = 2,, = 2,, = 2v N o F o = 2,, N F = 2,, = 2v N ~ F ~ = 2,, 2 ( ) = 4v ( 2) = 5v = v İndirgenmişmaliyetinegatifolandeğişkenyok,buyüzdençözümeniyidir. Temeldeğişkenlerindeğeri# a = V = [ IQ Vformülüilehesaplanırsav # ( q ( # O = /2 /2 / = olarakbulunur.temeldışıdeğişkenlerindeğeri dır. AmaçfonksiyondeğeriÄ = T [ [ IQ V = T [Å V = cvformülünegörev Z=cV = 2,, = 64olur DüzeltilmişSimpleksYöntemiTabloGösterimi Düzeltilmişsimpleksyöntemiileelleçözmekiçintablogösterimindenfaydalanılabilir. Bunun için tabloda simpleks yönteminden farklı olarak sağ taraf değerleri, simpleks çarpanları w ve temel matrisin tersi değerleri saklanır. Gerekli olduğunda çözüme girecekdeğişkeninkatsayılarıtabloyaekolarakilaveedilir. Başlatmaadımı [ I% ile bir temel olurlu çözüm bul. c = T a [ I%, V = [ I% V hesaplayarak aşağıdaki düzeltilmişsimplekstablosunuoluştur: Temeltersi ST Anaadım w T a V [ I% V HertemeldışıdeğişkeniçinN - F - = c`- T - hesapla. N Ç F Ç = min - Ö N - F - belirle.eğern Ç F Ç isedurmevcutçözümeniyiçözümdür. 62

67 Değiliseh Ç = [ I%`Çhesapla.Eğerh Ç iseeniyiçözümsınırsızdır.eğerh Ç ise á à Iâ à h à sütununutablonunsağınaekle. Temeltersi ST x k w T a V N Ç F Ç [ I% V h Ç rindisinistandartorantestiilebelirle: ä ã å ãà = min %ç$çé ä è å êà : G $Ç > y rk yagörepivotişlemleryaparaktabloyugüncelle,anaadımıtekraret. Örnek2.AşağıdakiDP yidüzeltilmişsimpleksileçözünüz. maksz=6x +3x 2 +2x 3 Öylekiv 8x +6x 2 +x x +2x 2 +,5x 3 2 2x +,5x 2 +,5x 3 8 x,x 2,x 3 Öncelikleproblemstandartbiçimedönüştürülür: maksz=6x +3x 2 +2x 3 Öylekiv 8x +6x 2 +x 3 +s =48 4x +2x 2 +,5x 3 +s 2 =2 2x +,5x 2 +,5x 3 +s 3 =8 Tümdeğişkenler Başlatmaadımı Başlangıçtagevşekdeğişkenlertemeldeğişkendir.BV={s,s 2,s 3 }, B s =B=I = V = [ I% V = n = ; c = T a [ I% =,, n = [,, ] T a V =,, Düzeltilmişsimplekstablosunuoluştur: TemelTersi ST z s 48 s 2 2 s 3 8 Anaadım.iterasyon = 4 HertemeldışıdeğişkeniçinN - F - = c`- T - hesapla. 8 N % F % = c`% T % =,, = 6 63

68 N ( F ( = c`( T ( =,, N ì F ì = c`* T * =,, î ï j ï = ñóò î i j i i ô eniyideğildir. x çözümegirervk=.h % = [ I%`% = n END = = 2.5 = öõú 6, 3, 2 = 6<vmevcuttemelolurluçözüm = : á àiâ à h à sütununutablonunsağınaekle. TemelTersi ST x Oran z s6 s /8=6 s /4=5 s /2=4** Orantestiileçıkandeğişkens 3 olarakbelirlenir.yenitabloyueldeetmekiçindüzeltilmiş simplekstablosunaeklenensütunagörepivotişlemyapılır R3 =R3/2v R2 =R2 4R3, R =R 8R3, R =R+6R3 TemelTersi ST z 3 24 s s4 6 s 2 s2 4 x.5 4 Anaadım 2.iterasyon Her temel dışı değişken için N - F - = c`- T - hesapla. c vektörünü düzeltilmiş simplekstablosur danal 6 N ( F ( = c`( T ( =,, = 5 N ì F ì = c`ì T ì =,, Rû = 5 N o F o = c`o T o =,, 3 = 3 î ï j ï = ñóò i ô î i j i x 3 çözümegirecekvk=3.h * = [ I%`* = tablonunsağınaekle. = öõú 5, 5, 3 = 5<vmevcutçözümeniyideğildir = á àiâ à h à. sütununu 64

69 TemelTersi ST x 3 Oran z 3 24 s5 s s4 6 s ss s 2 s /.5=8** x /.25=6 Orantestiileçıkandeğişkens 2 olarakbelirlenir.yenitabloyueldeetmekiçindüzeltilmiş simplekstablosunaeklenensütunagörepivotişlemyapılır R2 =R2/.5v R =R+R2, R3 =R3.25R2,R =R+5R2 TemelTersi ST z 28 s 2 s8 24 x 3 2 s4 8 x s Anaadım 3.iterasyon Her temel dışı değişken için N - F - = c`- T - hesapla. c vektörünü düzeltilmiş simplekstablosur danal 6 N ( F ( = c`( T ( =,, = 5 N S F S = c`s T S =,, û = N o F o = c`o T o =,, = î ï j ï = ñóò î i j i i ô = öõú 5,, = 5 vmevcuttemelolurluçözümeniyidir. Değişkenlerinçözümdekideğerleritablodangörülebilir: x =2,x 2 =,x 3 =8,z= SİMPLEKSKULLANARAKDUYARLILIK Simpleks kullanarak yapılabilecek duyarlılık analizleri Dakota mobilya örneğinde incelenecektir.dakotamobilyaproblemindex, x 2, x 3 sırasıylaüretilensıra,masave sandalyemiktarıolaraktanımlanmıştır. KarıenbüyüklemekiçinkurulanDP: maksz= 6x +3x 2 +2x 3 8x +6x 2 +x 3 +s =48 Tahta. 65

70 4x +2x 2 +.5x 3 +s 2 =2 Montaj 2x +.5x 2 +.5x 3 +s 3 =8 Marangozluk Buproblemineniyiçözümü(Simplekstablosu): z +5x 2 +s 2 +s 3 =28 s2x 2 +s +2s 2 s8s 3 =24 s2x 2 +x 3 +2s 2 s4s 3 =8 +x +.25x 2 s.5s 2 +.5s 3 =2 EniyiçözümdeBV:{s,x 3,x },NBV:{x 2,s 2,s 3 },w=c B B h =[,,]ve ] I% = ,5,5. Analiz:Temeldışıdeğişkeninamaçfonksiyonukatsayısınındeğişmesi x j temel dışı değişkenin amaç fonksiyonu katsayısı c j olursav bu değişkenin en iyi tablodakiindirgenmişmaliyeti[n - F - =4c B B h a j sc j ]kontroledilir. EğerN - F - ise(maksproblemiiçin)mevcuttemeleniyikalırvemevcutçözüm değişmez. EğerN - F - < ise(maksproblemiiçin)mevcuttemeleniyideğildir,x j çözümegirer veorantestiilehangideğişkeninçözümdençıkacağıbelirlenerekyeniçözümsimpleks yöntemileeldeedilir. x j temeldışıdeğişkeninamaçfonksiyonukatsayısıiçinmevcuttemelçözümüneniyi kalacağı aralığı bulunmak içinv c j = c j +δ kabul edilerek δ nın N - F - (Maks problemiiçin)eşitsizliğinisağlayandeğerleribulunur. Örnek. Dakota Mobilya problemi için x 2 nin amaç fonksiyonu katsayısı hangi aralıklardadeğişirsemevcuttemelçözümeniyikalır? c 2 =3+δ N ( F ( =4[,,] 6 2,5 5sδ δ 5 veyac 2 35ikenmevcuttemeldeğişmez. (3+δ) Örnek2.DakotaMobilyaproblemindemasanınsatışfiyatı4birimolursayeniçözüm neolur? 66

71 Masanın satış fiyatı x 2 nin amaç fonksiyonu katsayısıdır. 4 olursa Örnek den görülebileceği gibi mevcut temel en iyi değildir. N ( F ( =4[,,] 6 2,5 (4) = s5 olarakhesaplanırvex 2 çözümegirer.orantestiilex inçözümdençıkacağıbelirlenir vesimpleksileyeniçözümbulunur(lütfenkendinizbulunuz). Analiz2.Temeldeğişkeninamaçfonksiyonukatsayısınındeğişmesi x k temeldeğişkeninamaçfonksiyonukatsayısıc k olursavtümtemeldışıdeğişkenlerin indirgenmişmaliyetleri[n - F - =4c B B h a j sc j ]kontroledilir. EğertümtemeldışıdeğişkenleriçinN - F - ise(maksproblemiiçin)mevcuttemel eniyikalır.mevcutçözümdekiamaçfonksiyonudeğerideğişirvek = T [ [ IQ V = T [ V formülüilehesaplanır. EğerenazbirtemeldışıdeğişkeniçinN - F - < ise(maksproblemiiçin)mevcut temel en iyi değildir, en negatif katsayılı x j çözüme girer ve oran testi ile hangi değişkeninçözümdençıkacağıbelirlenerekyeniçözümsimpleksyöntemileeldeedilir. x k temeldeğişkeninamaçfonksiyonukatsayısıiçintemelçözümüneniyikalmasını sağlayacak aralığı bulunmak içinv c k = c k +δ kabul edilerek δ nın tüm temel dışı değişkenler için N - F - (Maks problemi için) eşitsizliğini sağlayan değerleri bulunur. Örnek 3. Dakota Mobilya probleminde sıranın satış fiyatı (x in amaç fonksiyonu katsayısı)hangiaralıklardadeğişirsemevcuttemelçözümeniyikalır? c =6+δ N ( F ( =, 2, 6 + ü N O F O =, 2, 6 + ü N o F o =, 2, 6 + ü ,5, ,5, ,5,5 6 2, δ δ s4 4 s.5δ δ δ δ s2/3 Sonuçolaraks4 δ 2vveya56 c 8isemevcuttemeleniyikalır. Örnek 4. Dakota Mobilya probleminde sıranın satış fiyatı (x in amaç fonksiyonu katsayısı)5olursaçözümneolur? 67

72 Örnek3 tehesaplandığıgibieğerx inamaçfonksiyonukatsayısı5olursamevcut temel en iyi değildir. Yeni çözümü bulabilmek için düzeltilmiş simpleks tablosu oluşturulur: TemelTersi ST z 5 s5 26 s 2 s8 24 x 3 2 s4 8 x s Temeldışıdeğişkenleriçinindirgenmişmaliyetlerhesaplanır: N ( F ( = 7.5vN O F O = 5;N o F o = 5 x 2 çözümegirer.x 2 sütunutabloyaeklenir: TemelTersi ST x 2 Oran z 5 s5 26 s7,5 s 2 s8 24 s2 s x 3 2 s4 8 s2 s x s * x çözümdençıkar.yenitablo: TemelTersi ST z s,2 s5,6 27,2 x 3,2 s,6,2 x 2 s,4,2,6 Buçözümüneniyiliğikontroletmekiçintemeldışıdeğişkenlerinindirgenmişmaliyetleri hesaplanmalıdır. Hesaplandığında hepsinin pozitif olduğu görülebilir(lütfen kendiniz hesaplayınız). Sonuçolaraksıranınsatışfiyatı5olursafirmasıraüretmeyibırakmalıonunyerine masaüretmelidir.üretimmiktarlarıx 2 =.6vx 3 =.2vkarise272olacaktır. Analiz3.Kısıtsağtarafdeğerinindeğişmesi i ncikıstınsağtarafdeğerib i olursaveniyisimplekstablosununsağtarafdeğerleri [V = [ IQ V]kontroledilir. EğerV ûisemevcuttemeleniyikalır.karardeğişkenlerindekiveamaçfonksiyonu değerindekideğişimdeğişir,v = [ IQ Vvek = T [ [ IQ V = T [ Vformülleriilehesaplanır. EğerV û(enazbirsağtarafdeğerinegatif)isemevcutçözümyenidurumiçinolurlu değildir.budurumdadualsimpleksyöntemiileeniyiçözümbulunur. 68

