ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ MTEMTİK NBİLİM DLI DN,2010

2 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ YÜKSEK LİSNS TEZİ MTEMTİK NBİLİM DLI Bu Tez 31/03/2010 Tarihinde şağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir Doç.Dr.Fikret KUYUCU Yrd.Doç.Dr.li.ÖZKURT Yrd.Doç.Dr.Perihan DİNÇ RTUT DNIŞMN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik nabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü Not:Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MTEMTİK NBİLİM DLI Danışman : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Yıl : 2010, Sayfa: 50 Jüri : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Yrd.Doç.Dr. li. ÖZKURT Yrd.Doç.Dr. Perihan DİNÇ RTUT Bir fonksiyonun sürekliliğinin inelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin (θ sürekli, zayıf sürekli) tanımlanmasında etkili olmuştur. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. X kümesi üzerinde, bir I ideali ve topolojisi vasıtasıyla I açık kümeler tanımlanmış ve bu yeni kavramlar sayesinde, yeni bir topolojik uzay elde edilmiştir. Bununla birlikte, yeni süreklilik çesitleri ( I sürekli, ω I sürekli, ω I sürekli) tanımlanmıştır. Bu çalışmanın amaı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri araştırmaktır. nahtar Kelimeler: Topoloji, süreklilik ve idealler. I

4 BSTRCT MS THESIS SOME CONTINUITY KINDS DEPRTMENT OF MTHEMTICS INSTITUTE OF NTURL ND PPLIED SCIENCES UNİVERSITY OF ÇUKUROV Supervisor : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Year : 2010, Pages: 50 Jury : sso.prof. Dr. Fikret KUYUCU : sst.prof. Dr. li. ÖZKURT : sst.prof. Dr. Perihan DİNÇ RTUT Examining the ontinuity of a funtion, new kinds of ontinuity (θ ontinuous, weak ontinuous) have been effetive in the desription. topologial spae, with over ideal, an ideal topologial spae is alled. On a set of X, an I ideal and topology is defined through the open sets and thanks to this new onept, a new topologial spaes are obtained.however, the new ontinuity kind (I-ontinuous, ω ontinuous, ω ontinuous) have been identified. The purpose of this thesis, this kind of ontinuity, harateristis, and to investigate the relationships between them. Key Words: Topology, ontinuity and ideals. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında hiç bir zaman yardımlarını ve anlayışını eksik etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınaak çok değerli danışmanım Doç.Dr.Fikret KUYUCU ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. yrıa bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunun çok ama çok değerli Öğretim Görevlisi arkadaşım Emir li MRİS e teşekkür ederim. İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışlarını hiçbir şekilde eksik etmeyen değerli hoalarım Yrd.Doç.Dr.li. ÖZKURT ve eşi Yrd.Doç.Dr. Zeynep ÖZKURT a teşekkür ederim.maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan haklarını hiç bir zaman ödeyemeyeeğim çok değerli babam Hasan COŞKUNTUNCEL ve annem Meliha COŞKUNTUNCEL e çok teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SYF ÖZ BSTRCT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER IV 1 GİRİŞ Temel Tanım ve Özellikler Yerel Fonksiyon Kuratowski Kapanış Operatörü Topoloji ile İdealin Uyuşması I f yi İçeren İdealler X = X Koşulunu Sağlayn Uzaylar BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Süreklilik Çeşitleri Regüler Uzay, RI Uzayı ve I II III FI Uzayı KYNKLR ÖZGEÇMİŞ IV

7 1. GİRİŞ Bir fonksiyonun sürekliliği, bilindiği gibi matematiğin temel yapıtaşıdır. Bu bağlamda, fonksiyonların sürekliliğinin inelenmesi geçmişten günümüze büyük önem taşımaktadır. Özellikle soyut uzaylarda (metrik uzaylar, topolojik uzaylar) bir fonksiyonun sürekliliğinin inelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin tanımlanması ve bu süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin kurulması, süreklilik çeşitlerinin denk olduğu uzayların tanımlanması son yıllarda topoloji ile uğraşan matematikçilerin gözde konuları arasındadır. tanımlanan Bu alanda yapılan ilk temel çalışmalar Fomin tarafından 1943 yılında θ süreklilik ile başlar. Sonra 1961 yılında Levine zayıf süreklilik kavramını tanımlamıştır. Buna göre her sürekli fonksiyon θ ve zayıf süreklidir, fakat tersi her zaman doğru değildir. yrıa her süreklidir. θ sürekli fonksiyon zayıf Sonrasında 1974 de Noiri, 1984 de Rose zayıf sürekli fonksiyonlar üzerine çalışmalar yapmıştır. Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan ailenin filtre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir yılında Jankoviç ve Hamlet tarafından X kümesi üzerinde bir I ideali ve bir topolojisi vasıtasıyla I açık kümeler tanımlanmış ve bu yeni kavram sayesinde yeni bir topolojik uzay elde edilmiş, bununla birlikte yeni süreklilik çeşitlerinin tanımlanması ( I sürekli, α I sürekli, sürekli, w I sürekli, w I sürekli gibi ) mümkün olmuştur. Süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin inelenmesi üzerine günümüzde pek çok makale yazılmıştır: 2004 yılında Keskin, Noiri ve Yüksel in I makalesi ile çıkgöz Noiri ve Yüksel in makalesi; 2005 yılında Hatır, Keskin ve Noiri nin makalesi; 2006 yılında Jeyanthi, Devi ve Sivaraj ın makalesi; 2008 yılında Kuyuu, Noiri ve Özkurt un makalesi bunlardan bazılarıdır. Bu çalışmanın amaı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri araştırmaktır. 1

8 1.1.Temel Tanım ve Özellikler Bu bölümde genel olarak kümeler teorisinin ve topolojinin iyi bilinen temel tanım ve özellikleri özetlenmiştir.(bülbül, 1994) X bir küme ve X olsun. X = { x X:x } kümesine nın tümleyeni denir. i Ι i X bir küme, Ι bir indis kümesi ve her bir i Ι için i X olsun. U i ve I kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanır: i Ι i X i Ι i { Ι } U = x X: i öyle ki x, i Ι i { Ι } I = x X: i için x. i i Kümelerin birleşimi ve kesişimi ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur: a) X = ( X ) U I, i Ι i i Ι b) X = ( X ) I U, i Ι i i Ι ) B = ( B ) U U, i Ι i i Ι d) B = ( B ) f:x Bi I I. i Ι i i Ι i i i i Y bir fonksiyon, Ι bir indis kümesi ve her bir i Ι için Y olsun. Bir kümenin f fonksiyonu altındaki görüntüsü ve ters görüntüsü ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur: 1 1 a) f ( B ) = f ( B ) U U, i Ι i i Ι i 2

9 1 1 b) f ( B ) = f ( B ) I I, i Ι i i Ι ) f ( ) f ( ) I I, i Ι i i Ι d) f = f U U, i Ι i i Ι e) f birebir ise, her bir,b X f) Her B Y g) Her X dır, h) Her B Y i i i 1 1 için f ( Y B) X f ( B) için f ( B) f f ( B) = dir, = dir, 1 1 için f ( f ) ve eğer f birebir ise = f ( f ) 1 için f f B B 1 ve eğer f örten ise f f B = B dir. X bir küme olsun. P( X) = { : X} ailesine X in kuvvet kümesi denir. P( X) ve Ι bir indis kümesi olsun. Eğer, a),x b) Her U,V için U V ) Her i Ι için U i ise U Ui i Ι koşulları sağlanırsa ailesine X kümesi üzerinde bir topoloji, ( X, ) ikilisine bir topolojik uzay denir. 1 ve 2 X kümesi üzerinde iki topoloji olsun. 1 2 ise 2 ye 1 den daha ine veya 1 e 2 den daha kabadır denir. ( X, ) bir topolojik uzay olsun. topolojisinin elemanlarının her birine açık küme, açık kümenin tümleyenine kapalı küme denir. 3

10 ( X, ) bir topolojik uzay olsun. Ι bir indis kümesi olmak üzere, bu topolojinin K { F: ( X F) } = kapalı kümeler ailesi aşağıdaki koşulları sağlar: a),x K, b) Her F,T K için F T K, ) Her i Ι için Fi K ise I Fi K. i Ι Tersine, K ailesi X kümesi üzerinde yukarıdaki üç koşulu sağlayan bir aile ise X üzerinde bir topoloji vardır, öyle ki K ailesi bu topolojinin kapalı kümeler ailesidir. ( X, ) bir topolojik uzay, U X ve x X olsun. En az bir G için x G U oluyorsa U kümesine x in bir komşuluğu, x in bütün komşuluklarından oluşan N( x) { U X: G,x G U} = ailesine x in komşuluk sistemi denir. X, bir topolojik uzay, X ve x X olsun. = { } l x X: U N x,u kümesine nın kapanışı, bu kümenin elemanlarına nın kapanış noktaları denir. = { } int x X: U N x,x U kümesine nın içi, bu kümenin elemanlarına nın iç noktaları denir. { ( { }) } d x X: U N x, U x = kümesine nın türev kümesi, bu kümenin elemanlarına nın yığılma noktaları denir. X, bir topolojik uzay ve X olsun. nın kapanışı, içi ve türev kümesi ile ilgili aşağıdakiler doğrudur: 4

11 a) X l = int( X ). b) int = U U ( U ) kümesidir. U ) l = I F F kapalı kümedir. ( X F ) d) kapalıdır. l e) açıktır. int l f) d =., yani nın içi nın en geniş açık alt, yani nın kapanışı yı kapsayan en dar = d =.. X, bir topolojik uzay ve X olsun. { } = U:U ailesi kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye nun kümesi üzerinde ürettiği alt uzay topolojisi, (, ) topolojik uzayına ( X, ) nun bir alt uzayı denir. X, bir topolojik uzay, x X ve B( x) N( x) öyle bir V B( x) kümesi V U bir komşuluk tabanı denir. olaak şekilde varsa, olsun. Her U N( x) için B x ailesine x noktasının Bir topolojik uzayın her noktasında sayılabilir bir komşuluk tabanı varsa bu topolojik uzaya birini sayılabilir uzay denir. X, bir topolojik uzay ve B olsun. B nin topolojisinin bir tabanı olması için gerek ve yeter şart her U kümesinin x Gx U olaak biçimde bulunmasıdır. ve her x U için öyle bir Gx B 5

12 ( X, ) bir topolojik uzay ve B olsun. B nin topolojisinin bir tabanı olması için gerek ve yeter şart her x X için B = { G B:x G} ailesinin x noktasının bir komşuluk tabanı olmasıdır. Bir topolojik uzayın sayılabilir bir tabanı varsa bu topolojik uzaya ikini sayılabilir uzay denir. Her ikini sayılabilir uzay birini sayılabilirdir. Fakat tersi doğru değildir. X, bir topolojik uzay ve X olsun. l = X ise kümesine ( X, ) topolojik uzayında yoğundur denir. ( X, ) topolojik uzayının sayılabilir ve yoğun bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir uzay denir. Bir topolojik uzayın herhangi bir özelliği bu uzayın her alt uzayı için de sağlanıyorsa bu özelliğe kalıtsal özellik denir. Buna göre birini sayılabilirlik, ikini sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer kalıtsal özelliktir. ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay, f:x olsun. Eğer her V N % ( f ( x 0 )) için f ( U) x Y bir fonksiyon ve x0 X V olaak biçimde en az bir U N x 0 varsa f fonksiyonuna x 0 noktasında süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu bir X kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonu da süreklidir denir. ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay, f:x şağıdakiler denktir: a) Her V 1 % için b) Her kapalı F Y f V dır. 1 kümesi için f ( F) Y bir fonksiyon olsun.o halde kümesi X de kapalıdır. 6

13 ( X, ) bir topolojik uzay, f:x Y sürekli bir fonksiyon ve X olsun. Bu taktirde f fonksiyonunun kümesine daraltılmışı (, ) alt uzay topolojisine göre süreklidir. f% = f : Y fonksiyonu ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay ve f:x olsun. Eğer f ve 1 f Y birebir örten bir fonksiyon fonksiyonları sürekli fonksiyonlar ise f fonksiyonuna bir homeomorfizm veya topolojik eş yapı dönüşümü, ( X, ) ve ( Y,% ) uzaylarına homeomorf uzaylar veya topolojik denk uzaylar denir. Bir topolojik uzayın bir özelliği homeomorfizmler altında değişmiyorsa bu özelliğe bir topolojik özellik denir.buna göre birini sayılabilirlik, ikini sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer topolojik özelliktir. ( X, ) bir topolojik uzay olsun. 1.) Eğer her x,y X ( x y) için bir G kümesi, ( x G y G) ( x G y G) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T0 uzayı veya Kolmogorof uzayı denir. 2.)Eğer her x,y X ( x y) için G,H kümeleri, ( x G, y G) ( x H,y H) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T1 uzayı veya Frehet uzayı denir. 3.)Eğer her x,y X ( x y) için G,H kümeleri, ( x G, y H) ( G H = ) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T2 uzayı veya Hausdorff uzayı denir. 7

14 T0 uzayı, T1 uzayı ve T2 uzayı olma özellikleri hem kalıtsal hem de topolojik özelliklerdir. ( X, ) topolojik uzayı bir T0 uzayıdır. Her x,y X ( x y) ({ }) ({ }) l x l y dir. ( X, ) topolojik uzayı bir 1 kümesi kapalıdır. ( X, ) topolojik uzayı bir 2,( X U) dır. için T uzayıdır. Her x X için { x } tek nokta T uzayıdır. Her x X için { x} = I U N x U Bir T1 uzayında tek nokta kümeleri kapalı olduğundan tümevarımla sonlu sayıda elamana sahip kümeler kapalıdır. yrıa sonlu elemanlı kümelerin T1 uzayında yığılma noktaları yoktur. Buna göre ( X, ) topolojik uzayı bir T1 uzayı, X ve elemanlıdır. x d olmak üzere, her bir U N( x) için U sonsuz ( X, ) bir topolojik uzay ve olsun. Eğer X = U U ise ailesine X U kümesinin bir açık örtüsü denir. Eğer X in her açık örtüsünden sonlu bir alt örtü seçilebiliyorsa ( X, ) uzayına kompakttır denir. Kompaktlık topolojik bir özelliktir. Bir topolojik uzayın her açık örtüsünün sayılabilir bir alt örtüsü varsa bu topolojik uzaya Lindelöf uzayı denir. Bu tanımdan her kompakt topolojik uzayın bir Lindelöf uzayı olduğu hemen söylenebilir. Her ikini sayılabilir uzay da bir Lindelöf uzayıdır. 8

15 1.2.Yerel Fonksiyon Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) I bir X kümesinin alt kümelerinin boştan farklı bir ailesi olsun. I ailesi, i. I ve B ise B I ii. I ve B I ise B I koşullarını sağlıyorsa, bu aileye X üzerinde bir ideal denir. Tanıma göre I bir ideal ise Örnek X kümesi verilsin. { } If = X: sonlu { } I = X: sayılabilir I olduğu açıktır. { } In = X: hiçbir yerde yoğun değil şeklinde tanımlanan I f, I ve In aileleri X üzerinde birer idealdir. Tanım ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. X kümesi için, şeklinde tanımlanan ( I,) ( I,) = { x X: U N(x)için U I} = kümesine, kümesinin yerel fonksiyonu denir. Örnek ( X, ) topolojik uzayı ve I = { }, I P( X) Burada P X, X in kuvvet kümesidir. X alt kümesi için, 1 2 = idealleri verilsin. dır. = I, l 1 I,= 2 Örnek ( X, ) topolojik uzayı bir 1 T uzayı olsun. Bir X alt kümesinin d yığılma noktalarının kümesi { x X: U N(x)için U sonsuz} = şeklinde 9

16 d tanımlanır. Bu taktirde ( I f,t1 ) kümelerinin idealidir. Gerçekten, = dir. Burada I f,x kümesinin sonlu alt ( f 1) = { f} I,T x X: U N(x)için U I ve I f eleman sayısı sonlu kümelerin ideali olduğundan U sonsuz elemanlıdır. Örnek X, bir topolojik uzay, X ve x X olsun. Eğer, U N(x) için U sayılamaz bir kümedir. koşulu sağlanırsa x noktasına kümesinin bir yoğunlaşma noktası denir. O halde, ( ) = { } = { x X: U N(x)için Usayılamaz} I, x X: U N(x)için U I dir. Burada I X kümesinin sayılabilir alt kümelerinin idealidir. Sonuçta bir kümesinin yoğunlaşma noktalarının kümesi I, dir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay; I,I 1 ve I 2 X üzerinde idealler ve, B i. B ise ii. I1 I2 X olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: B dır. ise ( I ) ( I ) iii. iv. ( ) dır. 1 2 I, kümesi X in kapalı bir alt kümesidir. dır. v. ( B)( I) ( I) B ( I) = dır. vi. ( I) B ( I) ( B)( I) B ( I) ( B)( I) = dır. vii. U U ( I) U ( U )( I) ( U )( I) = dır. viii. I I I ( I) ( I) ( I ) ( I) = = dır. İspat: i. için U Ι yazılabilir. x U N x 10

17 B olduğundan U B U olur. U Ι ve idealin tanımından B U Ι dır. O halde Ι 1 2 x B ve buradan da ii. x ( Ι ) U Ν ( x) B elde edilir. 2 için U Ι 2 Ι olduğundan U Ι 1 ( Ι ) ( Ι ) elde edilir. 2 1 ve buradan x Ι olur. Sonuçta, 1 iii. l ( ) olduğunu göstermek yeter. Burada l, topolojisine göre kapanışıdır. Kapanış noktasının tanımına göre, kümesinin x l U Ν x için y U olsun. y y U V Ν y U dır. için V Ι y U yazılabilir. Özel olarak V = U seçilirse, U Ν ( x) için U Ι elde edilir.yani l olur. iv. ( ) ( Ι ) U ( Ι ) y U x = Ι Ι U Ν x için Ι U Ι olsun. ( Ι ) Ν y y U V y içinv Ι y U x dır. Sonuçta V = U seçilirse, U Ν ( x) içinu Ι elde edilir. Yani ( Ι ) x = dır. Sonuçta, v. bulunur. x B Ι U Ν x için B U Ι U Ν x için U B U Ι 11

18 U Ν x için U Ι B U Ι ( Ι ) ( Ι ) x x B ( Ι ) ( Ι ) x B Buradan ( B)( Ι ) ( Ι ) B ( Ι ) = elde edilir. vi. x ( Ι ) B ( Ι ) x ( Ι ) x B ( Ι ) iddia: x ( B) ( Ι ) dır. Gerçekten, x ( B) ( Ι ) V Ν x :V B Ι 1 1 olurdu. yrıa x B ( Ι ) olduğundan, V Ν x :V B Ι olur. U V1 V2 2 2 = seçelim. O halde U Ν ( x) olsaydı, için, U ( B) I ve U B I dır. Buradan, U B U B = U B = U U B I elde edilir ve buradan da U Ι çelişir. O zaman x ( B) ( Ι ) veya, olmalıdır. Bu durum x ( Ι ) doğrudur. Bu sonuç, ( Ι ) ( Ι ) ( )( Ι ) B B ( Ι ) ( Ι ) ( )( Ι ) ( Ι ) B I B B B olması ile 12

19 ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) B B B I olduğunu gösterir. O halde, ( Ι ) ( Ι ) x B B olsun. U Ν x içinu B Ι x B Ι yazılır. U ( B) U olduğundan U Ι dır. olur. Sonuçta, elde edilir. U Ν x içinu Ι x B Ι ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) x x B x B ( B)( Ι ) B ( Ι ) ( Ι ) B ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) = ( ) ( Ι ) ( Ι ) B B B vii. U olsun. ( Ι ) ( Ν Ι ) x U x U V x V Ν x U U Ν x U V x dir. O halde, V Ν ( x) için V ( U ) Ι x ( U )( Ι ) yazılabilir. x U olduğundan, x U ( U ) ( Ι ) bulunur. 13

20 ( Ι ) ( Ν Ι ) x U U x U V x V U = olsun. O halde Ν V U V V x V Ι olur. Dolayısıyla x U x ( Ι ) x U ( Ι ) dır. Buradan, U ( U )( Ι ) U ( Ι ) eşitliği doğrudur. viii. Ι olur. Sonuçta, ( Ι) ( Ι ) U U U = Ι olsun. O halde her bir U X için, U Ι Ι olduğundan U Ι Ι dır. O halde, yazılabilir. Buradan, olur. vi. özelliğinden, { x X: U ( x) U } = = Ι Ι Ν Ι Ι ( Ι )( Ι ) = ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) bulunur. yrıa Ι ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) olduğundan ( Ι )( Ι ) ( Ι ) = yazılabilir. 14

21 1.3. Kuratowski Kapanış Operatörü Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) P( X ), X kümesinin kuvvet kümesi olmak üzere, fonksiyonu,. : PX PX i. = ii. PX için iii., B PX B = B için iv. PX = özelliklerini sağlıyorsa, bu fonksiyona Kuratowski Kapanış Operatörü denir. { } = U PX : X U = X U PX ailesi, (.) Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir. Gerçekten, 1. (.) fonksiyonunun i ve ii özelliklerinden, = = = X X X X X X PX X X X X = X ( X ) X = 2. U1, U2 keyfi iki küme olsun. 15

22 X U = X U 1 1 X U = X U 2 2 ( X U ) ( X U ) ( X U ) ( X U ) = (.) operatörünün iii özelliğinden, X U U = X U X U = X U X U K { U X : U U } U1 U2 = X U U = = ailesini tanımlayalım. 1 2 Her K için K I U = I U dir. Gerçekten, U K U K öte yandan, her bir U K için, ve buradan, I U = I U I U = I U U K U K U K U K I U U = U I U U U K U K ( I U ) I U ( I U ) U K U K U K U I = I U K U K U bulunur. I U = I U olduğundan, U K U K 16

23 I U = I U = I U = I U U K U K U K U K elde edilir. keyfi bir alt aile olsun. Her bir U için, X U ( X U) = olduğundan, ( X U U) X U U = I X U = I X U = I X U U U U U = U dir. Yani U U dir. U O halde bir topolojidir. yrıa, { : } K = U X U = U ile tanımlanan K ailesi, topolojisine göre kapalı olan kümelerin ailesidir. Lemma X kümesi verilsin. d : PX P( X) fonksiyonu, i. d ( ) = ii. d( B) = d d( B) iii. d( d ) d koşullarını sağlasın. Bu taktirde, (.) : PX PX fonksiyonu bir Kuratowski kapanış operatörüdür. d İspat: PX için( ) = olduğunu göstermek yeter. = ile tanımlı (.) ( ) = ( d ) = d d( d ) = ( ) = d d d d = d = 17

24 ( X, ) bir topolojik uzay, Ι X üzerinde bir ideal olsun. O halde, (). :P(X) P(X), ( I, ) = ile tanımlı (). fonksiyonu lemma nin tüm koşullarını sağlar. Bu durumda Kuratowski kapanış operatörüdür. şeklinde tanımlanan l = ile tanımlı l fonksiyonu bir { } = I, = U X: l X U = X U ailesi, l operatörüyle üretilen topolojidir. I ideali, I = { } olarak seçilirse, = l() olduğundan l = l olur ve = elde edilir. I ideali, I = P( X) olarak seçilirse, = olduğundan l = olur ve = P(X) elde edilir. I X üzerinde keyfi bir ideal ise yazılabilir. Yani topolojisi topolojisinden daha inedir. topolojisi, topolojisinden daha ine bir topoloji olduğundan herhangi bir P( X) kümesi için aşağıdaki önermeler sağlanır: (a) d d d (b) x U N(x) U {x} I () d (d) {x} I olsun o halde d x x Burada d ve d, kümesinin sırasıyla ve noktalarının kümesidir (Türev kümesi). topolojilerine göre yığılma 18

25 P( X) kümesi verilsin. topolojisine göre kapalı olması için Çünkü, topolojisinin kapalı kümeleri koşulu sağlanmalıdır. X Şimdi topolojisinin tanımından, kümesinin koşulunun sağlanması gerekir ve yeter. l = = olduğundan topolojisinin açık kümelerini belirleyelim. U kümesi topolojisine göre kapalıdır. Buradan, yazılır. O halde, ( X U) X U U X ( X U) U olsun. O halde x U x (X U) V N(x) öyle ki V (X U) I olur. I = V (X U) denirse, x V I U olur. Gerçekten, sonuç olarak, a V I a V a I a V a X U a X U a U U V I I:V I U önermesi yazılabilir. O halde aşağıdaki teorem ispatlandı: Teorem ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman, ( I, ) { V I:V I I} β = β = ailesi topolojisinin bir bazıdır. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I 1 ve I 2 X üzerinde iki ideal, X olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur: (a) ( I I, ) = ( I, ) ( I, ) (b) ( ) I I, = I, I, I, I,

26 İspat: (a) x ( I I,) olsun. O halde, 1 2 U N(x) U I1 I2 yazılır. Buradan, U I1 veya U I2 dır. yrıa, önermesi doğru olduğundan ispat biter. (b) ( ) ve böylee x ( I, ) ( I, ) M I1 I2 M I1 M I2 x I I, U N(x) U I I U I I I I I I U I I Burada I 1 I 2 = seçelim.bu seçim genelliği bozmaz.çünkü, ( ) dir. yrıa I I I I I I I1 I1 I2 I2 = I1 I2 olur. O halde, U I I U I I U I I ( ) ( ) ( 2 ( 1 ) ) ( 1 ( 2 ) ) ( ) U I = U I I U I = U I I x I, I, I, I, ( 2 1 ) ( 1 ( 2 )) x I, I, I, I, dır. yrıa, I I I I M I I M I I M I I önermesi doğru olduğundan ispat biter. Sonuç ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman, = ( I, ) ve I, ( I, ) = olmak üzere, = eşitliği doğrudur. 20

27 İspat: Teorem (b) den I1 I2 I = = alınırsa, ( I, ) I, ( I, ) halde, her bir X için l = l olaağından kapalı kümeleri aynıdır. Yani = 1.4. Topoloji ile İdealin Uyuşması = olur. O ve topolojilerinin Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun her X için, x U N(x):U I I önermesi doğruysa topolojisi ile I ideali uyuşur denir ve I ile gösterilir. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) I X üzerinde bir ideal ve Λ sayılabilir bir indis kümesi olsun. Her bir λ Λ için I I idealine bir σ _ideal denir. iken { I : } λ λ λ Λ U I oluyorsa, I Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir kalıtsal Lindelöf uzayı ve I X üzerinde bir σ _ideal olsun. O zaman I dır. İspat: X olsun. x = { } ailesi, U U :x X ve bir U N( x) X için UX I olsun., alt uzay topolojisine göre kümesinin bir açık örtüsüdür. Λ sayılabilir bir indis kümesi olmak üzere, ( X, ) Lindelöf uzayı olduğundan, kümesinin kalıtsal U açık örtüsünün { V : } λ λ Λ şeklinde sayılabilir bir alt örtüsü vardır. Yani, = { V : } U λ λ Λ dır. Vλ I ve I bir σ _ideal olduğundan I olur. Böylee I elde edilir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. aşağıdakiler denktir: (a) I dır. 21

28 (b) U { U :U I} = ailesi kümesinin bir örtüsü ise, I dır. () Her bir X için (d) Her bir X için = I dır. I dır. (e) _kapalı olan her bir kümesi için I (f) X kümesi içermiyorsa I dır. B B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B kümesini İspat: (a) (b) U ailesi kümesinin bir örtüsü olsun. O halde her bir x için x i içeren öyle bir I olur. U x komşuluğu vardır ki Ux I dır. I olduğundan (b) (a) Uyuşmanın tanımı doğrudan verilmiştir. İspat açıktır. (a) () I ve X olsun. O halde, x U N(x): U I I dır. = ise x olur. Böylee, U N(x):U I yazılır. I olduğundan I olmalıdır. () (a) X için edilir. Böylee, = olsun ve x verilsin x elde U N(x):U I yazılır. Hipotezden I olduğundan I olur. (a) (d) I ve X olsun. x ( ) verilsin. O zaman, x x x U N(x):U I yazılır. ( ) U U olduğundan I olduğundan I elde edilir. U I yazılır. 22

29 (d) (a) Her bir X için I olsun. X ve x ( ) verilsin öyleki, x U N(x):U I sağlansın. O halde ( ) = olur. Hipotezden Buradan I olduğu bulunur. (a) (e) çıktır. ((a) (d) den dolayı.) = I yazılır. ki, (e) (a), _ kapalı olsun. O halde dır. X verilsin öyle x U N(x):U I sağlansın. Bu durumda ( ) = dir ve ( ) halde hipotezden, yazılır. I ( ) ( ) ( ) ( ) elde edilir. O halde = = olduğundan, (a) (f) I dır. = I I ve X kümesi B kümesi _ kapalıdır. O B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B kümesi içermesin. Hipotezler altında kabul edelim ki I olsun. O zaman I olduğundan, x : Ux N( x) için Ux I dır. Dolayısıyla B= { x} alırsak x B olur. Buradan Dolayısıyla I olmalıdır. B olur. Bu ise hipotez ile çelişir. B ve B 23

30 (f) (a) X kümesi kümesi içermiyorsa I olsun. B B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. I ise aşağıdakilere denktir: (a) Her bir X için (b) Her bir X için ( ) = = = () Her bir X için = İspat:(a) (b) = = olsun. ve olduğundan = ise = olur. Dolayısıyla ( ) = dir. (b) () Her bir X için ( ) şeklinde yazılabilir. = olsun. = ( ) yrıa B = B B olduğundan, yazılabilir. Hipotez gereği, = = = olduğu sonuuna ulaşılır. ( ) () (a) Her bir X için = olsun. Eğer = ve hipotezden = olur. = ise (a) (b) () (a) olduğundan teorem ispatlandı. 24

31 Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay ve I ile uyuşan bir ideal olsun. kümesinin _ kapalı olması için gerek ve yeter şart _ kapalı bir kümeyle I idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilmesidir. İspat:, _ kapalı olsun. O halde dır. Buradan = ( ) yazılabilir. Teorem (e) den olduğundan gereklilik ispatlanır. I ve teorem iii. ile _ kapalı = B I,I IveX B olsun. O zaman I = olduğundan = = = olur. Yani B I B l B B kapalıdır. dir, ve buradan, _ Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. I ise, (,I) { U I :U ve I I} β = β = ailesi bir topolojidir. Yani β = dir. İspat: _ kapalı olsun. X dır. β ailesi için bir baz olduğundan X β olduğunu göstermek ispatı tamamlar ile _ kapalı olduğundan, teorem = X U I,U ve I I şeklinde yazılabilir. Buradan, X = X X U I = X X U I = U I = U I yazılır. O halde X β dır. Yani β = dır. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) topolojik uzayının kalıtsal Lindelöf olması için gerek ve yeter şart kümelerinin idealidir. I olmasıdır. Burada I X in sayılabilir alt 25

32 İspat: Sayılabilir kümelerin sayılabilir sayıdaki birleşimleri de sayılabilir bir küme olduğundan gösterelim. I bir σ _ idealdir. Teorem den gereklilik açıktır. Yeterliliği I olsun, fakat ( X, ) kalıtsal Lindelöf olmasın. O halde X in sayılmayan öyle bir alt kümesi vardır ki her bir x için U sayılabilir olaak şekilde bir U N(x) vardır. Buradan ( I ) = ve I şartlarını sağlayan bir kümesi vardır. Fakat I olduğundan Teorem () ye göre I olmalıydı. Çelişki. O halde ( X, ) kalıtsal Lindelöf uzayıdır I f yi İçeren İdealler gösterileektir. I f ile bir X kümesinin sonlu elemanlı alt kümelerinin ideali Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman her x X için { x} I olması için gerek ve yeter şart her X için d = olmasıdır. Burada göre yığılma noktalarının kümesidir. İspat: x d x U U ( { x} ) d, kümesinin ( {}) ( {}) ( {}) x l x x x x ( {}) x x = önermesi doğru olduğundan, eğer { x} I I I X, topolojisine I ise {} x = d olaağından, x x önermesi sağlanır. Böylee d = elde edilir. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) X, bir topolojik uzay, X olsun. Eğer d ise kümesine kendi içinde yoğundur denir. Burada kümesinin topolojisine göre yığılma noktalarının kümesidir. d, 26

33 Kendi içinde yoğun ve kapalı bir kümesine mükemmel küme denir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde topolojisiyle uyuşan bir ideal ve her bir x X için { x} I olsun. Eğer X kümesi _ kapalı bir küme ise, topolojisine göre mükemmel bir kümeyle I idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilir. İspat: _ kapalı olsun. O halde = I şeklinde yazılabilir, burada I I dır.yrıa I ( ) = dır. ( ) = olur ve buradan kapsamı doğrudur. I olduğundan d = bulunur. Teorem ile = ( ) elde d d edilir. ( ) ( ) olduğundan ( ) d olur. Bu yüzden, topolojisine göre mükemmel bir kümedir. = I olduğundan ispat biter. Sonuç (Cantor Bendixson Teoremi) ( X, ) kalıtsal Lindelöf uzayı (veya ikini sayılabilir uzay) olsun. O halde X kümesi biri mükemmel diğeri sayılabilir olan iki kümenin birleşimi şeklinde yazılabilir. İspat: Teorem ile I dir, burada I X in sayılabilir alt kümelerinin idealidir. I idealinin tanımından her bir x X için { x} I dir. = X seçilirse teorem nin koşulları sağlanır. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) X, bir topolojik uzay, X olsun. Eğer d = ise kümesine ayrık küme denir. Eğer kümesi kendi içinde yoğun boştan farklı bir küme içermiyorsa bu kümeye aralıklı küme denir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. şağıdakiler denktir: 27

34 (a) I ve her bir x X için { x} I (b) ( X, ) uzayındaki aralıklı kümeler I idealindedir. () ( X, ) uzayındaki ayrık kümeler I idealindedir. İspat: (a) (b) X olsun. Teorem ile (b) sağlanır. d = ve teorem (f) ile (b) () Tanımlar karşılaştırılırsa aralıklı bir küme aynı zamanda ayrıktır. O halde (b) () ispatlandı. () (a) Her bir x X için { } olsun. O zaman O halde kümesi, d x ayrık olduğundan { x} I dır. X = olduğundan ( X, ) uzayında olaaktır. I olur. Teorem (d) ile I elde edilir. Böylee teorem ispatlandı. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, sayılabilir alt kümelerinin ideali olsun. şağıdakiler denktir: I X in (a) ( X, ) kalıtsal Lindelöftür. (b) ( X, ) kalıtsal Lindelöftür. () I kümesi (d) I kümesi X, uzayında aralıklı ise I I dir. X, uzayında ayrık ise I I dir X=X Koşulunu Sağlayan Uzaylar Tanım (Jankoviç ve Hamlet, 1990) Eğer U int( lu ) X, bir topolojik uzay, U olsun. = koşulu sağlanıyorsa U kümesine düzenli açık küme denir. 28

35 bazdır. Gerçekten, olduğundan { ( )} R S = U :U = int l U ailesi X üzerinde yeni bir topoloji için a) Her X int( l) için daima int l( int( l) ) b) U ve her X için, U,V R S ise ( ( )) = int l U int lu int l U V R olur. R S ailesini baz kabul eden topoloji topolojisinin yarı_düzenleştirilmişi denir. kabadır. Yani S uzay denir. dır. Eğer S S = dır. S ile gösterilir. S topolojisine S topolojisi topolojisinden daha = koşulu sağlanırsa topolojisine yarı_düzenli Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. şağıdakiler denktir: (a) X = X (b) I = { } () I I int( I ) = (d) U için U U İspat: (a) (b) x X x X U N(x) X U I { } U N(x)U I I = 29

36 (b) () I I olsun. int( I ) olsaydı, x I için x in bir U açık komşuluğu U I olaak biçimde bulunurdu. O halde U I olurdu. Bu hipotezle çelişir. O halde int( I ) = dir. () (d) U ve x U olsun. x U olsaydı, x V :U V sağlanırdı. = V U olduğundan I = V U seçilirse, I I ve int( I ) olur. Bu sonuç hipotezle çelişir. O halde x U olmalıdır. Yani U U dır. (d) (a) U için U U olduğundan özel olarak U X = seçilirse X X X olaağından X = X elde edilir. Teorem de Çünkü X ( I, ) X ( I, ) X, topolojik uzayı = eşitliği sağlanır. X, uzayı ile değiştirilebilir. Lemma (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) ve ( X,σ ) birer topolojik uzay, σ olsun. Her bir V σ için l ( V) = lσ ( V) ise S = σs dir. { } { } İspat: R = U : U = int ( l ( U) ) ve σ V σ :V intσ ( lσ ( V) ) R = = aileleri sırasıyla S ve δ S için birer bazdır. σ R R σ dır. V σ olduğundan lv = l Vdir. σ σ olur. Daima V int ( l V) olduğundan R olsun. V lduğundan σ int l V = int lv int l V = V σ σ σ int lv = V olur. Böylee V R olur. O halde Rσ R dır. Buradan R =R σ ve dolayısıyla S = σ dir. S Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X = X olsun. O zaman S ( ) s = dir. 30

37 İspat: V olsun. O zaman teorem den açıktır ki V ve buradan da l( V) l ( V) olur. l ( V) l( V) l V sağlandığından lv l ( V) = bulunur. Lemma gereği S ( ) V V dır. Böylee her zaman = dir. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X İspat: = X olsun. Eğer = = olduğundan ispat biter. s s X, yarı düzenli ise, o zaman = dır. Lemma (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. O zaman ( )( I ) = ( I) eşitliği doğrudur. Burada { } I = I : I I ile tanımlı üzerindeki idealdir. İspat: β = { V I :V ve I I } ailesi ( I ) = { ( ) } ailesi de ( I ) γ U I :U ve I I topolojik uzayının, topolojik uzayının bazlarıdır. S V U :V = U J I I I : J = I olduğundan, yazılabilir. Buradan β γ V J = V J = U I ( U) ( I ) ( U) ( U I ) = = = U I ( ) = olduğu elde edilir. O halde ( ) ( I ) ( I) = dır. 31

38 Teorem Eğer X, bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. ise, o zaman ( ) = S ( ) S İspat: I = { } olduğunu gösterelim. U ( I ) olsun. O zaman U I ve öyle bir V vardır ki U V = dır. O halde ( V ) = ve olduğundan V = olur. V V U = bulunur. Yani I { } teorem den ( ) ( )( I ) ( )( I ) ( I) s = dir. O halde teorem den = dir.lemma ya göre de = olduğundan ( ) ( ) s s s = elde edilir. olduğu göz önüne alınırsa = ve Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. Eğer = ise, o zaman ( ) = ( ) dir. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik bir uzay, I X üzerinde bir ideal ve X X I olsun. O zaman = dir. İspat:, B X için B = B B olduğundan X S X S s s X X = X X X = dir. Buradan X X bulunur. yrıa her X için doğru olduğundan ile ( ) ( ) X s = elde edilir. X s X X dır. Böylee X = X ve sonuç

39 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ 2. BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Bu bölümde topolojik ve ideal topolojik uzaylardaki bazı süreklilik çeşitleri inelenerek, bu süreklilik çeşitleri ile süreklilik arasındaki ilişkiler araştırılaaktır. ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. ( X,,I) bir ideal topolojik uzay denir. üçlüsüne Burada l () ile kümesinin bölüm 1.3 de tanımlanan l. Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen 2.1. Süreklilik Çeşitleri Tanım (Levine, 1961) f: ( X, ) ( Y, σ) topolojisine göre kapanışı gösterileektir. bir fonksiyon, x X olsun. f(x) V σ x U : f(u) l (V) önermesi doğruysa, f fonksiyonu x noktasında zayıf süreklidir(ω - süreklidir) denir. X kümesinin her noktasında ω - sürekli olan fonksiyona ω - sürekli fonksiyon denir.(fomin, 1943) σ f(x) V x U : f l (U) l (V) önermesi doğruysa, f fonksiyonu x noktasında θ - süreklidir denir. X kümesinin her noktasında θ - sürekli olan fonksiyona θ - sürekli fonksiyon denir. Not f: ( X, ) ( Y, σ) fonksiyonu θ - sürekli ise ω - süreklidir. Gerçekten olduğundan f ( U) f ( l ( U) ) U l U olur. Tanımlar karşılaştırılırsa hükmün doğruluğu açıkça elde edilir. nak aşağıdaki örnekten de anlaşılaağı gibi ω - sürekli olan bir fonksiyonun θ - sürekli olması gerekmez. σ σ 33

40 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 2},{ 12, },{ 24, },{ 124,, },{ 123,, }} { } σ { { } { } { } { } { } { }{ }} Y = a,b,,d,e, =,Y,a,b,,a,b,a,,b, a,b, ( ) ( σ) fonksiyonu f {(,a),( 1 2,d ),( 3,e),( 4,b) } f: X, Y, ω - süreklidir. Gerçekten, = ile tanımlansın. f i)1 X ve V = {a},v = {a,b},v = {a,},v = {a,b,} veya V = Y olsun. {a,d,e} l σ (V) dir. U { 12, } ii) 2 X ve V Y = olur. = seçelim. f ( U ) {a,d } l ( V) = olsun. Bu durumda bir U kümesi için f ( U) l ( V) olur. iii) 3 X ve V Y σ = olsun. Bu durumda da olan bir U kümesi için f ( U) l ( V) olur. σ lσ V = Y olduğundan 2 U olan lσ V = Y olduğundan 3 U iv) 4 X ve V = {b},{a,b},{b,},{a,b,} veya V = Y olsun. dir. U = { 24, } seçelim. f ( U ) {d,b} l ( V) {b,d,e} l V σ = olur. Bu durumda f ω - süreklidir. nak 1 X için V = {a} kümesini ve 1 U olan herhangi bir U ( ) { } σ { } kümesini seçelim. σ l U = X dir. O halde f l U = a,b,d,e l V = a,d,e dir. O halde f θ - sürekli değildir. Önerme f: ( X, ) ( Y, σ) fonksiyonu sürekli ise θ - süreklidir İspat: x X ve f ( x) V σ olsun. f sürekli olduğundan x U ve f ( U) V olaak şekilde bir U açık kümesi vardır. f sürekli olduğundan l f ( U) dur. ynı zamanda f ( U) V olduğundan l f ( U) f lu dir. Dolayısıyla f ( lu) σ l V olur. Böylee f θ - süreklidir. σ σ σ l V şağıdaki örnekten θ - sürekli bir fonksiyonun sürekli olması gerekmediğini anlarız. σ 34

41 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 1},{ 12, },{ 13, },{ 123,, }} f:x X, f = {( 11, ),( 24, ),( 33, ),( 42, )} ile tanımlı f fonksiyonu θ - süreklidir. Gerçekten, i)1 X ve V olsun. l (V ) = X dir. U = { 1} seçilirse l (U) = X ve ( ) f l U = X l V = X olur. ii) 2 X ve V X ve ( ) = olsun. f l U = X l V = X U { 13, } l V = X dir. U { 12, } iii) 3 X ve V = { 13, },V = { 123,, } veya V X = seçilirse l ( U) = X ve ( ) l U X = seçilirse = olsun. f l U = X l V = X olur. iv) 4 X ve V = { 12, },V = { 123,, } veya V X ( ) U = X seçilirse f l ( U) = X l V = X olur. = olsun. = l V = X dir. l V = X dir. O halde f fonksiyonu θ -süreklidir. Fakat V = { 12, } için 1 f V { 14, } = olduğundan f sürekli değildir. Süreklilik, θ - süreklilik ve ω - süreklilik arasında aşağıdaki gibi bir gerektirme diyagramı verilebilir: Süreklilik θ - süreklilik ω - süreklilik Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X, ) bir topolojik uzay, ( Y, ϕ,i) bir ideal topolojik uzay ve f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) bir fonksiyon olsun. Eğer, x Xve f(x) V ϕ için koşulu sağlanırsa f fonksiyonu ω I x U : f(u ) l (V ) - sürekli fonksiyon denir. 35

42 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Not (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ϕ ϕ olduğundan l ( V) lϕ ( V) dir. O halde her ω I önermenin tersinin doğru olmadığını anlatır. - sürekli fonksiyon ω - süreklidir. nak aşağıdaki örnek bu Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 1},{ 2},{ 12, }}, ϕ = {,X,{ 3},{ 23, }} ve = olsun. f: ( X, ) ( X, ϕ,i) I {,{ 3 }} Gerçekten, f(x) = x fonksiyonu ω - süreklidir. i)1 X ve V = X olsun. O halde U = { 12, } kümesi için 12 f U = {, } l V = X olur. ϕ ii) 2 X ve V = { 23, } veya V = X olsun. U = { 12, } kümesi için 12 f U = {, } l V = X olur. ϕ iii) 3 X ve V = { 3},V = { 23, } veya V = X olsun. U = X kümesi için f U = X l V = X olur. ϕ iv) 4 X ve V = X olsun. U X f U = X l V = X olur. = kümesi için ϕ O halde f fonksiyonu ω - süreklidir. Fakat V = { 3} ϕ kümesi için { 3 } = ve 3 l { 3} = { 3} { 3} = { 3} olur. 3 U = X denirse f U = X l V = { } olur ki bu f fonksiyonunun ω I - sürekli olmadığını gösterir. Önerme f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu sürekli ise ω I - süreklidir. İspat: f sürekli olduğundan x X ve f(x) V ϕ için dir. Öte yandan V V V = l ( V) olduğundan f ( U) l ( V) x U :f U V yazılır. Buradan f ω I - sürekli olur. Önerme nin tersinin doğru olmadığını aşağıdaki örnekten anlarız. 36

43 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 2},{ 124,, }}, ϕ = {,X,{ 13, }} ve = { 4 } olsun. f: ( X, ) ( X, ϕ,i) I,{ } f(x) = x fonksiyonu ω I - süreklidir. Gerçekten, i)1 X ve V = { 13, } veya V = X olsun. O zaman denirse 13 f U = {, } l V = X olur. V = X dir. U = { 13, } ii) x = 2 veya 4, f(x) V = X olsun. O zaman x U = X için f U = X l V = X olur. iii) 3 X ve V = { 13, } veya V = X olsun. O zaman U = X kümesi için f U = X l V = X olur. O halde f ω I - süreklidir. Fakat V {, 13} ϕ olduğundan f sürekli değildir. 1 = için, f V = {, 13} kurulabilir. Şimdiye kadar olan bilgiler ışığında aşağıdaki gerektirme diyagramı Not θ - süreklilik ile Süreklilik θ süreklilik ω I süreklilik ω süreklilik ω I da tanımlı özdeşlik fonksiyonu ω I Örnek deki fonksiyon ise θ süreklidir fakat - süreklilik birbirlerinden bağımsızdır. Örnek - süreklidir, fakat θ sürekli değildir. ω I - sürekli değildir. Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, σ,i) fonksiyonunun 1 1 için f ( V) int f l ( V) ω I - sürekli olması için gerek ve yeter şart her bir V Y kümesi olmasıdır. 37

44 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ 1 İspat: V σ herhangi bir küme ve x f ( V) 1 olduğundan öyle bir x U f l ( V) 1 1 edilir. Böylee f ( V) int f l ( V) olsun. f ω I sürekli 1 ve böylee x int f l ( V) bulunur. x X ve f( x) V σ olsun. O zaman, x f 1 V int f 1 l V 1 dir. ( ) { } 1 1 ( ) U = int f l V f U = f int f l V f f l V l V f fonksiyonunun ω I sürekli olduğunu gösterir. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I = { } olsun. elde olsun. O zaman elde edilir ki bu sonuç O zaman, f :( X, ) ( Y,, I) σ fonksiyonunun ω I sürekli olması için gerek ve yeter şart ω sürekli olmasıdır. İspat: Not den açık. { } I = ideali için örnek e göre her bir Y için = l = l olur. Bu da ispatı bitirir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay ve X olsun. fr = int kümesine nın sınırı denir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu, V ϕ 1 için X f fr V oluyorsa f fonksiyonuna σ ω I sürekli fonksiyon denir. Önerme f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu sürekli ise ω I süreklidir. 1 İspat: V ϕ ve x X f fr ( V) olsun. O halde, 38

45 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ( ) x f 1 fr V f(x) fr V = V int V = V V Dolayısıyla f ( x) V veya f ( x) V f ( U) dır. 1) f(x) V olsun. f sürekli olduğundan öyle bir x U kümesi vardır ki V dir. Dolayısıyla, 1 1 [ ] ( ) 1 U f ( fr ( V) ) = 1 x U X f ( fr ( V) ) f U V V = f f(u) f fr V = 1 olur. Bu sonuç X f fr ( V) kümesinin açık olduğunu gösterir. 2) f(x) V olsun. O halde öyle bir f(x) U ϕ vardır ki U V I olur. 1 f sürekli olduğundan x f U dır. 1 1 İddia: x f ( U) X f fr ( V) dir. Gerçekten, 1 a f U f(a) U dır. U V I olduğundan, 1 ( ) 1 ( ) f(a) V f(a) V V = fr V a f fr V a X f fr V 1 olur. O halde iddiamız doğrudur. Yani X f fr ( V) Böylee önerme ispatlandı. açıktır. şağıdaki örnek önerme nın tersinin doğru olmadığına dair bir örnektir. Örnek X = { 1234,,, }, = { } ϕ = {,X,{ 23, },{ 14, } ve I = {,{ 1},{ 4},{ 14, } olsun. ( ) ( ϕ ),X,{ },{ },{, },{,, }, f: X, Y,,I,f(x) = x fonksiyonu ω I süreklidir. Gerçekten, 39

46 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ i) x = 1 veya 4 ve V {, 14} ϕ 1 = = dir. Böylee f fr ( V) fr V V V = olsun. V ({, }) ii) x = 2 veya 3 ve V { 23, } ϕ 1 = = dir. Böylee f fr ( V) fr V V V halde f değildir. = 14 = olduğundan = ve X = X olur. = olsun. ω I süreklidir. Fakat V { 23, } ϕ V = { 23, } = { 23, } ve = ve X = X olur.o 1 = için f V = { 23, } f sürekli Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart hem ω I sürekli olmasıdır. İspat: Önerme ve önerme den açıktır. ω I sürekli hem de x X ve f(x) V ϕ olsun. f ω I sürekli olduğundan öyle bir vardır ki f ( U) l ( V) dır. x U 1 dir. Böylee x f fr ( V) f(x) fr V ( ) 1 U f fr V kümesi x i içeren açık bir kümedir. ( ) 1 ( ) ( ) Şimdi 1 fr V V int V V V = = olduğundan dir ve f ω I sürekli olduğundan f U f fr V V olduğu gösterilirse ispat tamamlanır. y U f fr V olsun. O zaman y U olduğundan 1 y f fr V olmasını gerektirir. Not ve buradan f ( y) l ( V) f(y) fr V V V dir. Fakat = olur ki bu f(y) V ω I süreklilik ve ω I süreklilik birbirlerinden bağımsızdır. Gerçekten, örnek de tanımlı fonksiyon değildir. O halde bu fonksiyon ω I ω I süreklidir, fakat sürekli sürekli değildir. Örnek deki fonksiyon 40

47 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ise ω I süreklidir, fakat sürekli değildir. Bu yüzden bu fonksiyon ω I sürekli değildir Regüler Uzay, RI- Uzayı ve FI - Uzayı Bu kısımda süreklilik çeşitlerinin denk olduğu durumları ineleyeeğiz. Tanım X, bir topolojik uzay, x X olsun. x noktasının her bir açık U komşuluğu için bu noktanın öyle bir H komşuluğu l ( H) U olaak şekilde varsa ( X, ) topolojik uzayına regüler uzay denir. Yani bir topolojik uzayın regüler uzay olması için gerek ve yeter şart kapalı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanının olmasıdır. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( Y,σ ) bir regüler uzay olsun. ( ) ( σ ) f: X, Y,,I fonksiyonu için aşağıdakiler denktir: a) f süreklidir. b) f θ süreklidir. ) f ω I süreklidir. d) f ω süreklidir. İspat: a b d ve a d gerektirmelerinin sağlandığı önerme , not ve önerme , not ye göre açıktır. d a f ω sürekli ve x X olsun. O halde f x in her V açık komşuluğu için x in öyle bir U açık komşuluğu vardır ki f ( U) l ( V) yazılabilir. ( Y,σ ) regüler uzay olduğundan f vardır ki lσ ( H) V dir. f ω sürekli olduğundan f vardır ki f ( M) l ( H) dir ve böylee sürekli olduğunu gösterir. σ x in öyle bir H açık komşuluğu x in H açık komşuluğu f M V olur. Bu da f fonksiyonunun σ 41

48 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ a b d a ve a d a olduğundan ispat biter. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay, x X olsun. x in her bir açık V komşuluğu için x U l ( U) V olaak şekilde x in bir U komşuluğu varsa ( X,,I) uzayına RI uzayı denir. Tanımdan her regüler uzayın bir RI uzayı olduğu görülür. Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( Y, σ,i) bir RI uzayı olsun. O zaman f: ( X, ) ( Y, σ,i) ω I sürekli olmasıdır. İspat: Gereklilik açıktır. fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart x X ve V Y f ( x ) i içeren keyfi bir açık küme olsun. ( Y,,I) σ bir RI uzayı olduğundan öyle bir W σ kümesi vardır ki f(x) W l ( W) V dir. f ω I sürekli olduğundan öyle bir U kümesi vardır ki x U ve f ( U) V elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Her bir U açık kümesi için l( U) U oluyorsa ( X,,I) uzayı denir. Lemma ( Y,,I) bir FI - uzayı ve f: ( X, ) ( Y, σ,i) uzayına bir FI - fonksiyonu bir ω I sürekli fonksiyon olsun. O zaman her bir V Y açık kümesi için 1 1 ( ) dır. l f V f l V ( ) 1 1 İspat: x l f ( V) f l V olduğunu varsayalım. O halde f(x) l ( V) dir. Buradan f(x) V ve f(x) V dır. Y bir FI - uzayı olduğundan 42

49 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ f(x) l( V) dir. Böylee f W V = dir. V açık olduğundan V l( W) dir. f x i içeren öyle bir W açık kümesi vardır ki = ve buradan V l ( W) = ω I sürekli olduğundan x i içeren öyle bir U X açık kümesi vardır ki dir. Buradan f ( U) 1 1 ( ) olduğundan x l f ( V) f U l W x l f V 1 1 ( ) l f V f l V 1 1 ( ) l f V f l V V = elde edilir. Öte yandan ve böylee = olmalıdır. Buradan dir. Böylee lemma ispatlandı. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) uzayının bir FI - uzayı olması için gerek ve yeter şart her bir U { } kümesi için U I olmasıdır. İspat: ( X,,I) bir FI - uzayı olsun. Öyle bir U { } olduğunu varsayalım. x U olsun. O zaman x l( U) kümesi için U I dır. O halde l( U) U dır. Bu ise bir çelişkidir. O halde U I olaak şekilde bir U { } kümesi yoktur. Her U { } için U I olsun. X in açık bir alt kümesi olsun. x l ise, o zaman x in her bir U açık komşuluğu için U dir. yrıa { } U olduğundan, U I dır. Böylee x O halde l dır. Sonuçta ( X,,I) bir FI - uzayı olur. elde edilir. Böylee teorem ispatlandı. Tanım (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Eğer I = { } I ise I idealine eş_yoğun ideal denir. Sonuç ( X,,I) uzayının FI - uzayı olması için gerek ve yeter şart I idealinin eş_yoğun olmasıdır. 43

50 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Sonuç in ispatı teorem den açıktır. I ideali eş_yoğun bir ideal ise ( X,,I) uzayı bir FI - uzayıdır. Buradan her bir U için U l( U) U olur. Eğer her bir U için U U ise, l U U kümesini kapsayan en dar kapalı küme olduğundan U l( U) U dır ve buradan ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olur. Böylee aşağıdaki sonuç verilebilir: Sonuç ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. I idealinin eş_yoğun olması için gerek ve yeter şart, her bir U için U U olmasıdır. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı ve U olsun. şağıdakiler denktir: a) ( ) U = l U = lu = l U = lu, b) l ( lu) l( l U) l ( U ) = =. İspat:a) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olduğundan U ise lu U dır. Teorem iv ile Böylee U ( lu ) olduğundan lu U U ve U lu = olur. l U U l U U U olduğundan U ( lu ) = ve ( X,,I) dır. uzayı bir FI - uzayı = olur. Sonuçta teorem iii ile l( U ) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olduğu için de l( U) U ispatlanır. = U olur. = olur. Böylee ilk kısım b) U için, 44

51 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ = = = l( U U) = l( l U) = l ( U ) l lu lu lu l U lu dır. Böylee ikini kısım da ispatlanır. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal ve ( Y, σ,i) bir ideal topolojik uzay olsun. O zaman aşağıdakiler denktir: a) f: ( X, ) ( Y, σ,i ) fonksiyonu ω I süreklidir. İspat: a b) Y deki yarı_açık her V kümesi için öyle bir G açık kümesi vardır ki 1 1 G V ve f ( G) int f ( V ) dır. 1 1 ) Y deki açık her G kümesi için f ( G) int f ( G ) dır. b f ω I sürekli ve V ( Y,σ ) uzayında yarı_açık bir küme olsun. O halde öyle bir G σ vardır ki G V l( G) sağlanır. I eş_yoğun olduğundan teorem ile G l( G) l ( G) = = dir. Bundan dolayı = = dir. Teorem ile 1 f ( G) int f 1 l ( G) G V l G f 1 G int f 1 V dır. G V G ve buradan ( ) ve böylee b Her açık küme aynı zamanda yarı_açık olduğundan ispat biter. a I eş_yoğun olduğundan teorem ile G σ için G l ( G) = ve teorem ile de f ω I süreklidir. Böylee teorem ispatlandı. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal, ( Y, σ,i) bir ideal topolojik uzay ve f: ( X, ) ( Y, σ,i) ω I sürekli olsun. O zaman her bir ( ) G σ açık kümesi için l f ( G) f l G = f G dır. 45

52 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ İspat: 1 1 ( ) x l f G f l G dolayısıyla f ( x) G = l( G) dir. Böylee 1 olsun. Teorem ile x f ( G ) f x i içeren öyle bir W σ açık kümesi vardır ki W G = dır.buradan l( W) G = l ( W) G = elde edilir. f ω I sürekli olduğundan x i içeren öyle bir V açık kümesi vardır ki 1 dır. Böylee f ( V) G = dir. x l f ( G) f V l W 1 ve buradan f ( V) 1 1 ( ) ( ) V f G l f G f l G Böylee teorem ispatlandı. olduğundan G olur. Buda bir çelişkidir. O halde = dir. Yani iddia doğrudur. Sonuç (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) ( X, ) ve ( Y,σ ) iki topolojik uzay, ( ) ( σ) ω sürekli olsun. O zaman f: X, Y, 1 1 ( ) l f G f l G dir. İspat : Teorem da I = { } seçilirse σ = σ olaağından ispat biter. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X, ) bir regüler uzay ve ( Y, σ,i) bir FI - uzayı olsun. f: ( X, ) ( Y, σ,i) ve yeter şart ω I sürekli olmasıdır. θ sürekli olması için gerek İspat f θ sürekli, x X ve V f ( x ) i içeren herhangi bir açık küme olsun. f θ sürekli olduğundan x i içeren öyle bir U açık kümesi vardır ki ( ) l( V) dir. O zaman ( Y,,I) f l U ( ) = σ bir FI - uzayı olduğundan, f U f l U l V V V U V l V dir. Buradan f ω I süreklidir. f ω I süreklidir, x X ve V f x i içeren herhangi bir açık küme olsun. f ω I sürekli olduğundan, x i içeren öyle bir açık U kümesi vardır ki 46

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÜKSEK LİSANS TEZİ Ümit CİĞER TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 20 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPOLOJİK GENİŞLEMELER

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA

NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2017 ÖZET NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK Gülşah KAYA Ordu Üniversitesi

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA

FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA Fadhil ABBAS tarafından hazırlanan "FUZZY İDEAL TOPOLOJİK

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı Eylül-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SOFT BAĞLANTILI

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK

T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Merve TELLİOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2016 TEZ ONAY Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü öğrencisi

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1 Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı Zafer ERCAN 1 Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi, her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z,

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology SAÜ. Fen Bil. Der. 17. Cilt, 3. Sayı, s. 371-379, 2013 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar İsmail Osmanoğlu, Deniz Tokat * Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi,

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3 1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m 2010 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A ve @A kümelerini tan mlay

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI. ise < A > nedir?

MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI. ise < A > nedir? MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI 1. Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q + üzerinde x y = xy 2 işlemi tanımlansın. (Q+, ) bir grup mudur? Gösteriniz. 2. (G, ) bir grup olsun. a G olmak üzere her

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? 1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir? 1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI

HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI 12.04.2011 HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI 1. f : A B modül homomorfizması, i : Ker f A kapsama homomorfizması ve p : B B/Im f doğal epimorfizma olmak üzere 0 Ker f A B B/Im f 0 dizisinin

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ Sadi Bayramov 1, Çiğdem Gündüz (Aras) 2, Nesrin Demirci 1 1 Kafkas Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KARS 2 Kocaeli Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KOCAELİ

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır.

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır. . KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x)

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı