ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç. Dr. Fahrett ARSLAN Bu tez amacı, ormal dağılımlı rasgele vektörler karesel formlarıı ve dağılımlarıı araştırmak, karesel formları yaısıı ve ormal dağılımla ola lşksde yararlaarak özellkler görmek ve statstksel souçlar çıkarmaktır. Normal dağılım statstkte e öeml dağılım olarak blmektedr. Normal dağılımla lgl olarak hala çok sayıda araştırmalar yaılmaya devam edlmektedr. Bu çalışmada, karesel formları celemese ormal dağılımda yola çıktığımız ç ormal dağılımla lgl ble özellkler fade ettk. Normal dağılımda elde edle dağılımlar ve aralarıdak lşk ele alıdı. So olarak karesel formları dağılım özellğde yararlaarak F dağılımı ele alıdı. Akara Üverstes Türkçe ve Yabacı Dl Araştırma ve Uygulama Merkez (TÖMER) tarafıda yaıla lsasüstü yabacı dl sıavıa gre öğrecler sıavdak başarı otları F test le celed. Fe Blmler, Sağlık Blmler, Sosyal Blmler ve Eğtm Blmler Esttüsüe müracaat ede öğrecler sıavdak başarı otları ortalamaları arasıdak alamlı farklılık olu olmadığı test edld. 006, 9 sayfa Aahtar Kelmeler : Normal dağılım, rasgele vektörler, lmt dağılımı, karesel formlar, K-kare dağılımı, t dağılımı, F dağılımı, Varyas Aalz.

3 ABSTRACT Master Thess NORMAL DISTRIBUTION AND RELATED OBTAINMENT FOR THE NORMAL DISTRIBUTION Şeol ÇELİK Akara Uversty Graduate School of Natural ad Aled Sceces Deartmet of Statstcs Suervsor: Assoc. Prof. Dr. Fahrett ARSLAN Purose of ths thess s to vestgate quadratc forms of radom vectors wth ormal dstrbutos ad ther dstrbuto, to see the structure of quadratc forms ad ther roertes by meas of the relato of ormal dstrbuto ad to geerate statstcal results. Normal dstrbuto has kow the most mortat dstrbuto statstcs. May researches have bee cotued terest wth ormal dstrbuto. I ths work, we examed quadratc forms ad exressed ther roertes wth ormal dstrbuto. Dstrbutos were rovded from ormal dstrbutos ad betwee ther relatos were cosdered. Fally, F dstrbuto was cosdered to beeft from dstrbuto roertes of quadratc forms. The marks of studets etered to ostgraduate foreg laguage exam, Akara Uversty Turksh ad Foreg Laguage Research ad Alcato Ceter, were vestgated wth F test. Whether sgfcat dffereces or ot amog marks of studets whom of refer to Graduate School of Natural ad Aled Sceces, Graduate School of Health ad Aled Sceces, Graduate School of Socal ad Aled Sceces, Graduate School of Educato ad Aled Sceces amog the exam was tested. 006, 9 ages Key Words: Normal dstrbuto, radom vectors, lmtg dstrbutos, quadratc forms, ch-square dstrbuto, t dstrbuto, F dstrbuto, Aalyss of Varace.

4 TEŞEKKÜR Be çalışmalarımı her safhasıda yakı lg ve öerler le destekleye ve katkıda bulua daışma hocam Sayı Doç. Dr. Fahrett ARSLAN a (Akara Üverstes Fe Fakültes), akademk öğrem boyuca destekler gördüğüm Sayı Prof. Dr. Yalçı TUNCER e (Akara Üverstes Fe Fakültes) ve Prof. Dr. Fkr ÖZTÜRK e (Akara Üverstes Fe Fakültes) ve baa çeştl koularda destek sağlaya bölümümüzdek dğer tüm hocalarıma, ayrıca bem yüksek lsas tez yürütülmesde ş yermde z vere amrlerme ve arkadaşlarıma sosuz teşekkürlerm suarım. Şeol ÇELİK Akara, Ocak 006

5 İÇİNDEKİLER ÖZET..... ABSTRACT... ÖNSÖZ ve EŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ. v ŞEKİLLER DİZİNİ. v ÇİZELGELER DİZİNİ.x.GİRİŞ.... Normal Dağılımı Tarhçes..... NORMAL DAĞILIM FONKSİYONU.3. Normal Dağılımı yaısı Herschel taımlaması Maxwell taımlaması Hage taımlaması Olasılık yoğuluk foksyou f ola br dağılımı etros Matematksel taımlama...8. Normal Dağılımı Özellkler Normal Dağılım İç Uyguluk Testler Q-Q Nokta Grafk Yötem Çeyreklkler arası fark yardımıyla oluşa test K-Kare Uyguluk Test Kolmogorov-Smrov Uyguluk test Lllefors Normallk Test Shao-Wlk Normallk test İk ve daha fazla değşke ç ormallk testler Beklee Değer Varyas Momet Çıkara Foksyo Normal Dağılım İç Bazı Öeml Teoremler Yakısama Teoremler İk Değşkel Normal Dağılım v

6 .0 Çok Değşkel Normal Dağılım Çok Değşkel Normal Dağılımı Beklee Değer ve Kovaryası Çok Değşkel Normal Dağılımda çıkarılacak bazı souçlar Çok Değşkel Koşullu Dağılımlar Çok Değşkel Normal Dağılımı Momet Çıkara Foksyou NORMAL DAĞILIMIN DİĞER DAĞILIMLARLA İLİŞKİSİ Stokastk Yakısama Momet Çıkara Foksyo Yaklaşımı K-kare Dağılımıı Normal Dağılıma Yaklaşımı t Dağılımıı Normal Dağılıma Yaklaşımı Asmtotk Normal Dağılım Stokastk Yakısamaı Özellkler Lmt Teoremler NORMAL DAĞILIMDAN ELDE EDİLEN ÖNEMLİ SONUÇLAR K-Kare Dağılımı t Dağılımı F Dağılımı Wshart Dağılımı KARESEL FORMLAR Karesel Formları Dağılımı Faktör, faktör düzeyler ve şlemler Tek yölü Varyas Aalz ve Leer Model (Tam Raklı Olmaya Model) Hata Termler Kareler Tolamı Tolam (Geel) Kareler Tolamıı arçalara ayrılması Dağılım özellkler Çoklu karşılaştırmalar Studet Newma-Keuls test Duca Test Scheffe Test UYGULAMA TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR v

7 ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER DİZİNİ R E(.) V(.) Cov (.,.) F(.) f (.) J Reel sayılar. ı beklee değer. ı varyası.,. ı kovaryası. ı dağılım foksyou. ı olasılık yoğuluk foksyou Jacoba ı determatı M ( t ) Momet çıkara foksyo ~. ı dağılımı ρ korelasyo katsayısı χ (.) N (.,.) t (.) k F r G GİKT GAKT GKT GİKO GAKO ANOVA. Serbestlk derecel k-kare dağılım. Ortalamalı,. varyaslı ormal dağılım. Serbestlk derecel t dağılım r ve k serbestlk derecel F dağılımı Çok değşkel ormal dağılımı kovaryas matrs Geelleştrlmş versler Grular İç (Hata Termler) Kareler Tolamı Grular Arası Kareler Tolamı Geel Kareler Tolamı Grular İç Kareler Ortalaması Grular Arası Kareler Ortalaması Tek Yölü Varyas Aalz v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl. Kutusal koordatları grafkle gösterlş....9 Şekl. Normal Olasılık Yoğuluk Foksyou Grafğ... v

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 5. Y = β+ ε model arametreler Çzelge 5. Y = β+ ε modele uygu varyas aalz çzelges...67 Çzelge 6. Akara Üverstes Yüksek Lsas-Doktora sıavıa müracaat ede öğrecler yabacı dl sıavıda aldıkları ualar...75 Çzelge 6. Yüksek Lsas ve Doktora sıavlarıa gre öğrecler yabacı dl sıavı başarı otlarıı tolam ve ortalama değerler...79 Çzelge 6.3 Akara Üverstes Lsasüstü Yabacı Dl sıavıa gre öğrecler başarı otlarıa lşk Y = β+ ε modele uygu Varyas Aalz çzelges Çzelge 6.4 Akara Üverstes Lsasüstü Yabacı Dl sıavıa gre öğrecler başarıları arasıdak alamlı farklılığı Scheffe test le çoklu karşılaştırılması x

11 . GİRİŞ Normal dağılım statstkte e öeml dağılımlarda brdr. Uygulama alaı e fazla ola ve üzerde e fazla araştırma yaıla ve teork olarak da bütü özellkler tbarıyla e fazla kullaıla dağılımdır. Normal dağılımı dğer olasılık dağılımlarla öeml lşkler vardır. Normal dağılımı tarhçes, uygulama alaları, oluşumu, özellkler ve öeml teoremler geel olarak verlmştr. Normal dağılımlar yardımıyla elde edle olasılık dağılımları, araştırmacılar ç deey veya gözlemlerde yararlaarak statstksel çıkarımlar elde etmes açısıda yol gösterc olmaktadır. Karesel formlar ormal dağılımda elde edle öeml souçlarda brdr. Bu çalışmada ormal dağılımda oluşacak çıkarımlar ve ormal dağılımlı rasgele vektörler karesel formlarıyla lgleleceğ ç ormal dağılımla lgl ble özellkler blmes gerekr. Normal dağılım le lşksde yararlaarak karesel formları dağılımıda statstksel souç çıkarılacaktır. Teork olarak ele alıa karesel formları bütü özellkler uygulama yaılarak daha açık br şeklde fade edleblr. Normal dağılımda elde edle dağılımlar, karesel formları yaısıı ve özellkler belrtmede etk br rol oyamaktadır. Br rasgele değşke ormal dağılmamışsa, ormal dağılıma yaklaşımı sağlaablr. Bu da lmt dağılımı yardımıyla mümkü olmaktadır. Karesel formlar şlemler karmaşık olmaması edeyle uygulama yamaya çok elverşldr. Karesel formlarda dskrmat hesaları yaılablmektedr. İk karesel form uygu br döüşüm le brbrlere döüşüyorsa, ayı sayıları temsl ederler.

12 . Normal Dağılımı Tarhçes 8. yüzyılda br statstkç ve rsk daışmaı ola Abraham De Movre çok fazla sayıda düzgü ara atma deemeler yamıştır. Buu soucuda elde ettğ düzgü eğr şekl olarak Bom Dağılımıa yaklaşmıştır. De Movre, bu eğr ç matematksel fadeler daha öce bulablseyd, defa ara atarak m veya daha fazla tura veya yazı gelme olasılığıı bulma roblem daha kolay çözeblecekt. Bu amaçla ormal dağılım dele eğry keşfett. Normal dağılıma yakısama, brçok doğal olayları dağılımı soucuda öem kazamaktadır. Astroomk gözlemlerle yaıla ölçüm hatalarıı aalz ormal dağılımı lk uygulamalarıda brdr. Ölçüm hataları, kusurlu gözlemlerde dolayı meydaa gelmştr. Galleo 7. yüzyılda bu hataları smetrk olduğuu ve küçük hataları büyük hatalarda daha sıklıkla meydaa geldğ belrtmştr. Çok sayıdak deeyde elde edle ölçümler gerçek değerlerde farklarıı değşmde öeml br bezerlk gözlemştr. Ölçme hatalarıdak değşm ça şeklde sürekl br eğrye uyduğu test edlce, bua hataları ormal eğrs demştr. So derece öeml ola Merkez Lmt Teorem türetldğde, ayı dağılım 778 yılıda Lalace tarafıda keşfedlmşt. 808 yılıda matematkç Adra ve 809 yılıda Gauss Normal Dağılım ç bu teorem gelştrd (Lae 003).

13 . NORMAL DAĞILIM FONKSİYONU Bu bölümde tek ve çok değşkel ormal dağılımı ble fakat bu çalışma ç öem arz ede br takım özellklere kısaca değeceğz. Buu ç de ormal dağılımı çeştl taımlarıı aşağıdak şeklde fade edeceğz. Bu taımlar ormal dağılımı asıl ortaya çıktığıı ve asıl meydaa geldğ açıklamakta yardımcı olacaktır.. Normal Dağılımı Yaısı. Bu kısımda ormal dağılımı çeştl şekllerde verle taımlarıı aşağıda göreceğz. Bular da,. Herschel taımlaması. Maxwell taımlaması 3. Hage taımlaması 4. Olasılık yoğuluk foksyou f ola br dağılımı etros 5. Matematksel taımlama.. Herschel Taımlaması Br x, y koordat sstem başlagıç oktasıdak hedefe atış yaılırsa (,Y) koordatlı oktaya düştüğüü düşüelm. (,Y) koordatları atışı hedefte samasıı belrtr. Bu durumda gerekl varsayımlar şulardır: a) ve Y hataları brbrde bağımsız ve buları marjal dağılımlarıı olasılık yoğuluk foksyoları sürekldr. b) ( x, y ) oktasıdak olasılık yoğuluğu, bu oktaı hedefe ola uzaklığı se r = x + y ye bağlıdır. c) ( x, y ) yöüdek hatalar bağımsızdır. 3

14 ( x, y ) oktasıdak yoğuluk ç, f ( x) q( y) = s( r) foksyoel deklem yazılablr. olasılık yoğuluk foksyou ola f foksyouu bulmamız gerekmektedr. f ( x) ϕ ( x) = l şeklde taımlaırsa f (0) x = 0 ç, f (0) q( y) = s( y) y = 0 ç, f ( x) q(0) = s( x) ve q( y) s( y) = q(0) s(0) f ( x) s( x) = f (0) s(0) f ( x) q( y) s( r) = olmak üzere f (0) q(0) s(0) ( ) ( ) ( ) l f x + l q y = l s r f (0) q(0) s(0) ϕ( x) + ϕ( y) = ϕ( r), olur. Buula brlkte x = x + x r = x + y ϕ( r) = ϕ( y) + ϕ( x ) + ϕ( x ), ve geel olarak ϕ( ) = ϕ( ) + ϕ( ) ϕ( ), k r x x x k = seçerek ve x x... xk ϕ x = ϕ x ( ) ( ) veya x = ç ϕ = ϕ ( ) () dr. m x = rasyoel sayısı ç, 0. r = y + x + x x = r = = = fades foksyoda yere koyarak 4

15 m m ϕ. ( m) m () ϕ = = ϕ = ϕ veya m ϕ = m c olur. Burada c = ϕ () dr. ϕ ( x) = ϕ ()x dr. Burada ϕ sürekldr. x cx ϕ ( ) = şeklde br foksyo ortaya çıkar. Bu foksyo, f ( x) = f (0) e cx şeklde olur. f foksyouu br olasılık yoğuluk foksyou olması ç c sabt egatf olması gerekr. c sabt σ sabte bağlı olarak da fade edeblrz. O zama c = σ bçmde fade edersek, x σ (0) = f e dx de, f (0) = πσ elde edlr. Bu şeklde meydaa gele ormal olasılık yoğuluk foksyou x σ e, < x < f ( x) = πσ 0, dğer hallerde (.) bçmde buluur. Ayı yolda, Y ç y σ e, < y < q( y) = πσ 0, dğer hallerde (.) bçmde elde edlr. ve Y ortak olasılık yoğuluk foksyou f ( x) q( y ) olsu. x ekse le θ açısı yaa ve başlagıç oktasıda geçe br doğru boyuca yaıla atış souçlarıı hedefe ola uzaklığı, U = cosθ + Y sθ olsu. U u olasılık yoğuluk foksyouu bulalım: 5

16 U = cosθ + Y sθ V = sθ Y cosθ döüşümü yaılır. U ve V ortak olasılık yoğuluk foksyou, f U, V ( u + v ) σ e, < u, v < ( u, v) = πσ 0,dğer hallerde (.3) olur. U u marjal olasılık yoğuluk foksyou, f U u σ e, < u < ( u) = πσ 0,dğer hallerde (.4) bçmde elde edlr (Rao 973)... Maxwell Taımlaması Moleküller hızları ç aşağıdak varsayımları sağladığı düşüülsü: a) Üç boyutlu ortogoal herhag br koordat ssteme göre hız büyüklüğüü bleşeler u, v, w olsu. Buları her br bağımsızdır. b) u, v, w marjal dağılımları ayıdır. c) Faz uzayı u, v, w bleşelere sah moleküller yoğuluğu hızı yöüe değl büyüklüğüe bağlıdır. f foksyou, (u, v, w) hız bleşeler olasılık yoğuluk foksyou ve g foksyou, hızı olasılık yoğuluk foksyou olsu, g( v) = f ( u) f ( v) f ( w), V = u + v + w foksyoel deklem yazılır. Bu deklem Herschel taımlamasıdak ϕ( x) + ϕ( y) = ϕ( r) dekleme bezer. Bu deklem çözüldüğüde ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyou ortaya çıkar (Rao 973). 6

17 ..3 Hage Taımlaması Hatalar ç aşağıdak varsayımları ele alalım: a) Rasgele değşke ola bell br hata, çok sayıda eşt büyüklükte, steldğ kadar küçük hata bleşeler tolamı olsu. b) Hata bleşeler bağımsızdır. c) Her hata bleşe ç oztf veya egatf olma olasılığı eşt olsu. Her br hata bleşe, ε ± değerler olasılığı le alsı. Her br hata bleşeler ortalaması 0 varyası ε dır. Hata bleşeler tolamı = ε + ε ε se beklee değer E( ) = E( ε ) + E( ε ) E( ε ) = 0 varyası V ( ) = V ( ε ) + V ( ε ) V ( ε ) = ε = σ olur. V ( ) ε σ = = olacak şeklde, ç foksyouda faydalaırız. ε karakterstk foksyou ε dağılımıı bulmak ç karakterstk t t tε tε M ( t) = E( e ) = E( e ) = ( e + e ) = = 4 t t 4 ε + ε +...! 4! = t σ + d e t σ (.5) şeklde oluşa bu karakterstk foksyo; ortalaması 0, varyası dağılımı karakterstk foksyoudur (Rao 973). σ ola ormal 7

18 ..4 Olasılık yoğuluk foksyou f ola br dağılımı etros, H ( f ) = f ( x)log f ( x) dx şeklde ola, f ( x) dx =, xf ( x) dx = µ, ( x µ ) f ( x) dx = σ kısıtlaması altıda, sürekl dağılımlar arasıda etros maksmum ola dağılım, x µ σ e, < x < f ( x) = πσ 0,dğer hallerde (.6) şeklde br ormal dağılım olarak ortaya çıkar (Rao 973)...5 Matematksel Taımlama Normal dağılımı olasılık yoğuluk foksyouu elde etmek ç dğer br yötem de matematksel taımlamadır. f ( x) e x / = fades göz öüe alalım. x / I = f ( x) dx = e dx Bu tegral bu halyle almak mümkü değldr. Acak, y / I = f ( y) dy = e dy şeklde kc br taımlama yaıldığıda, x e dx = e y dır. Bu durumda dy 8

19 x y ( x + y ) = f ( x, y) dxdy (.7) I = e dx. e dy = e dxdy şekle döüşür. Burada da kutusal koordatlar özellklere dayaarak, y r = x + y θ y x x Şekl.. Kutusal koordatları grafkle gösterlş x = r cosθ ve y = r sθ döüşümü altıda (.7) y f ( x, y) dxdy = f ( r cos θ, r s θ ) rdrd θ şeklde fade ederz. R G Burada da, x = g( u, v) ve y = h( u, v) Jacoba döüşümü yardımıyla f ( x, y) dxdy = f ( g( u, v) h( u, v)) J ( u, v) dudv (.8) R elde edlr. G x x ( x, y) u v x y y x J ( u, v) = = =.. ( u, v) y y u v u v u v x x r θ cosθ r sθ y y sθ r cosθ r θ J ( r, θ ) = = = r(cos θ + s θ ) = r buluur. (.8) deklem kullaarak 9

20 f ( x, y) dxdy = f ( r cos θ, r s θ ) r drdθ = f ( r cos θ, r s θ ) rdrdθ R G G elde edlr (Thomas ad Fey 998). π r I = e rdrdθ = dθ = π Ayrıca x / Ι = e dx = π se Ι = π dır. Dolayısıyla π π x / e dx = ve π elde edlr. x a İtegrale ye değşke grersek y =, b>0 b ( x a) ex dx = b π b y / e dy = (.9) ( x a) f ( x) = ex b π b Bu fadede a yere µ ve b yere σ yazıldığıda, ( x µ ) ex, < x < f ( x) = σ π σ 0, dğer hallerde, < x < (.0) ormal olasılık yoğuluk foksyou elde edlr (Hogg ad Crag 995).. Normal Dağılımı Özellkler Olasılık yoğuluk foksyou x µ σ f ( x) = e ola ormal dağılımda; πσ a) Her µ ç f ( µ + x) = f ( µ x) olduğuda, foksyou eğrs x = µ ye göre smetrktr. Artmetk ortalama, mod ve medya brbre eşttr. 0

21 b) Dağılımı çarıklık ölçüsü α 3 = 0 ve basıklık ölçüsü α 4 = 3 tür (Chag 003). c) Dağılım x = µ değerde br maksmuma sahtr (Chag 003). d) Normal dağılım µ ve σ olmak üzere k arametreye sahtr (Chag 003). e) f(x) µ x Şekl.. Normal Olasılık Yoğuluk Foksyou Grafğ Grafkte x = µ aşağı kokavdır. Asmtotk olarak x ± ke f ( x) 0 dır. Bütü x ç f ( x) 0 olduğu ç x oztf veya egatf bütü değerlerde f grafğ yukarı kokavdır. Kokavlık değşm ola bu oktaya büküm oktası der ve f ( x) = 0 deklem çözülerek buluur. x = µ ± σ da oluşa büküm oktasıı buluruz (Meyer 970)..3 Normal Dağılım İç Uyguluk Testler Verler her zama ormal dağılıma uygu olmayablr. Gözlee her ver kümes ç ormal dağılıma uygu olduğuu varsayarak stedğmz statstksel souçları elde etmeye çalışırsak uygulamada yaıltıcı ve çelşkl durumlarla karşılaşılır. Bu amaçla hata yamamak ve blçl olmak ç br ver kümes hag dağılıma uygu olduğuu blmek gerekr. Bz ormal dağılımla lgleeceğmz ç verler ormal dağılıma uygu olu olmadığıı blmemz gerekmektedr. Buu ç aşağıdak ormal dağılıma uyguluk testler celeecektr. Bu testler şulardır:

22 . Q-Q Nokta grafk yötem. Çeyreklkler arası fark yötemyle oluşa test 3. K-kare uyguluk test 4. Kolmogorov-Smrov uyguluk test 5. Lllefors ormallk test 6. Sharo-Wlk ormallk test 7. İk ve daha fazla değşke ç ormallk testler.3. Q-Q Nokta Grafk Yötem Q-Q okta grafk yötem, br ver kümes ormal dağılıma uyguluğuu belrleye yötemlerde brsdr. Grafktek oktalar, br doğru etrafıda kümelememşler se ormallk varsayımıı sağlamadığı görülür. Normallkte ayrılışlar olduğuda döüşüm yaılarak dağılımı ormal dağılım göstermes sağlaablr. Eğer gözlem sayısı 0 se Q-Q okta grafk yötem y souç vermektedr. Bu yötem aşağıdak aşamalarda yaılır. a) Br ver kümesdek gözlemler küçükte büyüğe doğru sıralaır. b) Her br gözleme lşk sırasıyla ( / ) = veya.5 = 0 yüzdelğ hesalaır. Burada gözlem değer, gözlem sayısıdır. c) yüzdelğe karşılık gele stadart ormal değerler z tablosuda buluur. d) Gözlem değerler ( x ), yüzdelk değerler ye karşılık gele z değerler ( x, z ) çftler ç okta grafğ çzlr ve okta dağılımıı br doğru üzerde olu olmadığıa bakılır. Grafktek okta dağılımı br doğru üzerde se verler ormal dağılım olduğu görülmektedr (Johso ad Wcher 99).

23 .3. Çeyreklkler Arası Fark Yardımıyla Oluşa Test Br ver kümesde çeyreklkler arası farkı stadart samaya oralaarak ormallk test uygulaır. Öce brc ve üçücü çeyreğ hesalarız. Brc çeyreğ bulmak ç öce verler küçükte büyüğe sıralarız. Oluşturula serde ( ) değer brc çeyrek veya 5. yüzdelk dye adladırılır, 4 + c sıraya karşılık gele Q L şeklde gösterlr. Ayı şeklde üçücü çeyreğ bulmak ç de verler küçükte büyüğe sıralarız. Oluşturula 3 4 serde ( ) adladırılır, + c sıraya karşılık gele değer üçücü çeyrek veya 75. yüzdelk dye Q U şeklde gösterlr. Çeyreklkler arası fark le stadart sama arasıdak ora hesalaır. Bu ora IQR / s şeklde gösterlr. Burada s değer stadart samadır. IQR = Q Q olduğua göre, IQR / s,3 se ormal dağılıma yakısama meydaa U gelr (Scch 996). L.3.3 K-Kare Uyguluk Test K-Kare test rasgele değşkeler olasılık dağılımlarıı hotez testlerde kullaılır. Br ver kümes ormal dağılıma uygu olu olmadığıı belrlemek ç kullaıla testlerde brdr. K-kare test, herhag br durumda hotez kabul etmek veya reddetmek ç sağlaır. Blmeye arametreler tahm etmek ç gözlemlee değerler kullaılır. Parametreler tahm gerçekleşrse beklee frekaslar taımlaır. H 0 : F( x ) = F ( ) 0 x (Dağılıma Normal olasılık yoğuluk foksyou uygudur). H : F( x) F ( ) 0 x ( Dağılıma Normal olasılık yoğuluk foksyou uygu değldr). bçmdek hotezler test edlr. K-kare test statstğ: 3

24 r ( g t ) χ = (.) t = formülüde elde edlmektedr. Burada; g :. sııfta gözlee brm sayısı (gözlee frekaslar) t :. sııfta beklee brm sayısı (teork frekaslar) r : Sııf sayısı olmaktadır. Test statstğ H 0 kabul edlrse r--k serbestlk derecel k-kare dağılımıa sahtr. Burada k tahm edle arametre sayısıdır (Chag 003). (.) de hesalaa test değer α alam düzeyde ve r--k serbestlk derecel k-kare tablo değerde küçükse verler ormal dağılıma uygudur..3.4 Kolmogorow-Smrov Uyguluk Test Kolmogorow-Smrov uyguluk test br ver kümes ormallğ belrlemesde kullaıla testlerde brsdr. Hotez test aşağıdak bçmde kurulur. H 0 : F x 0 ( ) = F ( x) ( Bütü x 'ler ç ) H : F x 0 ( ) F ( x) ( E az br x ç) Teork brkml dağılım foksyou le gözlee brkml dağılım foksyou arasıda lşk olu olmadığıı ortaya koymak amacıyla; söz kousu dağılım foksyoları karşılaştırılarak, dağılımlar arasıdak e büyük mutlak farkı test statstğ oluşturulur. Kolmogorow-Smrov Uyguluk test test statstğ; su F ( x) S ( x) (.) < x< 0 formülüde elde edlmektedr. 4

25 Büyük öreklem ç, su F0 ( x) S ( x) lmt dağılımıda elde edle krtk değerler 948 yılıda Smrov tarafıda tablolamıştır (Lehma 986). Elde edle test statstğ belrl br öreklem büyüklüğü ve seçle alamlılık düzeydek Kolmogorow-Smrov tablo değerde büyük olması durumuda H 0 reddedlmekle ve dağılımı ormal olmadığı soucua ulaşılmaktadır. Kolmogorov Smrov uyguluk test K-kare uyguluk teste göre k öeml üstülüğe sah olduğu ler sürülmektedr. Bu üstülükler şulardır: a) Küçük mevcutlu öreklemlerde Kolmogorov-Smrov test daha güvelr souçlar verr. b) Herhag br öreklem büyüklüğü ç bu test çoğu zama K-kare testde daha güçlü souçlar vermektedr (Lllefors 967)..3.5 Lllefors Normallk Test Parametreler blmedğde Lllefors test kullamak gerekr. Blmeye dağılım foksyou F(x)'de elde edle,,..., bçmdek hacmlk rasgele br öreklem ortalaması ( ) ve stadart saması S > 0 se, Z S = (.3) değerler hesalamak mümküdür. Elde edle bu değerler gözlee brkml dağılım foksyouu oluşturmaktadır. Lllefors test hotezler se; H 0 : Rasgele öreklem, ortalaması ve varyası belrl olmaya br ormal dağılımda çeklmştr. H : ' ler çekldğ dağılım foksyou ormal değldr. şeklde taımlaablr. 5

26 Yukarıdak bçmde oluşturulmuş hotezler test ç kullaıla Lllefors test statstğ ye; (.) de verle su F ( x) S ( x) < x< 0 formülüde elde edlmektedr. Formüldek kuramsal brkml dağılım foksyou F ( ) 0 x le gözlee brkml dağılım foksyou S ( x) arasıdak mutlak farkları e büyüğü test statstğ değer oluşturmaktadır. Bu değer Lllefors tablo değerde büyük buluduğuda ulaşılmaktadır (Coower 980). ler dağılım foksyou ormal olmadığı soucua.3.6 Sharo-Wlk Normallk Test Sharo-Wlk testde, dağılımı blmeye br foksyo ola F( x ) 'de çekle,,..., değerlerde oluşa hacmlk br öreklem verlerde yararlaılmaktadır. Sharo-Wlk test le lgl hotezler ; H 0 : F( x ), ortalama ve varyası belrl olmaya br ormal dağılıma sahtr. H : F( x ) ' dağılımı ormal değldr. bçmde oluşturulmaktadır. Oluşturula bu hotezler test etmek amacıyla, W = = = a ( ( ) ) ( ) (.4) bçmdek Sharo-Wlk test statstğe ulaşılmaktadır (Pearso ad Hartley 97). Burada a değere se a a a a mv m V V m / = (,,..., ) = [ ] şeklde ulaşılmaktadır. 6

27 = (,,..., ) fades stadart ormal sıra statstkler beklee değerdr. m m m m V : ( x ) boyutlu kovaryas matrsdr. = (,,..., ) rasgele öreklemdr. Daha sora öreklem verler () () ( )... bçmde sıralamaktadır. (.4) dek formülde elde edle test statstğ ve öreklem hacmde hareketle Sharo - Wlk tablosuda bulua değer, seçle alamlılık düzeyde büyük olduğuda dağılımı ormal olduğu soucua ulaşılmaktadır. Normallk testler güçler arasıda karşılaştırma yaıldığıda Sharo-Wlk test e güçlü oduğu ler sürülmektedr (Sharo et al 968)..3.7 İk ve Daha Fazla Değşke İç Normallk Testler İk ve kde çok değşkel dağılımlarda, sıralamış uzaklıklar ola ;( 0,5) / d ( =,,...,) le χ değerlere lşk okta grafğ düz br çzg oluşturması durumuda değşkeler yaklaşık olarak çok değşkel ormal dağıldığı görülür. Sırasıyla / χ, / χ,, / χ değerlere karşılık gele d d... d aralıklarıı kares grafkte düz br çzg oluşturursa verler ormal () () ( ) dağılmaktadır (Johso ad Wcher 99)..4 Beklee Değer rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou f ( x ) olmak üzere, beklee değer; ) Eğer rasgele değşke keskl se 7

28 E( ) = x P( = x ) = xf ( x) (.5) x ) rasgele değşke sürekl se x E() = x f ( x) dx (.6) le fade edlr. Burada E() var olablmes ç E() mutlak yakısak olması şarttır. Ya E( ) < dr (Meyer 970)..5 Varyas rasgele değşke ç E( ) E beklee değere bu rasgele değşke varyası der. Keskl durumda varyas σ = E x f x ( µ ) = ( µ ) ( ) (.7) x dr. Sürekl durumda se, σ = E ( µ ) = ( x µ ) f ( x) dx = olarak belrler. E( ) µ (.8).6 Momet Çıkara Foksyo rasgele değşke momet çıkara foksyou M ( t ) le gösterl t bütü gerçel değerler ç t M ( t) = E( e ) le taımlaır. t tx rasgele değşke keskl se M ( t ) = E( e ) = e f ( x) (.9) t tx rasgele değşke sürekl se M ( t ) = E( e ) = e f ( x) dx (.0) olarak buluur. Normal olasılık yoğuluk foksyou momet çıkara foksyou se x 8

29 t + t M ( t) = e µ σ şeklde buluur..7 Normal Dağılım İç Bazı Öeml Teoremler Teorem.,,..., bağımsız rasgele değşkeler N µ σ (, ) ormal dağılsı. N ( µ, σ ), N ( µ, σ ),..., Y=k k... k rasgele değşke k, k,..., k reel sabtlerle dağılımı ortalaması kµ + kµ kµ ve varyası dağılıma sah olur ve k σ kσ... k σ ola ormal ( µ, σ ) = = (.) N k k bçmde elde edlr. İsat.,,..., rasgele değşkeler bağımsız oldukları ç Y momet çıkara foksyou ( k k ) tk tk tk M (t)=e ex[t(k )] = E( e ) E( e )... E( e ) Y σ ( t t E e ) = ex µ t + bütü t, =,,..., ç. tk ( ) σ kt E( e ) = ex µ ( kt) + Y momet çıkara foksyou ( k σ ) t ( k σ ) t = MY ( t) = ex ( kµ ) t + = ex ( kµ ) t + = = ( µ, σ ) = = N k k dır. 9

30 Teorem.,,..., bağımsız rasgele değşkeler M ( t ), =,,3,..., momet çıkara foksyoları le gösterlrse, foksyou Y = a fades momet çıkara = M ( t) = M ( a t) (.) Y = şeklde olur. Burada a, a,..., a reel sabtlerdr (Hogg ad Crag 995). İsat. Y momet çıkara foksyou ty t ( a + a a ) at at at at at at MY ( t) = E e = E e = E e e... e = E e E e... E e dır. Burada,,..., bağımsızdır. Buula brlkte, t E e = M ( t) olduğu ç at E e = M ( a ) t dır. Böylece MY ( t) = M( at ) M ( at)... M ( at) = M ( at) (.3) = Bu da Teorem. geelleştrlmş haldr. Teorem.3 Farz edelm k,,..., rasgele öreklem momet çıkara foksyou aşağıdak şekllerde fade edleblr: a) Y = momet çıkara foksyou = M ( t) = M ( t) = M ( t) Y [ ] (.4) = b) = / momet çıkara foksyou = t t M ( t) = M M = = (.5) dr. 0

31 Teorem.4 ve Y olarak fade edle k rasgele değşke momet çıkara foksyoları sırasıyla M ( t ) ve MY ( t ) olsu. Bütü t değerler ç M ( t ) = MY ( t ) se ve Y ayı dağılıma sahtr. Teorem.5 ve Y bağımsız rasgele değşkeler ç Z = +Y olsu., Y ve Z rasgele değşkeler momet çıkara foksyoları M ( t ), MY ( t ) ve M Z ( t ) se M Z ( t ) = M ( t ) MY ( t ) dır. İsat.5 M t = E e = E e = E e e = E e E e Zt ( + Y ) t t Yt t Yt Z ( ) ( ) (. ) ( ) ( ) = M ( t) M ( t) (.6) Y Ayrıca,,..., bağımsız değşkeler momet çıkara foksyou M, =,,..., se o zama Z = momet çıkara foksyou M Z dr. M ( t) = M ( t) M ( t)... M ( t) (.7) Z Teorem.6,,..., bağımsız rasgele değşkeler ormal dağılmış se Z = dağılımı N µ σ N µ σ (, ), =,,..., şeklde, (.8) = = olur. Buula brlkte,,,..., rasgele değşkeler ) ve ) ve S bağımsızdır. N ( µ, σ ) dağılmışlarsa termler bağımsızdırlar ( =,,,). 3) S / σ, (-) serbestlk derecel k-kare dağılır. Ya χ dr. ( )

32 .8 Yakısama Teoremler Yakısama teoremler le gözlemlee br rasgele değşke ormal dağılıma yakısaması celeecektr. Teorem (Lauov).7,,..., bağımsız rasgele değşkeler ortalaması µ, varyası σ ve üçücü derece momet 3 3 M E µ = se σ = σ + σ σ ( ) ( ) M = µ + µ µ olsu. M lm σ ( ) ( ) µ µ... µ = 0 lşks varsa, Z = rasgele değşke ( ) σ π x t / e dt (.9) dağılım foksyou le stadart ormal dağılıma yakısar (Zubrzyck 970). Teorem (Ldeberg-Feller).8,,..., değşkeler F ( x ) dağılımlı ve E( ) = µ ortalamalı, V ( ) = σ varyaslı bağımsız rasgele değşkeler olsu. Z = = ( µ ) C C / = σ = olarak taımlaır. Her ε > 0 ç lm lm ( x µ ) ( ) 0 df x x = C µ > εc = C olursa bu lşk σ max = 0 x t / F( x) = e dt (.30) π dağılımı le ortalaması 0 ve varyası ola stadart ormal dağılıma yaklaşır.

33 .9 İk Değşkel Normal Dağılım İk değşkel rasgele değşkeler = (, ) olsu. Buları beklee değer ve kovaryası sırayla [ ] E µ = µ = µ ve Cov [, ] σ σ = = σ σ, σ = σ σ j = j j olu det σ σ σ 0 = olacağıda öyle σ = ρ σ σ eştlğ kullaarak σ σ σ ρ σ σ = = σσ σ σ σ σσ ( ρ) ρσ σ σ elde edlr. O halde k değşkel ormal olasılık yoğuluk foksyou σ ρσ σ x µ ( x µ ) ( x µ ) = ( x µ x µ ) σσ ( ρ ) ρσ σ σ x µ σ ( x µ ) + σ ( x µ ) ρσ σ ( x µ )( x µ ) = σ σ ( ρ ) = x µ x µ x µ x µ ρ + ( ρ ) σ σ σ σ şeklde elde edlr. Bua göre k değşkel ormal olasılık yoğuluk foksyou (.3) dek gb taımlaır. f ( x, x; µ, ) = e π det( ) ya ( ) x µ ( x µ ) e f ( x, x ) = x µ x µ x µ x µ ρ + ( ρ ) σ σ σ σ πσ σ ρ (.3) dr (Johso ad Wcher 99). 3

34 İk değşkel ormal olasılık yoğuluk foksyou f ( x, x ) özellkler şulardır. ) f ( x, x ) brleşk olasılık yoğuluk foksyoudur. ) değşke N ( µ, σ ) ve değşke N ( µ, σ ) olarak ormal dağılır. 3) ρ değer se ve rasgele değşkeler korelasyo katsayısı olu ρ cov(, ) = = (.3) V ( ) V ( ) σ σ σ le hesalaır ve ρ aralığıda br değerdr. İk değşkel ormal dağılım µ, µ, σ, σ ve ρ olmak üzere beş arametreye sahtr (Hogg ad Crag 995). Marjal dağılımlar se sırasıyla aşağıda gösterlmştr. Bular, f ( x ) = f ( x, x ) dx = e σ π ve µ σ ( x ) /( ) (.33) f ( x ) = f ( x, x ) dx = e σ π ( x µ ) /( σ ) (.34) şekldedr. İk değşkel ormal dağılımda; (, ) ~ BVN ( µ, µ, σ, σ, ρ ) se ) x ~ ) x ~ = x verldğde koşullu dağılımı σ N µ + ρ ( x µ ), σ ( ρ ) σ = x verldğde koşullu dağılımı σ N µ + ρ ( x µ ), σ( ρ ) σ şekldedr (Ba ad Egelhardt 989). İk değşkel ormal olasılık yoğuluk foksyouu momet çıkara foksyou σ t + ρ σ σ t t + σ t M ( t, t) = ex µ t + µ t + şeklde taımlaır (Hogg ad Crag 995). (.35) 4

35 .0 Çok Değşkel Normal Dağılım Burada çok değşkel ormal dağılım foksyou taımı, özellkler ve elde edlecek öeml souçlar celeecektr. Taım. Br vektörü Normal dağılıma sahse, olasılık yoğuluk foksyou, oztf taımlı br matrs olmak üzere f ex ( x µ ) ( x µ ) ( x) =, x R, µ R ( π ) (det( )) 0,dğer hallerde (.36) şekldedr. Bua göre, R... f ( x) dx dx.. dx = eştlğ görüleblr. Bu taıma Wllam C. Horrace tarafıda taımlaa taımı da lave olarak verleblr. Taım. Farz edelm k * * * * = x, x,..., x, le boyutlu rasgele değşkeler olsular. Olasılık yoğuluk foksyou / f *( x, µ, ) = ( π ) (det ) ex ( x µ ) ( x µ ) ; x R (.37) se * değşke µ = µ, µ,..., µ ortalama vektörlü ve ( x) boyutlu oztf taımlı tekl olmaya korelasyo matrsl değşkel ormal dağılıma sahtr. Stadart otasyo olarak * ~ N ( µ, ) fades kullaacağız. c = c, c,..., c R altıda * fade edlr. = x, x,..., x trucated hal şu şeklde 5

36 / / ( π ) (det ) ex ( x µ ) ( x µ ) f ( x, µ,, c) = ; x R c; / / ( π ) (det ) e x ( x µ ) ( x µ ) dx c = ex ( x ) ( x ) e x ( x ) ( x ) dx c µ µ µ µ ; x R, c (.38) Burada c c tegral boyutlu c de a br Rema tegraldr ve { : } R = x R x c dr. * ı her elemaı ç c altıda trucated le lglelr. Buula brlkte * ı alt kümeler de trucated olur. Bu da * j ç lmt da c j e gder. Öreğ eltk trucated. Burada * fades * atj j > atj bçmde trucated dkkate alıırke j= < < şartı le sıırladırılır. * * a b Souçta, (, ) çftde trucated dkkate alırız, dağılımı sesfk bölümü * * belrtlr ve * x je( j ) olarak maksmze edlr. Aşağıda zleyeceğmz taımlama j= yararlıdır. M = c µ, t R ve j ( x) sırasıyla t, P ; j N j j sembolk elemaı le, N [,,..., ] P = c µ t fade edlrse, ( x) = ve = dr (Horrace 004)..0. Çok Değşkel Normal Dağılımı Beklee Değer ve Kovaryası =,,..., rasgele vektörüü beklee değer 6

37 E( ) µ E( ) µ = E( ) = µ = (.39) M M E( ) µ şeklde taımlamış olu, kovaryası se µ µ = E ( µ )( µ ) = E µ, µ,..., µ M µ ( µ ) ( µ )( µ ) K ( µ )( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) K ( µ )( µ ) = E M M K M ( µ )( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) K E ( µ ) E ( µ )( µ ) K E ( µ )( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) K ( µ )( µ ) E E E = M M K M E ( µ )( µ ) E ( µ )( µ ) E ( µ ) K V ( ) cov(, )... cov(, ) cov(, ) V ( )... cov(, ) = = cov(, ) cov(, )... V ( ) şeklde taımlaır (Johso ad Wcher 99). σ σ... σ σ σ... σ σ σ... σ (.40).0. Çok Değşkel Normal Dağılımda Çıkarılacak Bazı Souçlar Souç. Br matrs taımlamışsa de taımlaablr. 7

38 Eğer e vektörü ı λ öz değere karşılık gele öz brm vektörü ve ters var se, o zama e vektörü, öz değere karşılık öz vektörüdür. λ e = λ e se e = e λ olarak fade edlr. O halde, ( λ, e), ç, taımlıdır. Bu da aşağıdak gb fade edlr.,e λ de ç öz değer-öz vektör çftdr. oztf taımlı ve e 0 ç br öz vektör, O halde, 0 < e e = e ( e) = e ( λe) = λe e = λ x boyutlu herhag br x vektörü ç, ( ) x x = x ee x x = e 0 = λ = λ de oztf olduğu ç λ ( x e ) her br term oztftr. Yalız x = 0 se bütü ç x e = 0 dır. ( ) x e > 0 = λ ve oztf taımlıdır. Özetle, boyutlu ormal olasılık yoğuluk foksyou ( x µ ) ( x µ ) c = (.4) olacak şeklde br els taımlar. Bu els merkez µ ve ekseler se m c λ e dr ( =,,...,). Burada e = λe dr (Johso ad Wcher 99). Souç. ~ N ( µ, ) se, A ( qx) ( x) a + a a a + a a =... aq + aq aq 8

39 şekldek q bleşmler N ( Aµ, A A ) dağılır. q Ye, + d fades ( x) ( x) N (, ) µ + d (.4) dağılır. Burada d sabt vektördür. Souç.3 bütü alt kümeler ormal dağılır., ve olarak k arçaya ayırırsak, oları ortalama vektörü µ ve kovaryas matrs olmak olsu. ( x) ( qx) = K (( q) x) ~ µ ( qx) µ =... µ (( q) x) ( x) = ( x) ( xq) ( qx( q)) M L M L M (( q) xq) (( q) x( q)) N (, ) q µ (.43) dağılımıa sahtr (Johso ad Wcher 99). Souç.4 a) ve bağımsız se Cov(, ) = 0 dır. (.44) qxq sıfır matrsdr. b) L ~ N q + q µ M, L L M L µ M se yalız = 0 olduğuda ve bağımsızdır. c) ve bağımsızsa ve sırasıyla N ( µ, ) ve q N ( µ, ) dağılırsa, q L se N q + q µ M 0, L L M L µ 0 M şeklde çok değşkel ormal dağılır (Johso ad Wcher 99). (.45) 9

40 Souç.5 rasgele değşke det( ) > 0 olmak üzere N ( µ, ) dağılır. O halde, a) µ µ fades serbestlk derecel k-kare dağılır. ( χ ) (.46) ( ) ( ) b) N ( µ, ) dağılımı α olasılık le { x : ( x µ ) ( x µ ) χ ( α) } else karşılık gelr. Buları asıl oluştuğuu aşağıda sırasıyla göreceğz. ( ) (.47) Z, Z,..., Z bağımsız rasgele değşkeler N(0,) dağılırke, a) Z + Z Z kareler tolamı dağılımıı χ olduğuu blyoruz. (.48) de fade edle Sectral ( ) Ayrışımlar yardımıyla A= ve şöyle fade edlr. = ee elde edlr. Sectral Ayrışım kısaca = λ Br A smetrk matrs ( ) boyutuda kare matrs olsu. A matrs öz değerler sırasıyla λ, λ,..., λ ve öz brm vektörler se sırasıyla e, e,..., e olsu. = j = e e j, j, 0 =,,, dr. O halde Sectral Ayrışım A = λ e e + λ e e + + λ e e (.48) ( )... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklde taımlaır. Burada e = λe dr. Böylece Souç olarak, e (/ λ ) e = µ µ = λ µ µ = λ µ = = [(/ λ ) e ( µ )] Z = = ( ) ( ) (/ )( ) e e ( ) (/ )( e ( )) = = Z (/ λ ) e Z Z = (/ λ ) e, A = ( ) M ( ) M Z (/ λ ) e olarak belrttğmzde Z = A( µ ) ve µ dağılımı N (0, ) olur. Bu durumda, Z = A( µ ) değşke N (0, A A ) şeklde çok değşkel ormal dağılım gösterr. 30

41 (/ λ ) e (/ λ ) e = (/ λ ) e A A λee e e... e ( ) ( ) ( ) M = λ λ λ λ e λ e = e e... e M λ λ λ λ e Z, Z,..., Z bağımsız stadart ormal değşkeler ve = Ι (.49) ( µ ) ( µ ) fades serbestlk dereces le k-kare ( χ ) dağılır (Johso ad Wcher 99). ( ) b) P[( µ ) ( µ ) c ] olasılığı N ( µ, ) le dağıla ( µ ) ( µ ) c els fade eder (Johso ad Wcher 99). Souç.6 ~ N ( µ, ) U = A + b olmak üzere leer döüşümü ola, rasgele vektörü de ormal dağılıma sahtr. Gerçekte, M ( t) = E( e ) = E( e ) = e E( e ) = e M ( A t) = e e µ U t U t ( A + b) t b t A t b t b t A + (/ ) t A ( t A) olmak üzere U rasgele vektörü, U ~ N( Aµ + b, A A ) dağılımıa sahtr (Akdez ve Öztürk 996). Souç.7 µ = 0, = Ι olması durumuda N(0, Ι ) dağılımıa çok değşkel stadart ormal dağılım der. ~ N ( µ, ) olmak üzere, :x kovaryas matrs - vers matrs ked öz değer ve öz vektörler oluşturduğu matrsler csde, 3

42 λ λ... 0 = P P M M L M M L olarak yazılsı ve 0 λ λ λ... 0 P M M L 0 λ M M L / = P olsu. -/ Z= (Y- µ ) P = [ e, e,..., e ] x döüşümü soucu Z rasgele vektörü stadart ormal dağılıma sahtr, ya Z ~ N(0, Ι ) (.50) dır..0.3 Çok Değşkel Koşullu Dağılımlar,,..., rasgele değşkeler ç µ M = L vektörü, µ = L ortalamalı ve = L M L kovaryaslı ormal µ M dağılır. Ya, = L ~ N ( µ, ) dr. = x verldğde koşullu dağılımı ortalaması ve kovaryası sırasıyla aşağıdak gb ola E = x µ + ( x µ ) (.5) = 3

43 Cov = x = (.5) le ormal dağılır. Buu kısaca şöyle göstereblrz. Ι M 0 (( q) x( q)) (( q) xq) A = L M L M Ι (( q) xq) ( qxq) alalım. O zama µ A( µ ) = A... = µ µ... µ ( µ ) fades beklee değer E [ A µ ] AE [ µ ] M 0 Cov( A( µ )) = A A = M 0 M ola ormal dağılıma sahtr. Bu edele, ( ) = = 0 ve kovaryas matrs µ ( µ ) ve A( µ ) µ ola k bleşe kovaryası 0 dır. Böylece olar bağımsızdır. Üstelk, µ ( µ ) ~ N q (0, ) şeklde dağılmaktadır. Bağımsızlıkta µ ( µ ) = x ~ N q (0, ) µ ( x µ ) = x ~ N q (0, ) dağılımlarıı elde ederz. Souç olarak = x ~ N µ + x µ (.53) q ( ( ), ) dağılımı oluşur. Ayı şeklde = x verldğde koşullu beklee değer, kovaryası ve dağılımı se sırasıyla aşağıda gösterlmştr. E = x = µ + ( x µ ) Cov = x = = x ~ dr. N µ + x µ (.54) q ( ( ), ) 33

44 .0.4 Çok Değşkel Normal Dağılımı Momet Çıkara Foksyou Br rasgele vektörü ormal dağılıma sah olduğuda momet çıkara foksyou ( x µ ) ( x µ ) t x t M ( t) = E( e ) =... e dx... dx ( π ) det( ) t t t = e µ + (.55) şekldedr. Burada µ fades rasgele vektörüü beklee değer ola ortalama vektörüdür. se kovaryas matrsdr. 34

45 3. NORMAL DAĞILIMIN DİĞER DAĞILIMLARLA İLİŞKİSİ Normal dağılımı dğer dağılımlarla ola lşks Lmt Dağılımı yardımıyla buluur. Bütü dağılımlar bazı şartlarda ormal dağılıma yaklaşmaktadır. Taım 3. Her br =,, ç ve rasgele değşke dağılım foksyou F ( ) x ve rasgele değşke dağılım foksyou da F( x ) olsu. F( x ) dağılım foksyouu sürekl olduğu her x ç lm F ( x) = F( x) (3.) se rasgele değşkeler dzs rasgele değşkee dağılımda yakısıyor der ve d le belrtlr. Bua lmt dağılımı der (Ba ad Egelhardt 989). Taım 3. 0 F( x) = x < c x c se x = c değerde F( x ) foksyou bozula dağılımı dağılım foksyoudur (Ba ad Egelhardt 989). (3.) 3. Stokastk Yakısama.,,..., rasgele değşkeler ve c br sabt olmak üzere x = c de lmt dağılımıa sahse bua stokastk yakısama der. b c lm + = e cb lm d( ) = 0 se b c d( ) lm + + = e cb (3.3) (3.4) 35

46 olur. (3.4) eştlğ her k tarafıı logartmasıı alarak kolayca çözeblrz. (3.3) dek lmte göre c c b l + = b +... = cb +... (3.5) elde edlr. Burada ke termler gerye kala kısmı (artık değerler) sıfıra yaklaşır (Ba ad Egelhardt 989). 3. Momet Çıkara Foksyo Yaklaşımı Momet çıkara foksyo yaklaşımı le çeştl olasılık dağılımları ormal dağılıma yakısamaktadır. Teorem 3.,,..., rasgele değşkeler olsu. Dağılım foksyoları sırasıyla F ( x), F ( x),..., F ( x ) ve momet çıkara foksyoları M ( t), M ( t),..., M ( t ) dır. M(t), F( x ) dağılım foksyou momet çıkara foksyou bütü t ç lm M ( t) = M ( t) -h < t < h se o zama lm F ( x) = F( x) (3.6) dır. 3.3 K-Kare Dağılımıı Normal Dağılıma Yaklaşımı rasgele değşke k-kare dağılımıa sahse ortalaması, varyası olduğuda Merkez Lmt Teoremde bu değerler yere koarak momet çıkara foksyo yardımıyla ormal dağılıma yaklaşmaktadır. ke ~ χ ( ) ~ χ se ( ) Z d = Z ~ N (0,) 36

47 momet çıkara foksyou E( ) = V ( ) = ( t) /, t < Z = ( ) / M Z ( t) = E ex t / / t t t = e E( e ) = ex t /, t < M Z ( t) = e t e t / t / Taylor formülüe göre, /, t < 3 ξ ( ) / t e e = + t + t + t 6 M Z t ψ ( ) ( t) = + / t e t t e ψ ( ) = 3 3 lm 3 ξ ( ) 3 4 ξ ( ) ke lm ψ ( ) = 0 t / lm M ( t) = e (3.7) Z Z = ( ) / stadart ormal dağılıma sahtr. Ya k-kare dağılımı bu durumda stadart ormal dağılıma yakısamış olur. Teorem 3. De Movre-Lalace Lmt Teorem. Bom dağılımıa uya rasgele değşke, yeterce büyük defa bağımsız deeme yaılırke, meydaa gele başarılı olay sayısı olasılığı le gerçekleşr. S olarak belrtlrse herhag a < b ç ke başarıla her souç 37

48 Z = S ( ) (3.8) se S P a b F( b) F( a) ( ) olur. İsat 3. (3.8) e göre, bom dağılımıa sah rasgele değşke N(, q ) dağılımıa yaklaşır. Burada q = dr. S karakterstk foksyou ts t E( e ) = ( q + e ) dr. Bu durumda Z karakterstk foksyou se ( )/ ( tz ) ( t S E e = E e q ) = = t/ q tr/ q t/ q t/ q e E( e ) = e ( q + e ) / / ( qe t q + e tq q ) so eştlktek fadey Taylor açılımı le yazablrz. t e lm ( t) ( t) = + t olduğuu hatırlarsak!! t t t / ( ) = + f t d e (3.9) olduğu görülüyor (Rao 973). Açıkça, dağılım ortalaması 0 ve varyası ola ormal dağılıma yaklaşmaktadır. Deeme sayısı büyük olduğuda Bom olasılıkları ormale yaklaşır. Burada d(.) değer artık değerdr. 38

49 3.4 t Dağılımıı Normal Dağılıma Yaklaşımı T, serbestlk derecel t dağılımıa sah olsu (=,,3, ). Buu dağılım foksyou t t Γ [( + ) / ], (3.0) ( + ) / F( ) = f ( x) dx = dx π Γ( / ) ( + x / ) dr. Burada f( x ) fades T olasılık yoğuluk foksyou olarak taımlaır. Bua göre, lm t F ( ) t = lm f( x) dx = lm f( x) dx t lm f ( x) dx = [ ] Γ ( + ) / x lm.lm lm / + / ( / ) ( x / ) Γ + π / x lm + = e t x x / lm F ( t) = e dx (3.) π olduğuda stadart ormal dağılıma yaklaşmış olur (Hogg ad Crag 995). 3.5 Asmtotk Normal Dağılım σ t ( m ( ξ ) σ ) t m( t) = + + (3.) eştlğe göre öreklem ortalaması stadartlaştırıldığıda Merkez Lmt Teoremde Z d Z ~ N (0,) dr (Ba ad Egelhardt 989). 39

50 Taım 3.3,,..., rasgele değşkeler m ve c öyle sabt olsu k, Z m d = Z ~ N (0,) c / ke, m asmtotk ortalama ve asmtotk ormal dağılıma sahtr (Ba ad Egelhardt 989). c / asmtotk varyaslı olarak 3.6 Stokastk Yakısamaı Özellkler Stokastk yakısama, blmeye ktle arametreler y br tahm ç gereke özellklere sahtr. Teorem 3.3 Her ε > 0 ç,,..., stokastk yakısama P ( c ε ) lm < = dr. Burada rasgele değşkeler sırası c sabt ç yakısamadır. c le taımlaa olasılıkta Teorem 3.4,,..., ortalaması µ ve varyası σ ola ayı dağılımlı rasgele öreklem olmak üzere bu öreklem ortalaması olasılıkta µ ye yakısar. Ya dır. µ İsat 3.4 E( ) = µ, ( ) V σ = ve P ( µ < ε ) ε ( ) σ / lm P µ < ε = (3.3) 40

51 dır. Bu souçlar ktle ortalamasıı daha y tahm etmey sağlaya öreklem ortalamasıı gösterr., ke P ( µ ε ) < değer e yaklaşır. Ya herhag br ε > 0 ve 0 < δ < ç σ > se ε δ P dr. ( ) µ ε < < µ + ε δ d Teorem 3.5 Z = ( m) / c Z ~ N (0,) se dr (Ba ad Egelhardt 989). d m (3.4) 3.7 Lmt Teoremler Bu bölümde lmt teoremler ve yakısama teoremler celeecektr. Taım 3.4 Olasılıkta Yakısama. Verle herhag br ε > 0 sayısı ç, lm P < ε = se rasgele değşke e olasılıkta yakısamış olur ve şeklde fade edlr (Ba ad Egelhardt 989). Teorem 3.6 rasgele değşkeler olmak üzere dr. = c özel durumu ç lmt dağılımı P[ c] (Ba ad Egelhardt 989). se d (3.5) = = olasılıkla bozula br dağılımdır 4

52 Teorem 3.7 c se herhag g(x) foksyou ç c de sürekl se g( ) g( c) (3.6) dr (Ba ad Egelhardt 989). İsat 3.7 Her ε > 0 ve g(x) c de sürekl olduğu ç burada ε > 0 öyle fade edersek x c < δ, g( x) g( c) < ε mevcuttur. P g( x) g( c) < ε P c < δ P( B) P( A) olduğu ç A B. Fakat lm P g( ) g( c) < ε lm P c < δ = ve g( ) g( c) c olduğu ç her δ > 0 ç Bu teoremde kullaışlıdır. ve c, vektörler k boyutlu olduğuda geçerldr. Bu teorem çok Teorem 3.8 c ve Y d de ve Y rasgele k değşkeler se ) ) a by ac bd Y + + (3.7) cd (3.8) 3) / c c 0 ç (3.9) 4) P[ 0] = Bütü, c 0 ç 5) [ 0] P se (Ba ad Egelhardt 989). dr. (3.0) c c dr. (3.) Teorem 3.9 Stutsky s Teorem. Öyle bağımsız değşkeler se ) d Y c Y c ve Y d Y de ve Y k + + (3.) 4

53 ) Y d cy (3.3) d 3) Y / Y / c ; c 0 (3.4) Teorem 3.0 dr. d d se herhag br g(x) sürekl foksyo g( ) g( ) Teorem 3. ( ) / d m c Z ~ N (0,) ve g(x), x = m de sıfırda farklı türeve sahse ya g ( m) 0 se [ ( ) g( m) ] g cg ( m) d Z ~ N (0,) (3.5) stadart ormal dağılıma yaklaşır. İsat 3. x m ve u(m)=0 se [ ] u( x) = g( x) g( m) /( x m) g ( m) u( x ), u( m ) = 0 le m de sürekldr. Böylece g ( m) + u( ) g ( m) [ ] [ ] ( ) [ ] g( ) g( m) m g ( m) + u( ) = cg ( m) c g ( m) (3.6) Asmtotk ormallğe göre büyük olduğuda, ~ N m c (, / ) se g( ) ~ N g m dağılımıa yaklaşır. [ ( )] ( ), c g m (3.7) 43

54 4. NORMAL DAĞILIMDAN ELDE EDİLEN ÖNEMLİ SONUÇLAR Karesel formları oluşumu ç ormal dağılımı özellklerde yararlaılarak bazı dağılımlar elde edlmektedr. Bu dağılımlar k-kare dağılımı, t dağılımı, F dağılımı ve Wshart dağılımıdır. Bular aşağıda açıklaacaktır. 4. K-Kare Dağılımı Teorem 4. rasgele değşke σ >0 olmak üzere N ( µ, σ ) dağılırsa, W = ( µ ) / σ rasgele değşke stadart ormal dağılır. Ya N (0,) Crag 995). dr (Hogg ad Teorem 4. rasgele değşke N ( µ, σ ) sahse σ > 0, V µ σ = ( ) / rasgele değşke sebestlk dereces le Ch-square ( χ ) dağılır (Hogg ad Crag 995). () Teorem 4.3,,..., rasgele değşkeler N µ σ (, ) ormal dağılımıda sayıda br rasgele öreklem olsu. Y µ = = σ rasgele değşke serbestlk derecel K-kare dağılımıa sahtr Ayı şeklde Y = = ( ) σ dağılımıa sahtr. Ya aşağıdak gb fade edlr. rasgele değşke se - serbestlk derecel K-kare = dır. ( ) σ ~ χ (4.) ( ) 44

55 Teorem 4.4,,..., N (0,)... de rasgele br öreklem olmak üzere U = rasgele değşke serbestlk derecel k-kare ( χ Kısaca, ( ) ) dağılır. V = olsu. v π π v / v / e + e dv / / v e dv,her v > 0 ç = π 0,dğer hallerde Bu souçla v rasgele değşke serbestlk derecel k-kare dağılır. değşke N(0,) dağılırsa (4.) değşke serbestlk derecel k-kare dağılır. ( χ ) Ayı şeklde, 3,..., değşkeler N(0,) dağıldığıda,, 3,..., değşkeler χ () dağılır. () V =, V =,..., V = U = V + V V dağılımı se M ( t) ( t) V / = = M ( t) ( t) V / = =... = M ( t) = ( t) V / M ( t) = M ( t) M ( t)... M ( t) = U V V V ( ) ( )...( ) / / / t t t = ( ) (/ ) t = (/ ) ( t) (4.3) Bu souçla U = dağılımı... χ olur (Meyer 970). ( ) Ayrıca, ~ = χ (-m) χ ( ), ~ χ ( m), > m, le bağımsız ve = + se dır. Gerçekte, rasgele değşke momet çıkara foksyou üzere, M ( t) = M ( t) M ( t) / m / ( t) = ( t) M ( t) fadesde M ( t) olmak 45

56 M ( t) = ( t) m oluşur ya, = χ (-m) dır. Buda başka, merkez olmaya k-kare dağılımı da vardır. ~ N(0, Ι ) dağılsı. = merkez k-kare dağılımıa sahtr. = ~ N ( µ, Ι) olduğuda U = dağılımıı ele alalım. µ 0 olduğuda merkez olmaya k-kare dağılımı oluşur. Burada, µ µ µ = arametres merkez olmama arametres olarak blr. λ arametres le fade edlr. Bu da µ µ λ = şeklde belrtlr. serbestlk derecel ve λ merkez olmaya arametrel merkez olmaya kkare dağılımı χ le gösterlr. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksyou se (, λ ) + k x k λ λ x e f ( x) = e (4.4) k = 0 k! + k Γ + k şeklde fade edlr. Merkez olmaya k-kare dağılımıı momet çıkara foksyou + k λ k M ( t) = e ( λ / k!)( t) k = 0 = = ( t) λ λ e e ( t) [ ( t) ] ( t) e λ (4.5) bçmde fade edlr. Merkez olmaya k-kare dağılımıı Ortalaması E( ) = + λ ve varyası V ( ) = + 8λ dır. Dağılım merkez olsaydı 46

57 Ortalaması E( ) = Varyası V ( ) = olurdu. 4. t Dağılımı U ~ N(0,), V ~ χ ve U ve V bağımsız k rasgele değşke olmak üzere, ( ) U t = (4.6) V / rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou + Γ x f ( x) = + π Γ +, < x < (4.7) dır. Bu olasılık yoğuluk foksyoua sah rasgele değşkelere serbestlk derecel t dağılımı der ve ~ t ( ) bçmde gösterlr (Akdez ve Öztürk 996). Teorem 4.5 t ~ t ( ) olmak üzere t lmt dağılımı N(0,) dır. ~ t ( ) olmak üzere, E( ) = 0, ( > ) (4.8) ve V ( ) =, ( > ) (4.9) t ~ t ( ) olmak üzere dır. t d (Z ~ N (0,)) (4.0) 47

58 Teorem 4.6,,..., rasgele değşkeler N( µ, σ ) dağılımıda br öreklem olmak üzere, µ S / ~ t (4.) ( ) şeklde dağılır (Ba ad Egelhardt 989). Teorem 4.7 ~ U / ~ t, δ µ = σ dır. N ( µ, σ ), U ~ χ ( ) ve le U bağımsız olmak üzere, 4.3 F Dağılımı U ~ χ, V ~ ( r ) χ ve U le V bağımsız k rasgele değşke olmak üzere, ( r ) U / r V / r = (4.) rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou r + r r Γ r + r r r r x Γ ( r / ) Γ ( r / ) r f ( x) = +,0 < x < 0, dğer hallerde, (4.3) dır. Bu olasılık yoğuluk foksyoua at rasgele değşkelere F dağılımı der ve ~ F( r, r ) bçmde gösterlr. Şmd de merkez olmaya F dağılımıı celeyelm. U ~ χ, V ~ ( r, λ ) χ ve U ve V bağımsız seler (4.) de fade edle rasgele ( r ) değşke r ve r serbestlk derecel λ merkez olmaya arametrel merkez olmaya 48

59 F dağılımıa sahtr ve F ( r, r, λ) şeklde gösterlr. Merkez olmaya F dağılımıı olasılık yoğuluk foksyou se r r + k r r r + k Γ + + k r r k e λ λ x f ( x) = (4.4) k = 0 k! r ( r r k ) r + + Γ k + Γ ( r + r x) şekldedr. Beklee değer ve varyası se sırasıyla aşağıdak şeklde fade edlr. E r ( r + λ) ( ) =,( r > ) r ( r ) λ r ( r + ) + ( r + 4 λ)( ) V ( ) =,( r > 4) r ( r ) ( r 4) dır. λ = 0 ve k = 0 olduğuda merkez F dağılımı elde edlr (Searle 997). 4.4 Wshart Dağılımı Wshart Dağılımıı lk kez 95 yılıda Fsher bulmuştur. Bu bulgu k boyutlu vektörlere lşkdr. Dağılımı kde fazla boyuta geelleştre ve yoğuluk foksyouu 98 yılıda Joh Wshart bulmuştur. Bu sebele bu dağılıma Wshart Dağılımı der (Tucer 00). Taım 4. Brbrde bağımsız olarak ~ N ( µ, ), =,,, bçmde farklı yasalara göre dağıla,,..., m gözlem vektörleryle buları dış çarım tolamlarıda oluşa m C = (4.5) = matrs düşüülsü. Poztf taımlı ola C matrse Wshart matrs adı verl, m serbestlk dereces, arametres ve Λ merkez olmama arametres le merkez 49

60 olmaya Wshart dağılımıa sah olduğu fade edlr. Kısaca C ~ W ( m, ; Λ ) le smgeler. arametres oztf taımlı smetrk br matrstr. Λ merkez olmaya arametres de Λ = MM dr. Burada M matrs M µ µ µ m = (,,... ) (4.6) şeklde xm boyutudadır. M = 0 ya da m C = ( µ )( µ ) (4.7) = durumuda merkez br Wshart dağılımı söz kousudur ve C ~ W ( m, ) şeklde gösterlr (Tucer 00). Taım 4. Brbrde bağımsız ~ N ( µ, ) şekldek ayı dağılım yasasıa göre dağıla,,..., m gözlem vektörler verl, m K = ( µ )( µ ) = oluşturulsu. matrs oztf taımlı olması şartıyla K matrs c j, j =,,..., gb belrg elemalarıı dağılımı ( m ) / det( k) etr k m / m m / f (,,,..., ).[ det( ) K kj j = = Γ ] 0, dğer hallerde şekldek olasılık yoğuluk foksyou yardımıyla belrler. Bu fadedek smges Çok Değşkel Beta foksyou olarak da ble m Γ m m + k Γ = Γ (4.8) dr. ( ) 4 π k = 50

61 Taım 4.3 α R sıfırda farklı sabt sayılarda oluşa br vektör ve 4.7 de fade edle C matrs, C ~ W ( m, ) le br Wshart matrs olsu. Bua göre χ m ~ χ olmak üzere, ( mγ ) α Cα le α α χ m dağılımları brbre eşttr (Tucer 00). (( ). ) 5

62 5. KARESEL FORMLAR Bu kısımda karesel formları e olduğu hakkıda blg edeceğz. Smetrk matrsl karesel formlar çok değşkel statstk aalzde öeml yer tutar. Karesel formlar, boyutlu vektör uzayıda kürems, elsms, v.b. geometrk kalı oluştururlar. Sözü edle kalılar, karesel formu matrs belllğ adı verle öz değerler kalılarıa bağlıdır. Taım 5. f : R R br foksyoda : ( x ) boyutlu br vektör ve A: ( x ) boyutlu smetrk br matrs olsu. O zama f ( x) = A = a x x (5.) = j= j j şekldek forma karesel form der. Burada x x M x = = L ve A matrs de ve [ x x x ] A = a a K a a a a K M M M M a a K a olmak üzere meydaa gele karesel form = [ x x K x ] = A a a K a x a a K a x M M M M M a a K a x şeklde fade edleblr. Burada A smetrk br matrs olduğuda A = A dır. 5

63 Taım 5. ve Y ( x) boyutuda k vektör olsu. Y ç çarımı ve Y arasıdak bleşeler çarımıı tolamıdır. = = [ x x K x ] Y x y x y x y.... y y M y = Y = Y olduğuda = x = şeklde meydaa gele karesel form bleşeler kareler tolamıdır (Baslevsky 994). ( x ) boyutlu br A smetrk matrs le değşkel f ( x) = A karesel form olsu. A matrs dagoal yaacak br Q ortogoal matrs vardır. Q AQ = D eştlğde D dagoal matrstr. Karesel form çde A = ( QY ) A( QY ) = Y Q AQY = Y DY = QY değşm yaarak şeklde karesel form oluşur. Eğer A ı öz değerler λ, λ,..., λ se (5.) de D dagoal olacak şeklde Q seçeblrz. L 0 λ D = M O M 0 L λ (5.) y = y L y se ye değşkeler Eğer [ ] Y DY = λ y + λ y λ y karesel formu le fade edlr. Bu şleme dagoal br karesel form der (Poole 003). Teorem 5. Temel Ekse Teorem. Her karesel form dagoal hale getrleblr. ( x ) boyutlu smetrk br A matrs A karesel formu le celerse ve öyle br 53