İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA

Transkript

1 İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR Fund ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA

2

3

4 iv İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR (Yüksek Lisns Tezi) Fund ÇETİN GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Hzirn 2007 ÖZET Bu çlışmd, tek değişkenli ritmetik fonksiyonlrın özellikleri ile bu fonksiyonlrın Dirichlet ve birimsel çrpımlrı incelenip cebirsel ypılrı verildi. İki değişkenli ritmetik fonksiyonlr tnımlnrk bu fonksiyonlrın, Dirichlet çrpımlrı, üreteç fonksiyonlrı ve çeşitli özellikleri incelendi. Ayrıc iki değişkenli Ngell ve Rmnujn toplm fonksiyonlrı ve bu fonksiyonlrın birimsel benzerleri gösterildi. Bilim Kodu : Anhtr Kelimeler : Aritmetik fonksiyon, Dirichlet çrpım, Rmnujn toplm Syf Adedi : 99 Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Nim TUĞLU

5 v ARITHMETIC FUNCTIONS OF TWO VARIABLES (M.Sc.Thesis) Fund ÇETİN GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2007 ABSTRACT In this study, properties of rithmetic functions of one vrible nd their Dirichlet nd unitry multipliction were studied, nd their lgebric structures were given. Arithmetic functions of two vribles were defined nd their Dirichlet multiplictions, generting functions nd vrious properties were exmined. Besides, Ngell totient nd Rmnujn s sum functions nd their unitry nlogues were shown. Science Code : Key Words : Arithmeticl functions, Dirichlet multipliction, Rmnujn sum Pge Number : 99 Adviser : Assist. Prof. Dr. Nim TUĞLU

6 vi TEŞEKKÜR Çlışmlrım boyunc değerli yrdım ve ktkılrıyl beni yönlendiren syın hocm Yrd. Doç. Dr. Nim TUĞLU y sonsuz teşekkürlerimi sunrım. Tezi hzırlmm esnsınd kıymetli tecrübelerinden fydlndığım Prof. Dr. Dursun TAŞÇI ve Yrd. Doç. Dr. Ercn ALTINIŞIK teşekkürü bir borç bilirim. Bu süreçte mnevi desteklerini esirgemeyen Prof. Dr. Yunus AKÇAMUR, Yrd. Doç. Dr Nurettin TÜRKAN, Yrd. Doç. Dr. Akın Osmn ATAGÜN e ve Yrd. Doç. Dr. Abdullh SÖNMEZOĞLU n teşekkür ederim. Yine mnevi destekleriyle beni hiçbir zmn ylnız bırkmyn ileme ve nişnlım Yüksel TAŞDEMİR e sonsuz teşekkürler.

7 vii İÇİNDEKİLER Syf ÖZET... iv ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... vi İÇİNDEKİLER... vii. GİRİŞ BAZI TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER Aritmetik Fonksiyonlr Aritmetik Fonksiyonlrın Dirichlet Çrpımı Çrpımsl Fonksiyonlr Dirichlet Serileri ve Üreteç Fonksiyonlr BİRİMSEL ÇARPIM Aritmetik Fonksiyonlrın Birimsel Çrpımı İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR İki Değişkenli Aritmetik Fonksiyonlr İki Değişkenli Aritmetik Fonksiyonlrın Dirichlet Serileri ve Üreteç Fonksiyonlrı NAGELL VE RAMANUJAN FONKSİYONLARI Ngell Toplm Fonksiyonu Rmnujn Toplm Fonksiyonu BİRİMSEL BENZER NAGELL VE RAMANUJAN FONKSİYONLARI Birimsel Benzer Ngell Toplm Fonksiyonu Birimsel Benzer Rmnujn Fonksiyonu... 88

8 viii Syf 7. SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 99

9 . GİRİŞ Mtemtik biliminde önemli bir yer tutn syılr teorisi ynı zmnd mtemtiğin diğer lnlrı için de temel oluşturmktdır. Ünlü mtemtikçi Crl Friedrich Guss syılr teorisinin önemini vurgulmk mcıyl: Mtemtik, bilimlerin krliçesi olduğu gibi, syılr teorisi de mtemtiğin krliçesidir demiştir. Syılr teorisi diğer bir dıyl ritmetik, reel vey kompleks syılr ve bunlrın özelliklerini inceleyen bir bilim dlıdır. Mtemtiğin tüm lnlrınd temel oluşturn fonksiyon konusu syılr teorisinde de ritmetik fonksiyon vey teorik syı fonksiyonu olrk ele lınmıştır. Pozitif tm syılr kümesinden reel vey kompleks syılr kümesine tnımlnn fonksiyonlr ritmetik fonksiyon vey teorik syı fonksiyonu denir []. Aritmetik fonksiyonlr üzerinde tnımlnn Dirichlet çrpım ile yeni bir ritmetik fonksiyon elde edilmektedir. Böylece ritmetik fonksiyonlr üzerinde tnımlı Dirichlet çrpım ile Dirichlet terse ship ritmetik fonksiyonlrın kümesi bir grup ypısı teşkil etmektedir. Ayrıc çrpımsl fonksiyonlr kümesi bu grup için bir lt grup tnımlycktır. Birimsel bölen kvrmındn yol çıkılrk ritmetik fonksiyonlr üzerinde bir diğer çrpım türü oln birimsel çrpım verilebilmektedir. Ayrıc tek değişkenli ritmetik fonksiyonlrın genelleştirilmişi oln iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr tnımlnmktdır. İki değişkenli ritmetik fonksiyonlrdn Ngell ve Rmnujn toplm fonksiyonlrınd olduğu gibi bzı özel hllerde iki değişkenli bu fonksiyonlr tek değişkenli temel fonksiyonlr dönüşebilmektedir. Ayrıc birimsel bölenlik ele lınrk tek değişkenli ve iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrın birimsel benzer fonksiyonlrı elde edilebilmektedir.

10 2 2. BAZI TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER İlk olrk ritmetik fonksiyonun tnımı verilip rdındn bzı temel ritmetik fonksiyonlr ve bunlrl ilgili teoremler incelenecektir. 2.. Aritmetik Fonksiyonlr 2.. Tnım Pozitif tmsyılr kümesinden reel vey kompleks syılr kümesine tnımlnn fonksiyonlr ritmetik fonksiyon y d teorik syı fonksiyonu denir [] Tnım p, p2,..., p k sl syılr olmk üzere her... k n= p p k pozitif tmsyısı için, n = k µ ( n) = ( ), = 2 =... = k = 0, diğer durumlrd biçiminde tnımlnn fonksiyon µ Möbius fonksiyonu denir. Tnımdn d nlşıldığı gibi n pozitif tmsyısının çrpnlrındn en z biri tm kre içeriyors µ ( n) = 0 olcktır. den 0 kdr oln syılrın µ Möbius fonksiyonu ltınd görüntüleri şğıd verilmiştir. n µ ( n ) 0 0 0

11 3 Möbius fonksiyonunun temel özelliklerinden birini gösteren şğıdki teoremi verelim. 2.. Teorem + Her n için dn n =, µ ( d) = = n 0 n >. İspt n = ise eşitlik çıktır. n > ise Aritmetiğin Temel Teoreminden n tmsyısı,... k n= p p k biçiminde sl syılrın çrpımı olrk yzılbilir. Bu durumd d n ( d ) µ toplmınd, d = olduğu ve n nin yrık sllrın çrpımı olrk yzılbildiği durumlrd µ sıfırdn frklı olcğındn; dn ( d) = ( ) + ( p ) ( p ) + ( p p ) ( p p ) ( p p... p ) µ µ µ µ µ µ µ ( ) k 2 k k 2 k k k k = k = = 0. k 2 ( ) ( ) ( ) k 2.3. Tnım + n olmk üzere n den küçük vey n ye eşit n ile rlrınd sl oln pozitif tmsyılrın syısını veren fonksiyon Euler ϕ fonksiyonu denir ve ϕ ile gösterilir [2]. Yni

12 4 A = { d, < n : ( d, n) = d } olmk üzere ( n ) = s( A) ϕ dır. den 0 kdr oln syılrın Euler ϕ fonksiyonu ltınd görüntüleri şğıd verilmiştir. n ϕ ( n ) Teorem + Her n için dn ( d) n. ϕ = İspt Pozitif tm syılr kümesini den n ye kdr yrık sınıflr yırlım. Ayrıc n nin her d böleni için ( ) = { :(, ) =, } Ad k kn d k n olsun. Eğer A( d ) k n k ise bu durumd, = d d olur. Yni A ( d ) sınıfındki tmsyılrın syısı, d n yi geçmeyen ve d n ile rlrınd sl oln syılrın syısı n kdrdır. ϕ fonksiyonunun tnımındn, A ( d ) sınıfındki tm syılrın ϕ det d olduklrı söylenir. Her bir tmsyı sdece bir sınıf dhil olcğındn ve n de bu n yrık sınıflrdki elemnlrın toplmın eşit olcğındn n = ϕ eşitliği elde d n d edilir. Böylece

13 5 n = d n n ϕ = d d n ϕ ( d ) bulunur. Aşğıd verilen teorem Euler ϕ fonksiyonu ile µ Möbius fonksiyonu rsındki ilişkiyi göstermektedir: 2.3. Teorem + Her n için n ϕ n = µ d d ( ) ( ). dn İspt n için ( ) (, k) = = nk,, diğer durumlrd ( ) = 0 nk, olduğundn ϕ n = ( n) ( nk, ) k = biçiminde yzılbilir. Burd k syılrı n den küçük vey n ye eşit oln tmsyılrı göstermektedir. Teorem 2. den n ( ) ( ) (, ) k= d n k k= d n dk n ( ) ϕ n = µ d = µ d

14 6 olup, bu eşitlik n nin d böleni için çrpımlrı d yi veren ve k n şrtın uyn tüm k syılrının toplmını verir. Eğer k = qd lınırs k n olduğundn n q dır. Böylece d n d d n ϕ ( n) = µ ( d) = µ ( d) = µ ( d) d dn q= dn q= dn n elde edilir Teorem + Her n için ϕ ( n) = n. pn p İspt n = değeri için ϕ () = olrk tnımlnır. n > ve p, p2,..., p r ler n nin yrık sl bölenleri olsun. Bu durumd ( ) = (2.) pn p pi pipj pipjpk pipj... pr r Eş. 2. eşitliğinin sğ trfındki p p p i j k terimi ile n nin p, p, p sl i j k çrpnlrındn frklı üç tnesinin bütün olsı çrpımlrının toplmı ifde edilmektedir. Benzer şekilde Eş. 2. eşitliğindeki her bir terim n nin sl

15 7 çrpnlrındn ( k r) olck şekilde frklı k tnesinin bütün olsı çrpımlrının toplmındn oluşmktdır. Böylece eşitliğin sğ trfı ± biçiminde olur. Burd d d, n nin bir böleni olup y y d yrık sllrın çrpımındn oluşcktır. ± sırsı ise tmmen µ ( d ) ile ilgilidir. Eğer d, herhngi bölünüyors ( d ) = 0 Teorem 2.3 den µ olur. Böylece Eş. 2. eşitliğin sğ trfı p i slının kresi ile d n ( d ) µ d ye eşit olur. n ϕ ( n) = µ d = n d ( ) dn dn µ ( d ) d olup, böylece ϕ ( n) = n pn p olur. ϕ nin pek çok özelliği bu çrpım formülünden yrrlnılrk elde edilebilir Teorem Euler ϕ fonksiyonu şğıdki özelliklere shiptir. ) p sl ve ϕ p p k k k k için ( ) = p b) ( m, n) = d olmk üzere ϕ ( mn) = ϕ( m) ϕ( n) c) ( m, n) = ise ϕ ( mn) = ϕ( m) ϕ( n) ϕ d d ( )

16 8 d) b ise ϕ ( ) ϕ( b) e) 3 n için ( n) ϕ çifttir. f) Eğer, n r tne frklı tek sl çrpn shipse bu durumd r ϕ ( n) 2 dir. İspt ) Teorem 2.4 de n k = p lınırs ispt çıktır. b) Teorem 2.4 den ( n) ϕ = n pn p olur. Ayrıc mn. nin her sl böleni y m yi bölen bir sl y d n yi bölen bir sldır. Eğer bu sllr hem m hem de n yi bölüyors bu durumd ( m, n) yi de böler. Burdn ϕ( m) ϕ( n) ( ) pm p mn pn p ϕ = ( ) m n = = mn ( d) pmn p ϕ d p( m, n) p olur. Böylece ( mn) = ( m) ( n) ϕ ϕ ϕ d ϕ ( d ) bulunur.

17 9 c) ( m, n) = olsun. (b) seçeneğinde ( m, n) = d = lınırs ( mn) ϕ( m) ϕ( n) edilir. ϕ = elde d) b ise b = c ve c b olck şekilde c + vrdır. Eğer c = b ise bu durumd = olup ispt çıktır. Eğer c < b ise bu durumd (b) seçeneğinden (, c) d = olmk üzere ( d ) ( c) ( d ) d ϕ ϕ ( b) = ϕ( c) = ϕ( ) ϕ( c) = dϕ( ) (2.2) ϕ ϕ elde edilir. c = ise d = olup ϕ( b) ϕ( ) = olur. c > için ( c, ) = d d ve dc olup d c c = dc olck şekilde c + vrdır. ( ) d,c = d ise (b) seçeneğinden ϕ ϕ = () c = ϕ( dc ) ( d ) ϕ( c ) ϕ( d ) d dir. Bu işlemlere (, d ) ϕ ( c ) ϕ( d ) ϕ( c ) r = r r+ c oln kdr devm edilirse r+ r = elde edilir. Bunlr Eş. 2.2 ifdesinde yzıldığınd ( b) = d d. d... d. ϕ( c ) ϕ( ) ϕ. 2 r r+ olup, burdn ( ) ϕ( b) ϕ elde edilir.

18 0 e) Eğer = ( k 2) ise () seçeneğinden ( n) k n 2 z bir tek sl çrpn shipse ϕ nin çift olduğu bulunur. Eğer n en p n ϕ ( n) = n = p = c( n) p (2.3) p p p n p n p n p n olup, burd ( n) c tmsyıdır. p n p çift olduğundn ( n) ϕ çift olrk elde edilir. f) Eğer n, r tne frklı tek sl çrpn shipse p ifdesinde en z r tne 2 r çrpnı bulunur. Böylece 2 p pn p n olup, Eş. 2.3 den r ϕ ( n) 2 elde edilir Tnım + k, negtif olmyn bir tmsyı ve n olmk üzere n nin bütün pozitif bölenlerinin k. kuvvetlerinin toplmı olrk tnımlnn fonksiyon bölen fonksiyon denir ve σ k ile gösterilir. Yni + n için; k ( n) d σ k = dn olur. Özel olrk σ ( n) σ ( n) = n nin bölenlerinin toplmını, ( ) σ ( n) τ = n nin bölenlerinin syısını veren fonksiyondur. n 0

19 2.. Örnek n = 2 için ( n), ( n) τ σ ve ( n) σ değerleri şğıdki şekildedir: 2 ( ) σ ( ) τ 2 = 2 = = 6 0 d 2 ( ) σ ( ) σ 2 = 2 = d = = 28 d σ 2 ( 2) = d = = 20 d Tnım k k negtif olmyn bir tmsyı olmk üzere ζ k ( n) = n biçiminde tnımlnn ritmetik fonksiyon kuvvet fonksiyonu denir. Özel olrk k = 0 olmsı durumund ζ = ζ 0 ile gösterilir ve Zet fonksiyonu dını lır. Her n + için ζ ( n) = dir. Aritmetik fonksiyonlr kümesi üzerinde birçok ikili işlem tnımlnbilir. f ve g ritmetik fonksiyonlr olmk üzere f + g toplmı ve f. g çrpımı bilinen kurllr + ile belirlenir. Yni her n için ( f + g)( n) = f ( n) + g( n) ( f. g)( n) = f ( n) g( n) ile tnımlnır. Aritmetik fonksiyonlrın toplm ve çrpımlrı değişme, birleşme ve dğılm özelliklerine shiptir.

20 Aritmetik Fonksiyonlrın Dirichlet Çrpımı Teorem 2.3 de ϕ ( ) µ ( ) n n = d olduğu gösterilmişti. Bu eşitlikte sğ trftki d dn toplm ifdesi syılr teorisinde sık sık krşılşıln bir ypıdır. Bu toplm ifdeleri genel olrk f ve g ritmetik fonksiyonlr olmk üzere; d n f n d ( d ) g ypısınddır Tnım + f ve g ritmetik fonksiyonlr olmk üzere her n için; n h( n) = f ( d) g dn d biçiminde tnımlı h ritmetik fonksiyonun f ile g nin Dirichlet çrpımı (Dirichlet konvolisyonu) denir ve h= f g ile gösterilir [3] Örnek n ( )( ) ( ) k k ζ ζ n = ζ d ζ = d.= d = σ ( n) k k k dn d dn dn olup böylece σ = ζ ζ dir. k k Aşğıd verilen teorem Dirichlet çrpımın cebirsel özelliklerini göstermesi çısındn önemlidir.

21 Teorem f, g ve h ritmetik fonksiyonlr olsun. Bu durumd şğıdki özellikler sğlnır. i) f g = g f (değişme ) ii) ( f g) h f ( g h) = (birleşme ) iii) f ( g h) = ( f g) + ( f h) + (dğılm ) İspt + i) Dirichlet çrpımın tnımındn her n için n f g n = f d g dn d ( )( ) ( ) olup + d, n nin bir böleni olduğundn n= d. k olck biçimde k vrdır. Bu durumd n = kn k ( f g)( n) f g( k) olup özel olrk d = k lınırs n = dn d ( f g)( n) f g( d) n = g( d) f dn d = ( g f )( n)

22 4 bulunur. ii) ( f g) = F ve ( g h) = G olsun. Burdn ( f g) h ( n) [ F h]( n) = = dd3 = n ( ) ( ) F d h d = f d g d h d dd3= n dd2= d 3 ( ) ( ) ( ) 2 3 = dd 2d3= n ( ) ( ) ( ) f d g d h d 2 3 (2.4) ( ) ( ) [ ]( ) f g h n = f G n = dd = n ( ) G( d) f d = f ( d) g( d2) h( d3) dd = n d2d3= d = dd 2d3= n ( ) ( ) ( ) f d g d h d 2 3 (2.5) Eş. 2.4 ve Eş. 2.5 den [( f g) h]( n) = [ f ( g h) ]( n) olduğundn [( f g) h] = [ f ( g h) ] bulunur. + iii) n için

23 5 n f ( g+ h) ( n) = f ( d)( g+ h) dn d n n = f ( d) g + h dn d d n n = f ( d) g + f ( d) h dn d d n n = f ( d) g + f ( d) h d d dn dn ( f g)( n) ( f h) ( n) = + ( f g) ( f h) ( n) = Örnek n =0 için ( f g)( 0 ) ( g f )( 0) = olduğunu gösterelim. 0 f g = f d g d 0 d ( )( 0) ( ) ( ) ( 0) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 0) ( ) = f g + f g + f g + f g ( ) ( 0) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 0) ( ) = g f + g f + g f + g f 0 = g( d) f d 0 d = ( g f )( ) Örnek [ ]( ) [ ( )]( ) n = 0 için ( f g) h 0 = f g h 0 olduğunu gösterelim.

24 6 ( f g) h ( n) = ( f g)( d) h( d ) dd3 = n = f d g d h d dd3= n dd2= d 3 ( ) ( ) ( ) 2 3 ve ( ) ( ) = ( )( )( ) f g h n f d g h d dd = n = f ( d) g( d2) h( d3) dd = n d2d3= d olduğundn ( f g) h ( 0) = f ( ) g( ) h( 0) + f ( ) g( 2) + f ( 2) g( ) h( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( 2) + f g + f g h ( ) ( 0) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 0) ( ) ( ) + f g + f g + f g + f g h ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) f g h 0 f g h 0 g 2 h 5 g 5 h 2 g 0 h ( 2) ( ) ( 5) ( 5) ( ) + f g h + g h ( 5) () ( 2) ( 2) () ( 0) () () + f g h + g h + f g h olup gerekli işlemler ypılrk iki denklemin eşit olduğu bulunur. Şimdi Dirichlet çrpım için birim elemn tnımlylım.

25 Tnım + Her n için δ ( n)= n =, n = 0, n > biçiminde tnımlnn δ fonksiyonun Dirichlet çrpım göre birim fonksiyon denir [] Teorem Her f ritmetik fonksiyonu ve δ Dirichlet çrpımın göre birim fonksiyonu için f δ = δ f = f. İspt n d δ δ. dn d dn n ( f )( n) = f ( d) = f ( d) = f ( n) A ritmetik fonksiyonlrın kümesi olmk üzere (A, +) nın değişmeli bir grup olduğu kolylıkl gösterilebilir. Diğer trftn Dirichlet çrpım tnımındn f, g A için f g A olduğundn kplılık özelliği sğlnır. Teorem 2.6 (i)-(iii) den birleşme, değişme ve dğılm özellikleri sğlnır. Ayrıc Teorem 2.7 den birim mevcuttur. O hlde A, kümesi fonksiyonlrd toplm ve Dirichlet çrpım olrk tnımlnn ritmetik çrpım ikili işlemleri ile değişmeli ve birimli bir hlkdır.

26 Tnım f, bir ritmetik fonksiyon olsun. f g = g f = δ olck şekildeki g ritmetik fonksiyonun f nin Dirichlet tersi denir. f, f () 0 olck şekilde bir ritmetik fonksiyon ise f nin Dirichlet tersi f n = için f () = f () n n > için f ( n) = f f d f dn d () d< n ( ) rekürns bğıntısı ile tnımlnır [] Teorem f ritmetik fonksiyonunun Dirichlet tersi f vrs tektir [4]. İspt Kbul edelim ki; g ve h, f nin Dirichlet tersi oln iki ritmetik fonksiyon olsun. Bu durumd ( ) ( ) g = δ g = h f g= h f g = h δ = h Örnek f ( n) = 3 n + 5 biçiminde tnımlı ritmetik fonksiyon için ( 0) hesplylım. f değerini

27 9 f () 0 olduğundn, f () = = ve 0 un bölenleri, 2, 5 ve 0 f () 8 olduğundn; f 0 ( 0) f = f d () f d 0 d d < 0 ( ) f ( 0) = f ( 0) f ( ) + f ( 5) f ( 2) + f ( 2) f ( 5) f () ( ) () ( ) () ( ) () f 0 f 5 f 2 = f () f ( 2) f 5 f f f ( ) bu ifde düzenlenirse ( ) f 0 =. f ( 2) f ( 5) (2.6) elde edilir. f ( 2) ve f ( 5) yi bulmlıyız. 2 f ( 2) = f f ( d) = f ( 2) f ( ) f d f () d 2 d < 2 () = f f ( 2) () f () olup f ( 2) = = 88 64

28 20 bulunur. 5 f ( 5) = f f ( d) = f ( 5) f ( ) f d f () d 5 d < 5 () = f f ( 5) () f () burdn f ( 5) = = bulunur. ( 2) f ve f () 5 Eş 2.6 eşitliğinde yerine yzılırs ( ) ( 2) f = f f ( 5) = olup ( 0) f = 6 5 bulunur Teorem f ve g iki ritmetik fonksiyon olsun. f ( ) 0 ve ( ) 0 g olmk üzere ( ) f g = f g.

29 2 = Teorem 2. den µ ( d) δ ( n) olup burd Dirichlet çrpım ve ( n) d n + tnımındn her n için; ζ nin ( µ ζ )( n) = µ ( d) ζ = µ ( d) = δ ( n) dn n d dn elde edilir. O hlde ζ ve µ fonksiyonlrı birbirlerinin Dirichlet tersi olup ζ = µ ve µ = ζ dir. Möbius fonksiyonunun bu temel özelliği Dirichlet fonksiyonunun birleşme özelliği de kullnılrk şğıd ifde edeceğimiz teoremin isptınd kolylık sğlycktır Teorem (Möbius İnversiyon Formülü) f bir ritmetik fonksiyon olsun. Her n + g( n ) = d n n ( f ( n) = µ ( d) g dn d f d) = µ ( ) ( ) dn n g d d İspt ( ): n + için; ( ) g n = d n f ( d) olsun.

30 22 n µ ( d) g = µ ( d ) g d d dn dd 2= n = = = dd 2= n dd2 ddn dn µ ( d ) n d d ( ) 2 ( ) µ ( d ) f d f( d) µ ( ) f d ( d ) (2.7) Eş. 2.7 eşitliğinde son ifdede f ( d ) nin ktsyısı durumund oln ikinci toplm, n d olur. İkinci bir yöntem olrk Teorem 2. e göre = ( n = d ) dışınd sıfırdır. Böylece Eş. 2.7 eşitliği ( n) f e eşit g( n ) = d n ( ise g = f ζ olup f d) ( ) ( ) g µ = f ζ µ = f ζ µ = f δ = f. ( ): f ( n) g( d) n = µ dn d olsun. Dirichlet çrpımın tnımındn ifde f = g µ + biçiminde yzılbildiğinden her n için; ( ) ( ) f ζ = g µ ζ = g µ ζ = g δ = g elde edilir. Bu ise; n g n f d ζ f d dn d dn ( ) = ( ) = ( ) olmsı demektir.

31 23 Teorem 2.2 ve Teorem 2.3 de isptldığımız eşitlikler Möbius İnversiyon formülü kullnılrk de ifde edilebilir. Yni ( n) n = ϕ ( d ) dn ϕ = d n d n d µ = ( d ) d n n µ. d + Yine Möbius İnversiyon formülünden her n için σ k ( n)= d n k k d = n ( ) d n n σ k d µ. d 2.3. Çrpımsl Fonksiyonlr f () 0 oln f ritmetik fonksiyonunun tersi Tnım 2.8 de verildi. A ritmetik fonksiyonlrın kümesinin bir lt kümesi oln f ( ) 0 biçimindeki bütün ritmetik fonksiyonlrın kümesi, Dirichlet çrpım göre bir değişmeli gruptur. Bu grubun lt gruplrındn biri oln çrpımsl fonksiyonlrın kümesi şğıdki şekilde tnımlnır Tnım, f özdeş olrk sıfır olmyn bir ritmetik fonksiyon olmk üzere (, n) = + her mn, için; m oln ( mn) f ( m) f ( n) f = (2.8) eşitliği gerçekleşiyors f ritmetik fonksiyonun çrpımsl (çrpnlnbilir) + fonksiyon denir. Eğer Eş. 2.8 ifdesi bütün mn, için sğlnıyors, bu tkdirde f ritmetik fonksiyonun tm çrpımsl (tm çrpnlnbilir) fonksiyon denir.

32 Örnek k Tnım 2.5 de tnımlnn ζ k ( n) = n kuvvet fonksiyonu tm çrpımsl bir fonksiyondur. Yine ζ k nın özel hli olrk tnımlnn ζ fonksiyonu d tm + çrpımsl fonksiyondur. Gerçekten her mn, için; ( mn) = ( mn) k = m k n k = ( m) ( n) ζ ζ ζ k k k olup, k = 0 lındığınd d ζ nın tm çrpımsl olduğu çıktır Örnek Dirichlet çrpımının δ birim fonksiyonu tm çrpımsldır. Gerçekten m = n = için δ ( mn)= = ( m) δ δ ( n) olur. Eğer m vey n den en z birisi den frklı ise bu durumd ( mn) δ ( m) vey ( n) δ fonksiyonlrındn herhngi biri 0 olcğındn δ. = 0 olup δ ( mn)= ( m) δ δ ( n) bulunur Örnek Möbius fonksiyonu çrpımsl nck tm çrpımsl değildir. Gerçekten m = n = için µ ( mn)= = ( m) µ µ ( n)

33 25 olur. Ayrıc ( mn, ) = olmk üzere eğer m y d n den en z birisi tm kre çrpn içeriyors µ ( m) vey µ ( n) den biri 0 olup µ ( mn)= 0= ( m) µ µ ( n) Diğer bir durum ise; olmk üzere p i ve q i syılrı yrık sllrı için m... = p ps ve n = q... qt µ ( m) = ( ) s ve µ ( n) = ( ) t olup µ ( m.n)= ( ) s+ t = µ ( m) µ ( n) olur ve böylece µ çrpımsldır. µ nün tm çrpımsl olmdığını göstermek için ksine bir örnek vermek yeterli olcktır. µ ( 4) =0 olduğu hlde µ ( 2) ( 2) m = n = 2 için µ = olup µ ( mn) µ ( m) µ ( n) olduğundn µ tm çrpımsl değildir Örnek Euler ϕ fonksiyonu çrpımsl nck tm çrpımsl değildir. Gerçekten Teorem 2.5 (c) seçeneğinden Euler ϕ fonksiyonunun çrpımsl olduğu söylenebilir. Anck ϕ ( 4 ) =2 olduğu hlde ϕ ( 2) ( 2) ϕ = olup m = n = 2 için ϕ ( mn) ϕ ( m) ϕ ( n)

34 26 olduğundn Euler ϕ fonksiyonu tm çrpımsl değildir Örnek f ve g iki ritmetik fonksiyon olmk üzere; ( f. g)( n) = f ( n) g( n) ve ( ( n) 0) g olmk üzere f g ( n) = f g ( n) ( n) işlemleri tnımlnsın. Eğer f ve g çrpımsl fonksiyonlr ise ( f. g ) ve f g fonksiyonlrı d çrpımsl; eğer f ve g tm çrpımsl fonksiyonlr ise( f. g ) ve f g fonksiyonlrı d tm çrpımsldır. 2.. Teorem f fonksiyonu çrpımsl ise bu durumd f ( ) = dir. İspt Her n + için (,) = olrk n = olup f çrpımsl olduğundn f ( n) f ( ) f ( n) yzılır. Ayrıc f çrpımsl olduğundn sıfırdn frklı bir fonksiyon olup f ( ) = bulunur.

35 Teorem f fonksiyonu f () = oln bir ritmetik fonksiyon, p i ler sl syılr ve i olck şekilde tmsyılr olmk üzere; ) f çrpımsl ( ) ( ) ( ) r... r f p pr = f p... f pr b) f çrpımsl olsun. f tm çrpımsl ( ) ( ) için). f p = f p (tüm p sllrı ve 2.3. Teorem f ve g çrpımsl fonksiyonlr olsun. Bu durumd f g de çrpımsldır. İspt h f g = ve ( n) m, = olmk üzere mn = f c g cmn c ( ) ( ) h mn olup burd mn nin her c böleni c = b biçiminde ve m ve b n dir. Ayrıc m n, = ve, =. b ( b) Burdn

36 28 mn h( mn) = f ( b) g b mn b m n = f ( ) f ( b) g g b m bn m n = f ( ) g f ( b) g b m ( ) ( ) = h m h n bn Böylece ( f g)( mn) ( f g)( m) ( f g)( n) = elde edilir. 2.. Uyrı İki tm çrpımsl fonksiyonun Dirichlet çrpımlrının tm çrpımsl olmsı gerekmez. Gerçekten, ζ ve ζ fonksiyonlrı tm çrpımsl olduğu hlde σ = ζ ζ olmk k k k üzere σ k tm çrpımsl bir fonksiyon değildir. m = 2 ve n = 8 değerleri için ( mn) ( m) ( n) σ σ σ olduğundn sonuç olrk iki tm çrpımsl fonksiyonun k k k Dirichlet çrpımlrının tm çrpımsl olmsı gerekmez 2.4. Teorem g ve f g fonksiyonlrı çrpımsl ise bu durumd f de çrpımsldır.

37 29 İspt f çrpımsl olmdığınd tmmlnmış olur. şekildeki h f g f g nin de çrpımsl olmdığını gösterirsek ispt = olsun. f çrpımsl olmdığındn ( n) m, n pozitif tmsyılrı için m, = olck ( ) f ( m) f ( n) f mn dir. Eğer = mn ise f () f ( ) f ( ) olup ( ) f bulunur. h () = f () g() = f () olup, burdn h nın çrpımsl olmdığı sonucu elde edilir. Eğer mn > ise bu durumd ( b, ) = olck şekildeki b, pozitif tmsyılrı ve b ( b) f ( ) f ( b) f = lınbilir. < mn için mn h mn f b g f mn g b ( ) = ( ) + ( ) ( ) m bn b< mn m n = f f b g g + f mn b m bn b< mn m ( ) ( ) ( ) m n = f g f b g f m f n + f mn b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bn = h m h n f( m) f( n) + f( mn) Burdn ( mn) f ( m) f ( n) f olduğundn ( mn) h( m) h( n) h

38 30 olup h çrpımsl değildir Teorem g çrpımsl fonksiyon ise bu durumd g nin Dirichlet tersi g de çrpımsldır. İspt ( g ) g = δ olup g ve δ fonksiyonlrı çrpımsl olduğundn Teorem 2.4 den g de çrpımsldır Teorem f bir çrpımsl fonksiyon olsun. f tm çrpımsl f = µ f İspt ( ) + : f, tm çrpımsl fonksiyon olsun. Bu durumd her n için; n f = n = = = = dn d dn 0, n ( µ f f )( n) µ ( d) f ( d) f f ( n) µ ( d) ( ) olup, µ f f = δ bulunur. ( ): f = µ. f olsun. p sl syısı ve f p = k tmsyısı için ( k ) ( ) k olduğunu gösterirsek Teorem 2.2 den tm çrpımsllık gösterilmiş olur. k = için k eşitlik vrdır. k 2 için ( ) = k p f ( p) f olsun. k 2 için f p

39 3 k k k ( ) µ ( ) ( ) f p p f p = = 0 ve f ( p) = µ ( p) f ( p) = f ( p) olduğundn k ( f f )( p ) 0 = p k = f ( d) f k dp d k k () ( ) ( ) ( ) = f f p + f p f p k k ( ) ( ) ( ) = f p f p f p k ( ) ( ) ( ) = f p f p f p k ( ) ( ) = f p f p k k f p = f p olduğundn f tm çrpımsldır. O hlde; ( k ) ( ) k 2.7. Teorem f bir çrpımsl fonksiyon, p sl syı ve k 2 tmsyı olmk üzere f k ( p ) = 0 f tm çrpımsl fonksiyondur Teorem f, g, h ritmetik fonksiyonlr ve f bir çrpımsl bir fonksiyon olsun.

40 32 f tm çrpımsl fonksiyon f ( g h) = fg fh 2.0. Tnım + n olmk üzere Λ ( n) ( ) m log p, n= p m = 0, diğer durumlrd ile tnımlnn ritmetik fonksiyon Mngoldt fonksiyonu denir. den 0 kdr oln syılrın Mngoldt fonksiyonu ltınd görüntüleri şğıd verilmiştir n Λ ( n ) 0 log 2 log 3 log 2 log 5 0 log 7 log 2 log Teorem + Her n için log n (2.9) = Λ( d ) d n İspt n = ise log = 0 = Λ() dir. n > ve n = p r k = k k ise

41 33 log n = r k = k log p k Λ d n olur. ( ) d ifdesinde sıfırdn frklı terimler n nin d bölenleri rsındn m p k, m=,2,..., k k =,2,..., r biçiminde olnlrdn gelmektedir. Bu durumd r k r k r m Λ ( d) = Λ ( pk ) = log pk = k log pk = log n. d n k= m= k= m= k= Teorem + Her n için n Λ µ d ( n) = µ ( d ) log = ( d ) log d d n d n İspt Eş. 2.9 eşitliğine Möbiüs İnversiyon Formülü uygulnırs ( n) µ ( d) Λ = dn ( ) ( ) ( ) log ( ) ( d) n log d = log n µ d µ d log d dn = δ n n µ d log d = dn µ dn log d dn elde edilir.

42 Tnım p, p2,, p k sl syılr olmk üzere her... k n= p p k pozitif tmsyısı için, n = λ ( n) = ( ) k k, n = p... pk biçiminde tnımlnn fonksiyon Liouville fonksiyonu denir [] Teorem Liouville fonksiyonu tm çrpımsldır. İspt m = n = ise ( mn) = () = () () = ( m) ( n) λ λ λ λ λ λ p p k b = k m bt n= p p t olsun. Bu durumd λ ( m) = ( ) + + k ve λ ( n) = ( ) b + + b t olup, + + k+ b+ + bt ( mn) = ( ) = ( m) ( n) λ λ λ elde edilir.

43 Teorem + Her n için dn λ ( d ), n kre ise = 0, diğer durumlrd ve ( ) = ( ) λ n µ n İspt g( n) λ ( d ) olsun. Bu durumd g çrpımsldır. Böylece g ( ) = d n incelemek yeterli olcktır. p değerlerini 2 ( ) = λ( ) = + λ( ) + λ( ) λ( ) g p d p p p dp ( ) = , tek =, çift Eğer n = k i= p i i k i ise g( n) = g( p ) i= i olur. Burd eğer i lerden en z biri tek ise p i i bu durumd ( ) = 0 p i i için ( ) = g olcğındn ( n) = 0 g olup ( n) = ise g ( n) =, ksi tkdirde ( n) = 0 g olur. Eğer i lerin hepsi çift ise her i g olur. Burdn d nlşılcğı gibi eğer n bir tm kre g olur. λ tm çrpımsl fonksiyon olduğundn Teorem 2.6 dn

44 36 ( ) = ( ) ( ) λ n µ n λ n olur. Ayrıc µ ( n) λ ( n) µ 2 ( n) µ ( n) = = olduğundn eşitlik çıktır Dirichlet Serileri ve Üreteç Fonksiyonlr 2.2. Tnım f ritmetik bir fonksiyon ve s bir reel syı olmk üzere n= ( ) ( ) ( 2) ( ) f n f f f n = (2.0) s s s s n 2 n ile tnımlnn seriye f fonksiyonunun Dirichlet serisi denir. Doğl olrk her s reel syısın krşılık bir Dirichlet serisi elde edilecektir. Anck bu serilerin mutlk ykınsk olmsı beklenemez. Eş. 2.0 eşitliğindeki seri s 0 reel + syısı için mutlk ykınsk olsun. n ve s s0 için f ( n) f( n) f( n) f( n) = = s s s0 s0 n n n n olup, Krşılştırm Testinden her s s0 için seriler mutlk ykınsk olur.

45 Tnım f fonksiyonunun Dirichlet serisi s s değerleri için mutlk ykınsk ise bu serinin o ykınsdığı fonksiyon f ritmetik fonksiyonunun üreteç fonksiyonu denir. ζ ritmetik fonksiyonunun Dirichlet serisi ( n) ζ = = n n 2 n s s s s s n= n= olup, bu seri s > için ykınsk ve s için ırksktır. s > için tnımlnn bu fonksiyon Riemnn Zet fonksiyonu denir ve ζ ( s) ile gösterilir Teorem f ve g ritmetik fonksiyonlr olsun. f ve g nin Dirichlet serileri mutlk ykınsk ve s> s için o ( n) g( n) f n = s n= n= n s ise f = g dir Teorem f ve g ritmetik fonksiyonlrının üreteç fonksiyonlrı sırsıyl f ( n) ( ) = ve G( s) F s n= n s n= ( ) g n = s n

46 38 s> s 0 için mutlk ykınsk olsun. Bu tktirde s> s0 için i) ( f + g) nin üreteç fonksiyonu F + G dir. ii) ( f g ) nin üreteç fonksiyonu FG. dir. iii) Eğer f vrs f nin üreteç fonksiyonu F dir. 2.. Örnek ( ) ζ ( n) ζ (, ) 2 s. s ζ s = = = s s> n= n n= n 2.2. Örnek σ = ζ ζ olduğundn Teorem 2.24 (ii) den ( n) ( )( n) σ ζ ζ = s = ζ s ( s ) ζ ( s) s> n= n n= n, Örnek ( s) ( s) ζ µ ( ζ µ )( n) δ ( n) = = = s n n s n= n= olup n= µ ( n) n s = µ ( s) = ζ ( s)

47 39 bulunur. Ayrıc ζ = µ olduğundn Teorem 2.24 (iii) den de çıktır Örnek ϕ = ζ µ olduğundn Teorem 2.24 (ii) den ( n) ( )( n) ( s ) s s n n n ζ ( s) ϕ ζ µ ζ = =, s > 2 n= = Teorem f çrpımsl bir ritmetik fonksiyon ve f fonksiyonunun Dirichlet serisi s> s0 için mutlk ykınsk olsun. Bu durumd s> s0 için 2 f ( n) f ( p) f ( p ) s s 2s n= = n p p p dir. Bu ifdeye f fonksiyonunun Dirichlet serisinin Euler Çrpımı denir. Eğer f tm çrpımsl ise s> s0 için n= ( ) f n = s n f p p p ( ) s olur [] Örnek f ( n ) olrk sırsıyl ζ ( n), µ ( n), ϕ( n) ve λ ( n) çrpımsl fonksiyonlrı lınırs, Dirichlet serilerinin Euler çrpımlrı

48 40 ζ ( s) ( n) ζ = =, s = s s > n= n n= n p s p ( n) µ =, s s s ( s) = > ζ n= n p p ( ) ( ) n= ( ) s ζ s ϕ n p = =, s 2 s > s ζ s n p p ( s) ( ) n= ( n) ζ 2 λ = =, s s > s ζ s n + p p

49 4 3. BİRİMSEL ÇARPIM Bu bölümde birimsel bölen kvrmı, özellikleri ve fonksiyonlrın birimsel çrpımının bzı özellikleri incelenmiştir. Birimsel bölen fikri, ilk olrk Vidynthswmy [5] trfındn orty tılmıştır. Vidynthswmy, birimsel bölen kvrmını blok-çrpn olrk dlndırmıştır. Şimdi kullnıln "birimsel bölen" terimini litertüre Eckford Cohen kzndırmıştır. 3.. Aritmetik Fonksiyonlrın Birimsel Çrpımı 3.. Tnım n dn, ve d, n nin bir böleni olmk üzere d, = d olck şekildeki d bölenlerine, n nin birimsel bölenleri (üniter bölenleri) denir ve d n şeklinde gösterilir [6]. Açık olrk (, n ) = olduğundn, n nin en küçük birimsel böleni, n de kendisinin en büyük birimsel bölenidir. Bunlr dışınd n nin şikr olmyn birimsel bölenleri n nin sllrın kuvvetinden oluşn çrpnlrının birimsel özelliği tşıynlrındn gelmektedir [7] Tnım d, n tmsyılr ve d > 0 olsun. n nin birimsel bölenleri rsındn d nin bölenleri olnlrın en büyüğüne d ve n tmsyılrının en büyük ortk birimsel böleni denir ve ( dn, ) ile gösterilir. Hnsen ve Swnson [8], d ve n tmsyılrının en küçük ortk birimsel ktını dn. [ dn, ] = şeklinde tnımlmışlrdır. ( dn, )

50 42 3..Teorem Eğer b ve b c ise bu durumd c dir Teorem Birimsel bölenler çiftler hlinde bulunur. Eğer d, n için bir birimsel bölen ise n d de n için birimsel bölendir Teorem n tmsyısının knonik formd yzılışı r n= p α olmk üzere d, n için birimsel i= i i bölen ise r i d = p β i olup burd β i = 0 vey βi = αi dir. i= 3.3. Tnım d, n olmk üzere eğer ( dn, ) = ise d ile n tmsyılrın yrı sl denir Teorem p bir sl syı olsun. Eğer dir. < b ise ( p, p b ) =, eğer b p, p = b b ise ( ) p 3.5. Teorem d, n nin bir birimsel böleni olsun. Bu durumd yeter şrt n = d olmsıdır. n, n = d olmsı için gerek ve

51 Teorem d ve n tmsyılrı için ( ) ( nd,, d) ( nd, ) = dir Teorem n nin bir d böleninin r nin birimsel böleni olmsı için gerek ve yeter şrt d ( n, r ) olmsıdır. Eğer (, ) n r d n r ve, = d d ise bu durumd d = ( n,r) dır Teorem b, ise bu durumd, = dir. d d Eğer ( b) = d 3.9. Teorem ( st, ) = olsun. ( xs, ) = ( xt, ) = ise ( xst ), = dir Teorem Eğer b( mod r) ise ( r, ) ( br, ) = dır. Bu özelliklerle verilen birimsel bölen kvrmı bizi ritmetik fonksiyonlrın birimsel çrpımı kvrmın götürecektir Tnım + f ve g herhngi iki ritmetik fonksiyon ve n olsun.

52 44 n f g n = f d g d n d ( )( ) ( ) ile tnımlı ritmetik fonksiyon, f ile g nin birimsel çrpımı (üniter konvolüsyonu) denir ve f g ile gösterilir [9]. Birimsel çrpımın tnımındn değişmeli ve birleşmeli olduğu kolylıkl gösterilebilir Eğer n sl çrpnlrının kre vey dh büyük kuvvetlerini içermiyors bu durumd n nin her bir böleni ynı zmnd n nin birimsel bölenidir. Bu nedenle n nin hiçbir böleni kreli ifde içermiyors bu noktd birimsel çrpım ile Dirichlet çrpım çkışır. Dirichlet çrpımın birimi oln δ ynı zmnd birimsel çrpım için de birimi ifde eder. A ritmetik fonksiyonlr kümesi olmk üzere her f A için f δ = δ f = f dir. 3.. Teorem (A,+, ) sıfır bölenli, değişmeli bir hlkdır. İspt Birimsel çrpımın değişme, birleşme ve dğılm özelliklerini sğldığı çıktır. Ayrıc δ birim elemnı ile (A,+, ) değişmeli ve birimli bir hlkdır. Sıfırdn frklı iki ritmetik fonksiyon; z ()= r, r = 2 0, r 2 z 2 ()= r = 0, r = 2, r 2

53 45 biçiminde tnımlnsın. ( z z 2 ) sıfır fonksiyon olup (A,+, ) sıfır bölenlidir Tnım f ritmetik fonksiyonunun birimsel çrpım ltınd tersine f nin eşlenik (conjugte) fonksiyonu denir ve conj ( f ) ile gösterilir. Dirichlet çrpımdki gibi burd d conj ( f ) olmsı için gerek ve yeter şrt f ( ) 0 olmsıdır Teorem Eğer f ve g çrpımsl fonksiyonlr ise f g de çrpımsldır. 3.. Sonuç Eğer f çrpımsl fonksiyon ise f ( d ) de çrpımsl fonksiyondur d n 3.3. Teorem Eğer f çrpımsl fonksiyon ve r nin knonik formd gösterimi r = p ise pr f ( d) = + f p. dr p / n, = ( nd) ( ( )) 3.6. Tnım wn ( ), n tmsyısının sl çrpnlrının syısını göstermek üzere ( w () = 0 ) µ ( n) = ( ) wn ( )

54 46 biçiminde tnımlı ritmetik fonksiyonun birimsel benzer (unitry nlogue) Möbius fonksiyonu denir ve µ ile gösterilir Teorem µ birimsel benzer Möbius fonksiyonu çrpımsldır Teorem + Her n için d n, n = µ ( d ) = 0, n yni ( ) µ ζ ( n) = δ( n) dir [7]. Bu teoremden, ζ fonksiyonun birimsel çrpım göre tersinin µ birimsel benzer Möbius fonksiyonu olduğu görülmektedir Teorem (Birimsel Benzer Möbius İnversiyon Formülü) + f bir ritmetik fonksiyon olmk üzere her n için n g( n) = f ( d) f ( n) = µ ( d) g d n d n d.

55 Teorem Eğer g çrpımsl bir fonksiyon ve g( n) f ( d) fonksiyondur. = ise f de çrpımsl bir d n Yine r modülüne göre indirgenmiş kln sınıfın birimsel benzer yrı indirgenmiş kln sınıfı krşılık gelecektir Tnım r ile yrı sl ve r modülüne göre kln sınıfının elemnı oln tmsyılrın kümesine r modülüne göre yrı indirgenmiş kln sınıfı denir Teorem x, r modülüne göre yrı indirgenmiş kln sınıfının elemnı ve ( r, ) = ise x değerleri de r modülüne göre yrı indirgenmiş kln sınıfının elemnı olur Tnım n ile yrı sl oln ve n den küçük vey n ye eşit pozitif tmsyılrın syısını veren fonksiyon birimsel benzer Euler ϕ fonksiyonu denir ve ϕ ile gösterilir Teorem n tmsyısı için n ϕ ( d) = dir. d n

56 Teorem ϕ fonksiyonu çrpımsldır Teorem n pozitif tmsyısı için ( n) d n ( d ) µ ϕ = n dir. d Teorem r pozitif tmsyısının knonik gösterimi r = p olsun. Bu durumd pr ( r) ( p ) ϕ = pr dir. Dirichlet çrpım benzer olrk τ ( n) = n nin birimsel bölenlerinin syısını; σ ( n) = d n nin birimsel bölenlerinin toplmını göstermektedir. d n d n Teorem σ fonksiyonu çrpımsldır Teorem wn ( ) n tmsyısının sl çrpnlrının syısını göstermek üzere her n pozitif tmsyısı için

57 49 ( n) τ = ( ) wn 2. İspt s n= p ( s,, i, 2,..., s) i= i i = olsun. Burdn wn ( ) i = s olur. t, n pozitif tmsyısının birimsel böleni ise t = vey tne birimsel bölen vrdır. Bu durumd j s i t = pi, j s dir. t için i= j τ s s s s wn ( ) = = + = 2 = 2. j= 0 j ( n) ( ) Benzer olrk her s n= p ( s,, i =, 2,..., s) pozitif tmsyısı için i= i i i σ ( n) s = ( + p i ) i= i dir [7].

58 50 4. İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR 4.. İki Değişkenli Aritmetik Fonksiyonlr 4.. Tnım + + F : ile tnımlnn F fonksiyonun iki değişkenli ritmetik fonksiyon denir, n, n2 + olmk üzere (, 2) F n n ile gösterilir [7]. Tek değişkenli ritmetik fonksiyonlr için geçerli oln özelliklerin bir kısmı iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr için de kolylıkl gösterilebilir. İlk olrk iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrın çrpımsllık özelliği üzerinde durulcktır Tnım F, özdeş olrk sıfır olmyn iki değişkenli bir ritmetik fonksiyon olmk üzere ( i j) m, n = oln her m, n ( i, j 2) pozitif tmsyılrı için i j (, ) (, ) (, ) F mn m n = F m m F n n (4.) eşitliği sğlnıyors F ritmetik fonksiyonun çrpımsl fonksiyon denir. Eğer bütün m, n ( i, j 2) pozitif tmsyılr için Eş. 4. eşitliği sğlnıyors F i j fonksiyonun tm çrpımsl fonksiyon denir [3]. Bzı kynklrd ( i j) verilmektedir. m, n =, ( i, j 2) şrtı yerine ( ) mm, nn = 2 2

59 Tnım g, h tek değişkenli çrpımsl ritmetik fonksiyonlr olmk üzere her mn, pozitif tmsyılrı için (, ) = g( m) h( n) F m n biçiminde tnımlnn iki değişkenli F fonksiyonun yrı-çrpımsl fonksiyon denir ve F = ( g: h) ile gösterilir. Tek değişkenli ve iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr rsınd bzı temel benzerlikler şğıd verilmiştir. Eğer F iki değişkenli ritmetik fonksiyonu çrpımsl ise bu durumd (, ) = (.,.) = (, ) (,) F m m F m m F m m F olup F ( ), = dir Tnım + F ve G iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr olmk üzere her mn, için m n F G m, n = F d, e G, dm en d e (4.2) ( )( ) ( ) biçiminde tnımlı iki değişkenli ritmetik fonksiyon F ile G iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrının Dirichlet çrpımı denir ve F G ile gösterilir [0].

60 52 İki değişkenli ritmetik fonksiyonlr için Dirichlet çrpımın değişme ve birleşme özelliklerini sğldığı kolylıkl gösterilebilir. Ayrıc Dirichlet çrpımının birim elemnı tek değişkenli ritmetik fonksiyonlrın birimi cinsinden, m= n= = = 0, diğer durumlrd ( δ : δ)( mn, ) δ ( m) δ ( n) eşitliği ile tnımlnır [7] Tnım F iki değişkenli ritmetik fonksiyon olmk üzere F G = G F = ( δ : δ ) olck şekildeki iki değişkenli G ritmetik fonksiyonun F nin Dirichlet tersi denir ve G = F ile gösterilir. 4.. Teorem F iki değişkenli ritmetik fonksiyonunun Dirichlet tersinin olmsı için gerek ve yeter şrt F (,) 0 olmsıdır Teorem F, G iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr ve f, g tek değişkenli ritmetik fonksiyonlr olsun. Eğer F (,) 0, G (,) 0 ve f ( ) 0, () g 0 ise

61 53 ( F G) = F G ve ( ) f g = f g : :. İki değişkenli ritmetik fonksiyonlr için ( F G)( mn) F( mn) G( mn) ( F)( mn) F( mn) ( mn) +, =, +,,, =,, 0, = 0. Sonuç olrk iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrın kümesi fonksiyonlrd toplm ve Eş. 4.2 eşitliğinde verilen Dirichlet çrpım ile birimli ve değişmeli bir hlkdır Teorem F, G ve H iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr olsun. F tm çrpımsl fonksiyon ise ( ) F G H = FG FH. İspt F tm çrpımsl fonksiyon. Bu durumd m n F G H m, n = F m, ng d, t H, dm tn d t ( ( ))( ) ( ) ( ) m n m n = F( d, t) F, G( d, t) H, dm tn d t d t m n m n = F( d, t) G( d, t) F, H, dm tn d t d t = ( FG FH )( m n),. m k i = p α i ve i= n k i = p β i olsun. Eğer (, ) i= F mn çrpımsl ise bu durumd

62 54 k α (, ) (, ) i βi i i F m n = F p p i= Eğer F( m, n ) tm çrpımsl ise bu durumd k α (, ) (,) i (, ) F m n = F pi F pi i= β i dir [3] Teorem F, G iki değişkenli ritmetik fonksiyonlr olsun. Eğer F ve G çrpımsl fonksiyonlr ise F G de çrpımsldır. İspt F ve G çrpımsl fonksiyonlr olsun. ( mi nj ), = ( i, j 2) olmk üzere mn mn F G mn m n = F d d G d d ( )( ) ( ) 2 2, 2 2, 2,. d mn d2 m2n2 2 ( ) mn 2 2 = F b, cd G, m cm2 b cd bn dn2 ( ) ( ) mn 2 2 = F, c F b, d G, G, m cm c b d 2 bn dn2 ( ) ( ) m m n n m m n n 2 2 = F, c G, F b, d G, m c bn b d cm2 dn2 = ( F G)( m, m )( F G)( n, n ). 2 2

63 Tnım m ve n pozitif tmsyılr olsun. Her, ritmetik fonksiyonu, ζ fonksiyonu yrdımıyl mn syılrı için (, ) U m n iki değişkenli (, ) = ( ζ : ζ) (, ) = ζ ( ) ζ ( ) U m n m n m n ile tnımlnır [3] Tnım m, n pozitif tmsyılr ve µ Möbius fonksiyonu yrdımıyl ( mn, ) = ( : )( mn, ) = ( m) ( n) µ µ µ µ µ biçiminde tnımlnn fonksiyon iki değişkenli µ Möbius fonksiyonu denir []. U ve µ iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrı için ( ) ( ) µ U = µ : µ ( ζ : ζ) = δ : δ olduğundn U ve µ fonksiyonlrı birbirlerinin Dirichlet tersi olup U = ( µ ) ve µ = U dir.

64 Teorem ( İki değişkenli fonksiyonlr için Möbius inversiyon formülü ) F iki değişkenli bir ritmetik fonksiyon olsun. Her n, n2 + için n n G( n, n ) F( d, d ) F( n, n ) G( d, d ) µ, 2 2 = 2 2 = 2 d n d2 n2 d n d2 n d 2 d2 n n µ ( d, d ) G, d d 2 = 2 d n d2 n2 2 İspt ( ): G = F U olsun. ( ) ( ) G µ = F U µ = F U µ = F( δ : δ) = F. ( ) : F = G µ olsun. F U = ( G µ ) U = G( µ U) = G( δ : δ) = G. 4.. Örnek 6 8 F U 6,8 = F d, d2 U, d6 d2 8 d d 2 ( )( ) ( ) d 6 ( F( d, ) F( d,2 ) F( d,4 ) F( d,8) ) = (,) (,2) (,4) (,8) ( 2,) ( 2,2) ( 2,4) ( 2,8) = F + F + F + F + F + F + F + F ( 3,) ( 3, 2) ( 3, 4) ( 3,8) ( 6,) ( 6, 2) ( 6, 4) ( 6,8) + F + F + F + F + F + F + F + F 4.8. Tnım f tek değişkenli bir ritmetik fonksiyon olmk üzere

65 57 ( ) P f f ( n), m= n ( m, n) = 0, diğer durumlrd ile tnımlı P ( f ) fonksiyonun f nin ess (principl) fonksiyonu denir [0] Teorem f, g tek değişkenli iki ritmetik fonksiyon ve bunlrın ess fonksiyonlrı P( f ) ve Pg ( ) olmk üzere ( ) ( ) = ( ) P f P g P f g. İspt Eğer m = n ise bu durumd m n, =,, dm en d e ( P( f ) P( g) )( m n) P( f )( d e) P( g) n = f ( d) g dn d = ( f g)( n) ( )(, ) = P f g m n Eğer m n ise ess fonksiyonun tnımındn ( f g)( m n)= 0 ve P ( f )( m, n) = 0, P ( g)( m, n) = 0 P, olup böylece

66 58 ( P ( f ) P( g) )( m, n) = 0 olur. Her iki durum için de ( P ( f ) P( g) )( m, n) = P( f g)( m, n) olup ( P ( f ) P( g) ) = P( f g) elde edilir. Benzer şekilde f, tek değişkenli ritmetik fonksiyon ve f nin Dirichlet tersi f vrs ( ) = P( f ) P f biçimindedir Örnek f, g ve h tek değişkenli ritmetik fonksiyonlr olsun. ( P ( f )( g : h) ) fonksiyonu ve f (), g(), h () sıfırdn frklı olmk üzere ve ( P ( f ) ( g : h) ) tersini bullım. fonksiyonunun

67 59 m n :, =, :, dm en d e ( P( f ) ( g h) )( m n) P( f )( d e) ( g h) m n = f ( d) g h dm dn d d m n = f ( d) g h d m n d d (, ) Teorem 4.2 den ( P( f )( g: h) ) ( m, n) = P( f ) ( g: h) ( m, n) ( )( : )(, ) = P f g h m n m n = P( f )( d, e)( g : h ), dm en d e (, ) ( ) m n = f d g h d m n d d 4.2. İki Değişkenli Aritmetik Fonksiyonlrın Dirichlet Serileri ve Üreteç Fonksiyonlrı 4.9. Tnım F iki değişkenli bir ritmetik fonksiyon ve s, s 2 reel syılr olmk üzere F ( n, n ) 2 s2 n= n2= n s n2 ile tnımlnn seriye iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrın Dirichlet serisi denir [0].

68 Teorem F ve G ritmetik fonksiyonlrının üreteç fonksiyonlrı sırsıyl DF ve DG olsun. Yni; ( ) DF s s (, ) F n n 2, 2 s s2 n= n2= n n2 =, DG ( s s2) = (, ) G n n 2, s s2 n= n2= n n2 olmk üzere DF + DG de ( F + G) nin üreteç fonksiyonudur Teorem F ve G ritmetik fonksiyonlrının üreteç fonksiyonlrı sırsıyl DF ve DG olsun. ( ) DG ( s s ) 2 2 ( F G)( n, n ) 2 s s2 n= n2= n n2 = DF s, s,. Bzı iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrın üreteç fonksiyonlrı şğıd verilmiştir Örnek U = ( ζ : ζ) iki değişkenli ritmetik fonksiyonunun üreteç fonksiyonu ( ) U n, n = = = ζ 2 s s 2 s s 2 s s2 n= n2= n n2 n= n2= n n2 n= n n2= n2 ( s ) ζ ( s ) Örnek µ = ( µ : µ ) iki değişkenli ritmetik fonksiyonunun üreteç fonksiyonu

69 6 ( n n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) µ, µ µ µ µ = s s = 2 s s 2 s = s2 n= n2= n n2 n= n2= n n2 n= n n2= n2 ζ s s2 ( ) ζ ( ) 4.5. Örnek ( δ : δ ) iki değişkenli ritmetik fonksiyonunun üreteç fonksiyonu ( δ : δ)( n, n ) ( δ : δ)(,) 2 s s2 s s2 n= n2= n n2 n= n2= = =. Diğer trftn Teorem 4.8 de F üreteç fonksiyonu bulunur. = U ve G = µ lınrk ( δ : δ ) birim fonksiyonunun 4.6. Örnek ( n, n ) 2 ( n n ),, 2 = = 0, diğer durumlrd eşitliği ile tnımlnn iki değişkenli ritmetik fonksiyon için üreteç fonksiyonu ( n, n2) ζ ( s) ζ ( s2) = s s2 ζ ( + ) n n s s n= n2= 2 2. Gerçekten

70 62 ζ ( s ) ζ ( s ) 2 = = = m m s s2 m= m2= 2 s s2 m= m2= 2 s s2 t= ( m, m2) = t 2 ( s s ) s ( nt) ( nt) s2 t= n= n2= 2 s+ s2 s s2 t= n= n2= 2 2 m m m m =, = ( n, n ) 2 s s2 n= n2= n n2 ( n n ) 2 = ( n, n2) = t n n = ζ + olup, burdn ( n, n2) ζ ( s) ζ ( s2) = s s2 ζ ( + ). n n s s n= n2= Örnek (, ) An n 2, n = n2 = 0, diğer durumlrd eşitliği ile tnımlnn iki değişkenli ritmetik fonksiyonu için üreteç fonksiyonu ( ) An, n = = = ζ + 2 s s2 s s2 s+ s2 n= n2= n n2 n= n= n n n= n ( s s ) 2

71 Örnek 2 (, ) D n n 2, n n = 0, diğer durumlrd eşitliği ile tnımlnn iki değişkenli ritmetik fonksiyon için üreteç fonksiyonu ( ) D n, n 2 = s s 2 s s2 n= n2= n n2 n= n2= n n2 = = = n ( nt) s n = t= n t s+ s2 s2 n = t= n t s+ s2 s2 n = t= s2 ( s s ) ζ ( s ) = ζ

72 64 5. NAGELL VE RAMANUJAN FONKSİYONLARI Bu bölümde temel iki değişkenli ritmetik fonksiyonlrdn Ngell ve Rmnujn toplm fonksiyonlr ve bu fonksiyonlrın bzı özellikleri incelenecektir. 5.. Ngell Toplm Fonksiyonu 5.. Tnım n negtif olmyn bir tmsyı ve r pozitif bir tmsyı olsun. ( x, r) = ( n x, r) = şrtlrını sğlyn x r biçimindeki x tmsyılrının syısın Ngell toplm fonksiyonu denir ve ( n, r) θ ile gösterilir [6]. 5.. Örnek n = 2 ve = 0 r için ( n, r) θ değerini bullım. 0 x için ( ) ( 2,0) = x,0 = şrtını sğlyn x değerleri x =, 3, 7, 9 olup bunlrdn x şrtını sğlyn x değerleri, 3, 9 olrk bulunur. x = olur. Böylece ( 2,0) = 3 θ 5.2. Örnek n = r = 0 için θ ( n, r) değerini bullım. Örnek 5. deki ( x, 0) = şrtını sğlyn x değerleri ynı zmnd ( 0 x,0) = şrtını sğlr. Burdn θ ( 0,0) = 4 bulunur. Bu d ( 0) ϕ değeridir.

73 Teorem n ve r pozitif tmsyılr olsun. Eğer n = r ise bu durumd ( rr, ) θ = ϕ ( r). İspt r pozitif bir tmsyı olsun ( x, r) = ve x r tmsyılrının syısı ϕ () r fonksiyonunu verecektir. Eğer ( x, r) = ise ( r x r) olduğundn θ ( rr, ) = () r ϕ bulunur. şrtlrını sğlyn x, = Ayrıc θ ( ) n, = olduğu kolylıkl gösterilebilir. Şimdi iki değişkenli diğer bir fonksiyon oln ynı zmnd syılr teorisinde de çok önemli bir yeri oln Rmnujn toplm fonksiyonu verilecektir Rmnujn Toplm Fonksiyonu 5.2. Tnım n bir tmsyı ve r pozitif bir tmsyı olmk üzere (, ) C n r = z 2 izn r e π ile tnımlnn C( n, r ) fonksiyonun Rmnujn toplm fonksiyonu denir [4]. Burd toplm, z r ve ( ) lınmktdır. Ayrıc herhngi, 2 zr, = şrtını sğlyn z tmsyılrı üzerinden z z pozitif tmsyılrı için z z ( r) 2 mod

74 66 olduğund e 2πizn 2πiz2n r r = e olcğındn z ler r modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının elemnlrı olur. Rmnujn toplm fonksiyonund n ye rgument, r ye indeks denir. Rmnujn toplm fonksiyonunun tnımındn her n için C( n ) çıktır., = olduğu r sbit ve n pozitif bir tmsyısı olduğund C(., ) r ve n sbit ve r pozitif bir tmsyı olduğund C( n,.) ile gösterilen ritmetik fonksiyonlrı elde edilir. Bzı kynklrd Rmnujn toplm fonksiyonu C ( ) r n biçiminde gösterilmektedir Teorem r pozitif bir tmsyı olmk üzere ( ) = ϕ ( ) C 0, r r. İspt C ( ) 0, r = z olduğundn bu toplmın değeri z tmsyılrın syısı kdr olcktır. z r ve ( z, r ) = şrtını sğlyn z tmsyılrı ( r) ϕ kdr olup eşitlik çıktır Teorem, n birer tmsyı ve r pozitif bir tmsyı olsun. Eğer (, r ) = ise bu durumd

75 67 ( ) = C( n r) C n, r,. İspt z, r modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının bir elemnı olsun. (, r ) = olduğundn z değerleri de yine r modülüne göre indirgenmiş klnlr sınıfının elemnı olcğındn C( n, r ) ve (, ) bulunur. C n r fonksiyonlrının tnımındn eşitlik Aşğıd verilecek Lemm yrdımıyl Rmnujn toplm fonksiyonunun çrpımsllığı kolylıkl gösterilebilecektir. 5.. Lemm ( m ) m, 2 = ve h, m modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının bir elemnı; h 2 de m 2 modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının bir elemnı olsun. Bu durumd h + = h2m hm 2 de m 2 m modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının elemnıdır [6] Teorem Rmnujn toplm fonksiyonu C( n, r ), r ye göre çrpımsl fonksiyondur. Yni her n tmsyısı ve (, s) = r olck şekildeki rs, pozitif tmsyılrı için ( ) = C( n r) C( n s) C n, rs,,. İspt (, s) = r olsun. z, r modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının elemnı, z 2 de s modülüne göre frklı indirgenmiş kln sınıfının elemnı olsun. Bu durumd

76 68 (, ) (, ) π ( + ) 2πizn 2πiz2n 2 izs zrn 2 2πizn r s rs rs (5.) C n r C n s = e e = e = e z z2 z z2 z z + 2 = z s z r ve z, rs modülüne göre indirgenmiş kln sınıfının elemnı olmk üzere Lemm 5. kullnılrk Eş. 5. eşitliğinde çift toplmdn tek toplm geçilebilir. Böylece C( n, rs ) nin tnımındn (, ) = C( n, r) C( n, s) C n rs elde edilir. Aşğıdki teorem Rmnujn toplm fonksiyonu C( n, r ) nin, Möbius fonksiyonu ve birim fonksiyon yrdımıyl d elde edilebileceğini göstermesi çısındn önemlidir Teorem n bir tmsyı, r pozitif bir tmsyı ve ( n r) = k, olsun. Bu durumd (, ) C n r r = dµ dk d. İspt z, r modülüne göre tüm kln sınıfının bütün elemnlrı olsun. Möbius fonksiyonunun toplm özelliğinden ( d ), = ( z, r) ( z, r) = ( z, r ) 0, d µ

77 69 olup C( n, r ) fonksiyonunun tnımındn z, r modülüne göre kln sınıfının elemnı y d bşk bir ifdeyle z ler ( zr, ) = şrtını sğlyn tmsyılr olcktır. Bu durumd ( zr, ) = için d ( z, r) ( d ) µ = olcğındn 2πizn r (, ) µ ( ) C n r e d = ( mod ) (, ) z r d z r yzılbilir. Burd d ( z, r ) olduğundn d z ve d r olur. Böylece toplm ifdeleri yer değiştirilerek (, ) µ ( ) C n r d e = d r d z z r 2πizn r elde edilir. d z olduğundn z = sd olck şekilde en z bir s tmsyısı vrdır. Ayrıc z r olduğundn s =, 2,..., r değerlerini lcktır. Burdn d r r d 2πisd n d r (, ) = µ ( ) = µ ( ) C n r d e d e d r s= d r s= 2πisn r d olup eğer r n d ise s üzerinden toplm r d ye eşit olcktır. Eğer r n d / ise s üzerinden toplm 0 olur. Böylece

78 70 (, ) µ ( d ) C n r = d r r n d r d olur. Burd r d yerine d yzıldığınd (, ) C n r r = µ d d dr dn dir. d r ve n d olduğund ( n, r) = k olmk üzere ( n r) d, olcğındn (, ) C n r r = dµ dk d elde edilir. 5.. Sonuç p bir sl syı olsun. i) Eğer b p n ve 0 < b< ise bu durumd (, ) C n p 0 b 2, = b p b =. ii) Eğer b p n ve b ise bu durumd (, ) ( ) C n p = p p.

79 7 iii) Eğer p / n ise bu durumd 0 2, C( n, p ) = =, = 0. İspt i) p bir sl ve 0 < b< rlığınd b p n olsun. Bu durumd ( np, ) b = p dır. Teorem 5.5 den p C n p d p p p p p b dp d b b+ b b (, ) = µ = µ ( ) µ ( ) + µ ( ) b b bulunur. Bu ifdede son terim oln p µ ( p ) değerine bkıldığınd b değeri diğer p kuvvetlerin en küçük olnı olcğındn eğer b 2 ise toplmdki tüm terimler 0 olurken b olcktır. Burdn b = olmsı durumund sdece p ( p) µ terimi sıfırdn frklı (, ) C n p 0, b 2 = b p, b = bulunur. ii) Eğer b p n ve b ise bu durumd ( np, ) = p olur. p C n p d p p p p p dp d (, ) = µ = µ ( ) + µ ( ) = ( )

80 72 bulunur. iii) p / n olsun. Bu durumd p n / olcğındn ( np ), = olur. 0, 2 p C( n, p ) = dµ = µ ( p ) =, = d d, = 0 bulunur Sonuç Her r pozitif tmsyısı için (, ) µ ( ) C r = r. İspt r pozitif tmsyısının tüm değerleri için (, r ) = olduğundn r C r d r d d (, ) = µ = µ ( ) dir. Şimdi Rmnujn toplm fonksiyonu ile ilgili verilen tnım ve teoremler kullnrk örnekler incelenecektir.

81 Örnek C ( 9,4) değerini Rmnujn toplm fonksiyonun tnımındn hesplylım. z,mod4 e göre indirgenmiş kln sınıfının elemnı olmk üzere z, ve 3 değerlerini lcktır. Böylece ( 9,4) z=,3 2πi9z 2πi9 2πi27 9πi 27πi C = e = e + e = e + e 9π 9π 27π 27π = cos + isin + cos + isin π π 3π 3π = cos + isin + cos + isin ( ) ( 0 i.) 0 i. ( ) = = 0 bulunur. Diğer bir yol olrk Teorem 5.5 kullnılırs, ( 9,4) = olduğundn C 4 9, 4 = = 4 = 0 d d ( ) dµ µ ( ) elde edilir Örnek C ( 2,9) değerini Rmnujn toplm fonksiyonun tnımındn hesplyck olursk z,mod9 göre indirgenmiş kln sınıfının elemnı olmk üzere z ;, 2, 4, 5, 7, 8 değerlerini lcktır. Burd her bir z değeri yzılıp hesplm ypmk güç

82 74 2 olcktır. Anck C( 2,9) C( 2,3 ) b=, = 2 ve b = ve 3 2 olduğundn Sonuç 5. (i) den 2 = olup, C( ) C( ) 2,9 = 2,3 = 3 bulunur Teorem n bir tmsyı ve r pozitif bir tmsyı olmk üzere r m = olsun. Bu durumd ( nr, ) ( ) ( r) ( m) ϕ ( m) ϕ µ C n, r =. İspt p bir sl syı ve pozitif bir tmsyı olsun. C( n r),, ϕ, µ fonksiyonlrının her biri r ye göre çrpımsl olduğundn r nin knonik formd gösterimini olrk lmk yeterli olcktır. Burd üç durum orty çıkr: r = p I. Durum: 0 < b< ve b p n ise p m = olur. Bu durumd p b ( r) ( m) ϕ ( ) ϕ µ ( ) ( ) b ϕ ( p ) ( ) ( ) b b ϕ p µ p p p µ p = = = b m p p ( ) b p µ b ( p ) Burdn ( r) ( m) ϕ ( m) ϕ µ 0, b 2 = b p, b = bulunur.