ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA ÇÖZÜM TEKNİKLERİNİN SINIFLANDIRILMASI A CLASSIFICATION MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING SOLVING TECHNİQUES

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES Cilt/Vol.:8- Sayı/No: 1 : (2008) ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA ÇÖZÜM TEKNİKLERİNİN SINIFLANDIRILMASI Yrd. Doç. Dr. Mahmut ATLAS* ÖZ Ço amaçlı programlama, Yöneylem Araştırmasının hızla gelişen alanlarından birisidir. Ço amaçlı programlama, çolu amaçların aynı anda gerçeleşmesinin düşünüldüğü bir matematisel programlamadır. Pe ço optimizasyon problemi doğası gereği birden ço ve bir biriyle çelişen amaçlar içermetedir. Ço amaçlı problemlerin çözümünde dört genel yalaşımın(arar vericiden tercih bilgisinin çözüm sürecinin: öncesinde, esnasında veya sonrasında alınması ya da alınmaması yalaşımları) avantaj ve dezavantajları tartışılmıştır. Bu çalışmada ço amaçlı programlama problemlerinin çözümünde ullanılma üzere geliştirilmiş çözüm tenilerinin sınıflandırılması amaçlanmatadır. Bu maalede tartışılan teniler, metodoloji yönleri ile ele alınmıştır, çözüm tenilerinin detaylı incelemesi ise çalışma alanının dışında tutulmuştur. Anahtar Kelimeler: Ço amaçlı, programlama, tercih bilgisi, çözüm tenileri. A CLASSIFICATION MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING SOLVING TECHNİQUES ABSTRACT Multiobjective programming has been one of the fastest growing areas of Operation Research. Multiobjective programming is a mathematical programming, a way of considering multiple objectives eplicitly and simultaneously in a multiobjective programming framewor. As most optimizations problems are multiobjective to their nature, there are many methods avaliable to tacle these ind of problems. Multiobjective problems are discussed in terms of advantages and disadvantages of the four general approaches(articulation of the decision maer s preference structure over the multiple objectives prior to, during, or after the optimization) towards multiobjective programming. The aim of this study is to classify the solving techniques developed for solving multiobjective programming problems. The techniques discessed in this study have been considered in methodolojical aspects the detailed analysis of solution techniques have not been included. Keywords: Multiobjective, programming, preference information, solving techniques * Anadolu Üniversitesi İ.İ.B.F. İşletme Bölümü, matlas@anadolu.edu.tr 47

2 48 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi 1. GİRİŞ Son yılda Ço amaçlı programlama; yönetim bilimi, yöneylem araştırması, uygulamalı matemati ve mühendisli alanında i araştırmalarda artara ullanılan bir yöntem durumuna gelmiştir. Ço amaçlı programlama, özellile yöneylem araştırmasında hızla gelişen alanlardan birisidir. Günümüzde yöneylem araştırması adreslerinde(itap, maale, internet, vb.) matematisel programlama modellerinin büyü çoğunluğu, te amaçlı olara ullanılmatadır. Örneğin, işletmelerde apasite artırma maliyetlerinin en üçülenmesi gibi. Aynı problem için iinci bir amaç, dış pazara açılma veya çalışanları mutlu ılma olabilir. Böyle bir problem için te amaçtan daha çoğuna geresinim vardır. Dolayısıyla çoğu problemde, olası seçenelerden yalnız birini seçme zorunluluğu her zaman gerçeçi değildir(joro vd., 1998). Ço amaçlı matematisel programlama, bir matematisel programlama yapısı içinde çolu amaçların aynı zaman da gerçeleşmesinin düşünüldüğü bir yoldur. Bu önemli alandai çalışmaların çoğu 1970 den sonra görülmeye başlamıştır(evans, 1984). Ço amaçlı matematisel programlamaya ilginin artmasının bir ço nedeni vardır. Bunlardan birincisi ve en önemlisi, çoğu arar probleminin doğasında ço amaçlılı vardır. Örneğin; üretim planlaması problemleri, sto planlama problemleri, yer seçimi problemleri ve apasite artırım problemleri ço amaçlı problemlere örne teşil etmetedir. Böyle problemlerin doğasında olan ço amaçlılıların nedeni basittir: bir üretim işletmesinde apasite artırımını amaçlandığımda, buna e olara araştırma ve sermaya maliyetlerini en üçüleme amacını, sistem güvenliği amacını, çevre oşullarına uygun üretim amacını ve müşteri memnuniyeti amacını da birlite getirebilmetedir. Ço amaçlı matematisel programlamaya olan ilgi artışının iinci nedeni ise; çoğu üretim planlama probleminde ço sayıda standart ı(iso 9000, vb.) abul etme zorunluluğudur. Bunun için arar vericilerin, setördei endüstri uyumunu sağlaması geremetedir. Son olara ço amaçlı matematisel programlamaya olan ilgi artışının üçüncü nedeni, ço amaçlı problemlerin çözümü için, son yıllarda hesaplama olaylığı ve çözüm hızında pe ço gelişme sağlanmasıdır. Özellile bilgisayardai gelişmeler problem çözümlerine yansımıştır. Bunun sonucu olara ço amaçlı matematisel programlama çözüm algoritmaları, daha ço ullanılır hale gelmiştir. E olara ço amaçlı algoritmaların çoğunda arar verici ve bilgisayar arasında arşılılı bir etileşim sürecine ihtiyaç vardır, bu etileşimli yalaşım bilgisayar ve bilgisayar hesaplamalarında esne çalışma olanağı sağlamatadır(evans, 1984). Bu çalışmada, ço amaçlı matematisel programlama problemlerinin çözümünde ullanılma üzere geliştirilmiş çözüm tenilerinin sınıflandırılması amaçlanmatadır. Bu maalede tartışılan teniler, metodoloji yönleri ile ele alınacatır. Sunulan tenileri geliştirenler; üretim yönetimi, planlama, yer seçimi, tasarım mühendisliği vb. geniş bir alana uygulanma üzere tasarlamışlardır. Bununla birlite ço amaçlı matematisel programlama çözüm tenilerinin detaylı değerlendirmesi ve incelemesi bu maalenin çalışma alanının dışında tutulmuştur. Ço amaçlı programlama problemlerinin çözümünde ullanılan çözüm tenileri için ii temel sınıflandırma şeli benimsenmiştir: Birincisi; tercih bilgisinin gereğine ve zamanına bağlı çözüm tenileridir. Ço amaçlı optimizasyon için tercih bilgisi zamanına bağlı dört genel yalaşımın(karar vericiden tercih bilgisinin: i. Çözümden önce, ii. Çözüm esnasında iii. Çözümden sonra alınması ve iv. Tercih bilgisi alınmadan)avantaj ve dezavantajları, üçüncü bölümde tartışılmıştır. E olara ço amaçlı matematisel programlama için son yıl-

3 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması 49 larda geliştirilen algoritmaların(tenilerin) çoğu da bu bölüm de verilmiştir. Elbette i algoritmaların tümündei gelişmelerden bahsedilmemiştir. Anca bu alandai çözüm yalaşımları toplu olara sunulmaya çalışılmıştır. İincisi ise; arar değişenlerinin süreli ya da en az birinin esili olmasına göre yapılan sınıflandırmadır. Son olara çalışmanın son bölümünde tartışılan tenilerden en iyisi için(gerçe uygulamalarda) bir düşünce ortaya onmuştur. Çözüm tenilerini sınıflandırmada, esin sınırlandırmalar arama doğru değildir. Çünü tenilerin bir çoğu yapısı itibari ile birden ço sınıfa dahil olabilmetedir. Örneğin, doğrusal programlama için ullanılan teniler, doğrusal olmayan programlama içinde ullanılabilmetedir. Bununla birlite verilen sınıflandırma, ilgili tenilerin yararlandığı problem tiplerine uymatadır. Bu çalışmanın bir sonrai bölümünde ço amaçlı matematisel programlamanın tanımı ve terminolojisi verilmeye çalışılmıştır. 2. PROBLEMİN TANIMI ve TEMEL KAVRAMLAR Bu çalışmada değinilen teniler; bir arar vericinin yardımıyla amaç fonsiyonlarını optimize eden arar değişenlerinin S=( 1, 2,..., n ) her biri için en uygun değeri bulmayı amaçlamatadır. Bu arar değişenlerinin, p- amaç sayısı (p 2) olma üzere, amaç fonsiyonları f 1 (), f 2 (),..., f p () dır. Bu fonsiyonların her birinin masimize edilmesini amaçlayan ço amaçlı problem aşağıdai gibi yazılabilir(evans, 1984). Ma f() = [f 1 (), f 2 (),..., f p ()] (I) Kısıtlar S Burada p 2 olma üzere problemin amaç fonsiyonları: f 1 (), f 2 (),..., f p (), problemin arar değişenleri: 1, 2,..., n ve S=( 1, 2,..., n) de uygun çözüm alanını göstermetedir. Tanım(Üstün Çözüm): Amaç fonsiyonlarının her birini ve hepsini birlite masimize eden çözüm ( s S) Üstün Çözüm olara adlandırılır.eğer ço amaçlı problem(i) in çözümü s, yalnız ve yalnız s S ve f i ( s ) f i () i=1,2,..., p ise, her S sağlayan çözüm Üstün Çözümdür. Üstün çözümlerden birisi İdeal Çözüm dür. Tanım(İdeal Çözüm): İdeal çözüm, uygun çözüm alanında bir notadır. Problem için optimum amaç fonsiyonu değeri f I I I I = (f,..., f ). f için i= 1, 2,..., p olma üzere ço amaçlı model: 1 I Ma f () i Kısıtlayıcılar p i S Bu modelde, bütün amaçlar en büyüleme yönünde ise geçerlidir. Amaçlardan herhangi biri en üçüleme yönünde ise onun, en büyülemeye dönüştürülmesi gereir(lieberman, 1991).

4 50 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi Ço amaçlı programlamada, genellile birbiriyle çelişen amaçlar söz onusudur ve p - amaçtan en az iisi doğası gereği çelişir. Bu nedenle bütün amaçların en iyi şeilde arşılandığı te bir optimum çözümün bulunması ço nadir bir durumdur(taha, 2000). Bu gibi durumlarda arar verici en iyi çözüm yerine etin çözümlere yönelir. Etin çözümlerin her biri en az bir amaç için diğer aday çözümlerden daha iyi sonuç vermetedir. Genel olara etin çözüm; Tanım(Etin çözüm): Problem(I) in bir etin çözümü E, E Öyle i: S yi sağlayan uygun çözümdür. S f i ( E ) f i () 6 i için, i=1,2,..., p ve f i ( E ) < f i () 7 i için, i=1,2,..., p Başa bir ifade ile etin çözüm; problemin optimum çözümü olmadığında, her bir amaca mümün olduğunca yalaşan ve amaçlardan en az birini sağlayan çözümdür. Problemin uygun çözüm ümesinde birden ço etin çözüm olabilir. Bu etin çözümlerden birisi, arar verici tarafından tercih edilir. Bu tercihin yapılabilmesi için en az ii etin çözümün arar vericinin önüne onabilmesi gereir. Ço amaçlı matematisel programlama problemlerinin çözümünde ullanılan çözüm yalaşımları için ii temel sınıflandırma şeli benimsenmiştir: Bunlardan birincisi; arar vericiden alınaca tercih bilgisine ve zamanına dayalı sınıflandırmadır. Bu sınıflandırmada çözüm tenileri, arar vericinin tercih bilgisi zamanına(çözüm sürecinin başında, esnasında ve sonunda) göre üç farlı grup da ifade edilmeye çalışılacatır. Bunlara dördüncü olara tercih bilgisinin istenmediği durumlar da elenirse; i. Tercih bilgisini çözüm sürecinin başında isteyen teniler, ii. Tercih bilgisini çözüm süreci esnasında isteyen teniler, iii. Tercih bilgisini çözüm sürecinin sonunda isteyen teniler, iv. Tercih bilgisi istemeyen teniler, Bununla birlite daha problemin başlangıcında arar vericinin(veya vericilerin) ullanılaca tercih yapısı haında bilgisi olması gereir(evans, 1984; Ruzia ve Wiece, 2005). Ço amaçlı matematisel programlama probleminin çözümünde ullanılan çözüm yalaşımlarının iinci sınıflandırma şeli ise; modeldei arar değişenlerinin yapısına dayandırılmış olan sınıflandırmadır. Karar değişenlerinin süreli ya da esili olmasına göre de sınıflandırmaya gidilebilmetedir. Tercih yapısına ve arar değişenlerinin yapısına göre yapılan ii sınıflama şelinden, daha ço görülen ve benimsenen; tercih yapısına bağlı sınıflandırma şelidir. Çalışmanın üçüncü bölümünde tercih yapısına bağlı çözüm tenileri üzerinde durulacatır. Dördüncü bölümde ise arar değişenlerinin yapısına göre sınıflandırmaya ısaca yer verilmeye çalışılacatır.

5 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması TERCİH BİLGİSİNE DAYALI TEKNİKLER Ço Amaçlı Matematisel Programlama Probleminin çözümünde, arar vericinin tercihine başvurulması bilinen bir yoldur. Tercih bilgisinin zamanlamasına bağlı olara farlı çözüm tenileri ullanılabilmetedir. Tercih bilgisinin zamanına dayalı çözüm tenilerinin sınıflandırması Şeil 1 de gösterilmeye çalışılmıştır(evans, 1984; Lieberman, 1991). Tercih B ilgisi Zamanı Çoamaçlıayrı ım teni i A ırlılandırma teni i Do rusal olmayan yala ım Çözüm sürecinin ba ında Bulanımantı (Fuzzy ) yala ımı De er fonsiyonu Kabul edilebilirlifonsiyonu Hedefprogramlama Ardı ısıralama teni i Sınırlandırılmı amaçlar teni i Hiyerar iayrı tırma teni i STEM teni i Çoamaçlıgrafiteorisi Kısıtlama teni i Çözüm süreci esnasında Parametre uzayıara tırma teni i Rassal arama teni i Vetör - Gev eme teni i Etile imli _ - ebee teni i Yerel geli tirme teni i ÇoAmaçlı Programlama Pareto sınırlıharitalar STEUER teni i ε Ç olu ortaya çıan yala ımlar Çözüm sürecinin sonunda Çoamaçlıgenetialgoritmalar Dinamiçoamaçlıprogramlama Ula ılabilir üme teni i Benzer do rular yala ımı deal uzalıminimizasyonu teni i Tercih bilgisi ullanılmadı ında Masimum etinliilesi Mini-maformülasyonu ve üresel ölçütteni i Şeil 1. Ço Amaçlı Matematisel Programlama Çözüm Tenilerinin Tercihe Dayalı Sınıflandırması

6 52 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi 3.1. Tercih Bilgisinin Çözüm Sürecinin Başında İstendiği Teniler Ço amaçlı optimizasyonu gerçeleştirmede en yaygın olara ullanılan yol, arar vericinin tercihlerini önceden belirtmesine dayalı tenilerdir. Bu tür önsel yalaşımlar ile optimum çözümlere ulaşma(veya yalaşma) daha ısa zamanda ve daha olay olmatadır. Bu tür yalaşımların en büyü dezavantajı ise arar vericinin tercih bilgisini belirlemede yaşadığı güçlütür. Çünü önsel tercih belirtme bir anlamda belirsizli altında tercih yapmatır(atlas, 2005) Ço Amaçlı Ayrışım Teniği Ço amaçlı programlama problemlerinin çözümünde daha ço görülen yalaşım; problemleri daha olay çözülebilir yapıya dönüştürmetir. Ço amaçlı ayrıştırma teniğinde de, ço amaçlı problem daha olay çözülebilece alt amaçlara ayrılır. Böylece te amaçlı basit problemlerin çözümü ile ana problemin çözümüne ulaşılmaya çalışılır. Yinede bu tenile, alt amaç fonsiyonu-fi() değerlerinin ayrı ayrı hesaplanması için ço zaman geremetedir(lieberman, 1991; Engau, 2007). Ço amaçlı ayrışım teniği, orijinal problemin sayısal fonsiyonunu, nihai amaç için ön bilgi gibi ullandığından, tercih bilgisinin önceden olması sınıfında yer almatadır Ağırlılandırma Teniği Ço amaçlı programlama problemlerinin çözüm tenileri içinde en olay olan ve belide en ço ullanılan teni, ağırlılandırma yalaşımıdır. Amaç fonsiyonunda yer alan amaçlar için arar vericinin tercihlerine göre farlı ağırlılar(wi) ullanılır(taha, 2000; Youness, 1995). Modelde her bir amaç için bir ağırlı(wi) belirlenmesinin yanında, ısıtlayıcılar ümesine de bu ağırlılarla ilgili oşul elenir. Böylece model aşağıdai gibi yazılabilir; min j=1 w i f i Doğrusal Olmayan Yalaşım Doğrusal olmayan ço amaçlı programlama modeli: min j=1 S w i = 1 f i () f io S p Bu modelde her bir amaç, f i0 a oranlanır. f i0 : en iyi çözüm için i. amaç fonsiyonu değerini ifade etmetedir. p-ise f i de ne ölçüde bir iyileştirme o**lduğunu ifade etmetedir. Şeil 2 de p=3 için (f i /f i0 ) p yi f i nin bir fonsiyonu olara gösterilmiştir(andersson, 2004; Kumar, vd. 1991).

7 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması 53 f f i i0 P 1 fi 0 Şeil 2. p=3 için (f i /f i0 ) p yi f i nin Bir Fonsiyonu Olara Gösterme fi Bulanı(Fuzzy) Mantı Yalaşımı Bulanı ümeler avramı, bir ifadenin eş zamanlı olara ısmen doğru ve ısmen yanlış olabildiği çolu mantı üzerine urulmuştur. Bulanı mantıta µ-her bir amaç fonsiyonu için doğrulu düzeyini gösteriren; µ=0 ien ifade yanlış, µ=1 ien ifade doğrudur. Ço amaçlı optimizasyon probleminde her amaç için bir µ i (f i ()) i atanır. µ i, i. amacın gerçeleşme düzeyini ifade eder. f i () in değeri, amacın gerelililerini ne ölçüde arşıladığını ifade eder ve { 0, 1 } aralığında bir değer elde etme için µi tarafından bulanılaştırılır(özan, 2003; Mohan and Nguyen, 1998). Böylece; bulanı amaç fonsiyonu; F fuzzy ()= Min(µ 1 (f 1 ()), µ 2 (f 2 ()),..., µ (f ())) ya da, F fuzzy ()= (µ i (f i ()) olur. i=1 Bulanı ço amaçlı model; Ma F fuzzy () S şelinde yazılabilir (Andersson, 2004) Değer Fonsiyonu Değer fonsiyonu, arar vermenin temelini oluşturur. Ço amaçlı programlamada öncelile her bir amaç için değer fonsiyonları belirlenir. Her bir amacın değer fonsiyonun belirlenmesinde, arar vericiyle yoğun bir çalışma yapılmalıdır. Değer fonsiyonu teniğinde her bir amaç için değer fonsiyonu (U i (f)) doğru olara belirlenebildiğinde, onun çözümü arar vericiyi tatmin edebilir. Tabiî i burada, arar vericinin tercihleri ortaya oymada bir bilgi vaumunda olması gereir. Değer fonsiyonları: U(f 1 (), f 2 (),..., f i ()) = U(F()) şelinde de gösterilebilir. Farlı amaçları bir araya toplama için genellile değer fonsiyonlarının toplanabildiği ya da çarpılabildiği varsayılmatadır. Basitçe ifade etme gereirse;

8 54 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi U(F()) = U i (f i ()) ya da i=1 U(F()) = U i (f i ()) şelinde gösterilebilir. i=1 Eğer U(F()) arar vericinin bir tasarımı gerçete nasıl değerlendirdiğini ortaya oyabilirse, toplam faydanın en büyülenmesi, arar vericiye göre en iyi çözümü olur. Anca, bir problem için değer fonsiyonlarını türetme ve toplam değer fonsiyonunu ortaya oyma ço zordur(andersson, 2004) Kabul Edilebilirli Fonsiyonu Kabul edilebilirli fonsiyonu arar vericinin her hedef için ortaya oyduğu abul edebilme olasılığını ifade eder. a(z), z-performans özelliğini tanımlayan fonsiyon ve p(z), z inci hedefin abul edilebilir olasılı yoğunlu fonsiyonu olma üzere; tüm hedefler göz önüne alındığında; p i = a(z)p(z)dz Ma P aac () P aac = i=1 p i ien, model, S Kabul edilebilir fonsiyon, değer fonsiyonu ve bulanı mantı formülleri birbirine ço benzer görünebilir. Anca her birinin farlı teori çerçeveleri vardır(andersson, 2004) Hedef Programlama Hedef programlama yöneylem araştırmasında, ço amaçlı problemlerin çözümü için yaygınca ullanılan ve en ço bilinen tenitir. Karar verici için bu teniğin en önemli özelliği, her amaca doyurucu bir hedef değer atayabilmesidir(öztür, 2007). Hedef programlamada arar verici ulaşma istediği her bir amaç için sayısal bir hedef değer belirler. Ço amaçlı problemin çözümü sonunda, hedef değerlerden sapmaları en üçüleyen çözüm tercih edilen çözüm olara adlandırılır(hahn, 1984). Hedef programlama modelinin genel matematisel gösterimi: m min Z i=1 (d i + + d ī ) a 1/a (a=1) Kısıtlayıcılar S f i () - d ī + d i + = b i d ī. d i + = 0 X, d - i, d + i 0 i=1,2,...,m 6i 6i Burada: d ī i. hedeften negatif yönde sapma,

9 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması 55 + d i : i. hedeften pozitif yönde sapmadır. Çolu hedefler, derecelendirme veya öncelilendirme ile sıralanabilir. Hedef programlama modelinin çözümünde öncelile, en üst öncelili hedefe ulaşılmaya çalışılır. Daha sonra sırasıyla daha alt öncelili hedefler göz önüne alınır(atlas ve Keçe, 2000; Atlas, 2005). Hedef programlama teniğinin en önemli avantajının, çolu amaçların birlite ele alınabilmesi olduğu abul edilmetedir. Bunun yanında, aynı önceli düzeyleri haricinde, standart bir ölçü birimine gere duyulmaması da diğer bir avantaj olara sayılabilir(camm, 1996). Hedef programlama bazı dezavantajlara da sahiptir. Birincisi, arar vericilerin yeterli bilgisi olmadığı durumlarda hedefleri sıralama zorunda almalarıdır. Bunun yanında hedeflerin önceli düzeylerinin işletmedei farlı arar vericilere göre farlılı göstermesidir. İincisi, bazen arar verici yüse öncelili bir hedeften ço az sapmaya izin verere, düşü öncelili bir hedefe daha fazla yalaşma isteyebilir. Hedef programlama böyle bir değiş-touşa izin vermez(taha, 2000; Winston, 1994) Ardışı SıralamaTeniği Ardışı sıralamada arar verici, amaçların optimize edileceği sırayı belirler. Bir sözlüte A nın B den önce gelmesi gibi, arar verici içinde i. amaç j. amaçtan önce gelmetedir. Bu belirlemede çözüm, en önemli amaca bağlı olara değerlendirilip sıralanmatadır. En önemli olduğu varsayılan amaca bağlı model aşağıdai gibi yazılabilir(andersson, 2004). Maf ( i ) S Ardışı sıralama teniği te başına pe fazla ullanılmazlar. Anca diğer tenilerle, örneğin; hedef programlamada, hedef seçiminin bir parçası olara ullanılabilmetedir Sınırlandırılmış Amaçlar Teniği Bu tenite, arar vericiden öncelile her bir amaç için en düşü ve/veya en yüse abul edilebilir düzey L j (alt sınır) ve H j (üst sınır) değerlerini belirlemesi istenir. Bu durumda model; Maf ( r ) S f j () L j f j () H j j = 1,2,..., j r Bu teniğin esiliği, çözüm haında bilgi sahibi olmayan arar vericiden, alt ve üst sınır değerlerini belirlemeye zorlamatır. Zorlamayla belirlenmiş sınır değerleriyle ulaşılan sonuçlar arar vericiyi tatmin etmeyebilir. Yine amaçlar arasından f r (X) in seçiminde bazı zorlularla arşılaşılabilmetedir. Dolayısıyla bu teniler daha ço diğer tenilerle birlite ullanılmatadır(hwang and Masud, 1979; Atlas, 2005).

10 56 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi 3.2. Tercih Bilgisinin Çözüm Sürecinde İstendiği Teniler Tercih bilgisinin çözüm süreciyle birlite ullanıldığı yalaşımlarda; arar verici çözümün her aşamasında tercih yapabilir. Karar verici ile çözümün aşamaları süreli etileşim halindedir. Bilgisayar, ürettiği aday çözümü arar vericiye sunar, arar verici abul ederse durulur. Kabul etmezse, bilgisayar arar vericiye bir öncei çözümden daha iyi bir çözüm üretir. Bu süreç, arar verici ulaşılan çözümü abul edinceye adar veya daha iyi bir çözüm bulunulamayıncaya adar sürdürülür(andersson, 2004; Stewart, 1999). Tercih bilgisinin çözüm süreciyle birlite adım adım belirtilmesi durumunda ço amaçlı matematisel programlama algoritmaları; genellile arar verici ile bilgisayar arasında etileşimli yalaşımlar içerir. Bu algoritmalar genelde orijinal ço amaçlı problemlerle ilişilendirilen, te amaçlı problemlere optimum çözüm bulunması için başlatılır. Bundan sonra arar vericinin, çolu amaçlara yöneli olara tercih yapısıyla ilgili bilgi sağlaması gereir. Bu tercih bilgisi ullanılara algoritma bir sonrai aşama için yeni bir te amaçlı problem meydana getirilir(karar vericinin bir öncei aşamada bulduğu çözüme, bu aşamada bulacağı çözümü tercih edeceği düşüncesiyle). Ulaşılan çözümün optimum çözüme yeterince yalaştığı ararı, bilgisayar programı veya arar verici tarafından verilene adar aşamalara devam edilir(lieberman, 1991). Çözüm sürecince tercih bilgisi ullanan teniler genel olara etileşimli olara adlandırılır ve ço amaçlı matematisel programlama çözümünde, etin çözümler sunar. Bu teniler, arar vericinin problemin armaşılığı nedeniyle önceden tercih bilgisi sunamadığı hipotezine göre çalışır. Bu gruba giren yalaşımların çoğu arar verici ile model arasındai diyalogun organizasyonu için olana sağlar. Karar verici, çözüm süreci ilerlediçe, problem haında bilgi sahibi olduça tercih bilgisi verir(andersson, 2004; Lofti vd., 1997). Çözüm sürecinde tercih bilgisine dayalı tenilerin(yalaşımların) bazı avantajları vardır. Şöyle i ; Önceden tercih bilgisi verilmesine gere duyulmaz, Yalnızca tercih bilgisi gereir. Karar verici her adımda problemi daha iyi anlamaya başlar. Karar verici, araştırmada daha atif rol aldıça, nihai çözümü abul etme, dolayısıyla uygulama olasılığı artar. Çözüm sürecinde tercih bilgisine dayalı tenilerin(yalaşımların) bazı dezavantajları da vardır. Şöyle i ; Çözümler arar vericinin tercihlerini ne adar iyi ifade ettiğine bağlıdır. Karar vericinin tüm araştırma sürecinde büyü çaba harcaması gereir. Çözümler arar vericinin tercihlerine bağlıdır. Eğer arar verici tercihlerinin değiştirirse, süreç yeniden baştan başlatılmalıdır. Bilgisayar hesaplamaları daha öncei yöntemlerden daha fazla çaba geretirir. Çözüm sürecinde tercih bilgisine dayalı teniler, arar vericiye aşırı yü getirere ilerleme sağlayabilen yalaşımlar içerir. Bu yalaşımlara çoğu amaç ve ısıtlayıcı fonsiyonlarının, doğrusallı ve farlılaşabilme varsayımını temel aldıları için olay uygulanabilir teniler değildir(evans, 1984).

11 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması Hiyerarşi Ayrışma Teniği Ço maçlı programlamada büyü boyutlu problemlerin(yüzlerce değişen ve ısıtlayıcıdan oluşan) çözümünde, diğer teniler hesaplama güçlüğü getirmetedir. Böyle problemlerde çözümü olaylaştırma için; n-amaçlı vetör optimizasyonu problemi, n-tane optimizasyon problemine ayrıştırılmata ve en önemli amaç dışında alan n-1 adet alt problem, ısıtlayıcıya dönüştürülmetedir(lieberman, 1991). Hiyerarşi ayrışma teniği, özel alt problemlerin çözümü için orjinal bir yol değildir. Anca diğer tenilerden ayrılan özelliği; Ço amaçlı problemin alt problemlere ayrılabildiği varsayılır. Böylece, büyü ölçeli matematisel programlama için olay bir hesaplama yolu verilmiş olur STEM Teniği STEM teniği yada STEP teniğinde, arar vericiden gelen tercih bilgileri, çözüm uzayını aşama aşama daraltma için ullanılır. Genel model, sınırlandırılmış ve ağırlılandırılmış amaçlarla yeniden formüle edilir.(andersson, 2004). w i h > 0 min i=1 (w i h (f i () - f i * )) p 1 p S h w 1 i = 1 i=1 * Burada h-iterasyon sayısını, f i -ideal çözüm ve p-ise 1 ile arasında bir parametredir. Min-ma formülasyonunu çözme ve farlı amaçların büyülüğünü eşitleme için ağırlılara ihtiyaç duyulur. Bu tenite amaçlara ulaşma için çözüm uzayı iterasyon iterasyon daraltılır Ço Amaçlı Grafi Teorisi Bu teni, yönlendirilmiş bir grafide STEM teniği ile en ısa yolu bulmaya çalışır. n+1 düğüm ve ii farlı tip de yay vardır. Bunlar düğümlerin (i ile i+1; i=1,2,..., n-1) yan yana bağlantısı ve alternatif düğümlerin (j ile j+2; j=1,2,..., n-1) bağlantısını sağlar(lieberman, 1991) Kısıtlama Teniği Amaçların ve ısıtlayıcıların fonsiyonel biçimine bamasızın, problemlere uygulanabilen ço yönlü bir yalaşımdır. Teni, ço amaçlı problem çözümlerinin, ısıtlayıcılar sisteminin uyumunu olayca ontrol edilebilece hale dönüştürmetedir. Bu dönüşümde aşağıdai fonsiyon ullanılır. zi () = f enötü i () - f i f ideal enötü i - f i Burada, - arar değişenleri vetörünü, f i - i. amaç fonsiyonu değerini z i -i. amacın değeri

12 58 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi z i () fonsiyonu her bir amacın ideal değerlerine ulaşıncaya adar i değerini gösterir. Bir tercih her bir amaç için arar vericinin seçtiği amaç değerleri olara tanımlanır. Bu tercihler bir ısıt gibi problemin ısıtlayıcı sistemine elenir. Uygun çözüm bölgesi, yeni ısıtlayıcıyla en iyi uzlaşı çözüm bulununcaya adar daraltılır. Yuarıdai dönüşüm formülüyle ideal notaya olan geometri aralı, enüçülenmeye çalışılır. Bu teni, tam sayılı doğrusal olmayan ve hiyerarşi programlama problemlerinin çözümünde farlı bir yalaşım olara sunulabilmetedir.(lieberman, 1991) Parametre Uzayı Araştırma Teniği Bu tenite ileri örneleme tenileri ullanılmatadır. Öncelile arar verici tarafından her bir amaç için abul edilebilir minimum hedef değerleri atanır. Daha sonra, doğrusal programlama ile yalaşı ötü olmayan üme uygun deneme notalarından aday çözümler türetir. Eğer türetilen aday çözümlerin hiçbiri önceden belirlenen hedef değerlerine ulaşamazsa; yalaşı ötü olmayan üme elde edilene adar deneme notalarının daha iyi örneleri türetilir(lieberman, 1991; Jones, vd., 2002). Parametre uzayı araştırma teniği, maine planlama problemlerinin çözümünde ullanılır. Bu teni, ısıtlayıcı sayısının ço olduğu veya arar değişenleri sayısının ço fazla(biraç düzine) olduğu problemler için uygun değildir Rassal Atama Teniği Bu tenite ço amaçlı orijinal problem, te amaçlı probleme indirgenmetedir. Karar verici; önceden türetilmiş olan s-1 ve s çözümlerinden hareetle, te amaçlı problem için yeni parametre değerleri w (s+1) türetir(lieberman, 1991). Bu tenite tartılı toplam, m w i f i () i=1 veya tartılı ma min model, ma min w i s+1. f i () S olur Vetör-Gevşeme Teniği Bu teni ço amaçlı doğrusal olmayan problemlere, adım adım çözüm yalaşımı uygulamatadır. Te amaçlı durumdan farlı olara, olası arama yollarının bir aralığı ve alternatif çözümlerin çeşitliliği vardır(lieberman, 1991) Etileşimli ε -Şebee Teniği Bu tenite, ötü olmayan çözüm setinin örne şebee üzerinde uygulanmasıyla, süreli doğrusal olmayan ço amaçlı programlama problemlerinin çözümlerini daraltan bir teni durumundadır. Problemin çolu amaçları ( f 1( ),,..., f p ()) bütünleştirildiği genel bir fonsiyonda, φ (λ, f()) ullanılmatadır. Parametre uzayının ε-şebeesinde λ nın parametre değerlerinde problemin çözüm sonucuna ulaşılabilir(lieberman, 1991; Ignizio, 1983).

13 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması Yerel Geliştirme Teniği Bu tenite, ço amaçlı programlama problemi, stoasti programlama probleminin değişi bir tipi olara gösterilmetedir. Burada amaçlar için göreli önem dereceleri belirlenir. Bu tip algoritmaların (genel stoasti programlama problemi için geliştirilmiş algoritmalar) her bir iterasyonda tesadüfi değişenler için olasılı dağılımları ullanılır. Öncelile arar vericiden ya hedef değerleri ya da amaç fonsiyonu değerleri için tercih bilgisi alınır. Bu teni sanayi işletmelerinde(tratör üretimi gibi) armaşı üretim problemlerinde ullanılmatadır(lieberman, 1991) Pareto Sınırlı Haritalar Pareto sınırlı haritalar teniği, çolu amaç fonsiyonunu te bir amaç fonsiyonuna bütünleştirir ve daha sonra sonuç fonsiyonunu optimize etmeye çalışır. Bunu yaparen, aday sonuçların bir ümesini elde etme üzere, ölçeğin parametresini sistemati olara değiştirir. Bu aday sonuçların endi içinde etileşimi, arar vericinin tercihleri diate alınara belirlenir(lieberman, 1991; Ruzia and Wiece, 2005) Steuer Teniği Steuer teniği, çolu amaçların her biri için süreli olara değişen ağırlılar ullanan bir tenitir. Bu tenite önceden belirlenmiş t sayıda iterasyonla yaınsama gerçeleşmetedir. Her bir iterasyonda arar verici p sayıda basın olmayan çözüm seçeneği arasından seçim yapılmatadır. Genellile iterasyon sayısı t, amaç sayısı ya eşittir ve p dır. Çözüm süreci, bulunan çözüm ümesi ile ideal çözüm arasındai uzalığı minimize etmeye çalışara ilerler(andersson, 2004; Lofti vd,1997) 3.3. Tercih Bilgisinin Çözüm Sürecinden Sonra İstendiği Teniler Tercih bilgisinin çözüm sürecinden sonra ullanılan yalaşımlar, bir probleme yöneli tüm etin çözümleri bulmala ilgilenir. Karar vericiye tüm çözümler sunulur ve etin çözümlerden birisini seçmesi istenir. Bu teniler çözüm alternatiflerinin türetilmesi ile ilgilenmetedir. Bu tür tenilerin en büyü avantajı, çözümlerin arar vericinin tercihlerinden bağımsız olasıdır. Çözüm bir ez yapılır. Bununla birlite üç de dezavantajı bulunmatadır. Birincisi; algoritmalar ço armaşıtır ve bu nedenle arar vericiler tarafından anlaşılması güçtür. İincisi; çoğu gerçe problemi bu yalaşımla çözülme için ço büyütür. Üçüncüsü ise, arar vericinin ço fazla sayıda çözüm arasından seçim yapma zorunda almasıdır(evans, 1984) Çolu Ortaya Çıan Yalaşımlar Bu bölümde pareto optimum sınırında bir örne nota ümesi elde etme için en sı ullanılan yöntemler ele alınacatır. Karar verici, pareto sınırı üzerinde birbirinden uza notalardan oluşan bir üme oluşturara sınırın biçimi ve dolayısıyla maçlar arasındai olası alternatif maliyetler haında bilgi edinebilir(andersson, 2004).

14 60 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi a. Ağırlılı Toplam Teniği Ağırlılı toplam teniğinde optimizasyon problemi aşağıdai gibi modellenir. Min i = 1 S Λ = w R \w i 0 w i = 1 i = 1 Çolu optimizasyonda Pareto sınırı üzerinde ço sayıda nota bulma için farlı ağırlı vetörleri w ullanılmatadır. Bu teni Pareto optimum sınırı üzerinde ço sayıda nota bulmanın en olay ve en doğrudan yoludur. Anca bu teni önemli bir taım sınırlılıları bulunmatadır. Notaların Pareto sınırı üzerinde eşit biçimde dağılmasını sağlayaca ağırlıları seçme zordur. Çözüm uzayı onves olmadığında ise bir başa sorun ortaya çıar; bu durumda herhangi bir w Λ için optimizasyon problemi çözülere, tüm Pareto optimum çözümler elde edilemez(andersson, 2004; Lofti, vd. 1997). Min w i fi p 1 p i = 1 S w w i f i χ Λ p, 1 p oşulunu sağlayan bir tamsayıdır. p ye uygun bir değer verildiğinde, tüm Pareto optimum notalar bulunabilir. Anca, p ye verilebilece böyle bir değer en başta bilinmez. Bununla birlite p ye verilen en yüse değer, optimizasyon probleminin çözümünü zorlaştırır. En uç durum, yani p= olduğunda ise, problem ağırlılı Min-ma formülasyonu olara adlandırılır(huang, 2003; Marler, 2005). b. e-ısıt Teniği e-ısıt teniğinde amaçlardan yalnız i. amaç optimizasyon için seçilir ve diğerleri ısıt olara formüle edilir. Min f i f j e j j i, j=1.2..., S Kısıt değeri e j, süreli olara değiştirilere Pareto sınırı üzerinde farlı notalar elde edebilir. Pareto sınırının uç notaları hesaplanara, farlı amaç fonsiyonları hesaplanabilir ve bunlara göre ısıt değerleri, seçilebilir. Bu yöntem, Pareto sınırı devam ettiçe, örneğin f j =e j olma üzere, bir Pareto optimum çözümü olduğu sürece, Pareto sınırı üzerinde yayılmaya iman bulabilir. Çolu ortaya çıan yalaşımlara, ağırlılı toplam teniği ve e-ısıt teniği yanında Normal sınır etileşimi ve Ço amaçlı simüle edilmiş sertleştirme tenileri de elenebilir(andersson, 2004).

15 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması Ço Amaçlı Geneti Algoritmalar Son zamanlarda pe ço farlı türde ço amaçlı geneti algoritmalar geliştirilmiştir. Geneti algoritmaların diğer tenilere göre en önemli avantajı, bağımsız amaçlardan oluşan ço amaçlı yapıyı ustalıla idare edebilmesidir.(andersson, 2004). Ço amaçlı geneti algoritmalar Pareto temelli ve Pareto temelli olmayan yalaşımlar olara ii gruba ayrılır. a. Pareto Temelli Olmayan Yalaşımlar Her bir bağımsız amaca, basın olmayan çözümler üretme için vetör değerlendirmesi yapılır. Anca çözüm uzayının uçlarında toplanma eğilimi gösteren tüm Pareto temelli olmayan teniler, Pareto ümesinin büyü bir bölümünü incelemeden, bırama eğilimi göstermetedir(andersson, 2004). b. Pareto Temelli Yalaşımlar Pareto temelli yalaşımlarda Pareto optimalli oşuluna göre düzenleme için basın olmayanları sıralama teniğini ileri sürer(andersson, 2004) Dinami Ço Amaçlı Programlama Dinami programlama problemlerinin ço amaçlı çözümünde, zamanın esili aralılarla bölündüğü ve taip eden ararların etilenmediği varsayımına bağlı olara pete ötü olmayan çözümler sunulur. Ço armaşı durumlar için benzer algoritmaların benzerliğinden yararlanılır(lieberman, 1991) Ulaşılabilir Küme Teniği Ulaşılabilir üme teniği, tüm amaç fonsiyonları ve ısıtlayıcıların, amaç fonsiyonu değerleri tarafından(alt uzay üzerinde) tanımlanan onves fonsiyonlar için, tahminler yapara çözümler türetir. Doğrusal ço amaçlı matematisel programlama problemi çözüm tenileri simples teniğine dayanıren, ulaşılabilir üme teniği yalaşımı doğrusal eşitsizlilerin teorisine dayanmatadır. Bu tenile, arar vericinin etin çözümü seçmesi işi olaylaştırır. Gelişmelere göre, yer ve çevre planlaması ile ilgili problemlerde büyü olaylı sağlamatadır(lieberman, 1991) Benzer Doğrular Yalaşımı Bu tenite ii riterli onves programlama probleminin doğrusal benzerliğine dayanır ve her adımda benzerlite, olası masimum hatanın ölçümü için bir ölçüt- δ sağlar(hillier and Lieberman, 1995) Tercih Bilgisinin İstenmediği Teniler Bu yalaşımlar, arar vericiden tercih bilgisinin istenmediği(ne çözüm sürecinden önce, ne çözüm sürecinde ve ne de çözüm sürecinden sonra) tenileri içerir. Bu tenilerde tercih bilgisi istenmese de gerçete ullanıcı veya problemi modelleyen tarafından açıca belirtilmeyen örtülü bir tercih dite edilmetedir.

16 62 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi İdeal Uzalı Minimizasyonu Teniği Bu teni, ço amaçlı problemler için ideal nota avramını ullanmatadır. Ço amaçlı problemlerin çözümünde il çalışılan teni olara bilinir(lieberman, 1991). Ço fonsiyonlu dinami ontrol problemlerinin çözümü için tasarlanmış yöntem, ideal yörünge f I ( ) ile uygun yörüngeler ümesinin f E ( ) i arasındai uzalığı minimize eder: Min = f 1 i () - f E i 2 i=1 f I ( ) : ideal çözüm, i i f E ( ) i : etin çözümdür Masimum Etinli İlesi Bu teni ideal çözüm avramını ullanmatadır. Bununla birlite ço amaçlı programlama probleminde, bütün amaçların masimize edildiğini varsayar ve minimum göreli erişimi masimize eden çözümü arar. Her bir amaç fonsiyonu f i (), ideal referans değeri, f I ( ) i en ötü çözüm değeri f i ötü olma üzere, Zi () = f ötü i () - f i f1 ötü i -fi i=1,2,..., p f i (): i. amacın etin çözüm değeri, Z i (): i. amaç değeridir. Kabul etme gereir i bu formülasyon oyun teorisinde, masimizasyon problemine dentir. Tenitei gelişimin sürmesi, oyun teorisine benzerliten daha ço genel uygulamasının artması ile mümündür. Teoriye yenili getirmeyen bu teni hedef programlamaya benzer. Bu teni, eonomi planlama, ço amaçlı rota programlama ve dinami üretim planlamasında uygulanabilmetedir(lieberman, 1991) Mini-ma Formülasyonu ve Küresel Ölçüt Teniği Bu tür teniler herhangi bir tercih bilgisi ullanmaz. Min-ma formülasyonu bir aday çözümden ideal çözüme olan göreli uzalığın enüçülenmesini temel alır. Buna bağlı optimizasyon problemi: min (f j () - f * j ) p 1 p j=1 S Burada p, 1 p dur. Buraya adar açılanmaya çalışılan tenilerin çoğu te amaçlı matematisel programlama çözümünde ullanılan tenilerin bazı elentili halleridir. Örneğin: ço amaçlı doğrusal programlama çözümü için geliştirilmiş tenilerin çoğunda, simples teniğinin değişi varyosyonları ullanılmatadır(evans, 1984).

17 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması 63 Çalışmanın bundan sonrai bölümünde ço amaçlı matematisel programlama çözüm tenileri arar değişenlerinin yapısına göre sınıflandırılmasına değinilmiştir. Teniler, tercih bilgisinin ortaya onma zamanının yanı sıra, modelde yer alan arar değişenlerinin türüne göre de sınıflandırılmatadır(örneğin: tüm arar değişenlerinin süreli veya en az bir arar değişeninin esili olması). 4. ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARINI KARAR DEĞİŞKENLERİNİN YAPISINA GÖRE SINIFLANDIRMA Ço amaçlı matematisel programlama problemlerinin çözüm tenileri, modelin arar değişenlerinin süreli ve esili(tamsayılı) olmasına göre de sınıflandırılabilmetedir. Karar değişenlerinin yapısına göre sınıflandırma Şeil 3 de gösterilmeye çalışılmıştır. Tercihçözümden önce Tüm amaç ve ısıtlayıcı fonsiyonlar do rusal Tercihçözüm esnasında Tüm arar de i enleri süreli Tercihçözümden sonra Tercihçözümden önce Enaz bir amaç veya ısıtlayıcı fonsiyon do rusal de il Tercihçözüm esnasında Tercihçözümden sonra ÇoAmaçlı Programlama Problemi Tercihçözümden önce Tüm amaç ve ısıtlayıcı fonsiyonlar do rusal Tercihçözüm esnasında Tercihçözümden sonra Enaz bir arar de i eni esili Tercihçözümden önce Enaz bir amaç veya ısıtlayıcı fonsiyon do rusal de il Tercihçözüm esnasında Tercihçözümden sonra Şeil 3. Ço Amaçlı Programlamanın Karar Değişenlerinin Yapısına Göre Sınıflandırılması

18 64 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi 4.1. Karar Değişenlerinin Süreli Olduğu Ço Amaçlı Problemlerin Çözüm Tenileri a. Amaçlar ve Kısıtlayıcılar Doğrusal Bu alanda geliştirilen algoritmaların çoğu ço amaçlı doğrusal programlamayı çözümleyebilmetedir(örneğin: tüm amaç fonsiyonlarının ve ısıtlayıcı fonsiyonların doğrusal olduğu modeller). Maimin Programlama ve Doğrusal Hedef Programlama tercih bilgisinin önceden verilmesinin söz onusu olduğu ço amaçlı doğrusal programlamayı çözen tenilere örnetir. STEM teniği, çözüm sürecinde tercih bilgisinin söz onusu olduğu ço amaçlı doğrusal programlamayı çözen il tenitir. STEM, ideale olan masimum ağırlılı uzalıları minimize eden te amaçlı model uygular. Bu te amaçlı problem için ısıtlayıcılar ümesi, il aşamadai orijinal ço amaçlı probleminiyle aynıdır. Daha sonrai her aşamada arar vericiden, amaçlar için belirlediği hedef düzeylerini terar ayarlaması istenir. GPSTEM, Hedef Programlama ile STEM in ombinasyonundan oluşmatadır. Yalaşım, STEM den her bir aşamada amaç programlamanın, te amaçlı model gibi ullanılması ile farlılı gösteriri. GPSTEM in, STEM e göre düşünülen avantajı Etin çözümün Hedef Programlama yalaşımı ullanımından dolayı daha az iterasyonla elde edilebileceğidir. Ço amaçlı doğrusal programlama çözümünde, çözüm sonrası tercih bilgisi uygulayan algoritmalar ii gruba ayrılabilir. Yeterli tüm etin uç nota aramasına yoğunlaşanlar, Yeterli tüm etin nota aramasına yoğunlaşanlar(uç nota olup olmamasına bamasızın) İl gruptai tüm algoritmalar üç aşamadan oluşmatadır. Birinci ve iinci aşamalar sırasıyla başlangıç uç ve başlangıç etin uç notaların bulunmasını içerir. Üçüncü aşamada geriye alan tüm etin notalar bulunur. Birinci ve iinci aşama sadece lasi doğrusal programlama yöntemleri geretirdiğinden gerçeleştirilmesi olaydır. Üçüncü aşama, yalaşımları itibariyle farlılı gösteren algoritmaların olduğu zor bir süreçtir(evans, 1984). Bu alanda yaın zamanda yapılan çoğu çalışma iinci gruba giren teniler(yani, yeterli tüm etin notaları arayan teniler) üzerine yoğunlaşmatadır. Bunun sebebini bir ço problemde etin çözümün, ısıtlayıcı ümesinin bir uç notası olmayan, etin nota olmasındandır Gerçete ço amaçlı doğrusal programlama için etin çözümler üreten tenilerin tamamı ya da tamamına yaını çoğunlula tatmin edici değildir. Bu nedenle optimizasyon öncesi her bir amaca elenen ağırlılara bir alt ve üst sınır atayara, etin notaları eleme yoluna gidebilir. Böylece optimizasyon sonucunda türetilece çözüm sayısını azaltabilece bir filtre yapılmış olur(evans, 1984). b. En Az Bir Amaç Veya Kısıtlayıcı Fonsiyon Doğrusal Değil Karar değişenlerinin süreli olduğu ço amaçlı doğrusal olmayan programlamanın çözümü için az sayıda teni geliştirilmiştir. Bu tenilerin çoğu arar vericinin güç ödünleşme bilgisini geretirirler. Doğrusal olmayan yapıda, değer fonsiyonunu belirleme güçlüğü nedeniyle arar verici için bir değer fonsiyonunun var olduğu varsayılır. Değer fonsiyonunun doğrudan ortaya onması, arar vericiden tercih ön bilgisinin alınmasında büyü olaylı sağlamatadır. Değer fonsiyonunun doğru şeilde ortaya onması, etin çözüme daha hızlı ulaşılmasına olana sağlar(evans, 1984).

19 Ço Amaçlı Programlama Çözüm Tenilerinin Sınıflandırılması Karar Değişenlerinin Kesili(Tamsayılı) Olduğu Problemlerin Çözüm Tenileri Ço amaçlı matematisel modellere yöneli, en az bir arar değişeninin tam sayı olması oşulu ile sınırlandırıldığı araştırmalar daha 1976 yılından bu yana görülmetedir.(evans, 1984). Bu nedenle araştırmaların çoğu litaretürde çoça görülmemetedir. Bunlar aşağıdai duruma göre de sınıflandırılabilir: i. Kesme düzlem algoritmaları ii. Dinami programlama ve onun değişi varyosyanlarından birini ullanan algoritmalar iii. Te amaçlı tamsayılı programlama yalaşımı ullanan algoritmalar(örneğin; dal ve sınır) Şimdi bunları sırayla açılanmaya çalışılacatır. i. Kesme Düzlem Algoritmalar Bir probleme en iyi uzlaşan çözümü bulma için etileşimli yalaşımlardır. Bu algoritmalar esme düzlemi algoritması ile benzer şeilde çalışır. Doğrusal olmayan amaç ve ısıtlayıcı denlemli problemlerin çözümünde de ele alınabilirler. ii. Dinami Programlama ve Onun Değişi Varyasyonları Tam sayılı arar değişeni içeren ço amaçlı matematisel programlama çözümü için Dinami programlamanın bir türünü ullanan algoritmalar, özel ayrıştırılabilir bir problem yapısı geretirmetedir. Örneğin zaman sürecinde, bir dizi birbiriyle bağlantılı ararlar genellile bir biçimde incelebilir. iii. Te Amaçlı Tamsayılı Programlama Yalaşımı Kullanan Algoritmalar(Örneğin Dal ve Sınır) Algoritmaların üçüncü atagorisi, tamsayılı veya arma tamsayılı programların çözümünde lasi yalaşımların açı bir biçimde uygulamaları ile ilişilendirilmesidir. Ço amaçlı 0-1, doğrusal programlama için tüm yeterli sonuçları bulma için Balas ın salı listeleme algoritmasını ullanmatadır. Ço amaçlı arma tamsayılı doğrusal programlamada en iyi uzlaşan çözümü bulma için de dal ve sınır teniği ullanılmatadır(evans, 1984). 5. SONUÇ Bu notada ouyucuların pe çoğunda En iyi teni hangisi? sorusu ala gelecetir. Bu soruya cevap olma üzere, çeşitli çalışmalar(çeşitli riterlere göre arşılaştırma) yapılmışsa da, değerlendirmeler anlamlı deneyim ve testlerden değil de, daha ço sezgiseldir. Bunun sebebi ise, bu alanın yeni olması ve tenilerin ço az sayıda gerçe uygulamasının yapılabilmiş olmasıdır. Gerçeten arar vericiyle ilgili riterlere göre, tenilerin değerlendirmesi tecrübe edildiği alanlar olmadan zordur. Bunlara e olara, bir çözüm teniğinin etinliği problemin özellilerine bağlıdır. Bu özelliler; ullanılan matematisel modelin yapısı, değişen ve ısıtlayıcı sayısı hatta amaç sayısı olabilir. Bundan sonra, ço amaçlı matematisel programlama onusunda yapılaca çalışmalar için dört önemli alan öne çımatadır.

20 66 Anadolu Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi İl olara; üç tip yalaşımın(tercih bilgisinin önsel / çözüm esnasında/ çözüm sonrası istenmesi) ombinasyonunu içeren algoritmalar gelece çalışmalarda öne çıaca yalaşımlardır. Bu yalaşımların ombinasyonu üç ayrı yalaşımın avantajını taşıren, dezavantajlarını da azaltacatır İinci olara, yeni araştırmalarla geliştirilen sezgisel yalaşımlar veya yeni tenilerin birbiriyle birleşimiyle ortaya çıan armaşı teniler ço amaçlı büyü modellerin çözümüne yönelebilir. Bu alandai araştırmalar (pe ço problemde olduğu gibi) özellile, tam sayılı arar değişenlerini gereli ılmatadır. Üçüncü olara; matematisel programlamada çolu amaçlara belirsizli ve ris fatörünü dahil edece araştırmalardır. Son olara; dördüncü ve belide en önemli çalışma alanı, gerçe arar vericilerle, gerçe uygulamaları içerece araştırmaların yapılması alanıdır. Litaretürde ço az gerçe uygulamaya rastlanabilmetedir. Bu, çalışma alanının yeni olması sebebiyle anlaşılabilir bir durumdur. Bununla birlite, te amaçlı problem çözümünün asine ço amaçlıda arar vericiyle etileşimli olunması, ço amaçlı problemlerin çözümünün tamamlayıcı bir parçasıdır. Bu nedenle, bu alanda yapılaca araştırmalar ço önemlidir. KAYNAKÇA Atlas, M. ve Keçe, G. (2000). Hedef programlama ve bir serami işletmesinde uygulama denemesi, Anadolu Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: XVI Sayı: 1,2: Anadolu Üniversitesi Yayınları; No: Atlas, M.( ). Ço amaçlı programlamada arar vericinin etisi, Review of Social, Economic and Busibess Studies 5/6: , Estern Mediterranean University Pres. Andersson, J. (2004). A survey of multiobjective optimization in engineer desig, Technical Report:LİTH-IKP- R-1097, Linöping University, (erişim tarihi 21 Şubat 2006) ( Camm, J.D., ve Evans, J.R. (1996). Management Science, s:865, South-Western College Pubolishing, Ohio. Evans, G. (1984). An Overwiev of techniques for solving multiobjective marhematical programs, Management Science, 30(11): Engau, A., (2007). Domination anad decomposition in multiobjective programming, Ph.D., Clemson University, (erişim tarihi 26 eim 2007) ( wep?inde= ). Epen, G.D., Gould, F.J., Schmidt, C.P., Moore, J.H. ve Weatherford, L.R. (1998). Introduction Management Science, s:702, 5th Edition, Prentice Hall Int. Inc., New Jersey. Ignozi, J.P.,(1983). An aproach to the modeling and analysis of multiobjective generalized networ, European journal of operation researh, 12(4): Hahn, R.W., (1984). On reconciling conflicting goals: applications of multiobjective programming, Operation Research 32(1):