10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

Transkript

1 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ

2 . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz. aşlamadan bilmeniz gereken beceriler: 9. sınıf matematik dersinde gördüğümüz fonksiyonlar ile ilgili temel kavram ve kuralları bilmeniz gerekmektedir. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM 9. sınıf matematik dersinde, günlük hayattaki bazı problemlerin fonksiyonlarla nasıl modellenebileceğinden ve çözülebileceğinden söz etmiştik. azı günlük hayat problemlerini, iki ya da daha fazla fonksiyonu kullanarak modellemek gerekebilir. Örneğin, bir şirketin, satışını yaptığı ürünün maliyet fonksiyonu M(x), ürünün satışından elde edilen gelirin fonksiyonu G(x) fonksiyonu ile ifade edilmişse şirketin elde ettiği kâr, G(x) M(x) ile ifade edilebilir. enzer şekilde, birçok şubeye sahip bir marketin her bir şubesinin kâr fonksiyonu, farklı fonksiyonlarla ifade edilmiş ise şirketin tüm kârı için her bir şubedeki kâr fonksiyonlarını toplamamız gerekecektir. iii) f ile g nin çarpımı f g ile gösterilir ve (f g)(x)=.. olarak tanımlanır. iv) f ile g nin bölümü f g ile gösterilir ve f (x)... g(x) g olarak tanımlanır. Tanımdan da anlaşılacağı üzere, f fonksiyonunun tanım kümesi T ve g fonksiyonunun tanım kümesi T ise, f ve g fonksiyonlarında yapılacak toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri sonucu elde edilen fonksiyonun tanım kümesi T T dir. f ve g fonksiyonlarının bölümünün tanım kümesi ise (T T ) {g(x) = } kümesidir. unları, aşağıda yer alan grafiklerin üzerinde de örneklendirelim. TNIM : f ve g iki fonksiyon olmak üzere, hem f nin hem de g nin tanım kümesinin ortak elamanı olan x ler için, i) f ile g nin toplamı f+g ile gösterilir ve (f+g)(x)=.. olarak tanımlanır. ii) f ile g nin farkı f g ile gösterilir ve (f g)(x)= olarak tanımlanır. Örneğin =[-5,8] ve =[-7,4] olmak üzere, f: lr ve g: lr ye tanımlı iki fonksiyonun toplamı farkı ve çarpımının en geniş tanım kümesi aralığıdır.

3 Örneğin ={-,-,,4,5}ve =[-4,4] olmak üzere, f: lr ve g: lr ye tanımlı iki fonksiyonun toplamı farkı ve çarpımının en geniş tanım kümesi.. f(x)= x + ve g(x) = x+ fonksiyonları veriliyor. una göre, f+g f g f.g ve f/g fonksiyonlarını bulunuz. ÖRNEK 4: f={(,),(,4),(,4),(6, )} ve g ={(, ),(,),(4,5),(,4)} şeklinde tanımlanan iki fonksiyon veriliyor. una göre, f +g fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. FÖY- i açınız. FONKSİYONLRIN İLEŞKESİ Neler öğreneceksiniz? f(x)= x.x ve g(x) = x fonksiyonları veriliyor. una göre, f+g f g f.g ve f/g fonksiyonlarını bulunuz. ={,,,,4,6}ve ={,,,,4,5}olmak üzere, f: lr ve g: lr x x+ x x şeklinde tanımlanan iki fonksiyon veriliyor. una göre, f +g fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. Fonksiyonların bileşkesinin tanımını ve bileşke fonksiyonun bulunmasını, aşlamadan bilmeniz gereken beceriler: Fonksiyon kavramının tanımını bilmeniz ve temel cebirsel işlem yapabilme becerisine sahip olmanız gerekmektedir. İki (ya da daha fazla) fonksiyondan, yeni bir fonksiyonun dört temel aritmetik işlem kullanılarak nasıl elde edilebileceğinden söz ettik. İki fonksiyonun bileşkesini belirlemek, verilen fonksiyonlardan yeni bir fonksiyon elde etmenin başka bir yoludur. ir petrol tankerinde petrol sızıntısı olmuştur. Petrol, sızdığı noktadan yarıcapı dakikada mm artan bir oranda daire şeklinde yayılmaktadır. Zamana bağlı olarak petrol sızıntısının kac mm lik alana yayılacağını gosteren fonksiyonu bulalım. 5 dakika sonra petrolu kac mm lik alana yayılır?

4 t, dakika cinsinden zamanı gostermek uzere; yarıcapı zamana bağlı bir fonksiyon olarak yazalım. Petrol; dakikada yarıçapı mm artarak yayıldığına göre, zamana bağlı yarıçapın fonksiyonu biçiminde yazılır. lanı da yarıcapa bağlı bir fonksiyon olarak yazarsak,.olur. 5 dakika sonra kaç mm lik bir alan petrole bulanır adımda bulalım.. adım: Önce 5 dakika sonra dairenin yarıçapı kaç mm olur bunu bulalım. TNIM : f: ye g: C x f(x) x g(x) tanımlı iki fonksiyon olsun... dım : Şimdide oluşan dairenin alanını bulalım.. Sizce bu işlemi tek adımda da yapabilir miyiz? Yani, istenen alanı sadece zamana bağlı bir fonksiyon ile elde edebilir miyiz?... C uradan dan C ye f ve g yardımıyla yeni bir h fonksiyonu tanımlanmış olur. öylece olur ki h fonksiyonuna g ile f nin. denir. ile gösterilip g bileşke f diye okunur. Kısaca bu tanım bize ne demektedir? Önce f, nın bir elemanını ye götürmekte, g de bu elemanı alıp C deki bir elemana götürmektedir. öylece daki bir eleman f nin ve g nin yardımıyla C deki bir elemana gider. ÖRNEK 5: İşte, matematikte iki ayrı fonksiyonun yaptığı dönüşümü tek başına yapan yeni fonksiyonu bulma işlemine..denir. u işlemi aşağıdaki gibi iki makineye benzetebiliriz.

5 ÖRNEK 6: ileşke fonksiyonunun birleşme özelliği f,g ve h birer fonksiyon olmak üzere; (fog)oh=fo(goh) ÖRNEK 9: y=f(x) = 6 x fonksiyonu veriliyor. una göre (fof of)() değeri kaçtır? 4 tane f ÖRNEK 7 : f: lr-{} lr-{} x 4 x f(x) x 6 g(x)= x olmak üzere, fog(x) fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 8 : f(x) = x x ve g(x) = x fonksiyonları veriliyor. una göre (fog)() (gof)( ) farkı kaçtır? ) ) C) D) E) f: lr-{} lr-{} x 4 x f(x) x 6 g(x)= x olmak üzere, gof(x) fonksiyonunu bulunuz. FÖY yi açınız.

6 İR FONKSİYONUN TERSİ Neler öğreneceksiniz? ir fonksiyonun tersi kavramını tanımlayacak ve fonksiyonun tersinin bulunmasını öğreneceksiniz. aşlamadan bilmeniz gereken beceriler: Fonksiyon kavramını,birebir ve örten fonksiyon tanımını bilmeniz ve temel cebirsel işlem yapabilme becerisine sahip olmanız gerekmektedir. Günlük yaşantımızda bir çok olayın bir fonksiyon yardımıyla ifade edilebileceğini görmüş ve uygulamalar yapmıştık. Örneğin t (saniye) zamanına bağlı serbest düşmeye bırakılan bir cisimin aldığı yol S metre ise, S(t) g.t fonksiyonu ile bulunur. ir başka örnek verelim. ir dairenin çevresi Ç(cm) olmak üzere, çevre r(cm) yarıçapına bağlı olarak Ç(r)=..r olarak ifade edilir. u ve benzeri fonksiyon modellemelerinde bazen bir problem de karşımıza bağımlı değişkenin bilinmesi durumunda, bağımsız değişkenin ne olduğunun bulunması gerekir. Çevresi 6p olan bir çemberin yarı çapı kaç cm dir? sorusu buna bir örnektir. ir başka örnek verelim. Kaçıncı saniyede serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 metrelik yol alır? u örnekleri anlamadıysanız daha basit bir örnek yapalım iraz gerilere, ilköğretim günlerimize gidelim. "Hangi sayının iki katının 4 eksiği 8 eder?" problemini nasıl çözüyorduk? Hatırlarsanız o zamanlar soyutlama zor olduğundan şimdi yaptığımız gibi semboller yerine ters işlem yapardık. En son madem 4 çıkardık demek ki çıkarmadan önceki sayımız =. Madem ilk önce ile çarptık demek ki bulduğumuz sonucu ile bölmemiz gerekiyor deyip / = 6 yanıtımız olurdu. Yani yaptığımız işlemleri ters sırada ve ters işlemlerle geriye giderek sonucu bulurduk. Şimdi "ir sayıyı iki katının 4 eksiğine eşleyen fonksiyonun tersi olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlayalım. Fonksiyonumuz f(x) = x 4. uyrun top sizde.... ir başka soru daha soralım. ir x gerçel sayısını kendisiyle çarpımına götüren fonksiyonun kuralını yazalım. f(x) =. caba bu fonksiyonun tersi olan fonksiyonu bulabilirmiyiz? u fonksiyon sayısını =4 sayısına - sayısını da (-) = 4 sayısına götürmektedir. Şimdi soruyu tersten soralım Kendisiyle çarpımı 4 olan gerçek sayı kaçtır? Soruyu böyle sorunca sayımız ya dir ya da - dir. Peki fonksiyon olarak yazsaydık. g(4)= mi yazacağız yoksa g(4)= - mi yazacağız? Fonksiyon olma şartını bir kez daha hatırlayalım. a=b ise, g(a)=g(b) olmalıydı oysa yukarıda ki örneğimiz fonksiyon olma şartını sağlamadı. Demek ki bazı fonksiyonların tersleri fonksiyon olmayabiliyor. ir fonksiyonun tersinin fonksiyon olması için hangi şart veya hangi şartlar olmalıdır? şağıdaki örneği inceleyelim.

7 = {,,,,, } = {,,, 4, 9} iki küme olsun. f : x f(x)= x kuralı ile verilen fonksiyonun venn şemasıyla ifade edelim. Tersini yazalım Tersi fonksiyon oldu. Yukarıda ki kısıtlama ile tersi fonksiyon olduğuna göre bir fonksiyon eğer hangi koşulu sağlarsa tersi de fonksiyon olur? çıklayınız. Şimdi bu fonksiyonun tersini yazalım. 4 9 Yazdığımız bu kural fonksiyon olur mu?. Şimdi aynı örneği ve kümelerini = {,,, } = {,, 4, 9} alarak çözelim.... TNIM : f, dan ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer fog=i ve gof =I ise g fonksiyonuna f, nin ters fonksiyonu denir ve g=f - ile gösterilir. u durumda olur. x f f - f(x) 4 x f - f - (x) 9 f

8 Sıra geldi bir fonksiyonun tersini bulmaya. Örneklerle yol alalım. y=f(x)=.x 4 fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir? y=f(x)= x fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir? İki yolla çözeceğiz. Hangisini kullanacağınız size bağlı I. yol (fof - )(x)=x olduğunu biliyoruz. (fof - )(x)=f(f - (x))=.f - (x) 4 =x olup f - (x) = x 4 olur. II. yol f(x)=x 4 =y (i) diyelim. u durumda f - (y)=x tir. (i) eşitliğinde x i bulalım. x = y+4 x= y 4 olur ki f - (y)= y 4 dir. Son aşama y yerine x yazarsak f - (x)= x 4 olur. Hangisi kolaysa siz artık karar verin fonksiyonunun ters fonk- y=f(x)= x x siyonu nedir? fonksiyonunun ters fonk- y=f(x)= x 4 siyonu nedir? fonksiyonunun ters fonk- y=f(x)= x x siyonu nedir? y=f(x)= x fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir? Föy ü açınız.