12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI."

Bulut Derici
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.

1 1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi

2 SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu P n (x) n. mertebeden Lagrange enterpolasyon polinomu olsun. x 0, x 1, x,, x n verilen noktalar ve y 0, y 1, y,, y n fonksiyonun bu noktalarda aldığı değerler olsun. Buna göre; P n (x i ) = y i dir. (i = 0,1,,., n ) olmak üzere, P n (x) = y 0 + y 0 (x x 0 ) + y 0 (x x 0 )(x x 1 ) n y 0 (x x 0 )(x x 1 ).. (x x n 1 ) Yukarıdaki polinomdaki y 0, y 0, y 0,, n y 0 değerleri ileri yönlü sonlu farklar katsayılarıdır ve şu şekilde hesaplanır: x = x 0 için P n (x 0 ) = y 0 x = x 1 için P n (x 1 ) = y 0 + y 0 (x 1 x 0 ) = y 1 ise y 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 İleri yönlü sonlu farklar tablosu özet olarak aşağıdaki tablodaki gibidir: Indis(i) x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 x 0 y 0 y 0 y 0 3 y 0 4 y 0 1 x 1 y 1 y 1 y 1 3 y 1 x y y y 3 x 3 y 3 y 3 4 x 4 y 4

3 3 Buna göre 1. dereceden ileri yönlü sonlu farklar; y 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 y 1 = y y 1 x x 1 y = y 3 y x 3 x... y i = y i+1 y i x i+1 x i. dereceden ileri yönlü sonlu farklar; y 0 = y 1 y 0 x x 0 y 1 = y y 1 x 3 x 1... y i = y i+1 y i x i+ x i 3. dereceden ileri yönlü sonlu farklar; 3 y 0 = y 1 y 0 x 3 x 0

4 4 3 y 1 = y y 1 x 4 x y i = y i+1 y i x i+3 x i n. dereceden ileri yönlü sonlu farklar; n y i = n 1 y i+1 n 1 y i x i+n x i Soru: Yandaki tabloda verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunu ileri farklar yöntemi ile bulunuz. P(1.1) =? Çözüm: y 0 = y 1 y 0 0, , = = 0, x 1 x 0 1,3 1,0 y 1 = y y 1 0, , = = 0, x x 1 1,6 1,3 y = y 3 y 0, ,45540 = = 0, x 3 x 1,9 1,6 y 3 = y 4 y 3 0, , = = 0, x 4 x 3, 1,9 şeklinde birinci dereceden sonlu farkları hesaplayabiliriz.

5 5 y 0 = y 1 y 0 x x 0... = 0, ( 0, ) 1,6 1,0 şeklinde ikinci dereceden sonlu farkları hesaplayabiliriz. = 0, y 0 = y 1 y 0 x 3 x 0... = 0, ( 0, ) 1,9 1,0 şeklinde üçüncü dereceden sonlu farkları hesaplayabiliriz. = 0, y 0 = 3 y 1 3 y 0 0, , ) = = 0, x 4 x 0, 1,0 şeklinde dördüncü dereceden sonlu farkları hesaplayabiliriz. Indis x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 1,0 0, , , , , ,3 0, , , , ,6 0, , , ,9 0, , , 0, P 4 (x) = 0, , (x 1.0) 0, (x 1,0)(x 1,3) + 0, (x 1,0)(x 1,3)(x 1,6) + 0,001851(x 1,0)(x 1,3)(x 1,6)(x 1,9) P 4 (1,1) =

6 6 Algoritması Indis x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 x 0 Y 0,0 Y 0,1 Y 0, Y 0,3 Y 0,4 1 x 1 Y 1,0 Y 1,1 Y 1, Y 1,3 x Y,0 Y,1 Y, 3 x 3 Y 3,0 Y 3,1 4 x 4 Y 4,0 INPUT x 0, x 1, x,, x n ; Y 0,0, Y 1,0,.., Y n,0 as f(x 0 ), f(x 1 ), f(x ),, f(x n ), and x value OUTPUT P n (x) Step 1 For i = 1,.., n For j = 0, 1,,.., n i Set Y j,i = Y j+1,i 1 Y j,i 1 x i+j x j i 1 Step P n (x) = Y 0,0 + [Y 0,i (x x j )] n i=1 j=0

7 7 Geri Yönlü Sonlu Farklar İnterpolasyonu P n (x) n. mertebeden Lagrange enterpolasyon polinonu olsun. x 0, x 1, x,, x n verilen noktalar ve y 0, y 1, y,, y n fonksiyonun bu noktalarda aldığı değerler olsun. Buna göre; P n (x i ) = y i dir. (i = 0,1,,., n ) olmak üzere, P n (x) = y n + y n (x x n ) + y n (x x n )(x x n 1 ) + + n y n (x x n )(x x n 1 ) (x x 1 ) Yukarıdaki polinomdaki y n, y n, y n,, n y n değerleri geri yönlü sonlu farklar katsayılarıdır ve şu şekilde hesaplanır: x = x n için P n (x n ) = y n x = x n 1 için P n (x n 1 ) = y n + y n (x n 1 x n ) = y n 1 ise y n = y n y n 1 x n x n 1 olur. Buna göre 1. dereceden geri yönlü sonlu farklar; y 1 = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y y 1 x x 1... y i = y i y i 1 x i x i 1... y n = y n y n 1 x n x n 1

8 8. dereceden geri yönlü sonlu farklar; y = y y 1 x x 0 y 3 = y 3 y x 3 x 1... y i = y i y i 1 x i x i... n. dereceden geri yönlü sonlu farklar; y n = y n y n 1 x n x n.... n y i = n 1 y i n 1 y i 1 x i x i n... n y n = n 1 y n n 1 y n 1 x n x 0 Geri yönlü sonlu farklar tablosu, ileri yönlü sonlu farklar tablosuna çok benzer şekilde hazırlanır. Geri yönlü sonlu farklar tablosu özet olarak aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: Indis x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 x 0 y 0 1 x 1 y 1 y 1 x y y y 3 x 3 y 3 y 3 y 3 3 y 3 4 x 4 y 4 y 4 y 4 3 y 4 4 y 4

9 9 Soru: Yandaki tabloda verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunu geri yönlü farklar yöntemi ile bulunuz. P(,0) =? Çözüm: Indis x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 1,0 0, ,3 0, , ,6 0, , , ,9 0, , , , , 0, , , , , Buna göre; P 4 (x) = 0, ,571510(x,) + 0, (x,)(x 1,9) + 0, (x,)(x 1,9)(x 1,6) + 0,001851(x,)(x 1,9)(x 1,6)(x 1.3) P 4 (,0) = 0,38754

10 10 Algoritması Indis x f(x) = y y y 3 y 4 y 0 x 0 Y 0,0 1 x 1 Y 1,0 Y 1,1 x Y,0 Y,1 Y, 3 x 3 Y 3,0 Y 3,1 Y 3, Y 3,3 4 x 4 Y 4,0 Y 4,1 Y 4, Y 4,3 Y 4,4 INPUT x 0, x 1, x,, x n ; Y 0,0, Y 1,0,.., Y n,0 as f(x 0 ), f(x 1 ), f(x ),, f(x n ), and x value OUTPUT P n (x) Step 1 For i = 1,.., n For j = i,.., n Set Y j,i = Y j,i 1 Y j 1,i 1 x j x j i n (n+1 i) Step P n (x) = Y n,0 + [Y n,i (x x j )] i=1 j=n

11 11 Merkezi Farklar İnterpolasyonu P n (x) n. mertebeden Lagrange enterpolasyon polinonu olsun. x n, x n+1,., x 0,, x n 1, x n verilen noktalar ve y n, y n+1,., y 0,, y n 1, y n fonksiyonun bu noktalarda aldığı değerler olsun. Buradaki x n, x n+1,., x 0,, x n 1, x n değerleri arasındaki farklar sabit ve h gibi sabit bir sayı olarak kabul edilmiştir. x i x i 1 = h ve x = x k + sh s = x x k h nokta. x k,verilen x noktasına en yakın örnek n terim var ise δy 1 + δy ( P n (x) = y 0 + ( ) ( 1 ) ) sh + δ y 0 (s h ) + δ 3 y 1 + ( ( ) δ3 y 1 ( ) ) s(s 1)h 3 + δ 4 y 0 (s (s 1) h 4 ) +.. +δ n y 0 (s (s 1) (s (n 1) ) h n ) + n + 1 terim var ise ilave olarak;

12 1 δ n+1 y 1 + ( ( ) δn+1 y 1 ( ) ) s(s 1) (s n ) h n+1 ) Eğer n sayısı bir tek sayı ise yukardaki formül aynen kullanılır. Eğer n çift sayı ise yukardaki formüldeki son terim çıkarılarak polinom kullanılır. Yukarıdaki polinomdaki merkezi sonlu farklar katsayılarıdır ve şu şekilde hesaplanır: Indis x f(x) = y δy δ y δ 3 y δ 4 y - x y -3/ δy ( 3/) -1 x 1 y 1 δ y 1-1/ δy ( 1/) δ 3 y ( 1/) 0 x 0 y 0 δ y 0 δ 4 y 0 1/ δy (1/) δ 3 y (1/) 1 x 1 y 1 δ y 1 3/ δy (3/) x y 1. dereceden merkezi sonlu farklar; δy ( 3 ) = y 1 y δy ( 1 ) = y 0 y 1 δy ( 1 ) = y 1 y 0

13 13 δy ( 3 ) = y y 1. dereceden merkezi sonlu farklar; δ y 1 = δy ( 1 ) δy ( 3 ) δ y 0 = δy1 δy 1 ( ) δ y 1 = δy3 δy1 3. dereceden merkezi sonlu farklar; δ 3 y ( 1 ) = δ y 0 δ y 1 4. dereceden merkezi sonlu farklar; δ 3 y1 = δ y 1 δ y 0 δ 4 y 1 = ( ) δ3 y 1 δ 3 y 1 ( ) Soru: Alttaki tabloda verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunu merkezi farklar yöntemi ile bulunuz. P(1.5) =?

14 14 Solution: Indis x f(x) = y δy δ y δ 3 y δ 4 y - 1,0 0, , ,3 0, , , , ,6 0, , , , , ,9 0, , ,571510, 0, So; h = x i+1 x i = 0.3 s = x x k h = = 1 3 0, ( 0,578610) P 4 (1,5) = 0, ( ) ( ,3) P 4 (1,5) = 0, , ( 1 3 ) 0,3 0, , ( ) ( 1 3 ) (( 1 3 ) 1) 0, , ( 1 3 ) (( 1 3 ) 1) 0,3 4

15 15 Sonuç olarak sonlu farklar ile interpolasyon yöntemini kullanarak yaklaşık değerini bulmak istediğimiz noktanın bilinen x değerlerine yakınlığına göre ileri yönlü, geri yönlü veya merkezi farklar interpolasyon polinomları kullanılır. Kaynakça Richard L. Burden, Richard L. Burden (009). Numerical Analysis Brooks/Cole Cengage Learning, Boston. Doç. Dr. İbrahim UZUN, (004), "Numarik Analiz Beta Yayıncılık.

Benzer belgeler

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için