0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği"

Transkript

1 F = m rg = ma G Şekil 1: Şekil 2: 0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği UYARI :Düzlemsel hareketin kinetiğinin iyi çalışılması önemlidir.. Zira, aynı kavramlar ve bağıntıların benzerleri ile karşılaşırız Açısal Momentum Maddesel sistem rijid olsun veya olmasın NEWTON un hareket denklemlerinin genelleştirilmiş ifadesi Bölüm 4 de: ve F = Ġ şeklinde elde etmiştik. Bu sonuçlar aynen katı cismin üç boyutlu hareketine de uygulanır. Katı cismin üç boyutlu hareketinde Açısal Momentum kolayca yazılamaz çünkü açısal momentin düzlemsel harekette görülmeyen bileşenleri ortaya çıkar. Şekil 1 de ω, katı cismin XYZ e göre açısal vektörü, aynı zamanda xyz in de açısal hız vektörüdür. H G = ρ i m i v i ifadesini 4. bölümde mutlak hareket momenti olarak elde 1

2 etmiştik. v i hızı m i noktasının XYZ e göre uygulanan hızı idi (mutlak hız). Katı cisimde hızlar alanını v i için yazarsak v i = v G + w ρ i Burada, ω ρ i ise m i noktasının G kütle merkezine göre bağıl hızı idi. yerine yazarsak; H G = ρ i m i (v G + ω ρ i ) H G = ρ i m i v G + [ρ i m i (ω ρ i )] H G = v G ρ i m i + [ρ i m i (w ρ i ) (1)] NOT: ρ i m i = mρ G idi eksenler G den geçiyor, ρ G = 0 olur. Toplamı integral formunda yazarsak, G etrafında dönen katı cismin G ye göre hareket momenti: H G = ρ (ω ρ)dm Bu bağıntıyı şekil 2 deki gibi sabit bir O noktasında yazalım. +. bölümde H O = r i m i v i bağıntısı elde edilmişti. v i hızı O ekseni etrafında dönen katı cismin hızı olup v i = w r i dir. r i r ve m i dm ile temsil edilerek integral formunda H O = r (ω r)dm (2) elde edilir. Şekil 1 ve 2 den r i ve ρ i, xyz eksenlerinde yazılır (xi + yj + zk gibi). Dolayısı ile H G ve H O görünüm olarak aynıdır. H G ve H O yu temsilen H sembolünü kullanarak: H = [(xi + yj + zk) (w x i + w y j + w z k) (xi + yj + zk)]dm H = [(y 2 + z 2 )w x xyw y xzw z ]dmi + [ yxw x + (z 2 + x 2 )w y yzw z ]dmj + [ zxw x zyw y + (x 2 + y 2 )w z ]dmk elde edilir. Atalet momentleri tanımları ile I xx = (y 2 + z 2 )dm, I xy = xydm 2

3 I yy = H ifadesini yeniden yazarsak: elde edilir. Böylece ve (z 2 + x 2 )dm, I xz = xzdm I zz = (x 2 + y 2 )dm, I yz = yzdm (3) H = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k (4) H = H x i + H y j + H z k H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z bulunur. Not: İntegraller alınırken; w x,w y ve w z integralin dışına alındı. Çünkü ω nin koordinatları cismin üzerinde alınan integrallerde değişmez. olur. ve dışarı çıkar. Not: (4) Denklemi, kütle merkezi G veya herhangi bir O noktası etrafında dönen katı cismin hareket momentinin genel ifadesidir. Her iki halde de xyz eksen takımı G veya O ya tespit edilmiştir. Bu sabitleme, (4) de yer alan atalet momenti integrallerini, atalet çarpanlarını zamana göre değişmez yapar. Eğer, xyz eksen takımı katı cisme göre dönseydi bu integraller zamana bağlı olacaklardı. İstenmeyen zorluklar ortaya çıkacaktı. Not: Önemli bir hal, katı cismin bir simetri ekseninin etrafında dönmesinde ortaya çıkar. Bu durumda katı cismin dönme eksenine göre açısal konumu atalet integrallerini etkilemez. Koordinat eksenlerinden birini katı cismin simetri ekseni ile çakışık seçmek ve bu ekse etrafında döndürmek kolaylık sağlar. Not: Katı cismin sabit XYZ eksenine göre açısal hızı Ω ve katı cismin xyz ye göre bağıl dönmesindeki açısal hız vektörü ω ise ; katı cismin dönme ekseni doğrultusundaki açısal momentinin bileşeni açısal momentuma ilave olarak ortaya çıkar. (5) Denklemindeki atalet momentlerinin ve atalet çarpanlarının I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz (5) 3

4 şeklinde düzenlenmesine ATALET MATRİSİ veya ATALET TANSÖRÜ denir. Eksenlerin katı cisme göre doğrultularının değiştirilmesi sonunda atalet momentlerinin ve atalet çarpanlarının değerleri değişir. İspat edilir ki, bir orijin için x,y,z eksenlerinin öyle bir tek yönlendirilmesi (orientation) vardır ki Atalet çarpanları 0 olur ve I xx,i yy,i zz atalet momentleri değişmez. Böylece Atalet matrisi I xx I yy I zz şeklini alır. Böyle bir matrise köşegen matris denir.// Atalet matrisinin bir köşegen matris olduğu eksen takımı xyz e asal atalet eksenleri ve I xx,i yy,i zz atalet momentlerine de asal atalet momentleri denir. Eğer seçilen koordinat eksenleri asal atalet eksenleri iseler (5) deki hareket momenti (kütle merkezine veya sabit bir noktaya göre) H = I xx w x i + I yy w y j + I zz w z k (6) şeklini alır. Not: Rijid cismin asal atalet eksenlerini, H hareket momentinin (6) daki gibi olacek şekilde seçebiliriz. Not: Cismin asal atalet eksenlerinin birbirinin etrafında döndüğü veya I xx = I yy = I zz olduğu hali hariç tutarsak; H ile w vektörlerimim doğrultuları farklıdır. Not: Katı cismin momentum özellikleri kütle merkezine uygulanan toplam hareket miktarı G = mv G = m v vektörü ve katı cismin G etrafında dönmesinin ifadesi olan H G ile şekildeki (şekil 3) gibi temsil edilir. Not:H G serbest vektör özelliğindedir. Kolaylık ve anlaşma gereği G ye tatbik edilmiş olarak alırız. Not:mv G = m v vektörü sistemin R = F vektörünün rolünü oynar. H G =Kütle merkezine göre toplam moment rolünü oynar. Statikteki moment alanı bağıntısı: ifadesine benzer olarak M Q = M G + QG R H Q = H G + QG mv G elde edilir. Hareket momenti alanı adını alır. Q noktasının orijin olma zorunluluğu yokturç Katı cismin herhangi bir O noktası veya katı cismi genişletilmiş olarak düşünülerek uzayın herhangi bir noktası olabilir. 4

5 Şekil 3: Şekil 4: 0.2 Kinetik Enerji Rijid olsun veya olmasın, maddesel cisimler sistemi için 4/3 de kinetik enerji T = (1/2)mv G 2 + (1/2)m i ρ i 2 idi. (1/2)mv G 2 : Sistemin öteleme kinetik enerjisi (1/2)mi ρ 2 : m i nin G kütle merkezine göre enerjisi (1/2)mv G 2 değişik formda (1/2)mv G 2 = (1/2)mṙ G.ṙ G = (1/2)G.v G yazılır. G cismin lineer momentidir(g = mṙ G ) Katı cisim için (1/2)m i ρ 2 i terimi, kütle merkezinin G nin etrafında katı cismin dönmesinden orataya çıkan kinetik enerjidir. ρ i = ω ρ i idi (Katı cisimde). Yerine yazılırsa: (1/2)mi ρ i 2 = (1/2)m i (ω ρ i ).(ω ρ i ) Not: P Q.R = P.Q R de ω P;ρ i Q;(ω ρ i ) R dersek (1/2)mi ρ i 2 = (1/2)ω( ρ i ) m i (ω ρ i ) = (1/2)ω.H G 5

6 Sonuç: v G kütle merkezi hızı ile hareket eden ve dönme vektörü ω olan katı cismin kinetik enerjisi T = (1/2)v G.G + (1/2)ω.H G (I) elde edilir. Daha önce (5) denklemi ile verdiğimiz H açısal momentumu G kütle merkezi için yazıp burada kulanırsak: T = (1/2)mv G 2 +(1/2)ω[(I xx w x I xy w y I xz w z )i+( I yx w x +I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k] ω = w x i + w y j + w z k olmak üzere T = (1/2)mv 2 G + (1/2)(I xx wx 2 + I yy wy 2 + I zz wz) 2 (I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z ) (II) Eğer, asal atalet eksenleri kullanılırsa atalet çarpanları 0 olur. T = (1/2)mv G 2 + (1/2)(I xx w 2 x + I yy w 2 y + I zz w 2 z) (III) Not: Eğer cisim bir O noktası etrafında dönğyorsa veya bir anlık bile olsa hızı sıfır bir O noktası varsa ( ki bu durumda G nin öteleme hızıv G sıfırdır). veya (I) den T = (1/2)m i ṙ i.ṙ i = (1/2)m i ṙ 2 i T = (1/2)ω.H O (IV ) elde edilir. Not:H O,O ya göre hareket momentidir. ve yer vektörü de ρ i yerine r i dir. Bu O dan itibaren m i kütlesinin yer vektörüdür. Örnek Problem 7/6: şekildeki bükülü A ve B levhası m=70kg/m 2 kütlesine sahiptir.levha z ekseni etrafında w=30rad/s açısal hız ile dönmektedir. a)levhanon H açısal momentumunu O noktasına göre elde ediniz. b) Levhanın T kinetik enerjisini bulunuz. Levhanın kalınlığını ve dönme ekseninin kütlesini ihmal ediniz. Çözüm 7/6: Atalet momentleri ve atalet çarpanları kütle merkezinden geçen eksenlere paralel eksenlere göre ve I = Ī + md2 6

7 Şekil 5: Şekil 6: olarak verildi. A ve B levhalarının kütleleri bulunur. I xy = Īxy + mdxdy I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz m A = (0.1)(0.125)(0.7) = 0.875kg m B = (0.075)(0.150)(70) = 0.788kg H O = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k ve kinetik enerji T = (1/2)ω.H O kullanarak, A kısmı(levhası): I xx = Īxx +md 2 I xx = (0.875/12)[(0.1) 2 +(0.125) 2 ]+0.875[ ] 7

8 I xx = kgm 2 I yy = (1/3)ml 2 I yy = (0.875/3) = kgm 2 I zz = (1/3)ml 2 I zz = (0.875/3) = kgm 2 I xy = xydm; I xz = xzdm I xy = 0, I xz = 0 B kısmı: I yz = Īyz + mdydz I yz = (0.0625)(0.05) I yz = kgm 2 I xx = Īxx + md 2 I xx = (0.788/12)(0.15) [ ] I xx = kgm 2 I yy = Īyy+md 2 I yy = (0.788/12)[(0.075) 2 +(0.150) 2 ]+0.788[ ] I yy = kgm 2 I zz = Īzz + md 2 I zz = (0.788/12)(0.075) [ ] I zz = kgm 2 I xy = Īxy + mdxdy I xy = (0.0375)(0.125) I xy = kgm 2 I xz = Īxz + mdxdz I xz = (0.0375)(0.075) I xz = kgm 2 I yz = Īyz + mdydz I yz = (0.125)(0.075) I yz = kgm 2 ilgili terimleri toplayarak iki parçalı cismin atalet terimleri I xx = kgm 2 ; I xy = kgm 2 I yy = kgm 2 ; I xz = kgm 2 I zz = kgm 2 ; I yz = kgm 2 elde edilir. a-) ω = wk = 30k w x = 0; w y = 0; w z = 30 H O = 30( i j k)N.m.s b-) T = (1/2)ω.H O T = (1/2)(30k)(30)( i j k) T = 8.25J 8

9 0.3 Moment ve Enerji Denklemleri a- Momentum Denklemleri: Maddesel nokta sistemleri bölümünde, genel lineer momentum ve açısal momentum denklemleri F = Ġ M = Ḣ şeklinde elde edildi. Mad. nok. sistemlerinde moment denklemi M G = ḢG ve M O = ḢO idi. Burada ikisini temsilen M = Ḣ alındı. Ḣ türevi mutlak eksenlerde idi. Eğer H xyz hareketli eksenlerde yazılmış ise hareketli eksen takımının sabit eksen takımına göre açısal dönme vektörü Ω ise H = H x i + H y j + H z k ve Ω = Ω x i + Ω y j + Ω z k alınarak M = dh xyz dt ( ) dhxyz = + Ω H XY Z dt xyz yazılır. M = ( Ḣ x i + Ḣyj + Ḣzk) + Ω H elde edilir. parantez içerisi, ḢXY Z türevinin, H xyz vektörünün xyz deki koordinatlerının değişimini ve vektörel çarpım ise H nin bileşenlerinin doğrultularındaki değişimi temsil eder. Açık olarak (koordinatlar cinsinden) M = ( Ḣ x H y Ω z + H z Ω y )i +(Ḣy H z Ω x + H x Ω z )j +(Ḣz H x Ω y + H y Ω x )k yazılır. Bu bağıntı bir O noktasına göre veya kğtle merkezi G ye göre yazılan momentin genel ifadesidir. Ω lar dönen referans sistemlerinin açısal hız bileşenleridir. H bileşenleri ise katı cisim için daha önce ifade edilen (5) denklemi ile H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z (A) (A ) şeklinde verildi. Burada ω lar katı cismin açısal dönme koordinatlarıdır(kütle merkezine veya bir O noktasına göre). Not: (A) denklemini, hareketli eksen takımının katı cisme tespit edildiği 9

10 halde yazarsak; ki bu durumda, xyz eksen takımında yazılan ATALET MO- MENTLERİ ve ATALET ÇARPANLARI zamana göre invaryant(değişmez) olurlar. Ve Ω = ω olur. Böylece katı cisme değişmez olarak bağlı xyz eksen takımı için (A) denkleminin izdüşümleri Ω = ω alınarak Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) şeklini alır. xyz, katı cisme bağlı. Genel moment denklemi sabit bir O noktasından veya G kütle merkezinden geçen eksenlere göre geçerlidir. Not: Eğer katı cismin bir O noktasından veya G kütle merkezinden geçen ve katı cisme tespit edilen eksen takımı (xyz), ASAL atalet eksenleri ile çakışık ise I xy,i xz,i yz atalet çarpanları SIFIR olur ve (A ) denklem setinden yazılır. Bunları (B) de yazarsak (B) H x = I xx w x H y = I yy w y H z = I zz w z Ḣ x = I xx ẇ x Ḣ y = I yy ẇ y Ḣ z = I zz ẇ z } Mx = (I xx ẇ x (I yy w y )w z + (I zz w z )w y ) = (I xx ẇ x (I yy I zz )w y w z My = (I yy ẇ y (I zz w z )w x + (I xx w x )w z ) = (I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x Mz = (I zz ẇ z (I xx w x )w y + (I yy w y )w x ) = (I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z (C) Bu denklemler EULER denklemleri olarak bilinir. Katı cisim hareketinde önemlidir. b- Enerji Denklemleri: Katı cisme etkiyen tüm dış kuvvetlerin oluşturduğu kuvvet sistemini katı cismin G kütle merkezine indirgeyebiliriz. F = R ve MG vektörlerini G kütle merkezine uygulamak yeterlidir. TOPLAM DIŞ KUVVETİN VE TOPLAM MOMENTİN İŞİ: Genel iş tanımı geçerlidir. İş: I = F.v G ve I θ = M G.ω biliniyor. v G =v=katı cismin öteleme hızı, w=katı cismin açısal hızı Bu ifadelerden sonlu yerdeğiştirmedeki 1 konumundan 2 konumuna gidilmesi için t 1 < t < t 2 zaman aralığında yazarsak I 12 = t2 t 1 I 12 = t2 t 1 F.vG dt = t2 t 1 Ġ.v G dt dg 2 2 dt.v Gdt = v G.dG = v G.d(mv G )

11 Şekil 7: Toplam dış kuvvetin işi: I 12 = 2 Toplam moment işi:i θ = M G.ω I θ12 = yazılır. w=sabit için: 1 t2 I θ12 = I θ12 = (1/2)d(mv G 2 ) = (1/2)mv G 2 2 t 1 MG.ωdt = t2 t t2 t 1 1 ḢG.ωdt dh 2 G dt.ωdt = ω.dh G 1 d(ω.h G 2 ) = (1/2)ω.H G 2 Sonuç olarak, bu iki sonuç öteleme kinetik enerjisindeki değişimin ve dönme kinetik enerjisinin değişimini ifade eder. t 1 < t < t 2 zaman aralığında toplam kinetik enerji T = t2 t 1 F.vG dt + t2 t 1 MG.ωdt = I 12 + I θ12 Genel bir maddesel nokta sisteminde U 1 2 = T + V g + V e idi. Katı cismin düzlemsel hareketi için de kullandığımız bu bağıntı katı cismin üç boyutlu hareketi içinde geçerlidir. 0.4 Parallel Düzlem Hareketi Bir katı cismin tüm noktaları, sabit bir düzleme paralel olan düzlemler içerisinde kalıyorsa (cismin hareketi esnasında) katı cismin bu hareketi düzlemsel harekettir. Düzlemsel hareket yapan katı cismin içerisindeki ve sabit düzleme dik olan her doğrultu hareket boyunca kendisine paralel kalır. 11

12 Şekil 8: Kütle merkezi G yi hareketli eksenin merkezi olarak alalım. Katı cismin açısal hız vektörü (ve aynı zamanda xyz eksen takımının) nün bileşenleri w x = w y = 0, w z 0 dır. Böylece (5) denklemindeki açısal momentum bileşenleri H x = I xz w z H y = I yz w z H z = I zz w z şeklini alırlar. Böylece (B) denklemlerindeki moment ifadeleri Mx = I xz w z + I yz wz 2 My = I yz z I xz wz Mz = I zz w 2 w z (D) Not: Bu bağıntının üçüncüsü yani M z = I zz w z bileşeni katı cismin genel düzlemsel hareketinde elde ettiğimiz M G = Īα denklemine eşittir. (D) denklem seti, kütle merkezini orijin alan bir eksen takımında veya katı cismin dönme ekseni üzerindeki sabit bir noktayı orijin alan eksen takımında geçerlidir. Şüphesiz F x = mā x, F y = mā y, F z = mā z denklemleri geçerlidir. (D) denklemi, dönen şaftlarda (millerde) ve yuvarlanan cisimlerde dinamik dengesizliğin etkisinin incelenmesinde yararlıdır. 12

13 Şekil 9: Şekil 10: Örnek Problem 7/7: Kütleleri m 1 olan iki dairesel disk eğrileri çeyrek daire olan eğri bir çubuk ile kaynak yapılarak birbirlerine bağlanmıştır. Bağlantı çubuğunun kütlesi m 2 dir. Sistemin toplam kütlesi m = m 1 +m 2 dir. Diskler, disk merkezinin v=sbt hızı ile yatay bir düzlemde kaymadan yuvarlanıyor. Eğri bağlantı çubuğunun yatay konumu için her disk altındaki sürtünme kuvvetini hesaplayınız. Çözüm: Mx = ( I xz w z + I yz wz) 2 My = ( I yz w z I xz wz) 2 Mz = I zz w z Düzlemsel hareket denklemleri kullanılacak. Sistemin tüm parçalarının hareketi yatay düzleme paralel olduğu için sistemin hareketi düzlemsel harekettir. (D) denklemini uygulayabiliriz. I yz = 0 ve w z = 0 dır. y eksenine göre moment denklemi I xz nin hesabını gerektirir. Eğri çubuğun geometrisinden ρ çubuğun birim kütlesi olmak üzere I xz = xzdm = π 2 0 (D) π 2 (rsinθ)( r +rcosθ)ρrdθ + ( rsinθ)( r rcosθ)ρrdθ 0 13

14 Şekil 11: integrallerinin hesabından I xz = ρr 3 /2 ρr 3 /2 = ρr 3 m 2 = 2(πr/2)ρ yazılır ve ρ = m 2 konularak πr I xz = m 2 πr r3 = m 2 π r2 bulunur. D nin ikinci denkleminden w z = v/r ve ẇ = 0 konularak My = I xz wz 2 F A r + F B r = ( m 2 π r2 ) v2 r 2 yazılır. Ayrıca, v = v = sbt ā x = 0 F A + F B = m 2v 2 πr F = 0 FA F B = 0 F A = F B olur. Böylece, F A = F B = m 2v 2 bulunur. 2πr Not: Verilen konumda I yz = 0, w z = 0, x eksenine göre moment (D) den N A r + N B r = M x = 0 N A = N B = mg 2 Örnek Problem 7/8 (2005 sorusu): Şekildeki AB şaftına 10 0 lik açıyla eğik olarak monte edilmiş dişlinin kütlesi 10 kg dir. Kendi ekseni etrafında w = 30rad/s sabit açısal hızla dönen şaftın kütlesi ihmal ediliyor. Dişlinin kendi simetri eksenleri olan xyz ye göre atalet momentleri I zz = 0.1kgm 2 ve I xx = I yy = 0.05kgm 2 dir. (G xyz ye göre atalet çarpanları sıfır) şekildeki konumda A ve B deki reaksiyon bileşenlerini bulunuz. (Not: Z yönünde bileşen yoktur. Reaksiyon kuvvetleri hem statik hem de dinamik yüklerin toplamı için hesaplanacak) 14

15 Şekil 12: Şekil 13: Şekil 14: 15

16 İlk adım: xyz in merkezi G dişli kütle merkezi ile çakışık G sabit bir noktadır. Eksenler Ω = w olduğu halde sabitlendi. İkinci adım: Şekil (c) de görüldüğü gibi ω (diskin açısal hız vektörü) büyüklükce sabit ve daima AB şaftı doğrultusunda XYZ den herhangi bir x,y,z konumu için ω, x,y,z cinsinden ω = ( 30sin10 0 j + 30cos10 0 k)rad/s (1) w x = 0, w y = 30sin10 0, w z = 30cos10 0 bulunur. ω XYZ deki gözlemciye göre sabit olduğundan ẇ XY Z = 0 olur. Böylece Ω = w dan ω XY Z = 0 elde edilir. Buradan ẇ z = ẇ y = ẇ x = 0 yazılır. G sabit nokta: (a x ) G = (a y ) G = (a z ) G = 0 Üçüncü adım: Mx = (I xx ẇ x (I yy w y )w z + (I zz w z )w y ) = (I xx ẇ x (I yy I zz )w y w z My = (I yy ẇ y (I zz w z )w x + (I xx w x )w z ) = I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x Mz = (I zz ẇ z (I xx w x )w y + (I yy w y )w x ) = I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z M x = I x ẇ x (I yy I zz )w y w z G ye göre: 0.2A y B y = 0 (0.05 1)( 30sin10 0 )(30cos10 0 ) 0.2A y B y = 7.70 (2) My = I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x M y = 0 A x (0.2)cos10 0 B x (0.25)cos10 0 = 0 A x = 1.25B x (3) Mz = I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z M z = 0 A x (0.2)sin10 0 B x (0.25)sin10 0 = 0 A x = 1.25B x Newton hareket denklemleri Fx = m(a G ) x A x + B x = 0 (4) Fy = m(a G ) y A Y + B Y 98.1 = 0 (5) Fz = m(a G ) z 0 = 0 (2) (5) denkleminin çözümünden A X = B X = 0 A Y = 71.6N 16

17 B Y = 26.4N Vektörel Çözüm: x,y,z{ dönen dişliye tespit edildiğinden bu MO = (Ḣ problem (A) O ) xyz + ω H O ile çözülebilir. M G = (Ḣ G ) xyz + ω H G xyz eksenlerinde w nın ve H G nin bileşenlerini hesaplamalıyız. H x = I x w x = 0 H y = I y w y = 0.05( 30sin30 0 ) = 0.260kgm 2 /s H z = I z w z = 0.1(30cos10 0 ) = 2.95kgm 2 /s H = ( 0.260j+2.95k)kgm 2 /s bulunur. xyz ile dişli aynı açısal hızla döndüklerinden, bu dönen eksendeki gözlemciye göre H G açısal momentumu sabit kalır. böylece Ḣ G = 0 olur ve (A) nın ikinci denklemi M G = ω H G olarak yazılır. (B) r A F A + r B F B = ω H G ( 0.2sin10 0 j + 0.2cos10 0 k) (A x i + A y cos10 0 j + A y sin10 0 k) +(0.25sin10 0 j 0.25cos10 0 k) (B x i + B y cos10 0 j + B y sin10 0 k) = ( 30sin30 0 mbfj + 30cos10 0 k) ( 0.260j k) (7) Bu (7) denklemini açmak yorucudur. (B) denklemini X,Y,Z eksenleri boyunca yazmak daha kolaydır. I, J, K; X,Y,Z nin birim vektörleri olmak kaydıyla (B) de yazılırsa ω = (30K)rad/s H G = H y (cos10 0 J sin10 0 K) + H z (sin10 0 J + cos10 0 K) 0.2K (A X I + A Y J) + ( 0.25K) (B X I + B Y J) = 30K ( 0.260cos10 0 J sin10 0 K) (sin10 0 J + cos10 0 K) (8) (7) veya (8) in açılımından 0.2A Y B Y = 7.70 A X = 1.25B X denklemleri elde edilir. Bu denklemler (2) ve (3) ile aynı. Yine F = ma G den (4) ve (5) skaler denklemleri elde edilir ve çözülürse aynı sonuçları verir. 17

18 Şekil 15: Örnek Problem 7/9: Şekildeki çubuğun birim boyunun kütlesi ρ olup z ekseni etrafında w sabit açısal hızı ile döndürülmektedir. Çubuğun ağırlığını ihmal ederek, A noktasına gelen momenti elde ediniz. Çözüm: w x = 0, w y = 0, w z = w A noktasına göre açısal momentum (4) denkleminden H = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k H x = I xz w z ; H y = I yz w z ; H z = I zz w z yazılır. atalet momentleri sabit. A ya gelen moment (B) Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) M x = 0 H y w + 0 = H y w M y = H x w z = H x w z M z = = 0 (A ) H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z bulunanlar yerlerine yazılırsa (Ḣ x = 0, Ḣ y = 0, Ḣ z = 0) H x = I x w x H y = I y w y H z = I z w z (a) M x = ( I yx w z )w z = I yx w 2 z; M y = ( I yz w z )w z ; M z = 0 I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz ; I xy = xydm I xz = xzdm Burada kütle merkezine göre simetrik olmalarından dolayı Ī xz = Īyz = 0 yazılır 18

19 Şekil 16: I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz (1) I xz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) I xz = 0 + (ρb)b.0 = 0 (3) I xz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (4) I xz = 0 + (ρb)(b + b 2 )b = 3 2 ρb3 (1) I yz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) I yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (3) I yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (4) I yz = 0 + (ρb)b.b = ρb 3 Bulunanlar toplanarak sistemin çarpım atalet momenti I xz = ρ b ρb3 = 2ρb 3, I yz = ρ b3 2 + ρb3 2 + ρb3 = 3ρb 3 olarak elde edilir. (a) denklemlerinde (w z = w) kullanılarak yerlerine yazılırsa M x = ( I yx w z )w z = I yx wz 2 } M = Mx M y = ( I yz w z )w 2 + My 2 = 13ρb 3 w 2 z Örnek Problem 7/10: A ve B yatakları ile desteklenen bir şafta kaynaklanmış iki yarım dairesel diskin herbirinin kütlesi 1.2 kg dir. Sistem sabit N=1200 derece/dakika açısal hızı ile dönüyor. Yatakların şafta tatbik ettikleri reaksiyonları (bağ kuvvetlerini) hesaplayınız. Statik dengeye ait kuvvetler ihmal edilecektir. Çözüm: r yarım diskin kütle merkezi 19

20 Şekil 17: Şekil 18: r = 4r 3π = 4(0.1) 3π = 0.042m w = πn 30 = rad/s (A ) H x = I xz w z ; H y = I yz w z ; H z = I zz w z G noktasına gelen momentler için (B) denklemlerinde (Ḣ x = 0, Ḣ y = 0, Ḣ z = 0) konularak Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) M x = H y w = I yz w 2 z M y == H x w z = I xz w 2 z M z == 0 yazılır. I yz = Īyz + mdydz ifadesinden C ve D diskleri için C : Īyz = ȳ zdm = 0 I yz = 0 + m(0)( 2b) = 0 D : Īyz = ȳ zdm = 0 I yz = 0 + m(0)( 2b) = 0 20

21 sistem için I yz = 0 bulunur. I xz = Īxz + mdxdz C : Īxz = x zdm = 0 I xz = 0 + m( r)( 2b) = 2mb r D : Īxz = 0 I xz = 0 + m( r)(2b) = 2mb r Sistem için I xz = 2mb r + 2mb r = 4mb r I xz = 4(1.2)(0.08)(0.042) = kgm 2 bulunur. Bu durumda M x = I yz w 2 z = 0w 2 z = 0 My = I xz w 2 z = ( )(125.66) 2 = Nm F x = mā x = m(0) = 0 A x + B x = 0 (1) M y = A y b + B x b = (A x B x )(0.08) (2) (1) v3 (2) den A x = N B x = N bulunur. Mx = B y b A y b A y B y = 0 Fy = māy A y = 0 B y = 0 Örnek Problem 7/11 8 kg lik AB çubuğu A noktasından mafsallanmıştır. B noktasında ise bir kablo ile dengelenmiştir. CD çubuğu verilen yönde w = 5rad/s sabit açısal hızı ile dönmekte. Kablodaki gerilme kuvvetini ve A mafsalındaki tepki (reaksiyon) kuvvetini bulunuz. Çözüm: ω = 5cos40 0 j + 5sin40 0 k w x = 0, w y = 3.83, w z = 3.21 ẇ x = ẇ y = ẇ z = 0 (B) Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) Mx = Ḣx H y w y + H z w y (1) (A ) H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z 21

22 Şekil 19: Şekil 20: 22

23 Böylece H koordinatları I xy = I yz = I xz = 0 I xx = 1 3 ml2 = 10.67kgm 2 I yy = 0 I zz = 1 3 ml2 = 10.67kgm 2 H x = 0 0 = 0 H y = 0 + I yy w y 0 = I yy w y H z = I zz w z elde edilir (1) M x = 0 (I yy w y )w z + (I xx w z ]w y M x = (I zz I yy )w y w z mg(1)(sin40 0 ) + T (2)cos40 0 = ( )(3.83)(3.21) T = N Bulunur. Newtonun hareket denklemleri Fn = mā n A y + T = mrw 2 A y = (1)(sin40 0 )5 2 A y = 10.05N Ft = ma t A x = mrẇ A x = 0 Fb = mā b = 0 A z mg = 0 A z = 78.48N 23

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin iş ve enerji prensibini kullanarak kolayca çözülebildiği söylenmişti. Ayrıca, kuvvet

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

KİNETİK ENERJİ, İŞ-İŞ ve ENERJİ PRENSİBİ

KİNETİK ENERJİ, İŞ-İŞ ve ENERJİ PRENSİBİ KİNETİK ENERJİ, İŞ-İŞ ve ENERJİ PRENSİBİ Amaçlar 1. Kuvvet ve kuvvet çiftlerinin yaptığı işlerin tanımlanması, 2. Rijit cisme iş ve enerji prensiplerinin uygulanması. UYGULAMALAR Beton mikserinin iki motoru

Detaylı

RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ: ENERJİNİN KORUNUMU

RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ: ENERJİNİN KORUNUMU RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ: ENERJİNİN KORUNUMU Amaçlar: a) Korunumlu kuvvetlerin potansiyel enerjisinin hesabı. b) Enerjinin korunumu prensibinin uygulanması. ENERJİNİN KORUNUMU Enerjinin korunumu

Detaylı

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Bu bölümde, düzlemsel levhaların veya düzlem levha gibi davranış sergileyen üç boyutlu cisimlerin hareketi üzerinde durulacaktır. Diğer bir ifadeyle, katı cisim üzerine etki

Detaylı

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 16 Rijit Cismin Düzlemsel Kinematiği Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 16 Rijit

Detaylı

Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik

Detaylı

Düzgün olmayan dairesel hareket

Düzgün olmayan dairesel hareket Düzgün olmayan dairesel hareket Dairesel harekette cisim üzerine etki eden net kuvvet merkeze doğru yönelmişse cismin hızı sabit kalır. Eğer net kuvvet merkeze doğru yönelmemişse, kuvvet teğetsel ve radyal

Detaylı

MKM 308 Makina Dinamiği. Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi

MKM 308 Makina Dinamiği. Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi MKM 308 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Maddesel Nokta (Noktasal Kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise;

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise; Deney No : M3 Deneyin Adı : EYLEMSİZLİK MOMENTİ VE AÇISAL İVMELENME Deneyin Amacı : Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin ne demek olduğunu ve nelere bağlı olduğunu deneysel olarak gözlemlemek. Teorik

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

KUVVET, MOMENT ve DENGE

KUVVET, MOMENT ve DENGE 2.1. Kuvvet 2.1.1. Kuvvet ve cisimlere etkileri Kuvvetler vektörel büyüklüklerdir. Kuvvet vektörünün; uygulama noktası, kuvvetin cisme etkidiği nokta; doğrultu ve yönü, kuvvetin doğrultu ve yönü; modülüyse

Detaylı

Sistem Dinamiği. Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sistem Dinamiği. Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN Sistem Dinamiği Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi Doç. Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası

Detaylı

Fizik-1 UYGULAMA-7. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi

Fizik-1 UYGULAMA-7. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi Fizik-1 UYGULAMA-7 Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi 1) Bir tekerlek üzerinde bir noktanın açısal konumu olarak verilmektedir. a) t=0 ve t=3s için bu noktanın açısal konumunu, açısal hızını

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Noktasal Cismin Dengesi

Noktasal Cismin Dengesi Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemleri çözmede kullanılacaktır. Bölüm 3 DOÇ.DR.

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi 1 Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

DİNAMİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

DİNAMİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ DİNAMİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ: ÖTELENME&DÖNME Bugünün

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Rijit Cisim Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 5. Rijit Cisim Dengesi Denge,

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

YAPI STATİĞİ MESNETLER

YAPI STATİĞİ MESNETLER YAPI STATİĞİ MESNETLER Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR STATİK Kirişler Yük Ve Mesnet Çeşitleri Mesnetler Ve Mesnet Reaksiyonları 1. Kayıcı Mesnetler 2. Sabit Mesnetler 3. Ankastre (Konsol) Mesnetler 4. Üç

Detaylı

DİNAMİK. Ders_10. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

DİNAMİK. Ders_10. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ DİNAMİK Ders_10 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2016-2017 GÜZ KÜTLE ATALET MOMENTİ Bugünün Hedefleri: 1. Rijit bir cismin

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2016 YILI ZİRAAT FAKÜLTESİ FİNAL SINAVI SORU ÖRNEKLERİ

HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2016 YILI ZİRAAT FAKÜLTESİ FİNAL SINAVI SORU ÖRNEKLERİ HARRAN ÜNİVERSİTESİ 016 YILI ZİRAAT FAKÜLTESİ FİNAL SINAVI SORU ÖRNEKLERİ Soru 1 - Bir tekerlek, 3.5 rad/ s ' lik sabit bir açısal ivmeyle dönüyor. t=0'da tekerleğin açısal hızı rad/s ise, (a) saniyede

Detaylı

KKKKK VERİLER. Yer çekimi ivmesi : g=10 m/s 2. Metrik Ön Takılar sin 45 = cos 45 = 0,7

KKKKK VERİLER. Yer çekimi ivmesi : g=10 m/s 2. Metrik Ön Takılar sin 45 = cos 45 = 0,7 VERİLER Yer çekimi ivmesi : g=10 m/s Metrik Ön Takılar sin = cos = 0, Numara Ön Takı Simge sin = cos = 0,6 sin = cos = 0,8 10 9 giga G tan = 0, 10 6 mega M sin 0 = cos 60 = -cos 10 = 0, 10 kilo k sin 60

Detaylı

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen

Detaylı

MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin

MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ 017-018 Bahar Dr. Nurdan Bilgin EŞDEĞER ATALET MOMENTİ Geçen ders, hız ve ivme etki katsayılarını elde ederek; mekanizmanın hareketinin sadece bir bağımsız değişkene bağlı olarak

Detaylı

BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER

BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak

Detaylı

Fizik 101: Ders 17 Ajanda

Fizik 101: Ders 17 Ajanda izik 101: Ders 17 Ajanda Dönme hareketi Yön ve sağ el kuralı Rotasyon dinamiği ve tork Örneklerle iş ve enerji Dönme ve Lineer Kinematik Karşılaştırma açısal α sabit 0 t 1 0 0t t lineer a sabit v v at

Detaylı

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa

Detaylı

DİNAMİK DERS NOTLARI. Doç.Dr. Cesim ATAŞ

DİNAMİK DERS NOTLARI. Doç.Dr. Cesim ATAŞ DİNMİK DERS NOTLRI Kaynaklar: Engineering Mechanics: Dynamics,, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam,, L. G. Kraige Vector Mechanics for Engineers: : Dynamics, Sith Edition, Beer and Johnston Doç.Dr.

Detaylı

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa

Detaylı

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ 4.BÖLÜM: STATİK MOMENT - MOMENT (TORK) Moment (Tork): Kuvvetin döndürücü etkisidir. F 3 M ile gösterilir. Vektörel büyüklüktür. F 4 F 3. O. O F 4

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Rijit Cisim Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 5. Rijit Cisim Dengesi Denge,

Detaylı

MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin

MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ 2017-2018 Bahar Dr. Nurdan Bilgin MAKİNALARDA KUVVET ANALİZİ Mekanizmalar, sadece kinematik özellikleri karşılamak üzere tasarlandıklarında, bir makinenin parçası olarak kullanıldığında

Detaylı

ĐŞ GÜÇ ENERJĐ. Zaman. 5. Uygulanan kuvvet cisme yol aldıramıyorsa iş yapılmaz. W = 0

ĐŞ GÜÇ ENERJĐ. Zaman. 5. Uygulanan kuvvet cisme yol aldıramıyorsa iş yapılmaz. W = 0 ĐŞ GÜÇ ENERJĐ Đş kelimesi, günlük hayatta çok kullanılan ve çok geniş kapsamlı bir kelimedir. Fiziksel anlamda işin tanımı tektir.. Yapılan iş, kuvvet ile kuvvetin etkisinde yapmış olduğu yerdeğiştirmenin

Detaylı

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları 2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ - Doğrusal

Detaylı

1 Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği

1 Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği Şekil 1: Şekil 2: Katı (rijid) cismin düzlemsel hareket tipleri 1 Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği 1.1 Giriş Dersin 2. bölümünde noktasal cismin kinematik bağıntılarını elde etmiştik. Aynı bağıntıları

Detaylı

Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar

Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar v hızıyla hareket eden m kütleli bir parçacığın doğrusal momentumu kütle ve hızın çarpımına eşittir; p = mv Momentum vektörel bir niceliktir, yönü hız vektörü

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

Mekanik. Mühendislik Matematik

Mekanik. Mühendislik Matematik Mekanik Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bir bilim dalıdır. Amacı fiziksel olayları açıklamak, önceden tahmin etmek ve böylece mühendislik uygulamalarına

Detaylı

O xyz OXYZ. Düzgün Doğrusal Öteleme. O 1 in yörüngesi bir Doğru olacak

O xyz OXYZ. Düzgün Doğrusal Öteleme. O 1 in yörüngesi bir Doğru olacak 3.14 Bağıl Hareket Bu ana kadar Newton un ikinci kanununu, enerji-iş eşitliklerini ve impuls-momentum eşitliklerini, sait ir eksen takımına göre uyguladık. Gerçekte hiç ir eksen takımı ise gerçekte sait

Detaylı

Bölüm 6 AKIŞ SİSTEMLERİNİN MOMENTUM ANALİZİ

Bölüm 6 AKIŞ SİSTEMLERİNİN MOMENTUM ANALİZİ Akışkanlar Mekaniği Bölüm 6 AKIŞ SİSTEMLERİNİN MOMENTUM ANALİZİ Doç. Dr. İ. Gökhan AKSOY Denizanasının (Aurelia aurita) düzenli yüzme hareketi. Denizanası gövdesini kasıp akışkanı ittikten sonra süzülerek

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

r r r F İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından

r r r F İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyenf r kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından r r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve d r A dan A ne

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN Çevre Mühendisliği Bölümü BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Atatürk Barajı (Şanlıurfa) BATMIŞ YÜZEYLERE ETKİYEN KUVVETLER

Detaylı

Fizik 101: Ders 21 Gündem

Fizik 101: Ders 21 Gündem Fizik 101: Ders 21 Gündem Yer çekimi nedeninden dolayı tork Rotasyon (özet) Statik Bayırda bir araba Statik denge denklemleri Örnekler Asılı tahterevalli Asılı lamba Merdiven Ders 21, Soru 1 Rotasyon Kütleleri

Detaylı

DENEY 5 DÖNME HAREKETİ

DENEY 5 DÖNME HAREKETİ DENEY 5 DÖNME HAREKETİ AMAÇ Deneyin amacı merkezinden geçen eksen etrafında dönen bir diskin dinamiğini araştırmak, açısal ivme, açısal hız ve eylemsizlik momentini hesaplamak ve mekanik enerjinin korunumu

Detaylı

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Uzayda Serbestlik Derecesi Rijit Cismin Uzayda Dengesi Bir Uzay Kuvvetin Bileşenleri Bir Noktada Kesişen Uzay Kuvvetlerde Bileşke Bir Eksene Göre Statik Moment Kuvvetler Sistemini

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

DİNAMİK. Ders_10. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

DİNAMİK. Ders_10. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ DİNAMİK Ders_10 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ RÖLATİF DÖNME ANALİZİ:HIZ Bugünün Hedefleri: 1. Ötelenme

Detaylı

3B Kuvvet Momenti. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi

3B Kuvvet Momenti. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi 3B Kuvvet Momenti Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi M = r (vektör) X F (vektör) Her F kuvvetinin uzunluk r vektörünü bul Eğer verilmemişse, F kuvvetini de vektörel ifade et. Uzunluk vektörünü r bulmak için: Uzunlık

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu

Detaylı

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü

Detaylı

2. POTANSİYEL VE KİNETİK ENERJİ 2.1. CİSİMLERİN POTANSİYEL ENERJİSİ. Konumundan dolayı bir cismin sahip olduğu enerjiye Potansiyel Enerji denir.

2. POTANSİYEL VE KİNETİK ENERJİ 2.1. CİSİMLERİN POTANSİYEL ENERJİSİ. Konumundan dolayı bir cismin sahip olduğu enerjiye Potansiyel Enerji denir. BÖLÜM POTANSİYEL VE KİNETİK ENERJİ. POTANSİYEL VE KİNETİK ENERJİ.1. CİSİMLERİN POTANSİYEL ENERJİSİ Konumundan dolayı bir cismin sahip olduğu enerjiye Potansiyel Enerji denir. Mesela Şekil.1 de görülen

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ

İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin

Detaylı

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Newton un II. yasası Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Bir cisme F A, F B ve F C gibi çok sayıda kuvvet etkiyorsa, net kuvvet bunların

Detaylı

KKKKK. Adı Soyadı : Numarası : Bölümü : İmzası : FİZİK I

KKKKK. Adı Soyadı : Numarası : Bölümü : İmzası : FİZİK I Adı Soyadı : Numarası : Bölümü : İmzası : FİZİK I 1. Sınav süresi 10 dakikadır.. Bu sınavda eşit puanlı 0 adet soru vardır.. Elinizdeki soru kitapçığı K türü soru kitapçığıdır.. Yanıtlarınızı Yanıt Kağıdı

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

KONU 3. STATİK DENGE

KONU 3. STATİK DENGE KONU 3. STATİK DENGE 3.1 Giriş Bir cisme etki eden dış kuvvet ve momentlerin toplamı 0 ise cisim statik dengededir denir. Kuvvet ve moment toplamlarının 0 olması sırasıyla; ötelenme ve dönme denge şartlarıdır.

Detaylı

elde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse,

elde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse, Deney No : M2 Deneyin Adı : İKİ BOYUTTA ESNEK ÇARPIŞMA Deneyin Amacı : İki boyutta esnek çarpışmada, enerji ve momentum korunum bağıntılarını incelemek, momentumun vektörel, enerjini skaler bir büyüklük

Detaylı

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME AMAÇLAR: 1. Rijit bir cisim üzerindeki noktanın ivmesini ötelenme ve dönme birleşenlerine ayırmak, 2. Rijit cisim üzerindeki bir noktanın ivmesini rölatif ivme analizi ile

Detaylı

DİNAMİK Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 11 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 11. HAFTA Kapsam: İmpuls Momentum yöntemi İmpuls ve momentum ilkesi

Detaylı

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine

Detaylı

BTÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE LABORATUVARI DERSİ

BTÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE LABORATUVARI DERSİ 1 BTÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE LABORATUVARI DERSİ ROTORLARDA STATİK VE DİNAMİKDENGE (BALANS) DENEYİ 1. AMAÇ... 2 2. GİRİŞ... 2 3. TEORİ... 3 4. DENEY TESİSATI... 4 5. DENEYİN YAPILIŞI... 7 6.

Detaylı

Fizik 101: Ders 18 Ajanda

Fizik 101: Ders 18 Ajanda Fizik 101: Ders 18 Ajanda Özet Çoklu parçacıkların dinamiği Makara örneği Yuvarlanma ve kayma örneği Verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma Bowling topu: kayan ve

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 15 Parçacık Kinetiği: İmpuls ve Momentum Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 15 Parçacık

Detaylı

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme

Detaylı

KOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) Bölümü Dinamik Dersi (Türkçe Dilinde) 2. Çalişma Soruları / 21 Ekim 2018

KOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) Bölümü Dinamik Dersi (Türkçe Dilinde) 2. Çalişma Soruları / 21 Ekim 2018 SORU-1) Şekilde gösterilen uzamasız halat makara sisteminde A'daki ipin ucu aşağı doğru 1 m/s lik bir hızla çekilirken, E yükünün hızının sayısal değerini ve hareket yönünü sistematik bir şekilde hesaplayarak

Detaylı

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ, Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Kuvvet Sistemi Bileşkeleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 4. Kuvvet Sitemi Bileşkeleri

Detaylı

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ 4 Skaler: Fiziki büyüklükler SKALER BÜYÜKLÜK SEMBOLÜ BİRİMİ Kütle m Kilogram Hacim V m 3 Zaman t Saniye Sıcaklık T Kelvin Sadece sayısal değer ve birim verilerek ifade edilen

Detaylı

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN

Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG 1 SİMETRİK

Detaylı

STATIK VE MUKAVEMET 3. Rijit cisimlerin dengesi, Denge denklemleri, Serbest cisim diyagramı. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK VE MUKAVEMET 3. Rijit cisimlerin dengesi, Denge denklemleri, Serbest cisim diyagramı. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK VE MUKAVEMET 3. Rijit cisimlerin dengesi, Denge denklemleri, Serbest cisim diyagramı Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ 5 Ağırlık merkezi STATİK Bir cisim moleküllerden meydana gelir. Bu moleküllerin her birine yer çekimi kuvveti etki eder. Bu yer çekimi kuvvetlerinin cismi meydana getiren

Detaylı

Theory Turkish (Turkmenistan) Bu soruya başlamadan önce lütfen ayrı bir zarfta verilen genel talimatları okuyunuz.

Theory Turkish (Turkmenistan) Bu soruya başlamadan önce lütfen ayrı bir zarfta verilen genel talimatları okuyunuz. Q1-1 İki Mekanik Problemi (10 puan) Bu soruya başlamadan önce lütfen ayrı bir zarfta verilen genel talimatları okuyunuz. Kısım A. Gizli Disk (3.5 puan) r 1 yarıçaplı h 1 kalınlıklı tahtadan yapılmış katı

Detaylı

MOMENT. Momentin büyüklüğü, uygulanan kuvvet ile, kuvvetin sabit nokta ya da eksene olan dik uzaklığının çarpımına eşittir.

MOMENT. Momentin büyüklüğü, uygulanan kuvvet ile, kuvvetin sabit nokta ya da eksene olan dik uzaklığının çarpımına eşittir. MOMENT İki noktası ya da en az bir noktası sabit olan cisimlere uygulanan kuvvet cisme sabit bir nokta veya eksen etrafında dönme hareketi yaptırır. Kapı ve pencereleri açıp kapanması, musluğu açıp kapatmak,

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

TORK VE DENGE 01 Torkun Tanımı ve Yönü

TORK VE DENGE 01 Torkun Tanımı ve Yönü TORK VE DENGE 01 Torkun Tanımı ve Yönü Kuvvetin döndürme etkisine tork ya da moment denir. Bir kuvvetin bir noktaya göre torku; kuvvet ile dönme noktasının kuvvete dik uzaklığının çarpımına eşittir. Moment

Detaylı

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti

Detaylı

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük

Detaylı

ELK-301 ELEKTRİK MAKİNALARI-1

ELK-301 ELEKTRİK MAKİNALARI-1 ELK-301 ELEKTRİK MAKİNALARI-1 KAYNAKLAR 1. Prof. Dr. Güngör BAL, Elektrik Makinaları I, Seçkin Yayınevi, Ankara 2016 2. Stephen J. Chapman, Elektrik Makinalarının Temelleri, Çağlayan Kitabevi, 2007, Çeviren:

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 13 Parçacık Kinetiği: Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 13 Parçacık

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 3 Parçacık Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 3 Parçacık Dengesi Bu bölümde,

Detaylı