Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören"

Transkript

1 Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsie ederim.

2 Bu kitabın her hakkı Çap Yaınları na aittir. 86 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yaınları nın azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI NIN.8. TARİH VE SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi Kapak Tasarım Emine İNCE Baskı Tarihi Ağustos Teşekkür Tevfik GÖRGÜN e katkılarından dolaı teşekkür ederiz. ISBN İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpınar Mahallesi 8. Cadde 87. Sokak / 9 Çankaa / Ankara Tel: ii

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Matematikteki birçok tanımı ve kuralı eniden keşfetmioruz, sadece öğrenme aşamasında ilk kez biz bu olları, kuralları buluormuşuz gibi hareket edip öğrenmenin kalıcı olmasını sağlamaa çalışıoruz. Bu kanağı sizlere sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zorlandığınız vea başarmakta problem aşadığınız kendi kendinize öğrenme becerisini geliştirmektir. Matematikte bir problemi kısa zamanda ve doğru olarak çözmek, ilgili konuların kavranmasına bağlıdır. Bir konuu iice öğrendikten sonra ardından gelen konua geçmek sizin için daha kola olacağı gibi çalışmanızı da daha verimli kılacaktır. Bilgilerinizin kalıcı olması için çok tekrar apmalı, bilgileri kullanabilmek için de çok soru çözmelisiniz. Matematikteki birçok kuralın günlük haatta kullanımı oktur ancak bu kuralları öğrenirken ve ugularken gösterdiğiniz çaba, aşamınızda çeşitli problemlere farklı açılardan bakabilme becerisini kazandıracaktır. Sevgili Öğrenciler, Tekrara daalı ve planlı bir çalışmanın, ezber erine konunun özünü kavramanın ve bu olla kazanılan özgüvenin sizleri başarıa ulaştıracağına inanıor ve sizlere başarılar dilioruz. YAZARLAR iii

4 İÇİNDEKİLER Üstel Fonksion... Artan - Azalan Fonksionlar... 6 Bire Bir ve Örten Fonksion... 6 a = + = log a Hesaplaması I... 7 a = + = log a Hesaplaması II... 8 Denklem Çözümleri... 9 Test : Üstel Fonksion, Artan Azalan Fonksionlar, Denklem Çözümleri... Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı - I... Test : Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı... 6 Onluk Logaritma Fonksionu... 7 Doğal Logaritma Fonksionu... 8 Logaritma Fonksionunun Özellikleri... 9 Test : Onluk ve Doğal Logaritma, Logaritma Fonksionunun Özellikleri... Taban Değiştirme... Test : Taban Değiştirme ve Cinsinden Yazma... Bir Saının Logaritmasının Tam ve Ondalık Kısmı... Arada Olma ve Basamak Saısı... Onluk Logaritma Hesapları... 6 Logaritmada Sıralama... 7 Test : İki Tam saı Arasında Olma Basamak Saısı ve Sıralama... 8 Logaritma Fonksionunun Tersi... 9 Test 6 : Logaritma Fonksionunun Tersi... Logaritma ve Bileşke Fonksion... Denklem Çözümleri... Denklem Sistemleri... Test 7 : Bileşke Fonksion, Logaritmalı Denklemler, Denklem Sistemleri... Eşitsizlik Çözümleri... Logaritmik Eşitsizlikler... Test 8 : Logaritmik Eşitsizlikler... 9 Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı - II... 6 Üslü ve Logaritmik Fonksionların Grafikleri... 6 Öteleme Yöntemi... 6 Grafikten Fonksion Yazma... 6 Test 9 : Tanım Kümesi, Logaritma ve Üstel Fonksionlarının Grafikleri... 6 Günlük Haatta Logaritma Ugulamaları Karma Testler Cevaplar iv

5 ÜSTEL FONKSİYON h h h /8 / / 8 h Yandaki tabloda bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlenir ve bu noktalardan geçen eğri çizilirse aşağıdaki grafik elde edilir. 8 = 7 6 e o h h 8 / / /8 h h Yandaki tabloda bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlenir ve bu noktalardan geçen eğri çizilirse aşağıdaki grafik elde edilir. = b l TANIM f : R R +, a R + {} olmak üzere f() = a fonksionuna üstel fonksion denir. a > ise f() = a fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f() = a = a = b = c Şekilde grafikleri verilen fonksionlar için a, b, c saılarını sıralaınız. = a = b = c a bc < a < ise f() = a fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f() = a = doğrusunu çizelim. a, b, c saıları sıralandığında a>b>c olduğu görülür. = a = b = c Yukarıda grafikleri verilen fonksionlar için a, b, c saılarını sıralaınız. c > b > a

6 ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON BİLGİ f: A " B,, A için a) < + f( ) < f( ) ise f artan fonksiondur. b) < + f( ) > f( ) ise f azalan fonksiondur. c) f( ) = f( ) ise f sabit fonksiondur. BİLGİ f: A " B olmak üzere = f() fonksionu verilsin. ), A için & f( ) f( ) ise f bire bir fonksiondur. ) B, A kümesindeki en az bir elemanının görüntüsü oluorsa f fonksionu örten fonksiondur. ÖZELLİK: TANIM a R + {} olmak üzere f: R " R +, f() = a fonksionu i) a > için artan fonksiondur. ii) < a < için azalan fonksiondur. a R + {} olmak üzere f: R " R +, f() = a fonksionu bire bir ve örtendir. NOT Grafiği verilen bir fonksionun bire bir olduğunu anlamak için eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular grafiği en çok bir noktada kesior ise fonksion bire bir fonksiondur. = a f fonksionu artan bir üstel fonksiondur. a > f() = 6 ise f() aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 7 B) C) 9 D) 8 E) 7 = a f artan fonksiondur. < & f() < f() olmalıdır. 6 < f() dir. O halde f() değeri 7 olabilir. < a < f fonksionu azalan bir üstel fonksiondur. f( ) = 6 ise f() aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 7 C) D) E) 7 E BİLGİ Üslü Saıların Özellikleri ) a m a n = a m+n ) a o = (a ) m ) a = a m ) m a a n = a m n ) (a m ) n = a mn 6) a R {,, } ve a = a & = dir. 6

7 BİLGİ Bir fonksion bire bir ve örten ise tersi vardır ve tersi de bir fonksiondur. f a = + = log a Hesaplaması I ) = denklemini sağlaan kaçtır? = & = log tir. f () = = f() ) log 7 = ifadesini üstel fonksion kullana- f rak azalım. A B log 7 = & = 7 dir. Yukarıdaki şemada görüldüğü gibi f: A " B ise f : B " A olarak tanımlanır. Arıca = f() ise = f () azılır. ) Aşağıdaki ifadeleri logaritma kullanarak azınız. TANIM f: R " R +, = a üstel fonksionunun tersi olan fonksiona logaritma fonksionu denir ve f() = log a şeklinde gösterilir. NOT a) = 8 b) = 7 c) a b = c d) = e) + = = log 8 = log 7 b = log a c = log 6 = log e o ) log a ifadesi "logaritma a tabanında " şeklinde okunur. ) Bir fonksion ile tersinin grafiği = doğrusuna göre simetriktir. İnceleiniz. = ) Aşağıda verilen ifadeleri üslü biçimde azınız. a) log 7 = = 7 b) log = a a = c) log = c = a d) log a b = c c = a c = b = log a e) log = z z = 7

8 a = + = log a Hesaplaması II ) log 7 9 değerini hesaplaalım. ) log 7 9 = & 7 = 9 = 7 & = dir. ) log 7 = değerini hesaplaalım. ) log 7 = & ( ) = 7 & b l = & = & = 6 dır. ) log = değerini hesaplaalım. ) log = & b l = & = & = tir. ) Aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulunuz. a) log b) log 8 c) log d) log ` j e) log f) log g) log ` j h) log 7 i) log j) log 7 k) log 8 l) log ) Aşağıdaki denklemlerde değerlerini bulunuz. a) = b) = c) 7 = d) = e) + = f) = g) = i) ` j = j) h) + = 6 = m) log n) log 9 k) = l) + = o) log ` j ö) log, + m) ` j = n) c m = 8 CEVAPLAR a) b) c) d) e) CEVAPLAR a) log b) log c) log 7 d) log 6 e) log f) log f) g) h) i) j) 6 g) log e o h) log i) log k) 6 l) m) n) o) j) log e o k) log l) log e o ö) m) log 8 o o n) log e e e e o o 8

9 DENKLEM ÇÖZÜMLERİ YAKLAŞIM UYARI log a = b denklemi = a b log a ( + c) = b denklemi = a b c şeklinde çözülür. Denklem çözümlerinde bulunan değerleri logaritmanın içini pozitif apmalıdır. log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ( ) = & = & = 9 Çözüm Kümesi Ç = {9} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log = 6) log ( ) = {} {} ) log ( ) = 7) log + = {} {, } ) log ( + ) = 8) log( ) = {} {, } ) log ` j + = 9) log ( ) = {, } {} ) log ` j = {} ) log b + l = {, } 9

10 YAKLAŞIM İç içe logaritmaların bulunduğu denklem sorularında dıştan içe doğru logaritmalar tek tek çözülür. log [log ( ) + )] = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log [log ( ) + )] = & log ( ) + = & log ( ) = & = & = Ç = {} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log 8log( ) B = 6) log ` + log ( ) j = {} {8} ) log 8log ( + ) B = 7) log 8 log ( ) B =, {} {} ) log 8log( ) B = 8) log 8log( log) B = {} {6} ) log = log b l + G = 9) log 8log( log ) + B = {} {6} ) log ` log j = {} ) log 8log( log ) B = {}

11 YAKLAŞIM " = a & = "a" bilgisi logaritmik denklemlerin çözümlerinde kullanılabilir. ) log 8 ( + ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log 8 ( + ) = & ( + ) = 8 = 6 & + = 8 vea + = 8 = 6 = = ve = 6 saıları logaritmaı tanımlı aptığından her ikiside çözüm kümesine alınır. Ç = {, 6} dir. log ( ) = & ( ) = & = vea = = 6 = = logaritmanın tabanını negatif aptığından çözüm kümesine alınmaz. Ç = {6} dir. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log ( + ) 9 = 6) log, = {6} {, } ) log 8 = 7) log 6 = {} {, } ) log ( ) 6 = 8) log ( ) 6 = {} {7} ) log 9 = 9) log ( + ) ( + 8) = {, } {} ) log ( ) = ) log ( ) ( + 8) = {} {}

12 Test Üstel Fonksion, Artan Azalan Fonksionlar, Denklem Çözümleri 7. f() = c m a fonksionunun artan bir fonksion olması için a hangi gerçek saılar arasında olmalıdır? A) (, 7) B) (, 9) C) (, 9) D) (, 7) E) (, 9) 6. log log 7 + log + 6 = ise kaçtır? A) B) C) D) E) 9. f: R " R +, f() = c m fonksionu verilior. Bu fonksionda görüntüleri ten küçük olan saılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 7. log ( + log ) = denklemini sağlaan değeri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi anlıştır? I. = & = log II. log 7 = & = 7 III. log 9 = & = 8. log (log ) = denklemini sağlaan kaçtır? A) B) C) D) E) 9 IV. f() = &f () = log A) B) C) D) E). = eşitliğini sağlaan değeri kaçtır? A) log B) log C) log 6 9. log ( ) 6 = eşitliğini sağlaan saısı kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 9 D) log 6 E) log 6. log 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log : log `log jd = denklemini sağlaan kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 7 E B B C A 6 E 7 E 8 E 9 E E

13 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM ARALIĞI - I YAKLAŞIM YAKLAŞIM f() = log a fonksionunun grafiği incelendiğinde > olduğu görülür. = log a İki a da daha fazla logaritma fonksionlarının toplamı vea farkı şeklinde tanımlanan fonksionun tanım kümesi fonksionların tanım kümelerinin kesişimidir. f() = log ` j + fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. f() = log ( + 7) + log ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulalım. + 7 > ve > > 7 < olmalıdır. & > & > f fonksionunun tanım kümesi T.K. = (, ) aralığıdır. 7 Tanım kümelerinin kesişimi alındığında T.K. = ( 7, ) olur. Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım aralıklarını bulunuz. Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım aralıklarını bulunuz. ) f() = log ( ) + ) f() = log + log ( ) (, ) ) f() = log ` j (, ) ) f() = log` j + log ( + ) (, ) ) f() = log ` j + (, ) ) f() = log ` j log ( + ) (, ) (, ) ) f() = 8 + log (7 ) ) f() = log ( ) + log ` j (, 7) (, ) ) f() = log ( ) 8 ) f() = log ( 7) log ( ) (, ) (7, )

14 YAKLAŞIM Logaritma fonksionun içinde a da tabanında ikinci dereceden ifade varsa işaret tablosu apılarak pozitif olan aralıklar alınır. Tabanın olmaacağı bilgisi unutulmamalıdır. BİLGİ ) > ise a + b + c = denkleminin iki farklı reel kökü vardır. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki fonksionların tanım kümelerini bulunuz. ) f() = log ( ) (, ) (, ) a + b + c + a nın işaretinin anısı a nın işaretinin tersi a nın işaretinin anısı ) = ise a + b + c = denkleminin eşit iki reel kökü vardır. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. ) f() = log c 9 m ) f() = log ( + ) (, ) (, ) (, ) = + a + b + c a nın işaretinin anısı a nın işaretinin anısı ) f() = log (9 ) + log ( ) ) < ise a + b + c = denkleminin reel kökü oktur. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. + a + b + c a nın işaretinin anısı ) f() = log c m + log ( ) (, ) (, ) f() = log ( + ) fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. + = ( + 7)( ) azalım + 7 = ve = 6) f() = log ( + 9 ) 7) f() = log ( ) log ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) = 7 = li ifadelerin katsaılarının çarpımı + = olduğundan işareti ile işaret tablosuna başlanır ) f() = log ( + a) fonksionunun tanım kümesi tüm reel saılar ise a hangi aralıktadır? (, ) + > olacağından T.K. = ( 7, ) bulunur.

15 YAKLAŞIM Fonksionun tabanında li ifade var ise bu ifadenin den farklı ve pozitif olması gerekir. Fonksionun tanım kümesi eşitsizlik sisteminin çözümüle bulunur. f() = log ( ) ( + ) fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. >, ve + > olmalıdır. < ( 7) ( + ) > 7 ( 7)(+) + + < ve (, ), (7, ) sisteminin çözümünden (, ), (7,) bulunur. olduğundan fonksionunun en geniş tanım aralığı, T.K. = (, ), (7, ) {} olur. Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini bulunuz. ) f() = log ( ) (7 ) (, 7) {} + 6) f() = log c m (, ) ) f() = log ( ) ( 9) 7) f() = log ( ) ( ) (, ) (, ) {} ) f() = log ( ) ( + ) 8) f() = log ( ) (6 ) (, ) (, ) {, } (, ) {} ) f() = log ( ) ( + 6) 9) f() = log ( ) ( + + ) (, ) {6} (, ) (, 7) {, } ) f() = log ( ) ( + + ) (, ) {} 7 ) f() = log ( ) c m + (, 7) {}

16 Test. f() = log ( + ) + log (9 ) Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı 6. f() = log ( + ) + log ( ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, 9) C) (, 9) D) (, 9) E) (, 9) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) R B) (, ) C) R {} D) (, ) E) (, ). f() = log ( ) ( ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) 7. f() = log f p + 7 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) D) (, ) E) (, ) {} 8. f() = log ( ) (9 ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir?. f() = log (6 ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) {} B) (, ) C) (, ) D) (, ) {} E) (, ) {} A) (, ), (, 9) #, - B) (, 9) #, - C) (9, ) D) (, ) E) (, 9) +. f() = log e o 7 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, 7) B) (, 7) C) (, ) D) (, ), (7, ) E) (, 7) {} + 9. f() = log ( ) e o 8 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, 8) {} C) (, ) D) (, 8) E) (, 8) {}. f() = log ( + + 6) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) {} E) (, ). f() = log ( + + m ) fonksionunun tanım kümesi reel saılar ise m hangi aralıktadır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 6 C E D D C 6 E 7 A 8 A 9 B E

17 ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU TANIM f: R + " R, f() = log a fonksionunda taban a = ise bu logaritma fonksionuna onluk logaritma fonksionu (baağı logaritma a da Napier logaritma) denir. NOT Onluk logaritmada çoğu zaman taban azılmaz. log = log azılır. ) log değerini bulalım. ) log(log( ) ) = log = & = = = = dir. denkleminin çözüm kümesini bulalım. log(log( ) ) = & log( ) = & log( ) = & = = Ç = {} dir. ) Aşağıda verilen logaritmaların değerlerini hesaplaınız. ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) log a) log(log) = { } b) log c) log b) log(log ) = {} c) log(log( + )) = d) log, + log, {9} d) log(log ) = e) log` j e) log( log) = {} f) log c m f) log( + log) = {} {} 7

18 DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU TANIM f: R + " R, f() = log a fonksionunda taban a = e ise bu logaritma fonksionuna doğal logaritma fonksionu denir ve log e = In ile gösterilir. NOT e saısı Euler sabiti olarak bilinir ve aklaşık değeri e,,7 dir. ) Ine + Ine 7 toplamını bulalım. ) In(e + ) = Ine = log e e = & e = e & = Ine 7 = log e e 7 = & e = e 7 & = 7 değerleri bulunur. Ine + Ine 7 ise + 7 = 9 olur. denkleminin çözüm kümesini bulalım. In(e + ) = & log e (e + ) = e + = e = olur. Ç = {} dir. ) Aşağıda verilen logaritma değerlerini hesaplaınız. a) Ine + Ine ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) In( ) = {} b) In( + ) = b) Ine + Ine {e } 8 c) In( + e) = {} c) In e + Ine d) In(e + ) = {} e) In(In( )) = {e + } d) In(e ) + In^ eh 8 f) In(In( ) + e) = {} 8

19 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ) a R + {} olmak üzere a) log a = b) log a a = c) log a a = ) a R + {} b, c R + olmak üzere log a) a a b = b log a c log b = a b) b c ) a R + {} ve b, c R + olmak üzere a) log a (b c) = log a b + log a c b) log ac b m = loga b log c a c ) Taban değiştirme a, c R + {}, b R + olmak üzere logc b log a b = şeklinde azılabilir. log a c ) a R + {}, b R + ve m, n R {} olmak üzere a) log a b m = m log a b m b) log n m a b = log n a b 6) Taban değiştirme özelliğinden fadalanılarak aşağıdaki sonuçlar da çıkarılabilir. a) log a b = log b a + log a b log b a = b) log a b log b c log c d log d n = log a n a) log a = b) log a a = c) log a a = ) Iog + Iog toplamının sonucunu bulalım. Iog = ve log = dir. log + log = + = dir. ) Iog 6 + Iog 8 toplamının sonucunu bulalım. Aşağıda verilen logaritma değerlerini hesaplaınız. ) log ) Iog 7 7 ) Iog Iog 6 + Iog 8 = log 6 + Iog = 6.log +..log = 6 + = 7 bulunur. ) Iog + log 7 ) Iog 6. log 9 8 6) Iog 7. log 6. log 9

20 YAKLAŞIM ) log a (b c) = log a b + log a c ) log a ( c b ) = loga b log a c Çarpım ve bölümün logaritma kuralları ardımıla toplam ve fark şeklinde verilen logaritmalar bir tek logaritma içinde azılabilir. log + log + log log log ifadesinin değerini hesaplaalım. Önce verilen ifadei tek logaritma altında toplaalım. log + log + log log log log + log + log ( log + log ) log ( $ $ ) log( $ ) log f p = log = dır. ) log a b + log a c log a d 6) a, b, c R + olmak üzere, ab = c ise ifadelerini tek logaritma içinde azınız. log ebc o a d log a + log b log c ifadesinin eşitini bulunuz. ) log log z log ifadelerini tek logaritma içinde azınız. log f p z. 7) a = 7 ve b = 7 8 olduğuna göre a + b kaçtır? ) log + log = log eşitliğini sağlaan değerini bulunuz. ) log 7 log c m + log = log koşulunu sağlaan saısı kaçtır? + 8) f() = log c m için + f() + f() + f() f(6) toplamının sonucunu bulunuz. 9 ) log log 6 log 6 işleminin sonucu kaçtır? 9) f() = log (cos) olduğuna göre f( ) + f(6 ) işleminin sonucunu bulunuz.

21 YAKLAŞIM Tek logaritma içinde azılmış bir ifade çarpım ve bölümün kuralları ardımıla parçalanabilir. log e o ifadesini açarak azalım. log f p = log z + log + log log z z = + log + log log z. Aşağıda tek logaritma içinde verilen ifadeleri toplam ve fark şeklinde azınız. f) log e o z a) log a $ ca b m c + log log z +log a b log a c b) log e o z log + log log z g) log e o z + log log z c). a log c m b + log a log b ) log c a $ b m 7 ise a kaçtır? 9 log 7 a log 7 b d) log ` 8 $ j + log log ) log = + log a ise a kaçtır? e) log a 7 e a o 9 b ) log ` $ j = a log ise a kaçtır? log a + b a 6

22 m a n = ) log a b m = m log a b ) log b m n log b a YAKLAŞIM m log n m b a = logab özelliği ve logaritmanın diğer özellikleri kullanılarak hesaplamalar apılabilir. n ) log 9 + log işleminin sonucunu bulalım. ) log = a olduğuna göre log + 7 log ifadesinin a cinsinden değerini bulalım. log 9 = log / = log = tür. log log log = = = tür. log 9 + log = + = bulunur. log + 7 log = log + 7log log 7. + log = log + log a + a = a bulunur.. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a) log 9 7 b) log / ) log = log log ` j eşitliğini sağlaan 8 değeri kaçtır? 6 ) log c) log 8 $ log c m 8 işleminin sonucu kaçtır? d) log ` j + log 9 e) log a log a a a 7 8 6) log7, işleminin sonucu kaçtır? 7) log = a ise log 9 ) log 7 = a ise log 9 + log 7 ifadesinin a cinsinden değeri nedir? ifadesinin a cinsinden değeri nedir? a 6 ) log = log ise kaçtır? 7 7 a 8 8) log = z ise log ifadesinin z cinsinden değeri nedir? 6z

23 ) a log a b = b ) b log a c = c log a b YAKLAŞIM a log a b = b ve a log b c = c log b a özellikleri ve diğer logaritma bilgileri kullanarak hesaplamalar apılabilir. log ) 9 işleminin sonucunu bulalım.. log log log ( ) 9 = = = ( ) = tir. ) log log işleminin sonucunu bulalım.. log = log olduğundan log log = olur. + ) log işleminin sonucunu bulalım.. log + log log (. ) = log = = = bulunur. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. ) log 8) ` r sin j 6 log /9 ) log + log 9) c m log log ` j ) 7 log 7 log + log 6 ) ) 7 log ) e + In 8 e ) log ) a log b c c log b a 6) + log ) + log = ise kaçtır? 6 7) c In 6 m e ) 9 log 7 ( + ) = ise kaçtır? /

24 Test Onluk ve Doğal Logaritma, Logaritma Fonksionunun Özellikleri. log log 7 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) log r 7. bsin l $ 6 log işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log + log = eşitliğini sağlaan değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7 8. log a =,7, log a =,7 olduğuna göre log a 6 kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) In. e + log işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 9. a = ve b = 8 olduğuna göre, a b çarpımının sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8. log(cot ) + log(cot ) log(cot89 ) işlemini sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log (log ( + log )) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). loga + logb = logc ise ab + c ifadesinin değeri kaçtır? c + ab A) B) C) D) E). f() = logb + l olduğuna göre f() + f() + f() f(99) toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 6. log + log log b l = n ise n kaçtır?. + log işleminin sonucu kaçtır? A) 98 B) 99 C) D) E) A) B) C) D) E) A C C C D 6 C 7 C 8 E 9 B D C -E

25 TABAN DEĞİŞTİRME YAKLAŞIM = log c b taban değiştirme kuralları ardımıla hesaplamalar ve logaritmik denklemler çözü- Ina logab = logb a vea Inb log ac lebilir. ) In işleminin sonucunu bulalım. In. In loge = = log In log = olur. e In8 ) log ( ) = eşitliğini sağlaan kaçtır? In. log ( ) = log 8 = & = & = 6 dır. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz. ) ) ) In7 In ln In log log log ) log ) 6) 7) 8) log log log log 9 7, log log log log 7, In 9) In ) 8 In $ In In In log7 In $ $ log In 7 In + In $ In In /6 / Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. log8 ) log ( + ) = log In In ) log ( ) = $ In In ) log ( + ) = ) log In In ) = log 9 = log + log log 6) log ( log ) = 7) In9 log (log + ) = In 8) log ( ) log6 = c m log 7 8 /9 log log 6 7

26 YAKLAŞIM tabanında verilen bir logaritmanın değeri üslü saılar ve logaritma kuralları ardımıla açılan ifadede erine azılır. ) log = ise log saısının cinsinden değerini bulalım. ) log = a, log = b olduğuna göre log ifadesinin eşitini a ve b türünden bulalım. log deki 'nin erine azalım. log = loge o = log log = bulunur. log() = log(.9) azalım. log(.9) = log + log = loge o +log = log log + log = b + a bulunur. ) log = m ise log in m cinsinden değeri nedir? m 6) log = a, log = b ise log in a ve b cinsinden eşiti nedir? a + b ) log = ise log'nin cinsinden değeri nedir? 7) log =, log = ise log in ve cinsinden değeri nedir? + ) log = a, log = b ise log ifadesinin eşiti nedir? a + b 8) log = a, log = b ise log saısının a ve b cinsinden değeri nedir? +b a ) log7 =, log = ise log98 in ve cinsinden eşiti nedir? + 9) log =, log c m = ise log saısının ve cinsinden eşiti nedir? ) log =, log = ise log(,) saısının ve cinsinden değeri nedir? ) log( 6 ) = ve log( ) = ise log ` j saısının ve cinsinden eşiti nedir? + 6

27 YAKLAŞIM Farklı tabanlarda verilen eşitliklerde ortak olan saı bulunur. Logaritması verilen saı bu tabana dönüştürülür. ) log = a, log = b olmak üzere log ifadesinin eşitini bulalm. log = a eşitliklerinde saısı ortaktır. log = b O halde log ifadesi tabanında azılarak çözüme başlanmalıdır. log log( $ ) log = = log log ( $ ) log + log + a b + = = ab olur. log + log a + ab + b log log ) a, b log = log = olmak üzere log ifadesinin eşitini bulalım. log _ log = log = a log b İfadelerde saısı ortak olduğundan ` log log = log = b log b = log ifadesi tabanında log a azılır. log log( $ ) log = = log log ( $ ) log + log + a b + = = ab olur. log log = b + $ + + b ) log = a, log = b ise log saısının a ve b cinsinden eşiti nedir? + ab ab + a ) In In, In In In ifadesinin In ve cinsinden eşiti nedir? + + ) log = b, log = a ise log 6 ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir? b a + a + b 6) log a b =, log b c = ise log a c nin ve cinsinden eşiti nedir? ) =, = ise log saısının ve cinsinden eşiti nedir? ( + ) + 7) loga logb = ve ab = ise b kaçtır? 9 ) log a =, log b = ise log a b ifadesinin değeri kaçtır? 8) log = a, log = b ise log 6 in a ve b cinsinden değeri nedir? a + b + a 7

28 YAKLAŞIM Tabanında ve içinde değişken bulunan ifadelerde tabanın tek bir değişkenden oluşması sağlanır. Logaritma ardımı ile bulunan değer sorunun çözümünde kullanılır. log = + m bulalım. ise log ifadesinin eşitini log = & log + m = m + dir. (Taban tek değişken olmalı) log = log + log = m + + log = m + log = m bulunur. log = log + log = log + log = + m olur. ) log = m ise log nin m cinsinden eşiti nedir? m ) log abc a =, log ab a = ise log a c nin ve cinsinden eşiti nedir? ) log ab a = c ise log a a b ifadesinin c cinsinden eşiti nedir? c+ 6) log = a +, log z = b + ise log (z) ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir? a + b ) log a b = ise log a b ab ifadesinin cinsinden eşiti nedir? + + 7) log mn n = k ise logm n ifadesinin k cinsinden eşiti nedir? k - ) log ab b = + ise log b a ifadesinin cinsinden değeri nedir? + 8) z = ise log ifadesinin z cinsinden eşiti nedir? 6z 8

29 YAKLAŞIM Logaritmanın tabanı ve içindeki saı asal çarpanlarına arılır. log a nb m = n m loga b özelliği kullanılarak çözüme devam edilir. ) log saısının tabanındaki eşitini bulalım. ) log 8 = a olduğuna göre, log 'ün a cinsinden değerini bulalım. log = log şeklinde azılır ve tabanına çevrilirse log log log log = = = = log log( $ ) log + log + log ifadesi elde edilir. log 8 saısı tabanına çevirelim. log8 log( $ ) log + log = = = a log log ( $ ) log + log log = t olsun. + t & = a & + t = a + at + t & t at = a & t( a) = a a & t = a a & log = a olur. ) log saısının tabanındaki eşitini bulunuz. + log ) + log saısını tabanında azınız. log ) log saısının tabanındaki eşitini bulunuz. log 6) log, = ise log ifadesinin cinsinden değeri nedir? ) log 6 = ise log saısının cinsinden eşiti nedir? 7) log 7 8 = a ise log nin a cinsinden eşiti nedir? a ) log =, log 9 7 = ise log log 7 ifadesinin ve cinsinden eşiti nedir? 8) log = m ise log c m saısının m cinsinden eşiti nedir? m 9

30 log a b = log b a YAKLAŞIM = logab özelliği kullanılarak tabanları anı logaritmalar elde edilir. Logaritma özellikleri ardımıla hesaplamalar logb a apılabilir. ) + + log 7 log 7 log 7 7 işleminin sonucunu bulalım.. log 7 + log log 7 & log 7 ( 7 ) & log 7 7 = dir. ) + + log + log işleminin sonucunu bulalım.. log = t dönüşümü apalım. Bu durumda log = olur. t & t t ( t) + + t + + t + + t = + + = = = bulunur. + t + t t. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a) + log log 7 g) log log log 6 b) + + log log log h) + + log log log b) + + log7 + log7 ) log + log 6 = log log 6 eşitliğini sağlaan değerlerinin çarpımı kaçtır? 8 d) + log log 6 ) + = ise log b log a a b a ve b arasındaki ilişkileri bulunuz. a=b vea a = b log e) log 8 $ ) log (ab) b = c ise logb a nın c cinsinden eşiti nedir? c f) + + log ( abc) log ( abc) log ( abc) a c b ) log + + log = log + log eşitliğini sağlaan kaçtır?

31 log a b log b c log c d log d e = log a e YAKLAŞIM Soruda verilen ifadeler tabanında azılır. Logaritmaların tabanındaki ve içindeki saılar üslü şekilde azılır ve log a nb m m = loga b özelliği kullanılır. Gerekli n sadeleştirmeler apılarak işlemlerin sonucu bulunur. ) log $ log $ log 8 7 ) log $ log $ log 9 ) log (log ) + log (log ) I. Yol: log 8 $ log $ log 7 6 işleminin sonucunu bulalım. İfadeleri tabanına çevirelim ( tabanı azılmaacaktır) log 8 log log 7 $ $ log log 6 log log log log 7 $ $ = 6 $ $ = log log log II. Yol: Özellik kullanıldığında log 8 $ log $ log 7 = 6 log $ log $ log = = 6 $ $.log = $ $ log $ log $ log 7 olur. 6) (log log ) log 7 7) : log ` 7j + log ` + 7jD $ log 8 8) log 7 $ log 7 $ log 9 9) log a b $ log b c $ log a c m ) log 9 $ log $ log c 6 8 Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. ) log log log 6 6 a b c d ) log b $ log c $ log d $ log a ) log ` r sin j + log ` r cos j = log9 $ log ) log 7 $ log $ log $ log 7 ise kaçtır?

32 Test Taban Değiştirme ve Cinsinden Yazma. log = ise log ifadesinin cinsinden eşiti nedir? A) B) C) + D) E) + log log 6. m, n log = log = ise log ifadesinin m ve n log cinsinden eşiti nedir? A) mn + n + mn B) mn + mn m + n C) m n mn D) m + n E) mn m + + n. log = a ise log 9 ifadesinin a cin- sinden eşiti nedir? A) a 8 B) a C) a 7. log = a ise log 8 ün a cinsinden değeri nedir? D) a 9 E) a A) a B) a + C) a D) a E) a. log = m, log = n ise log (, 8) ifadesinin m ve n cinsinden değeri nedir? A) m + n B) m + n C) m + n D) m + n + E) n + m 8. a c = b, a b = c ise log a b + log a c ifadesinin b ve c cinsinden eşiti nedir? A) b B) c C) bc D) b + c E) b c. log = m, log = n ise log 8 saısının m ve n cinsinden değeri nedir? + m A) m + n mn D) m + n mn B) m + n C) mn mn + n E) mn + log log e 9. 8 e $ e işleminin sonucu kaçtır? A) e B) e C) e D) e E) e +. log = z ise log ifadesinin eşiti nedir? A) + z D) + 6z B) + z C) E) 6z + + 9z In In. a, b In = In = ise In ifadesinin a ve b cinsin- In 6 den eşiti nedir? A) a b + D) a + ab a + B) a ab + a + ab E) a + b C) ab b + E A E E C 6 A 7 C 8 D 9 D D

33 BİR SAYININ LOGARİTMASININ TAM VE ONDALIK KISMI ÖZET Hesap makinesi, bilgisaar a da logaritma tablosu ar- k Z, < m < olmak üzere dımıla aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulalım. log = k + m saısında k saısına tam kısım (elle log,, hesaplanabilir) m saısına ondalık kısım (makine ile log = hesaplanır) denir. log =,... Hesap makinesi, bilgisaar a da logaritma tablosu ar- log = dımıla aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulalım. log999 =,... log, = log = log, =,... log9999 =,... log, = Görüldüğü gibi bir saının logaritması iki kısımdan log, =,... oluşmaktadır. log, = ETKİNLİK log ETKİNLİK , log,9, Yukarıdaki tabloda boş bırakılan kutulara logaritma Yukarıdaki tabloda boş bırakılan kutulara logaritma değerlerini hesap makinesi ile hesaplaıp azınız. değerlerini hesap makinesi ile hesaplaıp azınız. Yukarıdaki tabloda bulunan 6 saısının onluk Yukarıdaki tabloda bulunan,9 saısının onluk logaritmasının tam kısmını birlikte hesaplaalım. logaritmasının tam kısmını birlikte hesaplaalım. Önce 6 saısı un iki kuvveti arasında azalım. Önce,9 saısını un iki negatif kuvveti arasında azalım. & < 6 < & <,9 < Şimdi saıların logaritmasını alalım. Şimdi saıların logaritmasını alalım. log log < log,9 < log < log6 < log < log 6 < < log,9 <,...,... log6 =,... şeklinde ( ile tam saıları arasında) azılır. O halde log,9 =,... şeklinde ( ve tam saılar arasında) O halde log6 saısının tam kısmı dir. azılır. log,9 saısının tam kısmı dir. Aşağıdaki saıların logaritma değerlerinin tam kısımlarını bulunuz. ) ) 7,7 ) 6 ),7

34 ARADA OLMA VE BASAMAK SAYISI ÖZET TABLO I Saı un iki kuvveti arasına sıkıştırma ( n < < n+ ) log alınmış şekli (n < log < n + ) log in değeri (log = n,...) in basamak saısı (n + ) < < < log < log =, TABLO II Saı un iki kuvveti arasına sıkıştırma ( n < < n+ ) log alınmış şekli (n < log < n + ) log in değeri (log = n,...) in virgülden önceki ve sonraki ardışık sıfır saısı,,,6 <,6 < < log(, 6) < log(,6) =,...,,8 İKİ TAM SAYI ARASINDA OLMA SONUÇLAR: ) saısı un tam kuvvetine eşit ise log bir tam saıdır. ) saısı un tam kuvvetine eşit değilse ve a) > ise log, in basamak saısının bir eksiği ile bu saının ardışığı olan iki doğal saı arasında olur. b) < < ise log, in ondalık azılımında virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların saısının negatifi ile bu saının ardışığı olan iki tam saı arasında olur. BASAMAK SAYISI SONUÇLAR: ) n N olmak üzere log = n,... ise saısı (n + ) basamaklıdır. (Birden büük bir saının basamak saısı logaritmasının tam kısmının bir fazlasıdır.) ) m Z olmak üzere log = m,... ise in ondalık azımında virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların saısı m + dir.

35 BASAMAK SAYISI YAKLAŞIM Önce saının tam kısmı hesaplanır. Basamak saısı bulunurken saının onluk logaritmasının tam kısmının bir fazlası alınır. ) log,, log,,77 olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? ) log,, olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? A = olsun ve A saısının logaritmasını alalım. loga = log = log( ) = (log + log) = (, +,77) = 69, olduğundan A = saısı 69 + = 7 basamaklıdır. A = olsun. Şimdi A saısının logaritmasını alalım. loga = log = log 8 = 8log = 8(log ) = 8(log log) = 8(,) =,9 olduğundan A = saısı + = 6 basamaklıdır. ) log,, ise saısı kaç basamaklıdır? 6) log,,, log,,77 ise 8 saısı kaç basamaklıdır? 6 ) log,,77 ise 9 saısı kaç basamaklıdır? 7) log,,, log,,77 ise 6 saısı kaç basamaklıdır? 78 ) log,,, log,,77 ise saısı kaç basamaklıdır? 8) log7 =, ise saısı kaç basamaklıdır? 6 ) log,,, log7,,8 ise 7 saısı kaç basamaklıdır? 9) log,,77, log7,,8 ve log,, ise 8 saısı kaç basamaklıdır? 9 ) log,,86 ise saısı kaç basamaklıdır? ) log =,8 ise 7 saısı kaç basamaklıdır?

36 ONLUK LOGARİTMA HESAPLARI YAKLAŞIM Logaritma içindeki ifadeler üslü saı olarak azılır ve logaritma özellikleri kullanılarak arılır. Saısal değerler erlerine azılarak hesaplama apılır. ) log,,77 olduğuna göre, a) log7 b) log c) log(,) saılarının aklaşık değerlerini hesaplaalım. a. log7 = log = log = (,77) =, b. log = log(. ) = log + log =,77 + ) log,, ve log,,77 olduğuna göre, log7 saısının aklaşık değerlerini hesaplaalım. ) log = 6,7 olduğuna göre, =,77 c. log(,) = log( ) = log + log =,77 log7 = log( ) = log + log = (,) + (,77) =,9 +,9 =,87 bulunur. =,9 log ifadesinin değerini hesaplaalım. log = log = log = ( 6,7) = ( 6,7) = +,9 =,9 bulunur. ) log,, log,,77 olduğuna göre, aşağıda verilen saıların değerlerini hesaplaınız. a) log b) log,699,8 c) log9 d) log,8,7 e) log f) log(,),,99 h) log(,) g) log c m,77, i) log ) loga =, logb =,7 j) logc m,,6 logc =, a b olduğuna göre, loge $ o ifadesinin değeri kaçtır? c 8,66 ) loga =,, logb =,8 olduğuna göre, logcb m ifadesinin değeri kaçtır? a ) loga =,8 ise log a ifadesinin değerini hesaplaınız.,9 b log e o = log b log a a = log b log a = (,8) (,) =, 788 bulunur. ) log =,6 ise logc m ifadesinin değerini hesaplaınız? 6,8 6

37 LOGARİTMADA SIRALAMA YAKLAŞIM Logaritması verilen saılar tek tek ardışık iki tam saı arasında azılır. Daha sonra saılar arasında sıralama apılır. ) log = olduğuna göre, in hangi ardışık iki tam saı arasında olduğunu bulalım. log = & = = 6 ) Aşağıdaki denklemleri sağlaan saılarının hangi ardışık iki tam saı arasında olduğunu bulunuz. a) log = b) log + = < < < < = 6 & < = 6 < azılır. & < < bulunur. ) a = log b = log 7 c = log olduğuna göre, a, b ve c saılarını sıralaalım. ) Aşağıda verilen saıları sıralaınız. a) = log 7 = log 6 z = log 7 b) a = log b = log c c = log c m m log 9 < log < log 7 & < a < log < log 7 < log & < b < log 8 < log < log 6 & < c < O halde sıralama c > a > b şeklindedir. c) a = log b = log 7 c = log 8 z > > d) a = log b = log 7 c = log c > a > b c < b < a c < a < b ) = log ` j = log 9 ` j z = log olduğuna göre,, ve z saılarını sıralaalım. ) log < log < log z olduğuna göre,, z saılarını sıralaınız. = log b l = log = log > > z = log 9 e o = log 9 = log 9 z = log = log log, log 9 ve log saılarını sıraladıktan sonra ile çarparak eşitsizliklerin önlerini çevirelim. log 8 < log < log 6 & < log < & < log < log < log 9 < log 6 & < log 9 < & < log 9 < log < log < log & < log < & < log < O halde sıralama c > b > a şeklindedir. ) a = log b = log 8 c = log 8 olduğuna göre, a, b, c saılarını sıralaınız. c > b > a 7

38 Test İki Tam saı Arasında Olma Basamak Saısı ve Sıralama. log 78 = ise aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) < < B) < < C) < < D) < < E) < < 6 6. log < log < log z olduğuna göre,, ve z saıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) < < z B) < z < C) z < < D) z < < E) < < z. log,7 = ise aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) < < B) < < C) < < D) < < E) < < 7. a = log 9 8, b = log ve c = log 7 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b. loga =,... ise A saısı kaç basamaklıdır? A) B) C) D) E) 8. log,, ve log,,77 olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? A) B) C) D) E). log = olduğuna göre, in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 < < 8 B) < < 6 C) < < D) 6 < < 7 E) < < 9. log =,6 ise saısı kaç basamaklıdır? A) 6 B) C) D) E). = log ( ), = log ( ), z = log ( ) olduğuna 9 göre,, ve z saıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) < < z B) < z < C) < < z D) < z < E) z < <. = log 9, = log 6 9 ve log 8 9 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) < < z B) z < < C) z < < D) < z < E) < < z 8 B A C D A 6 C 7 A 8 C 9 E C

39 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ YAKLAŞIM Üstel a da logaritma fonksionunun tersi bulunurken önce ve değişkenlerinin erleri değiştirilir. Daha sonra gerekli cebirsel işlemler apılarak alnız bırakılır ve fonksionun tersi bulunur. ) f( ) = fonksionun tersi olan fonksionu bulalım. ) f( ) In = c m + fonksionunun tersini bulalım. = & = + = & log( + ) = log ( + ) = & = log ( + ) + & = log( + ) + olur. O halde f ( ) = log( + ) + tir. In In = e o + & = e o + In In = e o & = e o = e & = $ e + olur. O halde f ( ) =. e + dir. Aşağıdaki fonksionların tersleri olan fonksionları bulunuz. ) f() = 7 6) f() = log` j f () = log 7 f () =. + ) f() = 7) f() = log( ) + f () = b + l f () = log 8) f() = In() + e ) f() = + f () = log b l e f () = ( e ) ) f( ) = + e f () = ln 9) f() = In c m + f () = $ e + ) f() = log f () = + ) f() = log f () = 9

40 YAKLAŞIM BİLGİ = f() + = f () bilgisini kullanarak fonksionun f f () = tersini bulmadan işlem apabiliriz. = f() = f() ise = f () dir. f A B + mj olmak üzere f ( ) = ise m değerini bulalım. f() = log ` ) ) f () = e + f ( ) = & f () = dir. f + m l = & log b +m l= & log b + m l = & log b + m = & 9 & m = bulunur. + e +7 = 8 + e = = e + 7 olmak üzere f (8) kaçtır? (8) = ise f() = 8 dir. + = = tür. ) f() = log( + m) ve f () = ise m kaçtır? ) f() = + mj log ` ve f () = ise m kaçtır? ) 6) f() = log( + ) ise f () kaçtır? f() = em + In + n ve f (e + ) = e ise m n çarpımının sonucu kaçtır? ) f() = m + log ve f (6) = 7 ise m kaçtır? ) f() = e + In(m) ve f (e) = e ise m kaçtır? 7) 8) 9 f() = loga + ve f ` j = ise a kaçtır? r f() = log `cos j + m için f (7) = ise m kaçtır? 8

41 YAKLAŞIM ve 'nin erlerini değiştirip, i alnız bırakmak suretile tersi alınamaan sorularda ikinci derece denklem çözümlerinden fadalanılır. ) f() = e e fonksionunun tersini bulalım. ) f() = ln( + + ) fonksionunun tersini bulalım. e e e e = & = dir. e = t değişken değiştirmesi apalım. e = t & e = t olur. t & = t & = t t & t = t & t t = b " T & t, = a " $ ( ) = = In( + + ) & = In( + + ) dir. & e = + + & e = + Her iki tarafın karesini alalım. & (e ) = ( + ) & e e + = + & e = e & = f e e e () = = olarak bulunur. e e = " + = " + olur. R için e > olacağından e = + + olacaktır. Ine = In( + + ) olarak bulunur. Buradan = ln( + + ) olur. Aşağıdaki fonksionların terslerini bulunuz. ) f() = f () = log b + + l ) f() = f () = log b + + l ) f() = In` + + j f e () = e ) f() = log ( + f () = +

42 . f() = log + ise f () hangisidir? A) f () = B) f () = C) f () = D) f () = E) f () = Test 6 Logaritma Fonksionunun Tersi 6. f() = + fonksionu için, f (6) + f (8) kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f() = + ise f () hangisidir? A) f () = log ( + ) B) f () = log ( + ) C) f () = log () D) f () = log ( ) E) f () = log () 7. f() = ise f () aşağıdakilerden hangisidir? A) f () = log ( + ) B) f () = log ( ) C) f () = log D) f () = log E) f () = log ( ). f() = log ise f () hangisidir? A) f () = + B) f () = + C) f () = + D) f () = + E) f () = + 8. f() = log ( + ) + m ve f () = 6 ise m kaçtır? A) B) C) D) E). f() = In( ) + ise f () hangisidir? A) f () = e + C) f () = e B) f () = e D) f () = e 9. f() = + log ( + p) ve f () = ise p kaçtır? E) f () = e + A) B) C) D) E). f() = + e 7 ise f () hangisidir? A) f () = In(7 + ) B) f () = In(7 + ) C) f 7 () = In + d n D) f () = In(7 ) E) f () = Ind 7 n. f() = + 9 fonksionu için, f (7) kaçtır? A) B) C) D) E) C B C A C 6 D 7 D 8 B 9 A D

43 LOGARİTMA VE BİLEŞKE FONKSİYON YAKLAŞIM Bileşke fonksion bilgisi logaritmik fonksionlarda ugulanabilir. (fog)() = f(g()) dir. ) f() = sin + cos g() = log olduğuna göre (gof) ` r j değerini bulalım. ) g() = log ( + m) f() = In` j + fonksionları verilior. (gof )() = ise m kaçtır? (gof) b r l = g e r fb lo fb r l = r sin + r cos = + = dir. g ( ) = log = log / = log bulunur. = f() = In b l + & f () = e dir. (gof )() = g(f ()) = g() & log ( + m) = & m = 6 bulunur. ) f() = log ( + ) ve g() = log + ise (gof )() değerini bulunuz. ) f() = + ve g() = log ise (gof )() değerini bulunuz. 9 ) f() = log ve g() = log ( + ) ise (fog)() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. {8} ) f() =, g () = log ( + m) ve (gof)() = ise m kaçtır? 6 ) f() = log ve g() = log ( + ) ise (fog)() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6) f() = In(sin) In(cos), g() = log (n ) ve (g of) ( r ) = ise n kaçtır? 6 &,

44 DENKLEM ÇÖZÜMLERİ YAKLAŞIM Tabanları eşitlenen denklemler üslü saıların kuralları ardımıla kolaca çözülebilir. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) 8 + = ) BİLGİ ) + = {} ) a R {,, } olmak üzere a = a ise = dir. ) (a m ) n = a mn ) a m + n = a m a n ) 7 + = ` j 9 ) = 6 {/} {,} ) a m = a m ) = 6 {} ) 9 = olduğuna göre, 'in değerini bulalım. 9 = & ( ) = & 6 = 7 & 6 = & = bulunur. 6 6) (,) = 6 7) e = e + 8) e In( + ) = log 6 {} {,} {} ) e = e + 9) ` j = ` j {, } denkleminin çözüm kümesini bulalım. log = ) ^, h e = e + & = + & = & ( 7)( + ) = & = 7, = O halde Ç = {, 7} dir. ) log log = ) ( + ) = { } {9} {,,,}

45 YAKLAŞIM Üslü ifadelerde değişken değiştirerek denklemin çözümü kolalaştırılabilir. ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) = denkleminin kökler çarpımını bulalım = & ( ) + = & ( ) + = = t değişken değiştirmesi apıldığında t + t = (t + )(t ) = t = vea t = olur. değerlerini bulmak için t değerleri = t de erine azılır. & = vea = bulunamaz = log bulunur. O halde Ç = {log } dir = & ( ) + = + = & ( ) ( ) = Bir kez daha ortak parantezine alınır ve ( )( ) = bulunur. = vea = = log = log Kökler çarpımı ise log log = log dir. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) = 6) e e + = {log } {} ) = {log } 7) = {log } ) e e = {ln} 8) In + In 6 = {e, } ) + + = {,log } 9) e In( ) log = {} ) = {log } ) log = log ( log ) ) log

46 YAKLAŞIM log a nb m = n m loga b özelliğini kullanarak ortak logaritmaa dönüştürülebilen denklemlerde, ifadeler toplanabilir ve elde edilen basit denklem çözülebilir. 7 ) log + log + log 8 = denklemini sağlaan değerini bulalım. ) log ^log + log h = denklemini sağlaan değerini bulalım. log + log + log = 7 7 log + log + log = e + + o 7 log = 7 7 log = & log = 6 & = bulunur. log (log + log ) = log + log = log + log = / log log = log = log = = = 7 bulunur. Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. ) log + log + log = ) log [ + log + log 9] = {6} ) log + log + log = 6 6) log + = log ) log + log + log = 9 8 7) log + log 9 + log 8 = 7 ) log `log + log j = 7 8) log + + log = log 6

47 YAKLAŞIM Toplam ve fark durumunda verilen logaritmalar çarpım ve bölüm şeklinde birleştirilir. ) log ( + ) + log = log denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ( + ) + log = log log [( + ) ] = log ( + ) = + = ( + )( ) = =, = bulunur. = değeri logaritmanın içini negatif aptığından alınmaz. ) log 9 ( + 7) log 9 ( 7) = log denkleminin çözüm kümesini bulalım. log 9 ( + 7) log 9 ( 7) = log + log 9 e 7 o = = = + 7 = 7 = bulunur. Ç = {} dir. O halde Ç = {} dir. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log + log ( + ) = log 6 {} 6) log (In) + log (In + ) = & e, e ) log + log ( ) = log 7) log 7 ( ) + log ( + ) = ^ h {} {} 8) In( ) + In( + ) = In8 ) log + log( + ) = log {} {} 9) log ( ) + log ( + ) = log ) log( + ) log() = log {} {} ) log ( + sin) + log ( sin) + log (tan) = ) log ( ) + log = log 7 olduğuna göre, sin kaçtır? 7

48 YAKLAŞIM Logaritmik denklemde ortak olan ifadee t dönüşümü ugulanarak denklem birleştirilir ve çarpanlara arılarak çözüm kümesine ulaşılabilir. ) (log ) + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) > olmak üzere log + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log = t değişken değiştirmesi apalım. t + t = & (t )(t + ) = & t = vea t = log = t de t değerlerini erine azalım. t = & log = & = = = t = & log = & = = bulunur. Denklemin çözüm kümesi Ç = &, log = t değişken değiştirmesi apalım. log = t & log = t olur. & t + t = (t + )(t ) = t = vea t = bulunur. log = log = & log = & = = 8 dir. olamaz Denklemin çözüm kümesi Ç = {8} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) (log ) log = {,6} 6) log 6 + log = {, 6} ) log log + = 7) (In) In = {, } 7 ), e e ) log + log = {} 8) log( + ) = ( log) {} ) log log = {, } 9) log log = {} ) (log ) = log { 9,} ) log log + = {,,, } 8

49 YAKLAŞIM a log c log a b b = c özelliği ugulanarak eşitliğin her iki tarafının tabanları eşitlenir. log + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. Eşitliğin bir tarafında verilen saısının bir çarpanı olduğundan ifadelerin tabanını apalım. Bu durumda log = log azılır. log log + = log log. = & = = & log = & = & = " bulunur. Logaritmanın tabanı negatif olamaacağından denklemin çözüm kümesi Ç = $. olur. Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. ) 7( log )+ log = 6) log + log = 6 ) log + log = 8 7) log + log = 9 ) log + log = 8) e log + log e = e ) log + log = 8 9) ln + ln = e ) 7 log + log 7 = ) log + log = 9

50 YAKLAŞIM log f( ) a = g( ) şeklindeki denklemleri çözmek için önce eşitliğin her iki tarafının a tabanına göre logaritması alınır. Elde edilen denklemde ortak olan ifadee t değişken değiştirmesi apılır. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log =, ) ln = e. ) ), e e log. = 8 denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ) 7 = ), 7 Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanına göre logaritmalarını alalım. log log = 8 & log ` j = log `8 j & log. log = log 8 + log & `log j = + log log = t değişken değiştirmesi apalım. t = + t t t = (t )(t + ) = t = vea t = log = log = = 8 = O halde Ç = {, 8} bulunur. log log6 = ) log ) log log = + log 6) = 8 ), ), ), log log7. = denklemini sağlaan değerini bulalım. 7) ln( ln ) = ) e, e Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanına göre logaritmalarını alalım. log log7 log( ) = log( ) log.log = log7.log 8) log = 8 ), 8 log7.log log = log log.log log = log log = log = log 9) log = log7 log7. log & log = bulunur. log ) 8 7 = ), 8

51 YAKLAŞIM Logaritmik denklemde farklı tabanlar var ise taban değiştirme vea logaritma kuralları ugulanarak tabanlar anı apılır. Daha sonra dönüşüm ugulanabilir.. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. log log 9 log6 = log {, }. log.log 6 = kaçtır? ln 6 denklemini sağlaan ln Denklemin sol tarafında verilen logaritmaların tabanlarını anı apalım. log6 = log = log olur. Denklemin sağ tarafında verilen ln 6 loge6 = ifadesi log ln log 6 saısının e tabanında azılmış e şeklidir. Bu durumda, log $ log = log6 `log j = & `log j = 6 & log = vea log = & = = 6 = = 6 Denklemin çözüm kümesi Ç = ), 6 6 ln 8 b. ^logh. log = ln c. log $ log + log = 8 ), ) 9, 9. log + 6 log = denklemininin kökler 8 çarpımını bulalım. Denklemin sol tarafında bulunan logaritmaların tabanları anı değildir. Anı apmak için logab = özelliğini kullanalım. log a. + 6 = log8 log b l log8 = log8 + log = + log log b l = log log = log şeklinde azalım ve log = t dönüşümü apalım. 6 + t + = (Pada eşitleelim) t (t ) + 6 (t + ) = (t + )(t ) 9t + = t + t t 7t 8 = (t 9)(t + ) = t = 9 vea t = log = 9 log = = 9 = Kökler çarpımı ise 9. = 7 = 8 bulunur. b d. log = log $. a b a ab b. log a + log b = log b + log a ise b nin a türünden eşiti nedir?. log a + log = log a 8a denkleminin kökler çarpımını bulunuz. a b = a vea b = a

52 DENKLEM SİSTEMLERİ YAKLAŞIM a m Logaritma içeren denklem sistemleri çözülürken log(ab) = loga + logb, log` j = log a log b ve logab = m logab özellikleri kullanılır. Değişkenlerden biri ok edilerek öteki değişken b bulunur.. log + log = ve log = koşullarını sağlaan (,) ikililerini bulalım.. log e + log e = ve ln(. ) = 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. log + log = log + log = log = log log = ikinci denklemi ile çarpalım ve alt alta toplaalım log + log = log log = 6 + log = log = = 6 dır. değerini denklemlerden birinde erine azalım. = 6 log log = log 6 log = log = log = = tür. O halde (,) = (6, ) bulunur.. log + log = ve + = olduğuna göre, + kaçtır? log + log = log () = = = 8 dir. ( + ) = + + özdeşliğini kullanalım. ( + ) = +.8 = 6 log e = = bilgisini kullanalım ve birinci denklemi loge ln log e + log e = + = şeklinde azalım. ln ln ln(.) = ln + ln = 7 olarak azalım. _ + = a = ln ve b = ln değişken değiştirmelerini apalım. ln ln b ` 7 ln + ln = b a a + b + = & = a b ab 7 7 a + b a + b = = = & ab = dir. ab ab 8 a + b = 7 denkleminden değişkenlerden birini çekelim ve ab = denkleminde erine azalım a + b = b = a olur. 7 7 b = a & ab al = 8 a 7 a + = 8 & ( a )( a ) = a = & b = a = & b = Denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = * e, o, e, o bulunur. + = 6 bulunur. Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ln(. ) = lne o = log + log = 7 log log = {(e, e )} & `, j ) + = 89 & + =? log + log = ) ln`. j = lne o = 7 ) be, e el

53 Test 7 Bileşke Fonksion, Logaritmalı Denklemler, Denklem Sistemleri. log + log ( ) = log denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) { } B) {} C) {, } D) {, } E) {} 6. log log = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) { } B) {} C) {} D) {} E) {}. log ( + ) log ( ) = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {} B) {} C) {} D) {} E) {9} 7. (In) In = log denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) & e, B){e, } C) &, e e D) {e, e } E) &, e e. f() = 9 ve g() = log olduğuna göre, (fog )() = ise kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) 8. log log = denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır? A) B) C) D) 8 E) 6. log 7 = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, 7} B) & 7, C) &, D) &, E) {7, 7 7 } 9. log ( + + ) = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, }. 7 In + 7 In = 8 denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, e} B) {7, e} C) {e, e 7 } D) {, e } E) {e, 7e}. In( ) = e + ve In( ) = denklem sistemini sağlaan kaçtır? A) e B) e C) e D) e E) e e E B B C A 6 E 7 E 8 B 9 A E

54 EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ ÖZET Logaritmik eşitsizliklerin çözümlerine geçmeden önce Reel(gerçek) saılarda eşitsizlik çözümlerinin nasıl apıldığını hatırlaalım. a,, R olmak üzere ) a > ve a < a < dir. ) < a < ve a < a > dir. YAKLAŞIM Gerçek (Reel) saılarda üslü eşitsizlikleri çözerken her iki taraftaki tabanın anı olmasına dikkat edilir. Daha sonra özet bölümünde verilen bilgiler kullanılarak çözüm apılır.. c m 6 < ` j eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.. ( + ).( 7) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. e o e o e o 6 < eb l o 6 < fe o p < e o (Tabanları anı apalım.) < < olduğundan 6 > > 8 > O halde Ç = (, ) olur. = = olur. 7 = = 7 = = tir. İşaret tablosunda sonuçlarımızı birleştirelim. - + (+)( 7) + + Eşitsizliğin çözüm kümesi [, ] dir. Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. ) e o < b l 9 b 7, l ) (, 7) 6 > b l 9 e, o ) b l < b l 7 e, o ) (, ) > e o e, o

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8..1.3. Özdeşlikleri modellerle açıklar. Özdeşlik 3 + = + 3 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleelim. İçerdiği değişken vea değişkenlerin alabileceği her gerçek saı değeri için doğru olan

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 3 HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 2 EŞ-ANLI DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde analitik ve grafik olarak eş-anlı denklem sistemlerinin

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK :

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK : MC www.matematikclub.com, 6 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar. Tam değer fonksionu: Tanım: Tamsaı ise kendisi, tamsaı değilse kendinden önce gelen ilk tamsaı (kendinden

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir?

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir? FONKSİYON HATIRLATMA ( FONKSİYON TANIMI ) A dan B e tanımlı f kuralının fonksion olm ası için; Örnek... : f( )= ise f() kaçtır? ) A daki her elemanın görüntüsü olmalı ( A da açıkta eleman kalmamalı) )A

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik

Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik yıllık planını hazırladım. (Anlamsız ama yönetmeliklere

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? . + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 :

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 4 FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON Bir fonksionun grafiğinden bire bir olup olmadığını anlamak için verilen tanım aralığında çizilen ata doğruların sadece bir defa grafiği kesmesini

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÇARPANLAR VE KATLAR Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÖRNEK 1 48 sayısının çarpanlarını bulalım. 1.Gökkuşağı yöntemi 48 sayısının çarpanlarını küçükten büyüğe sıralayarak eşleştiriniz. 48 çarpanlarını

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-684-7 Kitapta yer alan

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ek seninin k estiği k nok taların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denk leminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise

Detaylı