ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her haı salıdır

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi TOPLANAB IL IRL IK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Prof.Dr. Ciha ORHAN Bu tez beş bölümde oluşmatad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm şt r. Iici bölümde, toplaabilme teorisii baz temel avramlar a yer verilmiştir. Üçücü bölümde, öcelile istatistisel ya sal ile uvvetli p-cesàro toplaabilme avramlar ta t l p s rl diziler içi bu avramlar deli¼gi gösterilmiştir. Daha sora A-istatistisel ya sal ve A-uvvetli toplaabilme avramlar ta t l p yie s rl diziler içi bu avramlar deli¼gi gösterilmiştir. Dördücü bölümde, çarp msal (P özellili) matrisler ta t l p reel terimli, regüler bir A matrisii çarp msal olmas araterize edilmiştir. Daha sora bir A matrisii s rl toplaabilme ala çarpa uzay icelemiştir. So bölümde ise, il olara A-düzgü itegralleebile diziler uzay ile A-s rl diziler uzay ta t lm ş ve bir x dizisii A-uvvetli ya sa olmas içi gere ve yeter oşulu x dizisii A-istatistisel ya sa ve A-düzgü itegralleebilir olmas oldu¼gu gösterilmiştir. Daha sora A-düzgü itegralleebilirli ulla lara bir U cebiri içi A matrisii çarpa uzay araterize edilmiştir. Ayr ca, A-düzgü itegralleebile diziler uzay üzeride A-istatistisel ya sal ¼g egatif olmaya regüler ve üçgesel bir matris metodua de oldu¼gu gösterilmiştir. 2009, 56 sayfa Aahtar Kelimeler : metodu, istatistisel ya sa dizi, çarpa uzaylar Çarp msal toplaabilme metodu, uvvetli toplaabilme i

3 ABSTRACT Master Thesis MULTIPLIER SPACES OF SUMMABILITY FIELDS Mehmet ÜNVER Aara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Ciha ORHAN This thesis cosists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the itroductio. I the secod chapter, some basic cocept of summability theory has bee recalled. I the third chapter, the cocepts of statistical covergece ad strog p-cesàro covergece of sequeces have bee studied ad equivalece of these cocepts for bouded sequeces have bee give. Subsequetly, the idea of A-statistical covergece ad A-strog covergece of sequeces have bee explaied. The equivalece of these cocepts for bouded sequeces have also bee examied. I the fourth chapter, multiplicative matrices (property P ) have bee explaied. A characterizatio of a multiplicative regular matrix with real etries has bee give. Subsequetly, multiplier space of the bouded summability eld of a matrix has bee ivestigated. I the al chapter, by usig a recetly itroduced cocept of A-uiform itegrability, multipliers of A, over ay algebra, U, has bee characterized. It has bee show that x is A-strogly coverget if ad oly if it is A-statistically coverget ad A- uiformly itegrable. Moreover, it has bee show that, over the space of A-uiform itegrable sequeces, A-statistical covergece is equivalet to a oegative regular ad triagular matrix method. 2009, 56 pages Key Words: Multiplicative summability method, strog summability method, statistically coverget sequece, multiplier spaces ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve de¼gerli bilgilerii bede hiçbir zama esirgemeye da şma hocam, Say Prof. Dr. Ciha Orha (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) a e içte sayg ve mietlerimi suar m. Her zama baa sa¼glad ¼g verimli çal şma ortam ve deste¼gi edeiyle ayr ca teşeür ederim. Çal şmalar m z esas da ö¼gredi¼gim bilgiler tüm ariyerim boyuca baa ş tutacat r. Yüse lisas e¼gitimime başlad ¼g m ada itibare bede deste¼gii esirgemeye Say Yrd. Doç. Dr. Şeyhmus Yard mc ya ve haftal semierlerimizde beimle birlite ola aradaşlar ma e içte teşeürlerimi suar m. Ayr ca bu bölümü bir mesubu olmata her zama gurur ve mutlulu duyaca¼g m da belirtme isterim. Bu tez "TÜB ITAK-2228 Yüse Lisas Burs Program " taraf da destelemiştir. TÜB ITAK a e içte teşeürlerimi suar m. Hayat m tüm aşamalar da bei yal z b ramaya ve desteleye aileme sosuz teşeürler ederim. Mehmet ÜNVER Aara, Temmuz iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR S IMGELER D IZ IN I G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR ISTAT IST IKSEL VE A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK Istatistisel Ya sal Istatistisel Ya sal ¼g Matris Karaterizasyou IstatistiselYa sal vekuvvetli p-cesárotoplaabilme A-istatistisel Ya sal ve Kuvvetli Toplaabilme SINIRLI TOPLANAB ILME ALANLARI Çarp msal (P Özellili) Matrisler S rl Toplaabilme Alalar da Yalaş m S rl Toplaabilme Alalar Çarpalar TOPLANAB ILME ALANLARININ DÜZGÜN INTEGRALLENEB ILEN D IZ ILER ÜZER INDE ÇARPANLARI Düzgü Itegralleebile ve A-s rl Diziler Çarpa Uzaylar SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ i ii iii v iv

6 S IMGELER D IZ IN I U A st A (A)!(A) jaj A c A A c A S A C h:h: A-düzgü itegralleebile diziler uzay A-istatistisel ya sa diziler uzay A ümesii asimptoti yo¼gulu¼gu A-uvvetli toplaabile diziler uzay A ümesii elema say s A ümesii tümleyei A ümesii arateristi fosiyou A matrisii s rl toplaabilme ala A matrisii toplaabilirli ala A-s rl diziler uzay Cesàro matrisi Heme her! p Kuvvetli p-cesàro toplaabile diziler uzay : ` uzay al ş lm ş supremum ormu m U m U (c A \ U; c A ) w Reel ya da omples terimli tüm diziler uzay! 0 (A) S f ra A-uvvetli toplaabile diziler uzay ` m U (E; F) f(ax) g A(x) S rl diziler uzay U üzeride çarpalar uzay x dizisii A matrisi alt dai döüşüm dizisi f(ax) g dizisii limiti v

7 . G IR IŞ S rl diziler uzay ` ile gösterilme üzere ey bir B matrisi içi m B (`) = fx 2 ` : her y 2 c B \ ` içi xy 2 c B g uzay araterize edilmesi toplaabilme teorisii bugüe adar çözülememiş öemli bir problemidir. Buula ilişili olara bir ba ma daha olay bir problem de çarp msal metodlar içi m B (`) uzay araterizasyoudur. Bu tür bir araterizasyo Herise ve Isbell (964) taraf da bir oferasta suulmuş aca yay lamam şt r. Peterse (972) taraf da bir ispat yay lam ş aca bu ispat yal ş oldu¼gu Kha ve Orha (2007) taraf da yap la icelemelerle ortaya oulmuştur. Bu tezi amac regüler ve çarp msal toplaabilme metodlar toplaabilirli alalar çarpalar araterize etmetir. Bu tezde, A-düzgü itegralleebilme avram ulla lara A-düzgü itegralleebilir diziler uzay taraf da içerile bir U cebiri içi A matrisii çarpa uzay araterize edilecetir. Ayr ca, çarp msal egatif olmaya ve regüler bir B matris toplaabilme metodu içi m B (`) = c B \ ` = st B \ ` oldu¼gu gösterilecetir. Fridy (985) taraf da istatistisel ya sal ¼g bir matris gösterimii olmad ¼g ispatlam şt r. Fridy ve Miller (99) taraf da ise istatistisel ya sal ve matris toplaabilme metodlar bir s f aras da uvvetli bir ba¼glat oldu¼guu gösterilmiştir. Burada ise A-düzgü itegralleebilir diziler uzay üzeride A-istatistisel ya sal ¼g egatif olmaya regüler ve üçgesel bir matris metodua de oldu¼gu gösterilecetir.

8 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde toplaabilme teorisii baz temel avramlar verilecetir. Bu yüse lisas tezide N = f; 2; 3; :::g do¼gal say lar ümesii gösterecetir. Ta m 2.!, reel ya da omples terimli tüm dizileri uzay ve E! alt vetör uzay olma üzere E uzay a bir dizi uzay deir. Bir E dizi uzay da reel veya omples cisime ta ml lieer bir f fosiyoelie toplaabilme metodu deir. E¼ger E ya sa diziler uzay içeriyor ve lim x = L oldu¼guda f(x) = L oluyorsa f fosiyoelie regüler toplaabilme metodu deir. Ta m 2.2 A = (a ) reel ya da omples terimli sosuz matris ve x = (x ) bir dizi olma üzere her 2 N içi serisi ya sa ise a x = (Ax) := a x olma üzere Ax := f(ax) g dizisie x dizisii A döüşüm dizisi deir (Maddox 970).! A := fx 2! : f(ax) g dizisi mevcutg = ve c A := fx 2! : f(ax) g dizisi ya sag ümelerii ta mlayal m. E¼ger f : c A! K fosiyoelii f(x) = lim(ax) şelide ta mlarsa f bir toplaabilme metodudur. E¼ger lim(ax) = L ise x dizisi L de¼gerie A toplaabilirdir deir. Bu tezde A(x) := lim(ax) ile gösterilecetir. Teorem 2. (Silverma-Toeplitz) Bir A = (a ) matrisii regüler olmas içi gere ve yeter oşul; (i) jjajj := sup ja j < = (ii) lim a = 0 (her içi)! 2

9 (iii) lim! a = = olmas d r (Hardy ad Littlewood 93, Boos 2000). Öre¼gi 8 < c = : ; 0 ; > ile ta ml C Cesàro matrisi regülerdir. Ta m 2.3 A ve B ii matris toplaabilme metodu olsu. Her x 2 c A \ c B içi lim (Ax) = lim (Bx) oluyorsa A ile B tutarl d r deir (Boos 2000). Ta m 2.4 A ve B ii matris toplaabilme metodu olma üzere e¼ger c B c A ve A ile B tutarl ise B metodu A metoduu içeriyor deir ve B A ile gösterilir. B A B oluyorsa A ile B detir deir (Boos 2000). 3

10 3. ISTAT IST IKSEL VE A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK Bu bölümde öce istatistisel ya sal iceleece daha sora istatistisel ya sal ¼g matris araterizasyou verilece ve uvvetli ya sal ile ilişisi iceleecetir. Ayr ca, A-istatistisel ya sal avram ele al aca ve A-istatistisel ya sal ile A-uvvetli toplaabilmei ilişisi iceleecetir. Bu bölümde ele al aca diziler reel terimli olup asl da elde edile souçlar bir ço¼gu omples terimli diziler içi de geçerlidir. 3. Istatistisel Ya sal Bu s mda bir dizii istatistisel ya sal ¼g iceleecetir. Ta m 3.. K N ümesii alal m. (K) := lim jf : 2 Kgj limiti mevcut ise bu limite K ümesii asimptoti yo¼gulu¼gu deir (Nive ad Zucerma 980). Burada A N olma üzere jaj ile A ümesii ardial say s gösterilmetedir. Ta m 3..2 x = (x ) bir dizi olsu. Her " > 0 içi, lim jf : jx Lj "gj = 0 olaca şeilde bir L say s varsa x dizisi L say s a istatistisel ya sat r deir ve st lim x = L ile gösterilir (Fast 95, Steihaus 95). Şimdi bir " > 0 içi E " = f : jx Lj "g derse E" bu ümei arateristi fosiyou olma üzere st lim x = L olmas içi gere ve yeter oşul her " > 0 içi lim C E" () = 0 olmas d r. 4

11 Öre >< x = >: p ; = m 2 ; 6= m 2 (m = ; 2; :::) şelide ta mlaa x = (x ) dizisii iceleyelim. Her " > 0 içi, lim jf : jx j "gj lim jf : x p 6= gj lim = 0 oldu¼guda st lim x = buluur. Ta m 3..3 x = (x ) dizisi bir P özelli¼gii yo¼gulu¼gu s f r ola bir üme d ş dai her içi gerçeliyorsa x dizisi P özelli¼gii heme her içi gerçeliyor deir (Fridy 985). Öerme 3.. x = (x ) bir dizi olma üzere, x dizisii istatistisel ya sa olmas içi gere ve yeter oşul x = y (h:h:) olaca biçimde ya sa bir y = (y ) dizisii mevcut olmas d r (Fridy 985). Öerme 3..2 Bir x = (x ) dizisii bir L say s a istatistisel ya sa olmas içi gere ve yeter oşul (K) = olaca biçimde bir K N içi lim 2K x = L olmas d r (Šalát 980, Fridy 985, Coor 988). x ve y ii istatistisel ya sa dizi ve 2 R olma üzere xy = (x y ) ve x = (x ) dizileri de istatistisel ya sa dizilerdir. x dizisii bir L say s a ya sa olmas x dizisii yie L say s a istatistisel ya sa olmas geretirdi¼gi aç t r. O halde istatistisel ya sal, ya sal ¼g bir geişletilmesidir. Teorem 3.. x = (x ) bir dizi olma üzere, x bir L say s a istatistisel ya sa ise x = y + z olaca biçimde L de¼gerie ya sa bir y = (y ) dizisi ve s f ra istatistisel ya sa bir z = (z ) dizisi vard r. Hatta x dizisi s rl ise z dizisi de s rl d r (Coor 988). 5

12 Ispat: st lim x = L olsu. N 0 = 0 olma üzere > N j içi, jf : jx Lj jgj < j olaca şeilde pozitif tamsay lar arta bir, N < N 2 < ::: dizisii alal m. y = (y ) ve z = (z ) dizilerii aşa¼g dai şeilde ta mlayal m; N 0 < N ise z = 0 ve y = x olsu. j > ve N j < N j+ içi, jx Lj < j ise y = x ve z = 0 jx Lj j ise y = L ve z = x L olsu. Bu durumda x = y + z gerçeleir. Ayr ca x := sup jx j olma üzere x dizisi s rl ise z x + jlj oldu¼gu aç t r. Şimdi " > 0 alal m ve j yi " > j olaca şeilde seçelim. > N j olma üzere; jx Lj < j ise jy Lj = jx Lj oldu¼guda jy Lj < ", jx Lj j ise jy Lj = jl Lj = 0 olup " ey oldu¼guda y dizisi L de¼gerie ya sat r. Her say s ve her " > 0 içi, jf : z 6= 0gj jf : jz j "gj oldu¼guda st lim z = 0 oldu¼guu gösterme içi lim jf : z 6= 0gj = 0 oldu¼guu gösterme yeterlidir. j < olaca şeilde > 0 ve j 2 N alal m. 6

13 N j < N j+ ise sadece jx Lj > j oldu¼guda z 6= 0 olur. O halde N l < N l+ ise f : z 6= 0g : jx Lj > l olur. Souç olara, N l < N l+ ve l > j ise, jf : z 6= 0gj : jx Lj > l < l < j < gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. Istatistisel ya sal ¼ga regüler bir toplaabilme metodu olara ba labilir. Aşa¼g da istatistisel ya sal ¼g bir matris toplaabilme metodu taraf da içerilmedi¼gii gösterece¼giz. Buu içi öcelile aşa¼g dai lemmay verece¼giz. Lemma 3.. Sosuz say da içi t 6= 0 olaca şeilde bir t say dizisii alal m. Bu durumda x = 0 (h:h:) ve t x = olaca şeilde bir x dizisi vard r (Fridy 985). Ispat: fm ()g pozitif tamsay lar arta bir dizisi ve her içi, = m() > 2 ve t m() 6= 0 olsu. Şimdi bir x = (x ) dizisii x m() = t m() ve x = 0 (diger durumlarda) olaca şeilde ta mlayal m. O halde x = 0 (h:h:) ve t x = = t m() x m() = = 7

14 gerçeleir. Teorem 3..2 Hiçbir matris toplaabilme metodu istatistisel ya sal metoduu içermez (Fridy 985). Ispat: Lemma 3.. gösteriyori istatistisel ya sal metoduu içere bir matris öcelile sat r solu olmal d r. Key sat r solu bir A = (a ) matrisii alal m. S f rda farl a (); 0 () elema seçelim. Daha sora () 0 (), a ();() 6= 0 ve > () içi a (); = 0 olaca şeilde bir () olouu seçelim. Her m içi, (m) m 2 ise a (m);(m) 6= 0 ve > (m) ise a (m); = 0 olma üzere sat r ve sütu idislerii arta bir dizisii seçebiliriz. Şimdi x = (x ) dizisii x () = : x (m) = : a ();() a (m);(m) " m m i= a (m);(i) x (i) # x = 0 (di¼ger durumlarda) şelide ta mlayal m. O halde (Ax) (m) = a (m); x = = m a (m);(i) x (i) i= m = a (m);(m) x (m) + a (m);(i) x (i) = a (m);(m) = m a (m);(m) i= " m m i= a (m);(i) x (i) # + m i= a (m);(i) x (i) 8

15 elde edilir. Dolay s yla (Ax) (m) dizisi ya sa de¼gildir. Bir başa deyimle x dizisi A-toplaabile bir dizi de¼gildir. Ayr ca (m) m 2 oldu¼guda, jf : x 6= 0gj p olup oldu¼guda st lim jf : x p 6= 0gj lim = 0 lim x = 0 elde edilir. Bu durumda x dizisi istatistisel ya sa oldu¼gu halde A-toplaabilir de¼gildir, yai A metodu istatistisel ya sal ¼g içermez. Şimdi de istatistisel ya sal ¼g içerdi¼gi aşiar olmaya bir matris metoduu varl ¼g gösterelim. Öre 3..2 A = (a ) matrisi, 8 >< a = >: ; = ve tam are de¼gil 2 ; = m 2 ve = veya = (m ) 2 0 ; di¼ger durumlarda şelide ta mlas. O halde her x = (x ) dizisi içi 8 >< (Ax) = >: x 2 ; = x (m ) 2 +x m 2 2 ; = m 2 (m = ; 2; :::) x ; tam are de¼gil gerçeleir. A matrisi regüler ve üçge bir matrisdir. Kabul edelimi lim (Ax) = L olsu. jf : (Ax) 6= x gj p oldu¼guda lim jf : (Ax) p 6= x gj lim = 0 9

16 gerçeleir. Dolay s yla (Ax) = x (h:h:) olur. Bu durumda Öerme 3.. de st lim x = L gerçeleir. O halde istatistisel ya sal metoduu A metoduu içerdi¼gii söyleyebiliriz. Şimdi de A metoduu ya sal ¼ga de olmad ¼g gösterelim. Buu içi bir x = (x ) dizisii, 8 ( ) >< m ; = m 2 x = (m = ; 2; :::) >: 0 ; 6= m 2 şelide ta mlayal m. Bu durumda (Ax) = x dizisi ya sa de¼gildir faat A-toplaabilirdir (Fridy 985). 2 ve > içi (Ax) = 0 elde edilir. 3.2 Istatistisel Ya sal ¼g Matris Karaterizasyou Bu s mda matris metodlar bir s f ile matris toplaabilme ve istatistisel ya sal aras da güçlü bir ilişi urulacat r. Şimdi, (i) Her içi a = ; = (ii) K N olma üzere (K) = 0 ise lim a = 0 2K olaca şeilde egatif olmaya üçgesel A = (a ) matrislerii s f olsu. Bu s ftai her matris egatif olmaya terimlere sahip oldu¼guda (i) ve (ii) şartlar, matrisi regülerli¼gi içi Silverma-Toeplitz oşullar gerçelemesii garatiler. Sözü edile araterizasyou verme içi aşa¼g da ispats z verile lemmaya ihtiyaç duyulacat r. Lemma 3.2. S rl bir x = (x ) dizisi istatistisel ya sa de¼gil ise f 2 N : x < g ve f 2 N : x > g ümeleri s f r yo¼gulu¼ga sahip olmayaca şeilde < reel say lar vard r (Fridy ad Miller 99). Teorem 3.2. S rl bir x = (x ) dizisii L say s a istatistisel ya sa olmas içi gere ve yeter şart her A 2 içi lim (Ax) = L olmas d r (Fridy ad Miller 99). 0

17 Ispat: Il olara st lim x = L oldu¼guu abul edelim. A 2 ve " > 0 olsu. K := f 2 N : jx Lj "g olma üzere (K) = 0 ve 62 K ise jx Lj < " gerçeleir. j(ax) Lj = a x L = a x L a a (x L) + a (x L) 62K 2K " a + sup jx Lj a (3.2.) 62K 2K elde edilir. Şimdi (3.2.) eşitsizli¼gide her ii taraf! içi limiti al rsa, lim j(ax) Lj " lim a + sup jx 62K Lj lim 2K a gerçeleir. (K) = 0 ve " ey oldu¼guda (ii) oşulua göre lim j(ax) Lj = 0 olur. Yai lim (Ax) = L gerçeleir. Karş t olara st lim x = M 6= L olsu. Bu durumda gere oşulda her A 2 içi lim (Ax) = M 6= L gerçeleir. O halde x dizisii istatistisel ya sa olmad ¼g abul edelim. Lemma 3.2. de U = f 2 N : x < g ve V = f 2 N : x > g s f r yo¼gulu¼ga sahip olmayaca şeilde < reel say lar vard r. O halde her 2 N içi, u jf 2 U : u gj > " ve v jf 2 V : v gj > " olaca şeilde " > 0, U 0 = fu g = U ve V 0 = fv g = V alt ümeleri vard r.

18 U \ V =? oldu¼guda U 0 ile V 0 ümeleri ayr t r. Şimdi, U = f : 2 Ug ve olma üzere bir A = (a ) matrisii, V = f : 2 V g 8 >< a = >: 0 ; > ; ve 62 U 0 [ V 0 ju j ; 2 U 0 ve 2 U jv j ; 2 V 0 ve 2 V şelide ta mlayal m. Bu durumda A 2 olup 2 U 0 ise (Ax) < aca 2 V 0 ise (Ax) > olacat r. O halde A 2 gerçeledi¼gi halde f(ax)g ya sa de¼gildir. 3.3 Istatistisel Ya sal ve Kuvvetli p-cesàro Toplaabilme Bu s mda uvvetli p-cesàro toplaabilme avram ta m yap ld ta sora s rl diziler içi uvvetli p-cesàro toplaabilme ile istatistisel ya sal ¼g de oldu¼gu gösterilecetir. Ta m 3.3. x = (x ) bir dizi ve 0 < p < olsu. lim jx Lj p = 0 = olaca şeilde L say s varsa x dizisi L say s a uvvetli p-cesàro toplaabilirdir 2

19 deir (Hardy ad Littlewood 93, Coor 988). Bu tezde p-cesàro toplaabile dizileri ümesi! p ile gösterilecetir. Teorem 3.3. p 2 R + olsu. i) Bir dizi bir L de¼gerie uvvetli p-cesàro toplaabilir ise ay de¼gere istatistisel ya sat r. ii) S rl bir dizi L de¼gerie istatistisel ya sa ise ay de¼gere uvvetli p-cesàro toplaabilirdir (Coor 988). Ispat: i) L say s a uvvetli p-cesàro toplaabilir bir x = (x ) dizisii alal m. Her " > 0 içi jx Lj p = jx Lj p + jx = jx Lj<" jx Lj" jx Lj" = " p jx Lj p " p jx Lj" jx Lj" = " p jf : jx Lj "gj Lj p gerçeleir. Bu durumda, = jx Lj p "p jf : jx Lj "gj 0 (3.3.) elde edilir. (3.3.) eşitsizli¼gide her ii taraf! içi limiti al rsa sol taraf limiti s f r olaca¼g da her " > 0 içi lim jf : jx Lj "gj = 0 gerçeleir. Yai st lim x = L olmal d r. 3

20 ii) Şimdi s rl bir x = (x ) dizisii alal m. Ayr ca st lim x = L oldu¼guu abul edelim. x := sup jx j olma üzere M := x + L ta mlayal m. " > 0 olma üzere her > N " içi, : jx Lj " 2 p < " 2M p olaca şeilde bir N " > 0 seçelim. Her içi jx jx Lj p M p elde edilir. > N " olma üzere, Lj jx j + jlj = M oldu¼guda E := 2 N : jx Lj < " p 2 derse, 8 jx Lj p = >< >: = 8 >< >: jx Lj 2E c M p + p + 2E M p : jx = " 2 + " 2 = " 2E 9 " >= 2>; jx 9 >= Lj p >; " o " o Lj gerçeleir. Bu durumda st lim x = L gerçeleir. Souç 3.3. S rl diziler uzay üzeride istatistisel ya sal ile uvvetli p-cesàro toplaabilme detir. 3.4 A- Istatistisel Ya sal ve Kuvvetli Toplaabilme Bu s mda A-istatistisel ya sal ve uvvetli toplaabilme avramlar verilip s rl diziler üzeride bu avramlar deli¼gi gösterilecetir. 4

21 Ta m 3.4. A = (a ) egatif olmaya matris olma üzere her " > 0 içi lim a = 0 :jx Lj>" gerçeleiyorsa x = (x ) dizisi L say s a A-istatistisel ya sat r deir ve st A lim x = L ile gösterilir (Coor 989, Kol 99, Miller 995). A-istatistisel ya sa dizileri uzay st A ile gösterirse st A uzay bir cebir yap s a sahip oldu¼guu söyleyebiliriz. Burada U bir dizi uzay olma üzere her x; y 2 U içi xy 2 U oluyorsa U uzay a bir cebir deir. A-istatistisel ya sal ile bir E N ümesii A-yo¼gulu¼gu ba¼glat l d r. E¼ger, A (E) := lim a! 2E limiti mevcut ise E, A-yo¼gulu¼ga sahiptir deir (Freedma ad Sember 98). Böylece bir " > 0 içi E " := f 2 N : jx Lj "g derse, st A lim x = L olmas içi gere ve şart her " > 0 içi A (E " ) = 0 olmas d r. A-istatistisel ya sal avram da A matrisi yerie C Cesàro matrisi al rsa istatistisel ya sal avram elde edilir. Daha öce ispatlaa Teorem 3.2. i bir bezeri de A-istatistisel ya sal içi verilebilir: A egatif olmaya regüler bir matris olma üzere, i) Her içi b =, = ii) K N olma üzere A (K) = 0 ise lim b = 0 olaca şeilde tüm B = (b ) matrislerii s f A ile gösterilsi. O halde aşa¼g dai teorem ispats z verilebilir. 2K Teorem 3.4. S rl bir x dizisii bir L say s a A-istatistisel ya sa olmas içi gere ve yeter şart her B 2 A içi lim (Bx) = L olmas d r (Fridy ad Miller 99). 5

22 Şimdi de A-uvvetli ya sal ¼ga ilişi bilgileri hat rlatal m. Ta m A = (a ) egatif olmaya bir matris ve pr + olsu. Bir x = (x ) dizisi içi, lim a jx Lj p = 0 oluyorsa x dizisi L say s a p idisie göre A-uvvetli toplaabilirdir deir. Özel olara p = ise x dizisi L say s a A-uvvetli toplaabilir deir. (Freedma ad Sember 989, Coor 989). Bu tezde tüm A-uvvetli toplaabile dizileri ümesi!(a) ve s f ra A-uvvetli toplaabile dizileri ümesi! 0 (A) ile gösterilecetir. Teorem A egatif olmaya regüler matris olsu. O halde, (i) Bir x = (x ) dizisi L say s a A-uvvetli toplaabiliyorsa st A lim x = L gerçeleir. (ii) x = (x ) s rl bir dizi ve st A lim x = L ise x dizisi, L say s a A-uvvetli toplaabilirdir (Coor 989). Ispat: L = 0 alma geellite birşey aybettirmez. (i) x 2! 0 (A) alal m. Bu durumda, lim gerçeleir. Böylece her " > 0 içi, a jx j = 0 a jx j = a jx j + a jx j :jx j>" :jx j>" a jx j :jx j" " a (3.4.) :jx j>" elde edilir. (3.4.) eşitsizli¼gide her ii taraf! içi limiti al rsa sol taraf s f ra ya sayaca¼g da ve sa¼g taraf egatif olmad ¼g da sa¼g taraf da s f ra ya sayacat r. O halde st A lim x = 0 elde edilir. 6

23 (ii) Şimdi x 2 st A \ ` alal m. Bu durumda x < olur. Ayr ca a jx j = a jx j + a jx j :jx j" :jx j<" x a + " a (3.4.2) :jx j" = gerçeleir. A regüler oldu¼guda (3.4.2) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai iici ifade " a ya sar. Kabulümüz gere¼gi eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai il ifade de s f ra ya sayaca¼g da ve " ey oldu¼guda x 2! 0 (A) gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. 7

24 4. SINIRLI TOPLANAB ILME ALANLARI Bu bölümde bir matrisi çarp msal olmas ve egatif olmaya regüler bir matrisi s rl toplaabilme ala çarpalar ile ilgileece¼giz. 4. Çarp msal (P Özellili) Matrisler Bu s mda bir A matrisii çarp msall ¼g ta t l p bu özelli araterize edilecetir. Ta m 4.. A reel terimli regüler bir matris olma üzere x ve x 0 s ras yla L ve L 0 say lar a A-toplaabile s rl diziler oldu¼guda xx 0 çarp m da LL 0 çarp m a A-toplaabilir oluyorsa A matrisi çarp msald r veya P özellilidir deir (Brauer 956). Teorem 4.. A, çarp msal ve x terimleri 0 veya ola bir dizi olsu. E¼ger x, L say s a A-toplaabilir ise L = 0 veya L = gerçeleir (Brauer 956). Ispat: x terimleri 0 veya ola bir dizi ve A matrisi çarp msal olsu. xx = x olup A çarp msal oldu¼guda L = L 2 elde edilir. Bu ise L = 0 veya L = olmas geretirir. Teorem 4..2 Reel terimli ve regüler bir A matrisii çarp msal olmas içi gere ve yeter oşul reel ve s rl bir x = (x ) dizisi L say s a A-toplaabilir oldu¼guda (x 2 ) dizisii de L2 say s a A-toplaabilir olmas d r (Brauer 956). Ispat: A reel terimli, regüler bir matris olma üzere reel terimli, s rl x = (x ) dizisi L say s a A-toplaabilir oldu¼guda (x 2 ) dizisi de L2 say s a A-toplaabilir oluyorsa A matrisi Q özellilidir diyelim. Şimdi x 0 = (x 0 ) = (x ) alal m. A çarp msal oldu¼guda (x x ) = (x 2 ) de LL = L2 say s a A-toplaabilirdir. Karş t olara A matrisi Q özellili olsu. x = (x ) ve x 0 = (x 0 ) dizileri s ras yla L ve L 0 say lar a A-toplaabilir, reel terimli ve s rl diziler ise fx + x 0 g ve fx dizileri de reel terimli, s rl ve s ras yla L + L 0 ve L dizilerdir. A matrisi, Q özellili oldu¼guda (x + x 0 )2 ve (x x 0 g L 0 say lar a A-toplaabilir x 0 )2 dizileri de 8

25 s ras yla (L + L 0 ) 2 ve (L L 0 ) 2 say lar a A-toplaabilirdir. Her içi, (x + x 0 ) 2 (x x 0 ) 2 = 4x x 0 ve (L + L 0 ) 2 (L L 0 ) 2 = 4LL 0 oldu¼guda (x x 0 ) dizisi LL0 say s s a A-toplaabilirdir. Teorem 4..2 i daha ulla şl olabilece bir başa hali aşa¼g da verilmiştir. Teorem 4..3 Reel terimli ve regüler bir A = (a ) matrisii çarp msal olmas içi gere ve yeter oşul x = (x ) dizisi s f ra A-toplaabilir oldu¼guda (x 2 ) dizisii de s f ra A-toplaabilir olmas d r (Brauer 956). Ispat: A = (a ) çarp msal bir matris olsu. Bu durumda x = (x ) s f ra A-toplaabilir bir dizi ise (x 2 ) dizisi de s f ra A-toplaabilir bir dizidir. Karş t olara x = (x ) dizisi s f ra A-toplaabilir oldu¼guda (x 0 ) dizisi de s f ra A-toplaabilir olsu. L say s a A-toplaabile y = (y ) dizisi alal m. Bu durumda (y L) dizisi de s f ra A-toplaabilirdir. Hipotezdede (y L) 2 dizisi de s f ra A-toplaabilirdir. O halde (y L) 2 = y 2 2Ly + L 2 oldu¼guda 0 = A y 2 2Ly + L 2 = A y 2 2LA(y ) + L 2 gerçeleir. Burada (y 2 ) dizisii L2 say s a A-toplaabilir oldu¼guu söyleyebiliriz. O halde Teorem 4..2 de A matrisi çarp msald r. 9

26 4.2 S rl Toplaabilme Alalar da Yalaş m A reel terimli regüler bir matris ve ` reel terimli ve s rl diziler uzay olma üzere A := o x 2 ` : lim(ax) mevcut ümesi ile A matrisii s rl toplaabilme ala ta mlayal m, yai A = c A \ ` olsu. Bu s mda, A uzay elemalar a yie A uzay a ait arateristi fosiyolar solu lieer ombiasyou ile düzgü olara yalaş labile A ümesii araterize edece¼giz. Daha sora A ümesii çarpalar ile ilgileece¼giz. Bu s mda matrisler reel terimli ve regüler al acat r. Ta m 4.2., ` uzay apal alt uzay olsu. E N alal m. E ümesii arateristi fosiyou; 8 < ; 2 E E () = : 0 ; 62 E olma üzere, e¼ger E 2 ise E ümesie -abul edilebilir (admissible) deir (Hill ad Sledd 968). Ta m N do¼gal say lar ümesii -abul edilebilir alt cümlelerii solu parçalamas a N ümesii -abul edilebilir parçalamas deir (Hill ad Sledd 968). Ta m E i ümeleri N do¼gal say lar ümesii bir -abul edilebilir parçalamas oluştursu. Her i 2 N içi i 2 R olma üzere, := i Ei i= şelidei bir fosiyoa -abul edilebilir fosiyo deir (Hill ad Sledd 968). 20

27 Teorem 4.2. E¼ger ümesi, -abul edilebilir fosiyolar apa ş ise bu durumda bir cebirdir (Hill ad Sledd 968). Teorem A, ` uzay bir alt cebiri ise A, A -abul edilebilir fosiyolar apa ş a eşittir (Hill ad Sledd 968). 4.3 S rl Toplaabilme Alalar Çarpalar Bu s mda s rl toplaabilme alalar çarpalar ile ilgileece¼giz. Öcelile A uzay bir alt ümesii ta mlayal m: A := fx 2 ` : her y 2 A içi xy 2 A g ümesi A uzay bir alt ümesidir. A = A olmas içi gere ve yeter şart A uzay ` uzay bir alt cebiri olmas d r. Teorem 4.3. (Brudo-Mazur-Orlicz S rl Tutarl l Teoremi) A = (a ) ve B = (b ), A B olaca şeilde ii regüler matris olsu. Bu durumda her x 2 A içi A(x) = B(x) gerçeleir (Boos 2000). Ispat: A B gerçelesi aca bir x 2 A içi A(x) 6= B(x) olsu. O halde 6= olma üzere A(x) = ve B(x) = alal m. Bir x 0 = (x 0 ) dizisii x 0 = x şelide ta mlayal m. O halde x 0 2 A olup A(x 0 ) = = 0 ve B(x0 ) = = gerçeleir. Bu durumda x 2 A dizisii A(x) = 0 ve B(x) = olaca şeilde alma geellite birşey aybettirmez. (x a ) ve (x b ) matrislerii gözöüe alal m. K(0) = 0 ve r() = olma üzere K() idisii her r() içi, >K() jx a j < ve >K() jx b j < 2

28 olaca şeilde seçelim. Şimdi r(2) > r() idisii her > r(2) içi, K() jx a j < ve K() jx b j < olaca şeilde seçelim. Bu şeilde devam edere bir m içi, r() < r(2) < ::: < r(m) K() < K(2) < ::: < K(m ) idisleri seçilsi. Şimdi de K(m) > K(m jx a j < m ve >K(m) ) idisii her r(m) içi, jx b j < m >K(m) olaca şeilde seçelim. Şimdi r(m + ) > r(m) idisii her > r(m) içi, K(m) jx a j < m ve K(m) jx b j < m olaca şeilde seçelim. Böylece, (Ax) = x a j=0 2(K(j);K(j+)] = j<m 2(K(j);K(j+)] + j>m 2(K(j);K(j+)] şelide yaz labilir. Burada her r(m) içi <K(m ) x a + x a 2(K(m);K(m+)] x a (4.3.) x a < m 22

29 oldu¼guda (4.3.) eşitli¼gidei il ifade s rl d r. Ayr ca r(m + ) içi >K(m+) x a < m + oldu¼guda (4.3.) eşitli¼gidei üçücü ifade de s rl d r. O halde her r(m) r(m + ) içi gerçeleir. Bezer şeilde (Ax) = O + m (Bx) = O + m 2(K(m 2(K(m );K(m+)] );K(m+)] x a (4.3.2) x b (4.3.3) elde edilir. Her içi 2 (0; ], lim if = 0, lim sup = ve lim( + ) = 0 olaca şeilde bir = ( ) dizisi vard r. Bu şeilde bir dizi yavaş sal ml dizi olara adlad r l r. O halde yavaş sal ml bir = ( ) dizi alal m ve bir y = (y ) dizisii y = x j ; K(j ) < K(j) şelide ta mlayal m. Bu durumda K(j ) < K(j) içi, (Ay) = a x j = = j<m j+ + m+ x a + m x a 2(K(j);K(j+)] 2(K(m);K(m+)] x a + j>m 2(K(m j+ );K(m)] 2(K(j);K(j+)] x a (4.3.4) gerçeleir. (4.3.4) eşitli¼gide sa¼g tarafa m 2(K(m);K(m+)] x a ifadesi eleip 23

30 ç art l rsa, (Ay) = O m = O m + m 2(K(m 2(K(m);K(m+)] m + m 2(K(m + m+ m gerçeleir. (4.3.2) eşitli¼gide olup m 2(K(m );K(m)] x a + m+ );K(m+)] 2(K(m);K(m+)] );K(m+)] x a + m 2(K(m);K(m+)] 2(K(m);K(m+)] x a x a x a x a (4.3.5) x a! 0; (! ) 2 (0; ] oldu¼guda (4.3.5) eşitli¼gii sa¼g taraf dai iici ifade s f ra ya sar. Ay zamada 2(K(m);K(m+)] x a s rl ve m+ m! 0 oldu¼guda (4.3.5) eşitli¼gii sa¼g taraf dai üçücü ifade de s f ra ya sar O halde! içi (Ay)! 0 gerçeleir. Bezer şeilde (By) = O m + m 2(K(m + m+ m );K(m+)] 2(K(m);K(m+)] x b x b (4.3.6) elde edilir. (Bx)! ve dizisi ya sa olmad ¼g da (4.3.3), (4.3.6) eşitlileride f(by) g dizisii ya sa olmad ¼g görülür. Bu ise çelişidir. E¼ger {z } {z 2} 2{z 2} ::: {z 3} 3 {z 3 3} serisii smi toplamlar dizisi ( j ) olara al rsa ( j ) dizisii yavaş sal ml oldu¼gu olayca görülebilir. 24

31 Teorem Bir A = (a ) matrisi A üzeride çarp msald r, yai her x; y 2 A içi A(xy) = A(x)A(y) gerçeleir (Hill ad Sledd 968). Ispat: x 2 A alal m. Öce A(x) 6= 0 oldu¼guu abul edelim. B = (b ) matrisii, b = a x A(x) şelide ta mlayal m. x s rl ve A regüler oldu¼guda B matrisi regülerdir. Şimdi y 2 A alal m. x 2 A oldu¼guda xy 2 A olur ve (By) = b y = a x y A(x) = (Axy) A(x) gerçeleir. Bu durumda y 2 B olur, yai A B elde edilir. Teorem 4.3. de B(y) = A(y) olmal d r. B(y) = A(xy) A(x) oldu¼guda A(xy) = A(x)A(y) elde edilir. Şimdi A(x) = 0 alal m. Bir B = (b ) matrisii, b = a x + a şelide ta mlayal m. A regüler ve x s rl odu¼guda B regülerdir. y 2 A al rsa x 2 A oldu¼guda xy 2 A olur ve (By) = b y = (Axy) + (Ay) gerçeleir. Bu durumda y 2 B olup A B buluur. Teorem 4.3. de A(y) = B(y) olup B(y) = A(xy) + A(y) ve A(x) = 0 oldu¼guda A(xy) = 0 = A(x)A(y) elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Teorem x 2 A olsu. x dizisii görütü ümesi ve A(x) otas 25

32 birleşimide oluşa ümei apa ş C ile gösterelim. Bu üme reel say lar ompat bir alt ümesidir. F, C üzeride süreli, reel de¼gerli bir fosiyo olsu. Bu durumda y = ff (x )g olma üzere y 2 A olur. Hatta z 2 A içi A(yz) = A(z)F (A (x)) gerçeleir (Hill ad Sledd 968). Ispat: 2 N, z 2 A ve x 2 A olsu. Teorem de A(zx ) = A(z)A(x ) = A(z) fa(x)g elde edilir. O halde teorem F poliom oldu¼guda gerçeleir. A döüşümü süreli döüşüm oldu¼guda Weierstrass Yalaş m Teoremi de süreli her F fosiyou içi bu teorem gerçeleir. Teorem Negatif olmaya bir A = (a ) matrisi içi A =!(A) \ ` gerçeleir (Hill ad Sledd 968). Ispat: Il olara x 2 A alal m. A regüler oldu¼guda, lim a (x A (x)) = lim a x lim a A(x) = A(x) A(x) = 0 olur. Bir s = (s ) dizisii s = x A(x) olara ta mlayal m. Bu durumda s 2 A olur. Şimdi Teorem de F (t) = jtj ve z = (; ; :::) al rsa y = F (s ) = jx A(x)j olup A(yz) = A(z)F (A(s)) = F (A(s)) gerçeleir. O halde, lim a jx A(x)j = A(yz) = lim a (x A (x)) = 0 26

33 oldu¼guda x 2!(A) gerçeleir. Böylece x 2!(A) \ ` gerçeleir. Karş t olara x 2! A \ ` alal m. O halde lim a jx Lj = 0 olaca şeilde bir L say s vard r. Ayr ca her y 2 A içi lim a x y = lim a (x L)y + L lim a y (4.3.7) yazabiliriz. y dizisi s rl ve x 2! A oldu¼guda, gerçeleir. O halde a (x L) y a jx Lj jy j y a jx Lj! 0; (! ) olup (4.3.7) eşitli¼gide lim lim a (x L) y = 0 a x y = LA(y) olur. Bu durumda xy 2 c A gerçeleir, yai x 2 A buluur. Bu da ispat tamamlar. Teorem x 2 A ise A(x) 2 968). lim if Ispat: p pozitif bir tamsay olsu. Bir y = (y ) dizisii 8 < x ; p y = : if x ; < p x ; lim sup x gerçeleir (Hill ad Sledd şelide ta mlayal m. Bu durumda y 2 A olup A(y) = A(x) elde edilir. Şimdi a := sup y olsu. Bu durumda a y = ja y j olur. Teorem de her 2 N 27

34 içi z = ve F (t) = jtj al rsa 0 ja (a y)j = A (a y) = a A(y) = a A(x) gerçeleir. O halde her p içi A(x) a = sup x p buluur. Bu durumda gerçeleir. Bezer şeilde A(x) lim sup x A(x) lim if x elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Souç 4.3. Bir x dizisi A ümesie ait ise A(x), x dizisii bir limit otas d r (Hill ad Sledd 968). Ispat: x 2 A alal m. Il olara A(x) = 0 abul edelim. Teorem de her 2 N içi z = ve F (t) = jtj al rsa F (x) = jxj 2 A olur ve A(yz) = A(z)F fa(x)g oldu¼guda A (jxj) = ja (x)j gerçeleir. Bu durumda A(x) = 0 oldu¼guda A(jxj) = 0 elde edilir. Böylece Teorem de 0 lim if jxj A(jxj) = 0 lim sup jxj gerçeleir. O halde lim if jxj = 0 olup 0 = A(x) bir limit otas olur. Şimdi de A(x) = L 6= 0 abul edelim. Bu durumda A(x L) = 0 gerçeleir. Birici s ma 28

35 bezer şeilde 0 lim if jx Lj 0 lim sup jx Lj gerçeleir ve böylece lim if jx Bu da ispat tamamlar. Lj = 0 olup L say s x dizisii bir limit otas d r. 29

36 5. TOPLANAB ILME ALANLARININ DÜZGÜN INTEGRALLENEB ILEN D IZ ILER ÜZER INDE ÇARPANLARI Bu bölümde regüler matris metodlar toplaabilirli alalar çarpalar s rl l şart ha etere araterize edece¼giz. Bu amaçla A-s rl diziler ve A-düzgü itegralleebile diziler uzaylar ullaaca¼g z. 5. Düzgü Itegralleebile ve A-s rl Diziler Bu s mda düzgü itegralleebilme ve A-s rl diziler ta t l p düzgü itegralleebilme şart s rl l şart da daha geel bir şart oldu¼guu gösterece¼giz. Negatif olmaya elemalara sahip ve herbir sat r toplam ola matrisleri s f M + ile gösterece¼giz. Ta m 5.. A = (a ) bir matris toplaabilme metodu olma üzere S A := ( uzay a A-s rl diziler uzay ve U A := 8 < x = (x ) : sup : x = (x ) : lim M! sup ) jx j ja j < :jx j>m 9 = jx j ja j = 0 ; uzay a ise A-düzgü itegralleebile diziler uzay deir (Kha ad Orha 2007). Düzgü itegralleebile diziler uzay araterize ede aşa¼g dai soucu ispats z verece¼giz. Lemma 5.. x = (x ) reel terimli bir dizi ve A 2 M + olsu. x dizisii A-düzgü (x) itegralleebilir olmas içi gere ve yeter oşul (0) = 0, lim x! x sup (jx j) a < 30 = ve

37 olaca şeilde oves ve çift bir : R! R fosiyouu mevcut olmas d r (Kha ad Orha 2008). Şimdi s rl diziler uzay düzgü itegralleebile diziler uzay bir alt ümesi oldu¼guu gösterelim. Buu içi s rl her dizii A-düzgü itegralleebilir oldu¼guu göstermeliyiz. x = (x ) s rl bir dizi olsu. E := f : jx j > Mg ümesii ta mlayal m. x = sup jx j de¼geride büyü her M > 0 içi E =? olup sup :jx j>m jx j ja j = sup = 0 E () jx j ja j oldu¼guda x 2 U A gerçeleir. Regüler ve mas a! 0 olaca şeilde bir A 2 M + matrisi ald ¼g m zda s rs z aca A-düzgü itegralleebile bir dizi işaa edebiliriz. Asl da A matrisi s f ra ya saya ololara sahip ve lim if o mas a = 0 olaca şeilde bir matris oldu¼guda da s rs z aca A-düzgü itegralleebile bir x = (x ) dizisi işaa edilebilir. Buu içi olo idislerii mas a ;K(m) < 2 m ; m = 0; ; 2::: olaca şeilde bir K(0) < K() < K(2)::: dizisii seçelim. Şimdi de > N(m) ve K(m) oldu¼guda a < 2 m olaca 3

38 biçimde sat r idislerii arta N(j) idislerii seçelim. O halde bir y = (y ) dizisii, 8 < m + ; = K(m) y = : 0 ; di¼ger durumlarda şelide ta mlayal m. Her > N(m) içi, (Ay) = = y a = (j + ) a ;K(j) j=0 m (j + ) 2 m + (j + ) 2 j (5..) j>m j=0 gerçeleir. (5..) eşitsizli¼gii her ii taraf da m! içi limit al rsa > N(m) oldu¼guda! olaca¼g da lim (Ay) = 0 gerçeleir. x = (x ) dizisii her içi, x := p y Şimdi bir şelide ta mlayal m. (x) = x 2 fosiyouu göz öüe al rsa lim (Ay) = 0 oldu¼guda sup (jx j) a = sup a y < olup Lemma 5.. de x dizisi A-düzgü itegralleebilirdir. Ta m 5..2 x = (x ) reel terimli bir dizi, A = (a ) bir matris ve F fosiyou, R üzeride bir olas l da¼g l m olma üzere F fosiyouu süreli oldu¼gu her t içi, lim a = F (t) :x t oluyorsa x dizisi F fosiyoua A-da¼g l msal ya sat r deir (Kha ad Orha 2008). Aşa¼g da verece¼gimiz teorem bir x dizisii A-uvvetli ya sal ¼g araterize et- 32

39 metedir. Teorem 5.. A = (a )M + ve x = (x ) reel terimli bir dizi olsu. Aşa¼g dai öermeler detir. (i) F = [0;) olma üzere x, F fosiyoua A-da¼g l msal ya sat r ve x dizisi A-düzgü itegralleebilirdir. (ii) st A lim x = 0 ve x dizisi A-düzgü itegralleebilirdir. (iii) x dizisi s f ra A-uvvetli toplaabilirdir (Kha ad Orha 2008). Ispat: F := [0;) olma üzere F fosiyouu süreli oldu¼gu her t içi lim :x t a = F (t) ve x, A-düzgü itegralleebilir olsu. " > 0 alal m. Böylece, a = a + :jx j>" :x < " a :x >" a :x " a a + :x "! F ( ") + F (") = 0 + = 0 gerçeleir. O halde st A lim x = 0 buluur. Şimdi st A lim x = 0 ve x, A-düzgü itegralleebilir olsu. Lemma 5.. de x! içi x (x) gerçeleir. x! içi! 0 olaca biçimde oves bir fosiyou vard r ve x (x) sup (jx j) a < (5..2)! 0 oldu¼guda her " > 0 verildi¼gide her x > L içi x < " olaca şeilde bir L > 0 say s vard r. Bir y = (y (x) ) dizisii; 8 < x ; jx j L y = : 0 ; di¼ger durumlarda 33

40 şelide ta mlayal m. y dizisii ta m da her " > 0 içi, :jy j" a = a a (5..3) :jx j" :jx j" jx jl gerçeleir. x, s f ra A-istatistisel ya sa oldu¼guda lim! :jx j" a = 0 olmal d r. O halde (5..3) eşitsizli¼gide her ii taraf! içi limiti al rsa AM + oldu¼guda lim :jy j" a = 0 gerçeleir. Bu durumda y dizisi s f ra A-istatistisel ya sat r. Ayr ca y dizisi s rl bir dizi olup A-istatistisel ya sa oldu¼guda Teorem de s f ra A- uvvetli ya sat r. Di¼ger yada, lim sup jx j a lim sup = lim sup lim sup :jx jl jx j a + lim sup jy j a + lim sup jy j a + " sup :jx j>l jx j a jx j (jx j) (jx j) a :jx j>l (jx j) a (5..4) elde edilir. y dizisi s f ra A-uvvetli ya sa oldu¼guda oldu¼guda (5..4) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai il ifade s f ra ya sar. Ayr ca (5..2) eşitsizli¼gide sa¼gdai iici ifade isteildi¼gi adar üçü yap labilir. Böylece, lim sup jx j a = 0 gerçeleir. 0 lim if jx j a lim sup jx j a = 0 34

41 oldu¼guda lim jx j a = 0 olur. Yai x dizisi s f ra A-uvvetli ya sat r. So olara lim jx j a = 0 (5..5) oldu¼guu abul edelim. Her t < 0 içi, x t ise jx j jtj jx j t gerçeleir. Böylece, t 0 olaca¼g da :x t a jx j a (5..6) t :x t elde edilir. O halde (5..5) eşitli¼gi edeiyle (5..6) eşitsizli¼gii sa¼g taraf s f ra ya sayaca¼g da buluur. Ayr ca her t > 0 içi, lim! :x t a = 0 = a = a + a :x t :x >t a + x a t :x t :x >t a + jx j a (5..7) t :x t gerçeleir. O halde (5..7) eşitsizli¼gide her ii taraf! içi limiti al rsa (5..5) eşitli¼gi edeiyle lim! :x t a elde edilir. Ayr ca olup :x t a a = lim a! :x t 35

42 gerçeleir. Bu durumda lim! :x t a = olmal d r. Şimdi " > 0 olsu. Her N içi jx j a < " olaca şeilde bir NN vard r. Her = ; 2; :::; N içi jx j a < " ; (her < N) >K olaca şeilde yeterice büyü KN say s seçilebilir. c > mas fjx j ; jx 2 j ; :::; jx K jg oldu¼guda sup :jx j>c jx j a < " oldu¼gu görülür. Bu da ispat tamamlar. 5.2 Çarpa Uzaylar Bu s mda regüler matris metodlar toplaabilirli alalar çarpalar s rl l şart yerie A-düzgü itegralleebilirli şart alara araterize edece¼giz. Burada U, (; ; :::) birim elema içere bir cebir olara al acat r. Her regüler A 2 M + matrisi içi ( U A := x 2 c A : her p ve bir L içi ) jx Lj p a! 0 cümlesi de cebir yap s a sahiptir. E ve F ii dizi uzay ve U bir cebir olma üzere m U (E; F) := fx 2 U : her y 2 E içi uy 2 Fg 36

43 ümesie U üzeride çarpalar uzay diyece¼giz. Uygulu aç s da, m(u) := m U (c A \ U; c A ) gösterimii ullaaca¼g z. Aşa¼g dai souç ispats z olara verilecetir. Öerme 5.2. A = (a ) ey bir regüler matris olsu. Her " > 0 içi! oldu¼guda ja j! 0 olmas içi gere ve yeter şart lim x = L ve! 2E c :jx Lj>" içi ja j! 0 olaca biçimde bir E N alt ümesii var olmas d r (Kha ad 2E Orha 2007). Sözü edile çarpa uzaylar araterizasyou içi Brudo-Mazur-Orlicz S rl Tutarl l Teoremi i s rs z diziler içi bir bezerie ihtiyaç duyaca¼g z. Lemma 5.2. A ve B regüler matrisler olma üzere U, ` U S A \ S B olaca şeilde bir cebir ve m(u), A matrisii U üzeridei çarpalar olsu. E¼ger c A \ U c B \ U ise A ve B toplaabilme metodlar m(u) üzeride tutarl d r (Kha ad Orha 2007). Ispat: Kabul edelim c A \ U c B \ U olsu aca bir x 2 m(u) içi A(x) = 6= = B(x) olsu. Bir x 0 = (x 0 ) dizisii x 0 = x şelide ta mlayal m. x 0 2 m(u) olup A(x 0 ) = = 0 ve B(x0 ) = = gerçeleir. Bu durumda x 2 m(u) dizisii A(x) = 0 ve B(x) = olaca şeilde alma geellite birşey aybettirmez. Teorem 4.3. i ispat da ulla ld ¼g gibi s rl ve yavaş sal ml bir dizisi ullaara, A(y) = 0 faat B-toplaabilir olmayaca şeilde bir y = x dizisii elde edebiliriz. Bu ise c A \ U c B \ U ile çelişir. Burada detaylar vermeyece¼giz. 37

44 Aşa¼g da verilece ola ii teorem U A uzay sadece toplaabilme alalar çarpalar araterize etme içi de¼gil ay zamada U A üzeride A-istatistisel ya sal ¼g bir matris gösterimie sahip oldu¼guu gösterme içi de ulla labilece¼gii gösterir. Teorem 5.2. A reel terimli, regüler bir matris ve U birim eleme içere bir cebir olsu. O halde aşa¼g dai öermeler gerçeleir. (i) m(u) bir cebirdir. (ii) ` U S A ise A, m(u) üzeride çarp msald r, yai, her x; y 2 m(u) içi A(xy) = A(x)A(y) gerçeleir. (iii) ` U S A ve A egatif olmaya bir matris ise ( m(u) x 2 U : her p ve bir L say s içi lim ) jx Lj p a = 0 gerçeleir. (iv) ` U U A ise ( m(u) x 2 U : bir L say s içi lim ) jx Lj ja j = 0 gerçeleir. (v) U = ` ve x 2 m(u) ise A(x) 2 Orha 2007). lim if x ; lim sup x gerçeleir (Kha ad Ispat: Il olara m(u) c A \ U oldu¼guu gösterelim. Bir x 2 m(u) alal m. y = (; ; :::) içi y 2 c A \ U oldu¼guda xy 2 c A olur. xy = x oldu¼guda x 2 c A olup x 2 c A \ U gerçeleir. (i) x; y 2 m(u) ve ; ey salerler olsu. Her z 2 c A \ U içi xz; yz 2 c A olup xz + yz = (x + y)z 2 c A gerçeleir. Bu durumda x + y 2 m(u) olup m(u) bir lieer uzayd r. Şimdi x; y 2 m(u) alal m. x 2 m(u) ve y 2 c A \ U oldu¼guda xy 2 c A olur. Ayr ca U bir cebir oldu¼guda xy 2 U olup xy 2 c A \ U elde edilir. Şimdi z 2 c A \ U içi y 2 m(u) olmas yz 2 c A \ U oldu¼guu gösterir. x 2 m(u) oldu¼guda xy(z) = x(yz) 2 c A olmal d r. Ayr ca x; yz 2 U ve U bir 38

45 cebir oldu¼guda xyz 2 U olup xy 2 m(u) gerçeleir. (ii) x 2 m(u) alal m ve A(x) 6= 0 oldu¼guu abul edelim. Bir B = (b ) matrisii, b := a x A(x) şelide ta mlayal m. Bu durumda B matrisii herbir sat r toplam de¼gerie ve herbir sütuu 0 de¼gerie ya sat r. Ayr ca U S A oldu¼guda sup jb j = ja(x)j sup jx j ja j < gerçeleir. O halde B matrisi regülerdir. x 2 m(u) oldu¼guda her y 2 c A \ U içi xy 2 c A olmal d r, yai A(xy) mevcuttur. Ayr ca (By) = = a x y A(x) = A(x) (Axy) olup B(y) = A(xy) A(x) mevcuttur. O halde y 2 c B \ U elde edilir, yai c A \ U c B \ U olur. Lemma 5.2. de B(y) = A(y) olup A(xy) = A(x):B(y) oldu¼guda A(xy) = A(x)A(y) elde edilir. Şimdi de x 2 m(u) ve A(x) = 0 olsu. Bir B = (b ) matrisii b := a x + a şelide ta mlayal m. O halde B matrisii olo limitleri 0 de¼gerie ve herbir sat r toplam de¼gerie ya sar. Ayr ca, sup jb j sup jx j ja j + sup ja j < gerçeledi¼gide B matrisi regülerdir. Her y 2 c A \U içi (By) = (Axy) +(Ay) 39

46 oldu¼gu aç t r. x 2 m(u) oldu¼guda A(xy) limiti mevcuttur. Bu durumda B(y) = A(xy) + A(y) gerçeleir. Burada c A \ U c B \ U olup Lemma 5.2. de B(y) = A(y) olur. Di¼ger yada B(y) = A(xy) + A(y) = A(y) oldu¼guda A(xy) = 0 gerçeleir. O halde A(x)A(y) = 0 ve A(xy) = 0 olup A(xy) = A(x)A(y) = 0 elde edilir. (iii) x 2 m(u) alal m. m(u) c A oldu¼guda x 2 c A olup bir L reel say s içi A(x) = L olur. Bir z = (z ) dizisii, z := x L şelide ta mlayal m. m(u) lieer uzay oldu¼guda z dizisi de m(u) u bir elema d r. Burada [[:]] tamde¼ger fosiyouu gösterme üzere, her p içi z 2([[p]]+) 2 m(u) olmal d r. Hölder eşitsizli¼gide her p içi, jx Lj p a = = jx Lj p a p 2([[p]]+) a p 2([[p]]+) jx Lj 2([[p]]+) a! p 2([[p]]+)! a p 2([[p]]+) jx Lj 2([[p]]+) a! p 2([[p]]+) O() (5.2.) elde edilir. (5.2.) eşitsizli¼gide! içi eşitsizli¼gi sa¼g taraf A z 2([[p]]+) p 2([[p]]+) de¼gerie ya sar. A çarp msal oldu¼guda her m 2 N içi A (z m ) = [A (z)] m = 0 olur. Bu durumda! içi, jx Lj p a! 0 elde edilir. Yai ( m(u) x 2 U : her p ve bir L say s içi lim ) jx Lj p a = 0 40

47 gerçeleir. (iv) ` U U A olma üzere bir L say s içi jx Lj ja j! 0 olaca şeilde bir x 2 U alal m. Ayr ca y 2 c A \ U ve A(y) = olsu. Di¼ger yada x y a = (x L + L) y a = L y a + (x L)y a = L(Ay) + (x L)y a olur. L = 0 abul etme geellite birşey aybettirmez. O halde A matrisii mutla de¼ger matrisi ola (ja j) matrisii ullaara x dizisii s f ra A-istatistisel ya sa oldu¼guu söyleyebiliriz. Hatta x; y 2 U oldu¼guda xy 2 U olup U U A oldu¼guda xy 2 U A olmal d r. x s f ra A-istatistisel ya sa oldu¼guda Öerme 5.2. de lim ja j = 0 ve lim x = 0 olaca şeilde bir E N vard r. Şimdi I 2E c 2E bir gösterge fosiyou olsu, yai herhagi bir K ümesi içi, I fosiyou 8 < 0 ; x 62 K I(x) = : ; x 2 K şelide ta mlas. O halde x y a x y a :jx y j>m + x y a :jx y jm sup jx y j ja j + M ja j :jx y j>m 2E + x y I (jx y j M) a 2E c (5.2.2) elde edilir. Böylece (5.2.2) eşitsizli¼gide! içi her ii taraf limiti al rsa lim ja j = 0 oldu¼guda eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai iici ifade s f ra ya sar. 2E 4

48 ! içi limit al d ta sora yeterice büyü M reel say lar içi eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai il ifade de s f ra yeterice ya olur. Ayr ca, x y I (jx y j M) a jx y j ja j 2E c 2E c = jx j jy j ja j + jx j jy j ja j 2E c 2E c jy j>n sup jx j sup 2E c 2E c jy j>n jy jn jy j ja j +N 2E c jx j ja j (5.2.3) gerçeleir.! içi (5.2.3) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai iici s m s f ra ya sar. O halde! içi limit al p N say s yeterice büyü seçilirse eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai il s m da s f ra yeterice yalaşt r labilir. Bu durumda! içi, x y a! L gerçeleir, yai xy 2 c A buluur. (v) Bu s m Teorem de gösterilmiştir. Yuar dai teoremi (iii) ve (iv) s mlar egatif olmaya regüler matrisler içi ` U U A oldu¼guda m(u) uzay araterize etmetedir. Bu durumda m(u) = ( x 2 U : bir L say s içi lim ) jx Lj a = 0 yaz labilir. Bu uzay ise U üzeride A-istatistisel ya sa dizileri uzay d r, yai m(u) = st A \ U elde edilir. Ayr ca st A uzay bir cebir ve ii cebiri araesitii yie bir cebir oldu¼guda yararla lara aşa¼g dai souca var labilir. Souç 5.2. A egatif olmaya regüler bir matris olsu. O halde aşa¼g dai öer- 42

49 meler gerçeleir. (i) (; ; :::) dizisii içere bir U cebiri içi m sta \U(st A \ c A \ U; c A ) bir cebirdir. (ii) ` U S A olma üzere A-matrisi, m sta \U(st A \ c A \ U; c A ) üzeride çarp msald r. (iii) ` U S A olma üzere m sta \U(st A \ c A \ U; c A ) ( x 2 U \ st A : her p ve bir L say s içi lim ) jx Lj a = 0 gerçeleir. (iv) ` U U A olma üzere ( m sta \U(st A \c A \U; c A ) = x 2 U \ st A : bir L say s içi lim ) jx Lj a = 0 gerçeleir (Kha ad Orha 2007). Öerme A-egatif olmaya regüler bir matris ise m sta (st A ; st A ) = st A gerçeleir. Hatta herhagi bir U cebiri içi m sta \U(st A \ U; st A ) = st A \ U gerçeleir (Kha ad Orha 2007). Ispat: m sta (st A ; st A ) st A oldu¼gu aç t r. Karş t olara x; y 2 st A alal m. Bu durumda A (E x ) = A (E y ) = 0 ve x; y dizileri s ras yla Ex c ve Ey c üzeride ya sa olaca şeilde E x ; E y N alt ümeleri vard r. E = E x [ E y al rsa A (E) = 0 olup xy dizisi E c üzeride ya sat r, yai xy dizisi A-istatistisel ya sat r. O halde st A m sta (st A ; st A ) gerçeleir. 43

50 Şimdi herhagi bir U cebiri alal m. Ii cebiri araesiti yie bir cebir yap s a sahip oldu¼guda st A \ U bir cebirdir. x; y 2 st A \ U alal m. Bu durumda A (E x ) = A (E y ) = 0 ve x; y s ras yla E c x ve E c y üzeride ya sa olaca şeilde E x ; E y N alt ümeleri vard r. E = E x [ E y al rsa A (E) = 0 ve xy dizisi E c üzeride ya sa olur, yai xy dizisi A-istatistisel ya sa olup xy 2 st A \ U elde edilir. Böylece m sta \U(st A \ U; st A ) = st A \ U elde edilir. Buda sorai teoremi ispat içi aşa¼g dai lemmaya ihtiyac m z olacat r. Lemma A = (a ) regüler bir matris olsu. O halde sat r toplamlar ve U A üzeride A matrisie de olaca biçimde üçgesel bir B matrisi vard r. Üsteli A matrisi egatif de¼gilse B matrisi de egatif de¼gildir (Kha ad Orha 2007). Ispat: Her içi ja j serisi ya sat r. O halde K! içi ala terim, ja j! 0 >K olur. Özel olara K < K + olma üzere >K ja j < = " olaca biçimde (K ) seçebiliriz. Şimdi bir B = (b ) matrisii 8 < a ; K b = : 0 ; di¼ger durumlarda şelide ta mlayal m. A matrisi egatif de¼gilse B matrisi de egatif de¼gildir. Şimdi x 2 U A alal m. Her " > 0 ve her t T içi, sup :jx j>t jx j ja j < " 44

51 olaca şeilde bir T vard r. Böylece gerçeleir. j(ax) (Bx) j = = = a x b x K a x a x = a x >K sup ja j jx j + T ja j :jx j>t >K " + T ja j! " >K Bu ise A matrisi ile B matrisii A-düzgü itegralleebile diziler üzeride de oldu¼guu gösterir. Burada B matrisi üçgesel ve sat r toplamlar olma zoruda de¼gildir. Aca B matrisie de olaca biçimde sat r toplamlar ve üçgesel bir matris elde edilebilir. Buu içi; := K b = = a ta mlayal m. A regüler oldu¼guda! olmal d r. Her içi 6= 0 abul etme geelli¼gi bozmaz. Şimdi, şelide ta mlaa B 0 8 < b 0 = : a ; K 0 ; di¼ger durumlarda = (b 0 ) matrisii sat r toplamlar olup bu matris B matrisie detir. B 0 matrisi üçgeselleştirilere B matrisie de bir matris elde edilebilir. Her ii sat r aras a matrisi edi sat rlar eleere aşa¼g dai gibi bir 45

52 matris elde edebiliriz b ::: b 0 b ::: ::: ::: ::: ::: b 0 b 0 2 ::: b 0 ;K ::: b 0 b 0 2 ::: b 0 ;K b 0 ;K ::: b 0 b 0 2 ::: b 0 ;K b 0 ;K ::: b 0 b 0 2 ::: b 0 ;K b 0 ;K ::: ::: b 0 ::: b 0 2 ::: ::: ::: b 0 ;K ::: ::: b 0 ;K 0 ::: ::: 0 ::: b 0 2 b 0 22 b 0 23 ::: b 0 2;K ::: ::: ::: ::: b 0 2;K 2 0 ::: b 0 2 b 0 22 b 0 23 ::: b 0 2;K ::: ::: ::: ::: b 0 2;K 2 0 ::: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Bu matrisde K i -ici sat rlar B 0 matrisii edi sat rlar olup di¼ger sat rlar bu sat rlarda elde edilmiştir. Burada sorada elee sat rlardai elemalar buludular sat rlar toplam a bölerse elde etti¼gimiz so matris sat r toplamlar ola üçgesel bir matris olup B matrisie detir. O halde U A üzeride A matrisie de olaca şeilde sat r toplamlar ola, üçgesel bir matris elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Teorem (De¼gişmezli Presibi) A egatif olmaya regüler bir matris olsu. Bu durumda U A üzeride A-istatistisel ya sal B toplaabilme metodua de olaca biçimde egatif olmaya, üçgesel regüler bir B 2 M + matrisi vard r. Üsteli B matrisi içi aşa¼g dailer gerçeleir. (i) c B \ ` bir cebirdir. (ii) B, c B \ ` üzeride çarp msald r (Kha ad Orha 2007). Ispat: Lemma edeiyle U A üzeride A matrisii üçgesel, egatif olmaya, regüler ve herbir sat r toplam ola matirs abul etme geellite birşey aybettirmez. B matrisii oluşturabilme içi öcelile bir C = (c ) matrisi oluştural m. C matrisii il ii sat r A matrisii birici sat r ile ay ola (; 0; 0; :::) ol- 46

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisas Tezi ISTAT IST

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI Neşe İŞLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi CHLODOWSKY-TAYLOR

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Özge (ÖZER) DALMANOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her haı salıdır

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI. Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI. Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Haı Salıdır ÖZET Yüse Lisans Tezi FONKSİYON

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖZÜMLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖZÜMLERİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖÜMLERİ Fahriye ehra BABACAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2 Her Haı Salıdır

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I T.C. SÜLEYMAN DEMREL ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL Fatma Kadriye ÖRGEN Dama: Doç. Dr. Ahmet AHNER YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK ANABLM DAL SPARTA- 009 ÇNDEKLER Sayfa

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Our GENÇ Aabilim Dalı : Matemati Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN KASIM/013

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI Bayram ÇEKİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her haı salıdır TEZ ONAYI Bayram

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLME METOTLARI VE İTERASYON. Rüya YEĞİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLME METOTLARI VE İTERASYON. Rüya YEĞİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLME METOTLARI VE İTERASYON Rüya YEĞİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi TOPLANAB ILME

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar

6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar 6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ALT DİZİLERİN TOPLANABİLMESİ. Emre TAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ALT DİZİLERİN TOPLANABİLMESİ. Emre TAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ALT DİZİLERİN TOPLANABİLMESİ Emre TAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi ALT D IZ ILER IN TOPLANAB

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK Hüseyin ALBAYRAK Danışman: Prof. Dr. Serpil PEHLİVAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA, 2008 İÇİNDEKİLER

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ Dile SÖYLEMEZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi

Detaylı

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Her üei iyis ralaabilece ii a tla flt (Teore 24.1). Özel iyis ral üeler ola ordialleri de Bölü 10 da ta la flt. Ordiallerde iyis ralaa iliflisiyle verilir, yai bir

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators itüdergisi/c fe bilimleri Cilt:4, Sayı:, 85-94 Kasım 26 Birlite ompat operatör ailelerii değişmez altuzayları üzerie uç MISIRLIOĞLU *, Şafa ALPAY İÜ Fe Bilimleri Estitüsü, Matemati Mühedisliği Programı,

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ Neslihan ÇAVUNT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her hakkı saklıdır

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z.

Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m 2010 1 Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. 2 (a) d (x; y) = Z 1 0 jx (t) y (t)j 1 + jx (t) y (t)j dt fonksiyonunun

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012 NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TAR IH I VE SAAT I : 24 MART 2012 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu s nav 25 sorudan oluşmaktad

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? ) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile

Detaylı

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur. 3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LOKAL İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON UZAYLARINDA KOROVKİN TİPİ YAKLAŞIMLAR.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LOKAL İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON UZAYLARINDA KOROVKİN TİPİ YAKLAŞIMLAR. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ LOKAL İNTEGRALLENEİLİR FONKSİYON UAYLARINDA KOROVKİN TİPİ YAKLAŞIMLAR Nilay ŞAHİN MATEMATİK ANAİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ÖET Yüksek

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel

Detaylı

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine *

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine * S Ü Fe Fa Fe Derg Sayı 37 (011) 9-14, KONYA Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie * İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA Selçu Üiversitesi, Fe Faültesi, Mateati Bölüü, Koya Özet: Bu çalışada lieer cebirde öeli bir

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE. Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE. Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi S

Detaylı

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 27 Çok farkl durumlara uygulanabilen genel bir yöntemdir. Reel de¼gişkenli,

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER. Yelda AYGAR

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER. Yelda AYGAR ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER Yelda AYGAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS Asal Yak n Halkalar Üzerine C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN 135-1385 C.B.U. Journal of Siene 2.2 (26) 135 139 2.2 (26) 135 139 ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE Ak n Osman ATAGÜN* Eriyes Üniversitesi, Yozgat

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ MORREY UAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKSİMAL OPERATÖRÜ ve RIES POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI Ferit GÜRÜ MATEMATİK ANAİLİM DALI ANKARA 2 Her hakkı

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı