İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR"

Transkript

1 SAÜ. BÖLÜM İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. ORTALAMANIN TANIMI VE FAYDALARI. HASSAS ORTALAMALAR.1. Aritmetik Ortalama.. Kareli Ortalama.. Geometrik Ortalama.. Harmoik ortalama.5. Tartılı Ortalamalar.6. Gruplamış Serileri Duyarlı Ortalamalarıdaki Hata HEDEFLER Ortalama Kavramıı Öğretilmesi ve Türlerii Taıtılması

2 1. ORTALAMALARIN TANIMI, ÇEŞİTLERİ VE FAYDALARI Öceki bölümlerde karmaşık ve düzesiz ola veriler çeşitli tasif (sııflama, gruplama) işlemleri, tablo ve grafik suumları yardımıyla düzeli ve alaşılabilir bir yapıya döüştürülmüştü. Bu sayede aakütlei bazı karakteristik özellikleri geel olarak belirlese bile aakütlei karakteristik özellikleri kesi olarak biliememektedir. Ortalama: Bir olaya ait değişkei düzelemiş verileri (seri) tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilebilir. Bir değişkee ait seriyi temsil ede bu rakama ORTALAMA deir. Ortalamalar serileri karakteristik özelliklerie ait kesi bilgiler içermektedir. Ortalama Çeşitleri: Araştırmacı değişkee ait seriyle ilgili değişik ortalamalar hesaplayabilir. İstatistiki ortalamalar hassas (duyarlı) ortalamalar ve hassas olmaya (duyarlı olmaya) ortalamalar olmak üzere iki aa gruba ve çeşitli alt gruplara ayrılırlar. Bular ilerleye bölümlerde ayrıtılı olarak öreklerle açıklaacaktır. Aşağıdaki şekil yardımıyla aa hatlarıyla özetlemiştir. Şekil 1. Ortalama Çeşitleri Duyarlı ortalama olarak şekilde belirtile her bir ortalamaı tartılı ortalamaları hesap edilebilir. Duyarsız ortalamalara desiller ve yüzdeler ilave edilebilir. Ortalamaları Faydaları: 1. Bir olaya ait değişkei verileri tüm veriyi temsil edecek şekilde tek bir rakamla temsil edilir. 1

3 Örek: İktisat bölümü İstatistik dersi ot ortalaması 75 tir.. Ayı değişkee ait farklı seriler arasıda mukayese yapılmasıı sağlar. Örek: Maliye bölümü istatistik dersi ot ortalaması 75 ike İşletme bölümüü İstatistik dersi ot ortalaması 70 tir.. Taımlayıcı istatistiği temellerii oluşturur. Hesaplaa ortalamalar ile seriler hakkıda taımlayıcı bilgiler elde edilmiş olur. DİKKAT!! Düzelemiş veriler belirli bir değer etrafıda e kadar güçlü toplama eğilimi gösteriyorsa, ortalamaı temsil kabiliyeti o kadar artar. J, ters J ve U şeklide eğriye sahip düzelemiş verilerde belirli bir değer etrafıda toplama eğilimi göstermedikleride, hesaplaa ortalamalar düzelemiş veriyi temsil edemez. İstatistikte birçok terimde oluşa bir seriyi temsil ve ifadeye yeterli bir rakama ortalama deir. Ortalama bir seriyi temsil ede ve özetleye bir rakam olduğua göre, serii özelliklerii de belirtir. Diğer bir ifade ile müşahedeleri hagi okta etrafıda toplamış olduğuu göstermesi icap eder. Bu sebeple ortalamaya ayı zamada MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜSÜ adı da verilmektedir. Merkezi bir kıymet ola ortalama, serideki miimum ve maksimum terimler arasıda yer alması şartıı gerektirir. X mi < Ortalama < X max Kolektif olaylarda terimleri birbirie eşit olması halie pek rastlamaz, yai belirli bir sayı oluşmaz. Buu içi temsili bir değer araır. Ortalamaı temsili olabilmesi içi, ou serideki terimleri çoğuluğua uyması hiç değilse değerce olara yakı olması ile mümküdür. Nispi şekilde temsili olma vasfı ortalamada seriler simetrik ve tek maksimumlu olması ile gerçekleşir. Simetrisi hafifçe bozulmuş sağa veya sola eğik serileri ortalamaları da oldukça temsili kabul edilir.. HASSAS ORTALAMALAR Bir değişkee ait serideki bütü değerleri (veriler) kullaılarak ya da işleme katılarak hesaplaa ortalamalara HASSAS ORTALAMALAR deir. İstatistikte dört çeşit hassas ortalama ağırlıksız veya ağırlıklı olarak hesaplamaktadır. Aalitik (Duyarlı) Ortalamalar, serii bütü terimlerii hesaba katıldığı ortalamalardır. Bu gruba dahil ola ortalamaları geel formülleri: Basit Serilerde : Sııfladırılmış Serilerde:

4 Grupladırılmış Serilerde: X i = Sııflar terim, r= Ortalamaı mertebesi, X i =terimleri toplaması N i = i. Terimi frekas sayısı, N i = Frekasları toplamı, m i = Sııf ortalamaları r, - a yaklaşması halide ortalama e küçük terime ulaşır, X mi. r, + a yaklaşması halide ortalama e büyük terime ulaşır, X max. Yai r arttıkça ortalama büyümekte, r azaldıkça ortalama küçülmektedir. Serii bütü terimleri eşit olduğu takdirde bu ortalamalar birbirie eşit olur. Acak İstatistik kolektif olaylarla ilgilediği içi böyle bir eşitliğe adire rastlaır. M -1 < M 0 < M 1 < M r=-1 ile arasıda değerleri verilerek bulua ortalamalar e çok kullaıla ortalamalardır. Bu ortalamalar aşağıdaki gibi sıralaır. H harmoik < G geometrik < X aritmetik < K kareli.1. ARİTMETİK ORTALAMA Bir veri setii bütü elemalarıı değerlerii toplaarak elema sayısıa bölümesiyle elde edile değere ARİTMETİK ORTALAMA deir. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde aritmetik ortalamaı asıl hesapladığı örekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alıacaktır Basit Serilerde Aritmetik Ortalama Basit bir serii gözlem değerlerii (X i ) toplamıı gözlem sayısıa (N) bölümesi ile elde edilir. Basit serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: İstatistik dersi sıavıa gire 5 öğrecii aldığı otlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrecileri aldığı otları aritmetik ortalamasıı hesaplayıız. X i

5 .1.. Sııflamış Serilerde Aritmetik Ortalama Ayı değere sahip ya da tekrarlaa gözlem değerleride frekaslar (f i ) buluur, bulua frekaslar karşılık geldikleri değerlerle (X i ) çarpılır, bu çarpımlarda elde edile toplam değer toplam frekas sayısı ( ) ile bölüerek sııflamış serilerde aritmetik ortalama hesaplamış olur. Sııflamış serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: İktisat bölümü öğrecilerii İstatistik fial sıavı otları tasif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı aritmetik ortalamasıı hesaplayıız? Öğrecileri Notları (X i ) Notları Sıklığı (Frekası) = f i fi X i Toplam.1.. Gruplamış Serilerde Aritmetik Ortalama

6 Bir değişkee ait çok sayıda ve birbiride farklı veri mevcut ise bu verileri tasif edilmiş seri (küme) şeklide düzelemek zordur. Bu gibi durumlarda değişkeleri birbirie yakı değere sahip verileri bir arada toplaarak gruplamış seri olarak suulabilir. Gruplamış serilerde aritmetik ortalama hesaplaırke ilk olarak her bir grubu orta oktası ya da değeri (m i ) aşağıdaki formül yardımıyla bulumalıdır. Her bir gruba düşe gözlem sayısı o grubu frekasıı (f i ) verir. Her bir gruptaki frekas sayısı (f i ) o grubu orta değerleri (m i ) ile çarpılır, bu çarpımları toplamıda elde edile değer toplam frekas sayısı ( ) ile bölüürse gruplamış serilerde aritmetik ortalama hesaplamış olur. Gruplamış serilerde aritmetik ortalamaı ( ) formülü aşağıda verilmiştir: ÖRNEK: Sakarya Üiversitesi İİBF öğrecilerii İstatistik yılsou otları gruplamış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı aritmetik ortalamasıı hesaplayıız. Başarı Derecesi Not Sııfları (Gruplar) Sııf Orta Değeri m i Öğreci (Frekası) Sayısı m i f i f i AA BA BB CB CC DC , DD , DF 0-9, FF , Toplam 5

7 .1.. Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Bazı durumlarda serideki verileri öem dereceleri (ağırlıkları) farklı olabilir. Böyle durumlarda aritmetik ortalama hesaplaırke bu ağırlıklarıda (w i ) dikkate alıarak hesaplamaya katılması daha uygu olur; daha temsili buluur. Çeşitli seriler içi ağırlıklı aritmetik ortalama ( ) aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplaabilir: Basit Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Tasif Edilmiş Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: Gruplamış Seride Ağırlıklı Aritmetik Ortalama: ÖRNEK: Bir öğrecii bahar döemide aldığı dersleri kredisi ve otları aşağıda verilmiştir. Öğrecii bahar döemideki ağırlıklı ot ortalamasıı buluuz? Dersi Adı Dersi Kredisi (w i ) Not (X i ) w i X i İstatistik İktisada Giriş 80 0 İgilizce İkılap Tarihi

8 Toplam.1.5. Aritmetik Ortalamaı Özellikleri, Avataj ve Dezavatajları Aritmetik ortalamalar stadart sapma, ortalama sapma vb. istatistiki ölçümlerde kullaılacağıda avatajlı ve dezavatajlı özelliklerii bilimeside buda soraki çalışmalar içi faydası olacaktır. Aritmetik Ortalamaı Özellikleri: 1. Aritmetik ortalamaı terim sayısı ile çarpımı seri toplamıa eşittir: = ==> N ile her iki tarafı çarparsak. Serideki değerleri aritmetik ortalamada sapmalarıı (farklarıı) toplamı sıfırdır:. Yai. Terimleri aritmetik ortalamalarda sapmalarıı kareleri toplamı miimumdur. Diğer bir ifade ile seri terimlerii aritmetik ortalamada sapmaları kareleri toplamı, diğer bir kıymette sapmalarıı (X i P) kareleri toplamıda daha küçüktür: =. özelliğe göre olduğu içi = =. Bir serii bütü terimlerie ayı sayı ekleirse (çıkarılırsa) aritmetik ortalama eklee (çıkarıla) sayı kadar artar (azalır): 7

9 Ayı işlem çıkarma içide geçerlidir. 5. Bir serii bütü terimlerii ayı sayı ile çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız/ böldüğümüz sayı ile oratılı olarak büyür / küçülür. L ile çarparsak; L ile terimleri bölersek; 6. Aritmetik ortalama çok hassas ve duyarlı bir ortalamadır. Serii bütü terimleri aritmetik ortalamaya kademe kademe tesir eder. Hele seride aşırı kıymetler mevcut buluuyorsa buda aritmetik ortalama çok etkileir ve dolayısıyla temsili olma vasfıı kaybeder. 7. İki serii karşılıklı olarak bütü terimlerii toplamıı aritmetik ortalaması serileri ayrı ayrı aritmetik ortalamaları toplamıa eşittir. Ya da çıkarlılarsa farkıa eşittir. Ayi işlem çıkarma içi de geçerlidir. Aritmetik Ortalamaı Avatajları: 1. Belirli bir değer etrafıda toplama eğilimi yüksekse aritmetik ortalama seriyi e iyi temsil ede tek bir değer verir.. Aritmetik ortalamalar stadart sapma ve varyası hesaplamasıda kullaılır.. Aritmetik ortalamaı hesaplamasıda kullaıla gözlem sayısı arttıkça, aritmetik ortalamaı dağılımı ormal dağılıma yaklaşır.. Hesaplaması ve alaşılması kolaydır. Buda dolayı e yaygı kullaıla ortalama çeşididir. Aritmetik Ortalamaı Dezavatajları: 1. Aritmetik ortalama serideki uç (sapa, aşırı) değerlere karşı hassastır. Aritmetik ortalamaı hesaplamasıda serideki bütü değerler hesaplamaya dâhil edilmektedir. Seride bir veya birde fazla çok küçük veya çok büyük değer (uç değer) mevcutsa bu değerler aritmetik ortalamayı kedi yölerie doğru sürüklerler. Buda dolayı aritmetik ortalama ormal değeride çok uzaklaşarak seriyi temsil yeteeğii kaybedebilir. 8

10 . Açık uçlu frekas dağılımıı olduğu durumlarda aritmetik ortalama hesaplamak doğru olmaz. Aritmetik ortalamaı uygulaması; Özellikleri dolayısıyla matematiksel işlemlere çok elverişlidir. Hesabı kolay ve alamı açık olduğu içi uygulamada e çok yararlaıla ortalamadır. Aritmetik ortalamayı sakıcalı kıla edeler olduğuda diğer ortalamalara başvurulur... KARELİ ORTALAMA Gözlem değerlerii karelerii ( ) aritmetik ortalamasıı karekökü alıdığıda elde edile souca KARELİ ORTALAMA deir. Özellikle, serideki (-) ve (+) değerlerii toplamı sıfır çıktığı durumlarda aritmetik ortalama hesaplaamayacağıda kareli ortalamayı kullaabiliriz. Basit seri, sııflamış seri ve gruplamış serilerde kareli ortalamaı asıl hesapladığı örekler yardımıyla uygulamalı olarak ele alıacaktır. Kareli Ortalama formülü, geel formülde r= değeri koarak buluur. Böylece terimleri karelerii aritmetik ortalamasıı kareköküe eşit ola kareli ortalamaı formülüe ulaşılır. Basit Serilerde Sııflamış Serilerde M M Xi Xi i1 i1 ; K i i N N Ni X i Ni X i i1 i1 ; K i i N N Gruplamış Serilerde M Nimi Nimi i1 i1 ; K i i N..1. Basit Serilerde Kareli Ortalama Basit serileri kareli ortalaması hesaplaırke, terimleri kareleri hesaplaıp toplamakta ve souç terim sayısıa bölüdükte sora karekökü alımaktadır. Basit serilerde kareli ortalamaı (K) formülü aşağıda verilmiştir. N ÖRNEK: İstatistik dersi sıavıa gire 5 öğrecii aldığı otlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrecileri aldığı otları kareli ortalamasıı hesaplayıız? 9

11 İstatistik Notları (X i ) X i i1 500 K Ni 5... Sııflamış Serilerde Kareli Ortalama Ayı değere sahip ya da tekrarlaa gözlem değerlerii frekasları (f i ) buluur, bulua frekaslar karşılık geldikleri değerleri karesiyle ( ) çarpılır, bu çarpımları toplamı toplam frekas sayısı ( ) ile bölüür ve çıka soucu karekökü alıırsa tasif edilmiş serilerde kareli ortalama hesaplamış olur. Tasif edilmiş serilerde kareli ortalamaı formülü aşağıda verilmiştir. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrecilerii İstatistik fial sıavı otlarıı tasif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı kareli ortalamasıı hesaplayıız? Öğrecileri Notları (X i ) Notları Sıklığı (Frekası) = f i

12 Toplam... Gruplamış Serilerde Kareli Ortalama Gruplamış serilerde kareli ortalama hesaplaırke ilk olarak her bir grubu orta oktası ya da değeri (m i ) buluur. Her bir gruptaki frekas sayısı (f i ) o grubu orta değerlerii karesi ( ) ile çarpılır ve toplamı alıır, bu çarpımları toplam değeri toplam frekas sayısı ( ) ile bölüür ve karekökü alıırsa gruplamış serilerde kareli ortalama hesaplamış olur. Gruplamış serilerde kareleri ortalamaı formülü aşağıda verilmiştir. ÖRNEK: Sakarya Üiversitesi İİBF öğrecilerii İstatistik yılsou otları gruplamış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımı kareli ortalamasıı hesaplayıız? Not Sııfları (Gruplar) Sııf Orta Değeri m i Öğreci (Frekası) Sayısı f i

13 , , , , Toplam Kareli Ortalamaı Özellikleri 1. Seride sıfır değerli ve ya egatif işaretli terimler buluursa, bu takdirde serii ortalamasıı hesaplamak içi, kareli ortalamaya başvurmak zorulu hale gelir.. Kareli ortalama bazı istatistik işlemlerii kolaylıkla uygulamasıı mümkü kılar. Mesela, bir dağılma (değişkelik) ölçüsü ola stadart sapma hesabıda kareli ortalamada yararlaılır... GEOMETRİK ORTALAMA Geometrik serileri ortalamasıa GEOMETRİK ORTALAMA deir. Özellikle, zamaa bağlı değişme oralarıı ifade ede üfus büyüme hızı, ekoomik büyüme hızı, fiyat artışı, bileşik faiz vb. gibi geometrik artış göstere gözlem değerlerii ve ideks sayılarıı hesaplamada kullaılır. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde geometrik ortalamaı formülleri aşağıda verilmiştir...1. Basit Seride Geometrik Ortalama Serideki değerler (X i ) birbirleriyle çarpıldıkta sora elde edile soucu serideki gözlem sayısı (N) dereceside kökü alıdığıda basit seride geometrik ortalama hesaplamış olur. Formülü aşağıdadır. 1

14 ÖRNEK: Altı fiyatlarıı gülük yüzde artış değerleri aşağıda verilmiştir. Geometrik ortalamasıı hesaplayıız? Güler Altı Fiyatlarıdaki % Artışlar (X i ) Pazartesi 1 Salı Çarşamba Perşembe 8 G N X1X XX... X ; G 1***8 6.8 ÖRNEK: Bakaya yatırıla 100 TL sıa ilk yıl %10 ve ikici yıl %0 faiz ödemiştir. Yıllık faiz artış oraı (Geometrik ortalamasıı) hesaplayıız? Bu verilerde aşağıdaki souçları çıkarabiliriz. Yıllar Birici yıl Birici yılsou İkici yılsou Bakadaki Paramız 100 TL 100 TL*(1+0.10)= 110 TL 110 TL*(1+0.0)= 1 TL ya da diğer bir ifadeyle ortalama yıllık faiz artış oraı %1,9 olmuştur. eşitliğii her iki tarafıı karesii alırsak elde edilir. Bu ifade sadeleştirilerek 1. = (1+0.19) olarak yazılabilir. So eşitlik P = P 0 (1+r) olarak yazılabilir ki bu bileşik faiz formülüdür. Öreğimizde P =1., P 0 =1 ve r = 0.19 dir. r ayı zamada geometrik ortalamayı vermektedir. 1

15 Geel ifade olarak bileşik faiz P = P 0 (1+r) formülüde buluur.... Sııflamış Seride Geometrik Ortalama Her bir gözlem değerii (X i ) frekas sayısıa (f i ) göre kuvveti alıdıkta sora ( ) birbirleriyle çarpılırlar. Çıka soucu toplam frekas sayısı (N) dereceside kökü alıırsa tasif edilmiş seride geometrik ortalama bulumuş olur. Formülü aşağıdadır.... Gruplamış Seride Geometrik Ortalama: Her bir grubu orta değerii (m i ) frekas sayısıa (f i ) göre kuvveti alıdıkta sora ( ) birbirleriyle çarpılırlar. Çıka soucu toplam frekas sayısı (N) dereceside kökü alıırsa gruplamış seride geometrik ortalama bulumuş olur. Formülü aşağıdadır.... Logaritmik Değerler Üzeride Geometrik Ortalama Hesabı Geometrik Ortalamalar içi r = 0 dir. GO, terimleri logaritmalarıı aritmetik ortalamasıı ati logaritmasıa eşittir. log X i i1 N Basit SerilerdeG atilog(logg) atilog( ); G X 1X X... X N Ni log Xi i Ni 1 Sııflamış SerilerdeG atilog(logg) atilog( ); G i1 X X X... X Ni N 1 N N N N 1 Ni log mi i Ni 1 Gruplamış Serilerde G atilog(logg) atilog( ); G i1 m m m... m Ni...1. Basit Serileri Geometrik Ortalaması i1 1 N N N N 1 i1 N 1

16 Basit serileri geometrik ortalaması logaritmik değerleri kullaarak hesaplaırke, öce terimleri logaritmaları buluur, sora buları aritmetik ortalaması hesaplaır. Bu aritmetik ortalama geometrik ortalamaı logaritmik değeridir. Logaritması bulua terimleri aritmetik ortalamalarıı ati logaritması Geometrik Ortalamayı verir. İkici aşamada logaritmik değerleri aritmetik ortalamasıı ati-logaritması alıır ve geometrik ortalamaya ulaşılır. ÖRNEK: Aşağıdaki serii aritmetik ve geometrik ortalaması edir? X i logx i 0, , , , ,010 logx i =,58 Toplam logaritmaları aritmetik ortalamalarıı ati logaritması geometrik ortalamayı vereceği içi G=atilog (0,850668)=7,09. Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =8) değeride küçüktür.... Sııflamış Serileri Geometrik Ortalaması Sııflamış serileri geometrik ortalaması hesaplaırke; terimleri logaritmik değerleriyle frekasları çarpımlarıı toplamı frekaslar toplamı ile bölümekte ve soucu ati logaritması alımaktadır. X i N i logx i N i logx i ,7711 0, , (0,0100) (0,7711) 1(0,60060) (698970) 10 N i logx i =5,557 Sııflamış serileri Geometrik Ortalamasıa terimleri logaritmik değerlerii frekaslarıyla çarpımıı toplamıı aritmetik ortalamasıı (frekas toplamıa bölümüü) ati-logaritması alıarak ulaşılır. 15

17 G=Atilog = Atliog(5,557/10)=Atilog(0,5557)=,6 Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =,6) değeride küçüktür.... Gruplamış Serileri Geometrik Ortalaması Grupladırılmış serilerde ise sııf ortalamalarıı (yai m i leri) logaritmaları hesaplamaya dâhil olur. Sııflar N i m i log m i N i.log m i 1- de az -5 de az 5-7 de az 6 0,0100 0, , ,0100= 0, ,60060= 1, ,778151=, N.log m i =5,817, G=,8 G=ati-log( )=.8. Bu değer, seri içi hesaplaa aritmetik ortalama ( =,) değeride küçüktür...5. Geometrik Ortalamaı Özellikleri 1. Geometrik ortalamalarıı N ici kuvveti alıdığıda terimleri çarpımıı verir. Diğer geometrik ortalama formülüü her iki tarafıı N ile çarpmak suretiyle de ayı souca ulaşırız. G N =X 1.X....X N. Aritmetik ortalamaı özelliğie karşılık geometrik ortalamada 16

18 (X 1 / G).(X / G)..(X N / G) =1 ilişkisi mevcuttur. Diğer bir ifade ile terimleri geometrik ortalamaya oralarıı çarpımı bire eşittir. Bu eşitlik ifadesii ayısıdır. Buradaki fark işlemleri logaritmalar üzerie olmasıdır. Eşitliği her iki tarafıı logaritmasıı alalım. Burada logx i NlogG= 0 soucu elde edilir. logg=( logx i )/ N olduğua göre NlogG= logx i dir. Buu yukarıdaki so eşitlikte yerie koyarsak, N i logg - N i logg=0 olur. Terimleri logaritmaları ile logaritmik değerleri ortalamasıda farklarıı toplamı sıfıra eşittir. (logx i logg) = 0.. Seri terimlerii (k) ici kuvvetlerii geometrik ortalaması geometrik ortalamaı (k) ici kuvvetie eşittir. k= -1 kabul edilmek suretiyle kıymetleri terslerii geometrik ortalamasıı, geometrik ortalamasıı tersie eşit olduğuu ispatlamak mümküdür.. Geometrik ortalama uç değerlerde aritmetik ortalama kadar etkilemez. Geometrik ortalama terimlerdeki ai ve aormal artışlara karşı aritmetik ortalama dereceside hassas olmayıp, ispete daha istikrarlı ve gerçeği daha iyi aksettire bir ortalama mahiyetidedir. 5. Serideki kıymetler arasıda sıfır veya egatif işaretli ola bir değer varsa, geometrik ortalamaı hesabı mümkü olmaz. Çükü ilk halde kök içideki çarpma sıfıra eşit ise egatif bir souç verir. 6. Gözlem değerleride herhagi bir taesi sıfır ve/veya egatif değere sahipse geometrik ortalama hesaplaamaz. 7. Ayı seri içi hesaplaa geometrik ortalama aritmetik ortalamada küçüktür. log X.1586 G at at at at N i i1 ilog(logg) ilog( ) ilog( ) ilog( ).6 Bütü bu özellikleri şu örekte iceleyelim; 17

19 X i 6 logx i 0,0100 0,7711 0, ,778151,1586 log X.1586 G at at at at N i i1 ilog(logg) ilog( ) ilog( ) ilog( ).6 Geometrik ortalamaı N.kuvvetii;. kuvvetii hesaplarsak buu terimler çarpımıa eşit olduğuu görürüz. (,6) =...6=1 Terimleri logaritmaları ile geometrik ortalamalarıı logaritması arasıdaki cebirsel sapmaları toplamıı sıfıra eşit olduğu aşağıda görülmektedir. logx i - logg 0,0100-0, = -0, ,7711-0,595905= -0, , ,595905= +0, , ,595905=+0,85605 (logx i logg)= 0 Serii terimlerii. kuvvetlerii (karelerii) geometrik ortalamasıı hesaplarsak geometrik ortalamaı karesie ulaşılır. X i 6 logx i =.logx i.(0,0100).(0,7711).(0,60060) (.0,778151),167 18

20 logg =,167/ = 1, G =1 = (.6) Görüldüğü gibi seri terimlerii. kuvvelerii geometrik ortalaması geometrik ortalamaı. kuvvetie eşittir. Serii so terimii 106 olarak değiştirelim. X i 106 logx i 0,0100 0,7711 0,60060,0506 =115/ = 8,75 logg=,05517/ = 0,8517 7,10 115,05517 So terim içi 6 yerie 106 ikame edildiğide aritmetik ortalama,75 de 8,75 e fırladığı halde, geometrik ortalama buda çok az etkilemiş ve,6 da 7,10 seviyesie yükselmiştir. Alaşılıyor ki, geometrik ortalama aritmetik ortalamada daha az hassas ve daha istikrarlıdır. Geometrik ortalamaı başvuru sahaları: Özellikle ayı orada artma veya azalma eğilimi göstere olaylara ilişki serilere uygulaır. Bu olaylar arasıda öcelikle üfus olayları belirtilebilir. Diğer yada, aslıda simetrik olmadığı halde logaritmaları alıdığıda simetrik hale döüşe serilere geometrik ortalamayı uygulamak gerekir... HARMONİK ORTALAMA Bir serideki gözlem değerlerii terslerii aritmetik ortalamasıı tersi HARMONİK ORTALAMAYI verir. Harmoik ortalama (H) zama birimi başıa hız ve üretim, para birimi başıa satı alıa mal miktarı vb. orasal verileri ortalamasıı bulmakta kullaılır. Basit seri, tasif edilmiş seri ve gruplamış serilerde harmoik ortalamaı formülleri aşağıda verilmiştir. Harmoik Ortalamalar= Geel ortalama formülüe r= -1 koyar isek; terimleri (-1) ici kuvvetleri buları terslerii ifade ettiğie göre, = = 19

21 Harmoik ortalama, terimleri terslerii aritmetik ortalamasıı aritmetik ortalamasıdır...1. Basit Serilerde Harmoik Ortalama Basit serilerde harmoik ortalama hesabı içi öce terimleri tersleri buluur. Sora buları toplamı alıır ve ihayet terim sayısı bu toplam ile bölüür. ÖRNEK: Aşağıdaki 1 birimlik malı 5 işçi tarafıda üretilme süreleri verilmiştir. Beş işçii bir birim içi ortalama üretim süresi e olacaktır? İşçiler Süreler (X i ) A saat B saat C 5 saat D 6 saat E 8 saat Toplam = 1.5 0

22 H=Kişi sayısı/saat başı ortalama üretim=.05 saat. İşçiler saat başı üretimi ortalama.05 saatte üretmeteler.... Sııflamış Serilerde Harmoik Ortalama Sııfladırılmış serileri harmoik ortalaması buluurke toplam frekas, frekasları terimleri ile bölümlerii toplamıa bölümektedir. X i 6 8 N i 1 N i /X i ,5 0,5 => H= 10/ = Gruplamış Serilerde Harmoik Ortalama Grupladırılmış serileri harmoik ortalaması toplam frekasları, frekasları sııf ortalamalarıa (yai m lere) bölümlerii toplamıa bölümesidir.. Sııflar 1-5 de az 5-9 de az N i 1

23 9-1 de az 5 10 m i 7 11 N/m i 0.66 H=10/1.5= 6, Harmoik Ortalamaı Özellikleri 1. Serideki gözlem değerleride herhagi bir taesi sıfır değerie sahipse harmoik ortalama sıfır olacağıda hesaplamasıı bir alamı yoktur. Bu durumda harmoik ortalamayı hesaplayamayız.. Harmoik ortalamaı hesaplaabilmesi içi serideki tüm değerleri pozitif ya da egatif olması gerekir. Serideki farklı işaretler harmoik ortalama soucuu alamsız kılar. Seri terimleri farklı işaretli ise, bu takdirde harmoik ortalamaları hesabı yapılabilse de souç alam taşımaz. Bu sebeple, harmoik ortalamaı hesaplaabilmesi içi serii bütü terimleri ayı işareti taşımalıdır. Aşağıdaki örekle bu iki özellik açıklaabilir. X i 1/X i X i 1/X i , H= 5/ = 0. Harmoik ortalama alamsızdır. H=5/0.15=0. Bu souç bir ortalama maksimum değerde daha büyük bir değere sahip olması mümkü olmadığı içi, ortalama olarak kabul edilmez. Harmoik ortalamaları uyguladığı yerler; Harmoik ortalama sıırlı hallerde uygulaır. Yalız doğruda doğruya ifade ettiği alam yerie, tersie çevrildiğide taşıyacağı alama öem verile ora türüdeki icelikleri ortalamasıı bulmak içi kullaılır. Gerçekte; fiyat= ödee para/karşılığıda alıa mal miktarı Verimlilik= başarıla iş/ emek

24 Verim= ürü/ ekim alaı Hız= gidile uzaklık/ zama vb. oralarda kullaılır..5. TARTILI ORTALAMALAR Tartılı Ortalamalar: Ortalama hesaplaırke seri terimleri arasıdaki fark dikkate alımak istese, her terime öemi ile oratılı bir tartı vererek tartılı ortalamayı hesaplamak zorulu olur. Tartısız ortalamalara bezer şekilde, tartılı ortalamalar arasıda şu ilişki vardır. H t < G t < X t < K t Bu formüllerde t tartıları gösterir. Öreği ot ortalamasıda haftalık ders saati tartı olarak kullaılır, dersleri öem sırası dikkate alıabilir Basit Serileri Tartılı Ortalaması

25 X i t i t i X i logx i t i logx i t i / X i X i t i X i 6 0,0100 0, , , , , ,698970, , , ,5560 0, ,857,88 00 t= /10 =,, H t = 10/,88=,7, logg t = 5,85/10 = 0,585, G t =, Sııflamış Serileri Tartılı Ortalaması X i N i t i t i N i t i N i X i logx i t i N i logx i t i N i /X i X i t i N i X i ,7711 5, ,6006, ,778151,5 0, ,6815 9,5 8 t = 7/ =,, H t = /9,5=,, logg t = 10,6815/ = 0,5517 => G t =, Gruplamış Serileri Tartılı Ortalaması Sııflar N i t i 0- de az - de az -6 da az 6-8 de az 1 1

26 m i t i N i t i N i m i logm i t i N i logmi t i N i /m i m i t i N i m i ,7711 5, , ,979 0, , , , ,8818 8,5 55 t = 105/5 =,, H t = 5/8,5=,9 logg t = 1,8818 / 5 = 0,55567 => G t =,59 Tartılılar; baze objektif baze de sübjektif şekilde verilebilir. Geelde objektif ölçütlerde hareket edilmelidir. Öreği, TEFE (topta eşya fiyatları edeksi) e dahil ola maddeleri fiyatlarıdaki öem farkıı belirtmek içi, bu maddeleri satış miktarıı tartı olarak alabiliriz. Geçime edeksleride her bir mal veya hizmeti aile bütçesideki orasal payı tartı kabul edilebilir. Notları ortalaması hesabıda okutula haftalık ders saati tartı rolüü oyamak suretiyle dersleri öem derecesii ortaya koyabilir..6. Gruplamış Serileri Duyarlı Ortalamalarıdaki Hata Duyarlı ortalama hesaplarıda m i lerde yararlaırke, her sııfı birimleri tamamıı değerce o sııfı tam ortasıda toplamış olduğu varsayımıda hareket edilir. Bu yüzde gruplamış serileri duyarlı ortalamaları hatalıdır veya yaklaşıktır. Basit ve sııflamış serilerde bu hata yok olur. Bu hata sııf frekasları büyüdüğü ve seri simetriye yaklaştığı orada küçülür. Aritmetik ortalama hesabıyla duyarlı ortalamaları, hesapları sııf ortalamalarıa göre yayılmasıda asıl etkilediğii aritmetik ortalama ile açıklayalım. Perosel Sayısı Toplam Maaş Maaş m i N i m i de az de az de az de az N i =0 X i =

27 Burada birici sütuda bir işyeride çalışa 0 persoeli toplam 7700 TL maaş aldığı görülür. Dolayısıyla, ortalama persoel maaşı = 7700/0= TL dir. Eğer burada ilk sütudaki persoel maaşlarıı bilmeseydik ortalama şöyle olacaktı; Aritmetik ortalama= 5000/ 0= 15 TL. Gerçek ola maaş TL dir. Aradaki 1.5 TL lik fark hesaplamaları sııf ortalamalarıa göre yapılmasıda kayaklamaktadır. KAYNAKLAR: 1. Yılmaz Özka, Uygulamalı İstatistik 1, Sakarya Kitapevi, Özer Serper, Uygulamalı İstatistik 1, Filiz Kitapevi, Meriç Öztürkca, İstatistik Ders otları, YTÜ.. Adım Obe Balce ve Serdar Demir, İstatistik Ders Notları, Pamukkale Üiversitesi, Ayşe Caa Yazıcı, Biyoistatistik Ders Notları, Başket Üiversitesi. 6. Zehra Muluk ve Yavuz Ere Atama, Biyoistatistik ve Araştırma Tekikleri Ders Notları, Başket Üiversitesi. 6

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan OKTAY İÇİNDEKİLER HEDEFLER İNDEKSLER

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan OKTAY İÇİNDEKİLER HEDEFLER İNDEKSLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER İNDEKSLER Basit İdeksler Bileşik İdeksler Tartısız İdeksler Tartılı İdeksler Mekâ İdeksleri İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erka OKTAY İktisadi göstergeleri daha iyi yorumlayıp karşılaştırılabilecek

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu SAÜ 3. BÖLÜM VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 3.2.Grafiksel Sunumlar 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (DUYARSIZ ORTALAMALAR)

İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (DUYARSIZ ORTALAMALAR) SAÜ 5. BÖLÜM İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (DUYARSIZ ORTALAMALAR) PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 1.1. Mod (Tepe Noktası) 1.1.1.1. Basit Serilerde Mod 1.1.1.2.

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

COĞRAFYADA Olasılık ve Đstatistik Ders Notları Doç. Dr. Hasan. ÇOMÜ, Fef, Coğrafya Bölümü, Çanakkale

COĞRAFYADA Olasılık ve Đstatistik Ders Notları Doç. Dr. Hasan. ÇOMÜ, Fef, Coğrafya Bölümü, Çanakkale COĞRAFYADA Olasılık ve Đstatistik Ders Notları Doç. Dr. Hasa ÇOMÜ, Fef, Coğrafya Bölümü, Çaakkale e-posta:tatli@comu.edu.tr 1 Giriş Doğa bilimleri ve/veya sosyal olaylarda karşılaştığımız problemleri birçoğuda,

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ 3. Bölüm Paraı Zama Değeri Prof. Dr. Ramaza AktaĢ Amaçlarımız Bu bölümü tamamladıkta sora aşağıdaki bilgi ve becerilere sahip olabileceksiiz: Paraı zama değeri kavramıı alaşılması Faiz türlerii öğremek

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makie Mühedisliği Bölümü 1 STAJLAR: Makie Mühedisliği Bölümü öğrecileri, öğreim süreleri boyuca 3 ayrı staj yapmakla yükümlüdürler. Bularda ilki üiversite içide e fazla 10 iş güü süreli

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI Olasılık, ilgilenilen olay/olayların meydana gelme olabilirliğinin ölçülmesidir.

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 İstatistik

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Hipotez Testleri. Parametrik Testler

Hipotez Testleri. Parametrik Testler Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 2 Giriş Veri kümesi Verileri betimlemenin ve özetlemenin bir diğer yolu da verilerin bir

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

LEFKE AVRUPA ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ PSİKOLOJİ BÖLÜMÜ PSK 106 İSTATİSTİK YÖNTEMLER I BAHAR DÖNEMİ ARASINAV SORULARI

LEFKE AVRUPA ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ PSİKOLOJİ BÖLÜMÜ PSK 106 İSTATİSTİK YÖNTEMLER I BAHAR DÖNEMİ ARASINAV SORULARI LEFKE AVRUPA ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ PSİKOLOJİ BÖLÜMÜ PSK 106 İSTATİSTİK YÖNTEMLER I 2015-2016 BAHAR DÖNEMİ ARASINAV SORULARI Tarih: 22/04/2016 Istructor: Prof. Dr. Hüseyi Oğuz Saat: 11:00-12:30

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLDE KULLANILAN TEMEL İSTATİSTİKSEL ÖLÇÜLER (MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM ÖLÇÜLERİ)

İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLDE KULLANILAN TEMEL İSTATİSTİKSEL ÖLÇÜLER (MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM ÖLÇÜLERİ) İTATİTİKEL KALİTE KOTROLDE KULLAILA TEMEL İTATİTİKEL ÖLÇÜLER (MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM ÖLÇÜLERİ) Kalite Mühendisliği kapsamında İstatistik Proses Kontrolde (İPK) kullanılan temel istatistik ölçüler ve

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA THE OPERATING CHARACTERISTIC CURVE AND A CASE STUDY

İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA THE OPERATING CHARACTERISTIC CURVE AND A CASE STUDY Süleyma Demirel Üiversitesi Vizyoer Dergisi Suleyma Demirel Uiversity The Joural of Visioary İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ VE BİR ÇALIŞMA ÖZET Yrd. Doç. Dr. Halil ÖZDAMAR 1 İstatistiksel kalite kotrol

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

Öğretim Üyesi. Topoğrafya İnşaat Mühendisliği

Öğretim Üyesi. Topoğrafya İnşaat Mühendisliği Öğretim Üyesi Mehmet Zeki COŞKUN Y. Doç. Dr. İşaat Fak., Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Ölçme Tekiği Aabilim Dalı (1) 85-6573 coskumeh@itu.edu.tr http://atlas.cc.itu.edu.tr/~cosku Adres Öğreci görüşme saatleri:

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Amacı : YGS de başarılı olmak isteyen bir öğrencinin, istatistiksel yöntemler çerçevesinde, sınavda çıkan soru sayısını,

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ .4.26 5. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ Mekul Kıymet Yatırımlarıı Değerlemesi Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Temel Değerleme Modeli Mekul Kıymet Değerlemesi

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Vektör bileşenleri için dikey eksende denge denklemi yazılırak, aşağıdaki eşitlik elde edilir. olarak elde edilir. 2

Vektör bileşenleri için dikey eksende denge denklemi yazılırak, aşağıdaki eşitlik elde edilir. olarak elde edilir. 2 Açıklama Sorusu : V kayışlar, ayı mekaizma büyüklükleride düz kayışlara göre daha yüksek dödürme mometlerii taşıyabildikleri bilimektedir. V kayışları düz kayışlara göre gözlee bu üstülüğü sebebi "kama

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER

JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Prof. Dr. Hüseyi Çelebi Ders Notları İstabul 014 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 1 Ösöz Jeolojide matematik ve istatistiksel yötemler ders otları

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

A t a b e y M e s l e k Y ü k s e k O k u l u İstatistik Sunum 4 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com 1 Yer Ölçüleri Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - )

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - ) 04.05.0 İtatitikel Tahmileme İTATİTİKEL TAHMİNLEME VE YORUMLAMA ÜRECİ GÜVEN ARALIĞI Nokta Tahmii Populayo parametreii tek bir tahmi değerii verir μˆ σˆ p Pˆ Aralık Tahmii Populayo parametreii tahmi aralığıı

Detaylı