Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi"

Transkript

1 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu doğrulara koordinat eksenleri denir ve x-ekseni, y-ekseni ve z-ekseni olarak adlandırılır. Genellikle x- ve y-eksenleri yatay, z-ekseni ise düşey olarak düşünülür ve yönlerini Şekil 1 deki gibi belirleriz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 1/ 77 Şekil 1 : Koordinat sistemleri Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 2/ 77 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu üç koordinat ekseni Şekil 2 da gösterildiği gibi, üç tane koordinat düzlemi belirler. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzaydaki bir P noktası için a, yz-düzleminde olan (yönlendirilmiş uzaklık), b, xz-düzlemine olan uzaklık ve c, xy-düzlemine olan uzaklık olsun. x- ve y-eksenlerinin içeren düzleme xy düzlemi, y- ve z-eksenlerinin içeren düzleme yz düzlemi, x- ve z-eksenlerinin içeren düzleme xz düzlemi adı verilir. Şekil 2 : Koordinat düzlemleri Bu üç koordinat düzlemi uzayı, bölge adı verilen, sekiz parçaya böler. Birinci bölge pozitif eksenlerle belirlenen bölgedir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 3/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 4/ 77

2 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu durumda P nktasını (a,b,c) sıralı gerçel sayı üçlüsü ile temsil eder ve a,b,c ye P nin koordinatları deriz; a x-koordinatı, b, y-koordinatı, c, z-koordinatıdır. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Şekil 4 te görüldüğü gibi P(a,b,c) noktası bir dikdörtgenler prizması belirler. P noktasından xy-düzlemine dikme indirerek elde edeceğimiz, koordinatları (a, b, 0) olan Q noktasına P noktasının xy-düzlemindeki izdüşümü denir. Dolayısıyla (a, b, c) noktasını bulmak için, Şekil 3 de görüldüğü gibi O başlangıç noktasından başlayıp x-eksenin yönünde a birim, sonra y-eksenine paralel olarak b birim ve son olarak z-eksenine paralel olarak c birim hareket ederiz. Şekil 3 : Benzer şekilde R(0,b,c) ve S(a,0,c) noktaları da P nin yz-düzlemi ve xz-düzlemindeki izdüşümleridir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 5/ 77 Şekil 4 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 6/ 77 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi : (3, 2, 6) noktası Sıralı gerçel sayı üçlülerinden oluşan R R R = {(x,y,z) x,y,z R} kartezyen çarpımı R 3 ile gösterilir. Uzaydaki P noktaları ile, R 3 deki (a,b,c) sıralı gerçel sayı üçlüleri arasında birebir bir ilişki kurmuştuk. Buna üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi adı verilir. Birinci bölgenin, koordinatları pozitif sayılardan oluşan noktaların kümesi olduğuna dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 7/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 8/ 77

3 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi İki boyutlu analitik geometride x ve y yi içeren bir denklemin grafiği R 2 de bir eğridir. Üç boyutlu analitik geometride de x,y,z yi içeren bir denklemin grafiği R 3 de bir yüzeydir. : Aşağıdaki denklemler R 3 deki hangi yüzeyleri belirler? (a) z = 3 (b) y = 5 Çözüm (a) z = 3 denklemi R 3 deki z-koordinatı 3 olan noktaların kümesi olan {(x,y,z) z = 3} dir. Bu Şekil 5 da görüldüğü gibi, xy-düzlemine paralel olan ve ondan üç birim yukarıda bulunan yatay düzlemdir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 9/ 77 Şekil 5 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 10/ 77 (b) y = 5 denklemi R 3 deki y-koordinatı 5 olan tüm noktaların kümesini temsil etmektedir. Not NOT: Bir denklem verildiğinde, bunun R 2 de bir eğriyi mi yoksa R 3 de bir yüzeyi mi temsil ettiğini konudan anlayabilmemiz gerekir. y = 5 örnekte, R 3 te bir düzlemi temsil ederken, iki boyutlu analitik geometri ile ilgilendiğimizde, R 2 de bir doğruyu temsil etmektedir. Bu Şekil 5 da görüldüğü gibi, xz düzlemine paralel, ondan beş birim sağda bulunan dik düzlemdir. Şekil 6 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 11/ 77 Şekil 7 : y = 5, R 2 de bir doğru Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 12/ 77

4 Üç Boyutta Uzaklık Formülü : R 3 de y = x denklemi ile verilen yüzeyi betimleyerek çiziniz. Çözüm Denklem R 3 deki x ve y koordinatları eşit olan noktaları, bir diğer deyişle {(x,x,z) x,z R} P 1 (x 1,y 1,z 1 ) ve P 2 (x 2,y 2,z 2 ) noktaları arasındaki P 1 P 2 uzaklığı, kümesini temsil etmektedir. Bu, xy-düzlemini y = x, z = 0 doğrultusunda kesen düzlemdir. Bu düzlemin birinci bölgede kalan kısmı Şekil 8 de çizilmiştir. Şekil 8 : y = x düzlemi dir P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 14/ 77 Kürenin Denklemi Merkezi C(h,k,l) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi : P(2, 1,7) ile Q(1, 3,5) noktaları arasındaki uzaklık tür. PQ = (1 2) 2 +( 3+1) 2 +(5 7) 2 = = 3 (x h) 2 +(y k) 2 +(z l) 2 = r 2 dir. Merkezin O noktasında olması özel durumunda bu denklem x 2 +y 2 +z 2 = r 2 biçimine dönüşür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 15/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 16/ 77

5 : x 2 +y 2 +z 2 +4x 6y+2z+6 = 0 ın bir küre denklemi olduğunu gösteriniz ve bu kürenin merkezi ile yarıçapını bulunuz. Çözüm Kareye tamamlayarak verilen denklemi bir küre denklemi biçiminde yeniden yazalım: (x 2 +4x+4)+(y 2 6y +9)+(z 2 +2z +1) = (x+2) 2 +(y 3) 2 +(z +1) 2 = 8 Bu denklemi genel denklemle karşılaştırdığımızda bunun, merkezi ( 2,3, 1) olan 8 = 2 2 yarıçaplı kürenin denklemi olduğunu görürüz. : 1 x 2 +y 2 +z 2 4, z 0 eşitsizliklerinin R 3 de tanımladığı bölgeyi bulunuz. Çözüm Verilen 1 x 2 +y 2 +z 2 4 eşitsizliği, 1 x 2 +y 2 +z 2 2 şeklinde yazılırsa, bunun başlangıç noktasından en az 1 ve en çok 2 birim uzakta olan noktaları temsil ettiği görülür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 77 z 0 olduğu da verildiğinden, bu noktalar xy düzleminin üzerinde ya da altında kalır. Dolayısıyla verilen eşitsizlikler x 2 +y 2 +z 2 = 1 ile x 2 +y 2 +z 2 = 4 kürelerinin arasında yada üzerinde kalan ve xy düzleminin altında ya da üzerinde kalan noktaları belirlemektedir. Doğru Denklemi xy-düzleminde bir doğru, üzerindeki bir nokta ile yönü (eğimi ya da eğim açısı) verildiğinde belirlenir. Bunlardan, doğrunun denkleminin nokta-eğim biçimi yazılabilir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 19/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 20/ 77

6 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Benzer şekilde üç boyutlu uzayda bir L doğrusu, üzerindeki bir P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktası ve yönü ile belirlenir. Üç boyutta bir doğrunun yönü en kolay bir vektörle belirlenir, dolayısıyla v yi L doğrusuna paralel bir vektör alalım. L nin vektör denklemi r = r 0 +t v, t R (1) t parametresinin her değeri L üzerindeki bir noktanın konum vektörünü verir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 22/ 77 Doğru Denklemi Doğru Denklemi L nin yönünü veren v vektörünü bileşenleri cinsinden v = a,b,c olarak yazarsak, t v = ta,tb,tc olur. r = x,y,z ve r 0 = x 0,y 0,z 0 alınırsa vektör denklemi (1) biçimine dönüşür. x,y,z = x 0 +ta, y 0 +tb,z 0 +tc, t R x,y,z = x 0 +ta, y 0 +tb,z 0 +tc, t R İki vektör ancak karşı gelen bileşenleri eşit ise eşittir. Dolayısıyla t R olmak üzere, üç tane skaler denklem elde ederiz: x = x 0 +at y = y 0 +bt z = z 0 +ct (2) Bu denklemlere P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktasından geçen ve v = a,b,c vektörüne paralel olan L doğrusunun parametrik denklemleri denir. t parametresinin her değeri L üzerinde bir (x, y, z) noktası verir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 24/ 77

7 : (a) (5,1,3) noktasından geçen ve i+4 j 2 k vektörüne paralel olan doğrunun vektör ve parametrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğru üzerinde iki farklı nokta daha bulunuz. Çözüm : (a) Burada r 0 = 5,1,3 = 5 i+ j +3 k ve v = i+4 j 2 k olduğundan vektör denklemi (1) ya da dir. r = (5 i+ j +3 k)+t( i+4 j 2 k) r = (5+t) i+(1+4t) j +(3 2t) k Parametrik denklemler ise dir. x = 5+t y = 1+4t z = 3 2t (b) Parametreyi t = 1 seçersek x = 6, y = 5 ve z = 1 olur, bu da doğru üzerindeki (6,5,1) noktasını verir. Benzer şekilde t = 1 için (4,-3,5) noktası bulunur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 25/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 26/ 77 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Bir doğrunun vektör denklemi ya da parametrik denklemleri tek değildir. Eğer noktayı ya da parametreyi değiştirirsek, veya başka bir paralel vektör seçersek, denklemler değişir. Örneğin, örnekte (5,1,3) noktası yerine (6,5,1) noktasını alırsak doğrunun parametrik denklemi x = 6+t y = 5+4t z = 1 2t Ya da (5,1,3) noktasını değiştirmez de 2 i+8 j 4 k yi paralel vektör olarak alırsak elde ederiz. x = 5+2t y = 1+8t z = 3 4t olur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 27/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 28/ 77

8 Doğru Denklemi Doğru Denklemi L doğrusunu belirlemenin bir diğer yolu da Denklem (2) den t parametresini yok etmektir. a, b ve c nin hiç biri 0 değilse, her bir denklemi t için çözüp, sonuçları birbirine eşitlersek Denklem (3) de, paydada bulunan a, b, c sayılarının L nin yön sayıları, bir diğer deyişle L ye paralel bir vektörün bileşenleri olduğuna dikkat ediniz. a, b ve c den birinin 0 olduğu durumda da t yi yok edebiliriz. Örneğin a = 0 durumunda denklemi x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c elde ederiz. Bu denklemlere L nin simetrik denklemleri denir. (3) biçiminde yazabiliriz. x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c Bu, L doğrusunun x = x 0 düşey düzleminde olduğu anlamına gelir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 29/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 30/ 77 : (a) A(2,4, 3) ve B(3, 1,1) noktalarından geçen doğrunun parametrik ve simetrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulunuz. Çözüm : (a) Doğruya paralel olan bir vektör açık olarak verilmemiş olsa da, AB ile temsil edilen v vektörünün doğruya paralel olduğunu gözlemleyiniz: v = AB = 3 2, 1 4,1 ( 3) Bu durumda yön sayıları a = 1, b = 5 ve c = 4 dür. P 0 olarak (2, 4, 3) noktasını alırsak parametrik denklemler (2) x = 2+t y = 4 5t z = 3+4t ve simetrik denklemler (3) olarak bulunur. x 2 1 = y 4 5 = z +3 4 v = 1, 5,4 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 31/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 32/ 77

9 Düzlemler (b) Doğru, xy-düzlemini z = 0 iken keseceği için simetrik denklemde z = 0 alır ve x 2 1 = y 4 5 = 3 4 elde ederiz. Bu, x = 11 4 ve y = 1 4 verir. Uzaydaki bir düzlem, üzerinde bulunan bir P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktası ile düzleme ortagonal bir n vektörü ile belirlenir. n ortogonal vektörüne normal vektör denir. P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktasından geçen ve normal vektörü n = a,b,c olan düzlemin skaler denklemi: Dolayısıyla doğru, xy-düzlemini ( 11 4, 1 4,0) noktasında keser. dir. a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 (4) Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 33/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 34/ 77 : (2,4, 1) noktasından geçen ve normal vektörü n = 2, 3, 4 olan düzlemin bir denklemini bulunuz. Kesenlerini bularak düzlemi çiziniz. x- kesenini bulmak için bu denklemde y = z = 0 alırsak, x = 6 çıkar. Benzer şekilde y- keseni olarak 4 ve z-keseni olarak 3 bulunur. Bu bilgi düzlemin birinci bölgede kalan kısmını çizmemizi sağlar. Çözüm : Denklem (4) de a = 2, b = 3, c = 4, x 0 = 2, y 0 = 4 ve z 0 = 1 alarak, düzlemin bir denklemini olarak elde ederiz. 2(x 2)+3(y 4)+4(z +1) = 0 2x+3y +4z = 12 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 35/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 36/ 77

10 Düzlemler : P(1,3,2), Q(3, 1,6) ve R(5,2,0) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm : PQ ve PR ye karşılık gelen a ve b vektörleri Denklem (4) deki terimleri düzenleyerek, düzlemin denklemini, a = 2, 4,4 b = 4, 1, 2 ax+by +cz +d = 0 (5) dir. biçiminde yeniden yazabiliriz. Denklem (5) e x, y ve z ye göre doğrusal denklem denir. a ve b nin her ikisi de düzlemde olduğundan onların a b vektörel çarpımı düzleme diktir ve düzlemin normal vektörü olarak alınabilir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 37/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 38/ 77 Nokta-Düzlem Arası Uzaklık Buradan n = a b = i j k = 12 i+20 j +14 k bulunur. P(1, 3, 2) noktası ve n normal vektörünü kullanarak düzlemin denklemi 12(x 1)+20(y 3)+14(z 2) = 0 6x+10y +7z = 50 P(x 0,y 0,z 0 ) noktasından ax+by +cz +d = 0 düzlemine olan D uzaklığını veren formül: biçiminde yazılabilir. D = ax 0 +by 0 +cz 0 +d a 2 +b 2 +c 2 (6) olarak bulunur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 39/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 40/ 77

11 İki Değişkenli Fonksiyonlar iki değişkenli f fonksiyonu, D kümesinden her bir sıralı (x, y) gerçel sayı ikilisine, f(x, y) ile gösterilen tek bir gerçel sayı karşılık getiren kuraldır. Fonksiyonlar ve Yüzeyler D, f nin tanım kümesidir ve f nin aldığı değerlerin {f(x,y) (x,y) D} kümesine de görüntü kümesi denir. f nin genel bir (x,y) noktasında aldığı değeri sıklıkla z = f(x,y) ile gösteririz. x ve y bağımsız değişkenler, z ise bağımlı değişkendir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 41/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 42/ 77 İki Değişkenli Fonksiyonlar Tanım kümesi, R 2 nin, xy-düzleminin, bir alt kümesidir. Tanım kümesini mümkün olan tüm girdilerin kümesi, görüntü kümesini de çıktıların kümesi olarak düşünebiliriz. Fonksiyon, tanım kümesi belirtilmeden, bir formül ile verildiğinde tanım kümesi olarak, verilen ifadenin iyi tanımlı gerçel sayı değerleri ürettiği tüm (x, y) ikililerinin kümesi alınır. : f(x,y) = 4x 2 +y 2 ifadesiyle verilen f(x,y) fonksiyonu tüm (x, y) sıralı gerçel sayı ikilileri için tanımlı olduğundan tanım kümesi R 2, tüm xy-düzlemidir. Görüntü kümesi ise tüm negatif olmayan gerçel sayılar, [0, ) dur. [x 2 0 ve y 2 0 olduğundan tüm x ve y ler için f(x,y) 0 olduğuna dikkat ediniz.] Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 43/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 44/ 77

12 : Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve f(3, 2) yi hesaplayınız. x+y +1 (a) f(x,y) = (b) f(x,y) = xln(y 2 x) x 1 x+y+1 0 ya da y x 1 eşitsizliği y = x 1 doğrusunun üzerinde ya da üstündeki noktaları verir. x 1 ise x = 1 doğrusunun üzerindeki noktaların alınmaması gerektiğini söyler. Çözüm : (a) f(3,2) = = 6 2 f için verilen ifade, paydanın 0 olmadığı ve karekökün içindeki terimin negatif olmadığı durumda anlamlıdır. Bu yüzden tanım kümesi D = {(x,y) x+y +1 0,x 1} dir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 45/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 46/ 77 Grafikler (b) f(x,y) = xln(y 2 x) f(3,2) = 3ln(2 2 3) = 3ln1 = 0 ln(y 2 x) yalnızca y 2 x > 0, ya da x < y 2 iken tanımlı olduğu için, tanım kümesi D = {(x,y) x < y 2 } Tanım kümesi D olan iki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği, D deki (x,y) ler için z = f(x,y) koşulunu sağlayan R 3 deki (x,y,z) noktalarının kümesidir. dir. Bu, x = y 2 parabolünün solundaki noktaların kümesidir. Bir değişkenli f fonksiyonunun grafiği y = f(x) denklemi ile verilen C eğrisi olduğu gibi, iki değişkenli f fonksiyonunun grafiği de z = f(x,y) denklemiyle verilen S yüzeyidir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 47/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 77

13 Grafikler f nin S grafiğini xy-düzlemindeki D tanım kümesinin tam üstünde ya da altında görebiliriz. : f(x,y) = 6 3x 2y fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : f nin grafiği z = 6 3x 2y ya da 3x+2y +z = 6 denklemi ile verilir ve bu bir düzlemi temsil eder. Kesenleri bularak grafiğin birinci bölgede kalan kısmını Şekil 9 de çiziyoruz. Şekil 9 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 49/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 50/ 77 Grafikler teki fonksiyon f(x,y) = ax+by +c biçiminde olan ve doğrusal fonksiyon adı verilen fonksiyonların özel bir durumudur. : f(x,y) = x 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : y ye hangi değeri verirsek verelim f(x,y) nin değerinin x 2 olduğuna dikkat ediniz. Bu fonksiyonların grafikleri z = ax+by +c ya da ax+by z +c = 0 denklemi ile verildikleri için birer düzlemdir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 51/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 52/ 77

14 Grafiği veren z = x 2 denklemi y yi içermemektedir. Bu, denklemi y = k olan her düşey (xz-düzlemine paralel) düzlemin, grafiği, z = x 2 denklemi ile verilen parabol boyunca kesmesi demektir. Şekil 10 : Şekil 10 de grafiğin xz-düzleminde alınan z = x 2 parabolünün y ekseni boyunca kaydırılırak oluşturulması gösterilmektedir. Dolayısıyla grafik, parabolik silindir adı verilen ve aynı parabolün sonsuz tane kaydırılmış kopyasından oluşan bir yüzeydir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 53/ 77 Grafikler Kesitlerin (dilimlerin) şekillerini belirleyerek başlamak genelde iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çizmeyi kolaylaştırır. Örneğin, x i, x = k (bir sabit) olarak sabitlersek ve y yi değiştirirsek sonuç tek değişkenli z = f(k, y) fonksiyonudur ve grafiği z = f(x,y) denklemi ile verilen yüzeyin x = k düşey düzlemi ile kesişimidir. Benzer şekilde yüzeyi y = k düşey düzlemiyle dilimleyip z = f(x,k) eğrilerine bakabilir, ya da z = k yatay düzlemleri ile dilimleyebiliriz. Tüm bu eğrilere z = f(x,y) yüzeyinin izleri (ya da kesitleri) denir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 54/ 77 : İzlerini kullanarak f(x,y) = 4x 2 +y 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : Grafiğin denklemi z = 4x 2 +y 2 dir. x = 0 alırsak z = y 2 çıkar. Benzer şekilde y = k alırsak, z = 4x 2 +k 2 izleri yukarıya doğru açılan parabollerdir. z = k alırsak bir elips ailesi olan, 4x 2 +y 2 = k yatay izleri elde ederiz. Dolayısıyla yz-düzleminin, grafikle kesişimi bir paraboldür. x = k (bir sabit) alırsak z = 4k 2 +y 2 çıkar. Bu, grafiği yz-düzlemine paralel düzlemlerle kestiğimizde yukarıya doğru açılan paraboller elde edeceğimiz anlamına gelir. İzlerin şekillerini belirledikten sonra Şekil 11 sa gösterildiği gibi grafiği çizebiliriz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 77 Şekil 11 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 56/ 77

15 : f(x,y) = y 2 x 2 nin grafiğini çiziniz. Çözüm : x = k düşey düzlemlerindeki izler yukarıya doğru açılan z = y 2 k 2 parabolleridir. y = k daki izler ise aşağıya doğru açılan z = x 2 +k 2 parabolleridir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 57/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 58/ 77 Yatay izler, y 2 x 2 = k ile verilen hiperbol ailesidir. İzler bir araya getirilerek bir hiperbolik paraboloit olan z = y 2 x 2 yüzeyi çizilmiştir. Yüzeyin başlangıç noktasına yakın bölümünün bir eyere benzediğine dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 59/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 60/ 77

16 İkinci Dereceden Yüzeyler : x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 denklemi ile verilen ikinci dereceden yüzeyi çiziniz. x, y ve z cinsinden ikinci dereceden denklemlerin grafiklerine ikinci dereceden yüzey denir. Çözüm xy-düzlemindeki (z = 0) iz, x 2 +y 2 /9 = 1 denklemi ile verilen elipstir. Genelde, z = k düzlemindeki yatay izler x 2 + y2 9 = 1 k2 4 z = k denklemi ile verilir. Bu izler, k 2 < 4 ya da 2 < k < 2 koşulu altında, elipstir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 61/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 62/ 77 Benzer şekilde düşey izler de elipstir: Şekil 12, çizilmiş birkaç izin yüzeyin şeklini nasıl belirttiğini göstermektedir. Tüm izleri elips olduğu için, bu yüzeye elipsoit denir. Yüzeyin koordinat düzlemlerinin her birine göre simetrik olduğuna dikkat ediniz: bu, denklemin x, y ve z nin yalnızca çift kuvvetlerinden oluşmasının bir sonucudur. y z2 4 = 1 k2 x = k ( 1 < k < 1 ise) x 2 + z2 4 = 1 k2 9 y = k ( 3 < k < 3 ise) Şekil 12 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 63/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 64/ 77

17 teki elipsoit, (z-ekseni gibi) bazı düşey doğruların onu birden fazla kez kestiğinden dolayı, bir fonksiyonun grafiği değildir. Ancak şeklin üst ya da alt yarısı bir fonksiyonun grafiğidir. Elipsoidin denklemini z için çözersek ) z 2 = 4 (1 x 2 y2 z = ±2 1 x 9 2 y2 9 Bu yüzden f(x,y) = 2 1 x 2 y2 9 ve g(x,y) = 2 fonksiyonlarının grafikleri elipsoidin üst ve alt yarısıdır. 1 x 2 y2 9 elde ederiz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 65/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 66/ 77 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler f ve g nin ikisininde tanım kümeleri 1 x 2 y2 9 0 x2 + y2 9 1 eşitsizliğini sağlayan tüm (x, y) noktalarından, başka bir deyişle x 2 +y 2 /9 = 1 elipsinin üzerinde ya da içinde olan tüm noktalardan oluşur. Standart biçimdeki altı temel ikinci dereceden yüzeyin bilgisayar tarafından çizilmiş grafiklerini görelim. Tüm bu yüzeyler z-eksenine göre simetriktir. Bir ikinci dereceden yüzey diğer bir eksene göre simetrik ise, denklemi de ona uygun olarak değişir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 67/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 68/ 77

18 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Elipsoit x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Tüm kesitler elipstir. Eğer a = b = c ise küredir. Koni x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler yani x = k veya y = k olduğunda, k R, k 0 için hiperboldür; k = 0 için ikişer adet doğrudur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 69/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 70/ 77 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Eliptik Paraboloit Tek Parçalı Hiperboloit x 2 a 2 + y2 b 2 = z c Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler paraboldür. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 71/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 72/ 77

19 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Hiperbolik Paraboloit İki parçalı hiperboloit x 2 a 2 y2 b 2 = z c Yatay kesitler hiperboldür Düşey kesitler paraboldür. x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 k < c veya k > c için yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 73/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 74/ 77 : x 2 +2z 2 6x y +10 = 0 ikinci dereceden yüzeyini sınıflandırınız. Çözüm : Denklemi kareye tamamlayarak yeniden yazarsak elde ederiz. y 1 = (x 3) 2 +2z 2 Bu denklemin bir eliptik paraboloit olduğunu görürüz. Ancak, paraboloidin ekseni y-eksenine paraleldir ve grafik, köşesi (3,1,0) noktasında olacak şekilde kaydırılmıştır. y = k (k > 1) düzlemindeki izler (x 3) 2 +2z 2 = k 1 y = k elipsleridir. xy-düzlemindeki iz ise y = 1+(x 3) 2, z = 0 denklemleri ile verilen paraboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 75/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 76/ 77

20 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 77/ 77

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Analitik Geometri MATH172 Bahar 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört KONİNİN KESİTLERİ (II) H. Turgay Kaptanoğlu Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört eğriyi aynı bakış açısı etrafında toplamamızı sağlayacak. Dışmerkezlilik hakkında

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga Teorisi Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu Dalga Denkleminin

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan KONİNİN KESİTLERİ (I) H. Turgay Kaptanoğlu Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden söz edeceğiz. Bu düzlem eğrilerinin denklemlerini elde ettikten sonra birkaç değişik konuyu açacağüz. Bunlar,

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

İnşaat Mühendisliği Bölümü Uygulama VIII ÇÖZÜMLER

İnşaat Mühendisliği Bölümü Uygulama VIII ÇÖZÜMLER Soru 1 : Şekildeki hazne boru sisteminde sıkışmaz ve ideal akışkanın (su) permanan bir akımı mevcuttur. Su yatay eksenli ABC borusu ile atmosfere boşalmaktadır. Mutlak atmosfer basıncını 9.81 N/cm 2 ve

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN Çevre Mühendisliği Bölümü BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Atatürk Barajı (Şanlıurfa) BATMIŞ YÜZEYLERE ETKİYEN KUVVETLER

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3 1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Analitik Geometri Özeti

Analitik Geometri Özeti Analitik Geometri Özeti David Pierce 3 Nisan 2015, 10:49 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ İçindekiler 1 Denklik bağıntıları

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı