Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Transkript

1 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor ise X, X,,X n fonksiyonuna nboyutlu rasgele vektör denir. Rasgele değişkenleri boyutlu rasgele vektör olarak görebiliriz. Bir boyutlu rasgele değişkenlerde olduğu gibi : X, X,,X n A kümesini kısaca X, X,,X n A biçiminde göstereceğiz.,u, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n n boyutlu bir rasgele vektör ise P X,...,X n : BR n R B P X,,X nb P : X,,X n B fonksiyonu bir olasılık ölçüsüdür.br n üzerinde tanımlı P X,X,,X n olasılık ölçüsüne X, X,,X n rasgele vektörünün olasılık dağılımı denir. Şimdi izdüşüm fonksiyonu kavramını hatırlayalım. I j : R n R R R j R n R j x, x,x j,,x n x j fonksiyonu j. bileşeni x j olan tüm elemanları, R n deki 0,..., 0, x j, 0,..., 0 veya R j deki x j elmanına dönüştürmektedir. B R j olmak üzere SB x, x,,x n R n : I j x, x,,x n B Burada SB, B tabanlı silindirdir. SB R R R j B R j R n Tanım:,U, P bir olasılık uzayı, X, X,X n n boyutlu bir rasgele vektör olmak

2 üzere: X j : R j X j I j X, X,,X n fonksiyonuna X, X,,X n n-boyutlu rasgele vektörünün j. bileşen fonksiyonu denir. X j I j X, X,,X n, j,,,n fonksiyonuna kısaca X, X,,X n rasgele vektörünün j. bileşeni diyeceğiz. Bir n boyutlu rasgele vektörün her bileşeni bir rasgele değişkendir. Tanım: X j, X, X,,X n rasgele vektörün j. bileşeni j,,,n olmak üzere P Xj : BR j R B P Xj B P : X j B olasılık ölçüsüne X j nin bileşen (marjinal) dağılımı denir. P Xj, X j nin bileşen dağılımı olmak üzere, B BR j için P Xj B P : I j X,,X n B yazılır. P : X,..., X n R...R j B R j...r n P X,,X nr...r j B R j...r n P X,,X nsb dir. Genellikle P X,X,,X n olasılık dağılımına X, X,,X n rasgele değişkenlerin ortak olasılık dağılımı denir. Hemen şunu belirtelim: Ortak olasılık dağılımı tek biçimde bileşen dağılımlarını belirlemektedir. Ancak tersi doğru değildir. Farklı P X,X,,X n ve P X,X,,X n gibi olasılık ölçüleri örneğin R üzerinde aynı P X bileşen dağılımı verebilir. k n için; I,,,k : R n R k R R R k x, x,,x n I,,,k x, x,,x n x, x,,x k ve X, X,,X k I,,k X, X,,X n P X,X,,X k : BR k R B P X,X,,X k B P X,X,,X nb R k R n olmak üzere X, X,,X k k boyutlu bir rasgele vektördür. Bu rasgele vektörün doğurduğu P X,X,,X k olasılık dağılımına X, X,,X k nın marjinal olasılık dağılımı denir. X, X,,X k k boyutlu rasgele vektörün X, X,,X k bileşenleri ile X, X,,X n n boyutlu rasgele vektörünün ilk k bileşeninin bileşen dağılımları aynı Böylece P X,X,,X k marjinal olasılık dağılımına X, X,,X k rasgele değişkenlerinin

3 ortak olasılık dağılımı da diyeceğiz. Benzer düşüncelerle X, X,,X n n boyutlu rasgele vektörünün bileşenlerinin herhangi bir altkümesinin ortak olasılık dağılımından söz edebiliriz. Tanım: X, X,,X n n boyutlu bir rasgele vektör olsun. F X,X,,X n : R n 0, x, x,,x n F X,X,,X n x, x,,x n P n X i x i fonksiyonuna X, X,,X n rasgele vektörünün dağılım fonksiyonu denir. Karışıklığa yol açmadığı taktirde F X,X,,X n gösterimi yerine kısaca F yazacağız. F fonksiyonu R n de dağılım fonksiyonu olma özelliklerine sahiptir. i Tanım: n boyutlu bir rasgele değişkenin D R n değer kümesi sayılabilir olduğunda X, X,,X n rasgele vektörüne kesikli denir. Tanım: X, X,,X n, kesikli n boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere, f : D R x, x,..., x n fx, x,..., x n PX x, X x,..., X n x n fonksiyonuna X, X,,X n nin olasılık fonksiyonu denir. Kesikli bir X, X,,X n rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu f ise, ) fx, x,,x n 0, x, x,,x n D ) fx, x,,x n x,x,,x nd 3) Fx, x,..., x n... fa, a,..., a n, a, a,..., a n D a x a nx n dir. f olasılık fonksiyonu X, X,,X n nin olasılık dağılımının bilinmesi için yeterlidir. Genelde sayılabilir bir D kümesinde tanımlı ) ve ) özelliğini sağlayan bir fonksiyon, bir çok değişkenli olasılık dağılımı belirler. Bundan sonra x, x,,x n D için fx, x,,x n değerleri söz konusu olduğunda bunları 0 olarak düşüneceğiz.

4 Tanım: Bir X, X,,X n n boyutlu rasgele vektörün F dağılım fonksiyonu, ) fx, x,,x n 0, x, x,,x n R n ) fx, x,,x n dx dx dx n özelliklerini sağlayan bir f : R n R fonksiyonu yardımıyla x Fx, x,,x n x x n fx, x,,x n dx n dx dx olarak yazılabiliyorsa X, X,,X n e sürekli rasgele vektör ve f fonksiyonuna X, X,,X n vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Bir boyutlu rasgele değişkenlerde de belirttiğimiz gibi, n boyutlu sürekli rasgele vektörün F dağılım fonksiyonu birden çok sayıda ve şartlarına uygun f fonksiyonu belirleyebilir. Dağılım fonksiyonu F olan bir rasgele vektörün bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak fx, x,..., x n n Fx, x,..., x n x x...x n, F in türevlenebildiği noktalarda olasılık yoğunluk fonksiyonunu alacağımızı belirtelim. Örnek: U P, PA na/8 olmak üzere X, X boyutlu rasgele vektörün aldığı değerlerin kümesi R R R olmak üzere D 0, 0,, 0,,,,,,,3, R ve X : R, D X I D 0,,, 3 R X : R, D X I D 0,, R

5 A x, x R : x, x,, R B x, x R : x, x, R C x, x R : x, R R D x, x R : x R R E x R : x, R F x R : x R G x R : x, R H x R : x R olmak üzere, bu kümelerin ilgili olasılık uzaylarında olasılıklarını hesaplayalım. A, B, C, D BR, E, F BR, G, H BR için, P X,X A P : X, X A PX, X P,, 3, P X,X B PX, X P, 3, P X,X C PX, X P,, 3, P X,X D PX, X P, 3, P X E PX P,, 3, P X F PX P, 3, P X G PX P,, 3, 4, 5, P X H PX P 3, 4, 5, BR vebr deki kümelerin olasılık ölçülerinibr de P X,X yardımıyla da hesaplayabiliriz. Örneğin,

6 P X H P X,X R H P : X, X R H P : X R, X H P X, X P 3, 4, 5, P X E P X,X E R P : X, X R PX, X 4 8 X, X, X, X rasgele vektörleri kesikli olup, f : D R x, x fx, x PX x, X x f X : D X R x f X : D X R x f X x PX x f X x PX x Đki boyutlu rasgele vektörlerde değer kümesinde eleman sayısı az olduğunda olasılık fonksiyonunun değerleri çapraz tablolarla verilmektedir. Bu örnekteki olasılık fonksiyonunun tablosu aşağıda X X 0 f X 0 /8 0 0 /8 /8 /8 0 3/8 0 /8 /8 3/ /8 /8 f X /8 4/8 /8 Şimdi A, B, C, D, E, F, G, H kümelerinin olasılıklarını yeniden f, f X, f X yardımıyla hesaplalım. fonksiyonları

7 P X,X A PX, X fx, x x x f0, 0 f0, f, 0 f, 4 8 P X,X B PX, X f, x x P X,X C PX, X f, 0 f, 3 8 fx, x x x f0, 0 f0, f0, f, 0 f, f, 4 8 P X,X D PX, X f, x x f, 0 f, f, 3 8 P X E PX f X x x f X 0 f X P X F PX f X 3 8

8 P X G PX f X x x f X 0 f X P X H PX f X 4 8 X, X rasgele vektörünün X, X bileşenlerinin bileşen (marjinal) dağılımlarının olasılık fonksiyonları, f X x fx, x, x D X x olarak yazılabilir. f, f X ve f X f X x fx, x, x D X x fonksiyonlarının grafikleri aşağıda gösterilmiştir. Bu örnekteki olasılık uzayını düzgün bir paranın üç kez atılması deneyinde model olarak kullanırsak X rasgele değişkeni üç atışta gelen turaların sayısı, X ise ilk iki atışta gelen turaların sayısı olacaktır. Örnek: x, y : 0 x, 0 y R, U BR, PA "A nın alan ölçüsü" olmak üzere,u, P olasılık uzayını ele alalım. X, X : R R R X, X X, X x, y olarak tanımlanan X, X fonksiyonu bir boyutlu rasgele vektördür. X, X nin değer kümesi dir. D x, x : x 3, x

9 X, X rasgele vektörübr üzerinde P X,X olasılık dağılımını belirlemektedir. B BR için olmak üzere, örneğin için P X,X B P : X, X B B x, x : x, x P X,X B P x, y : x, y P x, y : 0 x, 0 y dir. için 0 0/ / D x, x : x, x P X,X D 0 X, X rasgele vektörünün I X, X X : R bileşenininbr üzerinde belirlediği bileşen (marjinal) olasılık dağılımı P X olmak üzere, P X A P : X A P X,X A R dir. Örneğin A x :. x. 6 R için

10 P X A Px, y :. x. 6 P x, y : 0. x 0. 6, 0 y / 0. 5 Şimdi X, X nin F dağılım fonksiyonunu bulmaya çalışalım. F : 0, x, x Fx, x PX x, X x olmak üzere, örneğin x, x D için Fx, x P : X x, X x P x, y : x x, y x P x, y : 0 x x, 0 y x x x / D x, x : x veya x olmak üzere x, x D için Fx, x 0 D x, x : x 3, x olmak üzere x, x D için Fx, x dir. D 3 x, x : x 3, x bölgesindeki bir x, x noktası için Fx, x P : X x, X x P x, y : 0 x, 0 y x x / x dir ve D 4 x, x : x 3, x bölgesindeki bir x, x noktası için Fx, x P : X x, X x P x, y : 0 x x, 0 y x /

11 dir. Bu bölgeler ve dağılım fonksiyonunun bu bölgelerde aldığı değerler aşağıda gösterilmiştir. Diğer taraftan, F : R 0, 0, x veya x x x, x 3 x x, x Fx, x x, x 3, x x, x 3, x, x 3, x dağılım fonksiyonu aşağıdaki, f : R R x, x fx, x, 0 x, x 0, diğer yerlerde fonksiyonu yardımıyla x x Fx, x fx, x dx dx olarak yazılabilir. Dolayısıyla buradaki X, X rasgele vektörü süreklidir. Bir boyutlu rasgele değişkenlerde olduğu gibi f olasılık yoğunluk fonksiyonu birtek değildir.

12 Örnek: x, y : 0 x, 0 y R, U BR, PA "A nın alan ölçüsü" olmak üzere,u, P olasılık uzayını yeniden ele alalım. X, X : R R R X, X x, fonksiyonu bir boyutlu rasgele vektördür. X, X nin değer kümesi D x, x : x 3, x X, X rasgele vektörününbr üzerinde belirlediği olasılık dağılımı P X,X olmak üzere için B x, x : x, x P X,X B P : X, X B Px, y : x P x, y : 0 x, 0 y 0 0/ / dir. için ve C x, x : x, x 0 P X,X C 0 D x, x : x, x

13 için P X,X D / dir. için X in marjinal olasılık dağılımı P X olmak üzere, A x R :. x. 6 P X A 0. 5 dir. X nin marjinal olasılık dağılımı P X olmak üzere, bu dağılım x noktasında yoğunlaşmış dağılım X, X nin dağılım fonksiyonu, F : R 0, 0, x veya x x, x Fx, x x, x, x, x, x Şimdi F fonksiyonunun bir f fonksiyonu yardımıyla, x x Fx, x fx, x dx dx biçiminde yazılabileceğini varsayalım. O zaman F in türevlenebildiği noktalarda, fx, x Fx, x x x olmalı. Buna göre f 0 olmakta Dolayısıyla X, X sürekli bir rasgele vektör olamaz. Bundan sonraki kısımlarda sadece kesikli yada sürekli olan rasgele vektörlerle ilgileneceğiz. X, X,,X n kesikli bir rasgele vektör olduğunda X j bileşenin marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu, f Xj x j fx, x,,x n, j,,,n x x j x j x n X, X,,X n sürekli bir rasgele vektör ise f Xj x j fx, x,,x n dx dx j dx j dx n X, X,,X n rasgele değişkenlerin bir kısmının, örneğin X, X,,X k, k n, ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunu bulmak için X, X,,X n nin olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun diğer değişkenler üzerinden toplamı (integrali) alınacaktır. A BR n için P X,X,,X na olasılığını hesaplamak için, kesikli halde,

14 P X,X,,X na x,x,,x na fx, x,,x n toplamını, sürekli halde ise P X,X,,X na fx, x,,x n dx dx dx n A integralini hesaplamamız yeterli olacaktır. Böylece, önceki örneklerde olduğu gibi,u, P uzayına geri dönmemize gerek kalmayacaktır. Örnek: X, X,,X n 3 boyutlu kesikli rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu, fx, x, x 3 c 3 x x x3, x, x, x 3, 0 x 3, 0 x, 0 x 3, x x x 3 4 olsun. a) c sabitinin değerini bulunuz. X, X, X 3 rasgele vektörünün değer kümesi Buna göre D 0,,,,,,,,,, 0,,,, 0,,,,3, 0,,3,, 0 c c c b) X in marjinal dağılımının olasılık fonksiyonunu bulunuz. olmak üzere D X f X 0 f0,, 0,,, f X f,, f,, f X f, 0, f,, 0 f,, 8 35 f X 3 f3, 0, f3,,

15 Diğer bir gösterimle veya tablo olarak f X x 3 4 x 4 x 7 4, x 0,,, 3 X x 0 3 f X x /35 /35 8/35 4/35 yazabiliriz. c) X ve X nin ortak dağılımının olasılık fonksiyonu, D X,X 0,,,,,,, 0,,,,,3, 0,3, olmak üzere, çapraz tablo biçiminde X X /35 0 6/35 6/35 3/35 /35 3/35 3 /35 /35 0 olarak yazılır. Buradan X nin marjinal olasılık fonksiyonu tablo olarak, X x 0 f X x 5/35 0/35 0/35 Örnek: X, X, X 3 3 boyutlu sürekli rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x, x 3 ce 3x x x 3, x 0, x 0, x 3 0 olsun. a) c sabitinin değerini bulunuz. olmalı. Diğer taraftan olduğundan, ce 3x x x 3dx dx dx 3 e ax dx /a 0

16 c 6 c 6 bulunur. Buna göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu yeniden yazdığımızda, fx, x, x 3 6e 3x x x 3, x 0, x 0, x 3 0 olur. b) X in marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X x fx, x, x 3 dx dx 3 6e 3x x x 3dx dx 3, x e 3x, x 0 olarak elde edilir. c) X ve X nin ortak dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X,X x, x 6e 3x x x 3dx3, x 0, x 0 0 0, d.y 6e 3x x, x 0, x 0 0, d.y olarak elde edilir. Örnek: X, X boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,

17 fx, x c0 x x, 0 x, 0 x olsun. a) c sabitinin değerini bulunuz. 0 0 c0 x x dx dx c 0 x x 0 x 0 dx c 9 4x dx c 7 c 7 b) X in marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, 0 0 x 7 x dx, 0 x 0 f X x 7 9 x, 0 x c) X nin marjinal dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,

18 0 x 7 x dx, 0 x 0 f X x 7 9 4x, 0 x d) f, f X, f X fonksiyonların grafikleri aşağıda A x, x : 0 x 0. 5, 0 x 0. 5 B B x : 0 x 0. 5 B C x : 0 x 0. 5 B kümelerinin olasılıklarını hesaplayalım. P X,X A fx, x dx dx A x 7 x dx dx A kümesinin olasılığı, A nın üstünde f fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan cismin hacim ölçüsüne eşittir. P X B f X x dx B x 7 dx B kümesinin olasılığı, B nin üstünde f X fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan yamuğun alan ölçüsüne eşittir.

19 P X C f X x dx C x 7 dx C kümesinin olasılığı, C nin üstünde f X fonksiyonunun grafiğinin altında bulunan kısmın alan ölçüsüne eşittir. Örnek: X ve X rasgele değişkenlerinin ortak dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x c, 0 x x olsun. a) c sabitinin değerini bulunuz. x 0 0 cdx dx c x dx c c b) X ve X nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. 0 f X x dx, 0 x x f X x x, 0 x x dx, 0 x 0 x, 0 x c) f, f X, f X fonksiyonlarının grafikleri aşağıda

20 Şimdi, A x, x : 0 x 0. 5, 0 x 0. 5 B B x : 0 x 0. 5 B C x : 0 x 0. 5 B kümelerinin olasılıklarını hesaplayalım. P X,X A fx, x dx dx A dx dx x 0.5 P X B f X x dx x dx B P X C x dx d) X, X ve X, X rasgele vektörlerinin dağılım fonksiyonlarını bulunuz. 0, x 0 F X x x x, 0 x, x 0, x 0 F X x x, 0 x, x

21 Fx, x x x fx, x dx dx 0, x 0 veya x 0 x x x, 0 x x x x, 0 x, x x, 0 x, x x, x, x Örnek: X, X, boyutlu rasgele vektörünün dağılım fonksiyonu F olsun. A x, x : a x b, c x d kümesinin olasılığını Fa, c, Fa, d, Fb, c, Fb, d ile ifade ediniz. E x, x : x b, x d B x, x : x a, x d C x, x : x b, x c olarak tanımlansın. Buna göre B C x, x : x a, x c Ayrıca, E A B C ve A B C

22 P X,X E P X,X A P X,X B C olmak üzere yazılır. Buradan P X,X A P X,X B P X,X C P X,X B C Fb, d P X X A Fa, d Fb, c Fa, c P X,X A P a X b, c X d elde edilir. Fb, d Fa, c Fa, d Fb, c Örnek: X ve X rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu Fx, x e x e x, x 0, x 0 olsun. a) A x, x : x, x kümesinin olasılığını hesaplayınız. P X,X A P X, X F, F, F, F, e 8 e 5 e 0, b) X ve X nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. fx, x Fx, x x x, x 0, x 0 4x x e x x, x 0, x 0 Şimdi A kümesinin olasılığını yeniden f fonksiyonu yardımıyla hesap-layalım.

23 P X,X A fx, x dx dx A 4x x e x x dx dx x e x dx x e x dx e 4 e e 8 e 5 e 0, c) X ve X nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. f X x 4x x e x x, x 0, x 0 x e x, x 0 f X x 4x x e x x 0 dx, x 0 x e x, x 0 iki ve üç boyutlu rasgele vektörlerde, bileşenler, aynı harfi indislemek yerine, değişik harflerle de gösterilmektedir. Örnek: (X, Y, Z rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, y, z x ye z, 0 x, 0 y, z 0

24 olsun. I x, y, z : x 0 veya y 0 veya z 0 II x, y, z : 0 x, 0 y, z 0 III x, y, z : 0 x, y, z 0 IV x, y, z : x, 0 y, z 0 V x, y, z : x, y, z 0 bölgelerinin herbiri için Fx, y, z değerlerini bulalım. I bölge için: II bölge için: Fx, y, z Fx, y, z 0 x y z x ye z dzdydx x y xy e z III bölge için: Fx, y, z x z x ye z dzdydx x x e z IV bölge için: Fx, y, z y z x ye z dzdydx y y e z V bölge için: Fx, y, z z x ye z dzdydx e z Böylece X, Y ve Z nin ortak dağılım fonksiyonunu bulmuş olduk.

25 Rasgele Değişkenlerin Bağımsızlığı Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n n bu uzayda rasgele değişkenler olmak üzere, X B, X B,,X n B sınıfları (cebirleri) bağımsız ise X, X,,X n rasgele değişkenlerine bağımsızdır denir. Örnek:,U, P bir olasılık uzayı, X : R X c c noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişken ve X herhangi bir rasgele değişken olsun. X B, olmak üzere X B ileubağımsız ve herhangi bir X rasgele değişkeni için X B U olduğundan X B ile X B bağımsız Yani bir noktada yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişken başka herhangi bir rasgele değişkenden bağımsız Örnek:,U, P bir olasılık uzayı, A, A,,A n bu uzayda bağımsız olaylar ve X : R X i a i, A i b i, A i olsun. X i B,, A i, A i, i,,,n olmak üzere X, X,,X n rasgele değişkenleri bağımsız Belli bir olasılık uzayında tanımlı X, X,,X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda X, X,,X n kümesinin birden çok elemanlı her alt kümesindeki rasgele değişkenler de bağımsız Teorem:,U, P bir olasılık uzayı, X, X,,X n bu uzayda bağımsız rasgele değişkenler ve g i : R R x g i x, i,,,n fonksiyonları B B için x : g i x B B özelliğine sahip olmak üzere g i X i g i X i, i,,,n rasgele değişkenleri de bağımsız

26 Đspat: g i X i B X i B, i,,,n olduğunu göstermek teoremin ispatı için yeterlidir. A g i X i B B B için g i X i A B g i X i A B X i A x : g i x B B A X i B Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X i : i I bu uzayda tanımlı rasgele dağişkenlerin bir kümesi olmak üzere, bu kümenin sonlu elemanlı her altkümesindeki rasgele değişkenler bağımsız ise X i : i I kümesindeki rasgele değişkenlere bağımsızdır denir. X, X,,X n, bir olasılık uzayında tanımlı rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun. n, n için X, X,...,, X n ler bağımsız ise X n : n kümesindeki rasgele değişkenler bağımsız Teorem: Bir,U, P olasılık uzayında tanımlı X,,X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olması için gerek ve yeterşart Borel kümelerinin her B, B,,B n seçimi için: olması Đspat: P n X i B i PX i B i i n i X, X,..., X n bağımsız ise tanımdan dolayı teoremdeki eşitlik sağlanmakta Şimdi B, B,,B n B lerin her seçimi için teoremdeki eşitliğin sağlandığını varsayalım. Bu durumda: k, 3,,n, için farklı i, i,,i k sayıları,,,n sayılarının k li bir kombinasyonu ve C i, C i,,c ik herhangi Borel kümeleri olmak üzere olduğunu göstermeliyiz. P k X ir C ir PX ir C ir r k r B i C i, i i, i,,i k R, i i, i,,i k, i,,,n olmak üzere, X R ve PX R olduğunu göz önüne alarak

27 P k X ir r C ir P k X ir r B ir P n X i B i i n PX i B i i elde edilir. k PX ir r C ir Aşağıdaki teoremi ispatsız olarak verelim. Teorem: Bir,U, P olasılık uzayında tanımlı X,,X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olması için gerek ve yeterşart,b 6, a : a R sınıfındaki A, A,,A n kümelerinin her seçimi için olması P n X i A i PX i A i i n i Rasgele vektörler için bağımsızlık tanımı benzer biçimde yapılır. Bir,U, P olasılık uzayında tanımlı sonlu sayıda rasgele vektörün doğurduğu cebirler bağımsız sınıflar ise bu rasgele vektörlere bağımsızdır denir. Örneğin, X, X,,X n ve Y, Y,,Y m,,u, P de tanımlı iki rasgele vektör olmak üzere X, X,,X n BR n ve Y, Y,,Y m BR m sınıfları bağımsız ise bu rasgele vektörlere bağımsızdır denir. Ayrıca, bu vektörlerin bağımsız olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki ve kümelerinin her seçimi için A, a, a, a n, a, a,,a n R n B, b, b, b m, b, b,,b m R m PX, X,,X n A Y, Y,,Y m B PX, X,,X n A PY, Y,,Y m B olmasıdır Şimdi bir X, X,,X n rasgele vektörünün bileşenlerinin veya başka bir ifadeyle ortak dağılıma sahip X,,X n rasgele değişkenlerin bağımsızlığını ele alalım. Bir rasgele vektörün bileşenlerinin bağımsızlık tanımına denk olan aşağıdaki tanımı verelim.

28 Tanım: X, X,,X n rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu F ve marjinal dağılım fonksiyonları F X, F X,,F Xn olmak üzere, her x, x,,x n R n için, Fx, x,,x n F X x F X x F Xn x n oluyor ise bu rasgele değişkenlere bağımsızdır denir. Bağımsız olmayan rasgele değişkenlere bağımlıdır denir. Ortak dağılım fonksiyonunun marjinaller cinsinden çarpanlara ayrılması olarak verilen bağımsızlığın bu tanımlanması ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonları için de geçerlidir. X, X,,X n rasgele değişkenlerinin bağımsız olmaları için gerek ve yeterşart olması Gerçekten, sürekli durum için, fx, x,,x n f X x f X x f Xn x n fx, x,,x n n Fx, x,,x n x x x n df X x dx df X x dx df X n x n dx n ve tersine, Fx, x,,x n x f X x f X x f Xn x n x x n fx, x,,x n dx n dx dx x x x n f X x f X x f Xn x n dx n dx x f X x dx f X x dx x x n f Xn x n dx n F X x F X x F Xn x n Kesikli durum için: Eğer F F X F X F Xn yani X, X,,X n bağımsız ise fx, x,,x n PX x, X x,,x n x n PX x PX x PX n x n dır ve tersine, eğer f f X f X f Xn ise f X x f X x f Xn x n

29 Fx, x,,x n fs, s,,s n s x s x s nx n f X s f X s f Xn s n s x s x s nx n F X x F X x F Xn x n Örnek: X, X, X 3 rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu, Fx, x, x 3 e 3x x x 3 e 3x x e 3x x 3 e x x 3 e 3x e x e x 3, x 0 x 0 x 3 0 olsun. X, X ve X 3 bağımsız mıdır? F X x Fx,, e 3x, x 0 F X x F, x, e x, x 0 F X3 x 3 F,, x 3 e x 3, x 3 0 olmak üzere, x, x, x 3 R 3 için Fx, x, x 3 F X x F X x F X3 x 3 olduğundan X, X ve X 3 bağımsız Bu durumu olasılık yoğunluk fonksiyonlarında gözleyelim.

30 fx, x, x 3 3 Fx, x, x 3 x x x 3 6e 3x x x 3, x 0, x 0, x 3 0 ve f X x f X x f X3 x 3 3e 3x, x 0 e x, x 0 e x 3, x 3 0 olmak üzere, x, x, x 3 R 3 için, fx, x, x 3 f X x f X x f X3 x 3 Örnek: X, X nin olasılık yoğunluk fonksiyonu f X x 4x x, 0 x x olsun. X ve X bağımsız mıdır?

31 f X x x 4x x dx, 0 x 0 x x, 0 x f X x x x, 0 x olmak üzere f f X f X olduğundan X ve X bağımsız değildir. Tanım: Bir rasgele değişkenin f olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun sıfırdan farklı değerler aldığı kümeye destek kümesi denir ve D f ile gösterilir. Yukarıdaki örnek için f fonksiyonunun destek kümesi ve f X, f X fonksiyonlarının destek kümeleri: D f x, x : 0 x x D fx D fx 0, X, X,,X n rasgele değişkenleri bağımsız ve ortak olasılık dağılımı kesikli ise D f D fx D fx D fxn olacağı açıktır. Ortak olasılık dağılımı sürekli ise, olmak üzere, olmalıdır, çünkü a i, b i D fxi, Pa i X i b i 0, i,,,n P a, b a, b a n, b n D f n a i X i b i Pa i X i b i i n i Örnek: X, X boyutlu kesikli rasgele vektörün olasılık fonksiyonu olsun. fx, x cx x, x, x,,,,, 3,,,3, 3

32 D fx,, 3 D fx,, 3 olmak üzere D f D fx D fx olmasından dolayı X ve X bağımsız değildir. Örnek: X ve X nin ortak olasılık fonksiyonu fx, x 36 x x, x, x,, 3,, 3 olsun. Bu durumda X ve X nin bağımsız olup olmadığını hemen söyleyemeyiz. X X 3 f X x /36 /36 3/36 /6 /36 4/36 6/36 /6 3 3/36 6/36 9/36 3/6 f X x /6 /6 3/6 Ortak dağılım tablosundan görüldüğü gibi f f X f X Yani X ve X bağımsız Örnek: olsun. X ve X nin ortak olasılık fonksiyonu fx, x 36 x x, x, x,, 3,, 3 f, /36 f X PX 9/36 f X PX 9/36 olmak üzere f, f X f X olduğundan X ve X bağımsız değildir. Teorem: X ve X nin ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun D f destek kümesi D f A B, A, B R olsun. X ve X nin bağımsız olması için gerek ve yeterşart fx, x hx gx olarak yazılması Burada h nin ifadesinde x ve g nin ifadesinde x bulunmamakta Đspat: X ve X bağımsız ise fx, x f X x f X x Tersine, ise hx gx fx, x hx gx

33 f X x fx, x dx hx gx dx hx c B B f X x fx, x dx hx gx dx gx c ve Diğer taraftan A A hx gx c c f X x f X x fx, x dx dx D f c c f X x f X x dx dx c c A B olmak üzere c c ve böylece fx, x f X x f X x dır, yani X ve X bağımsız Kesikli durum için de ispat benzer biçimde yapılmakta Örnek: X ve X nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x cx x, 0 x, 0 x olsun. Teorem 3.. den dolayı X ve X bağımsız Örnek: X ve X nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x cx x, 0 x, 0 x olsun. Teoreme göre X ve X bağımsız değildir. Örnek: X, X,,X n rasgele değişkenleri bağımsız ve i,,,n için fx i b i a i, a i x i b i olsun. O zaman X, X,,X n n boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu

34 fx, x,..., x n n, x b i a, x,..., x n a, b...a n, b n i i Örnek: X, X,,X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı, fx e x, x 0 olasılık yoğunluk fonmsiyonuna sahip olsun. X, X,,X n nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x,,x n e n x i i, x 0, x 0,,x n 0 Dağılım fonksiyonu F olan bir X, X,,X nm rasgele vektörünün, X, X,,X n ve X n,,x nm altvektörlerinin bağımsız olması için gerek ve yeterşart x, x,,x nm nm için Fx, x,,x nm F x, x,,x n F x n,,x nm olması Burada F ve F sırasıyla X, X,,X n ile X n,,x nm rasgele vektörlerin dağılım fonksiyonları Eğer iki vektör bağımsız ise bu vektörlerin birindeki alt vektörler diğerindeki alt vektörlerden bağımsız Marjinal dağılım fonksiyonların çarpımının ortak dağılım fonksiyonuna eşit olması olarak verilen bağımsızlık kavramı olasılık (yoğunluk) fonksiyonları yardımıyla da benzer biçimde ifade edilebilir. Örnek: X, X, X 3, X 4 vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x, x 3, x 4 x x e x 3x 4, 0 x, x, 0 x 3, x 4 olsun. X, X nin marjinal yoğunluk fonksiyonu, f X,X x, x x x, 0 x, x ve X 3, X 4 un marjinal yoğunluk fonksiyonu,

35 f X3,X 4 x 3, x 4 e x 3x 4, 0 x, x olmak üzere, x, x, x 3, x 4 R 4 için fx, x, x 3, x 4 f X,X x, x f X3,X 4 x 3, x 4 X, X ile X 3, X 4 vektörleri bağımsız f X x x, 0 x ve f X x x, 0 x olmak üzere, f X,X f X f X X ve X bağımsız değildir. X, X 3, X 4 ün olasılık yoğunluk fonksiyonu f X,X 3,X 4 x, x 3, x 4 x e x 3x 4, 0 x, 0 x 3, x 4 olmak üzere x, x 3, x 4 R 3 için f X,X 3,X 4 x, x 3, x 4 f X x f X3,X 4 x 3, x 4 X ile X 3, X 4 bağımsız Benzer biçimde X ile X 3, X 4, X 3 ile X, X, X 4 ile X, X nin bağımsız olduğu gösterilebilir. Koşullu Dağılımlar,U, P bir olasılık uzayı, X : R bir rasgele değişken, A B, P X A 0 olmak üzere, X A verilmişken X in koşullu olasılık dağılımı önceki derslerde verilmişti.şimdi bu kavramı rasgele vektörler için verelim. Tanım:,U, P de tanımlı X, X,,X n n boyutlu rasgele vektörünün olasılık dağılımı P X,X,,X n ve A BR n, P X,X,,X na 0 olsun. B BR n için,

36 P X,X,,X nb/a P X,X,,X nb A P X,X,,X na PX, X,,X n B A PX, X,,X n A olmak üzere P X,X,,X n/a olasılık ölçüsüne X, X,,X n A ve-rilmişken X, X,,X n nin koşullu dağılımı denir. C X, X,,X n A : X, X,,X n A olmak üzere, C,U C, P C de tanımlı ve X, X,,X n nin C ye kısıtlaması olan X, X,,X n /C rasgele vektörünün olasılık dağılımı P X,X,,X n /C P X,X,,X n/a X, X,,X n /C X, X,,X n X,X,,X na rasgele vektörü bir n boyutlu rasgele vektördür. Burada da marjinal dağılımlar sözkonusudur. Örneğin, P Xj /X,X,,X na, X, X,,X n A verilmişken X j nin koşullu marjinal dağılımı olmak üzere, B BR j için j n, P Xj /X,X,,X nab PX ji jr...r j BR j...r n PX,X,...,X na Örneğin A k BR k için ve A A k R k R n C : X, X,,X n A k : X, X,,X n A olmak üzere, P X,X,,X n/x,x,,x k A k koşullu dağılımının marjinal dağılımı olan P Xk,,X n/x,x,,x k A k dağılımına X, X,,X k A k verilmişken X k, X k,,x n rasgele vektörünün koşullu marjinal dağılımı denir. Teorem: X ve X nin ortak dağılım fonksiyonu F ve marjinal dağılım fonksiyonları sırasıyla F X ve F X olsun. x R, P X, x 0 olmak üzere, X, x verilmişken X in koşullu dağılımının dağılım fonksiyonu, F X /X x x Fx, x F X x, x R ve x R, P X, x 0 olmak üzere, X, x verilmişken X nin koşullu dağılımının dağılım fonksiyonu, F X /X x x Fx, x F X x, x R

37 Đspat: X, x olsun. x R için F X /X x x PX x /X x PX x, X x PX x Fx, x Fx Teorem: X, X kesikli bir rasgele vektör ise PX x 0 olmak üzere X x verilmişken X in koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu, f X /X x x fx, x f X x, x D X /X x ve PX x 0 olmak üzere X x verilmişken X nin koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu Đspat: f X /X x x fx, x f X x PX x 0 olsun, x D X /X x için, x D X /X x f X /X x x PX x /X x PX x, X x PX x fx, x f X x Örnek:,, 3, 4, U P, A U, PA na/4 olmak üzere, X, X : R 0, 0, X, X,,, 0, 3,, 4 olsun. X, X nin belirlediği P X,X olasılık dağılımının olasılık fonksiyonu

38 fx, x 4, x, x 0, 0,,,, 0,, olmak üzere olasılık tablosu, X X 0 f X x 0 /4 0 /4 /4 /4 /4 0 /4 /4 f X x /4 /4 A x, x : x R, R olmak üzere, C : X, X A,, 3, PC 3/4 C,U C, P C olasılık uzayında P C i /3, i,, 3 X, X /C rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu f X,X /X x, x 4, x, x 0, 0,,,, 0 Böylece X verilmişken X, X nin koşullu dağılımının olasılık fonksiyonunu bulmuş olduk. Buradan, X verilmişken X nin koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu f X /X x x f X,X /X x, x x /3, x 0 /3, x Şimdi X verilmişken X nin koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonunu bulalım. f X /X x f, x f X, x D x /X 0,, x 0, X, X,,X n n boyutlu bir rasgele vektör ve PX k x k,,x n x n 0 olmak üzere, örneğin X k x k,,x n x n verilmişken, X, X,,X k nın koşullu marjinal dağılımının olasılık fonksiyonu, f X,X,,X k /X k x k,,x nx nx, x,,x k fx, x,,x n f Xk,,X nx k,,x n Örnek: X, X, X 3 3 boyutlu rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu,

39 fx, x, x 3 x x x 3, 5 x, x, x 3, 0, 0,0,, 0,0, 0,,, 0, 0,0,, 0,0, 0,,,, 3 olsun. X, X 3 ün marjinal olasılık fonksiyonu, 3 5, x, x 3 0, 0 f X,X 3 x, x 3 5 x x 3 5, x, x 3, 0,0,, x, x 3, 0,0, 6 5, x, x 3, 3 X 0, X 3 0 verilmişken X nin koşullu marjinal olasılık fonksiyonu, f X X 0,X 3 0x fx, 0, 0 f X,X 3 0, 0 x 3, x D X X 0,X 3 0, Şimdi X 0 verilmişken X, X 3 ün koşullu olasılık fonksiyonunu bulalım. X in marjinal olasılık fonksiyonu, 6 5, x 0 f X x 7 5, x 5, x ve D X,X 3 /X 0, 0,0,,, 0,0, olmak üzere f X,X 3 /X 0x, x 3 f0, x, x 3 f X 0 x x 3 6, x, x 3, 0,0,,, 0,0, Tanım: X, X, sürekli bir rasgele vektör olmak üzere, f X x 0 için f X /X x x fx, x f X x, x I D x

40 fonksiyonuna, X x verilmişken X in koşullu marjinal olasılık yoğunluk foksiyonu ve f X x 0 için f X /X x x fx, x f X x, x I Dx fonksiyonuna, X x verilmişken X nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk foksiyonu denir. Bu tanımı X, X,,X n, n boyutlu kesikli veya sürekli rasgele vektörler için genişletelim. Fonksiyonların tanım kümelerini bir tarafa bırakarak, k n için f X,X,,X k /X k x k,,x nx nx, x,,x k fx, x,,x n f Xk,,X n x k,,x n fonksiyonuna, X k x k,,x n x n verilmişken X, X,,X k nın koşullu marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonu denir. Örnek: X, X, X 3 ün olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx, x, x 3 x x e x 3, 0 x, 0 x, x 3 0 olsun. X /3 ve X 3 3 verilmişken X nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. Đlk önce X, X 3 ün marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmalıyız. f X,X 3 x, x 3 0 x x e x 3 dx, 0 x, x 3 0 x ex 3, 0 x, x 3 0 olmak üzere, f X,X 3, 3 5/6e 0 Böylece

41 f X / X,X 3 x f, x, 3 f X,X 3, 3, 0 x x, 0 x elde edilir. Şimdi X 3 verilmişken X, X 3 ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. f X x x x e x 3 dx3 dx, 0 x 0 0 x /, 0 x olmak üzere, f X 3 5/6 0 Böylece f X,X 3 /X /3x, x 3 f 3, x, x 3 f X 3, 0 x, x x e x 3, 0 x, x 3 0 elde edilir. Örnek: X, X nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

42 fx, x, 0 x x olsun. X /3 verilmişken X nin /, 3/4 aralığında bulunması olasılığını hesaplayalım. X /3 verilmişken X nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu f X /X /3x f 3, x f X 3, 3 x 3, 3 x Buradan, istenen olasılık P X /X /3, 3 4 3/4 3 dx 3/8 Şimdi bu olasılığı aşağıdaki şekil üzerinde yorumlayalım. P X /X /3, 3 4 / / 3/4 f, x 3 dx f X 3 3/4 dx / 3/4 dx / f X 3 dx /3 "EFGH nın alan ölçüsü" "ABCD nın alan ölçüsü"

43 Örnek: X ve Y rasgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu fx, y e xy, x 0, y 0 olsun. A x, y : x 3, y B kümesinin olasılık ölçüsü, P X,Y A P X 3, Y 3 e xy dxdy e 5 e 4 e 3 e Bu olasılık A kümesinin üstünde ve f fonksiyonunun grafiğinin altında kalan cismin hacim ölçüsüne eşittir.

44 X, Y A yani X 3 ve Y verilmişken X, Y nin koşullu dağılımı, B BR için P X,Y/X,YA B P X,Y B/A P X,YB A P X,Y A olmak üzere, bu dağılıma karşılık gelen olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X,Y/X,YA x, y e xy e 5 e 4 e 3 e, x 3, y X, Y A verilmişken Y nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, f Y/X,YA y e y e e, y X 3 verilmişken, X, Y nin koşullu dağılımı P X,Y/X3 x, y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X,Y/X3 x, y e xy e e 3, x 3, y 0 olmak üzere, X 3 verilmişken Y nin koşullu marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,