ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT"

Transkript

1 MAİ, DEEMİNAN ve DOUAL DENKLEM İEMLEİ ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİ Mtrisler. Kznım : Mtrisi örneklerle çıklr, verilen ir mtrisin türünü elirtir ve istenilen stırı, sütunu ve elemnı gösterir.. Kznım : Kre mtrisi, sıfır mtrisini, irim mtrisi, köşegen mtrisi, lt üçgen mtrisi ve üst üçgen mtrisi çıklr, iki mtrisin eşitliğini ifde eder.. Kznım : Mtrislerde toplm işlemini ypr, ir mtrisin toplm işlemine göre tersini elirtir, toplm işleminin özelliklerini gösterir ve iki mtrisin frkını ulur.. Kznım : Bir mtrisi ir gerçek syı ile çrpm işlemini ypr ve özelliklerini gösterir.. Kznım : Mtrislerde çrpm işlemini ypr ve çrpm işleminin özelliklerini gösterir. 6. Kznım : Bir mtrisin çrpm işlemine göre tersini ulur ve mtrislerin tersini ulm işleminin özelliklerini gösterir. 7. Kznım : Bir mtrisin devriğini (trnspozunu) ulur ve özelliklerini gösterir. Doğrusl Denklem istemleri. Kznım : Doğrusl (lineer) denklem sistemini çıklr ve doğrusl denklem sisteminin çözümünü temel (elementer) stır işlemleri yprk ulur.. Kznım : Doğrusl denklem sistemlerini mtrislerle gösterir ve mtris gösterimi A.X = B oln doğrusl denklem sisteminin çözümünü (A B) genişletilmiş mtrisi üzerinde temel stır işlemleri uygulyrk ulur. Determinntlr. Kznım : Minör ve kofktör kvrmını çıklr x, x ve x türündeki mtrislerin determinntını hesplr ve determinntın özelliklerini elirtir.. Kznım : rrus yöntemini kullnrk x türündeki mtrislerin determinntını hesplr.. Kznım : Ek (djoint) mtrisi çıklr, x ve x türündeki mtrislerin tersini ek mtris yrdımıyl ulur. Doğrusl Denklem istemleri. Kznım : Mtris gösterimi A.X = B oln doğrusl denklem sisteminin çözümünü X = A.B yöntemi ile ulur.. Kznım : Doğrusl denklem sisteminin çözümünü Crmer kurlını kullnrk ulur.

2 MAİ, DEEMİNAN ve DOĞUAL DENKLEM İEMLEİ Üç yrı mğzd ulunn A, B, C mrk televizyonlrın mrklrı ve miktrlrı şğıdki tlo ile verilmiştir. M z I II III A (det) 8 6 Mrk B (det) 7 C (det) Bu tlodn yrrlnrk şğıdki ifdeleri inceleyiniz. 9 Mğzlrd ulunn televizyonlrın miktrlrını elirlemek için tlod ulunn syılrın yerlerini değiştirmeden şğıdki gii dikdörtgensel şeklin içine yerleştirelim = 6 I. mğzd 8 tne A mrk televizyon vrdır. Bu durumu kısc = 8 içiminde göstereiliriz. II. mğzd kç tne C mrk televizyon vrdır? Bu sorunun cevı olup = olrk gösterilir. III. mğzd kç tne B mrk televizyon vrdır? Bu sorunun cevı olup = içiminde gösterilir.. sütund ulunn syılrın A mrk televizyonlrın syılrı olduğun dikkt ediniz.. stırdki syılrın, II. mğzdki televizyonlrın syılrını gösterdiğini frk ettiniz mi?. sütundki syılrın, B mrk televizyonlrın syılrı olduğun dikkt ediniz. MAİ m, n N + için i =,,,... m ve j =,,,..., n olmk üzere, ij reel syılrındn oluşn g n g n A = h h h m m m g mn X tlosun m x n içiminde ir mtris denir. m stırlı ve n sütunlu ir A mtrisi A mxn vey A = [ ij ] mxn içiminde gösterilir. ij elemnı, mtrisin i. stır ve j. sütunun kesim noktsındki elemnıdır. 6

3 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri A = ÖNEK > H mtrisi için,, elemnlrını ulunuz. ÖNEK A = mtrisi x türünde ir kre mtristir. B = mtrisi x türünde ir kre mtristir. ıfır Mtris Bütün elemnlrı sıfır oln mtrislere sıfır mtris denir.,, mtrisleri irer sıfır mtristir. ÖNEK A = mtrisi için + ifdesinin eşitini ulunuz. EEN YAYINLAI Birim Mtris Asl köşegenindeki elemnlrı, diğer elemnlrı oln kre mtrislere irim mtris denir. Birim mtrisleri I semolü ile göstereceğiz. I x =, I x = mtrisleri irer irim mtristir. Kre Mtris tır syısı sütun syısın eşit oln mtrislere kre mtris denir. nxn türündeki [ ij ] nxn mtrisi n. sırdn (n. smktn) kre mtristir. Alt Üçgen Mtris Asl köşegenin üstünde kln ütün elemnlrı sıfır oln kre mtrislere lt üçgen mtris denir., 6 mtrisleri, lt üçgen mtrislerdir. mtrisi ir kre mtristir.,,..., nn elemnlrının oluşturduğu köşegene. köşegen vey sl köşegen denir. n, (n ),..., n elemnlrının oluşturduğu köşegene. köşegen vey yedek köşegen denir. Üst Üçgen Mtris Asl köşegenin ltınd kln ütün elemnlrı sıfır oln kre mtrislere üst üçgen mtris denir., 7 6 mtrisleri, üst üçgen mtrislerdir. 6

4 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri İki Mtrisin Eşitliği m x n türündeki A ve B mtrislerinde i, j için ij = ij ise A = [ ij ] mxn, B = [ ij ] mxn mtrisine eşittir denir ve A = B içiminde gösterilir. ÖNEK A = = G ve B = c 6 d mtrisleri eşit ise + + c + d değerini ulunuz. Mtrislerde oplm Beyz eşy stn üç mğzdki uzdolı, fırın ve çmşır mkinesi miktrlrı şğıdki tlo ile verilmiştir. M z I II III Buzdol (det) 6 8 Beyz Efly F r n (det) Çmfl r mkinesi (det) Bu üç mğznın yeni sipriş ettiği eyz eşy miktrlrı d şğıdki tlo ile elirtilmiştir. 7 9 Beyz Efly EEN YAYINLAI M z I II III Buzdol (det) 7 F r n (det) 6 Çmfl r mkinesi (det) 8 ÖNEK log x A = y + ve B = z X 9 olmk üzere A = B ise x + y + z ifdesinin eşitini ulunuz. Bu iki tloyu mtris içiminde yzlım. 6 7 A = 8 9, B = iprişler lındıktn sonr her mğzd ulunn eyz eşy miktrını gösteren mtris A ve B mtrislerinin toplmı olcğındn 6+ A+ B = = X 8 dır. 9 X O hlde, türleri ynı oln iki mtrisi toplrken krşılıklı elemnlrı irirleriyle toplnır. A = mtrisinin toplm işlemine göre tersi c d A = mtrisidir. c d 66

5 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 6 A = 6, B ve C = = olmk üzere,. A + B ve B + A mtrislerini ulup sonuçlrı krşılştırlım.. A + (B + C) ve (A + B) + C mtrislerini ulup sonuçlrı krşılştırlım. c. A + ve + A mtrislerini ullım. d. A + ( A) mtrislerini ullım. A = [ ij ] mxn, B = [ ij ] mxn, C = [C ij ] mxn ve = [ ij ] mxn mtrisleri için EEN YAYINLAI A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + = + A = A A + ( A) = ( A) + A = dır. ÖNEK 7 x + > H= In y z 9 olduğun göre x, y ve z değerlerini ulunuz. 67

6 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 8 A = ve B = = G mtrisleri için A B mtrisini ulunuz. Bir Mtrisin Bir Gerçel yı ile Çrpımı A = mtrisi için + + A = A+ A = + = = G = olur... EEN YAYINLAI A ile A mtrislerini krşılştırdığımızd A mtrisinin her elemnının ile çrpıldığını frk ettiniz mi? Bu durumd, k ve A = [ ij ] mxn ise k.a = [k. ij ] mxn olur. ÖNEK 9 A = ve B = olmk üzere,..(a + B) ve.a +.B mtrislerini ulup sonuçlrı krşılştırlım.. A + A ve ( + )A mtrislerini ulup sonuçlrı krşılştırlım. c. (.).A ve.(.a) mtrislerini ulup sonuçlrı krşılştırlım. 68

7 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri k, p olmk üzere, A = [ ij ] mxn, B = [ ij ] mxn mtrisleri için k.(a + B) = k.a + k.b (k + p).a = k.a + p.a (k.p).a = k.(p.a) dır. ÖNEK 6 A = 6 ve B = 9 olmk üzere,. A B. A + B c. A B mtrislerini ulunuz. EEN YAYINLAI ÖNEK A =, B = ve C = 9 mtrisleri veriliyor. A B = C ise + kçtır? 69

8 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri İKİ MAİİN ÇAPIMI Milli futol ve sketol tkımlrımız, sponsorlrın iletmek üzere gerekli mlzemelerin listesini şğıdki gii hzırlmışlrdır. op (det) Eflofmn (tk m) Aykk (çift) Futol milli tk m 8 Bsketol milli tk m 6 8 Bir topun fiytı: L, ir eşofmn tkımının fiytı: 8 L, ir çift ykkının fiytı: 9 L olduğun göre, her tkım için toplm mlzeme tutrını ullım. Mlzeme miktrlrını gösteren mtrisi M, mlzeme fiytlrını gösteren mtrisi F ile gösterirsek 8 M =, F = 8 olur MF. = = G = = = G ulunur. O hlde, futol milli tkımının mlzeme tutrı L dir. Bsketol milli tkımının mlzeme tutrı 8 L dir. A ve B gii iki mtrisin çrpımının tnımlı olilmesi için A mtrisinin sütun syısı, B mtrisinin stır syısın eşit olmlıdır. 6 c@. > y H = 6 x. + y. + x z 7

9 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 6 7 A = ve B = 8 9 olmk üzere, A.B mtrisini ulunuz. ÖNEK A = mtrisinin her stırının elemnlrı toplmı c d ise A mtrisinin irinci stırındki elemnlrın toplmı kçtır? ÖNEK A = [ ] ve B = A.B mtrisini ulunuz. olduğun göre, EEN YAYINLAI ÖNEK 6 A =, B =, C = 6 olmk üzere,. A.(B.C) mtrisini ulunuz.. (A.B).C mtrisini ulunuz. ÖNEK A = ve B = [ ] olduğun göre, A.B mtrisini ulunuz. 7

10 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 8 ÖNEK 7 A =, B =, C = ise. A.(B + C) mtrisini ulunuz. A = olmk üzere, A.Ι ve Ι.A mtrislerini ulunuz.. A.B + A.C mtrisini ulunuz. EEN YAYINLAI A.Ι = Ι.A = A dır. Mtrislerde çrpm işlemi ile ilgili özellikler şğıd verilmiştir. İnceleyiniz. A, B ve C mtrisleri, şğıdki işlemlerin tnımlı olduğu mtrisler ve Ι irim mtris, sıfır mtris olmk üzere, A.(B.C) = (A.B).C A.(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C A.Ι = Ι.A = A A. =.A = dır. 7

11 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 9 f(x) = x x + ve A = = G ise f(a) ifdesinin eşitini ulunuz. ÖNEK A = ise A 8 mtrisini ulunuz. KAE MAİİN KUELEİ m, n Z +, A ir kre mtris ve Ι irim mtris olmk üzere, A = Ι, A = A, A = A.A,..., A n = A n.a (A m ) n = A m.n Ι n = Ι dır. EEN YAYINLAI ÖNEK ÖNEK A = ise A mtrisini ulunuz. A = olduğun göre A 8 mtrisini ulunuz. 7

12 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK A = olduğun göre A mtrisini ulunuz. x türündeki zı özel mtrislerin üyük kuvvetleri ile ilgili şğıdki sonuçlr elde edileilir. A = ise x A n = nx. x A = ise nx. A n = x A = > H ise A y n n x = > H yn x A = > H ise A = x y x x y A = ; x E ise A x = A = ise An = n ÖNEK A = 6 9 olmk üzere, A mtrisini ulunuz. 6 EEN YAYINLAI ÖNEK Yukrıdki kurllr yrdımıyl çözülen şğıdki sorulrı inceleyiniz. A = = G ise A = A = ise A = A = ise A = > A = ise A =. = A = ise A =. = A = ise A 9 = 8. = 7

13 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri Bİ MAİİN ÇAPMA İŞLEMİNE GÖE Eİ A = kre mtrisinin tersini ullım. c d A = x y ; E olsun. z t ÖNEK 6 A = mtrisinin tersini ulunuz. A.A = Ι olcğındn, x y. ; E= c d z t x + z y + t > H= = cx + dz cy + dt G olur. İki mtrisin eşitliğinden x + z = cx + dz = x d d c, c = z = d c y + t = cy + dt = y d c, = t = d c ulunur. Bu değerler A mtrisinde yerine yzılırs, d A = d c d c d = c ; d c c d c d c X A E dir. mtrisinin tnımlı olilmesi için d c olmsı gerektiğine dikkt ediniz. Şimdi A ile ulduğumuz A mtrislerini krşılştırlım. EEN YAYINLAI ÖNEK 7 A = = G mtrisinin tersini ulunuz. :. Yol A = c d ise A d = d c c A mtrisinin. köşegenindeki elemnlrın çrpımı ile. köşegenindeki elemnlrın çrpımının frkının d c olduğun dikkt ediniz. A mtrisinin. köşegenindeki elemnlrın yer değiştirmiş hlinin A mtrisinin. köşegeninde yer ldığını frk ettiniz mi? A mtrisinin. köşegenindeki elemnlrın ters işretlilerinin A mtrisinin. köşegeninde yer ldığını gördünüz mü? 7

14 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 8 x A = ; E mtrisinin çrpm işlemine göre tersinin 6 olmmsı için x kç olmlıdır? ÖNEK A = ve B = olduğun göre, (A.B) mtrisini ulunuz. ÖNEK 9 mtrisinin tersi kendisine eşit olduğun göre ve değerlerini ulunuz. EEN YAYINLAI ÖNEK A = ve B = mtrisleri veriliyor. A.C = B eşitliğini sğlyn C mtrisini ulunuz. A ve B kre mtrislerinin çrpm işlemine göre tersleri vrs (A ) = A (A.B) = B.A dir. 76

15 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri EKİNLİK Bİ MEAJIN ŞİFELENMEİ Bir mesjı mtrislerden yrrlnrk şifreleyeiliriz. Bunun için lfemizdeki hrflere ve zı noktlm işretlerine şğıdki tlodki gii syılrı krşılık getirelim. A B C Ç D E F G H I J K L M N O Ö P fi U Ü Y Z.?!, Boflluk Şimdi GEOMEİ sözcüğünü şifreleyelim. GEOMEİ sözcüğündeki hrfleri u tloy göre ir syı dizisine dönüştürelim. G E O M E Bu dizideki syılrı stırlı ir ilgi mtrisi içiminde yzlım. B = Herhngi ir A nhtr mtrisi A = olsun. C = A.B mtrisini ullım. C = A.B = 7 7 = G = Bulduğumuz C mtrisinin ütün elemnlrının mod teki eşitini yzrk K kodlnmış mtrisini elde ederiz. 7 K = 9 6 K mtrisinin elemnlrı ile elde edilen syı dizisi olur. Bu dizi, seçtiğimiz GEOMEİ sözcüğünün şifrelenmiş syı dizisidir. Şimdi de u şifreyi çözerek krşılığı oln sözcüğü ullım dizisini stırlı mtris içiminde yzlım. 7 ulduğumuz mtris dh önce elde ettiğimiz K mtrisidir. K = A nhtr mtrisinin tersini ullım. A = dir. A.K çrpım mtrisini ullım. A K =. = G = olur Elde ettiğimiz çrpım mtrisinin ütün elemnlrının mod teki eşitini yzlım. 7 7 ulduğumuz mtris dh önce elde ettiğimiz B mtrisidir. Bu mtrisin elemnlrı ile elde edilen syı dizisi 7 7 olur. Bu dizinin elemnlrın krşılık gelen hrfleri yzrsk; G E O M E İ sözcüğünü elde ederiz. 77

16 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri Bİ MAİİN DEİĞİ (ANPOZU) A = [ ij ] mxn mtrisinin ynı indisli stırlrıyl sütunlrının yer değiştirilmesiyle oluşturuln [ ji ] nxm mtrisine A mtrisinin devriği denir ve A d vey A ile gösterilir. A = c > H A = x y z x > y H dir. c z ÖNEK A = olmk üzere, (A ) mtrisini ulunuz. ÖNEK A = ve B = olmk üzere, A, B, A + B ve (A + B) mtrislerini ulunuz. ÖNEK A = ve B = olmk üzere, (A.B) ve B.A mtrislerini ulunuz. EEN YAYINLAI ÖNEK A = ve (.A) mtrislerini ulunuz. Bir mtrisin trnspozu (devriği) ile ilgili özellikler şğıd ir rd verilmiştir. İnceleyiniz. k olmk üzere A ve B mtrisleri için (A ) = A (A + B) = A + B (k.a) = k.a (A.B) = B.A (A ) = (A ) 78

17 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 6 A ve B = = olmk üzere, A.A = B olduğun göre + değerini ulunuz. ÖNEK 7 A herhngi ir reel kresel mtris ise şğıdki mtrislerin simetrik mtris olduklrını gösteriniz.. AA. A A c. A + A EEN YAYINLAI BAZI ÖZEL MAİLE imetrik Mtris Bir A = [ ij ] mtrisinde A = A ise yni ij = ji ise A mtrisine simetrik mtris denir. Anti-imetrik Mtris Bir A reel mtrisi için A = A ise A mtrisine nti-simetrik mtris denir. İnvolutif Mtris Bir A reel mtrisi için A = A ise A mtrisine involutif mtris denir. ÖNEK 8 A herhngi ir reel kresel mtris olmk üzere, C = A A ise C nin nti-simetrik mtris olduğunu gösteriniz. Ortogonl Mtris Bir A reel mtrisi için A = A ise A mtrisine ortogonldir denir. 79

18 ALIŞIMALA. A = mtrisi için + ifdesinin eşitini ulunuz. 6. x z x t 6 > H+ = y eşitliğini sğlyn x, y, z, t değerleri için x + y + z + t ifdesinin eşitini ulunuz. c. A =, B = + 6 d mtrisleri için A = B ise,, c, d değerlerini ulunuz. 7. A = [ ij ] mxn, B = [ ij ] mxn, C = [c ij ] mxn olmk üzere şğıdki ifdelerden doğru olnlr için oş kutuy D ynlış olnlr için Y yzınız. A + B = B + A x log y. A = > H, B = > z t + 8 t mtrisleri için A = B ise x, y, z, t değerlerini ulunuz. H A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = k.a = [k. ij ] mxn. A = mtrisinin toplm işlemine göre tersini ulunuz. EEN YAYINLAI k.(a + B) = k.a + k.b (k + p)a = k.a + p.a (k.p)a = k.(p.a). A =, B = ve C = 6 olmk üzere, şğıdkilerin her irini ulunuz.. A + B 8. A = [ ], B = mtrisleri için A.B ve B.A mtrislerini ulunuz.. A C c. A B d. A + C B 9. A = ve B = olmk üzere, A.B mtrisini ulunuz. 8

19 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri. A = ise A mtrisini ulunuz.. A, B ve C irirleriyle toplnilen ve çrpılilen mtrisler olmk üzere, şğıdki ifdelerden doğru olnlr için oş kutuy D ynlış olnlr için Y yzınız. A.B = B.A. A =, B = A.B mtrisini ulunuz. olmk üzere, A.(B.C) = (A.B).C A(B + C) = (B + C).A A(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C. A = ve B = = G olmk üzere A.B mtrisini ulunuz.. A =, B =, C = EEN YAYINLAI A.Ι = A. f(x) = x x + ve A = ise f(a) ifdesinin eşitini ulunuz. olmk üzere şğıdkilerin her irini ulunuz.. A.(B.C). A.(B + C) 6. A = ise A mtrisinin eşitini ulunuz. c. A.B + A.C d. (A + B).C e. A.Ι 7. A = ise A mtrisinin eşitini ulunuz. 8

20 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri 8. A = ise A mtrisinin eşitini ulunuz. x. A = olmk üzere A mtrisinin ulunmmsı için x kç olmlıdır? 9. A = ise A ve A mtrislerini ulunuz.. Aşğıdki mtrislerin trnspozlrını ulunuz.. [ ]. A = ise A ve A mtrislerini ulunuz.. = G. A = ise A 8 mtrisinin eşitini ulunuz. EEN YAYINLAI c.. Aşğıdki mtrislerin çrpm işlemine göre terslerini ulunuz.. 7 d. X. c.. A = ve B = olmk üzere, (A.B) ve B.A mtrislerini ulunuz. 8

21 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri DOĞUAL (LİNEE) DENKLEM İEMLEİ,,..., n, olmk üzere x + x n x n = denklemine doğrusl denklem denir. Doğrusl denklemlerden oluşn x + x n x n = x + x n x n =... m x + m x mn x n = m ifdesine doğrusl denklem sistemi denir. istemin çözümü, sistemdeki her denklemi sğlyn (x, x,..., x n ) sırlı n lisidir. Doğrusl denklem sisteminin çözümünü temel stır işlemleri yprk uluruz. Bu işlemler, istemde iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi istemde ir denklemin sıfırdn frklı ir gerçek syı ile çrpılmsı istemde ir denklemin sıfırdn frklı ir ktının ir şk denkleme eklenmesidir. ÖNEK 9 _ x y+ z = x+ y z = ` x+ y+ z = denklem sisteminin çözümünü temel stır işlemleri ile ulunuz. ÖNEK _ x y z= 7 x+ y z= ` x+ y z= denklem sisteminin çözümünü temel stır işlemleri ile ulunuz. EEN YAYINLAI 8

22 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri GAU YOK EME YÖNEMİ Mtris gösterimi, A.x = B oln ir doğrusl denklem sistemi çözülürken temel stır işlemleri uygulnrk A mtrisi üst üçgen mtrisine dönüştürülür. x y = z X X... l l x l l y = l z l X ÖNEK + c = _ + c = ` + c = denklem sisteminin çözümünü Guss yok etme yöntemi ile ulunuz. ÖNEK + c = 7 _ + c = ` + c = 6 denklem sisteminin çözümünü Guss yok etme yöntemi ile ulunuz. EEN YAYINLAI 8

23 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri EKİNLİK Bir krykıt şirketi günlük 6 lt krykıt dğıtımı için det tnker stın lcktır. Bu iş için tşım kpsiteleri lt, 8 lt ve lt oln üç çeşit tnker seçilmiştir. Bu tnkerlerden kçr tne lınmsı gerektiğini ullım. x, x ve x sırsıyl, 8 ve lt kpsiteli tnker syılrını göstersin. Bu durumd, x + x + x = x + 8x + x = 6 } x x = olur. 8 6 x Bu eşitlikten 8 6 genişletilmiş mtrisi elde edilir. Bulduğumuz genişletilmiş mtris üzerinden temel stır işlemleri uygulylım st r ile çrpl m 6. st r n kt n. st r ekleyelim 6. st r n kt n. st r ekleyelim 6 Bu durumd x x = x = x x + x = 6 x = 6 x olur. x = t lırsk x = t, x = 6 t, x = t elde edilir. x, x ve x değişkenleri tnker syılrını gösterdiğinden u değerler irer pozitif tm syı olmlıdır. O hlde, t _ 6 t ` t = 7 vey t = 8 olur. Bu değerlere göre şğıdki tlo elde edilir. t t x x x

24 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri GAU - JODAN YOK EME YÖNEMİ Mtris gösterimi, A.x = B oln ir doğrusl denklem sistemi çözülürken temel stır işlemleri uygulnrk A mtrisi,. köşegenindeki elemnlrı, diğer elemnlrı olck içime getirilir. x. > yh = z... X x l. > yh = l z l ÖNEK _ x+ y z = x+ y+ z = 9 ` x+ y+ z = Denklem sistemini Guss - Jordn yok etme yöntemi ile çözünüz. A Bir A Mtrisinin ersini [A Ι ], Genişletilmiş Ι Mtrisi Üzerinden emel tır vey ütun İşlemleri Uygulyrk Bulm A = [ ij ] nxn kre mtrisinin tersini ulmk için A mtrisinin genişletilmiş [ A Ι ] vey A Ι mtrisi yzılır. emel stır vey sütun işlemleri uygulnrk [ Ι vey Ι A ] A ulunur. EEN YAYINLAI ÖNEK A = mtrisinin tersini temel stır işlemleri yrdımıyl ulunuz. 86

25 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK A = mtrisinin tersini temel sütun işlemleri yrdımıyl ulunuz. A = ÖNEK 6 8 > H mtrisinin tersini temel stır işlemleri yrdımıyl ulunuz. EEN YAYINLAI 87

26 ALIŞIMALA. + c = c = c = denklem sisteminin çözüm kümesini temel stır işlemleri ile ulunuz.. x + y z = x y + z = x y + z = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini Guss yok etme yöntemi ile ulunuz.. + c = + + c = + + c =. x y + z = 6 x y + z = x y + z = denklem sisteminin çözüm kümesini Guss- Jordn yok etme yöntemi ile ulunuz. denklem sisteminin çözüm kümesini temel stır işlemleri ile ulunuz. EEN YAYINLAI 6. A = mtrisinin tersini ( A I ) genişletilmiş mtrisi üzerinde temel stır işlemleri uygulyrk ulunuz.. + c = + c = + c = denklem sisteminin çözüm kümesini Guss yok etme yöntemiyle ulunuz A = mtrisinin tersini A genişletilmiş I mtrisi üzerinde temel sütun işlemleri uygulyrk ulunuz. 88

27 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri DEEMİNAN A ir kre mtris olmk üzere, A nın determinntı deta vey A içiminde gösterilir ve şğıdki şekilde tnımlnır. A = [ ] x A = A = A =.. ÖNEK determinntının eşitini ulunuz. ÖNEK A = ise A değerini ulunuz. MİNÖ E EŞ ÇAPAN (KOFAKÖ) ÖNEK x A = olmk üzere A = ise x kçtır? ÖNEK sin cos A = ; x x cos x sin x E ise A değerini ulunuz. EEN YAYINLAI A, nxn türünde ir mtris olmk üzere, ij nin ulunduğu stır ve sütunun silinmesiyle elde edilen (n ) x (n ) türündeki M ij mtrisinin determinntın ij elemnının minörü denir. A ij = ( ) i+j M ij syısın d ij nin eş çrpnı (kofktörü) denir. A = 7 6 elemnının minörü elemnının eş çrpnı A = ( ) +. =. = tür. = = tür. ÖNEK + + A = ise A kçtır? + ÖNEK 6 A = ulunuz. mtrisinin tüm eş çrpnlrını 6 X 89

28 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 8 A = determinntını. sütun göre çlım. Bir Determinntın Herhngi Bir tır ey ütun Göre Açılımı A = ij determinntının i. stır göre çılımı n /. A dır. k = ik ik EEN YAYINLAI AU KUALI x türündeki ir determinntın ilk iki stırı determinntın ltın vey ilk iki sütunu determinntın sğ trfın yeniden yzılrk şğıdki içimde çılır. d x d x e y e y c f z c f z = d x d e y e c f z c f =.e.z + d.y.c + x..f (x.e.c +.y.f + d..z) = d x e y c f z d x + e y + + =.e.z +.f.x + c.d.y (x.e.c + y.f. + z.d.) ÖNEK 7 A = determinntını. stır göre çlım. ÖNEK 9 determinntını rrus kurlıyl ulunuz. 9

29 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri DEEMİNANIN ÖZELLİKLEİ Bir determinntın ir stırındki (vey ir sütunundki) terimlerin tümü sıfır ise determinntın değeri sıfırdır. Bir determinntın ir stırındki (vey sütunundki) elemnlr k ile çrpılıp şk ir stır vey sütun eklenirse determinntın değeri değişmez. 6 8 = 9 = 7 d x e y c f z c = d+ k. e+ k. f+ k. c x y z Bir determinntın iki stırındki (vey iki sütunundki) terimler orntılı ise determinntın değeri sıfırdır. = 8 Determinntın. stırındki terimlerin. stırdki terimlerin ktın eşit olduğun dikkt ediniz. Bir determinntın iki stırındki (vey iki sütunundki) terimler yer değiştirirse determinnt işret değiştirir. EEN YAYINLAI A = A A.B = A. B A n = A n nxn türünden A mtrisi için k olmk üzere k.a = k n A dır. x + y x + y x + y c = c + c d e f d e f d e f x x x y y y c = x y z x y z c c x y z = x y z c ÖNEK A = X mtrisinin determinntını ulunuz. Bir determinntın herhngi ir stır vey sütunundki tüm elemnlr k ile çrpılırs determinnt k ile çrpılmış olur. k. k. kc. x y z d e f = k. x d y e c z f 9

30 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK ÖNEK sin x A = cos x olmk üzere A.A determinntının eşitini ulunuz. A = ulunuz. X olmk üzere A determinntını ÖNEK ÖNEK A = 6 ise A determinntını ulunuz. EEN YAYINLAI ve B = 7 ise A determinn- A.B = tını ulunuz. ÖNEK A = ve B = olmk üzere, A.B determinntını ulunuz. mtrisinin determinntını ulu- ÖNEK 6 6 A = nuz. 8 X 9

31 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 7 7 A = olmk üzere, 6.A determinntını ulunuz. ÖNEK 6 x+ m m x kökü kçtır? = denkleminin ir kökü ise diğer ÖNEK 8 6 determinntını iki determinntın toplmı içiminde yzınız. EEN YAYINLAI ÖNEK 6 A ÖNEK 9 c D y x z E = xise ise determinntının x cinsinden değerini ulunuz. B C ABC üçgeninde [DE] // [BC] dir. Bun göre c 6 determinntının değerini ulunuz. x z y 9

32 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 6 ÖNEK 6 determinntının eşitini ulunuz. Düzlemde (x, y ) ve (x, y ) noktlrındn geçen doğru denkleminin x y x x y y = içiminde yzılileceğini gösteriniz. EEN YAYINLAI ÖNEK 6 x y = doğrusunun eğimini ulunuz. EK (ADJOİN) MAİ Bir A kre mtrisinin her elemnının yerine o elemnın kofktörünün yzılmsıyl oluşn mtrisin devriğine A mtrisinin ek mtrisi denir ve Ek(A) içiminde gösterilir. A = Ek(A) = A A A A A = A Ek(A) = A A X A A A A A A X 9

33 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 6 A = mtrisinin ek mtrisini ulunuz. Bir Mtrisin ersinin Ek Mtris Yrdımıyl Bulunmsı A kre mtrisinde A olmk üzere, x türünde ir mtrisin ek mtrisi ulunurken, verilen mtriste irinci köşegendeki elemnlrın yeri, ikinci köşegendeki elemnlrın işreti değiştirilir. A = d Ek(A) = dir. c d c A = Ek(A) dır. A A = d Ek(A) = olduğundn, c d c A d = dir. A c ÖNEK 66 A = 6 X mtrisinin ek mtrisini ulunuz. EEN YAYINLAI ÖNEK 67 A = mtrisinin tersini ulunuz. ÖNEK 68 x A = mtrisinin tersinin ulunmmsı için x kç olmlıdır? 9

34 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 69 A = mtrisinin tersini ek mtris yrdı- X mıyl ulunuz. Doğrusl Denklem isteminin ers Mtris Yrdımıyl ü Mtris gösterimi A.X = B oln doğrusl denklem sistemlerini X = A B içiminde göstererek çözeiliriz. ÖNEK 7 x y = _ y+ z = ` x z = denklem sistemini ters mtris yrdımıyl çözelim. EEN YAYINLAI 96

35 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖNEK 7 x y = sistemini Crmer kurlı ile çözelim. x+ y = CAME KUALI x+ y+ cz = d _ x+ y+ cz = d ` x+ y+ cz = d denklem sisteminde A = c c c, A x = d d d c c c EEN YAYINLAI ÖNEK 7 _ x y+ z = x+ y z = ` x+ y z = sistemini Crmer kurlıyl çözelim. A y = d d d c c c, A z = d d d olmk üzere, x = A x A A y, y =, z = A A z A dır. A ise sistemin tek çözümü vrdır. A = A x = A y = A z = ise sistemin çözüm kümesi sonsuz elemnlıdır. A = iken A x, A y, A z den en z iri sıfırdn frklı ise sistemin çözüm kümesi Ø dir. 97

36 ALIŞIMALA. Aşğıdki determinntlrın eşitini ulunuz.... A = olmk üzere A mtrisinin tüm eş çrpnlrını ulunuz. c. d. x x x + x A = determinntını. stır göre çınız. e f. EEN YAYINLAI. determinntını. stır göre çınız. g. h. 7. Aşğıdki ifdelerden doğru olnlr için oş kutuy D ynlış olnlr için Y yzınız. ı. A = A A.B = A. B A n = A n i. c d e f c k.a = k. A I = 98

37 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri 6. A = 9. A(, ) ve B(, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini determinnt yrdımıyl ulunuz. olmk üzere, A determinntının eşitini ulunuz. 7. A = ve B = = 9 G olmk üzere, A.B determinntının eşitini ulunuz.. x y = doğrusunun eğimini ulunuz. 8. A = olmk üzere, A determinntının eşitini ulunuz. EEN YAYINLAI. A = mtrisinin ek mtrisini ulunuz. 9. AB. = ve B = olmk üzere, A determinntının eşitini ulunuz.. A = mtrisinin ek mtrisini ve ek mtristen yrrlnrk A mtrisini ulunuz. 99

38 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri. Aşğıdki mtrislerin çrpmy göre terslerini ek mtris yrdımıyl ulunuz x + y = x + y = denklem sistemini Crmer kurlıyl çözünüz.. c. 8. Aşğıdki denklem sistemlerini Crmer kurlıyl çözünüz.. x y + z = x + y z = x y + z =. x + y + z = x y + z =. x + y = x z = y z = denklem sisteminin çözüm kümesini ters mtris yrdımıyl ulunuz. EEN YAYINLAI x y + z = c. x y + z = x + y + z = 9 x + y z = 6. x + y + z = x y + z = y + z = denklem sisteminin çözüm kümesini ters mtris yrdımıyl ulunuz. 9. determinntının eşitini ulunuz.

39 E x y 6 t. A = ve B = olmk x z üzere, A = B ise x + y + z + t kçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 6. A = ve B = olmk üzere, A.B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E) 6. A = ve = G olmk üzere, A B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E) 6 6. A = ve B = ise A.B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) [ ] B) C) [ ] D) [ ] E) [ ]. A = = G olmk üzere, A + A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? EEN YAYINLAI 7. A = [ ] ve B = ise B.A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) = 6 G B) C) 6 6 D) = G E) 6 A) [ ] B) [ ] C) [ ] D) E) X..A + = = G eşitliğini sğlyn A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) = G D) E) 8. A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? 7 A) B) 7 = 7 7 G C) D) E) 7 7

40 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri 9. A = = G ve f(x) = x + x ise f(a) mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) = 8 G B) C) 8 8 D) E) 8 8. A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) 9 9 D) 9 E) 9. x x + n = denkleminin kökleri x ve x olmk üzere, x 6. = ise n kçtır? x A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. A = ise A 8 mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) 7.A B) 8.A C) 7.Ι D) 8.Ι E) 6.A log x Iny 7.. = > H Iny eşitliğini sğlyn x + y kçtır? A) e + B) e + C) e + D) e + E) e + EEN YAYINLAI. A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A).Ι B).Ι C).A D).A E).A. A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) 8 > H B) > H C) D) E) 6. A = ve A n 6 6 = ise n kçtır? 6 6 A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9.B.E.C.B.A 6.C 7.E 8.D 9.A.D.A.C.E.A.C 6.C 6

41 E. A = ve B = olmk üzere, c d A + B = A ise + + c + d kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7. A = [sinx cosx] ve B = = sin x sin x cos x cos x G olmk üzere A.B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) [cosx ] B) C) [cosx sinx] D) [ cosx] E) [ cosx]. A = ve B = olmk üzere, c d A.B = A eşitliğini sğlyn B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E) EEN YAYINLAI 6. A = mtrisinde her stırın terimleri toplmı ise A mtrisinin. stırındki terimlerin c d toplmı kçtır? A) 8 B) C) 6 D) E). 6 A = ve B = > H x 6 y olmk üzere, A.A = B ise x + y kçtır? A) 6 B) C) D) 8 E) 6 7. A =, B = x ve C = y olmk üzere, A.C = B eşitliğini sğlyn x + y değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. A =, B = 7 ve C = olmk üzere, x.a + y.b = C ise x + y kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 8. A = olduğun göre, 7 A şğıdkilerden hngisidir? 7 A) B) C) D) E)

42 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri 9. A = olmk üzere, 6 A.B = 6 eşitliğini sğlyn B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E). A = [ ij ] x mtrisi için A. = ve A. = ise A. 7 8 mtrisi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) C) D) E). A = ve B = olmk üzere, c 8 A = B ise + + c kçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E). A = x mtrisinin her elemnı zltıldığınd A determinntının değeri değişmediğine göre x kçtır? A) B) C) D) E). A = ve B = olmk üzere, 6 A.B mtrisi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) = G C) D) E) EEN YAYINLAI. A = ise A mtrisi şğıdki- X lerden hngisidir? A) A B) C) D) A E) 6. A = X ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A.B mtrisi. A = ve B = şğıdkilerden hngisidir? A) A B) A C) 9 D) E) A) B) C) D) E) 9 9 X.C.E.B.A.D 6.C 7.B 8.E 9.A.C.E.B.D.D.E 6.A

43 E 7. Merteeleri m.n ve u.v oln iki mtrisin çrpılilmesi için şğıdkilerden hngisi sğlnmlıdır? A) m = n B) m = v C) n = v D) m = u E) n = u. Elemnlrı (Z/, +,.) oln A = > H ve B = > H mtrisleri için de çrpm kurlı geçerli ise A.B şğıdkilerden hngisidir? A) > H B) > H C) > H D) > H E) > H = eşitliğini sğlyn ve nin değerleri şğıdkilerden hngisidir? A) =, = B) =, = C) =, = D) =, = E) =, = EEN YAYINLAI 6.,, c, d irer tm syı olmk üzere, A = mtrisinin tersi, A x y = ; E gii ir c d z t mtristir. x, y, z, t nin irer tm syı olmsı için şğıdki ğıntılrdn hngisi sğlnmlıdır? A) d + c = B) d c = C) + cd = D) cd = E) c d =. A = [ ] ve B = ise A.B nedir? A) A B) B C) B.A D) E) ; E 7.. çrpımı şğıdki syılrdn hngisine eşittir? A) B) C) D) E). A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E) Aşğıdkilerden hngisi A(, ) ve B(, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemi değildir? A) y = y x (x + ) B) = + 6 x y x y+ C) = D) = E) y x = 7

44 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri 9. f(x) = log cos x sin x r f l in değeri nedir? 8 A) D) B) 6.. > H = > 6. çrpımı kçtır? sin x cos x E) ise + C) + H olduğun göre,. A = ve Ι = olduğun göre, 9 det(a λι) = eşitliğini sğlyn λ değerlerinin toplmı kçtır? A) B) C) D) E) cos i sin i. A = ise A.A mtrisi şğıdkilerden hngisine eşittir? sin i cos i cos i sin i A) B) sin i cosi sin i cos i cosi sin i C) D) > H cos i sin i sin i cosi cos i E) cos i A) B) C) D) E) 6 8. A = ve g(x) = x + x ise g(a) mtrisi şğıdkilerden hngisine eşittir? EEN YAYINLAI.,, c, d rdışık dört çift syı ise determinntının değeri şğıdkilerden c d hngisidir? A) 8 B) 6 C) D) E) A) B) C) D) E) cos A = = sin sin G cos ve. 6 8 n = ise n kçtır? A) B) C) 8 D) 6 E) cos sin B = = G sin cos A.B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) C) > H B) > H > H D) > H E).E.A.A.D.C 6.B 7.A 8.C 9.C.E.C.B.E.A.A 6.D 8

45 ÜNİEİEYE GİİŞ INA OULAI. 98 ÖY Yndki şekilde A [DE] // [BC] dir. p n ABC üçgeninin c D E kenrlrı,, c m ve ADE üçgeninin kenrlrı B m, n, p olduğun göre, m n p determinntının değeri nedir? c A) 6 B) C) D) E) C. 98 ÖY = mtrisi A(, ) noktsını (, ) c d noktsın dönüştürüyors B(, ) noktsını hngi nokty dönüştürür? A) (, 6) B) c, m C) (, ) D) (, 6) E) (, ). 98 ÖY A = içiminde ir mtrisin tersi c d A d = dır. det A c A =, B = olduğun göre,. 98 ÖY M = mtrisinde her stırın terimleri toplmı olduğun göre, M mtrisinin. stır c d terimleri toplmı nedir? A) 6 B) 9 C) D) E) 8 EEN YAYINLAI AX = B eşitliğini sğlyn X mtrisinin tüm elemnlrının toplmı kçtır? A) B) C) D) E) ÖY mtrisinin tersi kendisine eşit olduğun göre, şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) 7 E) ÖY A = ise A mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) ( ) B) ( ) C) = G D) = G E) ÖY 986 mtrisinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) B) > H C) > H D) E)

46 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖY A = ve A = olduğun göre, c d c kçtır? A) B) C) D) E). 989 ÖY mtrisinin elemnlrı k (k ) kdr c x rtırıldığınd, determinntı değişmediğine göre, x in değeri şğıdkilerden hngisidir? A) + c B) + c C) c + D) + + c E) c ÖY x x = 6 denkleminin kökü kçtır? x x A) B) C) D) E). 99 ÖY K, x türünde ir mtris olmk üzere, K. = ve K. = ise K. şğıdkilerden hngisidir?. 988 ÖY determinntının değeri kçtır? A) (9987) B) 9987 C) 9988 D) E) EEN YAYINLAI 9 7 A) B) C) 7 D) E) ÖY [ ]. = [ ] olduğun göre, kçtır? X A) 6 B) C) D) E). 988 ÖY A mxm mtrisi ve B = A + A verildiğine göre, B şğıdkilerden hngisine eşittir? (A, A mtrisinin trnspozesidir (devriğidir).) A) B B) B C) A D) A E) A. 99 ÖY. = > c ise + + c toplmı kçtır? A) B) C) D) E) H

47 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri ÖY 76 7 determinntının değeri kçtır? 7 76 A) 7 B) C) 7 D) 7 E). 99 ÖY A = = G ve B = x y ; z E olmk üzere, t A.B = A B olduğun göre, B mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) 6 7 D) E) ÖY + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) C) D) E) ÖY A = x > H mtrisi için, A.A = A olduğun y göre, x.y çrpımı kçtır? ÖY i = olduğun göre, i i + i i i determinntının değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? A) i B) i + C) i D) E) EEN YAYINLAI A) B) C) D) E). 996 ÖY 7 mtrisinin, ters mtrisinin olm- 9 X msı için, kç olmlıdır? A) B) C) D) 6 E) ÖY Ι, x türünde ir mtris ve A = olduğun göre, A A + Ι işleminin sonucu ş- ğıdki mtrislerden hngisidir? 6 6 A) B) C) D) E) ÖY. = + x olduğun göre, kçtır? A) B) C) D) E)

48 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri. 997 ÖY determinntının değeri kçtır? A) B) 8 C) 7 D) 9 E) 8. 7 Ö A = ve B = mtrisleri için A.X = B denklemini sğlyn X mtrisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) E). 998 ÖY A = ve B = olduğun göre (A.B) t şğıdkilerden hngisidir? (A t : A mtrisinin devriği (trnspozesi)) A) 9 B) C) 9 D) E) 9 8 EEN YAYINLAI 9. 9 Ö x > y H= z X Yukrıd mtris gösterimi verilen doğrusl denklem sisteminin çözümünde x kçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8. LY determinntının değeri kçtır? ÖY determinntının değeri kçtır? A) 8 B) 6 C) D) 6 E) Ö log log 8 log log 7 determinntının değeri kçtır? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) A) B) C) D) E) 6. LY A = mtrisinin devriği A t ve ters mtrisi A olduğun göre, A t.a çrpımı şğıdkilerden hngisidir? 9 A) 9 B) C) 9 D) E)

49 Mtris, Determinnt ve Doğrusl Denklem istemleri. LY x + y z = x + y + z = y z = Yu k rı d ki denk lem sis te mi nin çö zü mün de x kç tır? A) B) C) D) E) 6. LY Bir A mtrisinin çrpm işlemine göre tersi A olmk üzere, = 6@ mtris eşitliğinde kçtır? A) B) C) D) E). LY A = B = mtrisleri veriliyor. Bun göre, det(a B ) kçtır? A) B) C) D) E). LY x. = olduğun göre, y 9 x + y toplmı kçtır? A) B) C) D) E) EEN YAYINLAI 7. LY A = B = olmk üzere, mtris gösterimi x (A B). = y oln doğrusl denklem sistemi şğıdkilerden hngisidir? A) x y = B) x + y = x y = x y = C) x + y = D) x y = x y = x + y = E) x + y = x y =. LY, ve c irer pozitif gerçel syı olmk üzere,. = c c mtris eşitliği veriliyor. Bun göre, + + c toplmı kçtır? A) B) 7 C) D) E) 6

50 EEN ÜÇENK MAEMAİK ve GEOMEİ KİAPLAIMIZ EEN ÜÇENK

51 MAEMAİK ve GEOMEİ KİAPLAIMIZ 9. INIF. INIF. INIF. INIF YG - LY &

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü 6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1 Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri ORAN ve ORANTI- ORAN-ORANTI KAVRAMI A) B) 9 C) 7 D) 5 E). olduğun göre, şğıdki ifdelerin hngisi d doğrudur? + d A) d + 4 + d C) 4 d E) 5 + 5 5 5 + d d + d B) n + m n + md D) d x y z. 4 5 sisteminin çözümüne

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür.

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür. OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

www.ortokulmtemtik.org BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçerisinde en z bir bilinmeyen bulunn eşitliklere denklem denir. Denklemde semboller y d hrfler ile gösterilen değişkenlere bilinmeyen denir. Denklemde

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 6

TYT / MATEMATİK Deneme - 6 . Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h

Detaylı

Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:

Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim: 08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? () 1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L Contents 0.1 Determinntlr.......................... 7 0.2 Determinnt Nedir?....................... 7 0.2.1 1 1 Mtrislerin

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin Bu ürünün ütün hklrı ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne ittir. Tmmının y d ir kısmının ürünü yyımlyn şirketin önceden izni olmksızın fotokopi y d elektronik, meknik herhngi ir kyıt sistemiyle

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Ysin ŞAHİN ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hkkı sklıdır. Bu kitbın tmmı y d bir kısmı, yzrın izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3 Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

D) 240 E) 260 D) 240 E) 220

D) 240 E) 260 D) 240 E) 220 01 Test Ünite? AYT Mtemtik EBOB - EKOK 1. 240 ve 300 syılrının en büyük ortk böleni kçtır? A) 20 B) 40 C) 60 3. 18, 24 ve 32 syılrının en küçük ortk ktı kçtır? A) 248 B) 260 C) 276 5. Kenr uzunluklrı 60

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor. .BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3 .Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir. Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış

Detaylı

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01 LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 0. f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu 6. 7 f() = log ( ) fonksiyonunun tnım bulunuz? rlığı nedir?. + f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz? 6 log? 8 = 7.. f() = log

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...

Detaylı

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI İ LE BÖ LÜNEBİ LME Syımızın irler smğı çift (son rkmı 0) ise syımız iki ile tm ölünür. 0 0 v. iki ile ölünür. syısı iki ile

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı