Analiz II Çalışma Soruları-3

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Analiz II Çalışma Soruları-3"

Bora Ilhami Sevim
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Analiz II Çalışma Soruları- Son güncelleme: 44 (I)( A ) Aşağıdaki fonksiyon için verilen noktaların ektremum nokta olup olmadıklarının gözlemini yapınız y y f ( ) a b c d e k r s ( B) Aşağıdaki fonksiyonların varsa ekstremum noktalarını bulunuz f ( ) + 4 f( ) + f( ) f ( ) 5+ n + 6 f ( ) f( ) 7 n ( C) Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum noktalarını araştırarak verilen aralıklarda varsa maksimum-minimum değerlerini bulunuz f ( ) e, [ ], 4 f( ) <,, f ( ), [, ] 5 f( ) 6 9, + + [, 4 ], < f( ) 4, 6 f( ) +, [, ]

2 (II) Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz 4 5 f ( ) 8 f( ) 4 6 f( ) f ( ) 6 f( ) 7 + f( ) 4 f( ) +

3 Not: Yanıtlar-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs olabilir kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız Çalışma Soruları- (son güncelleme : 44) Yanıtlar - Yol Göstermeler I Önbilgi D, f : D fonksiyonu, D noktası, U : ın bir civarı ( U D) verilsin EN: Yerel Ekstremum (maksimum-minimum) nokta, KN: Kritik nokta, y: Yerel, m:mutlak yminimum : U için ymaksimum : U için f ( ) f( ) f ( ) f( ) Not : Yukarıdaki tanımlarda U yerine D alınırsa sırasıyla mminimum-mmaksimum tanımları elde edilir Başka ifade ile mmaksimum (mminimum): ymaksimum noktalarının en büyüğü(en küçüğü)dür (KNların tespiti) KNlar: f ( ) şeklindeki noktaları (EN için bir gerek koşul) EN KN Not : Bu sonuç türevin varlığı hipotezi altında geçerlidir O halde da türev var ve KN değil ise EN değildir (KNlarda EN araştırması) KN olsun (i) (Birinci Türevin işaretinin incelenmesi) f ( ) + f ( ) ym aksim um f ( ) + f ( ) Not : Diğer durumlarda EN değildir diyebiliriz yminimum

4 (ii) (İkinci Türev Testi) (EN için bir yeter koşul) f > ( ) yminimum, f ( ) < ymaksimum Not 4: Bu sonuç ikinci türevin varlığı hipotezi altında geçerlidir Testin sonuç vermediği durumlar için EN değildir diyemeyiz A c, d, r : ymaksimum; r : mmaksimum; e : yminimum; s : mminimum; a, b, k : EN değil B f ( ) + f ( ) KN yok EN yok! Not den B f( ) 4+ 6 f ( ) 4, K N : f ( ) 4 f ( ) + f ( ) yminimum B f( ) 7+ f ( ) 7, KN : f ( ) ( )( + ), f ( ) + + f ( ) ym aksim um yminimum

5 B4 f( ) + f ( ), K N : f ( ) +, f ( ) + + f ( ) ym aksim um yminimum B5 + ( ) 4 4 f ( ) 5 n f + n, KN : f ( ) 4 4+ n f ( ) 4+ f () 5 > yminimum ikinci türev testinden B6 f ( ) n f ( ) + n, K N : f ( ) + n n e f ( ) f > e ( ) e ikinci türev t estinden yminimum e

6 Grafikler (gözlem için): C f ( ) e, [, ] f ( ) e KN yok Aralığın iç noktalarında EN Not den yok! Uç noktaları inceleyelim: f ( ) e > f Artan mminimum, mmaksimum Minimum değer: f (), Maksimum değer: f () e C f ( ), [, ] f ( ) KN yok Not den Aralığın iç noktalarında EN yok! Uç noktaları inceleyelim: 4

7 f < ( ) f Azalan mminimum, mmaksimum Minimum değer: f (), Maksimum değer: f ( ), < C f( ) Dikkat edilirse fonksiyon de sürekli değildir 4, dolayısıyla bu noktada türevlenemez Fonksiyonun grafiği üzerinde inceleme yapıp sonuca gidelim: EN değil Aralığın iç noktalarında EN yok f () mmaksimum Maksimum değer:, < C4 f( ) Dikkat edilirse fonksiyon da sürekli değildir, dolayısıyla bu noktada türevlenemez Fonksiyonun grafiği üzerinde inceleme yapıp sonuca gidelim: ymaksimum ve mmaksimum Aralığın diğer iç noktalarında EN yok Maksimum değer: f () f( ) f () + + [, 4 ] C5 f( ) 6 9,, K N : f ( ) + 9, ( )( ) f ( ) 6 f () 6 < yminimum, ikinci türev testinden f () 6 > yminimum ikinci türev t estinden 5

8 f ( ) 4, f () f (4) 6, f () Minimum değer: f ( ) 4, Maksimum değer: f() f(4) 6 C6 f( ), [, ] Cevabı: Minimum değer: f (), Maksimum değer: + f () Önbilgi (i) (konvekslik-konkavlık ) Şekil üzerinde açıklayacağız bütün teğetler f in grafiğinin altında konveks bütün teğetler g nin grafiğinin üzerinde konkav Not 5: (kabaca) Konveks:, Konkav: (ii) ( f ile f in grafiği arasındaki ilişki) (Konvekslik Testi) (ii)-t I için f ( ) > f : I da konveks (ii)-t I için f ( ) < f : I da konkav 6

9 (iii) (Büküm noktası) Eğrinin konvekslikten konkavlığa (veya konkavlıktan konveksliğe) geçtiği noktaya Büküm (Dönüm-Eğer) noktası denilir Ör: noktası büküm noktasıdır (iii) (Asimptotlar: fonksiyona sonsuzda teğet olan eğriler ) Daha çok p( ) f( ) q ( ) şeklindeki rasyonel ifadelerde rastlanılır (p,q: polinom) Sorulara uygunluk açısından kabaca açıklama: (Düşey Asimptot: paydayı sıfır yapan değerlerde ) f ( a ), f ( a+ ) değerlerinden biri diğeri + a eşit a f in bir DAsimptotudur (Yatay Asimptot:, + için limitlerde) lim f( ) b y b f in bir YAsimptotudur (Eğri Asimptot: payın derecesi paydanınkinden bir büyük) f ( ) m lim, lim ( f( ) m) n y m + n f in bir EAsimptotudur Örnekler: f( ) fonksiyonu için DAsimptot, y YAsimptottur + f( ) fonksiyonu için y + EAsimptottur (II) Fonksiyon grafiklerinin çizimi ile ilgili sorularda, aşağıdaki aşamaları takip edeceğiz: A Fonksiyonun tanım kümesinin ve eksenleri kestiği noktaların belirlenmesi B Asimptotların belirlenmesi C Birinci ve İkinci türevlerin, ENların, Konveks-Konkav olduğu bölgelerin belirlenmesi 7

10 4 f ( ) 8 4 y 8 ( 8 A için y y B Asimptot yok! için 8, 8 ) ( ),, ( 8,), ( 8,) ; TK: C f ( ) ( )( + ), f ( ) 6 4( 4) ( )( + ) f ( ) + + f ( ) 6 6 yminimum ym aksim um yminimum f ( ) + + Konvekslik konveks konkav konveks büküm n büküm n 8

11 Çizime Hazırlık 4 ( ) 6 f benzer şekilde: 9

12 f( ) + A y + için y (, ) ; TK: B lim f( ) lim + y YAsimptot C f ( ) 6 ( + ), 8( + )( ) f ( ) ( + ) f ( ) + f ( ) yminimum f ( ) + Konvekslik konkav konveks konkav 4 4 büküm n büküm n

13 4 f( ) + benzer şekilde: 5 f( ) A B y için, f () lim f ( + ) lim + f( ) m lim lim, (, ), (, ); TK: \{} DAsimptot lim ( f ( ) m) lim y m + n yani y EAsimptot lim ( n) C f ( ) +, f ( ) KN yok Not den EN yok!

$y B f ( ) lim f ( + ) lim + http://odevmbcom (, ), (, ); TK: \{ } DAsimptot$

14 f ( ) f ( ) f ( ) + Konvekslik konveks konkav büküm n 6 f( ) y A için y B f ( ) lim f ( + ) lim + (, ), (, ); TK: \{ } DAsimptot

15 lim f( ) lim + y YAsimptot C f ( ), ( ) f ( ), KN yok EN yok! ( ) Not den f ( ) f ( ) f ( ) + Konvekslik konkav konveks büküm n

16 7 f( ) benzer şekilde (, DAsimptot; y YAsimptot; ymaksimum): 4

Benzer belgeler

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise