h)

Transkript

1 ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile sayıları asal sayı olup olmadıklarıı araştırı.burada bir souca gidilebilir mi?bir de p(40) sayısıa bakı bakalım o da asal mı? b) a= + sayısıda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile sayıları asal sayı olup olmadıklarıı araştırı.burada bir souca gidilebilir mi? (Ülü matematikçi Fermat (60-6) bu şekildeki sayıları asal olduğuu tahmi etmiş fakat yie ülü matematikçilerde Euler (707-78), = içi += += = olduğuu bularak, Fermat ı tahmiii yalış olduğuu göstermiştir) (+) c) p(): = 8 öermesi veriliyor. p() öermesii p(+) öermesii gerektirdiğii gösteriiz.burada p() öermesii doğru olduğu alamı çıkar mı? d). =. +. = = = 4 e).! =.!+.! =.!+.!+.! =.!+.!+.!+4.4! = 9.!+.!+.!+4.4!+.! = 79 f)...4=4= = 0= = 60= = 840=9 - g) h) > + > + + >. Bir öceki soruu d,e,f,g,h şıkları içi geel kurallar bularak buları tüme varım yötemiyle ispatlayıız.. Aşağıdaki eşitlikleri tümevarım yötemiyle ispatlayıız. a) = (+) b) = (+)(+) 6 c) =(+++ +).(+) = 4 d) (+)( ) = 0 e) +r+r +r + +r - -r = -r f) Modülü r, argümeti (açısı) θ ola kutupsal biçimde verile z=r(co θ+isi θ) karmaşık sayısıı N olmak üzere; z =r (cos θ+isi θ) dır. (De Moivre Formülü) g) ( a + b) = a + a b + a b ab + b 0 (Biom formülü) h) (-) = (-)(+) ı) (+) = (+)(+) i) (+).(+) = (+)(+)(+) 4 j) (-).(+) = + k)! +! + 4! + + -! = -! cos x + - cos x l) si x+si x+si x+ +si x = si x m) cos x.cos x.cos 4x cos x = si + x + si x Not : Yukarıdaki eşitlikler ve bezerlerie ait formülleri farklı çıkarılış yötemleri vardır. Öreği; T r = r + r + r + + r biçimideki toplamı bumak içi; (k+) r+ - k r+ açılımıa ait özdeşliği yazar, k=,,,, değerleri verir alt alta topladığımızda istee eşitliği buluruz.

2 Öreği T = toplamıı bulalım: (k+) - k =k +k +k+- k =k +k+ k= içi - =. +.+ dır.öreği so bulduğumuz formülü Matlab programıı kullaarak bulalım, bakalım doğru hesaplayabilmiş miyiz.buu içi Matlab ı komut satırıa aşağıdaki komutları yazdığımızda soucu bizim hesapladığımız formülle ayısı olduğuu görürüz. k= içi - =. +.+ k= içi 4 - =. +.+ k= içi (+) - =. +.+ Taraf tarafa topladığımızda sol tarafta ardışık götürmeler olur, sağ tarafta ise T +T + buluur. (+) -=T +T + Burada T = (+) yazılıp gerekli işlemler yapılırsa istee formül elde edilir. Öreği; (-).(+) ve bezeri kesirli toplamları bulmak içi; (k-).(k+) kesrii basit kesirlere ayırır, k=,,,, değerleri verir taraf tarafa toplarsak istee toplam formülüü elde ederiz. Öreği; T= (+).(+) Toplamıı formülüü bulalım. k.(k+).(k+) = A k + B k+ + C k+ = A(k+)(k+)+Bk(k+)+Ck(k+) k(k+)(k+) k= 0 içi A=/ k= - içi B=- k= - içi C=/ değerlerii yerie koyalım. k.(k+).(k+) = / k - k+ + / k+ k= içi.. = / - + / k= içi..4 = / - + / 4 k= içi.4. = / / k=- içi (-)..(+) = / / + k= içi.(+).(+) = / / + Taraf-tarafa toplarsak (çizgi üzerideki üçer sayıı birbrii götürdüğüe dikkat edi) T= (+).(+) = (+) 4(+)(+) elde edilir. Not : Bu ve bua bezer formülleri bilgisayarda bazı özel programlar yardımıyla da bulabiliriz.bu programlarda e kullaışlılarıda birisi Matlab Not : Matlab programıı kullaımıyla ilgili bilgi edimek içi; Đzmir Fe Lisesi web sayfasıı; adresideki ilgili dosyaları idirebilirsiiz.. a bir doğal say olmak üzere, a ya eşit veya a da büyük doğal sayılar kümesie N a deir.öreği; N ={,6,7, }, N ={,,, }=N + dir. Bua göre, aşağıdaki öermeleri sağladığı N a kümelerii bulup, doğruluğuu ispat ediiz. a) <! b) +7 c) > 0.4 d) (!) ()! e) ((+)!)!.4!.6!...()! f) < g)! < - h) < - 4. Aşağıdaki eşitsizlikleri tüme varım yötemiyle ispat ediiz. a) Her a i 0 reel sayısı içi; a + a + a + + a ( a + a + a + + a ) dir. c) 0< a i < reel sayıları içi; (- a )(- a )(- a ) (- a ) < b) Her a i >0 reel sayısı içi; a + a + a + + a dir. + a + a + a + + a (+ a )(+ a )(+ a ) (+ a ) dir. Not: a = a = a = = a =a özel durumuda; +.a (+a) dir. (Berouilli Eşitsizliği). c) 0< a i < reel sayıları içi; (- a )(- a )(- a ) (- a ) < ) N olmak üzere, aşağıdaki öermeleri; i) Doğruda ispat yötemiyle ii) Tüme varım yötemiyle ispat ediiz. a + a + a + + a dir

3 a) 9-7 sayısı 7 ile bölüebilir. g) N içi;.(!) (+) olduğuu ispatlayıız b) 6-6 sayısı ile bölüebilir. c) - sayısı ile bölüebilir. d) sayısı 7 ile bölüebilir. 6. Çarpımları ola tae pozitif reel sayıı toplamı de büyük ya da ye eşittir. Yai, her a i >0 reel sayısı içi; a. a. a a = ise a + a + a + +a dir. teoremii tüme varım yötemiyle ispat ediiz. 7. tae pozitif reel sayıı, toplamlarıı e bölümüe Aritmetik Orta, çarpımlarıı. derecede köküe Geometrik Orta, i; sayıları çarpmaya göre tersleri toplamıa bölümüe de Harmoik Orta deir. Yai; AO = GO = HO= a + a + a + +a a. a. a a dir a a a a Bua göre; HO GO AO olduğuu tüme varım yötemiyle ispat ediiz. Bu eşitsizlik sistemie Aritmetik- Geometrik- Harmoik Orta Eşitsizliği deir. Not: Yukarıdaki teoremleri ispatı ve uygulamaları içi, Đzmir Fe Lisesi web sayfasıı; adresideki Tümevarım-Eşitsizlikler adlı suu (powerpoit) dosyasıı idirerek iceleyebilirsiiz. 8. Aşağıda isteeleri buluuz. a) Her x>0 içi x + x olduğuu ispatlayıız. + x 4 + x b) x>0 içi x kesrii miimum değeri c) Pozitif a,b,c,d reel sayıları içi; (a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d) 8abcd olduğuu ispatlayıız. d) a,b pozitif reel sayıları içi; (a+b) 7ab olduğuu ispatlayıız. e) a,b,c pozitif reelsayıları içi; a +b +c abc olduğuu ispatlayıız f) a,b,c pozitif reelsayıları içi; a b +a c +b c a b c

4 TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERĐ: =x =y x+y=67 olduğua göre, x = m m ile aralarıda asal olduğua göre, m- 0. > tir. k = a olduğua göre, k= k + k toplamıı a ciside değeri hagisidir? k= k= 04. k N dir. 40 k! = x olduðua göre x i birler basamağıdaki k= rakam 0. 0 k toplamı k= k toplamı k= ile bölüdüğüde kalaıı vere iki basamaklı sayılar toplamı (k+m) = 84 olduğua göre m k=0 09. (k-)(k-) toplamıı değeri k= ( ) toplamıı değeri = =?..!+.!+.! ! toplamıı eşit ola doğal sayıı souda kaç tae 9 rakamı vardır?. Iki basamaklı sayıları aritmetik ortalaması 4. (k+) ifadesii değeri k=-4. (k+)=a +b+c olduğua göre a+b+c=? k= 6. 7 p (k-)= olduðua göre, k =? k=p k= 7. k = olduğua göre, k=0 8. f(k)=! olduğua göre, f()=? k= 9. x²-x+m=0 deklemii kökleri x ve x olup f(x+)=x- dir. x k. f(k) = olduğua göre, m k= 0. k= = log (0!) eşitliğii gerçekleye sayısı log k. (i+k) ı değeri i= k=. x²-4x-=0 deklemii gerçek iki kökü x ve x olduğua göre, i= j= x i x j toplamıı değeri. k/7 = 8 eşitliğii sağlaya doğal sayısı k= 4

5 4. k - = 7 olduğua göre, k=? = A) - B) C) D) E) 4. f(x) = y olduğua göre, f(4)=? x= y= 6. Pozitif tamsayılarda x x- f(x)= (k+), g(x)= (k+) foksiyoları k= k= taımladığıa göre; (fog)()=? 7. = (k+) =? k= 8. (+ k+ )=40 eşitliğii sağlaya doğal sayısı k= k= 9. k= (m+-) ifadesii soucu = 0. (0,) k = -8 ise, =? k= k=. a = (k+)! ise a k =? k= k= toplamıı değeri. A=²+²+²+...+² B= toplamları veriliyor. A=7B olduğua göre =? 4. Iki basamaklı doğal sayıları toplamı. x+4 (k+4)=60 olduðua göre x=? k=x 6. 7 [m(m-4)] =? m= 7. k(k-) = (a²+b+c) olduğua göre, a+b+c=? k= l( + k+ (k+)² ) =? k=0 9. Doğal sayılarda f ve g foksiyoları x x f:x k!, g:x (k-) biçimide taımlaıyor.bua k= k= göre, (gof)()=? 40. x²-(m+)x+-=0 deklemii kökleri x, x dir. x k = ve k= k= x k = değerleride biri 4. f(x)=x+, x = ve x =4 içi (x k +).f(x k ) =? k= 4. k= doğal sayısı olduğua göre, m+ i ( l k + l ) = 7.l eşitliğii gerçekleye 4. Her x doğal sayısı içi, f(x-)=x+ olduğua göre; 0 f() =? =4 44. α bir reel sayıdır. P(x)=x +x ve Q(x)=x+x 4 poliomları veriliyor. 4 α x 6 =4( P(x)+Q(x) ) olduğua göre, α =? = =

6 4. k = 64 olduğua göre, =? k= 46. A= k= B= k= A.B=? ( - k+ ) ve ( k²+k k²+4k+ k= k+ ) olduğua göre, ifadesii eşiti edir? k 0 ifadesie eşit ola sayıı souda kaç tae k= sıfır vardır? 49. pozitif bir doğal sayıdır. k = olduğua göre =? k= 0. 0 (-²) işlemii soucu edir? =. k= i= x k = + olduğua göre, (x i + j) =? j=. 4 6 k sayısıı asal çarpalarıa ayırdığımızda, = k= i kuvveti kaç olur?. 4 k =? = k= toplamıı toplam sembolü kullaarak ifade ediiz seri toplamıı, toplam sembolü kullaarak ifade ediiz ( a.i - ) = 90 ise a=? i= 7. log a (+) - log a = ise a=? = = 8. i= ( i-j ) =? j= ( e i - e j ) =? i=0 j= =? 6. k/ = 7 ise =? k= = 8 ise =? 6. k + (k-) = 00 ise =? k= k= 64. (+ )+(+ 4 )+(+7 9 )+...+(++ ² ) ifadesii soucuu buluuz. 6. ( C(6,k)+C(6,k+)) =? k= 66. ( - k ) = 0,0 ise =? k= 6

7 67. a k =(a+)(a +)(a 4 +)(a 8 +) ise =? k=0 68. k=0 k²+4k+ k²+k+6 =? k(k+) =? = k= (x-) = a²+b+c ise a+b-c=? x= 7. işlemii soucu 7. a) T=+x+x +4x +x 4 + +x - toplam formülüü buluuz. 008 b) Buda faydalaarak; = hesaplayıız. (+) toplamıı 008 c) (+). toplamıı hesaplayıız. = 7

8 DĐZĐLER. ( a ) = ( +4 - ) dizisi veriliyor. a) Dizii kaç terimi te büyüktür? b) Kaç terimi ile arasıdadır? c) Kaçıcı terimleri tamsayıdır ve kaç taedir? d) EKÜS(a ) e) EBAS(a ) f) Kaç terimi 4 ü /00 komşuluğu dışıdadır? g) Kaç terimi i /00 komşuluğudadır? (-) (+). a) ( a ) = ( ) dizisi içi EBAS( a ) + EKÜS( a ) + lim ( a )+ lim ( a ) b) ( a ) = ( (+) ) dizisi içi i) EBAS( a ) ii) EKÜS( a ) iii) lim ( a ) değerlerii buluuz.. Aşağıdaki dizileri mooto dizi olup olmadıklarıı araştırıız. a) (a ) = ( - + ) b) (b )=(+7 + ) c) (c )=( -6+) d) (d )=(! ) e) (e ) = (+ ) f) (f )=( (+)! ) g) (g )=( (+)! ) h) (h )=( ) ı) (ı ) = (! ) i) (i )=( -7 - ) j) (j ) = (+ 4 ) k) (k + )=( - ) 4) (a ) = ( m+4 + ) dizisii mooto arta olmasıı sağlaya e küçük tam sayıyı buluuz. 4 - ) (a + ) = ( - ) ise (a - ) dizisii. Terimi 6) (a + )=(+4), (b )=( +) olduğua göre; (c )=(b a ) biçimide taımlaa (c ) içi; ilk üç terimi toplamı 6. i) Mooto arta ve üstte sıırlı bir dizii limiti vardır ( yakısaktır) ve limiti dizii EKÜS üdür. ii) Mooto azala ve altta sıırlı bir dizi yakısaktır ve limiti dizii EBAS ıdır. iii) Mooto ve sıırlı bir dizi yakısaktır. iv) Bir dizii limiti varsa tektir. Teorem ve özellikleride uygu olalarıı kullaarak aşağıdaki isteeleri buluuz. 4+4a a) a =, (a + ) = ola dizii mootoluğuu 4+a sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. - b) (a )=, içi, a = a - dizii mootoluğuu, a geel terimii e bağlı ifadesii, sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. c) Her N içi a / olmak üzere (a ) diziside; a a =/, a + = bağıtısı vardır. Dizii - a mootoluğuu sıırlılığıı ve varsa limitii buluuz. 7. Pozitif terimli bir (a ) dizisi içi; i) lim a + a =lim dir. a ii) lim a =a ise; dizii aritmetik ortalamalar dizisi ve geometrik ortalamalar dizisii de limiti a dır. Yai; lim a =a ise a + a + a + +a lim =lim a. a. a a = a dır. Aşağıdaki limitleri bu özelliklerde uygu olalarıı kullaarak buluuz. a) lim b) lim + c) lim! d) lim ( +! )/ e) lim k- k k= f) lim g) lim a 0 ve lim a =0 ise si a a ta a lim =lim = lim =lim a si a a Aşağıdaki limitleri bu özelliklerde uygu olalarıı kullaarak buluuz. a) lim.si c) lim (²++).si + b) lim.ta - a ta a = dir. 8

9 9. lim a =0, lim b = ve lim a.b = k ise lim (+ a ) b = e k dir. Aşağıdaki limitleri bu özelliği kullaarak buluuz. a) lim ( + ) b) lim ( + ) c) lim( - ) d) lim ( - + ) e) lim ( 4-4+ ) ( ) f) lim ( 4 ) + 9. log 4 x - = ise lim ( x 0 + x - + x x - ) 0.a) Pozitif terimli yakısak bir (a ) diziside; R + içi a.a + - = -a olduğua göre; lim ( a - a + ) +(-) k b) S = k= c) lim ²+4²+6²+...+4² 8 =? + S olmak üzere; lim d) lim =?. ax²+bx+c=0 deklemide kökler toplamı - dir.a, b, c katsayıları bir aritmetik dizii ardışık üç terimi olduğua göre; kökler çarpımıı buluuz.. Đlk terimii toplamı ²+ ola bir aritmetik dizii. terimi. Arta bir aritmetik dizii; ilk terim toplamı 4 dür.uçtaki terimler farkı 0 ise dizii ilk terimi 4. (-). terimi 4 ola bir aritmetik dizii ilk terimi ² ise ikici terimi. a, -b, c, +b, d sayıları bir aritmetik dizii ardışık terimleridir.ac+cd toplamı 6. / ile 68/ sayıları arasıa tae sayı yerleştirilerek bir aritmetik dizii ardışık 7 terimi elde ediliyor.bu dizii 9. terimi 7. ( a ) bir aritmetik dizidir. a =x+y-, a 0 =8 ve a 7 =x-y+ ise x 8. Bir aritmetik dizide ilk terim toplamı S olmak üzere; S 4 +S 6 = S 8 ve ilk terimi ise ortak farkı 9. Bir geometrik dizii ilk terimi a-, ortak çarpaı ve. terimi a+ dir.bu dizii ilk terim toplamıı a ciside değeri edir? 0. Sıfırda farklı a, b, c sayıları bir aritmetik dizii ardışık terimidir.đlk terim arttırıldığıda veya üçücü terim arttırıldığıda birer geometrik dizi oluşmaktadır.bua göre b. log 9, x+, log 8 bir geometrik dizii ardışık üç terimi olduğua göre x R +. Bir geometrik dizii ilk terimi a, ortak çarpaı,. terimi b dir.bu dizii ilk terimi toplamıı a ve b ciside değeri edir?. a+d, ad, ad² terimleri hem bir aritmetik dizi hem de bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise a 4. Bir geometrik dizii ardışık üç terimi x-, x+, x+ olduğua göre x.(a )=( +4-) dizisii ilk terimii toplamıı buluuz. 6. (a ) = +, asal ise -, asal değil ise dizisii ilk dört terimi toplamı 7.Đlk terimi ola bir (a ) diziside, a + =+ a bağıtısı vardır. Bua göre a 8.Geel terimi a ola bir dizide, a = ve > içi, a = a - +- olduğua göre,bu dizii geel terimi edir? 9.Geel terimi a ola bir dizide, a = ve > içi a =( a - + ) bağıtıları varsa bu dizii geel terimi edir? 0.Geel terimi, a = terimi +, 0 (mod) ise.(a ) = -, (mod) ise, (mod) ise dizisie göre, a +a 9 +a 6 toplamı ola dizii. (a )=( - + ) dizisii kaç tamsayı değeri vardır?. (a )=( +-44 ) dizisii kaç tamsayı değeri vardır? 4. (a )=((x-y) +(x+y-0)-7) dizisi sabit dizi olduğua göre x+y+a 9

10 .(b )=(-)/(+k) sabit dizisii değeri 6. (a + ) dizisi (a )=( + + ) dizisii alt dizisidir.bua göre (a + ) dizisii. terimi 7.(a ) dizisii alt dizileri (a + )=( - + ) ve (a ) dir.bua göre (a ) dizisii. terimi 8. (a )=(-4) aritmetik dizi olduğuu gösteriiz. 9. Đlk terimi ve ortak farkı ola aritmetik dizii 0. terimi 40.Bir aritmetik dizii terimleri arasıda a 9 +a 0 =7 a 6 +a 8 =7 Bağıtıları olduğua göre, ortak fark 4.Bir aritmetik dizide, a =4 ve a 8 =4 olduğua göre,a 4.(a )=(-,7,9, ) şeklide verile aritmetik dizii. terimi 4.(a )=(-/,/,/, ) aritmetik dizisii geel terimi edir? 44.(a ) aritmetik diziside, a 0 =8 olduğua göre,a 8 +a +a 8 +a toplamı 4. x-,x+,x+a, aritmetik diziside a 46.Bir aritmetik dizide a = göre,a a -a 8= 4 olduğua 47.8 ile 4 sayıları arasıa aritmetik dizi olmak şartıyla 7 terim yerleştirildiğide bu dokuz terimli aritmetik dizii. terimi 48.. terimi 64 ve ortak farkı 6 ola bir aritmetik dizii ilk terimi toplamı 49.(a )=(-4,4,, ) aritmetik dizisii ilk terimii toplamı 0.. terimi 4 ve 7. terimi 6 ola azala bir aritmetik dizide ilk 0 terimi toplamı.đlk 6 terimi toplamı 60 ve. terimi 0 ola aritmetik dizii. terimi.bir aritmetik dizii,ilk 0 terimi toplamı 00 ve ilk 8 terimi toplamı olduğua göre geel terimi edir?.đlk terimi toplamı S ola bir aritmetik dizide S -S =8 ve S 8 -S 7 =4 olduğua göre,a 4.Bir aritmetik dizide, S = - olduğua göre,bu dizii geel terimi edir? 6.-a,,+a sayıları bir geometrik dizii ardışık üç terimi ise a kaç olabilir? 7.Đlk terimi 4,ortak çarpaı ola bir geometrik dizii 0. terimi 8.Bir geometrik dizii terimleri arasıda a +a 7 =48 ve a +a 9 = bağıtıları olduğua göre ortak çarpa 9.Bir geometrik dizii. terimi ve ortak çarpaı / olduğua göre,0. terimi 60.Bir geometrik dizii. terimi ve. terimi 6 olduğua göre,7. terimi 6.(a )=(9/6,7/64,8/6, ) dizisii geel terimii buluuz. 6. -,+,+6 sayıları geometrik bir dizii ilk terimi olduğua göre 6.a 9 6.x+y,x+y,x+4 üç terimi hem aritmetik ve hem de geometrik dizii ardışık üç terimi olduğua göre x +y 64.(a )=(,a,b,c,7) solu geometrik dizisie göre, log b (a.c) 6. ile 48 terimleri arasıa geometrik olacak şekilde üç terim yerleştirildiğide bu dizii üçücü terimi 66.Üçücü terimi / ve ortak çarpaı ola bir geometrik dizii ilk terimi toplamıı buluuz. 67.(a )=(a,a,,/8,/, a ) geometrik diziside a 8 = olduğua göre,ilk 0 terimi toplamı 68.Bir geometrik dizii ilk sekiz terimi toplamıı ilk 4 terimi toplamıa oraı 7 olduğua göre,bu dizii ortak oraı 69.Bir geometrik dizii ilk terimi x,. terimi y,ortak oraı dir.bu dizii ilk terimi toplamıı x ve y ciside ifadesi edir? 70.Bir geometrik dizide, a = ve a 0 =0 olduğua göre,bu dizii ilk 0 terimi çarpımı kaç basamaklıdır? 7.a=4 sayısıı ε= komşuluğu edir? 7. (,8) açık aralığı hagi sayıı kaç komşuluğudadır? 7.(a )=( + ) dizisii i /0 komşuluğu dışıda kaç terimi vardır? 74.(a )=(+)/ dizisii ü /0 komşuluğu dışıda kala terimleri hagi aralığı dışıdadır? 7.(a )=(/) dizisii sıırlı olduğuu gösteriiz..(a )=((-) ) dizisii geometrik dizi olduğuu gösteriiz. 76.(a )=(-) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 77.(a )=( -0+7) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 0

11 78.(a )=(- +8-) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 79.(a )=( + - ) dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. 80. (a )=(! - ) dizisii sıırlı olmadığıı gösteriiz. 8.Geel terimi, a =.! ola bir dizide a 0,a 8 i kaç katıdır? 8.Geel terimi, a = ola dizii 0. terimi 8. (a )=( +8 - ) dizisii kaç terimi de büyüktür? 84.Ortak çarpaı ve 4. terimi. 4 ola geometrik dizii 7. terimi 8.Đlk terimi 6 ve ilk terimii toplamı 4 ola pozitif terimli geometrik dizii. terimi 86. (a + )=(a +)/ ve a = ise a 9 u buluuz. 87.(a )=( (+)! ) dizisi veriliyor.a + a oraıı buluuz. 88. a+,6+log 4 64,a+ terimleri bir aritmetik dizii ardışık üçterimi ise a ı değeri 89.Bir aritmetik dizide a 8 =0 olduğua göre,ikici ve dördücü terimleri toplamı 90.Bir aritmetik dizii ilk terimii toplamı a ve ilk terimi a ise ortak farkıı buluuz. (>) 9. ile arasıa aritmetik dizi oluşturacak şekilde 4 tae terim yerleştirilirse oluşa yei dizii tüm terimler toplamı 9. S -S 0 =4 ise S -S 4 =87 olduğua göre bu dizii ortak farkı 9. Bir geometrik dizide birici terim ve ikici terimle dokuzucu terim çarpımı olduğua göre,oucu terim 94. Đlk terimi ve ortak çarpaı ola bir geometrik dizii kaç terimii toplamı 8 dir? 9.(a ) pozitif terimli bir geometrik dizi ve bu dizii terimleri arasıda a.a 6= 7 bağıtısı varsa a 96.(a ) bir geometrik dizi olmak üzere a +a =0 a +a 7 =0 ise a =? 97. Đlk terim toplamı ola bir aritmetik dizii. terimi 98. x +6x -x+m=0 deklemii kökleri bir aritmetik dizi teşkil ediyorsa m i değeri 99. x -px +qx-6=0 deklemii kökleri bir geometrik dizi teşkil ediyorsa p ve q arasıda asıl bir bağıtı vardır? 00.Đlk terimii toplamı + ola bir dizii geel terimi edir? 0. (a ) = ( ) dizisii kaç terimi pozitiftir? 0.(a )=( m- +4 ) (b )=( -8 + ) olmak üzere,(b ) dizisi (a ) dizisii bir alt dizisi olduğua göre, m 0. (a )=( vardır? + ) dizisii (/9,/) aralığıda kaç terimi 04.x 0 olmak üzere, x+y,x +,y- üçlüsü hem aritmetik,hem de geometrik bir dizii ardışık üç terimi olduğua göre,x-y farkı 0.Bir geometrik dizii ardışık üç terimi sırasıyla, x-,x+,x-6 olduğua göre,x 06. Bir aritmetik dizide ilk terimi toplamı; S = - olduğua göre,bu dizii oucu terimi 07.Bir aritmetik dizii ardışık beş terimi sırasıyla,log4,logx,logy,logz,log6 olduğua göre,x.z/y? 08.Đlk terimi ola pozitif terimli bir (a ) geometrik dizisi içi, a +9 a + = 64 bağıtısı olduğua göre,a (a ) aritmetik dizisii ilk terim toplamı S dir. a /a 4 =7/9 ve S 4 =60 olduğua göre, a terimi a-b ve. terimi a+b ola bir aritmetik dizii. terimi edir?.đlk terim toplamı S ola bir dizide,s = + olduğua göre, a. Bir aritmetik dizii ilk terimi, k+,k+,k+ olduğua göre,bu dizii. terimi. Bir dizide;herhagi bir terim,kediside bir öceki terim ile bir soraki terimi çarpımıa eşit olarak veriliyor. a = ve a = olduğua göre,a 6 4. a =-, a + =a + ise,a 0.a =, a =.a - ise (a ) dizisii geel terimii buluuz. 6. Aşağıdaki limitleri buluuz. a) lim (+ ) b) lim ( - ) c) lim ( + ) d) lim ( - + )4 d) lim ( - + )-

12 7..Birler basamağı 4 ola 4 basamaklı bütü tamsayıları toplamıı buluuz. 8. Đlk 7 terimi çarpımı 8 ola bir (a ) geometrik diziside a.a değerii buluuz. 9. Đlk terimii çarpımı P ola bir geometrik dizi içi,p 0 /P 9 =96 ve P /P 4 = eşitlikleri sağlaıyor.bua göre,geometrik dizii geel terimii buluuz. 0. Bir hastaya saat 8 de 000 mg ilaç verilmiştir.hastaya her saat başıda,bir öceki saat başıdaki miktarı %0 u kadar ilaç verilmektedir.saat te hastaya e kadar ilaç verilmelidir?. 0 metre yükseklikte serbest bırakıla bir top yerde her sekmeside bir öceki yüksekliği 6/7 si kadar yükseliyor.top 9. sekmede kaç metre yükseğe çıkar?. Başlagıçta a tae ola ekmek küfü bakterisi her saatte bir iki katıa ulaşıyor.4 saat sora ortamdaki toplam bakteri miktarı a ciside e kadardır?.bir aritmetik dizide ardışık terimi toplamı 8 dir.bu terimlerde. si bir azalır,. terimi iki katı alıırsa terimler geometrik bir dizi özelliği gösteriyor.bu şartları sağlaya aritmetik dizileri buluuz. 4. (a )= a 6 = k k diziside, k = olduğua göre, x.(a )= k dizisii limiti 8 olduğua göre, k ( + )! 6. (a )= + dizisii limiti 7.(a )=( + ) 4/ dizisii limiti 8.a = 0, a + = 0 7a göre,(a ) dizisii limiti + > olduğua

13 SERĐLER:. Aşağıdaki sosuz toplamı değerlerii buluuz. a) b) c) a= 4 ve b= olmak üzere; a 4 -b +a 6 -b 8 +a 8 -b d) x bir dar açı olmak üzere; si x+si 4 x+si 6 x+... sosuz toplamıı x e bağlı ifadesii buluuz.. Bir lastik top metre yükseklikte bırakılıyor ve her seferide bir öceki yüksekliğii yarısı kadar yükseliyor.top durucaya kadar m yol aldığı bilidiğie göre yüksekliği kaç metredir?. Kear uzulukları 8 cm ve 6 cm ola bir dikdörtgei kearlerıı orta oktaları birleştirilerek bir eşkear dörtge ve bu eşkear dörtgei de orta oktaları birleştirilerek yei bir dikdörtge elde ediliyor.bu işlem sosuz defa tekrar edildiği varsayılıyor. a) Tüm dikdörtgeleri alaları toplamıı; b) Tüm eşkear dörtgeleri alaları toplamıı; c) Tüm dikdörtgeleri çevreleri toplamıı; d) Tüm eşkear dörtgeleri çevreleri toplamıı buluuz. 4. Ayı merkezli sosuz tae çemberlerde e dıştakii yarıçapı r, bir içtekii yarıçapı r/4, daha içtekii yarıçapı 9r/6,... biçimidedir.bu sosuz sayıdaki çemberleri; a) Çevreleri toplamıı b) Alaları toplamıı buluuz.. Bir kear uzuluğu a birim ola küpü içie yüzeylerie teğet ola bir küre; kürei içie köşeleri küre yüzeyide ola bir küp; küpü içie yüzeylerie teğet ola bir küre yerleştiriliyor ve bu biçimde işlem sosuz defa tekrarladığı varsayılıyor. a) Tüm küpleri yüzey alaları toplamıı; b) Tüm küpleri hacimleri toplamıı; c) Tüm küreleri yüzey alaları toplamıı; d) Tüm küreleri hacimleri toplamıı buluuz. Seriler Đle Đlgili Bazı Yakısaklık Testleri: a) Karşılaştırma Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi ile b = b + b b serileri verilsi. a) Eğer N + içi a b ve b yakısak ise a de yakısaktır. b) Eğer N + içi a b ve a ıraksak ise b de ıraksaktır. Not: Bu iki durumu aksi halleride bir şey söyleemez. b) Geometrik Seri: ar k = a + ar + ar +... serisie Geometrik Seri deir. k=0 Burada r < ise seri yakısak ve değeri a -r dir. Şayet r ise seri ıraksaktır. b) Riema Serisi: p serisie Riema Serisi deir.bu seride; a) p> ise seri yakısak; b) p ise seri ıraksaktır. c) D'Alambert Ora Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi verilsi.eğer; a + a) lim < ise a serisi yakısak; a a + b) lim > ise a serisi ıraksak; a a + c) lim = ise bu test yetersiz kalır ve a serisi a içi bir şey söyleemez. d) Cauchy Kök Testi: Bütü terimleri pozitif ola a = a + a a serisi verilsi.eğer; a) lim b) lim a < ise a serisi yakısak; a ise a serisi ıraksaktır. 6. Aşağıdaki serileri karakterii (yai yakısak veya ıraksak olduklarıı) yukarıdaki kriterlerde bir ya da bir kaçıı kullaarak belirleyiiz. a) e) i) m) - b) + (+) 0! f) j) c) (+) d) (+) g) l h) l 00 / + k) 00 l)! ) (+)(+) o)

14 p) ş)! +++ +(-) r) (-) t)! s) 7. -<x< içi +x+x +x -x - lim x + = lim - x = - x = x = - x olur. - x = +x+x +x + eşitliğie f(x) = foksiyouu seriye açılımı deir. - x Buu gibi her foksiyou x i, 0 da başlayarak arta kuvvetlerie göre solu (veya sosuz) sayıda toplam biçimide gösterebileceğimiz seriye açılımı vardır.bu serilere kuvvet serisi deir. Bir foksiyou kuvvet serisie açabilmek içi türev kousuu bilimesi gerekir.seri açılımlarıı Yüksek Matematikte büyük öemi vardır. Acak biz burada bazı foksiyoları seriye açılımıı vererek ilgiç birkaç uygulama yapalım. Öreği Matematikte çok öemli sayılarda biri ola e sayısı (e=, ) ile ilgili e x foksiyouu seriye açılımı; e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + dir. Aşağıda si x ve cos x (x radya) foksiyolarıı açılımları verilmiştir. si x = x x x x 7! -! ! 7! x 4 x x 6 cos x = -! ! 6! Öreği; i) e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + seriside x= koyarsak; e = +! +! +! + 4! + x=/ koyarsak; e = + / (/) (/)! +! +! + x= - koyarsak; e = -! +! -! + 4! - + ii) e x = + x x 4 x x! +! +! + 4! + seriside x yerie ix koyalım; e ix = + ix (ix) (ix) (ix) 4! +! +! + 4! + e ix = + ix x 4 ix x! -! -! + 4! + e ix x 4 6 x x = -! + 4! - 6! + - +i( x x x! -! +! - + ) e ix =cos x + isi x = cis x e ix = cis x =cos x + i.si x buluur. iii) e ix = cos x + i.si x bağıtısıda; x=π koyalım e iπ = cosπ +i.si π = - veya e iπ +=0 buluur. iv) e ix = cos x + i.si x bağıtısıda; x= π/ koyalım e iπ/ = cos π +i.si π =i buluur. v) i i =( e iπ/ ) i = e -π/ = e π buluur. - vi)! serisii değerii bulalım. = - Çözüm:! = (! -! ) =! -! = = = = = (-)! -! =(+! +! +! + 4! + ) = = -(! +! +! + 4! + ) = e-(e-) = buluur. vii)! serisii değerii bulalım. = 4 Çözüm:! =! + 4! +! + = =(+ 4! +! +! + 4! +! + ) (+! +! ) = e - buluur. Nasıl, ilgiç souçlar değil mi? Siz de bua bezer ilgiç souçlar elde edebilirsiiz. Aşağıdaki soruları verile bilgilerde faydalaarak cevaplayıız. a)! = + =? b)! = - =? c)! =? = -+ d)! =? = e) x.six - cos x x² foksiyouu seriye açılımıı buluuz. 4

15 8. Aşağıdaki x e bağlı serileri (kuvvet serilerii) yakısaklık aralığıı (yai seriyi yakısak yapa x değerleri kümesii) buluuz. a) + x + x + x +... b) + x x x! +! +! +... c) x + + x x d) + x x 4x e) + x- (x-) (x-) f) 0x + 00x + 000x x g) -! x +! x -! x +... h) - x + x 4 - x i) x x x! -! +! x 7-7! , devirli odalık açılımıı seri biçimide yazarak değerii rasyoel sayı olarak buluuz toplamıı hesaplayıız.. = +. r < içi. (/)- = = serisii değerii hesaplayıız..r- = (-r) olduğuu ispatlayıız. serisii değerii hesaplayıız. 4. Aşağıdaki sosuz toplam değerlerii buluuz. a) (+) + b) (-).(+) +. + serisii toplamıı buluuz. = 6. = = π² = 6 olduğu bilidiğie 4 göre aşağıdaki seri toplamlarıı buluuz. a) ² + ² + ² + b) ² + 4² + 6² + 7.Yarıçapı cm ola dairei içie,her birii yarıçapı bir öcekii yarıçapıı / ü olacak şekilde sosuz çoklukta daireler çiziliyor.oluşa daireleri çevreleri toplamı kaç cm dir? 8. metre yükseklikte bırakıla bir lastik top,her yere düşüşüde bir öceki yüksekliği / i kadar tekrar yükseliyor.bua göre,topu durucaya kadar aldığı toplam dikey yolu buluuz. 9. Yarıçapı 4r birim ola kürei içie,her birii yarıçapı bir öcekii yarıçapıı yarısı olacak şekilde sosuz çoklukta küreler kouyor.oluşa sosuz tae kürei; a) Yarıçaplar toplamıı b) Alalar toplamıı c) Hacimleri toplamıı buluuz. 0.Bir karei iç teğet çemberi diziliyor.çizile bu çemberi içie,köşeleri çemberi üzeride ola yei bir kare çiziliyor.bu işlem sosuz çoklukta çember,kare,çember,kare şeklide devam ediyor.e dıştaki karei bir kearı a birim ise, a) Kareleri çevreleri toplamıı; b) Kareleri alaları toplamıı; c) Çemberleri çevreleri toplamıı; d) Çemberleri oluşturduğu daireleri alaları toplamıı buluuz..! =+! +! +! + 4! + = e olduğu bilidiğie = 0 göre; aşağıdaki serileri değerii buluuz. a) -! b) +! c) - + (+)! = = =. Aşağıdaki serileri toplamıı buluuz. a) (+. - ) b) (,)-k = 0 k = c) +4 d) (-/) = 0 =.a> olmak üzere, tamsayı değeri = a + = /8 ise a ı c) (+).(+) + 4. (.x - )=9 = 0 olduğua göre,x

16 . 6. a =9/8 olduğua gör,a = 0 - = ifadesii değeri 8.<x<e olmak üzere, buluuz. l x serisii toplamıı = 9. 0,+0,0+0, , serisii değeri 7. (-)k- k ifadesii değeri k = 40. 0<x< olmak üzere, x + 4 x + 8 x + 6 x 4 + = olduğua göre, x 8. l( + - ) ifadesii değeri = 4. x -8x+7=0 deklemii kökleri x ve x olduğua göre, x + x (x.x ) serisii değeri = 9. Dik kearlarıda biri 4 cm ola bir ikizkear dik üçgei dik kearlarıı orta oktaları birleştirilerek yei bir dik üçge elde ediliyor.bu işleme sosuz kez devam edildiğide elde edile bütü üçgeleri alalarıı toplamı kaç cm olur? 0. ²-6 + 4²-8 + ² ²- + toplamıı değeri (-) değeri. 0(/) =? = + ifadesii a a a 4. a<b olmak üzere a+ b + b + b + serisii toplamıı a ve b ciside buluuz. 4. cos x=, = ciside değeri edir? 0<x<π ise x i radya serisii toplamı = = = serisii toplamı ifadesii değeri 4. l+l +l 4 +l l değeri +... serisii (/)+.(/) +4.(/) +... serisii toplamı 47. +( ) +( ) +... toplamıı değeri 48. (-)! = serisii toplamıı buluuz. 49. ²- (+)! serisii toplamıı buluuz. = 0. <x<e olmak üzere;+lx+l x+l x+l 4 x+... serisii toplamıı buluuz.. ( ) serisii değeri = 6. = ++6 serisii değeri 7. <k<7 olmak üzere, toplamıı buluuz. -k (6 (8k) = ) serisii Bu dosyayı sayfasıda idirebilirsiiz. Đzmir Fe Lisesi Matematik Zümresi (Şubat 008) 6