h)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "h)"

Transkript

1 ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile sayıları asal sayı olup olmadıklarıı araştırı.burada bir souca gidilebilir mi?bir de p(40) sayısıa bakı bakalım o da asal mı? b) a= + sayısıda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile sayıları asal sayı olup olmadıklarıı araştırı.burada bir souca gidilebilir mi? (Ülü matematikçi Fermat (60-6) bu şekildeki sayıları asal olduğuu tahmi etmiş fakat yie ülü matematikçilerde Euler (707-78), = içi += += = olduğuu bularak, Fermat ı tahmiii yalış olduğuu göstermiştir) (+) c) p(): = 8 öermesi veriliyor. p() öermesii p(+) öermesii gerektirdiğii gösteriiz.burada p() öermesii doğru olduğu alamı çıkar mı? d). =. +. = = = 4 e).! =.!+.! =.!+.!+.! =.!+.!+.!+4.4! = 9.!+.!+.!+4.4!+.! = 79 f)...4=4= = 0= = 60= = 840=9 - g) h) > + > + + >. Bir öceki soruu d,e,f,g,h şıkları içi geel kurallar bularak buları tüme varım yötemiyle ispatlayıız.. Aşağıdaki eşitlikleri tümevarım yötemiyle ispatlayıız. a) = (+) b) = (+)(+) 6 c) =(+++ +).(+) = 4 d) (+)( ) = 0 e) +r+r +r + +r - -r = -r f) Modülü r, argümeti (açısı) θ ola kutupsal biçimde verile z=r(co θ+isi θ) karmaşık sayısıı N olmak üzere; z =r (cos θ+isi θ) dır. (De Moivre Formülü) g) ( a + b) = a + a b + a b ab + b 0 (Biom formülü) h) (-) = (-)(+) ı) (+) = (+)(+) i) (+).(+) = (+)(+)(+) 4 j) (-).(+) = + k)! +! + 4! + + -! = -! cos x + - cos x l) si x+si x+si x+ +si x = si x m) cos x.cos x.cos 4x cos x = si + x + si x Not : Yukarıdaki eşitlikler ve bezerlerie ait formülleri farklı çıkarılış yötemleri vardır. Öreği; T r = r + r + r + + r biçimideki toplamı bumak içi; (k+) r+ - k r+ açılımıa ait özdeşliği yazar, k=,,,, değerleri verir alt alta topladığımızda istee eşitliği buluruz.

2 Öreği T = toplamıı bulalım: (k+) - k =k +k +k+- k =k +k+ k= içi - =. +.+ dır.öreği so bulduğumuz formülü Matlab programıı kullaarak bulalım, bakalım doğru hesaplayabilmiş miyiz.buu içi Matlab ı komut satırıa aşağıdaki komutları yazdığımızda soucu bizim hesapladığımız formülle ayısı olduğuu görürüz. k= içi - =. +.+ k= içi 4 - =. +.+ k= içi (+) - =. +.+ Taraf tarafa topladığımızda sol tarafta ardışık götürmeler olur, sağ tarafta ise T +T + buluur. (+) -=T +T + Burada T = (+) yazılıp gerekli işlemler yapılırsa istee formül elde edilir. Öreği; (-).(+) ve bezeri kesirli toplamları bulmak içi; (k-).(k+) kesrii basit kesirlere ayırır, k=,,,, değerleri verir taraf tarafa toplarsak istee toplam formülüü elde ederiz. Öreği; T= (+).(+) Toplamıı formülüü bulalım. k.(k+).(k+) = A k + B k+ + C k+ = A(k+)(k+)+Bk(k+)+Ck(k+) k(k+)(k+) k= 0 içi A=/ k= - içi B=- k= - içi C=/ değerlerii yerie koyalım. k.(k+).(k+) = / k - k+ + / k+ k= içi.. = / - + / k= içi..4 = / - + / 4 k= içi.4. = / / k=- içi (-)..(+) = / / + k= içi.(+).(+) = / / + Taraf-tarafa toplarsak (çizgi üzerideki üçer sayıı birbrii götürdüğüe dikkat edi) T= (+).(+) = (+) 4(+)(+) elde edilir. Not : Bu ve bua bezer formülleri bilgisayarda bazı özel programlar yardımıyla da bulabiliriz.bu programlarda e kullaışlılarıda birisi Matlab Not : Matlab programıı kullaımıyla ilgili bilgi edimek içi; Đzmir Fe Lisesi web sayfasıı; adresideki ilgili dosyaları idirebilirsiiz.. a bir doğal say olmak üzere, a ya eşit veya a da büyük doğal sayılar kümesie N a deir.öreği; N ={,6,7, }, N ={,,, }=N + dir. Bua göre, aşağıdaki öermeleri sağladığı N a kümelerii bulup, doğruluğuu ispat ediiz. a) <! b) +7 c) > 0.4 d) (!) ()! e) ((+)!)!.4!.6!...()! f) < g)! < - h) < - 4. Aşağıdaki eşitsizlikleri tüme varım yötemiyle ispat ediiz. a) Her a i 0 reel sayısı içi; a + a + a + + a ( a + a + a + + a ) dir. c) 0< a i < reel sayıları içi; (- a )(- a )(- a ) (- a ) < b) Her a i >0 reel sayısı içi; a + a + a + + a dir. + a + a + a + + a (+ a )(+ a )(+ a ) (+ a ) dir. Not: a = a = a = = a =a özel durumuda; +.a (+a) dir. (Berouilli Eşitsizliği). c) 0< a i < reel sayıları içi; (- a )(- a )(- a ) (- a ) < ) N olmak üzere, aşağıdaki öermeleri; i) Doğruda ispat yötemiyle ii) Tüme varım yötemiyle ispat ediiz. a + a + a + + a dir

3 a) 9-7 sayısı 7 ile bölüebilir. g) N içi;.(!) (+) olduğuu ispatlayıız b) 6-6 sayısı ile bölüebilir. c) - sayısı ile bölüebilir. d) sayısı 7 ile bölüebilir. 6. Çarpımları ola tae pozitif reel sayıı toplamı de büyük ya da ye eşittir. Yai, her a i >0 reel sayısı içi; a. a. a a = ise a + a + a + +a dir. teoremii tüme varım yötemiyle ispat ediiz. 7. tae pozitif reel sayıı, toplamlarıı e bölümüe Aritmetik Orta, çarpımlarıı. derecede köküe Geometrik Orta, i; sayıları çarpmaya göre tersleri toplamıa bölümüe de Harmoik Orta deir. Yai; AO = GO = HO= a + a + a + +a a. a. a a dir a a a a Bua göre; HO GO AO olduğuu tüme varım yötemiyle ispat ediiz. Bu eşitsizlik sistemie Aritmetik- Geometrik- Harmoik Orta Eşitsizliği deir. Not: Yukarıdaki teoremleri ispatı ve uygulamaları içi, Đzmir Fe Lisesi web sayfasıı; adresideki Tümevarım-Eşitsizlikler adlı suu (powerpoit) dosyasıı idirerek iceleyebilirsiiz. 8. Aşağıda isteeleri buluuz. a) Her x>0 içi x + x olduğuu ispatlayıız. + x 4 + x b) x>0 içi x kesrii miimum değeri c) Pozitif a,b,c,d reel sayıları içi; (a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d) 8abcd olduğuu ispatlayıız. d) a,b pozitif reel sayıları içi; (a+b) 7ab olduğuu ispatlayıız. e) a,b,c pozitif reelsayıları içi; a +b +c abc olduğuu ispatlayıız f) a,b,c pozitif reelsayıları içi; a b +a c +b c a b c

4 TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERĐ: =x =y x+y=67 olduğua göre, x = m m ile aralarıda asal olduğua göre, m- 0. > tir. k = a olduğua göre, k= k + k toplamıı a ciside değeri hagisidir? k= k= 04. k N dir. 40 k! = x olduðua göre x i birler basamağıdaki k= rakam 0. 0 k toplamı k= k toplamı k= ile bölüdüğüde kalaıı vere iki basamaklı sayılar toplamı (k+m) = 84 olduğua göre m k=0 09. (k-)(k-) toplamıı değeri k= ( ) toplamıı değeri = =?..!+.!+.! ! toplamıı eşit ola doğal sayıı souda kaç tae 9 rakamı vardır?. Iki basamaklı sayıları aritmetik ortalaması 4. (k+) ifadesii değeri k=-4. (k+)=a +b+c olduğua göre a+b+c=? k= 6. 7 p (k-)= olduðua göre, k =? k=p k= 7. k = olduğua göre, k=0 8. f(k)=! olduğua göre, f()=? k= 9. x²-x+m=0 deklemii kökleri x ve x olup f(x+)=x- dir. x k. f(k) = olduğua göre, m k= 0. k= = log (0!) eşitliğii gerçekleye sayısı log k. (i+k) ı değeri i= k=. x²-4x-=0 deklemii gerçek iki kökü x ve x olduğua göre, i= j= x i x j toplamıı değeri. k/7 = 8 eşitliğii sağlaya doğal sayısı k= 4

5 4. k - = 7 olduğua göre, k=? = A) - B) C) D) E) 4. f(x) = y olduğua göre, f(4)=? x= y= 6. Pozitif tamsayılarda x x- f(x)= (k+), g(x)= (k+) foksiyoları k= k= taımladığıa göre; (fog)()=? 7. = (k+) =? k= 8. (+ k+ )=40 eşitliğii sağlaya doğal sayısı k= k= 9. k= (m+-) ifadesii soucu = 0. (0,) k = -8 ise, =? k= k=. a = (k+)! ise a k =? k= k= toplamıı değeri. A=²+²+²+...+² B= toplamları veriliyor. A=7B olduğua göre =? 4. Iki basamaklı doğal sayıları toplamı. x+4 (k+4)=60 olduðua göre x=? k=x 6. 7 [m(m-4)] =? m= 7. k(k-) = (a²+b+c) olduğua göre, a+b+c=? k= l( + k+ (k+)² ) =? k=0 9. Doğal sayılarda f ve g foksiyoları x x f:x k!, g:x (k-) biçimide taımlaıyor.bua k= k= göre, (gof)()=? 40. x²-(m+)x+-=0 deklemii kökleri x, x dir. x k = ve k= k= x k = değerleride biri 4. f(x)=x+, x = ve x =4 içi (x k +).f(x k ) =? k= 4. k= doğal sayısı olduğua göre, m+ i ( l k + l ) = 7.l eşitliğii gerçekleye 4. Her x doğal sayısı içi, f(x-)=x+ olduğua göre; 0 f() =? =4 44. α bir reel sayıdır. P(x)=x +x ve Q(x)=x+x 4 poliomları veriliyor. 4 α x 6 =4( P(x)+Q(x) ) olduğua göre, α =? = =

6 4. k = 64 olduğua göre, =? k= 46. A= k= B= k= A.B=? ( - k+ ) ve ( k²+k k²+4k+ k= k+ ) olduğua göre, ifadesii eşiti edir? k 0 ifadesie eşit ola sayıı souda kaç tae k= sıfır vardır? 49. pozitif bir doğal sayıdır. k = olduğua göre =? k= 0. 0 (-²) işlemii soucu edir? =. k= i= x k = + olduğua göre, (x i + j) =? j=. 4 6 k sayısıı asal çarpalarıa ayırdığımızda, = k= i kuvveti kaç olur?. 4 k =? = k= toplamıı toplam sembolü kullaarak ifade ediiz seri toplamıı, toplam sembolü kullaarak ifade ediiz ( a.i - ) = 90 ise a=? i= 7. log a (+) - log a = ise a=? = = 8. i= ( i-j ) =? j= ( e i - e j ) =? i=0 j= =? 6. k/ = 7 ise =? k= = 8 ise =? 6. k + (k-) = 00 ise =? k= k= 64. (+ )+(+ 4 )+(+7 9 )+...+(++ ² ) ifadesii soucuu buluuz. 6. ( C(6,k)+C(6,k+)) =? k= 66. ( - k ) = 0,0 ise =? k= 6

7 67. a k =(a+)(a +)(a 4 +)(a 8 +) ise =? k=0 68. k=0 k²+4k+ k²+k+6 =? k(k+) =? = k= (x-) = a²+b+c ise a+b-c=? x= 7. işlemii soucu 7. a) T=+x+x +4x +x 4 + +x - toplam formülüü buluuz. 008 b) Buda faydalaarak; = hesaplayıız. (+) toplamıı 008 c) (+). toplamıı hesaplayıız. = 7

8 DĐZĐLER. ( a ) = ( +4 - ) dizisi veriliyor. a) Dizii kaç terimi te büyüktür? b) Kaç terimi ile arasıdadır? c) Kaçıcı terimleri tamsayıdır ve kaç taedir? d) EKÜS(a ) e) EBAS(a ) f) Kaç terimi 4 ü /00 komşuluğu dışıdadır? g) Kaç terimi i /00 komşuluğudadır? (-) (+). a) ( a ) = ( ) dizisi içi EBAS( a ) + EKÜS( a ) + lim ( a )+ lim ( a ) b) ( a ) = ( (+) ) dizisi içi i) EBAS( a ) ii) EKÜS( a ) iii) lim ( a ) değerlerii buluuz.. Aşağıdaki dizileri mooto dizi olup olmadıklarıı araştırıız. a) (a ) = ( - + ) b) (b )=(+7 + ) c) (c )=( -6+) d) (d )=(! ) e) (e ) = (+ ) f) (f )=( (+)! ) g) (g )=( (+)! ) h) (h )=( ) ı) (ı ) = (! ) i) (i )=( -7 - ) j) (j ) = (+ 4 ) k) (k + )=( - ) 4) (a ) = ( m+4 + ) dizisii mooto arta olmasıı sağlaya e küçük tam sayıyı buluuz. 4 - ) (a + ) = ( - ) ise (a - ) dizisii. Terimi 6) (a + )=(+4), (b )=( +) olduğua göre; (c )=(b a ) biçimide taımlaa (c ) içi; ilk üç terimi toplamı 6. i) Mooto arta ve üstte sıırlı bir dizii limiti vardır ( yakısaktır) ve limiti dizii EKÜS üdür. ii) Mooto azala ve altta sıırlı bir dizi yakısaktır ve limiti dizii EBAS ıdır. iii) Mooto ve sıırlı bir dizi yakısaktır. iv) Bir dizii limiti varsa tektir. Teorem ve özellikleride uygu olalarıı kullaarak aşağıdaki isteeleri buluuz. 4+4a a) a =, (a + ) = ola dizii mootoluğuu 4+a sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. - b) (a )=, içi, a = a - dizii mootoluğuu, a geel terimii e bağlı ifadesii, sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. c) Her N içi a / olmak üzere (a ) diziside; a a =/, a + = bağıtısı vardır. Dizii - a mootoluğuu sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. 7. Pozitif terimli bir (a ) dizisi içi; i) lim a + a =lim dir. a ii) lim a =a ise; dizii aritmetik ortalamalar dizisi ve geometrik ortalamalar dizisii de limiti a dır. Yai; lim a =a ise a + a + a + +a lim =lim a. a. a a = a dır. Aşağıdaki limitleri bu özelliklerde uygu olalarıı kullaarak buluuz. a) lim b) lim + c) lim! d) lim ( +! )/ e) lim k- k k= f) lim g) lim a 0 ve lim a =0 ise si a a ta a lim =lim = lim =lim a si a a Aşağıdaki limitleri bu özelliklerde uygu olalarıı kullaarak buluuz. a) lim.si c) lim (²++).si + b) lim.ta - a ta a = dir. 8

9 9. lim a =0, lim b = ve lim a.b = k ise lim (+ a ) b = e k dir. Aşağıdaki limitleri bu özelliği kullaarak buluuz. a) lim ( + ) b) lim ( + ) c) lim( - ) d) lim ( - + ) e) lim ( 4-4+ ) ( ) f) lim ( 4 ) + 9. log 4 x - = ise lim ( x 0 + x - + x x - ) 0.a) Pozitif terimli yakısak bir (a ) diziside; R + içi a.a + - = -a olduğua göre; lim ( a - a + ) +(-) k b) S = k= c) lim ²+4²+6²+...+4² 8 =? + S olmak üzere; lim d) lim =?. ax²+bx+c=0 deklemide kökler toplamı - dir.a, b, c katsayıları bir aritmetik dizii ardışık üç terimi olduğua göre; kökler çarpımıı buluuz.. Đlk terimii toplamı ²+ ola bir aritmetik dizii. terimi. Arta bir aritmetik dizii; ilk terim toplamı 4 dür.uçtaki terimler farkı 0 ise dizii ilk terimi 4. (-). terimi 4 ola bir aritmetik dizii ilk terimi ² ise ikici terimi. a, -b, c, +b, d sayıları bir aritmetik dizii ardışık terimleridir.ac+cd toplamı 6. / ile 68/ sayıları arasıa tae sayı yerleştirilerek bir aritmetik dizii ardışık 7 terimi elde ediliyor.bu dizii 9. terimi 7. ( a ) bir aritmetik dizidir. a =x+y-, a 0 =8 ve a 7 =x-y+ ise x 8. Bir aritmetik dizide ilk terim toplamı S olmak üzere; S 4 +S 6 = S 8 ve ilk terimi ise ortak farkı 9. Bir geometrik dizii ilk terimi a-, ortak çarpaı ve. terimi a+ dir.bu dizii ilk terim toplamıı a ciside değeri edir? 0. Sıfırda farklı a, b, c sayıları bir aritmetik dizii ardışık terimidir.đlk terim arttırıldığıda veya üçücü terim arttırıldığıda birer geometrik dizi oluşmaktadır.bua göre b. log 9, x+, log 8 bir geometrik dizii ardışık üç terimi olduğua göre x R +. Bir geometrik dizii ilk terimi a, ortak çarpaı,. terimi b dir.bu dizii ilk terimi toplamıı a ve b ciside değeri edir?. a+d, ad, ad² terimleri hem bir aritmetik dizi hem de bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise a 4. Bir geometrik dizii ardışık üç terimi x-, x+, x+ olduğua göre x.(a )=( +4-) dizisii ilk terimii toplamıı buluuz. 6. (a ) = +, asal ise -, asal değil ise dizisii ilk dört terimi toplamı 7.Đlk terimi ola bir (a ) diziside, a + =+ a bağıtısı vardır. Bua göre a 8.Geel terimi a ola bir dizide, a = ve > içi, a = a - +- olduğua göre,bu dizii geel terimi edir? 9.Geel terimi a ola bir dizide, a = ve > içi a =( a - + ) bağıtıları varsa bu dizii geel terimi edir? 0.Geel terimi, a = terimi +, 0 (mod) ise.(a ) = -, (mod) ise, (mod) ise dizisie göre, a +a 9 +a 6 toplamı ola dizii. (a )=( - + ) dizisii kaç tamsayı değeri vardır?. (a )=( +-44 ) dizisii kaç tamsayı değeri vardır? 4. (a )=((x-y) +(x+y-0)-7) dizisi sabit dizi olduğua göre x+y+a 9

10 .(b )=(-)/(+k) sabit dizisii değeri 6. (a + ) dizisi (a )=( + + ) dizisii alt dizisidir.bua göre (a + ) dizisii. terimi 7.(a ) dizisii alt dizileri (a + )=( - + ) ve (a ) dir.bua göre (a ) dizisii. terimi 8. (a )=(-4) aritmetik dizi olduğuu gösteriiz. 9. Đlk terimi ve ortak farkı ola aritmetik dizii 0. terimi 40.Bir aritmetik dizii terimleri arasıda a 9 +a 0 =7 a 6 +a 8 =7 Bağıtıları olduğua göre, ortak fark 4.Bir aritmetik dizide, a =4 ve a 8 =4 olduğua göre,a 4.(a )=(-,7,9, ) şeklide verile aritmetik dizii. terimi 4.(a )=(-/,/,/, ) aritmetik dizisii geel terimi edir? 44.(a ) aritmetik diziside, a 0 =8 olduğua göre,a 8 +a +a 8 +a toplamı 4. x-,x+,x+a, aritmetik diziside a 46.Bir aritmetik dizide a = göre,a a -a 8= 4 olduğua 47.8 ile 4 sayıları arasıa aritmetik dizi olmak şartıyla 7 terim yerleştirildiğide bu dokuz terimli aritmetik dizii. terimi 48.. terimi 64 ve ortak farkı 6 ola bir aritmetik dizii ilk terimi toplamı 49.(a )=(-4,4,, ) aritmetik dizisii ilk terimii toplamı 0.. terimi 4 ve 7. terimi 6 ola azala bir aritmetik dizide ilk 0 terimi toplamı.đlk 6 terimi toplamı 60 ve. terimi 0 ola aritmetik dizii. terimi.bir aritmetik dizii,ilk 0 terimi toplamı 00 ve ilk 8 terimi toplamı olduğua göre geel terimi edir?.đlk terimi toplamı S ola bir aritmetik dizide S -S =8 ve S 8 -S 7 =4 olduğua göre,a 4.Bir aritmetik dizide, S = - olduğua göre,bu dizii geel terimi edir? 6.-a,,+a sayıları bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise a kaç olabilir? 7.Đlk terimi 4,ortak çarpaı ola bir geometrik dizii 0. terimi 8.Bir geometrik dizii terimleri arasıda a +a 7 =48 ve a +a 9 = bağıtıları olduğua göre ortak çarpa 9.Bir geometrik dizii. terimi ve ortak çarpaı / olduğua göre,0. terimi 60.Bir geometrik dizii. terimi ve. terimi 6 olduğua göre,7. terimi 6.(a )=(9/6,7/64,8/6, ) dizisii geel terimii buluuz. 6. -,+,+6 sayıları geometrik bir dizii ilk terimi olduğua göre 6.a 9 6.x+y,x+y,x+4 üç terimi hem aritmetik ve hem de geometrik dizii ardışık üç terimi olduğua göre x +y 64.(a )=(,a,b,c,7) solu geometrik dizisie göre, log b (a.c) 6. ile 48 terimleri arasıa geometrik olacak şekilde üç terim yerleştirildiğide bu dizii üçücü terimi 66.Üçücü terimi / ve ortak çarpaı ola bir geometrik dizii ilk terimi toplamıı buluuz. 67.(a )=(a,a,,/8,/, a ) geometrik diziside a 8 = olduğua göre,ilk 0 terimi toplamı 68.Bir geometrik dizii ilk sekiz terimi toplamıı ilk 4 terimi toplamıa oraı 7 olduğua göre,bu dizii ortak oraı 69.Bir geometrik dizii ilk terimi x,. terimi y,ortak oraı dir.bu dizii ilk terimi toplamıı x ve y ciside ifadesi edir? 70.Bir geometrik dizide, a = ve a 0 =0 olduğua göre,bu dizii ilk 0 terimi çarpımı kaç basamaklıdır? 7.a=4 sayısıı ε= komşuluğu edir? 7. (,8) açık aralığı hagi sayıı kaç komşuluğudadır? 7.(a )=( + ) dizisii i /0 komşuluğu dışıda kaç terimi vardır? 74.(a )=(+)/ dizisii ü /0 komşuluğu dışıda kala terimleri hagi aralığı dışıdadır? 7.(a )=(/) dizisii sıırlı olduğuu gösteriiz..(a )=((-) ) dizisii geometrik dizi olduğuu gösteriiz. 76.(a )=(-) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 77.(a )=( -0+7) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 0

11 78.(a )=(- +8-) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 79.(a )=( + - ) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 80. (a )=(! - ) dizisii sıırlı olmadığıı gösteriiz. 8.Geel terimi, a =.! ola bir dizide a 0,a 8 i kaç katıdır? 8.Geel terimi, a = ola dizii 0. terimi 8. (a )=( +8 - ) dizisii kaç terimi de büyüktür? 84.Ortak çarpaı ve 4. terimi. 4 ola geometrik dizii 7. terimi 8.Đlk terimi 6 ve ilk terimii toplamı 4 ola pozitif terimli geometrik dizii. terimi 86. (a + )=(a +)/ ve a = ise a 9 u buluuz. 87.(a )=( (+)! ) dizisi veriliyor.a + a oraıı buluuz. 88. a+,6+log 4 64,a+ terimleri bir aritmetik dizii ardışık üçterimi ise a ı değeri 89.Bir aritmetik dizide a 8 =0 olduğua göre,ikici ve dördücü terimleri toplamı 90.Bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı a ve ilk terimi a ise ortak farkıı buluuz. (>) 9. ile arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 4 tae terim yerleştirilirse oluşa yei dizii tüm terimler toplamı 9. S -S 0 =4 ise S -S 4 =87 olduğua göre bu dizii ortak farkı 9. Bir geometrik dizide birici terim ve ikici terimle dokuzucu terim çarpımı olduğua göre,oucu terim 94. Đlk terimi ve ortak çarpaı ola bir geometrik dizii kaç terimii toplamı 8 dir? 9.(a ) pozitif terimli bir geometrik dizi ve bu dizii terimleri arasıda a.a 6= 7 bağıtısı varsa a 96.(a ) bir geometrik dizi olmak üzere a +a =0 a +a 7 =0 ise a =? 97. Đlk terim toplamı ola bir aritmetik dizii. terimi 98. x +6x -x+m=0 deklemii kökleri bir aritmetik dizi teşkil ediyorsa m i değeri 99. x -px +qx-6=0 deklemii kökleri bir geometrik dizi teşkil ediyorsa p ve q arasıda asıl bir bağıtı vardır? 00.Đlk terimii toplamı + ola bir dizii geel terimi edir? 0. (a ) = ( ) dizisii kaç terimi pozitiftir? 0.(a )=( m- +4 ) (b )=( -8 + ) olmak üzere,(b ) dizisi (a ) dizisii bir alt dizisi olduğua göre, m 0. (a )=( vardır? + ) dizisii (/9,/) aralığıda kaç terimi 04.x 0 olmak üzere, x+y,x +,y- üçlüsü hem aritmetik,hem de geometrik bir dizii ardışık üç terimi olduğua göre,x-y farkı 0.Bir geometrik dizii ardışık üç terimi sırasıyla, x-,x+,x-6 olduğua göre,x 06. Bir aritmetik dizide ilk terimi toplamı; S = - olduğua göre,bu dizii oucu terimi 07.Bir aritmetik dizii ardışık beş terimi sırasıyla,log4,logx,logy,logz,log6 olduğua göre,x.z/y? 08.Đlk terimi ola pozitif terimli bir (a ) geometrik dizisi içi, a +9 a + = 64 bağıtısı olduğua göre,a (a ) aritmetik dizisii ilk terim toplamı S dir. a /a 4 =7/9 ve S 4 =60 olduğua göre, a terimi a-b ve. terimi a+b ola bir aritmetik dizii. terimi edir?.đlk terim toplamı S ola bir dizide,s = + olduğua göre, a. Bir aritmetik dizii ilk terimi, k+,k+,k+ olduğua göre,bu dizii. terimi. Bir dizide;herhagi bir terim,kediside bir öceki terim ile bir soraki terimi çarpımıa eşit olarak veriliyor. a = ve a = olduğua göre,a 6 4. a =-, a + =a + ise,a 0.a =, a =.a - ise (a ) dizisii geel terimii buluuz. 6. Aşağıdaki limitleri buluuz. a) lim (+ ) b) lim ( - ) c) lim ( + ) d) lim ( - + )4 d) lim ( - + )-

12 7..Birler basamağı 4 ola 4 basamaklı bütü tamsayıları toplamıı buluuz. 8. Đlk 7 terimi çarpımı 8 ola bir (a ) geometrik diziside a.a değerii buluuz. 9. Đlk terimii çarpımı P ola bir geometrik dizi içi,p 0 /P 9 =96 ve P /P 4 = eşitlikleri sağlaıyor.bua göre,geometrik dizii geel terimii buluuz. 0. Bir hastaya saat 8 de 000 mg ilaç verilmiştir.hastaya her saat başıda,bir öceki saat başıdaki miktarı %0 u kadar ilaç verilmektedir.saat te hastaya e kadar ilaç verilmelidir?. 0 metre yükseklikte serbest bırakıla bir top yerde her sekmeside bir öceki yüksekliği 6/7 si kadar yükseliyor.top 9. sekmede kaç metre yükseğe çıkar?. Başlagıçta a tae ola ekmek küfü bakterisi her saatte bir iki katıa ulaşıyor.4 saat sora ortamdaki toplam bakteri miktarı a ciside e kadardır?.bir aritmetik dizide ardışık terimi toplamı 8 dir.bu terimlerde. si bir azalır,. terimi iki katı alıırsa terimler geometrik bir dizi özelliği gösteriyor.bu şartları sağlaya aritmetik dizileri buluuz. 4. (a )= a 6 = k k diziside, k = olduğua göre, x.(a )= k dizisii limiti 8 olduğua göre, k ( + )! 6. (a )= + dizisii limiti 7.(a )=( + ) 4/ dizisii limiti 8.a = 0, a + = 0 7a göre,(a ) dizisii limiti + > olduğua

13 SERĐLER:. Aşağıdaki sosuz toplamı değerlerii buluuz. a) b) c) a= 4 ve b= olmak üzere; a 4 -b +a 6 -b 8 +a 8 -b d) x bir dar açı olmak üzere; si x+si 4 x+si 6 x+... sosuz toplamıı x e bağlı ifadesii buluuz.. Bir lastik top metre yükseklikte bırakılıyor ve her seferide bir öceki yüksekliğii yarısı kadar yükseliyor.top durucaya kadar m yol aldığı bilidiğie göre yüksekliği kaç metredir?. Kear uzulukları 8 cm ve 6 cm ola bir dikdörtgei kearlerıı orta oktaları birleştirilerek bir eşkear dörtge ve bu eşkear dörtgei de orta oktaları birleştirilerek yei bir dikdörtge elde ediliyor.bu işlem sosuz defa tekrar edildiği varsayılıyor. a) Tüm dikdörtgeleri alaları toplamıı; b) Tüm eşkear dörtgeleri alaları toplamıı; c) Tüm dikdörtgeleri çevreleri toplamıı; d) Tüm eşkear dörtgeleri çevreleri toplamıı buluuz. 4. Ayı merkezli sosuz tae çemberlerde e dıştakii yarıçapı r, bir içtekii yarıçapı r/4, daha içtekii yarıçapı 9r/6,... biçimidedir.bu sosuz sayıdaki çemberleri; a) Çevreleri toplamıı b) Alaları toplamıı buluuz.. Bir kear uzuluğu a birim ola küpü içie yüzeylerie teğet ola bir küre; kürei içie köşeleri küre yüzeyide ola bir küp; küpü içie yüzeylerie teğet ola bir küre yerleştiriliyor ve bu biçimde işlem sosuz defa tekrarladığı varsayılıyor. a) Tüm küpleri yüzey alaları toplamıı; b) Tüm küpleri hacimleri toplamıı; c) Tüm küreleri yüzey alaları toplamıı; d) Tüm küreleri hacimleri toplamıı buluuz. Seriler Đle Đlgili Bazı Yakısaklık Testleri: a) Karşılaştırma Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi ile b = b + b b serileri verilsi. a) Eğer N + içi a b ve b yakısak ise a de yakısaktır. b) Eğer N + içi a b ve a ıraksak ise b de ıraksaktır. Not: Bu iki durumu aksi halleride bir şey söyleemez. b) Geometrik Seri: ar k = a + ar + ar +... serisie Geometrik Seri deir. k=0 Burada r < ise seri yakısak ve değeri a -r dir. Şayet r ise seri ıraksaktır. b) Riema Serisi: p serisie Riema Serisi deir.bu seride; a) p> ise seri yakısak; b) p ise seri ıraksaktır. c) D'Alambert Ora Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi verilsi.eğer; a + a) lim < ise a serisi yakısak; a a + b) lim > ise a serisi ıraksak; a a + c) lim = ise bu test yetersiz kalır ve a serisi a içi bir şey söyleemez. d) Cauchy Kök Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi verilsi.eğer; a) lim b) lim a < ise a serisi yakısak; a ise a serisi ıraksaktır. 6. Aşağıdaki serileri karakterii (yai yakısak veya ıraksak olduklarıı) yukarıdaki kriterlerde bir ya da bir kaçıı kullaarak belirleyiiz. a) e) i) m) - b) + (+) 0! f) j) c) (+) d) (+) g) l h) l 00 / + k) 00 l)! ) (+)(+) o)

14 p) ş)! +++ +(-) r) (-) t)! s) 7. -<x< içi +x+x +x -x - lim x + = lim - x = - x = x = - x olur. - x = +x+x +x + eşitliğie f(x) = foksiyouu seriye açılımı deir. - x Buu gibi her foksiyou x i, 0 da başlayarak arta kuvvetlerie göre solu (veya sosuz) sayıda toplam biçimide gösterebileceğimiz seriye açılımı vardır.bu serilere kuvvet serisi deir. Bir foksiyou kuvvet serisie açabilmek içi türev kousuu bilimesi gerekir.seri açılımlarıı Yüksek Matematikte büyük öemi vardır. Acak biz burada bazı foksiyoları seriye açılımıı vererek ilgiç birkaç uygulama yapalım. Öreği Matematikte çok öemli sayılarda biri ola e sayısı (e=, ) ile ilgili e x foksiyouu seriye açılımı; e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + dir. Aşağıda si x ve cos x (x radya) foksiyolarıı açılımları verilmiştir. si x = x x x x 7! -! ! 7! x 4 x x 6 cos x = -! ! 6! Öreği; i) e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + seriside x= koyarsak; e = +! +! +! + 4! + x=/ koyarsak; e = + / (/) (/)! +! +! + x= - koyarsak; e = -! +! -! + 4! - + ii) e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + seriside x yerie ix koyalım; e ix = + ix (ix) (ix) (ix) 4! +! +! + 4! + e ix = + ix x 4 ix x! -! -! + 4! + e ix x 4 6 x x = -! + 4! - 6! + - +i( x x x! -! +! - + ) e ix =cos x + isi x = cis x e ix = cis x =cos x + i.si x buluur. iii) e ix = cos x + i.si x bağıtısıda; x=π koyalım e iπ = cosπ +i.si π = - veya e iπ +=0 buluur. iv) e ix = cos x + i.si x bağıtısıda; x= π/ koyalım e iπ/ = cos π +i.si π =i buluur. v) i i =( e iπ/ ) i = e -π/ = e π buluur. - vi)! serisii değerii bulalım. = - Çözüm:! = (! -! ) =! -! = = = = = (-)! -! =(+! +! +! + 4! + ) = = -(! +! +! + 4! + ) = e-(e-) = buluur. vii)! serisii değerii bulalım. = 4 Çözüm:! =! + 4! +! + = =(+ 4! +! +! + 4! +! + ) (+! +! ) = e - buluur. Nasıl, ilgiç souçlar değil mi? Siz de bua bezer ilgiç souçlar elde edebilirsiiz. Aşağıdaki soruları verile bilgilerde faydalaarak cevaplayıız. a)! = + =? b)! = - =? c)! =? = -+ d)! =? = e) x.six - cos x x² foksiyouu seriye açılımıı buluuz. 4

15 8. Aşağıdaki x e bağlı serileri (kuvvet serilerii) yakısaklık aralığıı (yai seriyi yakısak yapa x değerleri kümesii) buluuz. a) + x + x + x +... b) + x x x! +! +! +... c) x + + x x d) + x x 4x e) + x- (x-) (x-) f) 0x + 00x + 000x x g) -! x +! x -! x +... h) - x + x 4 - x i) x x x! -! +! x 7-7! , devirli odalık açılımıı seri biçimide yazarak değerii rasyoel sayı olarak buluuz toplamıı hesaplayıız.. = +. r < içi. (/)- = = serisii değerii hesaplayıız..r- = (-r) olduğuu ispatlayıız. serisii değerii hesaplayıız. 4. Aşağıdaki sosuz toplam değerlerii buluuz. a) (+) + b) (-).(+) +. + serisii toplamıı buluuz. = 6. = = π² = 6 olduğu bilidiğie 4 göre aşağıdaki seri toplamlarıı buluuz. a) ² + ² + ² + b) ² + 4² + 6² + 7.Yarıçapı cm ola dairei içie,her birii yarıçapı bir öcekii yarıçapıı / ü olacak şekilde sosuz çoklukta daireler çiziliyor.oluşa daireleri çevreleri toplamı kaç cm dir? 8. metre yükseklikte bırakıla bir lastik top,her yere düşüşüde bir öceki yüksekliği / i kadar tekrar yükseliyor.bua göre,topu durucaya kadar aldığı toplam dikey yolu buluuz. 9. Yarıçapı 4r birim ola kürei içie,her birii yarıçapı bir öcekii yarıçapıı yarısı olacak şekilde sosuz çoklukta küreler kouyor.oluşa sosuz tae kürei; a) Yarıçaplar toplamıı b) Alalar toplamıı c) Hacimleri toplamıı buluuz. 0.Bir karei iç teğet çemberi diziliyor.çizile bu çemberi içie,köşeleri çemberi üzeride ola yei bir kare çiziliyor.bu işlem sosuz çoklukta çember,kare,çember,kare şeklide devam ediyor.e dıştaki karei bir kearı a birim ise, a) Kareleri çevreleri toplamıı; b) Kareleri alaları toplamıı; c) Çemberleri çevreleri toplamıı; d) Çemberleri oluşturduğu daireleri alaları toplamıı buluuz..! =+! +! +! + 4! + = e olduğu bilidiğie = 0 göre; aşağıdaki serileri değerii buluuz. a) -! b) +! c) - + (+)! = = =. Aşağıdaki serileri toplamıı buluuz. a) (+. - ) b) (,)-k = 0 k = c) +4 d) (-/) = 0 =.a> olmak üzere, tamsayı değeri = a + = /8 ise a ı c) (+).(+) + 4. (.x - )=9 = 0 olduğua göre,x

16 . 6. a =9/8 olduğua gör,a = 0 - = ifadesii değeri 8.<x<e olmak üzere, buluuz. l x serisii toplamıı = 9. 0,+0,0+0, , serisii değeri 7. (-)k- k ifadesii değeri k = 40. 0<x< olmak üzere, x + 4 x + 8 x + 6 x 4 + = olduğua göre, x 8. l( + - ) ifadesii değeri = 4. x -8x+7=0 deklemii kökleri x ve x olduğua göre, x + x (x.x ) serisii değeri = 9. Dik kearlarıda biri 4 cm ola bir ikizkear dik üçgei dik kearlarıı orta oktaları birleştirilerek yei bir dik üçge elde ediliyor.bu işleme sosuz kez devam edildiğide elde edile bütü üçgeleri alalarıı toplamı kaç cm olur? 0. ²-6 + 4²-8 + ² ²- + toplamıı değeri (-) değeri. 0(/) =? = + ifadesii a a a 4. a<b olmak üzere a+ b + b + b + serisii toplamıı a ve b ciside buluuz. 4. cos x=, = ciside değeri edir? 0<x<π ise x i radya serisii toplamı = = = serisii toplamı ifadesii değeri 4. l+l +l 4 +l l değeri +... serisii (/)+.(/) +4.(/) +... serisii toplamı 47. +( ) +( ) +... toplamıı değeri 48. (-)! = serisii toplamıı buluuz. 49. ²- (+)! serisii toplamıı buluuz. = 0. <x<e olmak üzere;+lx+l x+l x+l 4 x+... serisii toplamıı buluuz.. ( ) serisii değeri = 6. = ++6 serisii değeri 7. <k<7 olmak üzere, toplamıı buluuz. -k (6 (8k) = ) serisii Bu dosyayı sayfasıda idirebilirsiiz. Đzmir Fe Lisesi Matematik Zümresi (Şubat 008) 6

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106 1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM MTMTÝK GOMTRÝ NMLRÝ. 0,4 : 0, 0, 5 5 işleminin sonucu kaçtır? 4. = 4+ 3 5+ 4 6 +... + 3 toplamında her bir terimde birinci çarpan artırılıp ikinci çarpan azaltılırsa kaç artar? ) ) ) ) ) 3 5 ) 4 ) )

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı