Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Transkript

1 Lisans Yrlşirm Sınavı (Lys ) 8 Haziran Mamaik Soruları v Çözümlri. (,5) işlminin sonucu kaçır?, A) 5 B) C) 5 D) E) Çözüm (,5), 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ).( ) 5 ( ) 5 5 6

2 . < < olduğuna gör, aşağıdakilrdn hangisi olabilir? A) B) C) D) 7 E) 5 6 Çözüm I. Yol < < ( )² < ² < ( )² < ² < A) için : ² B) için : ² 9 < 9 < 6 C) için : ² D) için : ² E) için : ² 5 5

3 II. Yol < < sayısının karkökünü yaklaşık olarak hsaplayalım. dn küçük n büyük am kar, dn büyük n küçük am kar olduğundan, a v b dır. olarak bulunuyor. sayısının karkökünü yaklaşık olarak hsaplayalım. dn küçük n büyük am kar, dn büyük n küçük am kar olduğundan, a v b dır. 5 olarak bulunuyor. 5 < < il gnişlilirs 8 < < ld dilir. No : Bir poziif am sayısının karkökü yaklaşık olarak aşağıdaki yönml bulunuyor : sayısından küçük n büyük am karyl sayısından büyük n küçük am kar bulunuyor. Bu sayılardan ilki a, ikincisi b olarak adlandırılıyor. sayısının karkökü a a formülüyl bulunuyor. b a

4 . ³ olduğuna gör, ² ifadsinin üründn şii aşağıdakilrdn hangisidir? A) B) C) D) ² E) ² Çözüm ³ ³ ³ ( ).( ² ) olduğuna gör, ³ ² ² ³ ³ ³ olduğuna gör, bulunur.. a v b sayılarının gomrik oralaması, arimik oralaması is 6 dır. Buna gör, a² v b² sayılarının arimik oralaması kaçır? A) 67 B) 65 C) 6 D) 6 E) 57 Çözüm a v b sayılarının gomrik oralaması a. b a.b 9 a v b sayılarının arimik oralaması (a b)² ² a².a.b b² a² b² 8 a² b² 6 a b 6 a b a² v b² sayılarının arimik oralaması a ² b² 6 6 ld dilir.

5 5. y olduğuna gör, ² y² y y ifadsinin dğri kaçır? A) B) 5 C) 8 D) 9 E) 5 Çözüm 5 ² y² y y ² y y² y ( y)² y y olduğuna gör, ² 9 6. v y birr grçl sayı olmak üzr, ³ ²y y³ y² şiliklri vriliyor. Buna gör, y farkı kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm 6 ³ ²y y³ y² araf arafa çıkarılırsa ³ ²y y² y³ ( y)³ 8 ( y)³ ( )³ y bulunur.

6 7. Đki basamaklı a v b poziif am sayıları için a! b! olduğuna gör, a b oplamı kaçır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm 7 a! b! a!. b! a!..b!. b!! b a!! a Buna gör, a b ld dilir. 8. a a a a a. a a ifadsinin sadlşirilmiş biçimi aşağıdakilrdn hangisidir? A) a B) a C) D) a E) a² Çözüm 8 a a a a a. a a a.( a) a. a.( a ) a.( a)

7 9. ) ( y y y y olduğuna gör, y farkı kaçır? A) B) C) D) 5 E) 5 Çözüm 9 ) ( y y y y y olsun... ) ).( ( ) ).( ( ).(. ² ² ² ² 6 ² içlr dışlar çarpımı yapılırsa 6 9 ² 6 ² 5 5 y olduğuna gör, y 5 olur.

8 . A {n Z n ; n, am bölünür.} B {n Z n ; n, 5 am bölünür.} kümlri vriliyor. Buna gör, A \ B fark kümsinin lman sayısı kaçır? A) B) C) D) 8 E) 7 Çözüm s(a \ B) s(a) s(a B) A için ün kaı olan hr sayı kalansız bölünür. dn küçük olan v ün kaı olan kaç an sayı olduğunu bulmak için sayısı bölünür v bölüm alınır. Buna gör, an sayı il am bölünür. s(a) A B için Hm hm d 5 il am bölünbiln sayılar, okk(, 5) 5 il d am bölünür. sayısı 5 bölünür v bölüm alınır. 5 6 Buna gör, 6 an sayı 5 il am bölünür. s(a B) 6 s(a \ B) s(a) s(a B) 6 7 bulunur.

9 . p v q birbirindn farklı asal sayılar olmak üzr a p.q b vriliyor. p.q Buna gör, a v b sayılarının n büyük orak bölni aşağıdakilrdn hangisidir? A) p 5.q B) p.q C) p.q D) p.q E) p.q Çözüm Obb(a, b) p.q No : Orak bölnlrin n büyüğü (obb) Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Orak asal çarpanların n küçük üslülri (üslr şis biri) alınır v çarpılır.. y (mod 7) (mod 7) dnkliklrini sağlayan n küçük v n küçük y poziif am sayıları için y farkı kaçır? A) 5 B) C) D) E) Çözüm için : (mod 7) 8 (mod 7) y (mod 7) y için : 8 (mod 7) Buna gör, y olur.

10 ..( ) > ( ).( ) < Yukarıda vriln şisizlik sisminin çözüm kümsi (a, b) açık aralığı olduğuna gör, a b farkı kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm Buna gör, a b bulunur. Çözüm kümsi (, ) (a, b)

11 . A {a, b, c, d, } kümsi üzrind işlmi aşağıdaki abloyla anımlanıyor. Örnğin ; a d c v d a a dır. a b c d a a b a c d b c b b a c a b c d d a a d d b d a Bu abloya gör A kümsinin K {b, c, d} L {a, b, c} M {c, d, } al kümlrindn hangilri işlmin gör kapalıdır? A) Yalnız K B) Yalnız L C) K v L D) K v M E) L v M Çözüm K {b, c, d} için b d a K olduğundan işlmin gör kapalı dğildir. L {a, b, c} için a b c a a b a b c b b c a b c a, b, c L olduğundan işlmin gör kapalıdır. M {c, d, } için d b M olduğundan işlmin gör kapalı dğildir.

12 No : Bir Kümnin Bir Đşlm Gör Kapalılığı A üzrind bir işlmi vrildiğind, y A için y A oluyorsa A kümsi işlmin gör kapalıdır dnir. 5. bir grçl sayı v olmak üzr, y şiliğini sağlayan y am sayı dğrlrinin oplamı kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm 5 y y y ( ).( ).( ) y 7 7 y am sayı dğrlri {,,,,, } y am sayı dğrlri oplamı olur.

13 6. Grçl kasayılı P(), Q() v R() polinomları vriliyor. Sabi rimi sıfırdan farklı P() polinomu için P() Q().R( ) şiliği sağlanıyor. P nin sabi rimi Q nun sabi riminin iki kaı olduğuna gör, R nin kasayılarının oplamı kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm 6 P() polinomunun sabi rimi : P() P() Q().R( ) P() Q().R( ) P() Q().R() Q() polinomunun sabi rimi : Q() P().Q() R() polinomunun kasayılarının oplamı : R() P() Q().R() olduğundan,.q() Q().R() R() ld dilir.

14 7. Baş kasayısı olan, i v i karmaşık sayılarını kök kabul dn dördüncü drcdn grçl kasayılı P() polinomu için P() kaçır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 7 i i P() a.( i).( i).( i).( i) a olduğuna gör, P().( i).( i).( i).( i) P() ( i).( i).( i).( i) P() (² (i)²).(² (i)²) P() (² i²).(² i²) i² olduğuna gör, P() (² ).(² ) P() ( ).( ) P(). P() bulunur. No : Grçl kasayılı bir dnklmin köklrindn birisi z a bi is diğr kök bu kökün şlniği olan _ z a bi dir.

15 8. P( ) ( ) ( ) polinomunda li rimin kasayısı kaçır? A) B) 9 C) 7 D) 5 E) Çözüm 8 I. Yol P( ) P( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( )( ) P( ) ( ² ).( ² ) ( ).( ² ) P( ) P( ) 9 P( ) polinomunda li rimin kasayısı bulunur. II. Yol P( ) ( ) ( ) Binom formülün gör,. ( ) li rimin kasayısı Binom formülün gör,...( ) li rimin kasayısı.. 9 Buna gör, P( ) polinomunda li rimin kasayısı 9 bulunur.

16 9. 6 kız v 7 rkk öğrncinin bulunduğu bir grupan msilci sçiliyor. Sçiln bu iki msilcidn birinin kız, diğrinin rkk olma olasılığı kaçır? A) B) 8 C) D) 7 E) 9 Çözüm 9 Đsnn olasılık !!.!. 7 ld dilir. No : Đsnn olasılık isnn scim sayisi üm scim sayisi. z a b i (b ) v w c d i karmaşık sayıları için z w oplamı v z.w çarpımı birr grçl sayı olduğuna gör, I. z v w birbirinin şlniğidir. II. z w grçldir. III. z² w² grçldir. ifadlrindn hangilri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I v III D) II v III E) I, II v III

17 Çözüm z a b i (b ) w c d i z w (a b i ) (c d i ) z w (a c) (b d) i grçl sayı is Grçl sayı, sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayı olduğuna gör, (b d) i b d z.w (a b i ).(c d i ) z.w (a.c b.d) (a.d b.c) i grçl sayı is Grçl sayı, sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayı olduğuna gör, (a.d b.c) i a.d b.c b d olduğuna gör, a.d d.c d.(a c) (b ) a c z a b i karmaşık sayısının şlniği : _ z a b i c d i w w c d i karmaşık sayısının şlniği : _ w c d i a b i z Buna gör, z v w birbirinin şlniğidir. z v w birbirinin şlniği olduğuna gör, z w z z _ (a b i ) (a b i ) (a a) (b b) i b i grçl sayı Buna gör, z w grçl sayı dğildir.

18 z v w birbirinin şlniği olduğuna gör, z a b i w a b i z² w² (a b i )² (a b i )² a² ab i b² a² ab i b² a² b² grçl sayı Buna gör, z² w² grçldir. No : Karmaşık Sayıların Eşlniği z a b i karmaşık sayısı için z _ a b i sayısına z nin şlniği dnir. No : z a b i karmaşık sayısında, a ya z nin grçl (rl) kısmı, b y z nin sanal (imajinr) kısmı dnir v R(z) a, Im(z) b olarak yazılır. No : z a b i sayısında b is z a R dir. Buna gör hr grçl sayı, sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıdır. Bu ndnl R C dir.

19 . Karmaşık sayılar kümsi üzrind f fonksiyonu f ( z) k biçimind anımlanıyor. Buna gör, f (i) dğri ndir? z k A) i B) i C) i D) i E) Çözüm k f ( z) z k 99 z z z z... z z z 99 z z z... z z z z z f (i) i i ( i ) i 5 i olduğundan, ( ) i 5 ( ) i i bulunur. i Paydanın şlniği pay v paydayla çarpılırsa, i. i i.( i) i.( i) ( ).( i).( i) i ld dilir.

20 No : n k k... n... n n,, N için. _ z il z nin şlniği gösrildiğin gör, _ ² z z şiliğini sağlayan v argümni π il π arasında olan sıfırdan farklı z karmaşık sayısı ndir? A) ( )i. B) i. C) i. D) i. E) i.

21 Çözüm z karmaşık sayısının argümni π il π arasında is II. bölgddir. z a b i olsun. z nin şlniği : z a b i _ z ² z ( a b i )² a b i ( a)² ab i b² a b i a² b² ab i a b i ab i b i a a bulunur. a² b² a dnklmind a yrin yazılırsa, b² b² b² b² b² b² b ld dilir. z a b i olduğuna gör, z i olur.

22 .. 8 olduğuna gör, aşağıdakilrdn hangisidir? A) B) C) ln D) ln E) ln Çözüm. 8 ( ). 8 A olsun. A² A 8 (A ).(A ) A A A A olamaz A Eşilik, abanlar şi olduğunda üslrd şi olacağına gör, olur.. log 9 ( ² ) ( > ) olduğuna gör, in üründn şii aşağıdakilrdn hangisidir? A) B) Çözüm C) D) E) log 9 ( ² ) ² 9 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Eşilik, üslr şi olduğunda abanlarda şi olacağına gör, olur.

23 5. f ( ) arcsin fonksiyonunun rs fonksiyonu olan ( ) f aşağıdakilrdn hangisidir? A) sin() 6 B) sin() C) sin() 6 D) sin( 6) E) sin() Çözüm 5 f ( ) arcsin arcsin y sin y sin arcsin sin y sin y sin y 6 y f () f ( y) f f ( ) f ( y) sin y 6 f ( y) f rs fonksiyonu için dğişkn v in görünüsü y il gösrilirs, sin( ) 6 f ( ) ld dilir.

24 6. f() ² fonksiyonunun grafiği a birim sağa v b birim aşağı ölnrk g() ² 8 fonksiyonunun grafiği ld diliyor. Buna gör, a b ifadsinin dğri kaçır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 6 I. Yol f() ² f() ( )² g() ² 8 g() ( )² y ² fonksiyonunun grafiği ksninin poziif yönünd birim ölnirs, ( )² fonksiyonunun grafiği ld dilir. y ² fonksiyonunun grafiği ksninin poziif yönünd birim ölnirs, ( )² fonksiyonunun grafiği ld dilir. Buna gör, a olur. ( )² fonksiyonunun grafiği y ksninin poziif yönünd birim ölnirs, ( )² fonksiyonunun grafiği ld dilir. ( )² fonksiyonunun grafiği y ksninin ngaif yönünd birim ölnirs, ( )² fonksiyonunun grafiği ld dilir. Buna gör, b olur. a b 7 ld dilir.

25 II. Yol f() ² fonksiyonunun grafiği çizilirs, Tp nokası (r, k) olsun. r () r. k f(r) k f() k (r, k) (, ) Eksnlri ksiği nokaları bulalım. için : y y için : ² 8 < grçl kök yokur. Bu durumda ğri ksnini ksmz.

26 g() ² 8 fonksiyonunun grafiği çizilirs, Tp nokası (r, k) olsun. r (8) r. k f(r) k f() ² 8. k (r, k) (, ) Eksnlri ksiği nokaları bulalım. için : y y için : ² 8 ( 8)².. 8 > Buna gör, ksnini iki nokada ksr.

27 Sonuç olarak f() ² fonksiyonunun grafiği birim sağa v birim aşağı ölnrk g() ² 8 fonksiyonunun grafiği ld diliyor. Buna gör, a b 7 ld dilir. No : f : R R, f ( ) a² b c fonksiyonun grafiğinin çizilmsi Tp nokasının koordinaları bulunur. Eksnlri ksiği nokalar bulunur v grafik çizilir. No : f ( ) a² b c biçimindki parabollrin Tp nokasının apsisi : b r dır. a Tp nokasının ordinaı : k f (r) dir.

28 No : a, b, c birr rl (grçl) sayı v a olmak üzr, f : R R y f ( ) a² b c koşulu il anımlanan fonksiyonlara ikinci drc fonksiyonları dnir. I f : R R y a² fonksiyonunun grafiği i) a > is parabolün kolları y ksninin poziif yönünddir. Fonksiyon n küçük dğrini da alır. Fonksiyonun görünü kümsi f (R) R {} dır. ii) a < is parabolün kolları y ksninin ngaif yönünddir. Fonksiyon n büyük dğrini da alır. Fonksiyonun görünü kümsi f (R) R {} dır.

29 II f : R R y a.( r)² fonksiyonunun grafiği i) r > is y a² fonksiyonunun grafiği ksninin poziif yönünd r birim ölnir. ii) r < is y a² fonksiyonunun grafiği ksninin ngaif yönünd r birim ölnir. III f : R R f ( ) a.( r)² k fonksiyonunun grafiği Önc y a² fonksiyonunu grafiği, sonra y a.( r)² grafiği çizilir. y a.( r)² nin grafiği i) k > is y ksninin poziif yönünd k birim kadar ölnir. ii) k < is y ksninin ngaif yönünd k birim kadar ölnir. IV f : R R f ( ) a² b c fonksiyonunun grafiği Bu ür fonksiyonları f ( ) a.( r)² k biçimin girrk grafiğini çizriz. f ( ) a² b c b a. ² c a b b² b² a. ² c a a² a² a. b a ac b² a b r v a ac b² k alınırsa, f ( ) a.( r)² k olur. a

30 π 7. < < olmak üzr co an olduğuna gör, sin ² kaçır? sin A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) Çözüm 7 co an sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos ² sin ² sin.cos cos.sin sin cos ² sin ² sin.cos sin sin ² cos ² cos ² sin ² olduğuna gör, sin ² sin ² sin.cos sin sin.sin. cos olduğuna gör, sin ² sin.cos.sin.cos Đçlr dışlar çarpımı yapılırsa, sin ² 8sin ² 8 sin ² sin ² bulunur. 8

31 8. cos olduğuna gör, cos kaçır? 5 A) 5 B) 5 C) D) 5 7 E) 5 Çözüm 8 cos 5 cos cos ² sin ² sin ² cos ² sin ² cos ² olduğuna gör, cos cos ² ( cos ² ) cos.cos ² olur. cos olduğuna gör, 5 cos. cos cos ld dilir. 5

32 9. Birim karlr üzrin çizilmiş yukarıdaki ABC üçgninin B açısının anjanı kaçır? A) 5 B) 5 C) 9 D) E) 5 Çözüm 9 an B an( y) an an y an.an y

33 . Aşağıda f fonksiyonunun grafiği vrilmişir. g ( ) f ( ) olduğuna gör, g ( ) g(5) oplamı kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm için : g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) Grafiğ gör, f ( ) olduğundan, g ( ) g ( ) 5 için : g ( 5) f (5 ) g( 5) f () Grafiğ gör, f ( ) olduğundan, g ( 5) g ( 5) Buna gör, g ( ) g(5) olur.

34 . y ² parabolü il y doğrusu arasında kalan sınırlı bölgnin sınırları üzrindki (, y) nokaları için ² y² ifadsinin alabilcği n büyük dğr kaçır? A) 5 B) C) 7 D) E) Çözüm y ² parabolü il y doğrusunun ksişim nokalarını bulalım. ² ² ( ).( ) is y ( )² y (, y) (, ) is y ² y (, y) (, ) ² y² ifadsinin alabilcği n büyük dğr : ( )² ² 6

35 . f : R R parçalı fonksiyonu, rasyonls () f ², rasyonl dğils biçimind anımlanıyor. Buna gör, ( fof ) aşağıdakilrdn hangisidir? A) B) C) D) 5 E) 7 Çözüm ( fof ) f f rasyonl olmadığına gör, ² ) ( f biçimind olur. f f f f rasyonl olduğuna gör, ) ( f biçimind olur. f. 5 bulunur.

36 . f fonksiyonu n am sayıları için f ( n). f ( n) şiliğini sağlıyor. f () olduğuna gör, f () kaçır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) Çözüm f ( n). f ( n) n için : f ( ). f () f ( ). f () n için : f ( ). f ( ) f ( ). f () f () olduğuna gör, f ( ). f ( ) f ( ). f ( ) 7 bulunur.

37 . ( a k ) dizisi a a a k (k,,,... ) k k biçimind anımlanıyor. Buna gör, a 8 rimi ndir? A) B) 7 C) D) 5 E) 9 Çözüm I. Yol a a a k (k,,,... ) k k k için : a a a a 9 k için : a a a 9 a 7 k için : a a a 7 a k için : a a a a 5 5 k 5 için : a a 5 a 5 a k 6 için : a a 6 a 5 6 a k 7 için : a a 7 a 9 7 a ld dilir

38 II. Yol a a a k (k,,,... ) k k k için : a a k için : a a k için : a a k için : a a 5 k 5 için : a a k 6 için : a a k 7 için : a a 7 araf arafa oplanırsa, 8 7 a a a a5 a6 a7 a8 a a a a a5 5 a6 6 a7 7 a a a a5 a6 a7 a8 a a a a a5 a6 a a a a a5 a6 a7 a8 a a a a a5 a6 a7 ( 5 6 7) a 8 a ( 5 6 7) a olduğuna gör, a 8 7.(7 ) a 8 8 a 8 ld dilir.

39 5. Bir knar uzunluğu birim olan ABC şknar üçgninin AB v AC knarları üç şi parçaya ayrılarak şkildki gibi D v E nokaları işarlniyor. DE doğru parçasının ora nokası K olmak üzr, bir köşsi K v bu köşnin karşısındaki knarı BC üzrind olan yni bir şknar üçgn çiziliyor v aynı işlm çiziln yni şknar üçgnlr d uygulanıyor. Bu şkild çizilck iç iç gçmiş üm üçgnsl bölglrin alanları oplamı kaç birim kardir? A) B) C) 8 9 D) 5 6 E) 9 Çözüm 5 I. Yol Bir knar uzunluğu a birim olan şknar üçgnin alanı : a ². is. ( ) olur.

40 II. Yol a ( ) a a. a. 9 a a r olduğuna gör,. r 9 r 9 Toplam alan olur. No : Gomrik Dizi Ardışık iki rimin oranı aynı olan dizilr gomrik dizi dnir. r R olmak üzr hr n N için an a n r is ( a n ) bir gomrik dizidir. r y dizinin orak çarpanı dnir. No : Gomrik Sri n a n a. r gomrik dizisind r < is, k k a. r a.( r r² r³... r k-... ) a. r a r dir.

41 7 m 6. (n ) sayısı il am bölünbildiğin gör, n m nin alabilcği n büyük am sayı dğri kaçır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm 6 7 n m (n ) sayısı il am bölünbildiğin gör, çarpanları arasındaki sayısının kuvvlri bulunur. 7 n (n ) (. ).(. ).(. ).(. ).(.5 ).(.6 ).(.7 ) Buna gör, m olduğuna gör, m nin alabilcği n büyük am sayı dğri olur.

42 7. arcsin sin iinin dğri kaçır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 7 I. Yol arcsin sin blirsizliği vardır. L Hospial kuralı uygulanırsa, ( arcsin ) (sin ) ².cos.cos bulunur..

43 II. Yol arcsin sin blirsizliği vardır. arcsin sin arcsin sin sin sin arcsin sin f ( ) sin f ( ) olduğuna gör, sin Pay v payda il çarpılırsa,..sin. sin. arcsin sin arcsin y olsun. sin arcsin sin y sin y için : arcsin y y is y arcsin sin y y sin(sin y ) Pay v payda sin y il çarpılırsa, y sin y y sin(sin y) sin y y sin y. y sin y sin(sin y ) y sin y. y sin y sin(sin y ). Buna gör, arcsin sin sin arcsin sin ld dilir.

44 No : L Hospial Kuralı f ( ) g( ) f ( ) f ( ) iind vya blirsizliği varsa, olur. g( ) g ( ) 8. ( ² ² ) iinin dğri kaçır? A) B) C) 5 D) E) Çözüm 8 I. Yol ( ² ² ) ( ( )² ² ) ( ) ( )

45 II. Yol için fonksiyonunun şklind bir blirsizliği vardır. Pay v payda köklü ifadnin şlniği il çarpılırsa ( ) ² ² ² ². ² ² ² ² ² ² ² ² ² ². ² ². ². ². ². ². ² ² ) ² ² ( ². ². için, ² ifadlri sıfır olduğundan, ld dilir.

46 No : b f ( ) a² b c a. ² a c a b g ( ) a. alınırsa a f ( ) g( ) olur. ± ± 9. f () sin²(² ) olduğuna gör, f () kaçır? A) cos B) cos C) 6sin D) sin E) sin Çözüm 9 f () sin²(² ) f ( ).sin(² ).cos(² ).(6 ) için f ().sin( ).cos( ).( ) f ().sin.cos. f () (sin.). f () sin

47 . f ( ) ² f () olduğuna gör, f () dğri kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm f ( ) ² f ( ) (² ) f ( ) ³ ² c f () olduğuna gör, için : f ( ) c c ld dilir. f ( ) ³ ² için : f ( ) ( )³.( )².( ) f ( ) f ( ) olur.

48 . f () g () olduğuna gör, f ( g( )) iinin dğri kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol f () g () f ( g( )) f ( g( )) f. ² f ( g( )) ² ².( ) ².( ) blirsizliği vardır. Bu durumda pay v payda çarpanlarına ayrılıp sadlşirm yapıldıkan sonra yazılır. Buna gör, ².( ) ( ).( ).( ) bulunur.

49 II. Yol f ( g( )) f. ² f ( g( )) ² ².( ) ².( ) blirsizliği vardır. L Hospial kuralı uygulanırsa, [ f ( g( ))] ( ) f ( g( )). g ( ) f () vrildiğin gör, f ( ) f ( ) sabi fonksiyon olduğuna gör, f ( g( )) olur. g () vrildiğin gör, g ( ) ² f ( g( )). g ( ). ². ². bulunur. vya f ( g( )) [ ( g( ))] f [ f ( g( ))] ² [ f ( g( ))] ( ) ² bulunur. ²

50 . y sin(π) ğrisin dğrind çiziln ğin y ksnini ksiği nokanın ordinaı aşağıdakilrdn hangisidir? A) π B) C) D) E) π Çözüm y sin(π) is y sin(π.) (, ) y f () sin(π) f () ğim y π.cos(π) y y f () π.cos(π.) (, ) v ğim π is () Bir nokası v ğimi bilinn doğru dnklmin gör, y ( π).( ) y ksnini ksiği nokanın ordinaı için : y ( π).( ) y π y π bulunur. f π.( ) f () π

51 . Aşağıda, [ 5, 5] aralığı üzrind anımlı f fonksiyonunun ürvinin grafiği vrilmişir. Bu grafiğ gör, I. f fonksiyonu > için azalandır. II. f () > f () > f () dir. III. f fonksiyonunun v dğrlrind yrl ksrmumu vardır. ifadlrindn hangilri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I v II D) I v III E) I, II v III Çözüm I. f fonksiyonu > için f ( ) < olduğundan azalandır. II. Aran fonksiyon anımına gör, < f () < f () Azalan fonksiyon anımına gör, < f () > f () olmalıdır. III. Türvli bir fonksiyonun bir nokada yrl ksrmumunun olması için ürvin bu nokada işar dğişirmsi grkir v ürvli fonksiyonlarda yrl ksrmum nokasında ürv sıfır olduğundan, f ( ) yrl ksrmum nokasıdır.

52 . (, ) nokasından gçn ngaif ğimli bir d doğrusu il koordina ksnlri arasında kalan üçgnsl bölgnin alanı n az kaç birim kardir? A) B) C) D) 9 E) 7 Çözüm I. Yol Üçgnsl bölgnin alanı a.b Şimdi, a il b arasında bir bağını bulup alan ifadsini k dğişkn bağlı olarak yazalım. d doğrusunun dnklmi : (a, ) v (, b) is iki nokası bilinn doğru dnklmindn y b a a b a. yb.( a) y b a (, ) nokası doğru üzrind olduğundan, b b b. a a a b a a b a

53 Üçgnsl bölgnin alanı a.b a a. a a² a S min a² a Üçgnsl bölgnin alanının n az (minimum) olması için S olmalıdır. S a² a a.( a) a² ( a)² a.( a ) a² a² a a² a² a a.( a ) a a b olduğuna gör, a. b b olur. Üçgnsl bölgnin alanı S min a.b. bulunur.

54 II. Yol Üçgnsl bölgnin alanı a.b Şimdi, a il b arasında bir bağını bulup alan ifadsini k dğişkn bağlı olarak yazalım. Bnzrlikn, a a b a b a Üçgnsl bölgnin alanı a.b a a. a a² a S a² a Üçgnsl bölgnin alanının n az olması için S olmalıdır.

55 S a² a a.( a) a² ( a)² a.( a ) a² a² a a² a² a a.( a ) a a b olduğuna gör, a. b b olur. Üçgnsl bölgnin alanı S min a.b. bulunur.

56 No : Đki nokası bilinn doğru dnklmi A(, y ) v B(, y ) y y y y No : Đki nokası bilinn doğrunun ğimi A(, y ) v B(, y ) m y y No : Doğrunun ksn parçaları üründn dnklmi (a, ) v (, b) nokalarından gçn doğrunun dnklmi y a b

57 5. Bir f fonksiyonunun grafiğinin a dğrindki ğinin ğimi, b dğrindki ğinin ğimi is ür. f ( ) ikinci ürv fonksiyonu [a, b] aralığında sürkli olduğuna gör, a b f ( ). f ( ) d ingralinin dğri kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm 5 f ( a) f ( b) a b f ( ). f ( ) d f ( ) u dönüşümü yapılırsa, f ( ) d du a u f ( a) u b u f ( b) u a b f ( ). f ( ) d u du u² ² ( )² bulunur.

58 6. Aşağıdaki grafik, A v B bölglrinin alanları şi olacak şkild y k doğrusu vrilmişir. Buna gör, k nin dğri kaçır? A) B) C) D) 9 E) Çözüm 6 I. Yol A B olduğuna gör, A C B C A C.k B C (² ) d ³ ³ A C B C olduğuna gör,.k k ld dilir.

59 II. Yol A B olduğuna gör, A D B D B D.( k) y ² y A D y dy (y ) dy ( y) ( y) ( y) ( y) y () () ( ) A D B D olduğuna gör, 8.( k) k 6 k olur.

60 7. ln d 6 olduğuna gör, ln d ingralinin dğri kaçır? A) 7 6 B) 8 8 C) 9 D) 6 E) 8 Çözüm 7 I. Yol ln d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, ln u (ln ) ( u).ln. d du d dv d dv v ln d. ln.ln. d. ln ln d (.ln.ln ) ln d ln d 6 olduğuna gör, (..).(6 ) 8 9 ld dilir.

61 II. Yol ln d dğişkn dğişirrk ingrali alınırsa, ln ( ) d d ln ln ln d d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, u ( u ) d du d dv d dv v d. d. d Vriln ln d ingralid dğişknin gör düznlnirs, ln d d 6 olacağına gör, d. d..(6 ) ( ) 8 9

62 III. Yol ln d dğişkn dğişirrk ingrali alınırsa, ln ( ) d d ln ln ln d d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, u ( u ) d du d dv d dv v d. d. d d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, u ( u ) d du d dv d dv v d. d. d

63 d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, u ( u ) d du d dv d dv v d. d. d d Kısmi (parçalı) ingrasyon uygulanırsa, u ( u ) d du d dv d dv v d. d.

64 Buna gör, ln d d. d d. d olduğuna gör,... d d. d olduğuna gör,..... d d. olduğuna gör, ( ) ( ) ( ) ld dilir. ( ) ( ) ( )..... ( ) ( )..... ( ) olur. Sonuç olarak d ).( )).( ( ))....( (.( ) 9 bulunur.

65 No : Kısmi (parçalı) ingrasyon yönmi Đki fonksiyonun çarpımının ingralinin hsaplanmasında gnld, kısmi ingrasyon yönmi kullanılır. u () v v () ürvlnbilir fonksiyonlar is çarpımın ürvi formülün gör, ( u. v) u. v v. u yazarız. Hr iki arafı d il çarpıp ingrallrsk, ( u. v) d u. v d v. u d bulunur. Blirsiz ingralin anımından, ( u. v) d u. v yazılabilir. Bunu dikka alarak, u v u. v d. v. u d formülünü ld driz. du u d u d du, dv v d v d dv olduğundan, u. v u dv v du u dv u.v v du ld dilir.

66 ln 8. d ingralind u dönüşümü yapılırsa aşağıdaki ingrallrdn hangisi ld dilir? ln u A) ln u du B) ln u du C) du u Çözüm 8 u dönüşümü yapılırsa, ln u D) du u E) u ln u du u ( ) d du u du d ln d ln u u du u lnu du ld dilir.

67 9. A v B marislri vriliyor. Buna gör, d(a² B²) kaçır? A) B) C) D) E) Çözüm 9 A A² A A B B² B B A² B² d(a² B²). ( ). bulunur.

68 5.. y olduğuna gör, y kaçır? 9 A) B) C) D) E) Çözüm 5. y.. y.. y y y y y olduğuna gör, 9 y y 9 5y y Buna gör, y ld dilir. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA