TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul

Transkript

1 Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde matematik ö renimi gördü. Daha sonra ABD de Yale Üniversitesi nde matematiksel mant k ve cebir konular nda doktora ve aras nda UC Berkeley de ö retim üyeli i yapt. Türkiye ye k sa dönem askerlik görevi için geldi i s rada orduyu isyana teflvik iddias yla tutuklanarak, yarg land. Yarg lama sonunda beraat etti i halde pasaport verilmedi i için ifline dönemeyen Nesin, sonunda yeniden pasaport alarak yurtd fl na gitti aras nda Notre Dame Üniversitesi nde yard mc doçent, ard ndan 1995 e kadar UC Irvine da önce doçent, daha sonra profesör olarak görev yapt. Halen stanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü Baflkan, Nesin Vakf Yöneticisi ve Matematik Dünyas dergisinin yaz iflleri müdürüdür. Yazar n Matematik ve Sonsuz, Matematik ve Korku, Matematik ve Do a, Develerle Eflekler, Önermeler Mant adl matematik kitaplar n n yan s ra çeflitli dergilerde ç km fl bilimsel makaleleri ve ngilizce bir matematik kitab bulunmaktad r.

2 TMD Yay nlar Sabanc Üniversitesi Bankalar Cad Karaköy stanbul Tel: (0212) / Faks: (0212) nternet: e-posta: md@math.bilgi.edu.tr Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram 2008 TMD ktisadi flletmesi Tüm haklar sakl d r. Kitab n tamam ya da bir bölümü yay nc dan yaz l izin al nmaks z n hiçbir flekilde ço alt lamaz, da t lamaz, depolanamaz.

3 Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram

4 çindekiler 1 Önsöz 3 I. Sezgisel Anlamda Küme 9 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi 19 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 29 IV. Fonksiyon Nedir, Ne De ildir? (Sezgisel Anlamda) 45 V. Gerçel Say larda De er Alan Fonksiyonlar 49 VI. Kartezyen Çarp m 53 VII. Sonsuz Odal Hilbert Oteli 57 VIII. Sonsuzu Saymak 65 IX. Kesirli Say lar Saymak 69 X. Say labilir Sonsuzluk 83 XI. Say lamaz Sonsuzluk 89 XII. Say labilir ve Say lamaz Sonsuzluklara Dair Al flt rmalar 91 XIII. Cantor-Schröder-BernsteinTeoremi 95 XIV. Gerçel Say larla Aral klar Eflleniktir 99 XV. R 2 ile R Aras nda Bir Eflleme 103 XVI. Bileflim Kümesinin Eleman Say s ve Birkaç Aritmetiksel Eflitlik

5 Önsöz Bu kitap bir dizinin ilk kitab d r ve henüz tamamlanmam fl bir durumdad r. Okurlar kitaptaki hatalar, eksikleri, olmas gereken ama olmayan al flt rmalar anesin@bilgi.edu.tr adresine iletirlerse sevinirim. Dizinin amac, matemati in en temel kavramlar n, sezgisel olarak, özellikle genç okura sunmakt r. Üniversitede matematik e itimi görmek isteyen liselilere, matematik ö retmenlerine, hatta üniversitede okuyan gençlere yararl olaca n düflünüyorum. Ancak kitab n matemati e yeni bafllayan bir genç taraf ndan tek bafl na okunup anlafl laca ndan do rusu pek emin de ilim. Baz yerlerde daha profesyonel birinin yard m na gerek duyulabilir. Birinci (elinizde tuttu unuz) kitap kümeler kuram üzerine. Kümeler kuram n çok daha soyut ve matematiksel olarak bir baflka (çok daha akademik) kitab m zda sunaca z. Burada, kümeler kuram na sezgisel bir bafllang ç yapmay amaçl yoruz. Sezgisel kümeler kuram, neyin küme olup olmad konusunda k l k rk yarm yoruz, bir kümeyi and rabilecek her fleyi küme olarak kabul ediyoruz demektir. Dolay s yla bu kitapta birkaç pembe yalan vard r. Yalans z dolans z kümeler kuram ö renmek isteyen okur yak nda ç kacak olan daha akademik kitaplar m z okumal d r. Öte yandan pembe de olsa yalan n da bir s n r vard r. Bu kitaptaki kümeler elma ya da armut kümeleri de il, matematiksel nesnelerin kümeleri olacakt r. Okuru uyaray m: Kitab n matematiksel düzeyi okunan sayfa say s yla birlikte (kimi zaman orant s z olarak) artacakt r. Al flt rmalar n da tabii ki. Aksi takdirde çok s k c bir kitapla karfl karfl ya kalabilirdiniz. Bu haliyle bile kitab n pek nefleli oldu unu söyleyemeyiz. Kolay gelsin. 16 Eylül 2008 Ali Nesin 1

6 2

7 I. Sezgisel Anlamda Küme B u ilk yaz da bir kümenin ne anlama geldi ini sezgisel olarak anlamaya çal flaca z. Do al say lar, hatta di er say lar da, bildi imizi varsayaca z. Do al say lar ve di er say lar Say Sistemlerinin nflas adl bir baflka kitab m zda infla edece iz. Tan mlad m z kavramlara matematiksel örnek verebilmek için do al say lara ihtiyac - m z olacak ve do al say lar hiç çekinmeden kullanaca z. Kümenin sezgisel anlam n verelim: Bir küme, ad na ö e ya da eleman dedi imiz baz nesneleri içeren bir topluluktur. Örne in, ülkeler bir küme olufltururlar, bir ülkenin flehirleri bir küme oluflturur, bir flehrin okullar bir küme oluflturur, bir okulun s n flar bir küme oluflturur, bir s n f n ö rencileri bir küme oluflturur. Al flverifl listesi de bir küme olarak görülebilir. Her ülke, ülkeler kümesinin bir ö esidir. Ülkeler kümesini Ü harfiyle, Türkiye yi de T harfiyle gösterirsek, T nin Ü kümesinin bir ö esi oldu unu, T Ü yaz l m yla gösteririz. E er Ankara y A ile simgelersek, Ankara bir ülke olmad ndan, A, Ü nün bir ö esi de ildir. Bunu da, A Ü olarak gösteririz. Matematiksel bir kümenin ö eleri de matematiksel nesneler olmal d r. Matematik yerine günlük hayattan al nan yukardaki örnekler matematiksel anlamda küme de ildirler. Ama do al say lar kümesi matematiksel anlamda bir kümedir çünkü bu kümenin ö eleri 0, 1, 2, 3 gibi say lard r ve (Say Sistemleri adl kitab m zda görece imiz gibi) bunlar matematiksel nesnelerdir.) 3

8 4 I. Sezgisel Anlamda Küme Do al say lar kümesi N simgesiyle gösterilir. Örne in, 5 N, 5/2 N, 4 N ve 2 N iliflkileri do rudur. Ö e olarak sadece 2 yi, 3 ü, 5 i ve 7 yi içeren küme {2, 3, 5, 7} olarak yaz l r. {2, 3, 4} bir baflka kümedir; bu son kümenin üç ö esi vard r: 2, 3 ve 4. Yukarda kulland m z { ve } simgelerine açan ve kapatan küme parantezi ad verilir. Küme parantezleri aras na ayn ö eyi elli defa yazmak, o kümede o ö eden elli tane var anlam na gelmez! Bir ö eden bir kümede ancak tek bir tane olabilir... Örne in, {a, a, a} kümesinin bir tek ö esi vard r, o da a d r. {a, b} kümesinin en az bir, fazla iki ö esi vard r; e er a = b ise bir, a b ise iki ö esi vard r. {a, b} ile {b, a} yaz l mlar aras nda matematiksel anlamda bir fark yoktur, ikisi de ayn kümeyi simgeler, çünkü ayn ö eleri vard r: a ve b. Genel olarak, ayn ö eleri olan iki küme birbirine eflittir. Örne in, {a, a, b} = {a, b}, çünkü kümelerin birinde olan bir eleman di erinde de mevcuttur. Ayn ö eleri olan iki küme birbirine eflittir. Bir örnek daha: E er a, 8 den küçük asal say lar kümesi, b, x 4 17x x 2 247x = 0 denkleminin çözüm kümesi, c = {2, 3, 5, 7} ise ise, o zaman a = b = c eflitlikleri geçerlidir. Kümeleri yandaki flekildeki gibi yumurta ya da patates biçiminde bir flekille gösteririz. Kümenin ö elerini yumurtan n içine yazar z. Örnekte üç ö eli x = {a, b, c} kümesi çizilmifl. d x oldu undan, d, yumurtan n d fl na yaz lm fl. Kimi zaman bir kümenin ö eleri de küme olabilirler. Örne in {{0, 3, 5}, {0, 2}} kümesinin {0, 3, 5} ve {0, 2} olmak üzere iki ö esi vard r ve her iki ö e de bir kümedir. Küme olan bu ö elerin de ö eleri vard r. Bu durumu bir sonraki flekildeki gibi gösterebiliriz. d a c x b

9 I. Sezgisel Anlamda Küme 5 Kümenin elemanlar n kümenin çocuklar olarak düflünecek olursak, kümenin elemanlar n n elemanlar n kümenin torunlar olarak düflünmek gerekir. Elbette baz kümelerde kümenin elemanlar n n elemanlar n n elemanlar ndan da sözedebiliriz. {0, 3, 5} bir kümedir, ama bu küme yukardaki örnekte oldu u gibi bir baflka kümenin ö esi olabilir. Demek ki ayn nesne ayn anda hem küme hem de ö e olabiliyor. Bu gibi durumlarda ayn nesneyi ayn flekil üzerinde iki de iflik biçimde resmetmekte yarar olabilir: 1) Ö e olarak, yani bir nokta olarak, ) Küme olarak, yani yumurta biçiminde bir flekille. Yukar daki örnekten çok daha karmafl k durumlar olabilir. Sözgelimi {{{{0}}}} kümesinin tek bir ö esi vard r, o da {{{0}}} kümesidir. {{{0}}} kümesinin de bir tek ö esi vard r, o da {{0}} kümesidir. {{0}} kümesinin de bir tek ö esi vard r, o da {0} kümesidir. {0} kümesinin de bir tek ö esi vard r, o da 0 d r. Bu örne imiz sa da resmedilmifltir. Daha karmafl k durumlar olabilir. fiu örne i ele alal m: x = {{0, 2}, {2, 3, 4}, 2, 3}. Bu kümeyi ve ö elerini yandaki flekilde resmettik. Daha daha tuhaf durumlar olabilir. Sözgelimi öyle bir x kümesi olabilir ki x in bir tek ö esi vard r ve bu ö e gene x tir... Yani x = {x} olabilir. O zaman x x x... {0, 3, 5} {0, 2} En yukarda, ö eleri {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri olan iki ö eli küme görülüyor. Bu kümeyi griye boyad k. Bu kümede {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri birer nokta olarak, yani birer ö e olarak gösterilmifl. Altta ise, {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri küme olarak gösterilmifl. olur. Biz olabilir dedik diye olacak de il ama böyle bir durum gene de olabilir, olmamas için görünürde bir neden yok, hayal etmesi oldukça zor bir durum bile olsa... fiöyle bir durum da olabilir: x = {y} ve y = {x}. O zaman x y x y... olur. Ya da flöyle bir durum olabilir: 0 x {{0}} {0} 2 {{{{0}}}} {{{0}}} {{{0}}} {{0}} {0, 2} {2, 3, 4} {0} 0

10 6 I. Sezgisel Anlamda Küme x = {y}, y = {z} ve z = {x}. flte bu üç durumun resimleri: x y y z x x x y y x z x x x x y ve y x x y, y z ve z x Yukardaki flekilde resmedilen durumlar, burada aç klamas imkâns z ve hatta gereksiz olan bir nedenden kümeler kuram nda (Temellendirme Aksiyomu ad verilen bir aksiyomla) yasaklan r. Bunu Kümeler Kuram adl kitab m zda görece iz. Ama flimdilik bu durumlar n olamayaca n düflünmemiz için bir neden yok, hatta olabilece ini düflünmek, sezgiyle matematiksel bilgiyi ay rdedebilmek aç - s ndan yararl bile olabilir. lkokul Kitaplar ndan Yayg n Bir Yanl fl Birçok ilkokul matematik kitab nda flu tip sorular görülür: Afla daki kümede kaç ö e vard r? Do ru yan t kitaba göre 3 tür. Oysa üç elma da t pat p ayn oldu undan do ru yan t 1 olmal d r. Al flt rmalar 1. {{1, 2, {1, {2}}}} kümesinin kaç ö esi vard r? 2. A = {1, 2, 3, 4, 5} ise {xy : x A, y A} kümesini bulun. 3. E er {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, t}} ise x = z ve y = t eflitliklerini kan tlay n. 4. E er {x, {x, y}} = {z, {z, t}} ise, x = z ve y = t olmak zorunda m - d r? 5. Bir ders kitab nda s n f m z n güzel k zlar n ö e olarak içeren bir kümeden sözediliyordu. Neden böyle bir küme (ne matema-

11 I. Sezgisel Anlamda Küme 7 tikte, ne sosyolojide, ne de herhangi bir bilimsel dalda) olamaz? 6. x x iliflkisini sa layan bir x kümesinin varl n n kabul edilebilir olup olmad konusunda arkadafllar n zla felsefi bir tart flmaya girin. Matematiksel olarak kimsenin hakl ç kamayaca n bilerek nsano lunun bugüne kadar hiç düflünmedi i ve 3000 y l na kadar da hiç düflünmeyece i, hiçbir biçimde tan mlamad ve tan mlamayaca, akl na hiç gelmeyen ve hiç gelmeyecek do al say lar vard r elbet. Bu do al say lardan oluflan kümenin en küçük ö esi (say s ) vard r. Bu say hakk nda ne düflünüyorsunuz? Birkaç Lüzumlu Küme Bu altbölümde ilerde kullanaca m z çok bilinen birkaç say kümesi tan mlayaca z. N nin do al say lar kümesi oldu unu söylemifltik. 0 n da bir do- al say oldu unu varsay yoruz. yani, N = {0, 1, 2,...} dir. Baz kitaplarda N = {1, 2, 3,...} tan m kabul edilir ama biz öyle yapmayaca z. Z, tamsay lar kümesi olacak, yani Z, do al say lar ve do al say - lar n eksilerini içerecek: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Q, kesirli say lar kümesini simgeleyecek, yani iki a ve b tamsay s için a/b biçiminde yaz lan say lar içeren küme olacak. Burada b, 0 olmayan bir tamsay olarak al nmal d r. Örne in 2/3 Q, öte yandan π, 2 Q. π nin kesirli bir say olmad n n kan t çok zordur ama 2 nin kesirli bir say olmad n n kan t oldukça kolayd r ve hemen hemen her popüler matematik kitab nda bir kan t mevcuttur. R, gerçel say kümesini simgeleyecek. E er a ve b iki gerçel say ysa, flu tan mlar yapal m: (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b] = {x R : a x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, (a, ) = {x R : a < x}, [a, ) = {x R : a x}, (, b) = {x R : x < b}, (, b] = {x R : x b}. Bu kümelere aral k ad verilir. (E er yukardaki tan mlar anlamakta zorluk çekiyorsan z, bu bölüm sonundaki gri kutuya bak n z; gene anlam yorsan z bir bilene sorunuz.)

12 8 I. Sezgisel Anlamda Küme E er a b ise (a, b), [a, b), (a, b] aral klar ve e er a > b ise [a, b] aral boflkümedir. (Boflkümeyi bir sonraki bölümde tan mlayaca z!) Öte yandan e er a < b ise, a+ b (, ab) 2 oldu undan, bu durumda (a, b) boflküme olamaz Bu bölümde sözünü etti imiz her kümeyi ve her say y ilerde yay mlanacak olan ve seviyesi biraz daha yüksek olan Say Sistemlerinin nflas adl kitab m zda matematiksel olarak tan mlayaca z. Bu kitapta, okurun gerçel say larla ve gerçel say larla yap lan toplama, ç karma, çarpma, bölme gibi ifllemlerle aflina oldu unu varsayaca z. Bu temel kavramlar n varl n kabul etmeseydik, örnek bulmakta zorlan rd k ve kitap anlafl lmaz olurdu. Say Sistemlerinin nflas adl kitab m zda 0, 1, 2 gibi say lar dahil matematikte sözü edilen her nesnenin bir küme oldu unu görece iz. {x X : P(x)} Ne Demektir? Metindeki {x R : a < x < b} örne iyle anlatmaya çal flal m. Bu küme, R nin a < x < b eflitsizliklerini (özelli ini) sa layan x elemanlar n n kümesidir. { x R : a < x < b } R nin a < x < b özelli ini sa layan x elemanlar n n kümesi Bir baflka örnek: {x N : bir y N için x = y 2 + 1} ile gösterilen küme, do al say lar n karelerinin 1 fazlalar ndan oluflmufl kümedir, yani {1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 65,...} kümesidir. Genel olarak, e er X bir kümeyse, {x X : P(x)} ile gösterilen küme X in P özelli ini sa layan x elemanlar n n kümesi anlam na gelir.

13 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi Boflküme Hiç ö esi olmayan kümeye boflküme denir. Boflkümenin bitanecik bile ö esi yoktur. Boflküme simgesiyle gösterilir. Demek ki, x ne olursa olsun, x. Boflküme var m d r ya da olmal m d r? Elbette olmal d r. Örne- in her fleyi bilen insanlar kümesi boflkümedir, 2008 y l na kadar Türkiye nin ya da ABD nin cumhurbaflkan olmufl kad nlar n kümesi boflkümedir. Boflkümeden bol ne var! Ancak bir tane boflküme vard r! Bunu hemen kan tlayabiliriz. Diyelim iki tane boflküme var, yani hiç ö esi olmayan iki tane küme var. Hiç ö esi olmayan bu iki kümeye x ve y diyelim. x = y eflitli ini kan tlayaca z. Kan tlayal m. Diyelim, x ve y kümeleri birbirine eflit de il. O zaman ikisinden birinde di erinde olmayan bir ö e olmal, çünkü her ikisinin de ayn ö eleri olsayd küme eflitli inin tan m ndan dolay (sayfa 4) x ve y kümeleri birbirine eflit olurdu. Ama bu kümelerin hiç ö esi yok ki ikisinden birinde di erinde olmayan bir ö e olsun!.. Demek ki bu iki küme birbirine eflitmifl... Boflkümeden sadece bir tane oldu undan ona boflküme ad n verme ve onu simgesiyle gösterme hakk n kendimizde buluyoruz. ki tane olsayd örne in, birine 1, di erine 2 olarak göstermek zorunda kal rd k. fiimdi birçok kifliye tuhaf gelebilecek bir teorem kan tlayal m: Boflkümenin her ö esi 1 e eflittir! Kan t n püf noktas boflkümenin hiç ö e içermemesidir. Tan m gere i hiç ö e içermeyen boflkümenin her ö esi 1 e eflittir! Bunu kan tlayal m. Diyelim ki sav m z yanl fl, yani boflkümenin her ö esi 1 e eflit de il... O zaman boflkümede 1 e eflit olmayan bir ö e vard r. Ama hani boflkümede hiç ö e yoktu? Hiç ö e- 9

14 10 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi si olmayan boflkümede 1 e eflit olmayan bir ö e olabilir mi? Elbette olamaz. Demek ki boflkümenin her ö esi 1 e eflit! Yukardaki kan t n bir benzeri, boflkümenin her ö esinin 2 ye eflit oldu unu da kan tlar. Yani boflkümenin her ö esi hem 1 e hem de 2 ye eflittir, hatta hatta π ye ve 2 ye de eflittir... Neyse ki boflkümenin hiç ö esi yok... Olsayd, 1 = 2 gibi saçmasapan bir eflitlik kan tlam fl olacakt k! Boflkümenin her ö esi istedi imiz tüm özellikleri sa lar. Boflkümenin her ö esi sar d r, yeflildir, uzundur, ayn zamanda k sad r da. Hiç ö esi olmayan boflkümenin tüm ö eleri tüm özellikleri ve eflitlikleri sa larlar. Bunu boflkümenin hiç ö esi olmamas na borçluyuz. Boflkümeyi bofllamayal m! En önemli bir iki kümeden biridir boflküme. Bir ö eli çok küme vard r, ama s f r ö eli tek bir küme vard r: boflküme. Sadece bu özellik bile boflkümenin di er kümelerden ayr lmas na, ayr cal kl k l nmas na yeter. Henüz Do mam fl Eflekler Kümesi! Daha do mam fl eflekler kümesi nas l bir kümedir? Daha do mam fl eflekler oldu undan, daha do mam fl eflekler kümesi boflküme olamaz. Ama daha do mam fl eflekler kümesinin bir tek ö esini gösteremezsiniz. Bundan da flu anlafl l yor: Bir kümenin var olmas için illa o kümenin bütün ö elerini bilmemiz gerekmiyor. Bu, fluna benzer: kinci Dünya Savafl nda ölen Frans zlar n say s belli bir do al say d r. Bu say y tam olarak bilmememiz böyle bir say - n n olmad anlam na gelmez. Daha matematiksel bir örnek alal m. Dünyada hiçkimsenin yan t n bilmedi i evet/hay r yan tl bir soru olsun. fiimdi A kümesini e er yan t evet se {1} olarak, yan t hay r sa {0} olarak tan mlayal m. A kümesinde bir eleman oldu unu biliyoruz ama hangi eleman oldu unu (henüz!) bilmiyoruz. Altküme E er x kümesinin tüm ö eleri ayn zamanda y kümesinin ö eleriyse, o zaman, tan m gere i, x kümesi y kümesinin bir altkümesidir. Bunu x y olarak gösteririz. Dilersek y ye x in üstkümesi ad n verebiliriz ama bu terim matematikte pek az kullan l r. Elbette N Z Q R dir. Yani her do al say bir tamsay, her tamsay bir kesirli say, her kesirli say bir gerçel say d r. Baflka örnekler verelim:

15 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi 11 Çift do al say lar kümesi {0, 2, 4, 6,...} do al say lar kümesinin bir altkümesidir. {0, 2} kümesi {0, 1, 2, 3} kümesinin bir altkümesidir. {0, 2, 3} kümesi de {0, 1, 2, 3} kümesinin bir altkümesidir. x hangi küme olursa olsun, x, x in bir altkümesidir, yani x x iliflkisi her x kümesi için geçerlidir, çünkü x in her ö esi x in bir ö esidir, kuflku mu var?.. E er x y ise ve x y ise, x e y nin özaltkümesi denir ve bu x y olarak gösterilir. Örne in N Z Q R dir. E er x y do ru de ilse, yani e er x, y nin bir altkümesi de ilse, bu x y olarak yaz l r. Okurun anlam n bilmesi ya da tahmin edebilmesi gereken Ø,, Æ, gibi, anlamlar n n bariz oldu unu umdu umuz standart simgeleri de kullanaca z ilerde. ki kümenin birbirine eflit oldu unu kan tlamak için her birinin di erinin altkümesi oldu unu kan tlamak yeterlidir ve hatta gereklidir: x kümesinin y kümesine eflit olmas için (x y) ve (y x) iliflkileri yeter ve gerek koflullard r. Yani x in y ye eflit oldu unu kan tlamak için, x in y nin bir altkümesi oldu unu ve y nin x in bir altkümesi oldu unu kan tlamak gerekir. Bu yüzden iki kümenin eflit olduklar n n kan t genellikle iki ayr bölümde yap l r. Bir kümenin altkümeleriyle o kümenin ö elerini birbirine kar flt rmamak gerekir. Örne in (daha daha anlafl l r olmak için matematiksel olmayan bir örnek veriyoruz!) sesli harfle bafllayan flehirlerimizden oluflan küme, Türkiye nin flehirleri kümesinin bir altkümesidir ama bir ö esi de ildir, çünkü sesli harfle bafllayan flehirler kümesi bir flehir de ildir. Bir s n f n k z ö rencilerinden oluflan küme, bir s n f n ö rencilerinden oluflan kümenin altkümesidir ama kesinlikle ö esi de ildir, s n fta bir tek k z olsa bile... Ancak kimileyin, bir küme, bir baflka kümenin hem ö esi {0, 1} 0 1 {0, 1} kümesi, {0, 1, {0, 1}} kümesinin hem ö esi hem de altkümesidir. hem de altkümesi olabilir. Örne in {0, 1} kümesi, {0, 1, {0, 1}} kümesinin hem ö esi hem de altkümesidir. Yukardaki flekilde bu durumu resmettik. Boflküme her kümenin altkümesidir. Örne in biraz önce boflkümenin her eleman n n 1 e eflit oldu unu kan tlayarak, asl nda {1} önermesini kan tlam flt k.

16 12 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi Boflkümenin her kümenin altkümesi oldu unu kan tlayal m. x herhangi bir küme olsun. Boflkümenin x in bir altkümesi oldu unu kan tlamak istiyoruz. Yani boflkümenin her ö esinin x in bir ö esi oldu unu kan tlamak istiyoruz. Diyelim ki bu do ru de il, yani diyelim ki boflkümede x te olmayan bir ö e var. Ama hani boflkümede hiç ö e yoktu! Hiç ö esi olmayan boflkümede x te olmayan bir ö e olabilir mi? Olamaz elbet. Demek ki boflkümenin her ö esi x in bir ö esiymifl, yani boflküme x in bir altkümesiymifl... Kan t m z bitmifltir! Boflküme, her kümenin altkümesi olan tek kümedir. Dolay s yla kümeler kuram nda boflkümenin bir ayr cal vard r. Ayr ca boflküme, yukar da gördü ümüz üzere, 0 elemanl tek kümedir. Ama tabii ki her kümenin bir altkümesi olan boflküme her kümenin bir eleman de ildir. Örne in boflküme boflkümenin bir eleman de ildir (ama bir altkümesidir.) {0, 1, 2} kümesinin altkümelerini teker teker yazal m, tam sekiz tane var: 0 ö esi olanlar 1 tane:. 1 ö esi olanlar 3 tane: {0}, {1}, {2}. 2 ö esi olanlar 3 tane: {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}. 3 ö esi olanlar 1 tane: {0, 1, 2}. Sadece {0, 1, 2} kümesinin de il, üç ö esi olan her kümenin sekiz tane altkümesi vard r. Genel olarak, n ö esi olan bir kümenin 2 n altkümesi vard r. Bunun kan t n okura b rak yoruz. (Ama ilerde kan t verece iz.) Örne in 0 tane ö esi olan boflkümenin 2 0 tane, yani 1 tane altkümesi vard r, o altküme de boflkümedir. Tek ö eli { } kümesinin iki altkümesi vard r, ve { }. ki ö eli {, { }} kümesinin dört altkümesi vard r:, { }, {{ }} ve {, { }}. Al flt rmalar 1. {1, 2, 3, 4} kümesinin tüm altkümelerini (hiçbirini unutmadan, belli bir s rada) yaz n. 2. {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanl tüm altkümelerini (hiçbirini unutmadan, belli bir s rada) yaz n. 3. {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 ü içeren tüm altkümelerini (hiçbirini unutmadan, belli bir s rada) yaz n. 4. n tane eleman olan bir kümenin tam n tane n 1 elemanl altkümesi oldu unu kan tlay n. 5. Sadece 5 altkümesi olan bir küme var m d r? 6. Boflkümenin kaç tane altkümesi vard r?

17 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi 13 Altküme Olma Özelli inin Basit Özellikleri Afla daki özellikler altküme olma iliflkisinin sa lad en temel özelliklerdir ve her birinin kan t çok kolayd r: x x, x y ve y x ise x = y, x y ve y z ise x z. Benzer özellikleri iliflkisi için de ifade edebiliriz: x Ø x, x y ve y z ise x z. Ve elbette x y ve y z ise x z olur. Son olarak, daha önce kan tlad m z x özelli ini an msatal m. Say Kümeleriyle Birkaç fllem E er X R ve r, s R ise, X + r ve sx kümeleri flöyle tan mlan r: X + r = {x + r : x X}, X r = {x r : x X}, sx = {sx : x X}. Bu tan mlardan, sx + r = {sx + r : x X} eflitli i ç kar elbet. Örne in 2N, çift do al say lar kümesidir. 2N + 1 de tek do al say lar kümesi. 5N + 3, 5 e bölündü ünde kalan n 3 oldu u do al say - lar kümesidir. r + X ve Xs kümelerini benzer flekilde tan mlay p, kolayca, X + r = r + X ve sx = Xs eflitliklerine varabiliriz. Ayr ca X kümesi ( 1)X olarak tan mlan r. Kolayl kla X = { x : x X} ve ( X) = X eflitliklerinin geçerli oldu u görülür. E er X, Y R ise, X Y = {x y : x X ve y X}, X + Y = {x + y : x X ve y X}, XY = {xy : x X ve y X} olarak tan mlan r. X X kümesinin ancak X boflkümeyse boflküme olabilece ini dikkatinize sunar z, e er X boflküme de ilse, X X kümesi en az ndan 0 eleman n içerir; genel olarak, (e er X sonluysa) X X kümesinin eleman say s X kümesinin eleman say s ndan daha az olamaz. E er X R altkümesi X X X iliflkisini sa l yorsa X in ç karma alt nda kapal oldu u söylenir. X + X X ya da XX X oluyorsa X in s ras yla toplama ya da çarpma alt nda kapal oldu u söylenir.

18 14 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi Örne in N, toplama ve çarpma alt nda kapal d r ama ç karma alt nda kapal de ildir. Tek say lar kümesi çarpma alt nda kapal d r ama toplama ve ç karma alt nda kapal de ildir. Okur al flt rma olarak ç karma alt nda kapal olan kümelerin toplama alt nda da kapal oldu unu kan tlayabilir. R nin ç karma alt nda kapal olan ve 0 içeren altkümelerine toplamsal grup denir. Biz k saca grup diyece iz. Örne in her r R için, rz ve rq grupturlar. Al flt rmalar 1. X = ve r R ise r = + r = eflitliklerini kan tlay n = ve = eflitliklerini kan tlay n. 3. X R olsun. Y = (1/2)(X + X) olsun. X in Y nin bir altkümesi oldu unu kan tlay n. 4. Z + Z = Z ve N + N = N iliflkilerini kan tlay n. 5. 5Z + 8 = 5Z + 3 = 5Z + ( 2) eflitliklerini kan tlay n. 6. 5Z + 5Z = 5Z, 5Z + 3Z = Z, 5Z 5Z = 5Z ve 12Z + 28Z = 4Z eflitliklerini kan tlay n. 8. 5N + 3N = {0, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12,...} eflitli ini gösterin. 9. 5N + 4N, 7N + 5N, 19N + 16N kümelerinin belli bir say dan büyük tüm do al say lar içerdi ini gösterin. 10. E er 0 n Z ise Z (1/n)Z iliflkisini kan tlay n. 11. mz nz iliflkisinin geçerli olmas için n tamsay s n n m tamsay s n tam bölmesi gerekti ini kan tlay n. 12. (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) eflitli ini kan tlay n. (Aral klardan söz ediyoruz.) 13. (a, b)(c, d) = (ab, cd) eflitli ininin her zaman do ru olmad n gösterin. Bu eflitli in do ru olmas için a, b, c ve d say lar n n sa lamas gereken gerek ve yeter koflullar bulun. 14. t(rx + s) = trx + ts eflitli ini kan tlay n. 15. X, R nin bir altkümesi olsun. 2X X + X iliflkisini kan tlay n. 2X X + X iliflkisini sa layan bir X R altkümesi bulun. 16. X, R nin X X X iliflkisini sa layan bir altkümesi olsun. 16a. X + X X iliflkisini kan tlay n. pucu: x + y = x ((x x) y). 16b. E er X ise 0 X oldu unu ve X = X X = X + X eflitliklerini kan tlay n. 17. X Z bir grup olsun. Bir ve bir tek n N için X = nz eflitli- ini kan tlay n. (nz türünden yaz lan kümelerin grup olduklar belli.) 18. Her p, q Q için, pz + qz = rz eflitli ini sa layan bir r Q oldu unu kan tlay n.

19 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi E er X R kümesinin n eleman varsa, X X kümesinin en az kaç eleman olmal d r, en fazla kaç eleman olabilir. Her iki durum için örnek veriniz. Altkümeler Kümesi Bir kümenin tüm altkümelerini ö e olarak içeren ve bu altkümelerden baflka hiçbir ö e içermeyen bir küme vard r. Örnek 1. E er x = {0, 1} ise, x in altkümelerinden oluflan küme, {, {0}, {1}, {0, 1}} kümesidir. Örnek 2. E er x = {0, 1, 2} ise, x in altkümelerinden oluflan küme, {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} kümesidir. E er x bir kümeyse, x in altkümelerinden oluflan küme (x) olarak yaz l r. Demek ki, ({0, 1}) = {, {0}, {1}, {0, 1}} ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} ( ) = { } ( ( )) = ({ }) = {, { }} ( ( ( ))) = ({, { }}) = {, { }, {{ }}, {, { }}}. Elbette, e er x bir kümeyse, (x) ve x (x) olur. Ayr ca, e er x y ise o zaman (x) (y) olur. Bunun ters istikametlisi de do rudur. E er (x) (y) ise o zaman x y olur; nitekim x (x) (y) oldu undan x (y) olur, yani x, y nin bir altkümesidir. Altkümeleri S ralamak Sonlu bir kümenin tüm altkümelerini sistematik bir biçimde yazabilmek, hiçbirini unutmadan ve hiçbirini iki kez yazmadan otomatik s ralayabilmek önemlidir. Bunu yapman n çeflitli yollar vard r. En kullan fll lar ndan birini gösterelim. Diyelim x kümesinin 4 eleman var. Bu elemanlara 1, 2, 3, 4 diyelim. Her altkümeyi 4 uzunlu unda bir 0-1 dizisi olarak gösterece iz. Örne in 0110 dizisi x in {2, 3} altkümesini temsil edecek çünkü 0110 dizisinin sadece 2 nci ve 3 üncü terimleri 1, di erleri 0. Dizinin k-inci terimi 1 ya da 0 oldu una göre, k nin altkümede olup olmad n belirleyecek. fiimdi {1, 2, 3, 4} kümesinin altkümelerini alfabetik olarak küçükten büyü e do ru s ralayal m:

20 16 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi {4} 0010 {3} 0011 {3, 4} 0100 {2} 0101 {2, 4} 0110 {2, 3} 0111 {2, 3, 4} 1000 {1} 1001 {1, 4} 1010 {1, 3} 1011 {1, 3, 4} 1100 {1, 2} 1101 {1, 2, 4} 1110 {1, 2, 3} 1111 {1, 2, 3, 4} Bu s ralama yönteminden de belli ki n elemanl bir kümenin her altkümesini n uzunlu undaki tek bir 0-1 dizisiyle simgeleyebiliriz. Ve n uzunlu undaki her 0-1 dizisi bu simgeleme yöntemiyle kümenin tek bir altkümesine tekabül eder. Bu s ralama yöntemiyle sadece sonlu kümelerin de il, N nin altkümelerini de s ralayabiliriz. Nitekim do al say lar n her altkümesini sonsuz bir 0-1 dizisi olarak gösterebiliriz. Örne in, bu yöntemle, diye bir 1 bir 0 olarak devam eden dizi çift say lar kümesini simgeler. Öte yandan asal say lar kümesi Elbette sonlu bir kümenin altkümelerini s ralaman n bambaflka yollar da vard r. flte yukardaki kümenin altkümelerinin s ralanmas n n bir baflka yöntemi: 0, 1, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 23, 24, 34, 123, 124, 134, 234, diye bafllayan diziyle simgelenir. Terimleri sadece 0 olan dizi boflkümeyi, terimleri sadece 1 olan dizi de N nin kendisini simgeler. n uzunlu undaki her 0-1 dizisini de, afla daki flekilde n = 4 için gösterildi i üzere, yüksekli i n olan ikili bir a ac n en üst noktalar yla ya da - ayn fley - a ac n en dibinden en yüksek dal na giden bir yolla simgeleyebiliriz. Demek ki 4 elemanl bir kümenin her altkümesini, 4 yüksekli indeki ikili bir a ac n en dibinden bafllayan ve t rmanabildi i kadar t rmanan bir yolu olarak simgeleyebiliriz. Do al say lar n her altkümesini de sonsuz yükseklikteki ikili a ac n en dibinden bafllayan ve hiç durmadan t rmanan bir (ve tek bir) yolu

21 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi x olarak simgeleyebiliriz. E er k say s kümedeyse, k-inci kattan (k+1)- inci kata sa dan, yoksa solsan ç kar z. Örne in bir sa bir sol yapan sonsuz yol çift say lar kümesini, sürekli sola giden yol boflkümeyi, sürekli sa a giden yol do al say lar kümesinin kendisini simgeler. Al flt rmalar 1. x y (x) (y) iliflkisini kan tlay n. ( simgesinin anlam için yandaki gri kutucu a bak n z.) 2. Befl elemanl bir kümenin tüm altkümelerini (hiçbirini unutmadan ve her birini tek bir defa yazarak ve belli bir yöntem izleyerek) yaz n. 3. Metinde aç klanan yöntemle en dipten bafllayarak sürekli iki sol bir sa yapan sonsuz yol N nin hangi altkümesini temsil eder? 4. Her x kümesi için, 0 (x) = x ve her n N için, n+1 (x) = ( n (x)) olsun. 4a. Her x kümesi için, {{, {{x}}} n (x) iliflkisini sa layan en küçük n yi bulun. 4b. Her x kümesi için, (x) n (x) iliflkisini sa layan en küçük n yi bulun. simgesi ancak ve ancak demektir. Yani e er α ve β matematiksel tümcelerse, α β tümcesi α do ruysa β do ru ve β do ruysa α do ru demektir. Bu, Türkçemizde, α ancak ve ancak β ise olarak okunur. 4c. m verilmifl bir do al say olsun. Her x kümesi için, m (x) n (x) iliflkisini sa layan en küçük n yi m cinsinden bulun. 4d. m ve n verilmifl iki do al say olsun. E er x, n elemanl bir kümeyse, m (x) kümesinin kaç eleman vard r?

22 18 II. Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi 4e. x bir küme ve n ve m birer do al say olsun. E er n (x) = m (x) eflitli i do ruysa n ve m do al say s hakk nda ne söyleyebilirsiniz? Neden? 4f. Her x kümesi ve her n do al say s için, ( n (x)) = n ( (x)) eflitli i do ru mudur? Ya m ( n (x)) = n ( m (x)) eflitli i her n ve m do al say s için do ru mudur? 5. A bir küme olsun. E er a, b A ise, {{a}, {a, b}} ( (A)) iliflkisini kan tlay n.

23 III. Bileflim, Kesiflim, Fark Bu yaz da kümelerle yap lan üç önemli ve temel ifllemden sözedece- iz: bileflim, kesiflim ve fark. Bileflim. ki kümenin bileflimini almak çok kolayd r. Örne in, x = {0, 2, 4, 5} ve y = {1, 3, 5} ise, bu iki kümenin bileflimi {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesidir, yani iki kümenin en az ndan birinde olan ö elerin kümesidir. x ve y kümelerinin bileflimi x y olarak gösterilir. 0 x y 2 3 x ve y kümeleri 0 x y x y kümesi leride sonsuz say da kümeyi de bilefltirece iz, flimdilik iki kümenin bileflimiyle ilgilenelim. 19

24 20 III. Bileflim, Kesiflim, Fark Sonlu say da kümenin bileflimin afla daki özelliklerini kan tlamak kolayd r: 1. De iflim Özelli i: x y = y x. 2. Etkisiz Ö e: x = x. 3. Tekgüçlü fllem: x x = x. 4. Birleflme Özelli i: x (y z) = (x y) z 5. Yutulma: x x y 6. x y x y = y ki yerine üç, hatta daha fazla kümenin bileflimini alabiliriz. Örne- in, yukardaki dördüncü eflitlikte üç kümenin bileflimini ald k. x, y, z kümelerinin bileflimi (dördüncü özelli e göre gereksiz olan parantezler at larak) x y z olarak yaz l r. Sonsuz say da kümelerin de bileflimi al nabilir. Örne in, n N için, [0, n] kapal aral klar n n bileflimini alabiliriz: [0, 0] [0, 1] [0, 2] [0, 3]... Bu bileflim, [0, 0], [0, 1], [0, 2], [0, 3],... aral klar ndan birinde olan gerçel say lardan, yani belli bir n do al say s için, [0, n] aral n n içine düflen gerçel say lardan oluflur, bunlar da negatif olmayan gerçel say lard r. (Bölüm sonundaki gri kutucu a bak n z.) Negatif olmayan gerçel say lar kümesi R 0 olarak yaz l r. Demek ki, [0, 0] [0, 1] [0, 2] [0, 3]... = R 0. Yukardaki bileflimi daha k sa, daha anlafl l r ve daha fiyakal bir biçimde, U [, 0 n] ya da [, 0 n] [, 0 n] n= 0 U ya da n = 0, 12,,... Un N olarak gösterebiliriz. Burada bileflimi n = 0 dan bafllatt k. steseydik bileflimi n = 5 ten de bafllatabilirdik ve sonuçta bir de ifliklik olmazd : 0 U [ 0, n] = [ 0, n]. n= 0 U = R n= 5 Birazc k daha zor bir baflka bileflim örne i verelim: U [, / n]. n = 123,,,... Bu kümenin [0, 1) aral na eflit oldu unu kan tlayal m. Her n = 1, 2, 3, 4,... için, 0 1 1/n < 1 oldu undan, [0, 1 1/n) [0, 1) olur, dolay s yla bu [0, 1 1/n) aral klar n n bileflimi de [0, 1) aral n n altkümesidir. Böylece

25 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 21 iliflkisini kan tlam fl olduk. fiimdi, U n [ 0, 1 1 / n] [ 0, 1 ) = 123,,,... iliflkisini kan tlayal m. Sol taraftaki kümeden bir x say s alal m. Bu say n n sa taraftaki kümede oldu unu gösterece iz. Gösterelim: x < 1 oldu undan, 1 x > 0 d r. Dolay s yla, 1 < n(1 x) eflitsizli ini sa layan bir n do al say s vard r. (Gri kareye bak n.) Demek ki, 0 x < 1 1/n, yani x [0, 1 1/n) olur. Bundan da x in sa taraftaki sonsuz bileflimde oldu u ç kar. stedi imiz kan tlanm flt r. E er A, elemanlar küme olan bir kümeyse, X A X, A n n ö elerinin (ama bunlar da birer U n = 123,,,... [,) 01 [, 0 1 1/ n] Arflimet Özelli i Arflimet Özelli i ne göre, pozitif bir gerçel say ne kadar küçük olursa olsun, o say y kendisiyle yeterince defa toplayarak her say y geçebiliriz. Dolay s yla e er x < 1 ise 1 x pozitif bir say d r ve belli bir n do al say s için 1 < n(1 x) eflitsizli i do ru olur. Arflimet Özelli i ni Say Sistemlerinin nflas adl kitab m zda kan tlayaca z. küme) bileflimidir. Yani X A X kümesi, A n n elemanlar n n elemanlar ndan oluflan kümedir. Örne in, X (B) X = B. X A X kümesinin matematiksel tan m n biraz daha biçimsel ifade etmekte yarar olabilir: x X A X A da öyle bir X eleman var ki, x X. b Y a T U α s A Y b a s T α U X A X kümesi a, b, s, T, U, Y, α kümelerinin bileflimidir. Buradan, A = ise X A X = ç kar, çünkü x ne olursa olsun, sa daki önermeyi sa layan bir X A yoktur, ne de olsa A =. X A X kümesi bazen daha sade bir yaz l mla A olarak yaz l r. Örne in {X, Y, Z} = X Y Z ve {X} = X.

26 22 III. Bileflim, Kesiflim, Fark Göstergeçler ve Göstergeç Kümeleri Göstergeçleri bir örnekle anlatmaya çal flal m. [, / n] = 123,,,... yaz l m nda en altta bulunan 1, 2, 3 say lar na indeks ya da göstergeç denir. Bu yaz l mda göstergeç kümesi pozitif do al say lard r. Herhangi bir küme göstergeç kümesi olabilir. Örne in, örne inde göstergeç kümesi gerçel say lar kümesidir. Genel olarak, e er (X i ) i I bir küme ailesi yse, yaz l m X i kümelerinin bileflimini simgeler, yani X i lerin en az birinde olan elemanlar n kümesini simgeler: i I X i = {x : en az bir i I için x X i } ya da x i I X i en az bir i I için x X i. Al flt rmalar 1. Afla daki eflitlikleri kan tlay n. 2 [, 0 1 1/ n ] = [,), 0 1 U U U U n n = 123,,,... n = 123,,,... n = 123,,, Afla daki bileflimlerin neye eflit olduklar n bulun. U U U [ nn, + 1], ( nn, + 1], ( nn, + 1), n N n N n N 2 2 Un Z Un N Un N 2 Ur R Ur R Ur R Up> 0 asal ( n 1, n+ 1), [ nn, ], ( nn, ). ( 0, r), ( 0, r ), [ 0, r], pn. 3. E er X, Y R ise, flu eflitlikleri kan tlay n: X + Y = ( X + y) = ( x + Y), U U y Y XY = Xy = xy. y Y Ur R [, r r ] [, 01 1/ n) = [,), 01 [ 1/ n, 1 1/ n] = ( 0, 1). U x X U 4. X (A) X = A eflitli ini kan tlay n. 2 U X i I i x X

27 III. Bileflim, Kesiflim, Fark Afla daki bileflimleri bulun: U U U U U U U U U U > R U 01 U U 2 U U [ r, r ], 0[ r, r ], 0( r, r ], r R r R r R > 0 r R r R r R 2 > 1 > 1 > 0 r R r R r R [ r, r ), ( r, r ), [ r, r ], [ r, r ], [ 1/ r, r], [ 1/ r, r], [ r, / r), [ / r, r], [ r, r], r r (, ) r ( 01, ) [, r r ], [, r 2r), [ r, 1/ r). r ( 01, ) r ( 13, ) r ( 0, 1/ 1000] 6. A ve B birer küme olsun. E er a A ve b B ise, {{a}, {a, b}} ( (A B)) oldu unu kan tlay n. 7. {{{a}, {a, b}} : a A ve b B} ( ( (A B))) oldu unu kan tlay n. 8. Ne zaman (A) (B) = (A B) olur? Kesiflim ki kümenin kesiflimini almak da iki kümenin bileflimini almak kadar kolay. Örne in, x = {1, 2, 3, 4} ve y = {2, 4, 6, 8} ise, bu iki kümenin kesiflimi {2, 4} kümesidir. Yani iki kümenin kesiflimi her iki kümede birden olan ö elerin kümesidir. x ve y kümelerinin kesiflimi x y olarak yaz l r. Verdi imiz örne i afla da çizdik. 3 x y 2 2 x ve y kümeleri 4 2 x y kümesi Kesiflimin afla daki özelliklerini kan tlamak kolayd r: 1. De iflim Özelli i : x y = y x 2. Etkisiz Ö e : x =

28 24 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 3. Tekgüçlü fllem : x x = x 4. Birleflme Özelli i : x (y z) = (x y) z 5. Yutulma: x y x 6. x y x y = x Aynen bileflimde oldu u gibi, ikiden fazla kümenin de kesiflimi al - nabilir. Hatta sonsuz say da kümenin de kesiflimi al nabilir. Örne in, [0, ), [1, ), [2, ),... aral klar n n kesiflimi al nabilir. Bu kesiflim, [0, ) [1, ) [2, )... olarak yaz labilece i gibi, In N [ n, ) olarak da yaz labilir. Bu sonsuz kesiflimin boflküme oldu u belli, çünkü bu kesiflimde olacak bir gerçel say, her do al say dan daha büyük olmak zorunda, ki böyle bir gerçel say yoktur. Elemanlar küme olan bir kümenin elemanlar n n bileflimini ald - m z gibi kesiflimini de alabiliriz. E er A, elemanlar kümeler olan bir kümeyse, X A X, A n n elemanlar n n ortak elemanlar ndan oluflan kümedir. Örne in X (A) X =. Ama dikkat: X A X kümesinden sözedebilmemiz için A n n boflküme olmamas gerekir. A boflküme oldu unda, X A X tan m problematiktir ve bir baflka kitab m zda konu edilecektir. X A X kümesi, aynen bileflimde oldu u gibi A olarak da yaz labilir. E er A ve B kümelerinin kesiflimi boflkümeyse A ve B nin ayr k kümeler olduklar söylenir. Bu durumda, kimileyin A B yerine A ø B yaz l r (ki A ve B nin ayr k olduklar bir bak flta anlafl ls n. Örne in çift tamsay lar kümesiyle tek tamsay lar kümesi ayr k kümelerdir Al flt rmalar 1. ki aral n kesifliminin yine bir aral k oldu unu gösterin. 2. (A) (B) = (A B) eflitli ini kan tlay n. 3. Aral klar n bileflimi olan iki kümenin kesiflimin gene bir aral klar bileflimi oldu unu gösterin. 4. Afla daki kesiflimleri bulun: 2 ( nn, ), ( nn, ), ( 1 1/ n, 1+ 1/ n), I I I I I I I 0 1 I I I n N n N n N\{ 0} (/ 1 n, 1+ 1/ n), (/ 1 n, 1+ 1/ n). n N\{ 0} n N\{ 0, 1} 2 2 r R 0< r< 1 I < r< 2 0< r< 1 0< r< 1 0< r< 1 ( 0, r ), ( r, r ), ( r, 1/ r), ( r, 1 / r ), [ r, 1 / r], [ r, 1 + r].

29 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 25 Kesiflimle Biliflim Aras ndaki liflki Kesiflimle bileflim aras nda iliflkiler vard r. Örne in, 1. x (y z) = (x y) (x z). 2. x (y z) = (x y) (x z). Bunlar n kolay kan t n okura b rak yoruz. (Sol taraftaki kümenin her eleman n n sa taraftaki kümede, ve sa taraftaki kümenin her eleman n n sol taraftaki kümede oldu unu kan tlamak gerekiyor.) x y z gibi bir yaz l m n anlams z oldu una dikkatinizi çekeriz. Parantezler gereklidir. x (y z) ve (x y) z aras nda bir fark vard r. Al flt rmalar 1. Hangi koflulda x (y z) (x y) z olur? 2. Hangi koflulda (x y) z x (y z) olur? 3. Hangi koflulda (x y) z = x (y z) olur? 4. Afla daki eflitlikleri kan tlay n: 4a. x y x y 4b. x y x y i I i i I i i I i i = U = U ( ). I I ( ). i I 4c. x i y x y i I j J i i I j J i j I = I I ( )., 4d. x i y i I j J j U U = U ( x y ). i I, j J i j 5. Kan tlay n: X (A) X =. 5. Kan tlay n: X (A)\{ } X kümesi neye eflittir? Fark E er x ve y iki kümeyse, x te olup da y de olmayan ö elerden oluflan küme x \ y olarak yaz l r ve x fark y olarak okunur. 3 x y x ve y kümeleri 3 1 x \ y

30 26 III. Bileflim, Kesiflim, Fark Hemen bir örnek verelim: x = {1, 2, 3, 4} ve y = {2, 4, 6, 8} ise x \ y = {1, 3} kümesidir. Bunun resmi bir önceki sayfada kald. Bir baflka örnek verelim: N \ 2N, tek do al say lar kümesidir. Biraz daha düflündürücü bir baflka örnek daha: N \ (2N 3N 5N 7N 11N 13N... ) = {1} (Buradaki bileflim asal do al say lar üzerinden al nmaktad r.) Elbette, x \ y = {z x : z y}. Kan tlamas kolay birkaç özellik: x \ = x. x \ x =. x \ y = x y. (x \ y) y =. (x \ y) y = x y. (x \ y) \ z = x \ (y z). x \ (y \ z) = (x \ y) (x z). Bunlar n kan t n okura al flt rma olarak b rak yoruz. Tümleyen E er A diye bir küme önceden verilmiflse, kimileyin, A n n bir x altkümesi için, A \ x yerine x c yaz l r. x c kümesine x in (A daki) tümleyeni ad verilir. O zaman A n n her x ve y altkümeleri için flu özellikler geçerlidir: (x c ) c = x. (x y) c = x c y c. (x y) c = x c y c. Tabii x c nin anlam A ya göre de iflir; bu yüzden bu yaz l m kullan rken dikkatli olmak gerekir. E er (A i ) i I bir küme ailesiyse, o zaman, c c ( I Ai A i I ) = Ui I i, c c ( U Ai A i I ) = Ii I i eflitlikleri geçerlidir. Kümelerle fllemler A bir küme olsun. Kesiflim, bileflim ve fark, (A) üzerine ikili ifllem örnekleridir, yani x, y (A) ise, x y, x y, x \ y de (A) kümesinin elemanlar d r. Afla daki üçüncü al flt rmada (A) kümesi üzerine x y diye (simetrik fark ad verilen) bir baflka ikili ifllem tan ml yoruz.

31 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 27 Yukarda gördü ümüz tümleme ise (A) üzerine birli bir ifllem dir, çünkü tek bir kümenin tümleyeni al n r. < (A), elemanlar A nin sonlu altkümelerinden oluflan küme ise, kesiflim, bileflim ve fark, < (A) üzerine birer ifllemdir ama e er A sonsuzsa, tümleme < (A) kümesi üzerine bir ifllem de ildir, çünkü sonlu bir kümenin A daki tümleyeni sonsuzdur, dolay s yla < (A) kümesinde de ildir. E er A bir küme olsun., (A) üzerine herhangi bir ikili ifllem olsun. Σ (A) olsun. E er her A, B Σ için A B Σ ise, o zaman Σ n n ifllemi alt nda kapal oldu u söylenir. Örnekler: < (A) kümesi kesiflim ve bileflim alt nda kapal d r ama fark ifllemi alt nda kapal de ildir (hem de hiç de ildir!) E er X A ise {X}, {, X} ve {, X, A} kümeleri kesiflim ve bileflim alt nda kapal d r. {, X} kümesi fark alma ifllemi alt nda da kapal d r, ama di erleri genellikle de ildir. {, X, X c, A} kümesi tümleme, kesiflim, bileflim ve fark alma ifllemi alt nda kapal d r. E er X, Y A ise {X Y, X, Y} kümesi kesiflim alt nda, {X, Y, X Y} kümesi bileflim alt nda, {X, Y, X Y, X Y} kümesi hem kesiflim hem de bileflim alt nda kapal d r. {, X, Y, X Y, X Y, X \ Y, Y \ X} kümesi kesiflim, bileflim ve fark alma alt nda kapal d r. Al flt rmalar 1. Afla daki iliflkileri ve eflitlikleri kan tlay n: 1a. x y = (x) (y) = { }. 1b. (x) (y) = (z) ya x y = z ya da y x = z. 1c. (x y) = (x) (y). 2. Afla daki kümeleri bulun: 2a. [ n, n ] 2e. [ 01, / n) 2b. [ 1/ n, 1 1/ n] 2f. [ 1/ n, 1/ n) 2c. ( 1/ n, 1 1/ n) 2g. ( 1/ n, 1/ n) 2d. U U U U I I I 2 n N n= 123,,,... n= 123,,,... n= 123,,,... n= 123,,,... n= 123,,,... 2 n N n= 123,,,... (, n n ) 2h. [ 1/ n, 1+ 1/ n ] 3. x ve y kümeleri için, x y = (x \ y) (y \ x) olarak tan mlans n. x y kümesine x ve y nin simetrik fark ad verilir. I

32 28 III. Bileflim, Kesiflim, Fark 3a. x y = (x y) \ (y x) eflitli ini kan tlay n. 3b. E er x, y A ise x y = (x y c ) (x c y) eflitli ini kan tlay n. 3c. Afla daki eflitlikleri kan tlay n: Birleflme Özelli i. (x y) z = x (y z), Etkisiz Eleman n Varl. x = x = x, Involütif fllem. x x =, De iflme Özelli i. x y = y x. 3b. Afla daki özelli i kan tlay n: Da lma Özelli i. x (y z) = (x y) (x z). 4. A bir küme olsun. Σ, A n n tümleyeni sonlu olan altkümelerinin kümesi olsun. Σ n n bileflim ve kesiflim ifllemleri alt nda kapal olduklar n gösterin. 5. X bir küme olsun. *, (X) üzerine herhangi bir ikili bir ifllem olsun. 5a. Σ ve Σ, (X) in * ifllemi alt nda kapal iki altkümesi olsun. Σ Σ kümesinin de * ifllemi alt nda kapal oldu unu kan tlay n. 5b. Ω (X) altkümesi flu özelli i sa las n: E er Σ Ωise, Σ kümesi * ifllemi alt nda kapal d r. Σ kümesinin de (yani Σ daki kümelerin kesifliminin de) * ifllemi alt nda kapal oldu unu kan tlay n. 6. X bir küme olsun. E er A 1, A 2,..., A k kümeleri X in birbirinden ayr k altkümeleriyse ve hepsinin bileflimi X ise, {A 1, A 2,..., A k } kümesine X in parçalan fl ad verilir. Bu durumda, X = A1øA2 ø... øak = øi= 1,..., nai yaz l r. k = 1 için her kümenin tek bir parçalan fl vard r. 6a. X, n elemanl bir küme olsun. k = 2 için, X in kaç parçalan fl vard r? 6b. X, n elemanl bir küme olsun. k = 3 için, X in kaç parçalan fl vard r? 7. E er X sonlu bir kümeyse, X, X in eleman say s olsun. A 1, A 2,..., A n sonlu küme olsunlar. Afla daki eflitlikleri kan tlay n: 7a. A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2. 7b. A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 1 + A 1 A 2 A 3. 7c. Yukardaki sorular A 1... A n için genellefltiriniz.

33 IV. Fonksiyon Nedir, Ne De ildir? (Sezgisel Anlamda) Fonksiyon kavram n n matemati in en önemli kavramlar ndan biri oldu unu söylemek fonksiyon kavram na büyük haks zl k olur. Fonksiyon kavram, matemati in en önemli kavramlar ndan biri de il, matemati in en önemli kavram d r. Küme kavram hariç, belki... Bilimin b sinin girdi i her yerde fonksiyona rastlan r. Herhalde afla dakine benzer flekilleri e itim hayat n z boyunca s k s k görmüflsünüzdür. a b c d ƒ X Y 1 2 Bir fonksiyon resmi Üst soldaki yumurta bir kümedir. Sa daki domates de... çindeki noktalar kümelerin elemanlar d r. Soldaki yumurtan n her eleman sa daki domatesin bir eleman na bir okla gönderilmifltir. Burada, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyon flekledilmifltir. Sol taraftaki X kümesinin dört eleman vard r: a, b, c ve d. Ço u zaman aç kça söylenmez ama bu elemanlar n birbirinden de iflik olduklar varsay l r. Sa taraftaki kümeninse befl eleman vard r: 1, 2, 3, 4, 5. ƒ, sol taraftaki kümenin her eleman n sa taraftaki kümenin bir eleman na gönderen bir kural d r. Örne in X kümesinin a ve b elemanlar ƒ kural gere ince Y nin 1 eleman na giderler. Bu, ƒ(a) = ƒ(b) = 1 olarak gösterilir. Ayn biçimde, ƒ(c) = 4 ve ƒ(d) = 5 yaz l r. 29

34 30 IV. Fonksiyon Nedir? Ne De ildir? (Sezgisel Anlamda) Y nin 2 ve 3 elemanlar na X ten hiçbir eleman gitmiyor. Bu hiç sorun edilmez. X ten Y ye giden bir fonksiyon Y nin her eleman na dokunmak zorunda de ildir. Bu ilk örnekte de oldu u gibi, X in iki ayr eleman (a ve b elemanlar ) Y nin ayn eleman na (1 eleman na) gidebilir. Hatta X kümesinin bütün elemanlar Y kümesinin ayn eleman na gidebilir. Bu tür fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. b a c d X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonda önemli olan, X in her eleman n n, tan mlanan kural gere ince, Y nin tek bir eleman na gönderilmesidir. Örne in afla daki flekildeki kural bir fonksiyon tan mlamaz. Çünkü burada X kümesinin a eleman Y kümesinin iki ayr eleman - na (1 e ve 3 e) gönderilmekte. Fonksiyonun tan m bunu yasaklar. a b c d Dileyen, yukardaki flekildeki fley e baflka bir ad bulabilir, örne- in çok de erli fonksiyon ya da monksiyon gibi. Ama bu fley kesinlikle bir fonksiyon de ildir. Afla daki flekildeki fley de bir fonksiyon de ildir. Çünkü bu kez X kümesinin b eleman Y nin hiçbir eleman na gönderilmemifl. Fonksiyonun tan m bunu da yasaklar. X ten Y ye giden bir fonksiyon X in her eleman n Y nin bir (ve bir tek) eleman na göndermeli. a b c d X Sabit 3 fonksiyonu X Bir monksiyon X E er ƒ, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonsa, bunu ƒ : X Y olarak ve e er ƒ fonksiyonu X kümesinin x eleman n Y kümesinin y Y Y 2 2 Bir baflka monksiyon Y

35 IV. Fonksiyon Nedir? Ne De ildir? (Sezgisel Anlamda) 31 eleman na gönderiyorsa bunu, ƒ(x) = y ya da ƒ : x a y olarak yazar z. O zaman y eleman na x in ƒ alt nda de eri, görüntüsü ya da imgesi denir. X kümesine ƒ fonksiyonunun kalk fl kümesi ya da tan m kümesi, Y kümesine de var fl kümesi ya da de er kümesi ad verilir. Örne in, ƒ(x) = x 2 kural, tamsay lar kümesi Z den gerçel say lar kümesi R ye giden bir fonksiyondur. Elbette ƒ( 2) = ƒ(2) = 4. Ama ayn ƒ(x) = x 2 kural bize Z kümesinden gene Z kümesine giden bir baflka fonksiyon verir. Ve hatta ayn kural bize Z kümesinden do al say lar kümesi N ye giden bir baflka fonksiyon verir. Ve hatta ayn kural bize R kümesinden gene R kümesine giden bir baflka fonksiyon verir. Ve hatta ayn kural bize R kümesinden negatif olmayan gerçel say lar kümesi R 0 kümesine giden bir baflka fonksiyon verir... Bir baflka deyiflle, fonksiyon kavram n n tan m n n içinde (fonksiyonun kural ndan baflka) bir de fonksiyonun kalk fl ve var fl kümeleri vard r. Kural de iflmese de, kalk fl ve var fl kümeleri de iflti inde fonksiyonun da de iflti i kabul edilir. Yani bir fonksiyon sadece bir kural de ildir, fonksiyon tan m n n içinde fonksiyonun kural vard r, ama ayn zamanda kalk fl ve var fl kümeleri de vard r. Bir fonksiyonu, 1. Kalk fl kümesi, 2. Var fl kümesi, 3. Kalk fl kümesinin her eleman için var fl kümesinin tek bir eleman n veren bir kural gibi bir üçlü olarak tan mlayabiliriz. Ama a z al flkanl yla ve kolayl k olsun diye, ço u zaman sadece kural söylenir, kalk fl ve var fl kümelerinin söylenmeden bilindikleri varsay l r. Örnekler. ƒ(x) = x kural, gerçel say lar kümesi R den gerçel say - lar kümesi R ye giden bir fonksiyon tan mlamaz, çünkü negatif gerçel say lar n karekökü yoktur (ya da R de de ildir bu karekök.) X ten Y ye giden bir fonksiyon, X teki her eleman Y deki bir elemana göndermeli. Öte yandan, ayn kural, negatif olmayan gerçel say lar kümesi R 0 den R ye bir fonksiyon tan mlar. Buna benzer bir nedenden, ƒ(x) = 1/x kural, gerçel say lar kümesi R den gerçel say lar kümesi R ye giden bir fonksiyon tan mlamaz (0 in görüntüsü yok.) Öte yandan ƒ(x) = 1/x kural, R >0 kümesinden R kümesine (R >0 kümesine de) giden bir fonksiyon tan mlar. Ayn kural, R \ {0} kümesinden R ye giden bir baflka fonksiyon tan mlar.

36 32 IV. Fonksiyon Nedir? Ne De ildir? (Sezgisel Anlamda) ƒ(x) = ± x kural da R den R ye giden bir fonksiyon tan mlamaz, çünkü ƒ(x) tek bir de er olmal. X ten Y ye giden bir fonksiyon, X kümesindeki her eleman Y kümesinden tek bir elemana göndermeli. Öte yandan, ƒ(x) = {x, x} kural R kümesinden R nin (en fazla iki elemanl ) altkümeler kümesine giden bir fonksiyon tan mlar. Sonuç olarak, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyon, X kümesinin her eleman n Y kümesinden tek bir elemana götüren bir kurald r. Fonksiyonlar n Bileflkesi. ƒ, X kümesinden Y kümesine, g de Y kümesinden Z kümesine giden bir fonksiyon olsunlar. Örne in afla- a b c d X ƒ Y g Z r t u s ƒ ve g fonksiyonlar daki flekildeki gibi. Bu iki fonksiyonun bileflkesini al p X ten Z ye giden bir fonksiyon elde edebiliriz. fiöyle yapar z: X ten herhangi bir eleman alal m, diyelim a y ald k. Bu elemana ƒ yi uygulay p Y deki imgesini bulal m; örne imizde 1 i buluruz. fiimdi Y nin bu 1 eleman na g yi uygulay p Z den bir eleman bulal m, örne imizde r yi buluruz. Bu bize yeni bir fonksiyon verir. Bu yeni fonksiyon, X in a eleman n Z nin r X g ƒ Z a r s b c d g ƒ fonksiyonu eleman na gönderir. flte bu fonksiyonun bir resmi: Yukar da ƒ ve g fonksiyonlar n kullanarak elde etti imiz fonksiyona ƒ ve g nin bileflkesi ad verilir ve bu yeni fonksiyon g ƒ olarak yaz l r. Yukarda da gördü ümüz gibi, (g ƒ)(a) = g(ƒ(a)) = g(1) = r. Bunun gibi, (g ƒ)(b) = g(ƒ(b)) = g(1) = r, (g ƒ)(c) = g(ƒ(c)) = g(4) = u, t u