T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HORNER FONKSİYONLARI YARDIMIYLA MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ MUSTAFA KOÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ŞUBAT-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2 TEZ KABUL VE ONAYI Mustafa KOÇ tarafından hazırlanan Horner Fonksiyonları Yardımıyla Matris Denkleminin Çözümleri adlı tez çalışması 08/03/2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS olarak kabul edilmiştir. Jüri Üyeleri İmza Başkan Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Danışman Doç. Dr. Kemal AYDIN Üye Doç. Dr. Mahir KADAKAL Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. MUSTAFA KOÇ

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ HORNER FONKSİYONLARI YARDIMIYLA MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ Mustafa KOÇ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü MATEMATİK Anabilim Dalı Danışman : Doç. Dr. Kemal AYDIN 2011, 39 Sayfa Jüri: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Doç. Dr. Mahir KADAKAL Doç. Dr. Kemal AYDIN Bu çalışmada, matris denkleminin çözümlerini Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplayan bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlar, düzenli matrisin tersinin, Horner fonksiyonları kullanılarak, 1- Bir sonsuz serinin sonlu toplamlar haline indirgenmesi, 2- Cayley-Hamilton teoreminin birlikte değerlendirilmesi şeklinde oluşan sonuçlardır. Her iki durumda elde edilen sonuçların etkinliği nümerik örneklerle de incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Horner şema metodu, Horner fonksiyonu, Fundamental matris, Matris denklemi, Cayley-Hamilton Teoremi, Ters matris iv

5 ABSTRACT MS THESIS SOLUTIONS OF THE MATRIX EQUATIONS WITH HORNER FUNCTIONS Mustafa KOÇ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor : Assoc. Prof. Dr. Kemal AYDIN 2011, 39 Pages Jury: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Assoc. Prof. Dr. Mahir KADAKAL Assoc. Prof. Dr. Kemal AYDIN In this study, it has been obtained the some results which computing the solutions of the matrix equation with the Horner functions. These results which are 1- the reduction of the infinite sums to the finite sums, 2- the evaluation of Cayley-Hamilton theorem occurs using the Horner functions. The effectiveness of the obtained results in both cases has been investigated with the numerical examples. Keywords: Horner s scheme method, Horner function, Fundamental matrix, Matrix equation, Cayley-Hamilton theorem, Inverse matrix v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü nde yüksek lisans tezi olarak hazırlanmıştır. Çalışma süresince yardımlarını esirgemeyen ve beni her konuda yönlendiren danışmanım Doç. Dr. Kemal AYDIN a teşekkürlerimi bir borç bilirim. Mustafa KOÇ Konya2011 vi

7 SİMGELER χ, : Elemanları F cisminden olan kare matrislerin kümesi : İlaveli matris :. dereceden polinomlar kümesi : matrisinin karakteristik polinomu : matrisinin öz değerleri : Çözüm uzayı (öz uzay) : Öz çift ( -özdeğer, -öz vektör),, :,, fonksiyonlarının Wronskian determinantı : matrisinin rankı : matrisinin tersi,, :,, vektörlerinin gerdiği uzay : Horner fonksiyonları : Matris polinomu : Matris fonksiyonu vii

8 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Vektör Uzay Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık, Wronskian Determinantı Lineer Denklem Sistemi ve Bir Matrisin Tersi Alt Vektör Uzayı ve Taban Özdeğer, Öz Uzay ve Özvektör MATRİS FONKSİYONLARI Horner Şema Yöntemi Horner Fonksiyonu Horner Fonksiyonları Yardımıyla Fundamental Matrisin Hesaplanması Cayley Hamilton Teoremi ve Matris Tersi MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ Sonsuz Matris Serisi Yardımıyla Matris Tersi Hesaplama Cayley Hamilton Teoremi Yardımıyla Matris Tersini Hesaplama Matris Denkleminin Horner Fonksiyonlarıyla Çözümleri Bulguların Matris Denkleminin Çözümüne Uygulanması NÜMERİK ÖRNEKLER SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ EKLER EK 1: Tablo 1. Örnek 5.1 İçin Maple Çıktısı EK 2: Tablo 2. Örnek 5.2 İçin Maple Çıktısı EK 3: Tablo 3. Örnek 5.3 İçin Maple Çıktısı EK 4: Tablo 4. Örnek 5.4 İçin Maple Çıktısı EK 5: Tablo 5. Örnek 5.5 İçin Maple Çıktısı EK 6: Tablo 6. Örnek 5.6 İçin Maple Çıktısı EK 7: Tablo 7. Örnek 5.7 İçin Maple Çıktısı viii

9 1 1. GİRİŞ Son yıllarda, uygulamalı matematik alanında, özellikle kararlılık teorisi ve kontrol teorisinde önemli yer tutan Sylvester matris denklemleri çözümleri üzerine çok sayıda çalışmalar yapılmıştır. Çok sayıda mühendislik probleminde matris denklemlerinin çözümlerinin incelenmesinin önemli bir yer tuttuğu iyi bilinmektedir. Mesela, kare matris, sürekli sistemler için 0 Lyapunov matris denklemi ve 1, kare matris, kesikli sistemler için 0 Lyapunov fark matris denkleminin 0 olan çözümünün olup olmadığının bilinmesi sistemler hakkında önemli bilgiler vermektedir. Genelleştirilmiş Sylvester matris denklemi denkleminin genel olarak sistem teoride uygulama alanları oldukça geniştir. Sürekli ve kesikli sistemler için Lyapunov matris denklemleri, genelleştirilmiş Sylvester matris denklemlerinin birer özel halidir. Bu durum dikkate alındığında Sylvester matris denklemlerinin bir özel hali olan ;, kare matris denkleminin çözümlerinin var olup olmaması, varsa tam çözümünün bulunması oldukça önemlidir. Sylvester matris denklemleri ve özel durumu olan matris denklemlerinin çözümlerini inceleyen bazı çalışmalar aşağıdaki gibi sıralanabilir; Apostol (1969), Langrange-Sylvester enterpolasyon yöntemi olarak bilinen (bak Gantmacher, 1959) yöntemin özel hali Langrange enterpolasyon yöntemini tanıtmış ve farklı ispatını vermiştir. Moler ve Van Loan (1978, 2003), üstel matrisin hesaplanması için 19 farklı yöntem vermişlerdir. Bu yöntemlerden bazıları birbirine benzer yöntemlerdir. Örneğin Langrange enterpolasyon, Newton enterpolasyon ve Vandermonde yöntemleri benzer yöntemlerdir. Bulgakov ve Godunov (1978), lineer denklem sistemleri için çözüm yöntemi olan Conjugate Gradient Yöntem yardımıyla uygulamada oldukça öneme sahip, Sylvester matris denkleminin bir özel durumu olan 0 Lyapunov matris denkleminin çözümleri için algoritma vermişlerdir. Bulgakov ve Godunov (1985), Bulgakov ve Godunov (1978) tarafından verilen algoritmanın hata analizini yapmışlardır.

10 2 Peng ve ark. (2005), matris denkleminin optimal yaklaşık çözümleri ve simetrik çözümleri için bir iteratif yöntem geliştirmişler, bu yöntemle verilen matris denklemi uygun olduğunda denklemin çözülebilirliğinin otomatik olarak elde edildiğini iddia etmişlerdir. Peng (2005), matris denkleminin simetrik çözümlerini bulmak için kalan matrisinin normunun minimizasyonu için bir iteratif yöntem vermiştir. Bu yöntemin simetrik bir başlangıç matrisi ile başlandığında yuvarlama hataları olmaksızın sonlu iterasyonla çözümün elde edildiğini ifade etmiştir. Verde-Star (2005, 2007),, 1, 0 Horner algoritmasının çözümleri olan Horner polinomlarını kullanarak matris fonksiyonları ve fundamental matrisleri hesaplayan açık formüller vermiştir. Sheng ve Chen (2007),,, şeklinde verilen çift matris denkleminin çözümleri için etkili bir iteratif yöntem verilmiş, bu yöntemle aynı zamanda matris denklemlerinin çözülebilirliğinin otomatik olarak tespit edilebildiğini göstermişlerdir. Keskin ve Aydın (2007), lineer cebirsel denklem sistemi için her adımda bir boyut indirgeyen bir metod ( ve bu metoda dayanan iteratif boyut indirgeme algoritması ( vermişler, ayrıca uygulamalar da yapmışlardır. Fanliang ve ark. (2008),, matris denklem çiftinin çözümlerini incelemiş, ayrıca çözülebilirlik için gerek ve yeter şartlar vermişlerdir. Çıbıkdiken ve Aydın (2008), yardımıyla, ( kare düzenli matris, birim matris) matris denkleminin çözümü olarak ters matris hesaplamışlardır. Şahinbay (2010), yardımıyla (, kare düzenli matris, kare matris) matris denkleminin çözümlerini hesaplamıştır. Bilgin ve Aydın (2010a), Horner fonksiyonları yardımıyla sürekli ve kesikli sistemlerin fundamental matrislerinin hesaplanması üzerine sonuçlar vermişler ve bu sonuçları nümerik örneklerle de desteklemişlerdir. Ayrıca Horner fonksiyonları, Putzer fonksiyonları ve bölünmüş fark fonksiyonlarının aynı olduğunu da göstermişlerdir. Bilgin ve Aydın (2010b), Bilgin ve Aydın (2010a) tarafından elde edilen sonuçları kullanarak sürekli ve kesikli sistemler için Lyapunov matris denklemlerinin

11 3 direk çözümlerini hesaplayan açık formüller vermişler ve nümerik örneklerle de desteklemişlerdir. Bu çalışmaların önemli bir kısmı, lineer denklem sistemleri için literatürde var olan bazı iteratif yöntemleri direk veya modifiye ederek matris denklemlerinin çözümlerinin araştırılması şeklindedir. Bu çalışmada, ; kare boyutlu-düzenli matris, boyutlu matris matris denkleminin Horner fonksiyonları yardımıyla çözümleri araştırılacaktır. Metod olarak, genelde Horner fonksiyonlarının, matris fonksiyonlarının hesaplanması üzerine yapılan çalışmalar esas alınacak, özelde ise Bilgin ve Aydın (2010a) ve Bilgin ve Aydın (2010b) tarafından elde edilen sonuçlar esas alınacaktır.

12 4 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışma boyunca dolaylı veya direk kullanılacak bazı temel kavramlar kısaca tanıtılacaktır. Bu kavramlar vektör uzay, alt uzay, lineer bağımlılık bağımsızlık, taban, lineer denklem sistemleri ve çözümlerinin analizi, karakteristik polinom, öz değer, öz uzay, öz vektör, Cayley Hamilton teoremi, matris tersi vb. şeklinde literatürde iyi bilinen kavramlardır. Bu bölümdeki bilgiler (Bulgak ve Bulgak 2001; Taşçı 2007; Morris 1990) kaynaklarından faydalanılarak hazırlanmıştır. 2.1.Vektör Uzay herhangi bir küme ve F cisim olmak üzere, herhangi bir, için ve, için şeklinde çarpma işlemi tanımlansın. Buna göre aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa o zaman ye F cismi üzerinde vektör uzayı denir; ),,, ) olacak şekilde 0, 0 olacak şekilde,,, α,, α,, F,,,,, 1 olacak şekilde 1, vardır. Örnek 2.1.,, kare matris} kümesi matrislerde toplama ve skalerle çarpma işlemine göre bir vektör uzayıdır. Örnek 2.2. : der kümesi polinomlarda toplama ve skalerle çarpma işlemine göre cismi üzerinde bir vektör uzayıdır Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık, Wronskian Determinantı, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.,,, olmak üzere ; 0 ;,,, eşitliğini sağlayan,,, skalerlerinden en az biri sıfırdan farklı ise,,,

