NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri

Transkript

1 Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik çözümlemenin çok karmaşık olduğu vea bulunamadığı durumlarda saısal çözümleme öntemleri tercih edilmektedir. Saısal Yöntemlerin Konusu Denklem Çözümleri, Denklem Sistemleri, İnterpolason ve Eğri Udurma, Türev ve İntegral, Diferansiel Denklemler, Denklem Çözümleri Denklem çözümleri, saısal öntemlerin kavranması açısından bir temel oluşturmaktadır. Doğrusal olmaan bir denklemin kökünün bulunması problemi çok eski bir problemdir. Optimizason f()=0 kök f() i 1

2 Denklem Sistemleri Doğrusal bir denklem sisteminde, eşzamanlı olarak eşitliği sağlaan değişkenler aranır. Doğrusal olmaan bir denklem sisteminin çözümü için kullanılacak öntem, denklem sisteminin birkaç kökünün bulunmasına; köklerin gerçek vea sanal olmasına bağlı olarak belirlenir. a11 1 a12 2 c1 a21 1 a22 2 c2 2=f( 2) Çözüm i 1=f( 1) İnterpolason ve Eğri Udurma İnterpolason ve eğri udurma, çok az hatasız veri noktaları arasında kalan ara noktalar için fonsionun değerinin belirlenmesi amacıla kullanılır. f() interpolason fonksionu f() eğrisi Türev ve İntegral Saısal integral, bir eğrinin altında kalan alanın belirlenmesidir. Arıca saısal integral, diferansiel denklem çözümünde de kullanılmaktadır. Türev, bir fonksionun değişim hızını a da farklı ifadele eğimini belirler. Gerçek türev f() Yaklaşık türev f() Diferansiel Denklemler Bir bilinmeen fonksion ve onun türevlerinden birini vea daha çoğunu birbirine bağlaan denkleme diferanisel denklem denir. Eğer bir fonksion bir bağımsız değişken içeriorsa adi diferansiel, iki vea daha çok değişken içeren eşitlikler kısmi diferansiel denir. Gerçek Çözüm f() Saısal Çözüm 0 n 0 n 0 n 2

3 Optimizason Kök belirleme bir fonksionun vea fonksionların sıfır olduğu noktaların bulunması olarak tanımlanırken optimizason, maksimum vea minimum en ii noktanın bulunması problemidir. bölgesel maksimum küresel maksimum f() Saısal Yöntemlerin Ugulanmasında Dikkat Edilecek Konular Başlangıç Değeri Yakınsama Hızı Kararlılık Doğruluk ve Hassaslık küresel minimum bölgesel minimum Ugulama Alanının Genişliği min mak Mühendislik Ugulamaları Matematik Modelleme Süreci Fiziksel bir sistemin vea bir sürecin ana özelliklerini matematik terimlerle ifade eden bir eşitlik matematik model olarak tanımlanır. Bir problemin matematik olarak modellenmesinde: 1-Problemin formüller ifade edilmesi 2-Ortaa çıkan matematik problemin çözümü 3-Matematik sonuçlarının orumuna dikkat edilmelidir. Kuram Matematik model Gerçek düna problemi Saısal öntemler Yorum Saısal sonuçlar 3

4 Bilgisaarlarda Saıların Kadedilmesi Bilgisaarlarımızda saıların gösterimi, tek duarlı ve çift duarlı olmak üzere iki farklı durum için belirlenmiştir. Saılar, tek duarlı 32 bit (4 bte), ve çift duarlıkta 64 bit (8 bte) olarak kadedilir. İki durumda içinde ilk bit saının işaretini temsil eder. Bilgisaarlarda Saıların Kadedilmesi Tek duarlıkta işaret bitinden sonraki 8 bit, çift duarlıkta 11 bit, üssün kadedilmesi için arılmıştır. Daha sonra; tek duarlıkta 23 bit, çift duarlıkta 52 bit, mantisin kadedilmesi için arılmıştır. tek duarlıkta 7 hücre, çift duarlıkta 15 hücre esas alınır. Bilgisaarlarda Saıların Kadedilmesi Bilgisaarlarda Saıların Kadedilmesi Tek hassasietli (single Precision) Matlabta bir bilgisaar programı azarak saısını tek hassasietli (single Precision) ve çift hassasietli (double Precision) değişken içerisinde kez üst üste toplaınız. 4

5 Bilgisaarlarda Saıların Kadedilmesi Çift hassasietli (double Precision) Kaan Noktalı Gösterim Ondalık kaan noktanın gösterimi: Bilgisar ortamındaki sınırlamalardan dolaı, saıların bilgisaarlarda sonsuz uzunlukta gösterimi mümkün olmamaktadır e e-04 Kaan Noktalı Gösterim Aşağıda verilen saıların, 32-bitlik bir IBM-uumlu bilgisaarın hafızasında Tek Duarlı durumunda kaan noktalı formatında temsil ediliş şeklini azınız: A= e-04 B= e+09 Saı Yuvarlama Kuralları Yuvarlatılacak haneden sonraki saı beş ise: saısını noktadan sonra iki hane uvarlaınız: saısını noktadan sonra iki hane uvarlaınız:

6 Saı Yuvarlama Kuralları Yuvarlatılacak haneden sonraki saı beşden büük ise: saısını noktadan sonra iki hane uvarlaınız: 5.67 Yuvarlatılacak haneden sonraki saı beşden küçük ise: saısını noktadan sonra iki hane uvarlaınız: 5.66 Saı Yuvarlama Kuralları saısını Noktadan sonra beş hane uvarlaınız: Noktadan sonra dört hane uvarlaınız: Noktadan sonra üç hane uvarlaınız: Noktadan sonra iki hane uvarlaınız: 8.59 Noktadan sonra bir hane uvarlaınız: 8.6 6