SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
|
|
- Berker Mungan
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Cengiz KUMAK YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİMDALI Konya, 006
2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Cengiz KUMAK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. H. Şevki MERT 006, 16 Sayfa Jüri: Prof. Dr. H. Şevki MERT Doç. Dr. Ülfet ATAV Yrd. Doç. Dr. Atilla GÜLEÇ Bu tezde, Einstein Genel Rölativite Teorisi nin sonucu olarak elde edilen alan denklemlerinin, madde içersindeki gravitasyon alanını veren İç Schwarzschild Çözümü: 3 P( r) r, ( r) r ile belirlenen bir ideal akışkan için yapılmış ve gravitasyon alanı veren ds ifadesi elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Gravitasyon Alanı, Genel Rölativite Teorisi, İdeal Akışkan, İç Schwarzschild Çözümü iii
3 ABSTRACT M. S. Thesis THE ESTIMATION OF GRAVITATIONAL FIELD IN THE MATERIAL FOR THE IDEAL FLUID HAVING QUADRATIC PRESSURE AND CUBIC DENSITY USING EINSTEIN S RELATIVISTIC GRAVITATION THEORY Cengiz KUMAK Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor : Prof. Dr. H. Şevki MERT 006, 16 Page Jury : Prof. Dr. H. Şevki MERT Assoc. Prof. Dr. Ülfet ATAV Ass. Prof. Dr. Atilla GÜLEÇ In this thesis, Interior Schwarzschild Solutions of the equations, resulted from Einstein s General Relativity Theory, in the material for the ideal fluid having pressure P(r)=r and density 3 (r)=r has been solved and the expression of the metric been obtained. ds, giving the gravitational field, has Key Words: Gravitational Field, General Relativity Theory, Ideal Fluid, Interior Schwarzschild Solutions iv
4 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT ÖNSÖZ 1. GİRİŞ EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD ÇÖZÜMÜNÜN P( r) r ve ( r) r 3 İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Alan Denklemlerinin Özellikleri Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü P( r) r ve ( r) r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması Ve ds Yay İfadesinin Elde. Edilmesi SONUÇ VE TARTIŞMALAR KAYNAKLAR vi
5 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Çalışmalarım süresince bilgi ve tecrübeleri ile bana her konuda yardımcı olan danışmanım Prof. Dr. H. Şevki MERT e en içten teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım sırasında hiçbir zaman destek ve teşviklerini esirgemeyen Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü elemanlarına teşekkür ederim. Ayrıca, çalışmalarım süresince manevi desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen aileme, sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Cengiz KUMAK Konya, 006 v
6 1 1. GİRİŞ Bu yüzyılın başlarında kuramsal fizikte altın çağ başladığı zaman, adı henüz bilim dünyasında duyulmamış bir fizikçi vardı. Bu, Annalen der Physık in 1905 tarihli sayısında fotoelektrik olayı, Brown hareketi ve özel görelilikle ilgili ünlü üç çalışmasını birden yayınlayarak üne kavuşan Albert Einstein dır. Onun fizikteki hayat boyu çalışmaları bilimin felsefesi ve yöntemleri üzerinde büyük etki yaptı. 0. yy ın ilk çeyreğinde Fizik alanında iki büyük devrim yaşanmıştır: Bunlardan biri Einstein ın görelilik kuramları, diğeri de kuantum kuramıdır. Bunlar bilimde gerçek devrimlerdir; çünkü doğaya yeni bir gözle bakmayı sağlayarak yeni kavramlar, yeni ilkeler getirdiler. Fen bilimlerinden felsefeye, sosyal bilimlere kadar tüm bilimler bunların etkisinde kaldı. Bundan yüz yıl önce ortaya çıkan özel rölativite kuramından bu yana geçen sürede bilimsel sonuçları ile, fizikçilerin yanı sıra matematikçilerin, kimyacıların ve mühendislerin de yoğun ilgisini çekmiştir. Einstein a göre ışığın boşluktaki hızının sabit olması gerçeği, Newton mekaniğindeki mutlak zaman kavramının sonu demekti ve Galilei görelilik ilkesinden özel rölativite ilkesine geçişi gerektiriyordu. Bu çelişkinin çözümü, Newton mekaniğinin ve göreliliğinin, Einstein ın özel rölativite mekaniği ve göreliliğiyle düzeltilmesi sonucu, 1905 te gerçekleştirildi. Böylece klasik fizik, Newton artı Maxwell yasaları yerine Einstein artı Maxwell yasalarından oluştu. Maxwell denklemlerince sağlanan özel görelilik ilkesi, kavranması oldukça zor bir ilke olup, ilk bakışta içinde yaşadığımız dünyanın gerçek nitelikleri olarak kabullenilmesi güç, önseziden uzak pek çok nitelik taşımaktadır. Bu kuram tamamıyla Einstein ın olağanüstü hayal gücünün ve yaratıcı zekasının bir ürünüdür. Aslında özel göreliliğe, Rus asıllı Alman geometrici Herman Minkowski nin ( ), 1908 de bulduğu ek bir öğe olmaksızın tam bir anlam verilemez. Minskowski nin temel nitelikteki yeni görüşü, uzay ve zamanı birbirinden ayrılmaz bir bütün olarak alması ve dört boyutlu bir uzay-zaman olarak nitelemesiydi.
7 Özel rölativite teorisinde birbirine göre serbest hareket eden gözlemcilerin uzay-zaman koordinatları arasında matematiksel bağıntılar vardır. Hollandalı fizikçi Lorentz in kendi adıyla anılan ve Lorentz dönüşümleri denilen bu bağıntıların fiziksel anlamı, olayların serbest hareket eden gözlemciler tarafından nasıl algılandığını göstermekten ibarettir. Örneğin, hareket halinde olan gözlemcinin saati, durgun olan gözlemciye göre geri kalıyor ve bu olay, gözlemcinin hızı ışık hızına yaklaştıkça daha çok fark ediliyor. Aynı zamanda, Lorentz dönüşümlerinden, uzunlukların da farklı serbest gözlemciler için farklı olduğu ortaya çıkıyor. Özetle, birbirine göre serbest hareket eden iki gözlemci hiçbir zaman ölçtükleri zaman veya uzay aralıklarının değeri konusunda anlaşamazlar. Bu anlaşmazlık ancak onların dört boyutlu uzay-zamana geçmeleriyle sona erecektir; çünkü onların her ikisine göre de aynı olan tek nitelik, dört boyutlu uzay-zamanda vardır. Bu nitelik, iki olay arasındaki dört boyutlu uzay-zaman aralığıdır. Yalnız bu aralık mutlak anlam taşıyor ve Lorentz dönüşümleri altında değişmez, yani herkes için aynı kalıyor. Bunun altında yatan gerçek ise ışığın boşluktaki hızının mutlak sabit olmasıdır. Einstein ın özel görelik kuramı, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıkların davranışını başarıyla öngörmesi, kütlenin yoğunlaşmış bir enerji olduğunu ve hızla birlikte değiştiğini göstermesi gibi başarılarına rağmen, evrendeki en etkin kuvveti-gravitasyonu (evrensel kütle çekim kuvveti) açıklamakta yetersiz kalıyordu. Hatta özel rölativite, mevcut olan Newton un gravitasyon teorisiyle de çelişki içindeydi; çünkü Newton a göre bir cismin diğerine göre gravitasyonel etkisi ani olarak, yani sonsuz hızla gerçekleşiyordu. 00 yıldan fazla bir zaman içinde Güneş Sistemi nde gezegenlerin hareket yasalarını başarıyla açıklayan, birçok yeni gezegenin varlığını öngören Newton gravitasyon teorisinin başka dertleri de vardı. Örneğin, 19. yy sonlarına doğru Güneşe en yakın gezegen olan Merkür ün yörüngelerinde gözlenen anormallik, Newton gravitasyonuyla açıklanamıyordu. Yeni bir gravitasyon teorisine ihtiyaç duyulmaya başlanmıştı yılının Kasım ayında Prusya Bilimler Akademisi nin dört
8 3 oturumdan oluşan toplantısında Albert Einstein ın sunduğu Rölativitenin Genel Teorisi ile yeni bir gravitasyon yasası gerçekleşmiş oldu. Genel görelilik kuramı, Newton un durağan ve sonsuza kadar uzanan değişmez bir evrende bulunan nesnelerin aralarındaki etkileşmeleri veren evrensel gravitasyonel çekim yasası nın yerine, değişen ve genişleyen, mutlak olmayan bir uzayda, ivmeli hareket eden bir evrende geçerli olan çekim yasasıdır. Einstein ın bu kuramı iki ilkeye dayanıyordu: 1. Kütlelerin eşdeğerlik ilkesi: Eşdeğerlik ilkesi, eylemsizlik kütlesinin çekim kütlesine eşit olmasına dayanır. Bütün cisimlerin gravitasyon alanındaki serbest düşme hareketi aynı olup, cisimlerin türüne bağlı değildir. Bu durumda, serbest düşen cisimlerin uzay-zamandaki yolları seçkin eğriler olarak düşünülebilir. Dolayısıyla, cisimlerin serbest düşmesi, yani gravitasyon alanının özellikleri, uzayzaman yasasına bağlanmış olur. Özel görelilikte de serbest hareket eden cisimlerin yolları seçkin eğrilerdir ve geometrik anlamda onlar, uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir. Özel görelilikte metrik düz ve sabit olduğu için jeodezikler doğrusal çizgilerdir. Einstein a göre gravitasyonel alanda serbest düşen cisimlerin seçkin yolları da uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir ama bu metrik eğri bir metriktir. Eğri metriğin jeodezikleri bir anlamda doğruya en yakın olan eğriler olarak düşünülebilir.. Mach ilkesi: Özel görelilikte uzay-zaman yasası değişmez olarak düşünülür. Ernst Mach ve başka birçok filozof ve bilimciler bu düşünceyi yetersiz buluyordu. Mach, evrendeki madde dağılımının fizikte yerel olarak tanımlanan kavramları etkileyebileceğini düşünüyordu. Einstein, bu fikri kısmen kabul ediyordu. O, uzay-zaman yasasının her zaman sabit kalmayıp, evrendeki maddenin etkisiyle değişebileceğini içeren kuramın, gravitasyonu da betimleyebileceğine inanıyordu.
9 4 Einstein ın genel görelilik kuramı özetle aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: Genel görelilik, uzay-zamanın iç özelliklerini dört boyutlu uzay-zaman metriğiyle verir. Bu metrik her zaman düz olmak zorunda değildir, eğri bir metriktir. Uzay-zaman metriğinin düzlükten sapması, uzay-zamanın eğriliği ile orantılıdır. Dolaysıyla düzlükten sapma, eğriliğin bir ölçeğidir. Bu eğrilik ise gravitasyonun bir ölçeğidir, yani gravitasyonel olayların nedenidir. Uzay-zamanın eğriliği ve eğriliğindeki madde dağılımının özellikleri arasındaki bağıntı keyfi olmayıp, somut matematiksel denklemlerle ifade edilebilir. Özetle, Einstein, özel görelilik kuramında yalnız uzay-zaman metriğinin mutlak anlam taşıyabileceğini ama gravitasyonel alanda mutlak olamayacağını anlıyor ve böylece genel rölativite doğuyor. Genel görelilik, geometrik bir teoridir; çünkü o, uzay-zaman metriğine dinamik rol verir. Bu geometrinin oluşturduğu eğrilik, kendini, evrende gravitasyonel alanlar olarak gösteriyor. Genel görelilik denklemleri, uzay-zaman geometrisinin ne kadar ve nasıl eğrildiğini ifade eder. Bu denklemler çözülerek, bütün cisimlerin etrafındaki uzay zaman geometrisi ve gravitasyon alanları bulunur. Bu kurama göre; kuvvet kavramının yerini uzay-zaman eğriliği alır. Maddenin bulunduğu ortam, uzay-zaman eğriliğini değiştirir. Genel rölativite, ışığın gravitasyon alanında bükülmesini, gravitasyonel kırmızıya kayma olayını, Newton teorisinin açılayamadığı Merkür ün yörünge hareketini, gravitasyonel dalgaların var olabileceğini ve daha birçok gözlemsel olayı öngörür. Görünüşte bu olaylar deneysel olarak ölçülmüştür ve genel göreliliğin öngörülerinden herhangi bir sapma görünmemektedir. Yalnız gravitasyonel dalgalar henüz gözlenememiştir. Genel rölativite kuramı, bir başka devrimsel kavramı, kara delikler kavramını ortaya koydu. Ayrıca, evren bilim (kozmoloji) alanına da büyük katkılar yaptı.
10 5
11 5. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD 3 ÇÖZÜMÜNÜN, P( r) r ve ( r) r İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI.1. Alan Denklemleri Ve Özellikleri Einstein in rölativistik gravitasyon teorisi şu dört temel özelliğe sahiptir. 1) Gravitasyonun rölativist bir teorisinin alan denklemleri koordinat sistemlerinden bağımsız bir biçimde ifade edilir. ) Bu teoriye yataklık eden uzay-zamanın yapısı dört boyutlu Riemann sal bir uzay-zamandır. 3) Teori, maddenin, uzay-zamanın geometrik yapısına tesirini içerir. 4) Teorinin alan denklemleri ilk yaklaşıklıkta klasik gravitasyon teorisinin alan denklemine (Poisson denklemine) indirgenir. Bu şartlardan ilki genel kovaryans ilkesine eşdeğer olup teorinin tansörel vasfına işaret etmektedir. İkinci şart gerçek gravitasyon alanlarının ancak Riemann sal bir uzay-zaman çerçevesi içinde tutarlı bir şema oluşturacağına dair elde edilen sonucu yansıtmakta ve yerel eşdeğerlik ilkesine dayanmaktadır. Üçüncü şart uzay-zamanının geometrik yapısının, gravitasyon alanı üreteci olan maddeyle belirlenebileceğini ifade etmekte ve, bir bakıma, Mach ilkesinin bir ifadesi olmaktadır. Son şart ise teorinin klasik gravitasyon teorisiyle bağlantılı olmasını, yani bir bakıma klasik teorinin bir genellemesini teşkil etmesini içermektedir. Alan denklemlerinde Mach ilkesi uyarınca geometriyi etkileyen maddesel katkıyı da gene bir tansör aracılığıyla ifade edilir. Bu katkı Poisson denkleminin sağ yanının bir genellemesi olarak düşünülür. Ancak, Özel Rölativite Teorisi den (Ö.R.T. den) de bildiğimiz gibi madde ve enerji alanı T enerji-impuls tansörü aracılığıyla temsil edilebilir. Enerji-impuls tansörünün en önemli özelliğinin korunum özelliği olduğunu, yani diverjansının sıfır olmasıdır.
12 6 T 0 (.1.1) T tansörüyle temsil olunan madde-enerji dağılımları mekanik, termodinamik ve elektromagnetik özellikleri sahip akışkanlar olarak tasarımlanabilir. Bu özellikler teker teker incelenebildikleri gibi bunların birbirleriyle etkileşmelerini de göz önüne almak mümkündür. Bu görüşü açısından T enerji-impuls tansörünü bir takım ikinci mertebeden tansörlerin toplamı olarak yazılr. (Özemre 198) T pc U U M F Q (.1.) Burada toplam enerji yoğunluğunu U vektörü U U 1 olmak üzere dörtlü-hız vektörünü, basınç ve gerilimler tansörünü, M elektromagnetik enerji tansörünü, F elektromagnetik alanla maddenin etkileşmesini temsil eden tansörü ve Q de termodinamik etkileşme tansörünü göstermektedir. Biz burada T nün ideal bir akışkan için verilen: T c P U U Pg (.1.3) ifadesini kullanacağız. Gravitasyonun rölativist teorisinde alan denklemlerindeki kaynak terimi, diverjansı sıfır olan T tansörüyle temsil olunabileceğine göre maddenin uzayzamanın geometrik yapısı üzerine etkisini belirleyecek olan kısmın da i) uzay-zamanın Riemann sal yapısın yansıtan, ii) Diverjansı özdeş olarak sıfır olan, iii) ikinci mertebeden simetrik bir tansör Aracılığıyla temsil edilmesi gerekir. Bu şartları bir sabit çarpan yaklaşıklığıyla sağlayan tansör R Ricci tansörüdür. Alan denklemleri için artık
13 7 1 R g R xt (.1.3) yazılabilir. (Özemre 198, Rosen 1971) Bu alan denklemlerinin, eğer varsa, T 0 için çözümlerine iç çözüm T 0 için çözümlerine de dış çözüm adı verilir. (.1.3) alan denklemleri ve x gibi iki sabit ihtiva etmektedirler. Kozmolojik sabit adı verilen ile Einstein sabiti adı verilen x in değerlendirilmesi için, alan denklemlerinin ilk yaklaşıklıkta Poisson denklemine indirgenebilme şartına bakılması suretiyle: 8 G 0 ve 4 c elde edilir. Sonuç olarak alan denklemlerinin nihai şekli de 1 8 G R g R T c 4 (.1.4) ifade edilir. Burada R Ricci tansörü R 0 Şeklinde ifade edilir ve R 0 dış çözümü, R 0 iç çözümü yansıtır. (Özemre 198, Rosen 1971, Sezekeres 1968).. Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü Einstein in alan denklemlerini incelersek lineer olmayan, ikinci mertebeden kıs- 1 8 G R g R T c 4, 0,1,,3; 0,1,,3 (.1.4) mi türevli 10 diferansiyel denklemden ibaret bir sistem oluşturmaktadır. Bu sistemin
14 8 genel çözümünü inşa etme olanağı yoktur. Ancak özel hallerde, özel fiziksel ve geometrik şartlar altında sistemin çözümünü bulmak mümkün olur. Bunun için homojen, statik, küresel bir ideal akışkanın iç gravitasyon alanlarını temsil eden, ds ifadesini tesis etmeğe çalışacağız. Eğer g metrik tansörü basit zaman, uzaysal, dik dönüşümlerde invaryant kalırsa, bu takdirde, g nün küresel simetriye sahip olduğu söylenir. Bu tür bir dönüşümler altında g metrik tansörünün sıfırdan farklı bileşenleri e e 0 0 ( g ) 0 0 -r r sin (..1) şeklinde yazılır. Gravitasyon alanı temsil eden aşağıdaki gibi ds yay ifadesinin genel şekli ise sin 0 ds e dx r d d e dr (..) olur. (Özemre 198, Voorhees 1970) Şimdi M kütleli küresel, durgun bir ideal akışkanın içinde oluşturduğu statik gravitasyon alanını hesaplamak istiyoruz. Bunun için ds yay ifadesindeki r,t) ve r,t) fonksiyonlarını belirlemek için, Einstein alan denklemlerinden yararlanacağız. Burada seçtiğimiz gravitasyon alan durgun olduğu için, ve ne de fonksiyonu yalnız r ye bağlı olacaktır. İdeal bir akışkan için enerji impuls tansörü (.1.3) ile yazılır. Ayrıca bu ideal T c P U U Pg (.1.3) akışkanımız statik bir yapıya sahip olduğu için, yoğunluğu ile skaler basıncı yalnız radyal koordinatının fonksiyonu olurlar: ( r), = ( r)
15 9 Cismin içindeki maddenin her noktada durgun olması evrensel dörtlü hız vektörünün 0 bileşenlerini ( U,0,0,0) şeklinde olmasını temin eder. Bundan dolayı da akışkanı oluşturan her bir madde taneciğinin öz-zamanı ile koordinat zamanı arasında ds g dx g c dt g U (..4) bağıntısı olacaktır. Buradan hareketle, ayrıca, U g U g U g U i 0 0, olduğu kolayca görülür. Buna göre T enerji-impuls tansörü g g01 g0 g g g g g g g g g T c P g 0 g 1 g g şekline girecektir. Ancak (..1) de gösterilmiş olduğu gibi küresel simetriyi sahip statik bir metriğin en genel şekli (..) ile verildiğinden sahip statik bir akışkan için ifadesi de T nün küresel simetriye T c e P e r r sin (..5) şekline indirgenir. Şimdi amaç, Einstein alan denklemlerinden hareketle, küresel simetriyi sahip statik bir ideal akışkanın içindeki gravitasyon alanını temsil edecek olan metrikteki hareketle e ve e fonksiyonlarını belirlemektir. Bunun için (.1.4) den
16 10 8 G 1 R T g T 4 c (..6) yazılabileceğine dikkati çekelim.ayrıca da U U 1, ve g 4 olması hasebiyle T T c 3P (..7) olduğunu da kaydederek (..6) denklemlerinin sağ yanlarının sıfırdan farklı terimleri v 1 e T00 g00t c 3P 1 e T11 g11t c P 1 1 T gt c P r 1 1 T33 g33t c P r sin (..8) olur. Öte yandan dış çözüm de Ricci tansörünün R 0 olması yardımıyla denklemin sol tarafı da kolaylıkla hesaplanır: R R R R " ' ' ' ' e 4 4 r " ' ' ' ' 4 4 r ' ' r r e 1 1 R sin 33 (..9) Bu ifadelerde gene d / dr ve d / dr şeklinde ifade edilmiştir. Bu veriler çerçevesi içinde ve fonksiyonlarını belirleyen diferansiyel denklemlerin
17 11 e e e " ' ' ' ' 8 G c 3P r c " ' ' ' ' 8 G c P r c ' ' G c P 4 r r r c (..10.a) (..10.b) (..10.c) den ibaret 3 lineer diferansiyel denklemden oluşan bir sistem olacağı görülmektedir. Buraya dördüncü bir denklemin eklenmeyişinin sebebi (..9) den de görüldüğü gibi R 33 ün, R ile orantılı olması ve dolayısıyla, farklı bir çözüme yol açacak bir denklem oluşturmayışıdır. ( Özemre 198, Hoyle ve Narlıkar 1963, Rosen 1971, Sezekeres 1968, Voorhees 1970).3. P( r) r ve ( r) r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması ve İfadesinin Elde Edilmesi ds Yay Problemin çözümü diferansiyel denklemin çözümüyle mümkündür. ve fonksiyonlarını belirleyen, (..10) da ki üç Bunun için öncelikle denklem (..10.a) ve (..10.b) taraf tarafa toplarsak ' ' 8 G e 4 c P r c (.3.1) elde edilir. (..10.a), (..10.c) ve (.3.1) denklemleri kullanılarak ve P 'yi çekmek mümkündür. Bunun için önce (.3.1) denklemi ile (..10.c) denklemi taraf tarafa toplanır ve P çekilir. P. ' 8 G 1 1 e 4 c r r r (.3.) (.3.1) denkleminden (..10.c) denklemi çıkarılıp çekilir. 8G c 1 e ' r 1 r Böylece P ve ' yu çekmiş olduk. Bundan sonra (..10.b) denkleminden (..10.c) denklemini çıkarırsak, (.3.3)
18 1 ' ' ' '' ' e 1 (.3.4) r 4 r r r 4 elde edilir. Şimdi denklem (.3.) nin türevini alırsak. 8 G dp e c dr r r r r r r (.3.5) elde edilir.denklem (.3.4)' de ( ) yi çekip, denklem (.3.5)'de yerine yazalı ve r gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra, 8 G dp. e 4 c dr r elde edilir. (.3.6) (.3.6) denklemi (.3.1) denklemiyle karşılaştırılırsa, 8 G dp ( ) 8 G c dr r c.. e ( c P) 4 4 dp dr ( c P). (.3.7) olduğu anlaşılır. Şimdi denklem (.3.7) de yerine koyalım. 3 ( r) r, P( r) r yoğunluk ve basınç değerlerini dr dr 3 3 ( r c r ). r ( r c r ). Buradan 4 r c r (.3.8) şeklinde bulunur.
19 13 Her iki tarafın da integrali alınıp integrasyon sabiti sıfır olarak seçilirse; rc 1 4In (.3.9) r şeklinde bulunur. Burada nün r ye göre değişim grafiği de Şekil:.3.1 de ki gibi olur. Şekil.3.1 nün ( r ) ye göre değişim
20 14 8G k seçilir ve (.3.8) 'de elde ettiğimiz ( ) değeri denklem (.3.)' de yerine 4 c koyulursa : rc 3 In 4 ( kr 1).( rc 1) (.3.10) şeklinde elde edilir. Burada nın r ye göre değişim grafiği de Şekil:.3. deki gibi olur. Bulduğumuz ve fonksiyonları, (..) de yerine yazılırsa; yay ifadesi nihai şekline aşağıdaki gibi kavuşur. 4 rc 1 0 rc 3 ds dx r d sin dr (.3.11) r 8 G 4 ( r 1).( rc 1) 4 c Şekil.3. nın r ye göre değişim grafiği
21 15
22 15 SONUÇ VE TARTIŞMALAR Einstein ın Genel Rölativite Teorisi nin sonucu olarak elde edilen Alan Denklemleri yardımıyla herhangi bir maddenin içindeki gravitasyon alanı tespit edilebilir. Bu yaptığımız çalışmada maddeyi temsil eden enerji-impuls tansörünü en basit haliyle basınç ve yoğunluğun fonksiyonu olarak (.1.3) deki gibi seçtik. Gerçekte ise madde daha bir çok parametrenin (elektromanyetik enerji, elektromanyetik etkileşme, termodinamik etkileşme) fonksiyonudur. Alan denklemlerinin tam çözümü ancak bütün parametrelerin dahil edildiği bir çözümdür. Yalnız bu paremetrelerin dahil edildiği çözümleri yapmak çok zordur. Bu yüzden nisbeten daha kolay bir çözüm olan basınç ve yoğunluğun dahil edildiği ideal akışkan şeması için çözümü yaptık. Böyle bir ideal akışkanın statik olduğunu da kabul edersek. yoğunluğu ile P skaler basıncı yalnızca radyal koordinatının fonksiyonu olurlar. Biz burada, verilen P( r) r ( r) r 3 basınç ve yoğunluk değerleri için, küresel simetriye sahip, statik bir ideal akışkanın içersinde ki gravitasyonel alanını temsil edecek olan, ds yay elemanını (.3.14) deki gibi elde ettik. Burada yay ifadesinde yerine koyulan ve fonksiyonları, böyle bir maddedeki gravitasyonel alanın nasıl değiştiğini gösterir. Bulduğumuz fonksiyonu gravitasyonel alan potansiyelinin, klasik teorideki Newton potansiyeline karşılık gelir. ise potansiyele gelen, gözlenemeyen diğer pertürbasyon katkılarını göstermektedir. Bu fonksiyonların r ye bağlı değişim grafiklerini Şekil.3.1 ve Şekil.3. deki gibi elde ettik. Bu grafikler incelendiğinde, gravitasyonel alan potansiyelinin Newton potansiyelinden saptığı görülür. Bunun sebebi ise Newton gravitasyon alan ifadesin de madde sadece kütle ile temsil edilmektedir. Fakat maddenin yapısını belirleyen basınç ve yoğunluk katkıları yer almamaktadır. Bulduğumuz potansiyeli, uzaklığın artmasıyla birlikte giderek azalarak, sonsuzda sıfıra yaklaştığı görülmektedir. Bu ise tutarlı bir sonuçtur.
23 16 KAYNAKLAR A.Yüksel Özemre, İ.Ü Gravitasyonun Rölativist Teorileri, İstambul B. H. Voorhees, Static Axially Symmetric Gravitational Fields, Phys. Rev. D, 119 (1970) F.Hoyle, J.Narlıkar, Proc.Roy.Soc., 73 A, 1, (1963). N.Rosen, Phys. Rev., D3, 317, (1971). P. Sezekeres, Multipole Particles in Equilibrium in General Relativity, Phys. Rev. 176, 1446 (1968) Süleyman Bozdemir, Felsefe, Bilim ve Fizik, TFV Fizik Dergisi, Sayı: 16, Ekim 001 Yalçın Koç; Kuantum Felsefesi Tübitak Bilim ve Teknik dergisi, Sayı: 36, sayfa (-9) Ocak-1995
Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıUZAY VE ZAMAN NEDİR? İnsanın var olduğundan beri kendine sorduğu kendineve evrenedair en önemli soru!
UZAY VE ZAMAN NEDİR? İnsanın var olduğundan beri kendine sorduğu kendineve evrenedair en önemli soru! Giordano Bruno, Galileo Galilei, Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, René Descartes ARİSTO (ARİSTOTELES)
DetaylıGenel Göreliliğin Modifikasyonları: Karanlık Madde ve Karanlık Enerji
UAK-2016 20. Ulusal Astronomi Kongresi Erzurum 5-9 Eylül 2016 Genel Göreliliğin Modifikasyonları: Karanlık Madde ve Karanlık Enerji Ali Nur Nurbaki, Salvatore Capozziello, Cemsinan Deliduman, Talat Saygaç
DetaylıBÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM
BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıBölüm 1: Lagrange Kuramı... 1
İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Genelleştirilmiş Koordinatlar... 2 1.3. Koordinat Dönüşüm Denklemleri... 3 1.4. Mekanik Dizgelerin Bağ Koşulları... 4 1.5. Mekanik Dizgelerin
DetaylıMKM 308 Makina Dinamiği. Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
MKM 308 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Maddesel Nokta (Noktasal Kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana
DetaylıKısa İçindekiler. Fizik: İlkeler ve Pratik Cilt 1: 1-21 Bölümleri, Cilt 2: Bölümleri kapsar
Kısa İçindekiler Fizik: İlkeler ve Pratik Cilt 1: 1-21 Bölümleri, Cilt 2: 22-34 Bölümleri kapsar Bölüm 1 Temeller 1 Bölüm 2 Bir Boyutta Hareket 28 Bölüm 3 İvme 53 Bölüm 4 Momentum 75 Bölüm 5 Enerji 101
DetaylıJFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıPROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK
PROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK ÇÖZÜMLÜ 11 PROBLEM Prof. Dr. Harun AKKUŞ 215 1 PROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK ÇÖZÜMLÜ 11 PROBLEM Prof. Dr. Harun AKKUŞ 215 2 İÇİNDEKİLER Önsöz....
DetaylıBölüm 2. Bir boyutta hareket
Bölüm 2 Bir boyutta hareket Kinematik Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri tanımlar Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların
DetaylıDoğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk
Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Fizikokimya II 2008 Bahar
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıKİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1
Kinetik Gaz Kuramının Varsayımları Boyle, Gay-Lussac ve Avagadro deneyleri tüm ideal gazların aynı davrandığını göstermektedir ve bunları açıklamak üzere kinetik gaz kuramı ortaya atılmıştır. 1. Gazlar
Detaylıelde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse,
Deney No : M2 Deneyin Adı : İKİ BOYUTTA ESNEK ÇARPIŞMA Deneyin Amacı : İki boyutta esnek çarpışmada, enerji ve momentum korunum bağıntılarını incelemek, momentumun vektörel, enerjini skaler bir büyüklük
DetaylıİÇİNDEKİLER xiii İÇİNDEKİLER LİSTESİ BÖLÜM 1 ÖLÇME VE BİRİM SİSTEMLERİ
İÇİNDEKİLER xiii İÇİNDEKİLER LİSTESİ BÖLÜM 1 ÖLÇME VE BİRİM SİSTEMLERİ 1.1. FİZİKTE ÖLÇME VE BİRİMLERİN ÖNEMİ... 2 1.2. BİRİMLER VE BİRİM SİSTEMLERİ... 2 1.3. TEMEL BİRİMLERİN TANIMLARI... 3 1.3.1. Uzunluğun
DetaylıİNŞ 1012 STATİK. Ders notları
İNŞ 1012 STATİK Ders notları Doç.Dr. Burak Felekoğlu İnşaat Müh. Bölümü, Yapı Malzemesi Laboratuvarı 2.kat Tel: 0 232301 7041 Ders Saatleri - ÖÖ: Çarşamba 8:30-9:15 9:30-11:15 İÖ: Perşembe: 18:50-19:35
DetaylıAnkara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü A Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet Aysuhan Ozansoy
FİZ101 FİZİK-I Ankara Üniersitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü A Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet Aysuhan Ozansoy Bir şeyi basitçe açıklayamıyorsan onu tam olarak anlamamışsın demektir. Albert Einstein
DetaylıBÖLÜM 1: Matematiğe Genel Bakış 1. BÖLÜM:2 Fizik ve Ölçme 13. BÖLÜM 3: Bir Boyutta Hareket 20. BÖLÜM 4: Düzlemde Hareket 35
BÖLÜM 1: Matematiğe Genel Bakış 1 1.1. Semboller, Bilimsel Gösterimler ve Anlamlı Rakamlar 1.2. Cebir 1.3. Geometri ve Trigometri 1.4. Vektörler 1.5. Seriler ve Yaklaşıklıklar 1.6. Matematik BÖLÜM:2 Fizik
DetaylıSTATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu
DetaylıDİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket
DetaylıDENEY 1. İncelenmesi. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
DENEY 1 Düzgün Doğrusal Hareketin İncelenmesi Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Isparta - 2018 Amaçlar 1. Tek boyutta hareket kavramının incelenmesi. 2. Yer değiştirme ve
DetaylıELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıBÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER
BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak
DetaylıNewton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.
Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
DetaylıNewton ve Einstein nin Evren Anlayışları
Newton ve Einstein nin Evren Anlayışları Planck COPERNİCUS 1473-1543 (6 Milyon Yıl) Rutherford (M.Ö.10.000) Thales (M.Ö.625) Sokrates (M.Ö.469-399) Eudoxus Platon (M.Ö.408-355) Aristarchos (M.Ö.427-347)
DetaylıGök Mekaniği: Eğrisel Hareket in Kinematiği
Gök Mekaniği: Eğrisel Hareket in Kinematiği Bundan bir önceki giriş yazımızda Kepler yasaları ve Newton ın hareket kanunlarını vermiş, bunlardan yola çıkarak gök mekaniklerini elde edeceğimizi söylemiştik.
DetaylıDiverjans teoremi ise bir F vektörüne ait hacim ve yüzey İntegralleri arasındaki ilişkiyi ortaya koyar ve. biçiminde ifade edilir.
Maxwell denklemlerini intagral bicimlerinin elde edilmesinde Stokes ve Diverjans Teoremlerinden yararlanilir. Stokes Teoremiaşağıdaki gibi ifade edilir, bir F vektörüne ait yüzey integrali ile çizgi integrali
DetaylıDİNAMİK Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
DİNAMİK - 11 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 11. HAFTA Kapsam: İmpuls Momentum yöntemi İmpuls ve momentum ilkesi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFiziksel Sistemlerin Matematik Modeli. Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012
Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012 Matematik Modele Olan İhtiyaç Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için
DetaylıMÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Metin OLGUN Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiğin temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler
DetaylıMühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
DetaylıFİZİK. Mekanik 12.11.2013 İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir?
İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ 22.10.2013 MEKANİK ANABİLİM DALI Dr. Dilek OKUYUCU Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır. FİZİK Mekanik
DetaylıFİZİK. Mekanik İNM 221: MUKAVEMET -I. Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır.
İNM 221: MUKAVEMET -I 03.07.2017 GİRİŞ: MEKANİK ANABİLİM DALI Dr. Dilek OKUYUCU Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır. FİZİK Mekanik 1 Mekanik
DetaylıFen - Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü
http://ogr.kocaeli.edu.tr/koubs/bologna/genel/listesi_prn.cfm?ed=0 1 / 5 22.05.2018 15:51 Fen - Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Adı 2017/2018 Listesi 1. YARIYIL TLU Atatürk İlkeleri ve İnkılap 9905005
DetaylıElektrik ve Magnetizma
Elektrik ve Magnetizma 1.1. Biot-Sawart yasası Üzerinden akım geçen, herhangi bir biçime sahip iletken bir tel tarafından bir P noktasında üretilen magnetik alan şiddeti H iletkeni oluşturan herbir parçanın
DetaylıParçacıkların Standart Modeli ve BHÇ
Parçacıkların Standart Modeli ve BHÇ Prof. Dr. Altuğ Özpineci ODTÜ Fizik Bölümü Parçacık Fiziği Maddeyi oluşturan temel yapı taşlarını ve onların temel etkileşimlerini arar Democritus (460 MÖ - 370 MÖ)
DetaylıKadri Yakut 08.03.2012
Kadri Yakut 08.03.2012 TEŞEKKÜR Lisans Kara Delikler Eser İş (2009-2010) Büyük Kütleli Kara Delikler Birses Debir (2010-2011) Astrofiziksel Kara Deliklerin Kütlelerinin Belirlenmesi Orhan Erece (2010-2011)
DetaylıDENEY 4 ÇARPIŞMALAR VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU
DENEY 4 ÇARPIŞMALAR VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU AMAÇ: Deneyin amacı esnek ve esnek olmayan çarpışmalarda lineer momentum ve kinetik enerji korunumunu incelemektir. GENEL BİLGİLER: Bir nesnenin lineer
Detaylı17. yy. Dehalar Yüzyılı
17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde
DetaylıELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI
ELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI kaynaklar: 1) Electromagnetic Field Theory Fundamentals Guru&Hiziroglu 2) A Student s Guide to Maxwell s Equations Daniel Fleisch 3) Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri
DetaylıDİNAMİK - 1. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
DİNAMİK - 1 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü http://acikders.ankara.edu.tr/course/view.php?id=190 1. HAFTA Kapsam:
DetaylıLİNEER DALGA TEORİSİ. Page 1
LİNEER DALGA TEORİSİ Giriş Dalgalar, gerçekte viskoz akışkan içinde, irregüler ve değişken geçirgenliğe sahip bir taban üzerinde ilerlerler. Ancak, çoğu zaman akışkan hareketi neredeyse irrotasyoneldir.
DetaylıFizik Dr. Murat Aydemir
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
DetaylıKaradeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü MM 2023 Dinamik Dersi 2016 Güz Yarıyılı Dersi Veren: Ömer Necati Cora (Yrd.Doç.Dr.) K.T.Ü Makine Müh. Bölümü, Oda No: 320
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
Detaylıİnşaat Mühendisliği Bölümü Uygulama VIII ÇÖZÜMLER
Soru 1 : Şekildeki hazne boru sisteminde sıkışmaz ve ideal akışkanın (su) permanan bir akımı mevcuttur. Su yatay eksenli ABC borusu ile atmosfere boşalmaktadır. Mutlak atmosfer basıncını 9.81 N/cm 2 ve
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıBölüm-4. İki Boyutta Hareket
Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıSTATİK DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU. Ders notları için: GÜZ JEOLOJİ MÜH.
STATİK STATİK DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/ 2014-2015 GÜZ JEOLOJİ MÜH. ÖÖ/İÖ 54-58 2 Değerlendirme 1. Ara sınav (%25) 2. Ara sınav (%25) Final (%50)
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıFİZİK. Mekanik İNM 101: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir?
İNM 101: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ 12.10.2017 MEKANİK ANABİLİM DALI Dr. Dilek OKUYUCU Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır. FİZİK Mekanik
DetaylıSTATİK YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
STATİK YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU http://kisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/ 2011-2012 BAHAR - ÇEVRE KT 1 KİTAPLAR Mühendislik Mekaniği - Statik, R.C. Hibbeler, S.C. Fan, Literatür Yayıncılık, ISBN:
DetaylıHareket Kanunları Uygulamaları
Fiz 1011 Ders 6 Hareket Kanunları Uygulamaları Sürtünme Kuvveti Dirençli Ortamda Hareket Düzgün Dairesel Hareket http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ Sürtünme Kuvveti Çevre faktörlerinden dolayı (hava,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıElektromanyetik Dalga Teorisi
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-1 Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri İntegral Formda Maxwell Denklemleri Fazörlerin Kullanımı Zamanda Harmonik Alanlar Malzeme Ortamı Dalga Denklemleri Michael Faraday,
DetaylıA B = A. = P q c A( X(t))
Ders 19 Metindeki ilgili bölümler 2.6 Elektromanyetik bir alanda yüklü parçacık Şimdi, kuantum mekaniğinin son derece önemli başka bir örneğine geçiyoruz. Verilen bir elektromanyetik alanda hareket eden
DetaylıHİDROLİK. Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU
HİDROLİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Ders Hakkında Genel Bilgiler Görüşme Saatleri:---------- Tavsiye edilen kitaplar: 1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL. ) 2-Akışkanlar Mekaniği
DetaylıBÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
DetaylıİŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından
İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel
DetaylıElektromanyetik Dalga Teorisi
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu Dalga Denkleminin
DetaylıTEMEL İŞLEMLER KAVRAMLAR
EM 420 Yüksek Gerilim Tekniği TEMEL İŞLEMLER VE KAVRAMLAR YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRONIK YÜK. MÜH. Not: Tüm slaytlar listelenen ders kaynaklarından alıntı yapılarak ve faydalanılarak
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 3 Parçacık Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 3 Parçacık Dengesi Bu bölümde,
Detaylıolduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan
DetaylıDoç.Dr. Cesim ATAŞ MEKANİK ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER MEKANİĞİ DİNAMİK
STATİK (Ders Notları) Kaynak: Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige, Wiley Yardımcı Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C Hibbeler & S.C. Fan, Literatür
DetaylıSU Lise Yaz Okulu. Evrenin Geometrisi ve Genel görelilik
SU Lise Yaz Okulu Evrenin Geometrisi ve Genel görelilik Genel Göreleliğe Giriş Newton mekaniği lokal olarak gayet güzel işliyor (Güneş sistemi). Ama tüm evrenin nasıl hareket e=ğini bulmak istersek genel
DetaylıToplam
Gerçek basittir ama basit görülmez. Blaise Pascal Ad Soyad: Okul: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Toplam /6 /7 /12 /10 /11 /8 /10 /12 /10 /14 /100 SINAV KURALLARI 1) Sınav toplam 5 sayfadan oluşmaktadır, lütfen sınava
DetaylıMühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 13 Parçacık Kinetiği: Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 13 Parçacık
DetaylıKİNEMATİK TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ
6 KİNEMATİK TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ Adem ÇALIŞKAN ( HAREKET BİLGİSİ ) Mekaniğin hareketi açıklayan koluna KĠNEMATĠK denir. Hareket, konumun sürekli değiģimidir. Hareket eden cismi, Ģekil değiģikliği
DetaylıProf.Dr. Mehmet Zor DEU Muh.Fak. Makine Muh. Bölümü
Prof.Dr. Mehmet Zor DEU Muh.Fak. Makine Muh. Bölümü Ders Kitabı : Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige, Wiley Yardımcı Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik,
Detaylı2: MALZEME ÖZELLİKLERİ
İÇİNDEKİLER Önsöz III Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1.Mekanik, Tanımlar 12 1.1.1.Madde ve Özellikleri 12 1.2.Sayılar, Çevirmeler 13 1.2.1.Üslü Sayılarla İşlemler 13 1.2.2.Köklü Sayılarla İşlemler 16 1.2.3.İkinci
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıTERMODİNAMİĞİN BİRİNCİ YASASI
İç Enerji Fonksiyonu ve C v Isınma Isısı Kimyasal tepkimelerin olmadığı kapalı sistemlerde kütle yanında molar miktar da sabit kalmaktadır. Madde miktarı n mol olan kapalı bir ideal gaz sistemi düşünelim.
Detaylı1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK
STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR
Detaylıİ çindekiler. xvii GİRİŞ 1 TEMEL AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ BERNOULLİ DENKLEMİ 68 AKIŞKANLAR STATİĞİ 32. xvii
Last A Head xvii İ çindekiler 1 GİRİŞ 1 1.1 Akışkanların Bazı Karakteristikleri 3 1.2 Boyutlar, Boyutsal Homojenlik ve Birimler 3 1.2.1 Birim Sistemleri 6 1.3 Akışkan Davranışı Analizi 9 1.4 Akışkan Kütle
DetaylıEvren in İlk Rölativistik Modelleri
Evren in İlk Rölativistik Modelleri - Genel göreliliğe göre momentum ve enerji dağılımı uzay-zamanın özellikle de eğriliğinin geometrik özelliklerini belirlemektedir. - Bu ilişkinin doğası kesin olarak
DetaylıİÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.
Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton
Detaylı2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans
FİZİKSEL MATEMATİK II 1 Ders Adi: FİZİKSEL MATEMATİK II 2 Ders Kodu: FZK2004 3 Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 2 6 Dersin Verildiği Yarıyıl 4 7 Dersin AKTS Kredisi: 8.00
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıELEKTROMANYETİK DALGALAR
ELEKTROMANYETİK DALGALAR Hareket eden bir yük manyetik alan oluşturur. Yük sabit hızla hareket ederse, sabit bir akım ve sabit bir manyetik alan oluşturur. Yük osilasyon hareketi yaparsa değişken bir manyetik
DetaylıFizik bilimi nedir? Fizik Bilimi nedir? Fizik biliminin uğraşı alanları nelerdir? On5yirmi5.com. Fizik Bilimi nedir?
On5yirmi5.com Fizik bilimi nedir? Fizik Bilimi nedir? Fizik biliminin uğraşı alanları nelerdir? Yayın Tarihi : 22 Ekim 2012 Pazartesi (oluşturma : 11/28/2015) Fizik Bilimi nedir? Fizik, deneysel gözlemler
DetaylıENİNE DEMET DİNAMİĞİ. Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi. Ankara Üniversitesi
ENİNE DEMET DİNAMİĞİ Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi 1 Dairesel Hızlandırıcılar Yönlendirme: mağnetik alan Odaklama: mağnetik alan Alan indisi zayıf odaklama: 0
DetaylıSTATİK. Yapı Malzemesi Laboratuvarı 2.kat Tel: Ders Saatleri: Cuma :45
STATİK YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN Yapı Malzemesi Laboratuvarı 2.kat Tel: 0 232 412 7059 E-mail: kamile.tosun@deu.edu.tr Ders Saatleri: Cuma 13.00-15:45 2010/2011 Bahar yy. Çevre Müh. KT 1 KİTAPLAR Mühendislik
Detaylı5. 5. 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Rijit Cisimde Denge Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali Düzlemde Serbestlik Derecesi Bağ Çeşitleri Pandül Ayak Düzlem Taşıyıcı Sistemler Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları
DetaylıMassachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket
DetaylıKaradeniz Teknik Üniversitesi
Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Maden Mühendisliği Bölümü MDM 240 Dinamik Dersi 2013-2014 Güz Yarıyılı Dersi Veren: Ömer Necati Cora (Yrd.Doç.Dr.) K.T.Ü Makine Müh. Bölümü, Oda No:
Detaylı11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı
11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıAkışkanların Dinamiği
Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.
DetaylıManyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
Detaylı