Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören"

Transkript

1 Gelecek için hazılanan vatan evlâtlaına, hiçbi güçlük kaşısında yılmayaak tam bi sabı ve metanetle çalışmalaını ve öğenim göen çocuklaımızın ana ve babalaına da yavulaının öğeniminin tamamlanması için hiçbi fedakâlıktan çekinmemeleini tavsiye edeim.

2 u kitabın he hakkı Çap Yayınlaı na aitti. ve 9 sayılı Fiki ve Sanat Eselei Yasası na göe Çap Yayınlaı nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bi kısmı hehangi bi yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayada depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz. U KİTP, MİLLİ EĞİTİM KNLIĞI TLİM VE TERİYE KURULU ŞKNLIĞI NIN.0.0 TRİH VE SYILI KRRI İLE ELİRLENEN ORTÖĞRETİM MTEMTİK ERSİ PROGRMIN GÖRE HZIRLNMIŞTIR. izgi Kapak Tasaım Emine İNE askı Taihi Şubat 0 Teşekkü Tevfik GÖRGÜN ve uak KIRKEVELİ ye katkılaından dolayı teşekkü edeiz. ISN İLETİŞİM ÇP YYINLRI kpına Mahallesi 0. adde 7. Sokak / 9 Çankaya / nkaa Tel: ii

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğencile, Matematikteki biçok tanımı ve kualı yeniden keşfetmiyouz, sadece öğenme aşamasında ilk kez biz bu yollaı, kuallaı buluyomuşuz gibi haeket edip öğenmenin kalıcı olmasını sağlamaya çalışıyouz. u kaynağı sizlee sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zolandığınız veya başamakta poblem yaşadığınız kendi kendinize öğenme beceisini geliştimekti. Matematikte bi poblemi kısa zamanda ve doğu olaak çözmek, ilgili konulaın kavanmasına bağlıdı. i konuyu iyice öğendikten sona adından gelen konuya geçmek sizin için daha kolay olacağı gibi çalışmanızı da daha veimli kılacaktı. ilgileinizin kalıcı olması için çok teka yapmalı, bilgilei kullanabilmek için de çok sou çözmelisiniz. Matematikteki biçok kualın günlük hayatta kullanımı yoktu ancak bu kuallaı öğeniken ve uygulaken göstediğiniz çaba, yaşamınızda çeşitli poblemlee faklı açıladan bakabilme beceisini kazandıacaktı. Sevgili Öğencile, Tekaa dayalı ve planlı bi çalışmanın, ezbe yeine konunun özünü kavamanın ve bu yolla kazanılan özgüvenin sizlei başaıya ulaştıacağına inanıyo ve sizlee başaıla diliyouz. YZRLR iii

4 İÇİNEKİLER ik Üçgende a çılaın Tigonometik Oanlaı... 0, ve 0 nin Tigonometik Oanlaı... 7 Yönlü çıla ve Yayla... Esas Ölçü... iim Çembe... Tigonometik Özdeşlikle (İndigemele) - I - II... 0 Sını eğeleinin Sinüs ve Kosinüslei... ik Koodinat Sisteminde Tigonometik Fonksiyonlaın İşaetlei... 7 Tigonometik Fonksiyonla ve Esas Ölçü... 9 Peiyodik Fonksiyonla... Tigonometik Fonksiyonlaın Gafiklei... a. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlaın Gafiklei... b. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlaının Gafiklei... c. Gafiği Veilen i Fonksiyonu ulma... Tes Tigonometik Fonksiyonla... 7 a. ksinüs Fonksiyonu... 7 b. ktanjant Fonksiyonu... c. kkosinüs Fonksiyonu... 9 d. ckotanjant Fonksiyonu... 0 Tes Tigonometik Fonksiyonlala İlgili Kama Soula... Tigonometik ağıntıla.... Kosinüs Teoemi.... Sinüs Teoemlei... Üçgenin lanını Çeve ve İç - teğet Çembein Yaıçapı Yadımıyla ulma... 9 Üçgenin Çevel Çembei ve lan ağıntılaı... 0 Toplam - Fak Fomülleinin Geometik Uygulaması - I - II... Toplam - Fak Fomülleinin Üçgen Uygulamalaı... Yaım çı Fomüllei.... Sinüs Yaım çı Fomüllei.... Kosinüs Yaım çı Fomüllei.... Tanjant Yaım çı Fomüllei... önüşüm Fomüllei.... Sinüs önüşüm Fomüllei.... Kosinüs önüşüm Fomüllei Kama önüşüm Sou ve Çözümlei Tes önüşüm Fomüllei... 7 Tigonometik enklemle... 7 Sinüs enklemlei - I - II... 7 Kosinüs enklemi - I - II Tanjant enklemlei Kotanjant enklemlei... 0 Sinüs ve kosinüse Göe Linee enklemle... Sinüs ve Kosinüse Göe Homojen enklemle... Tigonomeik enklemlele İlgili Kama Soula... Tigonometik Eşitsizlikle... Tigonometik Fonksiyonlada Maksimum ve Minimum eğe ulma... Hüce Testlei ( - ) Kama Testle... iv

5 İK ÜÇGENE R ÇILRIN TRİGONOMETRİK ORNLRI İLGİ ik üçgende temel tigonometik oanla sinüs (sin) ve kosinüs (cos)'dü. iğe tüm oanla tanjant (tan), kotanjant (cot), sinüs ve kosinüs tüünden ifade edili. Hipotenüs a Komşu ik Kena Kaşı ik Kena sinα = tanα = Kaşı ik Kena Komşu ik Kena, cosα = Hipotenüs Hipotenüs Kaşı ik Kena Komşu ik Kena, Komşu ik Kena cotα = Kaşı ik Kena Toplamlaı 90 olan açılaın sinüslei kosinüsleine, tanjantlaı kotanjantlaına eşitti. i sinα = c a cosθ = c a cosα = b a sinθ = b a a c tanα = c b cotθ = c b cotα = b c tanθ = b c a b İRLİKTE ÇÖZELİM. (0, 90 ) olmak üzee sin = ise cos + değei kaçtı? sin. (0, 90 ) olmak üzee tan = ise cos + sin değei kaçtı?. (0, 90 ) olmak üzee sin = ise sin² + cos² değei kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı...

6 SIR SİZE 7. (0, 90 ) olmak üzee, cot = ise. (0, 90 ) olmak üzee, cos = ise sin cos ifadesinin değei kaçtı?. (0, 90 ) olmak üzee, sin = ise tan + sin ifadesinin değei kaçtı?. (0, 90 ) olmak üzee, tan = ise (cos + sin). cot ifadesinin değei kaçtı? 7 + Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı sin cos cot ifadesinin değei nedi?. cot = ve (0, 90 ) ise sin cos ifadesinin değei nedi?. (0, 90 ) ve tan = ise cot + sin.cos ifadesinin sonucu nedi? 9 7

7 0, VE 0 NİN TRİGONOMETRİK ORNLRI İLGİ. bi kenaı a biim olan eşkena üçgen olsun. Eşkena üçgende yükseklik hem açıotay hem de kenaotaydı. a 0 0 a sin0 = a = cos0 = a sin0 = a a = sin0 = a a 0 0 a a H tan0 = a a a = cot0 = a cot0 = a = tan0 =. bi kenaı a biim olan kae olsun. a a a a Kaede köşegen aynı zamanda açıotaydı. a sin = = = a cos = = = a a a tan = a = cot = a = a a İRLİKTE ÇÖZELİM. sin0 + sin sin0 ifadesinin eşiti nedi?. f() = sin cos fonksiyonu için, f(0 ) nedi?. f() = cos. cos sin. sin fonksiyonu için, f(0 ) nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... 7

8 . tan0 cot0 tan0. cot ifadesinin sonucu nedi?.. sin0. cos + tan0. cos0 toplamının sonucu nedi? +. f() = sin² tan². cos fonksiyonu için f(0 ) ifadesinin sonucu nedi?. f() = tan. sin cot. cos fonksiyonu için f( ) ifadesinin sonucu nedi?. sin0. tan0 cos0. tan ifadesinin eşiti.. sin. tan0 cos0. tan sin cot ifadesinin en sade hali nedi? nedi? sin tan ifadesinin en sade hali nedi? cot cos Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE. (sin ) = (cos )³ eşitliğini sağlayan eel sayısı nedi? 7. f() = cos tan fonksiyonu için f(0 ) kaçtı?. 9. cos0 ifadesinin eşiti nedi? tan0 sin0 sin³0 cos² tan cot0 ifadesinin en sade hali nedi? + 0. (sin0 ) cos² = () tan eşitliğini sağlayan değei kaçtı?

