ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULARINDAKİ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERİ

Transkript

1 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 9. Bölüm ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULARINDAKİ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERİ Asuman DUATEPE-PAKSU Üslü ve köklü sayılar öğrencilerin genellikle günlük hayatla ilgisi olmayan, zor, gereksiz ve karışık kavramlar ve işlemler olarak tanımladıkları ve sıkça güçlükler yaşandığı konulardandır. Bu güçlükler, genellikle üslü ve köklü sayı duyusunun oluşmamasından ve doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılarda geçerli olan tüm kuralların üslü ve köklü sayılara genellenebileceği yanılgısından kaynaklanabilir. Bu bölümde üslü ve köklü sayılar konularında karşılaşılan güçlükler ve her bir güçlüğün ortadan kaldırılabilmesi için çözüm önerilerine yer verilecektir. Ayrıca bu konulardaki yanılgılara ilişkin dikkat edilmesi gereken genel uyarılar sunulacaktır. Bunların yanı sıra ilköğretim ve ortaöğretim matematik dersi programlarında üslü ve köklü sayılar konularının veriliş biçimi eleştirel bir gözle incelenecektir. GİRİŞ Matematik kavramları soyut yapıları sebebiyle yanlış anlaşılması olası kavramlardır. Bu kavramlar öğrenilirken, neyi neden yapacağını bilme anlamına gelen ilişkisel anlama (Skemp, 1978) gerçekleşmezse öğrencide kavram yanılgıları ya da kavramla ilgili güçlükler oluşabilmektedir. Anlamlı öğrenmenin gerçekleşebileceği bir öğrenme ortamı oluşturmak yerine öğrencilerin bazı kural ve algoritmaları ezberlemeye yönlendirilmesi, işlemsel ve kavramsal bilgilerin ilişkilendirilmemesi gibi sebeplerle

2 10 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri kavramların tam olarak anlaşılması güçleşmekte ve hatta kavram yanılgıları ortaya çıkabilmektedir (NCTM, 000). Anlamlı öğrenme, öğrenenin var olan birikimiyle yeni bilgi arasında bir ilişki kurması halinde gerçekleşir (Ausubel, 1960) ve ancak öğrenenin zihnindeki şemalarla yeni bilginin bağlantısının kurulması sağlanırsa oluşur. Bu sebeple temel matematik kavramlarının zihinde iyi yapılanması, daha sonra öğrenilecek üst düzeydeki kavramların da zihinde yapılanmasını kolaylaştıracaktır. Böylece zihinde oluşacak kavramsal yapılar, kavramsal analizi ve doğru sonuç çıkarmayı hızlandıracaktır (MEB, 005a). Öğrencilerin matematiksel kavramlara ilişkin düştükleri hataları belirlemek ve gidermek oldukça önemlidir. Matematik yığılmalı bir bilim dalı olduğundan öğrenilen her bir kavram sonraki kavram ya da kavramlar için bir basamak olmaktadır. Bu nedenle herhangi bir kavramın öğrenilmesindeki güçlük ya da kavrama ilişkin edinilmiş yanlış bilgi daha sonra birçok kavramın öğrenilmesinde güçlükler yaşanmasına, kavramların yanlış algılanmasına neden olabilir. Üslü ve köklü sayılar da öğrenci güçlüklerinin sıkça yaşandığı konulardandır. Bu konular matematiğin birçok alanında ve başka disiplinlerde kullanılıyor olmasına rağmen genellikle öğrenciler tarafından günlük hayatla ilgisi olmayan, zor, gereksiz ve karışık işlemler ve kavramlar olarak tanımlanmaktadır (Şenay, 00). Bu olumsuz yargıların sebebi bahsedilen konuların günlük hayatta sıkça kullanılmaması ve öğrencilerin gözünde soyut kalması olabilir. Bu güçlükler, genellikle üslü ve köklü sayı duyusunun oluşmamasından ve doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılarda geçerli olan tüm kuralların üslü ve köklü sayılara genellenebileceği yanılgısından kaynaklanabilir. Bu bölümde öğrencilerin üslü ve köklü sayılar konularında karşılaştıkları güçlükler ve her bir güçlüğün ortadan kaldırılabilmesi için çözüm önerileri sunulacaktır. Bunun yanı sıra bu konulardaki yanılgılara ilişkin genel olarak dikkat edilmesi gereken noktalar ayrı bir başlık altında tartışılacaktır. Son bölümde ise ilköğretim ve ortaöğretim matematik dersi programlarında üslü ve köklü sayılar konularının ele alınış biçimleri incelenecektir. Alanyazında yurtiçinde ve yurt dışında yapılan az sayıda çalışma olması nedeniyle bu bölümdeki bilgiler sınırlı sayıda kaynaktan derlenmiştir.

3 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 11 ÜSLÜ SAYILARDA KARŞILAŞILAN ÖĞRENCİ GÜÇLÜKLERİ, YAYGIN HATALAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Bu kısımda üslü sayılar üzerinde yapılan çalışmalardan (Cengiz, 006; Crider, 1998; Orhun, 1998; Şenay, 00) yola çıkarak, öğrencilerin bu konuda karşılaştıkları güçlükler ve yaygın olarak düştükleri hatalar incelenecektir. Bahsedilen çalışmalardan ikisi 9. sınıflar (Cengiz, 006; Şenay, 00), birisi 8 ve 9. sınıflar (Orhun, 1998), biri ise önlisans öğrencileri (Crider, 1998) üzerinde gerçekleştirilmiştir. Öğrenci güçlükleri ve yaygın hatalar şu başlıklar altında sunulacaktır: üslü sayının değerini belirleyememe, sıfırıncı kuvvetin anlamını algılayamama, (-a) n ile a n ifadelerini birbirinden ayırt edememe, negatif üssü algılayamama, x n ve n x ifadelerini birbirinden ayırt edememe, üssü çift olan bir sayının değerinin daima pozitif olduğunu fark edememe, üslü sayının kuvvetinin değerini bulmada zorlanma, toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşılan güçlükler, çarpma ve bölme işlemlerinde karşılaşılan güçlükler ve negatif üslü ifadelerle işlem yapmada zorlanma. Bahsedilen bu durumlar aşağıda tek tek ele alınarak örneklendirilecek ve her bir durum ile ilgili çözüm önerileri sunulacaktır. Üslü Sayının Değerini Belirleyememe Verilen sayının üslü büyüklüğüne karar verememe öğrencilerin bu konuda karşılaştıkları en temel sıkıntılardandır. Üslü sayının değerinin anlaşılamaması sorununu pek çok öğrenci yaşamaktadır. Bir üslü sayının değerini bulmaya çalışırken öğrencilerin düştükleri yanılgılardan biri taban ve üssün çarpılarak sayının değerinin bulunacağını düşünmeleridir (Cengiz, 006). Örneğin, 3 = 3 x = 6 gibi. Üslü sayının büyüklüğüne karar veremeyen öğrencilerin sayının sayı doğrusu üzerinde nerede olması gerektiğine ilişkin sağlam bir düşünce sahibi olması da beklenmez. Araştırma sonuçları birçok öğrencinin üslü biçimde verilen sayıları sayı doğrusuna yerleştiremediklerini göstermiştir (Crider, 1998). Bu güçlüğün üstesinden gelmek için konunun en başından itibaren bu yeni sayı formu dikkatlice tanıtılmalı, üslü bir sayının başka nasıl ifade edilebileceği, hangi tam sayılar arasında olabileceği, sayı doğrusunda nereye yerleştirilebileceği üzerinde durulmalıdır. Üslü olarak verilen sayının bir rasyonel sayıya karşılık geleceği vurgulanmalı, değerinin çok büyük ya da çok küçük olduğu durumlarda da tahmini olarak kaç olabileceğinin düşünülmesi sağlanmalıdır.

4 1 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Sıfırıncı Kuvvetin Anlamını Algılayamama Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin algılanamaması ve değerinin bulunamaması üslü sayılarla ilgili rastlanan en yaygın hatalardan birisidir. Birçok öğrenci bir sayının sıfırıncı kuvvetinin değerinin 0 olduğu yanılgısına düşebilir. Araştırma bulguları bazı öğrencilerin 0 sayısının toplama işleminin etkisiz elemanı olması özelliğini yanlış yorumlayıp sayının sıfırıncı kuvvetini sayının kendisine eşit sandığını göstermektedir (Cengiz, 006; Crider, 1998). Buradaki sıkıntının giderilmesinde a n /a n ifadesinin değerinin vurgulanması yardımcı olabilir; a n /a n = a n-n 1= a 0 biçiminde üslü sayılarla bölme işlemi kullanılarak yapılacak bir açıklama öğrencilerin sıfırıncı kuvveti anlamalarını kolaylaştırabilir (Crider, 1998). (-a) n ile a n İfadelerini Birbirinden Ayırt Edememe Öğrencilerin düştükleri hatalardan biri de (-a) n ile a n ifadelerini aynı sanmalarıdır. Araştırma sonuçlarına göre bazı öğrenciler -3 ifadesinin değerinin de tıpkı (-3) ifadesi gibi 9 a eşit olduğunu düşünmüşlerdir (Cengiz, 006; Crider, 1998; Orhun, 1998). Bu yanılgının temel sebeplerinden biri öğrencilerin bir rasyonel sayının karesinin daima pozitif olduğu bilgisini yanlış olarak genellemeleri yani -3 ifadesinin eksi üçün karesi olarak yorumlanmasıdır. Bu iki ifadenin ne anlama geldiğinin öğrenci tarafından sözlü olarak açıklanmasının istenmesi öğrencinin kendi kendine iki ifadeyi ayırmasına yardımcı olabilir. (-a) n ifadesi n tane ( a) nın çarpılması gerektiğini anlatırken a n ifadesi n tane a nın çarpımının negatifi anlamına gelmektedir. Üslü ifadeleri bu biçimde sözel hale dökmek bu sorunun ortadan kalkmasını sağlayabilir. Bunun yanısıra ifadede a ve n yerine sayılar koyularak ifadenin sayısal olarak görülmesini sağlamak bu güçlüğün giderilmesine yardımcı olabilir. Ayrıca, bu konuda öğrencilere hesap makinesinde üslü sayının değerinin nasıl hesaplanacağı gösterilip hesap makinesinden yararlanarak yaptıklarını kontrol etmeleri sağlanabilir.

5 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 13 Negatif Üssü Algılayamama 4 3 ün 4x4x4=64 olduğunu anlayabilen bazı öğrenciler 4-3 biçiminde üslü bir sayı gördüklerinde sayının ne anlama geldiğini anlamakta zorlanırlar. Pozitif üsse ilişkin bilgilerini uygulayarak bu sayıyı dördün eksi üç kere kendisiyle çarpımı biçiminde yorumlarlarsa sayının değerinin bulunması zorlaşır ve eksi kere çarpma düşüncesi öğrenciye anlamsız gelir. Araştırmalar bazı öğrencilerin sayının üssünde bulunan eksiyi tabandaymış gibi algılayarak sayıyı şu şekilde düşündüğünü göstermiştir: -3 =- x- x- = -8 ve -4 =- x- x- x- =16 (Crider, 1998; Şenay, 00). Ayrıca yapılan çalışmalar bazı öğrencilerin negatif üslü sayının değerini düşünürken üsteki eksi işaretini düşünmeden hesaplama yapıp elde ettikleri sonucun başına eksi işaretini koyduklarını ortaya koymuştur (Crider, 1998). Örneğin öğrenciler 3-6 ifadesini 3 6 3x3x3x3x3x3 = = -79 biçiminde düşünmüşlerdir. Negatif üs konusunda karşılaşılan hatalardan biri negatif üssün pozitif üssün tersi olması durumunun yanlış bir şekilde yorumlanmasıdır. Örneğin pozitif bir üs için 4 = x x x eşitliğini bilen bazı öğrencilerin -4 = / / / eşitliğini yazdığı gözlenmiştir (Crider, 1998). Yani üs pozitifken tabanı çarpan öğrenciler üs negatif olduğunda bölme yapması gerektiğini düşünmüşlerdir. Bu öğrenciler yazdıkları bölü işaretli ifadeyi sayısal bir değere dönüştürememişlerdir. Bunlar dışında bir tam sayının negatif üssünün kesir formunda olduğuna ilişkin bilgisi olan fakat bu bilgiyi yanlış yorumlamış olan öğrencilerin düştüğü başka hatalara da rastlanmıştır. Bu bilgiye sahip olan bazı öğrenciler negatif üslü tamsayının üssünü belirlerken negatif işaretini kaldırıp üssün çarpmaya göre tersini alarak örneğin, 5-4 = 5 1/4 gibi ifade etmişlerdir (Crider, 1998). Öğrenciler yazdıkları bu ifadenin sayısal olarak değerini yazamamışlardır. Bir tam sayının negatif üssünün kesir formunda olduğuna yönelik sezgiye sahip olan öğrencilerin düşebileceği yanılgılardan biri de üsteki eksi işaretinin sayının negatif ya da pozitif oluşunu etkileyeceğini düşünmeleridir. Araştırma sonuçları bazı öğrencilerin negatif üslü bir ifadenin, aynı ifadenin pozitif üslüsünün çarpmaya göre tersinin, ters işaretlisine eşit olacağını düşündüğünü ortaya koymuştur (Şenay, 00). Örneğin, (3-5 ) = -(1/3 5 ) gibi. Yine tam sayının negatif üssünün kesir formunda olduğuna yönelik sezgiye sahip olan öğrencilerin düşebileceği

6 14 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri yanılgılardan biri, üssü kesrin payı olarak düşünmektir (Cengiz, 006). Bu düşüncedeki öğrencilerin şu hatayı yaptıkları görülmüştür: 3 - = /3. Negatif üs konusunda düşülen hatalar sayının tabanı negatif ise farklılık gösterebilir. Bazı öğrenciler hem tabanın hem de üssün negatif olması durumunda negatifle negatifin çarpımı pozitiftir düşüncesinin yanlış bir şekilde genellenmesiyle sayının değerinin pozitif olması gerektiğini düşünmüşlerdir (Şenay, 00). Bu şekilde düşünen öğrenciler -a - 4 = a 4 eşit olduğunu söylemektedir. Bazı öğrencilerin negatif üslü bir tam sayıyı ondalık kesir biçiminde ifade etme hatasına düştükleri görülmüştür (Crider, 1998). 7-3 = 0,007 biçiminde örneklenebilecek bu yanlışlık, öğrencinin tam sayının negatif üssünün sayının kendisinden daha küçük olduğu düşüncesine sahip olabileceğinin fakat sayının gerçek değerine nasıl ulaşabileceğine yönelik doğru bilgiye sahip olmadığına dair ipucu verebilir. Negatif üsse ilişkin güçlüklerin ortadan kaldırılması için negatif üs ile pozitif üssün ilişkisinin iyi bir şekilde vurgulanması önemlidir. Örneğin 5 3 sayısı 3 tane 5 in çarpımı anlamına gelirken, 5-3 sayısının ( 5 1 ) 3 dolayısıyla 3 tane 5 in çarpmaya göre tersinin çarpımı anlamına geldiği üzerinde durulmalıdır. Pozitif üssün değerini bulmakta zorlanmayan bir öğrenci negatif üs ve pozitif üs arasındaki bu ilişkiyi bilirse hata yapma olasılığı azalır. x n ve n x İfadelerini Birbirinden Ayırt Edememe Öğrencilerin değişkenin kuvvetiyle bir sayının değişken olarak verilmiş bir kuvvetini yani, x gerçel bir değişken ve n bir doğal sayı olmak üzere x n ve n x ifadelerini birbirinden ayıramadıkları görülmüştür (Crider, 1998). Örneğin bazı öğrenciler x ve x ifadelerinin her ikisinin de değerinin x = x = x ya da x = x = x.x olacağını düşünmüşlerdir. Öğrencilerin bu güçlüğü yenmeleri için bu ifadelerin ne anlama geldiğinin sözlü olarak açıklanması ve ifadenin eşitinin yazılması istenebilir. Böylece ifadenin daha anlamlı hale gelmesi sağlanmış olur. Yani üslü sayının değerinin nasıl bulunduğunun hatırlanması sağlandıktan sonra, x iki tane x in çarpımı x = x.x x x tane nin çarpımı x =... x tane

7 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 15 biçiminde ifade edilmesi sağlanırsa öğrencilerin bu hataya düşme olasılıkları azalacaktır. Üssü Çift Olan Bir Sayının Değerinin Daima Pozitif Olduğunu Fark Edememe Yapılan çalışmalar bazı öğrencilerin üslü sayının tabanı negatif ise üssü ne olursa olsun sayının değerinin mutlaka negatif olacağını düşündüğünü göstermiştir (Cengiz, 006; Şenay, 00). Örneğin (-3) = -9 gibi. Bu güçlüğün üstesinden gelmek için üslü bir tam sayının değerinin sayının üssünün çift ya da tek olmasına göre negatif ya da pozitif olarak değişebileceğinin vurgulanması önemlidir. Öğrencilerin verilen üslü sayının açılımını yaptıktan sonra sayının değerine ulaşması sağlanabilir. Örneğin (-3) = (-3) (-3) = 9 (-3) 4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81 (-3) 6 = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = 79 gibi çift sayıda negatif sayının çarpımının daima pozitif bir çarpım vereceğini örneklerle görmek bu sorunun ortadan kalkmasını sağlayabilir. Üslü Sayının Kuvvetinin Değerini Bulmada Zorlanma Öğrencilerin üslü sayılarla ilgili karşılaştıkları güçlüklerden biri de üslü bir sayının üssünü bulmaya çalıştıklarında ortaya çıkmaktadır. Kimi öğrencilerin sayının üssünün üssünü bulurken üs durumundaki iki sayıyı toplayıp sonucun üssü olarak kabul ettikleri gözlenmiştir (Crider, 1998). Örneğin, bazı öğrenciler (7 ) 4 = 7 +4 = 7 6 biçiminde işlem yapmışlardır. Bu hatanın sebebi öğrencilerin tabanları aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yaparken üslerin toplanması kuralını üslü sayının üssünü bulma işlemine yanlış bir şekilde genellemeleridir. Bunun dışında bazı öğrencilerin üslü sayının üssünün değerini bulurken parantezin dışında bulunan üssü, parantez içindeki üssün üssü olarak kabul ederek işlem yaptıkları belirlenmiştir (Şenay, 00). Örneğin, ( 3 ) = 9 = 51 gibi. Benzer yanılgı üslerden biri negatif olduğunda aşağıdaki biçimde ortaya çıkmıştır: (a -3 ) = (1/a 3 ) = (1/a 9 ) = a -9 (Şenay, 00). Verilen ifadenin aşamalı olarak çözümlenmesi bu konuda karşılaşılan güçlüğün giderilmesinde etkili olabilir. Örneğin (7 ) 4 = (7 ). (7 ). (7 ). (7 ) = = 7 8 ya da (7 ) 4 = (7. 7) 4 = (7. 7) (7. 7) (7. 7) (7. 7) =

8 16 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri = 7 8 biçiminde çözümleme öğrencilerin üslü sayının kuvvetini anlamalarına yardımcı olabilir. Üslü sayının üssünü bulurken her iki üssün de negatif olması durumu kimi öğrenciler için ayrı bir güçlüktür. Örneğin bazı öğrenciler (3-1 ) -1 ifadesinin değerini bulmakta sorun yaşamışlardır (Crider, 1998). Bu ifade de üslü sayının üssü biçiminde olmasına rağmen, hem iki üssün de aynı olması hem de negatif olması öğrencilerin daha çok hataya düşmelerine yol açmaktadır. Bunu gidermek için ( 3) ifadesiyle benzeşim kurularak anlamaları kolaylaştırılabilir. Toplama ve Çıkarma İşlemlerinde Karşılaşılan Güçlükler Öğrenciler üslü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken güçlüklerle karşılaşıp, farklı yanlışlıklar yapabilmektedirler. Öğrencilerin üslü ifadelerlerle toplama işlemi yaparken düştükleri en büyük hatalardan biri tabanları aynı olan üslü ifadeleri toplarken üslü ifadelerle çarpma işlemi kuralını uygulamalarıdır (Cengiz, 006). Bazı öğrencilerin = = 1 şeklinde işlem yaptıkları belirlenmiştir. Benzer şekilde öğrenciler tabanları aynı olan üslü ifadelerle çıkarma işlemi yaparken üslü ifadelerle bölme işlemi kuralını uygulayabilirler. Örneğin 4-3 = 4-3 = 1 gibi. Ayrıca üslü sayılarla çıkarma işleminde bazı öğrencilerin = 1 4 örneğinde olduğu gibi üsler aynı verildiğinde tabanlar arasında çıkarma yaptıkları gözlenmiştir (Cengiz, 006). Toplanacak üslü sayılar katsayılarıyla birlikte verildiğinde bazı öğrenciler = = 4 3 örneğinde olduğu gibi katsayılarla üslü sayılar arasında işlem yapma yanlışına düşmüşlerdir (Cengiz, 006). Toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşılan güçlüklerin üstesinden gelebilmek için toplama ve çıkarmanın hangi koşulda yapılabileceği vurgulanmalıdır. Ayrıca işlemin terimlerinin çözümlenmesi bu konuda karşılaşılan güçlüğün giderilmesine yardımcı olup öğrencilerin işlemin kuralını kavramalarını destekleyebilir. Örneğin = ( ) +( ) + ( ) = 1x 3 gibi. Çarpma ve Bölme İşlemlerinde Karşılaşılan Güçlükler Bazı öğrenciler üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin hangi koşullarda yapılabileceğini kavrayamamaktır. Farklı taban ve üslere sahip üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemi yapmakta ve tabanları birbiriyle çarpıp çarpımın tabanı, üsleri birbiriyle çarpıp çarpımın üssü olarak kabul

9 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 17 etmektedirler. Örneğin araştırma bulguları bazı öğrencilerin 3 - x 5 3 = (3x5) - x3 = 15-6 biçiminde işlem yaptığı görülmüştür (Crider, 1998). Benzer şekilde bazı öğrenciler bölme işleminde tabanlar ve üsler arasında ayrı bölme işlemi yapıp tabanlardan elde ettiği sonucu bölümün tabanı, üslerden elde ettiği sonucu ise bölümün üssü olarak kabul etmişlerdir. Örneğin; 1 8 / 6 = (1/6) 8/ = 4 gibi. Bazı öğrencilerin çarpma ve bölme işlemlerinde üslerin toplanıp çıkarılması kuralını yanlış bir şekilde tabanları farklı üsleri eşit olan üslü sayılarla yapılan işlemlere genelledikleri belirlenmiştir (Şenay, 00). Örneğin, 4 x 5 4 = (x5) 4+4 = 10 8 ya da 9 4 / 3 4 = (9/3) 4-4 = 3 0 biçiminde tabanları çarpıp/bölüp eğer ortak üs varsa üsler arasında toplama ya da çıkarma işlemi yapmaktadırlar. Bunun dışında öğrenciler üslü sayılarla çarpma işleminde üslerin toplanması kuralını genişletip tabanların da toplanması gerektiğini düşünebilirler. Örneğin 4 x 7 = (+) 4+7 = 4 11 gibi. Hatta bu yanılgıyı tabanların eşit olmadığı aşağıdaki gibi durumlarda da uygulayabilirler: 3 4 x 5 = (3+5) 4+ = 8 6 ya da 6 4 x 5 3 = (6+5) 4+3 = gibi. Yukarıda üslü sayılarla çarpma işleminde görülen bu yanılgı bölme işleminde de benzer şekilde ortaya çıkar. Yani bölme işleminde üsler arasında çıkarma yapılması kuralını aşağıdaki örneklerde olduğu gibi yanlış genelleyebilirler: 5 4 / 5 3 = (5-5) 4-3 = 0 1, 7 5 / 5 = (7-5) 5- = 3 ya da 8 4 / 5 4 = (8-5) 4-4 = 3 0 gibi. Öğrencilerin üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde karşılaştıkları zorluklardan biri de negatif ve pozitif tabanlı sayılar arasında yapılan işlemlerden sonra sonucun işaretine karar vermektir (Orhun, 1998; Şenay, 00). Bu yanılgı genellikle (-a) n ile a n ifadelerinin birbirinden ayırt edilememesinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, a(-a) 4 (-a ) işleminde çarpanlardan ikisinin tabanında bulunan eksilerin çarpımının artı olacağını düşünen öğrenci üsleri doğru olarak topladığında sonucu a 7 olarak bulabilir. Üslü sayılarla yapılan çarpma ve bölme işlemlerinde terimlerinin çözümlenmesi bu konuda karşılaşılan güçlüğün giderilmesine yardımcı olabilir. Ayrıca bu yöntem öğrencilerin işlemin kuralını kavramalarını da 4 5 kolaylaştırabilir. Örneğin = (3.3).( ) = = 3 6 ve = biçiminde çarpanların çözümlenmesi sonucun bulunmasını 5.5 kolaylaştıracaktır. 5

10 18 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Negatif Üslü İfadelerle İşlem Yapmada Zorlanma Negatif üslü ifadeleri anlamada sıkıntı yaşayan öğrencilerde bu ifadelerle işlem yapmada da sıkıntılar görülebilir. Araştırma sonuçlarına göre bazı öğrenciler ifadesini değerlendirirken tabanlar aynı üsler birbirinin ters işaretlisi olduğundan buradaki 5 ve 5 - ifadelerinin toplamaya göre birbirinin tersi olup birbirini götürdüğünü ve sonucun 0 olduğunu söylemişlerdir (Crider, 1998). Genellikle negatif üslü ifadelerle işlemlerde karşılaşılan zorluklar öğrencilerin negatif üssün anlamına yönelik güçlüklere sahip olmasından kaynaklanır. Bu güçlükleri ortadan kaldırmak için öncelikle negatif üs kavramının sorunsuz bir şekilde anlaşılması sağlanmalıdır. KÖKLÜ SAYILARDA KARŞILAŞILAN ÖĞRENCİ GÜÇLÜKLERİ, YAYGIN HATALAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Köklü sayılarla ilgili 9. sınıflar (Cengiz, 006; Şenay, 00), 8 ve 9. sınıflar (Orhun, 1998) ve matematik öğretmen adayları (Sirotic, 1998) üzerinde yapılan çalışmalar incelendiğinde, öğrencilerin karşılaştıkları güçlükler şöyle özetlenebilir: köklü sayının büyüklüğüne karar verememe ve sayı doğrusuna yerleştirememe, köklü bir sayıyı üslü bir biçimde ifade edememe, her a sayısı için a = a eşitliğinin doğru olduğunu düşünme, bir sayının karesinin karekökü ile karekökünün karesi arasındaki farkı ayırt edememe, üslü sayıların kareköklerini bulmada zorlanma, a. b = a b eşitliğinin her a ve b reel sayısı için doğru olduğunu düşünme, a +b ifadesinin (a+b) ifadesine eşit olduğunu düşünme, a ± b ifadesinin a ± b ifadesine eşit olduğunu düşünme, köklü terimin kuvvetini alma konusunda zorluklar, köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşılan zorluklar ve köklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde karşılaşılan zorluklar. Bu durumlar aşağıda ayrı ayrı ele alınarak örneklendirilecek ve her biri ile ilgili çözüm önerileri sunulacaktır. Köklü Sayının Büyüklüğüne Karar Verememe Ve Sayı Doğrusuna Yerleştirememe Birçok öğrencinin köklü sayılarla ilgili olarak karşılaştığı güçlük bu sayıların büyüklüklerine karar verememektir. Örneğin bazı matematik öğretmen adaylarının bile 5 sayısının yaklaşık olarak hangi sayıya eşit

11 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 19 olabileceğini anlamakta ya da hangi sayıların arasında yer aldığını kestirmekte zorlandığı görülmüştür (Sirotic, 1998). Bu konuda aşağıdaki şekilde de görüldüğü biçimde Pisagor teoreminden yararlanılarak 5 sayısının değerinin görülmesi sağlanabilir (Sirotic, 1998). Şekil 1: 5 sayısının değerinin geometrik olarak bulunması Ayrıca sonraki kısımlarda da görüleceği gibi yeni ilköğretim ikinci kademe matematik dersi programında yer aldığı şekilde kareköklü bir sayının değerinin tahmin edilmesine yönelik değişik stratejiler kullanımının (MEB 005b, s.97) öğretileceği etkinlikler bu güçlüğün üstesinden gelinmesine yardımcı olabilir. Bununla birlikte teknolojiden yararlanmak hem öğrencilerin kendi tahminlerinin doğruluğunu denetlemeleri hem de kısa zamanda daha çok köklü sayı üzerinde çalışmalarını sağlayabileceğinden bu konuda öğrencilere yardımcı olacaktır. Örneğin öğrenciden kareköklü bir sayının değerini tahmin etmesi istendikten sonra sayının değerinin hesap makinesinde bulunması ve tahminiyle karşılaştırılması istenebilir. Bu karşılaştırma sonucunda öğrencinin tahminiyle gerçek sonuç arasındaki farkı gözlemleyerek farkın sebebini sorgulamasının istenmesi başka köklü sayıların değerini daha doğru tahmin edebilmesine yardımcı olacaktır. Köklü Bir Sayıyı Üslü Biçimde İfade Edememe Köklü bir sayının üslü sayı formunda ifade edilememesi öğrencilerin sık karşılaştıkları güçlüklerdendir. Bu konuda öğrencilerin yaptıkları hatalar 3 çok çeşitlilik gösterebilmektedir. x = x 3 örneğinde olduğu gibi karekök içinde yer alan üslü bir ifadenin üslü forma dönüştürülmesi istendiğinde bazı öğrenciler karekökün derecesi olan yi yazılı bir şekilde görmedikleri

12 0 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri için üslü formunun kök içindeki üslü sayıya eşit olduğunu düşünmüşlerdir (Cengiz, 006). Bunun dışında bazı öğrencilerin köklü bir ifadedeki kök derecesini üslü sayı formuna çevirirken üs olarak yazdıkları gözlenmiştir (Cengiz, 006). Örneğin 3 x = x 3 gibi. Köklü sayıda kök içindeki ifade üslü olarak verildiğinde bazı öğrenciler 5 a 7 =a 7-5 = a örneğindeki gibi kökün derecesinden kök içindeki sayının üssünü çıkararak üs olarak yazılacağını düşünmüşlerdir (Cengiz, 006). Bunun dışında öğrencilerin x = x 7 x = 5 x örneğinde olduğu gibi kök içindeki üslü sayıyı kök derecesiyle sadeleştirilebilecek biçimde çarpanlara ayırıp, kök derecesiyle uygun çarpanı sadeleştirilerek sayının eşitini bulmaya çalıştıkları da gözlenmiştir (Cengiz, 006). Köklü sayıyı üslü sayıya çevirirken üssünün kesir biçiminde ifade edileceği düşüncesine sahip olan bazı öğrenciler, üssü kesir biçiminde ifade ederken kök derecesini paya kök içindeki üssü ise paydaya yazmaları gerektiği yanılgısına kapılmışlardır (Cengiz, 006). Örneğin 7 x 1 = x 7/1 gibi. Bu konuda karşılaşılan sorunların önüne geçmek için a x b = x b/a eşitliğini öğrencilerin iyice anlaması gerekmektedir. Üslü sayılar konusuyla ilişki kurularak bu eşitliğin anlamı üzerinde durulmalı sayısal örneklerle pekiştirilmesi sağlanmalıdır. a = a Eşitliğinin Her A Sayısı İçin Doğru Olduğunu Düşünme Araştırmalar bazı öğrencilerin a = a eşitliğinin yalnızca a sayısı pozitif olduğunda doğru olduğunu unutup bu eşitliğin tüm sayılar için geçerli olduğunu sandıklarını ortaya koymuştur (Cengiz, 006; Orhun, 1998; Şenay, 00). Bu yanılgıya sahip olan öğrenciler, örneğin ( 4) = -4 ifadesinin doğru olduğunu düşünmektedir. Bu yanılgıyı gidermek için a = a eşitliğinde mutlak değerin varlığının altı önemle çizilmelidir. Ayrıca öğrencilerin mutlak değer kavramına ilişkin bilgi eksikliği varsa bu eşitlikten söz etmeden önce mutlaka giderilmelidir.

13 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 1 Bir Sayının Karesinin Karekökü İle Karekökünün Karesi Arasındaki Farkı Ayırt Edememe Özellikle negatif sayılar için sayının karesinin karekökü ile karekökünün karesinin farklı olması bazı öğrencilerin gözlerinden kaçmaktadır (Şenay, 00). Örneğin öğrenciler ( 4) ve ( 4 ) ifadelerinin değerinin eşit olduğunu düşünebilmektedirler. Bu yanılgıya sahip öğrencilerden bazıları ( 4) = ( 4 ) = ( 4 ) = 4 bazıları ise ( 4) = ( 4 ) = ( 4 ) = -4 olarak düşünmüşlerdir. Bu yanılgı da a = a ifadesinin ve/veya mutlak değerin anlamının anlaşılamaması gibi sebeplerden kaynaklanmış olabilir. Bir sayının karesinin karekökü ile karekökünün karesi arasındaki farkın anlaşılabilmesi için verilen ifadelerin sözlü olarak anlatılması istenebilir. Sözlü anlatımın ardından kendi anlatımlarına bakarak bu ifadelerin sayısal değerlerinin bulunması istenirse öğrencilerin hataya düşme olasılıkları azalacaktır. Üslü Sayıların Kareköklerini Bulmada Zorlanma Bazı öğrencilerin kök içindeki bir üslü ifadeyi kök dışına çıkarırken hem üssün hem de tabanın ayrı ayrı kökünün alınması gerektiği yanılgısına 9 düştükleri görülmüştür (Şenay, 00). Örneğin öğrenciler 4 = 3 biçiminde düşünebilirler. Bazı öğrenciler ise karekök içindeki bir üslü ifadeyi kök dışına çıkarırken üssün karekökünü almaları gerektiğini 16 sanabilirler. Bu yanılgıya sahip bir öğrenci = 4 olarak düşünebilir. Kök içindeki ifade üslü bir biçimde verildiğinde öğrencilerin hata yapmadan kök dışına çıkarabilmelerini sağlamak için kök içindeki ifadenin yazılabilecek en küçük tabanla ifade edilmesi istenebilir. Bu şekilde yapılabilecek yanlışlık oranı azalacaktır. Ayrıca kök içindeki üslü ifadenin çarpanlar biçiminde yazılması da öğrencinin ifadeyi kök dışına doğru bir şekilde çıkarmasına yardımcı olabilir. Örneğin, ( )( )( )( )( )( ) =... = = ( ) 6 =

14 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri a. b = a b Eşitliğinin Her a ve b Reel Sayısı İçin Doğru Olduğunu Düşünme Köklü sayılar konusunda en yaygın hatalardan bir tanesi öğrencilerin a. b = a b eşitliğinin sadece a ve b pozitif gerçel sayı olduğu zaman geçerli olduğunu fark etmemeleridir. a ve b sayıları negatif olarak alındığında ise bu ifadeden 1 = 1 = ( 1).( 1) = ( 1) ( 1) = i. i = -1 gibi yanlış sonuçlara ulaşabilmektedir. Örneğin, öğrencilerin 8 = ( ).( 8) = 16 = 4 biçiminde işlem yaptıkları gözlemlenmiştir (Şenay, 00). Burada karşılaşılan yanılgı büyük olasılıkla öğrencilerin her a sayısı için a = a eşitliğinin doğru olduğunu düşünmelerinden kaynaklanmaktadır. Burada da a = a eşitliğinde mutlak değerin varlığına dikkat çekilmelidir ve mutlak değer kavramına ilişkin olası bilgi eksikliklerinin giderilmesi sağlanmalıdır. a + b İfadesinin (a+b) İfadesine Eşit Olduğunu Düşünme a + b = (a + b) eşitliğinin doğru olduğu biçiminde bir yanılgıya sahip öğrencilerin a + b = ( a + b) = (a+b) eşitliğinin doğru olduğunu sanarak = 3+4 = 7 gibi işlemler yaptıkları gözlenmiştir (Orhun, 1998). Benzer şekilde bazı öğrencilerin şu hatayı yaptıkları x + y görülmüştür: = ( x + y x+ y )/(x+y) = (x+y)/(x+y) = 1. Bu yanılgının giderilmesi için öncelikle a + b = (a + b) eşitliğinin doğru olmadığının fark edilmesini sağlamak gereklidir. Bunun ardından öğrencilerin a + b ve (a+b) ifadelerinin eşit olmadığını anlamaları kolaylaşacaktır. a ± b ifadesinin a ± b ifadesine eşit olduğunu düşünme Karekök alma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği olduğunun sanılması bu konuda rastlanan yanılgılardan biridir. Çalışmalar bazı öğrencilerin a ± b biçiminde verilen ifadenin a ± b

15 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 3 ifadesine eşit olduğunu düşündüğünü göstermiştir (Orhun, 1998; Şenay, 00). Örneğin bazı öğrencilerin = = biçiminde işlem yaptıkları gözlenmiştir. 9 Bu konuda kolay anlaşılabilecek sayısal örnekler verilerek a ± b = a ± b ifadesinin doğru olmadığı gösterilebilir. Örneğin 5 = eşitliğinden yola çıkılarak = ifadesinin doğru olmadığının incelenmesi sağlanabilir. Buradan = = = = 7 biçiminde doğru olmayan bir eşitliğe ulaşıldığının gösterilmesi öğrencilerin bu konuda daha dikkatli olmalarını sağlayabilir. Köklü Terimin Kuvvetini Alma Konusunda Zorluklar n. dereceden köklü bir ifadenin kuvvetinin alınması istendiğinde bazı öğrencilerin kökün derecesi ile alınacak üs arasında sadeleştirme yaptıkları görülmüştür (Cengiz, 006). Örneğin ( 6 x ) 6 = ( x ) 6/6 = x gibi. Burada yapılan hatanın giderilmesi için verilen ifadenin çarpanlar biçiminde yazılması istenebilir. Örneğin, ( 6 x ) 6 =( 6 x )( 6 x )( 6 x )( 6 x )( 6 x )( 6 x ) =x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = x 1/6+1/6+/1/6+1/6+1/6+1/6 =x gibi. Öğrenciler bu şekilde ifadeyi daha iyi anlayabilirler ve değerini bulabilirler. Köklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemlerinde Karşılaşılan Zorluklar Araştırma sonuçları bazı öğrencilerin kareköklü sayılarla yapılacak toplama ve çıkarma işlemlerinde köklerin eşit olması gerektiği kuralını unutup kökleri ve katsayıları kendi aralarında toplayıp çıkardıklarını ortaya koymuştur (Cengiz, 006). Örneğin, bu yanılgıya sahip öğrenciler şu şekilde işlem yapabilirler: = 50.

16 4 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin öğretiminde ancak kök dereceleri ve kök içleri aynı olan terimlerle toplama ve çıkarma işlemi yapıldığının vurgulanması önemlidir. Köklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemlerinde Karşılaşılan Zorluklar Bazı öğrenciler kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemi yaparken toplama ve çıkarma işlemlerine ait kuralı genelleyerek sayının kök kısmının aynı olması gerektiğini düşünüp, bu kurala göre işlem yapmışlardır (Cengiz, 006). Yani öğrenciler sayının kök kısmıyla işlem yapmaksızın sadece katsayılar arasında işlem yaparak çarpma ve bölme işlemlerini yapabilirler. Örneğin = 10 3 ya da 1 4 : 6 4 = 4 gibi. Köklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin öğretiminde kök içleri aynı olmayan sayılarla da işlem yapılabileceğinin ve işlem yaparken hem kök içleri hem de katsayılar arasında işlem yapılması gerektiğinin vurgulanması buradaki sorunun kaldırılmasına yardımcı olabilir. ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULARINDAKİ ÖĞRENCİ YANILGILARINA İLİŞKİN GENEL ÖNERİLER Üslü ve köklü sayılar konusundaki her bir öğrenci güçlüğüne yönelik alınabilecek önlemlerden yukarıda bahsedilmiştir. Bunun dışında bu konularda öğrenci güçlük ve yanılgılarını en aza indirebilmek ve öğretimin anlamlı ve kalıcı olmasını sağlayabilmek için genel olarak yapılabilecekler aşağıdaki gibi özetlenebilir. Öncelikle üslü ve köklü sayılar konusuna geçilmeden önce mutlaka öğrencilerin, tam sayılar, rasyonel sayılar, bu sayılarla dört işlem ve mutlak değer konularındaki bilgi eksiklikleri giderilerek konuya hazır olmaları sağlanmalıdır. Bu konulardaki işlemlerde uygulanan kuralların kavramsal öğrenmeyle desteklenmesi, kuralların neden uygulandığının anlaşılmasının sağlanması oldukça önemlidir. Bu sayede öğrenciler diğer sayılara ilişkin kuralları üslü ve köklü sayılarla işlemlere genelleme hatasına düşmekten kurtarılabilir. Ayrıca mutlak değer kavramının tekrar gözden geçirilmesi öğrencileri kareköklü bir ifadeyi kök dışına çıkarırken yapabilecekleri hatalardan uzak tutabilir. Bunların yanı sıra köklü sayılar konusuna geçerken de öğrencilerin üslü sayılar ve bazı özdeşlikler konusundaki eksikliklerinin giderildiğinden emin olunmalıdır. Böylece örneğin a + b = (a + b) yanılgısına sahip bir öğrencinin köklü sayılar konusunda

17 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 5 a + b = ( a + b) = (a+b) gibi bir yanılgıya düşmesinin önüne geçilebilir. Yukarıda bahsedilen güçlüklerin farkına varılarak gerçekleştirilecek bir öğretim, öğrencilerde bu tür problemlerin oluşmasını önleyeceğinden öncelikle alınacak önlemlerden olmalıdır. Bu konulara yönelik etkinlikler planlanırken olası öğrenci güçlükleri ve yaygın hataların neler olabileceği göz önünde bulundurulup uygun yöntem ve teknikler seçilerek etkinlikler hazırlanmalıdır. Yapılacak etkinliklerde özellikle üslü ve köklü sayılarla ilgili temel kavramların çok iyi vurgulanmasına dikkat edilmeli ve ülkemizde yaygın olarak uygulanan öğretmenin merkezde olduğu sunuş yolu gibi yöntemler yerine öğrenci merkezli etkinlikler planlanmasına özen gösterilmelidir. Kuralları ve kısa yolları hazır olarak vermek yerine öğrencinin etkin olduğu, kurallar ve formüller gibi bir takım işlemsel bilgilere kendisinin ulaştığı etkinlikler yapılmalıdır. Örneğin kavramların keşfedilerek öğrenilmesinin sağlanarak anlamlı öğrenmenin oluşturulması atılabilecek en önemli adım olabilir. Üslü ve köklü sayılar konularında planlanacak etkinliklerin işlemsel bilgi yanında mutlaka kavramsal bilgiyi de destekleyici olmasına dikkat edilmeli ve öğrencinin işlemsel bilgiyle kavramsal bilgi arasında bir ilişki kurması sağlanmalıdır. Örneğin 5 3 ifadesinin 5x5x5 e eşit olduğu bilgisi bir işlemsel bilgidir. Diğer taraftan bu ifadenin yandaki gibi ayrıtları 5 er birimlik minik küplerden oluşan bir büyük küpü ifade ettiği ve bu küpteki küçük küplerin sayısına eşit olduğu ya da küpün hacmini ifade ettiği bilgisi ise kavramsal bilgidir. Öğrencinin burada işlemsel ve kavramsal bilgi arasındaki ilişkiyi görmesi kavramı daha net algılamasını sağlayacak, onu olası hatalara düşmekten kurtaracaktır. Üslü ve köklü sayılar ve bu sayılarla işlemler öğretilirken konu aralarında mümkün olduğunca sık bir şekilde küçük değerlendirmeler yapılmalıdır. Bu değerlendirmeler çoktan seçmeli biçimde yapılacak olursa öğrencilerde yaygın olarak görülecek hataları ve bu hatalara nasıl düştüklerini belirlemek zor olabilir. Ayrıca çoktan seçmeli testlerin öğrencileri kuralları ve formülleri ezberlemeye itebileceği unutulmamalıdır. Bunun yerine değerlendirmelerin açık uçlu olarak gerçekleştirilmesiyle güçlüklerin ve olası nedenlerinin belirlenmesi mümkün olabilecektir. Bu ara sınavlar üzerinden uzun süre geçmeden değerlendirilmeli ve sonuçlarını dikkate alınarak, bir sonraki basamağa geçmeden öğrenme güçlükleri, eksiklikler ve yaygın hatalar belirlenmelidir. Gerekli durumlarda ek

18 6 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri etkinliklerle olası güçlüklerin giderilmesi ve eksik öğrenmelerin tamamlanması sağlanmalıdır. Matematik hakkında konuşma, tartışma, yazma ve dinleme gibi becerilerin öğrencilerin matematiksel kavramları daha iyi anlamalarına yardımcı olduğu (MEB, 005a; 005b; 005c) dikkate alınarak, üslü ve köklü sayılar konularındaki öğretim sürecinde bu iletişim becerilerine önem verilmelidir. Öğrenciler etkin olarak derse katılırken iletişim becerilerini kullanmalarına ve düşüncelerini ifade etmelerine olanak verilmelidir. Böylece kavramsal öğrenme sağlanırken hem değerlendirme yapılabilecek hem de öğrencilerin kullandıkları dilden karşılaştıkları güçlükler, takıldıkları noktalar ve düştükleri yanılgıları belirlemek mümkün olabilecektir. Örneğin öğrencilerden 6 4 x 6 7 =? işleminin nasıl yapılacağı üzerine bir yazı yazarak, bu konu işlenirken derse gelmeyen bir arkadaşlarına bu işlemin nasıl yapılacağını anlatmaları istenebilir. Öğrenciler bu etkinliği gerçekleştirirken sadece işlem yapmakla kalmayacak işlemi neden ve nasıl yaptıklarını da dile getirmek durumunda olacaklardır. Bu onların bu konudaki kavramsal bilgilerinin güçlenmesini sağlayabilir. Ayrıca eğer varsa işlemsel ve kavramsal bilgisindeki eksiklik ve/veya yanlışlık doğrudan öğrencinin anlatımından ortaya çıkarılabilir. Bu konuda yapılabilecek önerilerden biri de üslü ve köklü sayılarla işlemlerin soyut doğasının zihinde yapılandırılmasını sağlamak, soyut olmaktan kurtarmak amacıyla uygun materyal kullanımı ve bilişim teknolojilerinden yararlanmaktır. Pek çok geometri, cebir, ölçme ve sayılar konularına yönelik hazır ders araç gereçleri (geometri şeridi, tangram, geometrik cisimler, simetri aynası, kesir şeritleri, örüntü blokları, cebir karoları, ölçü kapları vs.) bulunmasına rağmen üslü ve köklü sayılar konusunu somutlaştırmak üzere kullanılabilecek hazır ders araç gereci bulunmamaktadır. Bu konuda matematik eğitimcilerine düşen bu konularda anlamlı öğrenmeyi destekleyebilecek materyal tasarımı üzerinde çalışmalarıdır. Ayrıca ortaöğretim matematik dersi programında (MEB, 005a) da açıkça belirtildiği gibi kavram yanılgılarının üstesinden gelebilmenin yollarından biri de teknoloji yoluyla öğrencilerin kavram yanılgılarının farkına varmaktır ve farkına varmalarını sağlamaktır. Teknolojinin sağladığı olanaklardan yararlanarak öğretim yöntemleri geliştirilebilir ve öğrencinin daha etkin katılımı sağlanabilir. Örneğin ilköğretim ikinci kademe programında (MEB, 005b) bulunan kareköklü sayının değerinin tahmin edilmesi etkinliklerinde hesap makinesinin yardımcı materyal olarak kullanılması etkinliklerin kalitesini artıracaktır. Alanyazında bu konularda yaygın olarak kullanılan herhangi bir bilgisayar yazılımına henüz rastlanmadığından teknoloji kullanımının sadece hesap

19 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 7 makinesinden ibaret olması eğitimcileri sınırlandırmaktadır. Bu sebepten teknoloji destekli matematik öğretimi üzerine çalışan matematik eğitimcilerinin üslü ve köklü sayılar konularının teknoloji entegrasyonuyla öğretimini sağlayacak materyal üretmesi ve bu materyallerin verimliliğinin denenmesi oldukça önemlidir. İLK VE ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMLARINDA ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR Bu kısımda yenilenen ilköğretim ve ortaöğretim matematik dersi programlarında üslü ve köklü sayılar konularının veriliş biçimi eleştirel bir gözle incelenecektir. Bu inceleme İlköğretim Programında Üslü Sayılar, İlköğretim Programında Köklü Sayılar, Ortaöğretim Programında Üslü Sayılar ve Ortaöğretim Programında Köklü Sayılar başlıkları altında sunulmuştur. İlköğretim Programında Üslü Sayılar Yenilenen ilköğretim matematik dersi 6 8. sınıflara yönelik programda üslü sayılar kavramlarına yönelik kazanımlar 8. sınıf programında yer almaktadır. Verilen dört kazanım aşağıdaki gibidir (MEB, 005b, s.89). 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak yazar ve değerini belirler. 3. Üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar. 4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. Programda yer alan etkinlik örnekleri ve açıklamalara ilişkin şunlar söylenebilir: Üslü sayılar birinci kazanımda yer alan etkinlik örneklerinde öğrencilere bir tam sayının negatif kuvvetlerine yönelik örüntü verilerek incelenmesi istenmiş negatif kuvvetin nasıl ilerlediğinin öğrenci tarafından fark edilmesi amaçlanmıştır. Programda yer alan etkinlik örneği aşağıda verilmiştir (MEB, 005b, s.94).

20 8 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Öğrenciler, örüntülerden yararlanarak bir tam sayının negatif kuvvetlerini bulurlar. Aşağıdaki veya benzer bir örüntüyü inceleyerek bu sayılar arasındaki ilişkiyi yorumlarlar. 3 4 = = 1 :3 :3 3 3 = = 3 :3 :3 1 3 = = 9 :3 3 1 = ,...,,,, 1, 3, 9, 7, (n tane) 1 n 3,, 1 3 3, 1 3, 1 1 3, 1, 31, 3, 3 3,, 3 n Bir üslü ifade, paydan paydaya/paydadan paya alındığında üssünün işaretinin değiştiği vurgulanır. 1 3 =3-1, 4 3 =34 1, n =-n 1, =3 m, 3 a 1 = m 3 3 a, 4 -b 1 = 4 b keşfettirilir. 3 -n,, 3-3, 3 -, 3-1, 3 0, 3 1, 3, 3 3,, 3 n Bu örüntüde üslerin sıralanışından 1=3 0 olduğu Seçilen tam sayı -3 ise negatif sayıların çift sayıda tekrarlı çarpımının pozitif işaretli; tek sayıda tekrarlı çarpımının ise negatif işaretli olacağı belirtilir., (-3) -n,, (-3) -3, (-3) -, (-3) -1, 1, -3, (-3), (-3) 3,, (-3) n,, Bu etkinlik örneğinin anlamlı öğrenmeyi sağlayıcı nitelikte olduğu söylenebilir. Ayrıca örnekte verilen örüntünün öğrenci tarafından incelenerek sıfırıncı kuvveti öğrencinin kendisinin keşfetmesine olanak tanınmıştır. Öğrencilerin sıfırıncı kuvvet konusunda karşılaştıkları güçlükler ve düştükleri hatalar düşünüldüğünde burada verilen etkinliğinin ne kadar yerinde olduğu söylenebilir. Bunun yanı sıra bu kazanımın açıklamalarında Üslü bir tam sayının işaretinin, tam sayı pozitif ise pozitif; negatif ise kuvvetin çift veya tek oluşuna göre pozitif veya negatif olacağı vurgulanır. uyarısı yapılmıştır. Bu uyarı yukarıda verilen üssü çift olan bir sayının değerinin daima pozitif olduğunu fark edememe güçlüğünün ortadan kaldırılmasına hizmet edebilir. İkinci kazanımda ise etkinlik örneği olarak aşağıdaki açıklama verilmiştir (MEB, 005b, s.95).

21 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 9 Ondalık kesirlerin ve rasyonel sayıların kuvvetleri bulunur. (0,3) (0,3) = (0,3) = 0, = = 3 = Görüldüğü gibi sadece bir ondalık kesrin ve bir rasyonel sayının kuvvetinin bulunması örneği verilmiştir. Bunun dışında yapılabilecek herhangi bir etkinliğe ilişkin bilgiye yer verilmemiştir. Ayrıca kazanımla ilgili açıklamalar kısmında da öğrencilerin karşılaşabilecekleri güçlükler ya da yapabilecekleri hatalara ilişkin herhangi bir uyarı yoktur. Üçüncü kazanımda öğrencilerin, üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerine ait kuralları aşağıdaki gibi bazı işlemler yaparak keşfetmeleri sağlanmaktadır (MEB, 005b, s.95). 6 nin ve 6 4 ün değerlerini, çarpma işleminin sonucunu bulurlar. Daha sonra 6 6 nın değerini de bularak yaptıkları son iki işlemin sonucunu karşılaştırırlar = 6 6 eşitliğine dikkat ederek iki üslü sayının çarpma işlemiyle ilgili kuralı bulurlar. Bunun yanı sıra bu etkinlikte aşağıdaki gibi öğrencilerin 10 un üsleriyle ilgili çarpma ve bölme işlemini içeren tablo hazırlamaları istenmekte tablonun hesap makinesi yardımıyla doldurularak üslü iki sayıyla çarpma ya da bölme işlemlerine ilişkin kurallara ulaşmaları istenmektedir. Çarpma Çarpım Çarpımın üslü gösterimi Burada verilen öğrenciyi keşfetmeye yönelten etkinliklerin anlamlı öğrenmeyi sağlayıcı nitelikte olduğu söylenebilir. Öte yandan etkinlik

22 30 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri hesaplama becerisinin ön planda olmadığı durumda teknoloji kullanımının öğrenim sürecine getirebileceği katkıyı da göstermektedir. Ayrıca bu kazanımla ilgili açıklamalarda şu uyarıya yer verilmiştir Üslü sayılarla yapılan çarpma ve bölme işlemlerindeki kurallar, sözel ve cebirsel olarak ifade ettirilir.. Bu uyarıyla yeni programların altını çizdiği matematikte iletişim becerisine örnek olacak bir vurgulama yapıldığı söylenebilir. Öğrencilerin üslü sayılarla ilgili edindikleri bilgileri farklı biçimlerde ifade etmesi kavramları daha iyi anlamalarına yardımcı olabilir. Ayrıca yazdıkları incelenerek değerlendirme yapılabilir ve kullandıkları dilden öğrencilerin karşılaştıkları güçlükler, takıldıkları noktalar ve düştükleri yanılgılar belirlenebilir. İlköğretim Programında Köklü Sayılar Yeni ilköğretim matematik dersi 6 8. sınıflara yönelik programda köklü sayılar kavramlarına yönelik 8. sınıfta Kareköklü Sayılar alt öğrenme alanında yer alan kazanımlar ve buna ilişkin yorumlar aşağıda verilmiştir (MEB, 005b, s.89). 1. Tam kare doğal sayılarla bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi modelleriyle açıklar ve kareköklerini belirler.. Tam kare olmayan sayıların kareköklerini strateji kullanarak tahmin eder. 3. Kareköklü bir sayıyı a b şeklinde yazar ve a b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır. 4. Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar. 5. Kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar. 6. Ondalık kesirlerin kareköklerini belirler. Kazanımlara ilişkin etkinlik örnekleri ve açıklamalarla ilgili olarak şunlar söylenebilir: İlk kazanıma ilişkin etkinlik örneği öğrencilerin aşağıdaki gibi noktalı kâğıt üzerinde kare modelleri oluşturup bu modellerin alanlarından ve kenar uzunluklarından yararlanarak bir sayının karesi ve karekökü arasındaki ilişkiyi bulmalarına yöneliktir (MEB, 005b, s.96).

23 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 31 Alan: 1br 1 1 Alan: 4 br Alan: 9 br 3 3 Alan: 16 br 4 4 Öğrencinin ilişkiye kendisinin ulaşmasının istendiği bu etkinlik sayı ve karesi ya da sayı ve karekökü arasındaki ilişkinin geometrik anlamının da görülmesini sağlamakta ve çoklu gösterim sayesinde daha anlamlı ve kalıcı bir öğrenme gerçekleşmesine hizmet etmektedir. Ayrıca bu kazanıma ilişkin açıklamalarda (-8) ile -8 arasındaki fark vurgulanır. biçimindeki uyarıyla üslü sayılara ilişkin (-a) n ile a n ifadelerini birbirinden ayırt edememe güçlüğüne yönelik önlem alınmaya çalışılmıştır. İkinci kazanım ise tam kare olmayan sayıların kareköklerinin en yakın onda birliklerine kadar tahmin ettirilmesiyle ilgilidir (MEB, 005b, s.97). Burada öğrencilerden çeşitli stratejiler kullanarak tahminlerde bulunmaları istenmektedir. Bu kazanım yaşamda da sıklıkla karşımıza çıkan tahmin becerilerinin geliştirilmesi açısından oldukça önemlidir. Ayrıca farklı stratejilerin sınıfta paylaşılması matematiksel iletişim becerilerinin geliştirilmesi açısından anlamlıdır. Tahminlerin hesap makinesiyle bulunan karekök değeri ile karşılaştırılmasıyla yapılan tahminin doğruluğu denetlenmiş olmaktadır. Ayrıca bu etkinlik de teknolojinin matematik eğitiminde kullanılması açısından örnek olarak gösterilebilir. Üçüncü kazanım kareköklü bir sayıyı a b şeklinde yazma ve a b şeklindeki ifadede kat sayıyı kök içine alma ile ilgili olup, öğrencilerin çarpanlara ayırma ve tam kare sayılarla ilgili bilgilerini kullanarak işlemler yapmasına yönelik etkinlik örneği içermektedir (MEB, 005b, s.97). Benzer şekilde beşinci kazanım kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapma becerisiyle ilgilidir. Bu kazanımlarda şu örnekler verilmiştir (MEB, 005b, s.97).

24 3 Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Üçüncü kazanım etkinlik örneği: Alanı 1 cm olan karenin bir kenar uzunluğu: 1 = 4 3 = 3 cm dir. Beşinci kazanım etkinlik örneği: Alanı 6 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları bulunur. 6 = 3 den kenar uzunlukları 3 cm ve cm olur. Her ne kadar bu iki kazanım ifade ediliş biçimiyle işlemsel bilgi içeriyor gibi görünse de etkinlik örnekleri incelendiğinde verilen soruların sadece işlemsel bilgi düzeyinde kalmadığı, bağlam içinde verilerek anlamlı öğrenmenin oluşmasını sağlayabilecek örnek olduğu söylenebilir. Yani verilen etkinlik örneğinde öğrenci alanı verilen karenin kenar uzunluğunu bulurken kareköklü sayıyı a b biçiminde yazma uygulamasını yapmış olacaktır. Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri ile ilgili dördüncü kazanımın açıklamalarında ise kök içleri aynı olan terimlerle toplama ve çıkarma işlemi yapıldığının vurgusu yapılarak öğrencilerin düşebileceği bir yanılgının önüne geçilmeye çalışılmıştır. Bu kazanımla ilgili olarak bir etkinlik örneğine yer verilmemiştir. Ondalık kesirlerin kareköklerinin belirlenmesine yönelik altıncı kazanımda kesir olarak ifade edildiğinde payı ve paydası tam kare olan ondalık kesirlerin kareköklerinin buldurulması konusunda uyarı yapılmış, verilen örnekler aşağıda da görüldüğü gibi işlemsel düzeyde kalmıştır (MEB, 005b, s.97). Öğrenciler, karekökü hesaplarken tam kare sayılar hakkındaki bilgilerini kullanırlar. Örnek 1: Örnek : 0,16 = = = = 0, ,09 = = = = 0,

25 Üslü ve Kökkü Sayılar Konularındaki Öğrenme Güçlükleri 33 Ortaöğretim Programında Üslü Sayılar Yenilenen ortaöğretim matematik dersi programında üslü sayılar konusu 9. sınıfta verilmiştir. Programda üslü sayılar kavramlarına yönelik kazanımlar aşağıdaki gibidir (MEB, 005a, s.70). 1. Bir gerçek sayının pozitif tam sayı ve negatif tam sayı kuvvetini açıklar ve üslü sayılara ait özellikleri gösterir.. Üslü sayıların eşitliğini ifade eder ve üslü sayılarla ilgili uygulamalar yapar. Üslü sayılar konusuna yönelik programdaki ilk kazanım incelendiğinde aşağıdaki etkinlik örneği ve açıklamaların yer aldığı görülür (MEB, 005a, s.160). Etkinlik örneği ı 3 x x = a = b ise 144 x in a ve b türünden değeri buldurulur. ( ) ( ) 3 10 a a a a ( ) ( ) a a a işleminin sonucu buldurulur. Açıklamalar Özellikler: ab, Rve mn, Z + için, a. a = a + m n m n a. b = ( a. b) ( a ) n n n = a m n m. n m a m n = a ( a 0) n a a b n n n a = ( b 0) b Bu kazanımla ilgili verilenlerin işlemsel bilginin geliştirilmesine yönelik hazırlanan birçok test kitabında yer alan içerikten pek de farklı olmadığı söylenebilir. Açıklamalar kısmında bile sadece özelliklerin