AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

Transkript

1 AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

2 1.5 İç İçe Niceleyiciler Giriş x y (x+y=0) Bir niceleyicinin kapsamında olan her şey bir önerme fonksiyonu olarak düşünülebilir. Örneğin; x y (x+y=0) ifadesi şu ifadeye karşılık gelmektedir: P(x,y) nin x+y=0 olduğu ve Q(x) in y P(x,y) olduğu durumda x Q(x) İç içe niceleyiciler genellikle matematik ve bilgisayar bilimlerinde karşımıza çıkar.

3 İç İçe Niceleyicilerden Oluşan İfadeleri Anlamak İç içe niceleyicilerden oluşan ifadeleri anlamak için niceleyicilerin görünür anlamlarından bahsetmemiz gerekir. Aşağıdaki örneklerde bu durum gösterilmektedir. ÖRNEK: x ve y değişkenlerinin tüm reel sayılardan oluştuğunu varsayalım. x y (x+y=y+x) ifadesi tüm reel x ve y sayıları için x+y=y+x ifadesini gösterir. Bu da reel sayıların değişme özelliğini gösterir. Aynı şekilde x y (x+y=0) ifadesi tüm reel x sayıları için x+y=0 ifadesini sağlayan bir y reel sayısı vardır demektir. Bu da her reel sayının toplamaya göre tersi olduğunu gösterir. Aynı şekilde x y z (x+(y+z)= (x+y)+z) ifadesi de reel sayıların birleşme özelliğini gösterir.

4 İç İçe Niceleyicilerden Oluşan İfadeleri Anlamak ÖRNEK: x y ((x>0) ^ (y<0) (xy<0)) ifadesini Türkçe ye çeviriniz. (Tüm değişkenler reel sayıdır.) ÇÖZÜM: Bu ifade gösteriyor ki tüm x ve y reel sayıları için, eğer x>0 ve y<0 ise xy<0. Yani x pozitif ve y negatif ise, xy negatiftir. Kısa ve öz bir şekilde bu ifade «Pozitif bir reel sayı ile negatif bir reel sayının çarpımı her zaman negatiftir.» şeklinde söylenebilir.

5 Niceleyicilerin Sırası Pek çok matematiksel ifade, birden fazla değişken içeren önerme fonksiyonlarının çoklu nicelemelerini içerir. Tüm niceleyicilerin evrensel niceleyici veya varlık niceleyicisi olmadığında niceleyicilerin sırası önemlidir. ÖRNEK: P(x,y) ifadesi «x+y=y+x» olsun. x y P(x,y) ve y x P(x,y) nicelemelerinin doğruluk değerleri nedir? (Tüm değişkenlerin tanım bölgesi reel sayılar kümesidir.) ÇÖZÜM: x y P(x,y) nicelemesi «x in tüm reel sayı değerleri için, y nin tüm reel sayı değerleri için, x+y=y+x» önermesini ifade eder. P(x,y) tüm x ve y reel sayıları için doğru olduğundan x y P(x,y) ifadesi doğrudur. x y P(x,y) ifadesi «Tüm reel sayılar y için, tüm reel sayılar x için x+y=y+x» olduğunu söyler. Bu ifade «Tüm reel sayılar x için, tüm reel sayılar y için x+y=y+x» ifadesi ile aynıdır. Yani x y P(x,y) ve y x P(x,y) ifadeleri aynı anlamdadır ve ikisi de doğrudur. Bu da gösteriyor ki başka niceleyicilerin olmadığı bir ifadede iç içe niceleyicilerin sırası nicelenen ifadenin anlamını bozmadan değiştirilebilir.

6 Niceleyicilerin Sırası ÖRNEK: Q(x,y) «x+y= 0» olsun. y x Q(x,y) ve x y Q(x,y) nicelemelerinin doğruluk değerleri nedir? (Tüm değişkenlerin tanım bölgesi reel sayılar kümesidir.) ÇÖZÜM: y nin hangi değer seçildiği fark etmeksizin x+y=0 için sadece bir x değeri mevcuttur. Tüm x reel sayı değerleri için x+y=0 olacak bir tane y reel sayısı yoktur. y x Q(x,y) ifadesi yanlıştır. x y Q(x,y) ifadesi «Tüm x reel sayıları için, bir tane y reel sayısı vardır.» Verilen bir x reel sayısı için x+y=0 olacak bir y reel sayısı vardır. Yani y=-x. Bundan dolayı x y Q(x,y) ifadesi doğrudur. Örnek gösteriyor ki niceleyicilerin sırası fark yaratır. y x P(x,y) ve x y P(x,y) ifadeleri mantıksal olarak eşit değildir. Ancak ve ancak her x değeri için P(x,y) ifadesini doğru yapan bir y değeri varsa y x P(x,y) ifadesi doğrudur. Bu yüzden bu ifadenin doğru olması için x in seçimine bakmaksızın P(x,y) nin doğru olduğu belirli bir y değeri olmalıdır. Diğer taraftan, ancak ve ancak x in her değeri için P(x,y) nin doğru olduğu bir y değeri varsa x y P(x,y) ifadesi doğrudur. Bu yüzden bu ifadenin doğru olması için hangi x değeri seçilirse seçilsin P(x,y) nin doğru olduğu bir y değeri (muhtemelen seçilen x e bağlı olan) olmalıdır. Bir başka deyişle, ilk durumda y x ten bağımsız bir sabit iken, ikinci durumda y x e bağlı olabilir. Bu gözlemlerden yola çıkarak, y x P(x,y) ifadesi doğruysa x y P(x,y) ifadesi de aynı zamanda doğru olmalıdır. Bununla birlikte, x y P(x,y) doğru ise, y x P(x,y) nin doğru olması gerekli değildir.

7 Niceleyicilerin Sırası ÖRNEK: Q(x,y, z) ifadesi «x+y=z» olsun. x y z Q(x, y, z) ve z x y Q(x, y) ifadesi «Tüm x reel sayıları için, bir tane y reel sayısı vardır.» ÇÖZÜM: x ve y atanmış değerler olsun. O zaman «x+y=z» olacak bir z reel sayısı mevcuttur. Sonuç olarak; x y z Q(x, y, z) ye karşılık gelen «Tüm x ve y reel sayıları için x+y=z olacak bir z reel sayısı vardır.» ifadesi doğrudur.

8 Niceleyicilerin Sırası Cümle Ne zaman doğru? Ne zaman yanlış? x y P(x,y) y y P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) x x P(x,y) P(x,y) her x,y çift için doğru Her x için P(x,y) nin doğru olduğu bir y bulunmaktadır. Her y için P(x,y) nin doğru olduğu bir x bulunmaktadır. P(x,y) nin doğru olduğu bir x,y çifti bulunmaktadır. P(x,y) nin yanlış olduğu bir x,y çifti bulunmaktadır. Her y için P(x,y) nin yanlış olduğu bir x bulunmaktadır. Her x için P(x,y) nin yanlış olduğu bir y bulunmaktadır. P(x,y) her x,y çifti için yanlış

9 Niceleyicilerin Sırası Burada nicelemenin sırası önemlidir. Çünkü z x y Q(x, y, z) nicelemesi «x+y=z ifadesinin doğru olduğu, tüm x ve y reel sayıları için bir z reel sayısı vardır.» yanlıştır. Çünkü x ve y nin tüm değerleri için x+y=z denklemini sağlayan bir z değeri yoktur.

10 Matematiksel İfadeleri İç İçe Niceleyiciler İçeren İfadelere Çevirmek Türkçe olarak ifade edilen matematiksel ifadeler mantıksal ifadelere tercüme edilebilir. Aşağıdaki örnekler bu durumu göstermektedir. ÖRNEK: «Pozitif iki tam sayının toplamı daima pozitiftir» ifadesini mantıksal bir ifadeye çeviriniz. ÇÖZÜM: Bu ifadeyi mantıksal bir ifadeye çevirmek için ilk olarak ifade yeniden yazılır öyle ki kastedilen niceleyiciler ve tanım bölgesi şöyle gösterilir: «İki tam sayı için bu tam sayılar pozitifse, bu tam sayıların toplamı da pozitiftir.»sonra «Tüm pozitif tam sayılar x ve y için, x+y pozitiftir.» Sonuç olarak; ifade şu şekilde gösterilebilir: x y ((x>0) ^(y>0) (x+y>0)), (değişkenlerin tanım bölgesi tüm tam sayılardır.) Bu çeviriyi tanım bölgesi olarak tüm pozitif tam sayıları alarak da yapabiliriz. O zaman «İki pozitif tam sayının toplamı her zaman pozitiftir» ifadesi «İki poziti tam sayı için, bu tam sayıların toplamı pozitiftir» ifadesine dönüşür. Bu da şu şekilde gösterilebilir: x y (x+y>0), (her iki değişkenin tanım bölgesi tüm pozitif tam sayılardır.)

11 Matematiksel İfadeleri İç İçe Niceleyiciler İçeren İfadelere Çevirmek ÖRNEK: «0 (sıfır) hariç her reel sayının çarpmaya göre tersi vardır.» ifadesini çeviriniz. (x i çarpmaya göre tersi xy=1 koşulunu sağlayacak bir y reel sayısıdır.) ÇÖZÜM: Bu ifadeyi ilk olarak «0 (sıfır) hariç her x reel sayısı için, x in çarpmaya göre tersi vardır.» şeklinde yeniden yazarız. Bu ifade «Her x reel sayısı için, eğer x eşit değildir 0 ise, xy=1 olacak bir y reel sayısı vardır.» şeklinde de yazılabilir. Bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: x ((x 0) y (xy=1))

12 İç İçe Niceleyicilerden Türkçe ye Çevirmek Türkçe ifadeleri gösteren iç içe niceleyicilerin olduğu ifadeler oldukça karmaşık olabilmektedir. Böyle bir ifadeyi çevirmek için gereken ilk adım, niceleyicilerin ifade de ne anlama geldiğini yazmaktır. ÖRNEK: x (C(x) y (C(y)^ Y(x,y))) ifadesini Türkçe ye çeviriniz. C(x)=«x bir bilgisayara sahiptir.» Y(x,y)= «x ve y arkadaşlardır.» x ve y nin tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrencilerdir. ÇÖZÜM: Okulunuzdaki her x öğrencisi için x in bir bilgisayarı vardır veya x ve y nin arkadaş olup y nin bir bilgisayarının olduğu bir y öğrencisi vardır. Bir başka deyişle okulunuzdaki her öğrencinin bir bilgisayarı vardır veya bir bilgisayarı olan bir arkadaşı vardır.

13 İç İçe Niceleyicilerden Türkçe ye Çevirmek ÖRNEK: x y z ((Y(x,y) ^ Y(x,z) ^(y z)) Y(y,z)) ifadesini Türkçe ye çeviriniz. anlamı a ve b arkadaşlardır. x, y, z nin tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrencilerdir. Y(a,b) nin ÇÖZÜM: İlk olarak «F(x,y) ^ Y(x,z) ^ (y z)) Y(y,z)» ifadesini inceleriz. Bu ifadenin söylediği; eğer x ve y öğrencileri arkadaşlar ise ve x ve z öğrencileri arkadaşlar ise ve ayrıca y ve z aynı öğrenci değilse o zaman y ve z arkadaş değildir. 3 kez nicelenen ifade izlenir ve ifadenin demek istediği Tüm y öğrencileri ve y den farklı z öğrencileri için bir x öğrencisi vardır ki x, y arkadaş ise ve x, z arkadaş ise y ve z arkadaş değildir. Bir başka deyişle hiçbir arkadaşının birbiriyle arkadaş olmadığı bir öğrenci vardır.

14 Türkçe Cümleleri Mantıksal İfadelere Çevirmek ÖRNEK: «Bir kişi bayan ve ebeveyn ise o zaman bu kişi birinin annesidir.» cümlesini yüklem ve niceleyici içeren mantıksal ifadelere çeviriniz. Tanım bölgesi tüm insanlar ve mantıksal bağlardır. ÇÖZÜM: «Bir kişi bayan ve ebeveyn ise o zaman bu kişi birinin annesidir.» ifadesi şu şekilde de ifade edilebilir. «Her x kişisi için eğer x kişisi bayan ve ebeveyn ise o zaman bir y kişisi vardır ki x kişisi y kişisinin annesidir.» Önerme fonksiyonlarından F(x) i «x bir bayandır» için; P(x) i «x bir ebeveyndir» ve M(x,y) yi «x, y nin annesidir» cümleleri için kullanalım. Bu tanımdan sonra orijinal ifade şu şekilde gösterilebilir: x ((F(x) ^ P(x)) y M(x,y))

15 Türkçe Cümleleri Mantıksal İfadelere Çevirmek ÖRNEK: «Herkesin kesinlikle bir en iyi arkadaşı vardır.» cümlesini yüklem ve niceleyici içeren mantıksal ifadelere çeviriniz. Tanım bölgesi tüm insanlar ve mantıksal bağlaçlardır. ÇÖZÜM: «Herkesin kesinlikle bir en iyi arkadaşı vardır.» ifadesi şu şekilde de ifade söylenebilir. «Her x kişisi için, x kişisinin mutlaka bir en iyi arkadaşı vardır.» Evrensel niceleyicileri düşünürsek bu ifade, tanım bölgesinin tüm insanlar olduğu «x (x kişisinin mutlaka bir en iyi arkadaşı vardır)» ifadesiyle aynıdır. x in bir en iyi arkadaşı vardır demek şu anlama gelir: «x in en iyi arkadaşı olan bir y kişisi vardır ve ayrıca her z kişisi için z kişisi y kişisi değilse z, x in en iyi arkadaşı değildir.» B(x,y) yüklemini «y, x in en iyi arkadaşıdır» ifadesiyle gösterirsek «x in kesinlikle bir en iyi arkadaşı vardır» ifadesi şu şekilde ifade edilebilir: y (B(x,y) ^ z ((z y) B(x,z))) Sonuç olarak orijinal ifade şu şekilde gösterilebilir: x y (B(x,y) ^ z ((z y) B(x,z)))

16 İç İçe Niceleyicilerin Değil ini Almak İç içe niceleyiciler içeren ifadelerin «Değil leri, tek niceleyici içeren ifadelerin değil ini almak için uygulanan kurallar ile alınabilir. ÖRNEK: x y (xy=1) ifadesinin değil ini gösteriniz. Öyle ki hiçbir değil işlemi niceleyicinin üstünde değildir. ÇÖZÜM: De Morgan kuralını uygulayarak, değil işaretini tüm niceleyiciler için x y (xy=1) de hareket ettiririz. x y (xy=1) ifadesinin x y (xy=1) ifadesine denk olduğunu görürüz. x y (xy=1) ifadesinin de x y (xy=1) ifadesine denk olduğu görülür. Çünkü (xy=1) ifadesi daha basit olarak xy 1 şeklinde ifade edilebilir. Bizim değil i alınmış ifademiz x y (xy 1) şeklinde sonuçlandırılır.

17 1. Aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye tercüme ediniz. (Her değişkenin tanım bölgesi tüm reel sayılar kümesidir.) A. x y (x<y) B. x y (((x 0) ^ (y 0)) (xy 0)) C. x y z (xy=z)

18 1. Aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye tercüme ediniz. (Her değişkenin tanım bölgesi tüm reel sayılar kümesidir.) A. x y (x<y) Her reel sayı x için, reel bir y sayısı vardır ki x, y den azdır. B. x y (((x 0) ^ (y 0)) (xy 0)) Her reel sayı x ve reel sayı y için, eğer x ve y ikisi de negatif değillerse, o zaman onların çarpımı da negatif değildir. C. x y z (xy=z) Her reel sayı x ve reel sayı y için, reel bir z sayısı vardır ki xy=z dir.

19 2. Q(x,y) «x, y ye e-posta mesajı gönderdi.» ifadesi olsun (x ve y nin tanım bölgesi sınıfınızdaki öğrencilerdir). Aşağıdaki nicelemeleri Türkçe ifade ediniz. A. x y Q(x,y) B. x y Q(x,y) C. x y Q(x,y) D. y x Q(x,y) E. y x Q(x,y) F. x y Q(x,y)

20 2. Q(x,y) «x, y ye e-posta mesajı gönderdi.» ifadesi olsun (x ve y nin tanım bölgesi sınıfınızdaki öğrencilerdir). Aşağıdaki nicelemeleri Türkçe ifade ediniz. A. x y Q(x,y) Sınıfınızda, sınıfınızdaki bazı öğrencilere mesaj gönderen bazı öğrenciler vardır. B. x y Q(x,y) Sınıfınızda, sınıfınızdaki tüm öğrencilere mesaj gönderen bazı öğrenciler vardır. C. x y Q(x,y) Sınıfınızdaki her öğrenci, sınıfınızdaki en az bir öğrenciye mesaj gönderdi. D. y x Q(x,y) Sınıfınızda, sınıfınızdaki tüm öğrencilere mesaj gönderen bir öğrenci vardır. E. y x Q(x,y) Sınıfınızdaki her öğrenciye sınıfınızdaki en az bir öğrenciden mesaj gönderildi. F. x y Q(x,y) Sınıfınızdaki tüm öğrenciler sınıfınızdaki tüm öğrencilere mesaj gönderdi.

21 3. W(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y web sitesini ziyaret etti.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm web siteleri). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. A. W(Meral Akbaş, B. x W(x, C. y W(Ali Özer,y)

22 3. W(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y web sitesini ziyaret etti.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm web siteleri). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. A. W(Meral Akbaş, Meral Aktaş sitesini ziyaret etti. B. x W(x, En az bir kişi sitesini ziyaret etti. C. y W(Ali Özer,y) Ali Özer en az bir web sitesini ziyaret etti.

23 3. W(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y web sitesini ziyaret etti.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm web siteleri). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. D. y (W (Anıl Tan, y) ^ W(Selin Torun, y)) E. y z (y (Alp Bilir) ^ (W (Alp Bilir, z) W(y,z))) F. x y z ((x y) ^ (W(x,z) W(y,z)))

24 3. W(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y web sitesini ziyaret etti.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm web siteleri). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. D. y (W (Anıl Tan, y) ^ W(Selin Torun, y)) Anıl Tan ve Selin Torun un ikisinin de ziyaret ettiği bir site vardır. E. y z (y (Alp Bilir) ^ (W (Alp Bilir, z) W(y,z))) Alp Bilir in ziyaret ettiği tüm web sitelerini ziyaret etmiş, Alp Bilir dışında bir kişi vardır. F. x y z ((x y) ^ (W(x,z) W(y,z))) Tam olarak aynı web sitesini ziyaret etmiş iki farklı insan vardır.

25 4. T(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y mutfağını sever.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm mutfaklar). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. A. T( Abdullah Hüseyin, Japon) B. x T(x, Kore) ^ x T(x, Meksika) C. y (T(Melek Atak, y) T(Cenk Toros, y))

26 4. T(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y mutfağını sever.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm mutfaklar). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. A. T( Abdullah Hüseyin, Japon) Abdullah Hüseyin Japon mutfağını sevmez. B. x T(x, Kore) ^ x T(x, Meksika) Okulunuzdaki bazı öğrenciler Kore mutfağını sever ve okulunuzdaki herkes Meksika mutfağını sever. C. y (T(Melek Atak, y) T(Cenk Toros, y)) Melek Atak ya da Cenk Toros un sevdiği bazı yemekler vardır.

27 4. T(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y mutfağını sever.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm mutfaklar). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. D. x z y ((x z) (T(x,y) ^ T(z,y))) E. x z y (T(x,y) T(z,y)) F. x z y (T(x,y) T(z,y))

28 4. T(x,y) nin anlamı «x öğrencisi y mutfağını sever.» olsun. (x in tanım bölgesi okulunuzdaki tüm öğrenciler; y nin tanım bölgesi tüm mutfaklar). Aşağıdaki ifadelerin her birini basit bir Türkçe cümle ile ifade ediniz. D. x z y ((x z) (T(x,y) ^ T(z,y))) Sizin okulda farklı öğrencilerin her çifti için, en az onlardan birinin sevmediği bazı yemekler vardır. E. x z y (T(x,y) T(z,y)) Okulunuzda tam olarak aynı yemekleri seven iki öğrenci vardır. F. x z y (T(x,y) T(z,y)) Okulunuzdaki her çift öğrenci için, onların aynı fikirde olduğu yemekler vardır (onların hepsinin sevdikleri ya da sevmedikleri).

29 5. L(x,y) nin anlamı «x, y yi sever.» olsun. (x ve y için tanım bölgesi dünyadaki tüm insanlar.). Aşağıdaki cümleleri niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Herkes Cem i sever. B. Herkes birini sever. C. Herkesin sevdiği birisi vardır. D. Hiç kimse herkesi sevmez. E. Ayda nın sevmediği birisi vardır.

30 5. L(x,y) nin anlamı «x, y yi sever.» olsun. (x ve y için tanım bölgesi dünyadaki tüm insanlar.). Aşağıdaki cümleleri niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Herkes Cem i sever. x L(x, Cem) B. Herkes birini sever. x y L(x,y) C. Herkesin sevdiği birisi vardır. y x L(x,y) D. Hiç kimse herkesi sevmez. x y L(x,y) E. Ayda nın sevmediği birisi vardır. x L(Ayda,x)

31 5. L(x,y) nin anlamı «x, y yi sever.» olsun. (x ve y için tanım bölgesi dünyadaki tüm insanlar.). Aşağıdaki cümleleri niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. F. Hiç kimsenin sevmediği birisi vardır. G. Herkesin sevdiği bir kişi kesin vardır. H. Pelin in sevdiği kesin 2 kişi vardır. I. Herkes kendini sever. J. Kendisi dışında kimseyi sevmeyen biri vardır.

32 5. L(x,y) nin anlamı «x, y yi sever.» olsun. (x ve y için tanım bölgesi dünyadaki tüm insanlar.). Aşağıdaki cümleleri niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. F. Hiç kimsenin sevmediği birisi vardır. x y L(y,x) G. Herkesin sevdiği bir kişi kesin vardır. x ( y L(y,x) ^ z(( w L(w,z)) z=x)) H. Pelin in sevdiği kesin 2 kişi vardır. x y (x y ^ L(Pelin, x) ^ L(Pelin,y) ^ z (L (Pelin, z) (z=x z=y))) I. Herkes kendini sever. x L(x,x) J. Kendisi dışında kimseyi sevmeyen biri vardır. x y (L(x,y) x=y)

33 6. S(x), «x bir öğrencidir.» yüklemi olsun. F(x), «x bir fakülte üyesidir.» yüklemi ve A(x,y), «x, y ye bir soru sordu.» yüklemi olsun. Değişkenler için tanım bölgesi okulunuzla ilişkisi olan herkestir. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Merve, Profesör Güral a bir soru sordu. B. Her öğrenci Profesör Abuldullah a bir soru sordu. C. Her fakülte üyesi ya Profesör Akın a bi soru sordu ya da Profesör Akın tarafından her birine soru soruldu. D. Bazı öğrenciler hiçbir fakülte üyesine bir soru sormadı.

34 6. S(x), «x bir öğrencidir.» yüklemi olsun. F(x), «x bir fakülte üyesidir.» yüklemi ve A(x,y), «x, y ye bir soru sordu.» yüklemi olsun. Değişkenler için tanım bölgesi okulunuzla ilişkisi olan herkestir. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Merve, Profesör Güral a bir soru sordu. A(Merve, Profesör Güral) B. Her öğrenci Profesör Abdullah a bir soru sordu. x (S(x) A(x, Profesör Abdullah)) C. Her fakülte üyesi ya Profesör Akın a bi soru sordu ya da Profesör Akın tarafından her birine soru soruldu. x F(x) (A(x, Profesör Akın) A(Profesör Akın,x))) D. Bazı öğrenciler hiçbir fakülte üyesine bir soru sormadı. x (S(x) y (F(y) A(x,y)))

35 6. S(x), «x bir öğrencidir.» yüklemi olsun. F(x), «x bir fakülte üyesidir.» yüklemi ve A(x,y), «x, y ye bir soru sordu.» yüklemi olsun. Değişkenler için tanım bölgesi okulunuzla ilişkisi olan herkestir. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. E. Bir öğrenci tarafından kendisine hiç soru sorulmamış bir fakülte üyesi vardır. F. Bazı öğrenciler her fakülte üyesine bi soru sordu. G. Diğer fakülte üyelerine bir soru soran bir fakülte üyesi vardır. H. Bazı öğrencilere bir fakülte üyesi tarafından hiçbir soru sorulmadı.

36 6. S(x), «x bir öğrencidir.» yüklemi olsun. F(x), «x bir fakülte üyesidir.» yüklemi ve A(x,y), «x, y ye bir soru sordu.» yüklemi olsun. Değişkenler için tanım bölgesi okulunuzla ilişkisi olan herkestir. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. E. Bir öğrenci tarafından kendisine hiç soru sorulmamış bir fakülte üyesi vardır. x (F(x) ^ y (S(y) A (y,x))) F. Bazı öğrenciler her fakülte üyesine bi soru sordu. y (F(y) x (S(x) A(x,y))) G. Diğer fakülte üyelerine bir soru soran bir fakülte üyesi vardır. x (F(x) ^ y ((F(y) (y x)) A(x,y))) H. Bazı öğrencilere bir fakülte üyesi tarafından hiçbir soru sorulmadı. x (S(x) y (F(y) A(y,x)))

37 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) A. İrem, Tuna ya hiç mesajı göndermedi. B. Aylin, Nalan a hiç mesajı göndermedi veya telefon etmedi. C. Fatih, Gülşah tan hiç mesajı almadı. D. Sınıfınızdaki her öğrenci Belen e mesajı gönderdi. E. Sınıfınızdaki kimse Ayça ya telefon etmedi.

38 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) A. İrem, Tuna ya hiç mesajı göndermedi. M (İrem, Tuna) B. Aylin, Nalan a hiç mesajı göndermedi veya telefon etmedi. M (Aylin, Nalan) T (Aylin, Nalan) C. Fatih, Gülşah tan hiç mesajı almadı. M (Fatih Gülşah) D. Sınıfınızdaki her öğrenci Belen e mesajı gönderdi. x M(x, Belen) E. Sınıfınızdaki kimse Ayça ya telefon etmedi. x T(x, Ayça)

39 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) F. Sınıfınızdaki herkes Avni ye ya telefon etti ya da mesajı gönderdi. G. Sınıfınızdaki kendi hariç herkese mesajı gönderen bir öğrenci vardır. H. Sınıfınızda kendi hariç herkese ya mesajı gönderen ya da telefon eden bir öğrenci vardır. I. Sınıfınızda birbirlerine mesajı gönderen iki farklı öğrenci vardır. J. Kendine mesajı gönderen bir öğrenci vardır.

40 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) F. Sınıfınızdaki herkes Avni ye ya telefon etti ya da mesajı gönderdi. x (T x, Avni) M(x, Avni)) G. Sınıfınızdaki kendi hariç herkese mesajı gönderen bir öğrenci vardır. x y (y x M(x,y)) H. Sınıfınızda kendi hariç herkese ya mesajı gönderen ya da telefon eden bir öğrenci vardır. x y (y x (M(x,y) T(x,y))) I. Sınıfınızda birbirlerine mesajı gönderen iki farklı öğrenci vardır. x y (x y M(x,y) M(y,x)) J. Kendine mesajı gönderen bir öğrenci vardır. x M(x,x)

41 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) K. Sınıfınızda kendisi hariç kimseden almayan ve diğer hiçbir öğrenci tarafından aranmayan bir öğrenci vardır. L. Sınıfınızda her öğrenci sınıfınızdaki başka öğrenciden ya mesajı ya da telefon aldı. M. Bir öğrencinin diğerine gönderdiği ve diğer öğrencinin ilk öğrenciye telefon ettiği en az iki öğrenci vardır. N. Sınıfınızda kendi aralarında gönderen ya da sınıftaki diğer öğrencilere telefon eden iki farklı öğrenci vardır.

42 7. M(x,y), «x y ye mesajı gönderdi.» ve T(x,y), «x y ye telefon etti.» ifadeleri olsun. Tanım bölgesi de sınıfınızdaki tüm öğrenciler olsun. Aşağıdaki ifadelerin her birini niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. (Gönderilen tüm mesajlarının alındığını varsayın.) K. Sınıfınızda kendisi hariç kimseden almayan ve diğer hiçbir öğrenci tarafından aranmayan bir öğrenci vardır. x y (x y ( M (x,y) T(y,x))) L. Sınıfınızda her öğrenci sınıfınızdaki başka öğrenciden ya mesajı ya da telefon aldı. x ( y (x y (M(y,x) T(y,x)))) M. Bir öğrencinin diğerine gönderdiği ve diğer öğrencinin ilk öğrenciye telefon ettiği en az iki öğrenci vardır. x y (x y M(x,y) T(y,x)) N. Sınıfınızda kendi aralarında gönderen ya da sınıftaki diğer öğrencilere telefon eden iki farklı öğrenci vardır. x y (x y z ((z x ^ z y) (M(x,z) M(y,z) T(x,z)

43 8. Aşağıdakileri ifade etmek için birden fazla değişkenli yüklemler ve niceleyiciler kullanınız. A. Her bilgisayar bilimi öğrencisinin ayrık matematikte bir derse ihtiyacı vardır. B. Sınıfta bir kişisel bilgisayarı olan bir öğrenci vardır. C. Sınıftaki her öğrenci en az bir bilgisayar bilimi dersini aldı. D. Sınıfta bilgisayar biliminde en az bir ders alan bir öğrenci vardır.

44 8. Aşağıdakileri ifade etmek için birden fazla değişkenli yüklemler ve niceleyiciler kullanınız. A. Her bilgisayar bilimi öğrencisinin ayrık matematikte bir derse ihtiyacı vardır. x P(x), burada P(x) fonksiyonu «x ayrık bir derse ihtiyacı var.» ve tanım kümesi tüm bilgisayar bilimleri öğrencilerinden oluşmaktadır. B. Sınıfta bir kişisel bilgisayarı olan bir öğrenci vardır. x P(x), burada P(x) fonksiyonu «x bir kişisel bilgisayara sahiptir» ve tanım kümesi sınıftaki tüm öğrencilerden oluşmaktadır. C. Sınıftaki her öğrenci en az bir bilgisayar bilimi dersini aldı. x y P(x,y), burada P(x,y) fonksiyonu «x, y dersini aldı», x için tanım kümesi sınıftaki tüm öğrencilerden oluşmaktadır ve y için tanım kümesi tüm bilgisayar bilimleri sınıflarından oluşmaktadır. D. Sınıfta bilgisayar biliminde en az bir ders alan bir öğrenci vardır. x y P(x,y), burada P(x,y) ve tanım kümeleri kısım (c) ile aynıdır.

45 8. Aşağıdakileri ifade etmek için birden fazla değişkenli yüklemler ve niceleyiciler kullanınız. E. Sınıftaki her öğrenci kampüsteki her binada bulundu. F. Sınıfta, kampüsün en az bir binasının her odasında bulunmuş bir öğrenci vardır. G. Sınıftaki her öğrenci kampüsün her binasının en az bir odasında bulundu.

46 8. Aşağıdakileri ifade etmek için birden fazla değişkenli yüklemler ve niceleyiciler kullanınız. E. Sınıftaki her öğrenci kampüsteki her binada bulundu. x y P(x,y), burada P(x,y) fonksiyonu «x, y de bulunmuştur» x için tanım kümesi sınıftaki tüm öğrencilerden oluşmaktadır, ve y için tanım kümesi kampüsteki tüm binalardan oluşmaktadr. F. Sınıfta, kampüsün en az bir binasının her odasında bulunmuş bir öğrenci vardır. x y z (P(z,y) Q(x,z), burada P(z,y) fonksiyonu «z y nin içindedir» ve Q(x,z) fonksiyonu «x z de bulunmuştur z için tanım kümesi sınıftaki tüm öğrencilerden oluşmaktadır, ve y için tanım kümesi kampüsteki tüm binalardan oluşmaktadır ve z için tanım kümesi tüm odalardan oluşmaktadır. G. Sınıftaki her öğrenci kampüsün her binasının en az bir odasında bulundu. x y z (P(z,y) Q(x,z)), kısım(f) ile aynı çevre.

47 9. Aşağıdaki sistem tanımlamalarının her birini niceleyiciler, yüklemler, mantıksal bağlardan gerekli olanları kullanarak ifade ediniz. A. Her kullanıcının tam olarak bir posta kutusuna erişimi vardır. B. Yalnızca çekirdek doğru çalışıyorsa tüm hata durumları süresince çalışan bir işlem vardır.

48 9. Aşağıdaki sistem tanımlamalarının her birini niceleyiciler, yüklemler, mantıksal bağlardan gerekli olanları kullanarak ifade ediniz. A. Her kullanıcının tam olarak bir posta kutusuna erişimi vardır. u m (A(u,m) ^ n (n m A(u,n))), burada A(u,m) fonksiyonu «kullanıcı u nun posta m e erişimi vardır» olarak tanımlandığında. B. Yalnızca çekirdek doğru çalışıyorsa tüm hata durumları süresince çalışan bir işlem vardır. p e (H(e) ^ S(p), çalışıyor)) S(çekirdek doğru çalışıyor), burada H(e) fonksiyonu»durumunun yürürlükte olması» olarak tanımlanmıştır ve S(x,y) fonksiyonu «x in durumu y dir» olarak tanımlanmıştır.

49 9. Aşağıdaki sistem tanımlamalarının her birini niceleyiciler, yüklemler, mantıksal bağlardan gerekli olanları kullanarak ifade ediniz. C. Kampüs ağındaki tüm kullanıcılar url uzantısı.edu olan web sitelerine erişebilir. D. Uzak sunucuları izleyen tam olarak iki sistem vardır.

50 9. Aşağıdaki sistem tanımlamalarının her birini niceleyiciler, yüklemler, mantıksal bağlardan gerekli olanları kullanarak ifade ediniz. C. Kampüs ağındaki tüm kullanıcılar url uzantısı.edu olan web sitelerine erişebilir. u s (E(s,.edu) A(u,s)), burada E(s,x) «web site s x uzantısına sahiptir», ve A(u,s) fonksiyonu» kullanıcı u web site s ye erişebilir.» olarak tanımlanmıştır. D. Uzak sunucuları izleyen tam olarak iki sistem vardır. x y (x y z(( s M(z,s)) (z=x z=y))), burada M(a,b) fonksiyonu»sistem a uzak sunucu b yi izler» olarak tanımlanmıştır.

51 10. Aşağıdakilerden her birini; matematiksel ve mantıksal işleçler, niceleyiciler, yüklemler kullanarak ifade ediniz. Tanım bölgesi tüm tam sayılardır. A. İki negatif tam sayının toplamı negatiftir. B. İki pozitif tam sayının farkının pozitif olması gerekmez. C. İki tam sayının karelerinin toplamı, toplamlarının karesine eşit veya büyüktür. D. İki tam sayının çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

52 10. Aşağıdakilerden her birini; matematiksel ve mantıksal işleçler, niceleyiciler, yüklemler kullanarak ifade ediniz. Tanım bölgesi tüm tam sayılardır. A. İki negatif tam sayının toplamı negatiftir. x y ((x<0) ^ (y<0) (x+y<0)) B. İki pozitif tam sayının farkının pozitif olması gerekmez. x y ((x>0) ^ (y>0) (x-y>0)) C. İki tam sayının karelerinin toplamı, toplamlarının karesine eşit veya büyüktür. x y (x 2 +y 2 (x+y) 2 D. İki tam sayının çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir. x y ( xy = x y )

53 11. Aşağıdaki iç içe nicelemelerin her birini matematiksel bir gerçeği gösteren Türkçe ifadelere çeviriniz. Her durumdaki tanım bölgesi tüm reel sayılardır. A. x y (xy=y) B. x y (((x<0) ^ (y<0)) (xy>0)) C. x y ((x 2 >y) ^ (x<y))

54 11. Aşağıdaki iç içe nicelemelerin her birini matematiksel bir gerçeği gösteren Türkçe ifadelere çeviriniz. Her durumdaki tanım bölgesi tüm reel sayılardır. A. x y (xy=y) Reel sayılar için bir çarpımsal birim vardır. B. x y (((x<0) ^ (y<0)) (xy>0)) İki negatif reel sayının çarpımı her zaman pozitif bir reel sayıdır. C. x y ((x 2 >y) ^ (x<y)) x 2 nin y sayısından büyük olduğu fakat x sayısının y sayısından küçük olduğu x ve y reel sayıları vardır.