Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Boşlukta Elektromanyetik Dalga

Transkript

1 Işığın lektrmanetik Tanımlanması: Bşlukta lektrmanetik Dalga

2 İçerik Mawell denklemleri Bşlukta Mawell denklemleri ve çöümleri Işığı luşturan elektrik ve manetik alanlar arasındaki ilişki Fa ve grup hıları Işığın kuantumluluğu M dalga ile iletilen enerji 008 HSarı

3 lektrmanetik Dalgalar-Mawell Denklemleri J. C. Mawell, elektrik ve manetimaa önelik çalışmaları birleştirerek ışığın elektrmanetik tabiatlı lduğunu göstermiştir Mawell denklemleri en genel larak aşağıdaki şekilde aılabilir ρ. = Gauss Yasası- lektrik ε.h = 0 Gauss Yasası- Manetik = µ H Farada Yasası H = J Amper Yasası = ε H + J Mawell in katkısı ile Amper Yasası Burada; elektrik alan, H manetik alan, ρ uasal ük ğunluğu, J ise akım ğunluğudur ε bş uaın elektriksel, µ ise manetik geçirgenliği lup saısal değerleri ε 008 HSarı = F/m (Bş uaın elektriksel geçirgenliği) 3 µ =4π10-9 H/m (Bş uaın manetik geçirgenliği)

4 Bşlukta lektrmanetik Dalga-1..And Gd said Let there be light: and there was light ski Ahid. Yaradılış 1:3 Bşlukta J=0 (akım ğunluğu), ρ=0 (ük ğunluğu) lacağından Mawell denklemleri (1) () (3) (4) ρ. = ε.h = 0 = µ H ε H = + J. = 0.H = 0 = µ H = ε H ve H hem knumun hem de amanın fnksinları lduğundan vektörel larak en genel şekilde aşağıdaki gibi ifade edilebilir (,,,t)= (,,,t)î+ (,,,t)ĵ + (,,,t)k H(,,,t)=H (,,,t)î+ H (,,,t)ĵ + H (,,,t)k Burada 6 bileşen ( 3 alan, 3 de H alan bileşeni) ve 4 değişken (3 knum (,,) ve aman (t) ) vardır 008 HSarı 4

5 Bşlukta lektrmanetik Dalga- Bu denklemleri nasıl eş amanlı larak çöeri? 3. denklemin dönüsünü (curl ) alıp, manetik alan (curlh) erine denklem (4) i karsak (3) = µ H Vektörel eşitlik ( ) µ = ( H ) ( ) µ = 0 ε 0 ( ) = µ 0ε 0 ( ) = +.(. ) +.(. ) = µ 0ε 0 = ε H 0 kullanıldığında (4) Bş uada ρ=0 lduğu için. = 0 = µ ε 008 HSarı 0 0 5

6 Genel dalga Denklemi Φ = 1 v * Işık hıı diğer hılar gibi v ile değil de c ile gösterilir. Bu gösterim, latince hılı anlamına gelen celer kelimesinden gelmektedir Bşlukta lektrmanetik Dalga-3 Φ = µ 0ε 0 şeklinde aabiliri. Yukarıdaki denklem üç butta dalga denklemi frmundadır. 1 (,,;t) ( + + ) (,,;t) = c Dalganın ilerleme hıı ise c=1/(ε µ ) 1/ ve değeri: c = = =,9910 m / s 7 13 µ ε (4π10 ).(8,85 10 ) 0 0 Bş uada elektrmanetik dalganın (ışığın) aılma hıı (Bş uada elektrmanetik dalganın (ışığın) aılma hıı) Ödev.1: Manatik alanın da dalga denklemini sağladığını gösterini! H H = µ 0ε HSarı 6

7 Işık Hıı 8 c =,9910 m / s Işık, Düna dan A a 1. saniede gitmektedir (Animasn) HSarı 7

8 Bşlukta lektrmanetik Dalga-4 Bu denklemler = µ 0ε 0 Burada H H = µ 0ε 0 Bu denklemlerin çöümleri nedir? Basitlik lması açısından üç butta verilen bu dalga denklemini bir but (-dğrultusunda ilerleen dalga) için aarsak 1 Φ Φ = v dalga denklemi frmundadır Φ (,, ; t) =, H 1 = ε µ v Φ = 1 v Φ Φ (,,;t) => Φ(;t) Φ(, t) 1 Φ(, t) = v Φ (,t) v Burada, dalganın ilerleiş dğrultusunu, t amanı, v ise dalganın aılma hıını göstermektedir 008 HSarı 8,t

9 Bşlukta lektrmanetik Dalga-5 Φ 1 Φ = v Bu diferansiel dalga denklemin en genel çöümü Φ(,t)=f(-vt)+g(+vt) g(+vt) f(-vt) frmunda lması durumunda dalga denkleminin çöümünü sağlar Ödev.: Φ(,t)=f(-vt)+g(+vt) çöümünün dalga denklemini sağladığını gösterini. 008 HSarı 9

10 Bşlukta lektrmanetik Dalga-5 Yukarıdaki ifade bie argümanı (±vt) lan herhangi bir f vea g fnksinunun dalga denklemini sağlaacağını sölemektedir (önemli lan f vea g nin frmu değil de argümanın (±vt) şeklinde lması) Örneğin aşağıdaki atma şekline sahip lan dalga -ekseni bunca v hıı ile ilerleen dalga denklemini sağlaacaktır Φ(,t) v, t Ancak, f ( vt) = 3ln( ) e vt fnksinu çöüm değildir çünkü (-vt) ifadesi bu denklemde tam larak (-vt) şeklinde değildir! f (, t) = 3e ( vt ) 008 HSarı 10

11 Bşlukta lektrmanetik Dalga-7 Basitlik lsun die ukarıdaki dalga denklemini tek butta çöelim Yaılma dğrultusunu -önünde seçersek ukarıdaki denklemin çöümlerinin (1). = 0 (,t) vektörel nicelik lması gerektiğinden. = + + = 0 (,t), ve nin fnksinu lmadığından (,t), nin fnksinu lduğundan f(-ct) =(,,,t)=(-ct) ( ) ( ct) ct = 0, = 0 ( ct) = 0 = 0 c ve lması gerekir Önemli Snuç: alanın aılma dğrultusunda hiç bir bileşeni lmaacaktır, alanı tümüle dğrultusuna dik bir dülemde (-dülemi) bulunacaktır lektrik alan ilerleme önü lan -dğrultusuna dik önde enlemesine (transverse) titreşim apmaktadır Yani ışık enlemesine bir dalgadır (Transverselectric (T)) 008 HSarı c

12 Bşlukta lektrmanetik Dalga-7 Öel duruma bakalım. lektrik alanın dğrultusunda ( ) lduğunu düşünelim ( =0 (ugun krdinat sistemi seçerek bu kşulu sağlaabiliri) c Dalga denkleminin çöümünün (,,,t)= sin[k(-ct)] şeklinde lduğunu düşünebiliri Burada k bir sabittir ve fiiksel larak ne anlama geldiği snra arıntılı larak anlatılacaktır t=0, =0 da (,,,t)= sin[k(-ct)]=0 ki bu öel durumu gösterdiğinden k(-ct) terimine φ gibi bir fa açısı ekleerek t=0 ve =0 da dalganın sıfırdan farklı bir değer almasını sağlaabiliri Dlaısı ile Mawell denklemini sağlaan dalga denkleminin aradığımı çöümü (,,,t)= sin[k(-ct)+φ] =0 =0 φ: fa açısı : genlik k: dalga vektörü : aılma dğrultusu c: aılma hıı 008 HSarı 1

13 Bşlukta lektrmanetik Dalga-8 Yaılma dğrultusunu öel bir dğrultu () değil de genel lduğu (r) duruma bakalım c c Yaılma dğrultusu r Yaılma dğrultusu Yaılma dğrultusunun genel lduğu durumda eksen takımları aılma ve elektrik alan dğrultusunda çakıştırılarak daha önce bulunan snuç elde edilebilir Bu durumda dalga denkleminin çöümünün (,,,t)= sin[k(r-ct)] Dalga denkleminin bu durumda çöümü (,, ;t)= sin[k( -ct)+φ] =0, =0 şeklinde lduğunu düşünebiliri c φ: fa açısı : genlik k: dalga vektörü : aılma dğrultusu c: aılma hıı 008 HSarı 13

14 Bşlukta lektrmanetik Dalga-9 (,,,t)= sin[k(-ct)+φ] Bu dalganın uasal değişimine bakacak lursak (t=0) (,0)= sin[k+φ] k 1 +φ=π/ k +φ=5π/ Ardışıl iki maksimum nktaa karşı gelmektedir k( - 1 )=5π/-π/=π ( - 1 )=π/k λ Dalgabu k π λ k dalga vektörü c mesafe 1 λ t=0 008 HSarı 14

15 ckt 1 -φ=π/ ckt -φ=5π/ Bşlukta lektrmanetik Dalga-10 ck(t -t 1 )=5π/-π/=π (t -t 1 ) T Perit ckt=π (,,,t)= sin[k(-ct)+φ] Bu dalganın aman içersindeki değişimine bakacak lursak (=0) T = Ardışıl iki maksimum nktaa karşı gelmektedir. 1 ν aman t 1 t (0,t)= sin[kct+φ] Perit (T) bir tam salınım için geçen süredir. Birimi saniedir. Frekans (v) ise birim amandaki salınım saısıdır ve birimi 1/sanie=Hert (H) dir. Frekans ile pert arasındaki ilişki π π λ ω=açısal frekans (rad/s) ν=frekans(1/s) T = = ck π c c( ) λ 008 HSarı Optelektrnik teknljisinde kullanılan ptik dalganın frekansı H 15 Τ =0 π 1 T = ck = πν ω ck ν t Açısal frekans ω=πν c

16 Bşlukta lektrmanetik Dalga (,,,t)= sin[k(-ct)+φ] mesafe λ t=0 aman Τ =0 t 1 t 1 t π λ k 1 λ k k π λ Dalgabu Dalga saısı Dalga vektörü c π T Perit ck ω 1 = λν = k T ν Frekans πν ω Açısal Frekans 008 HSarı 16 (,t)= sin[k-ωt+φ]

17 Bşlukta lektrmanetik Dalga-11 Dalgabu (λ) erine vektörel nicelik lan dalga vektörünü (k) tanımlaalım k büüklüğü ==> Yukarıdaki çöümü eni tanımladığımı nicelikler (dalga vektörü k ve açısal frekans ω) cinsinden aarsak dalga denkleminin çöümlerini herhangi bir k dğrultusunda ilerleen en genel çöümler şeklinde aabiliri k = π λ önü ise ilerleme önü vea fa hıının dğrultusundadır Seçtiğimi krdinat sistemi için k ı aarsak k (dalga saısı) π = kˆ λ (r,t) = sin( k. r ωt + φ) k 008 HSarı 17

18 c Bşlukta lektrmanetik Dalga-1 H manetik alanı için neler sölenebilir? alanı ile ilişkisi nedir? = µ 0ε 0 = sin( k. r ωt + φ) 3. Mawell denkleminden Basitlik açısından alan bileşeni dğrultusunda ve + önünde ilerleen dalgaı düşünelim ω = = k 1 ( ε µ ) 1/ k = µ H = sin( k ωt + φ)ˆ i iˆ ˆj kˆ ˆ (, ) ˆ H = = j t = = µ j 0 0 H = k( )cs( k ωt + φ) ˆj µ ( )cs( ) ˆ k H = k k t j dt ( )sin( k t ) ˆ ω + φ = ω + φ j µ ω µ ε 1/ H = ( ) sin( k ωt + φ) ˆj = H sin( k ωt + φ) ˆj 008 HSarı 18 µ

19 Bşlukta lektrmanetik Dalga-13 lektrik ve manetik alanın faları anı: = sin( k ωt + φ)ˆ i ε 1/ H = ( ) sin( ) ˆ k ωt + φ j µ elektrik alan manetik alan sin( k ωt + φ) = sin( k ωt + φ) φ( ) = φ( H ) Genlik H ε = ( ) µ 1/ Yön Büüklük H ˆ + j ε = ( ) µ Dlaısı ile H, -dğrultusunda lmak rundadır 1/ H, +-önünde H Alanların ranı 1/ Bş uaın empedansı 008 HSarı 19 k µ 1/ ( ) H = ε lektrik alan () + dğrultusunda ise manetik alan (H) + dğrultusunda lur η µ η = ( ) 10π 377Ω ε

20 Bşlukta lektrmanetik Dalga-1 Genel Durum: Işık herkangi bir dğrultuda ilerlir ise (r,t) = sin( k. r ωt + φ) H( r, t) = H sin( k. r ωt + φ) k H k TM (TransverselectricMagnetic) dalga H lektrik alan (), manetik alan (H) ve dalga vektörü (k) birbirine diktir. 008 HSarı 0

21 Ödev.3: düleminde hareket eden dülem dalganın k dalga vektörü k=i+j ise; Buna göre (a) lektrik alan () ile k dalga vektörünün diklik kşlunu sağladığını, (b) Manetik alan (H) ile k dalga vektörünün diklik kşulunu sağladığını, (c) ve H nin diklik kşulunu sağladığını gösterini. 008 HSarı 1

22 Bşlukta lektrmanetik Dalga-15 (t) H(t) k, t lektrmanetik dalgaı luşturan - lektrik () ve manetik (H) alan bileşenleri birbirlerine diktir -dalganın ilerleiş önü lan k vektörüne diktir. -Alan bileşenleri hem aman içinde hem de knuma bağlı larak peridik bir değişim gösterir. Zaman içersindeki salınım ω, uasal knumdaki salınım ise k ile temsil edilir (=0, t) (, t=0) H(=0, t) t H(, t=0) τ λ ο 008 HSarı

23 Bşlukta lektrmanetik Dalga-15 = sin( k. r ωt + φ) H = H sin( k. r ωt + φ) Dalga Denkleminin farklı gösterimi Türetilen dalga denkleminin dülemsel dalga çöümlerini daha şık bir şekilde kmpleks gösterim kullanarak vektörel frmda aabiliri. = e i( k.r ωt+ φ ) Burada k, dalga vektörü, i ise karmaşık saıdır. B H = H e k i( k.r ωt+ φ ) Dalga Şekilleri B k B k Dülemsel dalga = e Küresel Dalga = e r 008 HSarı 3 i( k.r ωt+ φ ) i( k.r ω t+φ)

24 Grup ve Fa Hıı-1 (t) v f Taşııcı dalga Mdüle edilmediği için bilgi iletme! B(t) Bilgi sinali t v f ω = k t Bilgi sinali (t).b(t) v g Mdüle edilmiş dalga Bilgi iletimi t ω v g = k 008 HSarı 4

25 1 (t) v f Grup ve Fa Hıı- Taşııcı dalga 1 (,t)= cs[k 1 -ω 1 t)] (t) v f + λ 1 ω πυ v f = = = υλ k π λ (,t)= cs[k -ω t)] Fa Hıı 1(t)+ (t) = λ k m =(1/)(k 1 -k ) ω m =(1/)(ω 1 ω ) k f =(1/)(k 1 +k ) ω f =(1/)(ω 1 +ω ) (,t)= cs(k m -ω m t)sin[k f -ω f t)+φ] (t).(t) v g Mdüle edilmiş dalga v f (,t)= (,t) sin[k f r-ω f t)+φ] ω v g = k Grup Hıı 008 HSarı (,t)= (,t) sin[k f r-ω f t)+φ] 5

26 Ödev.4: SI birim sisteminde verilen dülemsel elektrmanetik dalgaı (ışığı) düşünelim =0, =cs[π10 14 (t-/c)+π/], =0 a) Bu dalganın frekansı, dalgabu, hareket dğrultusu, genliği, fa açısı ve plariasn dğrultusu nedir? b) Bu dalganın manetik alan (H) bileşeni için bir ifade türetin. 008 HSarı 6

27 lektrmanetik Alanda Dep dilen nerji-1 lektrmanetik dalganın en önemli öelliklerinden biri de enerji taşıabilmesidir lektrik ve Manetik alanlarda dep edilen nerji Yğunluğu (birim hacım başına enerji) 1 1 um = ε + µ H lektrmanetik alan durumunda ve H ilişkili lduğu için µ ε ε µ u =ε =µ H = H H = M lektrmanetik enerji iletimini ifade edebilmek için birim üeden birim amanda iletilen enerjii simgeleen S niceliği kullanılır nerji akısı= S =enerji/(alan-aman) SI birim sisteminde birimi W/m dir u ( ) 1 M tc A ε S = = um c = ε = A t ε µ µ l=c t µ η = ( ) 10π 377Ω S = ε η 008 HSarı 1/ 7

28 lektrmanetik Alanda Dep dilen nerji- S = H S = kˆ H ε S = = = cε η µ S vektörüne Pnting vektör denir M dalganın birim amanda birim üeden ilettiği enerji akısının ölçüsüdür nerji aktarım önü dalganın aılma (k) önündedir Dülemsel dalgalar için S = cs( k. r ωt + φ) S = kr ωt + φ µ c cs ( ) nerji akısı S =enerji/(alan-aman) Işık algılaıcılar (dedektörler), ışığın frekansı çk üksek lduğu için (ω H) bu hıa aak uduramalar. Gerçekte dedektörlerin algıladığı, bu kadar hılı değişen ışık sinalinin aman rtalamasıdır = 1 ) ˆ ( S = Ik H Zaman rtalaması <cs(kr-ωt+φ)>=1/ 1 eski ismi Şiddet (Intensit) S =. H = = I eni ismi Parlaklık (Irradiance) η µ c S = I = ε c S = I = cµ H 008 HSarı 8

29 lektrmanetik Alanda Dep dilen nerji-3 lektrik alan, madde içindeki üklere daha etkin şekilde kuvvet ugulaarak iş apabildiği için M dalgaı luşturan alanına ptik alan denir ve ptikte S = I = ε c Niceliği tercih edilir 008 HSarı 9

30 lektrmanetik Dalga-Kesiklilik(Kuantumluluk) Şimdie kadar elektrmanetik dalgaı, ani ışığı, klasik larak inceledik Klasik larak ışığı tanımlamak için (t) lektrik alan Dalga vektörü Açısal frekans Parlaklık k ω I H(t) k, t lektrmanetik alanın kuantalanmışdır ve alan kuantasına ftn denir Kuantum bakış açısından ışık Durgun kütlesi m=0 Mmentum p=ħk nerji Ε = ħω Akı I=ftn saısı/(m -s) ħω nerji=(ftn saısı)(ftn enerjisi)=nħω 008 HSarı I=Watt/m =J/(m -s)=i/ħω=ftn saısı/(m -s)=parçacık akısı 30

31 Öet-1 Işık, elektrmanetik tabiatlıdır Işık, elektrik () alan ve manetik (H) alanın öel larak salınımından luşmaktadır Bu alanlar her aman hem birbirlerine dik, hem de aılma dğrultusuna diktir lektrmanetik dalganın bşluktaki hıı bşluğun ε ο ve µ ο değerlerine bağlıdır Bşluk için bu değer c = = =,9910 m / s 7 13 µ ε (4π10 ).(8,85 10 ) 0 0 Işığı luşturan elektrik () ve manetik alanın (H) büüklüğüne ranı bşluğun empedansına eşittir H = µ η π Ω 1/ ( ) ε 008 HSarı 31

32 Öet- Fa hıı taşııcı dalganın, grup hıı ise mdüle edilmiş dalganın(bilginin) hııdır M alan kuantalıdır ve kuanta birimine ftn denir Işık, Pnting vektör ile verilen ön ve dğrultuda enerji taşır Dedektörler Pnting vektörün aman rtalaması lan < S > değerini ölçerler bu da birim üe alanı başına düşen güç lan enerji akısıdır 008 HSarı 3