9 YKLŞIM ik üçgen, kae, dikdötgen vb. şekilli poblemlede Pisago ve Öklid bağıntılaından yaalanılı. İLGİ. Pisago Teoemi: i dik üçgende dik kenalaın kaelei toplamı hipotenüsün kaesine eşitti. a² = b² + c² b a. Öklid ağıntılaı: enzelik teoeminden elde edilmiş bağıntıladı. H + H h² = p. k H + c² = p. a c b h H + b² = k. a c p H k a İRLİKTE ÇÖZELİM. dik üçgen ve. = H ise... H H % tanh kaçtı? dikdötgeninde [] köşegen [H] [] di. % H = cm, H = cm ise cos kaçtı? E a K a i F Yandaki şekil eş kaeleden oluşmuştu. una göe sinα kaçtı? kae, = F = E ise sinα. cosi çapımı kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... E a H a K i H F 9

10 SIR SİZE.. E. α H dik üçgeninde H = b, = b ise cota kaçtı? H i dik üçgeninde H = cm ve H = cm ise sini kaçtı?. % ikizkena üçgeninde tan( ) = ve = 0 b ise kaç biimdi? 0 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı i dikdötgeninde = b ve tani = ise = kaç biimdi?, 9. E α F dikdötgeninde E = E, = F = ve tanα = ise dikdötgeninin çevesi kaç biimdi?. 0 α i üçgeninde = 0 cm, = cm ve sinα = ise tani kaçtı? 0 0

11 YKLŞIM İki açının toplamı 90 ise biinin sinüsünü bulmak için diğeinin kosinüsünü bulmak yeteli olu. enze şekilde kosinüsü içinde sinüsünü bulmak yetelidi. Tanjant ve kotanjant içinde aynı özellik geçelidi. İRLİKTE ÇÖZELİM i a E K K i a E kaesinde K = K ise sini kaçtı? Şekilde E = cm, = 9 cm ve = cm ise tani nedi? dikdötgeninde E = E ve tanα = ise kaçtı? E dikdötgeninde = K ise tana nedi? ( ' '') Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE. 9 a i a E K i E E % % % Şekilde m( ) = m( E) = m( E) = 90c,,, noktalaı doğusal, kaç cm'di? sin a = ve E = 0 cm ise 7 7 ( ' '')

12 YÖNLÜ ÇILR VE YYLR İLGİ. [ ışını ile [ ışınının bileşimine açı deni.. y + % [,[ = % % = ik koodinat sisteminde saat yönünün tesi pozitif (+) yön, saat yönü ise negatif ( ) yöndü.. O O eece: i çembein 0'ta biini göen mekez açı deecedi ve ile gösteili. yayı çembein mekez açı deecedi. 'ı iken 0 Radyan: i çembein yaıçapı uzunluğundaki yayı göen açı adyandı ve R ile gösteili. yayının uzunluğu yaıçap uzunluğuna eşit ise O açısı adyandı ve R ile gösteili. NOT: adyan 7, di. YKLŞIM çı ölçü biimleini bibiine çevimek için adyan = 0 deece eşitliğinden elde edilen = R fomülü kul- 0c lanılı. (asit bi doğu oantı fomülüdü.) İRLİKTE ÇÖZELİM. 0 kaç adyandı?.. 90 kaç adyandı?.. adyan kaç deecedi? adyan kaç deecedi?. 00 kaç adyandı?. 0 kaç adyandı?. adyan kaç deecedi? 0 9 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE. 7 adyan kaç deecedi?. 0 kaç adyandı?. kaç adyandı? 0 9

13 ESS ÖLÇÜ TNIM. Esas Ölçü: i açının ölçüsü deece tüünden [0, 0 ) aalığında, adyan olaak da [0, ) aalığında olmalıdı. y 0 i 0 olmak üzee i + 0.k, k şeklinde tanımlanan açının esas ölçüsü i deecedi. O i i+.0 0 bi tam dönmedi. i+.0 YKLŞIM. Pozitif yönlü bi açının esas ölçüsünü bulmak için veilen açı 0'a bölünü. ölme işleminden elde edilen kalan, açının esas ölçüsüdü.. Negatif yönlü bi açının esas ölçüsünü bulmak için açı 0'a bölünü ve kalan 0'dan çıkaılı. İRLİKTE ÇÖZELİM. 0 lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?.. lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?. 70 lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?. lik açının esas ölçüsü kaç deecedi? Çap Yayınlaı... SIR SİZE. 90 lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?. 7 lik açının esas ölçüsü kaç deecedi? 0 0. lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?. 9 lik açının esas ölçüsü kaç deecedi?

14 YKLŞIM Radyan tüünden veilen pozitif yönlü bi açının esas ölçüsünü bulmak için veilen açının payı, paydasının iki katına bölünü ve elde edilen kalan souda veilen ifadenin payına yazılaak ile çapılı. İRLİKTE ÇÖZELİM adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- 7 dı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- 9 yandı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- 7 dı? 0 adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? 7 07 adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? 9 ( v Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı..... SIR SİZE.. adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? 0 ( ' ' ' adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? ( ' '') adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- 7 dı? 7

15 YKLŞIM Radyan tüünden veilen negatif yönlü bi açının esas ölçüsünü bulmak için, " " işaeti kaldıılaak veilen açının payı, paydasının iki katına bölünü ve elde edilen kalan başlangıçtaki paydaya yazılaak ile çapılı. aha sona adyandan çıkaılı. Elde edilen sonuç esas ölçüdü. İRLİKTE ÇÖZELİM. 7 adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? 9 adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? 0 adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? ( ' '') 7 9 adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? ( ' '') adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- 7 yandı? ( ' '' 7 0 adyanlık açının esas ölçüsü kaç ad- yandı? ( ' '') Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- 0 dı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- 9 dı? 9 7 adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı? adyanlık açının esas ölçüsü kaç adyan- dı?

16 İRİM ÇEMER (TRİGONOMETRİK ÇEMER) TNIM nalitik düzlemde mekezi oijin (başlangıç noktası) ve yaıçapı biim olan çembee iim Çembe deni. y sinüs ve Kosinüs: O P(, y) a y H HOP dik üçgeninde Pisago teoemi uygulandığında, ² + y² = denklemi elde edili. % HOP açısına göe tigonometik oanla yazılısa sinα = y, cosα = elde edili. O halde biim çembe üzeindeki he noktanın ap- sisi (), yaıçap doğusu ile pozitif yönde oluşan açının kosinüsünü, odinatı (y) da sinüs değeini vei. İRLİKTE ÇÖZELİM. iim çembe üzeindeki c, m noktasına kaşılık gelen pozitif yönlü mekez açı kaç deecedi?. iim çembe üzeindeki (0,) noktasına kaşılık gelen pozitif yönlü mekez açı kaç adyandı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. iim çembe üzeinde yaıçap doğusu ile pozitif yönde 0 lik açı oluştuan noktanın koodinatlaı nedi?. iim çembede yaıçap doğusu ile pozitif yönde lik açıyı beliten noktanın koodinatlaı nedi?

17 SIR SİZE. iim çembe üzeindeki c, m noktasına kaşılık gelen pozitif yönlü mekez açı kaç deecedi? 0. iim çembe üzeindeki (,0) noktasına kaşılık gelen pozitif yönlü mekez açı kaç adyandı?. iim çembede yaıçap doğusu ile pozitif yönde 0 lik açıyı beliten noktanın koodinatlaı nedi? e, o Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. iim çembede yaıçap doğusu ile pozitif yönde 00 lik açıyı beliten noktanın koodinatlaı nedi? e, o. iim çembede yaıçap doğusu ile negatif yönde 70 lik açıyı beliten noktanın koodinatlaı toplamı kaçtı?. K(a, ) noktası biim çembe üzeinde ise a sayısının alabileceği değelein çapımı kaçtı? 7

18 TNIM Tanjant ve Kotanjant:. y O a P L T K iim çembede eksenine noktasından çizilen = teğet doğusunun [OL ışını ile kesiştiği nokta K ise [K] doğu paçasının uzunluğu P noktasına kaşılık gelen açının tanjantını beliti. enze şekilde y eksenine noktasından çizilen y = teğet doğusunun [OL ışını ile kesiştiği nokta T ise [T] doğu paçasının uzunluğuda aynı açının kotanjantını beliti. Yani tanα = K ve cotα = T di.. tüünden de ifade edebiliiz. O y a P R y K tanα Geometideki benzelik teoemleini kullanaak tanjant ve kotanjantı sinüs ve kosinüs OPR + OK ( enzelik Teoemi) _ OR = = cosa b OR PR = y = sina ` O O = b a PR = cosa = sina tana = sina olu. K tana cosa. y S y O cota T P(, y) y a R OPS + OT ( enzelik Teoemi) _ PR = OS = y = sina b OS OR = PS = = cosa` O O = b a PS = sina = cosa cota = cosa olu. T cota sina İRLİKTE ÇÖZELİM Tanjant ekseni üzeindeki P(, ) noktasına kaşılık gelen mekez açı kaç deecedi? SIR SİZE. Kotanjant ekseni üzeindeki P(, ) noktasına kaşılık gelen mekez açı kaç deecedi? 0 -. Tanjant ekseni üzeindeki K(, ) kaşılık gelen mekez açı kaç deecedi? noktasına 0

19 YKLŞIM iim çembede yaıçap doğusunun ekseni ile pozitif yönde oluştuduğu açı kaç deece olusa olsun sinüs ve kosinüslein göüntü kümesi [, ] aalığında olu. Yani sinα ve cosα di. İRLİKTE ÇÖZELİM. f() = sin + fonksiyonunun en geniş göüntü kümesi nedi?.. = sin cosy ve, y [0, ) için sayısının en büyük ve en küçük değeleinin çapımı kaçtı?. f() = cos( ) fonksiyonunun en geniş göüntü kümesi nedi?. = sin cosy ve, y [0, 0 ) iken sayısının en büyük değei kaçtı?. f() = sin( ) + fonksiyonunun en geniş göüntü kümesi nedi? 7 [, 7]. K = sin + cosy ve, y (0, 0 ) için K sayısının kaç tam sayı değei vadı?. f() = cos fonksiyonunun en geniş göüntü kümesi nedi? [, ] Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.. SIR SİZE. H = cos siny ve, y [0, 0 ) için H sayısının alabileceği kaç faklı asal sayı değei vadı?. (0, 0 ) olmak üzee f() = sin( + ) fonksiyonunun alabileceği tam sayı değeleinin toplamı kaçtı? 7. (0, ) için f() = cos fonksiyonunun göüntü kümesi nedi?,. sin( ) + m = olduğuna göe m sayısının en büyük ve en küçük tamsayı değelei toplamı kaçtı? [, 9

20 TRİGONOMETRİK ÖZEŞLİKLER I iim çembe üzeindeki he noktanın apsisi bu noktaya kaşılık gelen açının kosinüsünü, odinatıda sinüsünü beliti. İLGİ ² + y² = biim çembe denkleminde = cosα ve y = sinα yazılısa cos²α + sin²α = özdeşliği elde edili. ( sin²α = cos²α ve cos α = sin α dı.) tanα = sinα cosα, cotα = cosα sinα, cosecα = sinα ve secα = cosα dı. İRLİKTE ÇÖZELİM. cos cosec + + cos cosec ifadesinin en sade hali nedi?. tan² + cot² + : sin sin². cos² + cos ifadesinin en sade hali nedi?. sin² cos : ( + cos ) ifadesinin en sade hali nedi?. sina = ve + cosa = y ise ve y aasındaki bağıntı nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. sin + cos cos sin = ise cosec ifadesinin değei kaçtı? 0

21 SIR SİZE. + sin cos + cos + sin ifadesinin en sade hali nedi?. sin + sin. cos.. ifadesinin en sade hali nedi? sin cos + sin + cos ifadesinin en sade hali nedi? sec cos² cosec sin cos cos + sin = 7 ise cot kaçtı?. sec² tan² ifadesinin eşiti nedi?. cos = k ise sin² cos ifadesinin k tüünden eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı 7. sina + tana ifadesinin eşiti nedi? cota + coseca sin.tan. sina. cosa (tana + cota) ifadesinin eşiti nedi? 9. + cot² ifadesinin eşiti nedi? 0... sin cot cosec sin cot + cosec ifadesinin eşiti nedi? sina coseca cosa seca sin. tan cos. cot sec cosec ifadesinin en sade hali nedi? cosec² ifadesinin en sade hali nedi? cot³α + k + sin. cos

22 YKLŞIM a³ + b³ = (a + b) (a² ab + b²) a³ + b³ = (a + b)³ ab(a + b) a³ b³ = (a b) (a² + ab + b²) a³ b³ = (a b)³ + ab(a b) a² b² = ( a b) (a + b) a² + b² = (a + b)² ab = (a b)² + ab özdeşlikleini çeşitli tigonometi poblemleinde kullanmak geekebili. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin. + sin.. çapımının sonucu nedi? cos sin sin cos ifadesinin en sade hali nedi? sin³ + cos³ (sin + cos) ( sin. cos) ifadesinin en sade hali nedi?. sin cos = a ise sin³ cos³ ifadesinin a tüünden eşiti nedi?. tan0 + cot0 = m ise tan 0 + cot 0 ifadesinin m tüünden eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.....

23 . sin + cos = değei kaç olabili? ise sin² cos² ifadesinin.. tan + cot = ise tan² + cot² toplamı kaçtı?. cot + tan = ise cot³ + tan³ toplamının değei kaçtı?. cos + sin = ise sin. cos çapımının sonucu kaçtı?. sin cos = 7 0 ise sin + cos toplamı kaçtı?. sin cos = ise sin³ cos³ fakı kaçtı?! 99 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE. cos. + cos çapımının sonucu kaçtı? 7.. cos³ sin³ (sin cos)( + sin. cos) ifadesinin en sade hali nedi? sin cos² + sin ifadesinin en sade hali nedi? sin 9. cot tan = ise tan³ cot³ ifadesinin değei nedi? 0. tan0 + tan70 = a ise tan 0 + cot 0 toplamının sonucu nedi? a³ a

24 TRİGONOMETRİK ÖZEŞLİKLER (İNİRGEMELER) İLGİ sin M b ( a,b) (a,b) b 0 b L O K cos O eşkena üçgen, (cos0, sin0 ), KO ve LO eş üçgenle olduğu için K = L = b > 0 ve b = sin0 dı. ynı zamanda b = sin0 di. O halde sin0 = sin 0 = ve 0 = 0 0 = şeklinde de ifade edili. MO üçgeninde cos0 = b'di. YKLŞIM y 0 < α < 90 olmak üzee tan > 0 cot > 0 Sadece sin > 0 0 Hepsi > 0 Sadece cos > 0 Veilen açının önce bölgesi bulunu. una göe işaeti tespit edili. çı i = 0 " α veya 0 " a şeklinde ifade edilise fonksiyonun ismi değişmez. ncak i = 90 " α veya i = 70 " α şeklinde ifade edilise fonksiyonun ismi değişi. Yani sinüs ise kosinüs'e, kosinüs ise sinüs'e dönüştüülü. İRLİKTE ÇÖZELİM. tan0 ifadesinin eşiti nedi?. sin0 ifadesinin eşiti nedi?. cos00 ifadesinin eşiti nedi?. cot0 ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı....

25 . sin. tan00 cot0. cos ifadesinin eşiti nedi?.. cos0 ifadesinin eşiti nedi?. sin00 ifadesinin eşiti nedi?. cot ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE. tan0 ifadesinin eşiti nedi?. cos0. tan0 cot0. sin0 işleminin sonucu nedi?. sin ( ) + cos (0 ) tan ( ) + sin (00 ) işleminin sonucu nedi?

26 SINIR EĞERLERİN (KÖŞE ÇILRIN) SİNÜS VE KOSİNÜSLERİ YKLŞIM iim çembe üzeindeki he noktanın apsisi; noktanın oijin ile bileştiilmesiyle oluşan pozitif yönlü açının kosinüsünü beliti. ynı şekilde odinatı da sinüsünü beliti. Sını değele 0, 90, 0, 70 ve 0 di. 0 M y (sinüs ekseni) 90 L N 70 0 K 0 (cosinüs ekseni) K(,0) cos0 = ve sin0 = 0 L(0,) cos90 = 0 ve sin90 = M(,0) cos0 = ve sin0 = 0 N(0, ) cos70 = 0 ve sin70 = K(,0) cos0 = ve sin0 = 0 dı. İRLİKTE ÇÖZELİM 7. sin +cos9+ tan kaçtı? toplamının sonucu.. sin (70 ) cos (0 ) fakının sonucu kaçtı?.. tan0 eşiti kaçtı?. cot0 eşiti kaçtı?. tan0 sin0 + cos0 işleminin sonucu nedi?. sin0 + cos70 toplamının sonucu nedi?. () cos90 + sin90 toplamının sonucu nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE. sin 0c + cos 70c ifadesinin eşiti nedi?. sin.cosπ + cos işleminin sonucu kaç- tı?. f() = sin + cos π fonksiyonu için f( ) kaçtı? sin70c cos90c. ^ h c m ifadesinin eşiti nedi? 0

27 İK KOORİNT SİSTEMİNE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLRIN İŞRETLERİ İLGİ ekseninin kosinüs ekseni, y ekseninin de sinüs ekseni olduğu atık bilindiğine göe, bu bilgi yadımıyla tanjant ve kotanjant fonksiyonlaının bölgelee göe işaetlei tespit edilebili. ik koodinat sisteminde bölgelede bu ifadelei kullanaak sin, cos, tan, cot, sec ve cosec ifadeleinin işaetleini bulabiliiz. II. ölge cos < 0 < 0 sin > 0 y > 0 III. ölge cos < 0 < 0 sin < 0 y < 0 y I. ölge > 0 cos > 0 y > 0 sin > 0 IV. ölge > 0 cos > 0 y < 0 sin < 0 tanα = sinα cosα cotα = cosα sinα I. ölgede tan > 0, cot > 0 II. ölgede tan < 0, cot < 0 III. ölgede tan > 0, cot > 0 IV. ölgede tan < 0, cot < 0 YKLŞIM I. ölgede açı 0 ile 90 aasındadı. II. ölgede açı 90 ile 0 aasındadı. III. ölgede açı 0 ile 70 aasındadı. IV. ölgede açı 70 ile 0 aasındadı. İRLİKTE ÇÖZELİM. = sin0 y = cos0. z = tan00 t = cot0 ifadeleinin işaetlei nedi?. a = sin90. cos90 b = tan0. cos0 c = sin00. cot70 ifadeleinin işaetleini bulunuz?. (0, 70 ) ve sin = için cos + tan cot ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.. 7

28 . (90, 0 ) ve cos = için sin cot fakının sonucu nedi?.. (, ) ve tan = için 7 cos + sin + cot ifadesinin eşiti nedi?. a = cos0 b = sin70 c = tan00 d = cot ifadeleinin işaetlei sıası ile nedi?. = sin0. tan0 y = cos00. cot00 z = sin00. cos0 ifadeleinin işaetlei sıası ile nedi?. (0, ) ve tan = için sin + cos cot ifadesinin sonucu nedi?,+,+,+,+,+. (,π) ve sin = için tan cos + sec ifadesinin sonucu nedi?. α (,π) ve sinα + cosα = 0 için cosα + sinα ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE. i (π, ) ve sin i = için tani + cosi ifadesinin eşiti nedi? 7. a = cos0 sin00 b = cos00 tan0 c = sin0 cot90 ifadelein işaetlei sıası ile nedi?. = sin90 y = cos70 z = tan t = cos ifadeleinin işaetlei sıası ile nedi? 9. α (,π) ve sin α + sinα = 0 için cotα nedi? +,, +,,+,+

29 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLR VE ESS ÖLÇÜ YKLŞIM Tigonometik değei istenen açı negatif veya 0 den büyük ise ilk önce esas ölçü hesaplanmalı, daha sona bölge ve işaet tespiti yapılmalıdı. İRLİKTE ÇÖZELİM. tan( 0 ) ifadesinin eşiti nedi?.. α (0, 90 ) iken cos( α) ifadesinin eşiti nedi?. sin0 ifadesinin eşiti nedi?. cos( 0 ) ifadesinin eşiti nedi?. α (0, 90 ) iken sin( α) ifadesinin eşiti nedi? sinα Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.. SIR SİZE. cot(0 ) ifadesinin eşiti nedi?. sec(90 ) ifadesinin eşiti nedi? 9

30 İRLİKTE ÇÖZELİM sin( + ) + cos( ). 7 cos( + ) + sin( + ) ifadesinin en sade hali nedi?. sin0 = k ise cos 0c + sin( 0c) cot 00c. tan 0c ifadesinin k tüünden eşiti nedi?. cos70 = a ise sin0 + sin00 toplamının a tüünden eşiti nedi?. cot = m ise cot c + tan c tan 0c cot c ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.... 0

31 SIR SİZE. cos = a ise. sin = k ise cos0 sin ifadesinin a tüünden eşiti nedi? sin( ) + cos( + ). 7 cos( ) + sin( ) ifadesinin en sade hali nedi?. tan0 = m ise cot( ) + tan ifadesinin eşiti nedi? a 0 m Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı cos0 + sin9 toplamının k tüünden eşiti nedi?. cot0 = p ise sin0. cos0 çapımının sonucu p tüünden nedi? 7. tan = ise cotc m 9 $ tanc m çapımının tüünden eşiti nedi? k p + p

32 PERİYOİK FONKSİYONLR İLGİ y = f() fonksiyonunda 'in değişen tüm değelei için y değelei hep aynı aalıkta değe alıyosa y = f() fonksiyonu peiyodik bi fonksiyondu. Tigonometik fonksiyonlada peiyodikti. YKLŞIM. y = f() = k. sin n (a + b) ve y = f() = k. cos n (a + b) fonksiyonlaı için peiyod T =, n tek sayı ise a T = a, n çift sayı ise. y = f() = k. tan n (a + b), y =f() = k. cot n (a + b) fonksiyonlaı için n tek de olsa çift de olsa peiyodu daima T = a dı. İRLİKTE ÇÖZELİM. y = sin³( + ) fonksiyonunun peiyodu kaçtı?. y = f() = cos²(a + ) + 0 fonksiyonunun peiyodu ise a geçel sayısının pozitif değei kaç- tı?. y = f() = tan³( ) + 7 fonksiyonunun peiyodu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. y = f() = tan²( ) fonksiyonunun peiyodu kaçtı?. y = f() = sin²( ) + 7 fonksiyonunun peiyodu kaçtı?. y = f() = cot³( + 7) + 9 fonksiyonunun peiyodu kaçtı? SIR SİZE

33 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLRIN GRFİKLERİ. SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLRININ GRFİKLERİ İRLİKTE ÇÖZELİM YKLŞIM. y = sin` j fonksiyonunun gafiğini çizelim.. y = cos() fonksiyonunun gafiğini çiziniz. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı a > 0 y = f() = sin(a) ve y = f() = cos(a) fonksiyonlaının a için sını değelei yani 0,,, ve değelei veileek y değelei hesaplanı, bu değelee kaşılık gelen noktala analitik düzlemde eğile çizileek bileştiili. Peiyodik fonksiyonla olduğu için bi peiyodluk aalıkta çizili ve peiyodun tam katlaı alınaak aynı şekil tekalanı. SIR SİZE. f() = sin() fonksiyonunun gafiğini çiziniz.. y = cos fonksiyonunun gafiğini çiziniz.. f() = sin fonksiyonunun gafiğini çiziniz.

34 . TNJNT VE KOTNJNT FONKSİYONLRININ GRFİKLERİ YKLŞIM π y = tan(a) ve y = cot(a) fonksiyonlaının peiyodu olduğu için a açısına bu aalıktaki bilinen açı değelei veili ve y değelei hesaplanı. ulunan noktala koodinat düzleminde yeleştiileek bu noktaladan geçen eğile çizili. a y = tan(a) fonksiyonu ve 'nin tek katlaında tanımsız olduğu için bu noktaladan asimptotla ( eksenine dik ve kesik kesik çizilen doğula) çizili. y = cot(a) fonksiyonu ise ve 'nin tam katlaında tanımsız olduğu için bu noktaladan asimtotla çizili. İRLİKTE ÇÖZELİM. f: [0, ] \ $. $IR olmak üzee f() = tan fonksiyonunun gafiğini çiziniz.. y = cot` j fonksiyonunun gafiğini çiziniz. O. f() = tan fonksiyonunun gafiğini çiziniz.. y = cot fonksiyonunun gafiğini çiziniz. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE

35 GRFİĞİ VERİLEN İR FONKSİYONU ULM YKLŞIM Veilen gafikte asimptotla ( eksenine dik ve kesik kesik çizilen doğula) vasa tanjant veya kotanjant fonksiyonu, yoksa da sinüs veya kosinüs fonksiyonlaı olu. İRLİKTE ÇÖZELİM... 0 y ) y = sin + ) y = sin + ) y = sin + ) y = sin 0 y E) y = cos + ) y = sin ) y = cos ) y = cos ) y = cos E) y = sin 0 Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? y Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? ) y = sin ) y = cos ) y = cot ) y = tan E) y = tan Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... y 0 y 0 y 0

36 SIR SİZE. y. y. Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? ) y = sin ) y = sin + ) y = sin ) y = sin E) y = sin 0 y Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? ) y = cos + ) y = cos ) y = cos ) y = cos E) y = cos Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. 0 Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? ) y = tan ) y = + tan ) y = cot ) y = cot E) y = cot 0 y 9 Gafiği veilen fonksiyon aşağıdakileden hangisidi? ) y = sin ) y = sin E) y = sin ) y = sin ) y = sin. E...

37 TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLR İLGİ i fonksiyonun tesinin fonksiyon olabilmesi için bu fonksiyonun biebi ve öten olması geeki. ncak tigonometik fonksiyonla biebi değildi. u nedenle tes tigonometik fonksiyonlaı yazabilmek için bie bi olduğu aalıkla seçili.. RKSİNÜS FONKSİYONU YKLŞIM Sinüs ve tanjant fonksiyonlaının tesi için bie bi ve öten olduklaı, aalığı seçili. f() = sin, f:, $ [, ] aalığında iken f () = acsin, f : [, ] $, de tanımlanı. (acsin =? ifadesi; ''Hangi açının sinüsü ti?'' diye okunusa soulaın çözümünde kolaylık sağla.) İRLİKTE ÇÖZELİM SIR SİZE. acsin c. acsin m ifadesinin değei nedi? ` j ifadesinin değei nedi?. coscacsin m ifadesinin sonucu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. acsin( ) ifadesinin değei nedi?. acsin c m = a ise tana. cosa çapımının sonucu kaçtı?. acsin c m = a ise cosa + tana toplamının sonu- cu kaçtı?. cos`acsin` jj ifadesinin değei nedi?. sinc acsinc mm ifadesinin değei nedi?. tanc acsinc mm ifadesinin değei nedi? - 7

38 . RKTNJNT FONKSİYONU YKLŞIM f() = tan, f: `, j $ R aalığında iken f () = actan, f : R $, j de tanımlıdı. actan =? ifadesi ''Hangi açının tanjantı 'ti?'' diye okunusa soulaın çözümünde kolaylık sağla.) ` İRLİKTE ÇÖZELİM. actan^ h ifadesinin değei nedi?. actan( ) ifadesinin değei nedi?. sin(actan()) ifadesinin değei nedi?. cos( + actan( )) ifadesinin değei nedi?. actanc m ifadesinin değei nedi?. actan^ h ifadesinin değei nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.... SIR SİZE. cos ` actan( ) j ifadesinin değei nedi?. cot(actan()) ifadesinin değei nedi?

39 . RKKOSİNÜS FONKSİYONU YKLŞIM Kosinüs ve kotanjant fonksiyonlaının tes fonksiyonlaı için bie bi ve öten olduklaı [0, ] aalığı seçili. f() = cos f: [0, ] $ [, ] de tanımlı f () = accos ve f : [, ] $ [0, ] de tanımlanı. (accos =? ifadesi ''Hangi açının kosinüsü ti?'' şeklinde okunusa soulaın çözümünde kolaylık sağla.) İRLİKTE ÇÖZELİM. accos ` j ifadesinin değei nedi?. accosc m ifadesinin değei nedi?. tancaccosc mm ifadesinin değei nedi?. sincaccosc. accosc. accosc mm ifadesinin değei nedi? m ifadesinin değei nedi? m ifadesinin değei nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. co t`accos` jj ifadesinin değei nedi?..... SIR SİZE tancaccosc mm ifadesinin değei nedi? 7 7 9

40 . RKKOTNJNT FONKSİYONU YKLŞIM f() = cot fonksiyonu f: (0, ) $ IR şeklinde tanımlı iken f () = accot ve f : IR $ (0, ) de tanımlıdı. (accot =? ifadesi ''Hangi açının kotanjantı ti?'' şeklinde okunusa soulaın çözümünde kolaylık sağla.) İRLİKTE ÇÖZELİM. accot() ifadesinin eşiti nedi?. accot^ h ifadesinin değei nedi?. sin(accot()) ifadesinin değei nedi?. cos(accot( 7)) ifadesinin değei nedi?. accotc m ifadesinin değei nedi?. accot( ) ifadesinin değei nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE tancacco tc mm ifadesinin değei nedi? sin` acco t` jj ifadesinin değei nedi? 0

41 TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLRL İLGİLİ KRM SORULR İRLİKTE ÇÖZELİM. sin` actan^h accos` jj ifadesinin eşiti nedi?. f() = accosc m fonksiyonunun tanım kümesi nedi?. f() = acsin` j için f ` j ifadesinin eşiti nedi?. accotc m = accosc m eşitliğini sağlayan değei nedi? +. f() = acsinc m fonksiyonunun tanım kümesi nedi?, π. actanc m = a ve a (,π) ise, 'in değe aalığı nedi?. sincactan^ h + accosc mm ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.... SIR SİZE. f() = actan` j ise f ()'nin değei nedi?. tan` actan j ifadesinin eşiti nedi?. acsin( ) = accot eşitliğini sağlayan değei kaçtı?

42 TRİGONOMETRİK ĞINTILR. KOSİNÜS TEOREMİ İLGİ i üçgende bi köşeden köşenin kaşısına indiilen dikme ve diğe açıladan biinin kosinüsü ile kenala aasında yazılan bağıntıdı. İSPT Şekildeki üçgende h + = c α h + (b ) = a c / cos = = c.cos / c b bağıntılaı yazılı. c b h h + S b + b = a a c b. cos / a + b = a yani a = b + c bc cos / 'dı. a = b + c bccos b = a + c accos c = a + b abcos enze biçimde b = a + c ac cos / c = a + b ab cos / YKLŞIM. i üçgende iki kena ve bu iki kenaın oluştuduğu açı biliniyoken üçüncü kenaı bulmak için kosinüs teoemi kullanılı.. i üçgenin üç kenaının uzunluklaı biliniyoken açılaının ölçüleini veya tigonometik oanlaını bulmak için kosinüs teoemi kullanılı. İRLİKTE ÇÖZELİM. i üçgeninde = biim, = biim ve m` % j = 0 ise kaç biimdi?.. i üçgeninin kenalaı aasında b² = a² + c² ac bağıntısı vasa m( / ) kaç deecedi? Çap Yayınlaı.

43 .. 7 E E Şekilde veilenlee göe = kaç biimdi? Şekilde veilenlee göe, E = kaç biimdi?. kiişle dötgeni % ise cos( ) kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. E. 7 E.

44 SIR SİZE. i üçgeninde = cm, = cm ve. kiişle dötgeni için % m( ) = 0 ise kaç cm'di?. i üçgeninin kenalaı a = cm, b = cm ve. c = cm ise cos( ) açısının kosinüsü kaçtı? dötgeninde % m( ) = 90 ise = kaç biimdi? Şekildeki veilee göe = kaç biimdi? 9 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı c a E 7 b cos( )nedi? 77 Şekilde veilenlee göe, E = kaç biimdi? Şekildeki yamuğunda [] '[] ise % cos( ) kaçtı? 'nin kenalaı aasında a² = b² + c² + bc bağıntısı vasa, m( / ) kaç deecedi? 7 0

45 . SİNÜS TEOREMLERİ a. LN TEOREMİ İLGİ İspat: c () = b. c. sinapple b c h H b b. h de lan( ) = / / h H de sin( ) = h = c. sin 'dı. c b. h lan( ) = = b. c. sin / olu. a YKLŞIM i üçgenin hehangi bi açısı ve bu açının kollaının uzunluklaı biliniyosa, alanını bulmak için sinüs alan teoemi uygulanı. İRLİKTE ÇÖZELİM. 0.. F E 'de veilenlee göe lan` j kaç b di? Şekilde lan(fe ) = lan(e) ise F = kaç biimdi? θ α 9 Şekilde lan( ) = lan() ve sini = ise sina nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. 0. F. E θ α 9

46 . 0 α 0 'de = ise sina nedi?. 'de = cm, = 7 cm ve % m( ) = 0 ise, lan( ) kaç cm²'di?.. 0 α E Şekilde veilenlee göe, lan( E) kaç biim kaedi? 7 = ise sina kaçtı? 7 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE.... F E Şekilde lan( ) = lan( F) ise = kaç biimdi? 0 α α Şekildeki paalelkenaının alanı kaç biim kaedi? 9 Şekilde lan( ) = 9 biimkae ise sina kaçtı?

47 . SİNÜS TEOREMİ.. 9 cm İLGİ c R a O 0 cm. 0.. α b 0 i 'nin çevel çembeinin mekezi O ve yaıçapı R ise a = b = c = / / / R sin sin sin ifadesine Sinüs Teoemi deni. üçgeninin çevel çembeinin kaç cm'di? yaıçapı Şekildeki ve üçgenleinin çevel çembelei aynıdı. una göe = kaç cm'di? 'de = kaç biimdi? Şekilde α = 90 + θ ise coti nedi? 'de = kaç biimdi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı İRLİKTE ÇÖZELİM YKLŞIM i üçgende hehangi bi açı ve o açının kaşısındaki kena biliniyoken çevel çembein yaıçapı Sinüs Teoemi ile bulunu. yıca kena uzunluklaı ve açıla aasındaki bağıntı yine Sinüs Teoemi ile bulunu... 9 cm 0 cm. 0.. α 0 i 0 0 7

48 SIR SİZE. i 'de = biim ve çevel çembeinin yaıçapı biim ise sin / kaçtı? α α α Şekildeki 'de veilenlee göe, tana kaçtı? 9 Şekilde veilenlee göe sina kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı cm i Şekilde veilenlee göe kaç biimdi? 0 Şekildeki veilenlee göe kaç biimdi? 0 m() = q kaç deecedi? Şekildeki veilee göe, 0

49 ÜÇGENİN LNINI ÇEVRE VE İÇ TEĞET ÇEMERİN YRIÇPI YRIMIYL ULM İLGİ c a b a b c u = + + lan( ) = u. ( u a). ( u b). ( u c) (Heon Fomülü) F O E = c = b = a lan( ) = u. İRLİKTE ÇÖZELİM.. 7 O Şekildeki 'nin alanı kaç biim kaedi? 'de = cm, = 9 cm, = cm ise, iç teğet çembeinin yaıçapı kaç cm'di?. Çevesi biim ve iç teğet çembeinin yaıçapı biim olan üçgenin alanı kaç biim kaedi?. Kena uzunluklaı 7 cm, cm ve cm olan üçgenin çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi?. Çevesi cm ve iç teğet çembeinin yaıçapı cm olan üçgenin alanı kaç cm²'di? 70 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE. 0 'nin iç teğet çembeinin yaıçapı kaç biimdi? 9

50 ÜÇGENİN ÇEVREL ÇEMERİ VE LN ĞINTILRI İLGİ c O R a b / / b. c a 'de lan() =. sin dı ve = R / iken sin = a 'di. R sin... u ifadeyi alan denkleminde yeine yazacak olusak; lan( ) = b c a. = a b c olu. R R c O R H b a. h 'de lan() = a. b. c R ve lan() = a. h. h.r = b. c eşitliği elde edili. = a. b. c ifadeleini eşitleyecek olusak R YKLŞIM a. b. c asitçe elde ettiğimiz. h. R = b. c ve lan( ) = R fomülleini kullanaak bi çok poblemi çözebiliiz. İRLİKTE ÇÖZELİM. H O R 'nin çevel çembeinin yaıçapı R, = cm, = 0 cm, H = cm ve [H]=[] ise çevel çembein yaıçapı kaç cm'di?.. Kena uzunluklaı,, 7 biim olan bi üçgenin çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi? 9 Şekildeki 'nin çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... 0

51 SIR SİZE.. Kena uzunluklaı cm, cm ve 0 cm olan bi 'nin çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi? O. R Şekilde veilen 'nin çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi? Şekildeki 'nin çevel çembeinin yaıçapı R ve alanı kaç b'di? biim kae ise R Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı O H Şekilde O mekezli çembe 'nin çevel çembeidi. O = b ise = kaç biimdi? 'de = = cm ve = cm ise çevel çembeinin yaıçapı kaç cm'di? 'de = biim ve = biim ise çevel çembeinin yaıçapı kaç biimdi?

52 TOPLM FRK FORMÜLLERİ İLGİ c Şekilde ( ) = ( H) + ( H)' di. y b. b. c. sin( + y) =. c.h. sin +. b. h. siny h. b. c. sin( + y) =. c. b. cosy. sin +. b. c. cos. siny yazılısa H R cos h V S =, h = c. cos W S c W S h W sin( + y) = sin. cosy + siny. cos fomülü elde edili. Scos y =, h = b. cos y b W u fomüldeki + y, yeine + ( y) yazacak olusak; T X sin( + ( y)) = sin. cos( y) + sin( y). cos olu. sin( y) = siny.ve cos( ) = cos olduğu için sin( y) = sin. cosy siny. cos fomülü elde edili.. b. c. sin( + y) =. b. c. (sin. cosy + cos. siny) olu. uadan Kosinüs içinde cos( + y) = sin(90 ( + y)) eşitliğini kullanabiliiz. cos( + y) = sin(90 y) = sin(90 ). cosy siny. cos(90 ) cos( + y) = cos. cosy siny. sin fomülü elde edili. u fomüldeki y'lein yeine y yazıldığında cos( + ( y)) = cos. cos( y) sin( y). sin cos( y) = cos. cosy + sin. siny fomülü elde edili. YKLŞIM Sinüs veya kosinüsü istenen açı 0, ve 0 den faklı ise bu üç açıdan iki tanesinin toplamı veya fakı şeklinde yazıldıktan sona toplam veya fak fomüllei yadımı ile değei bulunabili. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin ifadesinin eşiti nedi?. cos. cos + sin. sin toplamının değei kaçtı?. cos0 ifadesinin eşiti nedi? Çap Yayınlaı. sin7. cos + sin. cos7 toplamının değei kaçtı?

53 İRLİKTE ÇÖZELİM. sina = ve cosi = için sin(a + i) ifadesinin eşiti nedi?. cos ifadesinin eşiti nedi?. sin0 ifadesinin eşiti nedi?. sin70. cos0 + cos70. sin0 toplamının değei nedi? + + Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE sin c. cos c + cos c. sin( c) cos c. cos c sin c. sin( c) ifadesinin en sade hali nedi?. sin = ve cosy = ise cos( + y) ifadesinin. eşiti nedi? cos 7c. sin c sin 7c. cos c sin 7c. cos c + cos 7c. sin c ifadesinin en sade hali nedi?. sin = ve sin y = ise cos( y)'nin değei nedi? +

54 İLGİ sin( + y) tan( + y) = eşitliğinden elde edili. cos( + y) sin. cos y + cos. sin y tan( + y) = ifadesindeki he teimi cos. cosy ile bölecek olusak cos. cos y sin. sin y sin. cos y cos. sin y + cos. cos y cos. cos y = geekli sadeleştimeleden sona cos. cos y sin. sin y cos. cos y cos. cos y tan + tany tan( + y) = toplam fomülü elde edili. - tantany tan + tan( - y) tan - tany enze şekilde tan ( + ( y)) = den de tan( - y) = fomülü elde edili. - tan. tan( - y) + tan. tany Kotanjant için uygulanı. Tanjant cot( + y) = cot. coty - cot + coty toplam fomülü ve cot( y) = cot. coty + coty - cot fak fomülü elde edili. YKLŞIM Tanjant veya kotanjantı istenen açı 0, ve 0 den faklı ise yine bu üç açıdan iki tanesinin toplamı veya fakından istenen açının tanjant veya kotanjantı elde edili. İRLİKTE ÇÖZELİM. tan 'nin değei kaçtı?. tan = ve coty = ise tan( y) ifadesinin eşiti nedi?. cot c. cot 0c cot 0c + cot c nedi? ifadesinin en sade hali Çap Yayınlaı. π tan π + tan π π tan. tan ifadesinin değei nedi?

55 SIR SİZE. cot 'nin değei kaçtı?. + tan 7c tan 7c ifadesinin en sade hali nedi? + tan 7c. tan 7c. cot = ve tany = ise cot( + y) ifadesinin değei kaçtı? π π π π. sin( + )cos( ) + sin( )cos( + ) ifadesinin değei nedi? 9 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. sin = cos ve 9siny = cosy ise tan( y) kaçtı?. cosy = siny ve sin = cos ise 7. cot(+y) ifadesinin değei kaçtı? cot 7c. cot c + cot 7c cot c ifadesinin en sade hali nedi?. a + b = π olduğuna göe cos(a + b) cos(a + b) + sin(a + b) sin(a + b) ifadesinin değei kaçtı? 9 0

56 TOPLM FRK FORMÜLLERİNİN GEOMETRİK UYGULMSI I YKLŞIM Tigonometik oanı istenen açı bi dik üçgende değilse; dik üçgen oluştuulaak çözüm bulunu. Ya da tigonometik oanı istenen açıyı başka açılaın toplamı veya fakı şeklinde yazaak toplam fak fomüllei uygulanı. İRLİKTE ÇÖZELİM..... E α F F K E E K Şekildeki dik % yamuğunda cos( E) kaçtı? Şekildeki dötgeninde sin( ) % kaçtı? dikdötgeninde veilenlee göe % tan( FK) kaçtı? Şekildeki üçgende cota kaçtı? dikdötgeninde FE = F = E = EF ise % tan( FKE) kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı..... E E K F α K F E

57 SIR SİZE.. Şekildeki üçgende α. K. F 7 K α L θ H E tana kaçtı? 9 Şekildeki dötgeninde tan( ) % kaçtı? 9 + Şekilde veilenlee göe coti kaçtı? 77 dikdötgeninde tana kaçtı? 7 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı E O y θ E 7 dik yamuğunda veilenlee göe % sin( E) kaçtı? 7 bi kae olduğuna göe, coti kaçtı?, EMN ve N M L K EFKL bie kae (, ) (, ) E / Şekilde m( O ) = θ kaç deecedi? F = E = EF % tan( NF) kaçtı? 7 7

58 TOPLM FRK FORMÜLLERİNİN GEOMETRİK UYGULMSI II İRLİKTE ÇÖZELİM. H.. θ E F α 'de % m( ) = c ise kaç biimdi? dik üçgeninde cota kaçtı? dik üçgeninde = ise coti kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. H.. θ E F α

59 .. cm H 9 cm.. β α α E F θ 'de % m( ) = [H] = [] ise ( ) kaç cm²'di? dik üçgeninde tan kaçtı? dik üçgeninde tana nedi? dötgeninde [] = [] ve tanα =, tanθ = ise tanβ kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE... E z y K dötgeninde [] = [], cot = coty = ise cotz kaçtı? E = E = K = F = F = ise % m^keh kaç deecedi? α H K F dikdötgen 'ni eşkena üçgendi. HK = H ise cota nedi?

60 TOPLM VE FRK FORMÜLLERİNİN ÜÇGEN UYGULMLRI YKLŞIM i üçgenin iç açılaı toplamının 0 olduğunu kullanaak bazı tigonometik ifadelein değelei bulunu. Tigonometik oanı veilen bi açıyı dik üçgende yeleştieek diğe tigonometik oanla bulunu. İRLİKTE ÇÖZELİM. i / 'de sin = / ve os = cos / kaçtı? / / / /. i 'de tan =, Sin = ise tan / kaçtı? ise Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. +y = iken (sin cosy) + (cos siny) toplamının değei nedi?. +y = iken (cos cosy) + (sin + siny) toplamının değei nedi? 0

61 . sin(actan accos ) ifadesinin sonucu kaçtı?. actan + accot ifadesinin değei kaç adyandı. / /. i üçgeninde sin =, cos = kaçtı? ise sin / üçgeninde tan / =, cot / = ise cos / kaçtı?. y = için (sin cosy)² + (siny + cos)² ifa- desini eşiti kaçtı? +. coscacsinc m + actan m ifadesinin sonucu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı SIR SİZE. tancacsin + accos` jm ifadesinin sonucu kaçtı? cos`acsin` j + accos` jj ifadesinin eşiti kaçtı? 7. cot cactan( ) + acsinc mm ifadesinin eşiti kaç- tı? 0 7. sin. cos` j + cos. sin` j toplamının değei kaçtı?

62 YRIM ÇI FORMÜLLERİ. SİNÜS YRIM ÇI FORMÜLLERİ İLGİ sin( + y) = sin. cosy + siny. cos toplam fomülündeki "y" yeine "" yazacak olusak; sin( + ) = sin. cos + sin. cos olu. Yani sin = sin. cos ifadesi elde edili. YKLŞIM Veilen açıyı ile bölüp fomülde yazabiliiz. Veilen ifadenin kaesini alaakta yaım açı fomülüne ulaşabiliiz. azende sinüs yaım açı fomülüne dönüştümek için bi teim ile çapa ve böleiz. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin = ise sin kaçtı? sin c. ifadesinin en sade hali nedi? cos c. cos 9c. sin cos = ise sin kaçtı? 7 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. cos. cos. cos7 çapımının en sade hali nedi?. sin = ise tan kaçtı?

63 SIR SİZE. cos = ise sin kaçtı?. sin = ise cot kaçtı? 7. 7 sin 0c ifadesinin en sade hali nedi? cos 0c. cos 0c. sin + cos = ise sin kaçtı? sin0. cos0. cos0. cos0 çapımının sonucu nedi? 9 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. sin = ise cos kaçtı? 7. (0, ) ve sin = 0, ise tan + cot toplamının değei kaçtı?. (0, ) ise sin ifadesinin en sade hali nedi? cos sin

64 . KOSİNÜS YRIM ÇI FORMÜLLERİ cos( + y) = cos. cosy sin. siny fomülünde "y" yeine "" yazılısa, cos( + ) = cos. cos sin. sin olu. Yani cos = cos² sin² eşitliğinde sin² = cos² yazılısa, İLGİ cos = cos² ( cos²) cos = cos², cos² = sin² yazıldığında da cos = sin² sin² cos = sin² fomülü elde edili.. sin = ise cos kaçtı?. cos = 7 ise tan kaçtı?. sin = ise cos0 'nin cinsinden değei nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı İRLİKTE ÇÖZELİM YKLŞIM Üç tanekosinüs yaım açı fomülü olduğu için soulaı çözeken bu üç fomülden hangisinin daha kullanışlı olduğuna doğu kaa vemek geeki.. cosα = ise cosa kaçtı?. cos0 = a ise sin70 'nin a tüünden değei kaçtı?. cosc acsinc mm ifadesinin sonucu nedi?

65 SIR SİZE. cos(,) = a ise cos 'nin a tüünden eşiti nedi?. sin = ise cos kaçtı?. cos = ise cot nedi?. cos = ise cos kaçtı? a Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. cos0 = ise sin9 kaçtı?. cos c + accos c mmkaçtı? 7. sin ifadesinin en sade hali nedi? + cos + tan. sin = ise sin nın tüünden değei nedi?

66 . TNJNT YRIM ÇI FORMÜLLERİ İLGİ tan + tan y tan( + y) = fomülünde he "y" değei tan. tan y yeine "" yazıldığında tan + tan tan( + ) = olu. uadan da tan. tan tan = tan fomülü elde edili. - tan. tan = ise tan kaçtı?. sin = ise cot kaçtı?. tan cot = 9 ise tan kaçtı?. π tan ifadesinin değei kaçtı? π tan Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı İRLİKTE ÇÖZELİM YKLŞIM Kotanjant için bi fomül elde etmeye geek yoktu. Çün- kü; cot = tan olduğu için cot'i bulmak için tan bulunu ve çapmaya göe tesi alını.. tan = ise cos değei kaçtı?. tan(accot) ifadesinin sonucu kaçtı?

67 SIR SİZE. tan = ise tan kaçtı?. cot = ise cot kaçtı? (cot = ) tan. tan = ise tan kaçtı?. tanc accosc mm ifadesinin değei kaçtı? veya 7 Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. cot tan = ise tan ifadesinin değei kaçtı?. tanc acsinc mm ifadesinin sonucu nedi? 7. sin = ise tan ifadesinin değei nedi? tan = ise sin.cos çapımının sonucu nedi? 0 0 7

68 ÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ. SİNÜS ÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ sin( + y) = sin cosy + cos siny sin( y) = sin cosy cos siny denklemleini taaf taafa toplayalım ve taaf taafa çıkaalım: Toplasak: sin( + y) + sin( y) = sin cosy Çıkaısak: sin( + y) sin( y) = cos siny elde edili. a + b a b Şimdi de + y = a ve y = b olsun. u denklemleden de = ve y = olu. Topladığımız ve çıkadığımız denklemlede yeleine yazalım. sina + sinb = sin a + b. cos a - b ve sina sinb = cos a + b. sin a - b dönüşüm fomüllei elde edili. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin70 + sin0 toplamı nedi? SIR SİZE. sin7 + sin toplamı kaçtı?. = π ise sin7 + sin toplamı kaçtı?. = π için sin 7 sin sin ifadesinin değei kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. = π ise sin9 sin7 fakı kaçtı?. 0 = π ise. kaçtı? sin + sin sin ifadesinin sonucu sin 70c + sin 0c ifadesinin sonucu kaçtı? sin 0c + sin 0c. cos = a ise sin²7 sin² ifadesinin sonucu kaçtı? 0 a

69 . KOSİNÜS ÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ İLGİ cos( + y) = cos cosy sin siny cos( y) = cos cosy + sin siny denklemleini taaf taafa toplayalım ve taaf taafa çıkaalım: Toplasak: cos( + y) + cos( y) = cos cosy Çıkaısak: cos( + y) cos( y) = sin siny elde edili. a + b a b + y = a ve y = b olsun. u denklemleden de = a + b = ve y = olu. Topladığımız ve çıkadığımız denklemlede yeleine yazalım. cosa + cosb = cos a + b. cos a - b ve cosa cosb = sin a + b. sin a - b dönüşüm fomüllei elde edili. İRLİKTE ÇÖZELİM SIR SİZE. cos0 + cos0 toplamı nedi?. 0 = π ise cos + cos cos ifadesinin eşiti nedi?. cos cos = için sin 7 ifadesinin sonucu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. cos0 cos0 fakının sonucu nedi?. = π ise cos cos fakı kaçtı? sin c. cos cos = ise sin 7 ifadesinin değei kaçtı?. cos c cos c ifadesinin en sade hali nedi? cos 0c + cos 0c. cos0 + cos toplamı kaçtı? tan 0c 9

70 . KRM ÖNÜŞÜM SORU VE ÇÖZÜMLERİ İRLİKTE ÇÖZELİM. sin c + sin c + sin c cos c + cos c + cos c ifadesinin en sade hali nedi? sin + sin ifadesinin sonu- cos + cos. = için cu kaçtı?.. sin c sin c cos 0c + cos 0c ifadesinin en sade hali nedi? sin + sin + sin ifadesinin en sade hali cos + cos + cos nedi?. cos0 = ise sin0 + sin0 + sin0 toplamının sonucunedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı

71 SIR SİZE.. cos + cos + cos sin + sin + sin nedi? ifadesinin en sade hali cos 0c cos 0c ifadesinin eşiti kaçtı? sin c + sin c. = π için nedi? cos cos sin. cos cot işleminin sonucu Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı sin 7c + sin c. ifadesinin en sade hali nedi? cos 7c cos c sin 0c + sin 0c. işleminin sonucu kaçtı? cos 0c + cos 0c. sin0 = a ise cos0 + cos0 + cos0 toplamının sonucu nedi? a + 7

72 TERS ÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ İLGİ. sin( + y) = sin cosy + cos siny ve sin( y) = sin cosy cos siny fomüllei taaf taafa toplanısa sin( + y) + sin( y) = sin. cosy olu. uadan da; sin. cosy = [sin( + y) + sin( y)] tes dönüşüm fomülü elde edili.. cos( + y) = cos cosy sin siny ve cos( y) = cos cosy + sin siny fomüllei taaf taafa toplanı ve çıkaılısa Toplasak: cos( + y) + cos( y) = cos. cosy cos. cosy = [cos( + y) + cos( y)] ile Çıkaısak: cos( + y) cos( y) = sin. siny sin. siny = [cos( + y) cos( y)] tes dönüşüm fomüllei elde edili. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin7. cos çapımının sonucu nedi?.. = π için cos. sin çapımının sonucu nedi?. cos = k ise sin. cos7 çapımının sonucu k tüünden nedi?. cos0. cos0. cos0 ifadesinin sonucu kaçtı?.. cos0 sin 70 c ifadesinin sonucu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.... 7

73 SIR SİZE. sin0. sin7 çapımının sonucu nedi?. = ise cos9. cos çapımı kaçtı? +. sin = a ise sin. cos7 çapımı kaçtı? - a +. sin0. sin70. cos0 ifadesinin sonucu kaçtı? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. cos 0c ifadesinin sonucu nedi? cos 0c 7. sin. cos çapımının sonucu nedi? 7. + cos 0c + cos 70c + cos 0c sin 0c. sin 70c sin 0c. sin 0c sin 0c. sin 70c toplamının sonucu kaçtı?. cos0. cos0. cos70 çapımının sonucu kaçtı? 7

74 TRİGONOMETRİK ENKLEMLER ilinmeyen içeen ve bilinmeyenin bazı değelei için doğu olan tigonometik eşitliklee Tigonometik enklemle deni. İLGİ SİNÜS ENKLEMLERİ - I YKLŞIM - a olmak üzee, sin = a denkleminin çözüm kümesi 'in esas ölçüsü α iken Çözüm Kümesi = { = α + kπ V = π α + kπ, k Z} şeklinde yazılı. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin = denkleminin çözüm kümesi nedi?.. sin ` + j = denkleminin çözüm kümesi nedi?. sin = 0 denkleminin [0, ) aalığındaki çözüm kümesi nedi? Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı.. 7

75 SIR SİZE. sin = denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k V = + k, k d Z $.. sin` j = denkleminin çözüm kümesi nedi?. sin() = 0 denkleminin [0, ) aalığındaki çözüm kümesi nedi? = + k V = k, k d Z 9 $. 7,,, $. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. sin` + j = denkleminin çözüm kümesi nedi? " = ( k + ), k d Z,. sin` j = 0 denkleminin çözüm kümesinin [0, ) aalığında kaç elemanı vadı?. sin = 0 denkleminin [0, ) aalığındaki köklei nedi? 7,,, $. 7

76 SİNÜS ENKLEMLERİ II YKLŞIM sinα = sinθ fomundaki ifadele için α = θ + πk ve α = π θ + πk eşitliklei yazılaak çözüm yapılı. İRLİKTE ÇÖZELİM. sin = sin0 denkleminin genel çözüm kümesi nedi?.. sin` + j = sin` j denkleminin çözüm kümesi nedi?. sin() = sin0 denkleminin çözüm kümesi nedi? " = 0c + 0c. k V = 0c + 0c. k, k d Z,. sin ` j = sin` + j denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k V = 7 + k, k d Z 0 $. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE. sin c m = sin ` j denkleminin çözüm kümesi nedi? { = + k, k! Z}. sin( + 0 ) = sin( 0 ) denkleminin çözüm kümesi nedi? { = 00c + 0 c.k 0 = 0c + 0ck, k d Z} 7

77 KOSİNÜS ENKLEMİ I YKLŞIM a olmak üzee, sin = a denkleminin çözüm kümesi 'in esas ölçüsü α iken, Çözüm kümesi = { = α + πk V = α + πk, k Z} İRLİKTE ÇÖZELİM. cos = denkleminin çözüm kümesi nedi?. cos` j = denkleminin çözüm kümesi nedi?. cos() = 0 denkleminin çözüm kümesi nedi?. cos =. cos` j = nedi? denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k V = + k, k d Z $. denkleminin çözüm kümesi = 7 + k V = + k, k d Z $. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı... SIR SİZE. cos() = 0 denkleminin çözüm kümesi nedi? = k, k d Z $.. cos() + = 0 denkleminin [0, ) aalığındaki çözüm kümesi kaç elemanlıdı? 7 77

78 KOSİNÜS ENKLEMİ II YKLŞIM cosα = cosθ fomundaki ifadele için α = θ + πk veya α = θ + πk şeklinde yazılaak çözülü. İRLİKTE ÇÖZELİM. cos = cos0 denkleminin çözüm kümesi nedi?.. cos` j = cos` + j denkleminin çözüm kümesi nedi?. cos = cos7 denkleminin çözüm kümesi nedi? { = + 0 k V = + 0 k, k d Z}. cos c m = cosc m denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k V = k, k d Z 9 $. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. SIR SİZE. cos( + 0 ) = cos( ) denkleminin çözüm kümesi nedi? " = 7c + 0ck V = c + 0ck, k d Z,. cos = cos denkleminin çözüm kümesi nedi? π π { = " + k, k! Z} 7

79 TNJNT ENKLEMLERİ YKLŞIM b R olmak üzee tan = b denklemi için 'in esas ölçüsü α iken, Çözüm kümesi = { = α + πk, k Z}'di. tan = tany için = y + πk denklemi yazıldıktan sona geekli çözümle yapılı. İRLİKTE ÇÖZELİM. tan = denkleminin çözüm kümesi nedi?. Çap Yayınlaı Çap Yayınlaı. tan` j = tan() denkleminin çözüm. kümesi nedi? SIR SİZE. tan = denkleminin çözüm kümesi nedi?. tan` j = denkleminin (0, ) aalığında $ = + k, k d Z. kaç tane kökü vadı?. tan ` j = tan` + j denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k, k d Z $.. tan` j = denkleminin çözüm kümesi nedi? = + k, k d Z $.. tan²() = denkleminin çözüm kümesi nedi? = ( k + ), k d Z $.. tan = tan denkleminin çözüm kümesi nedi? π { = k, k d Z} 79

11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi

11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi 11 SINIF MATEMATİK Tigonometi Doğunun Analitik İncelenmesi 1 YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğucan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgü OFLAZ Eğe bi gün sözleim

Detaylı

Cevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2

Cevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2 MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane

Detaylı

ŞİFRELİ MATEMATİK. Trigonometri Youtube Şifreli Matematik. Matematik-Geometri Ders Videoları

ŞİFRELİ MATEMATİK. Trigonometri Youtube Şifreli Matematik. Matematik-Geometri Ders Videoları Yasal Uyaı: Soulaın çözüm videolaına, tamamı video çözümlü süpe KİTAPLARIMA, güncel konu anlatımlaı ve daha fazlasına en güncel haliyle adesinden ulaşabilisiniz. de kanalına bekliyoum. Başaıla dileim...video

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

TRİGONOMETRİ ıı lik açı kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir? Şekilde O merkezli çeyrek çember verilmiştir. %

TRİGONOMETRİ ıı lik açı kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir? Şekilde O merkezli çeyrek çember verilmiştir. % ünite TGOOMT sas Ölçü ve iim Çembe Tigonometik Fonksiyonla ve Özdeşlikle Tigonometik Fonksiyonlaın alığı ve Sıalaması ik Üçgende Tigonometik Oanla Tigonometi ndigeme Fomüllei Üçgende Tigonometik ağıntıla

Detaylı

4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...

4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,... eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu

Detaylı

4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için

4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,

Detaylı

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / GMİ NM ÇÖZÜMLİ eneme -. 0 ' 0 ile l eş üçgenle olduğundan; = 0 cm l = 0 cm ve = desek l = olu. l de pisago ise l = cm. 0 @ nin ota noktasını olaak işaetlielim. u duumda, = cm ( de ota taan) = cm

Detaylı

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 11. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ÇEMBER GEOMETRİ

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 11. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ÇEMBER GEOMETRİ ÜNİVRSİTY HZIRLI 11. SINIF UL YRIMI NU NLTIMLI SRU NSI ÇMR GMTRİ ÜNİVRSİTY HZIRLI 11. SINIF UL YRIMI NU NLTIMLI SRU NSI ISN 978 605 7 6 0 izgi ÇP izgi iimi apak Tasaım Fatma Özgü FLZ. askı kim 018 İLTİŞİM

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?

Detaylı

ÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1

ÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1 MTEMTİK TRİGONOMETRİ - I irim Çember II III sin I IV 0 nin esas ölçüsünü bulunuz 0 00 0 00 + olduğundan, esas ölçüsü olur I ölge (0 < < II ölge ( ) < < ) III ölge ( < < IV ölge ( ) < < ) sin tan cot +

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINV SORULRI. 99 ÖYS D C 5. 99 ÖYS fonksionunun ba lan g ç nok ta s na en a k n olan nok ta s n n, ba lan g ç nok ta s na uzak l kaç bi im di? O bi im olan bi a çem be in içi ne çi zi

Detaylı

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim

Detaylı

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir. GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde

Detaylı

açılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.

açılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir. KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat

Detaylı

Örnek...1 : Çapı 4 birim olan bir dairenin yarı çevresi ve alan ın ın sa yısal değerleri toplam ı kaçtır? 6π. Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...

Örnek...1 : Çapı 4 birim olan bir dairenin yarı çevresi ve alan ın ın sa yısal değerleri toplam ı kaçtır? 6π. Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek... ÇEEE ÇEVE, İEE N 3 ( ÇEEİN ÇEVEİ İENİN, İE İİİNİN, İE EEİNİN VE HNIN NI ÇEEE ENZEİ EĞEENİE ) ÇEEİN ÇEVEİ VE İENİN NI İE İİİ NI VE YY UZUNUĞU mek ezli bi çembein çevesi, Çeve=2.π. mek ezli bi daienin alanı,

Detaylı

TOPLAM FARK FORMÜLLERİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER ANALİZ TESTLERİ

TOPLAM FARK FORMÜLLERİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER ANALİZ TESTLERİ ÖÜ OP OÜİ inüs oplm - k omülü... osinüs oplm - k omülü...9 njnt ve otnjnt oplm - k omüllei... oplm - k omülleinin Geometik Şekillee ygulnmsı... G İ...9 ÖÜ İİ Ç OÜİ inüs İki t çı omülü... osinüs İki t çı

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R

Detaylı

TR GONOMETR. 2. Kazan m: k Z olmak üzere, k r. 2 " i say lar n n trigonometrik oranlar n i say s n n trigonometrik

TR GONOMETR. 2. Kazan m: k Z olmak üzere, k r. 2  i say lar n n trigonometrik oranlar n i say s n n trigonometrik TRGONOMETR ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNT Dik Üçgende Da Açlan Tigonometik Oanla. Kazanm: Dik üçgende da açlan tigonometik oanlan beliti.. Kazanm: Dik üçgen yadmyla 0, 45 ve 60 lik açlan tigonometik oanlan

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 11. ve 12. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK TRİGONOMETRİ

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 11. ve 12. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK TRİGONOMETRİ ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. ve. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI TRİGONOMETRİ ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. ve. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN 97 60 7 6 4 Genel Yayın Koordinatörü

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2

Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2 eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa

Detaylı

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER Bir çember, düzlemde üç ayr k küme oluflturur. 1. Çember 2. Çemberin iç bölgesi 3. Çemberin d fl bölgesi

ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER Bir çember, düzlemde üç ayr k küme oluflturur. 1. Çember 2. Çemberin iç bölgesi 3. Çemberin d fl bölgesi IV. ÖLÜM ÇMR ÇMR ML VRMLR an m : üzleme sabit bi noktaan eflit uzakl kta bulunan noktala n kümesine çembe eni. Sabit noktaya, çembein mekezi; sabit uzakl a a çembein ya çap eni. = çembein ya çap. mekezli

Detaylı

DRC. 5. ab b = 3 b ( a 1 ) = Deponun hacmi 24x olsun, 3. y = 6 için = 3. 7 MATEMATİK DENEMESİ. a 9 b. a 2 b b = 12 b ( a 2 1 ) = 12.

DRC. 5. ab b = 3 b ( a 1 ) = Deponun hacmi 24x olsun, 3. y = 6 için = 3. 7 MATEMATİK DENEMESİ. a 9 b. a 2 b b = 12 b ( a 2 1 ) = 12. MTEMTİK DENEMESİ Çözümle.. ab b = b ( a ) = a 9 b a b b = b ( a ) =. c d 7,,,,,, 7,, 9 + +... + 9 = : = a + + = a = b =, c = + 7 + d = d = = 7 < < & > > 7 & > > 7 =,,,, olup in alabileceği faklı değelein

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

Örnek...1 : Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesapla yın ız. Örnek...2 : sin 2 12+cos sin 67+cos 34. sin41 işleminin sonucu kaçtır?

Örnek...1 : Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesapla yın ız. Örnek...2 : sin 2 12+cos sin 67+cos 34. sin41 işleminin sonucu kaçtır? RİGNMERİ İR AÇININ KSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ Merk ezi orijin ve arıçapı birim olan çem bere birim çem ber denir. Standart pozisonda (Köşesi orijinde, başlangıç kenarı ve Kosinüs Sinüs önü pozitif ön olan

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ TRİGONOMETRİ İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No YÖNLÜ AÇI VE YÖNLÜ YAY KAVRAMI -AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ...00-00.... BİRİM ÇEMBER...00-00.... BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ...00-00.... BİR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARININ

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI

Detaylı

LİMİT TÜREV İNTEGRAL SORU BANKASI

LİMİT TÜREV İNTEGRAL SORU BANKASI LİMİT TÜREV İNTEGRAL SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER LİMİT Limitin Özelliklei... Paçalı Fonksionlada Limit... Mutlak Değeli Fonksionlada Limit... Gafikte Limit... Genişletilmiş Reel Saılada Limit... Belisizliği

Detaylı

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve

Detaylı

13. İlk çemberin çevresi f ( x ) doğrusal fonksiyon ise a 1. Cevap A. 14. x = log 0,125. sonuç yayınları. Cevap D. 15. log ( x 3 )

13. İlk çemberin çevresi f ( x ) doğrusal fonksiyon ise a 1. Cevap A. 14. x = log 0,125. sonuç yayınları. Cevap D. 15. log ( x 3 ) eneme - / YT / MT MTMTİ NMSİ Çözümle.. =. 0 +. ( asal) tam saı bölen saısı 97 + = 00.. ( + ). ( + ) = 00 ( + ). ( + ) = 00 = 9 bln.. a + 7 = ( b + ). ( c ) ( + ).( + ) = ( b + ).( c ) b =, c =, a =, a

Detaylı

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ Y / Rİ N ÇÖZÜRİ eneme -. de ' çizilise + olcğındn cm, cm ve cm bulunu. ikizken üçgeninde m^\ m ^\ desek iki iç çının toplmı bi dış çı olcğındn m^\ olu. ikizken üçgeninde m^\ m^\ dı. m^\ m^\ dı. (Yöndeş

Detaylı

A(OD &A) = Kenarların orta noktaları sırasıyla E(1, 1), F(3, 1), Çözüm Yayınları. 1 + m = m = 4

A(OD &A) = Kenarların orta noktaları sırasıyla E(1, 1), F(3, 1), Çözüm Yayınları. 1 + m = m = 4 Noktanın nalitik İncelenmesi ÖLÜM 0 Test 0. (a, b) noktası III. bölgee oluğuna göe, ( a, a + b) noktası hangi bölgeei?. ik kooinat sistemine bi paalelkena ) ijine ) I. bölgee = ) II. bölgee ) III. bölgee

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

İNTEGRAL ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

İNTEGRAL ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT İNTEGRAL ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Belili İntegal. Kazanım : Riemann toplamı adımıla integal kavamını açıkla.. Kazanım : Belili integalin özellikleini açıkla.. Kazanım : İntegal hesabının biinci

Detaylı

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının vea bi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ Z P. O α X P. α = yatay açı. ω = düşey açı. µ =eğim açısı. ω + µ = 100 g

ARAZİ ÖLÇMELERİ Z P. O α X P. α = yatay açı. ω = düşey açı. µ =eğim açısı. ω + µ = 100 g Trigonometrik Fonksiyonlar Z Z P P ω µ P O α α = yatay açı P P ω = düşey açı µ =eğim açısı ω + µ = 100 g Şekil 9 üç Boyutlu koordinat sisteminde açı tiplerinin tasviri. Trigonometrik kavramlara geçmeden

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYSAL ANALİZ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ SAYSAL ANALİZ LİNEE DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMLEİ (Klasik Yöntemle) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ İÇEİK Doğusal Denklem Takımlaının Çözümü Came Yöntemi Matisin

Detaylı

DRC. 1. x 2 + 2xy + y 2 = 25 x + y = ± , 4, 6,..., 48 numaralı bölmeler yakılıyor. ( 24 tane ) 5. f ( x + 3 ) = x.

DRC. 1. x 2 + 2xy + y 2 = 25 x + y = ± , 4, 6,..., 48 numaralı bölmeler yakılıyor. ( 24 tane ) 5. f ( x + 3 ) = x. eneme - 8 / YT / MT MTMTİK NMSİ. + + + ± + 8 9 9. s( + ) s() İ İ + 9 9 7... ( I ) + 9 + 9 7... ( II ) I ve II den [ 7, 7 ] fklı tm sı değei lbili. evp.,,,..., 8 numlı bölmele kılıo. ( tne ), 9,,..., numlı

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre Küre Üzerinde Hesap Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre ve Küre ile İlgili Tanımlar Küre: «Merkez» adı verilen bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların bir araya getirilmesiyle, ya

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+ ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Trigonometri Yönlü Açılar

Trigonometri Yönlü Açılar 1018 Bölüm 40 Trigonometri 40.1 Yönlü Açılar Açı nedir? Açı hakkında neler biliyoruz? Hatırlamaya çalışalım. Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının meydana getirdiği düzlemsel şekle açı, bu ışınlara

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye Eğisel haekee çok sık kullanılan anımladan bii de yöünge değişkenleini içei. Bunla, haekein he bi anı için ele alınan bii yöüngeye eğe, diğei ona dik iki koodina eksenidi. Eğisel haekein doğal bi anımıdıla

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MC TEST-I Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz π 2π

MC TEST-I Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz π 2π MC TEST-I Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz π π 1) 4 sin.sin +.sin + = sin ) π π 4 cos.cos +.cos + = cos www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr TRĐGONOMETRĐ

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2 8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir? HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı