PARÇALI LİNEER ÜYELİK FONKSİYONLARINI KULLANARAK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEM (ÇALKTP) ÇÖZÜMÜNE BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PARÇALI LİNEER ÜYELİK FONKSİYONLARINI KULLANARAK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEM (ÇALKTP) ÇÖZÜMÜNE BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI"

Transkript

1 Journal of Naval Science and Engineering 2009, Vol. 5, No.2, pp PARÇALI LİNEER ÜYELİK FONKSİYONLARINI KULLANARAK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEM (ÇALKTP) ÇÖZÜMÜNE BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI Dr. Öğ. Kd. Yzb.Nurdan ÇETİN Deniz Harp Okulu Koutanlığı, Fen Dersleri Bölü Başkanlığı, Mateatik Bölüü,Tuzla, İstanbul, Türkiye, Prof. Dr.Fata TİRYAKİ Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Mateatik Bölüü,Davutpaşa, İstanbul, Türkiye, Özetçe Bilindiği gibi, taşıa probleleri ve geliştirilen çözü yönteleri lojistikte, tedarik zinciri yönetiinde aliyetlerin azaltılası ve servis hizetlerini iyileştirede öneli bir rol oynaaktadır. Üreti erkezlerinden talep erkezlerine taşıa yapılırken aynı anda birden fazla kriter optiize edileye çalışılabilir. Örneğin, aliyetin iniizasyonu, öncelikli üşterilere ortalaa dağıtı zaanının iniizasyonu, yakıt tüketiinin iniizasyonu gibi. Bu kriterlerden bazıları da karlılık oranının aksiizasyonu gibi kesirli yapıda olabilir. Böyle taşıa problelerini Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Problei (ÇALKTP) olarak adlandıraktayız. ÇALKTP özel yapıda bir vektör-iniu (veya aksiu) probleidir. Genel olarak vektör aksiizasyon problelerinde bütün etotlar, basılaaz (pareto-optial) çözüler küesini ya da bir uzlaşık çözüü üretektedir. Bu çalışaızda non-lineer üyelik fonksiyonlarından biri olan parçalı lineer üyelik fonksiyonları kullanılarak ÇALKTP için Pareto-optial uzlaşık çözü elde edilektedir. Bulanık yaklaşııızı açıklaak üzere bir sayısal örnek verilektedir. 55

2 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı A FUZZY APPROACH FOR MULTI- OBJECTIVE LINEAR FRACTIONAL TRANSPORTATION PROBLEM (MLFTP) WITH PIECEWISE LINEAR MEMBERSHIP FUNCTIONS Abstract As known, transportation probles and their solution techniues play an iportant role in logistics and supply chain anageent for reducing cost and iproving service. In ultiple- objective transportation probles, several criteria the iniization of the cost, the iniization of average shipping tie to priority custoers, the axiization of production using a given process, the iniization of fuel consuption, etc. and soeties fractional criteria such as the axiization of transport profitability, etc. are considered. These probles are called ultiobjective linear fractional transportation proble (MLFTP). This proble is special type of vector-iniu (vector axiu) proble. All ethods generate either pareto-optial solution or coproise solution in vector axiu proble. In this paper we obtain coproise pareto-optial solution for MLFTP with piecewise ebership function which is nonlinear ebership function. An illustrative nuerical exaple will be given to explain this approach. Anahtar kelieler: Taşıa Problei, Çok Aaçlı Lineer Kesirli Progralaa, Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonları, Bulanık Mateatik Progralaa. Keywords: Transportation Proble, Multiobjective Linear Fractional Prograing, Piecewise linear ebership function, fuzzy atheatical prograing 1. GİRİŞ Taşıa probleleri, kısıtlı kapasiteye sahip üreti erkezlerinden talepleri belli olan tüketi erkezlerine aliyeti iniu veya kârı aksiu yapacak şekilde al dağıtıı yapa probleleridir. Gerçek yaşa problelerinde genellikle birbiriyle çelişen, örneğin aliyetin 56

3 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ iniizasyonu, öncelikli üşterilere ortalaa dağıtı zaanının iniizasyonu ve yakıt tüketiinin iniizasyonu gibi birden fazla aaç optiize edileye çalışılaktadır. Birden fazla aacın ele alındığı taşıa problelerine çok aaçlı taşıa problei (ÇATP) denir. Bit ve diğerleri [7,8], Das ve diğerleri [11], Abd El-Wahed [1,2], Li ve Lai [18], Aar ve Youness [4] ÇATP ne bulanık yaklaşı ile çözü önerisi geliştirişlerdir. Kâr/aliyet, kazanç/seraye, kâr/işgücü ihtiyacı gibi oranların optiize edileye çalışıldığı lineer kesirli progralaa probleleri (LKP), taşıa, üreti, finans, oyun teorisi gibi pek çok alanda sıkça kullanılaktadır [25]. LKP nonlineer progralaa problei olup ilk olarak Charnes-Cooper [10] tarafından geliştirilen dönüşüle lineer progralaa probleine indirgeniştir. Aaç fonksiyonu, iki lineer fonksiyonun oranı, kısıtları da taşıa problei kısıtları olan problee ise Lineer Kesirli Taşıa Problei (LKTP) denir [5]. Kornbluth ve Steuer [14,15], Nykowski ve Zolkiewski [20], Benson [6] ve Tiryaki [26] çok aaçlı lineer kesirli progralaa probleini çözek için farklı yaklaşılar önerişlerdir. Luhandjula [19], Sakawa ve Yuine [22] ve Sakawa ve Yano [23] ve Chakraborty ve Gupta [9] ise bu proble için bulanık yaklaşı kullanan çözü önerileri sunuşlardır. Zierann [28] lineer yapıdaki üyelik fonksiyonunu kullanan bulanık in operatör odelini geliştiriştir. Daha sonra, Leberling [16] vektör aksiizasyon problei için non-lineer (hiperbolik) yapılı üyelik fonksiyonunu, Lee ve Li [17] üstel üyelik fonksiyonunu, Dhingra ve Moskowitz [12] optial dizayn probleinde üstel, kuadratik ve logaritik üyelik fonksiyonlarını tanılaışlardır. Ayrıca Hannnan [13] ve Yang ve diğerleri [27] parçalı lineer üyelik fonksiyonlarını kullanışlardır. Bu çalışada ÇALKTP ye bulanık ateatik progralaa yaklaşıı ile çözü önerisi yapılaktadır. Çözü yönteiizde 57

4 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı Zierann [28] nın in operatör odelinin bir uzantısı olan Hannan ın yaklaşıı ele alınaktadır. Parçalı lineer üyelik fonksiyonlarını kullanan bu yaklaşıdan faydalanarak ÇALKTP çözülüştür. Nüerik bir örnek ile çözü yöntei açıklanıştır. 2. ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİ Kapasiteleri a1, a2,..., a olan tane kaynak noktası ve talepleri b1, b2,..., b n olan n tane varış noktası olan ÇALKTP için; i. kaynak noktasından j. varış noktasına taşınan iktar x ij ; 1,.., Q için z aacında i. kaynak noktasından j. varış noktasına taşınacak bir biri ürün için elde edilen kâr ve taşıa aliyeti sırasıyla p ij ve d ij ; sabit kâr ve sabit aliyet sırasıyla p 0 ve d 0 olak üzere, ÇALKTP forülasyonu aşağıdaki gibidir: n pij xij p0 p ( x) i1 j1 ax z ( x ) 1,.., Q n d ( x) d x d i1 j1 ij ij 0 n x ij ai, i 1,2,, ; j1 i1 x ij b j, j 1,2,, n; (1) x 0, i 1, 2,,, j 1, 2,, n ij Burada z x) ( z ( x),z ( x),..., z ( )) kriter vektörü; S, kısıtların ( 1 2 Q x sağlandığı kapalı ve konveks bir küe; d ( x ), a, b, p, d, p0, d0 0 ve n ai bj kabulleri geçerlidir. i1 j1 i j ij ij 58

5 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ Tanı 2.1: 1,2,..., Q için z ( x) z ( x) ve için z ( x) z ( x) olacak şekilde bir başka x S noktası evcut değilse x S noktasına 1,2,..., Q için z ( x) z ( x) olacak şekilde Pareto-optial çözü; bir başka x S noktası evcut değilse x S noktasına zayıf Paretooptial çözü denir. W E, zayıf Pareto-optial çözüler küesi, S W küesini gösterek üzere E E dır. S E Pareto-optial çözüler Tanı 2.2: x S uygun çözüünün bir uzlaşık çözü olası için gerek w ve yeter şart x E ve Z( x) Z( x) olasıdır. Burada ( 1 2 Q x x S Z x) ( z ( x), z ( x),..., z ( )) dir ve, in operatöre karşılık gelir. 3. ÇÖZÜM YÖNTEMİ 3.1. Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonu Literatürde çeşitli tiplerde örneğin, lineer veya nonlineer (hiperbolik, ters hiperbolik, üstel ve parçalı lineer v.s.) üyelik fonksiyonları evcuttur [24]. Çok genel non-lineer üyelik fonksiyonlarının kullanıında dönüştüre prosesi bir hayli karışıktır. Non-lineer üyelik fonksiyonlarına parça parça lineer fonksiyonlarla yaklaşarak, non-lineer progralaa odelleri bir dizi lineer progralaa odellerine indirgenebilir. Çok sayıda lineer yaklaşı yapak yani çok sayıda doğru parçasıyla yaklaşak kabul edilebilir bir hassaslık sağlar. Ancak buna karşılık dönüşüş odelde kısıt sayısı, dolayısıyla proble çözüünde yapılan işle haci artar. Çalışaızda Hannan ın yaklaşıı ÇALKTP ne uygulanacak ve yaklaşııız nüerik örnek üzerinde açıklanacaktır. 59

6 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı 3.2. Üyelik Fonksiyonlarının Oluşturulası Hannan ın parçalı lineer üyelik fonksiyonundan faydalanarak, ÇALKTP nin. lineer kesirli aaç fonksiyonuna karşılık ( z ( x)) parçalı lineer üyelik fonksiyonunu: N ( z ( x)) j z ( x) gj z( x) j1 olarak tanılayalı. Burada ( t t ) / 2 ; j, j1 j ( t t ) / 2 ;, N 1 1 ( s s ) / 2, 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N ( N, parçalana, N 1 1 noktalarının sayısı) dır. Her bir g r1 z ( x ) gr doğru parçası için bu parçalı lineer üyelik fonksiyonunun ( z ( x)) t z ( x ) s olduğunu kabul ediyoruz. Burada r r t r ve s r ler sırasıyla gr1, g r aralığında ( z ( x )) nun eğiini ve ekseninde kestiği noktayı gösterektedir. ( z ( x )) nin değerleri üyelik derecesini gösterdiğinden tü z ( x ), 1, 2,..., Q ler için 0 ( z ( x )) 1 dir. 60

7 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ Şekil 1: ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonu. KV nin bulanık hedeflerine göre kurulan parçalı lineer üyelik fonksiyonu kullanılarak ÇALKTP için Zierann ın in operatör odeli: Aaç: ax Kısıtlar: ( z ( x )), 1, 2,..., Q (2) x S, 0 şeklindedir. Bu problei hedef progralaa problei olarak ifade etek üzere g değerini, j. noktada. lineer kesirli aaç fonksiyonu z ( x ) için j hedef değeri olarak; d j ve d j değişkenlerini de j. nokta için sapa değişkenleri olarak tanılayalı. O halde proble için hedef kısıtlarını z ( x) d d g

8 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı z ( ) d x d g N N N şeklinde yazabiliriz. Böylece Hannan ın yaklaşıından faydalanarak ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonu, N ( z ( )) j ( d j d j ) z ( ) j1 x x, 1, 2,..., Q olur. Böylece (2) problei aşağıdaki hedef tipli kısıtlara sahip bir non-lineer progralaa probleine dönüşür: Aaç: Kısıtlar: ax N ( z ( )) j ( d j d j ) z ( ) j1 x x, 1, 2,..., Q (3) z ( ) d x d g j j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N x S, 0 d 0, d 0 j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N Ayrıca Hannan 1981 deki çalışasında bulanık karar yerine, herbir parçalı lineer üyelik fonksiyonu için ˆ ( 0 ˆ 1), 1, 2,..., Q hedef değerlerini ve hedefler arasında P l, l 1,..., L önceliklerini belirleiştir [24]. Böylece çok aaçlı non-lineer kesirli taşıa probleiizi aşağıdaki 62

9 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ genel bulanık non-lineer hedef progralaa taşıa probleine dönüştürebiliriz: Aaç: Kısıtlar: L l, l1 Il in P ( e ) ( z ( x )) e e ˆ, 1, 2,..., Q (4) Burada z ( ) d x d g j j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N x S, 0 d j 0, d j 0, 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N e 0, e 0, 1, 2,..., Q i i Il, l. öncelik sınıfındaki aaç fonksiyonlarının indis küesini ve e, e lerde sapa değişkenlerini gösterektedir. Elde edilen ( x, ) çözüünün Pareto-optialliği için Pareto-optiallik testi yapılır ve herbir aaç için ( z ( x )), 1, 2,..., Q tatin seviyeleri bulunur Pareto-Optiallik Testi Kuvvetli-etkin çözüü bulak için (5) problei çözülür [3]. ax Q (5) 1 63

10 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı n n pij dij z x d0 z p0 i1 j1 i1 j1 ( ) x 0, 0 Q 1 Eğer Q ax 0 1 ise, 1,..., Q, x S, x Pareto-optial çözüdür. 0 ise çözülen son lineer progralaa probleinin çözüü x, x ın yerine konulur ve tekrar (5) problei çözülür. Bu işle Q ax 0 sağlanana kadar sürdürülür NÜMERİK ÖRNEK ax z 1 x x x 3x x x x 2x ax z 2 2x x x 2x x 3x (6) x22 6 x 4 22 ax z 3 6x 2x x x x x x 3x x x 150, x x 250, x x 50, x x 350, x ( x, x, x, x ) 0 Üç tane lineer kesirli taşıa problei nonlineer yapıdadır. Bu kesirli taşıa problelerinin aksiu ve iniu çözüleri, GAMS [21], Gino gibi nonlineer probleleri direkt olarak çözebilen paket 64

11 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ progralar yardııyla bulunabilir. Tablo1 de üç tane lineer kesirli taşıa probleinin ayrı ayrı çözülesiyle elde edilen aksiu ve iniu çözüler ve bu çözülere karşılık gelen aaç fonksiyon değerleri verilektedir. z1 z2 z3 z z x (0,150,50,200) x (50,100,0,250) x (50,100,0,250) x (0,150,50,200) x (50,100,0,250) x (0,150,50,200) Tablo 1: Herbir aaç için iniu ve aksiu çözüler ve karşılık gelen aaç değerleri KV tarafından sağlanan z ( x ), z ( x ), 1 2 z ( ) 3 x aaç fonksiyon değerleri ve karşılık gelen üyelik fonksiyon dereceleri sırasıyla Tablo 2, Tablo 3 ve Tablo 4 de veriliştir. 65

12 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 1 1( z1( x)) t1r z1( x ) s1r, r 1, 2, g10 z t g s11 1( z1 ( x)) t11z1( x) ( z ( x)) z ( x) g g t s12 1( z1( x)) t12z1( x) ( z ( x)) z ( x) g t g13 z s13 1( z1( x)) t13z1( x) ( z ( x)) z ( x) Tablo 2: 1 1 ( z ( x)) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. 66

13 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 2 2( z2( x)) t2r z2( x ) s2r, r 1, 2, g20 z t g s21 2( z2( x)) t21z2( x) ( z ( x)) z ( x) g g t s22 2( z2( x)) t22z2( x) ( z ( x)) z ( x) g t s ( z2( x)) t23z2( x) g23 z ( z ( x)) z ( x) Tablo ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 3 3( z3( x)) t3r z3( x ) s3r, r 1, 2,

14 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı 0 g30 z t s31 3( z3( x)) t11z1( x) g ( z ( x)) z ( x) g g t s32 3( z3( x)) t32z3( x) ( z ( x)) z ( x) g t s33 3( z3( x)) t33z3( x) g33 z ( z ( x)) z ( x) Tablo ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. Yukarıdaki verilerden yararlanarak her bir aaca ait elde edilen parçalı lineer üyelik fonksiyonları sırasıyla: 0, z1( x) ( z1( x) z1( x) , z1( x) ( z1( x)) 12( z1( x) z1( x) , z1( x) ( z ( x) z ( x) , z ( x) , z1( x) (7) 68

15 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ 0, z2( x) ( z2( x) z2( x) , z2( x) ( z2( x)) 22( z2( x) z2( x) , z2( x) ( z2( x) z2( x) , z2( x) , z2( x) (8) 0, z3( x) ( z3( x) z3( x) , z3( x) ( z3( x)) 32( z3( x) z3( x) , z3( x) ( z ( x) z ( x) , z ( x) , z3( x) (9) şeklinde yazılabilir. Hannan ın yaklaşıından ve Tablo 2, Tablo 3, Tablo 4 deki verilerden faydalanarak her bir aaca karşılık gelen ( z ( x )), 1,2,3 parçalı lineer üyelik fonksiyonları: ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x)

16 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı ve hedef kısıtları: z ( x) d d g z ( x) d d z ( x) d d g z ( x) d d z ( x) d d g z ( x) d d z ( x) d d g z ( x) d d z ( x) d d g z ( x) d d z ( x) d d g z ( x) d d yazılabilir. Böylece ÇALKTP için Zierann ın in operatör odeli, aşağıdaki hedef tipli kısıtlara sahip bir non-lineer progralaa probleine dönüşür: Aaç: ax Kısıtlar: ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) z1( x ) d11 d , z1( x ) d12 d , z2( x ) d21 d , z2( x ) d22 d , (10) 70

17 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ z3( x ) d31 d , z3( x ) d32 d , x x 150, x x 250, x x 50, x x 350, , d 0, d 0, 1,2,3 ; j 1, 2 j j Herbir parçalı lineer üyelik fonksiyonu için hedef değeri ˆ 1; 1,2,3 ve hedefler arasında P l, l 1,..., L öncelikleri kullanılarak da çok aaçlı non-lineer kesirli taşıa problei aşağıdaki bulanık non-lineer hedef progralaa probleine dönüştürülebilir: Aaç: e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 in ( ) Kısıtlar: ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) e e ˆ ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) e e ˆ ( z ( x) ( d d ) ( d d ) z ( x) e e ˆ z1( x ) d11 d , z1( x ) d12 d , z2( x ) d21 d , z2( x ) d22 d , (11) z3( x ) d31 d , z3( x ) d32 d , x x 150, x x 250, x x 50, x x 350, d 0, d 0, e 0, e 0, 1,2,3 ; j 1, 2. j j

18 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı (11) problei GAMS paket prograı ile çözülür. Elde edilen x ( x11, x12, x21, x22) (0,150,50,200) zayıf Pareto-optial noktası, Paretooptiallik testi gereği, alternatif çözü oladığından, aynı zaanda Pareto-optial noktadır. Ayrıca örnek problein diğer sonuçları olarak: sapa değişkenleri e 1 0, e 1 0, e 2 0, e 2 0, e 3 0, e 3 0, d , d 11 0, d , d 12 0, d , d , d 22 0, d , d , d , d 32 0, d ; aaç fonksiyon değerleri z ( x ) , z ( x ) , z ( x ) ; aaçlardan sağlanan tatin dereceleri 1( z1( x )) , 2( z2( x )) 0, ( z ( x )) 0 elde ediliştir. Dolayısıyla (10) problei için 0 dır SONUÇ Bu çalışada, aaç fonksiyonları lineer iki fonksiyonun oranı, kısıtları taşıa problei kısıtları olan ÇALKTP problei ele alınış ve bu proble için bir çözü önerisi veriliştir. Önerilen çözü yönteinde, ilk olarak nonlineer üyelik fonksiyonlardan biri olan parçalı lineer üyelik fonksiyonu tanılanıştır. Karar vericiden z (aaç fonksiyonunun iniu değeri) ve z (aaç fonksiyonunun aksiu değeri) aralığında aaç fonksiyonlarının birçok değerlerine karşılık üyelik derecelerini belirleesi isteniştir. Her bir alt aralıkta lineer üyelik fonksiyonu kurularak [ z, z ] aralığında parçalı lineer üyelik fonksiyonu oluşturuluştur. Daha sonra Zierann ın (1978) iniu operatör odelinin bir uzantısı olan Hannan ın bulanık progralaa yaklaşıı ile ÇALKTP çözülüştür.. Böylece bütün aaçlar için en teel tatin seviyesi bulunuş ve Pareto optial küeden bir uzlaşık çözü elde ediliştir. Ayrıca bir sayısal örnek üzerinde çözü yöntei açıklanıştır. 72

19 Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ KAYNAKÇA [1] Abd El-Wahed, W.F. (2001). A ulti-objective transportation proble under fuzziness. Fuzzy Sets and Systes 117: [2] Abd El-Wahed, W.F., Lee, S.M. (2006). Interactive fuzzy goal prograing for ulti-objective transportation probles. Oega 34: [3] Ahlatcioglu M., Tiryaki F. (2007). Interactive fuzzy prograing for decentralized two-level linear fractional prograing (DTLLFP) probles. Oega 35: [4] Aar E.E., Youness E.A. (2005). Study on ultiobjective transportation proble with fuzzy nubers. Applied Matheatics and Coputation 166 (2): [5] Bajalinov, E.B. (2003), Linear Fractional Prograing: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Acadeic Publishers, London. [6] Benson H.P. (1985). Finding certain weakly-efficient vertices in MOLFP. Manageent Science 31 (2): [7] Bit A.K., Biswal M.P., Ala S.S. (1992). Fuzzy prograing approach to ulticriteria decision aking transportation proble. Fuzzy sets and Systes 50: [8] Bit A.K., Biswal M.P., Ala S.S. (1993). An additive fuzzy prograing odel for ultiobjective transportation proble. Fuzzy Sets and Systes 57: [9] Chakraborty M., Gupta S. (2002). Fuzzy atheatical prograing for ulti objective linear fractional prograing proble, Fuzzy Sets and Systes 125: [10] Charnes, A. ve Cooper, W.W. (1962), Prograing with linear fractional functionals, Naval Research.Logistics Quarterly 9: [11] Das S.K., Goswai A., Ala S.S. (1999). Multiobjective transportation proble with interval cost, source and destination paraeters. European Journal of Operations Research 17: [12] Dhingra A.K., Moskowitz, (1991). Application of fuzzy theories to ultiple objective decision aking in syste design. European J.Oper. Res. 55: [13] Hannan, E.L. (1981). Linear prograing with ultiple fuzzy goals. Fuzzy Sets and Systes 6: [14] Kornbluth J.S.H., Steuer R.E. (1981). Goal prograing with linear fractional criteria. European Journal of Operational Research 8: [15] Kornbluth J.S.H., Steuer R.E. (1981). Multiple objective linear fractional prograing. Manageent Science 27: [16] Leberling H. (1981). On finding coproise solutions in ulticriteria probles using the fuzzy in-operator. Fuzzy Sets and Systes 6: [17] Li R.J., Lee E.S. (1991). An exponential ebership function for fuzzy ultiple objective linear prograing. Coputers Math. Applic 22 (12): [18] Li L., Lai K.K. (2000). A fuzzy approach to the ultiobjective transportation proble. Coputers and Operations Research 27: [19] Luhandjula M.K. (1984). Fuzzy approaches for ultiple objective linear fractional optiization. Fuzzy Sets and Systes 13:

20 Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı [20] Nykowski I., Zolkiewski Z. (1985). A coproise procedure for the ultiple objective linear fractional prograing proble. European Journal of Operational Research 19: [21] Rosenthal R.E. (2007). GAMS-A User s Guide, GAMS Developent Corporation, Washington, DC, USA. [22] Sakawa, M., Yuine T. (1983). Interactive fuzzy decision-aking for ultiobjective linear fractional prograing probles. Large Scale Systes 5: [23] Sakawa M., Yano H. (1988). An interactive fuzzy satisficing ethod for ultiobjective linear fractional prograing probles. Fuzzy Sets and Systes 28: [24] Sakawa, M. (1993). Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optiization, Plenu Press, Newyork. [25] Stancu-Minasian, I.M. (2006). A sixth bibliography of fractional prograing. Optiization 55 (4): [26] Tiryaki F. (1993). Çok Aaçlı Lineer Kesirli Progralaa Problei İçin Çözü Önerileri.Ph.D. thesis, Yildiz Technical University, Institution of Science. [27] Yang T., Ignizio J.P. ve Ki H-J. (1991), Fuzzy prograing with nonlinear ebership functions: Piecewise linear approxiation. Fuzzy Sets and Systes, 41: [28] Zierann H.J. (1978). Fuzzy prograing and linear prograing with several objective functions. Fuzzy Sets and Systes 1:

Endüstri Mühendisliği Bölümü

Endüstri Mühendisliği Bölümü ETKİN, ETKİLİ VE UYGULANABİLİR KARAR VERME: ETKİLEŞİMLİ BULANIK / OLABİLİRLİKLİ ÇOK AMAÇLI MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Kerem CİDDİ Dumlupınar Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü kciddi@yahoo.com

Detaylı

Türkiye de Özel Yatırımlar ve Kamu Yatırımları Arasındaki İlişkinin Ampirik Analizi: Sınır Testi Yaklaşımı

Türkiye de Özel Yatırımlar ve Kamu Yatırımları Arasındaki İlişkinin Ampirik Analizi: Sınır Testi Yaklaşımı Ö.F. ALTUNÇ, B. ŞENTÜRK Türkiye de Özel Yatırılar ve Kau Yatırıları Arasındaki İlişkinin Apirik Analizi: Sınır Testi Yaklaşıı Öer Faruk ALTUNÇ * Bilge ŞENTÜRK ** Özet Son yıllarda gelişekte olan ülkelerde

Detaylı

ERSÖZ-KABAK SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI. Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET

ERSÖZ-KABAK SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI. Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET Bu çalışmada çok kriterli karar verme yöntemleri adı altında geçen yöntemlerin

Detaylı

İki Tekerlekli Kendi Kendini Dengeleyen Robotun Yörünge Takibi için Arı Algoritması kullanarak LQR Kontrolcü Tasarımı 1

İki Tekerlekli Kendi Kendini Dengeleyen Robotun Yörünge Takibi için Arı Algoritması kullanarak LQR Kontrolcü Tasarımı 1 Uluslararası Katılılı 7. Makina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 İki ekerlekli Kendi Kendini Dengeleyen Robotun Yörünge akibi için Arı Algoritası kullanarak LQR Kontrolcü asarıı M. A. Şen * Selçuk

Detaylı

Çok Kriterli Karar Verme Problemlerinde Karar Ağacı Kullanımı. Şenay Lezki. Anadolu Üniversitesi ÖZET

Çok Kriterli Karar Verme Problemlerinde Karar Ağacı Kullanımı. Şenay Lezki. Anadolu Üniversitesi ÖZET Lezki Şenay Lezki Anadolu Üniversitesi ÖZET Bu çalışmada, karar ağacı tekniğinin çok kriterli karar verme problemlerinde uygulanabilirliği araştırılmıştır Karar ağacı tekniğinin geleneksel olarak kullanıldığı

Detaylı

Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri

Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri Çankaya University Journal of Science and Engineering Volume 7 (2010), No. 2, 169 185 Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri için Kestirim Amaçlı Kullanılması Reşat Kasap 1, ve Sibel Kavak 2 1 Gazi

Detaylı

Kural Tabanlı Karar Verme Mekanizmasına Sahip Sistematik Araç Seçim Modeli Geliştirilmesi

Kural Tabanlı Karar Verme Mekanizmasına Sahip Sistematik Araç Seçim Modeli Geliştirilmesi Makine Teknolojileri Elektronik Dergisi Cilt: 6, No: 2, 2009 (19-27) Electronic Journal of Machine Technologies Vol: 6, No: 2, 2009 (19-27) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

İKİ BÖLGELİ ARA-ISITMALI TERMAL GÜÇ SİSTEMİNİN YÜK-FREKANS KONTROLÜ İÇİN PARÇACIK SÜRÜSÜ OPTİMİZASYONU TABANLI PI-KONTROLÖR

İKİ BÖLGELİ ARA-ISITMALI TERMAL GÜÇ SİSTEMİNİN YÜK-FREKANS KONTROLÜ İÇİN PARÇACIK SÜRÜSÜ OPTİMİZASYONU TABANLI PI-KONTROLÖR Isı Bilimi ve Tekniği Dergisi, 3,, 3-2, 2 J. of Thermal Science and Technology 2 TIBTD Printed in Turkey ISSN 3-365 İKİ BÖLGELİ ARA-ISITMALI TERMAL GÜÇ SİSTEMİNİN YÜK-FREKANS KONTROLÜ İÇİN PARÇACIK SÜRÜSÜ

Detaylı

COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ VE ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YARDIMIYLA İTFAİYE İSTASYON YER SEÇİMİ

COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ VE ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YARDIMIYLA İTFAİYE İSTASYON YER SEÇİMİ TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı 18 22 Nisan 2011, Ankara COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ VE ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YARDIMIYLA İTFAİYE İSTASYON YER

Detaylı

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ ÜYE ÜLKELERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ ÜYE ÜLKELERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Marmara Üniversitesi İ.İ.B. Dergisi YIL 2013, CİLT XXXV, SAYI II, S. 329-360 Doi No: 10.14780/iibdergi.201324469 ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ

Detaylı

İstatistiksel Regresyon Yöntemlerinin Farklı Veri Gruplarına Uygulanması Üzerine Bir Analiz

İstatistiksel Regresyon Yöntemlerinin Farklı Veri Gruplarına Uygulanması Üzerine Bir Analiz GÜFBED/GUSTIJ (2012) 2 (2):55-67 Research/Araştırma 1 İstatistiksel Regresyon Yöntemlerinin Farklı Veri Gruplarına Uygulanması Üzerine Bir Analiz Serkan ÖZTÜRK 1,* 1 Gümüşhane Üniversitesi, Müh. Fak. Jeofizik

Detaylı

Devlet Malzeme Ofisi Genel Müdürlüğü, İnönü Bulvarı No: 18, 06041, Ankara. Geliş Tarihi/Received : 18.11.2008, Kabul Tarihi/Accepted : 24.04.

Devlet Malzeme Ofisi Genel Müdürlüğü, İnönü Bulvarı No: 18, 06041, Ankara. Geliş Tarihi/Received : 18.11.2008, Kabul Tarihi/Accepted : 24.04. Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 15, Sayı 2, 2009, Sayfa 227-252 Öğrenme Etkili Erken/Geç Tamamlanma Çizelgeleme Problemleri İçin bir Literatür Araştırması A Literature Survey

Detaylı

ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMLERİ VE BİR KAMU KURUMU İÇİN GERÇEK BİR ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMİ

ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMLERİ VE BİR KAMU KURUMU İÇİN GERÇEK BİR ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMİ T.C. KARA HARP OKULU SAVUNMA BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAREKAT ARAŞTIRMASI ANA BİLİM DALI ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMLERİ VE BİR KAMU KURUMU İÇİN GERÇEK BİR ANA DAĞITIM ÜSSÜ YER SEÇİM PROBLEMİ YÜKSEK

Detaylı

TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ ISSD ' 10 SECOND INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON SUSTAINABLE DEVELOPMENT isimli sempozyumda sunulmuştur., TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ Prof. Dr. İbrahim GÜNGÖR Akdeniz

Detaylı

Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek

Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek MADENCİLİK Eylül September 1984 Cilt Volume XXIII Sayı No 3 Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek Linear Programming and Two Simple Examples From Mining A.Oktay YALGIN(*) ÖET Bu yazıda

Detaylı

Anahtar Kelimeler: Çok nitelikli karar verme, Çok nitelikli fayda teorisi, MAUT, Entropi, Akıllı telefon seçimi

Anahtar Kelimeler: Çok nitelikli karar verme, Çok nitelikli fayda teorisi, MAUT, Entropi, Akıllı telefon seçimi ÇOK NİTELİKLİ KARAR VERME (MAUT) YÖNTEMİ VE BİR UYGULAMASI Özlem KONUŞKAN Karabük/ Sakarya Üniversitesi Ortak Program, Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği ABD, konuskanozlem@gmail.com Yrd. Doç.Özer

Detaylı

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi Çankırı Karatekin Üniversitesi Y.2014, Cilt 4, Sayı 1, ss.237266 Y.2014, Volume 4, Issue 1, pp.237266 İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

Detaylı

ROTADİNAMİK POMPALARIN TÜM ALAN KARAKTERİSTİKLERİ

ROTADİNAMİK POMPALARIN TÜM ALAN KARAKTERİSTİKLERİ _ 909 ROTADİNAMİK POMPALARIN TÜM ALAN KARAKTERİSTİKLERİ Erkan AYDER Ayhan Nazmi İLİKAN ÖZET Boru hatlarında yer alan pompanın çeşitli nedenlerle devre dışı kalması halinde su darbesi meydana gelir. Boru

Detaylı

Ağların Hareketli Yol-Kesici Tarafından En Kısa Güzergâh Kullanılarak Kesilmesi. Network Interdiction by Dynamic Interdictor Using Shortest Path

Ağların Hareketli Yol-Kesici Tarafından En Kısa Güzergâh Kullanılarak Kesilmesi. Network Interdiction by Dynamic Interdictor Using Shortest Path Savunma Bilimleri Dergisi, Mayıs 0, (), -7. Ağların Hareketli Yol-Kesici Tarafından En Kısa Güzergâh Kullanılarak Kesilmesi Ahmet Kabarcık Levent Kandiller Haluk Aygüneş Öz Bu makalede yolların hareketli

Detaylı

ZERO-ONE PROGRAMMING MODEL FOR SCHEDULING PROBLEMS OF ORGANIZATIONS THAT HAVE LABOURS WORKING THREE DAYS AWEEK AND HAVE MULTIPLE SHIFTS

ZERO-ONE PROGRAMMING MODEL FOR SCHEDULING PROBLEMS OF ORGANIZATIONS THAT HAVE LABOURS WORKING THREE DAYS AWEEK AND HAVE MULTIPLE SHIFTS 188 HAFTADA ÜÇ GÜN ÇALIŞAN İŞGÖRENLERİ VE ÇOKLU VARDİYALARI OLAN ORGANİZASYONLARIN ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ İÇİN SIFIR BİR PROGRAMLAMA MODELİ ÖZ Banu SUNGUR * Hızlandırılmış çalışma haftası işgörenlerin

Detaylı

Farklı Normalizasyon Yöntemlerinin TOPSIS te Karar Verme Sürecine Etkisi

Farklı Normalizasyon Yöntemlerinin TOPSIS te Karar Verme Sürecine Etkisi EGE AKADEMİK BAKIŞ / EGE ACADEMIC REVIEW Cilt: 13 Sayı: 2 Nisan 2013 ss. 245-257 Farklı Yöntemlerinin TOPSIS te Karar Verme Sürecine Etkisi The Effects of Different Normalization Methods to Decision Making

Detaylı

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA T.C. KARAMANOĞLU MEHMETBEY ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA Hazırlayan Bayezid GÜLCAN İşletme Anabilim Dalı

Detaylı

Working Paper Türkiye'nin Orta Doğu Ülkeleri ile Olan Ticareti, 1990-2002. Discussion Paper, Turkish Economic Association, No.

Working Paper Türkiye'nin Orta Doğu Ülkeleri ile Olan Ticareti, 1990-2002. Discussion Paper, Turkish Economic Association, No. econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publikationsserver der ZBW Leibniz-Inforationszentru Wirtschaft The Open Access Publication Server of the ZBW Leibniz Inforation Centre for Econoics Erlat, Güzin;

Detaylı

Gelişmiş ve Azgelişmiş Ülkelerde Ekonomik Büyüme Dinamikleri: Bir Panel Veri Analizi

Gelişmiş ve Azgelişmiş Ülkelerde Ekonomik Büyüme Dinamikleri: Bir Panel Veri Analizi Uluslararası Alanya İşletme Fakültesi Dergisi International Journal of Alanya Faculty of Business Yıl:2012, C:4, S:1, s.127-136 Year:2012, Vol:4, No:1, s. 127-136 Gelişmiş ve Azgelişmiş Ülkelerde Ekonomik

Detaylı

Đntermodal Yük Taşımacılığı Ve Türkiye Hızlı Tüketim Malları Dağıtımı Đçin Uygulama Denemesi

Đntermodal Yük Taşımacılığı Ve Türkiye Hızlı Tüketim Malları Dağıtımı Đçin Uygulama Denemesi Đntermodal Yük Taşımacılığı Ve Türkiye Hızlı Tüketim Malları Dağıtımı Đçin Uygulama Denemesi Hüseyin ERGĐN * Gülsen Serap ÇEKEROL ** Özet: Lojistik; hammaddeler, yedek parçalar, nihai ürünler olarak ürünlerin

Detaylı

YÜK TRENİ İSTASYONLARINDA HAREKET PLANLAMASI

YÜK TRENİ İSTASYONLARINDA HAREKET PLANLAMASI Endüstri Mühendisliði Dergisi Cilt: 20 Sayý: Sayfa: (2-2) Makina Mühendisleri Odası YÜK TRENİ İSTASYONLARINDA HAREKET PLANLAMASI Işıl ALEV, Bahar ÇAVDAR, Bilge ÇELİK, Volkan DEMİREL, Ayşegül GÜLLER, Canan

Detaylı

Yetkili Servisler ve Müşteri Memnuniyeti

Yetkili Servisler ve Müşteri Memnuniyeti Mustafa Kemal Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi Mustafa Kemal University Journal of Social Sciences Institute Yıl/Year: 2008 Cilt/Volume: 5 Sayı/Issue: 10 OTOMOBİL SERVİSLERİNDEN YARARLANAN

Detaylı

FİNANSAL BİLGİ KALİTESİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ SÜRECİ TEKNİĞİYLE DEĞERLENDİRİLMESİ: BANKACILIK SEKTÖRÜ UYGULAMASI

FİNANSAL BİLGİ KALİTESİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ SÜRECİ TEKNİĞİYLE DEĞERLENDİRİLMESİ: BANKACILIK SEKTÖRÜ UYGULAMASI ANADOLU ÜNİVERS İTES İ S OS YAL BİLİMLER DERGİS İ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES Cilt/Vol. : 10 - S ayı/no: 3 : 43 58 (2010) FİNANSAL BİLGİ KALİTESİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ SÜRECİ TEKNİĞİYLE

Detaylı

BELEDİYE HİZMETLERİNİN MALİYET ETKİNLİKLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ: ESKİŞEHİR ODUNPAZARI BELEDİYESİNDE BİR UYGULAMA

BELEDİYE HİZMETLERİNİN MALİYET ETKİNLİKLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ: ESKİŞEHİR ODUNPAZARI BELEDİYESİNDE BİR UYGULAMA Endüstri Mühendisliði Dergisi Cilt: 22 Sayý: 4 Sayfa: (35-47) ÜAS 2009 Özel BELEDİYE HİZMETLERİNİN MALİYET ETKİNLİKLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ: ESKİŞEHİR ODUNPAZARI BELEDİYESİNDE BİR UYGULAMA Zeliha KAYGISIZ*,

Detaylı

S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ

S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ T.C. İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayşe BÖLÜK 1009041002 Anabilim Dalı : Matematik - Bilgisayar Programı :

Detaylı