73 i nci kıstın sağ taraf değeri için temel çözümü değiştirmeyecek aralık bulunmak istenirsevb i =b i +δ kabuledilerekδ nınv ûeşitsizliğinisağlayandeğerleribulunur. Örnek5.DakotaMobilyaproblemindemevcutcilalamamiktarı(İkincikısıtsağtaraf değeri)hangiaralıklardadeğişirsemevcutçözümeniyikalır? b 2 =2+δ V = [ IQ V = ,5, δ 8 = δ 8 + 2δ 2.5δ δ 2 δ 4 δ 4 Sonuçolaraks4 δ 4veya6 b 2 24içinmevcuttemeleniyikalır. Örnek6.DakotaMobilyaproblemindemevcutcilalamamiktarı(İkincikısıtsağtaraf değeri)8saatolursaçözümneolur? Önerilendeğişimmevcutcilalamamiktarıiçinizinverilenaralıktaolduğuiçinmevcut temeleniyidir.yenikarardeğişkenideğerleriv = [ IQ V = ,5,5 olarak(x =3,x 2 =,x 3 =4)bulunur.Yeniamaçfonksiyonudeğeriisek = T [ V =, 2, = 26 tır. Örnek7.DakotaMobilyaproblemindemevcutcilalamamiktarı(İkincikısıtsağtaraf değeri)3saatolursaçözümneolur? Önerilendeğişimmevcutcilalamamiktarıiçinizinverilenaralıktadeğildir.Yeniçözümü bulabilmek için dual simpleks yöntemi kullanılmalıdır. Bunun için öncelikle simpleks tablosuoluşturulur: = z x x 2 x 3 s s 2 s 3 ST TD N - F - = T [ [ IQ`i j i w=c BV B h Z = T X_ ] I% V z s G - = ] I% - B s V = ] I% V x 3 x z x x 2 x 3 s s 2 s 3 ST TD 5 38 z s2 2 s8 44 s s2 2 s4 28 x 3,25 s,5,5 s3 x 69

74 Çözümdenx çıkar,s 2 girer. z x x 2 x 3 s s 2 s 3 ST TD z 4 3 s2 32 s x 3 s2 s2,5 s3 6 s 2 Eniyiçözümbulunmuştur.Eniyiçözümdex =,x 2 =,x 3 =6veZ=32 dir. Analiz4.Yenibirkarardeğişkenieklenmesi Probleme yeni bir x j karar değişkeni eklenirsev mevcut en iyi çözümün değişip değişmeyeceği bu karar değişkeni için indirgenmiş maliyet [N - F - =4c B B h a j s c j ] hesaplanarakkontroledilir. EğerN - F - ise(maksproblemiiçin)mevcuttemeleniyikalırvemevcutçözüm değişmez. EğerN - F - < ise(maksproblemiiçin)mevcuttemeleniyideğildir,x j çözümegirer veorantestiilehangideğişkeninçözümdençıkacağıbelirlenerekyeniçözümsimpleks yöntemileeldeedilir. Örnek 8. Dakota Mobilya probleminde yeni bir ürün olarak sehpa üretilmesi değerlendirilmektedir. Sehpa üretimi için birer birim marangozluk, cilalama ve tahta kullanılmaktadırvesehpanınsatışfiyatı5$ dır.dakotaiçinsehpaüretmekkarlıolup olmadığınıbelirleyiniz. x 7 üretilen sehpa miktarı olmak üzere c 7 = 5, = indirgenmişmaliyethesaplanır:[n F =4[,,] olsun. Öncelikle x 7 için 5 = 5.İndirgenmişmaliyet pozitifolduğuiçinmevcutçözümeniyidir.sonuçolarakx 7 =eldeedilir,yanidakota içinsehpaüretmekkarlıdeğildir. Analiz5.Yenibirkısıteklenmesi Problemeyenibirkısıteklenirseeniyiçözümündeğişipdeğişmeyeceğieklenenyeni kısıtiçineniyitablodasağtarafdeğeri[v = [ IQ V]hesaplanarakkontroledilir.Burada 7

75 yeni kısıt ile birlikte temel değişken kümesine yeni kısıtla ilgili gevşek değişken eklenecektir. Dolayısıyla B temel matrisi ile B s temel matris tersi değişecektir. Bu analiziyapabilmekiçinöncelikleyenib s bulunmalıvev = [ IQ Vhesaplanmalıdır. EğerV ûisemevcuttemelçözümyenikısıtısağladığıanlaşılır.mevcuttemeleniyi kalır,karardeğişkenlerininveamaçfonksiyonundeğerideğişmez. EğerV û(yenikısıtnsağtarafdeğerinegatif)isemevcuttemelçözümümyenikısıtı sağlamadığı anlaşılır. Mevcut çözüm yeni durum için olurlu değildir. Bu durumda simplekstablosuoluşturularakdualsimpleksyöntemiileeniyiçözümbulunur. Örnek 9. Dakota Mobilya probleminde ürünler bittikten sonra son bir kalite kontrolü yapılmasıgerektiğiortayaçıkmıştır.herürün.5saattekontroledilmektedirvehaftalık toplam7saatmevcuttur.yenidurumiçineniyiçözümübulunuz. Yenikısıt:,5x +,5x 2 +,5x 3 7,5x +,5x 2 +,5x 3 +s 4 =7 Yenitemelçözüm:BV={s,x 3,x,s 4 },NBV={x 2,s 2,s 3 } ] = V = [ IQ V = değişmez kullanılarakv] I% = = hesaplanır olduğuiçinmevcutçözüm 7

76 7. ULAŞTIRMASORUNLARI 7. ULAŞTIRMASORUNLARININFORMÜLASYONU Genelolarak,birulaştırmasorunuaşağıdakibilgileribarındırır: Birürün/hizmetgönderenmadetarz)noktası)(supplypoint).iarznoktasıen fazlas i birimarzedebilir. Ürünün/hizmetin gönderildiği n adet talep) noktası) (demand point). j talep noktasıenazd j birimegereksinimduyar. Birbiriminiarznoktasındanjtalepnoktasınagönderilmesimaliyetic ij dir. Sözkonusubilgiaşağıdakiulaştırma)tablosuileformüleedilebilir: Arz noktası Arz noktası2... Arz noktasım Talep Talep Talep... noktası noktası2 noktasın c c 2 c n c 2 c 22 c 2n c m c m2 c mn TALEP d d 2 d n ARZ Eğertoplamtalepmiktarıtoplamarzmiktarınaeşitsesorundengeli)ulaştırma)sorunu olarakisimlendirilir. x ij =iarznoktasındanjtalepnoktasınagönderilenmiktarolsun. BudurumdaulaştırmasorununungenelDPgösterimiaşağıdakigibidir: minσ i Σ j c ij x ij öylekiσ j x ij s i (i=,2,...,m) Arzkısıtları Σ i x ij d j (j=,2,...,n) Talepkısıtları x ij Yukarıdakisorun,birenbüyüklemesorunu(ulaştırmasonucukareldeedilmesigibi) daolsa,kısıtlarınınbenzerözelliklertaşımasıdurumundayinebirulaştırmasorunudur. s s 2 s m 72

77 7.. DengeliUlaştırmaSorunununFormülasyonu Örnek.Powerco Powerco şirketinin dört şehre hizmet veren üç adet elektrik santrali vardır. Her bir santral sırasıyla 35 milyon, 5 milyon ve 4 milyon kwh elektrik üretmektedir. Şehirlerin en yoğun saatlerde talep ettiği elektrik miktarı ise sırasıyla 45 milyon, 2 milyon,3milyonve3milyonkwh dir.milyonkwhelektriğinbirsantraldenbirşehre gönderilmesinin maliyeti aşağıdaki tabloda verilmiştir. Her şehrin talebini en az maliyetle karşılamak üzere bir ulaştırma tablosunda dengeli bir ulaştırma sorunu formüleedinizvesorunundpmodelinigösteriniz. Yanıt: Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 Santral $8 $6 $ $9 Santral2 $9 $2 $3 $7 Santral3 $4 $9 $6 $5. Ulaştırmasorunununformülasyonu Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Santral Santral TALEP Toplamtalepvetoplamarzeşitolduğundan(25milyonkWh)sorun dengeli dir. 2. SorununDPmodeliolarakgösterimi x ij :Santrali deüretilenveşehirj yegönderilenelektrikmiktarı(millionkwh) minz=8x +6x 2 +x 3 +9x 4 +9x 2 +2x 22 +3x 23 +7x 24 +4x 3 +9x x 33 +5x 34 s.t. x +x 2 +x 3 +x 4 35 (arzkısıtları) x 2 +x 22 +x 23 +x 24 5 x 3 +x 32 +x 33 +x 34 4 x +x 2 +x 3 45 (talepkısıtları) x 2 +x 22 +x 32 2 x 3 +x 23 +x 33 3 x 4 +x 24 +x 34 3 x ij (i=,2,3vj=,2,3,4) 73

78 7..2 DengesizbirUlaştırmaSorunununDengelenmesi FazlaArz Eğertoplamarzmiktarıtoplamtalepmiktarınıgeçerse,sorunudengelemekiçintalep miktarıaradakifark(fazlaarzmiktarı)kadarolanbiryapay)talep)noktası)yaratılır.söz konusu noktaya yapılacak gönderimler aslında olmayacağı için bu noktaya arz noktalarındanyapılacakulaştırmamaliyetiolacaktır. KarşılanmayanTalep Eğertoplamarzmiktarıtoplamtalepmiktarındanazsa,aslındaolurlubirçözümyoktur (taleplerkarşılanamaz).budurumdakarşılanamayantalepkadararzıolanbiryapay) arz)noktası)yaratılır.talebinolmayanbirarznoktasındankarşılanması(veyatalebin gerçektekarşılanamaması)beraberindebir cezamaliyeti getirir. Örnek2.FazlaArziçinDeğiştirilmişPowerco Şehir in talebinin 4 milyon kwh olduğunu farz edelim. Bu durumda dengeli bir ulaştırmasorunuformüleediniz. Yanıt Toplamtalep2vetoplamarz25olduğundansorundengelideğildir. Sorunudengelemekiçinbiryapaytalepnoktasıeklenir.Sözkonusunoktanıntalebi 25 2=5milyonkwholacaktır. Her santralden yapay talep noktasına milyon kwh elektrik göndermenin maliyeti olacaktır. Tablo4.FazlaArzÖrneğiiçinUlaştırmaTablosu Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 Yapay ARZ Santral Santral Santral3 4 TALEP Örnek3.KarşılanmayanTalepiçinDeğiştirilmişPowerco Şehir intalebinin5milyonkwholduğunufarzedelim.karşılanamayanhermilyon kwhelektrikiçin8$cezamaliyetikesilirsedengelibirulaştırmasorunuformüleediniz. 74

79 Yanıt END milyon kwh elektrik arz eden bir yapay arz noktası eklenir. Gerçektev yapay arz noktasınaatanantalepkarşılanmayacağıiçinmaliyetolarakcezamaliyeti(8$)girilir. Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Santral Santral Yapay arz 5 TALEP TEMELOLURLUÇÖZÜMÜNBULUNMASI DengelibirulaştırmasorunuiçingenelDPgösterimiaşağıdakigibiyazılabilir:: minσ i Σ j c ij x ij öylekiσ j x ij =s i (i=,2,...,m) Arzkısıtları Σ i x ij =d j (j=,2,...,n) Talepkısıtları x ij Sözkonususorunabirtemelolurluçözüm(basicfeasiblesolutionsbfs)bulmakiçin aşağıdakiönemligözlemikullanılır: Eğerdengelibirulaştırmasorunundax ij lerindeğerlerkümesibirkısıtharicindetüm kısıtlarısağlarsa,budeğerlerokısıdıdasağlar. Bu gözlem ulaştırma sorununun çözümü sırasında herhangi bir kısıtı gözardı edebileceğimizivem+nskısıttanoluşanbirdpçözeceğimizigösterir.genelolarakilk arzkısıtıdeğerlendirmedışıbırakılır. Gerikalanm+nskısıdabfsbulmakiçinherhangibirm+nsdeğişkenintemelçözüm verebileceğini düşünülebilir: fakat söz konusu m+ns değişkenin temel çözümde olabilmesiiçinbirdöngüoluşturmamalarıgerekir. Enazdörthücreninbirdöngüoluşturmasıiçin: Herhangiardışıkikihücreninaynısatırveyasütundaolmasıgerekir, Aynısatırveyasütundaardışıküçhücreolmamalıdır, 75

80 Serinin son hücresi ilk hücre ile aynı satır veya sütunda olup döngüyü kapatmalıdır. Dengeli bir ulaştırma sorununa temel olurlu çözüm bulmak için üç farklı yöntem kullanılabilir(dikkatbuyöntemlerulaştırmaprobleminitamamençözmekiçindeğil birtemelolurluçözümbulabilmekiçinuygulanırlar).. KuzeybatıKöşe(NorthwestCorner)Yöntemi 2. EnküçükMaliyet(MinimumCost)Yöntemi 3. Vogel inyaklaşımı 7.2. KuzeybatıKöşeYöntemi Ulaştırma tablosunun en sol üst köşesinden başlanır ve x e mümkün olduğunca büyükbirdeğeratanır(tabiikivx ençoks ved ikilisininenküçükdeğerikadar olabilir). Eğerx =s iseilksatıriptaledilirved,d ss olarakgüncellenir, Eğerx =d iseilksütuniptaledilirves,s sd olarakgüncellenir, Eğerx =s =d iseyailksatıryadailksütuniptaledilir(herikisinidedeğil) Eğersatıriptaledilirsed sıfıryapılır, Eğersütuniptaledillirses sıfıryapılır. Bu şekilde devam ederek (her seferinde geri kalan hücrelerde yeni solsüst köşeye atamayaparak)tümatamalaryapılır.sonuçta,birhücregeriyekalacaktır.satırveya sütundaki değeri atayarak ve hem satırı hem de sütunu iptal ederek işlemi bitirilir: böylecebirbfseldeedilmiştir. Örnek. Aşağıdakidengeliulaştırmasorunuiçinbirbfsbulalım (Buyöntemdemaliyetlergerekmediğindenverilmemiştir) Toplamtaleptoplamarzaeşittir(9):sorundengelidir. 76

81 2 3 3 X X 3 X X X 3 X X X 2 3 X 2 m+ns(3+4s=6)adetdeğişkenatanmışolur.kbkyöntemiileseçilendeğişkenlerbir döngüoluşturmadıklarındanbirbfsbulunmuştur EnküçükMaliyetYöntemi KBKyöntemimaliyetlerigözönünealmadığındanbaşlangıçbfs simaliyetiyüksekolan birçözümolabilirveeniyiçözümünbulunmasıiçinçoksayıdaişlemgerekebilir. Budurumlakarşılaşmamakiçinkullanılabilecekolanenküçükmaliyetyöntemindeen düşüktaşımamaliyetiolanhücreyeatamayapılır.buhücreyeyapılacakx ij ataması yinemin{s i,d j }kadardır. KBKyöntemindekigibiatamayapılanhücreninolduğusatırveyasütuniptalediliparz yadatalepdeğerigüncellenirvetümatamalaryapılıncayakadardevamedilir. 77

82 Örnek X X X X X X X X X X X X X 78

83 7.2.3 VogelYaklaşımı END Her satır ve sütun için ceza hesaplanarak yönteme başlanır. Ceza o satır veya sütundakienküçükikimaliyetarasındakifarktır. Daha sonra cezası enbüyük olan satır veya sütun bulunur. Söz konusu satır veya sütundakiendüşükmaliyetlihücreilktemeldeğişkeniverir. YineKBKyöntemindekigibibudeğişkeneatanacakdeğer,ilgilihücreninarzvetalep miktarlarınabağlıdır.gerekliiptallervegüncellemeleryapılır.yenidengerikalantablo içinyenicezalarhesaplanırveprosedürebenzeradımlarladevamedilir. Örnek3. Arz Satırcezası s4= s6= s5=63 Talep Sütuncezası 4s6=8 22s7=5 24s8=6 Arz Satırcezası X 5 24s22= X 8 8s7= s78=2 Talep X 7 9 Sütuncezası 22s7=5 24s8=6 Arz Satırcezası X 5 24s22= X X 8 X s78=2 Talep X 7 Sütuncezası 8s22=58 78s24=54 79

84 Arz Satırcezası X 5 X X X X 8 X s78=2 Talep X 2 Sütuncezası s s Vogelyaklaşımıileeldeedilentemelolurluçözüm: Arz X 5 X X X Talep ULAŞTIRMASİMPLEKSİ Ulaştırma simpleksi, simpleks yöntemin ulaştırma probleminin özel yapısına göre düzenlemesi ile geliştirilmiştir. Simpleks yöntemin temel adımları ulaştırma simpleksindedeuygulanır.herhangibirbfs nineniyiolupolmadığınıkontroletmek içintemeldışıdeğişkenlerinindirgenmişmaliyetlerihesaplanmalıdır.bununiçinf $- = T [ [ IQ`õi j õi = c`õi j õi formülükullanılır.buradawherkısıtiçingölgefiyatları(dual değişkenleri)içerenbirvektördür.ulaştırmaproblemindemarznoktasıntalepnoktası olursavm+nadetkısıtyeraldığıiçinwiçerisindedebusayıdaelemanbulunur.diyelim kiv w = (u,, u m, v,,v n ) olsunv burada u,, u m, arz kısıtları ile ilgili dual değişkenler, v,,v n ise talep kısıtları ile ilgili dual değişkenlerdir. a $- ise x ij değişkenininkısıtkatsayılarıdır.ulaştırmaproblemindea $-,i incivem+j incielemanları,diğerelemanlarıolanbirvektördür.sonuçolarakf $- = ca $- F $- = $ + - F $- olarakhesaplanır. $ 4 ß4 - değerlerinibulabilmekiçinw=c BV B h ifadesindenwb=c BV eldeedilirvbiçerisindetemeldeğişkenlerin`õi değerleriyeraldığındanherbirtemel değişken için wa ij = u i + v j = c ij yazılabilir. Burada verilen kavramsal açıklama çerçevesindeyönteminadımlarıaşağıdaverilmiştir. 8

85 YönteminAdımları END Eğerulaştırmasorunudengesizisedengelenir, 2. KBK,EnküçükMaliyetveyaVogelyöntemlerindenbirikullanılarakbirbfsbulunur, 3. u = olarak kabul edip mevcut bfs deki tüm temel değişkenler için u i + v j = c ij denklemikullanaraku larvev lerhesaplanır. 4. (Enküçüklemesorunlarıiçin)TümtemeldışıdeğişkenleriçinF $- = $ + - F $- ise,eniyiçözümbulunmuştur.eğerbukoşulsağlanmazsaf $- değerienpozitifolan değişkenpivotişlemleriiletemelegirervetemeldekideğişkenlerdenbiriçözümden çıkar.böyleceyenibirbfsbulunmuşolur.adım3 egidiniz. (Enbüyüklemesorunlarıiçin)TümtemeldışıdeğişkenleriçinF $- = $ + - F $- ise,eniyiçözümbulunmuştur.eğerbukoşulsağlanmazsaf $- değeriennegatif olan değişken pivot işlemleri ile temele girer ve temeldeki değişkenlerden biri çözümdençıkar.böyleceyenibirbfsbulunmuşolur.adım3 egidiniz. Pivotişlemleri. Çözümegirecekolandeğişkeniletemeldeğişkenlerinbazılarıveyahepsibirdöngü oluşturur(sadecebirolasıdöngüvardır). 2. Döngüdekihücreleriçözümegirenhücredenbaşlayaraksayılır.Sayısıçiftolanları (, 2, 4, vb.) çift hücreler olarak işaretlenir. Döngüdeki diğer hücreleri de tek hücrelerolarakişaretlenir. 3. Tek hücrelerde değeri en küçük olan değişken bulunur. Bu değişken temel dışı kalacaktır.bulunanenküçükdeğereφdenirsevtümtekhücrelerdekideğerlerden ΦçıkartılırveçifthücrelerdekideğerlereΦeklenir.Döngüdeolmayandeğişkenlerin değerideğişmez.eğerφ=isegirendeğişkendeğeriileçözümegirecektir. Örnek.Powerco Sorun dengelidir (toplam talep toplam arza eşittir). Powerco örneğine KBK yöntemi uygulanırsa,aşağıdakitablodagörülenbfseldeedilir(m+n =6temeldeğişken). Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Santral Santral TALEP

86 .İterasyon: u = u +v =8 v =8 u 2 +v =9 u 2 = u 2 +v 2 =2 v 2 = u 2 +v 3 =3 v 3 =2 u 3 +v 3 =6 u 3 =4 u 3 +v 4 =5 v 4 = Tümtemeldışıdeğişkenleriçinĉ ij =u i +v j c ij hesaplanır: ĉ 2 =+ 6=5 ĉ 3 =+2 =2 ĉ 4 =+ 9=s8 ĉ 24 =+ 7=s5 ĉ 3 =4+8 4=s2 ĉ 32 =4+ 9=6 ĉ 32 enpozitifolandeğeriverdiğinden,x 32 temeldeğişkenolacaktır. x 32 nindeolduğudöngü(3,2)s(3,3)s(2,3)s(2,2)şeklindedir:φ=bulunur. Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Santral Φ 2+Φ 5 Santral Φ Φ 3 4 TALEP x 33 temeldışıdeğişkenolacaktır.yenibfsaşağıdakitablodaverilmiştir: 2.İterasyon: u i /v j ARZ s TALEP ĉ 2 =5,ĉ 3 =2,ĉ 4 =s2,ĉ 24 =,ĉ 3 =s8,ĉ 33 =s6 ĉ 2 enpozitifdeğeriverdiğinden,x 2 çözümegirer. x 2 nindeolduğudöngü(,2)s(2,2)s(2,)s(,)şeklindedirveφ= dur. 82

87 Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Φ Φ 35 Santral Φ Φ 3 5 Santral TALEP x 22 çözümdençıkar.yenibfsaşağıdakitablodaverilmiştir: 3.İterasyon: u i /v j ARZ TALEP ĉ 3 =2,ĉ 4 =s7,ĉ 22 =s5,ĉ 24 =s4,ĉ 3 =s3,ĉ 33 =s ĉ 3 enpozitifolandeğeriverdiğinden,x 3 temeldeğişkenolacaktır. x 3 ündeolduğudöngü(,3)s(2,3)s(2,)s(,)şeklindedir.φ=25 Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 ARZ Santral Φ Φ 35 Santral Φ 3 Φ 5 Santral TALEP x temeldışıdeğişkenolur.yenibfs: 4.İterasyon: u i /v j ARZ TALEP

88 ĉ =s2,ĉ 4 =s7,ĉ 22 =s3,ĉ 24 =s2,ĉ 3 =s5,ĉ 33 =s3 Tümĉ ij lernegatifolduğundaneniyiçözümbulunmuştur. Rapor Santral2 denşehir e45milyonkwhelektrikgönderilmelidir. Santral denşehir2 yemilyonkwhelektrikgönderilmelidir.benzerşekildesantral 3 denşehir2 yemilyonkwhelektrikgönderilmelidir. Santral denşehir3 e25milyonkwhvesantral2 denşehir3 e5milyonkwhelektrik gönderilmelidir. Santral3 denşehir4 e3milyonkwhelektrikgönderilmelidir Toplamtaşımamaliyeti:z=.9(45)+6()+9()+(25)+3(5)+5(3)=$ ULAŞTIRMASORUNLARIİÇİNDUYARLILIKANALİZİ Bu bölümde ulaştırma sorunları için duyarlılık analizi ile ilgili aşağıdaki noktalar incelenmektedir: TemelDışıDeğişkenin(NBV)amaçfonksiyonkatsayısınındeğiştirilmesi. TemelDeğişkenin(BV)amaçfonksiyonkatsayısınındeğiştirilmesi. BirarzınΔkadarartırılmasıvebirtalebinΔkadarartırılması. Bu değişiklikler Powerco sorunu kullanılarak açıklanmaktadır. Anımsanacağı gibi Powercosorunuiçineniyiçözümz=$,2 dirveeniyitabloöncekibölümde(sayfa başında)verilmiştir. TemelDışıDeğişkeninAmaçFonksiyonKatsayısınınDeğiştirilmesi Temel dışı bir x ij değişkeninin amaç fonksiyon katsayısının değiştirilmesi en iyi tablonunsağtarafdeğerinideğiştirmez.bunedenlemevcuttemelhalaolurludur. c BV B s değişmediğinden u i ler ve v j ler değişmez.. satırda yalnız x ij nin katsayısı değişir.bunedenlex ij ninkatsayısıeniyitablonun.satırındapozitifolmayanbirdeğer aldığısürecemevcuttemeleniyikalır. Örnek. milyon kwh elektriğin Santral den Şehir e iletim maliyetinin hangi aralıktakideğerleriiçinmevcuttemeleniyikalır? c in8 den8+δ yadeğiştirildiğivarsayılsın.δ nınhangideğerleriiçinmevcuttemelen iyikalır? c = u + v = + 6 (8 + Δ) = 2 Δ. c Bunedenlemevcuttemels2sΔ,yadaΔ s2,vec 8s2=6olduğusürece mevcuttemeleniyikalır. 84

89 TemelDeğişkeninAmaçFonksiyonKatsayısınınDeğiştirilmesi c BV B s değeri değiştirildiği için. satırdaki her temel dışı değişkenin katsayısı değişebilir.mevcuttemelineniyikalıpkalmadığınıbelirlemekiçinyeniu i lervev j ler bulunmalı ve bu değerler kullanılarak her temel dışı değişken için olurluluk koşulu denetlenmelidir. Mevcut temel, temel dışı değişkenlerin olurluluk denetimi pozitif olmayanbirsonuçverdiğisüreceeniyikalır. Örnek 2. milyon kwh elektriğin Santral den Şehir 3 e iletim maliyetinin hangi aralıktakideğerleriiçinmevcuttemeleniyikalır? c 3 ün dan+δ yadeğiştiğivarsayılsın.ozaman c = 3 denklemiu +v 3 = dan u +v 3 =+Δ yadönüşür.bunedenleu i lerinvev j lerinbulunmasıiçin,aşağıdaki denklemlerçözülmelidir. u = u 2 +v =9 u +v 2 =6 u 2 +v 3 =3 u 3 +v 2 =9 u +v 3 =+Δ u 3 +v 4 =5 Budenklemlerinçözülmesiileu =,v 2 =6,v 3 =+Δ,v =6+Δ,u 2 =3sΔ,u 3 =3, vev 4 =2sonuçlarıeldeedilir. Bundan sonra her temel dışı değişken için olurluluk denetimi yapılır. Her temel dışı değişken.satırdapozitifolmayanbirkatsayıyasahipolduğusürecemevcuttemelen iyikalır. c c c c c c = u = u = u 2 = u = u = u v + v + v + v + v + v = Δ 2 9 = 7 2 = 3 Δ 7 = 2 Δ 4 = 5 + Δ 6 = Δ 3 Δ 2 Δ 3 Δ 2 Δ 5 Δ 3 Bunedenlemevcuttemels2 Δ 2,yada8= 2 c 3 +2=2eşitsizlikleri geçerliolduğusüreceeniyikalır. 85

90 Hems i ArzınınHemded j TalebininΔKadarArtırılması Budeğişiklikulaştırmasorununundengelikalmasınısağlar.u i lerandv j lerherkısıtın gölge fiyatının negatifi olarak düşünülebileceğinden mevcut temelin en iyi kalması durumundayenizsdeğeriaşağıdakişekildehesaplanabilir. yenizsdeğeri=eskizsdeğeri+δ(u i )+Δ(v j ) Örneğin,.Santralinarzıve2.Şehrintalebibirimarttığında yenimaliyet=,2+()+(6)=$,26. Karardeğişkenlerininyenideğerleriiseşuşekildebulunabilir:. x ij eniyiçözümdekitemeldeğişkensex ij Δkadararttırılır. 2. x ij en iyi çözümdeki temel dışı değişken ise x ij yi ve bazı temel değişkenleri içeren döngü bulunur. i satırında ve döngüde olan tek hücre bulunur. Bu tek hücrenin değeri Δ kadar artırılır ve döngüde dolaşılarak ve değişimli olarak değerler artırılarak ve azaltılarak mevcut temel değişkenlerin yeni değerleri bulunur. Örnek3.İlkdurumugöstermeküzeres ved 2 değerleri2birimartırılsın. x 2 eniyiçözümdekibirtemeldeğişkenolduğuiçin,yenieniyiçözüm: Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 Arz u i /v j Santral Santral Santral Talep Yenizsdeğeri,2+2u +2v 2 =$,32. Örnek4.İkincidurumugöstermeküzere,hems hemded birimartırılsın. x mevcut en iyi çözümde temel dışı bir değişken olduğu için x i ve bazı temel değişkenleri içeren bir döngü bulunmalıdır. Döngü (, ) (, 3) (2, 3) (2, ) şeklindedir.ilksatırdaolupdöngüiçindeyeralantekhücrex 3 tür.bunedenleyenien iyi çözüm x 3 ve x 2 yi artırarak ve x 23 ü azaltarak bulunmaktadır. Bu değişiklik sonucuaşağıdakieniyiçözümortayakonulur: 86

91 Şehir Şehir2 Şehir3 Şehir4 Arz u i /v j Santral Santral Santral Talep Yenizsdeğeri=,2+u +v =$,26 dır. DikkatHems hemd 5birimdenfazlaarttırılırsamevcuttemelolurluolmayançözüm durumunagelmektedir.neden? 7.5 GEÇİCİKONAKLAMASORUNLARI Bazıdurumlardagönderimsürecindekibirnoktahemürün/hizmetgönderebilir,hem desözkonusunoktayaürün/hizmetgönderilebilir.ürün/hizmetinarznoktasındantalep noktasınagönderimisırasındageçiciolarakkonakladığıbunoktageçicikonaklama noktasıolarakisimlendirilir. Buözelliğiolanbirgönderimsorunugeçicikonaklamasorunudur. Geçici konaklama sorununa en iyi çözüm söz konusu sorunu ulaştırma sorununa dönüştürüpulaştırmasorununuçözerekbulunabilir. ) Uyarı) UlaştırmaSorunlarınınFormülasyonu bölümündebelirtildiğigibi,birbaşkanoktaya bir ürün/hizmet gönderen fakat hiç bir noktadan ürün/hizmet alamayan nokta arz noktasıolarakisimlendirilir. Benzerşekilde,birtalepnoktasıdadiğernoktalardanürün/hizmetalabilirfakathiçbir noktayaürün/hizmetgönderemez. Adımlar. Eğersorundengesizisesorunudengeleyiniz. s=dengelisoruniçintoplamarz(veyatalep)miktarıolsun. 2. Aşağıdakişekildebirulaştırmatablosukurunuz: Herarzvegeçicikonaklamanoktasıiçintablodabirsatırgerekecektir, Hertalepvegeçicikonaklamanoktasıiçinbirsütungerekecektir, Herarznoktasınınarzıonoktanınarzmiktarıkadarolacaktır, 87

92 Hertalepnoktasınıntalebionoktanıntalepmiktarıkadarolacaktır, Hergeçicikonaklamanoktasınınarzı onoktanınarzmiktarı+s kadarolacaktır, Hergeçicikonaklamanoktasınıntalebi onoktanıntalepmiktarı+s olacaktır. 3. Ulaştırmasorununuçözünüz. Örnek.Kuruoğlu (Winston7.6. danesinlenilmiştir) KuruoğluMalatyaveG.Antep dekifabrikalarındabuzdolabıüretmektedir.malatya daki fabrika günde en fazla 5 adet, G.Antep teki fabrika ise günde en fazla 2 adet buzdolabı üretebilmektedir. Buzdolapları uçak ile İstanbul, İzmir ve Ankara daki müşterilere gönderilmektedir. İzmir ve İstanbul daki müşterilerin talepleri 3 iken Ankara daki müşterilerin talebi 5 adettir. Gönderim maliyetlerindeki değişiklikler yüzündenbazıbuzdolaplarınınfabrikalardanuçaklaöncelikleankaraveyaeskişehir e gönderilmesi ve daha sonra nihai müşterilere bu şehirlerden gönderilmesi düşünülmektedir.aşağıdakitablodaşehirlerarasıbirimtaşımamaliyetleriverilmiştir. Kuruoğlu toplam taşıma maliyetlerini enazlayacak şekilde müşteri taleplerini karşılamakistemektedir. Yanıt: TL Ankara Eskişehir Istanbul İzmir Malatya G.Antep Ankara Eskişehir BusorundaAnkaraveEskişehirgeçicikonaklamanoktalarıdır. Adım.Sorunudengeleme Toplamarz=5+2=35 Toplamtalep=3+3+5=3 Yapaytalep=35 3=4 s=35(dengelisoruniçintoplamarzveyatalepmiktarı) Adım2.Birulaştırmatablosukurma Geçicikonaklamanoktasıtalebi=Onoktanıntalepmiktarı+s Ankaraiçintalep:5+35=4Eskişehiriçintalep:+35=35 Geçicikonaklamanoktasıarzı=Onoktanınarzmiktarı+s Ankaraiçinarz:+35=35Eskişehiriçinarz:+35=35 88

93 Ankara Eskişehir Istanbul Izmir Yapay Arz Malatya G.Antep Ankara Eskişehir Talep Adım3. Ulaştırma sorununun çözümü(adım 2 de oluşturulan ulaştırma tablosunun ulaştırma simpleksi kullanılarak çözümü ulaştırma simpleksinin adımları gösterilmemiştir.) Ankara Eskişehir Istanbul Izmir Yapay Arz Malatya G.Antep Ankara Eskişehir Talep Rapor: KuruogluMalatya da5buzdolabıüretipbunlarıntamamınıankara yagöndermelidir. Ankara yagelen5ürünün5 siankara nıntalebiiçinkullanılırkenv üistanbul a gönderilir.g.antep de6buzdolabıüretilmelidir(yapayın4çıkmasıg.antep in2 üretim kapasitesinin 4 nın kullanılmayacağını göstermektedir). Üretimin 3 u doğrudanizmir e,3 ueskişehirüzerindenistanbul agönderilmelidir. Budurumdatoplamtaşımamaliyeti683TLolacaktır. 7.6 ATAMASORUNLARI Ulaştırmasorunlarındaherarznoktasınınbirtalepnoktasınaatanmasınıvehertalebin karşılanmasını gerektiren özel bir durum söz konusudur. Bu tip sorunlar atama sorunları olarak isimlendirilir. Örneğin hangi işçinin veya makinenin hangi işi yapacağınıbelirlemekbiratamasorunudur DPGösterimi Biratamasorunundabirarznoktasınıbirtalepnoktasınaatamanınmaliyetic ij dir. 89

94 Öteyandan,birx ij stamsayıdeğişkeniaşağıdakigibitanımlanır: x ij =eğeri.arznoktasıj.talepnoktasınıntalebinikarşılamaküzereatanırsa x ij =eğeri.arznoktasıj.talepnoktasınıntalebinikarşılamazsa Budurumda,biratamasorununungenelDPgösterimiaşağıdakigibidir: minσ i Σ j c ij x ij öylekiσ j x ij =(i=,2,...,m) Arzkısıtları Σ i x ij =(j=,2,...,n) Talepkısıtları x ij =veyax ij = MacarYöntemi Tümarzvetalepmiktarlarıtamsayıolduğundan,eniyiçözümdekitümdeğişkenlerde tamsayı olmalıdır. Her kısıtın ST değeri e eşit olduğundan, her x ij den büyük olmayan ve negatif olmayan bir tamsayı olmalıdır. Bu durumda her x ij veya olmalıdır. x ij =veyax ij =kısıtlamasınıdpgösterimindeihmaledersek,herarznoktasınınbir adetarzettiğivehertalepnoktasınınbiradettalepettiğidengelibirulaştırmasorunu ilekarşılaşırız. Fakat atama sorununun ulaştırma simpleks yöntemi ile çözülmesi yukarıda verilen kısıtlamayıkullanmayacağıiçinetkinolmayacaktır. Bu yüzden simpleks den daha basit bir algoritma olan Macar Yöntemi ile atama sorunlarıçözülür. Uyarı). Amaç fonksiyonunun enbüyüklenmesi istenilen atama sorunlarında karlar matrisindeki elemanların ile çarpılarak sorunun enküçükleme sorunu olarak MacarYöntemiileçözülmesigerekir 2. Eğer maliyet matrisinde satır ve sütun sayıları eşit değilse atama sorunu dengesizdir.budurumdasorunumacaryöntemiileçözmedenöncebirveyadaha fazlasayıdayapaynoktaeklenerekdengelenmelidir.. Adımlar. m m likmaliyetmatrisininhersatırındakienküçükmaliyetibulunuz. 2. Hermaliyettenkendisatırındakienküçükmaliyetiçıkararakbirmatriskurunuz. 3. Yenimatrisdehersütununenküçükmaliyetinibulunuz. 9

95 4. Bu sefer her maliyetten kendi sütunundaki en küçük maliyeti çıkararak yeni bir matris(indirgenmişmaliyetmatrisi)kurunuz. 5. İndirgenmişmaliyetmatrisindekitümsıfırlarıörtecekşekildeenazsayıda(yatay veyadüşey)çizgiçiziniz.eğerbuişlemiçinmadetçizgigerekliiseeniyiçözüm bulunmuştur.eğergerekliçizgisayısımadettenazisebirsonrakiadımageçiniz. 6. İndirgenmişmaliyetmatrisindeAdım5 deçizilençizgilerileörtülmemişenküçük maliyeti(k)bulunuz. 7. Herüstündençizgigeçmeyenmaliyettenk yıçıkarınızveçiftçizgiileörtülenher maliyetek yıekleyiniz.adım5 edönünüz. Örnek.UçuşEkibi (Winston7.5. denesinlenilmiştir) Dört adet kaptan pilot (P, P2, P3, P4) uçuşlarda beraber oldukları dört adet uçuş teknisyenini (T, T2, T3, T4) yetkinlik, uyum ve moral motivasyon açısından s2 ölçeğindedeğerlendirmişlerdir(:çokiyi,2:çokkötü).değerlendirmenotlarıtabloda verilmiştir. Havayolu şirketi her uçuş teknisyeninin kaptan pilotlara atamasını bu değerlendirmeleregöreyapmakistemektedir. Yanıt: T T2 T3 T4 P P P P Adım2Tablodakihersatıriçinenküçükmaliyetlerbulunurvehermaliyettenkendi satırındakienküçükmaliyetçıkarılır. Satırmin Adım34.Yenimatrisinhersütununenküçükmaliyetibulunur.Hermaliyettenkendi sütunundakienküçükmaliyetiçıkararakindirgenmişmaliyetmatrisieldeedilir Sütunmin 2 9

96 END Adım5.Aşağıdakitablodagösterildiğigibi3.ve4.satırile.sütundaçizilecekçizgiler indirgenmiş maliyet matrisindeki tüm sıfırları örter. Gerekli en az çizgi sayısı 3 dür. 4 denazçizgigerektiğindençözümeniyideğildir.birsonrakiadımageçilir Adım67.Örtülememişenküçükmaliyet dir.herörtülmemişmaliyettençıkarılır veikiçizgiileörtülenlereeklenir Yeni tabloda tüm sıfırları dörtten daha az çizgi ile örtmek mümkün değildir. En iyi çözümbulunmuştur. Sütun 3 deki tek sıfır x 33 de ve Sütun 2 deki tek sıfır x 42 dedir. Satır 4 tekrar kullanılmayacağıiçinsütun4içinkalansıfırx 24 dedir.sonolarakx iseçeriz.seçilen tümkarardeğişkenleri eeşittir. Rapor: PTile,P2T4ile,P3T3ileveP4T2ileuçmalıdır. Örnek2.Enbüyüklemesorunu Rapor: F G H I J A B C D E Eniyikar=36,Atamalar:AsI,BsH,CsG,DsF,EsJ Alternatifeniyiçözüm:AsI,BsH,CsF,DsG,EsJ 92

97 8. AĞMODELLERİNEGİRİŞ Telefonhatları,internet,karayolları,elektriksistemlerivesudağıtımsistemlerigibibir çok fiziksel yapı yaşamımızın içerisinde olan çok bilinen ağlardır. Bu sistemler, ürünlerin en kısa yolla veya en düşük maliyet ile istenilen yerlere gönderilmesi gibi ortak problemler içerirler. Bu fiziksel ağlar gibi bir çok en iyileme problemi de ağ gösterimiileanalizedilebilir. Ağ enyilemesi konusunun kökleri 94 lara doğrusal programlamanın gelişmesine kadargider.bundansonrateorikveuygulamaaraştırmalarınınartmasıvepratikbirçok problemeuygulanmasıileağenyilemesikonusuhızlagelişmiştir. Ders kapsamında birkaç önemli ağ modelinin tanıtımı yapılacaktır: bu konular içerisinde en kısa yol problemi, en büyük akış problemi, en küçük maliyetli akış problemiveprojeyönetimivardır. Birağveyaçizgeikianaunsuriletanımlanır.BiryönlüG(N,S)ağısonludüğüm(köşe, nokta) kümesi N = {,2,..., m} ve bu düğümleri birbirlerine bağlayan sonlu yönlü bağlantı(yay,dal,çizgi)kümesis={(i,j),(k,l),...,(s,t)}iletanımlanır.(i,j)bağlantısıive j düğümlerini i den j yönüne bağlar. Bir ağın m düğüm ve n bağlantıdan oluştuğu varsayılabilir.örneğinaşağıdakiağdörtdüğümveyedibağlantıdanoluşmaktadırve N={,2,3,4},S={(,2),(,3),(2,4),(2,3),(3,2),(3,4),(4,)}. 93

98 8. ENKISAYOLPROBLEMİ m düğüm ve n bağlantıdan oluşan bir G(N,S) ağını göz önüne alalım. Her(i,j) S bağlantısı için bir c ij maliyeti verilsin. Bir başlangıç noktasından (düğüm ) bitiş noktasına(düğümm)enkısarotayıbulmaproblemineenkısayolproblemidenir. Örnek.FirmalarakargohizmetiverenATKsBrownşirketi,birmüşterisininürünlerini dağıtımmerkezinden(düğüm)müşterinindeposuna(düğüm6)taşımakistemektedir. Olasıyollarvekmcinsindenuzunluklarıaşağıdakişekildeverilmiştir.Buradaproblem.noktadan6.noktayaulaşmakiçinenkısarotayıbelirlemektir. 8.. EnkısayolproblemininDPgösterimi x ij =veyav(i,j)bağlantısınınenkısayolüzerindeolupolmadığıgöstermeküzere, é é Min4 F $- # $- $?% -?% é Öyle4ki;4 -?% # %- = é é 4 -?% # $- Ç?% # Ç$ = i=2,,ms é $?% # $é = x ij =veya,i,j=,2,,m. Buradatoplamlarağdakimevcutolanbağlantılariçinhesaplanır DijkstraAlgoritması Tümc ij olduğudurumugözönünealalım.budurumiçinbirnoktadan(düğüm) diğertümnoktalaraenkısayoluverençokbasitveetkinbiryöntemvardır:dijkstra Algoritması.Buyöntembiretiketlemealgoritmasıdırvedüğümleriöncegeçicisonra dakalıcıolaraketiketleyerekilerler. 94

99 BAŞLANGIÇADIMI Başlangıçdüğümü(düğüm)olarakkalıcıetiketlenir. Diğertümdüğümler olarakgeçicietiketlenir. ANAADIM )Tümgeçicietiketlerigüncelle: jdüğümügeçicietiketi= min <4düğümünün4mevcut4geçici4etiketi B4düğümünün4kalıcı4etiketi + B, < bağlantısının4uzunluğu, B, < 4BçBM 2)Enküçükgeçicietiketesahipdüğümüngeçicietiketinikalıcıyaçevir. 3)Anaadımıvarışdüğümününkalıcıetiketinibuluncayakadaryürüt,buluncadur. En kısa rotayı bulabilmek için m den e geriye doğruv etiketleri arasındaki fark aralarındakimesafeyeeşitolandüğümlerdengeçerekgidilir. Örnek2.Örnek dekiproblemiçinenkısayolubulunuz. Yanıt:P(i):i ninkalıcıetiketivt(i):i ningeçicietiketiolamaküzerev BAŞLANGIÇADIMI P()=,T(i)=,i=2,,6. ANAADIM ncikoşum T(2)=min(,P()+c 2 )=min(,2)=2 T(3)=min(,P()+c 3 )=min(,4)=4 T(4)=T(5)=T(6)= Düğüm2 ningeçicietiketinikalıcıhalegetiriyoruzvp(2)=2. ANAADIM 2 ncikoşum T(3)=min(4,P(2)+c 23 )=min(4,2+)=3 T(4)=6,T(5)=4,T(6)= Düğüm3 ningeçicietiketinikalıcıhalegetiriyoruzvp(3)=3. ANAADIM 3 üncükoşum T(4)=6 T(5)=min(4,P(3)+c 35 )=min(4,6)=4 T(6)= Düğüm5 ingeçicietiketinikalıcıhalegetiriyoruzvp(5)=4. ANAADIM 4 üncükoşum T(4)=min(6,P(5)+c 54 )=min(6,7)=6 T(6)=min(,P(5)+c 56 )=(,6)=6 Düğüm6 nıngeçicietiketinikalıcıhalegetiriyoruzvp(6)=6.varışdüğümününkalıcı etiketibulundu,dur. 95

100 Enkısayols2s5s6düğümlerindengeçmektedir.Toplammaliyet(toplamuzaklık)6 km dir. 8.2 ENBÜYÜKAKIŞPROBLEMİ mdüğümvenbağlantıdanoluşanbirg(n,s)ağınıgözönünealalım.ağüzerinden tekbirürününakışıplanlanmakistensin.her(i,j) Sbağlantısınınüzerindeakan ürünmiktarıbiru ij üstlimitiilesınırlandırılsın.buşekildetanımlananbirağdabir başlangıçnoktasından(düğüm)bitişnoktasına(düğümm)enfazlaürünakışını bulmaenbüyükakışproblemiolaraktanımlanır.problemdeherhangibirmaliyetsöz konusudeğildir. Örnek3.(Winston8.3 tenesinlenilmiştir.) ATKsPetrolaşağıdaverilenağüzerindes o dans i yebirsaattegönderilecekham petrolümiktarınıenbüyüklemekistemektedir.hampetrols o dans i yetaşınırken2,3 ve4numaralıistasyonlarınhepsindenveyabirkısmındangeçmelidir.şekildeki bağlantılarfarklıçaptakiboruhatlarınıgöstermektedir.herbirbağlantıüzerindenbir saattetaşınabilecekenfazlapetrolmiktarlarımilyonvarilcinsidenşekilüzerinde verilmiştir.buradaproblemverilenşartlardas o dans i yebirsaattegönderileceken fazlahampetrolmiktarınıbulmaktır EnbüyükakışproblemininDPgösterimi Düğüm dendüğümm yeakışfilev(i,j)bağlantısıüzerindekiakışx ij ilegösterilmek üzerev Maks4C é Öyle4ki;4 -?% # %- = C é é 4 -?% # $- Ç?% # Ç$ = i=2,,ms 96

101 é $?% # $é = C # $- $- 44B, < =,2,,.444 x ij,i,j=,2,,m. Buradatoplamlarveeşitsizliklerağdakimevcutolanbağlantılariçintanımlanmıştır. Örnek4.Örnek3 teverilenproblemiçözmekiçingereklidp yikurunuz. Yanıt: Maks4C Öyle4ki;4 # %( + # %* = C # (* + # (@ # %( = # *@ + # *O # %* # (* = # (@ # *@ = + # *O = C # %( 42 # %* 3 # (* # (@ 4 # *@ 2 # *O Tümdeğişkenler (not:s ves i noktalarınınindisnumaralarıve5olarakalınmıştır.) 8.3 ENKÜÇÜKMALİYETLİAKIŞPROBLEMİ Enküçükmaliyetliakışproblemiderskapsamındaişlenenulaştırma,atama,geçici konaklama,enküçükmaliyetliakış,enbüyükakışvecpmproblemlerininengenel halidir.enküçükmaliyetliakışprobleminedüğümleriçintalepvearzdeğerleriile bağlantılarlailgilimaliyetlerveüst/altsınırlardahiledilebilir.problemintanımı aşağıdaverilmiştir. mdüğümvenbağlantıdanoluşanbirg(n,s)ağınıgözönünealalım.nkümesindeki heridüğümüiçinbirb i tanımlanır.b i,eğerb i >isearzmiktarını,eğerb i <ise talepmiktarınıifadeeder.idüğümleriveğerb i >isearznoktası,eğerb i <ise talepnoktasıolaraksınıflandırılabilir.eğerb i =iseidüğümüarzveyatalepnoktası değildir,geçicikonaklamaveyaaranoktaolarakisimlendirilebilir.her(i,j) S bağlantısıiçinbağlantıüzerindekiakışx ij gösterilsin.ayrıcaherbağlantıiçinc ij 97

102 maliyetivebağlantıüzerindekiakışınenbüyükveenküçükmiktarlarıu ij veµ $- verilsin. Enküçükmaliyetliakışproblemi,verilenşartlardakullanılabilirarzınağboyunca taşınaraktaleplerienküçükmaliyetletaşınmasıolaraktanımlanır. MatematikselolarakproblemaşağıdakiDPileifadeedilebilir(toplamlarve eşitsizliklerağdakimevcutolanbağlantılariçintanımlanmıştır.) é é Min4 F $- # $- $?% -?% é é Öyle4ki;4 4 -?% # $- Ç?% # Ç$ = $ i=,,m µ $- # $- $- 44B, < =,2,,.444 x ij,i,j=,2,,m. Buradaakışdengelemedenklemleriolarakifadeedilenilkkısıtidüğümündekinet akışınb i yeeşitolmasınısağlar.ikincikısıtbağlantılardakiakışınaltveüstsınırlar içerisindekalmasınısağlar. Örnek5.(Winston8.5 tenesinlenilmiştir.) Aşağıdaverilenyolağınahersaatnoktasından9araçgirmektedir.Bu araçlardan3tanesi4noktasından,5tanesi6noktasındanvetaneside5 noktasındançıkacaktır.şekilüzerindeherbağlantıüzerinde,araçlarınbağlantıyı geçmesüresi(dakikaolarak)vebağlantıdanbirsaattegeçebilecekazamiaraçsayısı verilmiştir.tümaraçlarınnoktasından4,5ve6noktalarınaenkısasüredevarması içinproblemienküçükmaliyetliakışproblemiolarakmodelleyiniz. (c ij,u ij ) (,6) 2 4 (,8) (,4) (2, (5,) 3) 6 (8,6) (9, (5,6) 6) 3 (6,4) 5 98

103 9. PROJEYÖNETİMİ 9. KAVRAMLAR Organizasyonlarişleriniişlemlerveyaprojelerolarakgerçekleştirirler. İşlemlerveprojelerinortaközellikleri: İnsanlartarafındangerçekleştirilirler, Kıtkaynaklarlasınırlandırılırlar, Planlanır,uygulanırvekontroledilirler. İşlemlerveprojelerinfarkları: İşlemlersüregelenişlerdirvetekrarlanır, Projelergeçiciişlerdirvebirkereyemahsusyürütülür. Birprojetekbirürünveyahizmetortayaçıkarmakiçinyapılangeçiciveyoğunciddi çabalardır.buradavurgulanangeçicikavramı tanımlıbirbaşlangıçvebitişiolan,tek kavramıise bazıayırtediciözelliklerinegörefarklı anlamındadır. Projelerdekullanılankaynaklarzaman,finans,işçilik,malzeme,makine,araçgereçvb. olaraksıralanabilir. ProjeÖrnekleri: Yenibirürünveyahizmetgeliştirmek, Yenibirulaşımaracıtasarlamak, Birbinaveyatesisinşaetmek, Politikkampanyayürütmek, Yenibirişsürecininuygulanması Yönetim genel olarak yürümekte olan bir süreç veya faaliyetin planlaması, uygulanmasıvekontrolüileilgiliolduğudüşünülür. Proje) Yönetimi kısa süre zarfında önemli faaliyetlere kaynakların ve insanların bağlantılandırılmasınıifadeeder. Proje yönetimi, paydaşların projeden beklentilerini karşılamak ve aşmak için proje faaliyetlerinebilgi,beceri,araçveyöntemlerinuygulanmasıdır.paydaşlarınprojeden beklentilerinikarşılamaveaşmaaşağıdaörnekleriverilenbirbiriileçatışantaleplerin karşılanmasınıiçerir: Kapsam,süre,maliyet,kalite, Farklıpaydaşlarınfarklıihtiyaçvebeklentileri, Tanımlanmışihtiyaçlar,tanımlanmamışbeklentiler. 99

104 ProjePlanlama.Amaçlarıntanımlanması 2.Projenintanımlanması 3.Gereklifaaliyetlerinplanlanması 4.takımlarınorganizeedilmesi ProjeÇizelgeleme.Faaliyetlerekaynaklarınatanması 2.Faaliyetlerarasıilişkilerinayarlanması ProjeÖncesi 3.Düzenliolarakgüncellemelerinyapılması Projesırasında 9.2 PROJEAĞI Düğümveyönlübağlantılardanoluşurvefaaliyetlerarasındakiilişkilerigösterir.İkitürü vardır: Bağlantı Şeması (Activity on Arc AOA): Bağlantılar faaliyetleri gösterir, düğümlerfaaliyetlerinbaşlamavebitişinigösterir. BlokŞeması(ActivityonNode AON):Noktalarfaaliyetlerigösterir,bağlantılar faaliyetlerarasındakiöncelikilişkilerinigösterir. Örnek.ProjeAğı Birprojede5faaliyetvardır. AveBfaaliyetleriCaktivitesindenönceyapılmalıdır. B,D denönceyapılmalıdır. C,E denönceyapılmalıdır. Projeağınıikifarklıtüregöreçiziniz. Yanıt: ProjeKontrolü.Kaynakları,maliyetlerin,kaliteninvebütçeninizlenmesi 2.Planlarınrevizeedilmesivedeğiştirilmesi 3.Taleplerinkarşılanmasıiçinkaynaklarınkaydırılması BağlantıŞeması BlokŞeması

105 9.3 CPM/PERT Ağ modelleri birçok faaliyet içeren büyük ve karmaşık projeleri çizelgelemek için kullanılabilir. Eğertümfaaliyetlerinsürelerikesinolarakbiliniyorsaprojenintümününbitirilmesiiçin gerekli süre Kritik) Yol) Yöntemi (CPM s Critical Path Method ) ile belirlenir. CPM faaliyetlerinprojetoplamsüresiniuzatmadannekadarertelenebileceğinibulmakiçin dekullanılır. Eğer faaliyetlerin süreleri kesin olarak bilinmiyorsa proje için belirlenmiş bir teslim zamanında bitirme olasılığını bulmak için Program) Değerlendirme) ve) Gözden) Geçirme) Tekniği (PERT s Program Evaluation and Review Technique) yöntemi kullanılır. CPM/PERTUygulamaAlanlarınaÖrnekler Bina,havaalanı,yolvb.inşaatprojelerininçizelgelenmesi Yenibilgisayarsistemlerininyüklenmesi Yeniürünlerintasarımıvepazarlaması Gemiimalatı CPM/PERTiçinortakaltıadım.Projeyiveönemlifaaliyetleritanımla, 2.Faaliyetlerarasıilişkileritanımla.Öncelikilişkilerinibelirle, 3.Projeağınıçiz, 4.Herfaaliyetiçinyapılmasüresinive/veyamaliyettahminlerinibelirle, 5.Ağdakienuzunyolu(kritik)yol)hesapla, 6.Projeyiplanlamak,çizelgelemek,takipetmekvekontroletmekiçinağıkullan. CPM/PERTilecevaplanabileceksorular Projenezamanbitecek? Projedekikritikfaaliyetlerveişlerneler? Kritikolmayanfaaliyetlerhangileri? Belirlibirzamandaprojeninbitmeolasılığıne? Projeplanagöreyürüyormu?Planınönündemi?Planıngerisindemi? Projebütçeninüzerindemi,altındamı? Projeyizamanındabitirebilmekiçinyeterlikaynakvarmı?

106 END Eğer proje planlanandan önce bitirilmek isteniyorsa bu en az maliyet ile nasıl yapılabilir? CPM/PERT inavantajları Projeyönetimininçeşitliaşamalarındakullanılmasıyararlıdır. Matematikselolarakçokkarmaşıkdeğildir. Ağ gösterimi ile kullanıcıların görsel olarak proje faaliyetleri arasındaki ilişkileri görmelerisağlanır. Kritikyolvegevşekzamananalizleriönemlifaaliyetlereyakındanbakmayısağlar. Ağyapısıgösterimiprojelerinbelgelenmesiiçinönemlibirkaynakoluşturur. Çokçeşitliprojelerdevesektörlerdeuygulanabilir. Sadecesürelerigösterençizelgelerideğilmaliyetleritakipetmekiçindeyararlıdır. CPM/PERT insınırlamaları Projefaaliyetleriaçıkolaraktanımlanmalıdır.Birbirlerindenbağımsızolmalıdırve ilişkilerdeğiştirilemez. Öncelikilişkileribelirliolmalıdır. PERT teki faaliyet zamanları Beta olasılık dağılımına uymalıdır. Bu dağılıma uyduğudoğrulanmalıdır. Süretahminlerigeneldeözneldirveyöneticileringörüşlerinebağlıdır. Kritikyolaçokfazlaodaklanılmasıriskiilekarşılaşılabilir. CPM/PERT inuygulanması CPMveyaPERT iuygulayabilmekiçinprojeyioluşturanfaaliyetlerinlistesigereklidir. Tümfaaliyetlerbittiğindeprojedebiter.Herfaaliyetiçinondanöncebitmesigereken faaliyetlerin(öncülfaaliyetler)listesiverilmelidir. ÖncelikilişkileriniiçerenProjeAğı(Projeşeması)hazırlanmalıdır.Bununiçinbağlantı şeması(aoa)kullanılır. Faaliyetlerveöncelikilişkileriverilmişseprojeağıaşağıdakikurallaragöreçizilir: Düğüm, projenin başlangıcını ifade eder. den çıkan bağlantılar önceliği olmayanfaaliyetlerdir. Projeninbitişiniifadeetmeküzerebirbitişdüğümüilaveedilmelidir. 2

107 END Ağdaki düğümler öyle numaralandırılmalıdır kiv herhangi bir faaliyetin bittiğini gösteren düğüm her zaman faaliyetin başladığını gösteren düğümden daha büyüknumaraileifadeedilmelidir. Birfaaliyetağdabirdenfazlabağlantıilegösterilemez. İkidüğümsadecebirbağlantıilebirleştirilebilir. Sonikikuralauymakiçinağasıfırsürelibiryapay)faaliyeteklenebilir. Örnek2.Widgetco(Winston8.4.,p.433) Widgetcoyenibirürüngeliştirmektedir.Yapılmasıgerekenfaaliyetler,öncelikilişkileri vesüreleriaşağıdaverilmiştir.buprojeiçinprojeağınıçiziniz. Yanıt Faaliyetler Öncülfaaliyetler Süre(gün) A:işçilerineğitimi s 6 B:hammaddelerisatınalınması s 9 C:.ürününimalatı A,B 8 D:2.ürününimalatı A,B 7 E:2.ürününtestedilmesi D F:.ve2.ürünlerinmontajı C,E CPM CPMiçinikikilithesapvardır: Erkenbaşlamazamanı(theearlyeventtime))ET(i):idüğümününenerkenbaşlama zamanıdır. En geç başlama zamanı (the late event time)) LT(i): i düğümünün projenin bitiş zamanınıetkilemedenengeçbaşlanabileceğizamanıdır. 3

108 ERKENBAŞLAMAZAMANIsET ET()= ET(i)hesabı: END idüğümünedoğrudanbağlananöncekidüğümleribulkv(k,i) S. ET= maks Ç,(Ç,$) π: A, 4B + J Ç$ J Ç$ :(k,i)bağlantısıylatanımlananfaaliyetinsüresi. ET(n)hesaplandığındadur(n:bitişdüğümü) Örnek3.ET Proje ağının bir parçası aşağıda verilen noktalar için ET değerleri şu şekilde ise ET(6) yıhesaplayınız: ET(3)=6,ET(4)=8,veET(5)= Yanıt:ET(6)=maks{ET(3)+8,ET(4)+4,ET(5)+3}=maks{4,2,3}=4 Örnek4.WidgetcoÖrneğiiçinET(i)değerleri ET(3)=9 ET(5)=26 ET(6)=38 EngeçbaşlamazamanısLT Bitişdüğümündenbaşlayarakgeriyedoğrugit. LT(n)=ET(n) LT(i)hesabı: 6 9 ET()= 3 2 ET(2)= ET(4)=6 5 2 idüğümünedoğrudanbağlanansonrakidüğümleribulj X (i,j) S. 6 4

109 LT= min -,($,-) : B, < J $- END J $- :(i,j)bağlantısıylatanımlananfaaliyetinsüresi. ET()hesaplandığındadur. Örnek5.LT ProjeağınınbirparçasıaşağıdaverilennoktalariçinLTdeğerlerişuşekildeiseLT(4) ü hesaplayınız:lt(5)=24,lt(6)=26,velt(7)= Yanıt:LT(4)=min{LT(5) 3,LT(6) 4,LT(7) 5}=min{2,22,23}=2 Örnek6.WidgetcoÖrneğiiçinLT(i)değerleri LT(3)=9 LT(5)=26 LT(6)= ET()= 3 2 LT(2)=9 LT(4)=6 TOPLAMBOŞLUK(TOTALFLOAT) Projebaşlamadanöncebirfaaliyetinsüresibilinemez.Projeağınıkurarkenkullanılan değerlerfaaliyetleringerçekbitişsüresininyaklaşıkbirtahminidir. Toplam)boşlukkavramıbirfaaliyetinbitişsüresinintahminibitişsüresiniaşmasının nekadarönemliolduğuileilgilibirölçüdür. 8 7 Bir(i,j)bağlantısıilegösterilenfaaliyetintoplamboşluk(TotalFloat)TF(i,j)değeribu faaliyetinprojeninbitirilmesüresinietkilemedenenerkenbaşlamazamanınagörene kadar ertelenebileceğini gösterir. Bir başka ifade ile projenin bitirilme süresini etkilemedenbirfaaliyetinsüresinekadararttırılabileceğinigösterir. TF(i,j)=LT(j) ET(i) t ij

110 Örnek7.WidgetcoörneğiiçinTF(i,j)değerleri FaaliyetB:TF(,2)=LT(2) ET() 9= FaaliyetA:TF(,3)=LT(3) ET() 6=3 FaaliyetD:TF(3,4)=LT(4) ET(3) 7= FaaliyetC:TF(3,5)=LT(5) ET(3) 8=9 FaaliyetE:TF(4,5)=LT(5) ET(4) = FaaliyetF:TF(5,6)=LT(6) ET(5) 2= YapayFaaliyet:TF(2,3)=LT(3) ET(2) = KRİTİKYOLUNBELİRLENMESİ Eğer bir faaliyetin toplam boşluğu sıfır ise o faaliyetin ertelenmesi projenin bitiş zamanını öteleyecektir. Sıfır toplam boşluğa sahip bir faaliyet Kritik) Faaliyettir. BaşlangıçdüğümündenbitişdüğümünekadartümkritikfaaliyetleriiçerenyolaKritik) Yoldenir. Örnek8.WidgetcoÖrneğiiçinKritikYol TF(,2)= TF(,3)=3 TF(2,3)= TF(3,4)= TF(3,5)=9 TF(4,5)= TF(5,6)= Widgetcoiçinkritikyol:s2s3s4s5s6 SERBESTBOŞLUK(FREEFLOAT) Bir (i,j) bağlantısı ile gösterilen faaliyetin serbest boşluk FF(i,j) değeri bu faaliyetin sonrakifaaliyetlerinbaşlamasınıetkilemedennekadarertelenebileceğinigösterir. FF(i,j)=ET(j) ET(i) t ij Örnek9.WidgetcoörneğiiçinFF(i,j)değerleri FaaliyetB:FF(,2)=9 9= FaaliyetA:FF(,3)=9 6=3 FaaliyetD:FF(3,4)=6 9 7= FaaliyetC:FF(3,5)=26 9 8=9 FaaliyetE:FF(4,5)=26 6 = FaaliyetF:FF(5,6)= = 6

111 Örneğin C Faaliyetinin FF si 9 gündür. Bu faaliyetin başlamasının 9 günden fazla ertelenmesisonrakifaaliyetlerin(budurmundaffaaliyeti)başlamazamanınıetkiler. KritikyolsüresinibulmakiçinDPkullanımı KritikyolunsüresinibulmakiçinDPkullanılabilir. Karardeğişkeni:x j :jdüğümününzamanı Kısıtlar:Her(i,j)faaliyetiiçinjortayaçıkmadanönceidüğümüortayaçıkmalıdırve(i,j) faaliyetibitirilmelidir. x j x i +t ij (i,j) S Amaçprojeninbitişsüresinienküçüklemektir. minz=x n sx Projeninkritikyolu,gölgefiyatlarısolankısıtlarlailgilifaaliyetleriiçerir. Eğerbirkısıtıngölgefiyatısisebukısıtınsağtarafdeğeri(faaliyetinsüresi)Δkadar arttığındaamaçfonksiyonu(projenintoplamsüresi)daδkadarartacaktır. Örnek.WidgetcoörneğiiçinDPyaklaşımı minz= x6sx Öyleki x3 x+6 (Bağlantı(,3)kısıtı) x2 x+9 (Bağlantı(,2)kısıtı) x5 x3+8 (Bağlantı(3,5)kısıtı) x4 x3+7 (Bağlantı(3,4)kısıtı) x5 x4+ (Bağlantı(4,5)kısıtı) x6 x5+2 (Bağlantı(5,6)kısıtı) x3 x2 (Bağlantı(2,3)kısıtı) tümdeğişkenlerurs EniyiçözümRaporu(LINDO) OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) 38. VARIABLE VALUE REDUCED COST X X.. X3 9.. X2 9.. X X4 6.. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ARC (,3) 3.. ARC (,2). -. ARC (3,5) 9.. ARC (3,4). -. ARC (4,5). -. ARC (5,6). -. ARC (2,3). -. Proje38gündebitirilebilir. Kritikyol:s2s3s4s5s6 7

112 9.3.2 Projeninhızlandırılması Çoğuzamanprojelerkritikyolsüresindendahaöncebitirilmelidir.DPileprojeteslim süresine yetişmek için en düşük maliyet ile kaynakların nasıl tahsis edileceği bulunabilir.busüreceprojehızlandırma(crashingaproject)denir. Örnek.WidgetcoProjesininhızlandırılması Widgetco geliştirdiği ürünün rakip ürüne göre piyasaya daha önce çıkmasını istemektedir. Rakibinin ürünü 26 gün sonra piyasa çıkacaktır. Bu yüzden Widgetco kendiürününü25içindepiyasayasürmelidir.projeninbitişsüresi38günolduğuiçin Widgetcoekharcamalaryarak25günlükprojebitişsüresinisağlamalıdır.Widgetco herhangibirfaaliyetinsüresinienfazla5günazaltabilir. Birfaaliyetinsüresinibirgündüşürmeninmaliyetişuşekildedir: FaaliyetA $ FaaliyetB $2 FaaliyetC $3 FaaliyetD $3 FaaliyetE $4 FaaliyetF $5 Projeyi25gündebitirmeninendüşükmaliyetinibulunuz. Yanıt: Karardeğişkenleri A:FaaliyetA nınsüresindenazaltılangünsayısı... F:FaaliyetF ninsüresindenazaltılangünsayısı x j :jdüğümününzamanı(j=,,6) DP mina+2b+3c+3d+4e+5f ÖylekivA 5 B 5 C 5 D 5 E 5 F 5 x 3 x +6 A x 2 x +9 B x 5 x 3 +8 C x 4 x 3 +7 D x 5 x 4 + E x 6 x 5 +2 F x 3 x 2 x 6 x 25 A,B,C,D,E,F vx j urs 8

113 ÇözümveRapor END z=39,a=2,b=5,c=,d=5,e=3,f= x =,x 2 =4,x 3 =4,x 4 =6,x 5 =3,x 6 =25 A yı2,b yi5,d yi5vee yi3günazaltarak,proje25gündebitirilebilir. Toplammaliyet$39olacaktır. ProjeAğıveKritikyol (4,4) (3,3) A 4 3 C 8 5 D 2 E 7 B 4 (,) 2 (4,4) 4 (6,6) Kritikyol:s2s3s4s5s6veyas3s4s5s6 F 2 (25,25) PERT CPM detümfaaliyetlerinsürelerininnetolarakbilindiğivarsayılır.birçokprojedebu geçerlideğildir.pert teisefaaliyetlerinsürelerirassaldeğişkenolarakmodellenir. PERT teherfaaliyetiçinprojeyöneticileriüçdeğeribelirlemelidir: İyimsersüre(a) Kötümsersüre(b) Süreninenolasıdeğeri(m) Bir(i,j)bağlantısıilegösterilenfaaliyetinsüresiT ij ilegösterilirse,pertt ij ninbeta dağılımınauyduğunuvarsayar.buvarsayımagöret ij ninortalaması(beklenendeğeri) vevaryansışuşekildehesaplanabilir: E(T ij )=(a+4m+b)/6 vart ij =(b a) 2 /36 BetaOlasılıkDağılımı: 9

114 PERTtümfaaliyetlerinsürelerininbağımsızolduğunuvarsayar.Bunagöreherhangi bir yoldaki faaliyetleri tamamlamanın ortalama değeri ve varyansı şu şekilde hesaplanır: Faaliyetlerinbitirilmezamanlarınınortalaması= ($,-) 媺 π(: $- ) Faaliyetlerinbitirilmezamanlarınınvaryansı= ($,-) 媺 (: $- ) CPM ile bulunan kritik yol üzerindeki faaliyetlerin toplam süresini gösteren rassal değişken CP olarak tanımlansın. PERT te, CPM ile elde edilen kritik yolun Merkezi LimitTeoreminegörenormaldağıldığınıvarsayılırveCPşuşekildehesaplanır: Ωæ = $,- Çø$ $Ç4媺 : $- Örnek2.DeğiştirilmişWidgetco Widgetcoörneğindefaaliyetleriçina,b,mdeğerleritablodakigibiverilmiştir.Projenin beklenenbitişzamanınıvevaryansınıbulunuz. Faaliyet a b m (,2) (,3) 2 6 (3,5) (3,4) 3 7 (4,5) 8 2 (5,6) Yanıt:E(T 2 )=( )/6=9, vart 2 =(3s5) 2 /36=.78 E(T 3 )=6 vart 3 =.78 E(T 35 )=8 vart 35 =2.78 E(T 34 )=7 vart 34 =4 E(T 45 )= vart 45 =.44 E(T 56 )=2 vart 56 = E(T 23 )= vart 23 =

115 ProjeAğıveKritikYol (9,9) (26,26) (,) 2 (9,9) 4 (6,6) Kritikyol:s2s3s4s5s6 E(CP)= =38 varcp= =7.22 CP ninstandartsapması=(7.22) /2 =2.69 (38,38) CPiçinOlasılıkAnalizi Örnek3.DeğiştirilmişWidgetcoörneğiiçinolasılıkanalizi Örnek3 teproblemiçinprojenin35güniçerisindebitmeolasılığınedir? Yanıt:CP ninnormaldağılımauyduğugözönünealınırsa,ztablosuyardımıileistenen olasılıkbulunabilir. Standartnormalbirikimliolasılıklarkullanılarak(Winston2.6,s.724h725): P(CP 35)=P[(CPs38)/2.69 (35s38)/2.69)]=P(Z.2)=.34 Projenin35güniçerisindebitirilmeolasılığı%3.4 tür.

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI BİRİNCİ BÖLÜM (2016-2017) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI Doç. Dr. Y. İlker Topcu Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarının bu

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Doğrusal Programlama Two Mines örneği incelenirse, bir matematiksel modelin bir "Doğrusal Program" (DP; linear program - LP) olması için aşağıdaki koşulları sağlaması gerektiği görülür:

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI (-) Dr. Y. İlker Topcu Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarının bu

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI

END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI Dr. Y. İlker Topcu Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarının

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli)

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS 2 NOTLAR Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) X, karar değişkenlerinin bir vektörü olsun. z, g 1, g 2,...,g m fonksiyonlardır.

Detaylı

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık

Detaylı

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama Dr. Özgür Kabak 2016-2017 Güz } Gerçek hayattaki bir çok problem } tam sayılı değişkenlerin ve } doğrusal kısıt ve amaç fonksiyonları ile

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

Yöneylem Araştırması III

Yöneylem Araştırması III Yöneylem Araştırması III Doç. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III 1 BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI İKİNCİ BÖLÜM (206-207) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/36 İçerik Optimalliği etkileyen değişimler 2/36 (Optimallik Sonrası Analiz): Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

Endüstri Mühendisliği Yöneylem Araştırması I

Endüstri Mühendisliği Yöneylem Araştırması I Endüstri Mühendisliği Yöneylem Araştırması I 14 Ekim 2011, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye. Yrd. Doç. Dr. Kamil Erkan Kabak Endüstri Mühendisliği Bölümü,, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye erkankabak@beykent.edu.tr

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Sistem Aralarında ilişki veya bağımlılık bulunan elemanlardan oluşan bir yapı veya organik bütündür. Bir sistem alt sistemlerden oluşmuştur.

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

Excel Options penceresinin sol tarafındaki listeden Add-Ins kategorisini seçiniz.

Excel Options penceresinin sol tarafındaki listeden Add-Ins kategorisini seçiniz. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS V NOTLAR Microsoft Excel 2010 için Solver Eklentisinin Kurulumu File menüsünü açınız, Options ı seçiniz. Excel Options penceresinin sol tarafındaki listeden Add-Ins

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI İKİNCİ BÖLÜM (208-209) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2

Detaylı

Tablo7.1.1 Bismarck için Kaynak Gereksinimleri Ürün İşçilik (Saat) Kumaş (Yard Kare) Gömlek 3 4 Şort 2 3 Pantolon 6 4

Tablo7.1.1 Bismarck için Kaynak Gereksinimleri Ürün İşçilik (Saat) Kumaş (Yard Kare) Gömlek 3 4 Şort 2 3 Pantolon 6 4 ISLE403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS VII NOTLAR Günümüzün iş dünyasında şirketler sermaye mallarını satın almak yerine finansal kiralama yoluyla edinmeyi değerlendiriyorlar. Finansal kiralama sabit maliyetler

Detaylı

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I ENM-11 /1 +0 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması WNG301 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta) (saat/hafta) (saat/hafta) 6 2 2 0 Ön Koşullar

Detaylı

Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making

Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (Ders Akış Programı) Ders Sorumlusu : Y.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ, İletişim Bilgileri : 595 13 37, e-posta: fgokgoz@politics.ankara.edu.tr tr Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet

Detaylı

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri 3.2.4. Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri Duyarlılık analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması BWL315 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta)

Detaylı

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm doğrusal programlama PROBLEMİN ÇÖZÜLMESİ (OPTİMUM ÇÖZÜM) Farklı yöntemlerle çözülebilir Grafik çözüm (değişken sayısı 2 veya 3 olabilir) Simpleks çözüm Bilgisayar yazılımlarıyla

Detaylı

ATAMA (TAHSİS) MODELİ

ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ Doğrusal programlamada kullanılan bir başka hesaplama yöntemidir. Atama problemleri, doğrusal programlama (simpleks yöntem) veya transport probleminin çözüm

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Lineer Programlama Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 7 7! Lineer Programlama 1 / 32 Simpleks Algoritmas Standart teknikler anlam

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/71 İçerik n Bulunması Kuzey-Batı Köşe Yöntemi En Küçük Maliyetli Göze Yöntemi Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi Vogel Yaklaşım Metodu (VAM) Optimum Çözümün Bulunması Atlama Taşı

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERSİ LINDO

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERSİ LINDO ÜRİ MÜHİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERSİ LINDO Hazırlayanlar Prof. Dr. Bilal TOKLU Arş. Gör. Talip KELLEGÖZ KASIM 2004 1. Giriş 1 LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) doğrusal ve

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XX, S.1, 2007 Eng&Arch.Fac. Eskişehir Osmangazi University, Vol..XX, No:1, 2007 Makalenin Geliş Tarihi : 17.02.2006 Makalenin Kabul Tarihi : 16.11.2006

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ 2010-2011 Güz-Bahar Yarıyılı YRD.DOÇ.DR.MEHMET TEKTAŞ ÖRNEK 6X 1 + 3X 2 96 X 1 + X 2 18 2X 1 + 6X 2 72 X 1, X

Detaylı

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1...

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1... 114 Bölüm 12 Ders 12 Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri 12.1 Alıştırmalar 12 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1.... 1. Aşağıdaki problemlerde; (i) Aylak, artık ve yapay değişkenleri

Detaylı

KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ

KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ Öğr. Görv. Dr. Orhan İDİL (İ.Ü. İşletme Fakültesi) İstatistik Demografi ve İktisadi Analizler Kürsüsü l.l. Doğrusal Programlama Problemleri : Doğrusal programlama problemlerinde

Detaylı

EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1

EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1 EKON 305 Yöneylem Araştırması I Doğrusal Programlama Doç. Dr. Murat ATAN 1 Doğrusal Programlama Karar Verme ve Modeller Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim (Kleindorfer ve diğ., 1993)

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI!

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI! Fen ilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI ESASLARI Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA n n u sununun hazırlanmasında,

Detaylı

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP)

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) 1. Non-lineer kar analizi, 2. Kısıtlı optimizasyon, 3. Yerine koyma (substitution) yöntemi, 4. Lagranj Çarpanları Yöntemi 5. Başabaş Analizleri ve Duyarlılık Testleri

Detaylı

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım.

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım. 3. Simpleks Yöntem Doğrusal programlama modelleri grafik yöntem dışında simpleks yöntem adı altında özel bir yöntemle çözülebilir. Bu yöntem Simple Matrix kelimlerinin kısaltmasıdır ve bir çeşit matris

Detaylı

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I DERS NOTLARI Doç. Dr. Demet BAYRAKTAR Yard. Doç. Dr. Ferhan ÇEBİ Eylül 2003-Istanbul 1. KARAR VERMEDE YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI 1.1.

Detaylı

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir. LİNEER PROGRAMLAMA Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu

Detaylı

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMA - EN-3 3/ 3+0 3 Dersin Dili : Türkçe Dersin Seviyesi

Detaylı

2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması

2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması 2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması ÖRNEK 1: ÜRETİM PLANLAMA PROBLEMİ Bir oyuncak üreticisi plastik ve montaj departmanlarından oluşan atölyesinde A ve B tipinde iki farklı oyuncak üretmektedir.

Detaylı

Ekonometri. yöneylem araştırması ile ilgili temel kavramları öğrenebilecekler. bazı yöneylem araştırması tekniklerini uygulamayı öğrenebilecekler.

Ekonometri. yöneylem araştırması ile ilgili temel kavramları öğrenebilecekler. bazı yöneylem araştırması tekniklerini uygulamayı öğrenebilecekler. Ekonometri Amaç: Öğrencilere gerçek yaşam problemlerini modelleme ve rasyonel ve optimal çözüm metotları sunmaktır. Dersin sonunda öğrenciler problemleri anlama, modelleme, temel algoritmalarla çözme ve

Detaylı

Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları

Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları Yöneylem Araştırması I (IE 222) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Yöneylem Araştırması I IE 222 Güz 3 2 0 4 5 Ön Koşul Ders(ler)i Math 275 Doğrusal

Detaylı

EMM3208 Optimizasyon Teknikleri

EMM3208 Optimizasyon Teknikleri 2017-2018 Bahar Yarıyılı Balıkesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü EMM3208 Optimizasyon Teknikleri (GAMS Modelleme Örnekleri ve Çalışma Soruları) 6 Yrd. Doç. Dr. İbrahim Küçükkoç http://ikucukkoc.baun.edu.tr

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) YÖNEYLEM ARAŞTIRMA - 3 EN-422 4/II 2+1+0 2,5 3 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi

Detaylı

Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları

Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları Doğrusal Programlama (IE 502) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Kodu Saati Saati Saati Doğrusal Programlama IE 502 Güz 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili

Detaylı

Koordinat sistemi. a) x = 2 için 3x -2y =14 y =? b) x = 2 için 2y =10-4x y =? c) x = -3 için 3y +5x = 3 y =? d) x = -1 için -3x = 5-2y y =?

Koordinat sistemi. a) x = 2 için 3x -2y =14 y =? b) x = 2 için 2y =10-4x y =? c) x = -3 için 3y +5x = 3 y =? d) x = -1 için -3x = 5-2y y =? Koordinat sistemi Bağımlı bağımsız değişken Denklemlerde iki bilinmeyen varsa bunları bulmak için bilinmeyenlerden birine değer verilir diğeri bulunur. Burada değer verilen bilinmeyene, bağımsız değişken

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ TRANSPORTASYON (TAŞIMA, ULAŞTIRMA) TRANSİT TAŞIMA (TRANSSHIPMENT) ATAMA (TAHSİS) TRANSPORTASYON (TAŞIMA) (ULAŞTIRMA) TRANSPORTASYON Malların birden fazla üretim (kaynak,

Detaylı

BİR MONTAJ HATTI ÜRETİM SİSTEMİNDE OPTİMAL İŞGÜCÜ DAĞILIMININ ARENA PROCESS ANALYZER (PAN) VE OPTQUEST KULLANILARAK BELİRLENMESİ

BİR MONTAJ HATTI ÜRETİM SİSTEMİNDE OPTİMAL İŞGÜCÜ DAĞILIMININ ARENA PROCESS ANALYZER (PAN) VE OPTQUEST KULLANILARAK BELİRLENMESİ BİR MONTAJ HATTI ÜRETİM SİSTEMİNDE OPTİMAL İŞGÜCÜ DAĞILIMININ ARENA PROCESS ANALYZER (PAN) VE OPTQUEST KULLANILARAK BELİRLENMESİ Özgür ARMANERİ Dokuz Eylül Üniversitesi Özet Bu çalışmada, bir montaj hattı

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

Yöneylem Araştırması

Yöneylem Araştırması Yöneylem Araştırması Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması, genellikle kıt kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve işletilmesine

Detaylı