13 5 vektörlerine lineer bağımlıdır denir. Aksi takdirde,,, skalerlerinin hepsi sıfır ise,,, vektörlerine lineer bağımsız vektörler denir.,,, vektörleri,,, şeklinde fonksiyon iseler lineer bağımlılık ve bağımsızlık tanımını uygulamak pratik değildir. Bu durumda 1, 2,, fonksiyonlarının Wronskian determinantı,,, şeklinde tanımlıdır. Eğer,,, 0 ise 1, 2,, fonksiyonları lineer bağımsızdır. Örnek ,0,1, 1,2,0 vektörleri lineer bağımsızdır. Gerçekten; 0 a 1,0,1 a 1,2,0 0 eşitliği ancak 0 için sağlanır. Bu nedenle lineer bağımsızdır. Örnek ,, fonksiyonlar kümesi lineer bağımsızdır. Gerçekten;,, olup fonksiyonlar lineer bağımsızdır = Lineer Denklem Sistemi ve Bir Matrisin Tersi ; boyutlu matris, boyutlu vektör, lineer cebirsel denklem sistemini ele alalım. matrisine sistemin katsayı matrisi vektörüne bilinmeyen vektörü, vektörüne de sağ taraf vektörü denilmektedir. Eğer 0 ise lineer denklem sistemine homojen denklem sistemi adı verilir. Bir matrisin lineer bağımsız satır sayısına matrisin rankı adı verilir ve genellikle ile gösterilir. matrisi ilaveli matris olmak üzere, ise lineer cebirsel denklem sistemi tutarlıdır ve bir çözüme sahiptir. Eğer

14 6 1. ise sisteminin tek çözümü, 2. ise paremetreye bağlı sonsuz çözümü, vardır. Eğer ise sistem tutarsızdır ve sistemin bir çözümü yoktur. Homojen lineer denklem sistemleri her zaman tutarlı sistemlerdir. Eğer matrisi kare matris ve ise matrisi düzenli matris (regüler matris), ise matrisi düzenli olmayan matris (singüler matris) olarak adlandırılır. düzenli matris ise, birim matris, olacak şekilde bir matrisi vardır. matrisine matrisinin ters matrisi denir ve ile gösterilir Alt Vektör Uzayı ve Taban olmak üzere V deki bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemime göre cismi üzerinde bir vektör uzayı oluyorsa ya nin alt uzayı denir. Mesela, vektör uzayının tane vektörünü alalım. Bu vektörlerin lineer kombinasyonlarından oluşan,,,,, kümesine,,, vektörlerinin gerdiği (ürettiği) küme denir ve bu küme vektör uzayının bir alt uzayıdır. vektör uzayındaki,,, vektörleri, yi geriyor ve lineer bağımsız ise,,, kümesine nin tabanı (bazı) ve sayısına ise nin boyutu denir. Örnek 2.5. F cismi üzerinde polinomların oluşturduğu der 2 vektör uzayı için 1,, kümesi F cismine göre bir baz oluşturur. Gerçekten S lineer bağımsız ve in elamanlarının S nin elamanları cinsinden yazılabildiği açıktır. S kümesi yerine 1, 1, 1 kümesini ele alalım. uzayı için kümesi de bir baz teşkil eder. Ayrıca ; 1 1 ;,,

15 7 ifade düzenlenirse;, 2,, elde edilir , şeklinde yazılır. Bu ise polinomunun bazına göre yazılabileceğini gösterir ( düzenli matristir ve genellikle ya geçiş matrisi denir). vektör uzayı için 1, 1, 1 2 kümesi de bir baz oluşturur. Şöyle ki ; , 1, olup lineer bağımsızdır ve 2. dereceden bir polinom 1 1 2;,, nin elamanları cinsinden yazılır. Buradan lineer denklem sistemine ulaşılır. Yani, 3, şeklinde yazılır. Bu ise polinomunun bazına göre yazılabileceğini gösterir Özdeğer, Öz Uzay ve Özvektör, cismi üzerinde kare matris, ve vektörü ise N boyutlu vektör uzayının bir elamanı olmak üzere, 0 eşitliğini sağlayan değerlerine matrisinin özdeğerleri denir. A N kare matris, I birim matris ve bir skaler olmak üzere λi A ya A nın karakteristik matrisi, χ

16 8 polinomuna A nın karakteristik polinomu ve χ 0 denklemine de karakteristik denklem denilmektedir. Özdeğerler, karakteristik denklemin kökleri olarak da tanımlanabilmektedir. ' lar nın özdeğerleri olmak üzere; 0 çözüm uzayına λ ya karşılık gelen öz uzay, λ özdeğerine karşılık gelen öz uzayın baz vektörlerine λ ya karşılık gelen öz vektörleri adı verilir.,,, olmak üzere lineer bağımsız vektörleri ile birlikte, ikililerine ise ya karşılık gelen özçiftler denir (Bulgak ve Bulgak, 2001). Örnek matrisi verilsin. A matrisinin öz değerleri 1, 4 bunlara karşılık gelen öz çiftleri ise 1, 1 1, 4,2 olur. 3

17 9 3. MATRİS FONKSİYONLARI herhangi bir polinom ve kare matris olmak üzere;, biçiminde tanımlanır. Ancak in büyük kuvvetleri için bu şekilde hesaplamak pratik değildir. Eğer polinom şeklinde değilse, bu fonksiyonu analiz, fonksiyonlar teorisi derslerinden bildiğimiz seriye açma tekniklerini ve sonsuz serilerin yakınsaklık kriterlerini kullanarak matris fonksiyonu tanımlanabilir. Bir sonsuz mertebeden türevlenebilir bir fonksiyon ise seriye açıldığında; şeklinde ifade edilebilir. Bu sonsuz serinin yakınsaklık bölgesi ise olması durumunda; tanımlıdır (Bronson,1991) Horner Şema Yöntemi Keyfi seçilen bir,,, polinomun şeklinde iç içe ifadeler şeklinde yazılması yöntemine Horner Şema Yöntemi denir (Engeln-Müllges ve Uhlig, 1996; Boehm ve Prautzsch, 2003). Örnek polinomunu Horner şema yöntemiyle biçiminde yazılır.

18 10 in vektör uzay ve 1,,,, kümesinin uzayın standart bazı olduğu iyi bilinmektedir. 1,,, ; 1,,, kümeleri de uzayının diğer bazlarıdır. polinomu ve bazına göre;,, şeklinde yazılabilir ve bu polinoma Horner şema yöntemini uygulanırsa,, olarak yazılabilir (Bilgin ve Aydın, 2010a; Bilgin ve Aydın, 2010b). Örnek polinomu 1 için , , olarak, 1, 2, 3 değerleri için , , olarak yazılabilir Horner Fonksiyonu χ polinomu matrisinin karakteristik polinomu olmak üzere λ fonksiyon χ, der, olacak şekilde λ fonksiyonu ve λ polinomu vardır (bak Bronson, 1991). < n için, eşitliğindeki, 1, 2,, fonksiyonları Horner fonksiyonları olarak adlandırılır ve aşağıdaki teoremlerle açık formüller olarak verilmektedir.

19 11 Teorem 3.1., 1, 2,, değerleri matrisinin özdeğerleri ve Horner fonksiyonları olmak üzere ; ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010a; Teorem 2). Örnek matrisinin özdeğerleri 1 4, 1 2, 1 3 Horner dizileri ise olarak bulunur. 1 4, Uyarı 3.1. Matrisin özdeğerlerinden birisi katlı ise Horner fonksiyonları 1, 1, 2,,, ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010b) Horner Fonksiyonları Yardımıyla Fundamental Matrisin Hesaplanması, kare matris olmak üzere 1, (3.1) şeklindeki denklem sistemini ele alalım. Bu denklem sistemine 1. mertebeden homojen lineer fark denklem sistemi denilmektedir. 0 ( birim matris) başlangıç şartı ile (3.1) sisteminin çözümü olan, matrisi (3.1) sisteminin fundamental matrisidir. başlangıç şartıyla (3.1) sisteminin çözümü ile verilir (bak, Elaydi, 1996; Akın ve Bulgak, 1998).

20 12 Teorem 3.2. Horner fonksiyonları olmak üzere bir matrisinin fundamental matrisi; ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010a; Sonuç 1). Örnek matrisin özdeğerleri 1, 4 ve Horner dizileri olup 1, ,, olarak hesaplanır Cayley Hamilton Teoremi ve Matris Tersi Her karesel matris karakteristik denklemini sağlar. Yani χ 0, matrisinin karakteristik denklemi olmak üzere χ 0, dır (Bulgak ve Bulgak, 2001; Bronson,1991). Cayley Hamilton teoremi yardımıyla düzenli bir matrisin tersini de hesaplayabiliriz; 0 olmak üzere χ 0 dan matrisinin tersi, elde edilir (bak,bronson,1991).

21 13 Örnek matrisinin karakteristik polinomu χ 6 14 olup χ bulunur. Ayrıca , olarak bulunur.

22 14 4. MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ matrisi kare-düzenli matris, matrisi matris olmak üzere matris denkleminin çözümünün şeklinde olduğu açıktır. Bu çalışmanın amacı, matris denkleminin çözümlerini Horner fonksiyonları yardımıyla çözmektir. Bu amaç için, çözümdeki matrisini Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplanması yeterli olacaktır. Şimdi matrisinin Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplanması üzerine bazı sonuçları iki farklı başlık altında inceleyelim Sonsuz Matris Serisi Yardımıyla Matris Tersi Hesaplama matrisi kare-birim matris, 1 olan matris olmak üzere veya şeklindeki, kare-düzenli matrisi ele alalım. Böylece ; matrislerini olarak yazabiliriz. ; Şimdi serisinin hesaplanması üzerine bir teoremi aşağıya verelim. Teorem ve 1, 2,, fonksiyonları Horner fonksiyonları olmak üzere, formülü ile verilir. Burada. dır.

23 15 İspat. 1 1, 2,, olduğundan matris serisi yakınsaktır (bak, Bronson,1991). Bu serideki kuvvet (fundamental) matrisi, Teorem 3.2 den Horner fonksiyonlarına bağlı olarak yazılır ve düzenlenirse, olarak bulunur. Buradan serisi yakınsak seridir. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 4.2., 1, 2,, 1 ve fonksiyonları Horner fonksiyonları olmak üzere, 1 1 ; 1 eşitliği ile hesaplanır. Burada. dır. İspat. 1 olduğundan matrisi tersinir matristir. Ayrıca Horner fonksiyonlarına bağlı olarak Teorem 4.1 den şeklindedir. serisinin yakınsaklığı serisinin yakınsaklığını garantilemektedir. Böylece

24 16 lim olur. Buradan, 1 eşitliğine ulaşılır. 1 ve 1 1, olduğundan 1 1 1, dolayısıyla, olarak bulunur. Bu ise ispatı tamamlar. Sonuç olmak üzere 1- şeklindeki kare-düzenli matrisin tersi 2- şeklindeki, kare-düzenli matrisin tersi eşitliği ile verilir. İspat. Sonucun ispatı ; eşitliklerinden açıktır.

25 Cayley Hamilton Teoremi Yardımıyla Matris Tersini Hesaplama, kare-düzenli matris olmak üzere Cayley Hamilton teoremi ile bir matrisin tersinin nasıl hesaplanacağı kısım 3.5 de kısaca tanıtılmıştı. Bu yöntemle Horner fonksiyonlarını birlikte kullanarak bir matrisin tersini hesaplamak için bir formül vereceğiz. Teorem 4.3., kare-düzenli matris ve fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere 1 1 ile hesaplanır. İspat. Cayley Hamilton teoreminden 1 ; olduğu açıktır. Ayrıca Teorem 3.2 den dir. (4.1) i, (4.2) de yerine koyup düzenlersek elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar. Sonuç 4.2., kare-düzenli matris,, 1, 2,, olan bir matris ve fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere ile hesaplanır. 1

26 18 İspat. Teorem 4.3 den dir. Ayrıca Teorem 3.1 den dir. 4.3) ü, 4.4 de yerine koyup düzenlersek elde edilir. olduğundan olarak bulunur. Yardımcı Teorem 4.1. χ eşitliği doğrudur. karakteristik polinom olmak üzere 1 1 1

27 19 İspat., matrisinin özdeğeri ise 0, dolayısıyla olur. Buradan her iki tarafın 1 inci mertebeden türevini alır ve düzenlersek, olarak bulunur. Buradan olur. olduğu dikkate alındığında 1! 1 1! 1! 1 1 elde edilir Sonuç 4.3., kare-düzenli matris, matrisinin katlı özdeğeri ve fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere 1 ile hesaplanır. İspat. Teorem 4.3 den dir. Ayrıca Uyarı 3.1 den 1 1

28 ve ! olduğundan olur. Buradan dir. Yardımcı Teoremden 4.1 den olduğundan olarak bulunur Matris Denkleminin Horner Fonksiyonlarıyla Çözümleri matrisi kare-düzenli matris, matrisi matris olmak üzere matris denkleminin çözümünün B şeklinde olduğu bilinmektedir. Buradan matris denkleminin Horner fonksiyonlarıyla çözümleri ise aşağıdaki gibi verilir:

29 21 Sonuç ve veya şeklindeki kare-düzenli matris olmak üzere matris denkleminin çözümü, 1- öz değerlerinden bazıları katlı olmak üzere, 2-, 1, 2,,, 1 olmak üzere, ile verilir Sonuç 4.5., kare-düzenli matris olmak üzere matris denkleminin çözümü, 1- fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere , 1, 2,, olmak üzere 1 3-, matrisinin katlı özdeğeri olmak üzere ile hesaplanır

30 Bulguların Matris Denkleminin Çözümüne Uygulanması, -kare düzenli matris, matrisi -kare düzenli matris ve matrisi matris olmak üzere matris denkleminin çözümünün 4.5 olduğu açıktır. ve matrislerinin tersleri 4.1. ve 4.2. kısımdaki sonuçlar yardımıyla (horner fonksiyonları yardımıyla) bulunup (4.5) de yerine yazılırsa denklemin çözümü elde edilir Örnek , ve 1 4 için alınırsa matrisi denkleminin çözümünü matrislerinin tersleri Teorem 3 den bulunup yerine yazılırsa ; şeklinde olup ve olarak elde edilir.

31 23 5. NÜMERİK ÖRNEKLER Örnek ters matrisini hesaplayalım. 1. = matrisi için Teorem 4.1. i (Sonuç i) kullanarak matrisinin özdeğerleri;,, 3. katsayılarından sadece 1 mevcuttur. 4. Horner dizileri ;, 6 6, , 5. δ değerleri; δ, δ, δ 6. Teorem 4.1. den (Sonuç den) ters matrisi ; δ, 0, 4 olarak bulunur Örnek kullanarak ters matrisini hesaplayalım; = matrisi için Teorem 4.1'i (Sonuç i) 2. matrisinin öz değerleri;,,, 3. katsayıları; 1,,,, 4. Horner dizileri;,,

32 24, 3 3, 36, 5. δ değerleri; δ, δ, δ Teorem 4.1. den (Sonuç den) ters matrisi ; olarak bulunur. δ 18, , 3 18 Örnek ters matrisi hesaplayalım; matrisi için Teorem 4.2 yi (Sonuç 4.1-1) kullanarak matrisinin öz değerleri; λ, λ, λ 3. katsayıları; 1,,,,,, 4. değerleri;,,, 5. Teorem 4.2. den ters matrisi,,, olarak bulunur.

33 Örnek matrisi için Teorem 4.3 ü kullanarak ters matrisini hesaplayalım; 1. matrisinin öz değerleri;,, 2. katsayılarından 1 mevcuttur, 3. Horner dizileri sırasıyla; ; 6 6 ; nın karakteristik polinomu; χ λ λ λ λ ;,,, 1, değerleri ;,, 1, 6. Teorem 4.3 den matrisi; 1, olarak bulunur , Örnek matrisi için Teorem 4.3 ü kullanarak ters matrisini hesaplayalım; 1. matrisinin öz değerleri; 2, 1, 3 2. Horner dizileri sırasıyla; 2 ; ; nın karakteristik polinomu; χ 2 5 6; 6, 5, 2, değerleri ; 3, 1, 1 5. Teorem 4.3 den matrisi;

34 26 1 δ, , 0 0, 0 1 olarak bulunur Örnek matrisi için Sonuç 4.2 yi kullanarak ters matrisi hesaplayalım; 1. matrisinin öz değerleri; λ, λ, λ 2. katsayıları; 1,,,,,, 3. değerleri; 4, 8, 24, 4. Sonuç 4.2 den ters matrisi, ,, olarak bulunur.

35 Örnek matrisi için Sonuç 4.3 ü kullanarak ters matrisini hesaplayalım 1. matrisinin öz değerleri; 2. Sonuç 4.3 den ters matrisi ; 1, olarak elde edilir , , Örnek matris denkleminin çözümünü bulalım. Örnek 5.4 den; olarak bulunmuştu. Sonuç den olarak bulunur

36 Örnek matris denkleminin çözümünü bulalım. Örnek 5.6 dan olarak bulunmuştu. Sonuç den,, olarak bulunur.

37 29 6. SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER Bu çalışmada, ; kare boyutlu-düzenli matris, boyutlu matris matris denkleminin Horner fonksiyonları yardımıyla çözümleri araştırılmış ve bazı sonuçlar elde edilmiştir. Metod olarak, Bilgin ve Aydın (2010a) ve Bilgin ve Aydın (2010b) tarafından elde edilen, 1- matris fonksiyonlarının Horner fonksiyonları kullanılarak hesaplanması üzerine sonuçlar, 2-1 deki sonuçlar kullanılarak sürekli ve kesikli sistemler için Lyapunov matris denklemlerinin sonlu seri olarak hesaplanması üzerine sonuçlar, esas alınmıştır. matrisi kare-düzenli matris olduğundan problemin çözümünün B şeklinde olduğu açıktır. Problemin çözümü için ters matrisin hesaplanması yeterli olmaktadır. ters matrisinin hesaplanması üzerine literatürde çok sayıda yöntem bulunduğu da açıktır. Tez çalışmasını anlamlı ve farklı kılan en önemli unsur, ters matrisinin Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplanmasıdır. Çalışmamızda ters matrisinin Horner fonksiyonları kullanarak hesaplanması üzerine, sonsuz matris serisini sonlu seriye dönüştürerek Cayley Hamilton teoreminin uygulaması olarak sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuçlar yardımıyla da matris denkleminin çözümleri hesaplanmış ve matris denklemine de kolayca uygulanabileceği gösterilmiştir. Ayrıca çalışmada elde edilen sonuçların her durumuna uygun nümerik örnekler verilmiş, bu örnekler için Maple çıktıları ekler kısmında sunulmuştur.

38 30 7. KAYNAKLAR Akın, Ö. ve Bulgak, H.,1998, Lineer Fark Denklemleri ve Kararlılık Teorisi, S. Ü. Uygulamalı Matematik Araştırma Merkezi Yayınları No : 2, Sel-Ün Vakfı, Konya. Apostol, T. M., 1969, Some Explicit Formulas for the Matrix Exponential, The American Mathematical Monthly, 76, Bilgin, İ. ve Aydın, K., 2010a, Horner fonksiyonları ile fundamental matrislerin hesaplanması, (Dergiye gönderildi). Bilgin, İ. ve Aydın, K., 2010b, Horner fonksiyonları ile Lyapunov matris denklemlerinin çözümleri, XXIII. Ulusal Matematik Sempozyumu, 4-7 Agustos 2010, Kayseri. Boehm, W. and Prautzsch, H., 2003, Numerical Methods, First Edition, Universities Press (India) Private Limited, India. Bronson, R., 1991, Matrix Methods : An Introduction, Second Edition, Academic Press, Boston. Bulgak, A. ve Bulgak, H., 2001, Lineer Cebir, Selçuk Üniversitesi Uygulamalı Matematik Araştırma Merkezi yayınları, No. 4, Sel-Ün Vakfı, Konya. Bulgakov, A. Ya. and Godunov, S.K., 1978, The stability of stable matrices, Theory of cubature formulas and numerical mathematics, Pap. Conf. Differential equations and numerical mathematics, Novosibirsk, Bulgakov, A. Ya. and Godunov, S.K., 1985, Allowance for computation errors in a variant of the conjugate gradient method, Num. Methods of Lin. Alg., Novosibirsk, Nauka, pp (Russian). Çıbıkdiken, A. O. ve Aydın, K., 2008, IDDM yardımıyla ters matris hesaplama, SDÜ Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi (E-Dergi), 3(1), Elaydi, S. N., 2005, Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer, New York, US. Engeln-Müllges, G. and Uhlig, F., 1996, Numerical Algorithms with C, Springer- Verlag, New York.

39 31 Fanliang, L., Xiyan, H. and Lei, Z., 2008, The generalized reflexive solution for a class of matrix equations,, Acta Mathematica Scientia, 28B(1): Gantmacher, F. R., 1959, The Theory of Matrices, Vol. 1, Chelsea Publishing Company, New York. Keskin, T. and Aydın, K., 2007, Iterative Decreasing Dimension Algorithm, Computers and Mathematics with Applications, 53(7) Moler, C. and Van Loan, C., 1978, Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, SIAM Review, 20 (4), Moler, C. and Van Loan, C., 2003, Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, SIAM Review, 45(1), Morris, A. O., 1990, Linear Algebra, Second Edition, Chapman and Hall, London. Peng, Z., 2005, An iterative method for the least squares symmetric solution of the linear matrix equation, Applied Mathematics and Computation, 170: Peng, Y.X., Hu, X.Y. and Zhang, L., 2005, An iteration method fort he symmetric solutions and the optimal approximation solution of the matrix equation, Applied Mathematics and Computation, 160: Sheng, X. and Chen, G., 2007, A finite iterative method for solving a pair of linear matrix equation,,, Applied Mathematics and Computation, 189: Şahinbay, O. V., 2010, matris denklemlerinin iteratif çözümleri, Y.Lisans Tezi, S. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya. Taşcı, D., 2007, Soyut Cebir, Alp Yayınevi, Ankara, Verde-Star, L., 2005, Functions of Matrices, Linear Algebra and its Applications, 406, Verde-Star, L., 2007, On Linear Matrix Differential Equations, Advances in Applied Mathematics, 39(3),

40 32 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı Uyruğu Doğum Yeri ve Tarihi Mustafa KOÇ T.C Karaman-1964 Telefon Faks EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı Lise : Konya Gazi Lisesi -KONYA 1982 Üniversite : S.Ü.Fen Fakültesi Matematik Bölümü KONYA 1988 Yüksek Lisans : Doktora : İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görevi Milli Eğitim Öğretmen UZMANLIK ALANI YABANCI DİLLER

41 33 EKLER EK 1: Tablo 1. Örnek 5.1 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[3,-1,-1],[3,3,-1],[23/4,-3/2,-5/3]]); > E:=IdentityMatrix(3,3); 1.Adım: > A1:=E-A; 2.Adım: > eigenvalues(a1); > L1:= -1/3; L2:=-1/2; L3:=-1/2; 3.Adım: > c11:=1;,, 4.Adım: > r1:=n->(-1/3)^n; r2:=n->6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n; r3:=n->-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n;, 5.Adım: > d1:=sum((-1/3)^n,n=0..infinity); d2:=sum(6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n,n=0..infinity); d3:=sum(-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n,n=0..infinity);,, 6.Adım: >A_Matrisinin_Tersi:=d1*E+d2*(A1-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E)); Not: Örnek 5.1 deki δ olarak alınmıştır.

42 34 EK 2: Tablo 2. Örnek 5.2 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[1,-1,0],[0,1,-1],[-1/6,35/36,-3/4]]); > E:=IdentityMatrix(3,3); 1Adım:> A1:=E-A; 2.Adım:> eigenvalues(a1); > L1:=1/3;L2:=2/3;L3:=3/4;,, 3.Adım:> c11:=1; c21:=-1/3; c22:=1/3; c31:=5/36; c32:=-1/36; c33:=5/144;,,,, 4.Adım:> r1:=n->(1/3)^n; r2:=n->-3*(1/3)^n+3*(2/3)^n; r3:=n->36/5*(-1/2)^n-36*(2/3)^n+144/5*(3/4)^n;, 5.Adım: > d1:=sum((1/3)^n,n=0..infinity); d2:=sum(-3*(1/3)^n+3*(2/3)^n,n=0..infinity); d3:=sum(36/5*(1/3)^n-36*(2/3)^n+144/5*(3/4)^n,n=0..infinity);,, 6.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=d1*E+d2*(A1-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E)); Not: Örnek 5.2 deki δ olarak alınmıştır.

43 35 EK 3: Tablo 3. Örnek 5.3 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[4/3,-2/3,1/4],[3/5,1,2/5],[37/38,3/38,7/4]]); > E:=IdentityMatrix(3,3); 1.Adım: > A1:=E-A; 2.Adım: > eigenvalues(a1); > L1:=-1/4;L2:=-1/2;L3:=-1/3;,, 3.Adım: > c11:=1; c21:=1/4; c22:=-1/4; c31:=1/48; c32:=1/24; c33:=-1/72;,,,,, 4.Adım: > p1:=1/((1-l1)*c11);p2:=1/((1-l1)*c21)+1/((1-l2)*c22); p3:=1/((1-l1)*c31)+1/((1-l2)*c32)+1/((1-l3)*c33);,, 5.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=p1*E+p2*(A1-L1*E)+p3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E)); Not: Örnek 5.3 deki olarak alınmıştır.

44 36 EK 4: Tablo 4. Örnek 5.4 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[-2,1,1],[-3,-2,1],[-23/4,3/2,8/3]]); 1.Adım : > eigenvalues(a); > L1:=-1/3; L2:=-1/2; L3:=-1/2;,, 2.Adım: > c11:=1; > E:=IdentityMatrix(3,3); 3.Adım : >r1:=n->(-1/3)^n; r2:=n->6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n; r3:=n->-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n;, 4.Adım : > det(x*e-a); > a0:=1/12; a1=7/12; a2:=4/3; a3:=1;,,, 5.Adım: > t1:=(7/12)*r1(0)+a2*r1(1)+a3*r1(2); t2:=a1*r2(0)+a2*r2(1)+a3*r2(2); t3:=a1*r3(0)+a2*r3(1)+a3*r3(2);,, 6.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=(-1/a0)*(t1*E+t2*(A-L1*E)+t3*MatrixMatrixMultiply(A-L1*E,A-L2*E)); Not: Örnek 5.4 deki olarak alınmıştır.

45 37 EK 5: Tablo 5. Örnek 5.5 İçin Maple Çıktısı > E:=IdentityMatrix(3,3); > A:=Matrix([[-2,0,0],[-3,3,-2],[3,0,1]]); 1.Adım: > eigenvalues(a); > L1:=-2; L2:=3; L3:=1; 2.Adım: > r1:=n->(-2)^n; r2:=n->1/5*(3)^n-1/5*(-2)^n; r3:=n->-1/6+1/15*(-2)^n+1/10*(3)^n; 3.Adım: >det(x*e-a); > Karakteristik_Polinom:=x->x^3+(-2)*x^2+(-5)*x+6; > a0:=6; a1=-5; a2:=-2; a3:=1;,,, 4.Adım: > d1:=(-5)*r1(0)+a2*r1(1)+a3*r1(2);d2:=a1*r2(0)+a2*r2(1)+a3*r2(2); d3:=a1*r3(0)+a2*r3(1)+a3*r3(2);,, 5.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=(-1/a0)*(d1*E+d2*(A-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply(A-L1*E,A-L2*E)); Not: Örnek 5.5 deki olarak alınmıştır.

46 38 EK 6: Tablo 6. Örnek 5.6 İçin Maple Çıktısı > E:=IdentityMatrix(3,3); > A:=Matrix([[-1/3,2/3,-1/4],[-3/5,0,-2/5],[-37/38,-3/38,-3/4]]); 1.Adım: >eigenvalues(a); > L1:=-1/4; L2:=-1/2; L3:=-1/3; 2.Adım: >c11:=1; c21:=1/4;c22:=-1/4;c31:=1/48;c32:=1/24;c33:=-1/72;,,,,, 3.Adım: > t1:=1/l1*c11; t2:=1/(l1*c21)+1/(l2*c22); t3:=1/(l1*c31)+1/(l2*c32)+1/(l3*c33); 4.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=t1*E+t2*(A-L1*E)+t3*MatrixMatrixMultiply((A-L1*E),(A-L2*E)); Not: Örnek 5.6 daki olarak alınmıştır.

47 39 EK 7: Tablo 7. Örnek 5.7 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[2,29/12,1],[-3,-1/2,0],[1,-145/24,-3]]); 1.Adım: >eigenvalues(a); > L1:=-1/2; L2:=-1/2; L3:=-1/2; > E:=IdentityMatrix(3,3); 2.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=-2*E-4*(A-L1*E)-8*MatrixMatrixMultiply((A-L1*E),(A-L2*E));

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Standart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları

Standart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (2): 109-120 Standart ve Standart Olmayan Theta Metotlarının Bazı Uygulamaları ve Sonuçları Fatih ER* 1 Mevlüde YAKIT ONGUN 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir. GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin

Detaylı

FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Ali MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR MAYIS - 01 T.C. AHİ

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3

Detaylı

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +

Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 + DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS LİNEER CEBİR FEB-221 2/2. YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Akademik Ünvanı : Y. Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir, Cebirsel Sayı Teorisi, Cebirsel Geometri, Kodlama Teorisi, Kriptoloji, Cebirsel Topoloji.

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları

Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Matris Analizi MATH333 Her İkisi 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math 231 Linear Algebra

Detaylı

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 5001

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 5001 Dersi Veren Birim: Fen Bilimleri Enstitüsü Dersin Türkçe Adı: Uygulamalı Matematik Dersin Orjinal Adı: Applied Mathematics Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisansüstü Dersin Kodu:

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi.

ÖZGEÇMİŞ. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi. ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Ünvanı : Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi. 1. Öğrenim

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH 275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları

Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Analiz MATH381 Güz 3 2 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 135 Matematik Analiz

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI

KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri

Detaylı

Dikkat! NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!

Dikkat! NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz! T.C. NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya Bu şablonu kullanmaya başlamadan önce FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ başlamadan önce SablonNasilKullanilir SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!

Detaylı

T.C. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz! TEZ BAŞLIĞINI BURAYA YAZINIZ. Öğrencinin Adı SOYADI YÜKSEK LİSANS/DOKTORA TEZİ.

T.C. SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz! TEZ BAŞLIĞINI BURAYA YAZINIZ. Öğrencinin Adı SOYADI YÜKSEK LİSANS/DOKTORA TEZİ. T.C. NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ Bu şablonu kullanmaya Bu şablonu kullanmaya başlamadan önce FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ başlamadan önce SablonNasilKullanilir SablonNasilKullanilir isimli belgeyi okuyunuz!

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations

Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Uygulama alanı: Lineer olan her sistem Notation: Ax 1 = b Augmented [A l b] Uniqueness A = 0, A nxa Bu şekilde yazılan sistemler Overdetermined (denklem

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

FATMA KANCA. Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü Yüksek Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2004

FATMA KANCA. Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü Yüksek Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2004 FATMA KANCA EĞİTİM Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü 2011 Yüksek Lisans Matematik Kocaeli 2004 Lisans Matematik Kocaeli 2001 AKADEMİK UNVANLAR Kurum/Kuruluş

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

+..+b 0 Polinomlarının. kongüransını inceleyeceğiz.

+..+b 0 Polinomlarının. kongüransını inceleyeceğiz. POLİNOMLAR VE WİLSON TEOREMİ 9.1 Polinomlar kongüranslar. Polinomları ve onların soyut cebir ile ilgili özelliklerini 4. bölümde geniș ele alacağız. Bu kısımda ise sayılar teorisi açısından bazı özelliklerine

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

3.Hafta Master Teorem ve Böl-Fethet Metodu

3.Hafta Master Teorem ve Böl-Fethet Metodu 1 3.Hafta Master Teorem ve Böl-Fethet Metodu 2 Ana Metod (The Master Method) Ana method aşağıda belirtilen yapıdaki yinelemelere uygulanır: T(n) = at(n/b) + f (n), burada a 1, b > 1, ve f asimptotik olarak

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı