PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

Transkript

1 TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla sayma denir. sa (, B) = s( A) + s( B) şeklindedir. 1.Örnek Bir torbada 6 kırmızı, 8 yeşil top vardır. Torbadan kırmızı veya yeşil top kaç yolla alınabilir? 5.Örnek Sayma Yöntemleri 4 kişi, 6 farklı koltuğa kaç değişik yolla oturabilir? 6.Örnek C:360 A şehrinden B şehrine 5 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır. Buna göre A şehrinden C şehrine B ye uğramak şartıyla kaç değişik yolla gidilebilir? 2.Örnek C:14 3 kız, 4 erkek arasından bir kız veya bir erkek kaç değişik yolla seçilebilir? 7.Örnek C:20 Çarpma yoluyla sayma İkişer ikişer ayrık ve sonlu m elemanlı n tane kümenin eleman sayısı m.n dir. Bu kümelerin eleman sayılarını bulmak için yaptığımız işleme çarpma yoluyla sayma denir. C:7 A B A şehrinden B şehrine 4 farklı yol, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre; C a) A şehrinden C şehrine kaç farklı şekilde gidilir ve dönülür? 3.Örnek 3 kız, 5 erkek arasından bir kız ve bir erkek kaç değişik yolla seçilebilir? C:144 b) A şehrinden C şehrine gidip dönmek isteyen bir hareketli giderken kullandığı bir yolu dönerken kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidip dönebilir? C:15 4.Örnek Birbirinden farklı 3 gömlek, 5 pantolon ve 2 kıravattan birer tanesi kaç değişik yolla seçilebilir? C:72 C:30 1

2 Sayma Yöntemleri A 8.Örnek B Şekilde A,B ve C şehirleri arasındaki yollar gösterilmiştir. Bir hareketli A dan C ye kaç değişik yolla gidebilir? C İPUCU: Saymanın temel prensibi ile ilgili problemlerin çözümünde aşağıdaki adımlar izlenmelidir. 1. Yapılacak işlerin tespit edilmesi 2.Her bir işin kaç farklı yoldan gerçekleştirilebileceği 3.Sonuca ulaşmak için hangi işlerin gerçekleşmesinin gerektiği 9.Örnek C:11 11.Örnek 3 farklı mektup 6 posta kutusuna atılacaktır. a) Kaç farklı yolla atılabilir? A B C Şekilde A şehrinden C şehrine gidilebilecek farklı yollar gösterilmiştir. Gidilen yoldan dönülmemek şartı ile A dan C ye gidilip yeniden A ya dönülebilir? C:6 3 b) Her mektup farklı posta kutusuna atılmak şartıyla kaç değişik yolla atılabilir? 12.Örnek C: Örnek C:38 5 katlı bir binanın her katı 4 farklı renkle ile boyanacaktır. Art arda iki kat aynı renkte boyanmayacağına göre bu bina kaç değişik renkte boyanabilir? 5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? 11.Örnek 10 soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. Bu test için kaç cevap anahtarı hazırlanabilir? C:32 13.Örnek C: katlı bir binanın zemin katından 3 kişi asansöre biniyor. Asansör 6 kat çıkacaktır. Her katta en çok bir kişi ineceğine göre 3 kişi kaç farklı şekilde asansörden inebilir? C:5 10 C:120 2

3 Sayma Yöntemleri 14.Örnek Ardışık iki sorunun cevabı aynı olmayan 5 seçenekli 20 sorudan oluşan bir sınavın cevap anahtarı kaç değişik şekilde hazırlanabilir? 18.Örnek 4 farklı oyuncak 5 çocuğa verilecektir. Bu oyuncaklar çocuklara kaç değişik biçimde verilebilir? 15.Örnek C: A kentinden B kentine 3 farklı yol ve B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. Buna göre A kentinden C kentine gidilen yoldan aynen dönememek şartıyla kaç farklı yoldan gidilip dönülür? 19.Örnek C:5 4 3 farklı oyuncak 6 çocuğa verilecektir. Her çocuğa en fazla bir oyuncak vermek şartıyla bu oyuncaklar çocuklara kaç değişik şekilde verilebilir? C:132 C: Örnek 8 kişilik bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde elde edilir? 20.Örnek SOYLU kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 5 harfli kelimeler yazılacaktır. Kaç değişik kelime yazılır? 17.Örnek C:336 Bir okulun öğrencilerine, alfabemizdeki sesli harfler ve rakamlar kullanılarak ilk hanesi harf, son iki hanesi rakam olan üç haneli numaralar verilecektir. Buna göre kaç öğrenciye numara verilebilir? 21.Örnek C:120 A ve B iki küme olmak üzere s(a)=3, s(b)=7 olduğuna göre A dan B ye kaç tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir? C:800 C:210 3

4 Sayma Yöntemleri 22.Örnek A={k,i,t,a,p,ç,ı} kümesinin elemanları kullanılarak anlamlı veya anlamsız, 4 harfli, a) Kaç değişik kelime yazılabilir? 23.Örnek A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları kullanılarak 3 basamaklı a) Kaç değişik sayı yazılabilir? C:7 4 C:294 b) Harfleri birbirinden farklı kaç değişik kelime yazılabilir? b) Rakamları birbirinden farklı kaç değişik sayı yazılabilir? C:840 C:180 c) Her harf bir kez kullanılmak şartıyla sesli bir harfle başlayıp sesli harfle biten kaç kelime yazılır? c) Kaç değişik tek sayı yazılabilir? C:126 C:120 d) Her harf bir kez kullanılmak şartıyla sesli bir harfle başlayıp sessiz harfle biten kaç kelime yazılır? d) Her rakam bir defa kullanılmak şartıyla kaç değişik çift sayı yazılabilir? C:105 C:240 e) İçerisinde k harfinin mutlaka bulunduğu kaç değişik kelime yazılır? e) Rakamları tekrarsız 200 ile 500 arasında kaç sayı yazılabilir? C:1105 f) p ile başlayıp a ile bitmeyen kaç değişik kelime yazılabilir? f) 250 den büyük rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? C:90 C:294 g) k ile başlayıp i ile biten harfleri tekrarsız kaç kelime yazılabilir? g) 400 den büyük 5 ile bölünebilen rakamları tekrarsız kaç değişik sayı yazılabilir? C:130 C:20 C:25 4

5 Sayma Yöntemleri 24.Örnek A={1,3,5,7,9} kümesinin rakamlarını kullanarak yan yana iki rakamı birbirinden farklı olan dört basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? 28.Örnek Üç basamaklı en çok iki basamağı aynı olan kaç doğal sayı yazılabilir? C:320 C: Örnek A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak 100 den büyük 400 den küçük üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? 29.Örnek A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamağı aynı olan üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? 26.Örnek A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı 3000 den büyük 6000 den küçük 5 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı yazılabilir? C:32 C:90 30.Örnek A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilen üç basamaklı sayıların kaç tanesinde en az bir tane 2 rakamı bulunur? 27.Örnek Dört basamaklı en az iki basamağı aynı rakamdan oluşan kaç doğal sayı vardır? C:100 C:80 31.Örnek Dört basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin rakamları çarpımı 3 e tam bölünür? C:4464 C:7704 5

6 PEKİŞTİRME TESTİ Serdar 5 pantolon, 8 gömlek ve 3 ceket arasından kaç değişik şekilde bir pantolon, bir gömlek ve bir ceket seçerek giyinebilir? A={3,4,5,6,7,8} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A)120 B)90 C)80 D)40 E)16 A)60 B)55 C)52 D)42 E) farklı mektup 4 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir? A={1,3,5,6,7,8} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tane tek doğal sayı yazılabilir? A)48 B)54 C)81 D)96 E)108 A)30 B)50 C)60 D)70 E) koşucunun katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı şekilde sonuçlanır? A={1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı en az iki rakamı aynı olan kaç farklı doğal sayı yazılır? A)218 B)336 C)392 D)428 E)512 A)50 B)55 C)60 D)65 E) kişilik bir izci grubuna bir lider ve bir yardımcı kaç değişik şekilde seçilebilir? A)12 B)20 C)21 D)32 E)42 A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4000 den büyük dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A)36 B)48 C)52 D)72 E)84 1.A 2.B 3.B 4.E 5.A 6.E 7.D 8.E 6

7 PEKİŞTİRME TESTİ 9. A={1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak 200 den büyük, 400 den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A)25 B)40 C)50 D)75 E) A={0,1,2,5,7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı 500 den büyük kaç çift doğal sayı yazılır? A)4 B)6 C)8 D)10 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı dört basamaklı 3000 den büyük kaç sayı yazılabilir? A)300 B)240 C)180 D)120 E) A={0,1,2,5,7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları tekrarsız, 200 den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılır? A)6 B)12 C)15 D)24 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basamaklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir? A)144 B)156 C)180 D)196 E) A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamları farklı 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir? A)32 B)48 C)56 D)96 E) Dört basamaklı rakamları farklı sayılardan kaç tanesi 9 ile başlar, 6 ile biter? A)24 B)56 C)84 D)126 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarından 5 in katı olmayan üç basamaklı rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir? A)36 B)48 C)54 D)64 E)96 9.C 10.C 11.B 12.B 13.E 14.E 15.D 16.D 7

8 Faktöriyel FAKTÖRİYEL 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. n! N + olmak üzere, n!= (n-1).n dir. Özel olarak 0!=1 ve 1!=1 olarak tanımlanmıştır. Sorularda verilen faktöriyelli ifadeler aşağıdaki şekillerde yazılırsa sadeleştirmelerde kolaylık sağlar. n!=n.(n-1)! (2n)!=(2n).(2n-1)! 4.Örnek ( n + 2)! ( n+ 1)! + n! 5.Örnek = 5 olduğuna göre n kaçtır? C:4 1.Örnek 10! 9! 9! + + işleminin sonucu kaçtır? 8! ( n + 1)! n! + n! ( n - 1)! sağlayan n değeri kaçtır? = 27 olduğuna göre, eşitliği 2.Örnek (2n+ 1)! (2n- 1)! = 72 olduğuna göre n kaçtır? 99 C: 10 C:13 6.Örnek ( n + 1)! ( n+ 1)! - n. n! n değeri kaçtır? = 24 olduğuna göre, eşitliği sağlayan 3.Örnek 25! işleminin sonucu kaçtır? ( 4!)! C:4 7.Örnek A=0!+1!+2!+3! ! olduğuna göre, A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır? C:23 8 C:25 C:10

9 Faktöriyel 8.Örnek ( 2n+ 1)! - ( 2n)! ( 2n- 1)! + ( 2n- 2)! = 56 olduğuna göre, n kaçtır? 12.Örnek 45! 2 n ifadesinin değeri bir tek sayı ise, n doğal sayısı kaçtır? C:4 9.Örnek 40! = 3 n.t olduğuna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır? 13.Örnek 50! 2 n ifadesinin değeri bir çift doğal sayı ise, n doğal sayısının değeri en çok kaçtır? C:41 10.Örnek C:18 14.Örnek C:46 55! = 6 n.a olduğuna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır? 65! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 11.Örnek C:26 72! = 24 n.a olduğuna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır? 15.Örnek 73!+74!-1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur? C:15 C:23 C:18 9

10 PEKİŞTİRME TESTİ ! sayısı 14! sayısının kaç katıdır? A)5 B)7 C)10 D)15 E)17 x 16 = 6! olduğuna göre, 8!+7!+6! toplamının x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)x B)2x C)4x D)8x E)16x a! (a - 2)! = 182 olduğuna göre a kaçtır? A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 (a-4)!+(4-a)! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)0 B)1 C)2 D)3 E) A=1!+2!+3! ! olduğuna göre A sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 n! + ( n+ 1)! ( n+ 1)! - n! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) n n + 1 n B) 2n D) 1 + E) n n C) n ! sayısı, aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez? 12!+12=a olduğuna göre 11!+11 toplamının a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)275 B)243 C)187 D)98 E)76 A) a 12 B) a C) a D) a E) a A 2.D 3.C 4.E 5.C 6.C 7.D 8.E 10

11 PEKİŞTİRME TESTİ 9. A={1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak 200 den büyük, 400 den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A)25 B)40 C)50 D)75 E) A={0,1,2,5,7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı 500 den büyük kaç çift doğal sayı yazılır? A)4 B)6 C)8 D)10 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı dört basamaklı 3000 den büyük kaç sayı yazılabilir? A)300 B)240 C)180 D)120 E) A={0,1,2,5,7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları tekrarsız, 200 den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılır? A)6 B)12 C)15 D)24 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basamaklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir? A)144 B)156 C)180 D)196 E) A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamları farklı 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir? A)32 B)48 C)56 D)96 E) Dört basamaklı rakamları farklı sayılardan kaç tanesi 9 ile başlar, 6 ile biter? A)24 B)56 C)84 D)126 E) A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarından 5 in katı olmayan üç basamaklı rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir? A)36 B)48 C)54 D)64 E)96 9.C 10.C 11.B 12.B 13.E 14.E 15.D 16.D 11

12 Permütasyon PERMÜTASYON n pozitif tamsayı, r doğal sayı ve r # n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine o kümenin r li permütasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının kümesi P(n,r) ile gösterilir. n! Pnr (, ) = = n.( n-1).( n-2).( n- r + 1) ( n- r)! r tane Özel olarak; P(n,n)=n! biçimindedir. 1.Örnek A={a,b,c} kümesinin elemanlarının farklı dizilişlerini yazınız. 4.Örnek P(n,3)=7.P(n,2) olduğuna göre n kaçtır? 5.Örnek A={a,b,c,d,e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde c eleman olarak bulunmaz? C:9 2.Örnek 7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı permütasyonlarının sayısı kaçtır? 6.Örnek A={t,m,o,d,e,r} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde o bulunur? C:24 3.Örnek P(n,2)=56 olduğuna göre,p(n,3) kaçtır? C:210 7.Örnek A={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde c veya d bulunur? C:60 12 C:336 C:720

13 Permütasyon 8.Örnek Tersten okunuşu kendisiyle aynı olan doğal sayılara palindrom sayı denir. Beş basamaklı kaç tane palindrom sayı vardır? 12.Örnek Birbirinden farklı 5 matematik, 3 fizik kitabı bir rafa, fizik kitaplarının tamamının yanyana gelmemesi şartıyla kaç değişik şekilde dizilir? 9.Örnek C: Örnek C:8!-6!.3! 5 katlı bir binanın her bir katı farklı renklerdeki 4 farklı renk ile boyanacaktır. Üst üste iki katın aynı renge boyanmaması şartıyla bu bina kaç değişik biçimde boyanabilir? Birbirinden farklı 6 kimya, 3 geometri kitabı bir rafa, geometri kitaplarının hiçbiri yanyana gelmeyecek şekilde kaç değişik şekilde sıralanır? 10.Örnek C: Örnek C:6! Birbirinden farklı 3 matematik, 5 kimya kitabı bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir? 3 kız, 5 erkek başta ve sonda erkek oturması şartıyla bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir? 11.Örnek C:8! 15.Örnek C:20.6! Birbirinden farklı 4 fizik, 3 kimya kitabı aynı türden kitaplar bir arada olmak şartıyla bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir? SOYLU kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan beş harfli kelimelerden bir sözlük oluşturulursa baştan 50. kelime hangisi olur? C:2!.4!.3! C:ULOYS 13

14 Permütasyon 16.Örnek Anne, baba ve dört çocuktan oluşan aile yan yana fotoğraf çektirecektir. Anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler? 20.Örnek {1,2,3,4} kümesinin elemanlarıyla yazılabilen, rakamları tekrarsız dört basamaklı sayıların toplamı kaçtır? 17.Örnek C:5!.2! 21.Örnek C:66660 Merve ve Selin in aralarında bulunduğu 6 kişilik bir grup bir kuyrukta durmaktadır. Merve nin Selin in önünde olduğu kaç farklı durum vardır? Ahmet ve Selami nin de aralarında bulunduğu 6 kişi yan yana fotoğfar çektirecektir. Ahmet ve Selami nin arasında en az bir kişi olmak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler? 18.Örnek C: Örnek C:144 Serhat, Mesut ve Hakan ın aralarında bulunduğu 5 kişilik bir grup bir kuyrukta durmaktadır. Mesut un Hakan ve Serhat ın aralarında bulunduğu kaç durum vardır? {1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı dört basamaklı sayılar yazılıp, küçükten büyüğe sıralanıyor. Buna göre, baştan 50. sayı kaçtır? 19.Örnek C:40 23.Örnek C:3125 Aralarında Beyza ve Sueda nın da bulunduğu 6 kişi yan yana sıralanacaktır. Beyza ve Sueda nın arasında iki kişinin bulunduğu kaç farklı sıralama vardır? Bir öğrencinin gireceği 6 farklı sınavın 2 si matematik ve kimya sınavıdır. Matematik ve kimya sınavlarının art arda gelmesi şartıyla bu öğrencinin sınavlarının sıralaması kaç farklı şekilde yapılabilir? 14 C:144 C:240