tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

Transkript

1 . OLASILIK TEORİSİ İsttstsel ştımlı temel oulıd b souu öede es ol blmeye bzı şs bğlı olylı (deemele) olsı tüm mümü souçlıı hg sılıl oty çıtığıı belleyeblmet. Bu sou sttstte olsılı poblem ol dldıılı ve deemele beze oşulld telbldğ duumld çözüm bulm mümüdü. Çözümü l şmsı ssl deey tüm mümü çıtılıı bellemesd. Öeğ b pı ez tılmsı souud üst yüze gele sembolle tüm mümü duumlı b üme elemlı ol; T, T, T, Y, Y, T, Y Y S e :, tımlbl. Bu edele olsılı ousu üme teos b ç ol ullmtdı.. KÜME TEORİSİ Bu ısımd ümele A, B gb büyü hfle le gösteleeled. Tım (Öe Uzyı): B ssl deey tüm mümü çıtılıı ümes S, bu deey öe uzyı ol dldıılı. Öe uzyı çedğ elem syısı çısıd sııf yılı: ) Syılbl (solu/sosuz) elemlı b) Syılmz (sosuz) elemlı Eğe b öe uzyıı elemlı, tm syılı b lt ümes le beb lşl se öe uzyı syılbl elemlıdı. Ayı b öe uzyı solu syıd elem shp se syılbld. B üme elemlı poztf tm syıl ümes le be b eşleşeblyo se syılbl sosuz elemlı ümed. B dğe öe de poztf syoel syıl ümesd. Bu ypıd ümele elem syısı solu y d sosuz ols d geellle syılbl ümele ol dldıılıl. Syılmy d ço (sosuz) elem shp ümele ç veleblee öe, tüm geçel syılı tımldığı ümed. Reel syılı sym mümü değld. Bu tp ümele dh so eleeet. Syılbl ve syılmz elemlı öe uzylı sıd f sdee t olsılılı bellemes çısıd öemld. Bzı ssl deemele souçlıd ölçüle özell syısı y d dh fzl olbl. Öeğ b lmb üzede hem üettğ ısı eejs mtı X hem de yydığı ısı eejs

2 mtı Y ölçülebl. Bu duumd öe uzyı he özellğe t ümele tezye çpımıd XY elde edl: S, y : 0 ve0 y Tım (Bst oly): S öe uzyıı oluştu he b e elemı bst oly de. Tım (Bleş oly): B öe uzyıı hehg b lt ümes (S edsde dhl) b oly ol dldıılı. B öe uzyı ç tıml uç duum vdı. Bs S ümes tımldığı e büyü lt üme edsd. İ uç duum se boş ümed. Tım (Boş Küme): Elemı olmy üme boş Ø ümed. A= Ø. B A ümesde elem syısı üme hm (sze) ol dldıılı ve A le göstel. Bud A egtf olmy b tm syıdı ve Ø=0 ol tımlı. Olsılıl lgl fdelede geellle b üme olsılığı yee b olyı olsılığıd bhsedl. İl ol ümele (olylı) sılm ve delğ tımly lş şğıd velmşt: Tım (Kpsm): Eğe A ümes he elemı B ümes tfıd çelyo se B ümes A ümes ps ve A ümes B ümes b lt ümesd. A B A B Dğe b göstem se A B şelded. Tım (Eştl): Eğe üme tmme yı eleml shp se eştt. A B A B ve B A. ELEMANTER KÜME İŞLEMLERİ Hehg oly (vey üme) A ve B velmş olsu. Bleşme: A ve B ümele bleşm, A y d B ümelee t elemlı ümesd: A B : Avey B Kesşm: A ve B ümele esşm, hem A hem de B ümelee t elemlı ümesd:

3 A B : Ave B Tümleye: A ümes tümleye, A ümesde olmy tüm elemlı ümesd: A : A Ayı S =Ø ve Ø =S olup (A ) =A özdeşlle geçeld. Kesşm ve tümleye şlemle b ombsyou ol F şlem se lede çılmıştı. Bzı öeml üme şlemle şğıd teoem le tımlmıştı. Teoem: Öe uzyı S üzede üç oly (üme) A, B, C tımlmış olsu. Bud ptezle şlem sısıı tıml ve olduç öemld. Öeğ (AB)C ümes A(BC) ümesde flıdı. Değşme (Commuttvty): AB= BA AB= BA Bleşme (Assotvty) : A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C Dğılm (Dstbutve) : A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) De Mog : (AB) =A B (AB) =A B İspt. Sdee De Mog Kullı l sptltı. İspt şmlıdı. İl dımd A B A B olduğu göstels: A B olsu. Bu duumd A B olmlıdı. Souç ol; A ve B. Bu edele souu: A ve B, dğe b deyşle; A B buluu. İl dımı A B A B İ dımd A B A B olduğu göstels:

4 A B olsu. Bu duumd B. Bu edele A B souu: A ve, dğe b deyşle; B olmlıdı. Souç ol; A ve A B buluu. İ dımı A B A B He dımı souu blte değeledldğde: A B A B. Küme teos üzee tıml olyl geel ol üç gub yılıl: Ayı olyl, eşlı olyl, tümleye olyl. Eşlı olyl se ed çde bğımsız ve bğımlı olyl ol ye yılıl. Tım (Eşlı olyl): Hehg oly A ve B eğe AB se eşlı olyldı. Tım (Tümleye olyl): Hehg oly A ve B eğe AB=S se tümleye olyldı. Tım (Ayı olyl): İ oly A ve B eğe AB= se yı olyldı. Vele A, A, olylı eğe tüm j ç A A j = se şel ol yı olyldı. İde fzl üme, öeğ A, B, C çftel ol yı olmlı, AB= AC= BC= duumud olı heps de yı olduğu ABC= söyleebl. Buu tes geçel değld. Tım (Küme bölümlemes): Eğe A, A, çftel ol yı se ve A, A, ümele S ümes b bölümlemes tıml. A S se B öe uzyıı bbde yı ümelee yıştıılmsı bölümleme ol dldıılı. He hg b A ümes ç, S=A+A He hg yı A ve B ümele ç, S=(AA )(BB ) =(AB)(AB )(A B)(A B )

5 ve he hg b yölü sııflm, yı olyı tımlmsı, üzee üçüü b C olyıı tımlmsı le, S=(AA )(BB )(CC ) =(ABC)(ABC )(AB C)(A BC)(A B C)(A BC ) (AB C )(A B C ) ol elde edl. Böyle b yışımı bleşele tom ol dldıılı. Yuıd öelede sısı le, 4, 8 det tom vdı. Geel ol det üme ç det tom vdı. Bu öe uzyı üzee tıml he hg b üme bzı tomlı bleşm ol yzılbl. F (Dffeee): A\B ümes A ümese t olup B ümese t olmy elemlı ümesd. A\B=AB =: A ve B Bu şlem değşme ve bleşme özelllee shp değld. Öeğ bleşme özellğ geçel olmdığı, (A\B)\CA\(B\C) fdesde göülebl. Tım (Sgm Ceb): S lt ümele b olesyou eğe şğıd üç özellğ sğlıyos sgm eb ol dldıılı ve β le göstel. ) (boş üme β elemıdı) b) Eğe A se A (tümleye şleme göe plılı) ) Eğe A,A,... se A olu (syılbl syıd bleşm şleme göe plılı). Boş üme Ø, hehg b üme lt ümesd. Bu edele ØS. Özell () bu lt set dm sgm ebe dhl olduğuu belt. S=Ø olduğud özell () ve (b) S ümes de dm β ye dhl olduğuu belt. Ayı De Mog ulı ullıl β syılbl esşmle ltıd plı olduğu göülebl. Eğe C A,A,... se bu duumd C C A,A,... d, (özell b le) ve A olu. Buul blte De Mog uu ullıl,

6 C C A A buluu ve özell (b) le A buluu. Öe uzyı S ye t bço flı sgm eb tımlbl. Öeğ {Ø, S} şelde det üme olesyou b sgm ebd ve tvl sgm eb ol dldıılı. Eğe S solu y d syılbl se bu öe uzyı üzede b sgm eb olduç oly b şelde tımlı: =S tüm lt ümele, S eds Eğe S ümes det elem shp se β de üme syısı dett. Öeğ eğe S={,,3} se β, 3 =8 üme olesyoud, ={}, {}, {3}, {,}, {,3}, {,3},{,,3}, Ø oluşu. Eğe S ümes elemlı syılmıyo se bu duumd β y tımlm zo olbl. Buul blte β, lglele he hg b ümey çeee şelde seçlebl. Öeğ S=(-,) geçel syıl ümes ol tımlmış se β eb, [,b], (,b], [,b), (,b) şelde tüm ümele çeee şelde seçlebl. Bud ve b tüm geçel syılı tıml. Bu duumd β, yuıd tıml ümele, mümü syılbl sosuz, bleşm ve esşm şlemle le elde edleblee tüm ümele çe..3 OLASILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ B ssl deey çıtısı öe uzyıd b elemdı. Rssl deey telı ol uygulmsı duumud b çıtıı oluşum sılığı öe uzyıd elemı (lt üme) olsılığı ol düşüülebl. Öe uzyıd he b A olyı ç, bu olyl sıfı le b sıd b syıı eşleştlmes mçlı. Sıfı le b sıd bu syı A olyıı olsılığı ol dldıılı ve P(A) le göstel. Bst lmd olsılı, b ümey ölçümleme mıyl bu ümeye t (y d t ol) b syıdı. Buul blte, yı d çlışıl üme syısı bde fzl olbleeğ ve he be t olsılılı bellemes stedğ ç olsılı ümele b fosyoudu.

7 Olsılı bell b fosyo göe tımldığı ç l ol fosyo vmı ele lımlıdı. B fosyo, f(.), b otl ümesde he b otyı b dğe otl ümesde b ve ylız b ot le lşlede b uldı (u, fomül,vs). İl üme tım ümes A, üme B se göütü ümesd. B fosyo: ƒ: ƒ() ve olsılı ümele b fosyou olduğud: P: S P(S) Öe uzyıı tüm lt ümele tımldığı ümele les P fosyouu tım ümes ol ullılbl. Bu şmd, eğe S syılmy d ço elem çeyos poblem oluşbl. Oty çı poblem, S ümes syılmy d ço lt üme çemes ve bu edele he b lt ümeye b olsılı tmsıd sııtı oluşmsıdı. Bu souu sıl şıldığı lede çıltı. Buul blte, S solu y d syılbl sosuz elem shp se he b lt ümese b olsılı tmsıd poblem oty çımz. Olsılığı e bst ypıd tımıı veeblme ç, l şmd öe uzyıı syılbl olduğu vsyıltı. Tım (Kls Olsılı): Eğe b ssl deey öe uzyı solu syıd det yı S e,, e, e ve eşt olsılılı elem shp se Pe, ve A, öe uzyı üzede tıml A olyıd bst olylı (e ) syısı se A olyıı geçeleşme olsılığı P(A); P A A ol belle. Kls olsılığı yetesz ldığı duum: ) Olylı eşt olsılıl oluşmdığı duuml b) Öe uzyıı sosuz elemlı olduğu duuml.

8 B öe uzyıd elemlı eşt olbllğe shp olmsı bzı del oşullı oluşmsı bğlıdı. Ayı şs oyulıı se doğd öe uzyıd eleml geellle eşt olsılığ shp değld. İslı guplı b öe ol velebl. Böyle b duumd b he hg b A olyıı oluşum sılığı sıl belle? Cevp çıtı; ütle üzede beze oşulld deemele ypılmlıdı. Tım (Göel fes): B ssl deey öe uzyı üzee tımlmış oly A olsu. Deey beze oşulld N det telsı ve oty çı A olylıı syısı olsu. A olyıı göel fesı: f(a)=/n Öeğ hlesz olduğu düşüüle b p tıldığıd üst yüze yzı gelmes A olyı ol tımlsı. Değş deeme syılıd geçeleşe A olyı syılı ve göel feslı: N=0 =4 f(a)=0.4 N=00 =47 f(a)=0.47 N=000 =488 f(a)=0.488 Şüphesz f(a) değe geçeleştle deey syısı N le bğımlıdı ve üçü N değele ç ço büyü dlglml shpt. Bud evplmsı geee sou, N değe sosuz gttğde f(a) olıı dzs lı b değee yısıyo mu? oltı. Böyle b souy deeysel ol sl evp velemez. Çüü lmt doğsı geeğ deeylee so velemez. Böyle b lmt v olduğuu bul etme mtemtsel b ylşımdı: steldğ d üçü olble poztf b syı olm üzee, N>m() oşuluu ltıd, N P(A) Eştszlğ sğly b m() syısı bulublyos, lm P(A) N N Elde edle bu souç A olyıı deeysel lmt fesıdı ve P(A) değe A olyıı geçeleşme olsılığıdı. Ft P(A) lmt değe hl geçeleştle deey dzs souçlı bğımlıdı. Deeyle yı oşulld geçeleştlse dh b so deey dzs yı souçlı veeeğ gts yotu. Bu fesl üzee oluştuul geçel b teo, yuıd tıml P(A) değe tüm beze deey dzle ç yı olduğuu vsym zouddı. Bu teoem le mode olsılığı temel ol syom olsılığıı ele lm d mümü olmuştu.

9 Tım (Olsılı Küme Fosyou): Rssl b deey öe uzyı S ve bu üme üzee tımlı çftel yı A A j =, j olyl A, A, olsu. Eğe P(.) fosyou; ) P(A)0 ) P(S)= 3) P(A A )=P(A )+P(A )+ P A P( A ) oşullıı sğlıyo se bu ssl deey çıtılıı olsılı üme fosyou ol dldıılı. S öe uzyıı he b A lt ümes ç P(A) syısı d A olyıı olsılığı de. Yuıd tımd vele üç özell olsılı syomlı ol y d Kolmogoov syomlı ol bl. Asyom tımı bell b P fosyouu sıl seçleeğ beltmez. Hehg b öe uzyı ç pe ço flı olsılı fosyou tımlbl. Olsılığı bu tımı mtemtsel b tım olup, hg üme fosyouu olsılı fosyou ol dldıılbleeğ çılmtdı. Olsılığı bu tımı, vele b A olyı ç olsılı fosyouu P(.) lğı değe le lgl blg vemez. Olyl t olsılı değele elde edlmes ç ssl deey model tımlmsı geeld. Olsılı syomlı ullıl, dh mşı olsılılı hesplmsıd ullılblee ol, olsılı fosyouu pe ço özellğ tımlbl. Teoem: Eğe P(.) b olsılı fosyou ve A ümes S de hehg b üme se,. P(Ø) = 0 (Bud Ø boş ümed) b. P(A )=-P(A). P(A) İspt: ) S=SØ ve S le Ø yı, SØ= Ø, olduğud P(S)=P(SØ)=P(S)+P(Ø)

10 =+ P(Ø). b) S=AA ve A le A yı, A A = Ø, olduğud P(S)=P(AA )=P(A)+P(A ) = P(A)+P(A ). Teoem: Eğe P(.) b olsılı fosyou ve A le B ümele S de hehg üme se,. PA C B P(B) P(A B) b. P(A B) P(A) P(B) P(A B). Eğe A B se P(A) P(B) d. d. P(A-B)=P(A)-P(AB) İspt:. He hg A ve B ümes ç, B=(AB)(A B) ve olsılı fdes ol, P(B)=P(AB)P(A B) ve eştlğ sğıd oly yı olduğud, P(B)=P(AB)+P(A B) b. He hg A ve B ümes ç A ve BA ümele bbde yı olduğud, AB=A(A B) özdeşlğ ullıl, P(AB)=P(A)+P(A B) Ayı AB=A (A B) ve eştlğ sğıd oly yı olduğud, P(AB)=P(A)+P (A B) Elde edle souçl yee o spt tmmlı. P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). B=A(A B) ve eştlğ sğıd oly yı olduğud Asyom 3 ullıl

11 P(B)=P(A)+P(A B) Asyom ullıl P(A B)0 ve souç ol P(B) P(A) buluu. d. A=(A-B)(AB) olup eştlğ sğıd ümele yı olduğu ç P(A)=P(A-B)+P(AB) spt tmmlı. Teoem (b) fomülü b esşm olsılığı ç ullılblee fydlı b eştszlğ (Bofeo eştszlğ) tıml. Tım (Bole eştszlğ): Hehg A ve B olyı ç A, BS olm üzee AB ç, P(AB)P(A)+P(B) ve eğe AB= se P(AB)=P(A)+P(B) ol tımlı. Bu souç yı zmd yı olylı olsılılıı (ve elem syılıı) toplm ulı uyduğuu belt. Bofeo Eştszlğ: Teoem (b) fomülüde P(A B) olduğud, ve P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(B) elde edle souç Bofeo eştszlğ özel hld. Bofeo eştszlğ özellle, esşm olsılığıı belleme stedğ ft hesplmsıı zo y d msız olduğu duumld olduç fydlıdı. Öeğ he b 0.95 olsılığ shp A ve B olylı ç he s de blte oluşm olsılığıı sııı, P(AB)=P(A)+P(B)-=0.90 ol bulubl. Beysel olylı olsılılı yetee büyü olmdıç Bofeo sııı egtf değe vedğ ç (ft hl doğudu) ullışsızdı. Teoem: Eğe P(.) b olsılı fosyou se,. P ( A) P( A C ), hehg b C, C, bölümlemes (yı olylı) ç.

12 P(A ), b. A P hehg A, A, ümele ç, (Boole u eştszlğ) Boole u eştszlğ le Bofeo eştszlğ sıd b bezel vdı. Temelde yıdıl. Eğe Boole u eştszlğde A ullılsydı, P A PA bud A A ve P(A ) P(A ) eştlle ullıl P A P(A ) A PA P elde edl bu souu Bofeo eştszlğ geel fdesd. Tım (Olsılı Uzyı): B olsılı uzyı üç elemlıdı, [S, β, P(.)]. Bud S öe uzyı, β sgm eb dğe b deyşle b olyl olesyou ve P(.) se tım ümes β ol b olsılı fosyoudu..4 SAYMA YÖNTEMLERİ İsttst poblemlede bell b duumd ) ollı bütü seçeele oty oym y d e zıd ) ç flı ol buluduğuu belleme geeld Sym yötemle e sı ullıldığı poblemle, solu öe uzylı üzee tıml olyl b olsılı tmsı duumudu. Geelde sym poblemle mşıtı bu edele symyı bstleştme üzee poblem bst pçl yılı. Elem syısı N ol b esl S öe uzyıı ls olsılı syomlıı (eşt olsılılı yı olyl) sğldığı vsyılsı. B A olyıı olsılığıı belleme ç he b eşt olsılı le oty çı ve bbde yı ol mümü duumlı syısı ve A özellğ tşıy elemlı syısı geesm vdı. Bu syılı elde edleblmes ç bzı ombsyo fomülle ullılmsı geeld. Bu fomülle temel pesp üzee uulmuştu: Tım (Toplm): A ve B yı olyl olm üzee, b A olyı toplm m flı şelde ve B olyı se flı şelde oluşuyo se A y d B (AB) olyı m+ flı şelde oluşbl.

13 Tım (Çpm): A olyı toplm m flı şelde ve B olyı se toplm flı şelde eşlı ol oluşblyo se, A ve B (AB) olyı m flı şelde oluşbl. Tım (Ftöyel): B poztf tm syı ç, ( ftöyel) değee eşt ve üçü tüm tm syılı çpımıdı. =(-) 3 Bud, olduğud, = ç 0= olduğu göülebl. Syıl büyüdüçe ftöyel değe hesplm zolşı. Bu edele ylşı b hesplm değe Stlg tfıd velmşt: e Dh güvel b ylşım ç e - yee e -[-(/)] ullılbl. Kullıl sym yötemle geçeleştle öeleme yöteme. İdel öeleme b. İdesz öeleme ve öeğe çıış sısı. Öeğe çıış sısı öemsz d. Öeğe çıış sısı öeml bğımlıdı. Tım (İdel Öeleme): B popülsyod öe lıe lı b bml öe eğe b so seçmde te populsyo dhl edlyos y öeğe gme şsı ye vs bu tp öelemeye del öeleme de. Tım (İdesz Öeleme): B popülsyod öe lıe lı b bml öe eğe b so seçmde te populsyo dhl edlmyos y b so öete gözleme şsı yos bu tp öelemeye desz öeleme de.

14 Tım (Pemütsyo): B S ümesde elemlı desz öelemede tüm flı seçmle ç oty çı he b flı düzelemelee vele smd. Öeğ,,3 S ümes ç pemütsyolıı oluştuduğu üme: S p,,3,,3,,,,3,,3,, 3,,, 3,, Küme he b elemı b pemütsyo şılı gelmeted. Küme elemlı eledğde öeğe çıış sısıı öeml olduğu göülebl. Tım (Küme pemütsyo syısı): B S ümesde det elem v se flı düzelemele (pemütsyolı) syısı: P ( )... Kümede öeğe çele elem syısı < oşulu le sdee det se flı düzelemele (pemütsyolı) syısı: P ( )... Nesele b de etfıd sılı oty çı pemütsyol de pemütsyolı de. Teoem: B de çevesde sıl flı ese pemütsyo syısı (-)=/ d Tım (Kombsyo): B S ümesde elemlı desz öelemede tüm flı seçmlee vele smd. Öeğ,,3 üme: S S ümes ç üç elemlı flı seçmle (ombsyolı) oluştuduğu,,3 elemlı flı seçmle (ombsyolı) oluştuduğu üme: S,,,3,,3 Geçete ombsyo, ltüme le yı lmı tşı. Tım (Kombsyo syısı): B S ümesde det elem v se olm üzee det elemı flı seçmle syısı, ouu: sembolü le tımlı ve çde det seçm ol

15 P C Bu syıl yı zmd bom tsyılı ol d dldıılı. Pemütsyo tüm mümü seçmle (ombsyolı) ed çde tüm mümü flı düzelemele de b elem ol sy. Öeğ b ve b yı ombsyo flı b pemütsyodu. Buul blte b ve bd flı ombmsyoldı..4. İ teml (Bom) ve Ço teml (Multoml) Teoemle İ teml (+b) fdes çılımı bst ombsyo metodu ullıl geçeleştlp dh so ço teml duum ç geelleştleet. İ teml fde det tem çpımı şelde yzılbl: (+b) (+b) (+b) Bud poblem çpım souud oluş ol - b tem öüde tsyılı bulblmet. Geçete bu poblem gub bölümüş ( ve b) det çpı oty çıış syısıı bulm ol d tımlbl. b b Bud =b/ lı b m çpı m=,,, ç çıl, (+)=+ 0 (+) =++ 0 (+) 3 = (+) = Souç ol:

16 0 0 b b 0 b b b b 0 b b 0 elde edl. Yuıd ullıl ylşım det elemı gub yıldığı ve gupld b det dğe - det elem shp olduğu vsyımı uymtdı. Bu det elemı tego ç değştçe oty çıblee flı sılmlıı syısı ombsyo ylşımı le; elde edld. İ tem (tego) ç bulu souçl elem det tego ç geelleebl. He b tegode elem syısı, =,,, ve olsu. Flı seçmle (ombsyolı) syısı:,,, İspt:,,, 3 3 3

17 Bu souç ullıl ço teml çılım; ç elde edle det çpd oluş temle, öüde tsyısı buluu. Ço teml çılım:,,.4. Öeleme ve Öe Uzyıd Elem Syısı Üzee Ets Öeml ombsyo poblemlede temel ypıyı oluştu bç stdt spm metodu vdı. Bu metotl geellle öeleme y d tm yötemle ol elele. B tobd de e d şetlemş det top olduğu ve buld m ded flı oşull ltıd çeldğ vsyılsı. He b flı oşul ç tüm mümü çıtılı syısıı bellemes şğıd elemşt: Duum I. Yee Ko Öeleme ve Sılm Öeml Tobd m det top çel. Ft he b çele top dh so çelşte öe toby de edl. Toplı üzede syıl çıış sısı göe yıt edl. Souç ol he m detl çelş ç m det syıd oluş b (,, m ) sılmsı elde edl. Bud he b j, le m sıd hehg b syı olbl. Sılm çde yı syı te edebleeğ ç bu sılm b pemütsyo değld. Tüm mümü duumlı syısıı elde edlmes ç Symı Temel Kulı uygul m buluu. Tobd topu çelmes le ltı zı tılmsı y d te b zı y ltı def tılmsı sıd hehg b f yotu. Duum II. Yee Koymd Öeleme ve Sılm Öeml Uygul öeleme Duum I le beze olup te f çele topu toby de edlmemesd. Bu duumd oluş sılı m det (,, m ) syıd he b j flı syıd oluştı gb ısıt oulmuştu. Sılm çde yı syı te edemeyeeğ ç bu sılm b pemütsyodu. Dğe b ısıt se m olmlıdı. Bu tp poblemlee Symı Temel Kulı doğud uygulmml blte çözüm,

18 m m bezed. Bu eştlğ sol tfıd m det çp vdı. Eştlğ sğıd m sembolü syısıd be üçülee gde m det süel çpımı beltmeted. Duum II pemütsyo poblem ol dldııl poblem özel hl tımlmtdı. Duum III. Yee Koymd ve Sılm Öemsz Bu öeleme ypısıd çele topl toby de edlmez ve çelş sısı öemsz olup yıt edlmez. Souç ol m det top b defd çelmş ol düşüülebl. Böyle b öeleme ypısıd elemlı b ümede elde edle m elemlı lt ümele le lglel. Alt ümele syısıı bulblme mıyl l ol Duum II le b şılştım ypılmsı fydlı oltı. Eğe m det top de edlmesz be be çelp sılı se mümü sılm syısı m oltı. Öeğ =5, m=3 ç 3,,5 lt ümes; S p,3,5,,5,3, 3,,5, 3,5,, 5,,3, 5,3, 3=6 flı şelde çelebl. Sılm öemsz olduğud det elem çde m elem; m m m flı şelde çelebl. Duum III Gupl Ayılble Elemı Pemütsyou Tobd topld ded Re, ded Re,, ded Re le boydığı vsyılsı. Rele yıt edlebdğ ft yı el toplı yıt edlemedğ blmeted. Re guplıd elem syılıı toplmı = tobd top syısı eştt. Bu det topu yıştıılbl ç düzelemes vdı? Öe ol =, =, =4 ve ele de sı ve lvet olsu. Elde edleblee flı düzelemele syısı 6 ol belle: Yuıd souyu lt ol evplm ç tüm toplı yıştıılbldğ Duum II le b şılştım ypılbl. Reledle topl yı zmd umldıılı se heps bbde yıştıılbl hle gel. Bu duumd tüm mümü düzelemele toplm syısı, Duum II ullıl, ol belle. Re le boy det top uml ydımı le det flı düzelemeye, Re le boyl se det flı düzelemeye shp oltı. B e ç elde edle he b düzeleme b dğe eg hehg b düzelemes ç sebestçe bleştlebleeğ ç Symı Temel Kulı ullıl

19 blte oluştubleele düzeleme syısı (şetle dte lıdığıd)... bulubl. Aştııl ou şetle olmdığı sdee ele olduğu b duumd düzeleme syısı olduğud bu syı, ço teml tsyısı le elde edlebl. Eğe = se, teml (bom) tsyısı le elde edlebl. Duum IV. Yee Ko ve Sılm Öemsz Tobd m det top çel. Ft he b çele top dh so çelşte öe toby de edl. Toplı üzede syıl çıış sısı dte lımd yıt edl. poblem çözümü ç flı b ylşı geeld. Aşğıd bu ylşım b öe üzede çıltı. lstelemşt. Öe ç =m=3 lısı. Tüm mümü duuml şğıd tblod Bu He çem şlemde so çele um sütuu b otol şet () ou. İşet syısı deeme syısı (m) eşt olup bu değe top syısıd () fzl olbl. Numl t otol şetle sıd boşlulı beltme mıyl çubul ( ) ullılmıştı. Otd üç sütu so sütud özetlemşt. Bu sütu eledğde üç otol ve çubu ç tüm mümü duumlı dte lıdığı göülmeted. Toplm syı, Duum III =5, m=3, y d Duum III =5, =3, = le çözülebl. Souç ol 5/3=0.

20 Duum IV de poblem m det otol ve - det çubuğu tüm mümü düzelemele pobleme döüştüülee çözülmüştü. Eğe det mümü duum v se ve bu mümü duumlı he b tblod olduğu gb b utu le tımlmışl se utul sıd - det çubu vdı. Duum III ç tıml fomülle uyguldığıd çıtılı mümü syısı: m m m le elde edlebl. Yuıd çıldığı üzee ullıl sym yötemle geçeleştle öeleme yöteme flılı gösteebl. Flı öeleme duumlı ç öe uzyıd elem syılı şğıd şelde hesplbl. İdesz Öeleme İdel Öeleme Sı Öeml ( m) m Sı Öemsz m m m Tblod vele duumlı çılm mıyl şğıd 44 det syı çde çeleblee 6 det syı ç şılşılblee flı öe uzylıı elem syılı hesplmıştı:. İdesz sılm öeml: Temel sym teoeme göe l syı 44 flı şelde, desz olduğud s 43 flı şelde seçlebleeğe göe ltı det syı; =(44/38)= flı şelde belleebl. Bu souç geelledğde, ( ) buluu. b. İdel sılm öeml: Seçle syı te de edldğ ç he b çelş 44 flı şelde ypılbleeğde ltı det syı,

21 =44 6 = flı şelde belleebl. Bu souç geelledğde, buluu.. İdesz sılm öemsz: Sılmı öemsz olduğu duumld, öe uzyıd elem syısı zlı. Altı det syı 6543 flı şelde oty çıbl. Eğe sılm öemsz se bu duumlı tümü öe uzyıd te b elem şılı geldğde, bu syı sılmı öeml olduğu duumd şılşıl öe uzyıd bölüee düşülü ve souç ol sılm öemsz se ltı det syı, flı şelde belleebl. Bu souç geelledğde, buluu. d. İdel sılm öemsz: Öe uzyı belleme e zo olduğu duumdu. Cevp ol heme 44 6 /6543 olduğu söyleebl, ft bu souç ylıştı. Bu duumu sym ç 44 det syı y y yeleştlmş he b b dğede b to le yılmış utul ol düşüülebl ve ltı det syı ğıtl yzılıp utulı çe oulu. Mümü duumlı syısı, 44 utu çe o 6 det ğıdı flı mümü duumlıı syısı eşt oltı. Kutulı yı told l ve souusuu oydığı b ol yotu. 44 det utu 45 det to shpt ft 43 det to dte lıı. Bul lve ol 6 det ğıt mevuttu. Souç ol 43+6=49 det ese vdı ve bul 49 Kd flı yeleşme shpt. Buul blte sılm öeml olmdığıd ğıtl ç 6 ve tol ç 43 d duum elemeld. Souç ol sılm öemsz se ltı det syı, flı şelde belleebl..5 MARJİNAL ve ŞARTLI OLASILIK

22 Elem syısı ol S öe uzyı üzede, det yı A olyı ve det yı B j olyı tımlmış olsu. S öe uzyıd he elemı eşt olsılığ shp olduğu (ls olsılı) vsyımı le A ve B olylı ç şğıd yölü tblo oluştuulbl: B B B A A A İl stı ve l sütu hç blod hüelee t geel toplm: j j olup bu hüele he b A B j olyı şılı olyl eşt olsılılı olduğud: P j A B j He hg b A olyıı geçeleşme olsılığı: P A j y d he hg b B j olyıı geçeleşme olsılığı: P j j j B j j j le elde edlebl. Bu olsılıl sısı le A ve B j olylıı mjl olsılılı ol dldıılı. B S öe uzyı üzee tıml A ve B olylı ç, B olyıı oluşmsı duumud A olyıı oty çım olsılığı ştlı olsılıtı ve P(A/B) le göstel.

23 Tım (Ştlı Olsılı): Vele olsılı uzyıd oly A ve B olsu. Vele B olyı ç A olyıı ştlı olsılığı P(B) > 0 ç, P(A / B) P(A B) P(B) olup P(B)=0 ç tımsızdı. Beze şelde vele A olyı ç B olyıı ştlı olsılığı P(A) > 0 ç, P( B / A) P( A B) P( A) Yuıd eştl ullıl; P A B PA/ B P( B) P( B / A) P( A) fdes olsılığı çpım ulı ol dldıılı. Teoem (Çpım Kulı): Tıml b olsılı uzyı ç, eğe A,A,,A olylı P A... ] 0 oşuluu sğly S üzede tımlmış olyl se, [ A P[A A... A ] P[A ].P[A / A].P[A 3 / A A]...P[A / A... A ] Çpım ulı şmlı deeyle ç olduç fydlıdı. Deey şmlı olduğu ve A j olyıı deey j- şmsı göe tıml b oly olduğu vsyılsı. Bu duumd P[A j / A... A j ], deey l j- şmsıd oluş duuml göe j- şmd e olbleeğ tımly b olyı ştlı olsılığıdı. P[./B] b olsılı fosyou mudu? Olsılı fosyou olblmes ç üç syomu sğlmsı geeld.. P[A/ B] P(A B) P(B) 0 he A S ç b. P[S/ B] P(S B) P(B) P(B) / P(B). Eğe A, A,... S de çftel yı olylı dzs se P P ( A ) B P A B A / B P[B] P A P(B) B P[B]

24 P [A / B] Souç ol vele b B, P(B)>0, olyı ç P[./B] b olsılı fosyoudu. Teoem (Olsılıl Toplmı Teoem): Tıml b olsılı uzyı ç, eğe B,B,,B olylı S B j j ve P[B j ]>0, j=,, ç, oşullıı sğly S üzede tımlmış yı olyl se, he P [A] A ç, P[A / B ].P[B j j j] İspt: A olyı yı B j olylıı he b le ol esşmle bleşm A j A B j ol tımlbl çüü P[A] P buluu. Bu teoem A B j le de yıtı. Bu duumd A B j j j j P[A B j] P [A / B j ].P[B ] ç de geçeld. Not: Yuıd tımlı B olylı yı değlse, P[A] P[A / B].P[B] P[A / B ].P[B j Olsılıl toplmı teoem özellle şmlı ol uygul deeylede fydlıdı. Öeğ he b çde topl bulu tobld b top çelme stedğ duum ele lıdığıd l öe topu çeleeğ tob seçl dh so seçle tobd b top çel. Bu tü deeyle ç B j l şmd olyı ve A d şmd olyı tıml se, P[B j ] ve P[A/B j ] olsılılıı bulm olduç olydı. Aşml hlde uygul deeylede b dımd sou göe oşul tımlm olduç uygudu. P[./B] fosyouu özellle şğıd teoemle le tımlmıştı. Teoem: P[ / B] 0 Teoem: AB= se P(A/B)=P(B/A)=0 Teoem: Eğe A ve B, S de tımlı b olyl se P[A / B] P[A / B] ]

25 Teoem: Eğe A, A S se P[A / B] P[A A / B] P[A A / B] Teoem: Eğe A, A S se, P[A A / B] P[A / B] P[A / B] P[A A / B] Teoem: Eğe A, B S ve A B se P(AB)= P(A) P A B P B / A P A Teoem: Eğe A, B S ve B A se P(AB)= P(B) P B / A P A B P A P P B A Teoem: Eğe A, A S ve A A P[A / B] P[A / B] Ştlı olsılığı ullıldığı öeml duumld b şğıd teoem le çılmıştı. Teoem (Byes Fomülü): Tıml b olsılı uzyı ç, eğe B,,B olylı j S B ve P[B j ] 0, j=,, ç, oşullıı sğly S üzede tımlmış yı j olyl se he A, P[A] 0, ç P[B / A] buluu. Bu teoem P[A / B j P[A / B ].P[B j ] ].P[B j ] ç de geçeld. Souu bldğ duumd sebeb hg olsılıl hg olyd meyd geldğ le lgle. Olsılıl toplmı teoemde olduğu gb Byes fomülü de şmlı ol uygul deeyle ç olduç fydlıdı. Ad f oşul ol şmı ullılmsıdı. Dğe b fde le A olyı geçeleşmşt ve sebep ol B olyı ç olsılı ştıılmtdı..6 BAĞIMSIZ OLAYLAR Ele lı olyld b gözlep gözlememes olsılığı dğe b olyı oty çııp çımm olsılığıı etlemyos bu olyl bğımsız olyl de. Eğe P[A/B] olsılığı B olyı bğımlı değlse, dğe b deyşle P[A/B]=P[A] se A olyı B olyıd bğımsızdı.

26 Tım (Bğımsız Olyl): Vele b (S, β, P[.]) olsılı uzyı ç, A ve B olylı β üzede tımlı olsul. A ve B olylı, ve,. P[A B] P(A).P(B) b. P[A / B] P(A), P[B]>0 se. P[B/ A] P(B), P[A]>0 se oşullı sğlıyo se bğımsız olyldı. Teoem: Eğe A ve B olylı vele b (S, β, P[.]) olsılı uzyıd tımlı bbde bğımsız olyl sele,. A ve B b. A ve B. A ve B olylı d bbde bğımsızdı. İspt: Sdee şııı sptı ypıltı. Bu mçl P[A B ] P(A).P(B ) olduğu göstelmeld. P[A B ] P(A) P(A B) buluu. P(A) P(A).P(B) P(A).( P(B)) P(A).P(B ) A ve B olylıı bğımsızlı özellğ le A ve B olylıı yı olyl olm özellğ temelde lşl olml blte flı özellled. Öeğ yı oly ve P[A B] P(A).P(B) 0 se bğımsızdıl. Bu duum sdee A y d B olylıı olsılılıı sıfı olmsı duumud geçeleş. Eğe P[A] 0 ve P[B] 0 se A ve B olylıı bğımsız olmlı olı yı olyl olmdılıı belt. Buu tes de söyleebl A ve B yı olyl se bğımsız olyl değldle.

27 Öeml b olsılı uzyı model telı bğımsız deemeled. Bu model b z tışı, p tışı yd destede t çeme gb olyld ullılmtdı. Aşğıd öe bu ou le lgld. Öe: İl ol b z dh so b p tılmt ve so ol d destede b t çelmeted. He b deeme şğıd vele A = Pı tu gelmes B = Zı 5 yd 6 gelmes C= Çele tı se gelmes olylı oluştumtdı. Geçeleştle he üç deeme bbde bğımsız olduğu vsyılsı. Dğe b deyşle uygul b deey souu b dğe deey souuu etlememeted. Bu duumd tüm mümü duumlı eşt olbllğe shp olduğu bul edlebl. He b deeme ç mümü duumlı syısı sısı le, 6 ve 5 d. Tüm deemele ümes ç mümü duumlı syısı bu syılı çpılmsı le bulubl. Bu souç le ısımd çıl ol symı temel ulı le elde edlmşt. Ayı ul A, B, C, AB, AC, BC, ABC olylı t duumlı syısıı elde etme ç de ullılbl: A *6*5, B ** 5, C *6* 3 A B **5, A C *6* 3, B C ** 3 A B C **3 Elde edle syılı S *6* 5 le bölümes le P(A)=/, P(B)=/3, P(C)=/4 P(AB)=/6, P(AC)=/8, P(BC)=/ P(ABC)=/4 Souçlı buluu. Souçl eledğde şğıd eştlle geçel olduğu oly doğulbl: P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) Bud dt edlmes geee duum olyl olduğu d deeyle de bğımsız olduğudu. Eğe bğımsızdı. P(AB)=P(A)P(B) özellğ sğlıyo se A ve B olylı bbde Souç ol bğımsızlı fdes göel ol vele olsılı ölçümüe

28 bğlı olduğu göülebl. Dh geel ol, A,,A gb det oly eğe olı hehg b ltümes esşm olsılığı, olı beysel olsılılıı çpımı eştse bğımsız olydıl. P A A A PA PA P A