BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir."

Transkript

1 BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p b dir. İspat: pfa olsu. p i pozitif böleleri sadece ve edisi olduğuda ( p, a) = dir. Ölid Lemmasıa göre p b olma zorudadır. Souç. 3 Eğer p bir asal sayı ve p a a La ise bir {,, K, } içi p a dır. İspat: e göre Matematisel İdüsiyo ile yapılır. bir içi Souç. Eğer p = q dır. p q q, q,,, K hepsi asal sayılar ve p q q Kq ise ola İspat: p q q Kq olduğuda Souç.3 e göre, olma üzere bir içi p q dır. q sayısı asal olduğuda de ve ediside başa bölei yotur. Bua göre p = q olma zorudadır. Teorem. 5 Her > tam sayısıı p gibi bir asal bölei vardır. İspat: asal ise = p alıır. Eğer asal değilse, < d < ola d gibi e az bir bölei vardır. Bu şeildei bütü d sayıları arasıda e üçüğüü p ile gösterelim. Bu durumda p asal olma zorudadır. Asi halde p i, < q < p ola q gibi bir bölei vardır. q p, p de q elde edilir, bu ise p i, i, < d < şelide ola e üçü bölei olması ile çelişir. Teorem.6 (Aritmetiği Esas Teoremi) > ola her tam sayı bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir ve bu gösteriliş sırada vazgeçildiği tadirde te türlü belirlidir. İspat: İspatı e göre idüsiyo ile yapacağız. = ise aşiar olara asal sayıları çarpımı şelidedir. < m < ola her tam sayıı bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterildiğii abul edelim. Eğer sayısı asal değilse, < <, < < ve = olaca şeilde, tam sayıları vardır. İdüsiyo hipotezie göre ve bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir. Buu soucu olara bir taım asal sayıları çarpımı olara gösterilebilir. Teliği gösterme içi, p, q ( i =, K, r ; j =, K, s) ler asal olma üzere, i i j = p pl pr = qq Lqs, r s şelide ii türlü asal sayıları çarpımı olara gösterilebildiğii abul edelim.

2 p p L pr, q q L q s olsu. p q q Lqs olduğuda Souç. e göre r ola bir içi p = q dır. O halde p q dir. Bezer şeilde q p p L pr de t s ola bir t içi q = pt buluur. O halde p q dir. Souç olara p = q ve p L pr = qlq s elde edilir. Bezer düşüce uygulaara p = q, p = q, K, p r = q r buluur. Diğer tarafta r = s olma zorudadır. Asi halde r < s olsa, q q L q olurdu i bu q > olması ile çelişir. j r r s = Pozitif bir tam sayıı asal çarpalara ayrılışıda bir ço asal sayı terarlı bir şeilde gözüebilir. Öreği 5= Bu gibi durumlarda bir öcei teoremi aşağıdai şeilde ifade edebiliriz. Souç.7 > ola her tam sayı = p p L pr (*) şelide te türlü olara gösterilebilir, burada i = K,, r içi her i pozitif tam sayı ve her p i, p < p < L < p r ola bir asal sayıdır. (*) şelidei gösterilişe i asal çarpalara ayrılışıı aoi şeli deir. Öreği 5 sayısıı aoi şeli 5 = tir. vardır. Teorem.8 Bir a > bileşi sayısıı p a oşulua uya p gibi bir asal bölei İspat: a > bir bileşi sayı sayı olduğuda < b < a, < c < a olma üzere, a = bc tam sayıları vardır. b c olduğuu abul ederse b bc = a r ve böylece b a buluur. b > olduğuda Teorem.5 e göre p gibi bir asal bölei vardır. Böylece p b ve b a de p a ve p b a elde edilir.. Souç.9 Bir a > doğal sayısı p a oşulua uya asal sayıları hiçbiri ile bölüemiyorsa, asal olma zorudadır. Eratosthees Kalburu: Yuarıdai souca göre, bir > tamsayısı verildiği zama ile arasıdai asal sayılar bilidiği tadirde ile arasıdai asal sayıları bulabiliriz. Eratosthees, bu gerçete yola çıara, a > sayısıda üçü bütü asal sayıları bulma içi, adıa Eratosthees alburu deile bir tei geliştimiştir. Buu içi, de büyü çift sayılar daima ile bölüdüğüde, ve sadece te sayılarda oluşa ve a ola sayılar üçüte büyüğe bir tablo halide yazılır. Daha sora p a ola bütü asal sayılar içi bu tabloda yer ala p i bütü atları çizilir geride ala sayılar, a ola asal sayılardır. Öre. ile arasıdai asal sayılar, 3,5,7 bilidiğie göre ile arasıdai asal sayıları Eratosthees alburu yardımı ile bulalım: 3

3 üstü çizilmemiş ola sayılar asal sayılardır. Öre. a = 5 sayısıı asal olup olmadığıı araştıralım. 7 < 5 < 7 dir. p 7 oşulua uya asal sayılar, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37,, 3, 7, 53, 59, 6, 67 dir ve 5 bu sayıları hiçbiri ile alasız olara bölüemez. O halde 5 sayısı asaldır. Öte yada 59 sayısıı araştıraca olursa, 7 < 59 < 7, 3 59, 7 59 o halde 59 = olara yazılabilir. Şimdi 39 u asal olup olmadığıı araştıralım: 5 < 39 < 6, p 5 oşulua uya asal sayılar, 3, 5, 7,, 3 ve 39 bu sayıları hiçbiri ile alasız olara bölüemediği içi asal olma zorudadır.. Böylece 59 sayısıı aoi şeli 59 = dir. Teorem. (i) Herhagi bir p asal sayısı içi p sayısı irrasyoeldir. (ii) Eğer a pozitif bir tamsayı ve a rasyoel ise a bir tamsayıdır. (iii) tamsayısı içi irrasyoeldir. İspat: (i) p rasyoel olsu. a p =, ( a, b) = olaca şeilde a, b Z vardır. Bua b göre pb = a, yai p a ve burada souç.3 e göre p a elde edilir. O halde a = p.a olaca şeilde a Z vardır. Böylece b = pa, yai Dolayısıyla p ( a, b) yai p, çelişi! p irrasyoeldir. (ii) a >, r a rasyoel ise a =, ( r, s) = olaca şeilde s Burada r = as, yai s r ve burada da r edele a = r Z dir. p b ve böylece p b elde edilir. r, s Z vardır. s buluur. O halde s = ( r, s) = ve bu (iii) rasyoel olsa (ii) ye göre tamsayı olur. = r Z diyelim. olduğuda = olamaz. O halde = r ile çelişir. O halde irrasyoeldir., yai buluur i bu > olması

4 Taım. (Tam Kısım Fosiyou) Bir eyfi x reel sayısı içi [ x ] sembolü ile x te üçü veya eşit ola e büyü tam sayıyı göstereceğiz.; yai [ x ], x < [ x] x oşuluu sağlaya te tamsayıdır. Öre. =, =, [ 3] =, [ ] = 3, [ ] =, [ 3] = 3. π π Taım. de yola çıarsa her x reel sayısı, θ < oşuluu sağlaya uygu bir θ içi x = [ x] θ şelide yazılabilir. Tam Kısım Fosiyouu Özellileri: x, y R olma üzere, (i) [ x ] x < [ x] dir. (ii) Eğer x, x te büyü olmaya doğal sayıları sayısıdır. Bir başa deyimle [ x] = x dir. x ise [ ] (ii) Her Z içi [ x ] = [ x] dir. (iii) [ x ] [ y] [ x y] [ x] [ y] dir. (iv) Eğer x =. Eğer x Z ise [ x ] [ ] x Z ise [ x ] [ ] = (v) [ x] sayısı x te üçü olmaya e üçü tam sayıdır. [ x] x (vi) Eğer N ise x (vii) [ ] x = dir. (viii) Eğer x > ve N ise eşittir. x dir. x, i x te büyü olmaya pozitif atları sayısıa Not: Yuarıdai özellileri ispatı ödev olara öğrecilere bıraılmıştır. Öre 3 p ola asal sayıları sayısıı bulalım. = olduğuda Teorem. 8 e göre ola bütü bileşi sayılar, 3, 5 veya 7 i atlarıdır. X ile m i ola atlarıı ümesii gösterelim. Bu durumda (ix) a göre m X m = m dir. Bua göre X = 5, X = 33, X X =, X 3 35 =, X 5 3 =, X = 3, X ola bileşi sayıları sayısı = X X X X 7 =, X =, X 7 6 = 6, X =, X 5 =, X =, X = 7, X =. ( ) ( X 6 X X X5 X X 35 ) ( X X X X ) X = 6, = (5 33 ) (6 7 6 ) (3 ) = 7 p ola asal sayıları sayısı = -( ola bileşi tam sayıları sayısı)-=5 dir. 5

5 Teorem. bir pozitif tamsayı ve p bir asal sayı olsu. p i! i böle e büyü uvveti, dir. Yai e (!) e p (! ) = derse, p p! dir. Burada = p = p = olmasıda dolayı, toplam aslıda solu sayıda terim içerir p tam p > içi İspat: pozitif tamsayı arasıda p i atları sayısı tam, p, 3 p i atları sayısı tam,... taedir. O halde 3 e p (!) = dir. p = p taedir. p Souç.3 p = p! = p dir. p i atları sayısı Öre. 3 ü 9! i böle e büyü uvvetii bulalım: 9 e 3(9!) = dır. 3 3 > 9 = olduğuda e 3 (9!) = = 3 = 3 3 tür. Öre 5! i asal çarpalara ayrılışıı bulalım: Eğer p,! i bir asal çarpaı ise p..3k dur. Burada Souç.3 e göre bir {,, K,} içi p olma zorudadır. O halde p olma zorudadır. Böylece p =, 3, 5, 7 olabilir. Öte yada e (!) = 3 =5=8, e 3 (!) = = 3 = 3 3, e5 (!) = =, 5 e 7 (!) = = 7. Böylece 8! = dir. Teorem. Eğer ve r, r < ola pozitif tam sayılar ise biom atsayısı! = r r!( r)! bir tam sayıdır. göre İspat: p p r r = şelide yazılabilir. Tam ısım fosiyou Özelli (iv) e p p r r dir. Bua göre r! ( r)! i böle her p asal sayısı içi p p r r e p (!) = = e p ( r!) e p (( r)!) = p = p = p 6

6 ! dir. Bu edele p i ifadesii payıdai uvveti paydasıdai uvvette daha r!( r)!! büyütür, yai r! ( r)!! dir. O halde bir tam sayıdır. r!( r)! Öte yada = = yie bir tamsayıdır. Souç.5 Bir pozitif r tam sayısı içi r tae ardışı tam sayıı çarpımı r! tarafıda alasız olara bölüür. İspat: r tae ardışı tam sayıı e büyüğü olsu. Bu durumda bu sayıları çarpımı!! ( ) L ( r ) = = r! =. r!, Z, ( r)! r!( r)! yai r! ( ) L ( r ) dir. Asal sayılar, matematiği bir ço alaıda ullaılmala birlite, bu sayılarda baacılı, aseri bilgiler, iteret sayfaları gibi öemli şifrelemeler geretire verileri oruması gibi güveli alaıda da öemli ölçüde yaralaılır. Bu işlemler içi geellile, basama sayısı büyü ola asal sayılar ullaılır. Asırlar boyu asal sayılar üzerie birço teorem ortaya omuş ve asal sayıları buluması içi asal sayı ürete bir ço formül ve yötem bulumaya çalışılmıştır. Aca asal sayılarla ilgili pe ço soru güümüze adar heüz cevaplaamamıştır. Güümüzde asal sayıları vere bir matemati formül bulumamatadır. Aca Ölid de beri asal sayıları sosuz sayıda oldular bilimetedir. Güümüze adar asal sayıları sosuz oldularıı göstere bir ço ispat verilmiştir. Aşağıda fiir verme açısıda bu ispatlarıda bazılarıı göreceğiz. Teorem.6 Asal sayılar sosuz sayıdadır. İl olara Ölid i verdiği ispatı moder şelii görelim.. Ölid i İspatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. m = p. p K p olsu. m > olduğuda Teorem. 5. e göre p gibi bir asal bölei vardır. Faat bütü asal sayılar p, p, K, p de ibaret olduğuda p bu asal sayılarda biri olma zorudadır. O halde p p. p K p dir. Öte yada p m olduğuda p m p. p K p yai p buluur. Bu ise p > olması ile çelişir. O halde sosuz sayıda asal sayı vardır.. Stieltjes i ispatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. = p. p K p olsu. = ab, a, b > şelide ii tam sayıı çarpımı olara yazılabilir. sayısı biribiride farlı asal sayıları çarpımı şelide olduğuda aritmetiği esas teoremie göre, her bir p a ve b de tam bir taesii böler. Bu durumda a b, mevcut i i p leri hiçbiri tarafıda bölümez bu ise a b > olması ile çelişir. 7

7 3. Euler i aaliti ispatı: p, p, K, p gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. Her bir p i > olduğuda geometri serisi yaisa ve toplamı = ( / ) p i dir. Böylece elde edilir. Bütü asal sayılar p i = ( ) i= / pi i= = pi p, p, K, p de ibaret olduğuda, aritmetiği esas teoremie göre herhagi bir N sayısı = p p L p şelide te türlü olara yazılır. Bua göre ( ) i= / pi = dir. Yuarıdai eşitsizliği sağ tarafıdai seri (harmoi seri) sosuza ırasaya bir seridir. Öte yada her bir p i > olduğuda sol taraftai çarpım soludur. Bu bizi bir çelişiye götürür. O halde sosuz sayıda asal sayı vardır. Taım.7 F =, şelidei bir tam sayıya Fermat sayısı deir. Eğer F asal ise bu sayıya bir Fermat asal sayısı deir. F = 3, F = 5, F = 7, F3 = 57, F = 65537,K. Fermat, Mersee e yazdığı metupta, bu sayıları her N içi asal oldularıı iddia etmiş, faat bu iddiaı doğru 5 olmadığı, 73 yılıda Euler i F 5 = = sayısıı asal olmadığıı ve 6 sayısı ile alasız olara bölüdüğüü göstermesi ile açığa avuşmuştur. Bu gü 5 3 içi F Fermat sayılarıı bileşi sayı olduları bilimetedir ve buları dışıda da bileşi sayı olduğu gösterile bir ço Fermat sayısı vardır. Bu güe adar bilie e büyü bileşi Fermat sayısı F 3388 dir ve bu sayı ile alasız olara bölüür. Güümüzde bir ço araştırmacı 5 içi Fermat sayılarıı bileşi sayı oldularıı düşümetedirler. Şimdi 6 F 5 olduğuu göstere ve G.Beett tarafıda verile ispatı görelim: İşe 7 7 a = ve b = 5 almala başlıyoruz. Bu durumda ab =.5 = 6 ve 3 ab b = ( a b ) b = 3b = olur. Bua göre 5 3 F5 = = = a = ( ab b ) a = ( ab) a ( a b ) = ( ab) [ a ( ab)( a b )]. Burada ab = 6 olduğua göre 6 F 5 elde edilir. Teorem.8 m > olma üzere F, İspat: d (, ) F m Fermat sayıları aralarıda asaldır. = F F m olsu. Fermat sayıları te sayılar olduğu içi, d sayısı te olma m zorudadır. x = ve = diyelim. Bu durumda 8

8 m Fm x = = = x x L F x ve böylece F ( F m ). d F de d ( F m ) buluur. Öte yada d Fm ve böylece d dir. d sayısı bir te sayı olduğuda d = olma zorudadır. Şimdi, Teorem. i, yuarıdai teoremi ullaara verile, bir başa ispatıı görelim.. Pólya ı ispatı: Her bir F Fermat sayısıı e az bir asal bölei vardır ve F diğer Fermat sayıları ile aralarıda asal olduğuda bu asal sayı diğer Fermat sayılarıı bölmez. Yai diğer Fermat sayılarıı böle asal sayılarda farlıdır. O halde F de büyü olmaya, birbiride farlı e az tae asal sayı vardır. Fermat sayıları sosuz sayıda olduğuda bu bize asal sayıları sosuz sayısıda olduğuu gösterir. Teorem.9 3 şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. İspat: 3 şelide q, q, K, qs gibi solu sayıda asal sayıı var olduğuu abul edelim. N = ( q. qk, qs ) = ( q. qk, qs ) 3 diyelim. N sayısı te sayı olduğu içi bu sayıı asal böleleri ya şelide ya da 3 şelidedir. N sayısı m 3 şelide olduğuda e az bir tae 3 şelide p gibi bir asal bölei vardır. Çüü şelidei ii veya daha fazla tam sayıı çarpımı yie ayı şeilde bir tam sayıdır. Sözü edile p sayısı 3 şelide olduğuda, r s lerde biridir. Bu durumda p ( q. q K, q ) ve böylece p, çelişi. O halde q r 3 şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. s Yuarıdai ifadeler, aşağıdai meşhur teoremi bir özel şelidir. İspatı ço zor ola bu teoremi, bilgi olsu diye, sadece ifadesii vermele yetieceğiz. Teorem. (Dirichlet Teoremi) Eğer a ile b, ( a, b) = ola ii tamsayı ise a b şelide sosuz sayıda asal sayı vardır. Not.Bu teoremler ayı zamada asal sayıları sosuz sayıda olduğuu bir başa aıtıdır. Taım. Birbirii izleye ii asal sayı arasıdai far ise bu sayı çiftlerie iiz asal sayı çiftleri deir. Öreği (3,5), (5,7), (,3), (7,9), (9,3) gibi. İiz asal sayıları sosuz sayıda olup olmadıları heüz bilimiyor. Öte yada,, şelidei asal sayıları sosuz sayıda olup olmadıları heüz aıtlamış değildir. Asal sayıları dağılımı ile ilgili, yai hagi sılıta görüldüleri haıda, herhagi bir ural yotur. Aşağıdai teorem, verile her pozitif tam sayısıa arşılı daima tae ardışı bileşi sayıda oluşa bir dizi buluabileciğii gösterir. Bu da bize asal sayılar arasıda eyfi uzuluta boşluları olduğuu gösterir. 9

9 Teorem. Verile her sayısıa arşılı, birbirii izleye ve q p ola p ve q gibi ii asal sayı vardır. İspat: ise (! ) dır. O halde!,! 3,!, K,! sayıları tae ardışı bileşi sayılardır. p,! de üçü veya eşit ola e büyü asal sayı, q ise! ( ) de büyü e üçü asal sayı olsu. Bu durumda p ve q birbirii izleye ve q p ola ii asal sayıdır. 7. y.y. da ilgi alaı asal sayı ürete formüller bulmaya yöelmiştir. O yıllarda taım ümesi egatif olmaya tam sayılarda oluşa f ( ) = poliomuu sadece asal sayı ürettiğie dair yaygı bir iaış vardı. Buu doğru olmadığı 77 yılıda Euler tarafıda gösterilmiştir. Gerçete bu poliomu 39 içi aldığı değerler hep asal olmala beraber, =, içi asal değildir. f () = () = ( ) = () f () = () = ( ) = ()(3) dir. f i buda sora aldığı değer f ( ) = 87 yie asal bir sayıdır. Bu poliom i il değeri içi 86 tae asal sayı değeri alır. Acaba taım ümesi egatif olmaya tam sayılar ve değerler ümesi asal sayıları sosuz elemalı bir alt ümesi ola bir f () fosiyou bulma mümü müdür? Teorem.3 Eğer f, her ise f sabittir. N içi asal sayı değeri ala tam atsayılı bir poliom İspat: a olma üzere f ( x) = a x a x L ax a her N içi asal sayı değeri ala tam atsayılı bir poliom olsu. Sabit bir sayısı içi f ( ) = p bir asal sayıdır. Herhagi bir t N içi f ( tp) = a ( tp) a ( tp) L a ( tp) a burada = ( a = f ( a ) p. q( t) = L a p p. q( t) = p( q( t)) a ) p. q( t) q ( t), t i tam atsayılı bir poliomudur. p f ( tp), f (x) i sadece asal sayı değeri ala bir poliom olduğuu abul ettiğimizde her t N içi f ( tp) = p elde edilir. Oysa. derecede, sabit olmaya, bir poliom ayı değeri erede fazla alamaz. Ohalde f sabittir. Ödev Problemler -) p 5 bir asal sayı ise p i bileşi sayı olduğuu gösteriiz. (Yol göst. p i 6 veya 6 5 şelide yazılabileceğii düşüüz.) -) p, p a ola bir asal sayı ise a p olduğuu gösteriiz. 3-) p 5 ola bir te asal sayı ise ( p ) veya ( p ) olduğuu gösteriiz. -) 9p i bir tam are olması içi p asal sayısı hagi değerleri almalıdır?

10 5-) 3 şelide sosuz sayıda asal sayıı var olduğuu gösteriiz. 6-) 6 5 şelide sosuz sayıda asal sayıı var olduğuu gösteriiz. (Yol göst: N ( q. q K, q ) = 6( q. q K, q ) 5 alıız. = 6 s s 7-) (a) İi iiz asal sayıı çarpımıı bir fazlasıı daima bir tam sayıı aresi olduğuu gösteriiz. (b) p > 3 olma üzere p ve p gibi iiz asal sayıları toplamıı ile alasız olara bölüdüğüü gösteriiz. 8-) p > 3 ola bir asal sayı ise p ü ile alasız olara bölüebileceğii gösteriiz. 9-) 7 sayısıı asal olup olmadığıı araştırıız. -) p, p, K, p birbiride farlı tae asal sayı ise L p p p toplamıı hiçbir zama tamsayı olamayacağıı gösteriiz. -) > ola her doğal sayı içi, gösteriiz. sayılarıda e az birii asal olmadığıı -) 3 ü 5! i böle e büyü uvvetii buluuz. (Cevap: ) 3-) 3! sayısıı souda aç sıfır vardır? (Cevap: 99)! -) = a b c ise i bir tam sayı olduğuu gösteriiz. a! b! c! m 5-) N olsu. = am L a a, am, i =, K, m içi a i < gösterilişii göz öüe alara = = olduğuu gösteriiz.

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads. http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. 0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)... ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Hacettepe Üiversitesi Eğitim Fakültesi ergisi 22: 130-134 {2002} J. of [ Ed 22 MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Cahit PESEN* ÖZET: Matematik, diziliş ve iç uyum ile karakterize

Detaylı

MATEMATİKSEL İSTATİSTİK DERS NOTLARI

MATEMATİKSEL İSTATİSTİK DERS NOTLARI MATEMATİKSEL İSTATİSTİK DERS NOTLARI Hazırlaya: Prof. Dr. İsmail ERDEM Yrd. Doç. Dr. İlkur Özme Başket Üiversitesi İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü İST 5 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK VE OLASILIK I

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Binom Açılımı Öğretimine Farklı Bir Yaklaşım

Binom Açılımı Öğretimine Farklı Bir Yaklaşım Gülte, D. Ç. & Gülte, İ. (00). Biom Açılımı Öğretimie Farklı Bir Yaklaşım,, İlköğretim-Olie, (), 60-66, [Olie]: http://ilkogretim-olie.org.tr Biom Açılımı Öğretimie Farklı Bir Yaklaşım Dilek Çağırga GÜLTEN

Detaylı

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir.

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir. BRNOULLİ DAĞILIMI Broulli dağılımı bir rassal dy yaıldığıda yalızca iyi öü olumlu-olumsuz başarılı-başarısız gibi sadc ii souç ld dildiğid ullaılır. Taım : Bir rassal dy yaıldığıda bir dyi soucu sadc ii

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Ardışık sayılar YILLAR

Ardışık sayılar YILLAR YILLAR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - - - 1 - - - 1 ÇÖZÜM 1: ARDIŞIK SAYILAR +(+1)+(+)++(+14)=085 Belli bir kurala göre ard arda sıralaa sayılara ardışık sayılar deir Z olmak üzere; 14

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

İstatistiksel Proses Kontrol - Seminer Notları -

İstatistiksel Proses Kontrol - Seminer Notları - MÜSEM - KALİTE YÖNETİCİLİĞİ UZMANLIK SERTİFİKA PROGRAMI 06 Nisa 00 İstatistisel Proses Kotrol - Semier Notları - Marmara Üiversitesi, Tei Eğitim Faültesi e-posta eoer@marmara.edu.tr GSM 053 910016 - Telefo

Detaylı

Gibi faktörlerin alt kümlerindeki kritik faktörler (mali ve operasyonel) dikkate alınarak her bir yöntem için ayrı ayrı olmak üzere ;

Gibi faktörlerin alt kümlerindeki kritik faktörler (mali ve operasyonel) dikkate alınarak her bir yöntem için ayrı ayrı olmak üzere ; KULLANILACAK SOFTWARE: AVRA a) Geel Açılama Uzmaları özel değerledirmeleri ve firmaları prestijleri temel olmala beraber, dereceledirme çalışmalarımızda, eoomi ve matemati bilimlerii birlite ürettiği teorilerde

Detaylı

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir İstabul L ıseler Arası Matemat ık Ol ımp ıyatı ILMO 9 Çözümler ı c www.sbelia.wordpress.com sbeliawordpress@gmail.com Her yıl KOÇ Üiversitesi Bi Topluluğu Öğreci Klübü tarafıda düzelee, İstabul Liseler

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ 1

1. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ 1 ÖNSÖZ Bu çalışmaı oluşumu esasıda emeğ, blgs ve sosuz desteğyle baa yol göstere değerl hocam Prof. Dr. Erol BALKANAY a; alayışı, desteğ ve atılarıda ötürü değerl hocam Yrd. Doç. Dr. Recep KORKMAZ a teşeürlerm

Detaylı

A dan Z ye FOREX. Invest-AZ 2014

A dan Z ye FOREX. Invest-AZ 2014 A da Z ye FOREX Ivest-AZ 2014 Adres Telefo E-mail Url : Büyükdere Caddesi, Özseze ş Merkezi, C Blok No:126 Esetepe, Şişli, stabul : 0212 238 88 88 (Pbx) : bilgi@ivestaz.com.tr : www.ivestaz.com.tr Yap

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

ORMAN ENVANTERİ VE MEŞCERE ÖLÇÜMÜ

ORMAN ENVANTERİ VE MEŞCERE ÖLÇÜMÜ ORMAN ENVANTERİ VE MEŞCERE ÖLÇÜMÜ Ormaı e öemli bölümüü, kapitali büyük kısmıı oluştura, ağaç serveti oluşturmaktadır. Ormada ağaç serveti deilice, var ola hacim ve buu faizi durumuda ola hacim artımı

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü.

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü. Prof.Dr.Hüsy ÇAKALLI Br Komplks Sayıı c Kökü. hrhag br sab doğal sayı olmak ür, br komplks sayıı c kökü, c kuvv bu sayıya ş ola komplks sayıdır. ( r(cos s olsu v (cos s dylm. Bu akdrd ( [ (cos s] dr v

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

İŞ, GÜÇ, ENERJİ BÖLÜM 8

İŞ, GÜÇ, ENERJİ BÖLÜM 8 İŞ, GÜÇ, EERJİ BÖÜ 8 ODE SORU DE SORUARI ÇÖZÜER 5 Cise eti eden sür- tüne uvveti, IFI0 ür F α F T W (F ür ) (Fcosα (g Fsinα)) düzle Ya pı lan net iş de ğe ri α, ve ütleye bağ lı dır G düzle 00,5 G0 0 I

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ 1. Oktayı gülüğüe yazdığı birkaç olay aşağıda verilmiştir. Elimi kesmiştim, iyileşmesi 5 gü sürdü. Babamı bahçeye diktiği gül dalı tomurcuk açtı. Beslediğim kertekelei kopa kuyruğuu

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Eczacılık Fakültesi Öğrencilerinin Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Students' Approach to Their Profession

Eczacılık Fakültesi Öğrencilerinin Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Students' Approach to Their Profession Eczacılık Fakültesi Öğrecilerii Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Studets' Approach to Their Professio Işıl ŞİMŞEK* Yıldır ATAKURT** Bihter YAZICIOĞLU*** ÖZET Bu çalışmada, Eczacılık Fakültesi öğrecilerii

Detaylı

PARÇALI ARİTMETİK DEĞİŞİMLİ GERİ ÖDEMELERE SAHİP ORTAKLIĞA DAYALI KONUT FİNANSMAN MODELİ

PARÇALI ARİTMETİK DEĞİŞİMLİ GERİ ÖDEMELERE SAHİP ORTAKLIĞA DAYALI KONUT FİNANSMAN MODELİ Süleya Deirel Üiversitesi İtisadi ve İdari Bililer Faültesi Dergisi Y.0, C.6, S., s.-7. Suleya Deirel Uiversity The Joural of Faculty of Ecooics ad Adiistrative Scieces Y.0, Vol.6, No., pp.-7. PARÇALI

Detaylı

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ OLÝMPÝK MATEMATÝK SERÝSÝ MATEMATÝK OLÝMPÝYATLARINA HAZIRLIK ÝÇÝN MERAKLISINA SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVÝ ÝZMÝR - 2013 Copyright Altýn Nokta Basým Yayýn Daðýtým Biliþim ISBN

Detaylı

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik.

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik. FREKANS ve AYF Düzeli olarak tekrar ede olayları sıklığıı belirtmek içi kullaıla periyod kelimesi yerie birim zamada gerçekleşe tekrar etme sayısı da kullaılır ve bua frekas deir. Ayı şekilde periyodik

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ISO 45001. M. Görkem Erdoğan. Bu sunuya ve konunun pdf dosyasına www.gorkemerdogan.com adresinden erişilebilir.

ISO 45001. M. Görkem Erdoğan. Bu sunuya ve konunun pdf dosyasına www.gorkemerdogan.com adresinden erişilebilir. ISO 45001 M. Gör Erğa Bu suuya ve ouu pdf syasıa adreside işilebilir. 1 Giriş ISO 45001 e Nede İhtiyaç Duyuldu? Farlılılar Souç 2 Giriş ILO ya göre, h yıl 2.2 milyo çalışa iş azası veya mesle hastalığıda

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

evrende ilk defa karbon atomu çekirdekleri (6 proton ve 6 nötron) kayda değer miktarlarda oluşmaya başladı.

evrende ilk defa karbon atomu çekirdekleri (6 proton ve 6 nötron) kayda değer miktarlarda oluşmaya başladı. yaşamı elemetleri Çevremizdeki her şey, hayvalar, bitkiler, toprak, hava, cep telefoumuz, otomobilimiz, ezeeler, yıldızlar ve eliizde tuttuğuuz bu deri atom adı verile, maddei temel yapıtaşlarıda oluşmuştur.

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere: 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda,

Detaylı

Nezahat GÜÇLÜ 1, Eshabil Erdem PAKSOY 2, Sezgin TETİK 3. Özet. Abstract

Nezahat GÜÇLÜ 1, Eshabil Erdem PAKSOY 2, Sezgin TETİK 3. Özet. Abstract Liderlik Kapasitesi: Okul Yöeticilerii Sosyal Sorumluluk Davraışlarıı Belirlemesie Yöelik Nitel Bir Araştırma * Leadership Capacity: A Qualitative Research For Determiig Social Resposibility Behaviors

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ .4.26 5. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ Mekul Kıymet Yatırımlarıı Değerlemesi Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Temel Değerleme Modeli Mekul Kıymet Değerlemesi

Detaylı

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı